j^ SPP 0j = j^ SP 0 T j. Odtud plyne, e 3 j^SPP 0j = j^SP 0 Qj. Ze soumrnosti sdruench hl konen plyne ' = j^ SPQ0j = j^ SP 0Qj, tedy = 13 '. Jak jsme d ve zdvodnili, tato konstrukce neme bt eukleidovsk, je v ak dostaten jednoduch. K jejmu proveden sta list papru a p ekldn p ehyb. Take zvrem: kdyby ml Eukleides papr...
Literatura
1] Alperin, R. C.: A mathematical theory of origami constructions and numbers. New York Journal Math. 6, 2000.
2] Casselman B.: If Eukleides had been Japanese. Notices American Mathematical Society, 54, 2007).
3] Eukleides: Zklady. Vyd. OPS, Nymburk 2008.
4] Hull T.: Project origami: Activities for exproring mathematics. A. K. Peters, Ltd., Wellesley, MA, 2006.
5] Geretschlger R.: Geometrie origami. Arbelos, Shipley 2008.
lohy s dopravn tematikou PAVLA PAVLKOV { JARMILA ROBOV { ANTONN SLAVK Matematicko-fyzikln fakulta UK, Praha
Tento lnek1 voln navazuje na p edchoz p edstaven vznikajc sbrky aplikanch loh2 a je zam en na lohy souvisejc s rznmi situacemi s dopravn tematikou. Uveden p klady z matematick ho hlediska procviuj linern, kvadratickou a linern lomenou funkci, e en jednoduchch rovnic a nerovnic, prci s grafem a ven prmr. 1 lnek vznikl s podporou rozvojovho projektu MMT . 14/38 (Podpora informanch center a spoluprce se st ednmi kolami a ve ejnost). 2 Pavlkov, P. { Robov, J. { Slavk, A.: Fahrenheit, Celsius a americk cent, MFI, ro. 20 (2010/2011), . 7.
Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011
453
1. Benzin nebo nafta?
Pan Novkov uvauje o koupi nov ho vozu. Rozhoduje se mezi variantou vozu s naftovm nebo benzinovm motorem. Auto, kter si vybrala, stoj s naftovm motorem 311 000 K, cena t ho auta s benzinovm motorem je 246 900 K. Vrobcem udvan kombinovan spot eba na 100 km je u naftov ho pohonu 4,8 litru, u benzinov ho 5,9 litru. Po ujet kolika kilometr by se vyplatila investice do dra , tedy naftov verze, uvaujeme-li cenu benzinu 32,70 K za litr a cenu nafty 31,80 K za litr?3 een. Dan probl m p edstavuje jednoduchou variantu rozhodovac lohy, kdy hledme pro ns optimln e en. Ke sprvn mu rozhodnut meme vyut schopnost pracovat s linern nerovnic. Ozname-li si x poet najetch kilometr, potom nklady N1 spojen s koup benzinov ho motoru jsou
59 K N1 = 246 900 + x 3270 100
(celkov nklady jsou soutem kupn ceny vozu a stky, kterou zaplatme v prmru po ujet x kilometr za pohonn ltky). Pro variantu s naftovm motorem obdobn plat
48 K: N2 = 311 000 + x 3180 100 Je z ejm , e krtce po nkupu vozu bude N1 < N2 . Na m kolem je vypotat hodnotu x, p i kter se zane vyplcet investice do dra ho motoru. e me tedy nerovnici N1 N2 , tj. 59 311 000 + x 3180 48 246 900 + x 3270 100 100 odkud vyplv x 159 097: Pokud by se pan Novkov rozhodovala jen podle uvedench daj (a nikoliv podle vlastnost motoru atd.), vyplatil by se j naftov pohon pouze v p pad, kdyby s vozem plnovala ujet vce ne 160 tisc kilometr. 3
454
Uveden ceny pohonn ch hmot byly aktuln k 23. 11. 2010.
Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011
;
Danou lohu meme rovn e it gra)cky. Do jednoho grafu vyneseme zvislosti nklad N1 , N2 na potu x ujetch kilometr# hledanou hodnotu odeteme jako x-ovou sou adnici prseku obou p mek:
Se studenty dle meme diskutovat nad otzkou, jak by se zmnil vsledek lohy, pokud by nap klad cena za litr benzinu vzrostla o 1,50 K a cena za litr nafty klesla o 0,20 K (v tom p pad by se naftov pohon vyplatil po ujet p iblin 128 tisc kilometr), resp. jak by vsledn rozhodnut pan Novkov ovlivnila pobdka prodejce v podob slevy 30 000 K p i nkupu naftov ho motoru (hranin hodnota by byla p iblin 85 tisc kilometr).
2. erven na semaforu
Automobil jedouc rychlost v0 = 50 km/h se bl ke svteln k iovatce. V okamiku, kdy se po zelen m signlu rozsvt lut4 signl Pozor!, je auto 45 metr p ed k iovatkou, a doba, po kterou svt lut signl, je 3 sekundy. Jak by se ml idi zachovat, jestlie se boj ztrty bod za projet k iovatky na ervenou? M pokraovat v jzd stlou rychlost, nebo m zat brzdit, nebo m naopak zrychlit? P edpokldejme, e reakn doba idie je tR = 1 sekunda. 4 Pokud by vs v tto chvli lkalo protestovat proti termnu lut signl, nebo svtlo na semaforu se jev oran ov, lze se odvolat na text Vyhlky . 30/2001 Sb., kterou se provdj pravidla provozu na pozemnch komunikacch a prava a zen provozu na pozemnch komunikacch, ve znn vyhlky . 153/2003 Sb., vyhlky . 176/2004 Sb., vyhlky . 193/2006 Sb., vyhlky . 507/2006 Sb., vyhlky . 202/2008 Sb., vyhlky . 91/2009 Sb. a vyhlky . 247/2010 Sb. Pro matematickou podstatu lohy natst nen barva signlu !Pozor!# d$le it.
Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011
455
a) ,lohu e te pro p pad (i) such asfaltov vozovky (volte koe)cient smykov ho t en mezi vozovkou a pneumatikami vozidla f = 0 8), (ii) namrzajc asfaltov vozovky (volte koe)cient smykov ho t en mezi vozovkou a pneumatikami vozidla f = 0 3). b) Jakou maximln rychlost by mohl jet idi v p pad ii), aby dobrzdil je t p ed semaforem? een. P i e en t to lohy je nutn si uvdomit, e drha pot ebn pro zastaven vozidla je soutem tzv. reakn drhy a vlastn brzdn drhy. Reakn drha sR je drha, kterou idi ujede od okamiku, kdy rozpozn kritickou situaci, do okamiku, kdy tuto informaci vyhodnot a zane brzdit. D lka reakn doby idie zvis na jeho okamit m zdravotnm stavu, koncentraci a dal ch okolnostech. Za prmrnou reakn dobu tR bv povaovna jedna sekunda. Pohybuje-li se vozidlo rychlost v0 , potom pro reakn drhu plat (jde o rovnomrn pohyb) sR = v0 tR : P i vpotu vlastn brzdn drhy meme vyut zjednodu en verze zkona zachovn energie.5 Ozname m hmotnost vozidla, f koe)cient smykov ho t en mezi vozovkou a pneumatikami vozidla, g thov zrychlen (g =: 981 m/s2) a sB brzdnou drhu. P edpokldme-li, e se kinetick energie vozidla 12 m v2 p i brzdn p emn v prci t ecch sil m f g sB psobcch mezi pneumatikami a vozovkou, plat p iblin 1 m v2 = m f g s B 2 odkud pro vpoet brzdn drhy sB zskme p iblin vztah 2 sB = 2fv0 g
a pro celkovou drhu s pot ebnou pro zastaven vozidla dostaneme 2 s = sR + sB = v0 tR + 2fv0 g :
5 Akoliv se jedn o zjednoduen celho problmu (nezab vme se kvalitou brzdovho systmu danho vozu, hloubkou vzorku na pneumatikch atd.), analogick p ibli n vztah najdeme mimo jin i v norm SN 73 6101 Projektovn silnic a dlnic v p loze B pro v poet dlky rozhledu pro zastaven.
456
Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011
a) V p pad i) zskme po dosazen f = 0 8 hodnotu
2 s = 3506 1 + 362 2 50 m =: 26 m: 08 981 idi rozhodn stihne zabrzdit je t d ve, ne se na semaforu rozsvt erven. V p pad ii) plat pro f = 0 3
2 m =: 47 m: s = 3506 1 + 362 2 50 03 981 Na namrzl vozovce tedy idi nestihne dobrzdit je t p ed semaforem. Pokud by vbec brzdit nezaal a pokraoval v jzd rychlost v0 , potom by za 3 sekundy ujel 41,7 metru. Nestihl by proto projet, dokud svt lut svtlo, a do k iovatky by vjel na ervenou, m by riskoval pt trestnch bod do sv karty idie. Jeho jedinou monost je proto v situaci ii) p im en zrychlit.6 b) Hledme-li maximln selnou hodnotu vmax poten rychlosti, p i n by idi dobrzdil v situaci ii) je t p ed semaforem, e me kvadratickou nerovnici 2
v 45 v3max 1 + 2 max 6 36 2 03 981
tedy 2 + 2119 v 0 vmax max ; 343272:
Jejm e enm zjistme, e poten rychlost nesm p ekroit 4895 km/h. e en ilustruje nsledujc obrzek (drha s pot ebn k zastaven je kvadratickou funkc poten rychlosti v0 ): 6 Riziko bodovho postihu za p ekroen maximln povolen rychlosti v obci o mn ne 20 km/h je ni (2 body) ne v p pad jzdy na ervenou.
Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011
457
;
3. Kombinovan spoteba
Pan Bezradn si zakoupil nov automobil. P i jeho koupi mu prodvajc sdlil nsledujc daje tkajc se spot eby dan ho modelu: kombinovan spot eba 6,9 l/100 km, spot eba mimo msto 4,9 l/100 km (spot ebou v mstsk m provozu se takticky nechlubil). Kupujc tedy oekval, e spot eba ve mst se bude pohybovat kolem 9 l/100 km.7 Pan Bezradn v ak jezdil p evn v mstsk m provozu. Ke sv mu zd en brzy zjistil, e i po tzv. zbhu nov ho motoru dosahuje prmrn spot eby nad 10 l/100 km, p estoe si zakld na tom, e m velmi lehkou nohu na plynu. Vypravil se tedy ke sv mu prodejci tento fakt reklamovat. Byla jeho stnost oprvnn? een. Kupujc doplatil na to, e si nezjistil v echny informace. Na zklad smrnice . 70/220/EHS (ve znn pozdj ch novel, zejm na smrnice . 91/441/EHS) se v souasn dob kombinovan spot eba S osobnch vozidel uruje jako v en prmr spot eby p i jzd mstem M a p i jzd mimo msto V podle vzorce +7V : S = 4 M 11 Pro spot ebu v mstsk m provozu v p pad pana Bezradn ho vychz M = 11 S 4; 7 V 7 Naivn zkaznk p i svm odhadu vychzel ze zkuenosti se sv m p edchozm vozem z roku 1990, u nj byly v technickm pr$kazu uvedeny spot eby v re imech m sto/90 km/120 km (podle smrnice . 80/1268/EHS) a kombinovan spot eba se potala jako aritmetick pr$mr tchto hodnot.
458
Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011
tedy
M = 11 69 4; 7 49 l/100 km = 104 l/100 km.
Stnost pana Bezradn ho nebyla oprvnn.
4. Pedj d n na dlnici
Na dlnici jel v pomal m jzdnm pruhu kamion dlouh 12 m rychlost
v0 = 80 km/h. Kdy se k nmu zezadu na 100 m p iblil dal kamion
jedouc rychlost 90 km/h, vyboil tento druh kamion do rychl ho jzdnho pruhu a pustil se do p edjdn. Kdy byl 100 m p ed p edjdnm kamionem, vrtil se zpt do pomal ho jzdnho pruhu a pokraoval v jzd. Pro zjednodu en p edpokldejme, e oba idii mli nastaven tempomat, take udrovali po celou dobu man vru konstantn rychlost. a) Jak dlouho p i cel m p edjdn blokoval kamion rychl pruh dlnice? b) Odvo&te obecn vztah pro dobu p edjdn t p i rychlosti p edjdjcho kamionu v. Sestrojte graf zvislosti doby p edjdn t v sekundch na rychlosti p edjdjcho kamionu v pro v 2 h81 km/h# 100 km/hi. c) Vypotte, jakou rychlost by musel kamion p edjdt, aby rychl pruh blokoval maximln po dobu jedn minuty. een. a) Bhem p edjdn musel druh kamion ujet o (100 + 12 + 100) metr vce ne kamion, kter byl p edjdn. Druh kamion se vzhledem k prvnmu pohyboval rychlost o 10 km/h = (10 : 36) m/s vt . Cel p edjdc man vr mu proto trval dobu + 12 + 100 s =: 76 s: t = 100 10 : 36 Rychl pruh dlnice byl blokovn po dobu 76 s, tedy d le ne jednu minutu. Nelze se proto divit, e na mnoha secch na ich silnic je jzda kamion v rychl m pruhu zakzna. b) Pro as t vyjd en v sekundch lze odvodit vztah + 100) 36 s = 7632 s t = (100 + 12 v ; 80 v ; 80 kde v je rychlost p edjdjcho kamionu v km/h. %as t je linern lomenou funkc rychlosti v. Pro hodnoty v 2 h81 km/h# 100 km/hi dostaneme st vtve hyperboly: Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011
459
;
c) Zajm ns, pro jakou selnou hodnotu rychlosti vmin bude t 60 s. e me proto nerovnici (100 + 12 + 100) 36 60: vmin ; 80 Odtud plyne, e p edjdjc kamion by se musel po silnici pohybovat rychlost alespo! 9272 km/h.
Zv r
Uveden lohy byly vnovny rznm situacm v doprav. S dal mi aplikanmi lohami, kter vytv kolektiv autor z Matematicko-fyzikln fakulty UK, se mete v blzk dob seznmit na webovch strnkch Katedry didaktiky matematiky MFF UK v Praze. Na adrese www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/aplikace
budou zve ejnny nkter nov lohy z p ipravovan sbrky.
460
Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011
