Resume Mekanika Struktur I

Resume Mekanika Struktur I

Disusun Oleh : ANDHIKA PRAMADI (NIM : 14/369981/SV/07488) Kelas D1 Untuk memenuhi tugas dari Bapak Ir. Tarmono, MT (NIP : 195401041987031001) Universitas Gadjah Mada Yogyakarta

Daftar Isi  Momen Inersia Penampang…………………………………….1  Contoh soal...............................................................................5  Mencari momen inersia benda dengan bidang tak simetris menggunakan aplikasi titik berat…………………………..….………...5  Mencari momen inersia pada penampang bentuk I (Simetris).....….7  Mencari momen inersia pada penampang bentuk T………....………8

 Macam- macam Tegangan………………..……….……………9  Tekanan Tarik dan Tegangan Tekan…….……….……………9  Contoh Soal……………………………………………………….……..10  PR…………………………..…………………….……………………….11  Contoh Soal………………..………………….…………...………….....12

 Tekanan Puntir…………..……..………………………………….14  Contoh Soal…………………………………………………………...….15

Resume Materi Mata Kuliah Mekanika Struktur I

Oleh NIM

: Andhika Pramadi ( 25/D1 ) : 14/369981/SV/07488/D

Momen Inersia Penampang Bila suatu alat mengalami bending atau puntiran maka penampang alat tersebut akan mengalami tegangan baik tegangan bending maupun tegangan geser puntir. Untuk menghitung tegangan-tegangan tersebut maka harus mengetahui besarnya kelembaman (inersia) dari penampang terhadap pengaruh momen. Kelebaman tersebut disebut momen inersia penampang.  Momen inersia penampang dapat mengalami putaran terhadap berbagai sumbu, yakni sumbu X-X dan sumbu Y-Y.  Bila garis gaya tidak pada sumbu X-X atau sumbu Y-Y (tidak menuju titik berat penampang) maka gaya tersebut akan mengakibatkan puntiran seperti yang dijelaskan pada penjelasan sebelumnya tentang macam-macam tegangan. Penampang akan berputar pada sumbu aksial batang, sehingga momen inersia penampang yang digunakan adalah momen inersia polar (sesuai arah puntiran). Berikut ini berbagai macam bentuk penampang yang umum beserta persamaan momen inersia penampangnya : Rumus :

Y

A = bh

h

C

X

IXX = IX =

1 12

∙ bh3

IYY = IY =

1 12

∙ hb3

J = I P = IX + I Y 1

= 12 ∙ bh(b2 + h2 )

b

Y Rumus : A C

X

𝜋

= D2 4

IXX = IX = IYY = IY =

D

𝜋 64 𝜋 64

D4 D4

J = I P = IX + I Y =

𝜋 32

D4

1


Y

h

h1

Oleh NIM


2

Rumus :

C

A

= bh – b1h1

IXX

= IX = 12 ∙ bh3 − 12 ∙ b1 h1 3

1

1

1

X

= 12 (bh3 − b1 h1 3 ) IYY

1

1

= IY = 12 ∙ hb3 − 12 ∙ h1 b1 3 1

= 12 (hb3 − h1 b1 3 )

b1 J

b

= IP = IX + IY 1

1

= 12 (bh3 − b1 h1 3 ) + 12 (hb3 − h1 b1 3 ) Y

Rumus : A

h

C

X

= bh –

𝜋 4

D2

1

𝜋

4

1

𝜋

4

IXX = IX = 12 ∙ bh3 − 64 D IYY = IY = 12 ∙ hb3 − 64 D J

= IP = IX + IY 𝜋

1

4

b Rumus :

Y

C

X

D

𝜋

D2 –

𝜋

A

=

IX

= IY =

J

= IP = IX + IY =

d

1

𝜋

4

= (12 ∙ bh3 − 64 D ) + (12 ∙ hb3 − 64 D

D

4

𝜋 32

𝜋 64

4

d2

(D4 − d4 )

(D4 − d4 )

)


Oleh NIM


Y Rumus :

C

X

𝜋

D2 – s 2

A

=

IX

= IY = (64 D

J

= IP = IX + IY

4

4

𝜋

4

𝜋

= 2 (64 D s 𝜋

4

= (32 D

d

4

1 − 12 s )

4

1 − 12 s

)

4

− 16 s )

 Apabila bentuk penampang tidak simetris/ merupakan batang yang tidak sederhana, maka sebelum mencari momen inersia penampang harus dicari terlebih dahulu titik berat penampang tersebut. Misal penampang berbentuk leter L yang ukurannya tidak simetris.  Untuk mencari titik berat penampang tersebut, penampang harus dipecah terlebih dahulu menjadi beberapa bagian sehingga setiap bagian merupakan bentuk yang mudah dicari memon inersia penampangnya. Y0

YC

X Yc1 X1

C1 d1

Xc1 C

d2

Y1

XC

Yc2 Y C2

0

f1 X1

f2

Y2

Xc2 X0

3


Keterangan : A1 = b1h1 A2 = b2h2 X1 = YC1 —— Y0 X2 = YC1 —— Y0 Y1 = XC1 —— X0 Y2 = XC1 —— X0 X = YC

——Y0

Y = XC

——X0

d1 = XC1 —— XC d2 = XC—— XC2 f1 = YC —— YC1 f2 = YC2 —— YC Rumus : X = Y =

X1 ∙A1 +X2 ∙A2 A1 +A2 Y1 ∙A1 +Y2 ∙A2 A1 +A2 1

IXC1 = 12 ∙ b1 ∙ h1 3 IXC2 =

1 12

∙ b2 ∙ h2 3

1

IYC1 = 12 ∙ h1 ∙ b1 3 1

IYC2 = 12 ∙ h2 ∙ b2 3 IXC

= (IXC1

+ A1∙ d1 2 ) + (IXC2 + A2∙ d2 2 )

IYC

= (IYC1

+ A1∙ f1 2 ) + (IYC2 + A2∙ f2 2 )

Oleh NIM


4


Oleh NIM


Contoh Soal! Mencari momen inersia benda dengan bidang tak simetris menggunakan aplikasi titik berat. Yc1 YC Yc2 Y0 X2 f1

X1

f2

X

35 C2 C

20

C1

Y2 Y1

0

d2

Xc1

Y 30

80 A1 = 5020 = 1000 mm2 A2 = 3530 = 1050 mm2 X1 = 25 mm X2 = 65 mm Y1 = 10 mm Y2 = 17.5 mm X=

=

X1 ∙ A1 + X2 ∙ A2 A1 + A2 25 ∙ 1000 + 65 ∙ 1050 1000 + 1050

= 45.49 mm Y=

=

Y1 ∙ A1 + Y2 ∙ A2 A1 + A2 10 ∙ 1000 + 17.5 ∙ 1050 1000 + 1050

= 13.84 mm

d1

Xc2 XC

X0

5


Oleh NIM


d1 = 13.84 – 10 = 3.84 mm d2 = 17.5 – 13.84 = 3.66 mm f1 = 45.49 – 25 = 20.49 mm f2 = 65 – 45.49 = 19.51 mm 1

IXC1 = 12 ∙ 50 ∙ 203 = 33.3∙103 mm4 1

IXC2 = 12 ∙ 30 ∙ 353 = 107.1875∙103 mm4 1

IYC1 = 12 ∙ 20 ∙ 503 = 208.3∙103 mm4 1

IYC2 = 12 ∙ 35 ∙ 303 = 78.750∙103 mm4 IXC = (IXC1 + A1∙ d1 2 ) + (IXC2 + A2∙ d2 2 ) = (33.3 ∙ 103 + 1000 ∙ 3.842 ) + (107.1875 ∙ 103 + 1050 ∙ 3.662 ) = 169.2∙103 mm4 IYC = (IYC1 + A1∙ f1 2 ) + (IYC2 + A2∙ f2 2 ) = (208.3 ∙ 103 + 1000 ∙ 20.492 ) + (78.750 ∙ 103 + 1050 ∙ 19.512 ) = 1106.6∙103 mm4

6


Oleh NIM


7

Mencari momen inersia pada penampang bentuk I (Simetris). Y0 Yc1, Yc2, Yc3, Yc X1

10

C1

Xc1

X2 C2 C

150

Y1 Xc2

XC

Y2 C3 0

Y3

X0

X3 10 100

Penyelesaian :

IX

1

1

= {(12 b ∙ h2 ) − 2 (12 b′ ∙ h′2 )} 1

1

= {(12 100 ∙ 1502 ) + 2 (12 45 ∙ 1302 )} = ((28125000) + 2(8238750)) = 11.65∙106 mm4 IY

1

1

= {(12 h ∙ b2 ) − 2 (12 h′ ∙ b′2 )} 1

1

= {(12 150 ∙ 1002 ) + 2 (12 130 ∙ 452 )} = {(12500000) + 2(1974375)} = 10.53∙106 mm4

Xc3


Mencari momen inersia pada penampang bentuk T. Y0

Oleh NIM


1

1

IY0 = 2 ((3 ∙ 50 ∙ 1003 ) + (3 ∙ 125 ∙ 253 )) = 2(16666666.67 + 651041.6667)

200

= 34.63 ∙ 106 mm4

75

75

X0

25 50

C3

C1

Y

IX0 = IXC + ATotal( Y )2 IXC = I0 – ATotal( Y )2

C XC 175

C2

= 96 ∙ 106 – 16.25  103(58.7)2

125

= 96 ∙ 106 − 56 ∙ 106

Y2

= 40 ∙ 106 mm4 50

IY0 = IYC + A( X )2

Penyelesaian : Y1 = 25 mm Y2 = 87.5 mm

IYC = IY0 – A(0)2

Y3 = 25 mm

= IY0

A1 = 75  50

= 34.63 ∙ 106 mm4 ≈ 35 ∙106 mm4

= 3750 mm2 A2 = 50  175

*Catatan : Pada tipe soal seperti ini bentuk penampang T memiliki hasil yang sama dengan bentuk penampang ⊥(pada sumbu putar yang sama).

= 8750 mm2 A3 = 75  50 = 3750 mm2 ATotal = 16.25  103 mm2 X =0 Y = =

Y1 ∙ A1 + Y2 ∙ A2 + Y3 ∙ A3 A1 + A2 + A3 25 ∙ 3750 + 87.5 ∙ 8750 + 25 ∙ 3750 3750 + 8750 + 3750

= 58.7 mm 1

1

IX0 = 2 (3 ∙ 75 ∙ 503 ) + (3 ∙ 50 ∙ 753 ) = 6250000 + 89322916.67 = 95.6 ∙ 106 mm4 ≈ 96∙106 mm4

8


Oleh NIM


Macam- Macam Tegangan



Tegangan Tarik dan Tegangan Tekan

P

M

M

h/2

y–

h

o

garis netral h/2

y+

b

ρ=R Rumus:

𝜎+ =

σ- Tekanan garis sumbu

σ+ Tarikan

𝜎− =

M∙y I M∙(−y) I

9


Contoh Soal! 1. Hitunglah tegangan tekan dan tegangan tarik pada penampang berikut! (Diketahui momen pada batang yang bekerja sebesar 1 kNm).

Oleh NIM


2. Hitunglah tegangan tarik 10 mm dari bawah benda berikut! (Diketahui momen pada batang yang bekerja sebesar 1 kNm).

50

10 50

25

Penyelesaian : 25

M

= 1 kNm = 106 Nmm

y

= 15 mm

IX

=

Penyelesaian : 6

M

= 1 kNm = 10 Nmm

y

= 25 mm

IX

=

1

∙ 25 ∙ 503 12

= 260416,67 mm4

≈ 26 ∙ 104 mm4 𝜎+ = =

M∙y I 106 ∙ 25 26 ∙ 104

= 96.1 MPa 𝜎− =

M ∙ (−y) I

106 ∙ 25 = 26 ∙ 104 = -96.1 N/mm2 = -96.1 MPa

1 12

∙ 25 ∙ 503

= 260416,67 mm4 ≈ 26 ∙ 104 mm4

𝜎+ =

M∙y I

106 ∙ 15 = 26 ∙ 104 = 57.6 N/mm2 = 57.6 MPa

10


3. Hitunglah tegangan tarik pada benda batang dan penampang berikut! P1 = 100 kN

A

D

200

RA 100 kN

A

B 200


PR! 1. Hitunglah tegangan tekan dan tegangan tarik maksimum! P = 1 kN

P2 = 100 kN

C

Oleh NIM

RB 100 kN

B 5m

RA 1 kN

10

d = 200 mm

150

Penyelesaian : 10

M

= RA ∙ 200

100

= 100 ∙ 200 Penyelesaian :

= 20000 kNmm M M

= 20 ∙

y

= 100 mm

I

=

𝜋 64

106

Nmm

= RA ∙ 5 =1∙5 = 5 kNm

4

∙d

M

= 5 ∙ 106 Nmm

y

= 75 mm

𝜋

= 64 ∙ 2004 = 78.5 ∙ 106 mm4

𝜎+ =

M∙y I

I 6

=

*Momen Inersia didapat dari soal sebelumnya

20 ∙ 10 ∙ 100 26 ∙ 104

= 11.65 ∙ 106 mm4

𝜎+ =

M∙y I

= 25.47 N/mm

5 ∙ 106 ∙ 75 = 11.65 ∙ 106

≈ 25.5 MPa

= 32.1889 N/mm2

2

≈ 32 MPa 𝜎− = -32 MPa

11


Oleh NIM

2. Hitunglah tegangan tarik maksimum dan tegangan tekan pada jarak 25 mm dari permukaan atas!

=


1125∙104 ∙75 21 ∙ 106

= 40.18 N/mm2

q =10 kN/m

≈ 40 MPa A

D

C = 30 kN L=3m

B

FAC=1/2QQ

RA

𝜎− =

RB

M ∙ (−y) I

1125 ∙ 104 ∙ 50 = 21 ∙ 106 = 26.79 N/mm2 ≈ 27 MPa

150

Contoh Soal! 75

4. Hitunglah tegangan tarik benda berikut! P = 1 kN

Penyelesaian :

Q =q∙L = 10 ∙ 3 = 30 kN Menghitung Momen : MA = MB = 0 kNm 1 MC = 8 ∙ q ∙ L2

A

B 5m

RA 1 kN

1

= 8 ∙ 10 ∙ 32 = 11.25 kNm

75

Maka, M = 1125 ∙ 104 Nmm y

= 75 mm (Maksimum) 50

-y

= 50 mm (Untuk Tegangan pada jarak 25 mm dari permukaan atas bidang) IX

1

Penyelesaian :

= 12 ∙ 75 ∙ 1503

M

= 5 kNm = 5 ∙ 106 Nmm

= 21093750 mm4

y

= 37.5 mm

IX

=

≈ 21 ∙ 106 mm4

𝜎+ =

M∙y I

1 12

∙ 50 ∙ 753

= 1.76 ∙ 106 mm4

12


𝜎+ =

M∙y I

5 ∙ 106 ∙ 37.5 = 1.76 ∙ 106 = 106.5 N/mm2 MPa = 106.5 MPa

Oleh NIM


13

Resume Materi Mata Kuliah Mekanika Struktur I 

Oleh NIM


14

Tegangan Puntir -Rumus Tegangan PuntirKeterangan :

T∙r 𝜏= J

T

= Torsi/ Twisting Moment/ Torque/ Momen Puntir….(Nmm)

J

= IP = Ix + IY ……………………………………………...(mm4)

r

= Jarak dari Sumbu……………………………………..(mm)

r

= d/2, Untuk Lingkaran…………………………………..(mm)

τ = Tegangan Puntir…………………………………..(N/mm2)

Solid Shaft Ft T = Ft 

J=

π 32

d 2

 d4

d Hollow Shaft

J=

π 32

∙ (d04 − d𝑖 4 )

di do

r h

1

J = IP =

12

∙ b ∙ h(b2 + h2 )

2

2

b h r = √( ) + ( ) 2

b

2


Contoh Soal! 1. Hitunglah tegangan puntir dengan torsi sebesar 9.55 kNm dengan penampang berikut!

Oleh NIM


2. Hitunglah tegangan puntir dengan torsi 9.55 kNm dengan penampang yang memiliki dua buah diameter dengan perbandingan diameter dalam dan luar yakni 1 : 2! (d0 = 48.6 mm)

T

di do

48.7 mm

Penyelesaian : T = 9.55 kNm = 9.55  106 Nmm d = 48.7 mm T∙r 𝜏= J d T∙2 𝜏= π 4 32 ∙ d 𝜏=

𝜏=

16 ∙ T π ∙ d3 16 ∙ T π ∙ d3

Penyelesaian : T = 9.55 kNm = 9.55  106 Nmm d0 = 48.6 mm di = 24.3 mm T∙r 𝜏= J d −d T ∙ ( 0 2 i) 𝜏= π 4 4 32 ∙ (d0 − di ) 𝜏=

𝜏=

16 ∙ 9.55 ∙ 106 𝜏= π ∙ 48.73 𝜏 = 421.1 N/mm2 𝜏 = 421.1 MPa

𝜏=

16 ∙ T ∙ (d0 − di ) π ∙ (d0 2 + di 2 ) ∙ (d0 2 − di 2 ) 16 ∙ T ∙ (d0 − di ) 2

π ∙ (d0 + di 2 ) ∙ (d0 + di ) ∙ (d0 − di ) 16 ∙ T 2

π ∙ (d0 + di 2 ) ∙ (d0 + di )

16 ∙ 9.55 ∙ 106 𝜏= π ∙ (48.62 + 24.32 ) ∙ (48.6 + 24.3) 𝜏 = 225.98 N/mm2 𝜏 = 225.98 MPa

15

Resume Mekanika Struktur I

Recommend Documents