JURNAL INFORMATIKA HAMZANWADI Vol. 2 No. 1, Mei 2017, hal. 20-27
ISSN: 2527 - 6069
SOLUSI PERSAMAAN DIRAC UNTUK POTENSIAL POSCH-TELLER TERMODIFIKASI DENGAN POTENSIAL TENSOR TIPE COULOMB PADA SPIN SIMETRI MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI DENGAN SOFTWARE MATLAB Muhammad Djamaluddin1, Kholida Ismatulloh2 1
Fakultas Teknik Universitas Hamzanwadi 2 FKIP Universitas Hamzanwadi
[email protected]
Abstrak Energi relativistik dan fungsi gelombang untuk potensial Poschl-Teller termodifikasi dengan potensial tensor tipe Coulomb pada kasus Spin Simetri diperoleh dari penyelesaian persamaan Dirac menggunakan metode Polinomial Romanovski. penyelesaian persamaan Dirac dengan polinomial Romanovski dilakukan dengan cara mereduksi persamaan diferensial orde dua menjadi persamaan tipe hipergeometri melalui substitusi variabel dan fungsi gelombang yang sesuai. Dengan membandingkan persamaan tipe hipergeometri dan persamaan diferensial standar untuk polinomial Romanovski diperoleh persamaan energi relativistik dan fungsi bobot. Energi relativistik diperoleh dari penyelesaian persamaan energi relativistik dengan menggunakan metode numerik menggunakan software Matlab 2011. Fungsi gelombang relativistik diperoleh dari fungsi bobot dan dinyatakan dalam bentuk polynomial Romanovski, baik untuk komponen bawah dan atas dari spin Dirac. Kata kunci: Persamaan Dirac, Potensial Poschl-Teller termodifikasi, Potensial tensor tipe Coulomb, Polinomial Romanovski, dan Spin Simetri. Abstract The relativistic energy and wave functions for modified Posch-Teller potential with Coulomb type tensor potential of spin cimetry be solved by Dirac equation using Romanovski polynomial. To solve the Dirac equation with Romanovski polynomial was reducing the two order differential equation to Hypergeometry differential equation with substituting of suitable variable and wave functions. By comparing type Hypergeometry equation and standard differential equation for Romanovski polynomial be solved relativistic energy equation and weight functions. Relativistic energy be obtained from energy relativistic solution by numerical method using software Matlab 2011. Relativistic wave functions were obtained from weight function and can be showed by Romanovski polynomial form both the lower and upper parts from spin Dirac. Keywords: Dirac equation, modified Posch-Teller potential, Coulomb type tensor potential, Romanovski polynomial, and spin cimetry.
PENDAHULUAN Persamaan Dirac mendeskripsikan prilaku benda- benda subatomik yang ber-spin ½ pada elektron untuk potensial shape invariance sentral maupun non-sentral telah dikaji oleh beberapa peneliti dengan menggunakan metode Nikivarop Uvarop (NU) [4,9-14]. Potensial fisis tersebut banyak digunakan untuk mendeskripsikan efek relativistik pada energi vibrasi-rotasi pada molekul yang berstruktur kompleks. Dengan mengasumsikan bahwa potensial skalar sama dengan potensial vektor maka persamaan Dirac tereduksi menjadi persamaan yang mirip/setipe 20
Muhammad Djamaluddin, Kholida Ismatulloh
dengan persamaan Schrodinger. Dengan demikian persamaan Dirac satu dimensi dapat dipecahkan dengan metode yang digunakan untuk memecahkan persamaan Schrodinger. Persamaan Dirac untuk beberapa potensial hanya bisa memecahkan kasus spin simetri dan pseudospin simetri. Pada paper ini energi relativistik dan fungsi gelombang untuk potensial Poschl-Teller termodifikasi dengan potensial tensor tipe Coulomb secara spasial dianalisis dengan polynomial Romanovski. Polynomial Romanovski pada awalnya diusulkan oleh S.J Routh dan 45 tahun kemudian dikaji ulang oleh V.I Romanovski. METODE Persamaan Dirac untuk potensial Poschl-Teller termodifikasi dengan potensial tensor tipe Coulomb.
Persamaan Schrodinger relativistik disebut sebagai persamaan Klein Gordon untuk spin bilangan bulat dan persamaan Dirac untuk spin ½. Deskripsi secara kuantitatif gerak partikel relativistik yang dipengaruhi oleh gaya medan yang direpresentasikan sebagai energi potensial partikel yang berspin 1/2 tersebut dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial yang disebut sebagai persamaan Dirac yaitu sebagai berikut, {̅ ̅
)))
̅ ̂
̅)
)}
{
)}
̂)
(1)
Potensial Poschl-Teller termodifikasi merupakan bentuk potensial fungsi radial fungsi polar
dan
. Namun pada makalah ini potensial terkait hanya merupakan fungsi radial,
disebabkan karena terjadi pada kasus spin Dirac spinor yang hanya mengacu pada fungsi radial. Maka persamaan potensial Poschl-Teller termodifikasi dinyatakan dengan persamaan (2). )
.
)
)
/
(2) ) yang dinyatakan dengan persamaan (3).
Potensial tensor tipe Coulomb )
(3)
Persamaan (2) dan (3) dimasukkan ke persamaan (1) maka didapatkan persamaan (4) yaitu: * [(
)
) ))
)
)
)+ ))]
) )
)
(
))
) (4a)
21
SOLUSI PERSAMAAN DIRAC UNTUK POTENSIAL POSCH-TELLER TERMODIFIKASI DENGAN POTENSIAL TENSOR …
)
*
)
[(
))
Dimana
)
)
)
)+
)
))] ̃( ̃
)
(
)
))
)
(4b)
)
) dan
).
adalah nomer kuantum yang
berhubungan dengan nomer kuantum untuk spin simetri dan pseudospin simetri ̃ adalah, )
(
)
(
) (5)
Persamaan (4a) merupakan persamaan Dirac pada spin simetri komponen atas, sedangkan (4b) persamaan Dirac komponen bawah. Pada makalah ini pemakalah hanya membatasi pada ) Spin simetri terjadi apabila selisih antara
spin simetri komponen atas saja )
adalah konstan,
)
)
)
sistem yang ditinjau dari
) dan
dan jumlah antara )
)
) dan
)
) yang mempengaruhi
).
Metode Polinomial Romanovski
Persamaan diferensial Hipergeometri yang dapat diselesaiakan dengan metode Polinomial Romanovski memiliki bentuk sebagai berikut: )
)
)
Dengan
)
{
)
)
}
)
{
)
)}
)
)
(6)
adalah polynomial Romanovski. Fungsi gelombang untuk polynomial
Romanoivski dinyatakan dengan: )
)
)
)
)
)
(7)
HASIL DAN PEMBAHASAN Penyelesaian persamaan Dirac potensial Poschl-Teller termodifikasi dengan potensial tensor tipe Coulomb menggunakan metode polinomial Romanovski untuk bagian radial pada kasus spin simetri komponen atas dilakukan substitusi persamaan (2) dan (3) ke persamaan (4a), sehingga diperoleh bentuk:
22
Muhammad Djamaluddin, Kholida Ismatulloh
)
0{ )
)}
)
(
)
)
)
)1
)
) )
(
)
)
(8) dimana untuk mempermudah perhitungan, {
)
)}
)
)
(9)
)
) )
(
(10) )
(11)
Maka persamaan (6) dapat dituliskan kembali menjadi persamaan yang mirip dengan persamaan Scrhodinger yaitu 2
)
3
(12)
Dengan mensubstitusi variabel,
pada persamaan (12) dimana
,
kita dapatkan )
, (
)
)
(
)
)
-
)
(13)
Untuk memecahkan persamaan (13), kita menggunakan persamaan (6) yang merupakan fungsi gelombang baru, )
)
)
)
)
)
(14)
Setelah itu memanipulasikan persamaan (12) dan (13), kita dapatkan, )
) /
)
{ )
)
}
)
)
.
{
)}
{
)}
)
)
(15)
Persamaan (15) dibuat menjadi persamaan diferensial orde duapolinomial Romanovski, )
dengan menjadikan suku yang berpenyebut {
)}
{
)}
(
)
, yang mana akan menjadi (16) (17)
Sehingga persamaan (12) menjadi
23
SOLUSI PERSAMAAN DIRAC UNTUK POTENSIAL POSCH-TELLER TERMODIFIKASI DENGAN POTENSIAL TENSOR …
)
)
)
)
{
}
)
)
(
)
)
)
(18)
Dengan membandingkan parameter pada persamaan (6) dan (18), kita dapatkan hubungan sebagai berikut )
) dan )
)
(19)
Dari persamaan (16) dan (17), kita mempunyai demikian nilai √
dan
; sehingga
. Maka
dapat dituliskan sebagai berikut:
√
(20) Nilai
didapatkan dengan mensubstitusikan persamaan (17) dengan persamaan (6), maka √
.√
/
(21)
Dari persamaan (15) didapatkan (22) Dengan persamaan (19), (20) dan (22) akan didapatkan nilai spektrum energi untuk potensial Poschl-Teller termodifikasi dengan potensial tensor tipe Coulombpada kasus spin simetri komponen atas adalah sebagai berikut: )
(23)
atau )
)
.√
√
/
(24)
Hasil energi yang didapatkan pada kasus spin simetri komponen atas terlihat pada tabel 1. Tabel 1. Hasil perhitungan energi untuk potensial Poshcl-Teller termodifikasi dengan potensial tensor tipe Coulomb pada kasus spin simetri komponen atas M = 3, Cs = 5 fm, . Untuk =0 1 2 3
0 0 0
2 3 4
3.191082 3.471188 3.762997
24
3.000929 3.161439 3.374664
Muhammad Djamaluddin, Kholida Ismatulloh
4 1 2 3 5 Untuk
0 1 1 1 1
5 2 3 4 5
4.059057 3.758821 4.056186 4.354998 4.654699
) 1 2 3 4 1 2 3 4
0 0 0 0 1 1 1 1
3.595843 3.372394 3.594250 3.818949 4.045109
=0
-3 -4 -5 -6 -3 -4 -5 -6
3.191082 3.471188 3.762997 4.059057 3.758821 4.056186 4.354998 4.654699
3.164603 3.442425 3.442425 4.029337 3.729197 4.026372 4.32507 4.624699
5 4,5 4
Enk0, n=0, kappa -3,4,-5,-6
3,5 3
Enk1, n=1, kappa -3,4,-5,-6
2,5
Enk0, n=0, kappa 2,3,4,5
2 1,5
Enk1, n=1, kappa 2,3,4,5
1 0,5 0 -10
-5
0
5
10
Gambar 1. Hasil perhitungan spektrum energi dengan H=0 pada n tertentu.
25
SOLUSI PERSAMAAN DIRAC UNTUK POTENSIAL POSCH-TELLER TERMODIFIKASI DENGAN POTENSIAL TENSOR …
5 4,5 4 3,5 3
Enk0, n=0, H=0.1
2,5
Enk1, n=1, H=0.1
2
Enk0, n=0, H=0.1
1,5
Enk1, n=1, H=0.1
1 0,5 0 -10
-5
0
5
10
Gambar 2. Hasil perhitungan spektrum energi dengan H=0.1 pada n tertentu. KESIMPULAN Solusi persamaan Dirac untuk potensial Poschl-Teller termodifikasi dengan potensial tensor tipe Coulomb menggunakan polynomial Romanovski pada kasus spin simetri. Apabila H=0 maka nilai
pada saat n tertentu, sedangkan pada saat H>0 maka nilai energi ini sesuai dengan aturan (
) pada kasus ini terjadi proses degenerasi
energi pada nukleon. Pada kasus spin simetri hasilnya selalu positif yang dihitung dengan Pemprograman komputer yaitu Matlab 2011.
DAFTAR PUSTAKA [1] A. Suparmi,. C. Cari,. and Deta. Exact Solution of Dirac Equation for Scarf potential with New Tensor Coupling potential for Spin and Pseudospin Symmetries Using Romanovski Polynomial. Diterima untuk dipublikasikan pada Journal Chinese Physics B sebagai artikel No. 140287. Akan dipublikasikan pada juli 2014 sampai halaman 12. [2] A. Suparmi,. C. Cari. Solution of Dirac Equation for q-Deformed Eckart potensial with Yukawa-type Tensor Interaction for Spin dan Pseudospin simetry Using Romanovski Polynomial. Atom Indonesia Vol. 39. No. 3. 2013 hal 112-123. [3] Arda A, Server R. 2012. Non central potential, exact solution and laplace transform approach. Ar Xiv:1202.4271v (math-ph). [4] C. Cari., A. Suparmi. 2012. Approximate Solution of Schrodinger equation for Trigonometric Scarf Potential with the Poschl-Teller Non-central Potential Using NU Method. IOSR Journal of Applied Physics (IOSR-JAP) ISSN: 2278-4861, Vol. 2 Issue 3, pp. 13-23. 26
Muhammad Djamaluddin, Kholida Ismatulloh
[5] C. Cari,. A. Suparmi,. U. A Deta. Solution of Dirac Equation for Cotangent Potential with Coulomb- type Tensor Interaction for Spin and Pseudospin Symetry Using Romanovski Polynomial. Makara journal of Science. Vol. 17. No. 3. 2013. Hal 93-102. [6] Greene R L,. and Aldrich C. 1976. Phys. Rev. A 142363. [7] Ikhdair S M,. and Sever R 2010. Applied Math Comput. 216 911. [8] Ikot, A. N. and Akpabio, L. E. 2010. Approximate Solution of the Schrodinger Equation with Rosen-Morse Potential Including the Centrifugal Term. Applied hysics Research. Vol. No. 2, pp. 202-208. [9] Cari. Mekanika Kuantum. Cetakan pertama. Surakarta, UNS PRESS 2013. [10] Suparmi. Mekanika Kuantum II. Cetakan pertama. Surakarta. Jurusan Fisika MIPA UNS. 2011.
27
