Pokroky matematiky, fyziky a astronomie
Jitka Staňková Početní pravítka Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 5 (1960), No. 6, 669--675
Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/138255
Terms of use: © Jednota českých matematiků a fyziků, 1960 Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use. This paper has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library http://project.dml.cz
POČETNÍ PRAVÍTKA J I T K A STAŇKOVÁ, FIS
ČVUT,
Praha
Počítání na logaritmickém pravitku je běžně známo. Stupnice obvyklého logaritmického pravitka (např. LOOAREX 25 cm) mají zobrazovací rovnice1) 25 25 S-. = 2 5 log x ; f2 = — log x ; f3 = — l o g x ; f4 = 25 x ; f 1/ = 2 6 1 o g a ? ;
f/ = ^
log a;,
í , ' = 2 5 1og-~,
f/
=
= 2 5 l o g 10 sin ÍC; £ 5 ' = 2 5 log 10 t g a?; f„' = 25 l o g 100 sin x. Nečárkovaně elementy jsou umistěny na pevné části pravitka, čár kované na šoupátku. Odůvodněme nyní např. pravidlo pro náso bení dvou čísel na logaritmickém pravitku. Rovnici a .b = c logaritmujeme a násóbime 25. Pak můžeme psát neboli
2 5 l o g b — 2 5 log 1 = 25 log c — 2 5 log a {'(&) — f ' ( l ) = f(c) — f ( a ) .
Všechna pravidla výpočtů na logaritmickém pravitku lze lehce odvodit ze vztahů mezi souřadnicemi a naopak rozdíly souřadnic přislušných bodů při určitém nastaveni pravitka určují vztah mezi kótami, tj. operaci s danými Čísly. Tohoto poznatku, totiž že poči táni na pravítku spočívá v sČitáni a odčítání úseček na příslušných stupnicích, lze využit ke konstrukci speciálních početnich pravítek y jak názorně ukazuje odstavec 1 a 2. V odstavci 3 a 4 je uvedena konstrukce složitějšich početnich pravitek a na příkladech jsou ukázány podrobné návrhy početních pravítek. K dalšímu výkladu se také uživá souvislosti, že početní pravitka lze chápat jako zvláštní případ nomogramů s průsvitkou. P o č e t n í p r a v í t k a jsou z a l o ž e n a n a s o u s t a v ě r ů z n ý c h s t u p n i c n e b o j i n ý c h n o m o g r a f i c k ý c h ú t v a r ů (binární pole, s o u s t a v y isoplét, průsečíkové n o m o g r a m y ) , které j s o u u m í s t ě n y j e d n a k n a p e v n é části p r a v í t k a , j e d n a k n a j e h o p o s u v n ý c h částech. Slouží j a k o p o č e t n í p o m ů c k y k r y c h l é m u n u m e r i c k é m u řešení různých p o č e t n í c h v z t a h ů . P o d s t a t a p o č í t á n í n a p r a v í t k u s p o č í v á v p r i n c i p u sdružování nomografických e l e m e n t ů (stupnic) v p e v n é n e b o proměnné poloze a p r a v i d l o v ý p o č t u lze v ž d y o d v o d i t p o m o c í rozdílů s o u ř a d n i c t ě c h e l e m e n t ů , které p r o příslušný v ý p o č e t p o u ž í v á m e . T y p i c k ý m p ř í k l a d e m p r a v i t ka j e běžné logaritmické p r a v í t k o s o b v y k l o u s o u s t a v o u s t u p n i c . V p r a x i se v š a k v y s k y t u j e p o ž a d a v e k řešit v z t a h y komplikovanější, které se n a logarit m i c k é m p r a v í t k u řeší obtížně, v y ž a d u j í několikerá n a s t a v e n í š o u p á t k a , n e b o řešit v ů b e o nejdou. V t a k o v ý c h p ř í p a d e c h p o u ž í v á m e speciální p o č e t n í p r a v í t k a , jejichž k o n s t r u k c e j e dána těmito obecnými postupy: 1. Mějme rovnici t v a r u k d e / f c (k = 1, ..., n) j e l i b o v o l n á funkce k-té p r o m ě n n é . U t v o ř m e s t u p n i c e o z o b r a z o v a cích rovnicích £ = ocfk (k = 1, ...,n). P o č á t k y t ě c h t o s t u p n i c nechť jsou Ol9 02, . •., On2) a b o d y Ml9 M2, ..., Mn nechť j s o u k ó t o v á n y hodnotami řešícími v z t a h (1). P o t o m p o č e t n í p r a v í t k o m á n-2 š o u p á t e k (nebo š o u p á t k o s n-2 s t u p n i c e m i ) a p o s t u p v ý p o č t u j e znázorněn -) Zobrazovací rovnice stupnice funkce f(x) j e f = <xf(x), kde f j e souřadnice, a modulová míra r x kóta. 2 ) Kdyby daný rozsah některé stupnice' byl značně vzdálen od počátku, upravíme rovnici (1) přičtením vhodných konstant tak, aby potřebné části stupnice ležely co nejblíže počátku a délka pravítka tím zůstala přiměřená.
669
schématem na obr. č. 1, neboť zřejmě vztah Si + f 2 + • • • + h + • •• = ín splňuje rovnici (1). 2. Mějme rovnici tvaru A — / 2 + / 3 — A + ••• Jrhn-i—Í2n = K, (2) kde / ť (i = 1, ..., 2n) je libovolná funkce i-té proměnné. Utvořme stupnici o zobrazo vacích rovnicích ££ = (xfi (i = 1, ..., 2n). Nechť počátky stupnic Ol9 02, ..., 02n jsou vole ny tak, aby v základní poloze 00x = a, 002 = b, ..., 002n = m, kde a — b + ... — m = = ocK. Nechť body M1? M2, ..., M2n jsou kótovány hodnotami řešícími vztah (2). Potom početní pravítko má n — 1 šoupá. P' Г' tek a postup vypočtu je znázorněn (pro n = 3) schématem na obr. č. 2, neboť zřej /* mě (při 2n = 6 a posunu prvního šoupátka o k délkových jednotek vpravo, druhé Pз ho o j jednotek vlevo) je
pг
Þ
ßn-2
f г Çn;Њ-
1
Пn
On OЪr. 1.
«/i(-^i) — *h(M2) + oc/3(M3) — <x/4(M4) + + ocf5(M5) — <xf6(M6) = a — (b + .;) + + ( c + j ) — (d — k) + (e — k)~ f=ocK. Případ, kdy počet proměnných je 2n — 1 danou konstrukci podstatně nemění (na jednom šoupátku bude pouze jedna stup nice).
3. Při návrhu početních pra vítek se často vyskytnou vzta hy, které nelze vhodným způ — b . Q? м Ъ \ sobem převést na rovnici tvaru — k — -.-j í (1) nebo (2). V tomto případě používáme speciálních konstruk t% Л ІQ 5 '" "" * o cí nejrozmanitějších druhů, spo čívajících na zavádění nové po 1 mocné proměnné, obdobně jako 1 u sdružených průsečíkových ne 1 bo spojnicových nomogramů. OЬr. 2. Pravítko potom konstruujeme jako pravítko pro dva (nebo více) vztahy, které jsou vzájemně sdruženy pomocnou proměnnou. Příkladně rovnici
Г'ì
-—»—.<*
-«-k
Гk
Л(«) = rozdělíme na dvě části, A
лw-лw-лм лrø + ш
= /.(*> +/«(•),/i(«) =
^
t ,
(3) > - y •/«<*) , které jsou spolu
na pravítku spojeny novou proměnnou A, pro první vztah je na pravítku stupnice o zobrazovací rovnice £ = aA, pro druhý vztah stupnice o zobrazovací rovnici £ = cx logA. Příslušnou hodnotu A (kótu) musíme při výpočtu vztahu (3) na pravítku nastavovat dvakrát. Nebo danou rovnici upravíme a položíme B = JJ-\ , fi(u) = - p 'f3-.— O b a J4\5) H + 1 vztahy jsou spojeny pomocí proměnné B a pravítko má opět dvě stupnice o zobrazo vacích rovnicích f = a log B a £ = ot log (B + 1). Zdálo by se, že těmito třemi způsoby jsou vyčerpány obecné postupy při konstrukci početních pravítek. V praxi se však ukazuje, že v každém jednotlivém případě narazíme na řadu nesnází spočívajících jednak v hledání vhodných zobrazovacích rovnic stupnic a jejich umisťování na pravítko, jednak v požadavku, aby čtení na pravítku bylo co možná nejjednodušší a s nejmenším možným počtem posunů šoupátka. Pro tento problém nelze nalézt obecně platného pravidla a je třeba jej řešit případ od případu. Tak na příklad máme zkonstruovat:
670
I. p r a v í t k o pro v z t a h
-1 «ч|«*>
,_ I cos w \ 2 1 _ , P==yh\—rr • --,kden = \ n -j- 1 / cos ů
H*4
XD
— ^
1/ sin (w -\- 6) . sin©" y -i—L—L r- , r cos d (4a) vyskytující se p ř i s t a t i c k é m řešení v o d o r o v n é opěrné zdi; p j e p o m ě r n ý tlak, uvažujeme-li tření mezi z e m i n o u a zdí. J e h o v o d o r o v n á a svislá složka j e v y j á d ř e n a rovnicemi Pv ~ P -
o
-8 >
1 й
ó
.
o
-O
f
я o
Jř
— <x log h , 1,2,
I I . p r a v í t k o pro v z t a h y Mm
= aa . M ; N
o o
>
^І
log y = (x logf^w)
které j s o u p ř í m o „ z o b r a z o v a c í m i r o v n i c e m i " p r a v í t k a . S t u p nice funkcí f{ a gř- (i = 1, 2) zakreslujeme j a k o d v o j s t u p n i ce. V z h l e d e m k t o m u , že s t u p n i c e pro ft a g2- (i = 1, 2) se v z á j e m n ě nepřekrývají, m á m e m o ž n o s t obě t y t o s t u p n i c e za kreslit vedle sebe a výsledné h o d n o t y pv a ps cist n a j e d n é s t u p n i c i p s upozorněním (viz obr. č. 3b), že p o d gi c t ě m e ps a p o d / ť č t e m e p^ (při n a s t a v e n é m h n a d y). N á v r h počet ního p r a v í t k a viz obr. č. 3a
.8
I
ó = %w, d = f w
(x log pv~cx
1
. . . . spec. v á h a z e m i n y , v ý š k a opěrné zdi, úhel přirozené skloni tosti zeminy, třecí úhel.
<* l o g Ps — <* -°g y = <* l o 8 0.(9?) — oilogh , (i = [i = 1 pro ó = £
9-
0?
...
3
L o g a r i t m o v á n í m v z t a h u (4a, b ) a v y n á s o b e n í m m o d u l o v o u mírou oč d o s t á v á m e v z t a h y
ғs iг)— O
(4b)
ps = p . sin ó .
9
y . . . (1700, 2200) kg/m h . . . (1, 7) m w . . . (15°, 45°)
o
o -o
d
R o z s a h a v ý z n a m proměnných: O
o__
c o s
o
h= =
oc]/^
M —^ ; r
;
r =
^ **Z ;
s
(5)
N F = —^ *« 2,3 '
v y s k y t u j í c í se p ř i v ý p o č t e c h o b d é l n í k o v ý c h nosníků. R o z s a h a v ý z n a m proměnných: b h M s0 (x Q r0 Na ra
. . . (10, 60) c m . . . (20, 120) c m . . . (50, 3000) k g m . . . s0 = 1,6; s0 -= 1,9 . . . (0,25 , 2,08) ... (0,575, 103,8)
průřez nosníku, v ý š k a statická, m o m e n t n a d podporou, . . . bezpečnostní koeficient, činitel v tabulkách, činitel v tabulkách, rámě v ý s l e d k o v é dvojice sil . . . t l a k o v á síla působící n a v ý z t u ž , . . . náhradní průřezová p l o c h a t a h o v é v ý z t u ž e .
?
h
\f .\
r
)
'
ъ
f
*'
_ř.i/ ш _ľ. V/»
A
Obr. 3b. Klíč k pravítku řešícímu rovnice (4a, b).
671
L o g a r i t m o v á n í m d a n ý c h rovnic
log * 0 ,
(«)
= i log Aím — i log ò ,
(У)
log Mm =
log h -- log a
l o g r - - log e
g o
ì
-
•3 o o
s
>o
o
-Ř ^ ~ __
logMm — log N. —
м
-ь
o
_J
----
_—-Ч a^
(<5)
<*)
a) V z t a h (<x) lze zakreslit jako d v o j s t u p n i c i (pro s0 = = 1,6; s0 = 1,9). b) Spojíme v z t a h y (/_) a (y) t í m , že pro proměnné h a r, (x a o p o u ž i j e m e v ž d y t é ž e s t u p n i c e . c) V z h l e d e m k v e l k é m u r o z s a h u p r o m ě n n ý c h vy násobíme v z t a h (_>) £, což u m o ž n í p o u ž í t s t u p n i c e v e v z t a h u (/?) resp. (y) s upozorněním, že p r o m ě n n o u r o d č í t á m e t e n t o k r á t n a s t u p n i c i proměnné 6 v z t a h u (/?). d) S t u p n i c e log Fa a log Na zakreslíme jako d v o j í stupnici. e) V z h l e d e m k umístění s t u p n i c n a p r a v í t k o o dél ce 30 c m u p r a v í m e (/?) resp. (y) n a log h(resp log r) — log 3,2 — log <x(resp log g) = = i log Mm — log 3,2 — i log b . f) U m í s t ě n í s t u p n i c n a p r a v í t k u — viz obr. c. 4a. P o s t u p p ř i čtení:
-=-•
4. V u v a ž o v a n ý c h tvarech, které j s m e d o s u d k o n s t r u o v a l i j a k o početní p r a v í t k a , jsme k a ž d o u proměn n o u zobrazovali s t u p n i c í . U k á z a l i j s m e v š a k již t a k é , že některé v z t a h y (např. fx . f2 = / 3 -f- / 4 ) lze z o b r a z i t n a p r a v í t k u t e p r v e p o zavedení n o v é p o m o c n é pro měnné. V t ě c h t o p ř í p a d e c h z d á se jednodušší p o u ž í t binárních stupnic a k o n s t r u o v a t p r a v í t k o j a k o nomogram s průsvitkou o j e d n o m s t u p n i v o l n o s t i (translaci v e směru osy £), k d e p o s u n p r ů s v i t k y n a p o d k l a d ě j e zajištěn m e c h a n i c k ý m způsobem. P r ů s v i t k a zde za-
4
Л
Pн
o
OЬr. 4b.
л :_q _-= 672
logr , log 2,3 . .
(ß)
V z t a h (tx), (ó)a(y) č t e m e p ř i p r v n í m n a s t a v e n í šoup á t k a p o d l e s c h é m a t u (obr. č. 4b). V z t a h (o) a (e) č t e m e p ř i d r u h é m n a s t a v e n í šoup á t k a p o d l e s c h é m a t u (obr. č. 4c).
<н|~_
;s__э-
+
P o s t u p p ř i návrhu:
3
•_
log M
= J log Mm — £ log Ь ,
logЛľ0 = log Fa =
:&_
(5) d o s t a n e m e
]___ Obr. 4c.
stává dvojí úlohu: jednak šoupátka, jednak indexu a jediným nastavením můžeme číst hodnoty pro vztah o 6-ti proměnných. Takové pravítko má na podkladě dvě binární pole, na průsvitce dvě soustavy isoplét (viz obr. č.a 5). Vzájemněx si odpovídající body označíme stejnými písmena A(š19 rjj, A'(šl9 Ví) B(%2> *7a)> B (fa\ V2X)- Elementy na průsvitce čárkujeme. OdvocTme obecný tvar vztahu, který může být tímto pravítkem řešen. Napíšeme zobra zovací rovnice nomografických elementů na podkladě a na průsvitce.
PRŮSVITKA
PODKLAD
Obr. 5. Početní pravítko jako nomogram s průsvitkou o jednom stupni volnosti (translaci ve směru osyf). Podklad:
f i = /í.a í 2 = /s.4
Průsvitka:
F(li\ Vi>fs) = 0 Zobrazovací rovnice soustavy isoplét (x5) o d k u d ys = 0(Vi>f6) = ®(9i,2>h) ®(Š2>V2 >f*) = 0 Zobrazovací rovnice soustavy isoplét (#6)
Ví = 9i.2 V2 = 03.4
Zobrazovací rovnice bmárního pole (xl9 x2). Zobrazovací rovnice binárního pole (.r3, xá).
nebo-li Gtfi — f i + # ( W . ) , W « ) = 0 ; •odtud plyne obecný tvar zobrazovaného vztahu 0 ( / s . 4 — /l.2 + ®(9l,2>h)>93.l>h) K
neboť mezi souřadnicemi bodů A, A řeší zobrazovaný vztah, platí relace:
(в)
= 0, s
a B, B v okamžiku, kdy splývají a kdy pravítko 7
V2 = "2* > Ví = Ví > f i — í i = $2 — f i •
Zmenší-li se počet proměnných na pět, bude mít početní pravítko jedno binární pole ít jednu stupnici
fi = / i , i > Ví = 9i,2
5a = fz > V2 = konst s, jim odpovídající soustava isoplét Ip(fi\^i\/4) = 0 odkud .a stupnice
ši
=
®(9i.2>fi)
na podkladě
na průsvitc ,
fa' = / 5 > V2 = konst odkud plyne obecný tvar zobrazovaného vztahu fi.t—f* =
&(9i.»h)—h.
673
1
т
i
| 1 I
\
2 —^złráta
výkonnosłi paliva v 7#
\2
3
* S 6 7 69 Ю12
I i
i
i
1S18
1 i l l ľl 1 1 I 1
l1 z=ax tø» Ч ч !1 Vs / \ \ ъ% / \ v ! / x^n
' ' %
Pŕik/ad: a=Ю K-0,1 Vs= 7000 Zn= f.iз
1 sX *.,v\ /
XЧ \
/ \
\
^C \ %
V X ' / X-*\* /
\l&\ LJ\\X\X/V> \\ ì\ \x\v /\/ //л &
1
Л
íгj
* *
v\W
I J
1
l
---
\ //(////
I
Ł
ҖP
1
|
/ \
/
чX\XX/%/# к\\ X XX X /// *
i
i
\
%\\\Y **
i i
i
\2 !
3
i
-yy |
i
i
i i i
i
i
i i
t> 5 6 ? 891012 ЊПЊ a —----pevné zbyéky v %
i
1
J
Obr. 6. Početní pravítko s binárním polem pro výpočet ztráty výkonnosti paliva nespálenými zbytky. V případě čtyř proměnných redukuje se jedno binární pole n a podkladě na bod, které mu bude odpovídat jedna stupnice na průsvitce (jedno binární pole a soustava isoplét zůstává zachována). Příklad. Mějme za úkol zkonstruovat pravítko s binárním pole pro vztah Zn = a . x . 7900 . — — , kde rozsah a význam proměnných je uveden na obr. c. 6. *8
Zobrazovací rovnice: si = 0 ,
£74
tj1 -= 0
/ i. i (nebo konst.) ,
i 790° , i £2 = <x log - = h log x ,
t
'
R
i 79°° n2 = <x log —=-— — '
a
— log x ,
F^i',
0, log a) = 0, o d k u d Si = <x log a, ?;x = 0 (nebo konst.), G((x) log
7900 "s
l o g a? ( + a log a, A 2 , ac log Zn) = 0, V případě tří p r o m ě n n ý c h redukuje n a obyčejné početní p r a v í t k o .
o d k u d £ 2 ' = <xlogZn. M o d u l o v á míra a = 10. se p r a v í t k o b u d n a průsečíkový nomogram, n e b o
Literatura V. Hruška, Počet grafický a graficko-mechanický (Praha 1952b). Ch. O. M a c k e y , Graphical solutions (New York 1945). M. D ' O c a g n e , Traité de Nomographie (Paris 1899).
675
