PENGGUNAAN FUNGSI UTILITAS UNTUK MODEL SAHAM BERESIKO

PENGGUNAAN FUNGSI UTILITAS UNTUK MODEL SAHAM BERESIKO

TESIS

Oleh HARRIS H SIMAMORA 077021057/MT

SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009

Harris H Simamora : Penggunaan Fungsi Utilitas Untuk Model Saham Beresiko, 2009 USU Repository © 2008

PENGGUNAAN FUNGSI UTILITAS UNTUK MODEL SAHAM BERESIKO

TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara

Oleh HARRIS H SIMAMORA 077021057/MT

SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009


Judul Tesis

: PENGGUNAAN FUNGSI UTILITAS UNTUK MODEL SAHAM BERESIKON Nama Mahasiswa : Harris H Simamora Nomor Pokok : 077021057 Program Studi : Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Opim Salim S, MSc) Ketua

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) Anggota

Ketua Program Studi

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

Direktur

(Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa. B,M.Sc)

Tanggal lulus: 28 Mei 2009


Telah diuji pada Tanggal 28 Mei 2009

PANITIA PENGUJI TESIS Ketua Anggota

: Prof. Dr. Opim Salim S, MSc : 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang 2. Drs. Open Darnius, MSc 3. Dr. Sutarman, MSc


ABSTRAK Tesis ini mengajukan cara untuk menentukan harga defaultable saham dengan memasukkan risiko yang sudah menjadi sifatnya dengan menggunakan fungsi utilitas. Dengan memperbolehkan preferensi risiko ke dalam penilaian surat obligasi, nonlinieritas dimasukkan ke dalam penentuan harganya. Pendekatan fungsiutilitas mengupayakan keuntungan menghasilkan solusi eksak untuk persamaan penentuan harga surat obligasi berisiko bila model stokastik yang umum digunakan untuk suku bunga. Ini bisa dicapai sekalipun parameter probabilitas default itu sendiri adalah variabel stokastik. Penilaian ditentukan untuk fungsi hukumkuasa dan utilitas log dengan dinamika suku-bunga model Vasicek dan CIR yang diperluas.

Kata kunci: Fungsi utilitas, saham beresiko, defaultable saham

i Harris H Simamora : Penggunaan Fungsi Utilitas Untuk Model Saham Beresiko, 2009 USU Repository © 2008

ABSTRACT This paper prices defaultable bonds by incorporating inherent risks with the use of utility functions. By allowing risk preferences into the valuation of bonds, nonlinearity is introduced in their pricing. The utility-function approach affords the advantage of yielding exact solution to the risky bond pricing equation when familiar stochastic models are used for interest rates. This can be achieved even when the default probability parameter is itself a stochastic variable. Valuation are found for the power-law and log utility functions under the interest-rate dynamics of the extended Vasicek and CIR models.

Keyword: Utility functions, risky bonds, defautable bonds

ii Harris H Simamora : Penggunaan Fungsi Utilitas Untuk Model Saham Beresiko, 2009 USU Repository © 2008

KATA PENGANTAR Dengan rendah hati, penulis mengucapkan puji syukur kehadirat Tuhan yang Maha Esa atas anugerah dan berkatNya yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul : Penggunaan Fungsi Utilitas Untuk Model Saham Beresiko. Tesis ini merupakan salah satu persyaratan menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara. Pada kesempatan ini penulis mengucapakan terimakasih sebesar-besarnya kepada : Prof. dr. Chaeruddin P. Lubis, DTM&H, Sp. A(k)., selaku rektor Universitas Sumatera Utara Prof. Dr. Ir. T. Chairun Nisa selaku Direktur Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara Medan. Prof.

Dr. Herman Mawengkang, selaku Ketua Program Studi Magister

Matematika Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara dan juga sebagai Pembimbing II, yang telah banyak membantu dalam penulisan tesis ini. Prof. Dr. Opim Salim S. MSc, selaku dosen dan pembimbing I yang banyak membantu dalam penulisan tesis ini. Dr. Saib Suwilo, MSc. Selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara Medan yang selalu memberikan motivasi kepada penulis. Dr. Sutarman, MSc, Drs. Open Darnius, MSc selaku pembanding atas saran dan bantuannya untuk kesempurnaan penulisan tesis ini serta bimbingan selama perkuliahan. Prof. Dr. Iryanto, MSi, Drs. Marwan Harahap. M. Eng, Dr . Tulus

iii Harris H Simamora : Penggunaan Fungsi Utilitas Untuk Model Saham Beresiko, 2009 USU Repository © 2008

MSi, Drs. Suwarno Arriswoyo, MSi., Drs. Marihat Situmorang, M. Kom., Dra. Mardiningsih, MSi., Drs. Sawaluddin, MIT. Sebagai staf pengajar pada SPs Program Studi Matematika atas bimbingan dan bantuannya selama perkuliahan. Dr. Drs. R.E. nainggolan, MM, selaku kepala BAPPEDASU tahun 2007 dan Ir. Riadil Akhyar Lubis MSi, Kepala BAPPEDASU 2009 yang telah memberikan Beasiswa kepada penulis untuk mengikuti perkuliahan Program Studi Magister Matematika Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara. Sdri Misiani selaku staf administrasi di Program Studi Magister Matematika. Rekan-rekan mahasiswa angkatan ketiga Edukator atas kebersamaan dan bantuan dalam perkuliahan. Dra. Denny Simamora selaku kakak penulis yang banyak memberikan motivasi kepada penulis. Kepada Orangtua penulis Ibunda Ny. Sampetua Simamora (Tiomasa Br. Aritonang) gelar Ompu Lusamti Simamora dan mertua Ny. Guleman Ompusunggu (Pinta Nurhayati Br.

Lumbanraja) gelar Ompu

Nando Simamora atas doa dan dukungannya kepada penulis. Terakhir, penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya kepada Isteri tercinta Erlinda br. Ompusunggu atas dorongan dan doanya dan ananda tercinta Bondol Simamora, Mutiara Br. Simamora dan menantu Donald Parluhutan Sitohang semoga lebih berprestasi dari orangtua, serta keluarga besar Simamora khususnya abang, kakak dan adikku dan semua pihak yang telah turut membantu perkuliahan dan penulisan tesis ini hingga selesai

iv Harris H Simamora : Penggunaan Fungsi Utilitas Untuk Model Saham Beresiko, 2009 USU Repository © 2008

Penulis menyadari bahwa tesis ini masih belum sempurna, untuk itu kritik dan saran dari pembaca sangat penulis harapkan. Semoga tesis ini bermanfaat bagi pembaca.

Medan, 28 Mei 2009 Penulis,

Harris H. Simamora

v Harris H Simamora : Penggunaan Fungsi Utilitas Untuk Model Saham Beresiko, 2009 USU Repository © 2008

RIWAYAT HIDUP Harris H. Simamora dilahirkan di Dolok Sanggul Kabupaten Humbang Hasundutan pada tangal 23 Juni 1960. Merupakan anak ke empat dari lima bersaudara dari Ayah Sampe Tua Simamora, Alm dan Ibu Tiomasa Aritonang. Menamatkan Sekolah Dasar di SD Negeri 04 Dolok Sanggul tahun 1972, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 01 Dolok Sanggul pada tahun 1975 dan Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 01 Siborong-borong paad tahun 1979. Pada tahun 1979 masuk ke FKIP HKBP Nomensen Pematang Siantar dan tamat tahun 1982. Pada tahun 1981 penulis menikah dan dikaruniai satu orang putra dan satu orang putri. Pada tahun 1984 melanjutkan kuliah di FMIPA IKIP Negeri Medan untuk menyelesaikan program strata satu (S-1) dan selesai tahun 1986. Pada tahun 1987 penulis diangkat menjadi Pegawai Negeri Sipil (PNS) sebagai tenaga pengajar di Sekolah Tekhnologi Menengah (STM) Negeri Dolok Sanggul Kabupaten Humbang hasundutan. Pada tahun 1990 mutasi ke SMA Swasta Raksana Medan dan pada tahun 2000 mutasi ke SMA Negeri 5 Medan hingga sekarang. Pada tahun 2007 diperkenankan mengikuti pendidikan Program Studi Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara. Penulis bertempat tinggal di Jalan Karya Lorong 14 Gg Ayem No 6 Kelurahan Karang Berombak Medan. Demikian Riwayat Hidup ini penulis perbuat dengan sebenar-benarnya.

vi Harris H Simamora : Penggunaan Fungsi Utilitas Untuk Model Saham Beresiko, 2009 USU Repository © 2008

DAFTAR ISI Halaman ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4 Kontribusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.5 Metodologi Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

BAB 3 LANDASAN TEORI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

3.1 Pengertian Utility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

3.1.1 Kurva Utility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

3.1.2 Ekspektasi Utility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3.2 Pengertian Risiko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.2.1 Pemilihan Risiko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

vii Harris H Simamora : Penggunaan Fungsi Utilitas Untuk Model Saham Beresiko, 2009 USU Repository © 2008

3.2.2 Beberapa Pemikiran Tentang Risiko . . . . . . . . . . . . .

20

BAB 4 PEMODELAN DENGAN MEMAKAI FUNGSI UTILITAS . . . .

25

4.1 Pemodelan Bila Resiko Kegagalan Konstan . . . . . . . . . . . . .

25

4.2 Penyelesaian untuk Persamaan Penetapan Harga Obligasi-Beresiko bila Resiko Kegagalan Konstan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2.1 U(V) = cVc , 0 < c ≤ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v ............................ 4.2.2 U (V) = ln R

33

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

viii Harris H Simamora : Penggunaan Fungsi Utilitas Untuk Model Saham Beresiko, 2009 USU Repository © 2008

29

DAFTAR TABEL

Nomor

Judul

Halaman

3.1

Produk yang Dapat Dihasilkan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.2

Distribusi Kemungkinan Tingkat Penjualan . . . . . . . . . . . . . . .

11

ix Harris H Simamora : Penggunaan Fungsi Utilitas Untuk Model Saham Beresiko, 2009 USU Repository © 2008

DAFTAR GAMBAR

Nomor

Judul

Halaman

1.1

Flow Chart Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3.1

Diagram Keputusan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.2

Kurva Utility pada Contoh 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

x Harris H Simamora : Penggunaan Fungsi Utilitas Untuk Model Saham Beresiko, 2009 USU Repository © 2008

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Perkembangan pasar uang menegaskan pentingnya memahami resiko kredit dan selisih resiko. Perkembangan ini mencakup suku bunga nominal rendah yang menyebabkan banyak partisipan pasar berpendapatan tetap beralih ke pasar saham korporat dan lonjakan pertumbuhan investasi pada derivatif kredit. Dalam prakteknya, banyak saham korporat tidak menawarkan jaminan atas ketidakgagalan karena selalu ada kesempatan bahwa perusahaan penerbit akan menjadi bangkrut sebelum jatuh tempo untuk membayar kembali modal yang dipinjam. Sekarang ini, dua falsafah pemodelan paling terkenal untuk resiko kredit secara umum dibagi dalam kategori model struktural atau model nilai perusahaan dan model bentuk tereduksi. Pendekatan struktural memodelkan secara eksplisit perubahan nilai perusahaan. Perkembangan signifikan pertama di bidang ini diberikan oleh Merton (1974). Penelitian tersebut mendasarkan modelnya pada metode penetapan harga opsi Black dan Scholes (1973) untuk menilai kemampuan korporat. Pada model Merton, struktur modal perusahaan diasumsikan terdiri dari saham kupon nol beresiko dengan jangka waktu jatuh tempo T dan nilai yang tertulis B dan modal. Merton mengasumsikan bahwa nilai perusahaan V (t) (jumlah modal dan hutang) mengikuti proses stokastik yaitu: dV = (αV − C)dt + σV dZ, dimana α merupakan perkiraan nilai pendapatan sesaat yang tidak diketahui pada 1 Harris H Simamora : Penggunaan Fungsi Utilitas Untuk Model Saham Beresiko, 2009 USU Repository © 2008

2 perusahaan per satuan waktu, C adalah pembayaran bersih perusahaan per satuan waktu kepada pemegang sahamnya, σ adalah suatu konstanta dan dZ adalah pertambahan dalam proses Wiener standar. Jika pada saat jatuh tempo, nilai perusahaan lebih besar dari nilai hutang yang tertulis, perusahaan tidak akan gagal dan pemegang obligasi akan menerima uang dan pemegang saham akan menerima V B. Dalam hal lainnya jika V < B, perusahaan akan gagal dan pemegang obligasi akan mengontrol uang dan pemegang saham tidak akan menerima apa-apa. Asumsi model Merton, yang diupayakan untuk memenuhi persyaratan formula penetapan harga Black-Scholes, ketat dan tidak realistis. Beberapa batasan ini mencakup kegagalan yang hanya terjadi pada saat surat obligasi jatuh tempo, struktur ketentuan rata untuk suku bunga dan prioritas absolut ketat. Banyak perluasan model Merton saat ini dalam literatur, di mana sebagian besar diantaranya bertujuan memperlonggar sebagian asumsi Merton untuk mengembangkan model yang lebih realistis. Ini mencakup model Black dan Cox (1976), yang memperbolehkan kegagalan terjadi kapan saja sampai jatuh tempo. Pada model tersebut, batas kegagalan eksogen ditetapkan sedemikian rupa sehingga jika nilai perusahaan mencapai batas ini, maka perusahaan terpaksa gagal. Geske (1977,1979) memasukkan obligasi kupon ke dalam struktur hutang perusahaan, sedangkan Longstaff dan Scwartz (1995) memasukkan suku bunga stokastik dan juga batasan kegagalan. Pada umumnya, dengan memasukkan tambahan pada model Merton akan dihasilkan persamaan differensial parsial yang tidak mudah diselesaikan untuk nilai hutang beresiko. Akan tetapi, kelemahan terbesar dari model struktural


3 adalah dalam kesulitan menentukan nilai eksak perusahaan yang diperlukan untuk mengimplementasikan model. Terdapat kemajuan yang signifikan dalam studi tentang penentuan harga tanpa memperhatikan di pasar yang tidak lengkap. Kerangka kaidah penentuan harga berbasis utilitas dengan fungsi utilitas umum yang dikaji Davis (1997), Kallsen (2002) dan Hugonnier et al. (2005). Kesulitan dengan pendekatan tanpa memperhatikan utilitas adalah rumus analitik bisa dikembangkan hanya pada sedikit kasus yang khusus, yang paling sering digunakan fungsi utilitas eksponensial. Khususnya untuk rujukan eksponensial, Bielecki dan Jeanblanc (2004) menyelesaikan harga yang berbeda diasosiasikan untuk strategi dengan filtrasi dari aset yang bebas kegagalan. Dan juga untuk fungsi utilitas eksponensial, dikaji strategi di mana investor menggunakan informasi tambahan tentang kegagalan dalam pemilihan portofolio dan menyelesaikan masalah optimisasi portofolio.

1.2 Perumusan Masalah Penelitian ini membahas penggunaan fungsi utilitas untuk model saham beresiko yaitu dengan menentukan harga saham yang gagal dengan memasukkan resiko yang sudah menjadi sifatnya dengan menggunakan fungsi utilitas.

1.3 Tujuan Penelitian Adapun tujuan dalam penelitian ini adalah untuk menentukan suatu model bond beresiko dengan penggunaan fungsi utilitas yang berdasarkan suku bunga, bersifat stokastik, dengan resiko kegagalan konstan dan resiko kegagalan bersifat


4 stokastik.

1.4 Kontribusi Adapun kontribusi dalam penelitian ini adalah dapat membantu peneliti atau pembuat keputusan sebagai salah satu alternatif untuk menyelesaikan problema dalam bentuk model saham beresiko dengan menggunakan fungsi utilitas.

1.5 Metodologi Penelitian Penelitian ini bersifat literatur dan dilakukan dengan mengumpulkan informasi dari referensi beberapa buku dan jurnal. Penelitian ini pada awalnya mengasumsikan bahwa risiko historis default p adalah konstan. Dengan asumsi ini, akan dikembangkan persamaan differensial parsial nonlinier untuk harga ekuivalen kepastian obligasi beresiko. Untuk menyelesaikan persamaan tersebut terlebih dahulu ditransformasikan menjadi persamaan differensial parsial yang lebih sederhana untuk fungsi utilitas. Kemudian penyelesaian persamaan differensial parsial tersebut untuk mendapatkan harga ekuivalen kepastian obligasi beresiko yang nantinya dapat merumuskan selisih kredit, lalu diperbolehkan risiko historis default p mengikuti proses stokastik. Dengan fungsi utilitas hukum-kuasa, penyelesaian yang eksplisit ditentukan untuk harga obligasi beresiko, kemudian digunakan untuk menentukan selisih kredit yang bersesuaian, dan akhirnya penarikan kesimpulan. Flow chartnya sebagai berikut:


5

Gambar 1.1 : Flow Chart Penelitian


BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

Campell (1984) menyatakan bahwa model perubahan sederhana dari keseimbangan umum, dan lebih dekat pada solusi untuk pengembalian saham dan obligasi ril dan nominal. Model mengacu pada fungsi utilitas perwakilan agen dalam waktu terpisah dengan periode utilitas isoelastis dan endowment lognormal bersyarat. Asumsi ini untuk menguji proses stokastik stationer yang umum untuk log dari endowment. Harga uang dan nominal dimodelkan dengan rata-rata dari kendala Clower. Schechter (2006) menggabungkan percobaan data moderat skala beresiko pilihan dengan survei data untuk memperkirakan pendapatan untuk mengestimasi koefisien relatif risiko menggunakan ekspektasi utilitas konsumsi. Pengasumsian individu tidak dapat menyimpan dampak rata-rata koefisien dari resiko relatif 1,92. Anggap diputuskan antara komsumsi hari ini dan menyimpan untuk masa depan Model bentuk tereduksi, seperti yang dikembangkan Jarrow dan Turnball (1995) dan Jarrow et al. (1997) tidak mempertimbangkan hubungan eksplisit antara kegagalan dan nilai perusahaan. Selanjutnya dianggap kegagalan sebagai kejadian yang tidak dapat diprediksi yang dipicu oleh kejadian eksogen, dan biasanya diatur oleh proses Poisson. Khususnya, Jarrow et al. (1997) mengembangkan metode untuk menentukan harga hutang beresiko dengan mengaitkan proses kegagalan dengan rantai markov ruang keadaan diskrit dalam penilaian kredit. Perusahaan dipandang sebagai berjalan melalui berbagai kategori penila6 Harris H Simamora : Penggunaan Fungsi Utilitas Untuk Model Saham Beresiko, 2009 USU Repository © 2008

7 ian, dengan salah satu keadaan ini merupakan kegagalan. Model bentuk tereduksi lainnya meliputi model Mandan dan Unal (2000) dan Duffie dan Singleton (1999). Walaupun model bentuk tereduksi disesuaikan agar sesuai dengan selisih kredit yang diamati, model ini juga memiliki kelemahan. Kejadian yang jarang (seperti yang dimodelkan sebagian proses Poisson) diambil dari distribusi acak yang dengan demikian sulit menjadikan hedging pada model ini. Dan juga model rantai markov bentuk tereduksi didasarkan pada penilaian agen yang tidak selalu memberikan granularitas yang baik, dan karenanya akurasi hutang yang dinilai (terutama yang lebih rendah) bisa dipertanyakan. Dalam kerangka pasar yang tidak komplit, ide replikasi resiko tumbang karena tidak mungkin menghindari semua resiko. Satu pendekatan untuk penetapan harga resiko yang tidak dapat dihindari didasarkan pada ketidakberbedaan utilitas, yang diprakarsai oleh Hodges dan Neuberger (1989). Dengan menotasikan kekayaan dengan W , maka fungsi utilitas U (W ) memberikan ukuran sejauh mana kegunaan berbagai tingkat kekayaan bagi seseorang. Dengan pendekatan tanpa memperhatikan utilitas, harga beli pb adalah harga investor tidak memperhatikan antara tidak berinvestasi pada obligasi dan membayar pb sekarang untuk menerima pada waktu T klaim YΥ (obligasi defaultable atau tanpa resiko). Dengan demikian jika investor mempunyai kekayaan awal x dan didefinisikan X θ (t) sebagai proses kekayaan yang dihasilkan oleh portfolio θ dan V (x, k) =

sup θ θ E(U (X (T ) + kYT ))

maka harga beli tanpa memperhatikan utilitas pb (k) adalah penyelesaian untuk V (x − pb (k), k) = V (x, 0)


8 sehingga investor mau membayar paling besar pb (k) saat ini untuk k unit klaim YT pada waktu T . Serupa halnya, harga jual tanpa memperhatikan utilitas pn (k) memenuhi V (x + ps (k), −k) = V (x, 0)

Akan tetapi, banyak ahli ekonomi keuangan lebih suka menggunakan fungsi utilitas lainnya dan khususnya fungsi utilitas hukum kuasa (Henderson dan Hobson, 2004). Pendekatan alternatif terhadap penentuan harga obligasi defaultable di pasar yang tidak lengkap, yang diajukan oleh Ahn et al. (1999) adalah menggunakan pendekatan utilitas rekursif ((Duffie, 1996), dengan utilitas pada saat tertentu adalah hasil dari pembayaran segera dan ekspektasi utilitas yang rasional di periode waktu berikutnya. Dalam pendekatan, preferensi resiko nonlinier haruslah dimasukkan dalam upaya menangkap penghindaran resiko investor yang umum dan menghasilkan rentang harga untuk masing-masing kontrak yang akan menjadi menarik untuk diperjual/belikan. Juga untuk harga pasar kontrak tertentu, akan ada kuantitas optimal yang ingin dipertahankan seseorang. Tidak ada dasar untuk perbandingan langsung metode penentuan harga ini, yang memperhitungkan suku bunga jangka pendek yang bervariasi, dengan metode Bielecki dan Jeanblanc (2004) memasukkan asset yang memungkinkan proses stokastik dalam portfolio yang diasumsikan. Berbeda dengan pendekatan Bielecki dan Jeanblanc, strategi yang diajukan Ahn et al. mengimplikasikan bahwa harga obligasi defaultable bisa dihitung dengan hanya berdasarkan nilai ekuivalen kepastian utilitas untuk portfolio yang


9 terdiri dari obligasi saja, yang mengupayakan keuntungan dengan terfokus pada komponen spesifik pasar ini. Dalam penelitian ini, diadopsi pendekatan Ahn et al. (1999) untuk menentukan rumus bentuk tertutup untuk nilai obligasi beresiko. Nilai obligasi ini haruslah selalu tergantung pada suku bunga, waktu dan probabilitas kegagalan dan juga preferensi resiko. Diasumsikan bahwa suku bunga mengikuti proses stokastik dan diperoleh penyelesaian dalam kasus bila proses ini adalah model Vasicek (1997), Cox, Ingersoll dan Ross (1985) dan memperluas model Hull dan White (1990). Penyelesaian dengan model suku bunga lain juga bisa ditentukan dengan cara yang sama. Khususnya, penyelesaian analitik ditentukan untuk obligasi beresiko untuk fungsi utilitas hukum kuasa U (W ) = cW c , 0 < c 6 1 dan fungsi utilitas log U (W ) = ln W . Tingkat penghindaran resiko sebagaimana diukur dengan koefisien absolut Arrow-Pratt 00

(W ) , mengindikasikan bahwa investor den(Leunberger, 1998) yaitu r(a) = − UU 0(W )

gan fungsi utilitas hukum kuasa dengan nilai c yang lebih besar dalam rentang 0 < c ≤ 1 tidak begitu menghindari resiko dibandingkan dengan investor yang fungsi utilitas hukum kuasa dimana nilai c lebih kecil dalam rentang, yang pada gilirannya kurang menghindari resiko dibandingkan investor dengan fungsi utilitas log.


BAB 3 LANDASAN TEORI

3.1 Pengertian Utility Untuk kejadian tak pasti yang masih sederhana, penetapan nilai ekivalen tetap tidak sulit untuk dilakukan. Tetapi bila kejadian tak pasti yang terlibat semakin rumit, maka penetapan nilai ekivalen tetap secara langsung menjadi sulit. Karena itu, untuk menghitung nilai ekivalen tetap-nya tidak bisa dilakukan secara langsung, tetapi dengan melakukan penjajagan terhadap preferensi pembuat keputusan dalam menghadapi resiko terlebih dahulu. Utility adalah preferensi pembuat keputusan terhadap suatu nilai dengan mempertimbangkan faktor resiko. Hasil penjajagan preferensi pembuat keputusan terhadap suatu nilai dengan mempertimbangkan faktor resiko tersebut dikodekan dalam suatu kurva yang disebut kurva preferensi atau kurva utility. Kurva utility memberikan sebuah cara untuk mengkonversikan suatu satuan (misalnya mata uang Rupiah) menjadi unit utility.

3.1.1 Kurva Utility Kurva utility menggambarkan bagaimana utility atau preferensi suatu nilai bagi pembuat keputusan. Pada umumnya skala utility dinyatakan antara 0 dan 1, dimana skala utility =1 menyatakan keadaan atau nilai yang paling disukai dan 0 menyatakan keadaan atau nilai yang paling tidak disukai.

10 Harris H Simamora : Penggunaan Fungsi Utilitas Untuk Model Saham Beresiko, 2009 USU Repository © 2008

11 Individu yang takut pada resiko atau yang sensitif terhadap resiko, disebut penghindar resiko (risk averse). Sikap penghindar resiko dapat dilihat pada sederetan fungsi utility yang melengkung dan membuka ke bawah (kurva dengan bentuk seperti ini disebut concave). Contoh 3.1 Pengambilan Keputusan Menggunakan Nilai Ekspektasi Seorang manajer produksi diharapkan untuk memilih satu di antara tiga jenis produk baru yang akan dipasarkan. Produksi pendahuluan untuk ketiga produk tersebut telah selesai dilakukan, demikian pula studi tentang harganya. Hasilnya dapat dilihat pada Tabel 3.1. Selanjutnya dari penelitian pasar dapat pula diketahui distribusi kemungkinan tingkat penjualan yang mungkin dicapai untuk masing-masing produk seperti yang terlihat pada Tabel 3.2. Dan selain itu pimpinan perusahaan telah memutuskan bahwa hanya satu produk baru yang dapat dipasarkan. Tabel 3.1 : Produk yang Dapat Dihasilkan Produk Harga(Unit) Ongkos (Unit) Kontribusi (Unit) A Rp. 2500 Rp. 1500 Rp. 1000 B Rp. 6000 Rp. 4000 Rp. 2000 C Rp. 3750 Rp. 2250 Rp. 1500

Tabel 3.2 : Distribusi Kemungkinan Tingkat Penjualan Tingkat Penjualan Kemungkinan A B C 0 0 0,1 0,1 1000 0 0,2 0,3 2000 0,1 0,2 0,3 3000 0,1 0,4 0,2 4000 0,2 0,1 0,1 5000 0,6 0 0

Informasi ini dapat dituangkan dalam suatu diagram keputusan sebagai berikut:


12

Gambar 3.1 : Diagram Keputusan

Untuk contoh di atas, nilai ekspektasi untuk masing-masing produk adalah : Produk A

Nilai ekspektasi = (0, 1) × (Rp.2000) + (0, 1) × (Rp.3000) + (0, 2) × (Rp.4000) +(0, 6) × (Rp.5000) = Rp.43000


13 Produk B

Nilai ekspektasi = (0, 1) × (0) + (0, 2) × (Rp.2000) + (0, 2) × (Rp.4000) +(0, 4) × (Rp.6000) + (0, 1) × (Rp.8000) = Rp.4400

Produk C

Nilai ekspektasi = (0, 1) × (0) + (0, 3) × (Rp.1500) + (0, 3) × (Rp.3000) +(0, 2) × (Rp.4500) + (0, 1) × (Rp.6000) = Rp.2850

Dengan membandingkan nilai ekspektasi ini, maka produk B yang dipilih, karena produk B mempunyai nilai ekspektasi yang tertinggi. Untuk contoh ini, dapat langsung dibuat penjajagannya yang dikodekan dalam kurva utility dibawah ini. Pada kurva utility ini, titik-titik jumlah rupiah (x) di sumbu mendatar. Jika ditarik garis lurus dari titik x di sumbu mendatar ke atas ke arah kurva, kemudian jika setelah menyentuh kurva ditarik garis lurus ke arah sumbu vertikal, akan didapati nilai utility (U (x)).

Gambar 3.2 : Kurva Utility pada Contoh 3.1


14 3.1.2 Ekspektasi Utility Karena utility merupakan pencerminan dari preferensi pembuat keputusan, maka untuk melakukan pemilihan, pembuat keputusan mendasarkan pada ekspektasi utility dari alternatif-alternatif yang ada, dan memilih berdasarkan ekspektasi utility yang tertinggi. Sebagai contoh, dalam menghadapi situasi keputusan seperti pada contoh 3.1 di atas, dapat dihitung ekspektasi utility (EU) dari masing-masing alternatif, sehingga didapatkan : Alternatif A EUA = (0, 1) × (0, 45) + (0, 1) × (0, 64) + (0, 2) × (0, 78) + (0, 6) × (0, 87) = 0, 79

Alternatif B

EUB = (0, 1) × (0) + (0, 2) × (0, 45) + (0, 2) × (0, 78) + (0, 4) × (0, 94) +(0, 1) × (1) = 0, 72)

Alternatif C

EUC = (0, 1) × (0) + (0, 3) × (0, 31) + (0, 3) × (0, 64) + (0, 2) × (0, 83) +(0, 1) × (0, 94) = 0, 55

Berdasarkan ekspektasi utility ini, dapat diambil keputusan bahwa alternatif yang terbaik adalah alternatif A, karena memberi utility yang paling tinggi di antara ketiga alternatif yang ada.


15 Dengan menggunakan kurva utility pada gambar 3.2 dapat juga diperoleh nilai ekivalen tetap bagi masing-masing alternatif, yaitu dengan mencari jumlah kontribusi rupiah yang berkorespondensi dengan ekspektasi utility masing-masing alternatif. Alternatif A : EUA = 0, 79, ETA = Rp. 4100 Alternatif B : EUB = 0, 72, ETA = Rp. 3500 Alternatif C : EUC = 0, 55, ET A = Rp. 2500 Pembuat keputusan biasanya akan lebih mudah melihat alternatif yang dinyatakan dalam bentuk ekivalen tetap, daripada dalam bentuk ekspektasi utility, karena biasanya untuk mengerti besaran yang telah dikenal dengan baik seperti rupiah, akan lebih mudah dibandingkan dengan ukuran utility. Sehingga, meskipun ekspektasi utility dapat digunakan sebagai kriteria pemilihan, biasanya ekspektasi utility ini akan diubah dulu kedalam bentuk ekivalen tetap baru kemudian dilakukan pemilihan berdasarkan nilai ekivalen tetap tersebut.

3.2 Pengertian Risiko Risiko adalah ketidakpastian tentang kejadian di masa depan. Beberapa definisi tentang risiko, sebagai berikut :

1. Risk is the change of loss, risiko diartikan sebagai kemungkinan akan terjadinya kerugian, 2. Risk is the possibility of loss, risiko adalah kemungkinan kerugian, 3. Risk is Uncertainty, risiko adalah ketidakpastian,


16 4. Risk is the dispersion of actual from expected result, risiko merupakan penyebaran hasil actual dari hasil yang diharapkan, 5. Risk is the probability of any outcome different from the one expected, risiko adalah probabilitas atas sesuatu outcome berbeda dengan outcome yang diharapkan.

Dari beberapa definisi diatas, maka risiko dihubungkan dengan kemungkinan terjadinya akibat buruk (kerugian) yang tak diinginkan atau tidak terduga. Dengan kata lain kemungkinan itu sudah menunjukkan adanya ketidakpastian. Ketidakpastian itu merupakan kondisi yang menyebabkan tumbuhnya risiko. Dan jika dikaji lebih lanjut kondisi yang tidak pasti itu timbul karena berbagai sebab, antara lain; jarak waktu dimulai perencanaan, keterbatasan informasi yang diperlukan, keterbatasan pengetahuan pengambil keputusan dan sebagainya. Konsep lain yang berkaitan dengan risiko adalah Peril, yaitu suatu peristiwa yang dapat menimbulkan terjadinya suatu kerugian, dan Hazard, yaitu keadaan dan kondisi yang dapat memperbesar kemungkinan terjadinya suatu peril. Menurut (Darmawi,1992) Hazard terdiri dari beberapa tipe, yaitu :

1. Physical Hazard, suatu kondisi yang bersumber pada karakteristik secara fisik dari obyek yang dapat memperbesar terjadinya kerugian. 2. Moral Hazard, suatu kondisi yang bersumber dari orang yang berkaitan dengan sikap mental, pandangan hidup dan kebiasaan yang dapat memperbesar kemungkinan terjadinya peril. 3. Morale Hazard, suatu kondisi dari orang yang merasa sudah memperoleh


17 jaminan dan menimbulkan kecerobohan sehingga memungkinkan timbulnya peril. 4. Legal Hazard, suatu kondisi pengabaian atas peraturan atau perundangundangan yang bertujuan melindungi masyarakat sehinga memperbesar terjadinya peril.

Kejadian sesungguhnya terkadang menyimpang dari perkiraan. Artinya ada kemungkinan penyimpangan yang menguntungkan maupun merugikan. Jika kedua kemungkinan itu ada, maka dikatakan risiko itu bersifat spekulatif. Sebaliknya, lawan dari risiko spekulatif adalah risiko murni, yaitu hanya ada kemungkinan kerugian dan tidak mempunyai kemungkinan keuntungan. Manajer risiko utamanya menangani risiko murni dan tidak menangani risiko spekulatif kecuali jika adanya risiko spekulatif memaksanya untuk menghadapi risiko murni tersebut. Menentukan sumber risiko adalah penting karena mempengaruhi cara penanganannya. Sumber risiko dapat diklasifikasikan sebagai risiko sosial, risiko fisik, dan risiko ekonomi. Menurut (Darmawi,1992) biaya-biaya yang ditimbulkan karena menanggung risiko atau ketidak-pastian dapat dibagi sebagai berikut:

1. Biaya-biaya dari kerugian yang tidak diharapkan. 2. Biaya-biaya dari ketidakpastian itu sendiri.

Pengidentifikasian risiko merupakan proses analisa untuk menemukan secara sistematis dan berkesinambungan atas risiko (kerugian yang potensial) yang


18 dihadapi perusahaan. Karenanya diperlukan checklist untuk pendekatan yang sistematik dalam menentukan kerugian potensial. Salah satu alternatif sistem pengklasifikasian kerugian dalam suatu checklist adalah; kerugian hak milik (property losses), kewajiban mengganti kerugian orang lain (liability losses) dan kerugian personalia (personnel losses). Checklist yang dibangun sebelumnya untuk menemukan risiko dan menjelaskan jenis-jenis kerugian yang dihadapi oleh sesuatu perusahaan. Perusahaan yang sifat operasinya kompleks, berdiversifikasi dan dinamis, maka diperlukan metode yang lebih sistematis untuk mengeksplorasi semua segi. Metode yang dianjurkan adalah; 1. Questioner analisis risiko (risk analysis questionnaire). 2. Metode laporan Keuangan (financial statement method). 3. Metode peta-aliran (flow-chart). 4. Inspeksi langsung pada objek. 5. Interaksi yang terencana dengan bagian-bagian perusahaan. 6. Catatan statistik dari kerugian masa lalu. 7. Analisis lingkungan. Dengan mengamati langsung jalannya operasi, bekerjanya mesin, peralatan, lingkungan kerja, kebiasaan pegawai dan seterusnya, manajer risiko dapat mempelajari kemungkinan tentang hazard. Untuk itu keberhasilannya dalam mengidentifikasi risiko tergantung pada kerjasama yang erat dengan bagian-bagian lain yang terkait dalam perusahaan.


19 Manajer risiko dapat menggunakan tenaga pihak luar untuk proses mengidentifikasikan risiko, yaitu agen asuransi, broker, atau konsultan manajemen risiko. Hal ini tentunya punya kelemahan, dimana mereka membatasi proses hanya pada risiko yang diasuransikan saja. Dalam hal ini diperlukan strategi manajemen untuk menentukan metode atau kombinasi metode yang cocok dengan situasi yang dihadapi.

3.2.1 Pemilihan Risiko Setiap investasi selalu membandingkan besarnya risiko dengan pengembalian yang diharapkan. Investasi disebut juga sebagai the trade off between Risk and return. Hampir semua investor tidak suka dengan risiko, kalau boleh menghindarinya. Untuk mengharapkan agar investor bersedia mengambil risiko tinggi, maka kepada mereka harus ditawarkan tingkat pengembalian yang tinggi. Dengan kata lain apabila seorang investor menghendaki tingkat pengembalian yang lebih tinggi, dia harus berani atau bersedia mengambil risiko yang lebih tinggi. High risk high return (Siahaan, 2007). Pada umumnya investor tidak mengetahui adanya ukuran kuantitatif berapa besar risiko yang diinginkannya. Model risiko dan pengembalian tradisionil cenderung mengukur risiko dalam bentuk volatility atau standard deviation. Artinya risiko dilihat sebagai fluktuasi (naik turunnya) pengembalian dari pengembalian yang diharapkan, atau simpangan baku pengembalian dari rata-rata pengembalian. Dalam dunia mean-variance, satu-satunya ukuran risiko adalah variance. Investor yang dihadapkan pada pilihan investasi dengan tingkat pengembalian diharapkan (expected return) sama, tetapi variances berbeda, selalu memilih investasi yang variance-nya lebih rendah. Antara A dan B pasti yang dipilih adalah


20 A. Risiko sama tetapi expected return A lebih tinggi dari B.

3.2.2 Beberapa Pemikiran Tentang Risiko Kebanyakan investor tidak mengukur risiko dengan menggunakan standard deviation.(Siahaan, 2007) menjelaskan bahwa sebagian investor menilai risiko dengan menggunakan:

1. Scoring System (artinya si investor berusaha mendapatkan informasi atau menanyakan apa yang dapat digunakan menganalisa risiko dan seberapa besar investor bersedia mengambil risiko). 2. Risk Categories (High; Average; Low) 3. Life cycle theories of investing.

Sesuai dengan usia investor, semakin lanjut usia, semakin enggan dengan risiko, dan cenderung mengallokasikan dananya pada aktiva yang lebih aman risiko, lebih memilih obligasi, reksadana obligasi (fixed income securities). Anak muda atau kaum Yuppies lebih aggresif dan berani mengambil risiko, lebih senang investasi pada saham, dan aktiva derivatif. Pada tahap selanjutnya, besarnya nilai portofolio akan menjadi constrains atau pembatas di dalam pengambilan keputusan investasi. Sebab perdagangan sekuritas secara individual menimbulkan biaya, biaya pialang, spread antara jual dan beli, serta dampak harga. Ada nilai massal penting, jika dibawahnya tidak ada manfaatnya mengelola portofolio secara aktif, lebih baik investasi pada reksadana. Semakin besar portofolio, semakin banyak pilihan aktiva yang tersedia,


21 terutama karena sebagian komponen-komponen biaya perdagangan (transaksi), biaya broker dan spread, akan semakin kecil jika portofolio semakin besar. Jika portofolio menjadi terlalu besar, akan memicu dampak harga yang membuat biaya perdagangan kembali menjadi mahal. Langkah pertama yang dilakukan dalam setiap manajemen portofolio adalah memutuskan pengallokasian dana pada aktiva. Keputusan alokasi dana pada aktiva akan menentukan proporsi dana untuk setiap aktiva, untuk berbagai macam aktiva. Alokasi aktiva dapat dilakukan secara pasif (passive asset allocation):

a. Dapat didasarkan pada mean-variance framework. b. Dapat dilakukan berdasarkan kaidah lebih sederhana yaitu doversifikasi atau berdasarkan nilai pasar.

Apabila alokasi aktiva didasarkan pada tinjauan pasar atau analisa pasar, cara ini disebut sebagai alokasi aktiva secara aktif (active asset allocation).


22 Jenis Risiko dalam Obligasi Korporasi Risiko Likuiditas Risiko ini melekat pada semua obligasi, obligasi pemerintah dan obligasi korporasi. Risiko ini timbul dari kemungkinan tidak likuidnya suatu obligasi diperdagangkan atau tidak mudahnya menjual suatu obligasi di pasar sekunder. Pasar sekunder obligasi tidak seramai pasar sekunder saham. Jika di pasar saham saja ada saham yang tidak likuid, apalagi dalam pasar obligasi. Untuk dua obligasi yang sama karektiristiknya kecuali yang satu likuid dan yang satunya lagi tidak likuid, investor akan meminta tambahan tingkat bunga untuk obligasi yang tidak likuid atau premium risiko likuiditas, istilah bakunya. Menurut (Frensidy, 2007) suatu obligasi menjadi likuid di pasar sekunder jika permintaan beli untuk obligasi itu cukup banyak atau memang ada pihak yang berperan sebagai market maker yang salah satu fungsinya adalah sebagai pembeli dan penjual stand-by untuk obligasi itu. Risiko Maturitas Risiko ini juga ada pada semua obligasi tetapi terutama pada obligasi korporasi dan berkaitan dengan masa jatuh tempo obligasi. Secara umum, semakin lama jatuh tempo suatu obligasi, semakin besar tingkat ketidakpastian sehingga semakin besar risiko maturitas. Risiko maturitas dari obligasi (pemerintah dan korporasi) negara berkembang seperti Indonesia wajarnya lebih besar daripada risiko maturitas obligasi negara maju seperti Amerika. Karena itu, (Frensidy, 2007) menyatakan investor yang rasional akan meminta premium maturitas untuk obligasi yang sama karekteristiknya tetapi jatuh temponya lebih lama.


23 Risiko Default Risiko default hanya ada pada obligasi korporasi. Obligasi korporasi tidak dijamin pemerintah. Investor yang membeli obligasi korporasi harus menyadari bahwa investasinya bisa tidak kembali jika sebelum obligasi jatuh tempo, korporasi itu bangkrut. Risiko korporasi bangkrut sehingga obligasi dan bunganya menjadi gagal dibayar inilah yang dimaksud dengan risiko default. Untuk membantu pengambilan keputusan para investor obligasi, Bapepam mensyaratkan setiap perusahaan yang ingin mengeluarkan obligasi atau surat utang yang ditawarkan ke publik memiliki peringkat dari perusahaan pemeringkat yang Memahami Risiko Obligasi Korporasi mendapat ijin Bapepam yaitu Pefindo, Kasnic, dan Fitch Indonesia. Menurut (Frensidy,2007) rating yang dikeluarkan mencerminkan opini ahli (expert opinion) perusahaan pemeringkat itu mengenai kemampuan sebuah korporasi membayar utang dan bunganya tepat waktu. Sebagai kompensasi atas adanya risiko ini, investor tentunya meminta tambahan return di atas obligasi pemerintah dengan karakteristik yang sama atau premium risiko default. Ingat, dalam investasi selalu berlaku kaidah, Dimana ada risiko, disitu mesti ada return. Berapa besar biasanya premium risiko ini? Tergantung rating emiten itu dan kondisi ekonomi makro. Untuk korporasi berating AAA dalam kondisi ekonomi makro yang baik, premium sebesar 1 Yang dimaksud dengan premium itu adalah sebagai berikut. Misalkan pada awal 2007 pemerintah menerbitkan obligasi berbunga 11% p.a. dan tiga korporasi di Indonesia berating AAA, AA, dan A juga mengeluarkan obligasi yang sama jatuh tempo, nilai nominal, dan harga jualnya (100). Rasio utang dan prospek korporasi dan industrinya asumsikan juga sama. Obligasi korporasi berating AAA


24 diharapkan memberikan tingkat bunga 12%, yang berating AA 12,5%, dan A 13%. Untuk kondisi ekonomi makro yang kurang baik, investor mungkin tidak cukup puas kalau premiumnya hanya 1%, 1,5%, dan 2% mengingat kemungkinan korporasi bangkrut lebih besar pada saat resesi daripada saat booming. Investor mungkin saja mengharapkan premiumnya naik menjadi 2%, 2,25%, dan 3% misalnya. Investasi dalam obligasi korporasi memang bisa membuat Anda rugi atau bahkan investasi awal Anda hilang. Untuk menghindari rugi besar, saran saya adalah jangan pernah beli obligasi korporasi yang ratingnya di bawah BBB (batas layak investasi) atau yang jatuh temponya lebih dari 5 tahun atau yang rasio utangnya sangat tinggi.


BAB 4 PEMODELAN DENGAN MEMAKAI FUNGSI UTILITAS

4.1 Pemodelan Bila Resiko Kegagalan Konstan Misalkan V adalah ekuivalen kepastian dari kekayaan( di mana definisikan kekayaan sebagai penjumlahan dari arus kas masa mendatang dengan potongan (dapat gagal)). Karenanya V adalah jumlah tertentu yang akan di tukarkan untuk investasi yang tidak pasti. Juga misalkan p adalah resiko kegagalan historis. Maka dapat di perhatikan bahwa sebuah resiko pedagang memenuhi U ((1 + rdt) V ) = Et [U (V + dV )] (1 − pdt) + Et [U (R (1 + rdt))] pdt

(4.1)

Di mana fungsi utilitas waktu U , terdifensialkan sebanyak dua kali dan naik dengan kuat (dan karenanya mempunyai invers), r adalah suku bunga jangka pendek, R adalah potongan tertentu dalam kasus kegagalan dan Et adalah ekspektasi bersyarat dengan diberikan informasi dari rt hingga waktu t. Ini berada dalam tulisan Ahn et al. (1999), tetapi dengan potongan yang kita diketahui (kemungkinan nol) atas kegagalan. Persamaan (1) dapat di interpretasikan sebagai Berapa nilai kekayaan V (1 + rdt) dengan kepastian yang ekuivalen dengan berinvestasi dan mempunyai kekayaan V + dV dengan ketidakpastian jika perusahaan tidak memiliki kegagalan atau kekayaanR(1 + rdt) jika perusahaan mengalami kegagalan ? Dapat asumsikan bahwa fungsi utilitas ditentukan skalanya sedemikian rupa sehingga untuk potongan tertentu R, U (R) = 0. Juga dapat asumsikan bahwa


26 suku bunga jangka pendek memenuhi persamaan diferensial stokastik dr = α (r, t) dt + β (r, t) dX di mana dX adalah pertambahan dalam proses Wiener. Maka dari (1), Vrr 2 0 dr + · · · U ((1 + rdt) V ) = Et U (V ) + U (V ) Vr dr + Vt dt + 2 ) 2 Vrr U 00 (V ) Vr dr + Vt dt + dt + · · · + · · · [1 − pdt] + 2 2

(4.2)

(4.3)

+ (U (R) + rU 0 (R) dt + · · ·) pdt sehingga sampai O(dt) dengan U (R) = 0, Vrr 0 2 Et dr U ((1 + rdt) V ) = (1 − pdt) U (V ) + U (V ) Vr Et (dr) + Vt dt + 2 U 00 (V ) 2 2 Et Vr dr + 2 U 00 (V ) 2 2 Vrr β 2 0 dt − pdtU (V ) + Vr β dt = U (V ) + U (V ) Vr α + Vt + 2 2 (4.4) Karenanya U 00 (V ) 2 2 Vrr β 2 dt − pU (V ) dt + Vr β dt U (V ) + U (V ) Vr α + Vt + (1 + rdt) V = U 2 2 U 00 (V ) 2 2 Vrr β 2 −1 0 0 − pU (V ) + Vr β dt (U ) U (V ) Vr α + Vt + =V + U 2 2 (4.5) −1

0

Sehingga U 00 (V ) 2 2 Vrr β 2 dV 0 U (V ) Vr α + Vt + − pU (V ) + Vr β rV = dU 2 2 yang menghasilkan PDE berikut untuk harga ekuivalen kepastian dari obligasi beresiko: αVr + Vt +

β 2 U 00 (V ) 2 β2 U (V ) Vrr − p 0 + V − rV = 0 2 U (V ) 2 U 0 (V ) r


27 yang perlu diselesaikan untuk kondisi syarat batas V (r, T ) = K, di mana t = T adalah tanggal jatuh tempo. Catat bahwa obligasi bebas-kegagalan akan bergantung pada (4.6) dengan p = 0. Persamaan 4.6 adalah nonlinear kecuali di dalam kasus fungsi utilitas netralresiko U (V ) = cV . Di dalam kasus ini, bila tidak ada nilai resiko yang diambil, Persamaan 4.6 tereduksi menjadi Vt + αVr +

β2 Vrr − (r + p) V = 0 2

Yang mengimplikasikan sebaran kredit konstan p antara obligasi beresiko dan obligasi tanpa resiko. Kemudian keberadaan dari penghindaran resiko di (4.6) menimbulkan nonlinearitas, sehingga nilai dari sebuah portofolio kontrak menjadi tidak sama dengan jumlah nilai masing-masing komponen. Ini lebih realistic secara intuitif, karena bila nilai tinggi, penjumlahan dari kedua penyelesaian akan lebih besar daripada hasil dengan jumlah akhir dari dua penyelesaian, karena investor mungkin tidak akan memberikan nilai ekstra yang besar untuk resiko yang besar. Nonlinieritas dari (4.6) juga berarti bahwa nilai dari sebuah kontrak akan bergantung pada apakah ada kontrak lain pada portofolio. Portofolio misalnya memuat kontrak dengan kemungkinan melakukan pembatasan dengan statistic atas kontrak baru. Dengan mengalikan (4.6) dengan U (V ) kita peroleh PDE untuk fungsi utilitas atas sebuah fungsi dari r dan t: Ut + αUr +

β2 Urr − pU = rV U 0 (V ) 2

Yang akan diselesaikan untuk U (r, T ) = U (V (r, T )) = U (K). Dapat dicatat


28 bahwa persamaan 4.7 dapat juga diformulasikan dari (4.6) dengan mensubstitusi w = U (V ).

4.2 Penyelesaian untuk Persamaan Penetapan Harga Obligasi-Beresiko bila Resiko Kegagalan Konstan Di dalam bagian ini akan dikaji dua fungsi utilitas yang umum digunakan: U (V ) = cV c , 0 < c 6 1, dan U (V ) = ln (V ), dan ditentukan nilai V (r, t) yang bersesuaian untuk harga obligasi beresiko dengan terlebih dahulu menyelesaikan Persamaan 6.7. Dua hasil popular akan dikaji untuk dinamika suku bunga. Yang pertama adalah model Vasicek dari Hull dan White, yaitu dr = (η (t) − γr) dt + βdX

(4.6)

Di mana β dan γ adalah konstanta. Model ini memadukan model Vasicek (1977) (η(t) = η0 , konstanta) dan model Ho dan Lee (1986) (γ = 0). Model ini popular karena daya tariknya, karena sering kali menghasilkan rumus eksplisit untuk banyak derivativ suku bunga. Model ini juga memiliki ciri yang diinginkan berupa pembalikan-mean. Akan tetapi, ciri yang diinginkan dari model adalah bahwa model tersebut dapat memberikan nilai negatif untuk suku bunga. Model kedua yang di kaji adalah model Cox, Ingersoll dan Ross (CIR)(1985) dr = (η − γr) dr +

√ αrdX

(4.7)

dengan α, γ, η konstanta. Model ini juga menunjukkan sifat pembalikan-mean suku bunga yang diinginkan. Model ini juga memiliki kelebihan tambahan di mana nilainya tetap positif bila η > α/2.


29 4.2.1 U(V) = cVc , 0 < c ≤ 1 Dalam bagian ini akan ditinjau fungsi utility power-law dan diasumsikan bahwa tidak ada potongan atas kegagalan, yaitu R = 0 Substitusikan U (V ) = cV c ke dalam (4.7) menghasilkan Ut + αUr +

β2 Urr − (p + rc) U = 0 2

dengan batasan U (r, T ) = cK Dengan W =

1 U, cK c

(4.8)

c

persamaan 4.10 menjadi Wt + αWr +

β2 Wrr − (p + rc) W = 0 2

(4.9)

dengan batasan W (r, T ) = 1 Dengan mengambil W (r, t) = F (r, t) Q (t) berarti bahwa masalah dapat direduksi untuk menyelesaikan system Ft + αFr +

β2 Frr − rcF = 0; F (r, T ) = 1, 2

Qt − pQ = 0; Q (T ) = 1

(4.10) (4.11)

Karenanya Q (t) = e−p(T −t) sehingga W (r, t) = e−p(T −t) F (r, t)

(4.12)

di mana F (r, t) adalah nilai dari obligasi tanpa resiko dengan dinamika (4.2) untuk r. Karena V = KW 1/c , ini berarti bahwa untuk utilitas power-law U (V ) = cV c , dengan sebuah konstanta peluang kegagalan historis p, sebaran kredit, yang merupakan selisih dalam hasil obligasi tanpa resiko dan obligasi beresiko selalu cs =

p c0


30 Dengan dinamika suku bunga (4.2). Ini mengimplikasikan bahwa konstanta peluang kegagalan historis p dipetakan kedalam sebuah peluang kegagalan implisit konstan sehingga premi resiko kegagalan yang dipicu oleh utilitas power-law konstan seiring waktu. Juga semakin tinggi penghindaran resiko. Dalam kedua bagian berikut, dapat diselesaikan (4.11) melalui (4.12) dan (4.13), bila suku bunga mengikuti model Vasicek dari Hull dan White dan model CIR. Akan tetapi teknik yang sama dapat digunakan untuk setiap dinamika suku bunga.

4.2.1.1 Menggunakan model Vasicek yang diperluas dari Hull dan White (4.8) Dengan menggunakan (4.8), persamaan (4.12) menjadi β2 Ft + (η (t) − γr) Fr + Frr − rcF = 0; F (r, T ) = 1 2

(4.13)

Dengan mengambil r¯ = rc dalam (4.15) diperoleh (βc)2 Fr¯r¯ − r¯F = 0; F (¯ Ft + (cη (t) − γ¯ r) Fr¯ + r, T ) = 1 2

(4.14)

Sekarang dibandingkan (16) dengan persamaan Zt + [η (t) − γr] Zr +

β2 Zrr − rZ = 0 2

(4.15)

Z (r, T ) = 1, yang mempunyai penyelesaian yang diketahui Z (r, t; β, γ, η (t)) = eA(t;T )−rB(t;T )

(4.16)

di mana A (t; T ) = −

Z

T t

β2 η (s) B (s; T ) ds + 2 2γ

2 −γ(T −t) 1 −2γ(T −t) 3 T −t+ e − e − γ 2γ 2γ (4.17)


31 dan B (t; T ) =

1 γ

1 − e−γ(T −t)

(lihat Wilmott, 1998). Catat bahwa Persamaan (4.17) dapat diinterpretasikan sebagai PDE untuk nilai dari obligasi tanpa resiko potongan yang memberikan (4.8) yang bersesuaian dengan dinamika netral-resiko untuk r. Akan tetapi tidak demikian di sini. Penyelesaian untuk (4.16) dapat ditulis sebagai F (¯ r , t) = Z (¯ r, t; βc, γ, cη (t)) dan karenanya dari (4.14) W (r, t) = e−p(T −t) Z (rc, t; βc, γ, cη (t)) Maka U (r, t) = cK c e−p(T −t)Z (rc, t; βc, γ, cη (t)) dan nilai obligasi beresiko adalah 1/c 1 U V = c (4.18) 1

p

= Ke− c (T −t) (Z (rc, t; βc, γ, cη (t))) c

Dari Persamaan (20) terlihat bahwa jika c turun, maka harga obligasi turun yang menyebabkan sebaran kredit lebih tinggi. Hal inilah yang diharapkan, karena ketika c turun, tingkat penghindaran resiko yang ditunjukkan fungsi utilitas meningkat, yang menyebabkan harga lebih rendah. Dapat dicatat bahwa selisih antara kurva-kurva turun secara tidak seragam ke 0 apabila jatuh tempo turun menjadi 0.

4.2.1.2 Menggunakan model CIR (9) Substitusi (4.9) ke dalam (4.12) menghasilkan Ft + (η − γr) Fr +

αr Frr − rcF = 0; F (r, T ) = 1, 2


(4.19)

32 dengan mengambil r¯ = rc dalam (4.21) diperoleh Ft + (cη − γr¯) Fr¯ +

αc r¯Fr¯r¯ − r¯F = 0, 2

(4.20)

F (¯ r, T ) = 1, Dapat bandingkan (4.22) dengan persamaan Zt + (η − γr) Zr +

αr Zrr − rZ = 0 2

(4.21)

F (r, T ) = 1, yang mempunyai penyelesaian yang diketahui (Wilmott, 1998) Z1 (r, t; α, γ, η) = eA(t;T )−rB(t;T )

(4.22)

di mana

2 eψ1 (T −t) − 1 B (t; T ) = , (γ + ψ1) (eψ1 (T −t) − 1) + 2ψ1 2 B+b aψ2 log (a − B) + ψ2 b log − aψ2 log a , A (t; T ) = α b p ±γ + γ 2 + 2α , with b, a = α p η ψ1 = γ 2 + 2α dan ψ2 = a+b

(4.23)

Persamaan (4.23) dapat diinterpretasikan sebagai PDE untuk obligasi tanpa resiko jika dinamika suku bunga yang bersesuaian (4.9) adalah resiko netral (tidak demikian halnya di sini). Karenanya dapat ditulis solusi untuk (4.21) sebagai F = Z1 (rc, t; αc, γ, cη)

(4.24)

W (r, t) = e−p(T −t) Z1 (rc, t; αc, γ, cη)

(4.25)

dan karenanya dari (4.14)


33 dan harga dari obligasi beresiko adalah V = KW 1/c

(4.26)

Juga terlihat bahwa apabila c turun, nilai dari obligasi turun dan juga sebaran kredit akan meningkat, seperti yang diperkirakan.

4.2.2 U (V) = ln

v R

Di dalam bagian ini dibahas fungsi log utiliti ln(V ) di dalam persamaan U (V ) = ln Rv , di mana R > 0 adalah potongan tertentu atas kegagalan. Karenanya diperoleh U (R) = 0. Substitusi dari fungsi utilitas U (V ) = ln

v R

ke dalam (4.7) menghasilkan

β2 Urr − pU = r, 2 K U (r, T ) = ln R

Ut + αUr +

(4.27)

4.2.2.1 Menggunakan perluasan model Vasicek dari Hull dan White Subtitusi (4.8) ke dalam (4.29) menghasilkan β2 Ut + (η (t) − γr) Ur + Urr − pU = r 2 K U (r, T ) = ln R


(4.28)

34 yang bisa direduksi ke bentuk kanoniknya (Bluman dan Kumei, 1989) zr1 r1 + zr2 + Q (r1 , r2) z = f (r1 , r2) with r = βr1, t = 2r2 ,

(4.29)

γ 2 η (t) r − 2 r U, z = exp β2 2β

Q (r1 , r2) =

η (t)2 −2p + γ − β2

dan f (r1 , r2) = 2βr1 exp

N (r2 )r1 β

!

−

+ r1

γ 2 r 2 1

2γη (t) −2 0 η (t) + β β

− γ 2 r12 ,

. Dengan substitusi lebih lanjut dari 2γr2

x = r1e

2 − β

Z

N (r2 ) e2γr2 dr2,

1 1 4γr2 e + e2γT , 4γ 4γ γ 2 N (r2 ) r − r1 − 2pr2 z, w = exp 2 1 β

y=−

(4.30)

di mana N (r2) = η (t) = η (2r2 ) di dalam (4.31) menghasilkan wxx − wy = 2βr1e−2r2 (p+2γ) mengarah ke w (x, 0) = e−pT ln

K R

(4.31)

Khususnya, bila η (t) = η0 , konstan, dapat diselesaikan ! −1−p/(2γ) x η0 e2γT − 4γy wxx − wy = 2β +p , γβ e2γT − 4γy K −pT w (x, 0) = e ln R


(4.32)

35 Penyelesaian untuk (4.34) dapat ditulis sebagai " Z yZ ∞ (x−x0 )2 −1−p/(2γ) 1 η0 − 4(y−y 2γT 0) √ e − 4γy dx0dy0 e w (x, y) = − √ 0 γT γ π 0 −η0 e y − y0 γβ # Z yZ ∞ (x−x0 )2 β 1 x 0 − 4(y−y 0) √ +√ e dx0dy0 π 0 −η0 eγT y − y0 (e2γT − 4γy0 )3/2+p/2γ γβ Z ∞ 2 0) 1 1 − (x−x K −pT 4y dx0 + −η eγT √ √ e e ln 0 R 2 π y γβ

(4.33) Bentuk (4.35) dapat disederhanakan menjadi Z 1 η0 y −x − X √ w (x, y) = − p erf c 1+ γ 0 2 y − y0 (e2γT − 4γy0 ) 2γ Z y (x+X)2 1 2 √ −x − X − 4(y−y ) 0 + x erfc √ √ −β dy0 y − y0 e 3 p π 2 y − y + 0 0 (e2γT − 4γy0 ) 2 2γ −pT η0 γT e K −x − X ln erf c di mana X = e + √ 2 R 2 y γβ untuk p 6= 0 di dapat −p/2γ η0 −pT −x − X η0 2γT e e erf c − 4γy − w (x, y) = − √ γp 2γp 2 y −1/2−p/2γ βx −x − X βx 2γT −(γ+p)T e e − 4γy − erf c + √ (γ + p) 2 (γ + p) 2 y   −p (4.34) Z y −b K2 K3 (a − y0 ) 2γ y−y  2  dy0 0 + K1 − 3 e 3 (y − y0 ) + 1 0 2 2 2 (y − y0) (a − y0 ) (a − y0) −pT e K −x − X ln erf c + √ 2 R 2 y di mana

η0 (x + X) −p/2γ √ (4γ) , 4pγ π 3 p 2β − − K2 = √ (4γ) 2 2γ , π 1 P βx (x + X) − − (4γ) 2 2γ , K3 = √ 4 π (γ + p) K1 =

(x + X)2 e2γT , b= a= 4γ 4


(4.35)

36 sebagai alternatif, dapat di tulis (4.36) seperti − 1 − p −p/2γ βx η0 −pT −x − X η0 2γT e e erf c + e2γT − 4γy 2 2γ − 4γy0 − w (x, y) = − √ γp 2γp 2 y (γ + p) −βx −(γ+p)T 2γ −x − X √ e − K2 a−1/2−p/2γ ye−b/y + erf c √ 2 (γ + p) 2 y (γ + p) e−pT K −x − X ln erf c + √ 2 R 2 y # Z ∞ " 1/2 1 p w γ − − (w − α)−1 + K4 K1 (a − y)1/2 ebx (a − y) 2 2γ + K2 1/2 γ + p (w − α) 1/y+α p/2γ dw × e−bw w−p/(2γ)−1/2 (w − α) (4.36) 2bγ di mana K4 = −K2 (γ+p) + K3 dan α =

1 a−y

kemudian dapat ditulis w(x, y) sebagai −1/2−p/2γ −p/2γ βx η0 −pT η0 2γT −x − X e e erf c + e2γT − 4γy w (x, y) = − − 4γy0 − √ γp 2γp 2 y (γ + p) −βx −(γ+p)T 2γ √ −x − X e − K2 a−1/2−p/2γ ye−b/y erf c √ 2 (γ + p) 2 y (γ + p) −pT e K −x − X ln erf c + √ 2 R 2 y −p 1 p p 2γ − ,− + K1 (a − y) f 2γ 2 2γ (4.37) di mana f (m, n) = b−

−α

n

(m+n+2) (m+n) 2 α 2 Γ (m

X (−1)k bk k!

2

m+k+1 1 y

m+k+1

+ 1) W n−m , −n−m−1 (bα)

2 F1

2

1 −n, m + k + 1, m + k + 2, − αy

(4.38)

dan di mana Wλ,µ (z) menotasikan fungsi Whittaker dan 2 F1 (α, β; γ; z) adalah fungsi hipergeometrik Gauss (Lihat Abramowitz dan Stegun, 1965).


37 Kemudian dari (4.31) dan (4.32) didapat pt

U (r, t) = e w

eγt β

η r− γ

1 2γT , e − e2γt 4γ

di mana hasil untuk w diberikan dalam (4.36) dan (4.39). Maka harga obligasi beresiko akan menjadi V (r, t) = ReU (r,t) Jadi jika tingkat potongan R meningkat, maka nilai obligasi meningkat sementara sebaran kredit turun. Juga dicatat bahwa preferensi resiko logaritma dengan potongan konstan tidak nol dan probabilitas kegagalan historis kontan p, memicu premi resiko yang turun secara perlahan-lahan. Ini paling mungkin disebabkan efek potongan karena selisih dalam nilai obligasi dan potongan konstan turun seiring waktu menuju jatuh tempo.

4.2.2.2 Menggunakan model CIR (9) Substitusikan (4.9) ke dalam (4.29) menghasilkan 4.41 Ut + (η − γr) Ur +

αr Urr − pU = r; 2

yang perlu diselesaikan dengan memenuhi U (r, t) = ln substitusikan r=

(4.39) K R

. Dengan η =

3 α, 4

α 2 r 4 1

t = 2r2

(4.40)

γr r1/2 U (r, t) z = exp − α mereduksi Persamaan (4.41) menjadi zr1 r1 + zr2 +

γ γ2 2 α3/2 3 γ − 2p − r1 z = exp − r12 r13 2 4 4 4


(4.41)

38 substitusi lebih lanjut dari x = r1 eγr2 y=

−1 2γr2 1 e + eγT 2γ 2γ γ

(4.42)

2

w = e 4 r1 +(γ−2p)r2 z mereduksi Persamaan (4.43) menjadi −2−p/γ 1 wxx − wy = α3/2x3 eγT − 2γy 4

(4.43)

√

yang perlu diselesaikan dengan memenuhi w (x, 0) =

α xe−pT 2

ln

K R

. Kemudian penyelesaian untuk (4.45) bisa ditulis di dalam bentuk penyelesaian dasar untuk persamaan sebagai 3 Z Z (x−x0 )2 1 x3 −α 2 y ∞ − √ dx0dy0 e 4(y−y0 ) γT 0 w (x, y) = √ 8 π 0 0 y − y0 (e − 2γy0 ) Z ∞ 2 √ 0) 1 1 −(x−x α K −pT 4y x0 e dx0 + √ ln √ e y 2 R 2 π 0

(4.44)

yang disederhanakan menjadi 3 Z 3 1 −α 2 y 1 x √ p −x √ · ∗ π · 4 (y − y0 )erf c √ w (x, y) = √ 8 π 0 y − y0 (eγT − 2γy0 )2+p/γ 2 2 y − y0 √ −x 3/2 + 6x π (y − y0) erf c √ 2 y − y0 x2 x2 − − 2 2 +2x (y − y0) e 4(y−y0 ) + 8 (y − y0) e 4(y−y0 ) dy0 √ 2 2 −x α −pT √ −x K 4γ e x erfc +√ e + ln y √ 4 R 2 y π


39 sehingga 3 Z x3 α 2 y 1 −x √ dy0 erf c w (x, y) = − 2+p/γ 8 2 y − y0 0 (eγT − 2γy0 ) Z y (y − y0) −x dy0 − 3x erf c √ 2+p/γ 2 y − y0 0 (eγT − 2γy0 ) Z y −x2 √ 1 x2 4(y−y 0 ) dy −√ y − y0 e 0 π 0 (eγT − 2γy0 )2+p/γ Z y −x2 1 4 3/2 4(y−y 0 ) dy −√ (y − y0) e 0 2+p/γ γT π 0 (e − 2γy0 ) √ 2 π −pT √ −x 2 −x K 4γ e x erfc √ +√ e + ln y 4 R 2 y π

(4.45)

maka dari (4.42) dan (4.44) U (r, t) = r

−1/2

√ γ 2 r γt p− t e 2 w √ e2, α

1 γT 1 e − eγt 2γ 2γ

dimana diperoleh harga obligasi beresiko sebagai V (r, t) = ReU (r,t)

jika tingkat potongan R meningkat, maka nilai obligasi meningkat sehingga sebaran kredit turun..


BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan Bond merupakan pinjaman dalam bentuk sekuriti yang umumnya berisiko. Bond ini mengikat kontrak antara penerbit bond dan pembeli bond, yang isinya antara lain nilai bond, bunga (kupon) dan tanggal jatuh tempo. Semakin lama tanggal jatuh tempo semakin tinggi risiko yang akan ditimbulkan. Banyak model kredit berisiko yang sudah pernah diteliti sebelumnya, antara lain yang paling populer model kredit berisiko struktural dan model kredit tereduksi, sayangnya model ini tidak memenuhi kriteria pasar sesungguhnya. Kriteria yang diabaikan antara lain dengan asumsi faktor suku bunga yang dianggap konstan dan tidak ada kegagalan. Dalam penelitian ini dibangun suatu model bond berisiko dengan penggunaan fungsi utilitas yang pertama kali dibuat oleh Ahn.(1999). Penggunaan fungsi utilitas ini sudah cocok memenuhi keadaaan pasar, dimana suku bunga diasumsikan mengikuti proses stokastik dan kegagalan konstan dan kegagalan bersifat stokastik. Model yang ditemukan dibangun melalui penggunaan fungsi utilitas diperoleh dengan proses Wiener yang dilanjutkan denagn proses difusi dan penggunaan persamaan differensial parsial. Model yang ditemukan untuk model bond berisiko adalah dalam bentuk persamaan differensial non linear yang merupakan nilai kekayaan ekuivalen kepastian ( certainty equivalent of wealth), dimana model ini akan digunakan selanjutnya


41 dalam menentukan harga bond.

5.2 Saran Penelitian ini hanya sampai menemukan model dari bond berisiko, belum sampai penentuan harga bond. Perlu penelitian lebih lanjut untuk mendapatkan bentuk eksplisit harga bond berisiko.


DAFTAR PUSTAKA

Ahn, H. et al., 1999, A New Approach for Credit Risk, MFG (Oxford: Oxford University Press). Bielecki, T. R. and Jeanblanc, M., 2004, Indifference pricing of defaultable claims in: R. Carmona (Ed.), Indifference Pricing, Theory and Application, Financial Engineering, (Princeton, NJ: Princeton University Press). Black, F. and Cox, J. C., 1976, Valuing corporate securities: some effects of bond indenture provisions, Journal of Finance, 31(2): 351-367. Black, F. and Scholes, M., 1973, The pricing of options and corporate liabilities, Journal of political economy, 81: 637-654. Campell, J. Y., 1984, Bond and stock returns in a simple exchange model, NBER Working Paper Series No. 1509, National Bureau Of Economic Research Massachusetts Avenue Cambridge. Cox, J. C. et al., 1985, The theory of the term structure of interest rate, Econometrica, 53: 385-407. Darmawi, H., 1992, Manajemen Risiko, Diterbitkan di: Nopember 04, 2008, http://www.google.com Davis, M. H. A., 1997, Option pricing in incomplete markets, in: MA. H. Dempter & S. R. Pliska (Ed.), Mathematics of derivative securities, 216-226, (Cambridge: Newton inst. Cambridge university press). Duffie, D., 1996, Dynamic asset pricing (Princeton, NJ: Princeton university press). Duffie, D. and Singleton, K. J., 1999, Modelling term structures of defaultable bonds, review of financial studies, 12(4): 687-720. Frensidy, B., 2007, Memahami Risiko Obligasi Korporasi, Tabloid Minggu Bisnis Indonesia. Geske, R., 1977, The evaluation of corporate liabilities as compound options, Journal of financial quantitative analysis, 12: 541-552. Geske, R., 1979, The evaluation of compound options, Journal of financial economics, 7: 63-81. Hodges, S. D. and Neuberger, A., 1989, Optimal replication of contingent claims under transaction cost, Revue of future markets, 8: 222-239. Hugonnier, J. et al., 2005, On utility based pricing of contingent claims in incomplete markets, Mathematical finance, 15(2): 203-212. Henderson, V. and Hobson, D., 2004, Utility indifference pricing-An overview, in: R. Carmona (Ed.) Indifference pricing (Princeton, NJ: Princeton university press). 42 Harris H Simamora : Penggunaan Fungsi Utilitas Untuk Model Saham Beresiko, 2009 USU Repository © 2008

43 Hull, J. C. and White, A., 1990, Pricing interest rate derivative securities, review of financial studies, 3: 573-592. Jarrow, R. A. et al., 1997, A markov model for the term structure of credit risk spreads, review of financial studies, 10(2): 481-523. Jarrow, R. A. and Turnball, S. M., 1995, Pricing derivatives on financial securities subject to credit risk, Journal of finance, 50(1): 53-86. Kallsen, J., 2002, Derivative pricing based on local utility maximisation, Finance and stochastics, 6: 115-140. Longstaff, F. A. and Schwartz, E. S., 1995, A simple approach to valuing risky fixed and floating rate debt, Journal of finance, 50(3): 789-819. Luenberger, D. G., 1998, Investment science, (Oxford : Oxford university press). Mandan, D. B. and Unal, H., 2000, A two factor hazard-rate model for pricing risky debt in a complex capital structure, Journal of financial and quantitative analysis, 35: 43-65. Merton, R. C., 1974, On the pricing of corporate debt: the risk structure of interest rates, Journal of Fiannce, 29: 449-470. Mulyana, I., 2007, Teori Portfolio Markowitz, http://www.wikipedia.com Schechter, L., 2006, Risk aversion and expected utility theory: A calibration exercise, Agriculture and applied economics, UW Madison. Siahaan, H., 2007, Analisa Risiko Dan Pengembalian Satu Saham Dan Analisa Portofolio Dua Saham, Lektor Manajemen Investasi pada Fakultas Ekonomi Universitas Tarumanagara Jakarta. Taufiq, W. N., dan Rostianingsih, S., 2005, Penggunaan Algoritma Genetika Untuk Pemilihan Portfolio Saham Dalam Model Markowitz, Jurnal Informatika Vol. 6, NO. 2, S 2005: 105 109. Vasicek, O., 1977, An equilibrium characterization of the term structure, Journal of financial economics, 5: 177-188. http://www.wikipedia.com, diakses tanggal 7 April 2009.


PENGGUNAAN FUNGSI UTILITAS UNTUK MODEL SAHAM BERESIKO

Recommend Documents