Ot´azky z kapitoly Stereometrie 10. u ´nora 2015
Obsah 1 Krokovan´ e pˇ r´ıklady (0 ot´ azek)
1
2 Metrick´ e vlastnosti (30 ot´ azek) 2.1 Obt´ıˇznost 1 (16 ot´ azek) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Obt´ıˇznost 2 (14 ot´ azek) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 6
3 Polohov´ e vlastnosti (0 ot´ azek)
10
4 Tˇ elesa a jejich objemy a povrchy (10 ot´ azek) 10 4.1 Obt´ıˇznost 2 (10 ot´ azek) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1
Krokovan´ e pˇ r´ıklady (0 ot´ azek)
2
Metrick´ e vlastnosti (30 ot´ azek)
2.1
Obt´ıˇ znost 1 (16 ot´ azek)
001210 01 1. Je dána krychle ABCDEF GH. Vypočítejte odchylku přímek AB a AG. H E
G
•
F
54,74◦ 60◦ 35,26◦ 39,23◦
D A
C B
1
001210 02 1. Je dána krychle ABCDEF GH. Vypočítejte odchylku přímek CD a BH. H E
G F
•
54,74◦ 60◦ 35,26◦ 39,23◦
D
C
A
B
001210 03 1. Je dána krychle ABCDEF GH. Vypočítejte odchylku přímek BSDH a AE, kde bod SDH je střed hrany DH. H E
G F
•
70,53◦ 29,47◦ 35,26◦ 54,74◦
D
C
A
B
001210 04 1. Je dána krychle ABCDEF GH. Vypočítejte odchylku přímek SAE SHC a SHC SBF , kde body SAE , SHC a SBF jsou středy úseček AE, HC a BF . H E
G F
•
53,13◦ 26,57◦ 60◦ 36,87◦
D A
C B
2
001210 05 1. Je dána krychle ABCDEF GH. Vypočítejte odchylku přímek ASBC a AD, kde bod SBC je střed hrany BC. H E
G F
•
63,43◦ 26,57◦ 53,13◦ 36,87◦
D
C
A
B
001210 06 1. Je dána krychle ABCDEF GH. Vypočítejte odchylku přímek BG a GD. H E
G F
•
60◦ 45◦ 36,87◦ 53,13◦
D
C
A
B
001210 07 1. Je dána krychle ABCDEF GH. Vypočítejte odchylku přímek SBE SAH a HC, kde body SBE a SAH jsou středy úseček BE a AH. H E
G F
•
60◦ 26,57◦ 45◦ 53,13◦
D A
C B
3
001210 08 1. Je dána krychle ABCDEF GH. Vypočítejte odchylku přímek DB a AG. H E
G F
•
90◦ 45◦ 35,26◦ 53,13◦
D
C
A
B
001210 09 1. Je dána krychle ABCDEF GH. Vypočítejte odchylku přímek SHD SF C a AB, kde body SHD a SF C jsou středy úseček HD a F C. H E
G F
•
26,57◦ 45◦ 54,74◦ 60◦
D
C
A
B
001210 10 1. Je dána krychle ABCDEF GH. Vypočítejte odchylku přímek ESCG a AG, kde bod SCG je střed hrany CG. H E
G F
•
54,74◦ 19,47◦ 35,26◦ 60◦
D A
C B
4
001536 01 1. Úhel vyznačený na obrázku znázorňuje: V
•
Odchylku boční stěny a podstavy Odchylku boční hrany a podstavy Odchylku dvou sousedních bočních stěn Odchylku boční hrany a podstavné hrany
D
C
ϕ A
B
001536 02 1. Úhel vyznačený na obrázku znázorňuje: V
•
Odchylku boční hrany a podstavy Odchylku boční stěny a podstavy Odchylku dvou protilehlých hran Odchylku podstavné hrany a boční hrany
D
ϕ
A
C
B
001536 03 1. Úhel vyznačený na obrázku znázorňuje: V
•
Odchylku dvou protilehlých bočních stěn Odchylku boční stěny a podstavy
ϕ
Odchylku dvou sousedních bočních hran Odchylku dvou sousedních bočních stěn
D
A
C
B
5
001536 04 1. Úhel vyznačený na obrázku znázorňuje: V
•
Odchylku dvou sousedních bočních hran Odchylku dvou protilehlých bočních stěn
ϕ
Odchylku dvou protilehlých bočních hran Odchylku dvou sousedních bočních stěn
D
C
A
B
001536 05 1. Úhel vyznačený na obrázku znázorňuje: V
•
Odchylku dvou protilehlých bočních hran Odchylku boční stěny a boční hrany
ϕ
Odchylku dvou protilehlých bočních stěn Odchylku dvou sousedních bočních stěn
D
C
A
B
001536 06 1. Úhel vyznačený na obrázku znázorňuje: V
•
Odchylku boční hrany a podstavné hrany Odchylku boční stěny a podstavné hrany Odchylku dvou sousedních bočních stěn Odchylku boční stěny a podstavy
D
C ϕ
A
B
6
2.2
Obt´ıˇ znost 2 (14 ot´ azek)
001288 01 1. Bod M je středem hrany CV pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV s hlavním vrcholem V . Podstavná hrana jehlanu má velikost 6 cm a výška jehlanu je 4 cm. Určete vzdálenost bodu M a roviny ABC. √ 34 5 cm cm • 2 cm 2 2 001288 02 1. Bod M je středem hrany CV pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV s hlavním vrcholem V . Podstavná hrana jehlanu má velikost 6 cm a výška jehlanu je 4 cm. Určete vzdálenost bodu M a přímky BC. √ √ 5 34 7 cm cm cm • 2 2 2 001288 03 1. Bod M je středem hrany CV pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV s hlavním vrcholem V . Podstavná hrana jehlanu má velikost 6 cm a výška jehlanu je 4 cm. Určete vzdálenost bodu M a přímky AD. √ √ √ 97 106 65 cm cm cm • 2 2 2 001288 04 1. V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV s hlavním vrcholem V má podstavná hrana velikost 6 cm a výška jehlanu je 4 cm. Určete vzdálenost přímky AD a roviny BCV . √ 24 15 34 cm cm • 6 cm 5 5 001288 05 1. V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV s hlavním vrcholem V má podstavná hrana velikost 6 cm a výška jehlanu je 4 cm. Určete odchylku přímky BV a roviny ABC. Výsledek zaokrouhlete na dvě desetinná místa. •
43,31◦
59,04◦
45◦
001288 06 1. Bod M je středem hrany CV pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV s hlavním vrcholem V . Podstavná hrana jehlanu má velikost 6 cm a výška jehlanu je 4 cm. Určete odchylku přímky AM a roviny ABC. Výsledek zaokrouhlete na dvě desetinná místa. •
17,45◦
34,50◦
18,32◦
001288 07 1. V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV s hlavním vrcholem V má podstavná hrana velikost 6 cm a výška jehlanu je 4 cm. Určete odchylku rovin DCV a ABC. Výsledek zaokrouhlete na dvě desetinná místa. •
53,13◦
59,04◦
43,31◦
001288 08 1. V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV s hlavním vrcholem V má podstavná hrana velikost 6 cm a výška jehlanu je 4 cm. Určete odchylku rovin ADV a BCV . Výsledek zaokrouhlete na dvě desetinná místa. •
73,74◦
36,87◦
61,93◦
7
001537 01 1. Na obrázku je pravidelný čtyřboký jehlan se čtvercovou podstavou o hraně a = 4 cm s tělesovou výškou v = 6 cm. Pro velikost vyznačené odchylky platí: V •
tg ϕ =
6 . =⇒ ϕ = 71◦ 34′ 2
6 . tg ϕ = √ =⇒ ϕ = 64◦ 46′ 2 2
D
tg
2 ϕ . = =⇒ ϕ = 36◦ 52′ 2 6
tg
2 ϕ . = √ =⇒ ϕ = 35◦ 6′ 2 2 10
C
ϕ A
B
001537 02 1. Na obrázku je pravidelný čtyřboký jehlan se čtvercovou podstavou o hraně a = 4 cm s tělesovou výškou v = 6 cm. Pro velikost vyznačené odchylky platí: V tg ϕ = •
6 . =⇒ ϕ = 71◦ 34′ 2
6 . tg ϕ = √ =⇒ ϕ = 64◦ 46′ 2 2 2 ϕ . = =⇒ ϕ = 36◦ 52′ 2 6 √ 2 10 . =⇒ ϕ = 72◦ 27′ tg ϕ = 2 tg
D
A
ϕ
C
B
8
001537 03 1. Na obrázku je pravidelný čtyřboký jehlan se čtvercovou podstavou o hraně a = 4 cm s tělesovou výškou v = 6 cm. Pro velikost vyznačené odchylky platí: V
6 . tg ϕ = √ =⇒ ϕ = 64◦ 46′ 2 2
ϕ •
tg
2 ϕ . = =⇒ ϕ = 36◦ 52′ 2 6
2 ϕ . = √ =⇒ ϕ = 35◦ 6′ 2 2 10 √ ϕ 2 2 . tg = =⇒ ϕ = 50◦ 29′ 2 6 tg
D
C
A
B
001537 04 1. Na obrázku je pravidelný čtyřboký jehlan se čtvercovou podstavou o hraně a = 4 cm s tělesovou výškou v = 6 cm. Pro velikost vyznačené odchylky platí: V
6 . tg ϕ = √ =⇒ ϕ = 64◦ 46′ 2 2 ϕ
tg •
D
A
C
B
9
2 ϕ . = =⇒ ϕ = 36◦ 52′ 2 6
2 ϕ . = √ =⇒ ϕ = 35◦ 6′ 2 2 10 √ 2 2 ϕ . =⇒ ϕ = 50◦ 29′ tg = 2 6
tg
001537 05 1. Na obrázku je pravidelný čtyřboký jehlan se čtvercovou podstavou o hraně a = 4 cm s tělesovou výškou v = 6 cm. Pro velikost vyznačené odchylky platí: V
6 . tg ϕ = √ =⇒ ϕ = 64◦ 46′ 2 2
ϕ tg
2 ϕ . = =⇒ ϕ = 36◦ 52′ 2 6
2 ϕ . = √ =⇒ ϕ = 35◦ 6′ 2 2 10 √ ϕ 2 2 . tg = =⇒ ϕ = 50◦ 29′ 2 6 tg
D
•
C
A
B
001537 06 1. Na obrázku je pravidelný čtyřboký jehlan se čtvercovou podstavou o hraně a = 4 cm s tělesovou výškou v = 6 cm. Pro velikost vyznačené odchylky platí: V
6 . tg ϕ = √ =⇒ ϕ = 64◦ 46′ 2 2 6 . =⇒ ϕ = 71◦ 34′ 2 √ 2 2 ϕ . =⇒ ϕ = 50◦ 29′ tg = 2 6 √ 2 10 . =⇒ ϕ = 72◦ 27′ tg ϕ = 2 tg ϕ =
D
•
C ϕ
A
B
3
Polohov´ e vlastnosti (0 ot´ azek)
4
Tˇ elesa a jejich objemy a povrchy (10 ot´ azek)
4.1
Obt´ıˇ znost 2 (10 ot´ azek)
001203 01 √ 1. Délka tělesové úhlopříčky krychle je 2 6 cm. Povrch této krychle je: •
48 cm2 √ 16 2 cm2
24 cm2 √ 12 6 cm2
10
√ 24 2 cm2
001203 02 √ 1. Délky hran čtyřbokého hranolu jsou a = 5 cm, b = 8 cm, c = 111 cm. Délka tělesové úhlopříčky je: √ √ • 10 2 cm 222 cm 20 cm √ √ 2 10 cm 5 7 cm 001203 03 1. Odchylka tělesové a stěnové úhlopříčky v krychli o hraně a je α. Potom platí: √ √ √ 2 3 5 • tg α = sin α = cos α = 2 2 3 √ ◦ cotg α = 3 α = 45 001203 04 1. V pravidelném šestibokém hranolu ABCDEF A′ B ′ C ′ D′ E ′ F ′ je délka podstavné hrany a = 3 cm, výška v = 8 cm. D′ E′
C′
F′
B′ ′
A
D E
C
F
B A
Délka úhlopříčky AD′ je rovna: •
10 cm √ 2 8 cm
√
√
73 cm √ 2 6 cm
11
82 cm
001203 05 1. V pravidelném šestibokém hranolu ABCDEF A′ B ′ C ′ D′ E ′ F ′ je délka podstavné hrany a = 3 cm, výška v = 8 cm. D′ E
′
C′
F′
B′ ′
A
D E
C
F
B A
Odchylka úhlopříčky AD′ od roviny podstavy ABC je přibližně rovna: •
53◦
37◦
61◦
72◦
45◦
001203 06 1. V kvádru ABCDEF GH platí: |AB| = 6 cm; |AC| = 10 cm; |AG| = 15 cm. H
G
E
F
D
C
A Povrch tohoto kvádru je: √ • 96 + 140 5 cm2 √ 48 + 70 5 cm2
B
600 cm2 √ 240 5 cm2
12
√ 236 5 cm2
001203 07 1. V kvádru ABCDEF GH platí: |AB| = 6 cm; |AC| = 10 cm; |AG| = 15 cm. H
G
E
F
D
C
A
B
Objem tohoto kvádru je: √ • 240 5 cm3 √ 600 2 cm3
√ 300 5 cm3
900 cm3 √ 240 2 cm3
001203 08 √ 1. Pravidelný šestiboký hranol o objemu 648 3 cm3 má výšku dvakrát větší než délka podstavné hrany. Nejdelší tělesová úhlopříčka má délku: √ √ √ • 12 2 cm 10 6 cm 12 6 cm √ √ 6 10 cm 432 cm 001203 09 1. Délky hran kvádru jsou a = 3 cm, b = 4 cm, c = 12 cm. Poměr délek tělesové úhlopříčky ut a nejdelší stěnové úhlopříčky us je roven: √ √ • 13 10 : 40 13 : 153 13 : 12 √ √ 4 10 : 5 4 10 : 13 001203 10 1. V kvádru ABCDEF GH (|AB| = 6 cm, |AD| = 8 cm) je odchylka úhlopříčky AG od roviny ABC rovna 60◦ . H G
E
F
D
C
A Objem tohoto tělesa je roven: √ • 480 3 cm3 √ 160 3 cm3
B √ 288 3 cm3
960 cm3 240 cm3
13
