M E C H A N I K A
EURÓPAI UNIÓ STRUKTURÁLIS ALAPOK
I. S T A T I K A
PMSTNB 211 segédlet a PTE PMMK építészmérnök hallgatói részére
„Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése” HEFOP/2004/3.3.1/0001.01
STNB 211
Mechanika I. Statika
MECHANIKA I. STATIKA
Hajósné Temesi Eszter Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar, Szilárdságtan és Tartószerkezetek Tanszék
2007 2
STNB 211
Mechanika I. Statika
Részletes tantárgyprogram: Témakör Statikai alapfogalmak. Síkbeli erők. Síkbeli erőrendszerek. Erővektorok, erőfelbontás, előjelszabályok. A statika alaptételei. Eredő fogalma, meghatározása. 2 óra gyakorlat Erővektorok, erőfelbontás. Eredő meghatározása szerkesztéssel és számítással, párhuzamos erőkből álló, valamint közös metszéspontú síkbeli erőrendszer esetén.
Hét Ea/Gyak./Lab. 1. 2 óra előadás
2 óra gyakorlat Eredő nagyságának és helyének meghatározása szétszórt síkbeli erőrendszer esetén szerkesztéssel (kötélsokszög szerkesztés), és számítással 3.
2 óra előadás
Síkbeli erőrendszerek egyensúlyozása. Egyensúlyozás egy, kettő, és három erővel. 2 óra gyakorlat Síkbeli erőrendszerek egyensúlyozása egy, kettő, és három erővel.
4.
2 óra gyakorlat Síkbeli erőrendszerek egyensúlyozása egy, kettő, és három erővel.
5.
2 óra előadás
Síkbeli tartók fogalma, a tartók csoportosítása, tartók minősítése, statikailag határozott tartók. Statikai modell. 2 óra gyakorlat Síkbeli tartók egyensúlyozása
6.
ŐSZI SZÜNET
7.
2 óra előadás
8.
2 óra gyakorlat Síkbeli rácsostartók, csomóponti módszer.
9
2 óra előadás
11.
2 óra gyakorlat Egyenestengelyű, kéttámaszú gerendatartók belső erő ábrái.
12.
2 óra előadás Törtvonalú és ágas tartók belső erő ábrái. 2 óra gyakorlat Ferde helyzetű kéttámaszú tartók belső erő ábrái.
13.
2 óra gyakorlat Törtvonalú és ágas tartók belső erő ábrái.
14.
2 óra előadás
15.
Síkbeli rácsos tartók fogalma, számítási modell, rúderő számítási módszerek. Csomóponti módszer, hármas átmetszés. I. ZH. SÍKBELI ERŐK EREDŐJÉNEK MEGHATÁROZÁSA, EGYENSÚLYOZÁS (órarenden kívüli időpontban) 2 óra gyakorlat Zárthelyi feladatok kiértékelése
Belső erők fogalma. Előjelszabályok. Belső erő ábrák. Egyenestengelyű tartók belső erői. 2 óra gyakorlat Síkbeli rácsostartók, hármas átmetszés.
Három csuklós kerettartó, csuklós többtámaszú (Gerber) tartók belső erő ábrái 2 óra gyakorlat Csuklós tartók belső erő ábrái II. ZH SÍKBELI TARTÓK BELSŐ ERŐ ÁBRÁI (órarenden kívüli időpontban) 2 óra gyakorlat Zárthelyi feladatok kiértékelése, félévzárás.
3
STNB 211
Mechanika I. Statika
TARTALOMJEGYZÉK: 1.
A statika tárgya ............................................................................. 5
2.
Eredő .............................................................................................10
3.
Egyensúlyozás .................................................................................13
4.
Síkbeli tartók .................................................................................16
4.1
5.
6m
5.1 5.2 5.3
6.
6.1 6.2 6.3 6.4 6.4 5.6
Egyensúlyozás 1 erővel .................................................................................................................................. 13 Egyensúlyozás két erővel (adott hatásvonalú és adott ponton átmenő erővel)................................ 13 Egyensúlyozás három adott hatásvonalú erővel (Ritter módszer) ...................................................... 15
Síkbeli tartók minősítése, tartók csoportosítása ................................................................................... 16
50 kN
Síkbeli rácsos tartók .....................................................................18 C
Rácsos tartó modell........................................................................................................................................ 18 Rácsos tartó rúderő számítás – csomóponti módszer ............................................................................ 21 Rácsos tartó rúderő számítás – hármas átmetszés................................................................................ 22
4,0
3.1 3.2 3.3
Párhuzamos síkbeli erőrendszer eredője.................................................................................................. 10 Közös metszéspontú síkbeli erőrendszer eredője .................................................................................. 10 Szétszórt síkbeli erőrendszer eredője..................................................................................................... 11
Síkbeli Tartók belső erőB i ...............................................................28 A belső erők fogalma: .................................................................................................................................... 28 Belső erő ábrák ............................................................................................................................................... 31 Kéttámaszú egyenes tengelyű gerendatartók.......................................................................................... 33 A Törtvonalú, ferde helyzetű és ágas tartók belső erő ábrái.................................................................. 42 „Gerber” tartók belső erő ábrái.................................................................................................................. 52 4,0 m 1,0 Három csuklós keret tartók ......................................................................................................................... 59
2,0
2.1 2.2 2.3
Síkbeli erők........................................................................................................................................................ 5 A statika alaptételei ........................................................................................................................................ 7 Síkbeli erőrendszerek ..................................................................................................................................... 8
q = 12 kN/m
1.1. 1.2 1.3
4
STNB 211
Mechanika I. Statika
1. A statika tárgya A statika a Mechanika tudománynak azon része, amely a testek nyugalmi állapotával foglalkozik. A Mechanika a természettudományok körébe tartozik, a Fizika tudomány része. A Statika a Mechanika tudományágon belül a nyugalomban lévő testek egymásra hatását vizsgálja. 1.1. Síkbeli erők Az erő az a hatás, amely a test mozgásállapotát változtatja meg, irány vagy nagyság szerint. Az erő nem látható, jelenlétére csak hatásaiból következtethetünk. Az erő jellemzői: az erő hatásvonala, iránya és nagysága. Az erő egysége newton (N), amely egységnyi tömegű (1 kg) testnek egységnyi (1 m/s2) gyorsulást ad. A N többszörösei a mérnöki gyakorlatban: 1kN = 103 N
1 MN = 103 kN = 106 N
Az erők fajtái: Erő Koncentrált erő Vonal mentén megoszló erő Felületen megoszló erő Térben megoszló erők
jelölés F, P, Q….. (latin nagy betűkkel) q, p, g…… (latin kis betűkkel) q, p, g…… (latin kis betűkkel) γ (görög kis betűkkel)
mértékegység N, kN, MN N/m, kN/m N/m2, kN/m2 kN/m3
gyakorlatban Pillérteher födémre, alapra Válaszfal teher födémre Hóteher tetőn, szélteher falon súlyerő
Az erők ábrázolása történhet nézetrajzon és vektorábrán. A nézetrajz a vizsgált merev test méreteit ábrázolja mérethelyesen, amelyen ábrázoljuk az erő támadáspontját, hatásvonalát, irányát, valamint számszerűen megadjuk az erő nagyságát is. A vektorábrán az erő vektorát ábrázoljuk, amely ábrázolás az erő jellemzőit egyesíti, az erőlépték feltüntetésével az erő nagysága is egyértelművé válik.
5
STNB 211
Mechanika I. Statika
Az erők felbontása vetületeikre: A síkban egy derékszögű koordináta rendszerben dolgozunk, az általános helyzetű erőt felbontjuk a koordináta tengelyekre vonatkozó vetületeire. Az erőfelbontást az erőnek a tengelyekre történő merőleges vetítésével kapjuk. Az általánosan használt tengelykereszt a vízszintes-függőleges tengelyekből áll. Az általános síkbeli erő két egymásra merőleges vetületének meghatározása számítással a derékszögű háromszögekre vonatkozó geometriai összefüggések alapján történik. A vetületek előjelei megállapodás szerint: FX = − F ⋅ cos α
F
Fy
Fy
FY = F ⋅ sin α 2
α +y
Fx
α
+x
Az erő nyomatéka:
m) a(
o
90
F (kN)
F = FX + FY
Fx
tgα =
2
FY FX
A síkbeli erőknek, ugyanazon síkban kiválasztott tetszőleges pontra vonatkoztatott forgató hatását forgató nyomatéknak nevezzük. A nyomatékot a nagysága és az iránya jellemzi. Mértékegysége. Nm, kNm Az F erő forgató nyomatéka az A pontra: MA = F⋅ a ahol F: az erő nagysága a: az erő karja (merőleges távolság)
A A forgatónyomaték előjele megállapodás alapján: pozitív a forgató nyomaték, ha az erő a forgási pont körül az óramutató járásával megegyezően forgat. Több síkbeli erő forgatónyomatékát összegezhetjük a sík egy kiválasztott pontjára úgy, hogy az egyes erők forgatónyomatékait előjelhelyesen összegezzük. Az erőpár Két egymással párhuzamos hatásvonalon működő, azonos nagyságú, de ellentétes irányú erő erőpárt alkot. Az erőpár hatása forgatónyomaték, amelyet az erő és a köztük lévő merőleges távolság szorzataként számíthatunk. Az erőpár vetületösszege a sík bármely tengelyére zérus, az erőpár forgatónyomatéka a sík bármely pontjára ugyanakkora. 6
STNB 211
Mechanika I. Statika
1.2 A statika alaptételei Első alaptétel (két erő egyensúlyára vonatkozik) Egy merev testre ható két erő akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha azonos hatásvonalon működnek, azonos nagyságúak, de ellentétes irányúak.
F F Második alaptétel (három erő egyensúlyára vonatkozik) Egy merev testre ható, három különböző hatásvonalú erő akkor, és csak akkor van egyensúlyban, ha hatásvonalaik közös pontban metszik egymást, és a három erőből zárt és nyílfolytonos vektorháromszög szerkeszthető.
F2 F1
F3
F1 F2
F3
Harmadik alaptétel: Merev testre ható erőrendszer hatása nem változik, ha egyensúlyban lévő erőket adunk hozzá, vagy veszünk el belőle. Ez a tétel igazolja, hogy az erő hatásvonalán eltolható, vagyis a támadáspont az erő hatásvonalán bárhol felvehető.
F1
A
F2
+ B
F3
F1
A F2
F2 B
=
F2 F3
Negyedik alaptétel: Isaac Newton törvénye Hatás – ellenhatás törvénye. Minden erőhatás (akció) ellenhatást (reakció) vált ki, a párosával jelentkező két hatás közös hatásvonalon működik, azonos nagyságú, de ellentétes irányú. 7
STNB 211
Mechanika I. Statika
1.3 Síkbeli erőrendszerek − − −
Párhuzamos erőkből álló síkbeli erőrendszer (az erők közös tulajdonsága, hogy hatásvonalaik párhuzamosak) Közös metszéspontú erőkből álló síkbeli erőrendszer (az erők közös tulajdonsága, hogy hatásvonalaik egy pontban metszik egymást) Általános (szétszórt) síkbeli erőrendszer (az erők közös tulajdonsága csupán annyi, hogy hatásvonalaik egy közös síkban fekszenek)
Részletesen megoldott feladatok az erőfelbontásra: Adott az y tengellyel bezárt szög
Fy
F = 30 kN Fx = F⋅sin 15° = 30 ⋅0,2588 = 7,76 kN Fy = F⋅cos 15°= 30 ⋅0,9659 = + 28,98 kN
F 15Ο Fx +x +y
Adott az x tengellyel bezárt szög
Fx Fy
+x
50Ο F
+y Fy
F Fx
F = 50 kN Fx = F⋅cos 50 = 50 ⋅0,6427 = 32,13 kN Fy = F⋅sin 50°= 50 ⋅0,7660 = + 38,3 kN Az erők hatásvonalát egy síkbeli alakzathoz kötjük
(az alakzatban fellelhető háromszög, hasonló az erő felbontásához rajzolható vektorháromszöghöz)
F = 40 kN 4,47 : 4 = F : Fy Fy = 35,79 kN
4,0
2,0
4 : 2 = 35,79 : Fx Fx = 17,895 kN
8
STNB 211
Mechanika I. Statika
Adott egyenessel egybeeső, és arra merőleges hatásvonalú erők felbontása hasonló háromszögekkel
F1 F2 4,0
(az alakzatban fellelhető háromszög hasonló az erő felbontásához rajzolható vektorháromszögekkel)
90Ο
4,0
1,5
F1
F1y
4,0
1,5
3 = −7,2 kN ← 5 4 F1 y = −12 ⋅ = −9,6 kN ↑ 5 F1x = −12 ⋅
F2
F2y
F2 y
3,0
F1x
F2x
4 = 6,4 kN → 5 3 = 8 ⋅ = −4,8 kN ↑ 5
F2 x = 8 ⋅
9
STNB 211
Mechanika I. Statika
2. Eredő Az eredő fogalma: az eredő a síkbeli erőrendszert mindenféle hatásában helyettesíti, tehát az eredő vetülete a sík bármelyik tengelyére megegyezik az erőrendszernek ugyanezen tengelyre számított vetületösszegével, a sík bármely pontjára vonatkozó nyomatéka pedig megegyező, az erőrendszernek ugyanezen pontra számított előjelhelyes nyomaték összegével. n
∑F i =1
íx
n
∑F
= RX
i =1
iY
n
∑ Mα
= RY
i
i =1
= M αR
2.1 Párhuzamos síkbeli erőrendszer eredője Az eredő hatásvonala az erők hatásvonalával megegyező lesz. Az eredő a vektorábrát nyíl ütközéssel zárja. Nézetrajz F1 S0
F2 S1
Vektorábra F3 S3
S2
F1
-S 0
R
F2
S0
R
S1 S2
F3
-S 0
0 póluspont
S3
2.2 Közös metszéspontú síkbeli erőrendszer eredője Az eredő hatásvonala a közös metszésponton keresztül kell, hogy menjen, Az eredő a vektorábrát nyíl ütközéssel zárja. Vektorábra
Nézetrajz F1
F2 R F2
F3 F1 végpont
F3
R kezdôpont
10
STNB 211
Mechanika I. Statika
2.3 Szétszórt síkbeli erőrendszer eredője Az eredő meghatározható közvetlen erőösszetétellel: Vektorábra
Nézetrajz F1
F2
F1 R1-2
F4
R1-2 F2
R
F3
R1-2-3
kezdôpont
-3 1 -2
R
R F3
F4
végpont
Az eredő meghatározható az un. kötélsokszög szerkesztéssel is.
Vektorábra
Nézetrajz S4
kezdôpont
S0 S1
S2
S3
F4
F2
F2
R
S2
R
R
S4
F3 F4
0
0 S3
-S 0
-S 0
-S 0
S1
F3
F1
S0
F1
S4
végpont
11
STNB 211
Mechanika I. Statika
Síkbeli erőrendszer vizsgálata az eredő szempontjából Eredő lehet
Véges nagyságú erő
szerkesztéssel
számítással
Az erőkből szerkesztett vektorsokszög nyitott, vagyis a Az erőrendszer tagjaiból felírt vektorábra kezdő és végpontja nem esik egybe. előjelhelyes vetületösszegek közül, legalább az egyik nem Nézetrajz Vektorábra egyenlő zérussal. R
-S 0
F1
S3
F2
0 -S 0 S0
∑F
=0
iX
az eredő b
∑F
kezdôpont
Erőpár
∑F
=0
∑F
≠0
∑F
≠0
iY
az eredő ↔
S1
F1
nyitott kötélsokszög
≠0
iX
S2
F3
S2
∑F
S3
F2 R
S1
S0
végpont
F3
≠0
iX
nyitott vektorsokszög
iY
iY
az eredő általános helyzetű
Az erőkből szerkesztett vektorsokszög zárt, a Az erőrendszer tagjaiból felírt kötélsokszög pedig nyitott. A kötélsokszög első és utolsó vetületösszegek zérussal oldala egymással párhuzamos. egyenlő. A sík bármely pontjára felírt nyomatékösszeg nem Nézetrajz Vektorábra egyenlő zérussal. F1 F2 -S 0 F5 S5
s
S0
F2
S1
F1
S4
S0
kezdôpont végpont
S2
F4
S1
S3
S2
0
-S 0
S4
∑F = 0 ∑F = 0 ∑ Mα ≠ 0 iX iY
S3
S5
i
F4
F5
F3
F3
nyitott kötélsokszög zárt vektorsokszög Az erőrendszer egyensúlyban van. A vektorsokszög is és a Az erőrendszer tagjaiból felírt kötélsokszög is zárt vetületösszegek és a nyomaNézetrajz Vektorábra tékösszeg is egyenlő zérussal. F1 F5 F2 S5
S0
Zérus
F4
iX
F2
S1
S1
F1
S4
∑F = 0 ∑F = 0 ∑ Mα = 0
kezdôpont végpont
S2 S3
F3 zárt kötélsokszög
S0
0
F3
S2
iY
S3
S5
i
S4
F5
F4
zárt vektorsokszög 12
STNB 211
Mechanika I. Statika
3. Egyensúlyozás A statikában leginkább azzal foglalkozunk, hogyan lehet egy merev testre ható erőrendszert az erők síkjában működő egy, vagy több erővel egyensúlyozni. Az erőrendszer egyensúlyban (nyugalomban) van, ha teljesülnek az egyensúly feltételei. Az egyensúlyozó hatást E betűvel jelölve, a következő számítási összefüggésekkel igazolható az egyensúly:
∑F
iX
∑F
+ EX = 0
∑M
+ EY = 0
iY
AFi
+ M AE = 0
3.1 Egyensúlyozás 1 erővel A statika első alaptételének felhasználásával, az egyensúlyozó erő az erőrendszer eredőjével azonos nagyságú, vele azonos hatásvonalon működő, de ellentétes irányú lesz. Az egyensúlyozó erő a vektorábrát nyílfolytonosan zárja.
F1=40 kN 60
+x
o
35
F3=186 kN
F1x = F2x = -186 ⋅ 0,5 F3x = 50 ⋅ 0,574 ΣFix ΣFix + Ex = 0 ΣFiy + Ey = 0
o
F2=50 kN +y
= 40 kN (→) = - 93 kN (←) = 28,68 kN (→) = - 24,32 kN(←) - 24,32 + Ex = 0 202,04 + Ez = 0
F1y = =0 F2y = 186 ⋅ 0,866 = 161,08 kN (↓) F3y = 50 ⋅ 0,819 = 40,96 kN (↓) ΣFiy = 202,04 kN (↓) innen: Ex = 24,32 kN (→) innen: Ey = - 202,04 kN (↑)
E = 24,32 2 + 202,04 2 = 203,5 kN
α = arc tg
202,04 = 83,14 o 24,32
3.2 Egyensúlyozás két erővel (adott hatásvonalú és adott ponton átmenő erővel) Az adott erőrendszer két erővel történő egyensúlyozásának számtalan megoldása van, ezért az egyensúlyozó erők tekintetében rögzíteni kell az egyik erő hatásvonalát, a másik erőnek pedig egy pontját. 13
STNB 211
Mechanika I. Statika
Egyensúlyozzuk az erőrendszert, egy az „A” ponton átmenő és „b” hatásvonalú erővel F2x = 6 ⋅ cos 60° = 3 kN (→) F2y = 6 ⋅ sin 60° = 5,2 kN (↑) F 1=5,0 kN
F 2=6,0 kN
60 o
3,0
b 30
A
o
4,0 m
Nyomatéki egyenlet az A pontra (a „b” hatásvonalú erőt balra, lefelé mutatónak feltételezzük)
∑M
A
=0
− 5,2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 3 + B y ⋅ 4 = 0 B y = 2,95 kN (az eredmény + előjele arra utal, hogy az egyenlet felírásakor jól feltételeztük a B erő irányát)
A B erő hatásvonalát ismerjük, függőleges komponense segítségével a vízszintes komponens és maga a B erő is számítható: 2,95 Bx = = 5,11 kN (←) tg 30 o 2,.95 B= = 5,9 kN sin 30 o A vetületi egyenletekből Ax és Ay számítható
∑F ∑F
x
=0
Ax + 3 − 5,11 = 0
Ax = 2,11 kN (→)
y
=0
Ay + 5 − 5,2 − 5,11 + 2,95 = 0
Ay = −2,75 kN (↑)
A = 2,112 + 2,75 2 = 3,47 kN
α = arc tg
2,75 = 52,5 o 2,11 14
STNB 211
3.3
Mechanika I. Statika
Egyensúlyozás három adott hatásvonalú erővel (Ritter módszer)
A három adott hatásvonal tekintetében rögzítenünk kell, hogy a három hatásvonalnak nem lehet közös metszéspontja. Miután három ismeretlen egyensúlyozó erő van, ezért olyan pontot kell keresni a síkban, amelyre felírt nyomatéki egyenletben csak egy ismeretlen van. Ez a pont, két egyensúlyozó erő metszéspontja lesz, ezt a pontot a harmadik egyensúlyozó erő főpontjának nevezzük.
O
Ry
2,0
60
o
a
b
2
c 2,0
1
3
30
F3=4,2 kN 2,0
2,0 m
F1
b o
60
O kN
F1=3,6 kN
A=2,52 kN
a
F2x = - 5,4 cos30° = - 4,68 kN F2y = - 5,4 sin30° = 2,7 kN
B= 17 ,7 3
F1x = - 3,6 cos60° = - 1,8 kN F1y = - 3,6 sin60° = - 3,12 kN
2
c
1 C=19,02 kN
o
F2=5,4 kN
3
2,0
F3
F2 2,0
2,0 m
2,0
Az „A” erő főpontja az 1 pont. Az erő irányát felfelé mutatónak feltételezzük.
∑
M1
=0
+ 1,8 ⋅ 2 − 4,68 ⋅ 2 + 2,7 ⋅ 4 + A ⋅ 2 = 0
A = − 2,52 kN (↓ )
A „B” erő főpontja a 2 pont. Az erő irányát felfelé mutatónak feltételezzük.
∑
M2
=0
+ 1,8 ⋅ 2 + 3,12 ⋅ 2 − 4,68 ⋅ 2 + 2,7 ⋅ 6 + 4, 2 ⋅ 2 − B ⋅ 1, 414 = 0
B = 17 ,73 kN
A „C” erő főpontja a 3 pont. Az erő irányát jobbra mutatónak feltételezzük.
∑
M3
=0
+ 1,8 ⋅ 4 + 3,12 ⋅ 2 + 2,7 ⋅ 6 + 4, 2 ⋅ 2 + C ⋅ 2 = 0
C = − 19 ,02 kN ( ← )
15
STNB 211
Mechanika I. Statika
Az egyensúlyt a vetületi egyenletekkel, vagy a sík bármely pontjára felírt nyomatéki egyenlettel leellenőrizhetjük.
4. Síkbeli tartók Tartószerkezeteknek (röviden: tartóknak) nevezzük azokat a különböző anyagú szerkezeteket, amelyek a terhek hordására, továbbítására alkalmasak, megfelelnek a velük szemben támasztott teherbírási, helyzeti állékonysági, használhatósági és más különleges követelményeknek. Ebben a jegyzetben csak síkbeli rúdszerkezetekkel foglalkozunk. A síkbeli rúdszerkezeteket tengelyvonalukkal ábrázoljuk. A tartókat a környezethez, illetve más teherhordó szerkezetekhez rögzíteni kell, a rögzítésre szolgáló szerkezeti elemeket támaszoknak nevezzük. támasz Befogás
Egyensúlyozó erők
helyettesítés
Sematikus ábrázolás
M X Y
Fix csukló X Y
Görgő 90o
Y
F
Támasztórúd
4.1 Síkbeli tartók minősítése, tartók csoportosítása A síkbeli tartókat statikai szempontból két csoportba sorolhatjuk − Statikailag határozott tartók − Statikailag határozatlan tartók
16
STNB 211
Mechanika I. Statika
A tartók minősítése a terhelés ismeretében a tartóra ható külső erőrendszer vizsgálatával történik. A külső erőrendszert a terhek és a terheket egyensúlyozó reakció erők alkotják. A külső erőrendszerben lévő egyensúlyozó ismeretlenek számát hasonlítjuk a max. 3 db egyensúlyi egyenlet számához. vizsgálat
minősítés
Ismeretlenek száma = egyenletek száma
határozott
Ismeretlenek száma > egyenletek száma
határozatlan
Ismeretlenek száma < egyenletek száma
túlhatározott
A statikailag határozott tartókat csoportosíthatjuk alakjuk, és a környezettel ill. más tartószerkezetekkel kialakított kapcsolatuk szerint, például: − −
Egy merev testből álló tartók: káttámaszú tartó, konzol tartó Több merev testből álló szerkezetek: háromcsuklós keret, Gerber tartó
− −
Egyenes tengelyű tartó Törtvonalú, vagy ágas tartó
17
STNB 211
Mechanika I. Statika
5. Síkbeli rácsos tartók A síkbeli rácsos tartók egymással végükön összekapcsolt rudakból álló szerkezetek. Nagy fesztávok áthidalására alkalmas. A tartónak a környezethez, ill. más tartószerkezetekhez történő rögzítése szerint a rácsos tartó lehet kéttámaszú, háromcsuklós kerettartó, Gerber tartó, stb. 5.1 Rácsos tartó modell − − − − − −
A szerkezet alaktartó, a rúdhosszak változtatása nélkül a tartó alakja nem módosítható A rudak egyenes tengelyűek és merevek Egy csomópontban találkozó rudak tengelyei egy pontban metszik egymást A rudak a csomópontokban ideális (surlódásmentes) csuklókkal csatlakoznak egymáshoz A szerkezetekre ható külső erők a rácsos tartó síkjában hatnak A szerkezetet terhelő koncentrált erők csak a csomópontokban hatnak
Jól érzékelhető, hogy a számítási modell a valóságos erőjátékhoz képest közelítéseket tartalmaz, azonban a számítás egyszerű és az eredmény a mérnöki pontosságnak megfelel. A rácsos tartók hálózati rajzával ábrázoljuk, ahol a rudakat súlyvonalaikkal adjuk meg. A csomópontokat számozással látjuk el a rúdhosszakat sí,j, a rúderőket Si,j jelöljük. Az alsó index adja meg, hogy a rúd melyik két csomópontot köti össze.
felső övrudak
rácsrudak oszlopok alsó övrudak támaszok (rögzítés a környezethez)
18
STNB 211
Mechanika I. Statika
A rácsos tartók alakjuk, valamint a megtámasztásuk módjától függően különböző típusúak lehetnek:
A számítási modell szerint a rácsos tartót terhelő koncentrált erők a tartó síkjában működnek és csak a csomópontokban hatnak. A terheket egyensúlyozó erők is koncentrált erők, amelyek a támaszpontokban működnek. A terhek és az egyensúlyozó erők egyensúlyban lévő erőrendszert alkotnak, ezt hívjuk külső erőrendszernek. Az egyensúlyban lévő külső erőrendszer hatására a tartóban belső erők ébrednek. Képzeljük el, hogy a rácsos tartót két részre vágjuk szét, és csak az egyik tartórészt vizsgáljuk. A vizsgált tartórészen lévő külső erők nem lesznek egyensúlyban. A szerkezet belsejében olyan hatásoknak kell ébredniük, amelyek létrehozzák az egyensúlyi helyzetet. Ezeket a hatásokat belső erőknek nevezzük. A rácsos tartóban ébredő belső erők csak rúdirányúak lehetnek. 19
STNB 211
Mechanika I. Statika
A rúderők előjelének tekintetében a következő előjelszabályban állapodunk meg: −
A rúderő nyíliránya a csomópont felé mutat, vagyis a csomópontot nyomja, a rúdban nyomóerő ébred, előjele: -
−
A rúderő nyíliránya a csomóponttól elfelé mutat, a csomópontot húzza, a rúdban húzóerő ébred, előjele: +
A rácsos tartó hálózatában találhatunk olyan csomópontokat, amelyeknél számítás nélkül meghatározhatók a rúderők nagysága és előjele, ezeket „nevezetes” csomópontoknak hívjuk.
F
F
S=F
S=F
F
F
Fy
Fx
Sb=Fx
Sa=Fy
Sa
„V” csomópont Terheletlen „V” csomópont A csomóponton nem hat külső erő, a rudak erőmentesek (azokat a rudakat amelyekben a számítás szerint nem ébred erő, vakrudaknak nevezzük) Terhelt „V” csomópont A teher hatásvonala az egyik rúd hatásvonalával egybeeső Ebben a rúdban a terhelő erővel azonos nagyságú, de ellentétes irányú erő ébred, a másik rúd vakrúd. Terhelt „V” csomópont A teher hatásvonala általános irányú Minkét rúdban ébred erő. Nagyságuk és irányuk a vetületi egyensúlyi egyenletekből meghatározható
Sb
20
STNB 211
Mechanika I. Statika
S
S
S
Sb
Sb
„T” csomópont Terheletlen „T” csomópont S A csomópontban nincs külső erő, akkor a bekötő rúd, (a „T” szára) vakrúd. A másik két rúderő ellentetten egyenlő (azonos előjelű) Terhelt „T” csomópont Fy F A terhelő erő hatásvonala a bekötő rúddal azonos hatásvonalú Fx Sc a bekötő rúdban ébredő erő megegyezik a Sb +Sc +Fx =0 terhelő erővel, de vele ellentétes irányú. A másik két rúderő ellentetten egyenlő Sa=F y (azonos előjelű)
F Sb
Sa=F
F
F Sb
Sb Sa=F
Sb
Sc Sax
S ax+Sb +Sc =0
Terhelt „T” csomópont A terhelő erő hatásvonala általános helyzetű. A rúderők nagyságuk és iránya a vetületi egyensúlyi egyenletekből meghatározható
Sa Say=F 5.2 Rácsos tartó rúderő számítás – csomóponti módszer A számítás lényege, hogy a rácsos tartó minden egyes, kiragadott csomópontjában igazoljuk a csomópontban ható külső erőkből és a rudakban ébredő belső erőkből álló közös metszéspontú síkbeli erőrendszer egyensúlyát. A módszer a csomópontok egymás utáni vizsgálatához alkalmas, a tartó közepéből kiragadott csomópont számítására nem használható (túl sok az ismeretlen) A közös metszéspontú síkbeli erőrendszer egyensúlyát a két db egymástól független vetületi egyensúlyi egyenlet segítségével igazolhatjuk. A számítás során csomópontról csomópontra haladunk (például balról-jobbra), hiszen két szomszédos csomópontot összekötő rúdban ébredő erő mindkét csomópontban
21
STNB 211
Mechanika I. Statika
azonos nagyságú és előjelű. (a rácsos tartó nincs a rúdjain terhelve, tehát a rúderő értéke a rúd hossza mentén nem változhat!!) A rúderők meghatározásához a derékszögű háromszögekre vonatkozó alapvető geometriai összefüggéseket használjuk (szögfüggvények, hasonlóság) 5.3 Rácsos tartó rúderő számítás – hármas átmetszés A módszert „Ritter” féle módszernek, illetve főponti módszernek is nevezik. A számítási módszer mindig alkalmazható amennyiben a tartó szétvágható két részre, oly módon, hogy a képzeletbeli metszősík csak 3 rudat vág el. A szétvágott tartó egyik felét vizsgáljuk, ahol a tartórészen ható külső erőket az átvágott rudakban ébredő rúderők egyensúlyozzák. A feladat megoldása nem más, mint a tartórészen ható külső erők egyensúlyozása három adott hatásvonalú erővel. Alkalmazzuk a „Ritter” féle módszert, vagyis a nyomatéki egyensúlyi egyenletet a vizsgált tartórészen ható külső erőkből, valamint az átvágott rudakban ébredő rúderőkből, a rúderők főpontjaira írjuk fel. A nyomatéki egyenlet felírásához feltételeznünk kell azt, hogy az ismeretlen rúderő a főpontra milyen előjelű forgatónyomatékot fejt ki. Amennyiben jól feltételeztük, az egyenlet megoldásaként pozitív eredményt fogunk kapni. A feltételezett iránnyal rárajzoljuk a metszősíkra a kiszámított rúderőt. Ha a rúderő nyíliránya a metszősík felé mutat, a rúdban nyomóerő ébred, ha a nyílirány a metszősíktól elfelé mutat, a rúdban húzóerő ébred.
20 kN 10 kN
4
10 kN
1,0
6
2
2,0
A
0
7 1
3
5
B
4· 2,0= 8,0 m
22
STNB 211
Mechanika I. Statika
∑M
A
=0
10 ⋅ 2 + 20 ⋅ 4 + 10 ⋅ 3 − B y ⋅ 8 = 0
∑F
y
B y = 16,25 kN ↑
=0
10 + 20 − 16,25 − Ay = 0
∑F
x
=0
Ay = 13,75 kN ↑
Ax + 10 = 0
Ax = 10 kN ←
Számítsuk ki az S1-3, az S2-3, és az S2-4 rúderők nagyságát, értelmezzük a rúderők előjeleit is. Vágjuk szét a tartót egy képzeletbeli metszősíkkal, úgy hogy csak azokat a rudakat vágjuk át, amelyekben ébredő rúderőket akarjuk meghatározni. A metszősíktól balra lévő tartórészt vizsgáljuk. A rúderők főpontjait keressük. Az S1-3 rúderő főpontja a „2” pont, az S2-3 főpontja a „Z” pont, az S2-4 főpontja a „3” pont. A főpontokra történő nyomaték felírásához meghatározzuk az erők karjait (merőleges távolság)
2
.
.
4 α
=2, k 2-4
36 2,2
4 α
1,0
=4 k2-3 45 o
3,0 m
Z
m 68
2,0
m 4 . 2 , 45 o
6,0 m
3
3
k 2−4 =
2,828 ⋅ 2,0 = 2,68 m 2,236
k 2 −3 =
10 kN
S2-4
. 2
k2-3
2 ⋅ 6,0 = 4,24 m 2
(4)
1,0
.
3,0
k2-4
S2
2,0
-3
Z
0
10 kN 2,0
1 A 13,75 kN
2,0
S1-3
(3)
2,0
Az S2-4 rúderő kiszámításához a nyomatéki egyensúlyi egyenletet „3” pontra írjuk fel.
∑M
3
=0
13,75 ⋅ 4,0 − 10 ⋅ 2,0 − S 2 − 4 ⋅ 2,68 = 0
S 2 − 4 = 13,06 kN
A rúderő a metszősík felé mutat, tehát nyomóerő (-) 23
STNB 211
Mechanika I. Statika
Az S1-3 rúderő kiszámításához a nyomatéki egyensúlyi egyenletet „2” pontra írjuk fel.
∑M
2
=0
13,75 ⋅ 2,0 + 10 ⋅ 2,0 − S 1− 3 ⋅ 2,0 = 0
S 1− 3 = 23,75 kN
A rúderő a metszősíktól elfelé mutat, tehát húzóerő (+) Az S2-3 rúderő kiszámításához a nyomatéki egyensúlyi egyenletet „Z” pontra írjuk fel.
∑M
Z
=0
− 13,75 ⋅ 2,0 + 10 ⋅ 4,0 − S 2 − 3 ⋅ 4, 24 = 0
S 2 − 3 = 2,94 kN
A rúderő a metszősík felé mutat, tehát nyomóerő (-) 10
5,84
11,68
2,08
2,08
10
23,75 13,75
Ellenőrzésképpen felírhatók a vetületi egyensúlyi egyenletek a rúderők függőleges és vízszintes vetületeivel. (Az erőfelbontást nem részletezzük) 2 11,68 S 2−4 X = ⋅ 13,06 = 11,68 kN (←) S 2− 4Y = = 5,84 kN ↓ 2,236 2
()
S 2 −3 X =
∑F ∑F
2 ⋅ 2,95 = 2,08 kN (←) 2
2 = 2,08 kN (↑) 2
S 2−3Y =
X
=0
− 10 − 11,68 − 2,08 + 23,75 = 0
Y
=0
− 13,75 + 10 + 5,84 − 2,08 = 0
Eredményvázlat:
20 kN
2
-2
0
,44 9 -1 + 23,75
Ax = 10 kN 0 A
Ay = 13,75 kN
,9 5
+ 23,75 1
-24 ,25
,6 +7
6
6
0
-
10 kN
4 06 , 3 1
-3,31
10 kN
+ 16,25 3
-2 2 ,9
8
+ 16,25 5
7
B By = 16,25 kN 24
STNB 211
Mechanika I. Statika
Részletesen megoldott feladat a hármas átmetszés módszerének alkalmazására: l=8,4 m m=1,4 m
30 kN
30 kN 2
15 kN
A
30 kN
4
1
2
d
d
1
15 kN
6
m
c
3
7
5
a
b
m
c
B
a
l
Az „a” és „b” méretek meghatározása hasonló háromszögek segítségével:
5,04 a = 4,2 2,52 4,2 2,52 = 2,8 b
a = 3,024 m b = 1,68 m
I. metszősík 30 kN
4 64,5
1
15 kN
A
2 25
1
60 kN
3
2,1
67,5
∑M
7
=0
+ 45 ⋅ 2,1 − S1− 2 ⋅ 1,4 = 0
∑M
2
S1− 2 = 67,5 kN
=0
+ 45 ⋅ 3,024 − 30 ⋅ 0,924 − S 6−7 ⋅ 1,68 = 0
∑M
1
(+ húzott )
S 6−7 = 64,5 kN
=0
+ 30 ⋅ 2,1 − S 2−7 ⋅ 2,52 = 0
S1− 2 = 25 kN
(− nyomott ) 25
(− )
STNB 211
Mechanika I. Statika
II. metszősík
30 kN 2 64,5 15 kN
3
c
6
=0
45 ⋅ 4,2 − 30 ⋅ 2,1 − S 2−3 ⋅ 2,4 = 0
2
1
A
∑M
22,5
52,5
S 2−3 = 52,5 kN
(+ húzott )
3,024 5,04 = 1,68 c
c = 2,8 m
∑M
1
=0
30 ⋅ 2,1 − S 2−6 ⋅ 2,8 = 0 S 2−6 = 22,5 kN
(+ húzott )
Eredményvázlat (szimmetrikus geometriájú, szimmetrikusan terhelt rácsos tartók rúderői is szimmetrikusak lesznek)
30 kN 30 kN 15 kN
A
1
-8 1
,12
2
,5
6
+22,5
-25
+67,5
60
-6 4
30 kN
4
3
+52,5
5
15 kN 7
B
60
26
STNB 211
Mechanika I. Statika
Javasolt feladatok a gyakorláshoz: Határozzák meg a rúderőket tetszőleges módszerrel! 10 kN 3
5 kN
5 kN
2,0
4
2
2,0 5
1
6
A 2,0
B
2,0
50 kN 0
2,0 m
2,0
40 kN
2
4
6
7
A
3
B
1
30 kN 1
5 3
3
3m
3
3 40 kN
4
50 kN 8
6
10
C 5
7
20 kN
12
2 1
4x2=8 m
3
Megjegyzés: Javasoljuk a feladat megoldását a félév végén, amikor a háromcsuklós kerettartó reakcióerőinek meghatározásával megismerkedtek.
9
0
11
A
B
4x2=8 m
2x2=4 m
27
STNB 211
Mechanika I. Statika
6. Síkbeli Tartók belső erői 6.1 A belső erők fogalma: Az eddig megismert külső erők (a terhelés és a reakció erők) a tartómodellen egyensúlyban lévő erőrendszert alkotnak. A külső erőrendszer hatására ébrednek a tartóban a belső erők, amelyek szintén egyensúlyban lévő erőrendszert alkotnak. A rúd egy tetszőleges keresztmetszetében a belső erők (az igénybevételek) meghatározásához ismerjük meg a következő fogalmakat:
− −
A tartó síkja: síkbeli tartók esetén a tartó síkja a tartót terhelő erők síkjával azonos. A keresztmetszet síkja: a tartót, egy a rúd tengelyére merőleges síkkal elmetszve kapjuk a keresztmetszet síkját. A tartó síkja és a keresztmetszet síkja egymásra merőleges.
KERESZTMETSZET SÍKJA
TARTÓ SÍKJA
x
z x y
z y
A belső erőket a tartó tetszőlegesen kiválasztott keresztmetszetén értelmezhetjük. A keresztmetszetre ható dinámok (erők és nyomatékok) a keresztmetszet igénybevételei. A tetszőleges keresztmetszeten értelmezhető belső erők:
− − − −
NORMÁL ERŐ: a keresztmetszet síkjára merőleges, rúdtengely irányú erő, „N” NYÍRÓ ERŐ: a keresztmetszet síkjába eső, z és y irányú erők, „T” HAJLÍTÓ NYOMATÉK: a keresztmetszet síkjára merőleges síkban működő MY és MZ nyomatékok CSAVARÓ NYOMATÉK: a keresztmetszet síkjában működő Mx nyomaték 28
STNB 211
Mechanika I. Statika
Rx x
Rz z
Ry
Rx: NORMÁLERŐ (a keresztmetszet síkjára merőleges) Ry: NYÍRÓERŐ (a km. síkjában) Rz : NYÍRÓERŐ (a km. síkjában)
Mz
Mx M
My
z
x
R y
y
Mz Mx z
x
x
x z
z
My y " x" körül forgató yz síkú nyomaték CSAVARÓNYOMATÉK (a km. síkjában)
y " y" körül forgató xz síkú nyomaték HAJLÍTÓNYOMATÉK (merőleges a km. síkjára)
y " z" körül forgató xy síkú nyomaték HAJLÍTÓNYOMATÉK (merőleges a km. síkjára)
A tetszőleges dinámok esetén, az erővektor felbontható x, y, z irányú vetületeire (a „z” és „y” tengelyek a keresztmetszet síkjában lévő, egymásra merőleges súlyponti tengelyek, az „x” tengely a rúd hossztengelye) A nyomatékvektor (merőleges a síkra, amelyben működik) is felbontható, x, y, z irányú vetületeire, ahol:
− − − − −
MX, az x tengely körül forgató, yz síkban működő nyomaték = csavaró nyomaték MY, az y tengely körül forgató, xz síkban működő nyomaték = hajlító nyomaték MZ, az z tengely körül forgató, xy síkban működő nyomaték = hajlító nyomaték 29
STNB 211
Mechanika I. Statika
A belső erők meghatározása: Egy a síkjában terhelt, statikailag határozott, egyensúlyban lévő gerendatartó tetszőleges „k” keresztmetszetében ébredő belső erők meghatározásához, gondolatban vágjuk ketté a tartót, egy, a tartó hossztengelyére merőleges síkkal, a vizsgált keresztmetszetben. Szedjük szét a kettévágott tartót, baloldali és jobboldali tartórészre. A két tartórésznek külön-külön is egyensúlyban kell lennie. A két külön tartórészen az egyensúlyt a keresztmetszetben ébredő belső erők fogják biztosítani. Ezek a belső erők az átvágás mindkét oldalán azonos nagyságúak, de ellentétes irányúak.
F1
Tj Mb
F2
Nb
MA
Mj
Ax
Nj
Tb BAL OLDAL
Ay JOBB OLDAL
ÁTVÁGÁS
A három bekeretezett erőrendszer külön-külön is egyensúlyban van ! A belső erők előjele:
−
−
−
Normálerő (N) (+) pozitív, tehát húzóerő, ha a vizsgált keresztmetszetben a tartó hossztengelyével párhuzamos erő, a keresztmetszettől elfele mutat, azaz húzza. (-) negatív, tehát nyomóerő, ha a vizsgált keresztmetszetben a tartó hossztengelyével párhuzamos erő a keresztmetszet felé mutat, azaz nyomja. Nyíró erő (T) (+) pozitív, ha a keresztmetszet síkjába eső erő a vizsgált tartórész belső, anyagi pontja körül az óramutató járásával megegyező irányban forgat. (-) negatív, ha a keresztmetszet síkjába eső erő a vizsgált tartórész belső, anyagi pontja körül az óramutató járásával ellenkező irányban forgat. Hajlító nyomaték M) (+) pozitív, ha a forgatás iránya az óramutató járásával megegyező. (-) negatív, ha a forgatás iránya az óramutató járásával ellentétes. 30
STNB 211
Mechanika I. Statika
6.2 Belső erő ábrák A síkbeli, statikailag határozott tartókon a megadott, statikus (állandó intenzitású), álló (helyzetét a tartón nem változtató) terhelés, és a reakció erők hatására keletkező belső erők változását a rúd hossza mentén, matematikai úton, függvény formájában is megadhatjuk. Ezeket a függvényeket belső erő (N, T, M) függvényeknek hívjuk. A függvények grafikus megjelenítése, a függvény „képe”, a belső erő (N, T, M) ábra. A belső erő ábrákat úgy hozzuk létre, hogy a tartó tengelyvonalára, minden keresztmetszetben felmérjük a keresztmetszetben ébredő belső erő nagyságát, tetszőlegesen felvett erőlépték alkalmazásával, egy megállapodás szerinti előjelszabály figyelembevételével. A belső erő értékeket mindig a tartó tengelyére merőlegesen mérjük fel. A tartók esetében nem kell az összes keresztmetszetet vizsgálni, azokban a keresztmetszetekben számítjuk ki a belső erőket, ahol a teherfüggvényben, illetve a tartó geometriájában változás van. Ezeket a keresztmetszeteket jellemző keresztmetszeteknek hívjuk. A belső erők számításánál, a koncentrált erők, illetve a koncentrált nyomatékok működési helye előtti és utáni, végtelenül közel eső keresztmetszeteket kell vizsgálni.
−
A tartó vizsgált keresztmetszetében ébredő normálerő nagyságát megkapjuk, ha a keresztmetszettől balra (vagy jobbra) lévő tartórészen előjelhelyesen összegezzük a normál irányú külső erőket
−
A tartó vizsgált keresztmetszetében ébredő nyíró erő nagyságát megkapjuk, ha a keresztmetszettől balra (vagy jobbra) lévő tartórészen előjelhelyesen összegezzük a tangenciális irányú külső erőket
−
A tartó vizsgált keresztmetszetében ébredő hajlító nyomaték nagyságát megkapjuk, ha a keresztmetszettől balra (vagy jobbra) lévő tartórészen előjelhelyesen összegezzük a külső erőket forgató nyomatékait.
A belső erő ábrákat a tartó hossztengelyének megfelelő alapvonalon szerkesztjük. A keresztmetszetek vizsgálatát általában balról-jobbra haladva folytatjuk. A T és N ábrák „+” tartománya, egyenes tengelyű, vízszintes tartók esetén, a tengelyvonal alatti.
31
STNB 211
Mechanika I. Statika
A nyomatéki ábra tekintetében az elkövetkezendőkre vonatkozóan, szokjuk meg, hogy a nyomatéki ábrának nincs előjele. A nyomatéki függvény értékeit mindig a tartó húzott övére kell mérni. Ennek eldöntéséhez segítséget nyújt, ha el tudjuk képzelni, hogy a külső erőrendszer hatására milyen lesz a tartó meggörbült tengelyvonala. A „húzott öv” ott értelmezhető, amelyik oldalon domború a meggörbült tengelyvonal. A teherfüggvény, a nyíróerő függvény és a nyomatéki függvény (ebben a sorrendben!), mindig eggyel magasabb rendű. Pl: a teher függvény konstans, azaz 0 fokú, akkor a nyíróerő függvény elsőrendű, azaz lineáris, a nyomatéki függvény pedig másodrendű lesz. A függvénytani összefüggésekből adódik, hogy az előző függvény zérus helyén (előjel váltáskor), a követő függvénynek szélső értékhelye lesz (maximum, vagy minimum) A belső erő ábrák készítése előtt a következőket kell elvégezni:
− − − −
A ferde helyzetű erők felbontása vízszintes és függőleges komponensekre Megoszló terhek eredőinek (részeredőinek kiszámítása) Reakció erők meghatározása, egyensúlyozás Jellemző keresztmetszetek meghatározása Támaszok Koncentrált erők Koncentrált nyomatékok Megoszló terhek kezdete és vége
Ezek után meghatározzuk a jellemző keresztmetszetek igénybevételeit, felmérjük az előjeles értékeket a tartó tengelyre merőlegesen, majd a jellemző keresztmetszetekben kiszámított függvényértékeket, a terhelés változásának megfelelően, a tartó tengellyel párhuzamos ill. ferde egyenesekkel, vagy görbékkel kötjük össze A reakció erők meghatározásánál és a belső erő ábrák szerkesztésénél is alkalmazható a szuperpozició, az egymásra halmozás módszere. Célszerű a módszert használni bonyolult, összetett terhelések esetén, hiszen minden összetett terhelés létrehozható egyszerű terhelések összegeként. A reakcióerők számítása és a belsőerő ábrák meghatározása az egyszerű terhelésekből, egyszerűen elvégezhető. Az egymásra halmozás matematikai módszerekkel és grafikusan is elvégezhető. A következőkben bemutatjuk a különböző típusú és terhelésű, statikailag határozott síkbeli tartók igénybevételi ábráinak elkészítési módját. 32
STNB 211
Mechanika I. Statika
6.3 Kéttámaszú egyenes tengelyű gerendatartók Kéttámaszú tartó, egyenletesen megoszló teherrel terhelve, parabola szerkesztés (Q = q· l) q
q A= 2· l
q B= 2· l l = li
l x0 = _ 2 B
-
T + A
l_i 2
l_i 2
M1
2
m
6 7 5
3
m 4
A= B = M max =
q ⋅l 2
x0 =
q ⋅l l q ⋅l l q ⋅l2 ⋅ − ⋅ = 2 2 2 4 8
A q ⋅l l = a szimmetria miatt = q 2⋅q 2 a parabóla belógása " m"
Rajzoljuk meg a tartószakasz felező merőlegesét, erre a vonalra, abban az irányban amerre hat a megoszló teher, mérjük fel kétszer az „m” értékét. A kapott pontot kössük össze a támaszpontokkal, így megkapjuk a parabola végérintőit. A 3-as pontban, ahol a nyíróerő ábrának zérus helye van, a nyomatéki ábrának szélső értéke lesz, tehát
33
STNB 211
Mechanika I. Statika
itt vízszintes az érintője. A további parabolapontokat illetve érintőket az ábra szerint kaphatjuk meg. Parabola szerkesztés általános esetben: q
A
a
B
b
l1 x0
B
-
T + A
l_1 2
l_1 2
M M1
M max
1 vízszintes érintő
m 3 m
M2 2
Szuperpozició (egymásra halmozás) bemutatása a reakcióerők és a belső erő ábrák meghatározásához.
M
q
M
q
+ A
B x0
ql __ B1= 2
+
A1 m m
+
2
M max
_M_ A2 = l
_M_ B2= l
B1
B
-
T + A M M
ql __ A1 = 2
ql m= __ 8
A2
B2
M
M 1 max
34
STNB 211
Mechanika I. Statika
Alapesetek bemutatása, egyenes tengelyű, kéttámaszú, kéttámaszú konzolosan túlnyúló, valamint konzoltartók különböző terheléseire q
F
B
A
_
B
-
+
A
T
M q l2 M= · 8
M=A· a = B· b q
b
_
-
B
+
M
B
a
_
_
B
x0 = B/q
M A· a
_
b
q1
F B=F a
A
A +
B
_
+
+ M=A· a
T
A
B
l
+
A=F a
-
2
B Mmax= 2· q q2
2
B Mmax= 2· q F
M
+
+
A
x0 = B/q
a
-
T
A
F
A
+
a
q
+
A
T
B
_
A
M
T
B
l
+
+
T
-
b
+
a
x0 = B/q
M 2
M1 M = B max 2· q 35
STNB 211
Mechanika I. Statika
M
M
M A= l
-
A
+
B Aa
M
M
M
B b q M
M
M
A -
A
B
l
a
B
a
B
_
+
+
T
B
+
A
T
B
_
+
A
B
b
a
A -
T
+
T
B
l
A M
ugrás
M
M
M
M
q
q
Q A= 3
l √3
B= _
A
B
T
l
B _
+
+ T
+
-
A
2 ·Q 3
+
x=
M M
2
q· l Mmax= 9√ 3 ·
Mmax
36
STNB 211
Mechanika I. Statika
A
a
q
F
b
-
a
B
_
B
A
T
+
A
q
_
B
M Mmax
q
A
B
A
B l
a
B
_
+
T
a
+
+
+
A
F
M
+
M
M
B
A
M
T
l
+
+
T
F
+
q
B
A
M
ugrás
M
M
Mmax MA
F
A
A l
-
MA
+
F
T
+
+ A
M
a
A
F+F
+
a
T
q
MA
F
MA
F· a M
37
STNB 211
Mechanika I. Statika
Igénybevételi ábrák közötti összefüggések összefoglalása Tartótengelyre merőleges koncentrált erő Ugrás a T ábrán, az ugrás mértéke megegyezik az erő nagyságával Töréspont az M ábrán (a törés iránya az erő irányával azonos)
T N T
N
Általános helyzetű koncentrált erő Ugrás az N ábrán, az ugrás mértéke megegyezik az erő normál irányú vetületével Ugrás a T ábrán, az ugrás mértéke megegyezik az erő tangenciális vetületével Töréspont az M ábrán (a törés iránya az erő tangenciális összetevőjének irányával azonos) Egyenletesen megoszló teher T ábra lineáris M ábra 2.fokú parabola, belógása a teher irányával megegyező Egyenletesen változó, líneáris megoszló teher T ábra 2. fokú parabola M ábra 3.fokú görbe, belógása a teher irányával megegyező Koncentrált nyomaték Az N és a T ábrán nincs változás Az M ábrán ugrás van, az ugrás mértéke megegyezik a koncentrált nyomaték nagyságával
T ábra zérushelyénél az M ábrán szélső érték, vízszintes érintő T ábra előjelváltásnál az M ábrán szélső érték
38
STNB 211
Mechanika I. Statika
Részletesen megoldott feladatok: − kéttámaszú, egy oldalon konzolosan túlnyúló gerendatartó, koncentrált erőkkel, különböző intenzitású megoszló terhekkel
Q = 10 ⋅ 4 = 40 kN
∑M ∑F
Y
=0
A
− 10 ⋅ 2 + 10 ⋅ 4 ⋅ 5 − B ⋅ 6 = 0
=0
− A − 30 + 12,5 + 40 = 0
(↑) A = 22,5 kN (↑)
B = 30 kN
F=12,5 kN q=10 kN/m 1
1,6 12,5 T
2
3
4
A=22,5 3,0
B=30 1,0
3,0 m
12,5
20
x0
+
10
10
5
x 0 10
20 5 M
m2
m1 10 x1
15
m1 x2
39
STNB 211
Mechanika I. Statika
M 3 = −12,5 ⋅ 4,6 + 22,5 ⋅ 3 = +10 kNm M 5 = +10 ⋅ 1 ⋅ 0,5 = +5 kNm
( jobbról
(balról felírva ) a tartó alsó övén felírva ) a tartó felső övén
M4 = M5 10 ⋅ 3 2 10 = 11,25 x0 = = 1,0 m 8 10 M max = 10 ⋅ 3 ⋅ 1,5 − 30 ⋅ 2 = −15 kNm ( jobbról felírva ) a tartó alsó övén
m=
nyomatéki nullpontok helye : 10 ⋅ (1 + x 2 ) ⋅
1 + x2 − 30 ⋅ x 2 = 0 2
x1 3,0 = 20 30
x1 = 2,0 m x 2 = 0,25 m
40
STNB 211
−
Mechanika I. Statika
Konzol tartó megoszló teherrel, koncentrált erővel, koncentrált nyomatékkal
Q = 38,4 kN
∑M ∑F ∑F x0 =
A
FX = 8,67 kN
=0
FY = 5,0 kN
38,4 ⋅ 2,4 − 20 − 5 ⋅ 4,8 − M A = 0
M A = 48,16 kNm
Y
=0
38,4 − 5 − AY = 0
AY = 33,4 kN (↑ )
X
=0
− 8,67 + AX = 0
AX = 8,67 kN (→)
5 = 0,625 m 8
MA=48,16 Ax=8,67 Ay=33,4
M=20 kNm
q=8 kN/m
1 2
2,4
(Fy =5)
(F x=8,67) o 30
F=10 kN
2,4 m
8,67
8,67
-
N +
T
x0=0,625
+
5
33,40 48,16 m
11,04
M 8,96
m
1,56
M 1 = −48,16 + 33,4 ⋅ 2,4 − 8 ⋅ 2,4 ⋅ 1,2 = 8,96 kNm
M 2 = M 1 − 20 = −11,04 kNm (balról felírva )
(balról
felírva )
8 ⋅ 0,625 2 − 5 ⋅ 0,625 = −1,56 kNm ( jobbról felírva ), alul húzott! 2 8 ⋅ 2,4 2 parabóla belógás : m = = 5,76 kNm 8
M max = +
41
STNB 211
Mechanika I. Statika
6.4 Törtvonalú, ferde helyzetű és ágas tartók belső erő ábrái Azon statikailag határozott tartókkal foglalkozunk, amelyek tengelyvonala egy egyenessel nem adható meg. A keresztmetszetek mindig merőlegesek a tartó tengelyvonalára! Jellemző ezekre a tartókra, hogy egy adott erő a tartó egyik részén lehet normál erő, míg a másik részen ugyan ezen erő nyíróerőként jelenik meg. Továbbá jellemző még ezekre a tartókra, hogy a külső erők felbontása, a reakció erők meghatározásához vízszintes és függőleges komponensekre történik, majd a belső erő ábrák megszerkesztéséhez ugyanezen erőket, a tartótengellyel párhuzamos (normál) irányú, és a tartó tengelyre merőleges (tangenciális) irányú komponensekre is fel kell bontanunk. A belső erők előjeleinek ábrázolása:
−
− −
ajánlott, hogy azonos előjeleket mindig azonos irányban mérjük fel, vagyis a vízszintes tartószakaszoknál a + értékeket alulra, a függőleges, vagy ahhoz közeli helyzetű rudaknál a tengelyvonal jobb oldalára mérjük. „úszó szabály” a tartó valamelyik oldalán végighaladva mindig azonos előjelű értékeket mérünk fel, ez az ábrázolási mód az ágas tartóknál nem teljesíthető. A nyomatéki ábrának nincs előjele, a függvény értékek mindig a tartó húzott oldalán (domború oldalán) kerülnek felmérésre.
Sarokmerev csomópontok A törtvonalú és ágas tartóknál a tartó csomópontjaiban esetleg kettőnél több rúd is csatlakozhat egymáshoz. A kapcsolat akkor sarokmerev, ha minden becsatlakozó rúd képes nyomatékot felvenni. A csomópontban a rudak hossztengelyei egy pontban metszik egymást. A csomópontban a rudakra számított nyomatékok algebrai összege zérus kell, hogy legyen (csomóponti egyensúly). Két rúd kapcsolatánál kialakuló egyszerű csomópont esetén, a két nyomaték algebrai összege zérus, ebből következik az úgynevezett „átkörzőzési” szabály, ami azt jelenti, hogy a külső erővel nem terhelt csomópontban, amennyiben az egyik rúd a külső övén húzott, akkor a másik rúd is a külső övén lesz húzott, vagyis arra az övre kell a nyomatéki értéket felmérni. Külső erővel terhelt csomópont esetén az egyensúlyi feltételek igazolásánál a külső erőt is figyelembe kell venni. 42
STNB 211
Mechanika I. Statika
Ferde helyzetű tartók belső erő ábrái különböző típusú megoszló teherrel g = 10 kN/ferde m
h =1,0 m
10
,2 =2
_
+
+
5
+
5 10
_
+
+
_
N -
+
+
+
+
+
10 T
T
11,18
5,59
_
-
+
8,94
11,18 T
5
5,59
M
M
Q = 10 ⋅ 2,236 = 22,36 kN
A = B = 10 kN ↑
A = B = 10 kN ↑ M max = M max
q ⋅ lV ⋅ l f
6,25 M
Q = 10 ⋅ 2,0 = 20,0 kN
M max
+
-
N
q ⋅ lV2 10 ⋅ 2 2 = 8 8 = 5 kNm
A
+
N
M max =
B
+
4,47 8,94
_
-
TAx = 4,47
Ax= 10 +
A
12,5
NAx= 8,94 _ + TA =10 NAy = 3,35 TAy = 6,71 Ay= 11,18 Ay= 7,5
+
-
m
By = 12,5 TB = 11,18 NB = 5,59
NB = 5
TB = 10
NA= 5
+
_
36
l v= 2,0 m
By= 11,18
_
TA =8,94 Ay= 10
4,47
10 7,5
_
NA=4,47
,2 =2
lf
B
A
_
11,18
l v= 2,0 m
By = 10 NB =4,47 TB =8,94 B
m
lf
11,18
l v= 2,0 m
36
+
10
6m
_
l f=
3 2 ,2
p = 10 kN/ferde m
+
q = 10 kN/vízsz.m
=
8 = 5,59 kNm
10 ⋅ 2 ⋅ 2,236 8
Q = 10 ⋅ 2,236 = 22,36 kN AX = 10 kN (←) AY = 7,5 kN (↑)
BY = 12,5 kN (↑) 10 ⋅ 2,236 2 8 8 = 6,25 kNm
M max = M max
q ⋅ l 2f
=
43
STNB 211
Mechanika I. Statika
Törtvonalú tartó, terheletlen sarokmerev csomóponttal
Fy
F
1. keresztmetszet (alulról haladva)
Fx
C 2
2. keresztmetszet (balról haladva) M 2=A x· a 2 N2=Ax
1
a
B Ax b1
Ay
T1=Ax
b2
T2=Ay 1
M 1=A x· a
b
N1=Ay "C" csomópont
T2 =Fy -B 2
N
Fx
M 2=F y· b 1-B· b T1=Ax
jobbról
1
_ _
+
N2 =Fx
M 1=A x· a alulról -
Ay
N1=A y
+ _
T Ay
+
Fy
B +
-
+
+ Ax
M
Javasolt adatok a feladat megoldásához: a=5 m
b1=1 m
b2=2 m
α=60°
F=10 kN 44
STNB 211
Mechanika I. Statika
Törtvonalú tartó, koncentrált erővel terhelt sarokmerev csomóponttal
Gy
G
Gx 1
Q
Gy
G
q
T2=By -Q
Gx
2
2
a
By
M2=Q· b_2 - B·y b
1
T1=Ax M1=Ax · a
Ax
N1 =Ay
Ay
ΣF =0 ΣF =0 ΣM =0
b
x
Ax=Gx
y
Gy=N1+T2 M1= M2
x
+
_
+
N +
T Gx=Ax +
M
-
-
+
_
Ay
Javasolt adatok a feladat megoldásához: a=5 m
b=4 m
G=12 kN
α=30°
q=2 kN/m
45
STNB 211
Mechanika I. Statika
Törtvonalú tartó, koncentrált nyomatékkal terhelt sarokmerev csomóponttal
M
F
F
2
M2=B·y b
2
By
a
1
T2=By
M
T1 =Ax
1
M1=Ax· a N1 =Ay
Ax Ay
ΣF =0 ΣF =0 ΣM =0
b
x
T1 =F
y
T2 =N1
x
M1+M= M2 M
+
By· b=M2
_
M1=Ax· a + + By=Ay
N +
T -
-
Ay
M
+
Javasolt adatok a feladat megoldásához: a=5 m
b=4 m
F=20 kN
M=60 kNm
46
STNB 211
Mechanika I. Statika
Ágas tartók elágazási csomópontjai (3, vagy több rúd esetén) G
F
N1=G M1=F· a
a
MA=G· c+H· b-F· a 1
Ax=F+H
1
2
b
3
Ay=G
M1
H
Σ M=0
M3
c
M 3=M A - Ay· c N3=Ax
-
M2
3
T3=Ay
2
+
G _
Ax
∑F = 0 ∑F = 0 ∑M = 0
_
+
-
N
+
Ay
− T1 − T2 + N 3 = 0
Y
+ N1 − T3 = 0 − M1 + M 2 − M 3 = 0
+
+ +
H
T
M3
MA
M a=2 m
X
_
F
T1 =F
M1
M2
Javasolt adatok a feladat megoldásához: b=1,5 m c=5 m F=3 kN F=10 kN G=2 kN
H=6 kN 47
T2=H M2=H· b
STNB 211
Mechanika I. Statika
Ferde helyzetű, koncentrált erőkkel terhelt törtvonalú tartók belső erőinek meghatározása Ferde rúdhosszak meghatározása Erők, támaszerők felbontása normál és nyíróerő irányú vetületeire
FT F
FN
MA 1
Ax Ay
2
FN=N2
G
a
M1=Ay· a -M A
b FN
N
T
+ +
-
+
M 2=F· b G
T1=Ay
_
_
2
1
N1=Ax
l
Ax=G
F
FT=T2
c
− −
+ +
FT
ΣF =0 ΣF =0 ΣM =0 x
N1 =G
y
T1 =F
x
M1= M2
+
Ay =F MA
M1=M2=F· b
M
Javasolt adatok a feladat megoldásához: a=3 m
b=1,5 m
l=4,5 m
c=1 m
F=6 kN
G=8 kN
48
STNB 211
Mechanika I. Statika
Ferde helyzetű, függőleges megoszló teherrel terhelt, törtvonalú tartó belső erőinek meghatározása (részletesen kidolgozott feladat) , q1 =5 kN/m
q2 = 4 kN/m
A
1 2
B
m) 5 , 2 (h =
B=6,67
2,0 m
1,0
1,5
q1= 4 kN/ferde m
q2 = 4 kN/m
(Q1 = 10 kN)
=
(Q2 = 4 kN)
A=7,33
1
+
+
1,6
+
N1 =1,6 NA=4,4
_
-
+
2,67 2,14
_
_
+ T
∑ MA = 0 4 ⋅ 2,5 ⋅ 1,0 + 4 ⋅ 2,5 − B ⋅ 3,0 = 0
∑ Fy = 0 = 5 ⋅ 2,0 + 4 ⋅ 1,0 − 6,67 − A y A y = 7,33 kN (↑
+
+ 5,86
M 4,67 ) 25 1 , (3
+
B = 6,67 kN (↑)
x0=0,53 m
-
A
TA =5,86 Ay=7,33
6,67
4,4
T1 =2,14 Y1=2,67
N _
_
5,55
2,67 = 0,53 m 5 M1 = −6,67 ⋅ 1,0 + 4 ⋅ 1 ⋅ 0,5 x0 =
M1 = −4,67 kNm ( jobbról) M max = −6,67 ⋅ 1,53 + 4 ⋅ 1,53 ⋅ 0,76 M max = −5,55 kNm ( jobbról) m=
4 ⋅ 2 ⋅ 2,5 = 3,125 kNm 8
49
STNB 211
Mechanika I. Statika
Kéttámaszú kerettartó komplex vizsgálata (részletesen kidolgozott feladat) FX = FY = 2,83 ⋅ cos 45 o = 2 kN
∑F ∑M ∑F
X
Y
A
B X = 2 kN (← )
=0
2 − BX = 0
=0
2 ⋅ 2,0 − 2 ⋅ 1,0 + 1 ⋅ 6,0 ⋅ 3 − 2 ⋅ 1,0 − BY ⋅ 5,0 = 0
=0
BY = 3,6 kN (↑ )
AY = 4,4 kN (↑ )
2 + 1 ⋅ 6,0 − 3,6 − AY = 0
q = 1 ,0 k N /m
3,0
2,0
3,0
+
Tx
1,0
Nx
1,0
1,0
By =3,6
_
Bx=2,0
1,0 Bx =2,0 Ty By =3,6
NB Ny _
2,0
_
45
TB
3,1 6
2,0
o
3,1 6
F=2,83 kN
+
2
3
_
1
Ay=4,4 1,0
4,0 m
1,0
2,0
B X erő felbontása
-
_
+ N
_
2,4
-
-
+
+
2,0
+
1 = 1,14 kN 3,16 3 BYN = 3,6 ⋅ = 3,42 kN 3,16 BT = 1,9 − 1,14 = 0,76 kN B N = −0,63 − 3,42 = −4,05 kN
+
_
4,05 1,6
+ T
x0=2,4 m + 0,76
-
+
_
2,0 -
2,4
_
+ -
4,4 2,4
3 = 1,9 kN 3,16 1 B XN = 2 ⋅ = 0,63 kN 3,16 BY erő felbontása B XT = 2 ⋅
BYT = 3,6 ⋅
_
+
_
2,0 -
1,0
50
STNB 211
Mechanika I. Statika
2,4 = 2,4 m 1 M min = 4,4 ⋅ 2,4 − 2 ⋅ 3,4 − 2 ⋅ 2,0 − 1 ⋅ 2,4 ⋅ 1,2 = −3,12 kNm (balról felírva ) x0 =
M 2 = 1 ⋅ 2,0 ⋅ 1,0 = 2,0 kNm ( jobbról )
M 3 = +2 ⋅ 3,0 − 3,6 ⋅ 1,0 = 2,4 kNm ( jobbról ) M 1= 4,4 kNm
4,4
+ -
6,0
(2,0)
6,0
2,0 3,12
2,0
2,0
2,4 M
51
STNB 211
Mechanika I. Statika
6.4 „Gerber” tartók belső erő ábrái A ”Gerber” tartók a statikailag határozott csuklós tartók körébe tartoznak. Ezekre a tartókra jellemző, hogy a külső erőrendszerben szereplő ismeretlenek száma meghaladja rendelkezésre álló egymástól független statikai egyensúlyi egyenletek számát. Azonban tudjuk, hogy a belső csuklók nyomaték felvételére nem képesek, így minden beépített belső csukló további nyomatéki egyenlet felírását teszi lehetővé, vagyis csökkenti a külső erőrendszer ismeretlenjeinek számát. Tehát a folytatólagos többtámaszú, statikailag határozatlan tartókból, határozott tartót tudunk létrehozni, megfelelő számú belső csuklók beiktatásával. A szükséges csuklók száma, a külső erőrendszerben keletkező ismeretlenek számának és a rendelkezésre álló egymástól független statikai egyensúlyi egyenletek számának különbsége. A csuklós tartók típusai: − csuklós gerendatartók („Gerber” tartók) − háromcsuklós tartók − összetett csuklós szerkezetek A csuklós többtámaszú gerendatartó („Gerber” tartó) gyakran alkalmazott szerkezeti megoldás, hiszen a beiktatott belső csuklók miatt kisebb az elemek hossza, amely körülmény a gyártást, a szállítást és a szerelést egyszerűsíti, továbbá a csuklók célszerű elhelyezésével a szerkezet gazdaságossá tehető. A belső csuklók elhelyezésének szabályai:
− −
− −
Lehetőleg csuklós és csuklómentes szakaszok váltsák egymást Az elhelyezendő csuklók száma az ismeretlen külső erők számának és a rendelkezésre álló, egymástól független statikai egyensúlyi egyenletek számának különbsége Csuklókkal megtámasztott szélső szakaszon belül csak egy belső csukló lehet 1 szakaszon belül, max. 2 db belső csukló lehet
A ”Gerber” tartó belső csuklókkal összekapcsolt konzolos és kéttámaszú tartókból áll. A tartót a környezethez rögzítő támaszokban ébredő erőket külső reakcióknak, az összekapcsoló belső csuklókban ébredő erőket belső reakcióknak nevezzük. A külső és belső reakciók meghatározása egyensúlyozási feladat, amelyet már a korábbiakban ismertettünk. 52
STNB 211
Mechanika I. Statika
A belső csuklók helye befolyásolja a nyomatéki ábra jellegét és értékeit. A csuklók helyének változtatásával a nyomatékok szélső értékeit tág határok között változtathatjuk.
1 4
3
2
1
+ Mmax
2
+M>-M
3
+M=-M
4
+M<-M
53
STNB 211
Mechanika I. Statika
A reakcióerők számításához a tartót szét kell bontani a belső csuklók által határolt szakaszokra, (merev testekre). Azokat a tartórészeket, amelyek önmagukban nem állékonyak, beakasztott (befüggesztett) tartóknak nevezzük. Azokat a tartóelemeket, amelyek önmagukban is megállnak, megtámasztó tartóknak nevezzük. A beakasztott tartók a rájuk ható külső erőket a belső csuklón keresztül a megtámasztó tartóknak adják át. A szétbontást javasoljuk grafikusan is ábrázolni, így könnyebben követhető az erők elrendezése és iránya. Először mindig a beakasztott tartó reakció erőit határozzuk meg, miután a beakasztott tartó a megtámasztó tartót terheli, a megtámasztó tartó konzolvégén a beakasztott tartó reakcióerejének ellentettje működik. A megtámasztó tartón a reakcióerőket a tartó saját terhelése, valamint a beakasztott tartóról átadódó erő figyelembevételével határozzuk meg. A belső erő ábrákat megrajzoljuk a szétbontott tartórészekre, majd egy tengelyre fűzzük fel, hiszen a belső csuklók két oldalán a belső erők azonosak, ezért az ábrákban a belső csukló erők ugrást, vagy törést nem okoznak. Kivétel, az az eset, amikor a belső csukló külső erővel is terhelt. Ebben az esetben a csukló keresztmetszetében terhelő külső erőt, a megtámasztó tartó számításánál kell figyelembe venni, hiszen a beakasztott tartót is a megtámasztó tartó támasztja meg.
54
STNB 211
Mechanika I. Statika
Csak függőleges teherrel terhelt „Gerber” tartó, két belső csuklóval
F = 40 kN q = 10 kN/m
A
D
E
1,2
3,6 m
B 1,2
C 2,4
2,4
q = 10 kN/m D y = 18
I.
Ey = 18
Dy = 18
Ey = 18
F = 40 kN
II.b 1
II.a Ay = 1
By = 56
10 ⋅ 3,6 = 18 kN (↑ ) 2 Alátámasztó konzol tartó :
C Cy =14
DY = EY =
∑F
=0
Y
AY + 18 + 10 ⋅ 1,2 = 0
1,2 2 M A + 18 ⋅ 1,2 + 10 ⋅ =0 ∑M A = 0 2 Alátámasztó kéttámaszú tartó :
∑M ∑F
C
Y
=0
=0
AY = −30 kN (↑ ) M A = −28,8 kNm
− 18 ⋅ (1,2 ⋅ 4,8) − 10 ⋅ 1,2 ⋅ (0,6 + 4,8) − 40 ⋅ 2,4 + BY ⋅ 4,8 = 0 CY + 10 ⋅ 1,2 + 18 + 40 − 56 = 0
CY = −14 kN (↑ )
BY = 56 kN (↑ )
nyomatéki értékek : M max I
10 ⋅ 3,6 2 = = 16,2 kNm 8
M max II b = 14 ⋅ 2,4 = 33,6 kNm
M A = M B = 28,8 kNm
55
STNB 211
Mechanika I. Statika
T +
30
-
-
26
+
14
+
30
28,8
M 28,8 16,2 33,6
Koncentrált erővel és koncentrált nyomatékkal terhelt csuklós többtámaszú tartó, két belső csuklóval. F1 = 10 kN
M= 4,5 kNm
60
E
A 4,5 m
1,5
o
1
B 3,0
F2 = 4 kN 60 o
C 3,0
2
F 1,5
D
2,0
2,5
F2 = 4 kN
M= 4,5 kNm
60
A
I.
F
E
2
o
I.
D
F1 = 10 kN 60
E
B
1
II.
o
C
F
A ferde erők komponenseinek számítása: F1 X = 10 ⋅ cos 60 o = 5,0 kN (← ) F1Y = 10 ⋅ sin 60 o = 8,66 kN (↓ ) F2 X = 4 ⋅ cos 60 o = 2,0 kN (← )
F2Y = 4 ⋅ sin 60 o = 3,46 kN (↓ )
56
STNB 211
Mechanika I. Statika
A beakasztott tartók reakció erői I. tartórész (A,E)
AY = EY =
II. tartórész (F,D) ∑MF = 0 DY =
4,5 = 1 kN 4,5
3,46 ⋅ 2 = 1,54 kN (↑ ) 4,5
FY = 3,46 − 1,54 = 1,92 kN (↑ ) FX = 2 kN (→ )
Megtámasztó tartó reakciói
∑M ∑F ∑F
C
=0
1 ⋅ 7,5 − 8,66 ⋅ 3 + 1,92 ⋅ 1,5 + BY ⋅ 6 = 0
Y
=0
CY − 1 + 8,66 − 2,6 + 1,92 = 0
X
=0
B X − 5,0 − 2,0 = 0
N +
T +
-
3,6
CY = −6,98(↑)
B X = 7,0 kN (→)
7
1
BY = 2,6 kN (↑ )
2
5,06
+
1,54
1,92
4,5
2,88
M 1,5 3,84 12,3
Nyomatékok meghatározása: M B = 1 ⋅ 1,5 = 1,5 kNm M 1 = 1 ⋅ 4,5 + 2,6 ⋅ 3 = 12,3 kNm
(megtámasztó tartó mezőezőközn )
M C = −1,92 ⋅ 1,5 = 2,88 kNm
M 2 = 1,92 ⋅ 2,0 = 3,84 kNm(beakasztott tartó F − D ) 57
STNB 211
Mechanika I. Statika
Javasolt feladatok a gyakorláshoz Készítsék el a tartók belső erő ábráit!
q = 2 kN/m A
F2 = 10 kN
F1 = 6 kN
B
D 2,5
3
8m
3,2
2,3
C
28,28 kN
45 o
C
B
4m A
2
2m
2
58
STNB 211
Mechanika I. Statika
5.6 Három csuklós keret tartók Azokat a tartókat, ahol a két törtvonalú, vagy íves tartóelemet egymáshoz is és a környezethez is csuklókkal kapcsolunk, három csuklós tartóknak nevezzük. A tartó csak akkor statikailag határozott, ha a három csukló nem esik egy egyenesbe. Ahogy a többtámaszú csuklós tartóknál, ebben az esetben is, a tartó szétbontható merev testekre. A merev testeknek önmagukban is egyensúlyban kell lenniük, vagyis teljesülniük kell az egyensúlyi feltételeknek. (nyomatéki, vetületi egyensúlyi egyenletek). Ugyanakkor az egyensúlyi feltételek az egész tartóra is érvényesek.
A szétbontott tartó: F2
F1
F1
Cy
F3
C
F2
C Cx
C
Cx C
A
Ax
B
By
Ay
F3
Cy
A
Bx B
Ax
A
B
Bx B
By
Ay
A Terhelô erôk: F1, F2, F3
Küls ô támaszer ôk: A, B (Ax, Ay,Bx,By)
C
Bels ô támaszer ô: C (Cx, Cy)
C C
A
B C
C C
A
C
C
B
B
B
A
B
A
A
C
B
A 59
STNB 211
Mechanika I. Statika
A támaszerők meghatározása számítással a statikai egyensúlyi egyenletek segítségével történik. Az egyenletek felírási sorrendjének helyes megválasztásával az egyenletek egy ismeretlent tartalmaznak, így könnyen megoldhatók. Kivétel, amikor a két támaszcsukló nem azonos magasságban helyezkedik el, ebben az esetben két ismeretlenes líneáris egyenletrendszer megoldásával kapjuk meg a támaszreakciókat. Amennyiben a belső csukló, külső koncentrált erővel terhelt, a vetületi egyensúlyt a belső csuklóra is igazolni kell. A háromcsuklós kerettartók alakja, és a belső csukló elhelyezése igen változatos lehet. Bizonyos egyszerű terhelések esetén az egyensúlyozó erőkre vonatkozóan összefüggéseket vonhatunk le. A következő ábráknál a terhelés ábrázolásával egyidejűleg, az alakhelyes nyomatéki ábrát is rászerkesztettük a tartók tengelyvonalára.
1
2
3
4
5
6
60
STNB 211
Mechanika I. Statika
7
8
9
10
11
12
Az ábrák alapján a következő összefüggéseket vonhatjuk le:
− A szimmetria feltételeinek teljesülése esetén (a teher is és a tartó geometriája is szimmetrikus) a „C” belső csukló erő vízszintes lesz (3, 6 eset) − Amennyiben a csukló külső erővel nem terhelt, a nyomatéki ábra a csuklóponton keresztül, törés nélkül halad át (2, 4, 5 eset) − Amennyiben a tartón a terhelés csak függőleges erőkből áll, a két talpcsuklóban ébredő reakció vízszintes komponensei azonos nagyságúak de ellentétes irányúak lesznek (1, 2, 3 eset) − Az ingaoszlop (keretláb, amely két végén csuklós és terheletlen) görgős támasznak felel meg (7, 8, 9, 10, 11 eset) − Amennyiben az egy terhelő erő a támasz fölé esik, hatásvonala átmegy a támaszponton, a kerettartó egyik felén van csak belső erő. (12 eset) − Amennyiben a kerettartó egyik fele terheletlen, a terheletlen részen lévő talpcsuklóban ébredő reakció erő hatásvonalát megadja a talpcsuklót és a belső csuklópontot összekötő egyenes (1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11 eset) − Amennyiben a teher 1 db koncentrált erő, akkor három erő egyensúlyának feltétele alapján a terhelő erő és a két reakció erő hatásvonalának egy közös pontban kell metszenie egymást (statika II. alaptétele) 61
STNB 211
Mechanika I. Statika
Vízszintes megoszló teherrel terhelt tartó, talpcsuklók azonos magasságban Támaszerők meghatározásának sorrendje: − Nyomatéki egyensúlyi egyenlet az egész keretre → BY − Függőleges erők vetületi egyensúlyi egyenlete az egész keretre → AY − Nyomatéki egyenlet a baloldali merev testre, a belső csuklóra felírva → AX − Vízszintes erők vetületi egyenlete az egész keretre → BX 4 ⋅ 6 ⋅ 3 + 2 ⋅ 6 ⋅ 3 − BY ⋅ 9 = 0 BY = 12 kN ↑ ∑M A = 0
∑F ∑M ∑F
=0
Y
C bal
AX = 21 kN (←)
− 4 ⋅ 6 ⋅ 3 − 12 ⋅ 4,5 − AX ⋅ 6 = 0
=0
X
AY = 12 kN (↓)
− 12 + AY = 0 =0
()
B X = 15 kN (←)
4 ⋅ 6 + 2 ⋅ 6 − 21 − B X = 0
Nyomatéki értékek : M 1 = M 2 = +21 ⋅ 6 − 4 ⋅ 6 ⋅ 3 = −54 kNm balról belül húzott M 3 = M 4 = +15 ⋅ 6 − 2 ⋅ 6 ⋅ 3 = +54 kNm
jobbról kívül húzott Cy
q2 = 2 kN/m
q1 = 4 kN/m C
Cx Cx
2 1
3
4
Cy
6m A 4,5 m
3
x=5,25 m
C
B
21 kN 12 kN
-
By
12 3
+ T 15
21
3
54
54 54
55,125
-
+
12
Bx
+
15 kN
12 kN -
Ax
Ay
4,5 m
A
B
A
B
N
12
M 62
STNB 211
Mechanika I. Statika
Függőleges megoszló teherrel terhelt tartó, a talpcsuklók azonos magasságban (a tartó geometriája is, és a teher is szimmetrikus!)
20 ⋅ 9 = 90 kN (↑ ) 2 =0 90 ⋅ 4,5 − 20 ⋅ 4,5 ⋅ 2,25 − AX ⋅ 6,0 = 0
AY = BY =
∑M ∑F
C bal
X
AX = 33,75 kN (→)
B X = 33,75 kN (←)
=0
M 1 = M 2 = M 3 = M 4 = 33,75 ⋅ 6 = 202,5 kNm (kívül húzott ) x=
21 = 5,25 m 4
M max = 21 ⋅ 5,25 − 4 ⋅
q = 20 kN/m
5,25 2 = 55,125 kNm 2 C
C 2
C x Cx
3
4
6,0
1
Ax 4,5
4,5 m
A
B
Ay
By
Bx
q = 20 kN/m - 90 C
+ 90 -
33,75 A
B
-
-
90
33,75 33,75
90 kN
90 kN
+
33,75
T
202,5
33,75
202,5
-
N
90
M 63
STNB 211
Mechanika I. Statika
Általános teherrel terhelt tartó, a talpcsuklók nem azonos magasságban (a keret egyik fele terheletlen!) Q=6kN/m 2 4
2,0 m
3
1
F=12kN A
5
2,0 m
6
B 2,0 m
4,0 m
3,0 m
2 3
1
Ax
4
A
5 6
Ay
Vektorháromszög
F
α
=
Fx = 0,8·F Fx = 9,6 kN
3
B
Fy = 0,6·F Fy = 7,2 kN
5
4
kN α 12
Bx By
Cx Cy
C
Cy
3
4
5
2
C
1
Ax
A Ay
Cx
6
B
Bx By
64
STNB 211
Mechanika I. Statika
A terheletlen tartórészen a támaszerő hatásvonala a két csuklót összekötő egyenes.
∑M
B
=0
(az erő hatásvonala 45 )
AX = AY = 0,707 ⋅ A
o
− 6 ⋅ 4 ⋅ (2 + 3) − 7,2 ⋅ 1,5 − 9,6 ⋅ 2 + AY ⋅ 9 + AX ⋅ 2 = 0
− 6 ⋅ 4 ⋅ (2 + 3) − 7,2 ⋅ 1,5 − 9,6 ⋅ 2 + 0,707 ⋅ A ⋅ 9 + 0,707 ⋅ A ⋅ 2 = 0
∑F ∑F
AY (↑ )
AX (→)
AX = AY = 13,64 kN
A = 19,29 kN
B X = 4,04 kN (←)
X
=0
13,64 − 9,6 − B X = 0
Y
=0
6 ⋅ 4 + 7,2 − 13,64 − BY = 0
BY = 17,56 kN (↑ )
A belső erő ábrák megszerkesztéséhez szükség van a BX és BY támaszerő komponensek felbontására, normál és tangenciális összetevőkre. B X erő felbontása BY erő felbontása
N X = 0,6 ⋅ 4,04 = 2,42 kN (− )
N Y = 0,8 ⋅ 17,56 = 14,05 kN (− )
N B = −2,42 − 14,05 = −16,47 kN 13,64
T X = 0,8 ⋅ 4,04 = 3,23 kN (+ )
TY = 0,6 ⋅ 17,56 = 10,54 kN (− )
TB = +3,23 − 10,54 = −7,31 kN
-
-
13,64 N
7 ,4 16
x=2,27 - 10,36 +
T
9 4 ,6
-
13,64
+
13,64
1 7 ,3
6,56
16,67
15,5 M
18,26 65
STNB 211
Mechanika I. Statika
Nyomatéki értékek: M 1 = M 2 = −16,34 ⋅ 2 = −27,28 kNm
(balról ) (szétbontott tartón balról ) M 3 = M 4 = 13,64 ⋅ 4 − 6 ⋅ 4 ⋅ 2 = 6,56 kNm ( jobbról ) M 5 = M 6 = −17,56 ⋅ 1,4 + 4,04 ⋅ 2 = −18,26 kNm
13,64 2,27 2 = 2,24 m M max = 13,64 ⋅ 2,27 − 6 ⋅ = 15,5 kNm (szétbontott tartón balról ) 6 2 Javasolt feladatok a gyakorláshoz: Készítsék el a tartók kótázott belső erő ábráit x=
F1 = 20 kN
F2 = 40 kN q = 10 kN/m
C F3 = 30 kN
2,0
2,5 m A 1,0
F1 =10 kN
B 3,0 m
1,0 1,0
2,0
F2 =20 kN 50 kN
C
B 2
2m
2
4,0
q = 12 kN/m
B 2,0
A
6m
6m
C
A 4,0 m
1,0
66
