Rozvoj pojmu zlomek ve vyučování matematice

Rozvoj pojmu zlomek ve vyučování matematice

Marie Tichá Jana Macháčková

Studijní materiály k projektu Operační program Rozvoj lidských zdrojů č. projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky v rámci operačního programu Rozvoj lidských zdrojů

© JČMF 2006

SU

∑

MA

Společnost učitelů matematiky JČMF

Obsah 1. Zlomky v učivu základní školy 1.1 Důvody zařazení zlomků do učiva základní školy 1.2 O vztahu celku a části 1.3 O interpretacích zlomku 1.4 O intuitivních představách (prekoncepcích) 1.4.1 O jedné metodě zjišťování představ žáků 2. Vstupujeme do světa zlomků aneb Kde jsou začátky? 2.1 Dělení celku na části a spravedlivé rozdělování 2.1.1 Spravedlivé rozdělování koláčů 2.1.2 Co vy na to? 2.2 Kmenové zlomky 2.2.1 Tři polarity 2.2.2 Představy našich žáků 2.2.3 Náměty na činnosti podporující pochopení kmenových zlomků 2.2.4 Co je celek, co je část? - To je oč tu běží aneb Učíme se vidět celek a část 2.3 Pohled do historie 2.3.1 Kmenové zlomky a porovnávání, sčítání, ... 2.3.2 Zábavné úlohy: "egyptské trojúhelníky" a "egyptské čtverce" 3. Řešení úloh 3.1 Jak žáci řešili jednu známou úlohu – 1 3.2 Modelování a reprezentace 3.2.1 Obrázková reprezentace 3.3 Jak žáci řešili známou úlohu – 2 3.3.1 Některá chybná řešení 3.3.2 Co s chybami? 3.3.3 Další časté chyby 3.4 Co znamená „více než“? aneb Jak žáci řešili známou úlohu – 3 4. Tvoření úloh 4.1 Co je cílem tvoření úloh 4.2 Tvoření slovních úloh k výpočtu 4.2.1 Co ukážou vytvořené úlohy 4.2.2 Interpretace vytvořených úloh 4.2.3 Upozornění na závažné chyby 4.3 Tvoření slovních úloh k obrázku 4.4 Tři náměty k zamyšlení na závěr Literatura Přílohy

strana 2 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


1. Zlomky v učivu základní školy 1.1

Důvody zařazení zlomků do učiva základní školy

Ú1

Zamyslete se, zda a proč zlomky patří (či nepatří) do učiva základní školy (žáci ve věku 6 až 15 let). Uveďte konkrétní důvody, proč je oprávněné zařazování tématu ZLOMEK do učiva, když je tak obtížné a náročné na čas.

Často se zdůrazňuje, že zlomek je jeden z obtížných pojmů, které je třeba postupně rozvíjet v dlouhém časovém úseku. Obtížnost tématu je zřejmě jednou z příčin toho, že se čas od času setkáváme s pochybnostmi o smysluplnosti a užitečnosti zařazení tematického celku „Zlomek“ do matematického vzdělávání 6-15letých žáků a s otázkou, zda je třeba na základní škole věnovat tolik času a námahy zlomkům. Jako nejčastější důvody jsou přitom uváděny: • obtížnost a přílišná náročnost tematického celku na čas i energii, kterou potřebují žáci k osvojení tohoto učiva, • nízká úroveň dosažených výsledků, která neodpovídá vynaloženému úsilí, • využívání desetinných čísel (a nikoli zlomků) v nejrůznějších oblastech lidské činnosti a dostupnost kalkulaček pro všechny žáky, čímž roste význam desetinných čísel a zvládnutí technik operování s nimi a zlomky ustupují do pozadí. Je zřejmé, že v současné době převažuje v praktických výpočtech (mimo jiné i díky dostupnosti vhodného technického zázemí) využití desetinných čísel, ale na druhé straně to byly právě pochybnosti o postavení zlomků ve školské matematice, které vedly k promýšlení důvodů pro ponechání zlomků v kurikulu. Jako nejvýznamnější se přitom uvádí: • význam pro propedeutiku algebry, • význam pro rozvíjení funkčního myšlení, • využívání některých zlomků v praxi. Tyto důvody jsou tak závažné, že se dá očekávat, že zlomky budou zařazovány v nějaké formě do osnov i nadále.1 1.2

O vztahu celku a části

Otázky vztahu celku a části mají ve školské matematice zcela zvláštní postavení. Jsou provázány na další matematické struktury, jejich pochopení ovlivňuje pojmotvorný proces (množina objektů s určitými vlastnostmi), jsou aplikovatelné v mnoha oblastech matematiky i společenské, přírodní a technické praxe. Patří k nejvíce studovaným oblastem didaktiky matematiky v zahraničí i u nás, ale přes značný objem získaných poznatků zůstávají stále jedním z hlavních problémů ve vyučování matematice.2 S procesem dělení celku na části se dítě setkává již v předškolním věku. Již tehdy se začíná rozvíjet chápání vztahu částí a celku. Chápání vztahu celku a části je důležité jak pro užití matematiky v praxi, tak v pojmotvorném procesu. S vytvářením celků a jejich dělením jsou spjaty základní pojmy elementární matematiky (pojem přirozeného a racionálního čísla a pojem

1

Tichá, M. u.a.: Bemerkungen zum Bruchrechenunterricht in der Tschechischen Republik und in Polen. Der Mathematikunterricht, 2, 2000 2 Hošpesová, A., Kuřina, F., Tichá, M.: Celek a část v primárním matematickém vzdělávání. Nepublikovaný interní materiál (podklad pro workshop na konferenci SEMT 03) strana 3 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


geometrického útvaru). Od 1. ročníku základní školy se neformální poznatky o vztahu části a celku dále rozvíjejí při porovnávání, sčítání a odčítání. M. Hejný uvedl v článku „Představa celku a jeho části“ (Hejný, 1999) následujících pět způsobů kvantitativního vyjádření vztahu celek-část/části: přirozené číslo Ve třídě je 27 žáků, z toho 16 dívek. poměr Koncentrát řeďte v poměru 2 : 7. zlomek Více než 4/5 půdy bylo rekultivováno. desetinné číslo Základní jmění banky bylo navýšeno o 0,583 miliardy Kč. procento Počet kuřáků klesl o 3%. 1.3

O interpretacích zlomku

Zlomek je tedy jedna z možností, jak vyjádřit vztah část/části-celek. Je ale naopak vyjádření vztahu celek-část jediná možnost, jak zapsaný zlomek interpretovat? Ú2

Měli bychom věnovat pozornost různým interpretacím a nebo se zaměřit na jednu a té se věnovat do hloubky? 3 Zamyslete se nad tím, jak lze interpretovat zlomek, například (co si lze představit pod 4 3 označením/symbolem , co jím lze označit). 4 Jakou představu/situaci může vyvolávat obrázek?

V zahraničí je problematice zlomků věnována podstatně větší pozornost, než je tomu u nás. Je zpracována celá řada studií a monografií. V nich jsou uváděny různé možnosti interpretace zlomku. Zpravidla se ukazuje, že zlomek vyjadřuje vztah část-celek, je ho možné chápat jako veličinu (kvantitativní údaj), jako operátor (pokyn k provedení početních operací; Hruša a Vyšín, 1964; Divíšek, 1989), míru, je jím možné zapsat podíl, poměr, … Současně se ale uvádí, že možnost interpretovat zlomek několika různými způsoby je zdrojem neporozumění a mate žáky. Ú3

Zamyslete se, která z uvedených interpretací je nejčastější, která z nich zohledňuje i další aspekty. A zamyslete se, zda by naopak některá mohla přinášet obtíže, být zdrojem chyb. Co s poměrem 3:0?

1.4

O intuitivních představách (prekoncepcích)3

Těžiště vyučování tématu „Zlomek“ je u nás v 7. ročníku. Představy se ale bezesporu začínají budovat již dříve – ve škole i mimo školu. Se slovy (ne se zápisy zlomků) „polovina“, „čtvrtina“ se děti setkávají již v předškolním věku a ve škole se pak v návaznosti na to tato slova vyskytují již od prvního ročníku. Je to zřejmě proto, že se s nimi žáci soustavně setkávají v každodenním životě. Označení polovina však mnoho dětí chápe jako synonymum pro slovo část. To pravděpodobně odpovídá tomu, že dělení, které 3

Poznámka: V publikaci (Čáp, Mareš, 2001) se v kapitole „Dětské interpretování světa“ uvádí několik označení: naivní teorie dítěte, implicitní teorie dítěte, dětská věda, dětské naivní koncepce, dětské implicitní koncepce, dětské prekoncepce, dětské dosavadní koncepce, dětské alternativní koncepce, dětské mylné pojetí (miskoncepce). strana 4 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


předchází a připravuje pojem zlomek, nemusí být nutně „spravedlivé“, tj. na stejné části. Proto nejsou ojedinělé výpovědi typu: „dej mi větší polovinu koláče“, „koláč jsme rozdělili na čtyři (stejné) poloviny“. Méně často se děti setkávají s označením třetina, pětina, desetina. V počátcích jsou zlomky využívány k vyjádření kvantitativní hodnoty veličin. (Cesta do práce 3 trvala hodiny.) To odpovídá zkušenostem, které se zlomky mají žáci z mimoškolního života. 4 Vedle toho se později setkávají se zlomky v operátorech (tři čtvrtiny ze dvaceti). Jak uvádějí K. Hruša, J. Divíšek a další, „... nejde o zlomky jako čísla ... jde o způsob vyjádření jistých 3 početních operací s přirozenými čísly.“ (Ve skupině je 20 dětí. z nich jsou chlapci. Kolik je ve 4 třídě chlapců?) Uvedené aspekty („operátorový“ a „veličinový“) nejsou oddělovány. Naopak. V úlohách jsou často zohledněny současně různé aspekty. (To se ovšem může projevit negativně, když později děti přenášejí to, co se naučily při počítání s přirozenými čísly, na počítání se zlomky.) 1.4.1 O jedné metodě zjišťování představ žáků Zajímalo nás, jaké představy o zlomcích mají 9-11letí žáci ještě před systematickým probíráním tohoto tématu ve škole. To znamená žáci, kteří se ve škole sice již mohli se zlomky setkat, ale jen zcela okrajově a zpravidla ve formě slovního vyjádření, například polovina/půlka chleba, třičtvrtě hodiny (tříčtvrtka), jeden a půl kilometru a podobně. Zadali jsme jim proto jednoduchý úkol: Napiš nebo nakresli, co si představíš, když slyšíš slovo ZLOMEK. Co lze z výpovědí žáků poznat? Předpokládali jsme, že z odpovědí žáků bude možné usuzovat nejen na jejich prekoncepce zlomků (předpojmy, žákovská pojetí pojmu zlomek), na to, kde všude vidí zlomek, ale také na to, do jaké míry a jakého druhu jsou v představách, ve vědomí žáků obsaženy miskoncepce (neporozumění, chyby). Představy žáků byly spojeny jak s každodenními (mimoškolními) situacemi, tak s vyučováním matematice (ale i českému jazyku). Ukažme si některé z odpovědí (slovních výpovědí i obrázků).

• Dokud jsem nevěděla, co to je, stále jsem si představovala kus koláče ... Jak jsem čím dál tím více o tom věděla, tak jsem si představovala úlomek z jakéhokoli celku, třeba když někdo odejde ze třídy. • Koláč je rozdělen na 4 díly. Jsou 3 děti a každé z nich dostane jeden kus. Jeden díl zbyde 1 1 a to může být popsáno zlomkem . koláče zbývá... 4 4 • Zlomek je, když se věc, číslo, písmeno a tak zlomí na dvě části. • Zlomek je matematický příklad. Je to lehký příklad, ale nevím jaký. strana 5 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Výpovědi některých žáků měly metaforický charakter, dostali jsme i „poetické“ výpovědi: • Zlomek času, myšlenek, zlomené srdce, šifra... Na základě odpovědí (slovních výpovědí i obrázků) některých žáků je možné usuzovat, že prekoncepce zlomku jsou od samého počátku poznamenány a ohroženy formalismem (memorováním bez porozumění). Žáci kladou důraz na formální stránku, symboly: • Zlomek je, když napíšeme dvě čísla a zlomkovou čáru. • Představuji si zlomek jako čáru, která láme dvě čísla. Žáci své názory na svět neradi mění, a proto se stává, že chybné prekoncepce nemizí ani při dobře vedeném vyučování, část původních žákových představ zůstává nezměněna. Výsledkem této specifické interference bývá žákovo neúplné porozumění, chybné pochopení určitých pojmů a vztahů, přehlédnutí důležitých souvislostí nebo zvýraznění nepodstatných znaků. (Čáp, Mareš, 2001). „Navíc důraz na terminologii ovlivňuje hierarchii žákových kognitivních (poznávacích) hodnot, do popředí klade verbalismus (slovní vyjadřování) a potlačuje matematickou myšlenku samu.“ 4 Ú4

Zamyslete se nad tím, co lze usoudit z následujících obrázků.

4

Hejný, M.: Zlomky. Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky, 2. díl UK PedF 2004, Praha, s. 345 (české vysvětlivky autorky). strana 6 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Ú5

Zadejte žákům 5. a 6. ročníku úkol: „Napiš nebo nakresli, co si představíš, když slyšíš slovo ZLOMEK.“ Odpovědi, které dostanete, utřiďte a klasifikujte. Opakujte experiment se staršími žáky (8., resp. 9. ročník) a výsledky porovnejte.

Ú6

Zadejte žákům 5. a 6. ročníku úkol: „Napiš nebo nakresli, co si představíš, když vidíš napsáno

3 .“ 4

Odpovědi, které dostanete, utřiďte a klasifikujte. Opakujte experiment se staršími žáky (8., resp. 9. ročník) a výsledky porovnejte. Ú6a Zadejte žákům 5. a 6. ročníku úkol: 3 „Napiš nebo nakresli, co si představíš, když vidíš napsáno 2 .“ 4 Odpovědi, které dostanete, utřiďte a klasifikujte. Opakujte experiment se staršími žáky (8., resp. 9. ročník) a výsledky porovnejte.


SU

∑ MA


2.

Vstupujeme do světa zlomků aneb Kde jsou začátky?

2.1

Dělení celku na části a spravedlivé rozdělování

Výuku pojmu zlomek bychom neměli začínat výkladem toho „co je zlomek“, ale činnostmi, které k tomuto pojmu vedou, vytvářením jeho prekonceptů. Pro pojem zlomek je to studium dělení celku na části podle určitých vlastností. Dělení na části se vyskytuje v praxi každé domácnosti, v řešení problémů každého dětského kolektivu, v libovolné vědecké disciplině, v řešení problémů rodiny, státu, zeměkoule i vesmíru. Nejde tedy v prvé řadě o počítání se zlomky a o aritmetickou operaci dělení. Jde o dobré pochopení procesu dělení celku na části a o porozumění kvantitativním vztahům, které se přitom utvářejí (např. 1 2 pochopení toho, že = na základě překládání archu papíru apod.). Problematika celku a části je 2 4 důležitá pro užití matematiky v praxi a hraje významnou roli i v pojmotvorném procesu5. Ú7

Vynořuje se tu dále otázka, zda je vhodnější k dělení přistupovat na základě dělení NA stejné části (rozdělování – je dán počet částí - neznáme/hledáme počet prvků v části) nebo PO stejných částech (měření/ podle obsahu – je dán počet prvků v části - neznáme/hledáme počet částí). Promyslete odpověď a diskutujte o ní.

2.1.1 Spravedlivé rozdělování koláčů V našich současných učebnicích se téměř nevyskytují úlohy, se kterými se můžeme často setkat v zahraničních učebnicích (Holandsko6, Anglie, USA, ...) a to přesto, že na ně jako na jeden z typů výchozích činností pro výuku zlomkům upozorňovali již Hruša a Vyšín (1964), například: Spravedlivě rozdělte: (a) tři koláče čtyřem dětem, (b) dva koláče třem dětem. Naši 10 - 13letí žáci řešili úlohu takto:

5

Podle Hošpesová, A., Kuřina, F., Tichá, M.: Celek a část v primárním matematickém vzdělávání. Nepublikovaný interní materiál (podklad pro workshop na konferenci SEMT 03). 6 Streefland, L. Fractions in Realistic Mathematics Education. Dordrecht 1991: Kluwer. strana 8 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Tato úloha žáky zpravidla zaujala tím, že mohli nacházet různá řešení a posléze o nich diskutovat a obhajovat jejich „spravedlnost“. Úlohu je možné opakovat pro „čokolády", ale je třeba si uvědomit, zda a jaké dělení čokolády na dílky naznačíme (viz poznámky ke kontinuálnímu a diskrétnímu prostředí uvedené v dalším textu). 2.1.2 Co vy na to? Se třídou velmi dobrých žáků 4. ročníku jsme provedli vyučovací experiment navazující na uvedenou úlohu o spravedlivém rozdělování. Inspirací pro vyučovací experiment byl příspěvek R. Steinberg uvedený na konferenci SEMT´03. Autorka v něm ukázala, jak několik učitelů posuzovalo správnost dvou řešení úlohy: „Spravedlivě rozděl 3 pizzy čtyřem dětem.“ Vyučující se rozhodla zadat stejný úkol „svým“ žákům 4. ročníku. V první části hodiny učitelka zadala známou úlohu: „Spravedlivě rozděl tři pizzy čtyřem dětem.“ Žáci řešili úlohu ve dvojicích (velmi rychle) a jednotlivci pak nabídli několik řešení: Martin

Honzík

Michal

Lucka

A

B

C

A

B

C

D

D


SU

∑ MA


Učitelka tak uvedla žáky do situace. Poté jim zadala úkol: „Paní učitelka v jedné škole zadala stejnou úlohu: „Spravedlivě rozděl 3 pizzy čtyřem dětem.“ Děti tu úlohu řešily tak, jak máte napsáno na pracovním listě. A vy byste měli rozhodnout, které z následujících řešení úlohy je správné a své rozhodnutí odůvodnit. 1/4 1/4 1/4

(a) Každou pizzu rozdělíš na 4 stejné části. Každé dítě dostane jednu čtvrtinu z každé pizzy. Dostane tři čtvrtky, to jsou tři čtvrtiny. (b) Každou pizzu rozdělíš na 4 stejné části. Dohromady je to 12 kousků. Každé dítě dostane tři kousky. To je tři z dvanácti. Odpověď je tři dvanáctiny.

Je možné, aby se ty tři čtvrtiny rovnaly těm třem dvanáctinám? Zkuste mi říct, co si myslíte, že je správně, co není správně a proč.“ Ú8

Zadejte tento úkol bez jakékoli předchozí přípravy žákům s jistým odstupem po probírání učiva o zlomcích (8., 9. ročník). Zaznamenejte diskusi a posuďte úroveň agrumentace a komunikace.

2.2

Kmenové zlomky

Významnou roli v procesu rozvíjení představ zlomku hrají kmenové zlomky. Děti pracují s kmenovými zlomky jako s novými jednotkami, pojmenovanými čísly, pokud se jedná o zlomky se stejným jmenovatelem7. K práci s kmenovými zlomky vedou úlohy vztahující se ke spravedlivému rozdělování. Tyto úlohy mají důležité místo při vytváření pojmu zlomek a děti se s ním setkávají daleko dříve, než se k nim dostaneme ve škole. Při spravedlivém rozdělování jde o činnost, kdy je třeba výchozí předmět, objekt (celek) rozdělit na n-stejných částí nebo vyčlenit, oddělit jednu „entinu“ výchozího objektu . „Entina“, to je výsledek, ke kterému se touto činností dojde, je pro žáky vlastně nová jednotka, jednotka jiné kategorie. Úlohy zaměřené na spravedlivé rozdělování tedy dávají příležitost k činnostní reprezentaci a vytváření různých konkrétních modelů. Je proto žádoucí je zařadit i na 2. stupeň ZŠ (už i proto, že výzkumy ukazují, že někteří žáci slovo „rozdělit" vůbec se zlomky nespojují). 2.2.1 Tři polarity Při těchto činnostech (i později při formulování slovních úloh) bychom neměli zapomínat na tři polarity: První je kvalita děleného objektu (celku). Jde o polaritu diskrétní versus kontinuální (spojitou). Uvědomujeme si přitom, že dělení souboru se liší podle charakteru tohoto souboru (zda se jedná o spojitou oblast (koláč) nebo o diskrétní množinu, t.j. množinu skládající se z izolovaných prvků, například bonbonů).

7

H. Griesel říká, že uplatňují kvazikardinální přístup. Griesel, H. (1981). Der quasikardinale Aspekt in der Bruchrechnung. Der Mathematikunterricht –Bruchrechnung. Akademische Verlagsgesselschaft, Wiesbaden, s. 87-95. strana 10 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


S. Lamon ve své práci8 rozlišuje nejen spojité a diskrétní prostředí, ale každou z těchto eventualit ještě dále dělí a jako zvláštní uvádí „strukturované prostředí“. Celek může podle ní „vypadat různě“: • Jedna spojitá položka (jeden koláč) •

Více než jedna spojitá položka (tři koláče)

(V německých učebnicích se uvádí: zlomek jako část jednoho celku, zlomek jako část více celků.) •

Jedna nebo více spojitých „předrozdělených“ (čokoláda)

•

Diskrétní rozházené (hromádka bonbonů)

•

Diskrétní uspořádané (vajíčka v obalu)

•

Složený celek („trojkoláč“) (tři koláče v jednom balíčku)

Při dělení diskrétních objektů (kuličky, ale i čokoláda rozdělená na dílky, ...) může dojít k situaci „neřešitelné" (15 kuliček spravedlivě rozdělit čtyřem dětem). Při dělení kontinuálních objektů (koláč, stuha do vlasů, ...) řešení vždy existuje, ale někdy může být velice složité. Je zajímavé sledovat strategie, které žáci volí v závislosti na kvalitě (a eventuální strukturovanosti) prostředí. (Je například možné připomenout, jak se ve filmovém zpracování pohádky Pyšná princezna rádcové dělí o peníze; je možné hromádku mincí nazírat jako „jednolitý“ celek i jako soubor kusů.) Druhá polarita se vztahuje ke slovnímu vyjádření. Jde o polaritu např. „tři stejné části" versus „třetina". Tady se jedná o úlohy typu: „spravedlivě rozděl třem dětem ..." versus „třetinu nech na talíři", „vezmi si třetinu". Experimenty také ukázaly vyšší obtížnost úloh, v jejichž zadání 1 byl uveden zlomek ( žáků) než úloh se slovním vyjádřením (polovina žáků). 2 8

Lamon, S.: Teaching fractions and ratios for understanding. LEA, Mahwah, NJ 2005 strana 11

Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Třetí polarita se vztahuje k činnostem žáka. Jde o polaritu „evidence" versus „konstrukce". U evidence žák z předložených obrázků, předmětů, staveb, ... vybírá ty, v nichž je jev (např. třetina) zastoupen, obsažen – „označte obrázek, jehož jedna třetina je vybarvená", „ve které stavbě je třetina kostek modrých" (obrázek k Příkladu 4, str. 14), ... U konstrukce žák dělí daný celek na třetiny, eventuálně dotváří určitý objekt tak, aby byl celek na třetiny rozdělen. 2.2.2 Představy našich žáků V našich učebnicích je mnoho úloh typu: „Zapiš zlomkem, jaká část obrazce je vybarvená.“ 1 nebo „Vybarvi obrazce.“ Mohlo by se proto zdát, že naši žáci nebudou mít problémy se 4 znázorňováním (nejen) kmenových zlomků a s představami s tímto pojmem spojenými. Skutečnost je ale jiná. Většině učitelů je známé, že pokud dáme žákům například obrázek kruhu rozděleného na 12 shodných částí a zadáme jim následující úkol: 1 1 „Vybarvi modře kruhu a pak ještě červeně jeho . Jaká část kruhu je vybarvena?“, vypadá 6 4 jejich řešení zpravidla takto:

A odpověď: Vybarvena je jedna desetina. Ú9

Jak by tuto úlohu podle vašich zkušeností řešili vaši žáci 6. ročníku? Jak časté by bylo podle vašeho názoru uvedené řešení?

Ú10 Tady jsme upozornili na jednu z častých chyb (možná ovlivněných předchozími znalostmi s počítáním s přirozenými čísly). Které další typické chyby se podle vašich zkušeností při práci s kmenovými zlomky vyskytují? 2.2.3 Náměty na činnosti podporující pochopení kmenových zlomků9 Příklad 1 Jdu si koupit boty. Ty, které si chci koupit, prodávají pan Hájek i pan Malý. Mám jít k panu Hájkovi nebo k panu Malému?

9

Sleva o 1/3 !

Sleva o 1/4 !

OBUV – HÁJEK

OBUV – MALÝ

Poznámka: Všechny následující příklady vedou k úvahám o celku. strana 12


SU

∑ MA


Zkušenost ukazuje, že po zadání této otázky zpravidla následuje rychlý sled úvah a odpovědí: • Samozřejmě že k panu Malému, ten přece zlevnil víc. 4 je víc než 3. Tato úvaha je velmi častá. Žáci jsou negativně ovlivněni dříve osvojenými poznatky o počítání s přirozenými čísly. Mnozí si ale poměrně rychle uvědomí, že 3 je sice méně než 4, ale se zlomky je tomu nějak jinak. • Aha!

1 1 je menší než . Proto je výhodnější jít k panu Hájkovi, protože víc zlevnil on. 4 3

A pak, po jistém váhání mnohdy způsobeném „významnými“ pohledy učitele, následuje úvaha založená na zkušenosti z reality: • „Přece ale záleží na tom, z jaké částky to beru. Kdyby oba před zlevněním prodávali za stejnou cenu, tak je lepší jít k panu Hájkovi. • Co když ale před zlevněním pan Malý prodával za 800 a pan Hájek za 900? Příklad 2 Žákům rozdáme čtvercové (kruhové, trojúhelníkové) papíry. Úkolem žáků je papíry dělit (překládat, stříhat) na: a) n (2, 4, 8, ..., 3, 5,) stejných částí, b) na poloviny, čtvrtiny, ...., třetiny, pětiny,... Zdůrazňujeme přitom různé možnosti dělení (různé tvary). Příklad 3 Žákům rozdáme různě velké čtvercové papíry. Opakujeme 2. příklad. Diskutujeme o velikosti a tvaru n-tin (polovin, čtvrtin,...), které dostali různí žáci. Poznámka: Položíme otázku: Co znamená, že části jsou stejné? (obsah, tvar) Příklad 410 Upravte každou stavbu tak, aby jedna třetina kostek byla modrých.

10

Poznámka: Příklady 4, 6 a 7 jsou z učebnice M. Koman a kol. Matematika pro 4. ročník. MÚ AV ČR, Praha strana 13


SU

∑ MA


Příklad 5 Vyzveme žáky k odůvodnění stanoviska, názoru. Například: 1 Jan měl vybarvit kruhu; jeho odpověď je na obrázku. Nemá pravdu, protože … 3

Příklad 6 Postavte celé stavby.

Příklad 7 Rozmyslete si, co je na obrázku.


SU

∑ MA


Příklad 8 Každý žák dostane tři shodné papírové čtverce (obdélníky). Dále každý dostane tři různé papírové obdélníky - takové, že je možné poznat „na první pohled“, že malý čtverec (obdélník) představuje polovinu jednoho z nich, třetinu druhého a čtvrtinu třetího. 1 1 Formulace úkolu: Tady máte tři úplně stejné papírové čtverce. Jeden z nich je , druhý a třetí 2 3 1 . Jak je to možné? (O velkých obdélnících nemluvte.) 4

Ú11 Porovnejte příklady 7. a 8. Uvažte, zda a jak by bylo třeba jejich zadání upravit. Příklad 9 Vyzvěte žáky, aby a) ve svém okolí hledali předměty, obrázky, na kterých mohou ukázat b) postavili stavbu, nakreslili obrázek, na kterém mohou ukázat

1 1 i , 2 3

1 1 i . 2 3

Příklad 10 Koupili jsme si s bratrem koláč. On si vzal šestinu. Takže já si vezmu pětinu zbytku, abychom měli oba stejně. Je to vůbec pravda? A Tomáš si vezme čtvrtinu dalšího zbytku – teď nevím, bude mít taky stejně? Když si Tomáš vezme šestinu, zbude mi pět šestin, to je pět stejných dílů. Z nich pětina je stejná, jako byla šestina.


SU

∑ MA


Příklad 1111 Hančina maminka upekla obdélníkovou bublaninu. Teď ale neví, zda se u stolu sejde pět nebo šest lidí. Jak má bublaninu nakrájet, aby ji mohla v obou případech spravedlivě rozdělit?

Ú12 Zamyslete se (a) které okruhy učiva se v předchozích úlohách připravují, (b) pro které další okruhy učiva (pojmy, operace) jsou tyto činnosti propedeutikou. Například, zda některá úloha je vhodnou propedeutikou pro operaci sčítání zlomků. 2.2.4 Co je celek, co je část? - To je oč tu běží aneb Učíme se vidět celek a část A proto potřebujeme řešit i takovéto u nás netradiční úlohy, které navrhuje S. Lamon12

11 12

Poznámka: Příklad 11 je z učebnice M. Koman a kol. Matematika pro 7. ročník. MÚ AV ČR, Praha Lamon, S.:Teaching fractions and ratios for understanding. LEA, Mahwah, NJ, 2005 strana 16


SU

∑ MA


2.3

Pohled do historie

Podívejme se trochu do historie. Historické poznámky jsou jednak pro řadu dětí přitažlivé, jednak se ukazuje jako užitečné ve vyučování aplikovat metodu genetické paralely. Jak uvádí například A. Kolman (Kolman, 1968), zlomky a počítání s nimi se postupně objevovaly, když bylo třeba měřit pole, dělit jejich plochu na části, dělit úrodu a podobně. Zlomek 1 se vyjadřoval jako část jednotky. Egypťané užívali pouze kmenové zlomky (zlomky tvaru ) n 2 1 a k nim zlomek =1. Všechny ostatní zlomky se převáděly na součet kmenových zlomků, 3 3 2 eventuálně zlomku . 3 4 1 1 2 Např. lze zapsat jako + + . 5 30 10 3 3 1 1 jako + 8 4 8 7 1 1 1 jako + + 8 2 4 8 3 2 1 1 1 jako + jako + 10 10 10 5 10 3 6 5 1 1 1 jako = + jako + 10 20 20 20 4 20 2.3.1 Kmenové zlomky a porovnávání, sčítání, ... Kmenovým zlomkům byla věnována velká pozornost, existují například tabulky ukazující, jak lze jeden kmenový zlomek vyjádřit jako součet dvou i více kmenových zlomků. Zajímavé zkušenosti a ukázky práce žáků na projektech vztahujících se k problematice kmenových zlomků a možnosti využití počítání s kmenovými zlomky publikovala M. Kubínová v práci: Projekty ve vyučování matematice, cesta k tvořivosti a samostatnosti. Ukazuje, jak práce s kmenovými zlomky přirozeně vede žáky k pochopení podstaty a významu rozšiřování a krácení zlomků. Úlohy stejného typu jako „příklad 11“ na předchozí stránce jsou propedeutikou významu pojmu a metod hledání společného jmenovatele pro porovnávání a sčítání a odčítání zlomků. Postupuje se tak od činnostních reprezentací a geometrického modelování k symbolickým (od předmětných představ k myšlenkovým). Při práci s kmenovými zlomky se rozvíjí také myšlenka mnohonásobné reprezentace. 2.3.2 Zábavné úlohy: „egyptské trojúhelníky" a „egyptské čtverce" V návaznosti na předchozí úlohy můžeme kolem kmenových zlomků vytvořit pro žáky zajímavé úlohy kvizového charakteru, například pracovat s „egyptskými trojúhelníky" nebo s „egyptskými čtverci" a tak žáky „přitáhnout k práci s kmenovými zlomky a hlubšímu seznámení se s nimi13. 13

Walther, G.: Produktives Üben in der Bruchrechnung mit ägyptischen Dreiecken. Beiträge zum Mathematikunterricht 1996 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

strana 17 SU

∑ MA


Které to jsou? Ke stranám trojúhelníku (čtverce) jsou napsány navzájem různé kmenové zlomky. Zlomky napsané u dvou (sousedních) stran sečteme. Výsledek napíšeme k vrcholu, ve kterém se tyto dvě strany protínají.

Pokud u všech vrcholů dostaneme kmenové zlomky, budeme mluvit o „egyptském" trojúhelníku (čtverci). Se žáky můžeme řešit například následující úlohy: Příklad 12 Zjistěte, zda je daný trojúhelník (čtverec) „egyptský".

Příklad 13 Daný trojúhelník je „egyptský". Doplňte chybějící zlomky.

Ú13 Sestavte kaskádu úloh o „egyptských trojúhelnících (čtvercích)“.


SU

∑ MA


3.

Řešení úloh

3.1

Jak žáci řešili jednu známou úlohu - 1

Žákům, se kterými už bylo téma „zlomek“ probíráno ve škole (včetně operace sčítání), byla zadána série úloh. Jednou z nich byla úloha: Příklad 14 2 1 obdélníku (kruhu) modře a potom ještě další obdélníku (kruhu) červeně. 3 4 b) Napiš, jaká část obdélníku (kruhu) je celkem vybarvená.

a) Vybarvi

Ú 14 Porovnejte tuto úlohu s úlohou na straně 12 (vybarvování částí kruhu rozděleného na 12 stejných částí). Dříve než budete číst dál, odhadněte, jak by tuto úlohu řešili žáci před probíráním tématu „Zlomek“ a po probrání tohoto tématu (s určitým odstupem, přibližně jednoho až dvou měsíců) a jak by ji řešili starší žáci. Odhadujte strategie žáků i jejich úspěšnost. Podívejme se, jak žáci řešili úlohu (a). Přibližně pětina žáků nejprve vypočítala, kolik částí obdélníka (kruhu) mají vybarvit, to je (12 : 3) x 2; všichni tito žáci vyřešili úlohu dobře. Žáci většinou napsali nebo řekli, že hned „vidí", kolik dílů mají vybarvit, avšak přibližně polovina odpovědí byla chybných. Ukázky chybných řešení jsou na obrázku:

Ú 15 Promyslete uvedená žákovská řešení. Někteří žáci své chybné odpovědi ještě komentovali, například: • „Nepotřebuji nic počítat. Vidím, že je to takhle." 2 1 • „ = 2 krát 3 díly, = 1 krát 4 díly." 3 4 Chyby v některých odpovědích výrazně připomínaly chyby, kterých se dopustili žáci při 1 1 řešení úlohy: „Vybarvi modře kruhu a pak ještě červeně jeho . Jaká část kruhu je vybarvena?“ 6 4 (str. 12). Projevuje se tu vliv nepochopení kmenových zlomků a také velká setrvačnost chybných prekoncepcí. Svědčí to o chybných představách žáků. strana 19 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Na druhou stranu je třeba uvést, že se objevily neočekávané odpovědi svědčící o vhledu žáka 1 a o jeho pochopení kvantity. Žák určoval, kolik dílů představuje takto: 3 1 1 Jedna čtvrtina jsou 3 díly, jak to je vidět v kruhu. > , proto přidám jeden díl a zkusím, jestli to 3 4 1 už je . 3 K řešení úlohy (b) jen poznámky: Přibližně třetina žáků udělala různé chyby ve vyjadřování 1 vybarvené části, např. 10 vybarvených dílů označili zlomkem , což se dalo očekávat podle řešení 10 1 úlohy (a), 5 vybarvených dílů zlomkem . 5 V této sérii byla zařazena i úloha: Vypočítej:

2 1 + =. 3 4

Téměř všichni žáci vyřešili tuto úlohu dobře. Algoritmus zvládli všichni, vyskytly se pouze numerické chyby. Avšak jen v jedné třídě si někteří žáci uvědomili souvislost s předchozí úlohou a pokusili se své řešení opravit.14 Ú16 Jak byste hodnotili výše uvedené zjištění. Navrhněte, co s tím. Příklad 15 Každý žák dostal dva obrázky - obdélník a čtverec, ale jen jeden z nich byl rozdělený na 12 dílů. 2 1 a pak ještě každého obrazce. Úkolem bylo vyšrafovat 3 4 Jedná se tu o dva různé problémy. V případě, že vybarvujeme část rozděleného obrazce řešíme úlohu v diskrétním prostředí a jedná se vlastně o vyplňování prostoru. Ve druhém případě jde o kontinuální prostředí a o dělení prostoru. Předpokládali jsme, že žáci by mohli být úspěšnější při vybarvování obrazce, který nebyl rozdělený; tento předpoklad se však nepotvrdil. Ú 17 Zkuste zadat obdobnou úlohu svým žákům. Práce žáků vyhodnoťte. 3.2

Modelování a reprezentace

Zkušenosti ukazují, že většina žáků je poměrně rychle schopných naučit se provádět aritmetické operace se zlomky a dosahovat v tom dobrých výsledků. Žáci mají tendenci uspokojit se s ovládnutím početních operací. Soustřeďují se na otázku „Jak pravidlo pracuje?". Odpověď na otázku „Proč pravidlo pracuje?" zůstává stranou. Úspěšnost žáků při provádění početních operací se zlomky často u učitelů vyvolává dojem nebo dokonce přesvědčení, že představy a znalosti žáků 14

Ještě poznámka: Po vyhodnocení odpovědí žáků jsme se zamýšleli nad tím, zda jsme nevyvolali chybné odpovědi žáků tím, že jsme je nechali vybarvovat části obrazců rozdělených na 12 dílů (i když jsme si uvědomovali, že tak žáci mohli pracovat v diskrétním prostředí, což je jim zpravidla bližší, jak ukazují některá naše šetření). Proto jsme zadali (jiným žákům) následující úlohu (Příklad 15). strana 20 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


jsou dobré. Velmi často se však setkáváme s tím, že žáci jsou bezradní, když mají před sebou nestandardní situaci, ve které naučené algoritmy a postupy nefungují. Nejsou schopni řešit nestandardní úlohy, úlohy aplikačního charakteru a nejsou schopni své poznatky rozvíjet. Je to výsledek zanedbávání různých způsobů reprezentace. Poznatky jsou uloženy pouze jako paměťové záznamy bez vztahu k již vytvořené struktuře vědomostí. Projevuje se to zvláště tak, že velká část žáků je neúspěšných při řešení dokonce i jednoduchých slovních úloh vyrůstajících z reality. Aby žáci byli schopni řešit úlohu, musí si vytvořit „zdravou" představu o situaci, úlohu (situaci) uchopit s porozuměním. To znamená vytvořit si model, určitou reprezentaci, která s úlohou, situací koresponduje. Jak napsal F. Kuřina „Proces poznání je svázán ... s vytvářením vhodného jazyka. Jestliže ... lze jen z tohoto popisu zjišťovat některé poznatky, které nebyly bezprostředně patrné při zkoumání reality, má takovýto popis význam pro růst našeho poznání a budeme ho nazývat modelem uvažované části skutečnosti. Model je takový popis objektivní reality v jistém jazyku, který umožňuje předpovídání. ... Vyučování matematice by mělo být ... především studiem modelů objektivní reality ... pokládám za důležité položit ve škole důraz na studium dvojice: situace – model ..., aby vyučování bylo efektivní a aby matematika, kterou se žáci učí, byla aplikovatelná.“ (Kuřina, 1978)15 Ve škole však bohužel často není věnována dostatečná pozornost systematickému rozvíjení různých způsobů reprezentace. Pro vyučování matematice mají zásadní význam reprezentace/modely činnostní, ikonické a symbolické. Ve škole jsou však často činnostní a ikonické reprezentace opomíjeny a zanedbávány. Učitelé mají naopak někdy tendenci některou (zpravidla symbolickou) reprezentaci upřednostňovat. Žáci to poznají a zpravidla se snaží uspokojit učitele, to znamená řešit úlohu tak, jak si to přeje učitel a to i za tu cenu, že se řešení naučí zpaměti. Ve většině případů se dá ale říci: čím starší žák je, tím více tíhne k šablonám. Žáci opouštějí vizuální reprezentaci, řešení úsudkem, experimentální řešení a přecházejí k symbolické reprezentaci, zvláště k rovnicím. A přitom jak bylo řečeno mnohými autory, rozvoj dítěte souvisí s rozvojem zásoby různých způsobů reprezentace a dovedností „překládat“ mezi nimi. Znakový systém, symbolická reprezentace (především později algebra) je sice univerzální, ale do jisté míry brzdí tvořivost a schopnost konstruovat, vytvářet modely. To, že se žáci seznamují s algebrou a cvičí se v řešení rovnic, je nevede k rozvoji schopnosti uchopovat úlohy s porozuměním. Šetření prokázalo, že starší žáci nejsou při řešení slovních úloh úspěšnější než byli v době, když podobné úlohy řešili úsudkem, experimentálně, pomocí obrázků apod., před probráním tématu zlomek, resp. rovnice. Zlepšila se jen jejich početní technika. V rozšiřování zásoby modelů je však třeba pokračovat i ve vyšších ročnících. Žáci potřebují mít hodně příležitostí k setkávání se se zlomky v situacích z každodenního života, k získávání zkušeností, k vytváření dostatečné zásoby konkrétních modelů, z nichž některé později získají roli modelů obecně použitelných při řešení různých úloh: úsečka (tyč, provázek), kruh (koláč, dort, pizza), obdélník (čokoláda), soubory předmětů (kuličky, …). Bohužel se často setkáváme s tím, že dokonce i zkušení učitelé, ale někdy také autoři osnov a učebnic považují dlouhodobé budování představ (které je potřebné pro uchopení pojmu zlomek s porozuměním) za zbytečné a nahrazují je nácvikem kalkulu, který přináší téměř okamžitý efekt. Zdá se, že si neuvědomují, že nealgebraické řešení pomáhá rozvíjet kognitivní strukturu, že ne 15

Kuřina, F.: Vyučování matematice a modely, MFvŠ, 1978, č.9, 10, s. 641-650, 725-735. strana 21


SU

∑ MA


počítání, ale vytváření správných představ je to, co dělá mnohým žákům problémy. Dokonce i pro řešení slovních úloh byly hledány postupy algoritmického charakteru. Pochopení situace se nahrazovalo dosazováním do vzorce. Tento přístup neřešil základní problém - neschopnost žáků rozlišit v zadání úlohy, v situaci, základ a část. Ú18 Zamyslete se nad tím, jaké místo mají ve vašem vyučování různé reprezentace, kdy a v jakém rozsahu je používáte. Uveďte konkrétní příklady a podněty ověřené praxí. 3.2.1 Obrázková reprezentace Ú19 Zamyslete se, kdy by bylo možné použít následující obrázky?16 Obr. 16a

Obr. 16b

Obr. 16c

Obr. 16d

16

Obrázky 16a-16f jsou převzaty z učebnice M. Koman a kol. Matematika pro 7. ročník. MÚ AV ČR, Praha strana 22


SU

∑ MA


Obr. 16e

Obr. 16f

3.3

Jak žáci řešili známou úlohu - 2

Další šetření bylo zaměřené zvláště na etapu uchopování slovní úlohy, ve které žák volí strategii řešení, tzn. rozhoduje se, zda se bude snažit použít nějaký známý algoritmus (provést početní operaci, kterou zvládl), nebo zda použije model (a jaký). Podívejme se na žákovská řešení dvou úloh (příklady 16 a 17). Příklad 16 1 na 6 korun. Kolik korun stál nanuk před zlevněním? 4 MARTINA, CYRIL, ANNA i MARTA dospěli ke správnému výsledku. Všichni čtyři využili obrázek – situaci si znázornili. Obchodník snížil cenu nanuku o

MARTINA

CYRIL


SU

∑ MA


ANNA

MARTA

Ú20 Napište komentáře k vizualizaci (znázornění) úlohy, jak ji udělali tito čtyři žáci. Napište, jak byste jednotlivá řešení charakterizovali. Jak je vidět z předložených řešení, znázornění situace, obrázek může dětem při řešení slovních úloh se zlomky, při rozhodování se pro určitou cestu, postup řešení, významně pomoci. 3.3.1 Některá chybná řešení Nejčastější chybná žákovská řešení uvedené úlohy byla podobná těm, která napsali VOJTA, LENKA a RENATA. Jejich řešení také potvrdila, že nakreslení určitého obrázku ještě samo o sobě neznamená porozumění úloze. Tentýž obrázek se stal základem pro správná i chybná řešení. Ú21 Vysvětlete, jak úlohu řešili Vojta a Renata. VOJTA

RENATA


SU

∑ MA


Ú22 Zamyslete se hlouběji nad Lenčiným řešením (zvětšený výřez). LENKA

LENKA a RENATA neřešily zadanou úlohu, ale úlohy, pro jejichž řešení znaly standardní postup. 1 LENKA: Prodavač prodával nanuk za 6 korun. Jeho cenu snížil o . Kolik stojí nanuk nyní? 4 1 RENATA: Prodavač snížil cenu nanuku o , to je o 6 Kč. Kolik korun stál nanuk před zlevněním? 4 Ukažme si ještě schematicky přehled nejčastějších neporozumění a chybných postupů žáků, kteří využili týž obrázek. 4/4... 6 4/4... 6 1/4... 6 1/4 ze 6 je 1,50

3/4... 4,50

4/4... 24

6 + 1,50 = 7,50

3.3.2 Co s chybami? V mnoha pracích i těch žáků, kteří se snažili situaci modelovat, se objevila jedna z hlavních překážek pro řešení úlohy - celek není v textu jasně deklarován a žáci nejsou schopni samostatně rozlišit, co je celek a co část. V tom případě je nutné vrátit se k činnostním a ikonickým reprezentacím (o kterých jsme mluvili v předchozím textu). Například: Řešit úlohy typu: Kdo má pravdu?, Co je víc? Kdo má pravdu?17

17

Úlohy „Kdo má pravdu?“ jsou z učebnice M. Koman a kol. Matematika pro 4. ročník. MÚ AV ČR, Praha strana 25


SU

∑ MA


Kdo má pravdu?

Co je víc?

Odpovědět můžeme jenom tak, že řekneme: To záleží na tom, zda se ptám, zda mě zajímá: Ze kterého koláče je ukrojena větší část? nebo Ze kterého koláče je ukrojeno víc? Důležité je zaměřit se zvláště na posílení představy celku například v následujících činnostech: Návrat k manipulacím, činnostním reprezentacím. Využití různých grafických znázornění, ikonických reprezentací. Provádění sémantické analýzy textu. Čtení textu úlohy s ohledem na předložky a částice. Vysvětlování textu úlohy a podmínek samotnými žáky. Zařazení téhož problému do jiného kontextu. Překlady mezi různými způsoby reprezentace. Žádnou z těchto činností není možné chápat jako ztrátu času. Další zdroj chyb může být neporozumění jazyku. Ukazuje se to i na tom, jak příklad 16 řešila VĚRA:


SU

∑ MA


Poznámka: Příklad 16 patří mezi úlohy, které můžeme označit jako „o - na" úlohy. Tím máme na mysli úlohy: „Změna o a/b, to je o x“ (a pak další možnosti: o-na, na-o, na-na). Problém je, že žáci nerozlišují tyto čtyři možnosti. Někdy je zaměňují (LENKA, RENATA, VĚRA). V běžných textech, se kterými se žáci setkávají, hrají zpravidla hlavní roli slovesa a podstatná jména. Tady mají podstatnou roli také předložky (o, na) a spojky (než v následujícím příkladu 17). Ú23 Co mohlo být příčinou nesprávného čtení, tohoto neporozumění? 3.3.3 Další časté chyby Podívejme se, které další chyby byly při řešení příkladu 16 časté (a jsou časté i při řešení dalších úloh se zlomky). Pro některé žáky slovo „čtvrtina“ znamená povel „děl čtyřmi“. Teprve po provedení této operace se rozhodují, co výsledek, který dostali, znamená/představuje a co s ním budou dělat dál. Žáci často uvažují: • pokud jsou v textu úlohy dvě čísla, pak jako základ budeme brát větší z nich, • pokud je v textu číslo a zlomek, pak číslo představuje celek (VOJTA, LENKA). Další nedostatek v práci žáků je zřejmě vyvolaný požadavky, které jsou na ně kladeny. Někteří žáci používají obrázky (vizualizace) ne proto, aby jim pomohly najít výsledek, ale jako ilustraci nalezeného řešení. Úlohu nejprve vyřeší například úsudkem a teprve potom (ve snaze své řešení odůvodnit, ukázat, „jak to musí být“) své řešení ilustrují, doprovázejí obrázkem (zpravidla proto, že se to po nich žádá). Ú24 Zadejte příklad 16 svým žákům a najděte chyby. Vzpomeňte si, které chyby se při řešení obdobných úloh u vašich žáků vyskytly. Diskutujte o nich. Na závěr ještě ukážeme Evino řešení příkladu 16. Nešlo o ojedinělý případ. U některých žáků jsme se setkali s tím, že se snažili za každou cenu něco vypočítat. Znalost kalkulu (počítání se zlomky) a skutečnost, že v zadání úlohy se zlomky vyskytovaly, vyvolala strategii „nasaď zlomky“. EVA

Ú25 Porovnejte Annino (str. 25) a Evino řešení příkladu 16. V čem je příčina chyb?


SU

∑ MA


3.4

Co znamená „více než“ aneb Jak žáci řešili známou úlohu - 3

Ú26 Jak byste hodnotili Karlovo řešení následujícího příkladu 17? Příklad 17 Jirka a Martin mají dohromady 35 kuliček. Jirka má o

1 3

kuliček více než Martin. Kolik

kuliček má Martin? KAREL

Mnoho dětí chápe podmínky (zadání) příkladu 17 stejně jako KAREL. V jejich řešení se projevuje neporozumění textu. Jak jsme již řekli, neberou v úvahu roli spojky „než“. Jak tyto chyby odstranit? J. Mareš (2001) navrhuje: Navodit nesoulad, nespokojenost, přesvědčení, že dosavadní představa přestává fungovat, není v souladu se skutečností. Prezentovat miskoncepce jako určité možnosti výkladu jevů, diskutovat o nich, ověřovat jejich použitelnost v nových situacích. Změnit zlomek v zadání. Příklad 18 Eva a Jana mají dohromady 36 knížek. Jana jich má o

1 víc než Eva. Kolik knížek má Eva? 4

Ú27 Vysvětlete, proč příklad 18 pomůže ukázat chybu v porozumění textu, v Karlově úvaze při řešení příkladu 16.18

18

Pokud bychom zadání této úlohy chápali stejně jako v předchozím případě a chtěli ji stejně řešit, potřebovali bychom číslo 4 rozdělit jako součet dvou přirozených čísel, která se od sebe liší o jedničku. To ale není možné. Ze dvou přirozených čísel, která se liší o jedničku (jsou to dvě po sobě jdoucí čísla), musí být jedno sudé a jedno liché. Součet sudého a lichého čísla je číslo liché. Takže nemůžeme dostat součet rovný čtyřem. Ke stejnému závěru bychom došli, kdyby v zadání bylo „o

1 1 1 1 1 1 ( , , ...) více než " nebo „o ( , , ...) méně 4 6 8 4 6 8

než". V čem je problém? Opět v tom, že řešitel nevidí, není schopen ze zadání úlohy určit, co je základ, neumí si situaci představit. V předchozí úloze byl základ ukázán spojkou „než". Jestliže Jirka má o třetinu kuliček víc než Martin znamená to, že výchozí je ten počet kuliček, který má Martin. strana 28 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


4.

Tvoření úloh

4.1

Co je cílem tvoření úloh Učitel potřebuje znát a umět používat metody, které mu pomohou v „rozumné“době poznat: KDE, V ČEM jsou příčiny překážek pro porozumění a řešení úloh, PROČ jeho žáci mají se zlomky potíže, JAK odstranit a reedukovat neporozumění.

Na závěr se podíváme na jeden typ činností, které jsou vcelku běžné na 1. stupni ZŠ, na 2. stupni se však s nimi setkáváme zřídka. Jak již bylo uvedeno dříve, o úrovni porozumění vypovídá i to, zda žák umí přejít od jednoho způsobu reprezentace ke druhému. Překlady mezi reprezentacemi můžeme tedy použít jako diagnostický prostředek, který nám pomůže odhalit eventuální nedostatky, chyby a podobně, a současně je to účinný vzdělávací prostředek. 4.2

Tvoření slovních úloh k výpočtu V několika po sobě jdoucích letech jsme zadávali žákům 4.-8.ročníku (9-14 let) úkol:

Sestav takovou slovní úlohu, aby k jejímu vyřešení stačilo vypočítat

1 1 1 1 + (4.ročník); + 4 4 2 4

2 1 + (7. a 8. ročník). 3 4 Úkol určený žákům 7. a 8. ročníku jsme posléze zadali i studentům středních a vysokých škol.

(5. a 6. ročník) ;

2 1 + ): 3 4 Jana a Hanka mají ... třeba 20 bonbonů ... ne to nejde ... 12 ... aby to šlo dělit. Rozdělí si to 2 1 tak, že Jana dostane a Hanka ... ale (znejistí) 3 4 Kdo sní ten zbytek? To je jen přibližně. Ale tam přece něco zbyde. Kdo to bude mít? 2 1 Jo ... tak takhle (kreslí na tabuli kruh a v něm vyznačuje a ). Mají pytlík bonbonů. Jana 3 4 2 1 dostane a Hanka (ukazuje). Kolik dostanou dohromady? 3 4 Ale když nevím, kolik bonbonů mají, tak nevím, kolik snědí. Je to kus toho kruhu. Aha. Tak ... Kolik z pytlíku dostanou dohromady?

V úplném začátku jsme zaznamenali následující rozhovor (k D1:

K: D1: K: D1:

D2: D1:

Poznámka: V této diskusi se objevil častý jev: žáci se ptají „Kolik?” a téměř nikdy „Jaká část?” To ale nemusí nutně indikovat neporozumění. 4.2.1 Co ukážou vytvořené úlohy Žáci řešili úkol „sestavte úlohu“ se zájmem a chutí (snad právě pro jeho neobvyklost) a většinou se snažili sestavit několik slovních úloh. Zvláště překvapivá byla velká aktivita žáků, kteří v běžném vyučování patří k nejméně úspěšným; snad zde vycítili možnost uplatnění se. (Jejich strana 29 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


odpovědi však byly většinou chybné.) Zkušenosti i výzkumy ukazují, že řešení úloh uvedeného typu je užitečné jak pro žáky (vede k hlubšímu porozumění), tak pro učitele (například pomůže zjistit úroveň porozumění). Důležité je, že je možné tuto metodu zjišťování úrovně porozumění prostřednictvím úloh sestavených žáky realizovat ve vyučování, a tedy je použitelná ve škole. V dalším textu ukážeme některé úlohy, které žáci sestavili. Žáci vypracovávali tento úkol písemně. Pokud jsme byli přítomni, požádali jsme některé žáky o bližší vysvětlení jejich postupu, připomínek a podobně. Didakticky zajímavé úlohy (to znamená ty, které obsahovaly často se vyskytující významné chyby), jsme zadali s určitým časovým odstupem k řešení jednak (a) jejich tvůrcům, jednak (b) stejně starým žákům jiné školy. Požádali jsme je, aby uvedli všechny své poznámky a připomínky k úlohám, které měli řešit. Podstatný byl závěrečný rozhovor se žáky (tvůrci úloh i řešiteli). Bylo možné najít určité charakteristické rysy, kterými se odlišovaly úlohy různých věkových kategorií, avšak na druhé straně naše šetření ukazuje, že některé miskoncepce, které jsme pozorovali u žáků 5. ročníku, se objevily i v pracích žáků 8. ročníku, a dokonce i studentů středních a vysokých škol. Potvrdilo se, že miskoncepce vzniklé zřejmě už v období vytváření prekoncepcí mají dlouhou setrvačnost – úlohy byly sice formulované lepším jazykem, ale neporozumění a chyby se neustále opakovaly. Ú28 Prohlédněte si následující čtyři úlohy a najděte společné jevy. •

Byly dvě třídy. V jedné z nich chyběla

1 1 žáků a ve druhé . Kolik ze studentů obou tříd 4 2

dohromady chybělo? •

První soused sklidil

2 1 své zahrady, druhý své zahrady. Vypočítej kolik sklidili oba 3 4

dohromady. Řešení: •

1 2 3 8 11 + = + = 4 3 12 12 12

Třídy 6.A a 6.B volily „učitele roku“. Nejvíce hlasů bylo pro paní Danielu Novákovou. Ze 1 2 žáků, ze 6.B . Jaká část žáků obou tříd volila paní Novákovou? (Kolik ze 6.A ji volila 4 3 studentů obou tříd volilo paní Novákovou?) Řešení:

2 1 11 + = 3 4 12

Odpověď: •

11 z celkového počtu žáků obou tříd volilo paní Novákovou. 12

Mám dva sáčky kuliček. V prvním jsou modré a ve druhém bílé. Z prvního vyndám druhého

2 , ze 3

1 . Kolik z kuliček jsem vybrala celkem? 4 strana 30


SU

∑ MA


4.2.2 Interpretace vytvořených úloh Mladší žáci (5. ročník) většinou formulovali úlohy tak, aby se v zadání vyskytovaly zlomky jako veličiny. 1 1 1.1 Pepík nasbíral kg hub a Jana nasbírala kg hub. Kolik hub nasbírali spolu? 4 2 V úlohách starších žáků (6. ročník), se zlomky vyskytovaly nejčastěji v roli operátorů. Proto také doplňovali údaje (v úloze 1.2 počet kuliček). 1 1.2 Jirka měl 24 kuliček. prohrál a polovinu dal svému mladšímu bratrovi. Kolik mu zbylo 4 z kuliček? Žáci často formulovali úlohy podobné úloze 1.3. Zřejmě byli ovlivněni tím, jaké typy úloh se vyskytují v učebnicích. 1 1 1.3 jablek byla zničena při bouřce a ze zbylých byla zničena při převozu. Kolik jablek bylo 4 2 z úrody zničeno?

Je možné, že úlohu brali jako proces (Hejný, 1999). Přitom se v průběhu řešení úlohy mění celek. Nakreslení obrázků – po sobě jdoucích situací – pomůže pochopit rozdíl. 4.2.3 Upozornění na závažné chyby

1.4

Ukažme si ještě dva významné nedostatky. 1 1 V hlavním městě je nekuřáků a kuřáků. Kolik lidí kouří a nekouří. Spočítat dohromady. 4 2

Tento typ úloh (1.4) se vyskytoval poměrně často a to ve všech věkových úrovních v různých kontextech (muži-ženy, …). Ukazuje, že jeho autor nechápe, že se jedná o dělení souboru podle jednoho znaku (tedy na podmnožinu a její doplněk). Pouze v jediném případě žák ze skupiny řešitelů navrhl upravit zadání takto: Když je polovina 1 1 kuřáků, tak zbytek nekouří. Výsledek: nekuřáků, kuřáků. 2 2


SU

∑ MA


2 1 chlapců a dívek. Kolik dětí je ve třídě? 3 4 2 z celkového počtu chlapců třídy Posléze ji vysvětlil tak, že měl na mysli, že ten den jsou ve třídě 3 1 a z celkového počtu děvčat. Zpočátku si neuvědomil, že ani tak jeho úloha není v pořádku; 4 v diskusi si však uvědomil svou chybu a požadoval doplnit údaje o počtu chlapců a děvčat třídy. Poznámka: Jeden žák sestavil úlohu Ve třídě jsou

Uvedená úloha (pracuje se s různými celky) naznačila závažnou a často se vyskytující chybu. Žáci si neuvědomují, že pracují s různými celky. Ukazuje se, že ani autoři těchto úloh, ani žáci, kteří je řešili, si neuvědomují, v jaké roli zde zlomky vystupují a počítají s nimi jako s přirozenými čísly (veličinový, ne operátorový pohled; projevuje se tu rušivý vliv dosud získaných poznatků s počítáním s přirozenými čísly, na který mnozí autoři upozorňují). Tato chyba byla obsažena ve všech čtyřech úvodních kapitolách tohoto článku. Podívejme se, jak jednu z nich řešil jiný žák (ne autor): 1 1 1.5 Byly dvě třídy a z jedné třídy chyběla a z druhé třídy chyběla dětí. Kolik dětí chybělo 4 2 v obou třídách dohromady? 1 2 1 2 3 Řešení: = + = 2 4 4 4 4 3 Odpověď: Z obou tří dohromady chyběly žáků. 4 Komentář řešitele: Myslím si, že by úloha měla obsahovat, kolik žáků každá třída má. Byly dvě třídy. První třída měla 24 žáků. Druhá třída měla 26 žáků. 1 1 žáků, z druhé třídy chyběla žáků. Z první třídy chyběla 4 2 1 1 Výpočet: z 24 = 6 z 26 = 13 4 2 3 13 + 6 = 19 = 4 3 Odpověď: Z obou tříd dohromady chybělo 19 žáků tedy . 4 Žák si neuvědomil, že zlomek chápal střídavě jako operátor a jako veličinu. Opět se tu projevil rušivý vliv předchozích znalostí počítání s přirozenými čísly. Následoval rozhovor s experimentátorem: E: Ty sis doplnil počty žáků v jednotlivých třídách. Ž: Aby se dalo spočítat, kolik dětí chybí. E: Aha. Ale ten výsledek se mi nějak nezdá. V obou třídách je dohromady ... Ž: (bezprostředně doplňuje, skáče do řeči) ... padesát. E: A chybí ... Ž: (opět bezprostředně doplňuje) ... devatenáct. ... No jo. Míň než půlka. 3 E: A proč tady píšeš, že chybí žáků. 4 Ž: No jo vlastně. To je divný ... To nejde ... Tam musí být něco špatně ... (přepočítává) ... Ale zdá se mi to všechno dobře. strana 32 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Odtud nebyl v tomto okamžiku schopen pokračovat sám, ale chtěl se nad problémem sám zamyslet. Požádal experimentátora, aby mu neradil. Potěšující je, že skutečně za několik dní svůj omyl vysvětlil. Jak tyto chyby odstranit? Opět: Navodit nespokojenost, že dosavadní představa přestává fungovat. Znění úlohy ponechat, pouze změnit zlomky. Například: 3 1 1.5.a Byly dvě třídy a z jedné třídy chyběly a z druhé třídy chyběla dětí. Jaká část dětí 4 2 chyběla v obou třídách dohromady? Ú29 Vysvětlete, proč 1.5a pomůže ukázat chybu v 1.5 4.3

Tvoření slovních úloh k obrázku

Ú30 Posuďte 6 úloh sestavených k danému obrázku. Petr si zapsal zadání slovní úlohy se zlomky pomocí následujícího obrázku. Napište slovní úlohu, kterou si mohl takto zaznamenat. Jirka Tomáš 2.1

}

55

Jirka a Tomáš ušetřili dohromady 55 Kč. Jirka ušetřil

2 3 a Tomáš ušetřil . Kolik korun 5 5

ušetřil každý z nich? 1 víc hrušek než Jirka. Kolik měli dohromady? 2

2.2

Jirka měl 22 hrušek a Tomáš měl o

2.3

Maminka koupila 55 malých koláčků. Jirka snědl

2 1 , ale Tomáš snědl o víc než Jirka. 5 5

Kolik koláčků snědl každý z nich? 2.4

Jirka a Tomáš sbírají známky. Mají jich dohromady 55. Tomáš má o

1 víc známek než Jirka. 5

Kolik známek má každý z nich? 2.5

2.6

Jsou dvě možnosti, jak uchopit tento obrázek: Jirka a Tomáš mají dohromady 55 korun. 1 1 Jirka má o méně než Tomáš. Nebo: Tomáš má o víc než Jirka. 3 3 Kolik korun má každý z nich? 2 3 Jirka má bonbonů a jeho kamarád Tomáš má z bonbonů. Dohromady mají 55 bonbonů. 3 2


SU

∑ MA


4.4

Tři náměty k zamyšlení na závěr

Jak jsme již uvedli, miskoncepce jsou pravděpodobně důsledkem toho, že v období budování prekoncepcí neklademe v potřebné míře důraz na otázku „Co je celek?“. Námět 1 Při vytváření představy zlomku zpravidla tak Zlomek jako část jednoho celku

2 se postupuje (viz obrázky) 3 ale i takto Zlomek jako část více celků

Učitelé připouštějí obě možnosti. Preferují však první a druhou někteří doporučují užívat pro vizualizaci sčítání. Je možné, že takto „připravují” budoucí problémy? 2 Pro některé žáky jsou i na tomto obrázku (lépe: dvě „třetiny”). 3

Námět 2 Zamyslete se nad tím, jak mohl vzniknout zápis

2 2 4 + = . Co říkáte obrázku? 4 4 8

Změna celku

Námět 3 1 2 x Hanka předložila 3 úlohy. Posuďte je. 4 3 2 1 2 koláče. Dušan snědl ze koláče. Kolik koláče zbylo? Na stole ležely 3 4 3 2 1 Na stole ležely kg mandarinek. Veronika snědla kg. Kolik mandarinek zbylo (kg)? 3 4 2 1 Sklenice byla ze plná. Gabriel vypil . Z kolika byla sklenice plná? 3 4 K výpočtu

• • •


SU

∑ MA


Literatura Čáp, J., Mareš, J.: Psychologie pro učitele. Praha: Portál. 2001. Divíšek, J.: Didaktika matematiky. Praha: SPN. 1989. Hruša, K.,Vyšín, J.: Vybrané kapitoly z metodiky vyučování matematice na ZDŠ. Praha: SPN. 1964. Hejný, M. a kol.: Teória vyučovania matematiky 2. Bratislava: SNP. 1990. Hejný, M.: Zmocňování se slovní úlohy. Pedagogika 4/1995. Hejný, M.: Představa celku a jeho části. In Jak učit matematice žáky ve věku 10-15 let. FrýdekMístek: JČMF. 1999. Kolman, A.: Dějiny matematiky ve starověku. Praha: Academia. 1968. Koman, M., Kuřina, F., Tichá, M.: Učebnice matematiky pro 4.-8. ročník ZŠ. Kubínová, M.: Projekty ve vyučování matematice, cesta k tvořivosti a samostatnosti. Praha: UK PedF. 2002. Lamon, S.: Teaching fractions and ratios for understanding. LEA. Mahwah. NJ: 2006. Tichá, M., Koman, M.: Řešíme úlohy ze života. MÚ AV ČR. 1994.


SU

∑ MA


Příloha 1 JAKUB 21 Tady ty kousky, ty dvanáctiny, co jsme měli, dávají jako velkej celek. 31 Pravdu má podle mě to béčko. Protože to je 12 kousků, ze všech třech pizz. Takže to má pravdu. 49 Já si myslím, že to mají obě dvě blbě. 51 Já nevím ... Prostě – každá pizza je rozdělená na čtyři stejné části ... takže těch je dvanáct ... děti jsou čtyři ... každý dostane 3 kousky ... takže je to 12 celkem ... každej dostal 3/12. To béčko je dobře. Špatně jsem to přečet (nespecifikuje, co špatně přečetl, ale v předchozí části mluvil o tom, co zbude).

HONZÍK 25 To je trošku nesmysl. 27 ... protože ty dvanáctiny ... 37 Já bych taky souhlasil s Martinem. Protože vlastně tady je napsáno, že tři z dvanácti. Tam by nemohlo být tři dvanáctiny, pak by šla jen jedna čtvrtina. My musíme dostat víc než jednu čtvrtinu, my musíme dostat tři čtvrtiny. 39 Takže každej musí dostat tři čtvrtiny, a tam je pouze jenom jedna čtvrtina. 53 Já si teďka myslím, že béčko má pravdu. Protože béčko sice má tři dvanáctiny. Ale kdybychom vzali, že jedna čtvrtina je tam jeden kousek. Jsou tam tři dvanáctiny. Jedna čtvrtka, druhá čtvrtka a třetí čtvrtka a to nám vyjde jedna tříčtvrtina ... Já si myslím, že mají obě dvě pravdu. Že to áčko, že to bere z jedné pizzy a béčko ze všech tří pizz. 56 Jenom u toho áčka jsou 3 celky a u toho béčka je právě jeden celek jakoby se všechny tři pizzy spojily v jednu obrovitánskou (naznačuje rukama).

LUCKA Paní učitelko, já si myslím, že ne. To béčko to myslelo, jako že je to celý jedna pizza. Tak by nám to nevyšlo, protože by sice každý dostal taky stejně, ale menší kousky, než u toho áčka.


SU

∑ MA


Příloha 2 Další úlohy S. Lamonové o celku19 Který z obrázků může při řešení úloh se zlomky znázorňovat celek?

Pojmenujte vybarvenou část obrázku.

Pojmenuj vybarvenou část obrázku.

19

S. Lamon: Teaching fractions and ratios for understanding. LEA, Mahwah, NJ 2006 strana 37


SU

∑ MA


Rozvoj pojmu zlomek ve vyučování matematice

Recommend Documents