PENGEMBANGAN MODEL RAMALAN CURAH HUJAN UNTUK PEMODELAN STATISTICAL DOWNSCALLING DENGAN PENDEKATAN REGRESI BAYES PCA1 Oleh : Ferry Kondo Lembang2, Setiawan3 Sutikno3 E-mail:
[email protected],
[email protected],
[email protected]
ABSTRAK Masalah mendasar dari prediksi model curah hujan adalah keakuratan yang tinggi berdasarkan proses stokhastik (probabilistik) skala global maupun skala kecil. Statistical Downscalling (SD) merupakan salah satu alternatif untuk mengatasi masalah tersebut. SD adalah model yang menghubungkan skala global GCM dengan skala yang lebih kecil (lokal) dengan jalan pra-pemrosesan .reduksi dimensi domain grid untuk mengatasi kasus multikolinearitas. Metode reduksi dimensi yang sering digunakan adalah Principal Component Analysis (PCA), namun kinerja PCA sendiri hanyalah sebatas memapatkan dimensi grid skala besar menjadi kecil belum pada bagaimana mendapatkan validasi model terbaik. Oleh karena itu, dengan data reduksi dimensi prapemrosesan PCA dengan pendekatan regresi Bayes PCA menjadi salah satu alternatif metode untuk mendapatkan validasi model out-sample terbaik. Kriteria pembanding untuk model validasi curah hujan dilihat dari nilai RMSEP sedangkan untuk in-sample 2
yaitu R predict . Prinsip dasar pendekatan regresi Bayes PCA yang dibahas pada makalah ini, menyerupai regresi ridge yang mengasumsikan
β
berdistribusi normal. Hasil
empirik menunjukkan bahwa pendekatan regresi Bayes PCA lebih baik dari pada metode Principal Component Regressión (PCR) dilihat dari nilai RMSEP. Untuk 2 R predict kisarannya hampir sama.
Kata kunci : Curah hujan, GCM, statistical downscalling, PCA, regresi ridge, Regresi 2 . Bayes PCA, PCR, RMSEP, dan R predict
1. PENDAHULUAN Analisis regresi merupakan analisis statistika yang bertujuan untuk memodelkan hubungan antara variabel bebas (X) dan variabel tidak bebas (Y). Metode Ordinary Least Square (OLS) merupakan salah satu metode estimasi parameter yang paling terkenal dalam model regresi karena relatih mudah. Kemudahan tersebut sebagai akibat adanya beberapa asumsi yang cukup ketat antara lain asumsi error identik independen dan berdistribusi normal yang harus dipenuhi sehingga akan diperoleh satu model taksiran untuk semua model data serta tidak terjadi kolinearitas ganda antara variabel bebas. Banyak metode estimasi parameter yang digunakan untuk mengatasi adanya multikolinearitas, antara lain: regresi komponen utama, regresi kuadrat terkecil parsial (PLS), regresi ridge, serta pendekatan regresi Bayes (Box and Tiao, 1973). Salah satu penerapan yang dianggap sebagai penerapan pendekatan regresi Bayes dalam analisis regresi adalah Regresi ridge. Jika pada metode OLS parameter regresi ( β ) diasumsikan konstan, tetapi pada pendekatan Bayes parameter model diasumsikan memiliki sebaran tertentu. Informasi ini disebut informasi prior. Update informasi prior pada parameter θ menggunakan informasi sampel yang terdapat dalam data (melalui fungsi likelihood), sehingga diperoleh informasi posterior yang akan digunakan untuk pengambilan keputusan (Gelman, dkk., 1995 dalam 2 Prastyo, 2008). Prior pada regresi ridge adalah β ~ N (θ , σ β I ) yang berarti parameter regresi independen satu sama lain. Pada beberapa kasus, korelasi diantara variabel independen terjadi dengan pola yang khusus (tertentu), misalnya pada model curah hujan dengan data luaran GCM. Namun informasi GCM 1
Disampaikan pada Seminar Nasional Statistika VI, 7 November 2009, FMIPA-ITS Surabaya. 2 Mahasiswa S2 Statistika ITS angkatan 2008. 3 Dosen Statistika FMIPA ITS.
1
sifatnya global dan tidak berlaku untuk informasi skala kecil, sehingga untuk menjembatani Skala GCM ke Skala Kecil dipakai Teknik Downscalling (Wigena, 2006) yang merupakan teknik pereduksian dimensi. Metode reduksi dimensi dalam pra-pemrosesan yang digunakan antara lain : Principal Component Análysis (PCA) , Transformasi Wavelet Diskrit (TWD) (Anggraeni, 2009), Kernel PCA (Manorang, 2009), dan ROBPCA (Khotimah, 2009). Hasil reduksi dimensi dalam prapemrosesan menggunakan Principal Component Analysis (PCA) untuk mendapatkan validasi model curah hujan bisa diselesaikan dengan pendekatan regresi bayes sehingga dikenal dengan istilah regresi Bayes PCA. Dalam perspektif statistika permasalahan ini merupakan pemodelan hubungan antara variabel iklim stasiun skala besar dengan komponen utama hasil reduksi prapemrosesan PCA. Komponen utama hasil reduksi dimensi PCA dibagi atas 2 komponen yaitu, data in-sample untuk mendapatkan model dan data out-sample untuk mendapatkan validasi model. Kriteria kebaikan model untuk perbandingan kinerja hasil reduksi dimensi PCA dengan model regresi Bayes PCA adalah RMSEP dan R 2predict . Nilai RMSEP merupakan nilai dari error hasil taksiran sehingga model terbaik adalah model dengan RMSEP minimum yang menandakan nilai taksiran mendekati nilai sebenarnya sedangkan semakin besar nilai R 2predict , maka semakin baik pula model yang didapatkan karena mampu menjelaskan lebih banyak data (Drapper dan Smith,1996). Makalah ini membahas pendekatan Regresi Bayes PCA pada pendugaan model regresi yang parameternya saling terkait. 2. Analisis Komponen Utama (PCA) Analisis komponen utama merupakan teknik statistik yang dapat digunakan untuk menjelaskan struktur variansi-kovariansi dari sekumpulan variabel melalui variabel baru dimana variabel baru ini saling bebas, dan merupakan kombinasi linier dari variabel asal (Johnson, 2002). Selanjutnya variabel baru ini dinamakan komponen utama (principal component). Secara umum tujuan dari analisis komponen utama adalah mereduksi dimensi data dan untuk kebutuhan interpretasi. Misal ∑ merupakan matriks kovariansi dari vektor acak X ' = X 1 , X 2 ,..., X p dengan
[
]
pasangan nilai eigen dan vektor eigen yang saling ortonormal adalah (λ1 , e 1 ), (λ 2 , e 2 ),..., (λ p , e p ) .
Dimana λ1 ≥ λ 2 ≥ ... ≥ λ p ≥ 0 , maka komponen utama ke-i didefinisikan sebagai berikut : Wi = e i' X = ei1 X 1 + ei 2 X 2 + ... + eip X p ,
i = 1,2,..., p
(1)
dimana W1 adalah komponen pertama yang memenuhi maksimum nilai e ∑ e 1 = λ1 .W2 adalah komponen kedua yang memenuhi sisa keragaman selain komponen pertama dengan memaksimumkan nilai e 1' ∑ e 1 = λ1 .W p adalah komponen ke-p yang memenuhi sisa keragaman ' 1
selain W1 , W2 ,..., W p −1 dengan memaksimumkan nilai e 'p ∑ e p = λ p . Urutan W1 , W2 ,..., W p harus memenuhi persyaratan λ1 ≥ λ 2 ≥ ... ≥ λ p . Sementara itu, proporsi total variansi yang dijelaskan komponen utama ke-k adalah : λ λk ⎛ proporsi total variansi populasi yang ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = k = ⎝ dijelaskan oleh komponen utama ke - k ⎠ tr (∑ ) λ1 + λ 2 + ... + λ p
(2)
Salah satu tujuan dari analisis komponen utama adalah mereduksi dimensi data asal yang semula terdapat p variabel bebas menjadi k komponen utama (dimana k < p). Adapun kriteria pemilihan k menurut Johnson (2002) yaitu proporsi kumulatif keragaman data asal yang dijelaskan oleh k komponen utama minimal 80 %, dan proporsi total variansi populasi bernilai cukup besar. Sedangkan menurut Rencher (1998) dengan menggunakan scree plot yaitu plot antara i dengan λi , pemilihan nilai k berdasarkan scree plot ditentukan dengan melihat terjadinya belokan dengan menghapus komponen utama yang menghasilkan beberapa nilai eigen kecil membentuk pola garis lurus.
2
3. Regresi Bayes Model bayesian dikembangkan dari teorema bayes. Teorema bayes digunakan sebagai dasar dari metode penaksiran parameter suatu distribusi atau suatu model. Dalam teorema bayes, besaran parameter θ disajikan sebagai berikut :
p (θ | x ) =
L (x | θ ) p (θ ) p (x )
(3)
dengan p (θ ) adalah distribusi prior, L(x | θ ) adalah likelihood dari sampel, dan p (θ | x ) adalah distribusi posterior dari θ . Pembaharuan informasi prior pada parameter θ menggunakan informasi sampel yang terdapat dalam data (melalui fungsi likelihood), sehingga diperoleh informasi posterior yang akan digunakan untuk pengambilan keputusan. Pendekatan Bayes dalam regresi dilakukan dengan membentuk sebaran posterior dari parameter (Lindley and Smith, 1972; Berger, 1985 dalam Setiawan, 2003). Posterior ini merupakan hasil kali antara prior dengan fungsi kemungkinan. Model umum regresi normal ganda dengan k buah peubah bebas (termasuk intersep) adalah : y = Xβ +ε (4) dengan y = vektor pengamatan peubah tak bebas berukuran (nx1); X = matriks pengamatan peubah bebas berukuran (nxk); β = vektor koefisien regresi berukuran (kx1); ε = vektor peubah
(
)
acak galat berukuran (nx1); serta ε ~ N (0, Iσ 2 ) dan y ~ N X β , Iσ 2 . Dalam makalah ini diasumsikan
β ~ N (θ ,V ) dimana V adalah matriks ragam-peragam β
(
)
sehingga simetris, sedangkan y ~ N X β , Iσ 2 . Dengan demikian fungsi priornya adalah :
(
)
(
)
⎧ 1 ⎫ T exp⎨− β − θ V −1 β − θ ⎬ ⎩ 2 ⎭ Fungsi kemungkinan dari model regresi normal ganda adalah : 1 1 ⎡ ⎤ −n / 2 T l ( y β ) ∝ n (2π ) y− Xβ y− Xβ ⎥ exp ⎢ − 2 σ σ 2 ⎣ ⎦ p(β ) ∝ (2π )
−k / 2
−1 / 2
V
(
)(
(5)
)
(6)
Perkalian antara prior dengan fungsi kemungkinan menghasilkan sebaran posterior bersama sebagai berikut :
h(β , y ) ∝ l ( y β ). p(θ ) ∝
1
σ
n
(2π )− ( k + n ) / 2 V
−1 / 2
(
⎡ 1 exp ⎢ − β − θ ⎣ 2
) (β − θ ) − 2σ1 (y − X β ) (y − X β )⎤⎥ T
T'
⎦
2
atau
(
)
(
)
(
)
(
1 1 ⎫ 1⎧ ⎧ k +n T' logh(β , y) ∝ ⎨− log(2π ) − n logσ − logV ⎬ − ⎨ β − θ V −1 β − θ + 2 y − X β 2 σ ⎭ 2⎩ ⎩ 2
(
)
(
) (y − X β )⎫⎬ T'
⎭
)
1 1 T ⎧ k+n ⎫ 1⎧ ⎫ T T ' ∝ ⎨− log(2π ) − n log σ − log V ⎬ − ⎨ β − θ V −1 β − θ + 2 y y − 2 β X T y + β X T X β ⎬ 2 2 σ ⎩ ⎭ 2⎩ ⎭
Nilai maksimum dari fungsi tersebut diperoleh dengan cara mencari turunan pertamanya terhadap β dan disamakan dengan nol sehingga diperoleh hasil sebagai berikut : ^
2V −1 β − 2V −1 θ +
^ 1 ⎛ ⎞=0 T T − 2 X y + 2 X X β ⎜ ⎟ 2 σ ⎝ ⎠ −1
1 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ X T X ⎟ ⎜V −1 θ + 2 X T y ⎟ 2 σ σ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ dengan V = matriks ragam-peragam β ; θ = parameter regresi yang didekati oleh koefisien regresi ^
β =⎜V −1 +
kuadrat terkecil; σ 2 = kuadrat tengah galat yang didekati oleh kuadrat tengah galat regresi kuadrat terkecil.
3
4. Sifat-Sifat Statistik Dari βˆ Dan yˆ
1. βˆ merupakan penduga berbias bagi β
()
−1
1 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ E βˆ = E ⎜V −1 + 2 X T X ⎟ ⎜V −1θ + 2 X T y ⎟ σ σ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −1 ⎡⎛ 1 1 ⎞ ⎛ ⎞⎤ = ⎢⎜V −1 + 2 X T X ⎟ ⎜V −1θ + 2 X T X β ⎟⎥ σ σ ⎠ ⎝ ⎠⎥⎦ ⎢⎣⎝ 2. Ragam dan simpangan baku bagi βˆ dan yˆ
()
⎡⎛ −1 1 T ⎞ −1 ⎛ −1 1 ⎞⎤ ˆ Rag β = Rag ⎢⎜V + 2 X X ⎟ ⎜V θ + 2 X T y ⎟⎥ σ σ ⎠ ⎝ ⎠⎥⎦ ⎢⎣⎝ −1
−1
1 ⎛ −1 1 T ⎞ 1 ⎛ ⎞ V + 2 X X ⎟ X T X ⎜V −1 + 2 X T X ⎟ 2 ⎜ σ ⎝ σ σ ⎠ ⎝ ⎠ 2 Rag yˆ diduga oleh kuadrat tengah galat, (σˆ ) , sehingga dugaan Rag βˆ adalah : =
()
()
−1
1 ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ ⎞ = 2 ⎜V −1 + 2 X T X ⎟ X T X ⎜V −1 + 2 X T X ⎟ σˆ ⎝ σ σ ⎠ ⎝ ⎠
−1
3. Selang Kepercayaan (1-α)100% bagi β j adalah : P βˆ j − tα / 2 ( n−k ) s βˆ j ≤ β j ≤ βˆ j + tα / 2 ( n−k ) s βˆ j = 1 − α
[
( )] 4. Ragam dari yˆ adalah : Rag (yˆ ) = Rag (X βˆ ) = XRag (βˆ )X ( )
T
5. Selang kepercayaan (1-α)100% untuk y i adalah :
⎡ ⎤ p ⎢ yˆ i − tα / 2 ( n− k ) s ( yˆ i ) ≤ y i ≤ yˆ i + tα / 2 ( n −k ) s ( yˆ i )⎥ = 1 − α ⎣ ⎦ Secara rinci algoritma pendekatan Bayes pada model regresi sebagai berikut : a) Pembakuan peubah b) Regresi dengan metode kuadrat terkecil untuk mendapatkan θ dan σ 2 c) Melakukan percontohan ulang (resampling) dan menduga koefisien regresi untuk setiap contoh dengan metode kuadrat terkecil guna mendapatkan V. −1 ^ ^ 1 ⎛ −1 1 T ⎞ ⎛ −1 ⎞ d) Menghitung β dengan rumus : β =⎜V + 2 X X ⎟ ⎜V θ + 2 X T y ⎟ σ σ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ˆ ˆ e) Mencari Rag β , s β , selang kepercayaan (1-α)100% bagi βj, Rag yˆ , s ( yˆ ) , serta
() ()
()
selang kepercayaan (1-α)100% untuk y i . 5. General Circulation Model (GCM) GCM merupakan model matematis yang menggambarkan sirkulasi umum atmosfer di bumi. Model ini menduga perubahan unsur-unsur cuaca dalam bentuk luaran grid-grid yang berukuran 100-500 km menurut lintang dan bujur (von Stroch et al. 1993 dalam Sutikno, 2008). GCM merupakan suatu alat penting dalam studi keragaman iklim dan perubahan iklim (Zorita dan Storch, 1999). Namun informasi GCM masih berskala global, sehingga sulit untuk memperoleh langsung informasi berskala lokal dari GCM. Tetapi GCM masih mungkin digunakan untuk memperoleh
4
informasi skala lokal atau regional bila teknik downscaling digunakan (Fernandez, 2005 dalam Wigena, 2006). Downscaling adalah suatu metode untuk mendapatkan informasi tentang perubahan iklim atau iklim beresolusi tinggi dari model iklim global yang relative kasar, dimana model iklim global memiliki resolusi 150-300 km. Akan tetapi, banyak dampak model memerlukan informasi pada skala 50 km atau kurang, sehingga beberapa metode dibutuhkan untuk memperkirakan informasi dengan skala kecil. Untuk menjembatani skala GCM yang besar dengan skala yang lebih kecil (kawasan yang menjadi studi) digunakan teknik Statistical Downscalling (SD). SD adalah suatu proses downscaling yang bersifat statik dimana data pada grid-grid berskala besar dalam periode dan jangka waktu tertentu digunakan sebagai dasar untuk menentukan data pada grid berskala lebih kecil (Wigena, 2006). Pendekatan SD menggunakan data regional atau global untuk memperoleh hubungan fungsional antara skala lokal dengan skala global GCM. Secara umum bentuk hubungan tersebut dinyatakan dengan: Y = f(Z) + ε dimana: Y : variabel respon (curah hujan) Z : variabel penjelas (gabungan dari hasil reduksi spasial (lintang-bujur) variabel GCM) ε : sisaan TATA CARA EVALUASI Untuk mengevalusi kinerja reduksi dimensi PCA dengan pendekatan Regresi Bayes PCA ada dua kriteria yang diperbandingkan, antara lain : R 2predict dan RMSEP . Model dikatakan lebih baik
jika R 2predict lebih tinggi dan RMSEP minimum. Dalam makalah ini validasi model curah hujan dari model out-sample terbaik dengan pendekatan regresi Bayes PCA dibandingkan dengan PCR. Sedangkan data yang digunakan adalah data luaran GCM model CSIRO-Mk3 dari Australia, dengan domain GCM yang digunakan adalah domain 3x3 (9 grid), yaitu 4.660 LS- 8.390 LS, 106.870 BT– 110.640 BT yang telah di pra-processing dengan metode PCA sebagai variabel prediktor serta data variabel tak bebas Y adalah data curah hujan stasiun; Lokasi grid yang diambil stasiun indramayu. HASIL DAN PEMBAHASAN Tabel 1 menyajikan ringkasan perbandingan kinerja antara pendekatan Regresi Bayes PCA dengan metode PCR. Dari tabel ini nampak bahwa pendekatan Regresi Bayes PCA menghasilkan RMSEP yang lebih kecil dari pada PCR, namun dari R 2predict pendekatan Bayes PCA kisarannya
hampir sama dari pada R 2predict hasil metode PCR. Tabel 1. Ringkasan hasil Perbandingan Kinerja Bayes PCA dengan PCR
Metode PCR Bayes PCA 40.60% 40.63 % In-sample (R-sq pred) 178.3991 81.35143 Out-sample (RMSEP) Dari hasil perbandingan diatas ternyata pendekatan Regresi Bayes PCA memberikan hasil yang cenderung lebih baik dibandingkan dengan metode PCR pada nilai RMSEP, walaupun perbedaannya tidak terlalu besar pada R 2predict . Karena pendekatan Regresi Bayes PCA memberikan hasil yang lebih baik, maka model yang digunakan untuk analisis selanjutnya adalah model hasil pendugaan Regresi Bayes PCA. Hasil pendugaan model regresi dengan Pendekatan Bayes PCA untuk data Stasiun Indramayu grid 3x3 adalah sebagai berikut : Data
5
Model Regresi Bayes PCA: Y = 150-1,48x1+13,8x2-15,1x3-0,75x4-4,1x5-12,1x6+11,3x7-29,0x8-13,6x9+8,60x10-7,31x11 + 6,8x12+11,0x13-12,1x14-0,04x15-2,48x16 +0,2x17-0,1x18+ 33,6x19 SSE SST RSq
4997798 8418476 0,406330
()
Tabel 2 : βˆ , s βˆ , SK 95% bagi β j untuk Data reduksi dimensi PCA Grid 3x3 Curah Hujan Stasiun Indramayu Selang Kepercayaan 95%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
s ( βˆ )
βˆ
No
153.290 -2.482 13.946 -14.091 -0.114 -1.994 -13.182 12.645 -34.272 -13.740 9.061 -7.115 5.452 11.222 -11.433 0.981 -2.200 -4.030 1.924 37.423
Batas bawah
0.76909 0.401373 0.159687 1.206192 1.15139 1.135914 1.135473 1.062544 0.905704 0.984276 1.243905 1.106841 0.888538 1.060566 1.180847 1.134196 1.237053 1.023132 1.021714 3.290714
Batas Atas
151.777 -3.272 13.632 -16.465 -2.381 -4.230 -15.417 10.554 -36.055 -15.678 6.613 -9.293 3.703 9.134 -13.758 -1.251 -4.636 -6.044 -0.087 30.945
154.804 -1.691 14.261 -11.717 2.152 0.242 -10.947 14.737 -32.489 -11.803 11.510 -4.937 7.201 13.310 -9.109 3.214 0.235 -2.016 3.935 43.901
Tabel 3. y , yˆ , serta SK 95% y i untuk Data Reduksi dimensi PCA Grid 3x3 curah hujan Stasiun Indramayu
SK 95%
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
yˆ 304.597 307.940 293.337 195.349 155.344 129.097 67.999 45.057 26.953 66.160 124.328 211.694 273.094 299.161 182.741 154.318 76.606 113.951 42.009 66.899 33.295 88.309 99.439 204.924 320.679 329.504 241.864 156.326 107.084 81.923 132.132 41.085 60.454 57.612 65.039 311.254 251.472 339.214 275.703
Bawah
y-asli 782 447 187 116 202 56 86 90 82 87 148 350 117 315 133 62 146 51 56 36 75 0 0 41 1258 172 428 61 109 17 0 6 4 69 93 109 724 629 648
94.053 97.396 82.793 -15.195 -55.200 -81.447 -142.545 -165.487 -183.591 -144.384 -86.217 1.150 62.550 88.617 -27.803 -56.226 -133.938 -96.593 -168.535 -143.645 -177.249 -122.235 -111.105 -5.620 110.135 118.960 31.320 -54.218 -103.460 -128.621 -78.413 -169.459 -150.090 -152.933 -145.505 100.710 40.928 128.670 65.159
6
Atas
Lebar Atas
515.142 518.484 503.882 405.893 365.888 339.641 278.543 255.601 237.497 276.704 334.872 422.238 483.638 509.705 393.285 364.862 287.150 324.495 252.553 277.444 243.839 298.853 309.983 415.469 531.223 540.048 452.408 366.871 317.628 292.468 342.676 251.629 270.998 268.156 275.583 521.798 462.016 549.758 486.247
421.089 421.088 421.089 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.089 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.089 421.088 421.088 421.088 421.089 421.088 421.088 421.088 421.089 421.088 421.089 421.089 421.088 421.088 421.089 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126
233.982 119.475 72.609 111.891 68.543 79.429 41.077 134.974 333.148 324.143 339.092 256.484 226.098 115.826 69.126 87.029 26.417 42.663 94.366 98.938 245.250 303.952 311.034 289.479 197.152 96.180 117.804 92.639 69.511 43.977 144.098 190.947 236.054 326.602 334.470 258.119 177.294 153.542 31.940 80.064 1.569 27.939 93.709 134.684 285.870 408.470 332.944 222.128 195.649 145.742 17.455 20.903 -5.099 38.253 53.711 107.291 254.977 279.782 309.284 195.273 118.461 93.647 151.848 96.457 58.402 93.165 17.368 141.025 329.943 315.077 294.455 161.827 166.246 141.296 43.751 19.971 54.956 33.355 94.839 84.668 186.490 349.193 353.791 185.315 241.765 216.481 90.314
188 52 155 0 0 0 0 20 283 235 494 202 148 78 149 55 185 41 79 67 230 521 191 227 148 57 93 0 0 103 17 62 212 484 313 20 93 67 31 38 23 6 58 176 187 979 172 344 168 170 78 56 24 63 6 222 444 618 254 98 98 7 66 0 0 11 3 76 170 324 176 113 61 204 103 21 0 0 215 115 71 367 260 95 326 385 85
23.437 -91.069 -137.935 -98.654 -142.001 -131.115 -169.467 -75.570 122.604 113.599 128.548 45.940 15.554 -94.718 -141.418 -123.515 -184.127 -167.881 -116.178 -111.606 34.706 93.408 100.490 78.935 -13.392 -114.364 -92.740 -117.905 -141.033 -166.567 -66.446 -19.598 25.510 116.058 123.925 47.575 -33.250 -57.002 -178.604 -130.480 -208.976 -182.606 -116.835 -75.860 75.326 197.926 122.400 11.584 -14.896 -64.802 -193.089 -189.641 -215.643 -172.291 -156.833 -103.253 44.433 69.238 98.740 -15.271 -92.083 -116.897 -58.696 -114.087 -152.142 -117.379 -193.176 -69.519 119.399 104.533 83.911 -48.717 -44.298 -69.248 -166.793 -190.573 -155.588 -115.705 -125.876 -125.876 -24.054 138.649 143.247 -25.229 31.221 5.937 -120.230
7
444.526 330.019 283.153 322.435 279.087 289.973 251.621 345.518 543.692 534.687 549.636 467.028 436.642 326.370 279.670 297.573 236.961 253.207 304.911 309.482 455.794 514.496 521.578 500.023 407.696 306.724 328.348 303.183 280.055 254.521 354.642 401.491 446.598 537.146 545.014 468.663 387.838 364.086 242.484 290.608 212.113 238.483 304.253 345.228 496.414 619.015 543.488 432.672 406.193 356.286 227.999 231.447 205.445 248.798 264.256 317.835 465.521 490.326 519.828 405.817 329.006 304.191 362.392 307.001 268.946 303.709 227.912 351.569 540.487 525.621 505.000 372.371 376.790 351.840 254.296 230.515 265.500 305.383 295.212 295.212 397.034 559.737 564.335 395.859 452.309 427.025 300.858
421.089 421.088 421.088 421.089 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.089 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.089 421.088 421.088 421.089 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.089 421.089 421.088 421.088 421.088 421.089 421.088 421.088 421.089 421.088 421.088 421.088 421.088 421.089 421.089 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.089 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.089 421.088 421.088 421.088 421.089 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088
127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192
106.394 79.495 54.581 67.789 182.235 312.060 328.932 303.601 232.710 235.597 108.062 104.540 84.940 55.247 86.204 64.663 177.422 314.893 328.098 278.125 257.732 162.966 95.812 63.919 4.790 -8.981 20.045 56.926 135.226 181.088 324.619 277.487 219.874 146.104 113.174 74.670 9.510 35.390 -0.143 85.317 87.504 164.739 304.766 312.771 242.610 123.973 92.349 159.963 30.686 53.434 -13.905 68.587 80.747 145.302 249.567 334.230 334.034 189.317 160.188 68.130 68.874 44.393 40.010 117.077 85.059 281.616
119 73 106 186 144 36 347 114 112 172 91 96 155 32 35 145 87 281 355 135 64 341 113 114 27 11 98 39 198 194 321 436 107 204 99 69 8 0 0 3 98 203 169 267 110 58 95 207 0 43 0 126 298 470 150 556 357 40 124 139 94 160 7 34 182 125
193
250.382
346
194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213
281.390 298.246 237.664 146.391 94.582 43.294 36.613 8.832 115.853 193.294 178.416 363.199 354.778 234.782 114.085 132.436 35.699 61.197 23.212 66.093
15 236 73 80 135 67 51 67 0 19 404 392 305 279 56 102 19 0 0 17
-104.150 -131.049 -155.963 -142.755 -28.309 101.516 118.388 93.057 22.166 25.053 -102.482 -106.004 -125.604 -155.297 -124.340 -145.882 -33.122 104.349 117.554 67.581 47.188 -47.579
8
316.938 290.039 265.125 278.333 392.779 522.604 539.476 514.145 443.255 446.141 318.607 315.084 295.484 265.791 296.748 275.207 387.966 525.437 538.642 488.669 468.277 373.510
-114.732
306.356
-146.625 -205.754 -219.525 -190.499 -153.618 -75.319 -29.456 114.074 66.942 9.330 -64.440 -97.370 -135.874 -201.034 -175.154 -210.687 -125.228 -123.040 -45.805 94.222 102.227 32.066 -86.571 -118.195 -50.581 -179.858 -157.111 -224.450 -141.957 -129.797 -65.243 39.023 123.686 123.490 -21.227 -50.356 -142.414 -141.671 -166.151 -170.534 -93.467 -125.485 71.072 39.838 70.846 87.702 27.120 -64.153 -115.962 -167.250 -173.931 -201.712 -94.691 -17.251 -32.128 152.654 144.234 24.238 -96.459 -78.108 -174.845 -149.347 -187.332 -144.451
274.463 215.334 201.563 230.589 267.470 345.770 391.632 535.163 488.031 430.419 356.648 323.718 285.214 220.054 245.934 210.401 295.861 298.048 375.283 515.310 523.315 453.154 334.517 302.893 370.507 241.230 263.978 196.639 279.131 291.291 355.846 460.111 544.774 544.578 399.861 370.732 278.674 279.418 254.937 250.554 327.621 295.603 492.160 460.926 491.934 508.790 448.208 356.935 305.126 253.838 247.158 219.376 326.397 403.838 388.961 573.743 565.322 445.326 324.630 342.981 246.243 271.741 233.757 276.637
421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.089 421.088 421.089 421.088 421.088 421.088 421.088 421.089 421.088 421.088 421.088 421.088 421.089 421.089 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.089 421.088 421.089 421.089 421.089 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.089 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.089 421.089 421.088 421.088 421.089 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.089 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.089 421.088 421.088 421.089 421.089 421.089 421.088 421.088 421.089 421.089 421.088 421.088 421.089 421.088
214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228
20.127 78.743 194.894 367.780 310.586 260.399 167.634 108.969 57.444 23.023 52.649 87.421 60.538 142.412 252.520
31 49 411 400 347 173 109 170 76 46 10 91 171 130 477
229
333.969
417
230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300
323.620 186.882 151.278 73.601 52.886 154.135 66.139 20.351 52.793 56.489 190.044 229.005 342.473 294.214 97.622 80.659 27.468 43.092 46.748 69.756 51.554 122.466 271.874 340.194 411.000 216.664 161.665 164.820 40.801 30.632 12.991 38.811 52.314 163.722 172.558 379.199 283.935 292.820 268.135 158.161 140.681 21.644 104.707 49.447 54.960 93.645 187.772 272.591 349.784 197.833 208.535 160.853 -13.997 -1.157 -30.523 -22.117 89.130 157.201 283.863 344.799 322.539 267.997 135.324 141.401 106.984 123.050 26.541 68.280 110.697 129.637 284.644
184 99 202 132 80 23 56 0 32 84 65 359 70 253 343 5 0 0 1 0 17 81 110 653 335 244 54 125 190 106 0 31 100 251 135 491 351 345 114 81 79 33 43 64 152 161 115 681 124 121 251 28 31 0 0 0 0 7 242 26 265 164 297 218 210 101 95 89 142 362 220
-190.418 -131.802 -15.650 157.235 100.042 49.854 -42.910 -101.575 -153.101 -187.521 -157.896 -123.123 -150.007 -68.132 41.976 123.425 113.076 -23.662 -59.267 -136.943 -157.658 -56.409 -144.406 -190.193 -157.751 -154.055 -20.500 18.461 131.929 83.670 -112.922 -129.886 -183.076 -167.452 -163.797 -140.788 -158.990 -88.078 61.329 129.650 200.456 6.120 -48.879 -45.724 -169.743 -179.912 -197.553 -171.734 -158.230 -46.822 -37.986 168.655 73.391 82.276 57.591 -52.383 -69.864 -188.900 -105.837 -161.097 -155.584 -116.899 -22.772 62.047 139.240 -12.711 -2.009 -49.691 -224.542 -211.701 -241.067 -232.661 -121.414 -53.343 73.319 134.255 111.995 57.452 -75.220 -69.144 -103.561 -87.494 -184.003 -142.264 -99.847 -80.907 74.100
9
230.671 289.287 405.439 578.324 521.130 470.943 378.178 319.513 267.988 233.567 263.193 297.965 271.082 352.956 463.064 544.513 534.164 397.426 361.822 284.145 263.430 364.679 276.683 230.895 263.337 267.033 400.588 439.549 553.017 504.758 308.166 291.203 238.012 253.636 257.292 280.300 262.098 333.010 482.418 550.738 621.544 427.209 372.209 375.364 251.345 241.176 223.536 249.355 262.858 374.266 383.102 589.743 494.479 503.364 478.679 368.705 351.225 232.188 315.251 259.991 265.504 304.189 398.316 483.135 560.329 408.377 419.080 371.397 196.547 209.387 180.021 188.427 299.674 367.745 494.407 555.343 533.083 478.541 345.868 351.945 317.528 333.594 237.085 278.825 321.241 340.181 495.188
421.089 421.089 421.089 421.089 421.088 421.089 421.088 421.088 421.089 421.088 421.089 421.088 421.089 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.089 421.088 421.088 421.088 421.089 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.089 421.088 421.088 421.089 421.088 421.088 421.088 421.089 421.088 421.088 421.089 421.088 421.088 421.088 421.088 421.089 421.089 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.089 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.089 421.088 421.089 421.088 421.089 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.088 421.089 421.088 421.089 421.089 421.088 421.088 421.089 421.088 421.088 421.088
Dari Tabel 3 di atas terlihat bahwa diantara 300 pengamatan, ternyata ada 19 buah selang yang tidak memuat y-asli yaitu pengamatan ke : 1, 25, 37, 39, 61, 85, 97, 179, 180, 182, 194, 204, 216, 228, 242, 244, 253, 277, dan 289. KESIMPULAN Prediksi model curah hujan dengan pendekatan regresi Bayes PCA dalam model out-sample memberikan hasil yang lebih baik dari pada metode PCR. Pada makalah membahas formula untuk mendapatkan estimasi parameter secara numerik, kemudian dilanjutkan dengan melakukan inferensia. Namun hasil yang diperoleh masih belum memenuhi harapan. Hal ini terlihat dari antara lain s βˆ yang masih besar yang berakibat melebarnya selang kepercayaan bagi βj, oleh karena
()
itu masih diperlukan pengkajian berkelanjutan sehingga diperoleh hasil yang lebih baik, misalnya menggunakan berbagai prior serta pendekatan berhierarki. DAFTAR PUSTAKA
Anggraeni, S., 2009, “ Pra-Pemrosesan Data Luaran GCM (General Circulation Models) CSIROMk3 dengan Metode Transformasi Wavelet Diskrit”, Tugas Akhir, Surabaya : Program Sarjana, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Box, G.E.P., and Tiao G.C. , 1973. Bayesian Inference in Statistical Analysis. Reading Mass., Addison- Wesley Publishing Co. London. Draper, N.R. dan Smith, H. 1992. Analisis Regresi Terapan, Edisi kedua. Jakarta: PT. Gramedia Pustaka Utama. Johnson, R.A and Wichern, D.W., 2002, “Applied Multivariate Statistical Analysis”, 5th End. New Jersey: Prentice Hall. Khotimah, K., 2009, “Reduksi Dimensi Robust Dengan Estimator MCD Untuk Pra- Pemrosesan Data Pemodelan Statistical Downscaling” Tugas Akhir, Surabaya : Program Sarjana, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Manorang, J., 2009, “Analisis Komponen Utama Kernel Untuk Pra Pemrosesan Pemodelan Statistical Downscaling”, Tugas Akhir, Surabaya : Program Sarjana, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Prastyo, D.D., 2008, “Pemodelan Farmakokinetika Populasi dan Individu Menggunakan Algoritma EM-Nonparametrik dan Analisis Bayesian”, Tesis, Surabaya: Sekolah Pascasarjana, Institut Tekonologi Sepuluh Nopember. Rencher, A.C., 1998, “Multivariate Statistical Inference and Application”, Willey-Interscience Publication, Brigham. Setiawan, 2003, “Pendekatan Bayes Dengan Prior Normal Dalam Kalibrasi”, Makalah Seminar Nasional Matematika dan Statistika VI, 11 Oktober 2003, FMIPA-ITS Surabaya. Sutikno, 2008, “Statistical Downscaling Luaran GCM dan Pemanfaatannya untuk Peramalan Produksi Padi” Disertasi. Bogor: Program Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor. Zorita, E. and von Storch, H., (1999): “The analog method as a simple statistical downscaling technique: comparison with more complicated method”, Journal of Climate, 12, 2474-2489. Wigena, A.H., 2006, “Pemodelan Statistical Downscaling dengan Regresi Projection Pursuit untuk Peramalan Curah Hujan Bulanan” Disertasi. Bogor: Program Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor.
10
