1/26
FUNKCE Základní pojmy: • Funkce sudá a lichá, Inverzní funkce • Nepřímá úměrnost, Mocninná funkce, Exponenciální funkce a rovnice • Logaritmus, logaritmická funkce a rovnice Opakování: • Definice funkce, graf funkce • Definiční obor, obor hodnot, monotónnost funkce • Lineární a kvadratická funkce, funkce s absolutní hodnotou 1. Opakování základních pojmů Funkce: Funkce f je zobrazení, které Definiční obor funkce: D(f)
množina všech reálných čísel, pro které …
Obor hodnot funkce: H(f)
množina všech reálných čísel …
Urči, zda se jedná o funkci a napiš definiční obor a obor hodnot:
Monotónnost funkce: Funkce f je rostoucí, jestliže platí Funkce f je klesající, jestliže platí Funkce f je konstantní, jestliže platí
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Funkce Příklady: 1. Sestrojte graf funkce: a) f : y = x − 1, x > 0 , zapište D(f), H(f)
c) h : y = 3 - x + 1, D(f) = 2, 5), zapište H(f)
2/26
b) g : y = x 2 - 2x + 3, zapište D(f), H(f)
d) k : y = -x 2 - 2 x , zapište D(f), H(f)
e) l : y = 2 2 - x − 3 x + x + 1, D(f) = - 2, 4 ), zapište H(f)
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Funkce
3/26
2. Urči definiční obor funkce: 1 a) f : y = x +1
c) h : y =
e) l : y =
b) g : y = 3x + 1
x x − 3x
d) k : y =
2
2
f) m : y =
x −x+2 2
3. Definičním oborem funkce f: y =
2 + 3x 3 − 2x
3 2
3 2
B/ −
2 3
3 2
E/ − ∞,
D/ − ∞, ∪ , ∞
2 x +x
2 3 , 3 2
2 3 ∪ ,∞ 3 2
4. Určete monotónnost funkcí, graf načrtněte: a) y = 2 x − 3 b) y = −4 x + 1
d) y = x 2
e) y = ( x − 1) 2
g) y = x - 1
h) y = x 2 − 3
PRACOVNÍ LISTY
x2 − x
je množina:
A/ − ∞, ∪ , ∞
2
2 3 3 2
C/ − ,
2 3 3 2
F/ − ,
c) y = −5
f) y = x
2. ROČNÍK
Funkce 2.
4/26
Sudost a lichost funkce
Načrtněte grafy funkcí: f : y = x +1
Hodnoty navzájem opačných čísel jsou…
SUDÁ FUNKCE graf osově souměrný dle osy y
h: y = x+2
g : y = 2x
Hodnoty navzájem opačných čísel jsou…
LICHÁ FUNKCE graf středově souměrný dle počátku
Hodnoty navzájem opačných čísel …
nemá žádnou tuto vlastnost
Definice: Fce f (x) je sudá ⇔ ∀x ∈ D( f ), f (− x) = f ( x). Fce f (x) je lichá ⇔ ∀x ∈ D( f ), f (− x) = − f ( x). Důkaz:
y = x +1
y = 2x
Příklady: 1. Rozhodněte, které z následujících fcí jsou sudé či liché
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Funkce
5/26
2. Dokažte, zda je funkce sudá či lichá 1 x
a) y = x
b) y = x
c) y =
d) y = x 2
e) y = − x
f) y = ( x − 4) 2
g) y = x 2 + 2
3. Proveďte rozbor fce: a) y = x 2 − 3
d) y = − x, x ∈ − 3,2
PRACOVNÍ LISTY
b) y = 2 x + 3
e) y = x − 1, x ≥ 2
c) y = x 2 − 4 x + 3
f) y = 2 + x − 1 − x + 3
2. ROČNÍK
Funkce 3. Inverzní funkce (inverzní=“obrácená“) f : y = 2x + 1
6/26
inverzní fce f
−1
vznikne přehozením x a y
Grafy inverzních fcí f , f −1 jsou souměrně sdružené podle osy 1. a 3. kvadrantu. Se záměnou proměnných se zamění i příslušné obory. D( f −1 ) = H ( f ) H ( f −1 ) = D( f ) Příklady: 1. Najdi funkce inverzní k daným funkcím a určete definiční obor a obor hodnot: a) y = 2 x − 4, x ≤ 5 b) y = 3 − x
c) y = x + 1, x ∈ − 3,4)
PRACOVNÍ LISTY
d) y =
1 +1 x
2. ROČNÍK
Funkce
7/26
k x Př. 1: 2. B vsadí sportku a vyhraje 50 mil. Určete, kolik peněz připadne na jednoho studenta, když se to dozví: 1, 2, 3, 5, 10, 15, 30 studentů.
4. Nepřímá úměrnost – lineární lomená fce y =
Studenti Kč (mil.) Čím víc lidí se to dozví, tím míň peněz dostanou. Závislost je možné zapsat funkčním předpisem y = Př. 2: Načrtněte graf funkcí a určete vlastnosti. 1 a) y = x x y
-3
-2
-1
-0,5
0
0,5
1
2
3
50 ....... nepřímá úměrnost x
b) y = − x y
1 x
-3
-2
-1
-0,5
0
0,5
1
2
3
Obě osy tvoří „kříž“, ke kterému se přimyká graf, takové přímky se nazývají asymptoty grafu. Graf se nazývá HYPERBOLA.
c) y =
1 +1 x
PRACOVNÍ LISTY
d) y = −
1 −2 x
2. ROČNÍK
Funkce
8/26
e) y =
1 x−2
g) y =
2x + 3 x −1
f) y =
−1 −2 x+3
Připomeneme dělení: (3x2 - 4x + 5) : (x - 1) =
(2x3 + 7x2 + 8x + 7) : (x + 2) =
Úprava předpisu fce:
h) y =
x −1 x+2
i) y =
3x − 2 x −1
j) y =
3x + 2 x +1
k) y =
− 2x + 3 x−3
l) y =
− x+5 2x − 6
m) y =
2x + 3 x +1
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Funkce
9/26
5. Mocninná fce
y = xn
n – sudé, kladné
n – liché, kladné
n – sudé, záporné
n – liché, záporné
Příklady: 1. Načrtni graf funkce a u všech případů zapiš D(f) a H(f) 1 +1 x
a) y = x 4 − 1
b) y = −2x 5
c) y =
d) y = x −2 + 2
e) y = x −4 − 3
f) y = x 3 + 1
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Funkce 2.
3.
10/26
Přiřaď předpis funkce, urči D(f) a H(f) y = x 2 − 10 x + 26 y = x 2 + 10 x + 26
y = x−3 y = −x + 3
y = − x5 y = x −5
y=3
y = x −2
y = x4
x=3
y = x3
y = − x4
y = − x 2 + 10 x − 26
y = x+3
y=x
y = −x
Načrtni graf fcí, urči vlastnosti a průsečíky grafu s osami x,y. Jak se graf nazývá? 2x − 4 x−3 a) y = b) y = x+3 x+2
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Funkce
11/26
y = ax
6. Exponenciální fce
Př. 1: Načrtněte graf funkcí a určete vlastnosti. 1 b) y = 2
a) y = 2 x x y
-3
-2
-1
0
1
2
3
x y
-3
x
-2
-1
0
1 2
3
Grafem je EXPONENCIÁLA. Příklady: 1. Načrtněte graf, určete vlastnosti a) y = 10
x
− x +2 d) y = 2
PRACOVNÍ LISTY
1 b) y = 10
1 3
x
c) y = 2 x −3
x
e) y = − 1
f) y = 3 x +1 − 4
2. ROČNÍK
Funkce
12/26
2. Porovnej mocninu s číslem 1 (načrtni graf:) (0,3)−3 2,10,5
4 3
7 ,1
3 4
(− 5)7
1−2
3
7 ,1
4,30
2
2 4 3
33 2
3. Rozhodněte, které výroky jsou pravdivé:
(0,3)
−3
< (0,3)
−2
2
3 2
1 3 2 > 2
0,5
2,1
1, 5
> 2,1
3
2
m
n
2 4 3 3 < 2 3
4. Porovnejte reálná čísla m, n 4 =4 m
n
PRACOVNÍ LISTY
(0,3)
m
< (0,3)
n
2 > (2 ) m
n
3 2 = 2 3
2. ROČNÍK
Funkce
13/26
7. Logaritmus Objev logaritmů - konec 16. století - rozvoj mořeplavby, obchodu a konstruování → potřeba rychlého počítání → rozvoj metod na usnadnění výpočtů. Problémy s násobením (sčítání je ještě snesitelné, ale násobení čtyřmístných čísel je problém), dělením, umocňování a odmocňováním → počátek 17. století: objev logaritmů. Převod: násobení na sčítání, dělení na odčítání, umocňování na násobení
log a x
logaritmus x o základu a
Platí:
log a x = y
⇔
pro a ∈ (0,1)∪(1,∞), x > 0
ay=x
y = log x
dekadický logaritmus (základ 10)
y = ln x
přirozený logaritmus (základ e – Eulerovo číslo 2,718)
Příklad: Podle definice logaritmů vypočti neznámou: log 5 x = 1
log 10 x = 6
log a 25 = 2
log 7 49 = y
log 5 x = 0
log 10 x = -2
log a 8 = -3
log 10 1/ 100 = y
log 5 x = 3
log 10 x = -0,5
log a 81 = 4
log 2 32 = y
log 5 x = -1/ 3
log 10 x = 1
log 10 0,000001 = y
y = log a x
8. Logaritmická fce
Př. 1: Načrtněte graf funkcí a určete vlastnosti. a) x y
1
/4
1
/2
1
2
4
8
b) x y
1
/4
1
/2
1
2
4
8
Funkce logaritmická je funkce inverzní k funkci exponenciální. PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Funkce
14/26
Příklady: 1. Načrtněte graf, určete vlastnosti: a ) y = log( x − 3) b) y = log x − 3
d ) y = log 1 ( x − 2) + 1
c ) y = ln( x + 2) − 1
e) y = log x − 4
f ) y = log x
2
2. Z grafu rozhodněte, která tvrzení jsou pravdivá: a ) log 2 5 > 0 b)log 0,11 = 0
d ) log 4 11 < log 4 15
c ) log5 0,7 < 0
e) log 1 11 < log 1 15 2
3. Rozhodněte, která z čísel jsou záporná: a ) log 2 5 b)log 0,11
d ) log 4 11
e) log 1 11
2
c ) log 5 0,7
f ) log 0, 2 0,4
2
4. Určete všechna reálná x, pro která platí: a ) log 0, 2 x = 0 b)log 3 x > 0
PRACOVNÍ LISTY
c )log 3 x < 0
2. ROČNÍK
Funkce
15/26
5. Určete definiční obor funkcí:
9. Věty pro počítání s logaritmy
Příklady: 1. Vypočtěte
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Funkce
16/26
2. Zjistěte požadované hodnoty logaritmů, pokud víte, že log 2 = 0,3010 a log 3 = 0,4771 . a) log 6 = b) log 5 = c) log 8 = d) log 20 = e) log 2000 = 3. Zjistěte, který výraz byl logaritmován: a ) 2. log a + log 3 − log b − log 5 = b) 3. log n − 4. log(n + 1) + 2 =
4. Určete x (odlogaritmujte): 1 a ) log x = 3. log m + 2. log n − log(r + 17) = 2 b) log x = log c + 3. log π + log( x − 4) − log( x + 4) = c ) log x = log 4 + log π + 3. log r − log 3
5. Určete logaritmy výrazů (zlogaritmujte): a ) 2.π .r
b)
4. x. y 5.n
c)
a 2 − b2 2.a
d)
π .d 2 .v 4
e) x 5 . y 4
6. Převeďte na logaritmy o jiném základě: a ) log 5 = b) log 3 9 = c ) log 8 64 =
PRACOVNÍ LISTY
( základ 4) ( základ 10) ( základ 2)
2. ROČNÍK
Funkce
17/26
10. Exponenciální rce Používáme vzorce pro počítání s mocninami: a m .a n = a m + n a an
m
( a m ) n = a m.n n
= a m−n
PŘÍMÉ ŘEŠENÍ: 3 1 x a) 2 = 2
a −n =
a a = n b b
n
n
a
m
1 an
=a
a 0 = 1; a ≠ 0 m n
2 x .2 x +1 b) 2.2 .8 = 4
3x c) x − 2 = 1 9
x
Příklady: a) 45− x = 4 x +3
b) 4 − x = 64
c) 0,43−2 x = 1
d) 100 x = 0,01
e) 16 x = 0,25x
g) 9
x −1
2
32 x = 32 x.27 x +1 3
PRACOVNÍ LISTY
f) 33.27 2 x −3 = 813 x −5
(
h) 2 x.5x = 0,1. 10 x −1
)
5
2. ROČNÍK
Funkce 3 7
3 x +7
i)
k)
18/26
1 5− 2 x
3
7 = 3
7 x −2
= 81
VYTÝKÁNÍ x x +1 a) 2.3 + 3 = 5
x
2 9 3 8
x
j) . =
l) 1 = 2 x
2
27 64
−4 x
- rovnice s + či – mezi mocninami – vytkneme mocninu o stejném základu x x 3x +4 2 b) 3.2 + 2 = 32 c) + 9.3 x = 9 3
Příklady: a) 2
x +3
− 2 x = 112
c) 3.2 x − 20 = 2 x −1
PRACOVNÍ LISTY
b) 5
x +1
+ 5x + 2 = 30
x −1
+ 2 x −2 + 2 x −3 = 448
d) 2
2. ROČNÍK
Funkce e) 2
2 x +1
+4
19/26 x +1
x 2
+ 16 = 28
SUBSTITUCE
f) 5.4
x +1
− 240 = 4 x + 2 + 4 x −1
- náhrada jednoduchou proměnnou – řešení kvadratické rovnice
a) 32 x − 12.3x + 27 = 0
Příklady: x x a) 4 − 9.2 + 8 = 0
c) 6
e) 3
b) 4
2 x +1
= 65.4 x −1 − 1
x +1
+ 61− x = 37
2x x d) 3 − 3 = 702
x +1
+ 9 x = 108
f) 2
PRACOVNÍ LISTY
2x
− 12.2 x + 32 = 0
2. ROČNÍK
Funkce
20/26
RŮZNÉ ZÁKLADY - poměr
51− x = 7 x −1
Příklady: b) 7.3x +1 − 5x + 2 = 3x + 4 − 5x +3
a) 2 3 x.7 x −2 = 4 x +1
c) 20.2 x − 2 x +1 = 3x + 2 − 3x
RŮZNÉ ZÁKLADY - logaritmicky
3x = 2
vzorec log a x n = n. log a x
zlogaritmujeme
Příklady: a) 32 x −1 = 6
PRACOVNÍ LISTY
b) 2
3 x −1
= 32 x +1
c) 3
x +1
= 23−2 x
2. ROČNÍK
Funkce
21/26
Shrnutí: a)
1 5− 2 x
3
= 81
b) 4
x +1
x
c) 2 .4 3x
3 x −3
=8
2 x +1
= 64.2
4 27 d) . 9 8
x +1
x −1
=
2 3
e) 0,01x = 100 000
f) 32 x −1 + 3.3x − 12 = 0
g) 4.3x +1 − 315 = 3x −1
g) 3x + 2 x = 3,25.2 x
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Funkce 11.
22/26
Logaritmické rovnice - nutné určení podmínek řešitelnosti!!
ŘEŠENÍ POMOCÍ DEFINICE LOGARITMŮ a) log 2 x = 3
log a x = y ⇔ ay = x
b) log2 ( x − 2) = 4
c) 3. log2 (3x + 1) = 6
Příklady: a) log 5 ( 4 − 3x ) = 0
b) log9 ( x 2 − 1) = 1
c) log 1 ( 2 − x ) = −1
d) log3 x =
3
1 2
ŘEŠENÍ POMOCÍ VĚT O LOGARITMECH a) log( x − 3) − log(2 − 3x ) = 1
PRACOVNÍ LISTY
b) 2 − log 5 = log x
2. ROČNÍK
Funkce
23/26
Příklady: a) log( x − 9) + 2. log 2 x + 1 = 2
b) log12 x = log12 5 + log12 4
c) log(4,5 − x ) = log 4,5 − log x
d)
e) log(3 + x ) = log( x 2 − 17)
f) log( x + 2) − log( x − 1) = 2 − log 4
1 log x = 2. log 2 2
ŘEŠENÍ SUBSTITUCÍ -
náhrada logaritmu jednoduchou proměnnou
a) (log x ) 2 + 2. log x − 3 = 0
b) log x +
1 =2 log x
Příklady: a)
b) 4 − log x = 3. log x
PRACOVNÍ LISTY
b) (log3 x ) 2 − 3. log3 x − 10 = 0
2. ROČNÍK
Funkce
24/26
Shrnutí: a) log x 2 + log x 3 + log x 4 + log x 5 = 6
b) log3 (3x − 8) = 2 − x
c) x log x = 10000
d)
e) log2 x + log8 x = 8
f) 49log x = 2401
g) log x +1 11 = 2
h) log16 x + log4 x + log2 x = 7
i)
log 7 x =2 log(2 x − 7)
PRACOVNÍ LISTY
j)
3 + log x =4 2 − log x
1 log( x − 9) + log 2 x − 1 = 1 2
2. ROČNÍK
Funkce
25/26
12. Exponenciální a logaritmické nerovnice - úprava stejná jako u rovnic, ale: je-li základ a > 1
zachováváme znak nerovnosti
je-li základ 0 < a < 1
obracíme znak nerovnosti
Příklad:
Shrnutí: a)
PRACOVNÍ LISTY
b)
2. ROČNÍK
Funkce 1 5
26/26
3 x +2
<0
c)
e) log0,5 x + log0,5 ( x + 3) ≥ 2. log0,5 2
g) log 1 2
d) log3 ( x + 2) < log3 (3 − x )
f) log x − 3 < 2
x+3 ≤0 2x − 1
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
