No title

MATEMATIKA Jak matematika se ukrv v praskm orloji? MICHAL K EK { LAWRENCE SOMER { ALENA OLCOV Matematick stav AV R, Praha { Stavebn fakulta VUT, Praha

1. vod Pra sk orloj vznikl v dob mistra Jana Husa { kolem roku 1410. Jeho mechanicko-matematick model navrhl Jan Ond ejv, zvan indel, kter se zabval matematikou a astronomi na pra sk univerzit (viz 3, s. 15]). Jeho star kolega K ian z Prachatic ji kolem roku 1406 zde pednel o konstrukci astrolbu. Uniktn stroj orloje je um stn uvnit staromstsk radnin v e. Vytvoil jej Mikul z Kadan (viz 1]). Pvodn se skldal ze dvou st : jic ho (tj. hlavn ho hodinovho) stroje a bic ho stroje. Pozdji byl doplnn jet o stroj apotolsk (zvonic ), kter pohybuje gurami u ostn astronomickho cifern ku a pohn prvod apotol. V prbhu stalet byla konstrukce orloje v cekrt zdokonalovna, nap. povstnm Janem z Re (mistrem Hanuem). Genialitu tehdej ch hodin m eme demonstrovat na konstrukci za zen pro pesnou regulaci der zvonu. Bic stroj obsahuje velk ob n kolo o prmru 65 cm s 24 zezy na vnj m obvodu, jejich vzdlenosti postupn narstaj (viz obr. 1 a 2). To umo uje periodick opakovn

1{24 der zvonu bhem ka dho dne. ) Soust bic ho stroje je i pomocn koleko o prmru 13 cm, jeho obvod je rozdlen 6 zezy na segmenty o dlkch oblouku 1, 2, 3, 4, 3, 2 (viz obr. 1 a 2). Tato sla se periodicky opakuj po ka d otoce a jejich souet je s = 15. Na zatku )

Poet der zvonu odpovd SE, tj. v letnm ase orloj odbj v dy o hodinu mn .

Matematika - fyzika - informatika 16 2006/2007

1

;;; ;; ;; ; ; Obr. 1 Detail bicho stroje pra skho orloje z potku 15. stolet.

ka d hodiny se zvedne zpadka, ob kola se zanou otet a zvon odb j

p slun poet hodin. Kola se zastav , jakmile zpadka zapadne souasn do zez na obou kolech. Ka d den ude zvon celkem 1 + 2 + : : : + 24 = = 300krt, a proto e toto slo je dliteln s = 15, bude pomocn koleko na potku ka dho dne v dy ve stejn poloze. Velk kolo m 120 vnitn ch zub, kter zapadaj do cvovho kola se 6 vodorovnmi tykami, je obklopuj sted pomocnho koleka (obr. 1 a 2). Proto e se velk kolo oto jednou denn, pomocn koleko se oto

za tu dobu 20krt. Obvodov rychlost pomocnho koleka je ale pibli n 4krt vt , proto e jeho obvod je 5krt men ne obvod velkho kola. To umo uje dostaten pesnou regulaci potu der zvonu zejmna pi opoteben zez velkho kola. Bez pomocnho koleka by toti mohl zvon udeit nap. jen 11krt m sto 12krt, pokud by segment oznaen 12 na obr. 2 ml ji p li zaoblen konce. Pro jeden der zvonu hodinu po plnoci je dokonce pomocn koleko nezbytn, nebo na velkm kole schz p slun segment (obr. 1 a 4). 2


;

Obr. 2 Poet der zvonu je oznaen sly 9 10 11 12 13 po vn jm obvodu velkho kola. Za nm je umst no pomocn koleko, jeho obvod je zezy rozd len na segmenty o dlkch oblouku 1, 2, 3, 4, 3, 2. Zpadka je znzorn na mal m obdlnkem nahoe uprosted. :::

:::

Kdy se pomocn koleko ot , vytv pomoc dlek segment mezi jednotlivmi zezy periodickou posloupnost, jej sten souty odpov daj potu der zvonu v ka dou celou hodinu, 1 2 3 4 |{z} 3 2 1| {z2 3} |{z} 43 5 6 7 2| 1{z2 3} 4| {z3 2} 1| 2{z3 4} 3| 2 {z1 2 3} 4| 3 {z2 1 2} 8 9 10 11 12 3| 4 {z3 2 1} 2| 3 {z4 3 2} 1| 2 3{z4 3 2} 13 14 15

(1)

:::

V dal kapitole uk eme, e takto bychom mohli pokraovat a do nekonena. Vechny periodick posloupnosti ale tuto pozoruhodnou soutovou vlastnost nemaj . Nap klad je patrno, e nelze pou t periodu 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, proto e pro 6 der zvonu je 6 < 4 + 3. Rovn perioda 1 2 3 2 se k tomuto elu nehod , nebo pro 4 dery mme 2 + 1 < 4 < 2 + 1 + 2.

2. Trojhelnkov sla a periodick posloupnosti

V tto kapitole uk eme, jak souvis troj helnkov sla Tk = 1 + 2 + : : : + k = k(k 2+ 1) k = 0 1 2 : : : (2) s bic m strojem pra skho orloje. Budeme se t zabvat periodickmi posloupnostmi, kter maj podobnou vlastnost jako posloupnost 1, 2, 3, 4, Matematika - fyzika - informatika 16 2006/2007

3

3, 2, : : : v (1), tj. kter by mohly bt pou ity pi konstrukci pomocnho koleka. Mno inu pirozench sel ozna me N = f1 2 : : : g.

De nice 1 e

Posloupnost (ai )1 i=1 se nazv periodick, jestli e existuje p 2 N takov, 8 i 2 N : ai+p = ai :

(3)

Konen posloupnost a1 : : : ap se nazv perioda a p d lka periody. Nejmen p spluj c (3) se nazv minimln d lka periody a jemu odpov daj c posloupnost a1 : : : ap minimln perioda.

De nice 2

Nech (ai ) N je periodick posloupnost. ekneme, e trojheln kov slo Tk pro k 2 N je dosaiteln pomoc posloupnosti (ai ), jestli e existuje n 2 N tak, e

Tk =

n X i=1

ai :

(4)

Posloupnost (ai ) se nazv indelovsk, jestli e Tk je dosa iteln pomoc

(ai ) pro vechna k 2 N , tj. 8 k 2 N 9 n 2 N : Tk =

n X i=1

ai :

(5)

Trojheln kov slo Tk na lev stran je rovno soutu 1 + : : : + k hodin na velkm kole, zat mco souet na prav stran odpov d celkovmu pootoen

pomocnho koleka (obr. 3). Pitom pro k-tou hodinu plat

k = Tk ; Tk;1 =

n X i=m+1

ai

(6)

kde Tk;1 = m i=1 ai . Proto e ai > 0, je slo n ve vztahu (5) zvisej c

na k ureno jednoznan. Z (2) a (4) je tak patrno, e a1 = 1, je-li (ai ) indelovsk posloupnost. P

4


|{z} 1

| {z } 2

|

{z

}

3

{z

|

}

4

|

{z

}

| {z }

3

2

|{z} | {z } 1

|

|

2

{z

{z

}

3

}

|

4

{z

}

3

Obr. 3 Schematick znzorn n trojhelnkovho sla 7 . ern teky v -tm dku znzoruj poet der zvonu v -t hodin , viz (6). sly jsou oznaeny dlky segment mezi zezy na pomocnm koleku. T

k

k

Nsleduj c vta ukazuje, e podm nku (5) lze zamnit mnohem jednodu podm nkou, je obsahuje pouze konen poet sel k. To nm umo uje provst jen konen poet aritmetickch operac , abychom zjistili, zda zvolen perioda a1 : : : ap dv indelovskou posloupnost ve smyslu denice 2. Souet prvk periody budeme nadle oznaovat

s=

p X i=1

ai :

(7)

V ta 1

Periodick posloupnost (ai ) je pro lich s ve vztahu (7) indelovsk, jestli e Tk je dosa iteln pomoc (ai ) pro k = 1 2 : : : 12 (s ; 1). Dkaz. P pad s = 1 je triviln . Nech tedy s 3 je lich a nech 8 k 2 f1 2 : : : 12 (s ; 1)g 9 n 2 N : Tk = Matematika - fyzika - informatika 16 2006/2007

n X i=1

ai :

(8) 5

Podle (7) plat

1 + 2 + : : : + (s ; 1) = s ;2 1

p X i=1

ai

(9)

kde p je dlka periody a 12 (s ; 1) je cel slo. Pro odpov daj c posloupnost

: : : ap} : : : a| 1 a2{z : : : ap} (10) a| 1 a2{z : : : ap} a| 1 a2{z s s s pak vztah (9) vyjaduje, e se perioda a1 a2 : : : ap v posloupnosti (10) opakuje 12 (s ; 1)krt. Mus me ovit rovnost (4) pro vechna k 12 (s + 1) za pedpokladu (8). Pro k = s ; 1, kter je sud, pomoc (2), (9) a (3) dostvme pk

p 2 X X k Tk = Ts;1 = 2 ai = ai i=1

i=1

neboli n = 12 pk ve vztahu (4), a slo Ts;1 je tedy dosa iteln. Pedpokldejme nyn , e k = s ; 1 ; k0 , kde 1 k0 21 (s ; 3) a s > 3. Podle pedpokladu (8) existuje n0 2 N tak, e n k0 (k0 + 1) = X ai : (11) 2 i=1 Ze vztahu (2) plyne, e 0 0 0 0 0 Tk = Ts;1;k = (s ; 1 ; k2 )(s ; k ) = s(s ; 12; 2k ) + k (k 2+ 1) : (12) Proto e s je lich a 1 k0 12 (s ; 3), je m = s ; 1 ; 2k0 sud pirozen slo. Tedy podle (12), (7), (11) a (3) plat

0

0

p n 0X X Tk = s ; 12; 2k ai + ai = 0

i=1

i=1

pm +n0 2X

i=1

ai :

Dle nech k = qs + k0 pro q 2 N a 0 k0 < s. Potom z (2) a (7) obdr me pj 0 )(qs + k0 + 1) 0 (k0 + 1) X k ( qs + k = sj + = ai + Tk Tk = 2 2 i=1 kde j = 12 q(qs + 1) + qk0 je cel slo a Tk = 0 pro k0 = 0. 0

0

6


Z pedchoz sti dkazu ji ale v me, e Tk = n0 2 N a 0 < k0 < s, co jsme chtli dokzat. 0

Pn0

i=1 ai pro njak

Poznmka. $ slo 12 (s ; 1) ve vztahu (8) nelze zredukovat, je-li p dlka minimln periody odpov daj c s. Abychom se o tom pesvdili, sta

uva ovat posloupnost (ai ) s minimln periodou 1 2 2 1 4 1 4 a soutem s = 15. Pak podle denice 2 jsou trojheln kov sla T1 : : : T6 dosa iteln pomoc (ai ), ale T7 nen .

Pklady

Vznam vty 1 m eme demonstrovat na posloupnosti (1) pro s = 15. Sta toti ovit vztah (5) pouze pro k 12 (s ; 1) = 7, tedy jen prvn

dek ve vztahu (1). Dosa itelnost celch sel k > 7 na dal ch dc ch (1) pak vyplv z vty 1. Podobn m eme ovit pedpoklady vty 1 i pro dal periody: 1 2 pro p = 2 a s = 3, 1 2 2 pro p = 3 a s = 5, 1 2 3 1 pro p = 4 a s = 7, 1 2 3 3 pro p = 4 a s = 9, 1 2 2 1 4 1 4 1 4 1 4 pro p = 11 a s = 25. Existuj indelovsk posloupnosti i pro s sud. Jednu takovou m eme zkonstruovat nap. z periody 1 2 1 1 1: 1 2 1| {z1 1} 1| {z 2 1} 1| 1{z1 2} 1| 1 {z 1 1 2} : : : 3 4 5 6

(13)

$initel 12 (s ; 1) na prav stran (9) ale nen celo seln. Proto p slun prvky posloupnosti vyjaduj c slo s = 6 ve (13) nejsou ve stejnm poad

jako dan perioda.

V ta 2

Periodick posloupnost (ai ) je pro sud s ve vztahu (7) indelovsk, jestli e Tk je dosa iteln pomoc (ai ) pro k = 1 2 : : : s ; 1. Dkaz. Nech s ve vztahu (7) je sud a nech 8 k 2 f1 2 : : : s ; 1g 9 n 2 N : Tk = Matematika - fyzika - informatika 16 2006/2007

n X i=1

ai :

(14) 7

Ze vztah (7) a (3) vyplv, e

T2s;1 = (2s ; 1)

p X i=1

ai =

(2X s;1)p i=1

ai :

Nech k = 2s ; 1 ; k0 , kde 1 k0 s ; 1. Podle pedpokladu (14) existuje n0 2 N tak, e n k0 (k0 + 1) = X a: 0

2

i

i=1

Potom z (2) mme

0

0

0 0

Tk = T2s;1;k = (2s ; 1 ; k2 )(2s ; k ) = s(2s ; 1 ; 2k0 ) + k (k 2+ 1) 0

a tud

p

n

pm +n X

i=1

i=1

i=1

0

X X Tk = (2s ; 1 ; 2k0 ) ai + ai =

0

ai

kde m = 2s ; 1 ; 2k0. Zbytek dkazu pro k 2s ; 1 se podob dkazu vty 1.

3. Zv ren poznmky $ slo s ; 1 v (14) opt nelze zredukovat, je-li p dlka minimln periody odpov daj c s. Abychom toto ovili, sta uva ovat periodickou posloupnost (ai ) s minimln periodou 1 2 1 a s = 4. Pak jsou trojheln kov sla T1 a T2 dosa iteln pomoc (ai ), avak T3 dosa iteln nen . V lnku 2] jsou uvedeny nutn a postauj c podm nky pro to, aby posloupnost (ai ) byla indelovsk, a to ve smyslu denice 2. Je zde uveden t algoritmus, pomoc nho nalezneme vechny indelovsk posloupnosti pro dan s. Nap. pro s = 2m, m 0, jedin mo n indelovsk posloupnost je 1 1 1 : : : 8


;;; ;; ;; ; ;

Obr. 4 Umst n pomocnho koleka v bicm stroji. Zpadka je v poloze mezi segmenty odpovdajcmi 8. a 9. hodin rann.

Pra sk orloj je patrn nejstar a stle funguj c hodinov stroj, kter obsahuje takov dmysln za zen pro pesnou regulaci potu der zvonu (viz obr. 4 a 1, s. 78]). Zvrem jet poznamenejme, e %indel se narodil v Hradci Krlov. Proto dalekohled na tamn hvzdrn nese jeho jmno. Tak planetka . 3847 dostala jmno %indel. Literatura 1] Horsk, Z.: Pra sk orloj. Panorama, Praha 1988. 2] K ek, M. { olcov , A. { Somer, L.: Triangular numbers and the astronomical clock of Prague, preprint M AV R, Praha, http://mat.fsv.cvut.cz/solcova. 3] Smolk, J.: Mathematikov v echch od zalo en university Pra sk. Publ. nkladem spisovatelov m, Antonn Renn, Praha 1864.


9

No title

Recommend Documents