TESIS - SS14 2501
PERAMALAN OUTFLOW TIAP PECAHAN UANG KARTAL DENGAN METODE ARIMAX, HYBRID ARIMAX-ANN, DAN VARI-X (Studi Kasus Bank Indonesia Regional Surabaya) RENNY ELFIRA WULANSARI NRP. 1314 201 032
DOSEN PEMBIMBING Dr. Ir. Setiawan, MS. Dr. Suhartono, M.Sc.
PROGRAM MAGISTER JURUSAN STATISTIKA PROGRAM PASCA SARJANA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2017
i
TESIS – SS14 2501
ARIMAX, HYBRID ARIMAX-ANN, AND VARI-X METHODS FOR FORECASTING EACH SHEET OF CURRENCY OUTFLOW (Case of Study Bank Indonesia Surabaya Region) RENNY ELFIRA WULANSARI NRP. 1314 201 032
SUPERVISOR Dr. Ir. Setiawan, MS. Dr. Suhartono, M.Sc.
PROGRAM OF MAGISTER DEPARTEMENT OF STATISTICS FACULTY OF MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCE INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2017
ii
iii
Peramalan Outflow Tiap Pecahan Uang Kartal dengan Metode ARIMAX, Hybrid ARIMAX-ANN, dan VARI-X (Studi Kasus Bank Indonesia Regional Surabaya)
Nama mahasiswa NRP Pembimbing
: Renny Elfira Wulansari : 1314 201 032 : 1. Dr. Ir. Setiawan, MS 2. Dr. Suhartono, M.Sc
ABSTRAK Tujuan dari penelitian ini adalah mendapatkan metode terbaik untuk meramalkan outflow tiap pecahan uang kartal berbentuk kertas di Bank Indonesia (BI) regional Surabaya. Peredaran uang kartal terbagi menjadi dua, yaitu arus uang masuk (inflow) dan arus uang keluar (outflow). Telah banyak penelitian yang fokus pada inflow dan outflow, maka penelitian ini akan mengulas lebih jauh peramalan outflow pecahan uang kertas Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000. Penelitian ini akan membandingkan hasil peramalan antara metode univariat yaitu ARIMAX dan hybrid ARIMAX-ANN setiap pecahan uang kartal kertas. Untuk melihat bagaimana pengaruh outflow pecahan uang kartal satu dengan yang lain, akan digunakan pula metode multivariat VARI-X pada penelitian ini. ARIMAX yang digunakan adalah ARIMAX dengan efek hari raya Idul Fitri sebagai variabel eksogen variasi kalender, sedangkan ANN yang digunakan adalah RBFN. Periode data yang digunakan pada penelitian ini adalah Januari 2010 hingga Desember 2014 sebagai in-sample, dan Januari 2015 hingga Desember 2015 sebagai out-sample. Hasil RMSE out-sample menunjukkan model terbaik untuk pecahan Rp 100.000 dan Rp 20.000 adalah model hybrid ARIMAX-ANN. Sedangkan untuk pecahan Rp 50.000 model terbaiknya dihasilkan oleh VARI-X. Model ARIMAX merupakan model terbaik dalam peramalan pecahan Rp 10.000 dan Rp 5.000. Berdasarkan RMSE out-sample aditifnya, untuk outflow pecahan Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000, model VARI-X memberikan hasil peramalan yang jauh lebih baik dibanding 2 metode lainnya, akan tetapi hanya untuk peramalan 5 langkah (bulan) ke depan. Kata kunci : Uang Kartal, Peramalan, ARIMAX, hybrid ARIMAX-ANN, VARI-X
iv
(Halaman Ini Sengaja Dikosongkan)
v
ARIMAX, Hybrid ARIMAX-ANN, and VARI-X Methods for Forecasting Each Sheet of Currency Outflow (Case of Study Bank Indonesia in Surabaya Region)
Student Name NRP Supervisor
: Renny Elfira Wulansari : 1314 201 032 : 1. Dr. Ir. Setiawan, MS 2. Dr. Suhartono, M.Sc
ABSTRACT The aim of this study is to find the best method for forecasting each sheet of currency outflow in Bank Indonesia (Surabaya Region). There are two kind of currency, such as inflow and outflow. There are many research which focus in inflow and outflow, so this research will give more detail analyze of each sheet of currency outflow such as Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000, and Rp 5.000. This study compare the forecasting models based on univariate method such as ARIMAX and hybrid ARIMAX-ANN. For observing how the impact of one currency outflow sheet with the other, VARI-X as multivariate method is used in this study. The exogen variable of ARIMAX method are the Eid al-Fitr as calendar variation dummy, and the RBFN as the ANN. The data period used in this study is from January 2010 until December 2014 as the in-sample data and January 2015 until December 2015 as the out-of-sample data. The result showed that, based on out-of-sample RMSE, hybrid ARIMAX-ANN method perfoms best on Rp 100.000 and Rp 20.000. VARI-X method perfoms best on Rp 50.000, and ARIMAX method perfoms best on forecasting currency outflow of Rp 10.000 and Rp 5.000. Based on the additive of out-of-sample RMSE, VARI-X method perform best on Rp 20.000, Rp 10.000, and Rp 5.000 than the others, but only for forecasting 5 steps (month) forward. Keyword : Currency Outflow, Forecasting, ARIMAX, hybrid ARIMAX-ANN, VARI-X
vi
(Halaman Ini Sengaja Dikosongkan)
vii
KATA PENGANTAR Alhamdulillah, segala puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT, karena berkat limpahan rahmat Allah SWT semata penulis dapat menyelesaikan Tesis yang berjudul: PERAMALAN OUTFLOW TIAP PECAHAN UANG KARTAL DENGAN METODE ARIMAX, HYBRID ARIMAX-ANN, DAN VARI-X (Studi Kasus Bank Indonesia Regional Surabaya). Tesis ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains (M.Si), Jurusan Statistika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Dalam penyelesaian Tesis ini penulis banyak mendapatkan bantuan, bimbingan, dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis megucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak Dr. Suhartono, M.Sc selaku Ketua Jurusan Statistika ITS Surabaya dan dosen pembimbing 2 atas pengarahan, saran, dan semangat untuk menyelesaikan tesis ini. 2. Bapak Dr. Ir. Setiawan, MS selaku dosen pembimbing 2 atas pengarahan, saran, dan semangat untuk menyelesaikan tesis ini. 3. Ibu Santi Puteri Rahayu M.Si, Ph.D dan Ibu Irhamah M.Si, Ph.D selaku dosen penguji yang memberikan masukan selama penulisan tesis ini. 4. Kedua orang tua dan adik-adik atas segala motivasi, doa, kesabaran, pengorbanan dan kasih sayang yang selalu diberikan kepada penulis. 5. Seluruh dosen Statistika ITS yang telah memberikan banyak ilmu, serta teman-teman Statistika ITS yang selalu memberikan semangat dalam proses perkuliahan hingga penyelesaian tesis. 6. Pihak-pihak lain yang mendukung dan membantu atas terselesaikannya tesis ini.
Penulis menyadari sepenuhnya bahwa penyusunan tesis ini masih jauh dari kesempurnaan, kritik dan saran yang sifatnya membangun diharapkan sebagai masukan dalam penelitian selanjutnya. Semoga penelitian ini dapat bermanfaat bagi pembaca.
Surabaya, Januari 2017 Penulis
viii
(Halaman Ini Sengaja Dikosongkan)
ix
DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL ............................................ Error! Bookmark not defined. LEMBAR PENGESAHAN ................................. Error! Bookmark not defined. ABSTRAK ............................................................................................................. iv ABSTRACT .......................................................................................................... vi KATA PENGANTAR ........................................................................................viii DAFTAR ISI .......................................................................................................... x DAFTAR TABEL ............................................................................................... xiv DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... xvi DAFTAR LAMPIRAN........................................................................................ xx
BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................... 1 1.1 Latar Belakang ................................................................................................. 1 1.2 Rumusan Masalah ............................................................................................ 6 1.3 Tujuan Penelitian ............................................................................................. 6 1.4 Manfaat Penelitian ........................................................................................... 7 1.5 Batasan Masalah .............................................................................................. 7
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ........................................................................... 9 2.1 Tinjauan Time Series ....................................................................................... 9 2.1.1 Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA).................................. 9 2.1.2 Autoregressive Integrated Moving Average with Exogenous Input (ARIMAX) ................................................................................................. 10 2.1.3 Identifikasi Model ARIMAX ....................................................................... 11 2.1.4 Estimasi ARIMAX dengan Conditional Least Square (CLS) ..................... 14
2.1.4.1 Estimasi Conditional Least Square untuk Model Autoregressive ................................................................... 14 2.1.4.2 Estimasi Conditional Least Square untuk Model Moving Average ................................................................. 16 2.1.4.3 Estimasi Conditional Least Square untuk ARIMAX (Model Mixed) ................................................................... 16 x
2.1.4.4 Asumsi pada Model ARIMAX ........................................... 17 2.1.5 Vector Autoregressive Integrated with Exogenous Input (VARI-X)........... 18
2.1.5.1 Identifikasi Model VARI-X ............................................... 24 2.1.5.2 Estimasi Parameter Model VARI-X ................................... 26 2.1.5.3 Pengujian Signifikansi Parameter Model VARI-X ............ 28 2.1.5.4 Uji Kesesuaian Model VARI-X ......................................... 30 2.1.6 Radial Basis Function Network (RBFN) ..................................................... 31 2.1.7 Pemodelan Hybrid ....................................................................................... 37 2.1.8 Uji Terasvirta ............................................................................................... 38 2.1.9 Pemilihan Model Terbaik ............................................................................ 38
2.2 Tinjauan Umum ..............................................................................................39 2.2.1 Bank Indonesia ............................................................................................ 39
BAB III METODOLOGI PENELITIAN ......................................................... 41 3.1 Sumber Data ...................................................................................................41 3.2 Variabel Penelitian .........................................................................................41 3.3 Langkah Analisis ............................................................................................43
BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN ...................................................... 47 4.1 Karakteristik Outflow Regional Surabaya ......................................................47 4.1.1 Statistika Deskriptif Outflow Pecahan Uang Kartal .................................... 47 4.1.2 Identifikasi Efek Variasi Kalender (Hari Raya Idul Fitri) ........................... 48
4.2 Pemodelan Outflow dengan ARIMAX ...........................................................53 4.2.1 Pemodelan Outflow Pecahan Rp 100.000 dengan ARIMAX ...................... 53 4.2.2 Pemodelan Outflow Pecahan Rp 50.000 dengan ARIMAX ........................ 60 4.2.3 Pemodelan Outflow Pecahan Rp 20.000 dengan ARIMAX ........................ 63 4.2.4 Pemodelan Outflow Pecahan Rp 10.000 dan Rp 5.000 dengan ARIMAX ................................................................................................... 65
4.3 Pemodelan Outflow dengan Hybrid ARIMAX-ANN ....................................68 4.4 Pemodelan Outflow Regional Surabaya dengan VARI-X..............................70 4.4.1 Analisis Korelasi Pada Tiap Pecahan Outflow Regional Surabaya ............. 70 4.4.2 Stationeritas Data......................................................................................... 71 4.4.3 Pemodelan dengan VARI-X ........................................................................ 72
xi
4.5 Perbandingan Kebaikan Model ...................................................................... 75
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN............................................................... 89 5.1 Kesimpulan .................................................................................................... 89 5.2 Saran............................................................................................................... 90
DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 91 LAMPIRAN ......................................................................................................... 95 BIODATA PENULIS…………………………………………………… ........ 127
xii
(Halaman Ini Sengaja Dikosongkan)
xiii
DAFTAR TABEL
Tabel 2. 1
Halaman Bentuk Transformasi Box-Cox ....................................................... 11
Tabel 2. 2
Tabel Dicky-Fuller .......................................................................... 12
Tabel 3. 1
Variabel Dummy Hari Raya Idul Fitri .............................................. 42
Tabel 4. 1
Statistika Deskriptif Outflow Pecahan Uang Kartal (Miliar)............ 48
Tabel 4. 2
Hasil Pengujian ADF Pecahan Rp 100.000 .................................... 55
Tabel 4. 3
Uji Signifikansi Parameter ARIMAX Rp 100.000 ......................... 56
Tabel 4. 4
Uji Signifikansi Parameter ARIMAX Rp 100.000 Setelah Backward Elimination..................................................................... 57
Tabel 4. 5
Nilai RMSE Out-Sample dari Learning RBFN (Miliar) ................. 69
Tabel 4. 6
Hasil Analisis Korelasi Pearson ...................................................... 71
Tabel 4. 7
Hasil Pengujian Stasioneritas Varians dengan Box-Cox ................ 71
Tabel 4. 8
Hasil Uji Terasvirta ......................................................................... 80
Tabel 4. 9
Perbandingan RMSE Aditif Ramalan k Langkah Pecahan Rp 100.000 dan Rp 50.000.............................................................. 81
Tabel 4. 10 Perbandingan RMSE Aditif Ramalan k Langkah Pecahan Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000 .............................................. 83 Tabel 4. 11 Hasil Ramalan Outflow untuk Tahun 2016-2017 ........................... 85
xiv
(Halaman Ini Sengaja Dikosongkan)
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1
Halaman Contoh arsitetur model RBFN .................................................... 33
Gambar 2.2
Arsitektur model RBFN dengan 1 input, 2 hidden nodes, dan 1 output ................................................................................ 34
Gambar 2.3
Arsitektur model RBFN dengan 1 input, 3 hidden nodes, dan 1 output ................................................................................ 34
Gambar 2. 4
Arsitektur model RBFN dengan 2 input, 2 hidden nodes, dan 1 output ................................................................................ 35
Gambar 2. 5
Arsitektur model RBFN dengan 2 input, 3 hidden nodes, dan 1 output ................................................................................ 36
Gambar 3. 1
Langkah Analisis ........................................................................ 45
Gambar 4. 1
Diagram Outflow Pecahan Rp 100.000 Tahun 2010-2014 ......... 49
Gambar 4. 2
Diagram Outflow Pecahan Rp 50.000 Tahun 2010-2014 ........... 49
Gambar 4. 3
Diagram Outflow Pecahan Rp 20.000 Tahun 2010-2014 ........... 50
Gambar 4. 4
Diagram Outflow Pecahan Rp 10.000 Tahun 2010-2014 ........... 50
Gambar 4. 5
Diagram Outflow Pecahan Rp 5.000 Tahun 2010-2014 ............. 51
Gambar 4. 6
Diagram Batang Rata-Rata Outflow Menurut Hari Raya Idul Fitri Untuk Pecahan (a) Rp100.000 (b) Rp 50.000 (c) Rp 20.000 (d) Rp 10.000 dan (e) Rp 5.000 ........................... 52
Gambar 4. 7
Plot Time Series untuk Outflow Pecahan Rp 100.000 ................ 54
Gambar 4. 8
Plot Box-Cox Outflow Pecahan Rp 100.000 .............................. 54
Gambar 4. 9
Plot ACF dan PACF Data Outflow Rp 100.000 ......................... 55
Gambar 4. 10 Plot ACF dan PACF Data Outflow Rp 100.000 Setelah Differencing 1 ............................................................................. 56 Gambar 4. 11 Plot Time Series Data Asli dan Ramalan Outflow Rp 100.000 (a) In-sample Sebelum Re-transformasi (b) In-sample Setelah Re-transformasi (c) Out-sample Sebelum Re-transformasi (d) Out-sample Setelah Retransformasi ................................................................................ 58
xvi
Gambar 4. 12 RMSE Ramalan Outflow Rp 100.000 (a) Data In-sample (b) Data Out-sample ....................................................................59 Gambar 4. 13 Plot Time Series untuk Outflow Pecahan Rp 50.000 ..................60 Gambar 4. 14 Plot ACF dan PACF Data Outflow Rp 50.000 setelah Differencing 1 .............................................................................61 Gambar 4. 15 Plot Time Series Data Asli dan Ramalan Outflow Rp 50.000 (a) In-sample Sebelum Re-transformasi (b) In-sample Setelah Re-transformasi (c) Out-sample Sebelum Re-transformasi (d) Out-sample Setelah Retransformasi .................................................................................62 Gambar 4. 16 RMSE Ramalan Outflow Rp 50.000 (a) Data In-sample (b) Data Out-sample ....................................................................62 Gambar 4. 17 Plot Time Series untuk Outflow Pecahan Rp 20.000 ..................64 Gambar 4. 18 Plot ACF dan PACF Data Outflow Rp 20.000 Setelah Differencing 1 .............................................................................64 Gambar 4. 19 Plot Time Series untuk Outflow Pecahan (a) Rp 10.000 dan (b) Rp 5.000 .........................................................................66 Gambar 4. 20 Plot ACF dan PACF Data Outflow Rp 10.000 Setelah Differencing 1 .............................................................................66 Gambar 4. 21 Plot ACF dan PACF Data Outflow Rp 5.000 Setelah Differencing 1 .............................................................................67 Gambar 4. 22 Plot MCCF dan MPCCF Data Outflow Setelah di Differencing ................................................................................72 Gambar 4. 23 Plot MCCF Residual Data ..........................................................75 Gambar 4. 24 Hasil RMSE Model-Model Outflow Pecahan Uang Kartal (a) In-Sample dan (b) Out-Sample ...................................76 Gambar 4. 25 Plot Time Series In-Sample dan Out-Sample Pecahan (a) Rp 100.000 (b) Rp 50.000 (c) Rp 20.000 (d) 10.000 dan (e) 5.000 ......................................................................................79 Gambar 4. 26 Plot RMSE Aditif k Langkah Pecahan (a) Rp 100.000 dan (b) Rp 50.000 ..............................................................................82
xvii
Gambar 4. 27 Plot RMSE Aditif k Langkah Pecahan (a) Rp 20.000 dan (b) Rp 10.000 dan (c) Rp 5.000 .................................................. 84 Gambar 4. 28 Plot Time Series Ramalan Outflow Pecahan (a) Rp 100.000, (b) Rp 50.000, (c) Rp 20.000, (d) Rp 10.000 dan (e) Rp 5.000 ................................................................................ 88
xviii
(Halaman Ini Sengaja Dikosongkan)
xix
DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran A. Hasil Proses Pemodelan ARIMAX Rp 50.000 .............................. 95 Lampiran B. Hasil Proses Pemodelan ARIMAX Rp 20.000 .............................. 98 Lampiran C. Hasil Proses Pemodelan ARIMAX Rp 10.000 ............................ 100 Lampiran D. Hasil Proses Pemodelan ARIMAX Rp 5.000 .............................. 102 Lampiran E. Output SPSS Hasil Estimasi Parameter RBFN Residual ARIMAX Pecahan Rp 100.000 ................................................... 104 Lampiran F. Output SPSS Hasil Estimasi Parameter RBFN Residual ARIMAX Pecahan Rp 50.000 ..................................................... 107 Lampiran G. Output SPSS Hasil Estimasi Parameter RBFN Residual ARIMAX Pecahan Rp 20.000 ..................................................... 110 Lampiran H. Output SPSS Hasil Estimasi Parameter RBFN Residual ARIMAX Pecahan Rp 10.000 ..................................................... 113 Lampiran I. Output SPSS Hasil Estimasi Parameter RBFN Residual ARIMAX Pecahan Rp 5.000 ....................................................... 116 Lampiran J. Output SAS Hasil Estimasi VARI-X Restrict ............................. 119 Lampiran K. Syntax SAS dan R ....................................................................... 122
xx
(Halaman Ini Sengaja Dikosongkan)
xxi
BAB I PENDAHULUAN 1.1
Latar Belakang Analisis time series merupakan sebuah analisis dengan aktivitas yang luas saat
ini. Time series atau deret waktu merupakan serangkaian urutan observasi yang dihimpun secara berurutan dalam kurun waktu tertentu (Box, Jenkins, & Reinsel, 2008). Time series muncul pada banyak bidang. Pada bidang pertanian, time series digunakan untuk meneliti harga dan produksi tahunan dari hasil pertanian. Pada bidang bisnis dan ekonomi, time series dapat digunakan untuk meneliti harga tutup saham harian, suku bunga bulanan, harga indeks bulanan, penjualan, dan pendapatan tahunan. Pada bidang teknik, time series dapat digunakan untuk mengobservasi suara sinyal elektrik, dan voltase. Dalam geofisika, pendeteksian turbulensi pada gelombang laut dan earth noise di suatu area juga dapat menggunakan time series. Untuk studi medis time series digunakan untuk mengukur deteksi aktivitas otak (electroencephalogram / EEG) dan deteksi detak jantung (electrocardiogram / EKG). Di bidang meteorologi, time series memonitor kecepatan angin tiap jam, temperatur harian, dan curah hujan harian. Di quality control, dalam memonitor proses sesuai dengan nilai target tertentu juga menggunakan time series. Sedang dalam bidang sosial, time series dapat digunakan untuk mempelajari tingkat kelahiran tahunan, tingkat kematian, tingkat kecelakaan, dan berbagai jenis tingkat kriminalitas (Wei, 2006). Berdasarkan jumlah variabel respon yang diamati, peramalan time series dibagi menjadi dua yaitu univariat dan multivariat. Berdasarkan linieritas data, analisis time series juga dibagi menjadi dua yaitu linier dan non linier (De Gooijer & Hyndman, 2006). Selama 25 tahun terakhir ini telah banyak para ilmuwan/peneliti yang mengembangkan peramalan time series (De Gooijer & Hyndman, 2006). Pada 25 tahun yang lalu, exponential smoothing merupakan metode ekstrapolasi pada time series univariat, dimana sering digunakan dalam bidang bisnis dan industri, namun perkembangannya tidak begitu bagus. Selanjutnya, perubahan awal dari time series ditunjukkan pada abad ke-19, dimana Yule (1927) memperkenalkan gagasan bahwa setiap time series dapat dianggap sebagai proses stokastik. Sejak saat itu,
1
berdasarkan gagasan sederhana tersebut, metode time series telah banyak dikembangkan. Slutsky, Walker, Yaglom, dan Yule merupakan peneliti yang pertama kali dalam merumuskan konsep model Autoregressive (AR) dan Moving Average (MA). Hingga sekarang sudah banyak modifikasi-modifikasi dari model AR dan MA, seperti ARIMA, ARIMA dengan tambahan exogenous input yang disebut ARIMAX, serta ARIMA yang digabungkan dengan metode-metode modern, dan sebagainya. Kemudian, model Vector ARIMA (VARMA) merupakan generalisasi multivariat dari univariat ARIMA. Model VARMA pertama kali dikenalkan oleh Quenouille (1957). Sejak model VARMA ini dapat menampung asumsi exogeneity dan hubungan kontemporer, model ini menawarkan tantangan baru bagi para ilmuwan time series. Pada tahun 2005, Cologni dan Manera melakukan penelitian tentang hubungan antara harga minyak, inflasi, dan suku bunga di Negara G-7 (Kanada, Perancis, Jerman, Italia, Jepang, UK, dan US) menggunakan model VAR. Model VAR ini merupakan bentuk tereduksi dari model VARMA. Pada banyak penelitian dalam bidang ekonomi, umumnya dalam peramalan time series biasanya hanya menggunakan efek dari Autoregressive (AR). Hal tersebut dilakukan, karena dalam bidang ekonomi tidak hanya melakukan peramalan namun juga memprioritaskan interpretasi dari model. Sama halnya dengan model ARIMA, perkembangan model VAR juga dapat dipengaruhi oleh exogenous input yang disebut dengan VARX. Seperti yang kita ketahui kebanyakan data time series belum bersifat stasioner dalam rata-rata, sehingga data perlu distasionerkan menggunakan differencing. Maka muncullah model Vector Autoregressive Integrated with Exogenous Input (VARI-X). Model VARI-X pernah diteliti oleh Ulyah et al. (2014) pada peramalan volume penjualan total sepeda motor di Kabupaten Bojonegoro dan Lamongan. Bank Indonesia (BI) merupakan bank sentral Republik Indonesia yang memiliki satu tujuan tunggal, yakni mencapai dan menjaga kestabilan nilai rupiah. BI merupakan lembaga negara yang independen dalam melaksanakan tugas dan wewenangnya, bebas dari campur tangan Pemerintah dan/atau pihak lain, kecuali untuk hal-hal yang secara tegas diatur dalam undang-undang Republik Indonesia. BI mempunyai otonomi penuh dalam merumuskan dan melaksanakan setiap tugas 2
dan wewenangnya sebagaimana ditentukan dalam undang-undang tersebut (Bank Indonesia, 2013). Dalam menetapkan kebijakan moneter Bank Indonesia, salah satu ilmu yang dapat diterapkan adalah ilmu statistika. Ada berbagai ilmu yang dapat diterapkan misalnya analisis data, matematika keuangan, manajemen resiko, dan time series. Peredaran uang kartal merupakan segmen yang selalu dipantau oleh BI agar BI dapat menentukan kebijakan terhadap proses aliran uang kertas yang keluar dari Bank Indonesia kepada perbankan dan masyarakat (outflow), dan juga aliran uang masuk dari perbankan ke BI (inflow). Hal ini dilakukan dalam memenuhi tujuan tunggal BI. Pemantauan uang kartal tersebut salah satunya dengan melakukan peramalan uang kartal. Uang kartal sendiri merupakan uang kertas dan uang logam yang beredar di masyarakat yang dikeluarkan dan diedarkan oleh Bank Indonesia (Solikin & Suseno, 2002). Penelitian tentang peramalan peredaran uang telah banyak dilakukan di berbagai negara dengan menggunakan metode statistika maupun ekonomi. Dheerasinghe (2006) melakukan penelitian tentang pemodelan dan peramalan peredaran uang di Sri Lanka dengan data uang harian, mingguan, serta bulanan menggunakan metode ARMA dengan penambahan efek tren, musiman, dan komponen siklis. Adapula Luguterah, Anzagra, dan Nasiru (2013) melakukan pemodelan peredaran uang di Ghana menggunakan metode Regresi Dummy dengan pengaruh bulan. Selain itu, pemodelan dan peramalan peredaran uang sebagai manajemen likuiditas di Nigeria dilakukan oleh Ikoku (2014). Penelitian di Nigeria ini menggunakan berbagai metode antara lain AR(1), ARIMA, Seasonal ARIMA (SARIMA), Vector Autoregressive (VAR), dan Vector Error Correction (VEC). Di negara Indonesia sendiri, Karomah et al. (2014) pernah meneliti tentang peramalan netflow uang kartal dengan model variasi kalender dan Autoregressive Distributed Lag (ARDL). Netflow merupakan selisih antara outflow dengan inflow. Hasil penelitian dari Karomah menyatakan bahwa model variasi kalender memberikan peramalan yang lebih baik dibandingkan dengan model ARDL. Pada tahun yang sama, Wulansari et al. (2014) melakukan peramalan netflow uang kartal dengan metode ARIMAX dan Radial Basis Function Network (RBFN) yang juga memberikan hasil yang sama, yakni model ARIMAX menghasilkan peramalan 3
yang lebih baik. Pada tahun 2015, Hanim et al melakukan penelitian mengenai peramalan inflow dan outflow di tingkat Nasional, Provinsi DKI Jakarta, dan Provinsi Jawa Timur menggunakan berbagai metode peramalan yaitu ARIMA, Regresi Time Series dan ARIMAX. Hasil dari penelitian Hanim menghasilkan bahwa pada metode ARIMAX memberikan hasil peramalan yang lebih baik. Pada Wulansari et al (2014), Karomah et al (2014) dan Hanim et al (2015), peredaran uang kartal yang diramalkan adalah keseluruhan netflow, inflow, maupun outflow. Metode ARIMAX yang digunakan pada ketiga penelitian ini merupakan ARIMAX yang salah satu variabel eksogen utamanya adalah momen Idul Fitri. Diketahui negara Indonesia merupakan negara dengan mayoritas penduduknya beragama Islam, sehingga momen Idul Fitri merupakan momen besar yang dapat mempengaruhi pola perekonomian Indonesia. Pada penelitian ketiganya menunjukkan bahwa Idul Fitri memberikan pengaruh yang signifikan pada peredaran uang kartal di Indonesia. Fokus dari penelitian kali ini adalah pada peramalan outflow pecahan uang kartal yakni pecahan uang kartal kertas Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000. Dengan adanya berbagai macam pecahan uang kartal tersebut, dalam penyediaan stok uang kartal yang akan diedarkan ke masyarakat tentunya dibutuhkan perdiksi besar nilai tiap-tiap pecahan tersebut agar BI dapat menyiapkan stok uang kartal yang akan dikeluarkan dengan baik. Maka dari itu penelitian ini akan melakukan peramalan akan besar outflow setiap pecahan uang kartal tersebut. Melihat performa yang baik dari ARIMAX dengan Idul Fitri sebagai variabel eksogen pada penelitian-penelitian sebelumnya, maka pada penelitian ini salah satu yang digunakan adalah ARIMAX dengan Idul Fitri sebagai variabel eksogen. Walaupun pada penelitian-penelitian sebelumnya metode ARIMAX telah memberikan hasil peramalan yang lebih baik, akan tetapi akurasi peramalan ARIMAX sendiri masih harus ditingkatkan. Salah satu cara untuk meningkatkan performa ARIMAX ini adalah dengan menggunakan model hybrid. Model ini mengkombinasikan keuntungan dari model linier dan non-linier. Seperti yang kita tahu, model linier seperti ARIMAX memiliki keuntungan dengan mudahnya ia diinterpretasikan. Di sisi lain, non-linier model diketahui memiliki tingkat akurasi yang tinggi, biasanya untuk data training, akan tetapi sulit untuk diinterpretasikan. 4
Model hybrid dikenalkan oleh Zhang (2003) dimana ia mengkombinasikan ARIMA sebagai komponen linier dan Artificial Neural Network (ANN) sebagai komponen non-liniernya. Hasil penelitian dari Zhang menunjukkan bahwa hybrid ARIMA-ANN dapat meningkatkan tingkat akurasi peramalan dibandingkan dengan hasil dari peramalan ARIMA saja atau ANN saja secara terpisah. Maka metode hybrid ARIMAX-ANN juga akan digunakan pada penelitian ini untuk melihat apakah tingkat akurasi dari outflow tiap pecahan uang kartal juga dapat menjadi lebih baik ketika menggunakan metode ini. Bukan tidak mungkin struktur data time series tertentu terbentuk dari struktur linier dan non-linier sekaligus (Zhang, 2003). Pada data seperti ini, model ARIMAX hanya dapat menangkap hubungan linier, sehingga komponen non-linier masih ada pada error. Berdasarkan prosedur model hybrid, residual butuh untuk dimodelkan dengan model non-linier. ANN merupakan model yang dapat membentuk berbagai jenis data non-linier. Keuntungan menggunakan ANN adalah tidak ada spesifikasi/asumsi khusus yang harus digunakan sebelum membentuk model (Zhang & Berardi, 1998). ANN telah banyak digunakan pada peramalan data time series, seperti pada penelitian Faraway dan Chatfield (1998), juga Prayoga et al (2015). Pada penelitian-penelitian sebelumnya, metode yang digunakan masih merupakan metode peramalan univariat untuk netflow, outflow, maupun inflow. Akan tetapi, seperti yang kita tahu bisa saja terdapat hubungan antara outflow uang pecahan yang satu terhadap uang pecahan yang lain. Misalnya, ketika terjadi penambahan outflow uang kartal pecahan Rp 10.000 menjelang hari raya Idul Fitri, outflow uang kartal pecahan Rp 5.000 juga akan mengalami kenaikan, atau malah menurunkan outflow-nya. Secara empiris, didapatkan hasil bahwa antara outflow tiap pecahan uang kartal memang terdapat korelasi atau hubungan yang signifikan pada alpha maksimal 10%. Maka dari itu, penelitian kali ini juga akan melakukan peramalan outflow uang kartal secara multivariat menggunakan metode Vector Autoregressive Integrated with Exogenous Input (dengan Idul Fitri sebagai variabel eksogennya) atau VARI-X. Yang menjadi variabel respon pada metode VARI-X ini adalah outflow pecahan uang kartal Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000.
5
Berdasarkan yang telah diuraikan pada paragraf-paragraf sebelumnya, penelitian kali ini akan melakukan pemodelan dan peramalan outflow beberapa pecahan uang kartal Bank Indonesia mengunakan metode univariat ARIMAX dan hybrid ARIMAX-ANN, juga metode multivariat VARI-X. Penelitian ini dilakukan untuk outflow uang kartal regional Surabaya.
1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan pada latar belakang yang telah diuraikan, adapun lima rumusan masalah yang akan dibahas. 1. Bagaimana deskripsi data outflow uang kartal kertas pecahan Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000 yang beredar di Indonesia? 2. Bagaimana pemodelan data outflow uang kartal kertas pecahan Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000 yang beredar di Indonesia menggunakan metode ARIMAX? 3. Bagaimana pemodelan data outflow uang kartal kertas pecahan Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000 yang beredar di Indonesia menggunakan metode hybrid ARIMAX-ANN? 4. Bagaimana pemodelan data outflow uang kartal kertas pecahan Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000 yang beredar di Indonesia menggunakan metode VARI-X? 5. Bagaimana perbandingan kebaikan peramalan data outflow uang kartal kertas pecahan Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000 yang beredar di Indonesia?
1.3 Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan masalah, maka ada lima tujuan penelitian yang akan dicapai. 1. Menganalisa statistika destkriptif dari data outflow tiap pecahan uang kartal kertas yang beredar di Indonesia. 2. Mendapatkan model univariat ARIMAX dengan Idul Fitri sebagai efek variasi kalender pada data outflow tiap pecahan uang kartal kertas yang beredar di Indonesia. 6
3. Memodelkan data outflow tiap pecahan uang kartal kertas menggunakan metode univariat hybrid ARIMAX-ANN. 4. Membentuk model data outflow pecahan uang kartal kertas secara multivariat dengan metode VARI-X. 5. Mengevaluasi kebaikan peramalan dari setiap model dengan membandingkan akurasi out-sampel setiap model.
1.4
Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah memberikan salah satu alternatif metode
peramalan dalam permasalahan peredaran uang kartal di Indonesia. Hasil ramalan tersebut dapat menjadi salah satu cara untuk mengontrol persiapan pencetakan uang kartal oleh Bank Indonesia.
1.5
Batasan Masalah Dalam penelitian ini hanya akan diramalkan outflow uang kartal dalam bentuk
uang kertas senilai pecahan Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000. Data ini berupa data outflow bulanan Bank Indoensia regional Surabaya periode Januari 2010 hingga Desember 2015. Variabel prediktor yang dilibatkan hanya variabel dummy hari raya Idul Fitri. ANN yang digunakan di penelitian ini adalah Radial Basis Function Network (RBFN) dengan fungsi aktivasi pada hidden layer nya adalah fungsi Gaussian. Learning pada RBFN dibatasi dengan menggunakan 1 hingga 5 neuron pada hidden layer.
7
(halaman ini sengaja dikosongkan)
8
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada tinjauan pustaka akan dibagi menjadi dua bagian, yaitu bagian tinjauan statistika yang menjelaskan metode yang akan digunakan untuk menunjang penelitian dan bagian tinjauan umum yang menjelaskan studi kasus yang akan diteliti.
2.1
Tinjauan Time Series Tinjauan time series yang digunakan pada penelitian ini meliputi model Auto-
regressive Integrated Moving Average (ARIMA), ARIMA with Exogenous Input (ARIMAX), Vector Autoregressive Integrated with Exogenous Input (VARI-X), Artificial Neural Network (ANN), Pemodelan hybrid, dan pemilihan model terbaik.
2.1.1
Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
Metode Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) merupakan penggabungan antara model Autoregressive (AR) dan Moving Average (MA) serta proses differencing (orde d untuk data non musiman, orde D untuk data musiman) terhadap data time series (Wei, 2006, hal. 72). Secara umum, model ARIMA non musiman dapat dituliskan sebagai ARIMA (p,d,q) dengan model matematis sebagai berikut:
p ( B)(1 B)d Zt 0 q ( B)at
(2.1)
dengan, (p, d , q) : orde AR (p), differencing (d), MA (q) untuk pola non musiman,
p (B)
: koefisien komponen AR non musiman dengan derajat p, dengan
p ( B) (1 1B 2 B2 ... p B p )
q (B)
: koefisien komponen MA non musiman dengan derajat q, dengan
q ( B) (1 1B 2 B2 ... q Bq )
at
: nilai residual pada waktu ke-t, dengan rata-rata 0 dan varians a , 2
9
Sedangkan model ARIMA musiman dapat dituliskan sebagai ARIMA (P,D,Q)S dengan model matematis berikut (Wei, 2006, hal. 166):
p ( Bs ) p ( B)(1 B)d (1 B s ) D Zt q ( B)Q ( B s )at ,
(2.2)
dengan: (P,D,Q)S : orde AR (P), differencing (D), MA (Q) untuk pola musiman, p (B S )
: koefisien komponen AR musiman S p ( B S ) (1 1 B S 2 B 2 S ... p B PS )
Q ( B S ) : koefisien komponen MA musiman S Q ( B S ) (1 1 B S 2 B 2 S ... Q B QS )
(1 B) d
: operator untuk differencing orde d,
(1 B S ) D : operator untuk differencing musiman S orde D, 2.1.2 Autoregressive Integrated Moving Average with Exogenous Input (ARIMAX) Model ARIMAX adalah model ARIMA dengan tambahan variabel. Terdapat beberapa jenis tambahan variabel, misalnya variabel-variabel dummy untuk efek variasi kalender dan tren stokastik. Variasi kalender merupakan pola musiman dengan panjang periode yang bervariasi. Variasi kalender bisa disebabkan oleh adanya variasi hari kerja dan variasi hari besar suatu agama/kebudayaan tertentu dari bulan ke bulan hingga tahun ke tahun (Lee & Suhartono, 2010, hal. 353). Model ARIMAX dengan tren stokastik adalah sebagai berikut: Zt 1V1,t 2V2,t ... kVk ,t
q B Q B S
p B B
S
1 B 1 B d
dengan: V k ,t
: variabel dummy untuk efek variasi kalender ke- k , : koefisien parameter variabel dummy variasi kalender,
10
S
D
at ,
(2.3)
2.1.3
Identifikasi Model ARIMAX
Terdapat beberapa tahap dalam melakukan identifikasi model. Langkah pertama dari identifikasi model adalah mengidentifikasi kestasioneran data. Kemudian jika data telah stasioner, dilakukan identifikasi order ARIMAX berdasarkan Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF). Suatu data harus stasioner baik dalam mean maupun varian. Apabila data belum stasioner dalam varian, maka dilakukan transformasi data. Metode transformasi yang terkenal adalah transformasi Box-Cox yang ditampilkan pada Tabel 3.2 (Wei, 2006:85).
Tabel 2. 1 Bentuk Transformasi Box-Cox Nilai
Transformasi yang sesuai
-1,0
1/ Zt
-0,5
1/ Zt
0
ln( Zt )
0,5
Zt
1
Zt
Apabila data belum stasioner dalam rata-rata, maka dilakukan differencing. Pengujian ketidakstasioneran dalam rata-rata menggunakan uji Augmented DickeyFuller (ADF). Uji ADF merupakan pengembangan dari uji Dickey-Fuller (DF). Uji DF merupakan uji unit root yang menggunakan uji statistik tau (τ) dengan hipotesis: H0 : δ = 0, H1 : δ ≠ 0. Statistik uji yang digunakan dalam pengujian ini adalah:
ˆ
SE ˆ
.
Tolak H0 apabila nilai | τ | > τ tabel atau p-value < α yang menunjukkan bahwa data sudah stasioner dalam rata-rata. Ada tiga jenis pembanding τ , antara lain apabila persamaan uji ADF tanpa intercept / trend menggunakan statistik nc , apabila *
11
persamaan melibatkan intercept menggunakan statistik c , dan apabila persamaan *
melibatkan intercept dan trend menggunakan statistik tc . Nilai-nilai pembanding *
tersebut ditampilkan pada Tabel 2.2 (Gujarati, 2004:975).
Tabel 2. 2 Tabel Dicky-Fuller
nc*
Ukuran Sampel 25 50 100 250 500
c*
tc*
1%
5%
1%
5%
1%
-2.66 -2.62 -2.60 -2.58 -2.58 -2.58
-1.95 -1.95 -1.95 -1.95 -1.95 -1.95
-3.75 -3.58 -3.51 -3.46 -3.44 -3.43
-3.00 -2.93 -2.89 -2.88 -2.87 -2.86
-4.38 -4.15 -4.04 -3.99 -3.98 -3.96
5% -3.60 -3.50 -3.45 -3.43 -3.42 -3.41
Uji DF dilakukan dengan asumsi bahwa αt tidak berkorelasi. Ketika αt berkorelasi, uji DF dikembangkan menjadi uji ADF (Gujarati, 2004, hal. 817). Uji ADF dibagi menjadi uji ADF non-seasonal dan uji ADF seasonal. Persamaan regresi untuk uji ADF seasonal adalah (Enders, 2004): 1. Model Random Walk p
Zt Zt 1 i Zt i at
(2.4)
i 1
2. Model dengan intercept atau trend p
Zt 0 Zt 1 i Zt i at
(2.5)
i 1
3. Model dengan intercept dan trend p
Zt 0 1tr Zt 1 i Zt i at
(2.6)
i 1
Sedangkan uji ADF seasonal menggunakan model multiplikatif sebagai berikut (Dickey, Hasza, & Fuller, 1984).
1
d
Bd 1 1B 2 B2
12
p B p Zt at
(2.7)
Statistik uji ADF seasonal diperoleh dengan langkah: 1. Estimator awal ˆi dan taksiran residual aˆt diperoleh dengan melakukan regresi
d Zt dengan d Zt 1 , , d Zt p .
2. Melakukan regresi aˆt dengan 1 ˆ1B ˆ2 B 2
ˆp B p Zt d ,
d Zt 1 , …,
d Zt p untuk mendapatkan estimasi δ dan i ˆi . Formula dari ACF untuk identifikasi order ARIMAX adalah sebagai berikut (Wei, 2006, hal. 10):
Cov(Zt , Zt k )
k
Var(Zt ) Var(Zt k )
,
(2.8)
dimana: ρk : autokorelasi pada lag ke - k, k : 1,2,3,...
Cov(Zt , Zt k ) E(Zt )(Zt k )
Var(Zt ) Var( Zt k ) . Sedangkan ACF yang digunakan dalam sampel adalah sebagai berikut (Wei, 2006, hal. 20): nk
ˆ k
Z t 1
t
Z Z t k Z
Z n
t 1
t
Z
.
(2.9)
2
PACF adalah korelasi antara Zt dan Zt-k setelah pengaruh Zt+1, Zt+2, …, Zt+k-1 dihilangkan. Formula dari PACF adalah sebagai berikut:
k
Cov[( Zt Zˆt ),( Zt k Zˆt k )] . Var( Zt Zˆt ) Var( Zt k Zˆt k )
13
(2.10)
Sedangkan PACF yang digunakan dalam sampel adalah sebagai berikut (Wei, 2006, hal. 22): k
ˆk 1,k 1
ˆ k 1 ˆkj ˆ k 1 j j 1 k
1 ˆkj ˆ j
,
(2.11)
j 1
dan
ˆk 1, j ˆkj ˆk 1,k 1ˆk ,k 1 j ,
j 1,2,..., k.
(2.12)
2.1.4 Estimasi ARIMAX dengan Conditional Least Square (CLS) 2.1.4.1 Estimasi Conditional Least Square untuk Model Autoregressive Untuk model AR(1) dimana
Zt 0 ( Zt 1 0 ) at
(2.13)
at ( Zt 0 ) ( Zt 1 0 ).
dengan n observasi, residual yang dapat dijumlahkan hanya dari t = 2 hingga t = n. Fungsi dari conditional sum of square adalah sebagai berikut (Cryer & Chan, 2008, hal. 154): n
Sc ( , 0 ) ( Zt 0 ) (Zt 1 0 ) , 2
(2.14)
t 2
μ0 dan ϕ diestimasi dari nilai masing-masing yang meminimumkan Sc(ϕ,μ0) dari nilai observasi Z1,Z2,…,Zn. Hasil meminimumkan dari penyelesaian μ0 adalah:
Sc ( , 0 ) n 2 ( Zt 0 ) ( Zt 1 0 ) (1 ) 0 . 0 t 2
(2.15)
Solusi untuk μ0 adalah: n 1 n 0 Zt Zt 1 . (n 1)(1 ) t 2 t 2
Untuk n besar,
1 n 1 n Zt 1 Z . Zt n 1 n 1 t 2 t 2 14
(2.16)
Sehingga, tanpa memperhatikan nilai ϕ, persamaan (2.16) tereduksi menjadi:
ˆ 0
1 Z Z Z . 1
(2.17)
Perhitungan ini juga dapat digunakan dalam proses estimasi AR(p) lainnya secara umum (Cryer & Chan, 2008, hal. 155). Sedangkan hasil meminimumkan dari penyelesaian 𝜙 adalah:
Sc ( , Z ) n 2 ( Zt Z ) ( Zt 1 Z ) ( Zt 1 Z ) 0 . t 2
(2.18)
Sehingga solusi ϕ untuk adalah: n
ˆ
(Z Z )(Z t
t 2
t 2
Z)
.
n
(Z
t 1
t 1
Z)
(2.19)
2
Untuk menggeneralisasi estimasi dari ϕ, model AR(2) dipertimbangkan. Dalam fungsi conditional sum of square, diganti menjadi, sehingga: n
Sc (1 , 2 , Z ) ( Zt Z ) 1 ( Zt 1 Z ) 2 ( Zt 2 Z ) . 2
(2.20)
t 3
Maka hasil peminimumannya adalah: n Sc 2 ( Zt Z ) 1 ( Zt 1 Z ) 2 ( Zt 2 Z ) ( Zt 1 Z ) 0 . 1 t 3
(2.21)
yang dapat dituliskan sebagai berikut:
n 2 ( Z Z )( Z Z ) t t 1 ( Z t 1 Z ) 1 t 3 t 3 n
n ( Zt 1 Z )( Z t 2 Z ) 2 . t 3 Jika kedua sisi dari persamaan (2.22) dibagi dengan
n t 3
(2.22)
( Zt Z )2 , maka, kecuali
efek terakhir, yang diabaikan asumsi statisoneritas nya: 1 1 12 . 15
(2.23)
Dengan cara yang sama, untuk perhitungan Sc / 2 0 menghasilkan: 2 11 2 .
(2.24)
Persamaan (2.23) dan (2.24) adalah contoh persamaan Yule-Walker untuk model AR(2). Untuk model stasioner AR(p) secara umum, estimasi conditional least square dari ϕ didapatkan dari penyelesaian persamaan Yule-Walker (Cryer & Chan, 2008, hal. 156).
2.1.4.2 Estimasi Conditional Least Square untuk Model Moving Average Untuk model MA(1) dimana: Zt at at 1
(2.25)
Model MA(1) dapat dituliskan menjadi sebuah model autoregressive dengan infinite order sebagai berikut:
Zt Zt 1 2 Zt 2 3Zt 3 ... at Sehingga, conditional least square dapat diaplikasikan lewat pemilihan nilai θ yang meminimumkan: Sc ( ) at2 Zt Zt 1 2 Zt 2 3 Zt 3 ... t
2
(2.26)
t
dimana αt = αt (θ) adalah fungsi series dan parameter θ yang tidak diketahui. Untuk model MA(q) secara umum, dibutuhkan algoritma optimasi numerik (Cryer & Chan, 2008, hal. 157).
2.1.4.3 Estimasi Conditional Least Square untuk ARIMAX (Model Mixed) Untuk model ARMA(1,1):
Zt Zt 1 at at 1 at Zt Zt 1 at 1 Parameternya diestimasi lewat meminimumkan: n
Sc ( , ) at2 t 2
16
(2.27)
Untuk model umum ARMA(p,q): at Zt 1Zt 1 2 Zt 2 ... p Zt p 1at 1 2 at 2 ... q at q
(2.28)
dengan a p a p 1 ... a p 1q 0. Semua parameter dapat diperoleh dengan meminimumkan secara numerik (Cryer & Chan, 2008, hal. 158).
2.1.4.4
Asumsi pada Model ARIMAX
Model ARIMAX yang baik adalah yang residualnya memenuhi asumsi white noise dan berdistribusi normal. Arti white noise sendiri adalah residual pada waktu t tidak memiliki korelasi dengan residual pada waktu t – k dimana k = 1,2,3,… . Kondisi white noise dapat diuji dengan pengujian Ljung-Box dengan hipotesis: H0 :
1 2 ... K 0
H1 : paling tidak ada satu
k 0 dimana k = 1, 2,..., K.
Dengan satistik uji: K
QK n n 2 k 1
ˆ k2
n k
(2.29)
2 H0 ditolak jika QK lebih besar nilainya dari ;K p q atau p-value > α (Tsay, 2005,
hal. 27). Kenormalan dari residual dapat diperiksa dengan menggunakan uji Kolmogorov Smirnov dengan hipotesis: H0 : Fn(at) = F0(at) H1 : Fn(at) ≠ F0(at). Statistik ujinya adalah:
D sup Fn at F0 at
(2.30)
at
dimana Fn(at) adalah distribusi kumulatif dari residual dan F0(at) adalah distribusi kumulatif dari distribusi normal. H0 ditolak jika D lebih besar dari D(1-α,n) atau pvalue > α.
17
2.1.5 Vector Autoregressive Integrated with Exogenous Input (VARI-X) Model time series yang paling sederhana yaitu model univariat Autoregressive (AR) yang pertama kali dirumuskan oleh Slutsky, Walker, Yaglom, dan Yule (De Gooijer & Hyndman, 2006, hal. 446). Model AR secara umum dapat dituliskan (Wei, 2006, hal. 33):
p B Zt at dimana p B 1 1B 2 B2
p B p
(2.31)
Sehingga apabila diuraikan, bentuk persamaan model AR adalah:
Zt 1Zt 1 2 Zt 2
p Zt p at (2.32)
p
Zt i Zt i at i 1
dengan:
Zt
: deret output pada waktu ke- t , dengan Zt Zt , dimana adalah rata - rata dari deret output,
Z t 1 : deret input pada waktu ke- t – 1, Zt 2 : deret input pada waktu ke- t – 2, Zt p : deret input pada waktu ke- t – p,
1
: parameter Autoregressive (AR) orde 1,
2
: parameter Autoregressive (AR) orde 2,
p
: parameter Autoregressive (AR) orde p,
at
: nilai residual pada waktu ke- t , dengan rata-rata 0 dan varians a
2
Sementara generalisasi dari model AR yaitu model multivariat Vector Autoregressive (VAR). Model umum untuk VAR(p) dapat dituliskan (Wei, 2006, hal. 394):
p B Zt at dimana p B I 1B 2 B2 18
pBp
(2.33)
Maka apabila diuraikan, bentuk dari persamaan model VAR(p) adalah:
Zt 1 Zt 1 2 Zt 2
p Zt p at (2.34)
p
Zt i Zt i at i 1
Untuk bentuk matriks adalah: Z1,t 1,11 1,12 Z 2,t 1,21 1,22 Z m,t 1,m1 1,m 2
1,1m Z1,t 1 2,11 1,2 m Z 2,t 1 2,21
2,12 2,22
1,mm Z m,t 1 2,m1 2,m 2
p ,11 p ,12 p ,22 p ,21 p ,m1 p ,m 2
2,1m Z1,t 2 2,2 m Z 2,t 2
2,mm Z m,t 2
p ,1m Z1,t p a1t p ,2 m Z 2,t p a2t p ,mm Z m,t p amt
dengan: m
: banyak deret output,
Zt
: vektor deret output berukuran m1 pada waktu ke- t , dengan Zt Zt , dimana adalah vektor rata-rata dari deret output,
Zt1 : vektor deret input berukuran m1 pada waktu ke- t – 1, Zt2 : vektor deret input berukuran m1 pada waktu ke- t – 2, Zt p : vektor deret input berukuran m1 pada waktu ke- t – p,
1
: matriks parameter Autoregressive (AR) orde 1 berukuran
m m ,
2
: matriks parameter Autoregressive (AR) orde 2 berukuran
m m ,
p : matriks parameter Autoregressive (AR) orde p berukuran
m m ,
at
: vektor nilai residual berukuran m1 pada waktu ke- t , dengan rata-rata 0 dan varians-kovarians
19
Σa .
Untuk deret output sebanyak m 3 dan orde AR adalah p 2 akan dihasilkan persamaan model VAR(2) dalam bentuk matriks yaitu:
Zt 1 Zt 1 2 Zt 2 at
(2.35)
Z1,t 1,11 1,12 1,13 Z1,t 1 2,11 2,12 2,13 Z1,t 2 a1t Z 2,t 1,21 1,22 1,23 Z 2,t 1 2,21 2,22 2,23 Z 2,t 2 a2t . Z3,t 1,31 1,32 1,33 Z3,t 1 2,31 2,32 2,33 Z3,t 2 a3t Sehingga didapatkan persamaan untuk setiap model deret output sebagai berikut:
Z1,t 1,11Z1,t 1 1,12 Z2,t 1 1,13 Z3,t 1 2,11Z1,t 2 2,12 Z2,t 2 2,13Z3,t 2 a1t , Z2,t 1,21Z1,t 1 1,22 Z2,t 1 1,23 Z3,t 1 2,21Z1,t 2 2,22 Z2,t 2 2,23Z3,t 2 a2t ,
Z3,t 1,31Z1,t 1 1,32 Z2,t 1 1,33 Z3,t 1 2,31Z1,t 2 2,32 Z2,t 2 2,33Z3,t 2 a3t . Selanjutnya pada penelitian ini, model VAR akan dimodelkan dengan penambahan deret input dari variabel dummy. Model tersebut dikenal dengan istilah Vector Autoregressive with Exogenous Input (VARX). Model VARX(p,s*) secara umum dapat dituliskan (Akal, 2015, hal. 106):
p B Zt *s* B X t at dimana *s* B *0 1* B *2 B2 *s* B s* (2.36) Sehingga apabila diuraikan, bentuk dari persamaan model VARX(p,s*) adalah:
Zt 1 Zt 1 2 Zt 2 p
s*
i 1
j 0
p Zt p *0 X t 1* X t 1
*s* X t s* at (2.37)
Zt i Zt i *j X t j at Untuk bentuk matriks adalah: Z1,t 1,11 1,12 Z 2,t 1,21 1,22 Z m,t 1,m1 1,m 2
1,1m Z1,t 1 2,11 1,2 m Z 2,t 1 2,21
2,12 2,22
1,mm Z m,t 1 2,m1 2,m 2
20
2,1m Z1,t 2 2,2 m Z 2,t 2
2,mm Z m,t 2
p ,11 p ,12 p ,22 p ,21 p ,m1 p ,m 2
p ,1m Z1,t p *0,11 *0,12 p ,2 m Z 2,t p *0,21 *0,22 p ,mm Z m,t p *0,m1 *0,m 2
*1,11 *1,12 * 1,21 *1,22 * * 1,m1 1,m 2
*1,1r X 1t 1 *1,2 r X 2t 1
* 1,mr X rt 1
*0,1r X 1t *0,2 r X 2t *0,mr X rt
*s*,11 *s*,12 * s*,21 *s*,22 * * s*, m1 s*, m 2
*s*,1r X 1t s* a1t *s*,2 r X 2t s* a2t
* s*, mr X rt s* amt
dengan: r
: banyak exogenous input,
Xt
: vektor exogenous input berukuran r × 1 pada waktu ke- t,
X t1 : vektor exogenous input berukuran r × 1 pada waktu ke- t – 1, X t s* : vektor exogenous input berukuran r × 1 pada waktu ke- t – s*, *0
: matriks parameter exogenous input orde 0 (waktu ke-t) berukuran m × r,
1*
: matriks parameter exogenous input orde 1 berukuran m × r,
*s* : matriks parameter exogenous input orde s* berukuran m × r. Untuk deret output sebanyak m 3 , exogenous input sebanyak r = 2, orde AR adalah p = 2, dan orde exogenous input adalah s* = 1 akan dihasilkan persamaan model VARX(2,1) dalam bentuk matriks yaitu:
Zt 1 Zt 1 2 Zt 2 *0 X t 1* X t 1 at Z 1,t 1,11 Z 2,t 1,21 Z 1,31 3,t
(2.38)
1,12 1,13 Z1,t 1 2,11 2,12 2,13 Z1,t 2 1,22 1,23 Z2,t 1 2,21 2,22 2,23 Z2,t 2 1,32 1,33 Z3,t 1 2,31 2,32 2,33 Z3,t 2
* 0,11 *0,21 * 0,31
* *0,12 *1,12 a X 1,11 X 1t * * * 1 t 1 t 1 0,22 1,21 1,22 a2t . X 2t * X 2t 1 * * 0,32 1,31 1,32 a3t
21
Sehingga didapatkan persamaan untuk setiap model deret output sebagai berikut:
Z1,t 1,11Z1,t 1 1,12 Z2,t 1 1,13 Z3,t 1 2,11Z1,t 2 2,12 Z2,t 2 2,13Z3,t 2 *0,11 X1,t *0,12 X 2,t *1,11 X1,t 1 *1,12 X 2,t 1 a1t , Z2,t 1,21Z1,t 1 1,22 Z2,t 1 1,23 Z3,t 1 2,21Z1,t 2 2,22 Z2,t 2 2,23Z3,t 2 *0,21 X1,t
*0,22 X 2,t *1,21 X1,t 1 *1,22 X 2,t 1 a2t , Z3,t 1,31Z1,t 1 1,32 Z2,t 1 1,33 Z3,t 1 2,31Z1,t 2 2,32 Z2,t 2 2,33Z3,t 2 *0,31 X1,t *0,32 X 2,t *1,31 X1,t 1 *1,32 X 2,t 1 a3t . Kemudian apabila data time series yang digunakan belum bersifat stasioner dalam rata-rata, maka data dapat distasionerkan menggunakan differencing. Model VARX dengan tambahan differencing disebut dengan model VARI-X. Model VARI-X(p,d,s*) secara umum dapat dituliskan (Wei, 2006, hal. 400):
p B Zt* *s* B X t at dimana Zt* D( B) Z t 1 B d 0 dan D( B) 0
0
1 B 0
(2.39)
0 , d 1 B 0
d
dengan d merupakan orde dari differencing. Orde differencing hanya dibatasi hingga orde 1. Kemudian model VARI-X(p,1,s*) apabila diuraikan persamaannya adalah:
Z t* 1 Z t*1 2 Z t*2 *0 X t 1* X t 1 p
s*
i 1
j 0
p Z t* p *s* X t s* at
(2.40)
Z t* i Z t*i *j X t j at Untuk deret output sebanyak m = 3, exogenous input sebanyak r = 2, orde AR adalah p = 2, dan orde exogenous input adalah s* = 1, serta differencing sebanyak d = 1 akan dihasilkan persamaan VARI-X(2,1,1) dalam bentuk matriks yaitu:
22
Zt* 1 Zt*1 2 Zt*2 *0 X t 1* X t 1 at , Z* 1,t 1,11 Z * 2,t 1,21 * Z 3,t 1,31 * 0,11 *0,21 * 0,31
1,12 1,13 Z 1,t 1 2,11 2,12 2,13 Z 1,t 2 1,22 1,23 Z *2,t 1 2,21 2,22 2,23 Z *2,t 2 1,32 1,33 Z *3,t 1 2,31 2,32 2,33 Z *3,t 2 *
*
* *0,12 *1,12 a X 1,11 X 1t * * * 1 t 1 t 1 0,22 1,21 1,22 a2t X 2t * X 2t 1 * * 0,32 1,31 1,32 a3t
Karena Zt D( B) Z t maka persamaannya dalam bentuk matriks menjadi: *
1 B 0 0
0 Z1,t 1,11 1,12 1,13 1 B 0 0 Z1,t 1 1 B 0 Z 2,t 1,21 1,22 1,23 0 1 B 0 Z2,t 1 0 0 1 B Z 1,31 1,32 1,33 0 1 B Z 3,t 3,t 1
0
2,11 2,21 2,31 * 0,11 *0,21 * 0,31
1 B Z 1,t 1,11 1 B Z 2,t 1,21 1 B Z3,t 1,31 * 0,11 *0,21 * 0,31
2,12 2,13 1 B 0 2,22 2,23 0 1 B 0 2,32 2,33 0
0 Z1,t 2 0 Z2,t 2 1 B Z 3,t 2
* *0,12 *1,12 a X 1,11 X 1t * * * 1 t 1 t 1 0,22 1,21 1,22 a2t X 2t * X 2t 1 * * 0,32 1,31 1,32 a3t
1,12 1,13 1 B Z1,t 1 2,11 2,12 2,13 1 B Z1,t 2 1,22 1,23 1 B Z2,t 1 2,21 2,22 2,23 1 B Z 2,t 2 1,32 1,33 1 B Z3,t 1 2,31 2,32 2,33 1 B Z3,t 2
* *0,12 *1,12 a X 1,11 X 1t * * * 1 t 1 t 1 0,22 1,21 1,22 a2t X 2t * X 2t 1 * * 0,32 1,31 1,32 a3t
Nilai vektor residual (taksiran error) yang dinotasikan dengan et dihitung menggunakan persamaan: et at Zt Zt
23
(2.41)
2.1.5.1 Identifikasi Model VARI-X Dalam analisis time series, tahap yang paling krusial yaitu mengidentifikasi dan membuat model yang sesuai dengan pola data. Identifikasi model pada model univariat menggunakan plot Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF), sementara untuk model multivariat dapat dilihat dari Matrix Cross Correlation Function (MCCF) dan Matrix Partial Cross Correlation Function (MPCCF). Menggunakan vektor time series sebanyak n data,
Z1 , Z2 , , Zn , maka dapat menghitung MCCF seperti: l k lij k
(2.42)
dimana, lij k merupakan sample cross-correlations untuk komponen series pada level ke-i dan j yaitu:
Z Z Z k Z Z Z nk
lij
t 1
i ,t
2
n
t 1
i ,t
j ,t k
i
i
n
t 1
j ,t
Zj Zj
(2.43)
2 1/2
dengan Z i dan Z j merupakan rata-rata sampel dari komponen series yang bersesuaian (Wei, 2006, hal. 401-405). Barlett (1996) dan Wei (2006) telah menurunkan varians dan kovarians dari besaran korelasi silang yang diperoleh dari sampel. Apabila hipotesis menyatakan tidak ada korelasi antara Z i dan Z j maka Barlett menunjukkan bahwa:
Varians lij k
q 1 1 2 lii s l jj s , nk s 1
k q
(2.44)
Selanjutnya, ketika deret Z i dan Z j merupakan deret white noise diperoleh: Kovarians lij k , lij k s
Varians lij k
1 , nk
1 , nk
(2.45) (2.46)
Untuk ukuran sampel yang besar, (n − k) pada persamaan (2.46) seringkali diganti dengan n.
24
Tiao dan Box (1981) menggunakan simbol “+”,“-”, dan “.” Untuk merepresentasikan nilai koefisien korelasi dan matriks cross correlation dengan keterangan sebagai berikut: 1. Simbol “+” merepresentasikan nilai koefisien korelasi yang lebih besar atau sama dengan dari 2 kali estimasi standard error, 2. Simbol “-” merepresentasikan nilai koefisien korelasi yang lebih kecil atau sama dengan dari -2 kali estimasi standard error, 3. Simbol “.” merepresentasikan nilai koefisien korelasi diantara -2 kali estimasi standard error dan 2 kali estimasi standard error (didalam interval), dengan nilai standard error adalah 1 / n (Tsay, 2005, hal. 344). Selanjutnya, suatu perhitungan yang berguna untuk mengidentifikasi orde dari model univariat AR adalah Partial Autocorrelation Function (PACF). Matrix Partial Cross Correlation Function (MPCCF) digunakan untuk mengidentifikasi orde model multivariat AR pada lag k dengan notasi (k ) . Persamaan untuk MPCCF dapat dituliskan: ΓT (1) ΓT (0) 1 (k ) 1 ΓT (k ) cT (k ) K (k ) b(k )
, k 1,
ΓT (0) bT ( k ) K ( k ) b( k ) 1
1
(2.47) , k 1.
Untuk orde k 2 , maka K (k ) , b(k ) , dan c(k ) didefinisikan sebagai berikut. Γ(0) ΓT (1) Γ(1) Γ(0) K (k ) Γ(k 2) Γ(k 3)
ΓT (k 2) ΓT (k 3) Γ(0)
Γ(1) ΓT (k 1) Γ(2) T Γ (k 2) dan c (k ) b( k ) T Γ(k 1) Γ (1)
25
(2.48)
Apabila model yang terbentuk AR(p), maka (k ) dapat didefinisikan pada persamaan (2.49):
Φk 0
(k )
,k p , k p.
(2.49)
Estimasi sampel dari (k ) dapat diperoleh dengan mengganti Γ(k ) pada persamaan (2.47) dengan matriks kovarians sampel yaitu (Wei, 2006, hal. 405):
1 nk ( Zt Z )( Zt k Z )T n i 1
Γ( k ) dengan Z Z1 , Z 2 ,
, k 1, 2,
(2.50)
, Z m adalah vektor rata-rata sampel.
2.1.5.2 Estimasi Parameter Model VARI-X Estimasi parameter pada model VARI-X identik dengan estimasi parameter model VAR. Menggunakan data time series dengan banyak data (sampel) sebanyak n untuk masing-masing variabel sebanyak m, kita dapat mendefinisikan beberapa notasi sebagai berikut (Lutkepohl, 2005, hal. 69). Misal VAR(p):
Zt = μ + Φ1Zt-1 +…+ Φp Zt-p + et Dengan deskripsi: Z z1 , z2 ,
, zn m n ,
L ,1 , 2 , , p
m mp+1
,
1 zt At , z t-p+ 1 mp+1 1 A A0 ,
, An1 mp+1 n ,
E e1, e 2 ,
, e n m n ,
z vec Z mn 1 ,
C vec L
m pm 1 , 2
26
(2.51)
c vec LT
m2 p m 1
,
e vec E mn 1 .
(2.52)
Dengan menggunakan notasi-notasi tersebut untuk t 1, 2,
, n , model VAR(p)
pada persamaan (2.34) dapat dituliskan:
Z LA E ,
vec Z vec LA vec E AT m vec L vec E ,
z AT m C e .
(2.53)
Kovarians dari matriks e yaitu:
e n Σe ,
(2.54)
sehingga estimasi Least Square (LS) multivariat disebut Generalized Least Square (GLS) dari C berarti memilih estimator dan meminimalkan S C dimana: S C eT n e e 1
eT n e1 e
z AT m C vec Z LA
T
T
n
n
e1 z AT m C
e1 vec Z LA
T tr Z LA e1 Z LA .
(2.55)
Persamaan (2.55) diminimalkan maka: S C zT n e1 z C T A m n e1 AT m C 2C T A m n e1 z zT n e1 z C T AAT e1 C 2C T A e1 z .
(2.56)
Dalam meminimalkan S(C) terdapat syarat yaitu turunan pertama bernilai nol dan turunan kedua merupakan matriks definit positif. Oleh karena itu persamaan (2.56) diturunkan terhadap C dan didapatkan hasil:
S C 2 AAT e1 C 2 A e1 z . C 27
(2.57)
Persamaan (2.57) disamadengankan nol, sehingga didapatkan persamaan normal yaitu:
AA
T
e1 Cˆ A e1 z .
(2.58)
dan diperoleh estimasi parameter Cˆ sebagai berikut.
Cˆ
AA
T 1
e
Hessian dari S C adalah:
A z AA 1 e
T 1
A m z
2S C 2 AAT e1 T C C
(2.59)
(2.60)
Hessian tersebut merupakan matriks definit positif yang mengkonfirmasi bahwa
Cˆ
meminimalkan vektor. e merupakan residual least square multivariat dengan ukuran m × m. n 1 et etT n mp 1 t 1 1 ˆ ˆ Z LA Z LA n mp 1
ˆ e
T
(2.61) T 1 1 1 Z ZAT AAT A Z ZAT AAT A n mp 1 1 1 Z I n AT AAT A Z T n mp 1 Dengan cara yang sama, estimasi parameter model VARI-X diperoleh
menggunakan tahapan yang sama dengan VAR. Perlu diperhatikan bahwa apabila model linier multivariat mempunyai variabel eksogen yang berbeda untuk setiap variabel dependennya (deret output), maka estimasi regresinya menggunakan Seemingly Unrelated Regression (SUR).
2.1.5.3 Pengujian Signifikansi Parameter Model VARI-X Setelah didapatkan estimasi parameter dari model VARI-X, maka parameter tersebut harus dilakukan pengecekan terhadap signifikansi parameter menggunakan kriteria uji t (Lutkepohl, 2005, hal. 80). Hipotesis yang digunakan untuk pengujian signifikansi parameter orde AR pada model VARI-X adalah:
28
H0 : i , jk 0 , H1 : i , jk 0 ,
i 1, 2,
j 1, 2,
, p,
k 1, 2,
,m,
,m,
dengan:
i , jk
: parameter Autoregressive orde ke-i dengan deret output ke-jk
p
: orde Autoregressive
m
: banyak deret output
Statistik uji untuk parameter adalah:
thitung
i , jk
SE i , jk
.
Untuk hipotesis yang digunakan pada pengujian signifikansi parameter exogenous input yaitu:
H0 : *i, jk 0 ,
H1 : *i , jk 0 , i 1, 2, , s* ,
j 1, 2,
k 1, 2,
,m,
,r ,
dengan:
*i , jk
: parameter deret input orde ke-i dengan deret output ke-j serta deret exogenous input ke-k.
s*
: orde deret exogenous input
m
: banyak deret output
r
: banyak deret exogenous input
Statistik uji untuk parameter yaitu:
thitung Tolak H0 apabila thitung t
2
;df=n-n p
i*, jk
SE i*, jk
.
atau p-value < α yang menunjukkan bahwa
parameter ϕ dan θ dalam model signifikan. Dalam kasus ini, ˆ dan ˆ* merupakan estimasi parameter, n merupakan jumlah pengamatan, np merupakan jumlah parameter yang ditaksir, sementara SE merupakan nilai standard error dari
29
estimasi parameter ϕ, dan SE * merupakan nilai standard error dari estimasi parameter θ*.
2.1.5.4 Uji Kesesuaian Model VARI-X Untuk mendapatkan model VARI-X terbaik, setelah mengestimasi dan menguji semua parameter, adapula asumsi yang harus dipenuhi terhadap vektor residual yaitu uji white noise dan uji distribusi normal multivariat. 1. Uji Asumsi White Noise Pengujian asumsi white noise ini bertujuan untuk mengetahui signifikansi secara keseluruhan pada autokorelasi vektor residual. Uji yang digunakan dapat diperoleh berdasarkan hasil MCCF dari residual VARI-X dengan perhitungan MCCF seperti pada Subbab 2.1.5.1 sebelumnya. 2. Uji Asumsi Distribusi Normal Multivariat Uji asumsi distribusi normal multivariat dilakukan untuk mengetahui apakah vektor residual berdistribusi normal multivariat atau tidak. Pengujian dilakukan menggunakan uji normalitas multivariat Shapiro-Wilk (Alva & Estrada, 2009, hal. 1872). Jika diberikan e1 , e2 ,
, en merupakan vektor residual yang independen dan
identik dalam R m , m 1 . Misalkan N m 0, e merupakan densitas normal mvariate dengan vektor mean 0 dan matriks kovarians e . Ketika e1 , e2 , mengikuti
Nm 0, e
maka
i S 1/2 ei e Nm 0, e
dengan
, en S 1/ 2
merupakan akar kuadrat dari matriks definit positif S 1 . Sehingga, hipotesis yang akan digunakan yaitu:
H 0 : Vektor residual merupakan sampel dari distribusi Nm 0, e , H1 : Vektor residual bukan merupakan sampel dari distribusi Nm 0, e . Statistik uji yang digunakan dalam pengujian ini yaitu:
W*
1 m W , m i 1 i
30
dengan Wi merupakan statistik Shapiro-Wilk pada level ke- i dari observasi yang telah ditransformasi
i1 , i 2 , , in ,
i 1, 2,
,m.
Tolak H0 apabila nilai W * c ; n,m atau p-value < α yang menunjukkan bahwa vektor residual tidak memenuhi asumsi distribusi normal multivariat.
2.1.6
Radial Basis Function Network (RBFN)
Artificial Neural Network (ANN) atau jaringan saraf tiruan adalah sebuah system proses informasi yang memiliki karakteristik performa tertentu dalam jaringan saraf biologis. ANN telah dikembangkan sebagai generalisasi model matematis dari kesadaran manusia atau saraf biologi, berdasarkan asumsi-asumsi sebagai berikut: 1. Pemrosesan informasi terjadi pada banyak simple element yang disebut neuron. 2. Sinyal dilewatkan di antara neuron di atas connection links. 3. Masing-masing connection link memiliki bobot yang dikalikan dengan sinyal yang ditransmisi. 4. Masing-masing neuron menggunakan fungsi aktivasi (biasanya nonlinier) pada net input (jumlahan sinyal input terboboti) untuk menentukan sinyal output. Sebuah neural network digolongkan berdasarkan pola connection di antara neuron (disebut juga arstitektur), metode dalam mentukan bobot dari connection (disebut training, learning, atau algoritma), dan fungsi aktivasi (Fausett, 1994, hal. 3). Beberapa jenis desain neural networks antara lain back-propagation (feed forward), recurrent network, self-organizing map, radial basis function network, dan sebagainya. Terdapat beberapa komponen yang harus dipertimbangkan dalam metode ANN modeling, yaitu neuron, layer, fungsi aktivasi, dan bobot. Komponenkomponen ini akan sangat mempengaruhi dalam menentukan model ANN karena pembentukan model ANN didasarkan pada jumlah neuron dalam input layer, hidden layer, dan output layer serta fungsi aktivasi (Kusumadewi, 2004).
31
Secara umum Radial Basis Function Network (RBFN) memiliki komponen yang sama dengan ANN lainnya, yaitu memiliki neuron, fungsi aktivasi, dan bobot (weight). Pemodelan RBFN dilihat pada bentuk jaringan yang terdiri dari jumlah neuron pada input layer, jumlah neuron pada hidden layer, jumlah output pada output layer, serta fungsi aktivasi yang digunakan. Pada tiap node di hidden layer RBFN menggunakan Radial Basis Function (RBF) yang dilambangkan dengan (r ) . Fungsi aktivasi ini merupakan fungsi aktivasi nonlinier. RBFN dapat
mencapai solusi optimal yang global dengan menyesuaikan bobot dalam nilai MSE minimum menggunakan metode optimasi linier. Contoh pencarian output dari arsitektur RBFN pada gambar 2.1 dihasilkan dari persamaan berikut (Swammy, 2006, hal. 252). m1
F (x) wi (|| ||) i 1
(2.62)
dengan: F (x) Zt = output RBFN
wi
= bobot (weight) dari hidden unit ke-i menuju output unit
||.||
= Euclidean Norm
(r )
= Fungsi Aktivasi
Fungsi aktivasi yang biasa digunakan dalam RBFN adalah fungsi Gaussian, yaitu:
i x e
x ci 2 i2
2
(2.63)
dengan ci merupakan center dari hidden unit ke-i, yang pada penelitian ini menggunakan rata-rata dari data.
32
φ0 =1 (bias) w (weight)
x1
x2
Output Layer (dependent var.)
xm Input Layer (lag dependent var.) Hidden Layer Gambar 2.1 Contoh arsitektur model RBFN
Berikut adalah ulasan lebih lanjut tentang contoh-contoh arsitektur dari RBFN. Gambar 2.2 merupakan contoh arsitektur model RBFN dengan 1 input, 2 hidden nodes, dan 1 output. Persamaan matematis dari arsitektur RBFN pada gambar 2.2 adalah sebagai berikut: 2
F x wi (|| ||) w0 w11 () w22 ()
(2.64)
i 0
x x 1,i 1,1 dengan 1 () exp 2 2 1,1
2
x x dan 2 () exp 1,i 21,2 2 1,2
33
2
.
φ0 =1 (bias) w (weight)
φ1 x1 φ2 Input Layer (lag dependent var.)
Output Layer (dependent var.)
Hidden Layer
Gambar 2.2 Arsitektur model RBFN dengan 1 input, 2 hidden nodes, dan 1 output
φ0 =1 (bias) w (weight)
w0 φ1
w1
w2 x1
φ2
Output Layer (dependent var.)
Input Layer (lag dependent var.)
w3 φ3 Hidden Layer
Gambar 2.3 Arsitektur model RBFN dengan 1 input, 3 hidden nodes, dan 1 output
Gambar 2.3 merupakan contoh arsitektur model RBFN dengan 1 input, 3 hidden nodes, dan 1 output. Persamaan matematis dari arsitektur RBFN pada gambar 2.3 adalah sebagai berikut:
34
3
F x wi (|| ||) w0 w11 () w22 () w33 ()
(2.65)
i 0
dengan
x x 1,i 1,1 1 () exp 2 2 1,1
2
x x , 2 () exp 1,i 21,2 2 1,2
2
x x , dan 3 () exp 1,i 21,3 2 1,3
Gambar 2.4 merupakan contoh arsitektur model RBFN dengan 2 input, 2 hidden nodes, dan 1 output. Persamaan matematis dari arsitektur RBFN pada gambar 2.4 adalah sebagai berikut: 2
F x wi (|| ||) w0 w11 () w22 () i 0
dengan
x x 2 x x 1,i 1,1 2,i 2,1 1 () exp 2 2 2 1,1 2 2,1 x x 1,i 1,2 2 () exp 2 2 1,2
2
2
dan
2 x2,i x2,2 . 2 2 2,2
φ0 =1 (bias) w (weight)
x1
w0
φ1
w1
x2 w2 Input Layer (lag dependent var.)
φ2
Output Layer (dependent var.)
Hidden Layer Gambar 2. 4 Arsitektur model RBFN dengan 2 input, 2 hidden nodes, dan 1 output
35
(2.66)
2
Dan Gambar 2.5 merupakan contoh arsitektur model RBFN dengan 2 input, 3 hidden nodes, dan 1 output. Persamaan matematis dari arsitektur RBFN pada gambar 2.5 adalah sebagai berikut: 2
F x wi (|| ||) w0 w11 () w22 () w33 () i 0
dengan x x 1,i 1,1 1 () exp 2 2 1,1 x x 1,i 1,2 2 () exp 2 2 1,2 x x 1,i 1,3 3 () exp 2 2 1,3
2
2
2
2 x2,i x2,1 , 2 2 2,1 2 x2,i x2,2 , 2 2 2,2 2 x2,i x2,3 . 2 22,3
φ0 =1 (bias) w (weight)
w0 x1
φ1
w1
w2 x2
φ2
Output Layer (dependent var.)
Input Layer (lag dependent var.)
w3 φ3 Hidden Layer
Gambar 2. 5 Arsitektur model RBFN dengan 2 input, 3 hidden nodes, dan 1 output
36
(2.67)
2.1.7
Pemodelan Hybrid
ARIMA dan ARIMAX adalah model linier, sehingga model-model ini tidak dapat membaca pola data non-linier, tetapi kedua model ini mudah untuk diinterpretasikan. Sebaliknya, ANN adalah salah satu model non-linier yang baik, akan tetapi hasilnya sulit untuk diinterpretasikan. Pemodelan Hybrid ini dimaksudkan untuk menambah keakuratan peramalan data dari model linier yang mudah diinterpretasikan dengan mengkombinasikan model linier dengan model non-linier. Struktur dari pemodelan hybrid ini adalah
Zt Lt Rt
(2.68)
Dimana Lt adalah komponen linier dan Rt adalah komponen non-linier (Zhang G. P., 2003). Estimasi model ini dilakukan dengan dua tahap. Pertama, memodelkan komponen linier sehingga residual dari model linier ini hanya akan mengandung hubungan non-linier. Dengan αt merupakan residual pada waktu ke- t dari model linier, maka
at Zt Lt
(2.69)
Dimana Lˆt adalah nilai peramalan dari model linier pada waktu ke- t. Langkah selanjutnya adalah memodelkan αt dengan ANN. Residual dari model linier ini adalah at f at 1 , at 2 ,
, at k t
Rˆt t
(2.70)
Dimana f adalah fungsi non-linier yang didapatkan dari ANN dan Rˆt adalah hasil peramalan dari ANN pada waktu ke- t. Sehingga, model dari hybrid ARIMAX-ANN adalah
Zt Lt Rˆt t
37
(2.71)
2.1.8 Uji Terasvirta Uji non linieritas data dapat digunakan dengan Uji Terasvirta. Uji Terasvirta termasuk dalam kelompok uji Lagrange Multiplier (LM) dengan pendekatan ekspansi Taylor yang menggunakan statistik uji χ2 dengan derajat bebas v. Prosedur uji Terasvirta dijelaskan sebagai berikut (Terasvirta, Lin, & Granger, 1993): A. Meregresikan Yt pada 1, Yt-1, …, Yt-p dan menghitung nilai-nilai residual uˆt . B. Meregresikan uˆt pada 1, Yt-1, …, Yt-p dan v prediktor tambahan suku kuadratik dan kubik yang memrupakan hasil dari pendekatan ekspansi Taylor. C. Meghitung koefisien determinasi (R2) dari regresi pada langkah sebelumnya. D. Menghitung statistik uji χ2 = nR2 dengan n adalah jumlah pengamatan. Hipotesis yang digunakan adalah sebagai berikut: H0 : model linier H1 : model non-linier Statistik uji χ2 mengikuti distribusi v , keputusan tolak H0 jika p-value dari 2
statistik uji χ2 kurang dari taraf nyata / alpha.
2.1.9 Pemilihan Model Terbaik Pemilihan model terbaik menggunakan kriteria in-sample dan out-sample dengan membandingkan nilai Root Mean Squared Error (RMSE). Formula dari perhitungan RMSE adalah sebagai berikut: RMSE
1 N
Z N
t 1
t
Zt
2
dengan:
Zt
= vektor deret output pada waktu ke- t ,
Zt
= vektor estimasi deret output pada waktu ke- t ,
N
= jumlah ramalan yang dilakukan.
38
(2.72)
2.2
Tinjauan Umum Tinjauan umum yang akan dibahas pada penelitian ini menjelaskan mengenai
peran dan fungsi dari Bank Indonesia.
2.2.1
Bank Indonesia
Bank Indonesia merupakan bank sentral Republik Indonesia. Bank Indonesia mempunyai satu tujuan tunggal yaitu mencapai dan menjaga kestabilan nilai Rupiah. Bank Indonesia mempunyai kewenangan dalam mengeluarkan dan mengedarkan uang dengan pencapaian pemenuhan kebutuhan akan uang kartal di masyarakat dengan nominal yang cukup, jenis pecahan yang sesuai, tepat waktu, dan dalam kondisi yang layak edar (clean money policy) (Bank Indonesia, 2013). Dalam pengelolaan pengedaran uang ini, salah satunya dapat dilakukan dengan peramalan peredaran uang kartal. Peredaran uang kartal ini dibagi menjadi dua sebagai berikut: 1. Inflow merupakan informasi mengenai aliran uang kertas dan uang logam yang masuk dari perbankan dan masyarakat ke Bank Indonesia, terdiri dari setoran bank umum, setoran non-bank, kas keliling dalam rangka hasil penukaran, penyetoran dalam rangka kas titipan di bank umum, dan penyetoran lainnya. 2. Outflow merupakan informasi mengenai aliran uang kertas dan uang logam yang keluar dari Bank Indonesia kepada perbankan dan masyarakat, terdiri dari penarikan bank umum, penarikan non-bank, kas keliling dalam rangka penukaran, penarikan dalam rangka kas titipan di bank umum, dan penarikan lainnya.
39
(Halaman Ini Sengaja Dikosongkan)
40
BAB III METODOLOGI PENELITIAN 3.1
Sumber Data Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder berupa data
bulanan outflow tiap pecahan uang kartal dari Surabaya, mulai tahun 2010 hingga 2015, yang diperoleh dari Bank Indonesia. Data yang digunakan dibagi menjadi dua bagian yaitu data bulan Januari 2010 hingga Desember 2014 sebagai data insample (60 data) dan data bulan Januari 2015 hingga Desember 2015 sebagai data out-sample (12 data). 3.2
Variabel Penelitian Berdasarkan tujuan penelitian, maka variabel penelitian yang digunakan ada
dua macam sebagai berikut: 1. Variabel Respon
Z1,t = Outflow uang kartal pecahan Rp 100.000 pada bulan ke-t
Z 2,t = Outflow uang kartal pecahan Rp 50.000 pada bulan ke-t
Z 3,t = Outflow uang kartal pecahan Rp 20.000 pada bulan ke-t Z 4,t = Outflow uang kartal pecahan Rp 10.000 pada bulan ke-t Z 5,t = Outflow uang kartal pecahan Rp 5.000 pada bulan ke-t 2. Variabel Prediktor Variabel prediktor / eksogen yang terlibat pada penelitian ini hanyalah variabel eksogen non-matriks berupa dummy hari raya Idul Fitri sebagai berikut.
Vi ,t 1 = Variabel dummy bernilai 1 pada satu bulan sebelum hari raya Idul Fitri dan bernilai 0 pada bulan lainnya pada minggu ke-i. (dinamakan Vi,t– pada model VARI-X)
Vi ,t
= Variabel dummy bernilai 1 pada bulan hari raya Idul Fitri dan bernilai 0 pada bulan lainnya pada minggu ke-i.
41
Vi ,t 1 = Variabel dummy bernilai 1 pada satu bulan setelah hari raya Idul Fitri dan bernilai 0 pada bulan lainnya pada minggu ke-i. (dinamakan Vi,t+ pada model VARI-X)
1, 2, dengan: i 3, 4,
Minggu ke-1, tanggal 1 hingga 7 Minggu ke-2, tanggal 8 hingga 14 Minggu ke-3, tanggal 15 hingga 21 Minggu ke-4, tanggal 22 hingga 31
Akan tetapi, mulai tahun 2010 hingga 2015 tidak terdapat hari raya yang terjadi pada minggu ke-1. Sehingga didapatkan variabel dummy hari raya Idul Fitri pada tahun 2010 hingga 2015 yang ditampilkan pada Tabel 3.1.
Tabel 3.1 Variabel Dummy Hari Raya Idul Fitri Tahun
Idul Fitri
Variabel Dummy
V2,t 1 2010
10-11 Septembe r (M-2)
V2,t V2,t 1 V4,t 1
2011
30-31 Agustus (M-4)
V4,t
V4,t 1 V3,t 1 2012
19-20 Agustus (M-3)
V3,t
V3,t 1
1, 0, 1, 0,
Tahun
Idul Fitri
bulan Agustus
Variabel Dummy
V2,t 1
bulan lainnya bulan September bulan lainnya
1, 0,
bulan Oktober bulan lainnya
1, 0, 1, 0,
bulan Juli
1, 0, 1, 0, 1, 0,
bulan September
1, 0,
bulan September
2013
08-09 Agustus (M-2)
V2,t V2,t 1 V4,t 1
bulan lainnya bulan Agustus
2014
bulan lainnya
28-29 Juli (M-4)
V4,t
V4,t 1
bulan lainnya bulan Juli
V3,t 1
bulan lainnya bulan Agustus
2015
bulan lainnya bulan lainnya
17-18 Juli
V3,t
V3,t 1
1, 0, 1, 0,
bulan Juli
1, 0,
bulan September bulan lainnya
1, 0, 1, 0,
bulan Juni
bulan lainnya bulan Agustus bulan lainnya
bulan lainnya bulan Juli bulan lainnya
1, 0, 1, 0, 1, 0,
bulan Agustus
1, 0,
bulan Agustus
bulan lainnya bulan Juni bulan lainnya bulan Juli bulan lainnya bulan lainnya
Variabel eksogen yang dimasukkan pada VARI-X cukup variabel Vi,t–1 saja (Vi,t–), karena dengan menggunakan orde 2 untuk orde variabel eksogennya (s*=2), akan memunculkan pengaruh bulan hari raya Idul Fitri (Vi,t) dan 1 bulan setelah hari raya Idul Fitri (Vi,t+).
42
3.3
Langkah Analisis Langkah-langkah analisis yang dilakukan untuk mencapai tujuan dari penelitian
ini sebagai berikut: 1. Untuk menjawab tujuan pertama, melakukan analisis deskriptif terhadap seluruh data uang kartal kertas pecahan Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000 yang beredar di Indonesia menggunakan statistika deskriptif, plot time series, dan diagram batang. 2. Untuk menjawab tujuan kedua, melakukan pemodelan data uang kartal kertas pecahan Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000 yang beredar di Indonesia menggunakan metode ARIMAX sebagai berikut. a. Memeriksa stasioneritas data in-sample outflow uang kartal. b. Memodelkan data in-sample outflow dengan menggunakan model ARIMAX, serta melakukan pemeriksaan signifikansi parameter, asumsi white noise, dan asumsi berdistribusi normal. c. Apabila ada lebih dari satu model ARIMAX, maka perlu membandingkan dan memilih berdasarkan peramalan data out-sample outflow dengan nilai RMSE terkecil sehingga didapatkan model terbaik. 3. Untuk menjawab tujuan ketiga, melakukan pemodelan data uang kartal kertas pecahan Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000 yang beredar di Indonesia menggunakan metode hybrid ARIMAX-ANN sebagai berikut. a. Menentukan input dan output dari ANN. Yang menjadi variabel output adalah residual at dari model ARIMAX, dan lag dari residual at ARIMAX sebagai variabel input. Pada analisis dari residual, pola nonlinier dari data tidak bisa dideteksi. Tidak ada statistik diagnostik untuk hubungan autokorelasi untuk model non-linier (Zhang G. P., 2003, hal. 165). Maka dari itu, pada penelitian ini lag residual yang menjadi variabel input dibatasi hanya lag 1, lag 2 dan lag 3. b. Menentukan fungsi aktivasi dari ANN. Pada penelitian ini fungsi aktivasi yang digunakan adalah fungsi aktivasi Gaussian. c. Melakukan pembelajaran ANN untuk mendapatkan model hybrid ARIMAX-ANN. 43
d. Karena ada lebih dari satu model hybrid ARIMAX-ANN yang didapat dari beberapa jumlah yang berbeda, maka perlu membandingkan dan memilih berdasarkan peramalan data out-sample outflow dengan nilai RMSE terkecil sehingga didapatkan model terbaik. 4. Untuk menjawab tujuan keempat, melakukan pemodelan data uang kartal kertas pecahan Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000 yang beredar di Indonesia menggunakan metode VARI-X sebagai berikut. a. Memeriksa stasioneritas data in-sample outflow uang kartal seperti pada langkah awal metode ARIMAX . b. Mengidentifikasi orde model VARI-X menggunakan plot MPCCF. c. Memodelkan data in-sample outflow dengan menggunakan model VARI-X, serta melakukan pemeriksaan signifikansi parameter, asumsi white noise, dan asumsi berdistribusi normal multivariat pada alpha maksimal 10%. d. Melakukan peramalan data out-sample outflow dari metode VARI-X. 5. Untuk menjawab tujuan kelima, melakukan perbandingan kebaikan peramalan data outflow uang kartal kertas pecahan Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000 yang beredar di Indonesia adalah dengan membandingkan seluruh nilai RMSE dan melihat metode mana yang memberikan RMSE terkecil.
44
Start
Data outflow
Identifikasi data dengan statistika deskriptif
Univariat
Multivariat
Pemodelan ARIMAX
Peramalan out-sampel
Pemodelan VARI-X
Pemodelan hybrid ARIMAX-ANN
Peramalan out-sampel
Peramalan out-sampel
Pemilihan model terbaik berdasarkan RMSE out-sampel
Finish
Gambar 3. 1 Langkah Analisis
45
(halaman ini sengaja dikosongkan)
46
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Karakteristik Outflow Regional Surabaya Analisis deskriptif dalam penelitian ini terdiri dari rata-rata tiap pecahan outflow dari Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000, hingga Rp 5.000. Selain ratarata juga tertera deviasi standar, nilai minimum, dan nilai maksimum. Akan ditampilkan pula diagram untuk menunjukkan efek variasi kalender. Berdasarkan Bab 3, efek variasi kalender pada penelitian ini dibagi dalam 4 jenis, yakni ketika hari raya terjadi pada minggu ke-1, minggu ke-2, minggu ke-3, dan minggu ke-4. Akan tetapi karena periode data yang digunakan untuk analisis ini adalah tahun 2010 hingga 2015, maka seperti yang dapat dilihat di Bab 3 pada periode ini hari raya Idul Fitri hanya terjadi pada minggu ke-2, ke-3, dan ke-4.
4.1.1 Statistika Deskriptif Outflow Pecahan Uang Kartal Analisis deskriptif setiap pecahan outflow disajikan dalam Tabel 4. 1. Rata-rata outflow untuk pecahan Rp 100.000 adalah 896,85 miliar, dengan deviasi standar 622,33 miliar. Outflow terendah terjadi pada bulan Januari 2012 sebesar 143,54 miliar, sedangkan outflow tertinggi terjadi pada bulan Juli 2014 yakni bulan terjadinya hari raya Idul Fitri, dengan nilai outflow hingga mencapai 3,5 triliun. Untuk pecahan Rp 50.000, rata-rata outflow-nya adalah 760,64 miliar dengan deviasi standar 489,07 miliar. Sama seperti pecahan Rp 100.000, outflow terendah pecahan Rp 50.000 terjadi pada bulan Januari 2012 sebesar 125,83 miliar. Outflow tertinggi pecahan Rp 50.000 sebesar 2,4 triliun terjadi pada bulan Agustus 2011 yang juga merupakan bulan terjadinya Idul Fitri pada tahun 2011. Rata-rata outflow untuk pecahan Rp 20.000 adalah 43,55 miliar dengan deviasi standar 69,35 miliar. Outflow terendah terjadi pada bulan September 2012 sebesar 0,65 miliar. Bulan ini merupakan satu bulan setelah Idul Fitri. Sedangkan outflow tertinggi terjadi pada bulan Juli 2014 yakni bulan terjadinya hari raya Idul Fitri, dengan nilai outflow 299,17 miliar. Untuk pecahan Rp 10.000, rata-rata outflownya adalah 46,90 miliar dengan deviasi standar 78,72 miliar. Outflow terendah terjadi pada bulan September 2011 sebesar 0,91 miliar yang merupakan satu bulan 47
setelah Idul Fitri. Outflow tertinggi pecahan Rp 10.000 sebesar 357,93 miliar terjadi pada bulan Agustus 2010 yang adalah satu bulan sebelum terjadinya Idul Fitri pada tahun 2010. Rata-rata outflow untuk pecahan Rp 5.000 adalah 39,33 miliar dengan deviasi standar 79,75 miliar. Outflow terendah terjadi pada bulan September 2011 sebesar 0,56 miliar. Bulan ini merupakan satu bulan setelah Idul Fitri. Sedangkan outflow tertinggi terjadi pada bulan Juli 2013, yakni satu bulan sebelum hari raya Idul Fitri dengan nilai outflow 324,59 miliar.
Tabel 4. 1 Statistika Deskriptif Outflow Pecahan Uang Kartal (Miliar) Variabel
Rata-Rata
Deviasi Standar
Nilai Minimum
Nilai Maksimum
Rp 100.000
896,85
622,33
143,54
3489,41
Rp 50.000
760,64
489,07
125,83
2405,40
Rp 20.000
43,55
69,35
0,65
299,17
Rp 10.000
46,90
78,72
0,91
357,93
Rp 5.000
39,33
79,75
0,56
324,59
4.1.2 Identifikasi efek variasi kalender (hari raya Idul Fitri) Identifikasi adanya pengaruh variasi kalender dapat ditunjukkan dengan diagram. Berdasarkan Gambar 4. 1 hingga Gambar 4. 5 mengenai diagram pola outflow tiap tahun dan Tabel 3.1 yang memberikan keterangan terjadinya hari raya Idul Fitri dari tahun 2010 hingga 2015, dapat kita identifikasi bahwa untuk pecahan uang Rp 100.000 dan Rp 50.000 memiliki pola yang sama yakni selalu terjadi peningkatan outflow yang tinggi pada saat terjadinya hari raya Idul Fitri dan menurun 1 bulan setelah Idul Fitri. Kecuali pada tahun 2013 yang menunjukkan bahwa permintaan outflow tertinggi terjadi ketika 1 bulan sebelum hari raya Idul Fitri, sedikit menurun tetapi masih cukup tinggi ketika hari raya Idul Fitri, dan baru menurun 1 bulan setelah Idul Fitri.
48
Rp 100.000 (Triliun) 2010
Jan
Jul 2011 V4t
V2t
2012 V3t 3
8
2 3 4 5 6 7 1
8
12
12
9
4
10 11 1 2
3
5 6 7
2013 V2t
10 11
9
2
3 4 5
6
12 2
8 7
10 11
1
9
1
0
2014 7 V4t
Jan
Jul
3
7 2
5
3 1
6
10
4
2
12
8 9
1
11
12 3
1
2
4 5
6
0 Jan
9 10 11 8 Jul
Jul
Month
Gambar 4. 1 Diagram Outflow Pecahan Rp 100.000 Tahun 2010-2014
Rp 50.000 (Triliun) 2010
Jan
Jul 2011
V2t
2012 V3t
8 V4t
2.4
8 12 4 5 6 1 2 3
9 7 8
12 10 11 1 2
6 7 3 4 5
2013 V2t 2.4
7
1.8
3
1.2 0.6
2
5
9
4 5
10 11
7 9
1 Jul
1 2
12 3
9
4 5 6
Jul
1011
Jul
Month
Gambar 4. 2 Diagram Outflow Pecahan Rp 50.000 Tahun 2010-2014
49
1.2 0.6 0.0
Jan
8
0.0 Jan
9
6
7
8 10 1112
1
2
1011
2014 V4t
6
4
3
1.8
12
Rp 20.000 (Miliar) 2010
Jan
Jul
V2t
2011 V4t
2012 V3t 300
7
8 8
200
7
1 2 3 4 5
6 7
9 10 11121 2 3 4 5
2013 V2t
8
6
121 2 3 9 10 11
2014 V4t
100
6 9 10 1112
Jan
7
300
4 5
0
Jul
7 200
6 100
0
1 2 3
4
5 6
Jan
12 1 2 3 4 5 11 9 10
8
12 8 9 10 11 Jul
Jul
Month
Gambar 4. 3 Diagram Outflow Pecahan Rp 20.000 Tahun 2010-2014
Rp 10.000 (Miliar) 2010
8
Jan
Jul 2011 V4t
V2t
2012 V3t
400 300
8
7
8
200
7 6 1 2 3 4 5
7
9
10 11121 2 3
4
5
2013 V2t
400
100
4 5 6 9 10 11121 2 3
6 2014 7V4t
Jan
9 10 1112 Jul
300 200
7
100 0
4 1 2 3 Jan
6 8
5 6 Jul
121 2 9 10 11
3 4
12 8 9 10 11
5 Jul
Month
Gambar 4. 4 Diagram Outflow Pecahan Rp 10.000 Tahun 2010-2014
50
0
Rp 5.000 (Miliar) 2010
Jan
Jul
V2t
2011 V4t
8
2012 V3t
8
8
200
7 7 7 1 2 3 4 5 6
9 10 11121 2 3
4
2014 V4t
7
300
100
6 9 10 11121 2 3 4 5
5 6
2013 V2t
300
Jan
9 10 1112
0
Jul
7
200
6 100 0
1 2 3 4 Jan
5 6
8
3 4 5 9 10 11121 2
Jul
12 8 9 10 11 Jul
Month
Gambar 4. 5 Diagram Outflow Pecahan Rp 5.000 Tahun 2010-2014
Untuk pecahan uang Rp 20.000, Rp 10.000 dan Rp 5.000, pada tahun 2010 dan 2013 ketika hari raya terjadi pada minggu ke-2, dapat dilihat bahwa peningkatan outflow yang tinggi ketika 1 bulan sebelum hari raya Idul Fitri, dan outflow tersebut menurun drastis saat bulan terjadinya Idul Fitri. Pada tahun 2011 dan 2014, ketika hari raya terjadi pada minggu ke-4, dapat dilihat bahwa peningkatan outflow tinggi terjadi pada bulan terjadinya Idul Fitri, dan menurun drastis saat 1 bulan setelah Idul Fitri. Terjadi sedikit perbedaan antara outflow pecahan Rp 20.000 dan Rp 10.000 dengan pecahan Rp 5.000 pada tahun 2012 (hari raya pada tahun 2012 terjadi pada minggu ke-3), yakni untuk pecahan Rp 20.000 dan Rp 10.000 outflow yang tinggi terjadi mulai saat 1 bulan sebelum hari raya Idul Fitri dan baru turun ketika 1 bulan setelah Idul Fitri, sedangkan untuk pecahan uang Rp 5.000, walau ketika 1 bulan sebelum Idul Fitri outflow sudah cukup meningkat, outflow tertinggi terjadi pada bulan terjadinya Idul Fitri. Dari diagram-diagram ini jelas menunjukkan adanya pengaruh variasi kalender pada data outflow Surabaya, yang berupa hari raya Idul Fitri.
51
Dalam mendukung identifikasi hari raya Idul Fitri secara visual, dapat dilihat bahwa berdasarkan Gambar 4. 6 (a) dan (b), sesuai dengan plot time series pada Gambar 4. 1 dan Gambar 4. 2, untuk outflow Rp 100.000 dan Rp 50.000: -
Ketika hari raya terjadi pada minggu ke-2, rata-rata outflow mengalami kenaikan 1 bulan sebelum Idul Fitri, tetap tinggi pada bulan terjadinya hari raya, dan baru mengalami penurunan 1 bulan setelah hari raya.
-
Ketika hari raya terjadi pada minggu ke-3 dan ke-4, rata-rata outflow mengalami kenaikan pada bulan terjadinya hari raya, dan mengalami penurunan 1 bulan setelah hari raya. (a)
(b)
3.0
2.0 Rp 50.000 (Triliun)
Rp 100.000 (Triliun)
2.5 2.0 1.5 1.0
1.0
0.5
0.5 0.0 Minggu Hari Raya
1.5
1
2 3 4 Sebelum
1
2 3 4 Hari Raya
1
0.0 Minggu Hari Raya
2 3 4 Setelah
(c)
1
2 3 4 Sebelum
1
2 3 4 Hari Raya
1
2 3 4 Setelah
1
2 3 4 Sebelum
1
2 3 4 Hari Raya
1
2 3 Setelah
(d) 300
250
Rp 10.000 (Miliar)
Rp 20.000 (Miliar)
250 200
150
100
50
0 Minggu Hari Raya
200 150 100 50
1
2 3 4 Sebelum
1
2 3 4 Hari Raya (e)
1
2 3 Setelah
0 Minggu Hari Raya
4
4
350
Rp 5.000 (Miliar)
300 250 200 150 100 50 0 Minggu Hari Raya
1
2 3 4 Sebelum
1
2 3 4 Hari Raya
1
2 3 Setelah
4
Gambar 4. 6 Diagram Batang Rata-Rata Outflow Menurut Hari Raya Idul Fitri Untuk Pecahan (a) Rp100.000 (b) Rp 50.000 (c) Rp 20.000 (d) Rp 10.000 dan (e) Rp 5.000
52
Gambar 4.6 (c), (d), dan (e) juga mendukung hasil interpretasi plot time series pada Gambar 4.3, Gambar 4.4, dan Gambar 4.5 yakni untuk outflow pecahan Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000: -
Ketika hari raya terjadi pada minggu ke-2, rata-rata outflow mengalami kenaikan 1 bulan sebelum Idul Fitri dan mengalami penurunan pada bulan terjadinya hari raya.
-
Ketika hari raya terjadi pada minggu ke-3 dan ke-4, rata-rata outflow mengalami kenaikan 1 bulan sebelum Idul Fitri, tetap tinggi pada bulan terjadinya hari raya, dan baru mengalami penurunan 1 bulan setelah hari raya.
4.2
Pemodelan Outflow dengan ARIMAX Dalam pemodelan outflow setiap pecahan uang dengan ARIMAX, variabel
eksogen yang digunakan adalah variabel non-matriks berupa variabel dummy variasi kalender. Yang dijadikan dummy variasi kalender tersebut adalah bulan terjadinya hari raya Idul Fitri, serta 1 bulan sebelum dan 1 bulan sesudah hari raya Idul Fitri.
4.2.1 Pemodelan Outflow Pecahan Rp 100.000 dengan ARIMAX Sebelum melakukan pemodelan, perlu dilakukan identifikasi pola data dengan plot time series. Plot time series dari outflow pecahan Rp 100.000 disajikan dalam Gambar 4. 7. Berdasarkan Gambar 4. 7, dapat kita lihat bahwa selain memiliki efek variasi kalender, data juga memiliki pola musiman. Selain itu didapatkan dugaan bahwa data belum stasioner dalam mean. Maka sebelum kita memodelkan data dengan ARIMAX, kita lakukan stasioneritas data terlebih dahulu. Yang pertama, pengujian stasioneritas dalam varians. Plot Box-Cox pada Gambar 4. 8 menunjukkan data belum stasioner terhadap varians karena rounded value-nya belum bernilai 1 (λ = 0 untuk data Z1,t), serta rentang lower dan upper CL nya juga belum melewati 1. Berdasarkan nilai lamdanya, maka data perlu ditransformasi dengan menggunakan transformasi logaritma natural (ln (Zi,t)), sehingga: Y1,t ln Z1,t dengan Y1,t yang telah stasioner dalam varians.
53
Triliun
V2t
V4t
V3t
V2t
V4t 7
3.5 3.0
Rp 100.000
2.5
7 8
2.0
12 12
1.5
6
12 1.0 0.5
1
23 4 6 5 7
0.0 Month Jan Year 2010
3 5 7
8 1011 1 2
Jul
3
Jan 2011
5 67
1011 9
5 3
Jul
1011 9
Jan 2012
Jul
6
9
10 11 9
3
10
45
11
2 4
2 1
12
8
8
4
4
9
12
1
6 2
8
Jan 2014
Jul
1
Jan 2013
Jul
Gambar 4. 7 Plot Time Series untuk Outflow Pecahan Rp 100.000
Lower CL
1500000
Upper CL
Lambda (using 95.0% confidence) Estimate
1250000
Lower CL Upper CL
StDev
Rounded Value
0.03 -0.32 0.40 0.00
1000000
750000
500000
Limit -1
0
1 Lambda
2
Gambar 4. 8 Plot Box-Cox Outflow Pecahan Rp 100.000
54
3
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6 Partial Autocorrelation
Autocorrelation
1.0
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
-1.0
-1.0 1
12
24
36
1
12
Lag
24
36
Lag
Gambar 4. 9 Plot ACF dan PACF Data Outflow Rp 100.000
Selanjutnya dilakukan pemeriksaan stasionertitas dalam mean. Pemeriksaan stasioneritas mean pada data secara non-seasonal dapat dilakukan dengan melihat plot ACF dan PACF, serta menggunakan uji Augmented Dickey-Fuller (ADF). Berdasarkan plot ACF dan PACF outflow pecahan Rp 100.000 pada Gambar 4. 9, dapat dilihat bahwa plot ACF data menunjukkan pola turun lambat (dies down) dan plot PACF menunjukkan pola cut off. Maka dapat dikatakan bahwa secara visual data tidak stasioner dalam mean. Hal tersebut juga diperkuat oleh hasil pengujian ADF non-seasonal pada Tabel 4. 2 (α = 0,1). Karena data belum stasioner dalam mean, maka dilakukan differencing 1 pada data. Tabel 4. 2 Hasil Pengujian ADF Pecahan Rp 100.000 Tau(𝛕)
Pengujian
Tipe
Lag
Non-Seasonal
(1) Zero Mean (2) Single Mean (3) Trend
12 12 12
2,66 −1,66 −0,69
0,9977 0,4470 0,9684
(1) Zero Mean (2) Single Mean
3 3
−2,81 −2,82
0,0045 0,0085
Seasonal (Setelah differencing 1)
p-value
Plot ACF data hasil differencing 1 pada Gambar 4. 10 menunjukkan bahwa lag 12 masih keluar batas namun lag 24 dan 36 tidak keluar batas. Hal ini mendukung uji stasioner seasonal pada Tabel 4. 2 bahwa tidak perlu dilakukan differencing seasonal.
55
Setelah data stasioner, estimasi ARIMAX dapat dilakukan. Untuk menentukan orde dari ARIMAX, digunakan plot ACF dan PACF dari data setelah transformasi
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6 Partial Autocorrelation
Autocorrelation
dan differencing yang tertera pada Gambar 4. 10.
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
-1.0
-1.0 1
12
24
36
1
12
Lag
24
36
Lag
Gambar 4. 10 Plot ACF dan PACF Data Outflow Rp 100.000 Setelah Differencing 1 Tabel 4. 3 Uji Signifikansi Parameter ARIMAX Rp 100.000 Variabel
Parameter
Estimasi
t
p-value
Y1,t-1
ϕ1
-0,831
-5,77
<,0001
Y1,t-2
ϕ2
-0,835
-5,90
<,0001
Y1,t-3
ϕ3
-0,341
-2,27
0,0278
Y1,t-12
Φ1
0,710
6,05
<,0001
V2,t
β1
0,464
1,66
0,1046
V2, t – 1
β2
0,590
2,09
0,0424
V2, t + 1
β3
-0,586
-2,55
0,0143
V3,t
β4
0,379
1,04
0,3038
V3, t – 1
β5
-0,139
-0,40
0,6942
V3, t + 1
β6
-1,028
-2,92
0,0054
V4,t
β7
0,924
2,98
0,0046
V4, t – 1
β8
-0,207
-0,81
0,4203
V4, t + 1
β9
-0,852
-2,78
0,0079
Hasil estimasi ARIMAX terbaik yang didapatkan adalah ARIMAX(3,1,0)(1,0,0)12 yang tertera pada Tabel 4. 3. Berdasarkan hasil estimasi terdapat beberapa parameter yang tidak signifikan (t0,05;46 = –1,679 dan α = 0,1). Maka variabel yang tidak signifikan dalam model dieliminasi dengan menggunakan metode backward elimination. Hasil estimasi parameter dari ARIMAX pecahan Rp 100.000 dengan hanya variabel yang signifikan tertera pada Tabel 4. 4. Tabel 4. 4 menunjukkan
56
bahwa semua variabel telah signifikan karena semua nilai uji |t| lebih besar dari t0,05;46 (–1,676) atau jika melihat dari p-value nya, semua p-value parameter telah kurang dari α (α=0,1). Berdasarkan Tabel 4. 4 dapat dilihat bahwa V3,t tidak memenuhi syarat uji signifikansi sehingga tidak dimasukkan dalam pemodelan setelah backward elimination. Padahal, dalam penghitungan RMSE out-sample dibutuhkan V3,t untuk menunjukkan pengaruh hari raya Idul Fitri, karena Idul Fitri data out-sample (data tahun 2015) terjadi pada minggu ke-3. Maka dari itu, dalam pemodelan ARIMAX(3,1,0)(1,0,0)12 dari pecahan Rp 100.000 ini, akan dilakukan 2 macam peramalan, yakni peramalan (1) dengan memasukkan semua variabel dummy hari raya, dan (2) dengan hanya memasukkan variabel dummy hari raya yang signifikan ke dalam model. Dari kedua pemodelan ini akan dipilih model dengan peramalan yang yang lebih baik berdasarkan nilai RMSE nya. Model dengan variabel yang tidak signifikan tetap dicoba untuk dimodelkan karena uji signifikansi dapat diabaikan jika fokus penelitian adalah untuk mendapatkan model yang memberikan peramalan yang lebih baik (Kostenko & Hyndman, 2008).
Tabel 4. 4 Uji Signifikansi Parameter ARIMAX Rp 100.000 Setelah Backward Elimination Variabel
Parameter
Estimasi
t
p-value
Y1,t-1
ϕ1
-0,816
-5,79
<,0001
Y1,t-2
ϕ2
-0,832
-6,11
<,0001
Y1,t-3
ϕ3
-0,283
-1,96
0,0557
Y1,t-12
Φ1
0,716
6,23
<,0001
V2, t – 1
β2
0,604
2,49
0,0162
V2, t + 1
β3
-0,683
-3,10
0,0032
V3, t + 1
β6
-1,280
-3,79
0,0004
V4,t
β7
0,822
3,10
0,0032
V4, t + 1
β9
-1,202
-4,92
<,0001
Persamaan matematis dari ARIMAX(3,1,0)(1,0,0)12 dengan menggunakan seluruh variabel dummy hari raya (9 variabel yaitu: V2,t ; V2,t-1 ; V2,t+1 ; V3,t ; V3,t-1 ;V3,t+1 ; V4,t ; V4,t-1 ;V4,t+1) ada pada persamaan (4.1), sedangkan persamaan matematis ARIMAX (3,1,0)(1,0,0)12 dengan hanya memasukkan variabel signifikan (5 variabel yaitu:
57
V2,t-1 ; V2,t+1 ; V3,t+1 ; V4,t ; V4,t+1) untuk data outflow Rp 100.000 ada pada persamaan (4.2). Y1,t 0, 464V2,t 0,590V2,t 1 0,586V2,t 1 0,379V3,t 0,139V3,t 1 1, 028V3,t 1 0,924V4,t 0, 207V4,t 1 0,852V4,t 1 1 at 1 0,831B 0,835B 0,341B3 1 0, 710 B12 1 B
2
(4.1)
Y1,t 0,566V2,t 1 0,662V2,t 1 1,202V3,t 1 0,797V4,t 1,042V4,t 1
1 at 1 0,891B 0,867 B 0,365B3 1 0, 750 B12 1 B
2
(4.2)
Selanjutnya dilakukan pemeriksaan asumsi dari kedua model ARIMAX, apakah residual telah memenuhi asumsi white noise dan berdistribusi normal. Berdasarkan hasil pengujian white noise menggunakan uji Ljung-Box dan pengujian normalitas residual dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov, diperoleh hasil bahwa residual kedua metode ARIMAX memenuhi asumsi white noise dan berdistribusi normal. Selanjutnya plot hasil ramalan pada Gambar 4. 11. (a) 15.5 15.0
V2t
V4t
V3t
V2t
(b)
V4t
3.0
14.5
V4t
V3t
V2t
V4t
Variabel asli ramalan(semua v ar) ramalan (significant var)
2.5
14.0 Triliun
Nilai Transformasi
V2t 3.5
Variabel asli ramalan (semua v ar) ramalan (significant var)
13.5
2.0 1.5
13.0 1.0 12.5 0.5 12.0 Month Jan Year 2010
Jul
Jan 2011
Jul
Jan 2012
Jul
Jan 2013
Jul
Jan 2014
0.0 Month Jan Year 2010
Jul
(c)
Jan 2011
Jul
Jan 2012
(d)
15.0
Jul
Jan 2013
Jul
Jan 2014
Sep
Oct
Jul
V3t
4
V3t
Variabel asli ramalan (semua v ar) ramalan (significant var)
Variabel asli ramalan (semua v ar) ramalan (significant var)
3
14.5 Triliun
Nilai Transformasi
Jul
14.0
1
13.5
13.0 Month Jan Year 2015
2
Feb
Mar
Apr
May
Jun
Jul
Aug
Sep
Oct
Nov
0 Month Jan Year 2015
Dec
Feb
Mar
Apr
May
Jun
Jul
Aug
Nov
Dec
Gambar 4. 11 Plot Time Series Data Asli dan Ramalan Outflow Rp 100.000 (a) In-sample Sebelum Re-transformasi (b) In-sample Setelah Re-transformasi (c) Out-sample Sebelum Retransformasi (d) Out-sample Setelah Re-transformasi
58
Gambar 4. 11 (a) (b) (c) dan (d) menunjukkan bahwa secara visual, hasil peramalan kedua metode rata-rata menghasilkan nilai peramalan yang hampir sama, kecuali pada saat Vi,t-1 , Vi,t , dan Vi,t+1 . Pada saat 1 bulan sebelum hari raya Idul Fitri, bulan terjadinya hari raya, dan 1 bulan setelah hari raya ini, dapat dilihat bahwa pemodelan ARIMAX yang memasukkan seluruh variabel dummy hari raya memberikan hasil peramalan yang lebih mendekati nilai asli dari data, baik pada data in-sample maupun out-sample.
0.4
0.38
0.8
0.37
0.71
RMSE In-Sample
0.3
0.27 0.24
0.2
RMSE Out-Sample
0.7
0.1
0.58
0.6 0.5 0.4
0.42
0.38
0.3 0.2 0.1
0.0 dummy variabel
signifikan semua data transformasi y1,t
signifikan semua data asli z1,t (triliun)
0.0 dummy variabel
signifikan semua data transformasi y1,t
signifikan semua data asli z1,t (triliun)
Gambar 4. 12 RMSE Ramalan Outflow Rp 100.000 (a) Data In-sample (b) Data Out-sample
Hasil perhitungan tiap RMSE model pada Gambar 4. 12 (a) dan (b) juga memperkuat analisa secara visual. Gambar 4. 12 (a) menunjukkan bahwa dengan mengabaikan uji signifikansi dari variabel dummy hari raya dapat menurunkan RMSE peramalan in-sample data Y1,t (data transformasi) sebesar 3,54% (dari 0,38 ke 0,37) dan menurunkan RMSE peramalan in-sample data Z1,t (data setelah retransformasi) sebesar 12,44% (dari 0,27 triliun ke 0,24 triliun). Gambar 4. 12 (b) menunjukkan bahwa dengan mengabaikan uji signifikansi dari variabel dummy hari raya dapat menurunkan RMSE peramalan out-sample data Y1,t (data transformasi) sebesar 10,25% (dari 0,42 ke 0,38) dan menurunkan RMSE peramalan out-sample data Z1,t (data setelah re-transformasi) sebesar 18,92% (dari 0,71 triliun ke 0,58 triliun). Maka pemodelan yang disarankan digunakan untuk outflow pecahan Rp 100.000 adalah ARIMAX(3,1,0)(1,0,0)12 dengan memasukkan seluruh variabel eksogen (9 variabel dummy variasi kalender).
59
4.2.2 Pemodelan Outflow Pecahan Rp 50.000 dengan ARIMAX Plot time series dari outflow pecahan Rp 50.000 disajikan dalam Gambar 4. 13. Berdasarkan Gambar 4. 13, dapat kita lihat bahwa data ini juga memiliki efek variasi kalender dan pola musiman, serta memiliki dugaan belum stasioner dalam mean. Triliun 2.5
V2t
V4t 8
V3t
V2t
7
2.0
1.5
12
9 8 12
6 4 7 7 3 1011 2 4 5 0.5 2 56 2 1 3 1011 1 9 1 0.0 Month Jan Year 2010
Jul
Jan 2011
Jul
3 5
12
6
6
3
1.0
4 5
Jan 2012
7
10
12 10 11
12 3
2 4
11
9
Jul
7
8
8 Rp 50.000
V4t
9
12 45 6
1
Jan 2013
10 11 9
8
Jul
Jan 2014
Jul
Gambar 4. 13 Plot Time Series untuk Outflow Pecahan Rp 50.000
Berdasarkan plot Box-Cox yang ada pada Lampiran A, data belum stasioner terhadap varians dengan nilai λ = 0, sehingga data ditransformasi dengan transformasi logaritma natural (ln (Zi,t)). Maka: Y2,t ln Z 2,t dengan Y2,t yang telah stasioner dalam varians.
Setelah dilakukan transformasi, dilakukan pengujian stasioner varians kembali dan didapatkan hasil data yang ditransformasi telah stasioner. Selanjutnya dilakukan pemeriksaan stasionertitas dalam mean dengan menggunakan uji ADF. Hasil uji ADF pada Lampiran A menunjukkan bahwa pada setiap variabel respon perlu dilakukan differencing lag 1 karena tidak stasioner dalam mean pada uji ADF non-seasonal nya (α = 0,1).
60
Setelah data stasioner, estimasi ARIMAX dapat dilakukan. Gambar 4. 14 merupakan plot ACF dan PACF dari data setelah transformasi dan differencing 1
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6 Partial Autocorrelation
Autocorrelation
yang digunakan untuk menentukan orde dari ARIMAX.
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
-1.0
-1.0 1
12
24
36
1
Lag
12
24
36
Lag
Gambar 4. 14 Plot ACF dan PACF Data Outflow Rp 50.000 setelah Differencing 1
Hasil estimasi ARIMAX terbaik yang didapatkan adalah ARIMAX (2,1,0)(1,0,0)12. Hasil estimasi parameter dari ARIMAX pecahan Rp 50.000 dengan hanya variabel yang signifikan tertera pada Lampiran A. Outflow pecahan Rp 50.000 ini memiliki kasus yang sama dengan pecahan Rp 100.000, yakni tidak signifikannya variabel V3,t yang dibutuhkan untuk peramalan out-sample tahun 2015 (Karena pada tahun ini hari raya terjadi pada minggu ke-3). Maka dari itu pada data ini juga akan dilakukan 2 jenis pemodelan ARIMAX (2,1,0)(1,0,0)12 seperti pada outflow Rp 100.000. Pada model pertama digunakan seluruh dummy (9 dummy) hari raya, sedangkan pada model kedua hanya digunakan dummy yang signifikan (7 dummy). Berdasarkan pemeriksaan asumsi dari kedua model ARIMAX didapatkan hasil residual kedua model telah memenuhi asumsi white noise dan berdistribusi normal. Hasil peramalan kedua metode pada Gambar 4. 15 (a) (b) (c) dan (d) menunjukkan bahwa secara visual peramalan kedua model tersebut rata-rata menghasilkan nilai peramalan yang hampir sama, bahkan pada saat Vi,t-1 , Vi,t , dan Vi,t+1 . Kemiripan yang terjadi juga pada saat 1 bulan sebelum hari raya Idul Fitri, bulan terjadinya hari raya, dan 1 bulan setelah hari raya ini bisa jadi disebabkan oleh penggunaan kelengkapan dummy yang hampir sama (dari total 9 dummy terdapat 7 dummy yang signifikan. Dummy yang tidak signifikan hanya V3,t-1 dan V4,t-1).
61
(a) 15.0
V4t
V3t
V2t
(b)
V4t
2.5
2.0
V2t
V4t
V3t
V2t
V4t
Variabel asli ramalan (semua v ar) ramalan (signifikan var)
14.0 1.5
13.5
Triliun
Nilai Transformasi
14.5
V2t
Variabel asli ramalan (semua v ar) ramalan (signifikan var)
13.0
1.0
12.5 0.5 12.0
Month Jan Year 2010
Jul
Jan 2011
Jul
Jan 2012
(c) 15.0
Jan 2013
Jul
Jan 2014
0.0 Month Jan Year 2010
Jul
3.0
2.5
14.0
Jan 2011
Jul
Jan 2012
Jul
Jan 2013
Jul
Jan 2014
Jul
V3t Variabel asli ramalan (semua v ar) ramalan (signifikan var)
2.0
13.5
1.5
13.0
1.0
12.5
0.5
12.0 Month Jan Year 2015
Jul
(d)
V3t Variabel asli ramalan (semua v ar) ramalan (signifikan var)
Triliun
Nilai Transformasi
14.5
Jul
Feb
Mar
Apr
May
Jun
Jul
Aug
Sep
Oct
Nov
0.0 Month Jan Year 2015
Dec
Feb
Mar
Apr
May
Jun
Jul
Aug
Sep
Oct
Nov
Dec
Gambar 4. 15 Plot Time Series Data Asli dan Ramalan Outflow Rp 50.000 (a) In-sample Sebelum Re-transformasi (b) In-sample Setelah Re-transformasi (c) Out-sample Sebelum Re-transformasi (d) Out-sample Setelah Re-transformasi 0.35 0.313
0.530
0.601
0.526
0.5
0.25
0.220
0.219
0.20 0.15 0.10
RMSE Out-Sample
RMSE In-Sample
0.30
0.4 0.3 0.2 0.1
0.05 0.00 dummy variabel
0.603
0.6
0.312
signifikan semua data transformasi y2,t
signifikan semua data asli z2,t (triliun)
0.0 dummy variabel
signifikan semua data transformasi y2,t
signifikan semua data asli z2,t (triliun)
Gambar 4. 16 RMSE Ramalan Outflow Rp 50.000 (a) Data In-sample (b) Data Out-sample
Hasil perhitungan tiap RMSE model pada Gambar 4. 16 (a) dan (b) juga memperkuat analisa secara visual. Gambar 4. 16 (a) menunjukkan bahwa dengan mengabaikan uji signifikansi dari variabel dummy hari raya RMSE peramalan insample data Y1,t (data transformasi) hanya turun sebesar 0,322% dan RMSE peramalan in-sample data Z1,t (data setelah re-transformasi) pun hanya turun sebesar 0,396%. Gambar 4. 16 (b) menunjukkan bahwa dengan mengabaikan uji signifikansi dari variabel dummy hari raya RMSE peramalan out-sample data Y1,t (data transformasi) hanya turun sebesar 0,759% dan RMSE peramalan out-sample 62
data Z1,t (data setelah re-transformasi) hanya turun sebesar 0,340%. Maka pemodelan yang disarankan digunakan untuk outflow pecahan Rp 50.000 adalah ARIMAX(2,1,0)(1,0,0)12 dengan hanya variabel eksogen yang signifikan (7 variabel dummy yakni: V2,t ; V2,t-1 ; V2,t+1 ; V3,t ; V3,t+1 ; V4,t ; V4,t+1), karena persentase penurunan RMSE yang sangat kecil walau mengabaikan uji signifikansi. Persamaan matematis dari ARIMAX dengan 7 dummy ini tertera pada persamaan (4.3).
Y2,t 0,436V2,t 0,777V2,t 1 0,637V2,t 1 0,744V3,t 1,480V3,t 1 1,374V4,t 1,367V4,t 1
1
1 0,843B 0,561B 1 0, 701B 1 B 2
12
at
(4.3)
4.2.3 Pemodelan Outflow Pecahan Rp 20.000 dengan ARIMAX Plot time series dari outflow pecahan Rp 20.000 disajikan dalam Gambar 4. 17. Berdasarkan Gambar 4. 17, dapat kita lihat bahwa sama seperti outflow Rp 100.000 dan Rp 50.000, yakni outflow Rp 20.000 ini memiliki efek variasi kalender, pola musiman dan diduga datanya belum stasioner dalam mean. Berdasarkan plot BoxCox didapatkan hasil data belum stasioner terhadap varians dengan λ = 0, sehingga data ditransformasi dengan menggunakan transformasi logaritma natural (ln (Zi,t)). Maka: Y3,t ln Z3,t dengan Y3,t yang telah stasioner dalam varians.
Selanjutnya dilakukan pemeriksaan stasionertitas dalam mean dengan uji ADF. Hasil uji ADF non-seasonal pada Lampiran B menunjukkan bahwa pada setiap variabel respon perlu dilakukan differencing lag 1 karena tidak stasioner dalam mean (α = 0,1). Setelah data stasioner, estimasi ARIMAX dapat dilakukan. Untuk menentukan orde dari ARIMAX, digunakan plot ACF dan PACF dari data setelah transformasi dan differencing yang tertera pada Gambar 4. 18.
63
Miliar
V2t
V4t
V3t
V2t
V4t 7
300 7
8
250
7
8 Rp 20.000
200 7
150
8
6
100 50
4 1 23 9 5 12 1011
2 5 1 34
0 Month Jan Year 2010
12 1 4 3 8 3 11 2 45 2 5 11121 6 910 910
6
7 6
Jul
Jan 2011
6
Jul
1 12 3 2 91011
45
Jan 2012
Jul
Jan 2013
Jul
Jan 2014
12 11 8 910 Jul
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6 Partial Autocorrelation
Autocorrelation
Gambar 4. 17 Plot Time Series untuk Outflow Pecahan Rp 20.000
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
-1.0
-1.0 1
12
24
36
1
12
Lag
24
36
Lag
Gambar 4. 18 Plot ACF dan PACF Data Outflow Rp 20.000 Setelah Differencing 1
Hasil
estimasi
ARIMAX
terbaik
yang
didapatkan
adalah
ARIMAX
([4,7],1,0)(1,0,0)12. Hasil estimasi parameter dari ARIMAX pecahan Rp 20.000 dengan hanya variabel yang signifikan tertera pada Lampiran B. Berdasarkan hasil estimasi diketahui V3,t yang dibutuhkan dalam peramalan out-sample tahun 2015 siginifikan dalam model, sehingga kita cukup memodelkan ARIMA dengan proses uji signifikansi parameter terlebih dahulu. Persamaan matematis dari ARIMAX ([4,7],1,0)(1,0,0)12 pada outflow pecahan Rp 20.000 ada pada persamaan (4.4).
64
Y3,t 2,649V2,t 3,872V2,t 1 4,168V3,t 3,178V3,t 1 4,254V4,t 2,230V4,t 1
1 at 1 0, 402 B 0,340 B7 1 0,518 B12 1 B
4
(4.4)
Selanjutnya dilakukan pemeriksaan asumsi dari model ARIMAX. Didapatkan hasil bahwa residual dari model ARIMAX([4,7],1,0)(1,0,0)12 ini telah white noise dan berdistribusi normal. Terdapat 6 variabel eksogen yang signifikan dan digunakan pada model ini yakni V2,t ; V2,t-1 ; V3,t ; V3,t-1 ; V4,t ; V4,t-1.
4.2.4 Pemodelan Outflow Pecahan Rp 10.000 dan Rp 5.000 dengan ARIMAX Plot time series dari outflow pecahan Rp 10.000 dan Rp 5.000 disajikan dalam Gambar 4. 19. Berdasarkan Gambar 4. 19, dapat kita lihat bahwa sama seperti outflow pecahan-pecahan sebelumnya, outflow Rp 10.000 dan Rp 5.000 memiliki efek variasi kalender, pola musiman dan diduga datanya belum stasioner dalam mean. Berdasarkan plot Box-Cox pada Lampiran C dan Lampiran D didapatkan hasil bahwa kedua data belum stasioner terhadap varians dengan λ = 0, sehingga data ditransformasi dengan menggunakan transformasi logaritma natural (ln (Zi,t)). (a)
Miliar
V2t
400
V4t
V3t
V2t
V4t
8
7
300
Rp 10.000
8 7 200
8 7
6
7 100
7 2 4 1 3
56
0 Month Jan Year 2010
Jul
4 6 9 3 5 1 2 12 1011 Jan 2011
Jul
121 3 91011 2
45
Jan 2012
65
6 23 11121 910 Jul
Jan 2013
56 8 4
Jul
34 2 5 11121 910 Jan 2014
12 11 8 910 Jul
Miliar
(b)
V2t
350
V4t
V3t
V2t
V4t
7 8
300
7
8 8
250 Rp 5.000
200 7 150
6 7
100 50 0
7 4 6 6 9 2 5 1 34 1011 121 23 5
Month Jan Year 2010
Jul
Jan 2011
Jul
121 23 91011
45
Jan 2012
5 4 910 1112123
6
Jul
Jan 2013
6
8
Jul
4 3 5 121 11 2 910 Jan 2014
12 8 910 11 Jul
Gambar 4. 19 Plot Time Series untuk Outflow Pecahan (a) Rp 10.000 dan (b) Rp 5.000
Selanjutnya dilakukan pemeriksaan stasionertitas dalam mean dengan uji ADF. Hasil uji ADF non-seasonal pada Lampiran C dan Lampiran D menunjukkan bahwa pada setiap variabel respon perlu dilakukan differencing lag 1 karena tidak stasioner dalam mean (α = 0,1). Setelah data stasioner, estimasi ARIMAX dapat dilakukan. Untuk menentukan orde dari ARIMAX, digunakan plot ACF dan PACF dari data setelah transformasi dan differencing yang tertera pada Gambar 4. 20
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6 Partial Autocorrelation
Autocorrelation
untuk outflow Rp 10.000 dan Gambar 4. 21 untuk outflow Rp 5.000.
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
-1.0
-1.0 1
12
24
36
1
Lag
12
24 Lag
Gambar 4. 20 Plot ACF dan PACF Data Outflow Rp 10.000 Setelah Differencing 1
66
36
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6 Partial Autocorrelation
Autocorrelation
1.0
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
-1.0
-1.0 1
12
24
36
1
12
24
Lag
36
Lag
Gambar 4. 21 Plot ACF dan PACF Data Outflow Rp 5.000 Setelah Differencing 1
Hasil estimasi ARIMAX outflow Rp 10.000 dan Rp 5.000 adalah ARIMAX ([4,7],1,0)(1,0,0)12. Hasil estimasi parameter dari ARIMAX kedua outflow dengan hanya variabel yang signifikan tertera pada Lampiran C dan Lampiran D. Berdasarkan hasil estimasi diketahui V3,t yang dibutuhkan dalam peramalan outsample tahun 2015 siginifikan dalam model dua pecahan outflow tersebut, sehingga kita cukup memodelkan ARIMA dengan proses uji signifikansi parameter terlebih dahulu. Persamaan matematis dari ARIMAX ([4,7],1,0)(1,0,0)12 pada outflow pecahan Rp 10.000 dan Rp 5.000 berturut-turut ada di persamaan (4.5) dan (4.6).
Y4,t 2,292V2,t 2,727V2,t 1 0,755V2,t 1 4,136V3,t 3,405V3,t 1 4,721V4,t 2,383V4,t 1
1 at 1 0, 412 B 0, 469 B 7 1 0,513B12 1 B
4
(4.5)
Y5,t 2,338V2,t 3,180V2,t 1 4,855V3,t 3,612V3,t 1 4,811V4,t 2,259V4,t 1
1 at 1 0,371B 0,390 B7 1 0, 416 B12 1 B
4
(4.6)
Selanjutnya dilakukan pemeriksaan asumsi dari model ARIMAX. Didapatkan hasil bahwa residual dari model ARIMAX Rp 10.000 telah white noise dan berdistribusi normal, lihat Lampiran C. Terdapat 7 variabel eksogen yang signifikan dan digunakan pada model ini yakni V2,t ; V2,t-1 ; V2,t+1 ; V3,t ; V3,t-1 ; V4,t ; V4,t-1. Untuk outflow pecahan Rp 5.000 didapatkan hasil bahwa residual dari model belum white noise tetapi telah berdistribusi normal, lihat Lampiran D. Terdapat 6 variabel
67
eksogen yang signifikan dan digunakan pada model ARIMAX Rp 5.000 ini yakni V2,t ; V2,t-1 ; V3,t ; V3,t-1 ; V4,t ; V4,t-1.
4.3 Pemodelan Outflow dengan Hybrid ARIMAX-ANN Untuk mendapatkan hasil peramalan yang diharapkan lebih akurat, residual dari model ARIMAX dari outflow tiap-tiap pecahan mata uang akan dimodelkan kembali dengan menggunakan metode RBFN. Penggabungan antara peramalan model ARIMAX dengan hasil learning RBFN dari residual-nya inilah yang disebut hybrid ARIMAX-ANN. Jumlah hidden nodes yang digunakan pada RBFN antara 1 – 5 neuron pada hidden layer-nya, dan variabel input yang digunakan dibatasi hanya lag 1, lag 2, dan lag 3 dari residual. Hasil estimasi parameter learning RBFN dapat dilihat pada Lampiran E hingga Lampiran I. Contoh persamaan untuk mendapatkan nilai peramalan dari metode hybrid ARIMAX-ANN misalnya, untuk peramalan outflow pecahan uang Rp 100.000 dengan 2 neuron pada hidden layer, ditampilkan pada persamaan (4.7).
Y1,t Lˆ1,t Rˆ1,t 1,t
(4.7)
Dengan Y1,t merupakan hasil peramalan hybrid ARIMAX-ANN yang masih berupa data transformasi ln( Z1,t ), dan L1,t merupakan hasil peramalan ARIMAX (3,1,0)(1,0,0)12 dari outflow pecahan Rp 100.000. Persamaan dari ARIMAX (3,1,0)(1,0,0)12 ini dapat dilihat pada persamaan (4.1). Sedangkan Rˆ1,t adalah hasil peramalan dari learning RBFN dengan input residual dari ARIMAX outflow pecahan Rp 100.000 yang masih berupa data transformasi. Persamaan Rˆ1,t dengan 2 neuron pada hidden layer tersebut ada pada persamaan (4.8) (Hasil learning RBFN pecahan Rp 100.000 dengan 2 hidden dapat dilihat pada Lampiran E.
Rˆ1,t F ( x) w0 w11 w22 0, 090 0, 0021 0, 2292 dengan
68
(4.8)
a a 1,t 1 1,t 1 1 () exp 2 2 1,1
2
a1,t 2 a1,t 2
2
2 2 1,1
2 a1,t 3 a1,t 3 2 2 1,1
2 2 a (0, 043) 2 a a1,t 3 0, 208 1,t 1 1,t 2 0, 005 exp 2 2 2 2 0,366 2 0,366 2 0,366
dan 2 a a a1,t 2 a1,t 2 1,t 1 1,t 1 2 () exp 2 2 2 1,2 2 1,2
2
2 a1,t 3 a1,t 3 2 2 1,2
2 a 0,110 2 a a1,t 3 (0,332) 1,t 1 1,t 2 0, 043 exp 2 2 2 2 0, 425 2 0, 425 2 0, 425
2
.
Tabel 4. 5 menampilkan nilai RMSE out-sample dari learning RBFN data outflow tiap pecahan mata uang. RBFN dengan hasil terbaik (nilai RMSE nya terkecil) digunakan sebagai komponen Rˆi ,t untuk hybrid ARIMAX-ANN.
Tabel 4. 5 Nilai RMSE Out-Sample dari Learning RBFN (Miliar) Variabel
Rp 100.000 (Z1,t)
Rp 50.000 (Z2,t)
Rp 20.000 (Z3,t)
RBFN
RMSE
3-1-1
568,6
3-2-1
554,6
Variabel
Rp 10.000 (Z4,t)
RBFN
RMSE
3-1-1
31,1
3-2-1
41,4
3-3-1
41,1
3-3-1
556,7
3-4-1
567,9
3-4-1
36,2
3-5-1
645,8
3-5-1
41,6
3-1-1
613,2
3-1-1
97,5
3-2-1
608,2
3-2-1
210,5
3-3-1
223,9
Rp 5.000 (Z5,t)
3-3-1
605,1
3-4-1
589,0
3-4-1
210,5
3-5-1
557,5
3-5-1
172,6
3-1-1
32,8
3-2-1
27,3
3-3-1
29,9
3-4-1
25,5
3-5-1
24,5
69
Berdasarkan Tabel 4. 5, RBFN yang dipilih (dengan batasan neuron pada hidden layer antara 15) untuk setiap pecahan adalah sebagai berikut: -
Untuk pecahan Rp 100.000 model hybrid ARIMAX-ANN terbaik adalah model yang menggunakan RBFN 3-2-1.
-
Untuk pecahan Rp 50.000 model hybrid ARIMAX-ANN terbaik adalah model yang menggunakan RBFN 3-5-1.
-
Untuk pecahan Rp 20.000 model hybrid ARIMAX-ANN terbaik adalah model yang menggunakan RBFN 3-5-1.
-
Untuk pecahan Rp 10.000 model hybrid ARIMAX-ANN terbaik adalah model yang menggunakan RBFN 3-1-1.
-
Untuk pecahan Rp 5.000 model hybrid ARIMAX-ANN terbaik adalah model yang menggunakan RBFN 3-1-1.
4.4 Pemodelan Outflow Regional Surabaya dengan VARI-X Pada bagian ini, dilakukan pemodelan outflow tiap pecahan mata uang secara multivariat dengan metode VARI-X. Variabel yang digunakan adalah outflow pecahan Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000, serta variabel dummy hari raya Idul Fitri sebagai variabel eksogen.
4.4.1 Analisis Korelasi Pada Tiap Pecahan Outflow Regional Surabaya Tingkat keeratan hubungan linier antar variabel dapat dijelaskan dengan analisis korelasi. Hasil korelasi dari 5 variabel yang terdiri dari pecahan outflow Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000 dan Rp 5.000 disajikan dalam Tabel 4. 6, dimana nilai korelasi Pearson tertera di atas sedang p-value nya di bawah. Berdasarkan Tabel 4. 6, dapat diketahui bahwa terdapat hubungan linier yang signifikan antar variabel dengan tingkat signifikansi 10%. Hubungan linier yang paling kuat adalah hubungan antara pecahan outflow Rp 20.000 dengan Rp 10.000, yaitu sebesar 0,954. Selain itu hubungan antara pecahan outflow Rp 20.000 dengan Rp 5.000, juga pecahan outflow Rp 10.000 dengan Rp 5.000 sangat kuat.
70
Sebaliknya, hubungan linier yang paling lemah adalah hubungan antara pecahan outflow Rp 100.000 dengan Rp 20.000 dan Rp 10.000 dengan nilai korelasi berturut-turut 0,494 dan 0,480. Adanya hubungan linier antar variabel tersebut merupakan indikasi bahwa perlu dilakukan analisis secara multivariat yang dapat mempertimbangkan bagaimana hubungan antar variabel.
Tabel 4. 6 Hasil Analisis Korelasi Pearson Variabel
Z1,t
Z2,t
0,877 (0,00)
(p-value)
Z3,t (p-value)
Z4,t (p-value)
Z5,t (p-value)
Z2,t
Z3,t
0,494 (0,00)
0,487 (0,00)
0,480 (0,00)
0,497 (0,00)
0,954 (0,00)
0,511 (0,00)
0,572 (0,00)
0,927 (0,00)
Z4,t
0,942 (0,00)
4.4.2 Stationeritas Data Sebelum melakukan pemodelan VARI-X, perlu dilakukan pemeriksaan stasioneritas data. Pemeriksaan ini meliputi pemeriksaan stasoneritas dalam varians dengan plot Box-Cox dan stasioneritas mean dengan uji ADF. Pengujian Box-Cox telah dilakukan pada Subbab 4.2 tentang pemodelan ARIMAX tiap pecahan outflow. Rangkuman rounded value seluruh variabel dalam uji Box-Cox ditampilkan dalam Tabel 4. 7.
Tabel 4. 7 Hasil Pengujian Stasioneritas Varians dengan Box-Cox Variabel
Rounded Value
Batas Bawah
Batas Atas
Z1,t
0,00
-0,31
0,38
Z2,t
0,00
-0,27
0,54
Z3,t
0,00
-0,18
0,14
Z4,t
0,00
-0,21
0,11
Z5,t
0,00
-0,30
0,00
71
Berdasarkan Tabel 4. 7 dapat diketahui bahwa semua variabel memiliki rounded value 0 dan dalam intevalnya tidak melewati nilai 1. Hal ini mengindikasikan bahwa kelima variabel tersebut tidak stasioner dalam varians. Maka selanjutnya dilakukan transformasi logaritma natural (ln (Zi,t)). Setelah dilakukan transformasi dan data telah stasioner dalam varians, dilakukan pemeriksaan stasionertitas dalam mean dengan uji ADF. Pemeriksaan stasioneritas mean secara non-seasonal menggunakan uji ADF juga telah dilakukan pada subbab pemodelan ARIMAX. Hasil pengujian tersebut menunjukkan bahwa pada setiap variabel respon perlu dilakukan differencing lag 1 karena tidak stasioner dalam mean. 4.4.3 Pemodelan dengan VARI-X Pemodelan VARI-X dilakukan pada kelima variabel outflow dan ditambah variabel eksogen. Variabel eksogen tersebut berupa variabel non-matriks dummy bulan hari raya Idul Fitri. Langkah pertama yang dilakukan dalam pemodelan ini adalah identifikasi orde VARI-X. Hal ini dapat dilakukan dengan melihat nilai AICc, plot MCCF dan plot MPCCF data yang sudah stasioner. Karena keterbatasan panjang data, nilai AICc tidak dapat diperoleh. Maka identifikasi order model hanya berdasarkan MCCF dan MPCCF yang disajikan dalam Gambar 4.22.
Gambar 4. 22 Plot MCCF dan MPCCF Data Outflow Setelah di Differencing
72
Berdasarkan Gambar 4.22 maka orde VAR yang digunakan adalah p = 1, 2, 5, dan 12. Variabel eksogen yang digunakan hanya variabel 1 bulan sebelum Idul Fitri (Vi,t–), sehingga untuk memunculkan pengaruh bulan terjadinya hari raya Idul Fitri dan 1 bulan setelah hari raya Idul Fitri, orde variabel eksogen yang digunakan adalah 2 (s*=2). Karena pada data dilakukan differencing 1, maka model VARIX(p,1,s*) adalah VARI-X ([1,2,5,12],1,2). Hasil estimasi parameter model VARI-X ([1,2,5,12],1,2) memiliki 145 parameter. Akan tetapi, jika dilihat dari p-value masing-masing parameter dapat diketahui bahwa tidak semua parameter memiliki pengaruh yang signifikan terhadap model. Untuk mengatasi adanya parameter-parameter yang tidak signifikan, maka dilakukan restrict terhadap parameter-parameter tersebut. Perintah restrict dilakukan terhadap satu demi satu variabel yang tidak signifikan secara bertahap, sampai semua parameter signifikan. Pada kasus ini, restrict parameter hanya dilakukan untuk parameter Autoregressive, sedangkan untuk parameter dari dummy hari raya Idul Fitri akan dibiarkan tetap dalam model, agar didapatkan hasil yang lebih baik untuk peramalan outflow saat hari raya. Hasil estimasi parameter model VARI-X ([1,2,5,12],1,2) yang telah di restrict ditunjukkan pada Lampiran J. Persamaan (4.9) merupakan matriks pemodelan VARI-X ([1,2,5,12],1,2). Perlu diingat kembali bahwa Wi,t merupakan hasil dari transformasi ln(Zi,t) dan Wi,t* merupakan hasil differencing orde 1 dari data Wi,t. W1,t 1,11 W2,t 1,21 W3,t 1,31 W4,t 1,41 W 1,51 5,t
1,12 1,22 1,32 1,42 1,52
1,13 1,23 1,33 1,43 1,53
1,14 1,24 1,34 1,44 1,54
1,15 W1,t 1 2,11 1,25 W2,t 1 2,21 1,35 W3,t 1 2,31 1,45 W4,t 1 2,41 1,55 W5,t 1 2,51
5,11 5,21 + 5,31 5,41 5,51
5,12 5,22 5,32 5,42 5,52
5,13 5,23 5,33 5,43 5,53
5,14 5,24 5,34 5,44 5,54
5,15 W1,t 5 12,11 5,25 W2,t 5 12,21 5,35 W3,t 5 12,31 5,45 W4,t 5 12,41 5,55 W5,t 5 12,51
73
2,12 2,22 2,32 2,42 2,52
12,12 12,22 12,32 12,42 12,52
2,13 2,23 2,33 2,43 2,53
2,14 2,24 2,34 2,44 2,54
12,13 12,23 12,33 12,43 12,53
2,15 W1,t 2 2,25 W2,t 2 2,35 W3,t 2 2,45 W4,t 2 2,55 W5,t 2
12,14 12,24 12,34 12,44 12,54
12,15 W1,t 12 12,25 W2,t 12 12,35 W3,t 12 12,45 W4,t 12 12,55 W5,t 12
0,11 0,21 + 0,31 0,41 0,51
0,12 0,22 0,32 0,42 0,52
0,13 1,11 0,23 V2,t 1,21 0,33 V3,t 1,31 0,43 V4,t 1,41 1,51 0,53
1,12 1,22 1,32 1,42 1,52
1,13 2,11 1,23 V2,t 2,21 1,33 V3,t 2,31 1,43 V4,t 2,41 2,51 1,53
2,12 2,22 2,32 2,42 2,52
2,13 2,23 V2,t 2,33 V3,t 2,43 V4,t 2,53
Karena variabel Wi,t* merupakan hasil differencing orde 1 dari Wi,t, maka,
(1 B)1 0 0 0 0 W1,t 1 0 (1 B ) 0 0 0 W2,t 0 0 (1 B)1 0 0 W3,t 1 0 0 0 (1 B ) 0 W4,t 0 0 0 0 (1 B)1 W5,t 1,11 1,21 1,31 1,41 1,51 2,11 2,21 2,31 2,41 2,51 5,11 5,21 + 5,31 5,41 5,51 12,11 12,21 12,31 12,41 12,51
1,12
1,13
1,14
1,22
1,23 1,24
1,32
1,33
1,42
1,43 1,44
1,52
1,53
1,54
2,12
2,13
2,14
1,34
1,15 (1 B)1 0 0 0 0 W1,t 1 W 1 1,25 0 (1 B ) 0 0 0 2,t 1 1 1,35 0 0 (1 B ) 0 0 W3,t 1 1,45 0 0 0 (1 B)1 0 W4,t 1 1,55 0 0 0 0 (1 B)1 W5,t 1
2,22 2,23 2,24 2,32
2,33 2,34
2,42 2,43 2,44 2,52
2,53 2,54
5,12
5,13
5,22
5,23 5,24
5,32
5,33
5,42
5,43 5,44
5,52
5,53
5,14 5,34 5,54
12,12
12,13
12,14
12,22
12,23 12,24
12,32
12,33
12,42
12,43 12,44
12,52
12,53
12,34 12,54
2,15 (1 B)1 0 0 0 0 W1,t 2 1 2,25 0 (1 B) 0 0 0 W2,t 2 2,35 0 0 (1 B)1 0 0 W3,t 2 2,45 0 0 0 (1 B)1 0 W4,t 2 2,55 0 0 0 0 (1 B)1 W5,t 2
5,15 (1 B)1 0 0 0 0 W1,t 5 W 1 5,25 0 (1 B ) 0 0 0 2,t 5 1 5,35 0 0 (1 B) 0 0 W3,t 5 5,45 0 0 0 (1 B)1 0 W4,t 5 5,55 0 0 0 0 (1 B)1 W5,t 5 12,15 (1 B )1 0 0 0 0 W1,t 12 12,25 0 (1 B)1 0 0 0 W2,t 12 12,35 0 0 (1 B )1 0 0 W3,t 12 12,45 0 0 0 (1 B )1 0 W4,t 12 12,55 0 0 0 0 (1 B)1 W5,t 12
74
(4.9)
0,11 0,21 + 0,31 0,41 0,51
0,12 0,22 0,32 0,42 0,52
0,13 1,11 0,23 V2,t 1,21 0,33 V3,t 1,31 0,43 V4,t 1,41 0,53 1,51
1,12
1,13 2,11 1,23 V2,t 2,21 1,33 V3,t 2,31 1,43 V4,t 2,41 2,51 1,53
1,22 1,32 1,42 1,52
2,12 2,22 2,32 2,42 2,52
2,13 2,23 V2,t 2,33 V3,t 2,43 V4,t 2,53
(4.10)
Selanjutnya pemeriksaan asumsi normalitas multivariat vektor residual VARIX menggunakan Uji Shipiro-Wilk. Berdasarkan uji normalitas multivariat didapatkan nilai W* sebesar 0,977 dengan p-value 0,503, sehingga dapat disimpulkan bahwa residual telah memenuhi asumsi berdistribusi multivariat normal. Hal ini karena nilai p-value yang sudah lebih besar dari α = 0,1. Untuk asumsi white noise dapat dilakukan dengan melihat nilai AICc. Akan tetapi, karena keterbatasan panjang data, nilai AICc tidak dapat diperoleh, sehingga pengujian white noise dilakukan dengan melihat MCCF residual pada Gambar 4.23. Dapat dilihat bahwa residual telah white noise.
Gambar 4. 23 Plot MCCF Residual Data
4.5
Perbandingan Kebaikan Model Setelah didapatkan model ARIMAX, hybrid ARIMAX-ANN, dan VARI-X
yang sesuai untuk meramalkan outflow uang kartal selanjutnya dilakukan pemilihan model terbaik. Ukuran kriteria yang digunakan adalah RMSE.
75
(a) 294.5
300 245.8
RMSE In-Sample (Miliar)
250
242.5
240.4
220.1223.8
200
150
92.0 88.8
100
58.2 56.0
50.5 52.2
50 15.7
14.3
0 Model I AR
Uang
X rid -X MA yb ARI H V
I AR
X rid -X MA yb A RI H V
0 10
(b)
AX rid I-X IM Hy b AR R V A
50
I AR
20
X rid -X MA yb ARI H V
13.0
I AR
10
X rid -X MA yb ARI H V 5
885.1
900
RMSE Out-Sample (Miliar)
800 700 603.3
575.5 554.6
600
557.5 505.1
500 400 300 200 119.8
100
42.1
0 Model I AR
Uang
AX rid -X M yb A RI H V 0 10
I AR
AX rid -X M yb A RI H V
I AR
50
20
94.2 97.5
25.5 31.1
24.5
A X rid -X M yb A R I H V
140.8
118.5
I AR
A X rid -X M yb A R I H V 10
I AR
A X r id -X M yb A RI H V 5
Gambar 4. 24 Hasil RMSE Model-Model Outflow Pecahan Uang Kartal (a) In-Sample dan (b) Out-Sample
Gambar 4.24 merupakan nilai RMSE hasil peramalan data masing-masing model. Berdasarkan RMSE in-sample pada Gambar 4.24 (a) dapat diketahui bahwa:
76
-
Peramalan terbaik untuk outflow Rp 100.000 dan Rp 50.000 adalah ARIMAX dengan RMSE in-sample berturut-turut 240,4 miliar dan 220,1 miliar, dan
-
Peramalan terbaik untuk outflow Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000 dihasilkan metode VARI-X dengan RMSE in-sample berturut-turut 14,3 miliar, 15,7 miliar, dan 13 miliar.
Sedangkan berdasarkan RMSE out-sample untuk peramalan 12 langkah ke depan, berdasarkan Gambar 4.24 (b), -
Peramalan terbaik untuk outflow Rp 100.000 dan Rp 20.000 dihasilkan metode hybrid ARIMAX-ANN dengan RMSE out-sample berturut-turut 554,6 miliar dan 24,5 miliar,
-
Peramalan terbaik untuk outflow Rp 50.000 dihasilkan metode VARI-X dengan RMSE out-sample 505,1 miliar, dan
-
Peramalan terbaik untuk outflow Rp 10.000 dan Rp 5.000 dihasilkan metode ARIMAX dengan RMSE out-sample berturut-turut 25,5 miliar dan 94,2 miliar.
Nilai RMSE Gambar 4.24 ini diperkuat secara visual oleh plot time series dari insample dan out-sample peramalan tiap outflow uang kartal pada Gambar 4.25. (a) 4
Triliun
3
v4t
v3t
v2t
v4t
v3t
V ariable A ctual In F ore A RIM A X In F ore hy brid In F ore V A RI-X O ut F ore A RIM A X O ut F ore hy brid O ut F ore V A RI-X
2
1
0 Month Jan Year 2011
Jul
Jan 2012
Jul
Jan 2013
Jul
77
Jan 2014
Jul
Jan 2015
Jul
(b) 3.0
v4t
v3t
2.5
2.0
Triliun
v2t
v4t
v3t
V ariable A ctual In F ore A RIM A X In F ore hy brid In F ore V A RI-X O ut F ore A RIM A X O ut F ore hy brid O ut F ore V A RI-X
1.5
1.0
0.5
0.0 Month Jan Year 2011 (c) 900 800 700
Miliar
600
Jul
Jan 2012
v4t
Jul
Jan 2013
Jul
v3t
Jan 2014
v2t
Jul
Jan 2015
v4t
Jul
v3t
V ariable A ctual In F ore A RIM A X In F ore hy brid In F ore V A RI-X O ut F ore A RIM A X O ut F ore hy brid O ut F ore V A RI-X
500 400 300 200 100 0
Month Jan Year 2011
Jul
Jan 2012
Jul
Jan 2013
Jul
78
Jan 2014
Jul
Jan 2015
Jul
(d)
700 600 500
v4t
v3t
v2t
v4t
v3t
V ariable A ctual In F ore A RIM A X In F ore hy brid In F ore V A RI-X O ut F ore A RIM A X O ut F ore hy brid O ut F ore V A RI-X
Miliar
400 300 200 100 0 Month Jan Year 2011 (e)
Jul
Jan 2012
v4t 600 500
Jul
Jan 2013
Jul
v3t
Jan 2014
v2t
Jul
Jan 2015
v4t
Jul
v3t
V ariable A ctual In F ore A RIM A X In F ore hy brid In F ore V A RI-X O ut F ore A RIM A X O ut F ore hy brid O ut F ore V A RI-X
Miliar
400 300 200 100 0 Month Jan Year 2011
Jul
Jan 2012
Jul
Jan 2013
Jul
Jan 2014
Jul
Jan 2015
Jul
Gambar 4. 25 Plot Time Series In-Sample dan Out-Sample Pecahan (a) Rp 100.000 (b) Rp 50.000 (c) Rp 20.000 (d) 10.000 dan (e) 5.000
Gambar 4.25 (a) dan (b) menunjukkan bahwa untuk pecahan Rp 100.000 dan Rp 50.000 peramalan dari ketiga metode secara umum sudah mendekati nilai asli. RMSE yang besar pada out-sample disebabkan oleh tinggi nya nilai outflow pada Juli 2015 (bulan terjadinya hari raya dimana hari raya terjadi pada minggu ke-3),
79
sedangkan pada bulan Agustus 2012 yang hari raya nya juga jatuh pada minggu ke3 pengaruh peningkatan outflow pada hari rayanya tidak tinggi. Gambar 4.25 (c), (d), dan (e) dalam peramalan in-sample juga menunjukkan peramalan ketiga model telah mendekati nilai outflow untuk bulan-bulan non hari raya. Untuk peramalan outflow pada bulan hari raya di in-sample, model VARI-X memberikan hasil peramalan yang lebih baik dibandingkan model ARIMAX dan hybrid ARIMAX, sesuai dengan nilai RMSE in-sample nya pada Gambar 4.24 (a). Akan tetapi sebaliknya, ketika melakukan peramalan 12 langkah pada out-sample, peramalan model VARI-X lebih jauh dari data asli outflow jika dibandingkan 2 model lainnya, terutama dalam meramalkan outflow saat hari raya. Ini yang menyebabkan tinggi nya RMSE out-sample dari VARI-X pada pecahan Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000. Selanjutnya, berdasarkan hasil uji Terasvirta pada Tabel 4.8 diperoleh bahwa pola seluruh data pecahan outflow juga memiliki pola non-linier, karena p-value nya kurang dari alpha 0.1. Pola non-linier ini mendukung hasil RMSE out-sample dari pecahan Rp 100.000, Rp 50.000, dan Rp 20.000 dimana metode hybrid ARIMAX-ANN pada ketiga pecahan tersebut memiliki hasil peramalan yang lebih baik. Untuk pecahan Rp 10.000 dan Rp 5.000 walaupun kedua data juga memiliki pola non-linier, hasil peramalan ARIMAX lebih baik dibanding metode hybrid ARIMAX-ANN. Hal ini dapat disebabkan oleh penggunaan RBFN pada ANNnya yang kurang cocok dalam membaca pola ke non-linieran data. Tabel 4. 8 Hasil Uji Terasvirta
χ2
p-value
Rp 100.000
6,18
0,046
Rp 50.000
10,82
0,004
Rp 20.000
8,80
0,012
Rp 10.000
14,63
0,001
Rp 5.000
13,84
0,001
Pecahan
Hasil RMSE Aditif ramalan k langkah juga digunakan untuk melihat model yang memberi peramalan terbaik dan berapa langkah peramalan ke depan peramalannya baik.
80
Tabel 4. 9 Perbandingan RMSE Aditif Ramalan k Langkah Pecahan Rp 100.000 dan Rp 50.000 Rp 100.000
Rp 50.000
k ARIMAX
(a)
VARI-X
ARIMAX
Hybrid
VARI-X
1
382,8
360,1
400,6
189,5
141,8
238,2
2
273,0
263,7
385,7
164,8
102,7
217,6
3
359,5
383,1
370,4
161,3
84,5
183,2
4
442,4
454,2
602,0
414,8
225,2
347,6
5
400,2
411,7
542,1
376,0
224,1
316,7
6
394,0
408,9
543,0
401,8
287,4
317,1
7
666,2
637,7
1044,3
739,2
679,8
598,7
8
638,4
612,9
977,2
698,6
643,4
560,4
9
447,1
352,0
386,1
164,8
137,2
272,1
10
601,3
582,4
910,6
627,6
578,3
510,5
11
573,6
557,5
870,2
598,6
552,1
486,8
12
575,5
554,6
885,1
603,3
557,5
505,1
1100 Variable ARIMAX Hy brid VARI-X
1000 RMSE Aditif Rp 100.000 (Miliar)
Hybrid
900 800 700 600 500 400 300 200 1
2
3
4
5
6
7
k
81
8
9
10
11
12
(b)
800
Variable ARIMAX Hy brid VARI-X
RMSE Aditif Rp 50.000 (Miliar)
700 600 500 400 300 200 100 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
k Gambar 4. 26 Plot RMSE Aditif k Langkah Pecahan (a) Rp 100.000 dan (b) Rp 50.000
Tabel 4.9 menunjukkan bahwa model hybrid ARIMAX-ANN memberikan peramalan terbaik untuk 1 hingga 12 langkah peramalan ke depan pada outflow pecahan Rp 100.000, walaupun pada beberapa langkah di awal (sebelum hari raya) model ARIMAX sempat memberikan peramalan yang lebih baik (hari raya terjadi pada bulan 7). Pada pecahan Rp 50.000, model hybrid ARIMAX-ANN memberikan peramalan terbaik untuk 6 langkah peramalan ke depan, dan selanjutnya untuk peramalan 7 hingga 12 langkah ke depan, termasuk untuk peramalan outflow pada hari raya, VARI-X memberikan peramalan yang lebih baik. Hasil RMSE aditif secara visual ditunjukkan pada Gambar 4.26 dan Gambar 4.27. Tabel 4.10 menunjukkan bahwa model VARI-X memberikan peramalan terbaik pada outflow pecahan Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000 untuk 5 langkah peramalan ke depan. Selanjutnya, dalam meramalkan nilai outflow 6 hingga 12 langkah berikutnya (hari raya jatuh pada bulan 7), model hybrid memberikan peramalan baik untuk pecahan Rp 20.000, dan model ARIMAX untuk pecahan Rp 10.000 dan Rp 5.000. Hasil RMSE aditif secara visual ditunjukkan pada Gambar 4.27.
82
Tabel 4. 10 Perbandingan RMSE Aditif Ramalan k Langkah Pecahan Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000 Rp 20.000
Rp 10.000
Rp 5.000
k ARIMAX
Hybrid
VARI-X
ARIMAX
Hybrid
VARI-X
ARIMAX
Hybrid
VARI-X
1
14.9
20.1
9.6
27.8
23.3
14.4
27.2
29.0
13.3
2
12.4
15.5
21.4
22.1
16.7
18.8
21.2
23.5
12.7
3
22.2
24.5
17.6
46.9
35.4
15.7
31.9
35.4
11.8
4
19.4
21.3
16.5
41.1
30.8
14.1
29.1
32.5
10.3
5
18.2
19.3
17.2
36.9
28.0
13.7
26.1
29.1
9.4
6
31.0
27.6
163.7
34.5
39.2
161.8
38.8
58.3
191.3
7
53.8
29.7
156.2
32.6
40.0
154.8
123.3
127.6
184.1
8
50.4
27.8
146.2
30.5
37.4
144.8
115.3
119.4
172.2
9
0.9
1.5
7.7
0.3
0.2
13.3
1.4
1.6
13.1
10
45.1
24.9
130.7
27.3
33.5
129.6
103.2
106.8
154.2
11
43.0
23.8
124.7
26.1
32.0
123.6
98.4
101.8
147.0
12
42.1
24.5
119.8
25.5
31.1
118.5
94.2
97.5
140.8
(a)
180 Variable ARIMAX Hybrid VARI-X
RMSE Aditif Rp 20.000 (Miliar)
160 140 120 100 80 60 40 20 0 1
2
3
4
5
6
7
k
83
8
9
10
11
12
(b)
180
Variable ARIMAX Hybrid VARI-X
RMSE Aditif Rp 10.000 (Miliar)
160 140 120 100 80 60 40 20 0 1
RMSE Aditif Rp 5.000 (Miliar)
(c)
200
2
3
4
5
6
k
7
8
9
10
11
12
Variable ARIMAX Hy brid VARI-X
150
100
50
0 1
2
3
4
5
6
k
7
8
9
10
11
12
Gambar 4. 27 Plot RMSE Aditif k Langkah Pecahan (a) Rp 20.000 dan (b) Rp 10.000 dan (c) Rp 5.000
Berdasarkan RMSE out-sample nya (RMSE aditif 12 langkah ke depan), maka model hybrid ARIMAX-ANN digunakan untuk meramalkan outflow pecahan Rp 100.000 dan Rp 20.000. Untuk pecahan Rp 50.000 digunakan model VARI-X, dan model ARIMAX untuk pecahan Rp 10.000 dan Rp 5.000. Peramalan outflow 5 pecahan tersebut untuk tahun 2016-2017 ditampilkan pada Tabel 4.11.
84
Hari raya Idul Fitri pada tahun 2016 terjadi di Bulan Juli pada minggu ke-1. Karena periode data yang digunakan pada analisis ini tidak memiliki data outflow untuk hari raya yang terjadi pada minggu ke-1, maka dummy hari raya yang digunakan untuk meramalkan outflow tahun 2016 adalah dummy hari raya minggu ke-2. Hal ini sesuai dengan penelitian sebelumnya bahwa terdapat pola outflow yang sama untuk hari raya yang terjadi pada minggu ke-1 dan ke-2 (Wulansari et al, 2014). Sedangkan hari raya tahun 2017 terjadi di bulan Juni pada minggu ke-4. Tabel 4. 11 Hasil Ramalan Outflow untuk Tahun 2016-2017
2016 6-7 Juli V3,t
2017 25-26 Juni V4,t
Bulan
Rp 100.000
Rp 50.000
Rp 20.000
Rp 10.000
Rp 5.000
1
697
522
9,93
11,93
9,10
2
751
1.015
53,68
35,72
34,00
3
1.165
968
32,61
29,11
19,07
4
1.929
1.165
29,12
23,52
14,14
5
1.303
781
9,76
15,36
16,29
6
2.670
1.026
856,49
254,31
228,59
7
4.181
1.436
84,10
32,33
32,85
8
1.164
692
3,15
1,11
3,07
9
1.756
1.199
3,75
3,84
3,08
10
1.152
825
10,13
6,13
3,66
11
1.313
981
17,34
7,45
6,53
12
2.052
1.245
41,63
31,00
11,15
1
883
738
16,91
13,13
10,90
2
1.042
1.053
26,29
34,72
18,11
3
1.516
1.185
35,93
24,44
13,19
4
2.189
1.020
29,20
18,70
12,94
5
1.224
946
110,33
144,47
91,65
6
3.835
1.018
1.356,18
1.663,78
1.240,34
7
939
1.196
6,12
5,09
6,43
8
1.978
874
6,39
5,08
5,82
9
1.639
1.199
12,59
5,80
5,83
10
1.279
960
21,47
9,21
6,70
11
1.443
1.052
22,74
10,90
7,78
12
1.946
1.135
45,07
21,34
9,94
85
Berdasarkan hasil peramalan pada Tabel 4.11 dapat dilihat bahwa untuk tahun 2016: -
Outflow pecahan Rp 100.000 dan Rp 50.000 nilai outflow mulai naik 1 bulan sebelum hari raya Idul Fitri, mencapai puncak ketinggian pada bulan terjadinya Idul Fitri dengan nilai outflow 4.181 miliar (4,18 triliun) dan 1.436 miliar (1,44 triliun), serta turun drastis 1 bulan setelah hari raya Idul Fitri menjadi 1.164 miliar (1,2 triliun) pada pecahan Rp 100.000 dan 692 miliar pada pecahan Rp 50.000.
-
Outflow tertinggi untuk pecahan Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000 terjadi 1 bulan sebelum hari raya Idul Fitri dengan nilai 688,10 miliar, 254,31 miliar, dan 228,59 miliar, serta turun drastis pada bulan terjadinya hari raya, yakni menjadi 43,56 miliar, 32,33 miliar, dan 32,59 miliar.
Sedangkan untuk tahun 2017 didapatkan hasil ramalan outflow tiap pecahan mata uang, tingkat outflow mencapai puncak tertinggi pada bulan terjadinya idul fitri, yaitu Rp 100.000 sebesar 3.835 miliar (3,8 triliun), Rp 50.000 sebesar 1,02 triliun, Rp 20.000 sebesar 1,36 triliun, dan Rp 10.000 serta Rp 5.000 berturut-turut sebesar 1,66 triliun dan 1,24 triliun. Hasil ramalan satu tahun ke depan ini sudah sesuai dengan hasil pemodelan serta identifikasi awal pengaruh hari raya Idul Fitri untuk nilai outflow 5 pecahan uang kartal di regional Surabaya. Plot time series data asli, ramalan, batas atas ramalan dan batas bawah ramalan ada pada Gambar 4.28. Pada plot ini nilai yang digunakan masih berupa nilai transformasi (Yi,t), karena apabila plot menggunakan nilai ramalan yang sudah di re-transfomasi (Zi,t), nilainya akan terlalu besar range nya sehingga pola data tidak terlihat. Berdasar Gambar 4.28, dapat dilihat data asli dengan ramalan sudah pola yang sama, hanya saja, terlihat batas atas dan batas bawah dari ramalan semakin lama range-nya semakin lebar. Pada Gambar 4.28 (a) dan (c) tidak tertera batas atas dan batas bawah, karena pada model hybrid ARIMAX-ANN, untuk membuat interval konvidensi-nya, dibutuhkan pengujian homogenitas varians dahulu, kemudian dilanjutkan ke model ARCH atau GARCH jika varians belum homogen. Akan tetapi, pada penelitian ini belum dilakukan pengujian homogenitas varians, maka interval konfidensi outflow pecahan Rp 100.000 dan Rp 20.000 belum bisa dibuat. 86
(a) 15.5 15.0
v2t
v4t
v3t
v2t
v4t
v3t
v1t
v4t
Variable ln (z1t) forecast ln (z1t)
Rp 100.000 (ln z1t)
14.5 14.0 13.5 13.0 12.5 12.0 Month Jan Year 2010 (b) 17
Rp 50.000 (ln z2t)
16
Jan 2011 v2t
Jan 2012 v4t
Jan 2013 v3t
Jan 2014 v2t
Jan 2015
v4t
Jan 2016 v3t
Jan 2017 v1t
v2t
Variable ln (z5t) forecast ln(z5t) Lower CI ln(z5t) Upper CI ln(z5t)
15
14
13
12
11 Month Jan Year 2010 (c) 15 14
Jan 2011 v2t
Jan 2012 v4t
Jan 2013 v3t
Jan 2014 v2t
Jan 2015 v4t
Jan 2016 v3t
Jan 2017 v1t
v4t
Variable ln (z3t) forecast ln(z3t)
Rp20.000 (ln z3t)
13 12 11 10 9 8 7 6 Month Jan Year 2010
Jan 2011
Jan 2012
Jan 2013
Jan 2014
87
Jan 2015
Jan 2016
Jan 2017
(d)
v2t
Rp 10.000 (ln z4t)
20
v4t
v3t
v2t
v4t
v3t
v1t
v4t
Variable ln (z4t) forecast ln(z4t) Lower CI ln(z4t) Upper CI ln(z4t)
15
10
5
0 Month Jan Year 2010 (e)
Jan 2011 v2t
20
Jan 2012 v4t
Jan 2013 v3t
Jan 2014 v2t
Jan 2015 v4t
Jan 2016 v3t
Jan 2017 v1t
v4t
Variable ln (z5t) forecast ln(z5t) Lower CI ln(z5t) Upper CI ln(z5t)
Rp 5.000 (ln z5t)
15
10
5
0 Month Jan Year 2010
Jan 2011
Jan 2012
Jan 2013
Jan 2014
Jan 2015
Jan 2016
Jan 2017
Gambar 4. 28 Plot Time Series Ramalan Outflow Pecahan (a) Rp 100.000, (b) Rp 50.000, (c) Rp 20.000, (d) Rp 10.000 dan (e) Rp 5.000
88
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan Berdasarkan analisis yang telah dilakukan terhadap outflow tiap pecahan mata uang di regional Surabaya, didapatkan kesimpulan sebagai berikut. 1. Pada outflow pecahan Rp 100.000 dan Rp 50.000 secara garis besar terjadi peningkatan outflow mulai 1 bulan sebelum hari raya Idul Fitri, mencapai puncak tertinggi pada saat terjadinya hari raya dan menurun drastis 1 bulan setelah hari raya. Hal ini berlaku pada minggu berapapun hari raya terjadi. Untuk pecahan Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000, ketika hari raya terjadi pada minggu ke-2 dan ke-3, terdapat peningkatan outflow yang tinggi 1 bulan sebelum hari raya Idul Fitri dan menurun saat terjadinya hari raya. Sedang ketika hari raya terjadi pada minggu ke-4, untuk ketiga pecahan ini, peningkatan outflow mulai terjadi 1 bulan sebelum hari raya Idul Fitri, berada di posisi tertinggi pada saat hari raya, dan menurun drastis 1 bulan setelah hari raya, seperti yang terjadi pada pecahan Rp 100.000 dan Rp 50.000. Berdasarkan korelasi Pearson, outflow ke-5 pecahan mata uang mempunyai korelasi yang signifikan terhadap α sebesar 10%. Berdasarkan ketinggian korelasinya, terdapat 2 grup berbeda yang terbentuk, yakni grup pertama yaitu pasangan pecahan Rp 100.000 dengan Rp 50.000, dan grup kedua yaitu pecahan Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000. Dua grup yang ini memiliki korelasi yang kuat dengan anggota grup nya masing-masing, tetapi korelasinya lemah dengan anggota di luar grupnya. 2. Model ARIMAX yang sesuai untuk outflow pecahan Rp 100.000 adalah ARIMAX (3,1,0)(1,0,0)12 dengan variabel eksogen yang digunakan adalah seluruh dummy hari raya yaitu V2,t; V2,t-1; V2,t+1; V3,t; V3,t-1;V3,t+1; V4,t; V4,t-1;V4,t+1. Untuk pecahan Rp 50.000, orde yang sesuai adalah ARIMAX (2,1,0)(1,0,0)12 dengan 7 variabel eksogen yang digunakan yaitu V2,t; V2,t-1; V2,t+1; V3,t; V3,t+; V4,t; V4,t+1. Sedangkan untuk pecahan Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000 orde yang sesuai sama, yakni ARIMAX([4,7],1,0)(1,0,0)12. Ada 6 variabel eksogen yang digunakan untuk pecahan Rp 20.000 adalah V2,t; V2,t-1; V3,t; V3,t-1; V4,t; V4,t-1, dan
89
7 variabel eksogen pada pecahan Rp 10.000 yaitu V2,t; V2,t-1; V2,t+1; V3,t; V3,t-1; V4,t; V4,t-1, serta 6 variabel eksogen untuk pecahan Rp 5.000 yang adalah V2,t; V2,t-1; V3,t; V3,t-1; V4,t; V4,t-1. Variabel eksogen yang digunakan pada pecahan Rp 50.000 hingga Rp 5.000 hanya variabel eksogen yang memberikan pengaruh signifikan pada model ARIMAX. 3. Model yang terbaik untuk pecahan Rp 100.000 berdasarkan metode hybrid ARIMAX-ANN adalah model yang menggunakan RBFN 3-2-1, RBFN 3-5-1 untuk pecahan Rp 50.000 dan Rp 20.000, serta RBFN 3-1-1 untuk pecahan Rp 100.000 dan Rp 5.000. 4. Orde VARI-X yang didapatkan untuk peramalan outflow pecahan uang kartal Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000 adalah VARI-X ([1,2,5,12],1,2). 5. Peramalan terbaik untuk pecahan Rp 100.000 dan Rp 20.000 berdasarkan nilai RMSE out-sample dengan peramalan 12 langkah ke depan adalah model hybrid ARIMAX-ANN. Sedangkan untuk pecahan Rp 50.000, peramalan terbaik dihasilkan model VARI-X. ARIMAX memberikan peramalan terbaik untuk pecahan Rp 10.000 dan Rp 5.000. Berdasarkan RMSE in-sample nya, model VARI-X memberikan hasil peramalan yang lebih baik untuk pecahan Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000. Akan tetapi berdasarkan RMSE aditif outsample nya, model VARI-X hanya dapat memberikan peramalan yang baik untuk 5 langkah (bulan) ke depan. 5.2 Saran Saran yang dapat diberikan untuk penelitian selanjutnya adalah menggunakan data dengan periode yang lebih panjang, agar pengaruh hari raya lebih jelas terlihat polanya. Pada penelitian selanjutnya juga dapat ditambahkan pengujian outlier dengan harapan mendapatkan peramalan yang lebih akurat.
90
DAFTAR PUSTAKA Akal, M. (2015). A VARX Modelling of Energy Intensity Interactions Between China, the United States, Japan and EU. Organization of the Petroleum Exporting Countries (OPEC Energy Reviews), 103-124. Alva, J. V., & Estrada, E. G. (2009). A Generalization of Shapiro–Wilk’s Test for Multivariate Normality. Communications in Statistics-Theory and Methods, 38, 1870-1883. Bank Indonesia. (2013). Dipetik September 12, 2015, dari www.bi.go.id: http://www.bi.go.id/id/tentang-bi/fungsi-bi/status/Contents/Default.aspx Box, G. E., Jenkins, G. M., & Reinsel, G. C. (2008). Time Series Analysis: Forecasting and Control, Fourth Edition. Canada: John Wiley & Sons Inc. Cologni, A., & Manera, M. (2005). Oil Prices, Inflation and Interest Rates in a Structural Cointegrated VAR Model for the G-7 Countries. Nota di Lavoro, Fondazione Eni Enrico Mattei, No. 101, 2-55. Cryer, J. D., & Chan, K. S. (2008). Time series analysis: with applications in R (2nd ed.). Springer. De Gooijer, J. G., & Hyndman, R. J. (2006). 25 Years of Time Series Forecasting. International Journal of Forecasting 22, 443-473. Dheerasinghe, R. (2006). Modeling and Forecasting Currency in Circulation in Sri Lanka. Central Bank of Srilanka Staff Papers No. 36, 38-72. Dickey, D. A., Hasza, D., & Fuller, W. (1984). Testing for Unit Roots in Seasonal Time Series. Journal of the American Statistical Assocation, 79, 355-367. Enders, W. (2004). Applied Econometric Time Series. New York: John Wiley & Sons, Inc. Faraway, J., & Chatfield, C. (1998). Time Series Forecasting with Neural Networks: A Comparative Study using The Airline Data. Applied Statistics, 231-250. Fauset, L. (1994). Fundamental of Neural Network: Architectures, Algorithm, and Aplications. New Jersey: Prentice Hall Inc. Gujarati, D. N. (2004). Basic Econometrics, Fourth Edition. New York: The McGraw-Hill Companies.
91
Hanim, Y. M., & Suhartono. (2015). Penerapan Regresi Time Series dan ARIMAX untuk Peramalan Inflow dan Outflow Uang Kartal di Jawa Timur, DKI Jakarta, dan Nasional, Tugas Akhir. Surabaya: Jurusan Statistika FMIPA ITS. Ikoku, A. (2014). Modeling and Forecasting Currency in Circulation for Liquidity Management in Nigeria. CBN Journal of Applied Statistics Vol. 5 No.1, 79104. Karomah, A., & Suhartono. (2014). Peramalan Netflow Uang Kartal dengan Model Variasi Kalender dan Model Autoregressive Distributed Lag (ARDL). JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 3, No.2, 103-108. Kostenko, A. V., & Hyndman, R. J. (2008, November 5). Forecasting without significance test? Retrieved from HYNDSIGHT A blog by Rob J Hyndman: robjhyndman.com/papers/sst2.pdf Kusumadewi, S. (2004). Membangun Jaringan Syaraf Tiruan (Menggunakan MATLAB dan Excel Link). Yogyakarta: Graha Ilmu. Lee, M. H., & Suhartono. (2010). Calendar Variation Model Based on ARIMAX for Forecasting Sales Data with Ramadhan Effect. Proceedings of the Regional Conference on Statistical Sciences (hal. 349-361). Malaysia: Institute of Mathematical Sciences University of Malaya. Luguterah, A., Anzagra, L., & Nasiru, S. (2013). Monthly Effect on the Volume of Currency in Circulation in Ghana. Journal of Finance and Accounting Vol.4, No.5, 132-137. Lutkepohl, H. (2005). New Introduction to Multiple Time Series Analysis. Germany: Springer-Verlag Berlin Heidelberg. Prayoga, I. G., Rahayu, S. P., & Suhartono. (2015). Hierarchical Forecasting Method Based on ARIMAX and Recurrent Neural Network for Motorcycle Sales Prediction. International Journal of Applied Mathematics and StatisticsTM, 53(5), 116-124. Solikin, & Suseno. (2002). Uang: Pengertian, Penciptaan, dan Peranannya dalam Perekonomian. Jakarta: Bank Indonesia. Swammy, M. (2006). Neural Networks in a Softcomputing Framework. Germany: Springer Science and Business Media. 92
Terasvirta, T., Lin, C., & Granger, C. (1993). Power of Neural Networks Linearity Test. Journal of Time Series Analysis, 14, 159-171. Tiao, G. C., & Box, G. E. (1981). Modeling Multiple Times Series with Applications. Journal of the American Statistical Association, Vol. 76, No. 37, 802-816. Tsay, R. S. (2005). Analysis of Financial Time Series, Second Edition. Canada: John Wiley & Sons, Inc. Ulyah, S. M., Susilaningrum, D., & Suhartono. (2014). Peramalan Volume Penjualan Total Sepeda Motor di Kabupaten Bojonegoro dan Lamongan dengan Pendekatan Model ARIMAX dan VARX. JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 3, No. 2, 230-236. Wei, W. W. (2006). Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods, 2nd Edition. New York: Pearson. Wulansari, E. R., & Suhartono. (2014). Peramalan Netflow Uang Kartal dengan Metode ARIMAX dan Radial Basis Function Network (Studi Kasus Di Bank Indonesia). JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 3, No.2, 73-78. Zhang, G. P. (2003). Time Series Forecasting using A Hybrid ARIMA and Neural Network Model. Neurocomputing, 50, 159-175. Zhang, G. P., & Berardi, V. (1998). An investigation of neural networks in thyroid function diagnosis. Health Care Management Science 1(1), 29-37.
93
(Halaman Ini Sengaja Dikosongkan)
94
LAMPIRAN
Lampiran A. Hasil Proses Pemodelan ARIMAX Rp 50.000 a. Output Minitab Uji Box-Cox Pecahan Rp 50.000 Box-Cox Plot of 50000 Lower CL
7000000
Upper CL Lambda (using 95.0% confidence)
6000000
Estimate
5000000
Lower CL Upper CL
StDev
Rounded Value
4000000 3000000 2000000 1000000 Limit
0 -2
-1
0
1 2 Lambda
3
4
5
b. Output SAS Uji ADF untuk Stasioneritas Mean Pecahan Rp 50.000
95
0.14 -0.27 0.54 0.00
LAMPIRAN A (LANJUTAN) c. Output SAS Estimasi ARIMAX untuk Pecahan Rp 50.000 (a) dengan hanya dummy signifikan
(b) dengan semua dummy
d. Output SAS Uji White Noise Ljung-Box untuk ARIMAX Pecahan Rp 50.000 (dengan hanya dummy signifikan)
96
LAMPIRAN A (LANJUTAN) e. Output SAS Uji Normalitas ARIMAX Pecahan Rp 50.000 (dengan hanya dummy signifikan)
97
Lampiran B. Hasil Proses Pemodelan ARIMAX Rp 20.000 a. Output Minitab Uji Box-Cox Pecahan Rp 20.000 Box-Cox Plot of 20000 Lower CL
60000
Upper CL Lambda (using 95.0% confidence)
50000
Estimate
-0.01
Lower CL Upper CL
-0.18 0.14
StDev
Rounded Value
40000
30000
20000 Limit -1.0
-0.5
0.0 0.5 Lambda
1.0
1.5
b. Output SAS Uji ADF untuk Stasioneritas Mean Pecahan Rp 20.000
98
0.00
LAMPIRAN B (LANJUTAN) c. Output SAS Estimasi ARIMAX untuk Pecahan Rp 20.000
d. Output SAS Uji White Noise Ljung-Box untuk ARIMAX Pecahan Rp 20.000
e. Output SAS Uji Normalitas ARIMAX Pecahan Rp 20.000
99
Lampiran C. Hasil Proses Pemodelan ARIMAX Rp 10.000 a. Output Minitab Uji Box-Cox Pecahan Rp 10.000 Box-Cox Plot of 10000 Lower CL
Upper CL Lambda
60000
(using 95.0% confidence)
50000
Estimate
-0.04
Lower CL Upper CL
-0.21 0.11
StDev
Rounded Value
40000
30000
20000 Limit 10000 -1.0
-0.5
0.0 0.5 Lambda
1.0
1.5
b. Output SAS Uji ADF untuk Stasioneritas Mean Pecahan Rp 10.000
100
0.00
LAMPIRAN C (LANJUTAN) c. Output SAS Estimasi ARIMAX untuk Pecahan Rp 10.000
d. Output SAS Uji White Noise Ljung-Box untuk ARIMAX Pecahan Rp 10.000
e. Output SAS Uji Normalitas ARIMAX Pecahan Rp 10.000
101
Lampiran D. Hasil Proses Pemodelan ARIMAX Rp 5.000
a. Output Minitab Uji Box-Cox Pecahan Rp 5.000 Box-Cox Plot of 5000 Lower CL
70000 60000
StDev
50000
Upper CL
Lambda (using 95.0% confidence) Estimate
-0.15
Lower CL Upper CL
-0.30 0.00
Rounded Value
0.00
40000 30000 20000 10000
Limit -1.0
-0.5
0.0 Lambda
0.5
1.0
b. Output SAS Uji ADF untuk Stasioneritas Mean Pecahan Rp 5.000
102
1.5
LAMPIRAN D (LANJUTAN) c. Output SAS Estimasi ARIMAX untuk Pecahan Rp 5.000
d. Output SAS Uji White Noise Ljung-Box untuk ARIMAX Pecahan Rp 5.000
e. Output SAS Uji Normalitas ARIMAX Pecahan Rp 5.000
103
Lampiran E. Output SPSS Hasil Estimasi Parameter RBFN Residual ARIMAX Pecahan Rp 100.000
a. dengan 1 Hidden
Parameter Estimates Predictor
Input Layer
Predicted Hidden Layera
Output Layer
H(1)
at
atm1
.009
atm2
.018
atm3
.028
Hidden Unit Width
.421
(Intercept)
.085
Hidden Layer H(1)
-.169
a. Displays the center vector for each hidden unit.
b. dengan 2 Hidden
Parameter Estimates Predictor
Predicted Hidden Layera H(1)
Input Layer
H(2)
atm1
-.043
.110
atm2
.005
.043
atm3
.208
-.322
.366
.425
Hidden Unit Width
Hidden Layer
Output Layer at
(Intercept)
.090
H(1)
.002
H(2)
-.229
a. Displays the center vector for each hidden unit.
104
LAMPIRAN E (LANJUTAN) c. dengan 3 Hidden
Parameter Estimates Predictor
Predicted Hidden Layera H(1)
Input Layer
Output Layer
H(2)
H(3)
atm1
.198
.110
-.227
atm2
.256
.043
-.187
atm3
.280
-.322
.154
.243
.425
.346
Hidden Unit Width
at
(Intercept)
.070
H(1)
-.034
H(2)
-.268
H(3)
.139
Hidden Layer
a. Displays the center vector for each hidden unit.
d. dengan 4 Hidden Parameter Estimates Predictor
Predicted Hidden Layera H(1)
Input Layer
H(2)
H(3)
H(4)
atm1
.198
.202
-.227
.057
atm2
.256
.144
-.187
-.016
atm3
.280
-.058
.154
-.476
.243
.519
.346
.333
Hidden Unit Width (Intercept)
Hidden Layer
Output Layer at
.079
H(1)
-.014
H(2)
-.128
H(3)
.120
H(4)
-.205
a. Displays the center vector for each hidden unit.
105
LAMPIRAN E (LANJUTAN) e. dengan 5 Hidden Parameter Estimates Predictor
Predicted Hidden Layera H(1)
Input Layer
H(2)
H(3)
Output Layer H(4)
H(5)
atm1
.198
.202
-.149
-.692
.057
atm2
.256
.144
-.218
-.002
-.016
atm3
.280
-.058
.163
.100
-.476
.243
.519
.332
.259
.333
Hidden Unit Width
at
(Intercept)
.007
H(1)
.092
H(2)
-.084
H(3)
-.001
H(4)
.825
H(5)
-.121
Hidden Layer
a. Displays the center vector for each hidden unit.
106
Lampiran F. Output SPSS Hasil Estimasi Parameter RBFN Residual ARIMAX Pecahan Rp 50.000
a. dengan 1 Hidden Parameter Estimates Predictor
Input Layer
Predicted Hidden Layera
Output Layer
H(1)
at
atm1
-.002
atm2
-.001
atm3
.001
Hidden Unit Width
.361
(Intercept)
-.034
Hidden Layer H(1)
.062
a. Displays the center vector for each hidden unit.
b. dengan 2 Hidden Parameter Estimates Predictor
Predicted Hidden Layera H(1)
Input Layer
H(2)
atm1
-.231
.074
atm2
-.021
.006
atm3
-.199
.068
.412
.321
Hidden Unit Width
Hidden Layer
Output Layer at
(Intercept)
-.016
H(1)
-.043
H(2)
.069
a. Displays the center vector for each hidden unit.
107
LAMPIRAN F (LANJUTAN) c. dengan 3 Hidden Parameter Estimates Predictor
Predicted Hidden Layera H(1)
Input Layer
Output Layer
H(2)
H(3)
atm1
-.231
.130
-.164
atm2
-.021
.074
-.283
atm3
-.199
-.006
.384
.412
.281
.289
Hidden Unit Width
at
(Intercept)
-.021
H(1)
.002
H(2)
-.002
H(3)
.108
Hidden Layer
a. Displays the center vector for each hidden unit.
d. dengan 4 Hidden Parameter Estimates Predictor
Predicted Hidden Layera H(1)
Input Layer
H(3)
H(4)
atm1
-.231
.131
.124
-.164
atm2
-.021
.107
-.177
-.283
atm3
-.199
.063
-.523
.384
.412
.239
.318
.289
Hidden Unit Width
Hidden Layer
H(2)
Output Layer at
(Intercept)
-.049
H(1)
-.226
H(2)
.054
H(3)
.578
H(4)
.246
a. Displays the center vector for each hidden unit.
108
LAMPIRAN F (LANJUTAN) e. dengan 5 Hidden Parameter Estimates Predictor
Predicted Hidden Layera H(1)
Input Layer
H(2)
H(3)
Output Layer H(4)
H(5)
atm1
.468
-.347
.131
.124
-.164
atm2
-.220
.012
.107
-.177
-.283
atm3
-.164
-.204
.063
-.523
.384
.373
.373
.239
.318
.289
Hidden Unit Width (Intercept)
at
.038
H(1)
-.609
H(2)
-.479
H(3)
.266
H(4)
1.001
H(5)
.227
Hidden Layer
a. Displays the center vector for each hidden unit.
109
Lampiran G. Output SPSS Hasil Estimasi Parameter RBFN Residual ARIMAX Pecahan Rp 20.000
a. dengan 1 Hidden Parameter Estimates Predictor
Input Layer
Predicted Hidden Layera
Output Layer
H(1)
at
atm1
-.017
atm2
-.023
atm3
-.002
Hidden Unit Width
.913
(Intercept)
.157
Hidden Layer H(1)
-.412
a. Displays the center vector for each hidden unit.
b. dengan 2 Hidden Parameter Estimates Predictor
Predicted Hidden Layera H(1)
Input Layer
H(2)
atm1
.146
-.334
atm2
-.145
.215
atm3
-.346
.666
.900
.712
Hidden Unit Width
Hidden Layer
Output Layer at
(Intercept)
.145
H(1)
.065
H(2)
-.689
a. Displays the center vector for each hidden unit.
110
LAMPIRAN G (LANJUTAN) c. dengan 3 Hidden Parameter Estimates Predictor
Predicted Hidden Layera H(1)
Input Layer
Output Layer
H(2)
H(3)
atm1
.349
.035
-.334
atm2
.731
-.620
.215
atm3
-.813
-.093
.666
.491
.869
.712
Hidden Unit Width
at
(Intercept)
.009
H(1)
-.241
H(2)
.667
H(3)
-.778
Hidden Layer
a. Displays the center vector for each hidden unit.
d. dengan 4 Hidden Parameter Estimates Predictor
Predicted Hidden Layera H(1)
Input Layer
H(2)
H(3)
H(4)
atm1
.349
.634
-.803
-.334
atm2
.731
-.815
-.347
.215
atm3
-.813
-.317
.222
.666
.491
.712
.690
.712
Hidden Unit Width (Intercept)
Hidden Layer
Output Layer at
-.057
H(1)
.002
H(2)
.599
H(3)
.864
H(4)
-.906
a. Displays the center vector for each hidden unit.
111
LAMPIRAN G (LANJUTAN) e. dengan 5 Hidden Parameter Estimates Predictor
Predicted Hidden Layera H(1)
Input Layer
H(2)
H(3)
Output Layer H(4)
H(5)
atm1
.349
.634
-.803
-1.083
.103
atm2
.731
-.815
-.347
-.303
.518
atm3
-.813
-.317
.222
.326
.864
.491
.712
.690
.558
.497
Hidden Unit Width (Intercept)
at
.024
H(1)
-.179
H(2)
.466
H(3)
.207
H(4)
.110
H(5)
-1.257
Hidden Layer
a. Displays the center vector for each hidden unit.
112
Lampiran H. Output SPSS Hasil Estimasi Parameter RBFN Residual ARIMAX Pecahan Rp 10.000
a. dengan 1 Hidden Parameter Estimates Predictor
Input Layer
Predicted Hidden Layera
Output Layer
H(1)
at
atm1
-.030
atm2
-.029
atm3
-.011
Hidden Unit Width
.738
(Intercept)
-.247
Hidden Layer H(1)
.568
a. Displays the center vector for each hidden unit.
b. dengan 2 Hidden Parameter Estimates Predictor
Predicted Hidden Layera H(1)
Input Layer
Output Layer
H(2)
atm1
.053
-.239
atm2
-.171
.326
atm3
.237
-.632
.707
.582
Hidden Unit Width (Intercept) Hidden Layer
at
-.270
H(1)
.348
H(2)
.610
a. Displays the center vector for each hidden unit.
113
LAMPIRAN H (LANJUTAN) c. dengan 3 Hidden Parameter Estimates Predictor
Predicted Hidden Layera H(1)
Input Layer
Output Layer
H(2)
H(3)
atm1
.199
-.218
-.239
atm2
.042
-.567
.326
atm3
.137
.423
-.632
.707
.588
.582
Hidden Unit Width
at
(Intercept)
-.273
H(1)
.087
H(2)
.366
H(3)
.688
Hidden Layer
a. Displays the center vector for each hidden unit.
d. dengan 4 Hidden Parameter Estimates Predictor
Predicted Hidden Layera H(1)
Input Layer
H(3)
H(4)
atm1
.307
.120
-.218
-.239
atm2
-.583
.500
-.567
.326
atm3
-.353
.496
.423
-.632
.518
.568
.588
.582
Hidden Unit Width
Hidden Layer
H(2)
Output Layer at
(Intercept)
-.168
H(1)
-.441
H(2)
-.230
H(3)
.516
H(4)
.730
a. Displays the center vector for each hidden unit.
114
LAMPIRAN H (LANJUTAN) e. dengan 5 Hidden Parameter Estimates Predictor
Predicted Hidden Layera H(1)
Input Layer
H(2)
H(3)
Output Layer H(4)
H(5)
atm1
.307
.120
-.218
-.649
.446
atm2
-.583
.500
-.567
.298
.374
atm3
-.353
.496
.423
-.708
-.505
.518
.568
.588
.444
.508
Hidden Unit Width
at
(Intercept)
-.209
H(1)
-.574
H(2)
-.373
H(3)
.726
H(4)
.558
H(5)
1.007
Hidden Layer
a. Displays the center vector for each hidden unit.
115
Lampiran I. Output SPSS Hasil Estimasi Parameter RBFN Residual ARIMAX Pecahan Rp 5.000
a. dengan 1 Hidden
Parameter Estimates Predictor
Input Layer
Predicted Hidden Layera
Output Layer
H(1)
at
atm1
-.009
atm2
-.020
atm3
-.015
Hidden Unit Width
.956
(Intercept)
.095
Hidden Layer H(1)
-.190
a. Displays the center vector for each hidden unit.
b. dengan 2 Hidden Parameter Estimates Predictor
Predicted Hidden Layera H(1)
Input Layer
Output Layer
H(2)
atm1
.409
-.372
atm2
-.134
.079
atm3
.557
-.511
.840
.867
Hidden Unit Width (Intercept) Hidden Layer
at
.056
H(1)
-1.113
H(2)
.897
a. Displays the center vector for each hidden unit.
116
LAMPIRAN I (LANJUTAN) c. dengan 3 Hidden Parameter Estimates Predictor
Predicted Hidden Layera H(1)
Input Layer
Output Layer
H(2)
H(3)
atm1
.868
-.372
.205
atm2
-1.225
.079
.351
atm3
.690
-.511
.498
.511
.867
.716
Hidden Unit Width
at
(Intercept)
.009
H(1)
-.089
H(2)
.968
H(3)
-1.321
Hidden Layer
a. Displays the center vector for each hidden unit.
d. dengan 4 Hidden Parameter Estimates Predictor
Predicted Hidden Layera H(1)
Input Layer
H(2)
H(3)
H(4)
atm1
.868
.044
.205
-1.203
atm2
-1.225
-.075
.351
.387
atm3
.690
-.734
.498
-.063
.511
.742
.716
.743
Hidden Unit Width (Intercept)
Hidden Layer
Output Layer at
-.141
H(1)
.204
H(2)
.765
H(3)
-1.095
H(4)
1.358
a. Displays the center vector for each hidden unit.
117
LAMPIRAN I (LANJUTAN) e. dengan 5 Hidden Parameter Estimates Predictor
Predicted Hidden Layera H(1)
Input Layer
H(2)
H(3)
Output Layer H(4)
H(5)
atm1
.868
.044
.896
-.347
-1.203
atm2
-1.225
-.075
.286
.403
.387
atm3
.690
-.734
.022
.879
-.063
.511
.742
.508
.526
.743
Hidden Unit Width (Intercept)
at
.051
H(1)
-.255
H(2)
.251
H(3)
-.705
H(4)
-2.534
H(5)
1.474
Hidden Layer
a. Displays the center vector for each hidden unit.
118
Lampiran J. Output SAS Hasil Estimasi VARI-X Restrict The VARMAX Procedure Model Parameter Estimates
Equation z1t
z2t
z3t
Parameter XL0_1_1 XL0_1_2 XL0_1_3 XL1_1_1 XL1_1_2 XL1_1_3 XL2_1_1 XL2_1_2 XL2_1_3 AR1_1_1 AR1_1_2 AR1_1_3 AR1_1_4 AR1_1_5 AR2_1_1 AR2_1_2 AR2_1_3 AR2_1_4 AR2_1_5 AR5_1_1 AR5_1_2 AR5_1_3 AR5_1_4 AR5_1_5 AR12_1_1 AR12_1_2 AR12_1_3 AR12_1_4 AR12_1_5 XL0_2_1 XL0_2_2 XL0_2_3 XL1_2_1 XL1_2_2 XL1_2_3 XL2_2_1 XL2_2_2 XL2_2_3 AR1_2_1 AR1_2_2 AR1_2_3 AR1_2_4 AR1_2_5 AR2_2_1 AR2_2_2 AR2_2_3 AR2_2_4 AR2_2_5 AR5_2_1 AR5_2_2 AR5_2_3 AR5_2_4 AR5_2_5 AR12_2_1 AR12_2_2 AR12_2_3 AR12_2_4 AR12_2_5 XL0_3_1 XL0_3_2 XL0_3_3 XL1_3_1 XL1_3_2 XL1_3_3 XL2_3_1 XL2_3_2 XL2_3_3 AR1_3_1
Standard Error 0.38789 0.36559 0.25716 0.42060 0.37892 0.27496 0.40843 0.41803 0.29227 0.00000 0.11059 0.07133 0.00000 0.06028 0.07682 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.03697 0.04020 0.00000 0.00000 0.06680 0.00000 0.03312 0.00000 0.38090 0.36319 0.25785 0.44511 0.37500 0.27119 0.39256 0.39253 0.27836 0.00000 0.10584 0.08183 0.07729 0.00000 0.07697 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.05740 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.68301 0.65222 0.46658 0.74711 0.67580 0.48175 0.69475 0.71434 0.47124 0.00000
Estimate 1.36123 0.22351 -0.15266 -0.87894 -0.32392 1.44818 -0.59076 -0.60602 -1.72249 0.00000 -0.46878 0.15414 0.00000 -0.11995 -0.17185 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.17341 -0.12436 0.00000 0.00000 0.54475 0.00000 -0.15769 0.00000 0.93106 -0.07160 0.11914 -0.45582 0.30692 1.03703 -0.33331 -0.80660 -1.63957 0.00000 -0.54980 0.15180 -0.19809 0.00000 -0.24675 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.38553 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 5.18839 1.48452 1.62266 -2.98733 -0.77238 0.67345 -2.81877 -3.64896 -4.80174 0.00000
119
t Value 3.51 0.61 -0.59 -2.09 -0.85 5.27 -1.45 -1.45 -5.89
Pr > |t| 0.0025 0.5486 0.5601 0.0511 0.4039 0.0001 0.1652 0.1643 0.0001
-4.24 2.16
0.0005 0.0444
-1.99 -2.24
0.0620 0.0382
4.69 -3.09
0.0002 0.0063
8.15
0.0001
-4.76
0.0002
2.44 -0.20 0.46 -1.02 0.82 3.82 -0.85 -2.05 -5.89
0.0250 0.8459 0.6496 0.3194 0.4238 0.0012 0.4070 0.0547 0.0001
-5.19 1.86 -2.56
0.0001 0.0800 0.0196
-3.21
0.0049
6.72
0.0001
7.60 2.28 3.48 -4.00 -1.14 1.40 -4.06 -5.11 -10.19
0.0001 0.0353 0.0027 0.0008 0.2681 0.1791 0.0007 0.0001 0.0001
Variable v2tm1(t) v3tm1(t) v4tm1(t) v2tm1(t-1) v3tm1(t-1) v4tm1(t-1) v2tm1(t-2) v3tm1(t-2) v4tm1(t-2) z1t(t-1) z2t(t-1) z3t(t-1) z4t(t-1) z5t(t-1) z1t(t-2) z2t(t-2) z3t(t-2) z4t(t-2) z5t(t-2) z1t(t-5) z2t(t-5) z3t(t-5) z4t(t-5) z5t(t-5) z1t(t-12) z2t(t-12) z3t(t-12) z4t(t-12) z5t(t-12) v2tm1(t) v3tm1(t) v4tm1(t) v2tm1(t-1) v3tm1(t-1) v4tm1(t-1) v2tm1(t-2) v3tm1(t-2) v4tm1(t-2) z1t(t-1) z2t(t-1) z3t(t-1) z4t(t-1) z5t(t-1) z1t(t-2) z2t(t-2) z3t(t-2) z4t(t-2) z5t(t-2) z1t(t-5) z2t(t-5) z3t(t-5) z4t(t-5) z5t(t-5) z1t(t-12) z2t(t-12) z3t(t-12) z4t(t-12) z5t(t-12) v2tm1(t) v3tm1(t) v4tm1(t) v2tm1(t-1) v3tm1(t-1) v4tm1(t-1) v2tm1(t-2) v3tm1(t-2) v4tm1(t-2) z1t(t-1)
LAMPIRAN J (LANJUTAN) z3t
z4t
z5t
AR1_3_2 AR1_3_3 AR1_3_4 AR1_3_5 AR2_3_1 AR2_3_2 AR2_3_3 AR2_3_4 AR2_3_5 AR5_3_1 AR5_3_2 AR5_3_3 AR5_3_4 AR5_3_5 AR12_3_1 AR12_3_2 AR12_3_3 AR12_3_4 AR12_3_5 XL0_4_1 XL0_4_2 XL0_4_3 XL1_4_1 XL1_4_2 XL1_4_3 XL2_4_1 XL2_4_2 XL2_4_3 AR1_4_1 AR1_4_2 AR1_4_3 AR1_4_4 AR1_4_5 AR2_4_1 AR2_4_2 AR2_4_3 AR2_4_4 AR2_4_5 AR5_4_1 AR5_4_2 AR5_4_3 AR5_4_4 AR5_4_5 AR12_4_1 AR12_4_2 AR12_4_3 AR12_4_4 AR12_4_5 XL0_5_1 XL0_5_2 XL0_5_3 XL1_5_1 XL1_5_2 XL1_5_3 XL2_5_1 XL2_5_2 XL2_5_3 AR1_5_1 AR1_5_2 AR1_5_3 AR1_5_4 AR1_5_5 AR2_5_1 AR2_5_2 AR2_5_3 AR2_5_4 AR2_5_5 AR5_5_1 AR5_5_2
0.00000 0.45373 0.00000 -0.52663 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -0.18214 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.37972 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 1.95320 1.51197 1.62811 -2.66150 -0.43780 0.51508 -2.81398 -3.57516 -5.32294 0.00000 0.00000 0.49869 -0.51929 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -0.07108 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.37524 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 2.56233 1.73253 2.06860 -3.26768 0.03322 0.69958 -3.24655 -4.36180 -5.42151 0.00000 0.00000 0.34506 0.00000 -0.33435 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
0.00000 0.13524 0.00000 0.12207 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.04210 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.12398 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.75803 0.73748 0.52584 0.86313 0.76102 0.54192 0.78751 0.80250 0.52521 0.00000 0.00000 0.13688 0.12427 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.02839 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.13828 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.88115 0.85584 0.60982 0.94848 0.88402 0.62982 0.90529 0.93050 0.60728 0.00000 0.00000 0.13994 0.00000 0.11812 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
120
3.35
0.0035
-4.31
0.0004
-4.33
0.0004
3.06
0.0067
2.58 2.05 3.10 -3.08 -0.58 0.95 -3.57 -4.46 -10.13
0.0190 0.0552 0.0062 0.0064 0.5722 0.3545 0.0022 0.0003 0.0001
3.64 -4.18
0.0019 0.0006
-2.50
0.0221
2.71
0.0142
2.91 2.02 3.39 -3.45 0.04 1.11 -3.59 -4.69 -8.93
0.0094 0.0580 0.0032 0.0029 0.9704 0.2813 0.0021 0.0002 0.0001
2.47
0.0240
-2.83
0.0111
z2t(t-1) z3t(t-1) z4t(t-1) z5t(t-1) z1t(t-2) z2t(t-2) z3t(t-2) z4t(t-2) z5t(t-2) z1t(t-5) z2t(t-5) z3t(t-5) z4t(t-5) z5t(t-5) z1t(t-12) z2t(t-12) z3t(t-12) z4t(t-12) z5t(t-12) v2tm1(t) v3tm1(t) v4tm1(t) v2tm1(t-1) v3tm1(t-1) v4tm1(t-1) v2tm1(t-2) v3tm1(t-2) v4tm1(t-2) z1t(t-1) z2t(t-1) z3t(t-1) z4t(t-1) z5t(t-1) z1t(t-2) z2t(t-2) z3t(t-2) z4t(t-2) z5t(t-2) z1t(t-5) z2t(t-5) z3t(t-5) z4t(t-5) z5t(t-5) z1t(t-12) z2t(t-12) z3t(t-12) z4t(t-12) z5t(t-12) v2tm1(t) v3tm1(t) v4tm1(t) v2tm1(t-1) v3tm1(t-1) v4tm1(t-1) v2tm1(t-2) v3tm1(t-2) v4tm1(t-2) z1t(t-1) z2t(t-1) z3t(t-1) z4t(t-1) z5t(t-1) z1t(t-2) z2t(t-2) z3t(t-2) z4t(t-2) z5t(t-2) z1t(t-5) z2t(t-5)
LAMPIRAN J (LANJUTAN) z5t
AR5_5_3 AR5_5_4 AR5_5_5 AR12_5_1 AR12_5_2 AR12_5_3 AR12_5_4 AR12_5_5
0.00000 0.00000 0.00000 0.36329 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
0.00000 0.00000 0.00000 0.16015 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
121
2.27
0.0358
z3t(t-5) z4t(t-5) z5t(t-5) z1t(t-12) z2t(t-12) z3t(t-12) z4t(t-12) z5t(t-12)
Lampiran K. Syntax SAS dan R
a. Syntax SAS Untuk Model ARIMAX data outflow; input z1t z2t z3t z4t z5t v2t v2tm1 v2tp1 v3t v3tm1 v3tp1 v4t v4tm1 v4tp1; datalines; 12.20816146 12.9520096
12.43358663 12.7917738
⋯ ⋯
13.66648472 14.04120027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
⋯ ⋯ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
⋮ 14.07281698 14.72246847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
; proc arima data=outflow; /*--- Crosscorrelation of prewhitened series ------*/ identify var=z1t(1) crosscorr=(v2t(1) v2tm1(1) v2tp1(1) v3t(1) v3tm1(1) v3tp1(1) v4t(1) v4tm1(1) v4tp1(1)) nlag=36; run; /*---Estimation process----------------**/ estimate p=(1,2,3)(12) input=(v2tm1 v2tp1 v3tp1 v4t v4tp1) noconstant method=cls plot; run; /*--- forecast----------------**/ forecast lead=12 out=resi1; run; proc print data=resi1; run; /*----white noise test----------------**/ proc univariate data=resi1 normal; var residual; run;
122
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
LAMPIRAN K (LANJUTAN) b. Syntax SAS Untuk Model VARI-X data outflow; input z1t z2t datalines; 12.20816146 12.9520096 ⋮ 14.07281698 14.72246847 . . . . . . . . . . . . ⋮ . . ;
z3t z4t z5t v2tm1 v3tm1 v4tm1; 12.43358663 12.7917738
. . . . . .
13.66648472 14.04120027 . . . . . . . . . . . .
.
.
.
⋯ ⋯
0 0
0 0
⋯ ⋯ 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0
0
0
0
/*-----identification process-----*/ proc varmax data=outflow printall lagmax=24; model z1t z2t z3t z4t z5t=v2tm1 v3tm1 v4tm1 /dify=(1) noint minic=(p=12 q=0); run; /*-----estimation process-----*/ proc varmax data=outflow printall lagmax=24; model z1t z2t z3t z4t z5t=v2tm1 v3tm1 v4tm1 /p=(1,2,5,12) xlag=2 dify=(1) noint minic=(p=12 q=0); restrict AR(1,1,1)=0, AR(1,1,4)=0, AR(2,1,2)=0, AR(2,1,3)=0, AR(2,1,4)=0, AR(2,1,5)=0, AR(5,1,1)=0, AR(5,1,2)=0, AR(5,1,5)=0, AR(12,1,1)=0, AR(12,1,3)=0, AR(12,1,5)=0, AR(1,2,1)=0, AR(1,2,5)=0, AR(2,2,2)=0, AR(2,2,3)=0, AR(2,2,4)=0, AR(2,2,5)=0, AR(5,2,1)=0, AR(5,2,2)=0, AR(5,2,3)=0, AR(5,2,4)=0, AR(5,2,5)=0, AR(12,2,2)=0, AR(12,2,3)=0, AR(12,2,4)=0, AR(12,2,5)=0, AR(1,3,1)=0, AR(1,3,2)=0, AR(1,3,4)=0, AR(2,3,1)=0, AR(2,3,2)=0, AR(2,3,3)=0, AR(2,3,4)=0, AR(5,3,1)=0, AR(5,3,2)=0, AR(5,3,3)=0, AR(5,3,4)=0, AR(5,3,5)=0, AR(12,3,2)=0, AR(12,3,3)=0, AR(12,3,4)=0, AR(12,3,5)=0, AR(1,4,1)=0, AR(1,4,2)=0, AR(1,4,5)=0, AR(2,4,1)=0, AR(2,4,2)=0, AR(2,4,3)=0, AR(2,4,5)=0, AR(5,4,1)=0, AR(5,4,2)=0, AR(5,4,3)=0, AR(5,4,4)=0, AR(5,4,5)=0, AR(12,4,2)=0, AR(12,4,3)=0, AR(12,4,4)=0, AR(12,4,5)=0, AR(1,5,1)=0, AR(1,5,2)=0, AR(1,5,4)=0, AR(2,5,1)=0, AR(2,5,2)=0, AR(2,5,3)=0, AR(2,5,4)=0, AR(2,5,5)=0, AR(5,5,1)=0, AR(5,5,2)=0, AR(5,5,3)=0, AR(5,5,4)=0, AR(5,5,5)=0, AR(12,5,2)=0, AR(12,5,3)=0, AR(12,5,4)=0, AR(12,5,5)=0 ; output out=HASIL1; run; /*-----white noise test-----*/ proc varmax data=HASIL1 printall lagmax=24; model RES1 RES2 RES3 RES4 RES5/p=(1,2,3,4,5,8) xlag=2 noint minic=(p=12 q=0); run; /*-----export data-----*/ proc export data=WORK.HASIL1 outfile='D:\HASIL1.xls' dbms=excel replace; run;
123
LAMPIRAN K (LANJUTAN) c. Syntax SAS ADF Non-Seasonal data outflow; input z1t z2t z3t z4t z5t; datalines; 12.20816146 12.9520096
12.43358663 12.7917738
8.780172651 9.954093211
8.880585523 10.00951285
8.676843861 9.414504957
14.04120027
10.43534211
10.28420905
10.12449963
⋮ 14.46825092
; proc arima data=outflow; identify var=z1t stationarity=(adf=(1)); run;
d. Syntax SAS ADF Seasonal data outflow; input z1t z2t z3t z4t z5t; datalines; 12.20816146 12.43358663 8.780172651 8.880585523 8.676843861 12.9520096 12.7917738 9.954093211 10.00951285 9.414504957 ⋮ 14.46825092
14.04120027
10.43534211
; data outflow1; set outflow; dz5t=dif1(z5t); run; proc arima data=outflow1; identify var=dz5t stationarity=(adf=(1) dlag=12); run;
e. Syntax R Untuk Uji Normal Multivariat library(mvShapiroTest) data=read.table(“D:/resivarix.txt”,header=F) X=as.matrix(data,ncol=120) mvShapiro.Test(X)
124
10.28420905
10.12449963
BIODATA PENULIS
Lahir di Mojokerto 20 Januari 1992, Renny Elfira Wulansari mulai tertarik dalam analisis time series / peramalan ketika menjalani kerja praktek di Bank Indonesia Jakarta saat menjalani perkuliahan program Sarjana di Jurusan Statistika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya, dengan NRP 1310 100 022 melalui jalur PMDK. Pada tahun 2014, penulis menyelesaikan tugas akhirnya mengenai peramalan netflow uang kartal Bank Indonesia melanjutkan hasil dari kerja prakteknya. Berdasarkan topik yang sama pula, penulis pernah mendapatkan penghargaan setara perunggu pada Pekan Ilmiah Mahasiswa Nasional (PIMNAS) XXVII di Semarang tahun 2014. Selama perkuliahan, penulis juga aktif sebagai pengurus Himpunan Statistika ITS 2011-2013 dengan jabatan terakhir sebagai Sekretaris Departemen Dalam Negeri, dan menjadi anggota Teater Tiyang Alit ITS. Setelah mendapatkan gelar Sarjana, penulis melanjutkan studi program Magister di Jurusan Statistika ITS dengan NRP 1314 201 032 melalui program beasiswa BPPDN Fresh Graduate dari Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi Republik Indonesia. Penulis dapat dihubungi melalui email:
[email protected].
125
(Halaman Ini Sengaja Dikosongkan)
126
