Pembahasan Simak UI Matematika Dasar 2012

Pembahasan Simak UI Matematika Dasar 2012

PETUNJUK UMUM 1. Sebelum mengerjakan ujian, periksalah terlebih dulu, jumlah soal dan nomor halaman yang terdapat pada naskah soal. Naskah soal ini terdiri dari 12 halaman. 2. Tulislah nomor peserta Anda pada lembar jawaban di tempat yang disediakan. 3. Tulislah kode naskah soal ini, pada lembar jawaban di tempat yang disediakan. Kode naskah soal ini:

221

4. Bacalah dengan cermat setiap petunjuk yang menjelaskan cara menjawab soal. 5. Pikirkanlah sebaik-baiknya sebelum menjawab tiap soal, karena setiap jawaban yang salah akan mengakibatkan pengurangan nilai (penilaian: benar +4, kosong 0, salah -1). 6. Jawablah lebih dulu soal-soal yang menurut Anda mudah, kemudian lanjutkan dengan menjawab soal-soal yang lebih sukar sehingga semua soal terjawab.

7. Tulislah jawaban Anda pada lembar jawaban ujian yang disediakan. 8. Untuk keperluan coret-mencoret, harap menggunakan tempat yang kosong pada naskah soal ini dan jangan pernah menggunakan lembar jawaban karena akan mengakibatkan jawaban Anda tidak dapat terbaca. 9. Selama ujian, Anda tidak diperkenankan bertanya atau meminta penjelasan mengenai soal-soal yang diujikan kepada siapapun, termasuk kepada pengawas ujian. 10. Setelah ujian selesai, Anda diharapkan tetap duduk di tempat Anda sampai pengawas ujian datang ke tempat Anda untuk mengumpulkan lembar jawaban. 11. Perhatikan agar lembar jawaban ujian tidak kotor, tidak basah, tidak terlipat, dan tidak sobek.

PETUNJUK KHUSUS PETUNJUK A: Pilih satu jawaban yang paling tepat.

PETUNJUK B: Soal terdiri dari 3 bagian, yaitu PERNYATAAN, kata SEBAB, dan ALASAN yang disusun berurutan. Pilihlah: (A) Jika pernyataan benar, alasan benar, dan keduanya menunjukkan hubungan sebab dan akibat (B) Jika pernyataan benar, alasan benar, tetapi keduanya tidak menunjukkan hubungan sebab dan akibat (C) Jika pernyataan benar dan alasan salah (D) Jika pernyataan salah dan alasan benar (E) Jika pernyataan dan alasan keduanya salah

PETUNJUK C: Pilihlah: (A) Jika (1), (2), dan (3) yang benar (B) Jika (1) dan (3) yang benar (C) Jika (2) dan (4) yang benar (D) Jika hanya (4) yang benar (E) Jika semuanya benar

Kode Naskah Soal: MATA UJIAN TANGGAL UJIAN WAKTU JUMLAH SOAL Keterangan

: : : : :

221

Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, dan Bahasa Inggris 8 JULI 2012 120 MENIT 60 Mata Ujian MATEMATIKA DASAR nomor 1 sampai nomor 20 Mata Ujian BAHASA INDONESIA nomor 21 sampai nomor 40 Mata Ujian BAHASA INGGRIS nomor 41 sampai nomor 60

MATEMATIKA DASAR Gunakan Petunjuk A dalam menjawab soal nomor 1 sampai nomor 16. 1. Sebuah garis h yang melalui titik asal memotong kurva 2y = 3x2 − 2x + 1 di dua titik di mana jumlah nilai x-nya adalah 10, maka gradien dari garis h adalah ....

(A) −1 3 (B) 2 (C) 6

4. Hasil perkalian dari nilai-nilai x yang memenuhi x2 10000 = 2(10 log x)−8 adalah .... 10000 x

(A) 102 (B) 103 (C) 104

(D) 105 (E) 107

5.

(D) 14 (E) 15 3 3 9 15 2. Diketahui sebuah barisan , , , , ... . Jumlah 2 4 8 16 sepuluh suku pertama dari barisan tersebut adalah .... 1 − 2−10 3 −2−10 − 1 10 − 3 −10 2 −1 10 + 3 −2−10 − 1 3 10

(A) 10 + (B) (C) (D) (E)

c Universitas Indonesia

2 31
(A)

(D) 9 < b < 31 (E) 43 < b < 45

3. Jika diketahui x dan y adalah bilangan riil dengan x x > 1 dan y > 0. Jika xy = xy dan = x5y , maka y x2 + 3y = ....

(A) 29 (B) 28 (C) 27

Jika luas dari gambar di atas adalah 40 satuan luas dan jika 3 < a < 5, maka ....

(D) 26 (E) 25

6. Diketahui bahwa jika Deni mendapatkan nilai 75 pada ulangan yang akan datang, maka rata-rata nilai ulangannya adalah 82. Jika Deni mendapatkan nilai 93, maka rata-rata nilai ulangannya adalah 85. Banyaknya ulangan yang sudah diikuti Deni adalah ....

(A) 3 (B) 4 (C) 5

(D) 6 (E) 7

Halaman 1 dari 12 halaman

Kode Naskah Soal: 7. Sebuah dadu dilempar sebanyak 6 kali. Peluang munculnya angka yang lebih besar atau sama dengan 5 dalam minimal 5 kali pelemparan adalah ....

(A) (B) (C) (D) (E)

13 729 12 729 11 729 3 729 2 729 a

z

log b

!

log

(A) −10 (B) −6 (C) 0

(D) 6 (E) 10

9. Jika garis singgung parabola y = 4x − x2 di titik M (1, 3) juga merupakan garis singgung √ parabola y = x2 − 6x + k, maka nilai dari 5 − k − 1 adalah ....

(A) 0 (B) 1 (C) 2

(D) 3 (E) 4

10. Nilai maksimum dari k di mana

5 − cos(2θ) ≥ 2k sin(θ)

dan 0 < θ ≤ π adalah ....

(D) 6 (E) 7

1 2 . Jika y ≤ 1 + dan 0 ≤ x ≤ 2π, csc x y maka nilai x yang memenuhi adalah ....

11. Diketahui y =

π 2 π (B) 0 < x ≤ 2 (C) 0 ≤ x ≤ π

(A) 0 < x <

(D) 0 < x ≤ π (E) 0 < x < π


sin 2(x − 1) = .... 1 (x2 − 2x + 1) cot (x − 1) 2

1 4 1 (B) 2 (C) 1

(A)

(E) 4

1 merupakan 1 z matriks singular. Maka a log b3 a +z log a.b log z 2 = ....

(A) 3 (B) 4 (C) 5

x→1

(D) 2

2 8. Diketahui A =

12. lim

221

13. Dari sehelai karton akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup dengan alas persegi. Jika jumlah luas bidang alas dan semua bidang sisi kotak adalah 192 cm2 , maka volume kotak terbesar yang mungkin adalah ....

(A) 256 cm3 (B) 320 cm3 (C) 364 cm3 (D) 381 cm3 (E) 428 cm3 14. Jika diketahui xyz = 26 dan (2 log x)(2 log yz) +p(2 log y)(2 log z) = 10 dengan x, y, z ≥ 0, maka 2 log2 x +2 log2 y +2 log2 z = ....

(A) 2 (B) 3 (C) 4

(D) 5 (E) 6

15. Jika  diketahui  a + b + c = 18 a2 + b2 + c2 = 756  a2 = bc maka a = ....

(A) −18 (B) −12 (C) 1

(D) 12 (E) 18

16. Jika kedua akar persamaan px2 + 8x + 3p = 0 bernilai negatif, maka jumlah kuadrat kedua akar-akar tersebut akan bernilai ....

(A) maksimum 30 (B) minimum 30 (C) minimum 6 (D) maksimum 6 (E) minimum −15/2


Kode Naskah Soal:

221

Gunakan Petunjuk C dalam menjawab soal nomor 17 sampai nomor 20. 17. Apabila k = x + y, maka k 2 − k = 1 dan apabila k = x − y, maka k 2 + k = 1, maka x + y = .... 1 1√ 5 + 2 2 1 (2) 2 1 1√ (3) − 5 2 2 1√ (4) 5 2 (1)

18. Misalkan f : R → R dan g : R → R, f (x) = x + 2 dan (g ◦ f )(x) = 2x2 + 4x − 6. Misalkan juga x1 dan x2 adalah akar-akar dari g(x) = 0, maka x1 + 2x2 = .... (1) 0 (2) 1 (3) 3 (4) 5 p y 2 + 3y − 1 y 2 + 2y + 1, ,y − 1 3 adalah tiga suku barisan aritmatika, maka nilai suku kedua yang memenuhi adalah ....

19. Jika diketahui

(1) −1 (2) −2 (3) 1 (4) 2 20. Diketahui bahwa x2 + 2xy + 2y 2 = 13 dengan x dan y adalah bilangan bulat. Nilai x − y yang mungkin dengan x > 0 dan y > 0 adalah .... (1) 4 (2) 1 (3) −4 (4) −1




: : : : :

222


MATEMATIKA DASAR Gunakan Petunjuk A dalam menjawab soal nomor 1 sampai nomor 18. 1. Jika diketahui f (n) =2 log 3 ·3 log 4 ·4 log 5...n−1 log n, maka f (8) + f (16) + f (32) + ... + f (230 ) = ....

(A) 461 (B) 462 (C) 463

(D) 464 (E) 465

2. Syarat agar persamaan (p − 2)x4 + 2px2 + (p − 1) = 0 mempunyai 4 akar riil yang berbeda adalah ....

(A) 0 < p < 2 (B) p < −1 atau p > 2 (C) 0 < p < 1 (D) 2/3 < p < 1 (E) 0 < p < 2/3 √ 1 ax2 + bx − x = , maka bilangan 3. Misalkan lim x→4 x2 − 16 2 bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan a − 2b adalah ....

(A) −5 (B) 2 (C) 6

(D) 7 (E) 8

4. Jumlah dari semua bilangan bulat x yang memenuhi pertidaksamaan x−2 6 x+1 < < adalah .... 11 7 5

(A) 33 (B) 60 (C) 77

(D) 253 (E) 300

5. Pada suatu ulangan Matematika, ternyata nilai Nita salah karena adanya kesalahan pencatatan oleh gurunya. Nilai Nita sebenarnya adalah empat kali dari nilai yang dicatat oleh gurunya. Ketika guru Matematika Nita mengoreksi kesalahannya, rata-rata nilai ulangan kelas Nita naik 2 poin. Jika kelas Nita terdiri dari 30 orang (termasuk Nita), maka nilai ulangan Nita yang sebenarnya adalah ....

(A) 50 (B) 60 (C) 70

(D) 80 (E) 90


(A) 0 (B) 1 (C) 2 7. Jika sin(x) = a, maka

(D) 3 (E) 4 1 1 + √ = .... 2 a a 1 − a2

(A) sin2 (x). tan2 (x) (B) sec2 (x). cos(x) (C) cos(2x).(x) (D) sec(2x). tan2 (x) (E) (1 + cot(x))/ sin(x). cos(x) 8. Jika kedua akar persamaan px2 + 8x + 3p = 0 bernilai negatif, maka jumlah kuadrat kedua akar-akar tersebut akan bernilai ....




Kode Naskah Soal: 9. Seseorang membeli dua macam tablet: tablet A dan tablet B sebagai suplemen harian yang masing-masing mengandung elemen X dan Y . Banyaknya elemen X pada tablet A dan B masing-masing adalah 100 mg dan 200 mg, sedangkan banyaknya elemen Y yang terkandung pada tablet A dan B masing-masing adalah 400 mg dan 200 mg. Orang tersebut ingin suplemen harian yang dikonsumsi dari kedua tablet ini mengandung tidak kurang dari 0,6 g tetapi tidak lebih dari 1,6 g elemen X dan mengandung tidak kurang dari 1,2 g tetapi tidak lebih dari 2,8 g elemen Y . Jika banyaknya tablet setiap hari adalah a tablet A dan b tablet B, di mana a dan b adalah nilai yang membuat total tablet yang dikonsumsi sedikit mungkin, maka a + b adalah ....

(A) 4 (B) 7 (C) 8

10. Jumlah dari semua kemungkinan jawaban persamaan x = |3x − |35 − 3x|| adalah ....

(A) 12 (B) 35 (C) 40

(D) 42 (E) 47

11. Garis l sejajar dengan garis 4x − y − 3 = 0 dan melalui titik (1, 5). Garis l tersebut juga memotong sebuah parabola yang melalui tiga titik (0, −1),(1, 1), dan(−1, −1) di titik P dan Q. Jumlah absis P dan Q adalah ....

(A) −2 (B) −1 (C) 0

12. Diketahui dalam sebuah ruangan terdapat tiga kelompok orang, yaitu kelompok ibu sebanyak 3 orang, kelompok bapak sebanyak 4 orang, dan kelompok anak sebanyak 2 orang. Mereka hendak duduk pada sebuah bangku panjang. Peluang bahwa mereka akan duduk berdampingan berkelompok adalah ....

(A) (B) (C) (D) (E)

(D) 10 (E) 12

(D) 3 (E) 4

222

13.

1 140 1 210 1 1260 1 2520 1 7560

54022 − 54018 = .... 54020 − 54016

(A) 1 (B) 3 25 (C) 4 25 (D) 2 (E) 25 14. Jika diketahui x dan y adalah bilangan riil dengan x x > 1 dan y > 0. Jika xy = xy dan = x5y , maka y x2 + 3y = ....

(A) 29 (B) 28 (C) 27

(D) 26 (E) 25

15. Diketahui f : R → R yang memenuhi f (f (x)) = (x + 1)f (x) − x. Maka f (1) = ....

(A) −1 (B) 0 (C) 1


(D) 2 (E) 3


Kode Naskah Soal:

222

p √ 16. Diketahui f (x) = 2 − 2x + 3 dan xT adalah nilai tengah dari domain f (x). Maka [f (xT )]2 = .... 1 2 √ (B) 2 − 5

(A) −

(C) 0 p √ (D) 2 − 2 √ (E) 2 − 2 17. Diketahui bahwa f (x) adalah fungsi kuadrat yang memenuhi pertidaksamaan x2 − 2x + 3 ≤ f (x) ≤ 2x2 − 4x + 4 untuk semua bilangan riil x. Jika diketahui bahwa f (5) = 26, maka f (7) = ....

(A) 38 (D) 74 (B) 50 (E) 92 (C) 56 18. Jika √ √ y(x) = ( 3 sin(x) + cos(x))(3 3 cos(x) − 3 sin(x)), maka nilai minimum dari y(x) adalah .... (A) −6 (B) −3 (C) 0

(D) 3 (E) 6

Gunakan Petunjuk C dalam menjawab soal nomor 19 sampai nomor 20. 19. Apabila k = x + y, maka k 2 − k = 1 dan apabila k = x − y, maka k 2 + k = 1, maka x + y = .... 1 1√ + 5 2 2 1 (2) 2 1 1√ (3) − 5 2 2 1√ (4) 5 2 20. Diketahui matriks A2×2 = [aij ] = ij, B2×2 = [bij ] = i − j dan C2×2 = [cij ] = |i − j|. Pernyataan berikut ini yang BENAR adalah .... (1)

(1) Jika A + B = C + D, maka D2×2 = [dij ] = ij. (2) Jika AB = XC, maka X = [xij ] = −(ij). (3) B tidak mempunyai invers. (4) A matriks singular.




: : : : :

223


MATEMATIKA DASAR Gunakan Petunjuk A dalam menjawab soal nomor 1 sampai nomor 17. 4 = −1, maka diskriminan dari cos(x) persaman kuadrat p sin(x)a2 + cos(x)a − cos(x) = 0 adalah ....

1. Jika 4 sin(x) −

(A) −4 (B) −2 (C) 0

(D) 2 (E) 4

2. Jika f (2) = 3, f 0 (2) = 4, g(2) = 2 dan g 0 (2) = 5, d 2 [f (x) + g 3 (x)] dx maka untuk x = 2, nilai dari d [f (g(x))] dx adalah ....

(A) 3,6 (B) 4,2 (C) 4,8

(D) 5,6 (E) 7

3. Jika (a + b + c + d + e + f + g + h + i + j)2 diuraikan dan disederhanakan, maka banyaknya suku yang berbeda adalah ....

(A) 10 (B) 20 (C) 45

(D) 55 (E) 100

4. Ahmad dan Aisyah adalah teman satu sekolah di sebuah SMA di kota Depok. Saat ini mereka duduk di kelas 1. Mereka mencatat jumlah seluruh siswa kelas 1 di sekolah mereka. Aisyah mencatat, 5/17 dari temannya di kelas 1 adalah laki-laki, sedangkan menurut catatan Ahmad, 2/7 dari temannya di kelas 1 adalah laki-laki. Jika catatan mereka berdua tidak salah, maka banyaknya jumlah siswa perempuan kelas 1 di sekolah mereka adalah ....

(A) 35 (B) 55 (C) 65

(D) 85 (E) 120

5. Jika −3 ≤ x ≤ 4, −2 ≤ y ≤ 5, 4 ≤ z ≤ 10, dan w = z − xy, maka nilai terbesar yang mungkin untuk w adalah ....

(A) 10 (B) 16 (C) 18 √ 6. Jika 2 + 2 cos 2x = √

(D) 25 (E) 30

3 untuk 1 + 4 cos 2x 0 < x < 2π, 4 cos 2x 6= −1, maka jumlah nilai x yang memenuhi adalah ....

(A) 720o (B) 480o (C) 390o

(D) 360o (E) 240o

7. Banyaknya bilangan ratusan kelipatan 5 yang dapat disusun dari digit 0, 1, 2, 3, 4, 5 dengan digit yang berbeda adalah ....

(A) 24 (B) 30 (C) 32


(D) 36 (E) 40


Kode Naskah Soal: 8. Jika diketahui x dan y adalah bilangan riil dengan x x > 1 dan y > 0. Jika xy = xy dan = x5y , maka y x2 + 3y = ....

(A) 29 (B) 28 (C) 27

(D) 26 (E) 25

9.

223

10. Dua buah parabola mempunyai titik puncak yang sama. Parabola pertama memotong sumbu-x di titik (a,0) dan (b,0) serta memotong sumbu-y di (0,−32). Parabola kedua definit positif dan memotong sumbu-y di (0,40). Jika a dan b dua bilangan bulat positif pertama yang habis dibagi 4, maka persamaan parabola kedua adalah ....

(A) y = x2 + 40 (B) y = x2 − 32 (C) y = x2 − 12x − 32 (D) y = x2 + 12x + 40 (E) y = x2 − 12x + 40 11. Jika garis singgung parabola y = 4x − x2 di titik M (1, 3) juga merupakan garis singgung √ parabola y = x2 − 6x + k, maka nilai dari 5 − k − 1 adalah ....

Dalam sebuah bujursangkar dibuat empat buah persegi panjang yang sama sehingga terdapat bujursangkar kecil di dalamnya (seperti tampak dalam gambar). Jika diketahui luas bujursangkar besar adalah sembilan kali lebih besar dari luas bujursangkar kecil, maka perbandingan sisi panjang dan sisi pendek dari persegi panjang adalah ....

(A) (B) (C) (D) (E)

5 4 4 3 3 2 2 5 2

(A) 0 (B) 1 (C) 2

(D) 3 (E) 4

12. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut r x2 + 2x − 3 x − 1 < x2 − x − 6 x + 2 adalah .... 1 (A) x x < −3 ∪ −2 < x ≤ − , x ∈ R . 3 1 (B) x x ≤ −3 ∪ −2 < x < − , x ∈ R 3 1 (C) x x < − ∪ 1 < x < 3, x ∈ R 3

(D) {x |x ≤ −3 ∪ −2 < x ≤ 1, x ∈ R} (E) {x |−3 ≤ x < −2 ∪ 1 ≤ x < 3, x ∈ R} . 13. Jika kedua akar persamaan px2 + 8x + 3p = 0 bernilai negatif, maka jumlah kuadrat kedua akar-akar tersebut akan bernilai ....




Kode Naskah Soal: 14. Sebuah lingkaran memiliki jari-jari log a2 dan keliling log b4 , maka a log b = .... 1 4π 1 (B) π (C) π

(E) 102π 15. Misalkan a dan b adalah sudut lancip yang dibentuk oleh sumbu-x dengan garis singgung kurva y = −x2 + 6x − 8 di titik potong kurva tersebut dengan garis y = 2x − 5, maka sin(a − b)= ....

(B) (C)

√3 15

(D)

4 17

1 1√ 5 + 2 2 1 (2) 2 1 1√ (3) − 5 2 2 1√ (4) 5 2 (1)

(D) 2π

1 4 1 2

Gunakan Petunjuk C dalam menjawab soal nomor 18 sampai nomor 20. 18. Apabila k = x + y, maka k 2 − k = 1 dan apabila k = x − y, maka k 2 + k = 1, maka x + y = ....

(A)

(A)

223

19. Jika persamaan matriks D−1 B −1 − D−1 C −1 = A, A 6= 0, maka pernyataan tersebut setara dengan .... (1) BD = CD

√

(2) B = C (3) ABD = ACD

17

(4) B −1 − C −1 = DA

(E) 4 16. Jika titik A(a, c) dan B(b, d) adalah dua buah titik berbeda yang terletak pada kurva y = x2 + x + 3, maka garis AB akan memotong sumbu-y pada .... a+b+3 ab − 3 (B) y = a2 + a + 3

(A) y =

20. Pada segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di C, besar ∠A = 15o dan panjang sisi AB= 5 cm. Titik D pada sisi AB sedemikian sehingga CD tegak lurus AB dan ∠BCD = ∠A. Pernyataan berikut ini yang BENAR adalah .... (1) AD = 5 sin2 15o (2) CD = 5 sin 15o cos 15o

(C) y = b2 + b + 3

(3) AD < CD

(D) y = a2 − b2 + 3

(4) BD < AD

(E) y = 3 − ab 17. Misalkan rata-rata nilai ujian Matematika dari 30 siswa adalah 8,4. Jika nilai yang terkecil tidak diperhitungkan, maka rata-ratanya menjadi 8,5, sedangkan jika nilai terbesarnya tidak diperhitungkan, maka rata-ratanya menjadi 8,2. Jangkauan dari nilai ujian Matematika adalah ....

(A) 6,7 (B) 7,4 (C) 7,8


(D) 8,2 (E) 8,7



: : : : :

224


MATEMATIKA DASAR Gunakan Petunjuk A dalam menjawab soal nomor 1 sampai nomor 18. 1 , maka 2 sin(4x) + 2 sin(6x) + sin(8x) = ....

1. Jika cos(2x) + cos(4x) =

(E) 0 ≤ x ≤ 14 p p √ √ 5+2 x− 5−2 x √ = .... 5. lim x→0 x

(C) cos(x) + cos(2x) (D) cos(2x) + cos(4x) (E) sin(2x) + cos(4x) 2. Jika setiap anggota dari himpunan 5, 6, 7, ..., 20 dikalikan dengan setiap anggota dari himpunan 21, 22, ..., 30, maka penjumlahan dari semua hasil kali tersebut adalah ....

(D) 51000 (E) 51500

3. Diketahui f (x) = ax2 + (b + 1)x − (a + b + 1) memotong sumbu-x di dua titik yang berbeda. Jika f (x) dibagi x mempunyai sisa −(a + 6), maka a dipenuhi oleh ....

(B) −3 < a < 3 (C) a 6= −3

(B) −2 ≤ x ≤ 0 (D) −2 < x < 0

(B) sin(x) + sin(2x)

(A) a < −3 atau a > 3

(A) −2 ≤ x ≤ 14 (C) 0 < x ≤ 14

(A) sin(2x) + sin(4x)

(A) 49500 (B) 50000 (C) 50500

4. Nilai x yang memenuhi 2 log x ≤ log(3x + 7) + 2 log 2 adalah ....

(A) (B) (C) (D) (E)

2 √ 2 5 √ 2 5 2√ 5 5 4 √ 5 5 4√ 5 5

6. Jika diketahui tan 2α + cot α = 0 untuk 0◦ < α < 180◦ , maka nilai sin 2α = ....

(A) −1 (B) −0, 5 (C) 0

(D) 0,5 (E) 1

(D) a < −2 atau a > 8 (E) −2 < a < 8



Kode Naskah Soal: 7. Diketahui sebuah segitiga mempunyai tinggi t satuan dan alas a satuan. Dengan ukuran tinggi bertambah x satuan terbentuk segitiga baru. Berapa alas harus dikurangi supaya luas segitiga baru sepertiga dari segitiga semula? ax t+x a+x (B) 3(t + x) a+x (C) 6(t + x)

(A)

10. Jikapenyelesaian dari pertidaksamaan π π ≥ −1 untuk − < x < π adalah tan x + 3 2 aπ ≤ x ≤ bπ atau cπ ≤ x < dπ, maka nilai dari c a − d + = .... b 3 2 5 − 8 9 8 5 4 15 4

(A) − (B) (C)

(D)

a(2t + 3x) 3(t + x)

(D)

(E)

a(3t + 2x) 3(t + x)

(E)

2 1 8. Jika matriks A = , maka matriks B yang 3 5 memenuhi A + B T = (A − B)T adalah .... 2 3 (A) 1 5 0 2 (B) −2 0 0 −2 (C) 2 0 0 1 (D) −1 0 0 −1 (E) 1 0 9. A dan B berjalan menuju C dari dua tempat yang berbeda dengan waktu yang sama. Jika ∠CAB = 30o dan ∠CBA = 45o , maka perbandingan kecepatan A dengan kecepatan B agar mereka sampai di C pada saat yang bersamaan adalah .... √ (A) 1 : 2 √ (B) 2 : 1 √ √ (C) 2 : 3 √ √ (D) 3 : 2 √ (E) 3 : 1


224


(A) 0 (B) 1 (C) 2

(D) 3 (E) 4

12. Jika f (0) = 0 dan f 0 (0) = 2, maka turunan dari f (f (f (f (f (f (x)))))) di x = 0 adalah ....

(A) 128 (B) 64 (C) 32

(D) 16 (E) 8

13. Jika diketahui x dan y adalah bilangan riil dengan x x > 1 dan y > 0. Jika xy = xy dan = x5y , maka y x2 + 3y = ....

(A) 29 (B) 28 (C) 27

(D) 26 (E) 25

14. Titik yang memaksimumkan 3x + 2y yang memenuhi sistem pertidaksamaan linier y ≤ 2x, y ≥ 20, x + y ≤ 60 adalah ....

(A) (10, 20) (B) (40, 20) (C) (20, 40)

(D) (60, 0) (E) (0, 60)


Kode Naskah Soal: 15. 3 orang siswa kelas X, 4 orang siswa kelas XI dan 2 orang siswa kelas XII dipanggil ke ruang kepala sekolah. Kepala sekolah akan menunjuk 2 orang siswa sebagai ketua dan sekretaris mewakili sekolah untuk mengikuti rapat teknis porseni tingkat kabupaten. Peluang terpilih keduanya dari kelas yang berbeda dan ketua harus berasal dari kelas yang lebih tinggi dari sekretaris adalah ....

(A) (B) (C) (D) (E)

(D) (E)

(D) 8,5 (E) 9

17. Jika kedua akar persamaan px2 + 8x + 3p = 0 bernilai negatif, maka jumlah kuadrat kedua akar-akar tersebut akan bernilai ....



(A)

(C)

16. Nilai rata-rata matematika di suatu kelas yang jumlah siswanya 22 orang adalah 5 dengan jangkauan 4. Jika nilai siswa yang paling rendah dan yang paling tinggi tidak disertakan, maka nilai rata-ratanya berubah menjadi 4,9. Nilai siswa yang tertinggi adalah ....

(A) 7 (B) 7,5 (C) 8

18. Sebuah kotak berisi 2 koin Rp200, 4 koin Rp500, dan 6 koin Rp1000. 6 koin diambil tanpa pengembalian, di mana setiap koin memiliki peluang terpilih yang sama. Peluang bahwa enam koin yang terambil memiliki jumlah minimal Rp5000 adalah ....

(B)

7 36 13 36 14 36 20 36 26 36

224

37 924 91 924 127 924 132 924 262 924

Gunakan Petunjuk C dalam menjawab soal nomor 19 sampai nomor 20. 19. Diberikan (x − 1)2 (x − 4)2 < (x − 2)2 . Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah .... √ √ (1) x|2 − 2 < x < 3 − 3 √ √ (2) x|3 − 3 < x < 3 + 3 √ √ (3) x|2 + 2 < x < 3 + 3 √ √ (4) x|x < 2 − 2 atau x > 3 + 3 20. Apabila k = x + y, maka k 2 − k = 1 dan apabila k = x − y, maka k 2 + k = 1, maka x + y = .... 1 1√ + 5 2 2 1 (2) 2 1 1√ (3) − 5 2 2 1√ 5 (4) 2 (1)


PEMBAHASAN SIMAK UI 2012 MATEMATIKA DASAR Kode: 221

1. Persamaan umum garis adalah = + . Karena ℎ melalui titik asal (0,0), maka = . Kemudian karena memotong kurva 2 = 3 − 2 + 1 maka 2

=3

− (2 + 2 ) + 1 = 0

−2 +13

Maka jumlah nilai -nya adalah

+

=

 10 =



= 14. Jawaban: (D)

2. Perhatikan bahwa 3 3 9 15 2+1 2 −1 2 +1 2 −1 , , , ,… = , , , ,… 2 4 8 16 2 2 2 2 Maka jumlah sepuluh suku pertama dari barisan tersebut adalah 2+1 2 −1 2 +1 2 −1 2 −1 + + + + ⋯+ 2 2 2 2 2 (2 + 2 ) + (2 − 2 ) + (2 + 2 ) + (2 − 2 ) + ⋯ + (2 − 2 ) = 2 10.2 + (2 − 2 ) + (2 − 2 ) + ⋯ + (2 − 2 ) = 2 2 (2 − 1) + 2 (2 − 1) + ⋯ + 2 (2 − 1) = 10 + 2 2 +2 +⋯+ 2 = 10 + 2 2 ((2 ) − 1) 2 −1 = 10 + 2 1−2 = 10 + 3 Jawaban: (A) 3. Perhatikan bahwa, =  log =  log = − 1 ......(1) dan =  log = 5  log = 1 − 5 ......(2) Dari (1) dan (2) maka diperoleh

−1= 1−5 

Sehingga diperoleh pula . =



Jadi,

=



= 1/3 = 27.

+ 3 = 27 + 3. = 28 . Jawaban: (B)

www.kitabsimakui.com

4. Perhatikan bahwa =

(

= 10



)

 = 10  log 10 = 2 log − 6  =2 −6 Maka hasil kali nilai-nilai log(

( = log 10)

2 − 6 + 8 = 0. yang memenuhi adalah ) = log

+ log

=

+

=

6 =3 2

= 10



Jawaban: (B) 5. Luas daerah bangun pada gambar adalah =( + ) − = 40 ( + ) = 40 + Dengan batasan 3 <

 < 5, maka 3<

= √40 +

−

40 +

<5

−

 3 + < √40 + <5+ 9+6 + < 40 + < 25 + 10 +  6 < 31 atau 10 > 15 

<

<

Jawaban: (B) 6. Misalkan banyak ulangan yang telah dilakukan Deni adalah − 1 dengan jumlah semua nilai adalah . Jika ulangan yang berikutnya adalah 75, maka = 82 

+ 75 = 82 ......(1)

Dan jika ulangan berikutnya adalah 93, maka = 85 

+ 93 = 85 ......(2)

Dengan mengeliminasi (2) dan (1) maka diperoleh 18 = 3  = 6 Jawaban: (D) 7. Peluang munculnya kejadian : angka lebih besar atau sama dengan 5 pada pelemparan satu kali mata dadu adalah

( ) ( )

=

({ , }) ( )

= = .

Jika dadu dilempar enam kali, peluang kejadian terjadi pada minimal lima kali pelemparan adalah tepat terjadi lima kali + terjadi tepat enam kali, yaitu 1 2 1 6.2 1 13 . + = + = 3 3 3 3 3 729 Jawaban: (A) www.kitabsimakui.com

8. Karena

adalah matriks singular maka det

= 0  2 − log . log = 0  2 + log log = 0  log = −2

Akibatnya, log

+ log . log

= 3 log + log + 2 log . log 1 = 3(−2) + 1 + 2 − = −6 2 Jawaban: (B) 9. Gradien garis singgung = 4 − di titik (1,3) adalah (1) = (1) = 4 − 2 | = 2. ( ) Sehingga diperoleh garis singgung = 2 − 1 + 3. Karena garis singgung kurva tersebut sama dengan kurva = − 6 + maka jelas memiliki gradien yang sama = = 2 − 6  2 − 6 = 2  = 4 sehingga diperoleh pula = 2(4 − 1) + 3 = 9. Akibatnya, 9 = 4 − 6.4 +  = 17. Jadi diperoleh 5 − √ − 1 = 5 − √16 = 1. Jawaban: (B) 10. Perhatikan bahwa ( ) = Karena sehingga

≤

(

)

=

, agar

=

+ sin .

maksimum maka fungsi di atas harus maksimum

( ) = 0, yaitu ( )=

2 cos + cos sin

=0 =0



 2 cos (1 + sin ) = 0  cos = 0  = Jadi,

=

=

+ sin = 3. Jawaban: (A)

11. Perhatikan bahwa ≤1+    

(

)(

≤0 )

≤0

≤ −1 atau 0 <

≤2

≤ −1 atau 0 <

≤2

 sin ≤ −1  sin = −1 atau 0 < sin ≤ 2  0 < sin ≤ 1 

=

atau 0 <

≤ Jawaban: (D)


12. Perhatikan bahwa, 1 sin 2( − 1) tan 2 ( − 1) sin 2( − 1) 1 lim = lim = 2. = 1 1 → → ( − 1)( − 1) 2 ( − 2 + 1) cot ( − 1) 2 Jawaban: (D) 13. Jumlah luas bidang alas dan semua bidang sisi kotak adalah = +4 = + 4 = 192  = =

Volume kotak adalah

× =

=

= 48 − = 0 yaitu

Agar Vvolume kotak sebesar mungkin maka 48 −

=0

= 48. = 64 =8

 Jadi,

.

= 48.8 − 8 = 384 − 128 = 256. Jawaban: (A)

14. Perhatikan bahwa, ( log )( log ) + ( log )( log ) = 10  log log + log log + ( log )( log ) = 10 Dengan memisalkan log = , log = , dan log = , maka log

+ log

= =

+ log

( + + ) − 2(

( log + log + log ) − 2 log =

( log

=

) − 2.10 =

+

+

+ )

+

log + ( log )( log )

log + log

( log 2 ) − 20 = √36 − 20 = 4 Jawaban: (C)

15. Perhatikan bahwa ( +

+ ) = + + + 2( + + 18 = 756 + 2( ( + ) + ) 324 − 756 = 2( (18 − ) + ) −216 = 18  = −12

)

Jawaban: (B) 16. Karena kedua akar negatif maka yaitu 64 − 12

≥0 +

=(

≤ +

+ artinya ) −2

=− <0 =

> 0 dan diskriminan

≥0

adalah maksimum. Akibatnya =

64

−6 =

64 −6=6 64 12

adalah nilai minimum. Jawaban: (C) www.kitabsimakui.com

17. Karena yaitu

+

=

maka

+

,

−

adalah akar-akar dari persamaan

=

− 1 = 0,

−1 ± (1) − 4(1)(−1) 2.1 −1 ± √5 = 2 Jawaban: (1) dan (3)

18. Perhatikan bahwa

Jadi,

+2

( ∘ )( ) = ( ) 2 + 4 − 6 = ( + 2) ( ) = 2( − 2) + 4( − 2) − 6 =2 −8 +8+4 −8−6 = 2 −4 −6 = (2 + 2)( − 3) = −1 atau = 3 = −1 + 2.3 = 5 atau + 2 = 3 + (−2) = 1 Jawaban: (2) dan (4)

19. Perhatikan bahwa, + 2 + 1 = ( + 1) = | + 1| = −1 = −2  = −1. Di sisi lain, +3 −1 = − = − ( + 1) 3 =

Maka, 2 =

−

 −1 =  −3 = −4  =1  = ±1 Akibatnya, suku keduanya adalah 1. Untuk

= 1 maka

2. Untuk

= −1 maka

=

=1

= −1 Jawaban: (2) dan (4)

20. Perhatikan bahwa, +2

+2 = +2 + + 13 = ( + ) + Dua bilangan kuadrat bulat yang mungkin dengan jumlah 13 adalah 4 dan 9. Akibatnya, jika ( + ) = 4 dan = 9 maka = 3 dan = −1 tidak mungkin karena > 0. Kemudian jika ( + ) = 9 dan = 4 maka = 2 dan = 1. Jadi, − = −1 − 3 = −4 atau − = 1 − 2 = −1 Jawaban: (4) www.kitabsimakui.com


1. Perhatikan bahwa, ( ) = log 3 log 4 log 5 … = log

log

Akibatnya, (8) + (16) + ⋯ + (2 ) = (2 ) + (2 ) + ⋯ + (2 ) = log 2 + log 2 + ⋯ + log 2 = 3 + 4 + ⋯ + 30 (28 barisan aritmetika dengan = 3, = 1) 28 (2.3 + 27.1) = = 2 = 14(6 + 27) = 14.33 = 462 Jawaban: (B) 2. Dengan memisalkan

=

maka diperoleh ( − 2) + 2 + ( − 1) = 0 Agar persamaan kuadrat di atas memiliki akar-akar riil berbeda maka (2 ) − 4( − 1)( − 2) > 0  4 − 4( − 3 + 2) > 0 3 −2 >0

> 0, yaitu

>



Jawaban: (D) 3. Jika

→ 4, maka penyebut

− 16 = 16 − 16 = 0. Agar terdefinisi menjadi maka

pembilang juga harus 0, yaitu (4) + (4) − √4 = 0  16 + 4 = 2.....(1) Kemudian karena maka dengan menggunakan metode L’hospital diperoleh 2

+

lim

2

→

√

.

−

1 1 2√ = 2

= 8 + − =4

8 +

=

.......(2)

Dengan mengalikan 4 pada persamaan (2) kemudian menguraninya dengan persamaan (1) maka diperoleh 16 = 13  Jadi,

−2 =

+

=

=

sehingga

=

− 8.

=−

= 6 . Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari 6

adalah 6. Jawaban: (C)


4. Perhatikan bahwa −2 6 +1 < < 11 7 5 − 2 < atau + 1 >

 

<

= 11 atau 3 <

>

=3

< 11

Bilangan bulat yang memenuhi adalah 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, dan 11 Jumlahnya adalah (4 + 11) + (5 + 10) + (6 + 9) + (7 + 8) = 4 × 15 = 60. Jawaban: (B) 5. Misalkan nilai ulangan Nita yang tercatat oleh gurunya = . Diketahui setelah diperbaiki nilai ulangan Nita sebenarnya adalah = 4 dan rata-rata barunya adalah ̅ + 2. Perhatikan bahwa, ̅ baru = ̅ + 2 

=

+ 2 (A adalah total nilai 29 anak selain Nita)  

+

=

+



=

+ 60

= 60 

+ 60 = 80 Jawaban: (D)

=4 − di titik (1,3) adalah (1) = (1) = 4 − 2 | = 2. Sehingga diperoleh garis singgung = 2( − 1) + 3. Karena garis singgung kurva tersebut sama dengan kurva = − 6 + maka jelas memiliki gradien yang sama = = 2 − 6  2 − 6 = 2  = 4 sehingga diperoleh pula = 2(4 − 1) + 3 = 9. Akibatnya, 9 = 4 − 6.4 +  = 17.

6. Gradien garis singgung

Jadi diperoleh 5 − √ − 1 = 5 − √16 = 1. Jawaban: (B) 7. Dengan

= sin( ), perhatikan bahwa 1

+ =

1

=

√1 − √1 − sin

√1 −

+

√1 − + sin

sin √1 − sin cos + sin = sin cos cot 1 = + sin cos sin cos = (1 + cot )/ sin cos Jawaban: (E)


8. Karena kedua akar negatif maka yaitu 64 − 12

≥0

≤

=(

+

+

+

=− <0

artinya

=

) −2

> 0 dan diskriminan

≥0


64

−6 =

64 −6=6 64 12

adalah nilai minimum. Jawaban: (C) 9. Misalkan banyaknya tablet adalah dan adalah . Diketahui bahwa, (1) 600 ≤ 100 + 200 ≤ 1600 (2) 1200 ≤ 400 + 200 ≤ 2800 Nilai minimum dapat diperoleh dari eliminasi persamaan (1) dan persamaan (2) dengan batas minimum. Yaitu 600 = 100 + 200 1200 = 400 + 200 − −600 = −300  Jadi,

+

= 2 dan

=

.

=2

= 4. Jawaban: (A)

10. Perhatikan bahwa, = 3 − |35 − 3 | = 3 − |3 − 35| Untuk

≥



= |3 − 3 + 35| 

Untuk

<



= |3 − 35 + 3 | = |6 − 35| = 35 − 6  7 = 35 

Jadi, jumlah semua nilai

= 35. = 5.

adalah 35 + 5 = 40.

Jawaban: (C) 11. Karena garis sejajar garis 4 − − 3 = 0  = 4 − 3 yang memiliki gradien = 4, maka gradien garis adalah = = 4. Kemudian karena melalui titik (1,5) maka persamaan garis ≡ = 4( − 1) + 5 = 4 + 1. Persamaan parabola = + + melalui: - (0, −1) maka −1 = 0 + 0 +  = −1. - (1,1) maka 1 = + − 1  + = 2 - (−1, −1) maka −1 = − − 1  − = 0  = Akibatnya,

=

Jadi jumlah absis 

= 1 sehingga +

=

+

− 1.

dari titik potong dan parabola, yaitu

+

−1 =4 +1

− 3 − 2 = 0, adalah – = = 3 Jawaban: (D)

12. Banyaknya kemungkinan keseluruhan adalah ( ) = (3 + 4 + 2)! = 9! Dengan menganggap kelompok adalah satu kesatuan maka akan terdapat 3 kelompok kesatuan sehingga susunan duduk per kelompok terdapat 3!, kemudian karena www.kitabsimakui.com

kelompok ibu tedapat 3 orang maka terdapat 3!, kelompok bapak 4!, dan kelompok anak 2!. Jadi total banyaknya kemungkinannya adalah ( ) = 3! × 3! × 4! × 2! Jadi peluangnya, ( ) 3! × 3! × 4! × 2! ( )= = ( ) 9! 3.2.3.2.2 1 = = 9.8.7.6.5 210 Jawaban: (B) 13. Perhatikan bahwa, (5 − 1) 5 −5 5 = (5 − 1) 5 −5 5 = 5 = 25 Jawaban: (E) 14. Perhatikan bahwa, =  log =  log = − 1 ......(1) dan =  log = 5  log = 1 − 5 ......(2) Dari (1) dan (2) maka diperoleh

−1= 1−5 




Jadi,

=



= 1/3 = 27.

+ 3 = 27 + 3. = 28 .

15. Karena bahwa,

( ) = ( + 1) ( ) − (1) = (

 ( )=(

( ) + 1) −

(1) + 1). 1 −

Jawaban: (B) ( ), Perhatikan

(1) = 1. Jawaban: (C)

16. Karena ( ) = 2 − √2 + 3, maka syarat yang harus dipenuhi adalah:  2 − √2 + 3 ≥ 0  √2 + 3 ≤ 2 2 +3≤4  2 + 3 ≥ 0, sehingga 0≤ 2 +3 ≤4  −3 ≤ 2 ≤ 1 − ≤ Maka nilai tengah interval tersebut adalah

[ (

)] =

1 2

=

=

≤ = − . Akibatnya,

1 2 − 2. + 3 = √2 − 2 = 0 2 Jawaban: (C)


17. Perhatikan bahwa, −2 +3 ≤ ( )≤2 −4 +4 18 ≤ (5) ≤ 34 Karena (5) = 26 artinya (5) merupakan titik tengah antara 18 dan 34. Akibatnya, (7) adalah titik tengah interval 7 − 2.7 + 3 = 38 dan 2.7 − 4.7 + 4 = 74, yaitu

=

= 56. Jawaban: (C)

18. Perhatikan bahwa, ( ) = √3 sin + cos

3√3 cos − 3 sin

= 9 sin cos − 3√3 sin

+ 3√3 cos − 3 sin cos = 6 sin cos − 3√3(cos − sin ) = 3 sin 2 − 3√3 cos 2 ekstrim (min/maks) maka = 0, yaitu ( ) = 6 cos 2 + 6√3 sin 2 = 0

Agar

 6√3 sin 2 = −6 cos 2  tan 2 = − √3  2 = 150 atau 330 Jika 2 = 150 maka

= 3 sin 150 − 3√3 cos 150 = + = 6 (maksimum)

Jika 2 = 330 maka

= 3 sin 330 − 3√3 cos 330 = − − = −6 (minimum)

+

19. Karena yaitu

=

+

maka

,

=


Jawaban: (A) − − 1 = 0,

−1 ± (1) − 4(1)(−1) −1 ± √5 = 2.1 2 Jawaban: (1) dan (3)

20. Perhatikan bahwa, = +  +( − )=| − |+  = +( − )−| − | Jika = 1 dan = 2 maka = 1.2 + (1 − 2) − |1 − 2| = 2 + (−1) − 1 = 0 ≠ . (2) =  ( − )= | − | (1)

+

 = Jika = 2 dan = 1 maka (3) det Artinya

=(

.

= −

. ( |

) |

( |

) |

=2≠−

) = (1 − 1). (2 − 2) − (1 − 2)(2 − 1) . = 0 − (−1). 1 = 1 ≠ 0

memiliki invers. ) = 1.1.2.2 − 1.2.2.1 = 4 − 4 = 0 (4) det = ( . − . Artinya tidak memiliki invers atau disebut matriks singular. Jawaban: (4)



1. Perhatikan bahwa, 4 sin −

= −1 

= −1

 2 sin 2 − 4 = − cos  cos + 2 sin 2 = 4 Kemudian dari persamaan kuadrat perhatikan bahwa =

−4

= √cos − 4 sin (− cos ) = cos + 2 sin 2 = 4 Jawaban: (E)

2. Perhatikan bahwa, [

( )+

( )]

2 ( ) ( )+3 ( ) ( ) ( ) ( )

=

( ) Jika

= 2, maka 2 (2) (2) + 3 (2) (2) 2.3.4 + 3.2 . 5 24 + 60 84 = = = = 4,2 (2). 5 4.5 20 (2) (2)

Jawaban: (B) 3. Banyaknya suku yang berbeda dari suku pangkat 2 adalah banyaknya setiap pasang dari variabel yang ada yaitu . Karena terdapat 10 huruf yaitu huruf , , … , . Jadi, banyaknya suku yang berbeda adalah 4. Misalkan total siswa adalah menurut Aisyah,

=

=

. . ! !. !

= 45.

Jawaban: (C) dan banyaknya siswa laki-laki adalah , maka

( − 1) =

−

(Karena yang dihitung dalam survei

adalah teman-temannya sehingga Aisyah tidak dihitung). Sedangkan menurut Ahmad,

− 1 = ( − 1) 

=

+ (Karena Ahmad

sendiri tidak terhitung sekaligus sebagai teman laki-lakinya). Jadi, − 

=

+  =

− 

= + = 120

Jadi banyaknya teman siswi perempuan Aisyah di kelas 1 adalah

. (120 − 1) = 84

sehingga totalnya adalah 85. Jawaban: (D) harus sebesar mungkin dan

5. Karena = − , agar sebesar mungkin maka sekecil mungkin. Agar sebesar mungkin maka = 10 karena 4 ≤ ≤ 10. Agar sekecil mungkin maka pilih = −3 dan = 5 sehingga Jadi, = 10 − (−15) = 25. www.kitabsimakui.com

= −15.

Jawaban: (D) 6. Perhatikan bahwa, 3

√2 + 2 cos 2 =

√1 + 4 cos 2  √2 + 8 cos 2 + 2 cos 2 + 8 cos 2 = 3  8 cos 2 + 10 cos 2 + 2 = 9  8 cos 2 + 10 cos 2 − 7 = 0  8 + 10 − 7 = 0  (2 − 1)(4 + 7) = 0 = atau

 Jadi,

= − (tidak mungkin krn <-1)

=  cos 2 =  2 = 60 , 300 , 420 , 660 , …

 = 30 , 150 , 210 , 330 Jadi, jumlahnya adalah 30 + 150 + 210 + 330 = 720 . Jawaban: (A) 7. Karena kelipatan 5 maka angka belakang atau satuan adalah angka 0 dan 5 (2 angka). - Untuk angka satuan adalah 0 maka angka ratusan haruslah tanpa 0 sehingga terdapat 5 angka yang diperbolehkan {1,2,...,5}. Sedangkan untuk puluhan, karena 0 telah terpakai pada satuan, dan salah satu dari {1,2...5} terpakai di ratusan maka tersisa 4 angka. Jadi, banyaknya susunan angkanya adalah 1 × 5 × 4 = 20. - Untuk angka satuan adalah 5 maka angka ratusan haruslah tanpa 0 dan 5 sehingga terdapat 4 angka yang diperbolehkan {1,2,...,4}. Sedangkan untuk puluhan, karena 5 telah terpakai pada satuan, dan salah satu dari {1,2...4} terpakai di ratusan maka tersisa 4 angka + 1 angka 0 untuk satuan. Jadi, banyaknya susunan angkanya adalah 1 × 4 × 5 = 20. Jadi, banyaknya susunan angka ratusan kelipatan 5 adalah 20 + 20 = 40 Jawaban: (E) 8. Perhatikan bahwa, =

 log

=

 log

=

− 1 ......(1)

dan =

 log = 5  log

Dari (1) dan (2) maka diperoleh

−1= 1−5 




Jadi,

=



= 1 − 5 ......(2)

= 1/3 = 27.

+ 3 = 27 + 3. = 28 .

Jawaban: (B) 9. Misalkan sisi panjang dari persegi panjang adalah dan sisi pendeknya adalah . Diketahui =9  = 9  = 3 . Pada gambar dapat dilihat bahwa panjang sisi bujur sangkar besar adalah =2 + 2 = − =2  = www.kitabsimakui.com

dan sisi panjang dari persegi panjang adalah

=

+ =2  =2

Jawaban: (D) 10. Karena melalui titik ( , 0) dan ( , 0) dan dan adalah dua bilangan positif pertama yang habis dibagi delapan maka = 4 dan = 8 sehingga persamaan parabola pertama: = ( − 4)( − 8). Kemudian karena melalui (0, −32) maka −32 = (−4)(−8)  = −1. Jadi = −1( − 4)( − 8) = − + 12 − 32. Parabola ini memiliki titik puncak: −

,−

= −

,−

(

)

= (6,4).

Karena parabola kedua memiliki puncak yang sama maka persamaan parabola kedua adalah: − = −  − 4 = ( − 6) . Kemudian karena melalui (0,40) maka 40 − 4 = (−6)  = 1 Jadi, persamaan parabola 2 adalah = 1( − 12 + 36) + 4  =

− 12 + 40 Jawaban: (E)

=4 − di titik (1,3) adalah (1) = (1) = 4 − 2 | = 2. ( ) Sehingga diperoleh garis singgung = 2 − 1 + 3. Karena garis singgung kurva tersebut sama dengan kurva = − 6 + maka jelas memiliki gradien yang sama = = 2 − 6  2 − 6 = 2  = 4 sehingga diperoleh pula = 2(4 − 1) + 3 = 9. Akibatnya, 9 = 4 − 6.4 +  = 17.


Jadi diperoleh 5 − √ − 1 = 5 − √16 = 1. Jawaban: (B) 12. Perhatikan bahwa +2 −3 < − −6

−1 +2

( − 1) +2 −3 < ( + 2) − −6 ( + 3)( − 1) ( − 1) ⇔ − <0 ( + 2)( − 3) ( + 2) ( + 3)( − 1)( + 2) − ( − 1) ( − 3) ⇔ <0 ( + 2) ( − 3) ( − 1)[ + 5 + 6 − ( − 4 + 3) ⇔ <0 ( + 2) ( − 3) ( − 1)(9 + 3) ⇔ <0 ( + 2) ( − 3) 1 ⇔ − − −(−2) − − − − + + + (1) − − − (3) + + + 3 Jadi, { < −2} ∪ −2 < < − ∪ {1 < < 3}. Namun karena ada dalam akar ⇔

maka: www.kitabsimakui.com

+ 2 − 3 ( + 3)( − 1) = ≥0 ( + 2)( − 3) − −6  + + +(−3) − − − (−2) + + + (1) − − − (3) + + + Jadi, { ≤ −3} ∪ {−2 < ≤ 1} ∪ { > 3}. Akibatnya, himpunan penyelesaiannya adalah 1 { | ≤ −3 ∪ −2 < < − } 3 Jawaban: (B) +

13. Karena kedua akar negatif maka yaitu 64 − 12

≥0 =(

+

≤

=− <0

artinya

=

) −2

+

> 0 dan diskriminan

≥0


64

−6 =

64 −6=6 64 12

adalah nilai minimum. Jawaban: (C) 14. Diketahui,

= log

dan

= log

, maka =2 log = 2 log =2



 2 log = 2 Jadi, log = . Jawaban: (C) 15. Titik potong antara kurva dan garis adalah 2 −5=− +6 −8  −4 +3 =0  ( − 3)( − 1) = 0  = 3 dan = 1 Gradien garis singgung kurva pada dua absis titik potong tersebut adalah tan = = (1) = −2 + 6| =4 tan = = (3) = −2 + 6| =0 Jadi, tan( − ) =

=

=

Akibatnya, sin( − ) =

4 √4 + 1

=

4 √17

=

4 √17 17 Jawaban: (D) + 3 dan = +

16. Karena = ( , ) dan = ( , ) pada kurva maka = + + 3. Sehingga gradien dari garis AB adalah − + +3− − −3 = = − − ( − )( + + 1) − + − = = = + − − Maka persamaan yang melalui ruas garis AB adalah www.kitabsimakui.com

+1

− ( + + 3) = ( − ) = ( + + 1)( − ) Titik potong dengan sumbu adalah ketika = 0, yaitu − ( + + 3) = ( + + 1)(− )  =− − − + + +3=3− 17. Misalkan nilai terkecil , perhatikan bahwa

dan terbesar

. Dengan

+ 29

Jawaban: (E) adalah total nilai tanpa dan

= 8,5

dan + = 8,2 29 Dengan mengurangi persamaan atas dengan bawah maka diperoleh + + − = 0,3 29 29 − ⇔ = 0,3 29 − = 8,7 +

18. Karena yaitu

=

+

maka

,

=


−

Jawaban: (E) − 1 = 0,

−1 ± (1) − 4(1)(−1) −1 ± √5 = 2.1 2 Jawaban: (1) dan (3)

19. Perhatikan bahwa, − Maka (1) (

) (

(2) (3) Jika ( )

−( −

)

= . Karena ) = . Jika =

≠ 0 maka ≠ . maka A = 0, padahal ≠ 0. Jadi

≠ . maka = (karena ≠ 0 sehingga memiliki invers). Akibatnya, ) = 0 = . Padahal ≠ 0. jadi ≠ .

= −(

(

(4) Dari (2)

=

−

)=



−

= Jawaban: (4)

20.

B 5 cm D 15o 15o C

A

Perhatikan bahwa, (1) = cos 15 = ( (2) = cos 15 = ( www.kitabsimakui.com

cos 15 ) cos 15 = 5 cos 15 ≠ 5 sin 15 sin 15 ) cos 15 = 5 sin 15 cos 15

(3) Perhatikan bahwa

Sedangkan

5 = 5 cos 15 = (2 cos 15 ) 2 5 5 1 = (cos 30 − 1) = ( √3 − 1) 2 2 2 5 = √3 − 2 < 0 4 = 5 sin 15 cos 15 = sin 30 = > 0

Jadi, < (4) Perhatikan bahwa, =

sin 15 = 5 sin 15 5 5 = (2 sin 15 ) = (1 − cos 30 ) 2 2 5 1 5 = 1 − √3 = 2 − √3 > 0 2 2 4 dan berdasarkan (3) telah diperoleh bahwa < 0, maka < . Jawaban: (2) dan (3)


sin 15 =

PEMBAHASAN SIMAK UI 2012 MATEMATIKA DASAR Kode: 224 1. Perhatikan bahwa, 1 2  cos 2 + 2 cos 2 − 1 = 1/2  4 cos 2 + 2 cos 2 − 3 = 0  (2 cos 2 − 1)(2 cos 2 + 3) = 0 cos 2 + cos 4 =

 cos 2 =

 2 = 60 

= 30

Perhatikan pula bahwa sin 4 + 2 sin 6 + sin 8 = sin 120 + 2 sin 180 + sin 240 1 1 = √3 − √3 = 0 2 2 (a) sin 2 + sin 4 = sin 60 + sin 120 ≠ 0 (b) sin + sin 2 = sin 30 + sin 60 ≠ 0 (c) cos + cos 2 = cos 30 + cos 60 ≠ 0 (d) cos 2 + cos 4 = cos 60 + cos 120 = cos 60 − cos 60 = 0 (e) sin 2 + cos 4 = sin 60 + cos 120 = sin 60 − cos 60 ≠ 0 Jawaban: (D) 2. Jika setiap anggota dari {5,6, … ,20} dikalikan dengan setiap anggota dari {21,22, … ,30}, maka jumlah dari semuanya adalah = (5 + 6 + ⋯ + 20)(21 + 22 + ⋯ + 30) = . = . 16 10 (2.5 + 15.1) . (2.21 + 9.1) = 2 2 = 8(10 + 15). 5(42 + 9) = 8.25.5.51 = 200.255 = 51000 Jawaban: (D) 3. Karena ( ) dibagi bersisa – ( + 6) maka −( + 6) = (0) = 0 + 0 − ( + + 1) 6= +1 =5 Jadi, ( ) = + 6 − ( + 6). Akibatnya, agar memotong sumbu di dua titik berbeda maka diskriminan dari ( ), > 0, yaitu 36 − 4 −( + 6) > 0  36 + 4 + 24 > 0  +6 +9 >0  ( + 3) > 0  ≠ −3 Jawaban: (C)


4. Perhatikan bahwa 2 log ≤ log(3 + 7) + 2 log 2  log ≤ log (3 + 7). 2  ≤ 12 + 28  − 12 − 28 ≤ 0  ( + 2)( − 14) ≤ 0  −2 ≤ ≤ 14 Kemudian karena berada di dalam log maka >0 -

3 +7 >0

>−

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 0 <

≤ 14 Jawaban: (C)

5. Perhatikan bahwa, lim

5 + 2√ − 5 − 2√

→

√ = lim →

5 + 2√ + 5 − 2√

5 + 2√ + 5 − 2√ 5 + 2√ − 5 − 2√ √

5 + 2√ + 5 − 2√ 4√

= lim →

×

5 + 2√ + 5 − 2√

√

=

4 √5 + √5

=

4

2 = √5 2√5 5 Jawaban: (C)

6. Perhatikan bahwa, tan 2 + cot = 0  tan 2 = − cot sin 2 cos ⇔ =− cos 2 sin ⇔ sin 2 sin = − cos cos 2 ⇔ 2 cos sin sin = − cos (1 − 2 sin ) ⇔ 2 sin = (2 sin − 1)  0 = −1 Persamaan ini tidak konsisten maka tidak ada nilai yang memenuhi. Jawaban: 7. Diketahui segitiga awal dengan tinggi dan alas , maka Jika tinggi bertambah


=

.

maka menjadi + , akibatnya agar luas menjadi nya maka, 1 = = 32 ( − )( + ) ⇔ = 2 6

⇔( − )= ⇔

=

3( + ) 3 +3 − − = 3( + ) 3( + ) (2 + 3 ) = 3( + ) Jawaban: (D)

=( − ) = − . Akibatnya, 2 = − 1 0 2 2 3 2 1 0 1 − = = 1 5 3 5 −1 0 2 −2 0

+

8. Perhatikan bahwa

=

1 2

9. Jarak dari ke adalah = . , sedangkan jarak Berdasarkan aturan sinus pada segitiga maka

ke

adalah

Jawaban: (D) = . .

=

sin ∠ 

sin ∠ . =

. .



.

=



=



=

√ √

Jawaban: (B) 10. Perhatikan bahwa, tan tan

+

= −1  <

Kemudian karena

 −90 = 270 < +

≠



+++

−−−

− <

<

≤

Sehingga

atau

= 5/12 ; −

+ =

+

+1≥0

= 75 , 255 , 435 (75 ) , 615 (255 )

Jadi, −

Artinya

≥ −1  tan

+ 60 = 135 , 315 , 495 , 675

 Karena − <

+

< 180 maka

= 75 =

.

≠ +++( )

<

= 1; − +

= −1/2; dan =

− =

= 1/6 =− Jawaban: -

=4 − di titik (1,3) adalah (1) = (1) = 4 − 2 | = 2. Sehingga diperoleh garis singgung = 2( − 1) + 3. Karena garis singgung kurva tersebut sama dengan kurva = − 6 + maka jelas memiliki gradien yang sama = = 2 − 6  2 − 6 = 2  = 4 sehingga diperoleh pula = 2(4 − 1) + 3 = 9.



Akibatnya, 9 = 4 − 6.4 +



= 17.

Jadi diperoleh 5 − √ − 1 = 5 − √16 = 1. Jawaban: (B) 12. Perhatikan bahwa, ( )

= ′

( )

× ′

( )

× ′

× ′

( )

( ) × ′( )

× ′

Perhatikan bahwa (0) = 0 

(0) = (0) = 0 (0)



= (0) = 0 dst.

Maka (0) =

(0) ×

(0) ×

(0) ×

(0) ×

 log

=

(0) ×

(0) =

(0)

= 2 = 64 Jawaban: (B)

13. Perhatikan bahwa, =

 log

=

− 1 ......(1)

dan =

 log = 5  log

Dari (1) dan (2) maka diperoleh

−1= 1−5 




Jadi,

=



= 1 − 5 ......(2)

= 1/3 = 27.

+ 3 = 27 + 3. = 28 .

Jawaban: (B) 14. 60 40 20

10 20 40

60

Perhatikan bahwa, - Untuk (10,20) maka 3 + 2 = 30 + 40 = 70. - Untuk (40,20) maka 3 + 2 = 120 + 40 = 160. - Untuk (20,40) maka 3 + 2 = 60 + 80 = 140. Jadi, (40,20) memaksimumkan 3 + 2 . Jawaban: (B)


15. Kejadian dimana terpilihnya ketua dari kelas yang lebih tinggi dari sekrtaris jelas akan memberikan pilihan dari kelas yang berbeda jadi kejadian terjadi sekaligus dengan kemungkinannya: (1) Ketua dari kelas XII dan sekretaris dari kelas XI = 2.4 = 8 (2) Ketua dari kelas XII dan sekretaris dari kelas X = 2.3 = 6 (3) Ketua dari kelas XI dan sekretaris dari kelas X = 3.4 = 12 Jadi, terdapat 26 kemugkinan. Akibatnya, peluang kejadian di atas adalah ( )=

26

=

26 26 = 9.8.7! 36 2.7! Jawaban: (E)

16. Misalkan nilai terkecil dan adalah nilai terbesar serta total nilai tanpa nilai terbesar dan terkecil adalah , maka + + 22

̅= dan rata-rata tanpa

dan

adalah =5

=5

= 4,9 

= 98. Akibatnya,

+ + 98 = 110 

dengan diketahui jangkauan adalah =

−

+

= 12

= 4 maka

2 = 16  = 8 Jawaban: (C) 17. Karena kedua akar negatif maka yaitu 64 − 12

≥0 +

=(

≤ +

+ artinya ) −2

=− <0 =

> 0 dan diskriminan

≥0


64

−6 =

64 −6=6 64 12

adalah nilai minimum. Jawaban: (C) 18. Misalkan adalah kejadian terambilnya minimal jumlah 5000. Perhatikan bahwa 6 koin yang memiliki jumlah minimal 5000 adalah (1) 6 koin 1000 > 5000 maka terdapat = 1 kemungkinan (2) 5 koin 1000 + 1 koin 500 maka terdapat . = 24 kemungkinan (3) 5 koin 1000 + 1 koin 200 maka terdapat . = 12 kemungkinan (4) 4 koin 1000 + 2 koin 500 maka terdapat . = 90 kemungkinan Jadi total terdapat 127. Akibatnya peluang dari adalah www.kitabsimakui.com

( )=

127

=

127 127 = 12.11.10.9.8.7.6! 924 6.5.4.3.2.1 Jawaban: (C)

19. Perhatikan bahwa, ( − 1) ( − 4) < ( − 2)  ( − 5 + 4) − ( − 2) < 0  − 5 + 4 − ( − 2) − 5 + 4 + ( − 2) < 0  ( − 6 + 6)( − 4 + 2) < 0 Untuk − 6 + 6 = 0  ( − 3) − 9 + 6 = 0  ( − 3) = 3  − 3 = ±√3  = 3 ± √3 Untuk − 4 + 2 = 0  ( − 2) − 4 + 2 = 0  ( − 3) = 2  − 2 = ±√2  = 2 ± √3 Jadi, diperoleh + + + 2 − √3 − − − 3 − √3 + + + 2 + √3 − − − 3 + √3 + + +  (1) 2 − √3 < (2) 2 + √3 < 20. Karena

+

=

maka

+

< 3 − √3 atau < 3 + √3

adalah akar-akar dari persamaan ,

=

Jawaban: (1) dan (3) − − 1 = 0, yaitu

−1 ± (1) − 4(1)(−1) 2.1 −1 ± √5 = 2 Jawaban: (1) dan (3)


Pembahasan Simak UI Matematika Dasar 2012

Recommend Documents