Tomáš Rössler
Nejistoty měření Měření je souhrn činností, prováděných za účelem stanovení hodnoty měřené veličiny. Při měření se využívá měřicích přístrojů a měřicích metod, měření se uskutečňuje v určitém prostředí, za účasti a pod dohledem experimentátora a celý proces měření trvá jistou dobu. Výsledek měření je zatížen chybou, na jejíž velikosti se podílejí všechny výše uvedené složky (nesprávně definovaná nebo nepřesně realizovaná jednotka, použitá měřidla, zvolené metody měření, prostředí, experimentátor a čas). Nedílnou součástí výsledku měření je proto kromě vyjádření kvantity (výsledek měření) i vyjádření kvality (nejistota měření). Při určování nejistoty měření se musí respektovat metrologické parametry použitých měřidel (základní chyba, třída přesnosti, přídavná chyba, změna údaje, měřící rozsahy, referenční a pracovní podmínky, ovlivňující veličiny apod.). Je nutné uvážit, zda měřený objekt je dobře definovaný, zda jsou dodrženy pracovní podmínky a referenční hodnoty ovlivňujících veličin, zda jsou dodrženy předepsané procedury měření apod. To vše dohromady způsobuje nejistotu výsledku měření. V roce 1992 vychází pod hlavičkou předních mezinárodních metrologických organizací (CIPM, BIPM, OIML, ISO, IEC a další) zásadní dokument s názvem „Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement“, obsahující nový přístup k hodnocení přesnosti měření. Základní principy jsou obsahem této publikace. K
U P O
Obsah 1. Model měření
2
2. Citlivost měřící sestavy
2
3. Rozsah výstupní veličiny
3
4. Rozlišovací schopnost měření
3
5. Počet rozlišitelných úrovní
4
6. Přesnost měření
4
7. Literatura
8
verze z dubna 2011
© volně šířitelný text
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzdělávání výzkumných pracovníků v Regionálním centru pokročilých technologií a materiálů (CZ.1.07/2.3.00/09.0042)
1.
Model měření
Modelem měření [1, 3, 9], respektive modelem vyhodnocení měření, se rozumí obecný vztah mezi vstupními a výstupními veličinami pro dané měření. Reprezentuje nejen princip, postup a metodu měření, ale například také vliv prostředí, v němž měření probíhá nebo znalosti a zkušenosti pracovníka, realizujícího toto měření. Vstupní veličiny měření je možno rozdělit do tří skupin. Jsou to přímo měřené, parazitní a ostatní veličiny potřebné ke stanovení výsledku, kam jsou zařazeny fyzikální konstanty, hodnoty veličin převzaté z jiných souvisejících měření a podobně. Počet vstupních veličin je označen symbolem n. Hodnoty výstupních veličin tvoří výsledek měření. Často jde pouze o jednu výstupní veličinu, obecně se jedná o soubor m veličin. Nejsou určeny přímo měřením, ale nepřímo výpočtem, pomocí soustavy funkcí Y1
=
f1 (X1,1 ; X1,2 ; . . . ; X1,n1 ) = f1 (X1 )
Y2
= .. . =
f1 (X2,1 ; X2,2 ; . . . ; X2,n2 ) = f2 (X2 )
Ym
(1) f1 (Xm,1 ; Xm,2 ; . . . ; Xm,nm ) = fm (Xm )
kde Xj = (Xj,1 ; Xj,2 ; . . . ; Xj,nj ) jsou soubory vstupních veličin a Y = (Y1 ; Y2 ; . . . ; Yn ) je soubor výstupních veličin. Pro jednu výstupní veličinu se soustava zredukuje na jednu rovnici Y = f(X1 ; X2 ; . . . ; Xn ) = f(X).
(2)
Nejjednodušším měřením je přímé měření jedné veličiny popsané tímto způsobem pomocí jedné rovnice ve tvaru Y = X, (3) což znamená, že vstupní veličina je zároveň veličinou výstupní. Vztahy (1) mohou být i velmi složité. Musí být formulovány co nejobecněji a mají postihnout všechny možné vlivy, projevující se ve výsledku měření. Mohou obsahovat například korekce, fyzikální konstanty, součinitele, koeficienty, ovlivňující veličiny, chyby, nejistoty měření. Prakticky však musí být model měření co nejjednodušší. Proto je postup takový, že jsou vyčleněny dominantní vlivy a vyjádřeny vstupními veličinami měření. Ostatní vlivy jsou zanedbány. Tím je přijato jisté zjednodušení skutečnosti, určitý model, což se projeví ve zjednodušení výrazu (1). Zanedbané vlivy tedy neovlivní výsledek měření, mohou se však promítnout do výsledné nejistoty měření, jak je popsáno v dalším textu. Tyto vlivy, které nejsou v modelu explicitně vyjádřeny, se nazývají skrytými zdroji chyb. Pro standardní měření je možno model dále zjednodušit. Každá výstupní veličina je určována pomocí hodnoty jedné ze vstupních veličin, přičemž ostatní jsou brány jako parametry a pro konkrétní měření jsou konstantní. Tato vstupní veličina je nazývána hlavní vstupní veličinou XH . Model měření je poté vyjádřen ve tvaru Y1 Y2
Ym
2.
= f1 (X1,1 = x1,1 ; . . . ; X1,k1 = X1,H ; . . . ; X1,n1 = x1,n1 ) = f1 (X1,H ) = f2 (X2,1 = x2,1 ; . . . ; X2,k2 = X2,H ; . . . ; X2,n2 = x2,n2 ) = f2 (X2,H ) .. . = fm (Xm,1 = xm,1 ; . . . ; Xm,km = Xm,H ; . . . ; Xm,nm = xm,nm ) = fm (Xm,H )
(4)
Citlivost měřící sestavy
Důležitou vlastností měření je citlivost měřící sestavy na vstupní veličiny [2, 4, 5, 6, 7, 8, 9]. Jde o charakteristiku, která udává velikost odezvy měřící sestavy na změnu hodnoty na vstupu, přičemž ostatní vstupní veličiny jsou brány jako parametry, jejichž hodnoty jsou konstantní, pevně dané. Numericky je citlivost rovna velikosti změny hodnoty výstupní veličiny Yj , odpovídající jednotkové změně hodnoty vstupní veličiny Xj,i . Míra citlivosti je nazývána citlivostním koeficientem Cj,i . Předchozí definici citlivostního koeficientu je možné matematicky popsat vztahem Cj,i =
∆Yj . ∆Xj,i
2
(5)
Pro malé změny hodnot vstupní veličiny je lze nahradit derivacemi a citlivostní koeficienty jsou funkcemi dané vstupní veličiny ve tvaru ∂Yj Cj,i = . (6) ∂Xj,i Obecně může být citlivostní koeficient funkcí dané vstupní veličiny. Pro lineární vztahy je konstantní, což znamená stejnou citlivost pro celý rozsah hodnot. Ačkoliv citlivostní koeficienty přináší určitou informaci o vlastnostech měření, jejich hlavní význam spočívá zejména v tom, že umožňují vyčíslit další významné parametry měření. Před vlastním měřením lze pomocí citlivostních koeficientů odhadnout výsledné rozlišení konkrétní měřící sestavy. Po provedeném měření je pak s jejich pomocí vyčíslena výsledná nejistota, numericky vyjadřující přesnost měření. Stejně jako citlivostní koeficienty, lze i další uváděné parametry teoreticky vyjádřit vzhledem k libovolné vstupní veličině. Prakticky významné jsou však pouze parametry, vztahující se k hlavním vstupním veličinám. Další parametry jsou proto nadefinovány pouze tímto způsobem. Jedná se o rozsah, rozlišení a počet rozlišitelných úrovní [6, 7, 8, 10].
3.
Rozsah výstupní veličiny
Rozsah Rj výstupní veličiny Yj , vztažený k hlavní veličině Xj,H , popisuje interval, ve kterém se nachází hodnoty yj výstupní veličiny, mění-li se hodnoty xj,H hlavní veličiny v intervalu všech možných hodnot. Tyto intervaly se nazývají oborem hodnot a definičním oborem. Definiční obor je intervalem všech hodnot, kterých může daná vstupní veličina nabývat. Může to být též uživatelem či jinak z různých důvodů omezený podinterval. Rozsah výstupní veličiny se udává s využitím limit oboru hodnot, definovaných vztahy Rjmax = max{f(Xj,H )} (7) Rjmin = min{f(Xj,H )}, nebo může být zadán velikostí oboru hodnot. Tento rozsah je označen Rj a je roven Rj = Rjmax − Rjmax .
(8)
Rozsah je základním parametrem, který má velký význam zejména při rozhodování o použitelnosti daného měření. Rozsah výstupní veličiny měření musí být rovný nebo lépe větší než rozsah měřené veličiny na zkoumaném objektu nebo jevu. Hodnoty rozsahu jsou pro konkrétní měření konstantní, ovšem závisející na parametrech – hodnotách ostatních vedlejších vstupních veličin. Změnou jejich hodnot je možné dosáhnout velké použitelnosti daného měření díky různým hodnotám rozsahů.
4.
Rozlišovací schopnost měření
Obdobným způsobem je definováno rozlišení rj výstupní veličiny Yj . Je rovno nejmenší změně hodnoty výstupní veličiny, kterou je rozeznatelná. Tato změna je reakcí na minimální změnu hlavní veličiny. Ostatní vstupní veličiny jsou opět považovány za parametry s konstantními hodnotami. Pro rozlišení platí vztah min rj = fj (Xj,H + ∆j,H ) − fj (Xj,H ).
(9)
Takto definované rozlišení má smysl pouze pro diskrétní vstupní veličiny. Pro spojité je podle přijatého modelu měření možno dosáhnout libovolné hodnoty měřené výstupní veličiny Yj a rozlišení pak nabývá nulové hodnoty. Ve skutečnosti jsou však i spojité veličiny v konečném důsledku brány jako diskrétní, a sice v důsledku omezené rozlišovací schopnosti detekčního zařízení či v důsledku následné digitalizace signálu. V metrologické terminologii existuje kolem pojmu rozlišení určitá nejednoznačnost. Jako rozlišení se označuje nejen parametr měření, ale také vlastnost měření jako taková. Kvalitní měření (z tohoto úhlu pohledu) vykazuje malou hodnotou parametru rozlišení rj , ale je označováno jako měření s vysokým rozlišením a naopak. Proto je nutno striktně používat pojmů vysoké, respektive nízké rozlišení pro označení vlastnosti a velké, respektive malé rozlišení pro charakterizaci hodnoty parametru rj . Ještě lépe je použít pro označení vlastnosti měření pojmu rozlišovací schopnost.
3
5.
Počet rozlišitelných úrovní
Rozsah a rozlišení jsou úzce související parametry, pomocí kterých se definuje další parametr, nazvaný počet (rozlišitelných) úrovní. Je zaveden vztahem kj =
Rj Rj + rj +1= . rj rj
(10)
Poměr rozsahu a rozlišení Rj /rj je někdy nazýván počet rozlišitelných pásem. Udává, kolik intervalů o velikosti rozlišení tvoří celý rozsah. Hodnota počtu rozlišitelných úrovní pak určuje počet možných výsledků měření od nejmenší hodnoty (dolní mez) po největší hodnotu (horní mez) s krokem rovným rozlišení rj . Vztah (10) platí pouze pro konstantní hodnotu rozlišení rj , což je dosaženo za předpokladu lineárního modelu měření (2) vzhledem k hlavní vstupní veličině. V případě jiného vztahu, kdy je rozlišení přímo funkcí hlavní veličiny, je nutné nejprve určit celkové rozlišení (například průměrné rozlišení apod) a pomocí vztahu (10) je pak odhadnut počet rozlišitelných úrovní.
6.
Přesnost měření
Výsledek měření (soubor stanovených hodnot výstupních veličin), je více či méně odlišný od skutečných hodnot, nazývaných pravými nebo konvenčně pravými hodnotami, které jsou však neznámé. Vzniklý rozdíl je způsoben kvalitou použitých měřidel, měřící techniky, zvolenou metodou měření, prostředím, v němž měření probíhá nebo jej také může ovlivnit personál, provádějící měření. Přesnost měření pak vyjadřuje blízkost výsledku měření a pravé hodnoty výsledku měření. Číselně je přesnost vyjádřena pomocí neurčitosti měření, která jistým způsobem udává velikost rozdílu těchto hodnot. Existují dva přístupy k určování neurčitosti měření. Jedním z nich je vyjádření neurčitosti pomocí chyby měření, druhý je založen na použití statistiky a neurčitost je vyjádřena užitím parametru, nazývaného nejistota měření [1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 11]. Chyba měření libovolné vstupní veličiny Xj,i , která je pro další použití z důvodu jednoduchosti označena symbolem Q, je dána algebraickým rozdílem mezi naměřenou hodnotou q a pravou (skutečnou, ˜ . Pro chybu, označenou symbolem δq, platí správnou) hodnotou q ˜. δq = q − q
(11)
K určení hodnoty chyby však tento vztah nelze použít, protože obsahuje dvě neznámé – hledanou chybu δq a pravou hodnotu q. Proto je nutné chybu určit jiným způsobem, popřípadě ji odhadnout. Základní vlastností chyby je to, že se jedná o konkrétní hodnotu, pomocí které lze zjistit, popřípadě odhadnout pravou hodnotu výsledku měření právě podle vztahu (11). Chyby vznikající při měření však nelze vždy popsat jednoduchými vztahy a ani není jednoduché je vždy experimentálně určit. Aby bylo možné chyby při měření respektovat a vhodně je ve výsledku měření vyjadřovat, je zapotřebí provést analýzu jejich charakteru, zákonitostí výskytu a podobně. Proto je vhodné provést určité základní dělení na chyby hrubé, systematické (soustavné) a náhodné. Hlediskem rozdělení je charakter výskytu chyb. Hrubé chyby vznikají při nesprávném měření. Zdrojem je omyl pozorovatele (nesprávné čtení), nesprávný postup (použití nevhodných měřidel, překročení mezní hodnoty některé vstupní veličiny, hrubé překročení referenčních podmínek, a podobně) anebo použití poškozeného měřícího přístroje či jeho členu. Hrubé chyby dosahují často takové velikosti, že zcela zkreslí a znehodnotí výsledek měření a jsou tak snadno odlišitelné od ostatních chyb. Korekce hrubých chyb je možná vyloučením chybných hodnot ze souboru výsledku měření, eventuálně opakováním měření. Systematické chyby jsou takové, které při opakovaných měřeních zůstávají neměnné co do velikosti i znaménka, pokud i hodnota měřené veličiny je stále stejná a měření probíhá za stejných podmínek. Systematické chyby proto mohou být odstraněny. Korekce je možná buď zavedením oprav při zpracování výsledků nebo úpravou měřidla (odstraněním příčin vzniku systematické chyby, kalibrací měřidla, zavedením vhodných korekčních obvodů a podobně). Prakticky jsou systematické chyby odstranitelné jen potud, pokud jsou známy příčiny jejich vzniku a zákonitosti jejich závislosti na fyzikálních veličinách, anebo dá-li se spolehlivě zjistit jejich velikost jiným kontrolním měřením. Systematické chyby mohou být značně velké a přitom nekorigovatelné z důvodu neznalosti jejich velikosti. Náhodné chyby jsou charakterizovány náhodným výskytem hodnot. Při opakování měření za stejných podmínek mají náhodné chyby různou velikost a různá znaménka. Příčiny jejich vzniku mohou být v některých případech známé; většinou se však jedná o takové chyby, že pro jednotlivá měření nelze 4
předvídat míru jejich uplatnění. Proto náhodné chyby nelze korigovat a jejich analýza se opírá o metody matematické statistiky. Obvykle však bez detailního zkoumání fyzikálního principu v jednotlivých konkrétních případech. Shrnutím uvedeného dělení chyb je možno konstatovat následující: s výsledky měření zatíženými hrubými chybami se nepracuje, známé systematické chyby jsou zkorigovány, zbývají tedy nekorigovatelné systematické chyby a náhodné chyby. Protože je nelze korigovat, je nutné alespoň nějakým způsobem vyjádřit jejich vliv na výsledek měření. Neurčitost potom dobře popisuje nejistota měření. Nejistota měření určuje interval, ve kterém se pravá hodnota měření nachází (obecně nutno dodat s jakou pravděpodobností nebo lépe spolehlivostí). Úplný údaj o výsledku potom bude obsahovat nejen hodnotu naměřené veličiny, korigovanou známými hodnotami chyb (popřípadě i hodnoty samotných provedených korekcí), ale i hodnotu nejistoty, popřípadě i pravděpodobnost, s jakou se může naměřená hodnota vyskytnout v daném intervalu. Nejistota, obecně značená totožným symbolem δq jako chyba, je přidružena k výsledku měření ve formě q ± δq. (12) Definici je možno matematicky interpretovat tak, že nejistota měření je rovna polovině intervalu, ve kterém se (s danou spolehlivostí) nachází pravá hodnota výsledku měření. Vyjádřeno vzorcem δq =
|q+ − q− | , 2
(13)
kde q+ a q− jsou meze intervalu možných hodnot q veličiny Q. Základem určování nejistot je statistický přístup. Předpokladem je, že výskyt chyby se řídí rozdělením pravděpodobnosti, které popisuje, jak se mohou naměřené hodnoty odchylovat od pravé hodnoty. V případě náhodných chyb je situace zřejmá. Pro nekorigovatelné systematické chyby, jejichž hodnota a znaménko jsou stálé, ale neznámé, umožňuje statistický přístup odhadnout velikost působení chyby na výsledek měření tak, že výskyt chyby je za stochastický považován. Mírou nejistoty je směrodatná odchylka dané hodnoty. Takto vyjádřená nejistota se označuje jako kombinovaná standardní nejistota u. Tato nejistota se skládá ze standardní nejistoty typu A a standardní nejistoty typu B. Standardní nejistota typu A je dána náhodnými vlivy, jejichž příčiny vzniku nejsou známy. Stanoví se z opakovaných měření stejné hodnoty za stále stejných podmínek statistickým přístupem (výpočtem směrodatné odchylky souboru naměřených hodnot) a je označena symbolem uA . Odhadem hodnoty q některé vstupní veličiny Q, vytvořeným na základě n statisticky nezávislých ¯ , který se vypočítá z naměřených hodnot qj (j = 1, 2, . . . , n) pozorování (měření), je aritmetický průměr q podle známého vztahu n 1∑ ¯= q (14) qj . n j=1
Odhadem rozptylu naměřených hodnot je pak výběrová směrodatná odchylka s(q) v u n u 1 ∑ ¯ )2 . s(q) = t (qj − q n−1
(15)
j=1
Takto definovaná směrodatná odchylka je svázána s výběrovou směrodatnou odchylkou výběrových průměrů σ (q) vztahem v u n ∑ 1 s(q) u ¯ )2 . σ (q) = √ = t (qj − q (16) n(n − 1) n j=1
Výběrová směrodatná odchylka výběrových průměrů σ (q) charakterizuje rozptyl hodnot výběrových průměrů ¯ q (což jsou odhady hodnot měřené veličiny), a proto je zvolena jako míra nejistoty měřené veličiny (výsledku měření). Standardní nejistota typu A je pak rovna uA (q) = kt σ (q).
(17)
Koeficient kt je korekční faktor, zohledňující malý počet měření. V případě n > 10 lze předpokládat pro naměřené hodnoty qj normální Gaussovo rozdělení a pro koeficient platí kt = 1. V případě menšího počtu měření je nutné předpokládat obecnější Studentovo rozdělení [3, 9, 11, 13, 17]. Hodnoty korekcí kt jsou uvedeny v následující tabulce:
5
n kt
9 1,2
8 1,2
7 1,3
6 1,3
5 1,4
4 1,7
... Tabulka 1: Hodnoty korekčního faktoru, zohledňující malý počet měření.
3 2,3
2 7,0
Standardní nejistota typu B je dána známými a odhadnutelnými příčinami. Určuje se též na základě statistického přístupu, ovšem jiným postupem než statistickou analýzou série měření. Hodnota standardní nejistoty uB (q) odhadu některé ze vstupních veličin Q je stanovena odborným úsudkem na základě všech dostupných informací o možné variabilitě této veličiny, o mezních chybách použité měřící techniky, o stavu prostředí, v němž měření probíhá a podobně. Protože při vyjadřování nejistot měření je potřeba respektovat i velmi těžko numericky ocenitelné skutečnosti, obecná pravidla pro určování nejistot, uváděná v GUM [11], považují za možný způsob též takzvaný kvalifikovaný odhad. Odhad je plnohodnotnou metodou ocenění skutečnosti, i když je založen pouze na odborných znalostech a dlouholetých zkušenostech osob, účastnících se měření, či na experimentálních výsledcích, dosažených jiným měřením v dané oblasti. Možné zdroje nejistot mohou být neúplné definice měřené veličiny, údaje výrobců v technické dokumentaci a v příslušných normách, údaje uváděné v kalibračních listech nebo jiných certifikátech, údaje z dříve provedených měření, znalosti a zkušenosti z používání měřících přístrojů a zařízení, nedostatečná znalost všech vlivů na měření, nepřesné změření referenčních a pracovních podmínek, hodnoty konstant a parametrů získaných z vnějších zdrojů, drift a stabilita použitých měřících přístrojů, rozlišitelnost měřících přístrojů a jiné. Pro odvození nejistoty uB (q) některého ze zdrojů neurčitosti Q se vyjde z odhadu mezních hodnot dané veličiny. Horní limit q+ a dolní limit q− jsou zvoleny tak, aby jejich překročení bylo velmi málo pravděpodobné. Dalším krokem je úvaha o typu rozdělení, které nejlépe vystihuje výskyt hodnot vstupní veličiny q v intervalu ⟨qmin , qmax ⟩, jehož velikost je qmax − qmin = 2∆q. Pro standardní nejistotu typu B potom platí ∆q uB (q) = (18) , χ kde χ je koeficient [1, 9, 11, 12, 13, 14, 16], daný právě typem odhadnutého rozdělení pravděpodobností výskytu hodnot vstupní veličiny Q. Udává poměr mezní odchylky ∆q ke směrodatné odchylce σ (q). Pro daný tvar rozdělení výskytu hodnot je konstantní. Volba rozdělení pravděpodobnosti vychází z teoretických znalostí, zkušeností nebo jinak získaných poznatků o možném výskytu hodnot. V případě, že o vstupní veličině Q nejsou jiné informace než limity její variability, je užíváno rovnoměrné rozdělení. To představuje přiměřené statistické vyjádření nedostatečné znalosti vstupní veličiny. Jestliže však lze předpokládat, že pravděpodobnost výskytu hodnot se směrem ke krajním bodům intervalu rychle zmenšuje, pak je většinou voleno normální rozdělení. Je-li pokles pravděpodobnosti od určité hodnoty přibližně lineární, je výhodné použít trojúhelníkové nebo lichoběžníkové rozdělení. Je-li pravděpodobnost výskytu naopak uprostřed intervalu malá a v krajních bodech velká, situaci prakticky nejlépe vystihuje některé bimodální rozdělení, například Diracovo nebo trojúhelníkové inverzní. Výčet těchto a jiných používaných rozdělení je možno nalézt v literatuře nebo ve statistických tabulkách [1, 9, 11, 14, 15, 16, 17, 18, 20]. Zde jsou též uvedeny hodnoty koeficientů χ pro tato rozdělení. Koeficienty χ pro prakticky často používané rozdělení mají hodnoty uvedené v tabulce 2. χ √ 3 √ √ 6 ≈ 2,45 6– √3 ≈ 2,45–1,73 √3 ≈ 1,73 2 ≈ 1,41 1
rozdělení normální trojúhelníkové lichoběžníkové rovnoměrné inverzní trojúhelníkové Diracovo
... Tabulka 2: Hodnoty koeficientu χ.
Obě standardní nejistoty, typ A i B, přispívají k celkové nejistotě u(q) odhadu vstupní veličiny Q, nazývané kombinovaná standardní nejistota. Příspěvek je dán kvadratickým součtem ve tvaru √ u(q) = u2A (q) + u2B (q). (19)
6
Tímto způsobem je určena kombinovaná standardní nejistota u(xj,i ) pro každý odhad xj,i všech vstupních veličin Xj,i , které jsou zdrojem nejistoty. Pro jedno provedené měření je standardní nejistota typu A rovna nule a podle (19) je pak kombinovaná standardní nejistota přímo rovna standardní nejistotě typu B. Naopak může dojít k případu, kdy je prováděn celý soubor měření, ale standardní nejistota typu B bude zanedbatelná vůči standardní nejistotě typu A. Některé vstupní veličiny také nemusí být zdrojem nejistoty, oba typy pak jsou rovny nule a výsledná kombinovaná standardní nejistota je také nulová (platí například pro některé fyzikální konstanty a podobně). Výsledkem měření je hodnota yj výstupní veličiny Yj , stanovená podle modelu měření (1). Výsledná standardní kombinovaná nejistota této veličiny je označena u(yj ) a vztah pro její výpočet je nazýván zákon šíření nejistoty. Vychází z matematicky podložené relace mezi směrodatnými odchylkami náhodných veličin. Obecně může být zapsán ve tvaru [1, 9, 11] u2 (yj ) =
n ∑
n ∑
2 2 Cj,i u (xj,i ) + 2
i=1
Cj,i Cj,k u(xj,i )u(xj,k )r(xj,i , xj,k ),
(20)
i=1,k
kde Cj,i jsou citlivostní koeficienty, dané relací (3) a r(xj,i , xj,k ) je korelační koeficient, udávající statistickou závislost mezi veličinami Xj,i , Xj,k . Koeficient nabývá hodnot z intervalu ⟨−1; 1⟩. Pro r(xj,i , xj,k ) = 0 jsou veličiny Xj,i , Xj,k vzájemně statisticky nezávislé, pro r(xj,i , xj,k ) = ±1 je mezi nimi deterministická funkční závislost. Častým případem je situace, kdy jsou vstupní veličiny prakticky nekorelované, statisticky nezávislé. Hodnoty korelačních koeficientů mezi vstupními veličinami jsou pak velmi blízké nebo rovny nule a signalizují zanedbatelnou funkční závislost. Ve výrazu (20) se tato skutečnost projeví eliminací druhého členu a zákon šíření nejistoty je v kvadratickém tvaru v u n u∑ 2 2 u(yj ) = t (21) Cj,i u (xj,i ). i=1
Korelace mezi vstupními veličinami však nelze obecně či bezdůvodně zanedbávat. Korelační koeficienty r(xj,i , xj,k ) totiž mohou nabývat jak kladných, tak záporných hodnot. Automatické vynechání druhého členu vztahu (20) může vést k nadhodnocení (v případě, že jeho hodnota je záporná) nebo podhodnocení (v případě kladné hodnoty) celkové výsledné nejistoty. V souvislosti s hodnotami korelačních koeficientů je důležitý limitní případ, kdy jsou všechny rovny 1. Prakticky to znamená nejhorší možnou variantu. Všechny členy ve vztahu pro výslednou nejistotu se sčítají a výsledkem je maximální možná hodnota kombinované nejistoty u(yj ). Úpravou vztahu (20) za těchto podmínek vyjde vyjádření zákona šíření nejistoty ve tvaru n ∑
u(yj ) =
Cj,i u(xj,i ),
(22)
i=1
který je známý jako zákon šíření nejistoty v lineárním tvaru, neboť udává výslednou nejistotu jako pouhý součet nejistot jednotlivých vstupních veličin, samozřejmě násobených příslušnými citlivostními koeficienty. Zejména ve starší literatuře je tento tvar zákona hojně upřednostňován. Není to principiálně nesprávný postup, ovšem vede k významnému a mnohdy zbytečnému nadhodnocení výsledné nejistoty, což může formálně znehodnotit kvalitu jinak přesného měření. Pro lepší orientaci a z důvodu srovnání vlivu nejistot vstupních veličin na výslednou nejistotu výstupní veličiny se zavádí takzvaný příspěvek ke standardní kombinované nejistotě odhadu hodnoty yj výstupní veličiny Yj , který přísluší standardní nejistotě odhadu xi vstupní veličiny Xi . Je označen uj,i (yj ) a platí uj,i (yj ) = Cj,i u(xj,i ).
(23)
V předchozím uvedené zákony šíření přejdou na tvary: • obecný zákon šíření nejistoty na v u∑ n ∑ u n 2 uj,i (yj )uj,k (yj )r(xj,i , xj,k ), u(yj ) = t uj,i (yj ) + 2
(24)
i=1,k
i=1
• zákon šíření nejistoty v kvadratickém tvaru na v u n u∑ u(yj ) = t u2j,i (yj ) i=1
7
(25)
• a konečně zákon šíření nejistoty v lineárním tvaru na n ∑
u(yj ) =
uj,i (yj ).
(26)
i=1
Jak již bylo několikrát řečeno, neurčitosti vstupních veličin, vyjádřené pomocí standardních kombinovaných nejistot, udávají interval (rozsah hodnot), ve kterém se může vyskytovat skutečná hodnota. Je přitom nutné dodat s jakou pravděpodobností. Určené hodnoty všech vstupních veličin se pak podle přijatého modelu měření (1) podílí na výsledné hodnotě výstupní veličiny a jejich kombinované standardní nejistoty se přepočtou na výslednou kombinovanou standardní nejistotu podle některého ze zákona šíření nejistot (24), (25) nebo (26). Matematicky však není výsledná výstupní veličina také nic jiného než náhodná veličina, která je výsledkem spolupůsobení určitého počtu vstupních náhodných veličin a kombinovaná standardní nejistota udává odhad rozptylu hodnot této veličiny. Opět je ovšem nutno udat spolehlivost. Velikost této pravděpodobnosti vychází z typu rozdělení pravděpodobnosti, pomocí kterého je výstupní veličina popsána. Příkladem spolehlivosti je hodnota 68,3 % pro normální rozdělení, 57,7 % pro rovnoměrné rozdělení, 65 pro trojúhelníkové rozdělení. Pro libovolné jiné rozdělení je možné hodnotu spolehlivosti nalézt v tabulkách nebo učebnicích statistiky [12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20]. Prakticky je pro běžná měření požadována větší hodnota spolehlivosti, standardně pravděpodobnost 95 %, pro velmi přesná měření (například kalibrace) dokonce až 99 %. Toho lze dosáhnout pouze zvětšením intervalu možných hodnot, tedy zvětšením hodnoty nejistoty. Proto je zavedena takzvaná rozšířená nejistota měření U(yj ). Souvislost se standardní kombinovanou nejistotou je popsána vztahem U(yj ) = kU,j u(yj ),
(27)
kde kU,j je takzvaný koeficient rozšíření. Odpovídá jistému kvantilu rozdělení výstupní veličiny v závislosti na hodnotě požadované spolehlivosti [12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20]. Opět se objevuje problém neznalosti typu rozdělení pravděpodobnosti výskytu výstupní veličiny. Závisí na typech rozdělení pravděpodobnosti výskytu vstupních veličin a jeho určení je obecně problematické. Avšak v případech, kdy několik (prakticky 3 a více) složek nejistoty srovnatelně přispívá ke standardní nejistotě výstupní veličiny lze předpokládat normální Gaussovo rozdělení výskytu hodnot výstupní veličiny. Jsou totiž splněny podmínky centrální limitní věty, za předpokladu, že původní rozdělení pravděpodobnosti výskytu mají běžný průběh (například normální, rovnoměrné, trojúhelníkové a podobné rozdělení). Pravděpodobnost výskytu hodnot veličiny s normálním Gassovým rozdělením je výše uvedených 68,3 % a hodnota koeficientu kU,j je rovna kU,j = 2 kU,j = 3
pro spolehlivost 95,45 % . pro spolehlivost 99,73 %
(28)
Ve zbývajících případech, kdy není možné předpokládat normální rozdělení jako vhodný odhad skutečného rozdělení pravděpodobnosti výskytu hodnot výstupní veličiny, je nutno volit koeficient rozšíření s ohledem na skutečný tvar rozdělení tak, aby jeho hodnota odpovídala spolehlivosti asi 95 % (respektive asi 99 %). Pomocí takto stanoveného koeficientu rozšíření kU je vypočtena podle (27) standardní rozšířená nejistota měření U(yj ) jako odhad výsledné nejistoty měření δyj , δyj = U(yj ).
(29)
Tímto způsobem je postupováno pro všechny výstupní veličiny Y = (Y1 ; Y2 ; . . . ; Ym ). Výsledkem je soubor nejistot δy = (δy1 ; δy2 ; . . . ; δym ), které numericky vyjadřují výslednou přesnost odhadů všech měřených výstupních veličin y = (y1 ; y2 ; . . . ; ym ). Tím je výsledek měření určen.
7.
Literatura
[1] TPM 0051-93: Stanovenie neistôt při meraniach 1. a 2. [2] ČSN 01 0115: Názvosloví v metrologii. [3] Mlčoch J.: Úvod do fyzikálního měření. UP Olomouc, 2001. 8
[4] Matyáš V., Zehnula K., Pala J.: Malá encyklopedie elektrotechniky. Měřicí technika. SNTL Praha, 1983. [5] Pázman A.: Základy optimalizace experimentu. VEDA Bratislava, 1980. [6] Tůma Z., Šindelář V.: Terminologie v metrologii. 2. opravené a doplněné vydání. Česká metrologická společnost Praha, 1996. [7] Šindelář V.: Metrologie, její vývoj a současnost. Česká metrologická společnost Praha, 2003. [8] Šindelář V. a kol.: Slovník metrologie, zkušebnictví a praktické fyziky. [CD-ROM], Česká metrologická společnost Praha, 2003. [9] ČIA, EA 4/02: Vyjadřování nejistot měření při kalibracích. Český normalizační institut Praha, 2001. [10] Zehnula K.: Snímače neelektrických veličin. SNTL Praha, 1977. [11] ISO, IEC, OIML, BIPM: Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, first edition 1993, corrected and reprinted 1995, International Organization for Standardization Geneva, 1995. [12] Rektorys K. a spol.: Přehled užité matematiky 1, 2. Přepracované 6. vydání. Prometheus Praha, 1995. [13] Likeš J., Machek J.: Počet pravděpodobnosti. Matematika pro vysoké školy technické, sešit 10, 2. vydání. SNTL Praha, 1987. [14] Likeš J., Machek J.: Matematická statistika. SNTL Praha, 1983. [15] Kunderová P.: Úvod do teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky. UP Olomouc, 1997. [16] Hátle J., Likeš J.: Základy počtu pravděpodobnosti a matematické statistiky. SNTL Praha, 1972. [17] Likeš J., Laga J.: Základní statistické tabulky. SNTL Praha, 1978. [18] Kubáčková L.: Metódy spracovania experimentálnych údajov. VEDA Bratislava, 1990. [19] Kubáček L., Kubáčková L.: Statistika a metrologie. Vydavatelství Univerzity Palackého Olomouc, 2000. [20] Hora V.: Poznámka k výpočtu některých koeficientů rozšíření a jejich použití při stanovení rozšířené nejistoty měření. Metrologie 11: 3–6, 2002.
... Autor textu RNDr. Tomáš Rössler, Ph.D.
[email protected] tel.: 58 563 4302 ... Pracoviště Katedra experimentální fyziky Přírodovědecká fakulta, Univerzita Palackého v Olomouci 17. listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc http://www.upol.cz/fakulty/prf/struktura/katedry-a-pracoviste/katedra-experimentalni-fyziky 9
