magfizikai problémákban

DE TTK

1949

F¨ uggv´ enysim´ıt´ asok magfizikai probl´ em´ akban Egyetemi doktori (PhD) ´ ertekez´ es Salamon J´ ozsef P´ eter Témavezet˝ o: Dr. Vertse Tam´ as

Debreceni Egyetem Természettudományok Doktori Tanács Matematika– és Szám´ıtástudományok Doktori Iskola Debrecen, 2011

Ezen értekezést a Debreceni Egyetem Matematika– és Szám´ıt´ astudom´ anyok Doktori Iskola Val´ osz´ın˝ uségelmélet, matematikai statisztika és alkalmazott matematika programja keretében kész´ıtettem 2004–2011 között és ez´ uton beny´ ujtom a Debreceni Egyetem doktori PhD fokozat´ anak elnyerése célj´ ab´ ol. Kijelentem, hogy ezt a Doktori értekezést magam kész´ıtettem és abban csak a megadott forr´ asokat használtam fel.

Debrecen, 2011. május 2. ............................. Salamon József Péter jelölt

Tan´ us´ıtom, hogy Salamon J´ ozsef Péter doktorjelölt 2004–2011 között a fent megnevezett Doktori Iskola Valósz´ın˝ uségelmélet, matematikai statisztika és alkalmazott matematika programja keretében irány´ıt´ asommal végezte munkáj´ at. Az értekezésben foglaltak a jelölt ön´ all´ o munk´ aj´ an alapulnak, az eredményekhez ön´ all´ o alkot´ o tevékenységével meghatározóan hozzáj´ arult. Az értekezés elfogadását javaslom.

Debrecen, 2011. május 2. .............................. Dr. Vertse Tamás témavezet˝o

F¨ uggv´ enysim´ıt´ asok magfizikai probl´ em´ akban ´ Ertekez´ es a doktori (PhD) fokozat megszerzése érdekében a matematika tudomány´ agban Írta: Salamon J´ ozsef Péter okleveles matematikus Kész¨ ult a Debreceni Egyetem Matematika– és Szám´ıt´ astudom´ anyok Doktori Iskolája (Val´ osz´ın˝ uségelmélet, matematikai statisztika és alkalmazott matematika programja) keretében Témavezet˝o: Dr. Vertse Tamás A doktori szigorlati bizotts´ ag: eln¨ ok:

Dr. Nagy Péter

...................................

´ tagok: Dr. Pintér Akos

...................................

Dr. Gát György

...................................

A doktori szigorlat id˝ opontja: 2010. m´ ajus 27. Az értekezés b´ır´ al´ oi: Dr. ...................................

...................................

Dr. ...................................

...................................

Dr. ...................................

...................................

A b´ır´ al´ obizottság: eln¨ ok:

Dr. ...................................

...................................

tagok: Dr. ...................................

...................................

Dr. ...................................

...................................

Dr. ...................................

...................................

Dr. ...................................

...................................

Az értekezés védésének id˝opontja: 20....

.................

....

K¨ osz¨ onetnyilv´ an´ıt´ as

K¨ oszön¨ om a támogatást mindazoknak, akik seg´ıtettek abban, hogy ez a Disszertáció elkész¨ ulj¨ on. Els˝ osorban témavezet˝omnek és mentoromnak Vertse Tamásnak, aki az MTA doktora, az MTA Atommagkutat´ o Intézete Elméleti Fizikai Osztály´ anak munkat´ arsa és Debreceni Egyetem professzora, aki idejét és energiáit nem k´ımélve t´ amogatott mindenben. Kruppa Andr´ asnak, aki az MTA doktora, az MTA Atommagkutat´ o Intézete Elméleti Fizikai Osztály´ anak vezet˝oje, akinek a k¨ ozös cikkeken t´ ul, a szakmai beszélgetésekért és a Disszertációm folyamatos alak´ıt´ asában ny´ ujtott t´ amogatásáért is hál´ as vagyok. K¨ oszön¨ om, hogy az MTA Atommagkutat´ o Intézete Elméleti Fizikai Osztály´ an olyan motiv´ al´ o környezetben dolgozhattam, ami nagyban seg´ıtette munk´ amat. K¨ ul¨ on köszönet azon szakmai és privát olvas´ oknak akik ép´ıt˝ o javaslataikkal seg´ıtettek: Mezei Zsolt, Vértesi Tamás, Salamon Józsefné, Bene Imréné. K¨ oszönet illeti családtagjaimat és barátaimat, akik mellettem állnak. ´ Vég¨ ul, de nem utolsó sorban feleségemnek Aginak és els˝o gyermek¨ unknek Leának, aki egy¨ utt fejl˝ od¨ ott az anyaméhben ezzel a Disszertációval.

Tartalomjegyz´ ek 1. Bevezet´ es 2. Az atommag modelljeir˝ ol 2.1. A mag folyadékcsepp modellje . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Az egyrészecskés héjmodell . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Az egyrészecske Hamilton-operátor köt¨ ott sajátértékeinek numerikus meghatározása . . . . . . . 2.3.1. A radi´ alis egyenlet megoldása direkt numerikus integr´ al´ assal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Az egyrészecske Hamilton-operátor mátrix´ anak diagonaliz´ al´ asa . . . . . . . . . . .

1

. . . . . . . . . . . .

7 8 9

. . . . . .

18

. . . . . .

18

. . . . . .

19

3. A mag h´ ejszerkezete, a m´ agikus sz´ amok

21

4. A mikroszkopikus-makroszkopikus modell

25

5. H´ ejkorrekci´ o sz´ am´ıt´ asi m´ odszerek 35 5.1. Hagyom´ anyos és által´ anos´ıtott Strutinsky-m´ odszer alkalmazása folytonos tartom´ anyt is tartalmazó spektrumok esetére . . . . . . 35 ´ sim´ıt´ 5.2. Uj o eljár´ as a n´ıv´ os˝ ur˝ uségre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.3. Az u ´j n´ıv´ os˝ ur˝ uség-sim´ıt´ o eljár´ as alkalmazása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ´ görb¨ 5.4. Uj uletkorrekci´ os módszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.4.1. Görb¨ uletkorrekci´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 uletkorrekci´ os módszerek . . . . . . . . 50 5.4.2. Hagyom´ anyos görb¨ 5.4.3. Görb¨ uletkorrekci´ o több szélességgel . . . . . . . . . . . . . 51 5.4.4. Deriv´ alt görb¨ uletkorrekci´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

´ TARTALOMJEGYZEK

5.5. Az u ´j görb¨ uletkorrekci´ os módszerek alkalmazásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

6. Egy u ´ j, fenomenologikus magpotenci´ al 63 6.1. Tov´ abbi vizsgálatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 ¨ 7. Osszefoglal´ as

73

1. fejezet

Bevezet´ es Munk´ amat az MTA Atommagkutató Intézetében, az Elméleti Fizikai Osztályon végeztem. Kutatásaim az ott folyó elméleti magfizikai vizsgálatokhoz kapcsolód´ o alkalmazott matematikai, valamint szám´ıt´ ogép programozási kutatások, amelyekben az a közös, hogy k¨ ul¨ onféle f¨ uggvények sim´ıt´ asának feladat´ at kell megoldani. A távk¨ ozlésben nagyon fontos feladat az a´tvinni k´ıv´ ant jeleknek a r´ arak´ od´ o zajoktól val´ o megszabad´ıt´ asa, amit megfelel˝o u ń. alul´ atereszt˝o sz˝ ur˝ ok alkalmazásával lehet elérni. Matematikailag ez a f¨ uggvény Fourier-sorfejtésével és a kapott spektrum nagyfrekvenci´ as részének az elhagyásával val´ os´ıthat´ o meg. A sz˝ ur˝ ok alkalmaz´ asán´ al nem foglalkozunk azzal, hogy a zaj spektruma milyen eloszlást mutat, vajon véletlen eloszlás´ u fehér zaj-e, vagy meghatározott eredet˝ u, amelyben j´ ol meghatározott komponensek dominálnak. Az általunk vizsg´ alt feladatokban az a k¨ ozös, hogy a fluktu´ aciók, amelyekt˝ ol uggvény¨ unket meg k´ıv´ anjuk szabad´ıtani, nem véletlen eredet˝ uek, hanem j´ ol a f¨ meghatározott okból vannak jelen. Ez a tulajdons´ ag seg´ıtség¨ unkre lehet a megfelel˝o eljár´ as megtalál´ asában. Vizsgálataim egyik része, az u ´ n. héjkorrekci´ o szám´ıt´ as. A dolgozatomban szerepl˝o vizsgálatokban az egyszer˝ u egyrészecskés héjmodellben fogok dolgozni, és az átlagpotenciálr´ ol fel fogjuk haszn´ alni a magfizik´ aban összegy˝ ult ismereteket. A vN (r) magpotenciálra egyszer˝ u matematikai alak´ u, u ń. fenomenologikus f¨ uggvényform´ akat fogunk haszn´ alni. Az egyrészecske Hamiltonoperátor sajátérték-problémája megoldásaként a köt¨ ott állapotokra diszkrét energiaspektrumot kapunk. A héjkorrekci´ o meghatározásához a diszkrét spektrumot megfelel˝o módon kell kisim´ıtani. Dolgozatom els˝o része a spektrum1

2

´ 1. FEJEZET: BEVEZETES

sim´ıt´ as részleteivel foglalkozik. Megmutatjuk, hogy a spektrum kisim´ıt´ asára az általunk bevezetett véges hatót´ avols´ ag´ u s´ ulyf¨ uggvény sok szempontból el˝ony¨ osebben használhat´ o, mint a kor´ abban a Strutinsky-féle héjkorrekci´ o szám´ıt´ asára használt Gauss-f¨ uggvény. Vizsgálataim második része azzal foglalkozik, hogy hogyan lehet egy matematikai szempontból az eddig használtakn´ al kedvez˝obb f¨ uggvényform´ aj´ u all´ıtani. Az általunk javasolt u ´j egyrészecskevN (r) egyrészecske-potenciált el˝o´ potenciál alakja ugyanabb´ ol a véges hatót´ avolság´ u s´ ulyf¨ uggvényb˝ ol származik, amit az egyrészecske-spektrum alkalmas sim´ıt´ asára használtunk. Az u ´j fenomenologikus potenci´ alalak tehát az eddig használt, szakad´ assal rendelkez˝o (azaz nem folytonos) forma kisim´ıt´ asának tekinthet˝ o. A felsorolt vizsgálatok id˝ oszer˝ usége a magfizikus olvasók számára nem szorul b˝ovebb magyar´ azatra. Mivel azonban dolgozatom a Matematika – és Sz´ am´ıt´ astudom´ anyok Doktori Iskol´ aban ker¨ ul bead´ asra, egy szélesebb kitekintés u ´gy gondolom, hasznos lehet. A stabilitási völgy alj´ at´ ol távol es˝o magokat kiterjedten tanulm´ anyozzák k¨ ul¨ onb¨ oz˝o, radioakt´ıv nyal´ abok el˝oa´ll´ıt´ asára képes laboratóriumokban. Ezen kutat´ asok egyik eredménye az egzotikus könny˝ u magok el˝o´ all´ıt´ asa. Ezek a maasi vonal közelében helyezkednek el, és el˝oa´ll´ıt´ asukra a gok a nukleonelhullat´ radioakt´ıv nyal´ abok megjelenése ny´ ujt lehet˝oséget. Az elhullat´ asi vonalak pontos helyzete kijelöli azt a magtartományt, amelyre a k´ısérleti és elméleti kutatást érdemes összpontos´ıtani. Az elhullat´ asi vonalak elméleti meghatározása tömeg (k¨ otési energia) szám´ıt´ asokon alapul. Az atommagok tömege, vagyis az energiája nagyon fontos alapmennyiség. Péld´ aul az elhullat´ asi vonalak mentén a héjszerkezet változása, vagy az eddig ismert legnagyobb magt¨ omegen t´ uli u ´j mágikus számok létezése is tanulm´ anyozhat´ o tömegmérés seg´ıtségével. Fontos alkalmazás lehet még egy adott rendszer bomlási módjainak, vagy egy reakci´ o energiakibocsát´ asának a meghat´ arozása. A tömegértékek az atomfizika, az asztrofizika és a részecskefizika számára is fontosak. Az utóbbi években a tömegmérések pontossága drámai módon fejl˝ od¨ ott és u atommagok tömegének mérése is [1, 2]. K´ısérletileg lehet˝ové vált rövid élet˝ meghatározott, nagyon pontos t¨ omegértékek mára már elérhet˝ ok a periódusos rendszer szinte minden elemére, ezért nagy a késztetés a jó elméleti le´ır´ as megalkot´ asára. A tömegszám´ıt´ asoknak több fontos elméleti megközel´ıtése létezik. Az egyik els˝o magmodell, a folyadékcsepp modell elég jól visszaadja a mért magtömegek altal´ ´ anos viselkedését annak ellenére, hogy a magot makroszkopikus testnek, folyadékcseppnek tekinti. A magmodellek dönt˝ o hányada azonban figyelembe-

3

veszi, hogy az atommag nukleonokb´ ol áll´ o mikroszkopikus rendszer, aminek a helyes le´ır´ asa a kvantummechanika keretében történik. Manaps´ ag kiterjedten haszn´ alj´ ak a Monte-Carlo-héjmodellt [3], és egyre terjed a modellf¨ uggetlen alakanal´ızis módszere (pattern recognition) is [4]. A mikroszkopikus magmodellek k¨ oz¨ ul itt csak az effekt´ıv s˝ ur˝ uségf¨ ugg˝ o kölcsönhat´ asokat felhasznál´ o, mikroszkopikus Hartree–Fock (HF) vagy Hartree–Fock–Bogoliubov (HFB) sz´ am´ıt´ asokat eml´ıtem, amik nagyon hatékonynak bizonyulnak a glob´ alis tömegszám´ıt´ asok ter¨ uletén. Az eddigi legjobb HFB formula [5] felhaszn´ al´ asával kapott RMS hiba (négyzetes középben vett eltérés) 674 keV-nek adódott [2]. A kötési energiák szám´ıt´ asán´ al, egy jóval egyszer˝ ubb alternat´ıv eljár´ as is létezik, ami kombin´ alja a makroszkopikus és a mikroszkopikus magmodellek el˝ony¨ os tulajdons´ agait. Ez az u ń. mikroszkopikus-makroszkopikus (MicMac) modell, ami pontoss´ agban képes felvenni a versenyt a mikroszkopikus szám´ıt´ asi módszerekkel annak ellenére, hogy szám´ıt´ asigénye jóval szerényebb, abban eml´ıtett HF vagy HFB módszereké. Mivel egy u ´jabb Mic-Mac mint a kor´ szám´ıt´ as RMS hib´ aja 676 keV [2], ezért kijelenthetj¨ uk, hogy a mikroszkopikus és a Mic-Mac módszer pontosság tekintetében nagyj´ ab´ ol egyenérték˝ u. A majdnem azonos globális illeszkedés ellenére azonban a neutronelhullat´ asi vonal közelében a két módszer számottev˝o eltérést mutat. A Mic-Mac szám´ıt´ asok legfontosabb mennyisége a héjkorrekci´ o. Ezt a fogalmat Strutinsky vezette be a 60-as években [6,7], és a mai napig használj´ ak. Egy, a közelm´ ultban elvégzett globális tömegszám´ıt´ as esetében [8] a héjkorrekci´ ohoz a sim´ıtott n´ıv´ os˝ ur˝ uséget (amely a szám´ıt´ as legfontosabb eleme) a szemiklasszikus Wigner–Kirkwood m´ odszerrel szám´ıtott´ ak ki, a Strutinsky-m´ odszer más elemeit pedig változtat´ as nélk¨ ul alkalmazt´ ak. A héjkorrekci´ os módszert u ´gy is által´ anos´ıtott´ ak, hogy bizonyos gerjesztett állapotokat is le tudjon ´ırni, pl. a forg´ o atommagok magas spin˝ u állapotait. asa a maghasadási A héjkorrekci´ os módszernek egy másik fontos alkalmaz´ hat´ arok kiszám´ıt´ asa [9–13], ami nagyon fontos számos jelenség, pl. a stabil szupernehéz elemek megértéséhez. A héjkorrekci´ os módszert nemcsak a magfizik´ aban használj´ ak, hanem a mezoszkopikus rendszerek le´ır´ asain´ al is. A fémklasztereknek jellegzetes héjszerkezet¨ uk van, ´ıgy ezek a rendszerek ideális terepei a héjkorrekci´ os módszer alkalmazásának [14–16]. A héjkorrekci´ o bevezetése óta az eredeti módszeren számos alkalommal finom´ıtottak. Az eredeti energiaátlagol´ ason k´ıv¨ ul részecskeszám-tér föl¨ otti átlagol´ ast is bevezettek [17,18], illetve a két tér föl¨ otti átlagol´ as kombin´ al´ asának lehet˝oségét is megvizsgált´ ak [19]. A részecske-átlagteret le´ır´ o harmonikus oszcill´ ator potenciált, vagy a Nilsson-potenciált felváltotta egy realisztikusabb fenomenologikus potenci´ al, amelynek spektruma a diszkrét egyrészecske-energiák

4

´ 1. FEJEZET: BEVEZETES

mellett folytonos tartományt (kontinuumot) is tartalmaz. A spektrum kontinuum tartom´ anya miatt a n´ıv´ os˝ ur˝ uség kezelése régóta problémát jelentett [20, 21], ennek megoldására azonban Krupp´ anak siker¨ ult egy elegáns megoldást tal´ alnia [22]. Vertsének és munkat´ arsainak az által´ anos´ıtott Strutinsky-m´ odszer bevezetésével [23, 24] a sim´ıt´ asi módszer technikai paramétereinek választásáb´ ol ad´ od´ o bizonytalans´ agot siker¨ ult j´ orészt megsz¨ untetnie. Ez lehet˝ ové tette a héjkorrekci´ o megb´ızhat´ o kiszám´ıt´ asát középnehéz és nehéz magok esetére, ahol a sim´ıtott n´ıv´ os˝ ur˝ uség energiaf¨ uggése hossz´ u intervallumon line´ aris. Könnyebb magok esetén ez a lineáris régió rövidebb, mivel a bet¨ olt¨ ott héjak száma kevesebb, és a héjak közötti távols´ ag nagyobb. K¨ onny˝ u magok esetén az intervallum ak a linearit´ ast, vagyis a módszer ilyen esetekben nem alsó és fels˝o végei elrontj´ alkalmazhat´ o. Jelen munka egyik célja egy olyan u ´j módszer bemutatása, amely mentes ett˝ol a korl´ atozástól, és a teljes neutron-proton s´ıkon (N -Z s´ıkon) alkalmazhat´ o, még az elhullat´ asi vonalak k¨ ozelében is. Ennek érdekében bevezet¨ unk egy olyan sim´ıt´ asi eljár´ ast, amely az eddig a Strutinsky-m´ odszerben alkalmazott Gaussféle s´ ulyf¨ uggvénnyel ellentétben csak véges tartományon hat. Az u ´j módszer le´ır´ asa az 5.2. részben, annak alkalmaz´ asa pedig az 5.3. részben találhat´ o. Héjkorrekci´ os vizsgálatokn´ al az alapfogalmaink a kvantumos egyrészecsken´ıv´ os˝ ur˝ uség (single-particle level density) (SPLD) és a sim´ıtott SPLD. A kvantumos SPLD az egyrészecske-energiákra centr´ alt Dirac-delta f¨ uggvények osszege. A sim´ıtott SPLD pedig egy szingularit´ ¨ asmentes sima f¨ uggvény. Ezt a f¨ uggvényt akár szemiklasszikus módszerek seg´ıtségével is meg lehet határozni asokat a szemiklasszikus [25]. A [8, 21] munk´ akban pl. a héjkorrekci´ os szám´ıt´ Wigner–Kirkwood m´ odszerrel végezték. A sim´ıtott SPLD-t meg lehet hat´ arozni u ´gy, hogy csak az egyrészecske-energiákat használjuk fel. Ezt a m´ odszert Strutinsky-féle sim´ıt´ asnak, vagy hagyom´ anyos átlagol´ o módszernek h´ıvjuk [21]. A Strutinsky-féle [26] és a szemiklasszikus makroszkopikus-mikroszkopikus [8] modellek a sim´ıtott SPLD szám´ıt´ asának módj´ aban térnek el. A kvantumos SPLD-nek a Strutinsky-féle sim´ıt´ asa egy jól defini´ alt eljár´ as. El˝ oször egy normált, pozit´ıv, p´ aros s´ ulyf¨ uggvényt választanak ki. Ez lesz a kezd˝o sim´ıt´ o f¨ uggvény. A sim´ıt´ ast pedig u ´gy végzik, hogy a kvantumos SPLDt a s´ ulyf¨ uggvényt tartalmazó sim´ıt´ of¨ uggvénnyel konvolv´ alj´ ak [27, 28]. Ez az egyszer˝ u eljár´ as azonban még nem megfelel˝o. Meg kell követeln¨ unk a sim´ıt´ asi folyamat önkonzisztenciáj´ at is. Ha a sim´ıt´ ast egy megfelel˝oen sima f¨ uggvényre (adott fok´ u polinomra) alkalmazzuk, akkor az eredménynek azonosnak kell lenuletkorrekci´ os sim´ıt´ asnak h´ıvjuk. nie az eredeti f¨ uggvénnyel. Ezt az eljár´ ast görb¨

5

Ebben a dolgozatban két u ´j, eddig nem haszn´ alt görb¨ uletkorrekci´ os módszert vezet¨ unk be. Ezek le´ır´ asai az 5.4.3., 5.4.4. részekben találhat´ ok, alkalmaz´ asai pedig az 5.5. részben vannak. Az általunk bevezetett fenomenologikus potenci´ al le´ır´ asa és annak alkalmazása a 6. fejezetben találhat´ o. A 7. fejezetben összefoglalom dolgozatom legfontosabb eredményeit.

2. fejezet

Az atommag modelljeir˝ ol A fizikában modellekre van sz¨ ukség ahhoz, hogy a fizikai folyamatok lényegét megérthess¨ uk. A vizsgálni k´ıv´ ant tárgy mérete szerint azonban a világot ketté kell osztanunk. A nagy, szemmel láthat´ o tárgyak, az u ń. makroszkopikus t´ argyak mozgását a klasszikus mechanika ´ırja le, a nagyon kicsiny t´ argyak mozgásának le´ır´ asára a kvantummechanika alkalmas. A molekul´ ak, atomok, atommagok a mikrovil´ ag objektumai, teh´ at ezek megfelel˝o le´ır´ asa a kvantummechanika seg´ıtségével történhet. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a mikroszkopikus objektumoknak bizonyos tulajdons´ agait ne lehetne esetleg egyszer˝ u makroszkopikus modellekkel le´ırni. A kés˝obbiekben l´ atni fogunk péld´ at ilyen modell alkalmaz´ asára. A leglényegesebb k¨ ul¨ onbség a klasszikus mechanikai és a kvantummechanikai le´ır´ as között az, hogy m´ıg a klasszikus mechanik´ aban a fizikai mennyiségeket által´ aban folytonos és differenciálhat´ o f¨ uggvényekkel ´ırjuk le, addig a kvantummechanik´ aban a fizikai mennyiségekhez operátorokat rendel¨ unk. A fizikai állapotokat pedig a´llapotf¨ uggvények (hull´ amf¨ uggvények) ´ırj´ ak le. Az operátoros le´ır´ asmód következménye, hogy a fizikai mennyiségek sokszor csak diszkrét értékekkel rendelkeznek. A diszkrét állapotokat az illet˝ o operátor sajátértékei és a hozzájuk tartoz´ o sajátf¨ uggvények jellemzik. A dolgozatomban szerepl˝o munk´ akban az energiához tartozó operátornak, az u ń. Hamilton-oper´ atornak lesz kiemelt jelent˝osége. A klasszikus mechanikában a test teljes energiája által´ aban a mozgási, vagyis kinetikus energi´ ab´ ol és a testnek a helyzeti (potenciális) energiáj´ ab´ ol áll össze. A kvantummechanikában is hasonló a helyzet, a H Hamilton-operátor a K kinetikus energiaoper´ ator és 7

8

˝ 2. FEJEZET: AZ ATOMMAG MODELLJEIROL

a V potenciális energiaoperátor (röviden potenci´ al) összege: H =K +V .

(2.0.1)

Tekints¨ unk most egy atommagot, s legyen a (2.0.1) egyenletbeli Hamiltonoperátor ennek az energiaoperátora, és a ψ f¨ uggvény az állapotf¨ uggvénye. Ha megmérj¨ uk a mag energiáj´ at, akkor annak E energiája a Hψ = Eψ

(2.0.2)

energiasajátérték-egyenlet sajátértéke, a ψ f¨ uggvény pedig az ehhez a sajátértékhez tartozó sajátf¨ uggvénye lesz. Az atommag neutronokból és protonokb´ ol, közös néven nukleonokb´ ol áll´ o köt¨ ott rendszer. Ha az atommag u ń. k¨ ot¨ ott állapotban van, vagyis egyetlen nukleonja sem hagyhatja el a magot, akkor állapot´ anak E energiája negat´ıv, és a ψ ´ allapotf¨ uggvénye négyzetesen integrálhat´ o f¨ uggvény. A köt¨ ott állapoti hull´ amf¨ uggvényeket egyre normáljuk. Az atommagban lév˝o neutronok számát által´ aban N -nel, a protonok számát pedig Z-vel jelölik. Ez a Z az atommagból és a hozzátartoz´ o elektronokb´ ol áll´ o atom rendszáma, tehát Z-t˝ol f¨ ugg, hogy milyen elemr˝ol van szó. A magot alkot´ o nukleonok száma, a mag tömegszáma: A=N +Z .

(2.0.3)

Az atommag A darab nukleonb´ ol áll´ o rendszer, aminek a teljes kvantummechanikai le´ır´ asához az A-test problémát kellene megoldanunk. Ez még ma is többnyire megoldhatatlan feladat, hiszen az A darab nukleonnak a t¨ obbi (A − 1) darab nukleonnal val´ o, még nem minden részletében ismert kölcsönhat´ asát kellene figyelembe venni.

2.1.

A mag folyad´ ekcsepp modellje

Tudjuk, hogy a mag neutronokb´ ol és protonokb´ ol áll´ o rendszer, ezért elméletileg a kvantummechanika keretében kellene le´ırnunk. A mag bizonyos tulajdons´ agait azonban egy makroszkopikus modell, a folyadékcsepp modell is le tudja ´ırni. A folyadékcsepp modell hasznos pl. a maghasadás le´ır´ asában, de a mag bizonyos gerjesztései is jól megérthet˝ oek olyan anal´ ogi´ ak alapj´ an, amelyek a magot éles hat´ arvonallal és meghatározott alakkal rendelkez˝ o objektumnak tekintik. A folyadékcsepp modell, vagy cseppmodell arra a hasonl´ oságra ép¨ ul, hogy a neutronokb´ ol és protonokb´ ol áll´ o maganyag álland´ o s˝ ur˝ uség˝ u, akárcsak egy folyadékcsepp. Ha a magban több nukleonunk van, akkor annak kiterjedése,

´ ´ HEJMODELL ´ 2.2. AZ EGYRESZECSK ES

9

térfogata is nagyobb. Ha a mag g¨ omb alak´ u, akkor az R sugara A1/3 -nal arányos, 4πR3 a gömb térfogata pedig (V = 3 ) A-val arányos. A folyadékcsepp modell talán legnagyobb sikere az u ń. fél-empirikus tömegformula bevezetése volt Bethe és Weizsäcker által [29]. A k¨ otési energia ebben a modellben: B(N, Z) = aV A + aS A2/3 + aC

Z2 (N − Z)2 + aI − δ(A) . 1/3 A A

(2.1.1)

A fél-empirikus tömegformul´ aban az els˝o tag a térfogati tag, ami annak felel meg, hogy a mag térfogata az A = N + Z összes nukleonszámmal arányos. A második tag a fel¨ uleti tag, ez azt jelenti, hogy a mag fel¨ uletén lév˝o nukleonok, mivel nincsenek teljesen körbevéve nukleonokkal, ezért kevésbé járulnak hozz´ a a mag kötéséhez. A harmadik tag a protonokt´ ol származó Coulomb-energia tag, ami a magban lév˝o protonp´ arok Z 2 számával arányos. A maradék két tag jelentésével itt nem foglalkozunk. A fél-empirikus formul´ aban szerepl˝o ai , i ∈ {V, S, C, I} egy¨ utthat´ ok számértékeit a mért magtömegekhez való (legkisebb négyzetes) illesztésb˝ol határozták meg. Mivel az illesztésbe annak idején bevont´ ak az abban az id˝oben ismert valamennyi mag tömegadatát, a fél-empirikus tömegformula meglep˝oen jól becs¨ ulte meg valamennyi mag tömegét. (Megjegyezz¨ uk, hogy a t¨ omeg és a kötési energia az Einstein-féle tömeg-energia összef¨ uggés E = mc2 alapj´ an könnyen átv´ althat´ ok egymásba.)

2.2.

Az egyr´ eszecsk´ es h´ ejmodell

Az atommagnak egy viszonylag egyszer˝ u mikroszkopikus (teh´ at kvantummechanikai) modellje az u ń. egyrészecske-héjmodell. Ebben a modellben az A nukleonb´ ol áll´ o atommagot olyan, meglehet˝osen durva képben pr´ ob´ aljuk le´ırni, amiben feltessz¨ uk, hogy a magbeli nukleon mozg´ asa le´ırhat´ o egyetlen, a többi nukleon hatását közel´ıt˝ o átlagos v(r) potenciállal, ahol r a nukleon helyvektora. Ennek megfelel˝oen a nukleon mozgását a h = t + v(r)

(2.2.1)

egyrészecske Hamilton-operátor szabja meg, és a mozgást ennek a hφ = φ

(2.2.2)


10

sajátérték-egyenlete szabályozza. Most a kisbet˝ uk az egyrészecske-operátorokat és sajátértékeket jelölik, teh´ at t jelöli az egyrészecskés kinetikus energiaoperátort, ami a 2 t=− ∆ (2.2.3) 2µ alak´ u differenciáloperátor a ∆ Laplace-operátorral kifejezve. Az arányossági tényez˝o a Plank-´ alland´ ot és a részecske µ reduk´ alt tömegét tartalmazza. Ha a nukleon t¨ olt¨ ott, tehát egy proton mozgását akarjuk meghat´ arozni, akkor annak e t¨ oltése miatt hat rá a magban lév˝o többi proton Coulomb-tasz´ıt´ asa is, ezért a proton egyrészecske Hamilton-operátora: h = t + v(r) = t + vN (r) + vC (r) ,

(2.2.4)

ahol vN (r) a protonra hat´ o nukle´ aris potenciált, vC (r) pedig a protonra hat´ o Coulomb-potenciált jelöli. Mivel neutronra nincs Coulomb-tasz´ıt´ as, ezért a (2.2.4) egyenletben v(r) = vN (r). Az egyszer˝ uség kedvéért tételezz¨ uk fel, hogy olyan magokkal foglalkozunk, amelyek jó közel´ıtéssel gömbszimmetrikusnak tekinthet˝ ok. Ebben az esetben a v(r) magpotenciál is gömbszimmetrikus, vagyis csak az r vektor r = |r| hosszát´ ol f¨ ugg, ir´ any´ at´ ol nem. Ez lényegesen leegyszer˝ us´ıti az egyrészecskés Hamilton-operátor (2.2.2) egyenletbeli saj´ atérték-problémáj´ anak a megoldását, amennyiben k¨ ozönséges differenciálegyenlet sajátérték-problémáj´ at kell megoldanunk az eredeti parci´ alis differenciálegyenleté helyett. A t kinetikus energia operátora a Laplace-operátorral fejezhet˝o ki. Ennek form´ aja az x, y, z Descarteskoordin´ at´ akban: ∂2 ∂2 ∂2 + + . (2.2.5) ∆= ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 A gömbszimmetrikus potenciál esetén célszer˝ u áttérni az x, y, z Descarteskoordin´ at´ akr´ ol az r, θ, χ polárkoordin´ at´ akra az x = r sin(θ) cos(χ),

y = r sin(θ) sin(χ),

z = r cos(θ)

transzform´ acióval. Ekkor a Laplace-oper´ ator ∂2 ∂2 2 ∂ ∂ 1 ∂2 1 ∆= 2 + + cot(θ) + 2 + ∂r r ∂r r ∂θ2 ∂θ sin2 (θ) ∂χ2

(2.2.6)

(2.2.7)

polárkoordin´ at´ as alakja, a (2.2.2) egyenletbeli egyrészecskés Hamilton-operátor sajátérték-egyenlete pedig 2µ − ∆ + 2 (v(r) − ) ψ(r) = 0 (2.2.8)


11

alakban ´ırhat´ o. A (2.2.8) egyenlet megoldását parciális hull´ amokba val´ o sorfejtéssel keress¨ uk. Tehát a megoldás Rl (r)Ylm (θ, χ) (2.2.9) ψ(r, θ, χ) = l=0

alak´ u lesz, ahol

Ylm (θ, χ) = sin|m| (θ)Plm (cos(θ))eimχ

(2.2.10)

uggvényre pedig a az u ń. g¨ ombf¨ uggvényeket jelöli. Az Rl (r) f¨ d2 Rl (r) 2 dRl (r) l(l + 1) + Rl (r) + k 2 − v(r) Rl (r) = 0 − dr2 r dr r2

(2.2.11)

k¨ ozönséges differenciálegyenlet vonatkozik, ahol k2 =

2µ . 2

(2.2.12)

A (2.2.11) radi´ alis egyenletet numerikus módszerrel kell megoldani, ha nincs olyan szerencsénk, hogy a v´ alasztott v(r) potenciál mellett létezik a differenci´ alegyenletnek analitikus megold´ asa. A radiális egyenletb˝ ol az Rl (r) =

ul (r) r

(2.2.13)

uggvényre vonatkoz´ o helyettes´ıtés után az els˝o derivált elt˝ unik. Ekkor az ul (r) f¨ radi´ alis egyenlet a következ˝o lesz: l(l + 1) ul (r, k) = + V (r) − k 2 ul (r, k) , (2.2.14) 2 r al k 2 ast jelöli és V (r) = 2µ ahol az r szerinti derivál´ 2 v(r) a potenci´ egységben mérve. A differenciálegyenletb˝ ol látszik, hogy a megoldás f¨ ugg a k hull´ amszámtól is. Ezt explicit módon is jelölt¨ uk. A magfizika kezdeti id˝oszakában a szám´ıt´ ogépek még lass´ uak voltak, ezért a magfizikusok el˝oszeretettel használtak olyan magpotenci´ alokat, amelyekkel a radi´ alis egyenletnek volt analitikus megold´ asa. Ilyen potenciál, az u ń. négyszögpotenciál, ami álland´ o a mag belsejében, és null´ av´ a válik az R magsugárn´ al: 1, ha r < R vN (r) = −V0 (2.2.15) 0, ha r R .


12

Az adott potenciálban a k¨ ot¨ ott megoldásokat, azok kötési energiáj´ at és hull´ amf¨ uggvényét a radiális egyenlet megoldására kir´ ott határfeltételek határozzák meg. Ugyanez vonatkozik a nemköt¨ ott, vagyis szór´ asi állapotokra is. Mind a k¨ ot¨ ott, mind a szór´ asi megoldásoknak az origóban zérusnak, azaz regulárisaknak kell lenni¨ uk: (2.2.16) ul (0, k) = 0 . Olyan nagy r > Ras távols´ agokn´ al, ahol a magpotenci´ al már zérussá válik, és a radi´ alis egyenletben legfeljebb a vC (r) =

(Z − 1)e2 r

(2.2.17)

o és Ol (η, ρ) Coulomb-potenciál marad meg, a szór´ asi megoldás Il (η, ρ) befut´ kifut´ o Coulomb-hull´ amok lineáris kombin´ aciój´ aba megy át: ul (r, k) = xl (k)Ol (η, kr) + yl (k)Il (η, kr) .

(2.2.18)

2

µ Itt η = Ze eter (neutronra természetesen η = 0 veend˝ o), 2 k a Sommerfeld-param´ a kifut´ o(befut´ o) megoldások pedig Ol = Gl + iFl (Il = Gl − iFl ), ahol Fl a aris Coulomb-f¨ uggvény. A reguláris és irreguláris regul´ aris, Gl pedig az irregul´ Coulomb-f¨ uggvények, valamint az azokból képzett yl (η, ρ) lineárkombin´ aciók, a Coulomb-differenci´ alegyenletnek tesznek eleget, ami a következ˝o:

l(l + 1) 2ηk d2 yl (η, ρ) = + − 1 yl (η, ρ) . 2 2 dρ ρ ρ

(2.2.19)

uggvény, Ennek a ρ = 0 pontban zérus megoldása az Fl (η, ρ) reguláris Coulomb-f¨ aris Coulomb-f¨ uggvény olyan megoldás, aminek a Wronskia Gl (η, ρ) irregul´ determin´ ansa: W (F, G) = Fl Gl − Fl Gl = 1 . (2.2.20) Az yl (k), xl (k) lineáris kombin´ aciós egy¨ utthat´ oknak, az u ń. Jostf¨ uggvényeknek a hányadosa szolgáltatja a parci´ alis szór´ asi mátrixelemet (ami ebben az egyszer˝ u esetben egy 1 × 1-es mátrix): Sl (k) = −

xl (k) , yl (k)

(2.2.21)

ami val´ os k érték mellett unitér: |Sl (k)|2 = 1 .

(2.2.22)


13

Tehát a szór´ o mag hatása egy l parci´ alis hull´ amban aszimptotikusan egy val´ os odik: δl (k) fáziseltolás megjelenésére redukál´ Sl (k) = e2iδl (k) .

(2.2.23)

A köt¨ ott megoldást az jellemzi, hogy négyzetesen integrálhat´ o a radi´ alis hull´ amf¨ uggvénye, tehát aszimptotikusan null´ ahoz tart. Magreakci´ okban hasznosnak tal´ alt´ ak a (2.2.21) egyenletbeli S-mátrixot kiterjeszteni a komplex energi´ akra, illetve komplex k hull´ amszámokra. A komplex s´ıkon az S-mátrixnak p´ olusai vannak. Ezekben a radi´ alis egyenlet megoldása yl (kn ) = 0 miatt tisztán kifut´ o. Teh´ at az r Ras tartományban unl (r, k) = Nnl Ol (ηn , kn r) ,

(2.2.24)

ahol mind kn = iγn (γn > 0), mind ηn tisztán képzetesek, hiszen Ze2 µ 2 kn .

2 2 2µ kn

= en < 0

és ηn = A tisztán kifut´ o határfeltétel a (2.2.21) egyenletbeli S-mátrixnak a komplex k s´ıkon vett p´ olus´ anak felel meg, ahol yl (kn ) = 0 és xl (kn ) = 0. A k¨ ot¨ ott állapot (a Gamow-´ allapotokkal és az antiköt¨ ott állapotokkal egy¨ utt) az Smátrix p´ olus-megoldása. A 2.1. ábr´ an kör¨ okkel jelezt¨ uk az S-mátrix p´ olusainak elhelyezkedését egy tipikus esetben. Im(k)

b1 b2 c1 c2

Re(k) d1

a2

d2

a1

2.1. ábra. Az S-m´ atrix p´ olushelyei a k-s´ıkon. A k¨ ot¨ ott ´ allapotokat b1 és b2 , az akat d1 és d2 , valamint a keletkez˝ o antik¨ ot¨ ott ´ allapotokat a1 és a2 , a rezonanci´ oli. allapotokat c1 és c2 jel¨ ´


14

A radi´ alis f¨ uggvények aszimptotikus viselkedésének megvilág´ıt´ asára vegy¨ uk a legegyszer˝ ubb η = 0 és l = 0 esetet, amikor O0 (0, ρ) = eiρ és I0 (0, ρ) = o, hogy a k¨ ot¨ ott megoldás aszimptotikusan e−γn r -el arányos. Az e−iρ . Láthat´ Nnl normál´ asi álland´ ot u ´gy kell meghatározni, hogy a radi´ alis f¨ uggvény egyre norm´ alt legyen: ∞

0

|unl (r, kn )|2 dr = 1 .

(2.2.25)

Mivel az r távols´ ag növekedtével az integrandus zérushoz tart, ezért elég egy alni, tov´ abb´ a az abszol´ ut érték jel elhagyhat´ o, mert nagy, véges rh értékig integr´ uggvények val´ osak: az unl (r, kn ) f¨ rh (2.2.26) u2nl (r, kn )dr = 1 . 0

A szór´ asi megoldás ezzel szemben aszimptotikusan egy álland´ o amplit´ ud´ oj´ u uggvénnyel arányos. Ha oszcillál´ o f¨ uggvény, hiszen lefutása a sin(kr + δ0 (k)) f¨ nem szor´ıtkozunk az η = l = 0 esetre, akkor a szór´ asi megoldás aszimptotikus alakja [30]: π ul (r, k) = −2iyl (k)eiδl sin kr − ηln(2kr) − l + δl . (2.2.27) 2 A szór´ asi f¨ uggvényt már nem tudjuk u ´gy egységre normálni a végtelen r tartományon, mint a k¨ ot¨ ott állapoti megold´ ast. A szór´ asi f¨ uggvényekre a Diracdelt´ ara val´ o normál´ as a szokásos normael˝o´ır´ as: ∞ ul (r, k)ul (r, k )dr = δ(E − E ) . (2.2.28) 0

Ez a követelmény rögz´ıti a (2.2.27) egyenletben szerepl˝o normál´ asi faktor értékét, s ezzel a (2.2.28) egyenletbeli normált szór´ asi f¨ uggvény aszimptotikus alakja [30]: ul (r, k) = i

µ 12 −iδl iδl e I (η, kr) − e O (η, kr) . l l 2πk2

(2.2.29)

A fentiekb˝ ol láthat´ o az egyrészecskés Hamilton-operátor energiaspektruma, ami két részb˝ol áll. Negat´ıv energiákon n < 0 találjuk a diszkrét energiasajátértékeket, pozit´ıv energiákon pedig az > 0 kontinuum´ at a szór´ asi allapotoknak. Ezek a fizikai energiasaj´ ´ atértékek valamennyien a val´ os energiatengelyen helyezkednek el. Csak a köt¨ ott állapotok rendelkeznek négyzetesen


15

integr´ alhat´ o hull´ amf¨ uggvénnyel. Az azonos egyrészecske-potenciált tartalmazó Hamilton-operátor sajátf¨ uggvényei egymásra ortogonálisak, s mivel norm´ alhat´ ok, ortonorm´ alt rendszert alkotnak. A négyszögpotenciált tartalmazó egyrészecskés Hamilton-operátor abb´ ol a szempontból realisztikus, hogy spektruma diszkrét állapotokat és kontinuumot is tartalmaz. Abb´ ol a szempontb´ ol is realisztikus, hogy a magpotenciál véges hatót´ avols´ ag´ u, tehát megadott távolságon t´ ul null´ av´ a válik. Egy másik, igen gyakran haszn´ alt modell potenciál a harmonikus oszcillátor (h. o.) potenci´ al, ami r 2 µ = Ω20 (r2 − R2 ) (2.2.30) vN (r) = vh.o. (r) = −V0 1 − R 2 alak´ u. Itt V0 és R a harmonikus oszcillátor potenciál mélysége és sugara. Ezeket szokás az Ω0 oszcillátorfrekvenci´ aval és az oszcillátor

, (2.2.31) b= mΩ0 méretparaméterével jellemezni. A harmonikus oszcillátor energiasajátértékei egymástól egyenl˝ o Ω0 távols´ agra vannak, és a következ˝o egyszer˝ u alak´ uak: 3 − V0 , N = Ω0 N + (2.2.32) 2 ahol N = 0, 1, 2, . . . az oszcillátor kvantumok száma. Az N = 0 állapot energi´ aja a legkisebb: 0 = Ω0 23 − V0 . A harmonikus oszcillátor spektruma végtelen sok diszkrét állapotot tartalmaz. Kontinuuma nincs, ezért jól használhat´ o, ha csak k¨ ot¨ ott állapotokat akarunk le´ırni, de nem alkalmas szór´ asfolyamatok le´ır´ asára. Az N fel´ırhat´ o N = 2n + l (2.2.33) alakban, ahol l = 0, 1, 2, . . . a pálya-impulzusmomentum kvantumsz´ am, n = 0, 1, 2, . . . pedig az u ń. radi´ alis kvantumsz´ am, ami a radiális hull´ amf¨ uggvény zérushelyeinek számát adja meg, az origót nem szám´ıtva. Mivel a saj´ atértékek csak az N értékt˝ol f¨ uggnek, k¨ ul¨ onb¨ oz˝o l érték˝ u pály´ aknak lehet azonos energiasajátértéke, vagyis az energian´ıv´ ok degeneráltak. Pl. a (2.2.32) egyenletbeli energia l = N, N − 2, . . . , 1 vagy 0 értékekhez tartozhat aszerint, hogy N p´ aratlan, vagy p´ aros. A harmonikus oszcillátor sajátf¨ uggvényei a következ˝ok: 2 r2 2n! l − 2b l+1/2 r 2 , (2.2.34) e L (r/b) Rn,l (r) = n b3 Γ(n + l + 1/2) b2

16


ahol Ln az asszociált Laguerre-polinom [31], ami kifejezhet˝ o a Hn Hermitepolinomokkal [32] is, Γ pedig a Gamma-f¨ uggvényt jelöli. A klasszikus mechanikában a forg´ omozgás egyik legfontosabb jellemz˝oje az impulzus-momentum, ami a forgástengelyt˝ol a forg´ o tárgyig mutat´ o r vektornak és a forgó tárgy p = mv impulzusának (lend¨ uletének) a vektori´ alis szorzata: = [r × p] . L

(2.2.35)

A kvantummechanik´ aban ennek megfelel˝oje a pálya-impulzusmomentum vektor aminek a konkrét formáj´ operátor L, at a koordin´ ata és az impulzus operátoraib´ ol szerkeszthetj¨ uk meg. A nukleonoknak (és más elemi részecskéknek) ezenk´ıv¨ ul van u ń. saj´ at impulzusmomemtumuk, spinj¨ uk is, aminek nem tulajdon´ıthatunk semmiféle klasszikus mozgást. A nukleonok spinjének nagysága 1/2. A kvantummechanik´ aban az impulzusmomentum sajátértéke kvant´ alt, és a korábban eml´ıtett Ylm g¨ ombf¨ uggvények az L2 operátor és annak z-tengelyre val´ o Lz vet¨ uletének sajátértékei és sajátf¨ uggvényei a következ˝ok: 2 Ylm = 2 l(l + 1)Ylm , (L)

z Ylm = mYlm . L

(2.2.36)

Ha nincs spinje a részecskének, akkor az energia saját´ allapotot jellemezhetj¨ uk az n,l energiasajátérték mellett az l és az m kvantumsz´ amokkal is. Az m vet¨ ulet értéke az m = l, l − 1, 0, −1, . . . , −l értékeket, összesen (2l + 1) darab értéket ugg, ezért az energian´ıv´ o (2l + 1)-szeresen vehet fel. Mivel n,l m-t˝ol nem f¨ degenerált. A nukleonoknak azonban egységben mérve 1/2 nagyság´ u spinje van. A nukleon teljes impulzusmomentuma a két impulzusmomentum vektor ered˝oje: +S , J = L

(2.2.37)

ezért a teljes impulzusmomentum négyzetének és z komponensének a sajátértékegyenletei a következ˝ok: 2 Yjm = 2 j(j + 1)Yjm , (J) j j

Jz Yjmj = mYjmj ,

(2.2.38)

ahol Yjmj az Ylm és a spin-f¨ uggvények csatolásával áll el˝o. A teljes impulzusmomentum lehetséges értékei j = l + 1/2, vagy j = l − 1/2 lehet, ha l = 0. Az l = 0 esetben csak j = 1/2 lehetséges. Az l > 0 esetben a nukleon pályamozgása és a spinjének beáll´ asa hatással van annak energiasaj´ atértékére is, ugyanis fellép egy u ń. spin-p´ alya kölcsönhat´ as. Ez a kölcsönhat´ as vonzó t´ıpus´ u a j = l + 1/2 esetben, és tasz´ıt´ o a j = l −1/2 esetben, emiatt a korábban n,l -nél lev˝o energiaszint j értékét˝ol f¨ ugg˝ oen lefelé vagy felfelé tolódik. Mivel a j értékei félegészek, vet¨ uletének mj -nek az értékei szintén félegészek lehetnek.


17

A spin-pálya kölcsönhat´ as figyelembevétele tette lehet˝ové, hogy az atommagok héjszerkezetét helyesen siker¨ ult le´ırni. A spin-p´ alya kölcsönhat´ as fenomenologikus alakj´ aval kés˝obb majd részletesen foglalkozunk. Egyel˝ ore csak annyit aval arányos. mondunk, hogy helyf¨ uggése a realisztikus vN (r) deriváltj´ A centr´ alis magpotenciálra (a spin-p´ alya kölcsönhat´ as nélk¨ ulire) eddig felsorolt r-f¨ uggés egyike sem kielég´ıt˝ o. A négyszög potenciál nem folytonos az r = R pontban, a harmonikus oszcill´ ator pedig végtelenhez tart r → ∞ esetén, s emiatt nincsenek szór´ asi állapotai. Realisztikus fenomenologikus magpotenciált u ´gy kaptak, hogy a négyszögpotenciált olyan módon alak´ıtott´ ak át, hogy ne hirtelen v´ aljék zérussá a magsugárn´ al, hanem egy véges távols´ agon következzen be a magpotenciál er˝osségének lecsökkenése. A (2.2.15) egyenletbeli alak helyett az u ń. Woods– Saxon alakot [33] vezették be: v W S (r) = −

V0 1+e

r−R a

(2.2.39)

a centr´ alis potenciálra, és a spin-pálya potenciált ennek a deriv´ alt formáj´ aval k¨ ozel´ıtették: r−R Vso e a WS . (2.2.40) vso (r) = − 2(l · s) r−R ra (1 + e a )2 Ez a fenomenologikus magpotenciál mindeddig igen sikeres volt, ezt haszn´ alt´ ak a legtöbb magszerkezet és magreakció számolásban. Van azonban egy szépséghib´ aja, mégpedig az, hogy az átalak´ıt´ assal elrontott´ ak a magpotenciál véges hatót´ avols´ ag´ at. A (2.2.39) és a (2.2.40) egyenletekben az exponenci´ alis f¨ uggvény csak r = ∞-ben válik zérussá. Ezért ahhoz, hogy véges r t´ avols´ agn´ al lehessen csatlakoztatni a differenciálegyenlet megoldását az aszimptotikus differenciálegyenlet megoldásához, és ezáltal meg lehessen határozni az S-mátrix elemeinek értékét, a fenti végtelen hatót´ avols´ ag´ u formákat véges avols´ agn´ al le kellett vágni. A tényleges magfizikai számolásokban nem Rmax t´ a (2.2.39) és a (2.2.40) egyenletekben megadott potenciálokat, hanem azok lecsonk´ıtott form´ ait WS v (r), ha r < Rmax WS vtr (r) = (2.2.41) 0 , ha r Rmax dv W S

tr haszn´ alj´ ak. Az r = Rmax -nál bevezetett éles levág´ as miatt a dr (r) deriv´ alt nem létezik az r = Rmax pontban. Hasonl´ o levág´ ast kell bevezetni a tr vso (r) spin-pálya potenciálra is azért, hogy a fenomenologikus magpotenci´ al

18


r Rmax tartom´ anyban egzaktul zérus legyen, és a radiális egyenlet megoldását ebben a tartományban csatlakoztatni lehessen a (2.2.19) aszimptotikus differenci´ alegyenlet megoldásához. A gyakorlati szám´ıt´ asokban a magfizikusok elég nagy Rmax = 15 − 20 fm értékeket használnak, ahol a magpotenci´ al már olyan kicsi, hogy u ´gy gondolj´ ak, nyugodtan null´ anak vehetik. Matematikai szempontb´ ol azonban ez nem elegáns megoldás. Kés˝obb l´ atni fogjuk, hogy a komplex s´ıkon vett rezonanciák osége is lehet. Egyel˝ore számolásán´ al az Rmax pontos értékének nagy jelent˝ azonban megelégsz¨ unk a (2.2.41) egyenletbeli centr´ alis potenciállal és az ehhez hasonló módon levágott spin-p´ alya potenciállal. A radi´ alis egyenlet köt¨ ott sajátenergi´ ait ezek használat´ aval szám´ıtjuk. A k¨ ot¨ ott egyrészecske-állapotok sajátértékeinek meghatározásával a következ˝o részben foglalkozunk.

2.3.

Az egyr´ eszecske Hamilton-oper´ ator k¨ ot¨ ott saj´ at´ ert´ ekeinek numerikus meghat´ aroz´ asa

Mivel a realisztikus potenciált tartalmazó Hamilton-operátorokkal a radi´ alis egyenlet által´ aban nem oldhat´ o meg analitikusan, ezért numerikusan kell megoldani, ami gömbszimmetrikus potenciál esetén a (2.2.14) egyenletben adott közönséges differenciálegyenlet lesz. Egy ilyen differenciálegyenlet sajátérték-problémáj´ at numerikusan is t¨ obbféle módon oldhatjuk meg. Az egyik módszer a differenciálegyenlet direkt numerikus integr´ al´ asával val´ o megold´ as. Egy másik módszer az, hogy a Hamilton-operátor mátrix´ at szám´ıtjuk egy véges szám´ u f¨ uggvényrendszeren, majd a mátrix diagonaliz´ al´ asával meghat´ arozzuk annak saj´ atértékeit és sajátf¨ uggvényeit sorfejtett formában. A direkt numerikus integr´ al´ assal (DNI) az adott sajátértékeket és a hozzájuk tartoz´ o sajátf¨ uggvényeket egyenként határozzuk meg, és ekkor az ui (k, r) sajátf¨ uggvények számértékeit az r v´ altozó valamilyen osztáspontjaiban k¨ ozvetlen¨ ul megkapjuk. A m´ atrixdiagonaliz´ al´ assal való megoldásn´ al egyszerre kapjuk az egyrészecske Hamilton-operátornak az adott l, j parciális hull´ amban lév˝o valamennyi k¨ ot¨ ott sajátértékét, a sajátf¨ uggvényeknek azonban csak az adott b´ azison val´ o sorfejtési egy¨ utthat´ oit kapjuk, amib˝ ol a radi´ alis hull´ amf¨ uggvényt még további számolással lehet kiszám´ıtani. A tov´ abbiakban a´ttekintj¨ uk az eml´ıtett módszereket.

´ ´ ¨ OTT ¨ 2.3. AZ EGYRESZECSKE HAMILTON-OPERATOR KOT ´ ´ ´ ´ ´ SAJATERTEKEINEK NUMERIKUS MEGHATAROZASA

2.3.1.

19

A radi´ alis egyenlet megold´ asa direkt numerikus integr´ al´ assal

A radi´ alis egyenletnek az origóban regul´ aris, tehát a (2.2.16) egyenletbeli hat´ arfeltételt kielég´ıt˝ o megoldásait kell megkeresn¨ unk a DNI módszerével. Eml´ıtett¨ uk, hogy a k¨ ot¨ ott állapotok azok, amelyeknél aszimptotikusan, tehát a magpotenciál véges hatót´ avols´ ag´ an k´ıv¨ ul a megoldásf¨ uggvény a (2.2.24) egyenletet kielég´ıt˝ o, tehát tisztán kifut´ o aszimptotikáj´ u, négyzetesen integrálhat´ o f¨ uggvény. Mivel a szám´ıt´ as elkezdésekor nem ismerj¨ uk a keresett i sajátértéket, ezért valamilyen kezd˝ oértékb˝ ol kiindulva iter´ aciókkal közel´ıt¨ unk a keresett sajátértékhez. Mivel egyetlen sajátértéket keres¨ unk az l, j parci´ alis hull´ amban, allapot alsó indexeit egyel˝ ore elhagyjuk. Az egyes iterációk ezért az unlj = ui ´ uls˝ o megoldását áll´ıtjuk el˝ o a (2.2.14) difsorán egy uB bels˝o és egy uK k¨ ferenci´ alegyenletnek. A bels˝o megoldást az r ∈ [0, rmatch ] intervallumban számoljuk és ez egy olyan kezdetiérték-probléma megoldása, ami az origóbeli kezdeti feltételt elég´ıti ki, ami r → 0 esetén megközel´ıt˝ oleg uB (r, k) = rl+1 ,

uB (r, k) = (l + 1)rl

(2.3.1)

alak´ u. Az rmatch illesztési sugár valahol a [0, Ras ] intervallum belsejében van, ag, ahol már a differenciálegyenlet aszimptotikus formája telitt Ras az a távols´ jes¨ ul, teh´ at a magpotenciálok null´ ak. Egy másik kezdetiérték-probléma az, ami avols´ agt´ ol indulva befelé való integr´ al´ assal oldja a radi´ alis egyenletet az Ras t´ meg. Tudjuk, hogy Ras -ban a megoldás a (2.2.24) egyenletbeli megoldás, és uls˝ o megoldást az r ∈ [rmatch , Ras ] ennek deriv´ altja is megadható. Az uK (r, k) k¨ intervallumon számoljuk. A ki = iγi sajáthull´ amszám, aminek négyzete az energiasajátérték lesz, az u ´ n. logaritmikus deriv´ altak k¨ ul¨ onbségeként adód´ o f¨ uggvénynek L(k) =

uB (rmatch , k) uK (rmatch , k) − uB (rmatch , k) uK (rmatch , k)

(2.3.2)

a zérushelye, tehát az a ki , aminél L(ki ) = 0 .

(2.3.3)

A Vertse és munkat´ arsai által ´ırt GAMOW program [34] a v´ azolt módszer alapj´ an hat´ arozza meg a sajátérték-probléma DNI-val való megoldását.


20

2.3.2.

Az egyr´ eszecske Hamilton-oper´ ator m´ atrix´ anak diagonaliz´ al´ asa

Vegy¨ unk m darab ϕi lineárisan f¨ uggetlen bázisf¨ uggvényt, amelyek k¨ ul¨ on-k¨ ul¨ on is eleget tesznek a határfeltételeknek. (Ha m → ∞, a Ritz-módszer [35] ekvivalens a Schr¨ odinger-egyenlet egzakt megoldásával.) A keresett hull´ amf¨ uggvény fel´ırhat´ o, mint ezen bázisf¨ uggvények lineáris kombin´ aciója: Ψ=

m

ci ϕi .

(2.3.4)

i=1

utthat´ okat u ´gy hat´ arozzuk meg, hogy az A ci egy¨ ∗ Ψ hΨdv E= ∗ Ψ Ψdv

(2.3.5)

Rayleigh-h´ anyados minimális legyen. Ebb˝ ol a feltételb˝ol azt kapjuk, hogy m (Hij − ESij )cj = 0 ,

(2.3.6)

j=1

ahol Hij =

∗

ϕi hϕj dv,

Sij =

∗

ϕi ϕj dv .

(2.3.7)

Láthatjuk, hogy a (2.3.6) egyenlet a´ltal´ anos´ıtott sajátérték-probléma. Ha a ϕi f¨ uggvényeknek a (2.2.34) egyenletbeli Rn,l harmonikus oszcillátor f¨ uggvényeket választjuk, akkor Sij = δij .

(2.3.8)

asa numerikusan a Gauss–Laguerre kvadrat´ ura A Hij mátrixelemek kiszám´ıt´ seg´ıtségével történik [36].

3. fejezet

A mag h´ ejszerkezete, a m´ agikus sz´ amok Térj¨ unk most vissza az egyrészecskés héjmodellre és tegy¨ uk fel, hogy meghat´ aroztuk és nagyság szerint sorbarendezt¨ uk a sajátértékként kapott enlj egyrészecske-energiákat. A legmélyebben fekv˝o ezek köz¨ ul az n = 1, l = 0 j = anak jelölnek. Történeti 1/2 megoldás lesz, amit a magfizikusok 1s1/2 pály´ okokb´ ol az l = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 pály´ akat rendre az s, p, d, f, g, h, i, j, k, l bet˝ ukkel jelölik. A p´ alya megadásához az n, l, j kvantumsz´ amokat rendelik. Az n csomópont számolása n = 1-t˝ol kezd˝odik, mivel az orig´ ot is csomópontnak számoljuk. A gömbszimmetrikus potenciálban az egyes n´ıv´ ok (2j + 1)-szeresen degeuletét˝ol (mj = −j, −j + 1, . . . , j). ner´ altak, mivel az energia f¨ uggetlen a j mj vet¨ ora (2j + 1) darab neutront vagy ugyanannyi protont Egy adott enlj energian´ıv´ helyezhet¨ unk el att´ ol f¨ ugg˝ oen, hogy az energiasajátérték számolásán´ al figyelembe vett¨ uk-e a Coulomb-potenciált. Deformált héjmodellben az egyrészecskeenergi´ ak nem az l és j kvantumsz´ amokt´ ol f¨ uggenek és a degeneráció foka is megváltozik. Az által´ anosság kedvéért a tov´ abbiakban jel¨ olj¨ uk az egyrészecskeenergi´ at ei -vel és a degeneráció fokát di -vel. Az energian´ıv´ ok betöltését alulról felfelé végezz¨ uk, mert alap´ allapotban a rendszer a legmélyebben köt¨ ott formát keresi. Tegy¨ uk fel, hogy a neutronok esetével foglalkozunk, teh´ at nincs Coulomb-potenciál az egyrészecske Hamiltonoperátorban. Az ei egyrészecske-energiák ismeretében az N neutront tartalmaz´ o atommag 21

´ ´ ´ 3. FEJEZET: A MAG HEJSZERKEZETE, A MAGIKUS SZAMOK

22

teljes energiáj´ anak azt a részét, ami a neutronokt´ ol származik, a következ˝o formul´ aval kaphatjuk meg: N ei . (3.0.1) Esp = i=1

{ei }

Az u ´j energiasorozat, ami az i-edik neutron energi´ aj´ at jelöli az {ei } n´ıv´ oenergia-sorozatból származik oly módon, hogy az ei sajátértékeket di -szer megismételj¨ uk. Az Esp energi´ at a kés˝obbiekben teljes egyrészecske-energiának fogjuk nevezni. A legutols´ o betölt¨ ott egyrészecske-n´ıv´ o energiája a λ Fermi-szint ok tipikus elhelyezkedését a defin´ıciój´ anak is tekinthet˝ o. Az ei egyrészecske-n´ıv´ 3.1. ábra jobb oldal´ an mutatjuk be. Az a´bra bal oldali n´ıv´ oi, a spin-p´ alya k¨ olcsönhat´ as nélk¨ uli esetnek felelnek meg. Ha meghatároztuk a protonokhoz tartoz´ o egyrészecske-energiákat, akkor ezeket sorbarendezve megkaphatjuk az utolsó betölt¨ ott proton n´ıv´ ot, a protonokra vonatkoz´ o Fermi-szintet az el˝oz˝oekhez hasonlóan kaphatjuk meg, azzal a k¨ ul¨ onbséggel, hogy N helyett a Z protonszámot kell használnunk. Ezut´ an a mag teljes kötési energiáj´ at u ´gy kapjuk meg, hogy o¨sszeadjuk a neutronokt´ ol és a protonokt´ ol származó kötési energia komponenseket: Bshell (N, Z) =

N i=1

ei,ν +

Z

ei,π ,

(3.0.2)

i=1

ahol ei,ν a neutron, ei,π a proton egyrészecske-energiákat jelöli. Sajnos az a tapasztalat, hogy az ´ıgy számolt kötési energia által´ aban eltér a magok k´ısérletileg mért kötési energiáit´ ol. oi u ń. héjakba rendez˝odnek, ami alatt azt értj¨ uk, Az atommag ei energian´ıv´ hogy néh´ any n´ıv´ o egész közel van egymáshoz, ezek alkotnak egy héjat, majd egy nagyobb hézag után (shell gap) következik a következ˝o n´ıv´ ocsoport, azaz a k¨ ovetkez˝o héj. Ha egy adott nukleonhéjat teljesen betölt¨ unk nukleonokkal (neutronokkal és protonokkal), akkor az ennek megfelel˝ o atommag gömbszer˝ u és uggvényt akár k¨ ul¨ on¨ osen stabil. Ez abban jelentkezik, hogy ha a Bshell (N, Z) f¨ az N f¨ uggvényében, akár a Z f¨ uggvényében ábr´ azoljuk, a héjlezár´ od´ asokn´ al kifejezett minimumokat kapunk (´ altal´ aban az egy nukleonra es˝o BshellA(N,Z) kötési energi´ at szokták ábr´ azolni). A héjlezár´ od´ asokhoz tartozó nukleonsz´ amok az u ń. mágikus számok, melyek a következ˝ok: 2, 8, 20, 28, 50, 82 és a 126. Ezek a mágikus számok láthat´ ok bekarik´ azva a 3.1. ábra jobb oldal´ an. Az ezeknek megfelel˝o u ´ n. mágikus atommagok, amelyeknél mind az N , mind a Z mágikusak, a következ˝ok: 4 He (N = Z = 2), 16 O (N = Z = 8), 40 Ca (N = Z = 20), 48 Ca (Z = 20, N = 28), 100 Sn (N = Z = 50), 132 Sn (Z = 50, N = 82),

23

3.1. ábra. Az atommagok nukleonjainak egyrészecske-energia n´ıv´ oi a baloldalon csak a p´ alya-impulzusmomentumot, a jobboldalon pedig a spin-p´ alya k¨ olcs¨ onhat´ ast is tartalmaz´ o potenci´ alv¨ olgyben. J´ ol l´ athat´ o a n´ıv´ ok héjakba rendez˝ odése. 208

P b (Z = 82, N = 126). Az egyes pály´ ak (alhéjak) lezár´ od´ asakor is jelentkezik hasonló, bár nem annyira szembeötl˝ o tulajdons´ ag, pl. a g¨ ombszimmetria által´ aban ezekre is teljes¨ ul. A mágikus számok és a héjszerkezet természetesen a k´ısérletileg mért kötési energiákban megfigyelt tulajdons´ ag, amit a számolás alkalmasan választott potenciál paraméter értékek mellett ad vissza.

4. fejezet

A mikroszkopikusmakroszkopikus modell Strutinsky javaslata szerint, a magok alap´ allapoti k¨ otési energiáj´ at pontosabban lehet meghatározni a mikroszkopikus héjmodell és a makroszkopikus folyadékcsepp modell megfelel˝o összekombinál´ asával. A cseppmodell jól adja meg a magok átlagos kötési energiáit, azonban nem tud sz´ amot adni azokr´ ol a héjszerkezettel kapcsolatos változásokr´ ol, amit viszont a héjmodell tud megfelel˝o módon le´ırni. Kézenfekv˝onek látszott tehát összekombinálni a kétféle modellt. Ha a két modell által adott k¨ otési energiákat egyszer˝ uen összeadn´ ank, akkor nagy hib´ at követnénk el, mert a kötési energiát nagyrészt dupl´ an számoln´ ank. A cseppmodell által adott makroszkopikus energiataghoz tehát csak a héjmodellbeli energiának a héjfluktu´ aciók miatti részét, az u ń. héjkorrekci´ ot kell hozzáadnunk. B(N, Z) = Emacr (N, Z) + δE(N, Z) ,

(4.0.1)

ahol Emacr (N, Z) a folyadékcsepp modellben számolt kötési energia és δE(N, Z) uggvénye az N és Z neutron, illetve a héjkorrekci´ o. M´ıg Emacr (N, Z) sima f¨ protonsz´ amnak, a δE(N, Z) héjkorrekci´ o figyelembe veszi a kötési energiának a héjfluktu´ aciók miatti változását. Strutinsky azt javasolta, hogy a héjkorrekci´ ot a héjmodellben u ´gy szám´ıtsuk ki, hogy a (3.0.2) egyenletben adott teljes k¨ otési energi´ ab´ ol vonjuk le annak azt a részét, ami sima f¨ uggvénye az N és Z neutron, 25

26

4. FEJEZET: A MIKROSZKOPIKUS-MAKROSZKOPIKUS MODELL

illetve protonszámnak, hiszen ez a sima rész már benne van a cseppmodellben szám´ıtott Emacr (N, Z) mennyiségben. Mivel az egyrészecskés héjmodellben a mag teljes kötési energiája a protonokra és a neutronokra k¨ ul¨ on-k¨ ul¨ on szám´ıtott tagok összege, ez a héjkorrekci´ ora is igaz lesz, tehát a héjkorrekci´ o a protonokra és a neutronokra k¨ ul¨ on-k¨ ul¨ on szám´ıtott héjkorrekci´ ok összegeként ´ırhat´ o fel: δE(N, Z) = δE(N ) + δE(Z) ,

(4.0.2)

ahol δE(N ) a neutronokra, δE(Z) a protonokra sz´ am´ıtott héjkorrekci´ o. Vizsgáljuk meg, hogy hogyan sz´ am´ıthatjuk ki a héjkorrekci´ okat. Mivel a szám´ıt´ as módja a neutronokra és a protonokra azonos, csupán az egyrészecskeenergi´ ak és a részecskék száma lesz esetleg más, ezért a tov´ abbiakban nem fogjuk megk¨ ul¨ onb¨ oztetni a neutronokat és a protonokat, hanem innent˝ ol az N nukleamot vagy a Z protonsz´ amot fogja jelenteni. onszám egységesen az N neutronsz´ A héjkorrekci´ okat tehát a héjmodellbeli teljes egyrészecske-energia Esp (l´ asd a ˜ (3.0.1) egyenletet) és annak sim´ıtott megfelel˝oje E k¨ ul¨ onbségeként szám´ıthatjuk: ˜. δE = Esp − E

(4.0.3)

Megjegyezz¨ uk, hogy a héjkorrekci´ onak a (4.0.3) egyenletbeli fel´ır´ asa nem feltétlen¨ ul jelenti azt, hogy az egyrészecske-energiákat az egyrészecskés héjmodellben számoltuk, hanem igaz akkor is, ha azok o¨nkonzisztens HF szám´ıt´ as eredményei, amiben természetszer˝ uleg figyelembe van véve a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o nukleonok k¨ ozötti kölcsönhat´ as is. A héjfluktu´ aciók minden mikroszkopikus modellben jelen vannak. A héjkorrekci´ o megkaphat´ o péld´ aul az önkonzisztens HF szám´ıt´ asok, vagy a relativisztikus a´tlagtér szám´ıt´ asok egyrészecskeenergi´ aib´ ol [37, 38] is. A [38] munk´ aban pl. relativisztikus modellb˝ ol számolt egyrészecske-energiákon alapul´ o héjkorrekci´ ot használtak fel arra, hogy ezen mikroszkopikus szám´ıt´ asok eredményeib˝ ol sima kötési energiát kapjanak, és ebb˝ ol a mikroszkopikusan szám´ıtott makroszkopikus energiatagok tipikus fenomenologikus parametriz´ al´ asára javaslatokat adjanak. Jelen munk´ aban a fenomenologikus magpotenci´ albeli egyrészecske-energiák uggetlen egyrészecske-héjmodellt kiszám´ıt´ asára a legegyszer˝ ubb héjmodellt, a f¨ haszn´ aljuk. Ezt azért tehetj¨ uk meg, mert a sim´ıt´ o eljár´ as helyes m˝ uk¨ odése ennek az egyszer˝ u modellnek az eredményeivel is megfelel˝oen ellen˝orizhet˝ o. ˜ sim´ıtott energia kulcsfontoss´ A héjkorrekci´ o szám´ıt´ asán´ al az E ag´ u, ezért ennek kiszám´ıt´ asára egyértelm˝ u meghatározást kell adni. Egyik lehet˝ oség erre az, ha az egyrészecske-n´ıv´ os˝ ur˝ uséget sim´ıtjuk ki. Egy olyan Hamilton-oper´ atorn´ al, aminek csak köt¨ ott állapotai vannak, mint pl. a harmonikus oszcill´ ator, ez a k¨ ovetkez˝o módon történhet. Láttuk, hogy g¨ ombszimmetrikus potenciáln´ al az ei

27

n´ıv´ o degenerációja di = 2ji + 1. Megeml´ıtj¨ uk, hogy a tengelyszimmetrikusan ´ anosan a n´ıv´ ok s˝ ur˝ usége, ami az egységnyi deform´ alt potenciálban di = 2. Altal´ energiaintervallumba es˝ o diszkrét energian´ıv´ ok száma: di δ(E − ei ) . (4.0.4) g(E) = gd (E) = i

A n´ıv´ os˝ ur˝ uséget által´ aban g(E)-vel fogjuk jel¨ olni, ha azonban hangs´ ulyozni akarjuk, hogy ez a s˝ ur˝ uség csak diszkrét n´ıv´ okt´ ol származik, akkor azt gd (E)-vel jel¨ olj¨ uk. A n´ıv´ os˝ ur˝ uség energia szerinti integr´ alja adja az E energia alatti összes n´ıv´ ok számát: E di Θ(E − ei ) , (4.0.5) gd (e) de = Nd (E) = −∞

i

ahol Θ(x) a Heaviside-f¨ uggvény:

0, ha x 0 1, ha x > 0 .

Θ(x) =

(4.0.6)

A λ Fermi-szintet az Nd (λ) = N implicit egyenletb˝ ol lehet meghatározni. A n´ıv´ os˝ ur˝ uség (4.0.4) egyenletbeli alakj´ ab´ ol u ´gy szám´ıthatjuk ki a g˜(E) sim´ıtott n´ıv´ os˝ ur˝ uséget, ha konvolv´ aljuk azt egy megfelel˝o módon v´ alasztott ok hatását egy bizonyos f (x) sim´ıt´ o f¨ uggvénnyel, ami az egyes ei diszkrét n´ıv´ γ szélesség˝ u energiaintervallumra keni szét:

−E 1 +∞ d . (4.0.7) g( )f g˜(E) = γ −∞ γ A (4.0.7) egyenletbeli sim´ıtott n´ıv´ os˝ ur˝ uség felhasznál´ asával szám´ıtjuk ki az ˜= E

˜ λ

g˜()d

(4.0.8)

−∞

˜ sim´ıtott Fermi-szint abból a feltételb˝ol szám´ıthat´ sim´ıtott energiát. Itt a λ o ki, hogy az N részecskeszám (vagyis a protonok, vagy a neutronok sz´ ama) az atommagban adott: λ˜ N= g˜()d . (4.0.9) −∞

A sim´ıtott Fermi-szint nem egyezik meg pontosan a sim´ıtatlan Fermi-szinttel, mivel a Fermi-szintet a sim´ıt´ asi eljár´ as megváltoztatja. A sim´ıtott Fermi-szint

28


a héjmodellbeli λ Fermi-szint közelébe esik. Fontos azonban, hogy értékét pontosan határozzuk meg a (4.0.9) egyenletb˝ ol, mert a sim´ıtott energia er˝osen f¨ ugg ˜ pontos értékét˝ol. aλ A sim´ıtott n´ıv´ os˝ ur˝ uség a (4.0.7) egyenletbeli kijelölt konvol´ uci´ o elvégzése ut´ an a Nb E − e 1 i (4.0.10) di f g˜d (E) = γ i=1 γ form´ aba ´ırhat´ o, ahol Nb a köt¨ ott ei n´ıv´ ok száma. A részecskeszám egyenlet alakja νi Nb di f (x)dx (4.0.11) N= i=1

−∞

lesz, a sim´ıtott teljes energia pedig a (4.0.8) egyenletbeli kifejezés átalak´ıt´ asa ut´ an

νi νi Nb ˜ di γ xf (x)dx + ei f (x)dx (4.0.12) E= i=1

−∞

−∞

˜ − ei )/γ. lesz, ahol νi = (λ Strutinsky sim´ıt´ of¨ uggvényként egy 2 1 w(x) = √ e−x π

(4.0.13)

Gauss-f¨ uggvényt használt s´ ulyf¨ uggvénynek, amit megszorzott egy p > 0 uletkorrig´ al´ o polinommal: fokszám´ u hp (x) görb¨ f (x) = fp (x) = w(x)hp (x) .

(4.0.14)

A görb¨ uletkorrig´ al´ o polinom egy¨ utthat´ oit abb´ ol a feltételb˝ol határozta meg, hogy a sim´ıt´ as nem változtathatja meg a már eleve sima f¨ uggvényt, tehát ha a u gn (x) polinom, akkor azt a sim´ıtand´ o f¨ uggvény már eleve egy n p + 1 fok´ sim´ıt´ as után vissza kell kapnunk. Teh´ at a sim´ıt´ assal teljes¨ ulnie kell a +∞ gn (x) = gn (x )fp (x − x )dx , (4.0.15) −∞

u ń. o¨nkonzisztencia-feltételnek. Megmutathat´ o, hogy Gauss-f¨ uggvény alak´ u s´ ulyf¨ uggvényre a (4.0.15) feltételt kielég´ıt˝ o görb¨ uletkorrig´ al´ o polinomok az asszociált Laguerre-polinomok: 1/2

hp (x) = Lp/2 (x2 ) .

(4.0.16)

29

A sim´ıt´ o f¨ uggvény ebben az esetben: 2 1 1/2 fp (x) = √ e−x Lp/2 (x2 ) . π

(4.0.17)

Mivel a Gauss-f¨ uggvény páros, ezért páros sim´ıt´ o f¨ uggvényt páros p fokszám´ u g¨ orb¨ uletkorrig´ al´ o polinommal kapunk. Az f sim´ıt´ o f¨ uggvény p indexe a g¨ orb¨ uletkorrig´ al´ o polinom fokszámára utal. Strutinsky kor´ aban a héjkorrekci´ os módszert által´ aban er˝osen köt¨ ott atommagok kötési energiáinak meghatározására használt´ ak, ahol λ 0 állt fenn. Ezek azok az atommagok, amik a stabilitási völgy fenekének közelében helyezo kednek el. Ezen magokra a vN (r) egyrészecske-potenciál, legalábbis annak bels˝ tartom´ anya kielég´ıt˝ oen közel´ıthet˝ o a vh.o. (r) harmonikus oszcillátor potenciállal. Ebben a potenci´ alban a héjak közötti távols´ ag a következ˝o: Ω0 ≈ 41 A−1/3

[MeV] .

(4.0.18)

Természetesen az egyszer˝ u harmonikus oszcill´ ator potenciál héjszerkezetét a spin-p´ alya kölcsönhat´ as befolyásolja, azonban a (4.0.18) egyenletbeli becslés még ´ıgy is elég jó mértéke a héjak távols´ ag´ anak. Vonzó tulajdons´ aga ennek a potenciálnak, hogy ha ezt haszn´ aljuk, akkor ˜ sim´ıtott energia és a (4.0.3) egyenletbeli héjkorrekci´ az E o a γ sim´ıt´ asi paraméter meglehet˝osen széles tartomány´ aban kielég´ıti a plat´ ofeltételt, azaz széles tartom´ anyon teljes¨ ul, hogy ˜ ∂E ≈0, (4.0.19) ∂γ ˜ széles γ tartományon f¨ vagyis az, hogy az E uggetlen a γ értékét˝ol. Emellett a kisim´ıtott energiának a plat´ ohoz tartozó értéke gyakorlatilag f¨ uggetlen a p ofeltétel teljes¨ ul a h. o. fokszámtól, ha p 6 értékeket használunk. Mivel a plat´ potenciálra, a héjkorrekci´ o f¨ uggetlen a szám´ıt´ asához használt γ és p technikai paraméterekt˝ol. Ez a vonz´ o tulajdons´ aga a h. o. potenci´ alnak azzal kapcsolatos, hogy a potenciált tartalmazó Hamilton-operátornak csak köt¨ ott állapotai vannak. Az olyan potenci´ alokban, amelyek aszimptotikusan végtelenhez tartanak, mint a h. o. potenci´ al, vagy a deform´ alt Nilsson-potenciál, mindig tal´ alhatunk olyan γ tartom´ anyt, amiben a plat´ ofeltétel teljes¨ ul [20, 28]. Ez azért van, mert ezeknek nincs kontinuuma csak végtelen sok köt¨ ott állapotuk van, és a köt¨ ott spektrum végének hatása nem rontja el a sim´ıt´ ast. Egy realisztikusabb magpotenci´ alnak azonban a negat´ıv energiáj´ u köt¨ ott állapotok mellett pozit´ıv energiáj´ u kontinuuma is van. A k¨ ot¨ ott állapotok Nb

30


száma pedig véges. A n´ıv´ os˝ ur˝ uség ebben az esetben a gd (E) diszkrét és a gc (E) kontinuum n´ıv´ os˝ ur˝ uségek összege: g(E) = gd (E) + gc (E) .

(4.0.20)

Ebb˝ ol a sim´ıtott n´ıv´ os˝ ur˝ uséget a (4.0.7) egyenletben le´ırt konvol´ uci´ oval kell meghatározni. K¨ oztudott, hogy a kontinuum a´llapotok jelenléte és a köt¨ ott állapotok számának végessége problémákat okoz a héjkorrekci´ os módszernél [20, 21]. A (4.0.4) egyenlet a kvantumos SPLD-re csak a k¨ ot¨ ott állapotok esetét mutatja. A kontinuumot tartalmaz´ o SPLD egzakt formája ismert [20] és alkalmazásra is ker¨ ult a [20, 23] munk´ akban. A kontinuumot tartalmaz´ o SPLD-t a szór´ asi f´ azistolás deriváltja seg´ıtségével fejezz¨ uk ki: gc (E) =

1 dδlj (E) (2j + 1) , π dE

(4.0.21)

l,j

an számolt szór´ asi fáziseltolód´ as. ahol δlj (E) az E energi´ A 2.3.2. részben láttuk, hogy a k¨ ot¨ ott állapotok energi´ ait által´ aban u ´gy kapjuk meg, hogy diagonaliz´ aljuk a Hamilton-oper´ ator mátrix´ at egy megfelel˝o, négyzetesen integrálhat´ o bázison, pl. a h. o. b´ azison. Egy ilyen b´ azison azonban nehéz kiszám´ıtani a kontinuum SPLD-t. A probléma megoldására kifejlesztettek egy elegáns módszert [22], majd héjkorrekci´ o szám´ıt´ asára is felhasznált´ ak [24]. Ebben a módszerben két mátrixdiagonaliz´ al´ ast kell elvégezn¨ unk. Az els˝o a hagyományos diagonaliz´ al´ as (a Hamilton-operátor mátrixa a szokásos). A második diagonaliz´ al´ asban a mátrixb´ ol kihagyjuk a magk¨ olcsönhat´ as mátrixelemeit, vagyis csak a kinetikus energia mátrix´ at diagonaliz´ aljuk ugyanazon a b´ azison, (0) amin az els˝ot diagonaliz´ altuk. A második diagonaliz´ al´ as eredményeit ei -vel (0) jel¨ olj¨ uk, a hozzá kapcsolód´ o degenerációkat pedig di -vel. A kontinuumot tartalmazó sim´ıtott SPLD ekkor E − e E − e(0) 1 i (0) i , (4.0.22) − di f di f g˜(E) = γ i γ γ ahol az i-re vett összegzés minden állapotra kiterjed, amit a diagonaliz´ al´ asb´ ol kaptunk. Vertse és munkat´ arsai [23] egy m´ odos´ıtott plat´ ofeltételt vezettek be. Ez a m´ odos´ıtott plat´ ofeltétel akkor is j´ ol defini´ alt sim´ıtott energiát adott, ha a plat´ ofeltétel nem teljes¨ ult, s emellett ugyanazt a sim´ıtott energiát

31

szolgáltatta, mint amit a plat´ ofeltétel teljes¨ ulésekor lehetett kapni. Ezért a módszert a szerz˝ok ´ altal´ anos´ıtott Strutinsky-m´ odszernek nevezték. A módos´ıtott plat´ ofeltétellel kapott sim´ıtott energia, ha a Fermi-szint a potenci´ alg´ at cs´ ucsa alatt maradt, nem tért el nagyon attól az értékt˝ol, amit a Wigner–Kirkwood sorfejtésen alapuló szemiklasszikus átlagol´ as [28] adott. A Strutinsky-m´ odszer a [23] munk´ aban bevezetett által´ anos´ıt´ asával u ´gy látszott, hogy alkalmassá teszi a héjkorrekci´ o meghatározást az u ´jonnan felfedezett gyengén köt¨ ott magokra is. Mivel munk´ ank fontos része az által´ anos´ıtott Strutinsky-m´ odszer kritikája, el˝oször összefoglaljuk annak menetét. Az által´ anos´ıtott Strutinsky-m´ odszerben el˝oször meg kell adnunk egy [εl , εu ] energiatartom´ anyt valahol a k¨ ot¨ ott spektrum közepén, lehet˝oleg távol annak alsó és fels˝o végét˝ol. A sim´ıt´ as kezdetén kiindulunk olyan γ0 és pmin > 0 uggvényben a héjszerkezet még világosan értékekb˝ ol, ahol a g˜(E, γ0 , pmin ) f¨ l´ atszik. Majd a γ paramétert növelve, minden egyes γ értéknél kiszám´ıtjuk az [εl , εu ] intervallumon a hozz´ a legjobban illeszked˝ o y(E) = aE + b polinom a, b egy¨ utthat´ oit a κ(a, b) =

nu [˜ g (εi , γ, p) − b − aεi ]2

(4.0.23)

i=1

kifejezés minimalizál´ asával. Ebben a kiv´ alasztott [εl , εu ] intervallumnak nu = |εu − εl |/δε + 1

(4.0.24)

ekvidiszt´ ans εi = εl + (i − 1)δε,

i = 1, . . . , nu

(4.0.25)

beosztását használjuk. Ezut´ an a γ paraméter f¨ uggvényében megkeress¨ uk a χ2 (γ, p) =

nu

[˜ g (εi , γ, p) − y(εi )]2

(4.0.26)

i=1

f¨ uggvény els˝o minimum´ at az el˝oz˝o módon szám´ıtott a, b egy¨ utthat´ okkal. os˝ ur˝ uség linearitását A választott [εl , εu ] intervallumnak, amiben a n´ıv´ megk´ıv´ anjuk, t´ avol kell lennie a sim´ıtott spektrum alsó és fels˝o végeit˝ol, ezenk´ıv¨ ul hosszának legalább 50%-kal nagyobbnak kell lennie, mint a héjak becs¨ ult távols´ aga: εu − εl = 1.5Ω0 . (4.0.27) Noha a (4.0.26) egyenletbeli feltétel egyértelm˝ uen megadja az adott p-hez tartozó γ értéket, a [24] munk´ aban azt talált´ ak, hogy a (4.0.26) egyenletbeli χ2 (γ, p)

32


f¨ uggvénynek adott p mellett egynél több minimuma is lehet. Jel¨ olj¨ uk ezeket a os˝ ur˝ uség t´ ulsim´ıt´ asát minimumhelyeket γ1 , γ2 , . . . módon. Ahhoz, hogy a n´ıv´ elker¨ ulj¨ uk, ezek köz¨ ul a legkisebbet kell választanunk. Teh´ at az adott p és a ˜ és a héjkorrekci´ γ = γ1 paraméter mellett szám´ıtjuk a (4.0.8) egyenletbeli E onak a (4.0.3) egyenletbeli értékét. Ezt a szám´ıt´ ast p értékét kettesével növelgetve addig ismételj¨ uk, m´ıg elérj¨ uk a megadott pmax fels˝o határt. Mivel a sim´ıtott energia és a héjkorrekci´ o f¨ ugg a p értékét˝ol, a p f¨ uggés ˜p értékek szór´ asával jellemezz¨ uk. Ezért bevezetj¨ uk a sim´ıtott er˝osségét az E energi´ ak p szerinti átlagértékét: 2 ˜ = ˜p . av(E) E (4.0.28) (pmax − pmin + 2) p=p ,p +2,...,p min

min

max

A [23] munk´ aban pmin = 6 és pmax = 14 értékeket használtak. A módos´ıtott ˜p plat´ ofeltételt használ´ o Strutinsky-m´ odszerben az eljár´ as bizonytalans´ ag´ at az E értékek szór´ asa jellemzi: 2 ˜p − av(E)) ˜ 2. σ= (E (4.0.29) (pmax − pmin + 2) p=p ,p +2,...,p min

min

max

Ugyanez a szór´ asa az által´ anos´ıtott Strutinsky-m´ odszerrel szám´ıtott héjkorrekci´ onak is. A sim´ıtott teljes energia átlag´ anak ismeretében a héjkorrekci´ ot tehát a k¨ ovetkez˝o módon szám´ıtjuk: ˜ . δE = Esp − av(E)

(4.0.30)

Ezt a szám´ıt´ asi módot követj¨ uk az 5.1., 5.2. és az 5.3. fejezetekben le´ırt vizsgálatok során. K¨ ozépnehéz és nehéz atommagoknál, ahol az által´ anos´ıtott Strutinskymódszer a leginkább alkalmazhat´ o, az eljár´ as bizonytalans´ aga mindig 250 keV alatt volt. Ahhoz, hogy ilyen kis sz´ or´ ast kapjanak, az egyenesillesztés intervallum´ at a sim´ıtott Fermi-szinthez kellett rögz´ıteni, u ´gy, hogy az intervallum fels˝ o határa ˜ − Ω0 legyen, az alsó határ pedig εl =εu − 1.5Ω0 . Ha az intervallum εu = λ ˜ vették és az intervallum hossza változatlanul a (4.0.27) fels˝o határ´ at εu =λ-nak egyenletbeli érték maradt, akkor a héjkorrekci´ o szór´ asa kb. 400 keV-re változott. A [23] munk´ aban az által´ anos´ıtott Strutinsky-m´ odszer eredményét a szemiklasszikus Wigner–Kirkwood m´ odszerével hasonl´ıtott´ ak össze. A két módszer eredményei közötti egyezés által´ aban j´ o volt. Nagyobb eltérés volt azoknál a neutronokban gazdag magokn´ al, ahol a neutron Fermiszint null´ ahoz közel esett (−4 MeV < λ < 0 MeV). Ennek az az oka, hogy

33

a Wigner–Kirkwood n´ıv´ os˝ ur˝ uségnek a potenciálg´ at tetején szingularit´ asa van. Ezekt˝ol az esetekt˝ol eltekintve a két módszerrel kapott héjkorrekci´ ok k¨ ul¨ onbsége altal´ aban kicsi, |∆|<600 keV. A legnagyobb eltérést (≈2 MeV) ∆ = δE − δEsc ´ ak. a 122 Zr neutronban gazdag magra kapt´ A [24] munk´ aban Vertse és munkat´ arsai kontinuumot tartalmaz´ o modellben vizsgált´ ak a gömbszimmetrikus és deformált atommagok héjkorrekci´ oit. Ebben a munk´ aban ismét megfigyelték, hogy a szám´ıtott héjkorrekci´ o valamennyire alasztását´ ol. A f¨ uggés k¨ ul¨ on¨ osen er˝os volt f¨ ugg¨ ott az [εl , εu ] intervallum megv´ k¨ onny˝ u atommagokra, ahol nehéz, vagy esetleg lehetetlen volt az egyenesillesztésére elég széles intervallumot találni, mert, ha az intervallum vége eléri a spektrum alsó, vagy fels˝o végét, akkor a g˜(E) f¨ uggvény nem lehet lineáris. A jelen munk´ aban az a feladat, hogy egy olyan sim´ıt´ asi módszert találjunk, ami kevésbé érzékeny a spektrumvégi hatásokra, de megtartja a módos´ıtott plat´ ofeltételnél kapott j´ o tulajdons´ agokat, nevezetesen azt, hogy a héjkorrekci´ o gyengén f¨ ugg a p megválasztását´ ol, vagyis σ kicsi és az átlagolt érték közel lesz a Wigner–Kirkwood szemiklasszikus módszerrel szám´ıtott értékhez (|∆| kicsi), ha λ nem esik a k¨ uszöb közelébe, ahol a szemiklasszikus módszer elromlik.

5. fejezet

H´ ejkorrekci´ o sz´ am´ıt´ asi m´ odszerek Ebben a fejezetben olyan héjkorrekci´ o szám´ıt´ asi módszereket mutatunk be, amelyekben a spektrum folytonos részének a hatását is figyelembe veszik. A felhaszn´ alt sim´ıt´ o f¨ uggvényre k¨ ul¨ onb¨ oz˝o formákat használunk. Vizsgálunk olyan módszereket, amelyekben a n´ıv´ os˝ ur˝ uség simáv´ a tételét véges hatót´ avols´ ag´ u sim´ıt´ o f¨ uggvénnyel érj¨ uk el [39], majd olyat, amelyben a szok´ asos görb¨ uletkorrekci´ os eljár´ ast u ´ jakkal helyettes´ıtj¨ uk [40]. A k¨ ul¨ onb¨ oz˝o módszerek alkalmazását részletesen bemutatjuk. El˝oször azt mutatjuk be, hogy az eddig ismert módszereknek milyen hátr´ anyaik vannak, és azt, hogy miért volt sz¨ ukség u ´j sim´ıt´ asi módszerek keresésére.

5.1.

Hagyom´ anyos ´ es ´ altal´ anos´ıtott Strutinskym´ odszer alkalmaz´ asa folytonos tartom´ anyt is tartalmaz´ o spektrumok eset´ ere

Mint már láttuk, egy, a val´ osághoz közelebb áll´ o potenciál véges sok ei < 0 köt¨ ott állapot mellett kontinuum sz´ amosság´ u, E > 0 energiáj´ u szór´ asi allapottal is rendelkezik. A teljes n´ıv´ ´ os˝ ur˝ uség ebben az esetben a diszkrét os˝ ur˝ uség és a szór´ asi állapotokat tartalmaz´ o gc (E) szór´ asi n´ıv´ os˝ ur˝ uség gd (E) n´ıv´ osszege, lásd a (4.0.20) egyenletet. Brack és Pauli ismerte fel [28], hogy eb¨ ben az esetben a platófeltétel nem elég´ıthet˝ o ki, mivel a δE(γ, p) görbék, az 35

´ ´ SZAM ´ ÍTASI ´ MODSZEREK ´ 5. FEJEZET: HEJKORREKCI O

36

u ń. plat´ og¨ orbék nem rendelkeznek olyan széles platókkal, ahol a (4.0.19) egyenletbeli feltétel teljes¨ ulne. Brack és Pauli minden lehetséges p értékre megkeresték a δE(γ) f¨ uggvények minimum´ at, és bevezették a lokális platófeltétel fogalmát. A ul. A minimum helyén, vagyis γ = γp -ben a (4.0.19) feltétel természetesen teljes¨ lok´ alis platófeltétel megköveteli tov´ abb´ a, hogy a δE(γp , p) értékek jó közel´ıtéssel f¨ uggetlenek legyenek p-t˝ol, ami abban az esetben teljes¨ ul, ha a δE(γp , p) értékek szór´ asa kicsi. A [23] munk´ aban Vertse és munkat´ arsai megmutatták, hogy a lok´ alis plat´ ofeltétel nem minden esetben elég´ıthet˝ o ki, és azt, hogy a standard Strutinsky-m´ odszer által alkalmazott sim´ıt´ asi eljár´ as nem minden esetben szolgáltat jól meghatározott sim´ıtott energiát. A 146 Gd tipikusan olyan mag, amelyre ha a spektrum kontinuum tartom´ any´ at is figyelembe vessz¨ uk, a lok´ alis plat´ ofeltétel nem teljes¨ ul (lásd az 5.1. ábr´ at). p= 6 p= 8 p = 10 p = 12 p = 14 W-K

[MeV]

-5

δEn(γ)

0

-10

-15

-20

10

15

20

γ

25 [MeV]

30

35

40

5.1. ábra. δEn (γ, p) neutron héjkorrekci´ ok a 146 Gd magra γ f¨ uggvényében a p = 6, . . . , 14 értékekre Gauss-féle sim´ıt´ o f¨ uggvénnyel. A felt¨ olt¨ ott k¨ or¨ ok az altal´ ´ anos´ıtott Strutinsky-m´ odszer eredményét mutatj´ ak. A v´ızszintes pontvonal n . a szemiklasszikus héjkorrekci´ ot mutatja: δEsc = Esc − Esp Bár minden egyes platóg¨ orbének létezik minimuma, a minimumokhoz tartozó héjkorrekci´ o értékek nagyon k¨ ul¨ onb¨ oz˝oek, tehát rájuk még egy közel´ıt˝ o p-f¨ uggetlenség sem valósul meg. Azért, hogy a módos´ıtott plat´ ofeltétel használat´ at bemutassuk, az 5.2. ábr´ an abr´ ´ azoltuk a 146 Gd mag sim´ıtott n´ıv´ os˝ ur˝ uségeit. Annak az [εl , εu ] intervallumnak a végeit, amelyen bel¨ ul a g˜(E) a legkevésbé tér el egy egyenest˝ol, azaz

´ ´ ALTAL ´ ´ ÍTOTT STRUTINSKY-MODSZER ´ 5.1. HAGYOMANYOS ES ANOS ´ ´ ´ SPEKTRUMOK ALKALMAZASA FOLYTONOS TARTOMANYT IS TARTALMAZO ´ ESETERE

37

7 6

p=6 p = 10 p = 14

~g(E)

-1 [MeV ]

5 4 3 2 1 0 -60

-50

-40

-30 -20 E [MeV]

-10

0

10

5.2. ábra. Sim´ıtott n´ıv´ os˝ ur˝ uségek 146 Gd magra az ´ altal´ anos´ıtott Strutinskym´ odszerrel p = 6, 10, 14 értékekre Gauss-féle sim´ıt´ of¨ uggvénnyel.

uggvénynek minimuma van, fekete h´ aromszögekkel a (4.0.26) egyenletbeli χ2 f¨ jel¨ olt¨ uk az E tengelyen. Láthat´ o, hogy az [εl , εu ] intervallumon bel¨ ul a g˜(E) val´ oban line´ aris f¨ uggvényként viselkedik és a g˜(E) görbék p f¨ uggése gyakorlatilag nem észrevehet˝o. Némi p f¨ uggés csak E ≈ −10 MeV környezetében látszik, va˜ ≈ −9.8 MeV érték föl¨ lamivel a λ ott és magasabb energián az E = 0 MeV közeli tartom´ anyban. Ezeknek azonban nincs hat´ asuk a szám´ıtott héjkorrekci´ ora. A sim´ıtott n´ıv´ os˝ ur˝ uségben az E = 0 MeV környezetében láthat´ o nagy ”hupli” a spektrum fels˝o határ´ anak hat´ asa. A spektrum pozit´ıv tartomány´ aban csak néh´ any neutronrezonancia ad j´ arulékot a n´ıv´ os˝ ur˝ uséghez. A rezonanciák hatását o az 5.1. ábr´ an fekete kör¨ okkel jelzett pontok γp abszcisszáinak megfelel˝o sim´ıt´ paraméterek u ´gy kisim´ıtj´ ak, hogy azok hat´ asa még jóval az E = 0 MeV k¨ uszöb alatt is érezhet˝o. Az alsó határ hatása kevésbé kifejezett, és csak E < −35 MeV esetén észlelhet˝o. Itt g˜(E) E szerinti deriváltja megváltozik és E < −45 MeV alatt g˜(E) egy szakaszon negat´ıvv´ a válik. g˜(E) legfontosabb tulajdons´ aga, hogy a megkövetelt linearitás csak a spektrum alsó és fels˝o határait´ ol bizonyos t´ avols´ agra teljes¨ ul. Az 5.1. ábr´ an láthat´ o fekete kör¨ ok a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o p értékekhez tartozó ak, amelyekhez tartozó γp g¨ orbéken azokat a (γp , δEn (γp , p)) pontokat mutatj´ értékeknél a (4.0.26) f¨ uggvénynek minimuma van. A k¨ or¨ ok alapj´ an láthat´ o, hogy a hozzájuk tartoz´ o héjkorrekci´ o értékek (σ) szór´ asa jóval kisebb, mint

38


azon értékek szór´ asa, amelyek az adott görbék minimumain´ al találhat´ ok. Tov´ abb´ a, a kör¨ okkel jelzett δEn (γp , p) értékek átlaga jó egyezésben van a szemiklasszikus értéket jelent˝o pontvonallal. A [23] munk´ aban megmutatt´ ak, hogy ez a helyzet tipikus, és az által´ anos´ıtott Strutinsky-m´ odszer a Wigner– Kirkwood módszeren [25,28,41–45] alapul´ o szemiklasszikus szám´ıt´ ashoz hasonló eredményeket szolgáltat. Emellett az által´ anos´ıtott Strutinsky-m´ odszer a standard módszerhez hasonló eredményeket szolgáltatott minden olyan esetben, amikor a plat´ ofeltétel teljes¨ ult, ezért tekinthet˝ o ez a módszer az eredeti Strutinskymódszer által´ anos´ıt´ asának. Az u ´j módszer azonban még azokban az esetekben alt sim´ıtott energiát szolgáltatott, amikor (pl. a 146 Gd mag esetében) is jól defini´ a lokális platófeltétellel sem kapunk egyértelm˝ u eredményt. Csak kés˝obb, a [24] munk´ aban, ahol az a´ltal´ anos´ıtott Strutinsky-m´ odszert deform´ alt magokra alkalmazt´ ak, der¨ ult fény arra, hogy a (4.0.26) egyenletbeli f¨ uggvénynek γ-ban egynél több minimuma lehet. Arra a k¨ ovetkeztetésre jutottak, hogy ekkor a kisebb γ értéknél találhat´ o minimumot célszer˝ u használni. Az által´ anos´ıtott Strutinsky-m´ odszer eredménye kismértékben f¨ ugg az [εl , εu ] intervallum megválasztását´ ol, ami azt kissé bizonytalann´ a teszi. A középnehéz és nehéz magok esetén ez a bizonytalans´ ag mindig 250 keV alatt maradt. Ezt u ´gy érték el, hogy az energiaintervallumot, amelyben az els˝ofok´ u polinomot illesztették, a sim´ıtott Fermi-szinthez áll´ıtott´ ak be, és az intervallum fels˝o határ´ at ˜ − Ω0 -nak választották. Ha az intervallum végét εu = λ-hoz ˜ εu = λ tolták, a hosszát a (4.0.27) egyenlet alapj´ an változatlanul hagyva a héjkorrekci´ o szór´ asa 400 keV-nek adódott. Ez a bizonytalans´ ag még mindig elég kicsi, és a kapott héjkorrekci´ o hasonl´ıt a szemiklasszikus módszerrel kapott eredményhez. K¨ onny˝ u magok esetén az intervallum helyzetét˝ol val´ o f¨ uggés er˝osödik. Ahogyan az A t¨ omegszám csökken, a héjak energiái közötti távols´ ag n˝o (közel´ıt˝ oen a (4.0.18) egyenletbeli formula ´ırja le), és az intervallum hossza a (4.0.27) egyenletben szintén n˝o. A héjfluktu´ aciók kisim´ıt´ asához egyre nagyobb γ értékre van sz¨ ukség. Másrészt, az a tartomány, ahol g˜(E) lineáris, egyre rövid¨ ul. Az alsó hat´ ar magasabban, m´ıg a fels˝o határ alacsonyabban érezteti a hatását. Kis A-k u régió kialaesetén tehát nincs elég hely, ahhoz, hogy az elv´ art lineáris, E-f¨ uggés˝ kuljon, mert g˜(E) linearit´ asát a határeffektusok elrontj´ ak. Ez magyar´ azza meg azt, hogy miért nem alkalmazhat´ o az által´ anos´ıtott Strutinsky-m´ odszer könny˝ u magok esetén.

´ SIMÍTO ´ ELJAR ´ AS ´ A NÍVOS ´ UR ˝ US ˝ EGRE ´ 5.2. UJ

5.2.

39

´ sim´ıt´ Uj o elj´ ar´ as a n´ıv´ os˝ ur˝ us´ egre

Az eddig alkalmazott sim´ıt´ asi eljár´ asok hátr´ anya, hogy a felhaszn´ alt w(x) Gauss-s´ ulyf¨ uggvény értelmezési tartománya végtelen, tehát az ei energiák j´ aruléka a teljes E tengely mentén elken˝odik. Teh´ at a spektrum alsó és fels˝o határa is járulékot ad a teljes sim´ıtott n´ıv´ os˝ ur˝ uség tartományhoz és ´ıgy a δE héjkorrekci´ ohoz is. Jelen munk´ aban a végeffektusokat véges tartományon hat´ o s´ ulyf¨ uggvények alkalmazásával pr´ ob´ aljuk meg csökkenteni ezekben a mennyiségekben. Erre a célra az egyik megfelel˝o f¨ uggvény a következ˝o: − 1 ke 1−x2 , ha |x| < 1 . (5.2.1) w(x) = 0 , ha |x| 1 A k normál´ asi álland´ o értékét a következ˝o összef¨ uggésb˝ol lehet meghatározni: +1 w(x) dx . (5.2.2) 1= −1

Az (5.2.1) egyenletbeli s´ ulyf¨ uggvény egyik el˝onye, hogy |x| = 1-ben minden deriv´ altja folytonos, vagyis folytonosan megy a´t azokba a tartományokba, ahol w(x) azonosan null´ av´ a válik. Ennek a sim´ıt´ asnak a hatása a [−1, 1] intervallumra lokaliz´ alt. Ahhoz, hogy az u ´j s´ ulyf¨ uggvényt használhassuk, ki kell szám´ıtanunk a ci xi (5.2.3) hp (x) = i=0,2,...,p

g¨ orb¨ uletkorrekci´ os polinomokat az (5.2.1) egyenletbeli s´ ulyf¨ uggvényhez. Az u ´j hp (x) polinomok nem fognak megegyezni a (4.0.16) egyenletben lév˝o polinomokkal, mert ezeknek az u ´ j s´ ulyf¨ uggvénnyel kell kielég´ıteni¨ uk a (4.0.15) egyenletbeli önkonzisztencia-feltételt. A [27] munk´ aban megmutatt´ ak, hogy az (5.2.3) egyenutthat´ oi a következ˝o lineáris letben szerepl˝o görb¨ uletkorrekci´ os polinomok ci egy¨ egyenletrendszer megoldásai: p

(0 j p) ,

(5.2.4)

utthat´ okat a következ˝o integr´ al adja meg: ahol az al egy¨ 1 al = w(x)xl dx .

(5.2.5)

ci ai+j = δj,0

i=0

−1


40

Az integr´ alt azon intervallum f¨ ol¨ ott kell elvégezni, ahol a w(x) s´ ulyf¨ uggvény null´ at´ ol k¨ ul¨ onb¨ ozik. Az 5.1. tábl´ azat tartalmazza a ci egy¨ utthat´ okat p = 0, 2, 4, 6 értékek esetén. p 0 2 4 6

c0 1 1.8934 2.7492 3.5866

c2 0 −5.6506 −20.62052 −48.45461

c4 0 0 28.52324 155.33082

c6 0 0 0 −136.79695

5.1. t´ abl´ azat. A g¨ orb¨ uletkorrig´ al´ o polinom egy¨ utthat´ oi az (5.2.1) véges hat´ ot´ avols´ ag´ u s´ ulyf¨ uggvény esetében p = 0, 2, 4, 6 értékekre. o f¨ uggvény alakj´ at néh´ any p értékre, Az 5.3. ábr´ an bemutatjuk az fp (x) sim´ıt´ ulyf¨ uggvényként. ha az (5.2.1) egyenletbeli w(x) = f0 (x)-et használjuk s´ 6 p=0 p=2 p=4 p = 14

4

2

0 -1

-0.5

0

0.5

1

-2

5.3. ábra. A véges hat´ ot´ avols´ ag´ u s´ ulyf¨ uggvényhez tartoz´ o fp (x) sim´ıt´ o f¨ uggvények p = 0, 2, 4, 14 esetén. Itt f0 (x) = w(x). Az 5.4. ábr´ an bemutatjuk ugyanezeket a g¨ orbéket Gauss-s´ ulyf¨ uggvénnyel is. Mindkét s´ ulyf¨ uggvény esetében, ha p > 0, a hp (x) görb¨ uletkorrekci´ os polinomoknak p darab zérushelye van: p (p) hp (xj ) = 0, j = ±1, . . . , ± , x−j = −xj . (5.2.6) 2

´ SIMÍTO ´ ELJAR ´ AS ´ A NÍVOS ´ UR ˝ US ˝ EGRE ´ 5.2. UJ

41

2 p=0 p=2 p=4 p = 14

1.5

1

0.5

0 -2

0

-1

2

1

5.4. ábra. A Gauss-s´ ulyf¨ uggvényhez tartoz´ o fp (x) sim´ıt´ o f¨ uggvények p = 0, 2, 4, 14 esetén. Itt f0 (x) = w(x). (p)

akon láthat´ o. A Az (5.2.6) egyenlet xj gyökeinek helyzete az 5.3. és 5.4. ábr´ pozit´ıv gyök¨ oket rögz´ıtett p érték esetén célszer˝ u növekv˝ o sorrendbe rendezni, hogy ´ıgy monoton n¨ ovekv˝ o sorozatot alkossanak: (p)

(p)

(p)

0 < x1 < x2 < · · · < x p .

(5.2.7)

2

(p)

(p)

o f¨ uggvény legfontosabb része a hp (x), x ∈ [−x1 , x1 ] centr´ alis Az fp (x) sim´ıt´ (p) régiója által meghatározott tartomány, melynek szélességét az els˝o gyök, x1 (p+2) (p) értéke határozza meg. Az ábr´ akon láthat´ o, hogy p > 0 esetén x1 < x1 , (p) vagyis p növelésével x1 értéke csökken. A véges hatót´ avols´ ag´ u sim´ıt´ as el˝onye, hogy adott ei egyrészecske-energiák az E ∈ [ei − γ, ei + γ] intervallum hat´ ar´ an t´ ul nem adnak j´ arulékot, tehát a sim´ıtott n´ıv´ os˝ ur˝ uség ebben az esetben egzaktul zérussá válik (e1 − γ) szint alatti energiákra, m´ıg a Gauss-s´ ulyf¨ uggvény esetén g˜(E) a nulla k¨ ornyezetében oszcillál, és ez az oszcilláció a sim´ıt´ o paraméter minden értékénél bekövetkezik. Nagyobb E energiaértékek esetében g˜(E) oszcillál´ o karaktere kisim´ıthat´ o, ha elég nagy γ értékeket használunk a sim´ıt´ o f¨ uggvényben (Gauss-s´ ulyf¨ uggvény esetén). Más a helyzet azonban akkor, ha véges hatót´ avols´ ag´ u s´ ulyf¨ uggvénnyel sim´ıtunk, mivel ekkor még nagy sim´ıt´ o paraméter értékek mellett is marad némi

42


hull´ amzás g˜(E)-ben. Teh´ at, ebben az esetben, ellentétben az által´ anos´ıtott Strutinsky-m´ odszerrel, nem közel´ıthet¨ unk egyenessel. ´ Ugy t˝ unik, hogy ez egy fontos k¨ ul¨ onbség a Gauss, és a véges hatót´ avols´ ag´ u s´ ulyf¨ uggvénnyel szám´ıtott sim´ıtott n´ıv´ os˝ ur˝ uségek között. A (4.0.8) összef¨ uggés alapján kiszám´ıtjuk a sim´ıtott energiát a véges hat´ ot´ avols´ ag´ u sim´ıt´ o f¨ uggvényt használva γ ∈ [γmin , γmax ] és p ∈ {pmin , pmin + unk ny´ılik a plat´ og¨ orbék ta2, . . . , pmax } értékek mellett. Így lehet˝oség¨ nulm´ anyoz´ asára. A p = 0 esetén a platóg¨ orbe monoton n¨ ovekv˝ o f¨ uggvény, vagyis a (4.0.19) egyenletbeli plat´ ofeltétel és a lokális platófeltétel egyike sem alkalmazhat´ o, mivel nincs olyan γ, amelynél a derivált zérus. Ez az eredmény illusztr´ alja a görb¨ uletkorrekci´ os polinomok sz¨ ukségességét. Abban az esetben, ha p > 0, a plat´ og¨ orbéknek minimuma (vagy maximuma) van azokon a helyeken, ahol a plat´ ofeltétel lokálisan teljes¨ ul. Lehetséges azonban, hogy a plat´ og¨ orbéknek több minimuma is van, és ezek k¨ oz¨ ul kell kiv´ alasztanunk a megfelel˝ot. A megfelel˝o sim´ıtott n´ıv´ os˝ ur˝ uség nem t¨ ukr¨ ozheti az egyrészecske-héjstrukt´ ur´ at. Teh´ at, a sim´ıt´ asi eljár´ as során a δE(γ, p) platóg¨ orbének egy olyan (p-f¨ ugg˝ o) γmin minimum´ at kell megkeresn¨ unk, amelyre a héjstrukt´ ura már elt˝ unik. Az egyrészecske-spektrum legfontosabb tulajdons´ aga a két betölt¨ ott szint közötti legnagyobb t´ avols´ ag. Meg kell tehát allap´ıtanunk a legnagyobb t´ ´ avols´ agot N részecske két egymást követ˝o betölt¨ ott energiaszintje között: (5.2.8) G = max (ei+1 − ei ) . i

Ez a G érték pontosabban jellemzi az egyrészecske-héjstrukt´ ur´ at, mint a (4.0.18) egyenletben lév˝o Ω0 . Annak érdekében, hogy γmin értékét elfogadhatóan k¨ ozel´ıts¨ uk, meg kell határoznunk a sim´ıt´ o f¨ uggvény effekt´ıv szélességét adott p érték esetén. Az effekt´ıv szélesség hp (x) középs˝o cs´ ucsának szélessége, tehát (p) (p) a [−x1 , x1 ] intervallum. Mivel p n¨ ovelésével ez az intervallum, tehát a sim´ıt´ o f¨ uggvény effekt´ıv szélessége csökken, ezért nagyobb p értékek esetén nagyobb γ értékeket kell használni az azonos sim´ıt´ o hatás eléréséhez. Annak érdekében, hogy ezt az effektust kik¨ uszöb¨ olj¨ uk, érdemes bevezetn¨ unk a (p)

Γp = x1 γp

(5.2.9)

renorm´ alt sim´ıt´ asi szélességet. A Γp renorm´ alt szélességben mérve a sim´ıt´ asi szélesség p-f¨ uggése számottev˝oen csökken, ami abban jelentkezik, hogy a Γp szór´ asa lényegesen kisebb lesz, mint a γp értékeké. Annak érdekében, hogy a anynak k¨ ul¨ onb¨ oz˝o héjakt´ ol származó fluktu´ aciók is kisimuljanak, a Γp tartom´ G-nél nagyobbnak kell lennie. Bevezet¨ unk teh´ at egy egynél nagyobb F faktort

´ NÍVOS ´ UR ˝ US ˝ EG-SIM ´ ÍTO ´ ELJAR ´ AS ´ 5.3. AZ UJ ´ ALKALMAZASA

43

és megkeress¨ uk a Γp renormált sim´ıt´ asi szélességnek egy olyan minimum´ at, ami nagyj´ ab´ ol F G-vel egyenl˝o, tehát Γp,min = F G. (Megfigyelt¨ uk, hogy az F faktor optim´ alis értéke könny˝ u magok esetén 1.5 F 2, m´ıg nehéz magok esetén 2.5 F 3.5.) Miut´ an rögz´ıtett¨ uk ezt a minimumot, megkeress¨ uk a δE(γ, p) plat´ og¨ orbének azt az els˝o minimum´ at, amelyre teljes¨ ul, hogy γ γp,min =

FG (p)

.

(5.2.10)

x1

orbe megfelel˝o minimum´ anak Ez a követelmény seg´ıt nek¨ unk a δE(γp , p) platóg¨ kiv´ alasztásában. A legt¨ obb mag esetében a platóg¨ orbék több γp,1 < γp,2 < uk, akkor a minimumok l · · · < γp,l minimummal is rendelkeznek. Ha p-t növelj¨ száma által´ aban n˝ o. Megfigyelt¨ uk, hogy a p = 2 esetben legfeljebb két minimum van: l = 1 és l = 2, tov´ abb´ a az ezekhez az értékekhez tartozó minimumhelyek egyike eleget tesz a következ˝o feltételnek: (2)

Γ2,l = x1 γ2,l ≈ F G .

(5.2.11)

Mivel a renormált sim´ıt´ asi tartomány alkalmaz´ asával nagymértékben csökkenuggését, nagyobb p értékek esetén a megfelel˝o minitett¨ uk a Γp értékek p f¨ mumnak közel kell lennie ehhez az (5.2.11) egyenletbeli értékhez. Ki kell tehát v´ alasztanunk azt a k-adik minimumot, amelyre (p)

Γp,k = x1 γp,k ≈ Γ2,l

(5.2.12)

teljes¨ ul. Ha a sim´ıt´ asi tartományt ennek a kritériumnak megfelel˝oen választjuk asa kicsi lesz. meg a δE(γp,k , p) szór´

5.3.

Az u ´ j n´ıv´ os˝ ur˝ us´ eg-sim´ıt´ o elj´ ar´ as alkalmaz´ asa

A véges hatót´ avols´ ag´ u sim´ıt´ of¨ uggvényt használ´ o héjkorrekci´ os módszer vizsgálata során potenciálként a Woods–Saxon (WS) potenci´ alt használtunk spinp´ alya taggal kiegész´ıtve. Protonok esetén ezt egy egyenletes töltéseloszlás´ u, diff´ uz szél˝ u gömb Coulomb-potenciálja egész´ıtette ki. (A diff´ uz gömb azért volt sz¨ ukséges, hogy kiszám´ıthassuk a szemiklasszikus eredményeket az összehasonl´ıt´ as érdekében.) A potenciálokban szerepl˝o paraméterek megegyeztek a [46] munk´ aban megadott u ń. univerz´ alis potenciál paramétereivel. A potenciál er˝ossége neutronok esetén (τ = ν) t3 = 1/2 és protonok esetén (τ = π)

44


t3 = −1/2

N −Z V0τ (Z, N ) = −V 1 − 2κt3 A volt, ahol κ = 0.86, V = 49.6 MeV. A spin-pálya tag er˝ossége: Vso = −

λso V0τ 2 , 4 2µc

(5.3.1)

(5.3.2)

ahol µ a nukleon reduk´ alt tömege és a spin-pálya er˝osségek értékei a következ˝ok voltak: λso = 35 neutronok, illetve λso = 36 protonok esetén. A diffuzit´ asok minden potenciál tag esetén azonosak: a = aso = aC = 0.7 fm. A ab´ ol szám´ıt´ odnak, a sug´ arparaméterek értékei, amib˝ol a sugarak r0 A1/3 formul´ k¨ ovetkez˝ok voltak: r0 = 1.347 fm, r0 = rC = 1.275 fm rendre neutronokra és protonokra, m´ıg a spin-p´ alya tag sugárparamétere rso = 1.31 fm neutronokra, illetve rso = 1.32 fm protonokra. Elképzelhet˝o, hogy bizonyos magok esetében ezek a paraméterek nem voltak optimálisak, de által´ aban megfelel˝o N, Z f¨ uggést szolgáltatnak, legal´ abbis ahhoz, hogy a héjkorrekci´ o szám´ıt´ asi módszert tesztelj¨ uk. Az egyrészecske Hamilton-operátor ei energiáit az operátor harmonikus oszcill´ ator bázisban történ˝o diagonaliz´ al´ asával szám´ıtottuk ki. A b´ azisban a maxim´ alis pálya-impulzusmomentum 9 volt és minden esetben 20 bázisf¨ uggvényt haszn´ altunk. (A b´ azis méretének növelése nem változtatott az eredményeken.) A szabad részecske (magpotenciál tagok nélk¨ uli) Hamilton-oper´ ator´ anak diagonaliz´ al´ asához ugyanezt a bázist használtuk. Ezzel kaptuk a pozit´ıv (0) ukségesek, hogy a [24] munk´ aban ei energiaszinteket, amelyek ahhoz sz¨ részletesen ismertetett Green-f¨ uggvény módszert alkalmazhassuk a kontinuum tartom´ any hat´ asának figyelembevételére. A [24] munk´ aban megmutatt´ ak, hogy a val´ odi és a szabad Hamilton-operátorok spektrumai sim´ıtott n´ıv´ os˝ ur˝ uségének k¨ ul¨ onbségéb˝ol kiesik a mesterséges részecske-gáz hatása, és ugyanaz a sim´ıtott n´ıv´ os˝ ur˝ uség adódik, mint amit a szór´ asi fáziseltolások deriváltj´ ab´ ol szám´ıtott n´ıv´ os˝ ur˝ uségek sim´ıt´ asával kapn´ ank [24]. Az 5.5. ábr´ an a p = 6, . . . , 14 platóg¨ orbéket mutatjuk be a 146 Gd mag esetére a véges hatót´ avols´ ag´ u sim´ıt´ as alkalmazásával, illetve összehasonl´ıt´ asi alapként a Wigner–Kirkwood sz´ am´ıt´ as eredményét is megmutatjuk. Itt az alkalmazott p értéktartomány megegyezik a [23] munk´ aban haszn´ alttal. Az ábr´ an láthat´ o, hogy az u ´j módszert használva a véges hat´ ot´ avolság´ u sim´ıt´ assal alkalmazni tudtuk a lok´ alis platófeltételt. Vagyis a ´ gy választottuk, hogy azokn´ al a δE(γ, p) platóg¨ orbéknek miniγp értékeket u o egyezésben muma legyen. A minimumokhoz tartozó δE(γp , p) értékek nagyon j´


45

[MeV]

-8

δEn(γ)

-4

-12

-16

-20 10

p=6 p=8 p = 10 p = 12 p = 14 W-K 15

20

γ

25 [MeV]

30

35

40

5.5. ábra. Neutron héjkorrekci´ ok a 146 Gd magra γ f¨ uggvényében a p = 6, . . . , 14 értékek esetén véges hat´ ot´ avols´ ag´ u s´ ulyf¨ uggvény haszn´ alat´ aval. A v´ızszintes n pontvonal a szemiklasszikus héjkorrekci´ ot mutatja: δEsc = Esc − Esp . vannak (500 keV-en bel¨ ul) a szemiklasszikus szám´ıt´ as eredményét mutat´ o horizont´ alis pontvonallal. Mivel az ´ıgy kapott δE(γp , p) értékek σ szór´ asa (4.0.29) kicsi, a (4.0.28) egyenletben áll´ o átlaggal defini´ alt héjkorrekci´ o értéke jól meghat´ arozott. Egy másik példaként az 5.6. ábr´ an példaként bemutatjuk a kétszeresen mágikus 132 Sn magot. Ebben az esetben a σ szór´ as kisebb, mint 200 keV és az eltérés a szemiklasszikus értékt˝ol kisebb, mint 1 MeV. Egyébként ez a legnagyobb eltérés az 5.2. tábl´ azatban áll´ o esetek között. Megfigyelhet˝ o az 5.5. és 5.6. ábr´ an, hogy azok a γp értékek, amiknél a δE(γ, p) f¨ uggvények minimumai találhat´ ok, a p n¨ ovelésével növekednek. Ez a növekedés lényegesen csökkenthet˝ o az (5.2.9) összef¨ uggéssel definiált Γp renorm´ alt sim´ıt´ asi tartomány alkalmaz´ asával. Ha az els˝o γp minimum értékét az alasztottuk, a ka(5.2.10) egyenletben szerepl˝o γp,min értékénél nagyobbnak v´ pott δE(γp , p) értékek a legtöbb mag esetében nagyon hasonl´ onak ad´ odtak. A at feleltetj¨ uk meg, (4.0.28) egyenletbeli héjkorrekci´ onak a δE(γp , p) értékek átlag´ a héjkorrekci´ o bizonytalans´ ag´ anak pedig ezek (4.0.29) egyenletbeli σ szór´ asát. Az 5.2. tábl´ azatban bemutatjuk, hogy neutronokra és néh´ any középnehéz és asi nehéz magra milyen héjkorrekci´ okat eredményezett az u ´ j δEn (F R) sim´ıt´ anos´ıtott Strutinsky-m´ odszer. A tábl´ azatban a elj´ ar´ as, illetve a δEn (G) által´


46

-4

δEn(γ)

[MeV]

-6 -8 -10 -12 -14 -16 -18 -20

p=6 p=8 p = 10 p = 12 p = 14 W-K

5

10

15

γ

20 [MeV]

25

30

35

5.6. ábra. Neutron héjkorrekci´ ok az 132 Sn magra γ f¨ uggvényében a p = 6, . . . , 14 értékek esetén véges hat´ ot´ avols´ ag´ u s´ ulyf¨ uggvény haszn´ alat´ aval. A v´ızszintes n pontvonal a szemiklasszikus héjkorrekci´ ot mutatja: δEsc = Esc − Esp . Mag 68 Ni 78 Ni 90 Zr 122 Zr 124 Zr 100 Sn 132 Sn 146 Gd

δEn (F R) 0.16 −3.59 −7.42 −5.92 −4.12 −8.16 −9.85 −10.26

σ 0.12 0.07 0.06 0.11 0.12 0.20 0.14 0.07

δEn (G) 0.50 −2.78 −7.35 −4.52 −3.25 −6.95 −8.58 −10.33

σ 0.07 0.16 0.17 0.15 0.13 0.23 0.10 0.20

δEsc 0.81 −4.21 −6.82 −6.33 −4.35 −7.50 −8.87 −9.79

∆F R 0.65 0.62 0.60 0.41 0.23 0.66 0.98 0.47

∆G 0.31 1.43 0.53 1.81 1.10 0.55 0.29 0.54

5.2. tábl´ azat. Neutron héjkorrekci´ ok δEn és a σ sz´ or´ asaik véges hat´ ot´ avols´ ag´ u (FR) s´ ulyf¨ uggvény esetén ¨ osszehasonl´ıtva az ´ altal´ anos´ıtott Strutinsky-m´ odszer n (G) eredményével és a szemiklasszikus sz´ am´ıt´ as eredményével. δEsc = Esc −Esp , ∆F R = |δEsc − δEn (F R)|, ∆G = |δEsc − δEn (G)|. Az ¨ osszes energia MeV egységben van megadva. harmadik és öt¨ odik oszlopok tartalmazzák a héjkorrekci´ ok σ szór´ asait. Az utolsó két oszlopban a héjkorrekci´ oknak a [21] munk´ aban bemutatott szemiklasszikus elj´ ar´ as eredményeit˝ ol val´ o eltéréseit adjuk meg. Az u ´ j módszer eredményeinek


47

a szemiklasszikus eredményekt˝ ol val´ o eltérése minden magnál 1 MeV alatt maradt. Az által´ anos´ıtott Strutinsky-m´ odszer esetében pedig a ∆G eltérés számos esetben jóval nagyobb 1 MeV-nél. A ∆F R és ∆G eltérések átlagai pedig 0.6 MeV és 0.8 MeV-nek adódtak. Az 5.3. tábl´ azat hasonló elrendezésben tartalmazza a protonokra vonatkoz´ o eredményeket. Itt a ∆F R és ∆G eltérések átlagai 0.4 MeV és 0.6 MeV. Ez arra enged következtetni, hogy az u ´j elj´ ar´ as protonok esetében is alkalmazhat´ o. Mag 90 Zr 100 Sn 132 Sn 146 Gd 180 Pb 208 Pb

δEp (F R) 1.59 −7.47 −7.39 4.89 −8.94 −7.57

σ 0.19 0.064 0.068 0.10 0.15 0.07

δEp (G) 1.88 −7.42 −6.04 5.28 −7.78 −6.73

σ 0.20 0.14 0.12 0.24 0.04 0.03

δEsc 1.44 −7.01 −6.64 4.52 −8.62 −7.29

∆F R 0.15 0.46 0.75 0.37 0.32 0.28

∆G 0.44 0.41 0.60 0.76 0.84 0.56

5.3. tábl´ azat. Proton héjkorrekci´ ok δEp és a σ sz´ or´ asaik véges hat´ ot´ avols´ ag´ u (FR) s´ ulyf¨ uggvény esetén ¨ osszehasonl´ıtva az ´ altal´ anos´ıtott Strutinsky-m´ odszer n (G) eredményével és a szemiklasszikus sz´ am´ıt´ as eredményével. δEsc = Esc −Esp , osszes energia MeV ∆F R = |δEsc − δEp (F R)|, ∆G = |δEsc − δEp (G)|. Az ¨ egységben van megadva. Ezek a k¨ ul¨ onbségek sem neutronok, sem protonok esetén nem számottev˝oek. Az u ´j elj´ ar´ as eredményei az elhullat´ asi vonalak k¨ ozelében által´ aban k¨ ozelebb vannak a szemiklasszikus eredményekhez. Ez figyelhet˝ o meg a 78 N i, 122 Zr, 124 Zr magokon neutron esetén, és a 180 P b magon proton esetén. Ez arra utal, hogy a véges hatót´ avols´ ag´ u sim´ıt´ as alkalmazásával jobban megk¨ ozel´ıthet˝ oek az elhullat´ asi vonalak, mint a végtelen tartomány´ u Gauss-s´ ulyf¨ uggvénnyel. Az u ´j módszernek az egyik el˝onye az, hogy a megfelel˝o héjkorrekci´ o meghat´ arozása egyértelm˝ ubb, mint a kor´ abban haszn´ alt módszereké, tov´ abb´ a az u ´j módszer eredményei mentesek az által´ anos´ıtott Strutinsky-m´ odszer zavaró tényez˝oinek többségét˝ol, vagyis nem f¨ uggenek annak az intervallumnak a helyzetét˝ol, ahol a sim´ıtott n´ıv´ os˝ ur˝ uség linearitását megkövetelj¨ uk. Az u ´ j elj´ ar´ as legfontosabb el˝onye azonban az, hogy k¨ onny˝ u magok esetén is alkalmazhat´ o, ahol az által´ anos´ıtott Strutinsky-m´ odszer nem használhat´ o. Az u ´ j módszer eredményeit könny˝ u magok esetén neutronokra az 5.4. t´ abl´ azat, protonokra pedig az 5.5. t´ abl´ azat tartalmazza. Láthat´ o, hogy a szemiklasszikus értékekkel való egyezés épp olyan j´ o, mint a nehezebb magok esetén. K¨ ul¨ on¨ osen

48


j´ o eredményeket kaptunk a neutronelhullat´ asi vonal közelében elhelyezked˝o oxigén izotópokn´ al. Mag 16 O 18 O 20 O 22 O 24 O 20 Ne 40 Ca 48 Ca

δEn −1.63 2.67 3.25 0.12 −1.68 3.07 −1.77 −2.91

σ 0.04 0.04 0.24 0.53 0.49 0.56 0.35 0.24

δEsc −1.57 3.01 3.11 0.09 −1.69 3.01 −0.66 −2.59

∆ 0.06 0.34 0.14 0.03 0.01 0.06 0.97 0.32

5.4. tábl´ azat. Neutron héjkorrekci´ ok és a sz´ or´ asaik a (4.0.29) egyenlet alapj´ an. A szemiklasszikus m´ odon sz´ am´ıtott értékek a negyedik oszlopban l´ athat´ ok, n . Az utols´ o oszlop a két m´ odszer eltérését mutatja: ∆ = δEsc = Esc − Esp ˜ Az ¨ |Esc − E|. osszes energia MeV egységben van megadva. Mag 16 O 18 O 20 O 22 O 24 O 40 Ca 48 Ca 48 Ni 56 Ni

δEp −1.65 −1.65 −2.09 −2.30 −3.10 −1.62 −1.70 −0.80 −3.67

σ 0.03 0.10 0.19 0.15 0.66 0.12 0.19 0.36 0.29

δEsc −1.44 −1.66 −1.90 −2.14 −2.36 −0.91 −1.44 −1.23 −3.45

∆ 0.21 0.01 0.19 0.16 0.74 0.71 0.26 0.43 0.22

5.5. tábl´ azat. Proton héjkorrekci´ ok és a sz´ or´ asaik a (4.0.29) egyenlet alapj´ an. A szemiklasszikus m´ odon sz´ am´ıtott értékek a negyedik oszlopban l´ athat´ ok, δEsc = p ˜ Az Esc − Esp . Az utols´ o oszlop a két m´ odszer eltérését mutatja, ∆ = |Esc − E|. osszes energia MeV egységben van megadva. ¨ Az 5.7. ábr´ an a kétszeresen mágikus 24 O-hez tartozó neutron plat´ og¨ orbéket abr´ ´ azoltuk a renormált sim´ıt´ asi tartomány paraméter, a Γp f¨ uggvényében, p =


49

6, 8, . . . , 14 értékek esetén. A szemiklasszikus eredményt a v´ızszintes pontvonal mutatja.

6

[MeV]

2

δEn(Γp)

4

0

p=6 p=8 p = 10 p = 12 p = 14 W-K

-2 6

7

Γp

8 [MeV]

9

10

5.7. ábra. Neutron héjkorrekci´ ok az 24 O magra Γp renorm´ alt sim´ıt´ asi szélesség f¨ uggvényében a p = 6, . . . , 14 értékek esetén véges hat´ ot´ avols´ ag´ u s´ ulyf¨ uggvény haszn´ alat´ aval. A v´ızszintes pontvonal a szemiklasszikus héjkorrekci´ ot mutatja: n . δEsc = Esc − Esp

Az egyes görbék minimumait a rajtuk tal´ alhat´ o fekete kör¨ ok mutatj´ ak. L´ athat´ o, hogy a k¨ or¨ okkel jelölt δEn (Γp , p) értékek −0.9 MeV és −2.3 MeV ur˝ us¨ odnek. A k¨ ozé esnek, és a hozzájuk tartoz´ o Γp értékek 8 MeV közelében s˝ δEn (Γp , p) értékek szór´ asa hozzávet˝oleg 0.5 MeV, az átlaguk pedig egybeesik a szemiklasszikus értékkel. Ez az egybeesés véletlen, de láthat´ o, hogy a ∆ értékek más oxigén izotópok esetében is kicsik. Figyelj¨ uk meg ezen az ábr´ an azt is, hogy uggvényeként a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o p-khez tartozó görbék a minimumok helyzete a Γp f¨ esetén jóval kevésbé szór, mint az 5.6. ábr´ an, ahol a γ sim´ıt´ asi tartományt alkalmaztuk. Ez azt mutatja, hogy a renorm´ alt sim´ıt´ asi szélesség bevezetése hasznos ´ volt. Ugy hissz¨ uk tehát, hogy a véges hatót´ avols´ ag´ u sim´ıt´ as alkalmazásával az elhullat´ asi vonalak jobban megk¨ ozel´ıthet˝ oek, mint a végtelen tartomány´ u Gauss-s´ ulyf¨ uggvénnyel.

50

5.4.


´ g¨ Uj orb¨ uletkorrekci´ os m´ odszerek

A Strutinsky héjkorrekci´ os eljár´ asával kivitelezett tömegszám´ıt´ asok a sim´ıtott n´ıv´ os˝ ur˝ uségen alapulnak. A sim´ıt´ asi folyamat mindig g¨ orb¨ uletkorrekci´ o haszn´ alat´ aval történik. Ha sim´ıt´ ast alkalmazunk, akkor g¨ orb¨ uletkorrekci´ o haszn´ alata esetén a sima f¨ uggvény változatlan marad. Tekints¨ uk át ismét a görb¨ uletkorrekci´ o fogalmát.

5.4.1.

G¨ orb¨ uletkorrekci´ o

A 4. fejezetben láttuk, hogy a konvol´ uci´ o ideális eszköz egy y(x) oszcillál´ o f¨ uggvény sim´ıt´ asára. Ha f (x) a sim´ıt´ o f¨ uggvény, amir˝ol az egyszer˝ uség kedvéért feltessz¨ uk, hogy p´ aros, akkor a sim´ıtott y˜(x) f¨ uggvényt az f (x) és az y(x) konvol´ uci´ oj´ aval kapjuk: 1 ∞ x − x y(x )dx . f (5.4.1) y˜(x) = γ −∞ γ Itt a γ pozit´ıv val´ os szám határozza meg a sim´ıt´ asi szélességet. A sim´ıt´ o f¨ uggvénynek ki kell elég´ıtenie a (4.0.15) önkonzisztencia-feltételt, hogy a sim´ıt´ as ne változtassa meg a már eleve sima f¨ uggvényt. Itt sima f¨ uggvény alatt legfeljebb (p + 1)-ed fok´ u polinomot ért¨ unk [7, 27], teh´ at megkövetelj¨ uk, hogy az y(x) → y˜(x) leképezés a legfeljebb (p + 1)-ed fok´ u polinomok halmaz´ ara az azonos leképezés legyen, azaz teljes¨ ulj¨ on a (4.0.15) feltétel. Arra az f sim´ıt´ o f¨ uggvényre, ami a (4.0.15) egyenletet teljes´ıti, azt mondjuk, hogy p-ed fok´ u g¨ orb¨ uletkorrekci´ oj´ u. Ha ezt a tulajdons´ ag´ at ki akarjuk emelni, akkor a sim´ıt´ o f¨ uggvényt f helyett fp -vel jelölj¨ uk. A nulladfok´ u görb¨ uletkorrekci´ oval rendelkez˝o f¨ uggvény lesz a kezd˝o sim´ıt´ o f¨ uggvény, és ennek a f¨ uggvénynek párosnak kell lennie. Ha a sim´ıt´ as γ szélességét és a görb¨ uletkorrekci´ o p fokát hangs´ ulyozni o sim´ıt´ o akarjuk, akkor a sim´ıtott SPLD-re a g˜γ,p (E) jelölést használjuk. A kezd˝ f¨ uggvény nem más, mint a kor´ abbi w(x) s´ ulyf¨ uggvény.

5.4.2.

Hagyom´ anyos g¨ orb¨ uletkorrekci´ os m´ odszerek

A teljesség kedvéért tekints¨ unk a´t két hagyományos módszert is. A legelterjedtebb módszerben a p-ed fok´ u görb¨ uletkorrekci´ os sim´ıt´ o f¨ uggvényt [27] az fp (t) = hp (t)f0 (t)

(5.4.2)

u polinom. A form´ aban keress¨ uk, ahol hp (t) az (5.2.3) egyenletbeli p-ed fok´ tov´ abbiakban feltessz¨ uk, hogy p 0 páros. Ezt a módszert a 4. fejezetben

´ GORB ¨ ¨ ´ MODSZEREK ´ 5.4. UJ ULETKORREKCI OS

51

már ismertett¨ uk és a továbbiakban polinomi´ alis görb¨ uletkorrekci´ onak nevezz¨ uk (PCC), megk¨ ul¨ onb¨ oztetés¨ ul a most bevezetend˝o másfajta görb¨ uletkorrekci´ os módszerekt˝ol. Brack és Pauli egy másik módszert javasoltak [28], ahol a p-ed fok´ u görb¨ uletkorrekci´ os sim´ıt´ o f¨ uggvényt a következ˝o alakban ´ırt´ ak fel: p

fp (t) =

2

a2i

i=0

d2i f0 (t) . dt2i

(5.4.3)

Erre a módszerre, mint Brack és Pauli görb¨ uletkorrekci´ os módszerére fogunk hivatkozni (BPCC). A (4.0.15) egyenletben szerepl˝ o feltétel egyértelm˝ uen meghat´ arozza az a2i egy¨ utthat´ okat, amelyek most k¨ ul¨ onb¨ ozhetnek a PCC-beli ci egy¨ utthat´ okt´ ol. Az a0 értéke 1. Ezen a2i egy¨ utthat´ ok teljes´ıtik tov´ abb´ a a k¨ ovetkez˝o egyenletrendszert: p

2

Bi,j a2j = −b2i ,

j=1

p i = 1, . . . , , 2

(5.4.4)

o az f0 ahol Bi,i = 1, Bi,j = 0 (i < j), Bi,j = b2(i−j) (1 < i < j) és b2i kifejezhet˝ momentumaival: M2i (f0 ) b2i = . (5.4.5) (2i)! A sim´ıt´ of¨ uggvény momentumait a következ˝o formul´ aval értelmezz¨ uk: ∞ ti f (t)dt, i = 0, 1, 2, . . . Mi (f ) =

(5.4.6)

−∞

5.4.3.

G¨ orb¨ uletkorrekci´ o t¨ obb sz´ eless´ eggel

A sim´ıt´ as hibatagja: δy(x) = y˜(x) − y(x)

(5.4.7)

a következ˝o alakban ´ırhat´ o: δy(x) =

∞ n=1

(−1)n γ n

1 Mn (f )y (n) (x) , n!

(5.4.8)

ahol y(x) n-edik deriváltj´ at y (n) (x)-al jelölj¨ uk és feltételezz¨ uk, hogy M0 (f ) = 1, azaz, hogy a kiindul´ asi sim´ıt´ o f¨ uggvény egyre van normálva.


52

Ha az f sim´ıt´ o f¨ uggvény momentumai teljes´ıtik a k¨ ovetkez˝o feltételeket: M0 (f ) = 1, Mi (f ) = 0 (i = 1, 2, . . . , p + 1), akkor az (5.4.8) egyenletb˝ ol láthat´ o, hogy egy ilyen sim´ıt´ o f¨ uggvény p-ed fok´ u görb¨ uletkorrekci´ oj´ u. Tételezz¨ uk fel, hogy van egy fp sim´ıt´ o f¨ uggvény¨ unk, és az páros f¨ uggvény. Azt áll´ıtjuk, hogy ekkor egy (p+2)-ed fok´ u görb¨ uletkorrekci´ oval rendelkez˝ o sim´ıt´ o f¨ uggvény fel´ırhat´ o a következ˝o alakban: fp (t) − c−p−3 fp ct fp+2 (t) = , p0 . (5.4.9) 1 − c−p−2 Itt c tetsz˝oleges valós szám, amire a c = 0 és a c = 1 feltételek teljes¨ ulnek. o f¨ uggvény alakját néh´ any k¨ ul¨ onb¨ oz˝o p Az 5.8. ábr´ an bemutatjuk az fp (x) sim´ıt´ értékre c = 0.9 esetén Gauss kezd˝o sim´ıt´ o f¨ uggvény mellett. 2.5

p=0 p=2 p=4 p = 14

2 1.5 1 0.5 0 -2

-1

0

1

2

5.8. ábra. A Gauss kezd˝ o sim´ıt´ o f¨ uggvényhez tartoz´ o fp (x) sim´ıt´ o f¨ uggvények az (5.4.9) egyenlet alapj´ an p = 0, 2, 4, 14 és c = 0.9 esetén. Ahhoz, hogy a´ll´ıt´ asunkat bebizony´ıtsuk, elég meggy˝oz˝odni a ∞ fp+2 (t)dt = 1

(5.4.10)

−∞

és

∞

−∞

ti fp+2 (t)dt = 0,

i = 1, 2, . . . , (p + 3)

(5.4.11)

egyenletek teljes¨ ulésér˝ol. Bizony´ıt´ asukhoz be kell helyettes´ıten¨ unk az (5.4.9) egyenletben lév˝o formul´ at az (5.4.10) és az (5.4.11) egyenletekbe, és fel kell

´ GORB ¨ ¨ ´ MODSZEREK ´ 5.4. UJ ULETKORREKCI OS

53

haszn´ alnunk az integr´ al´ as m˝ uveletének linearitását, valamint az integr´ aciós v´ altozót a bal oldal m´ asodik tényez˝ojében t-r˝ ol u = t/c-re kell cseréln¨ unk. Ha minden iterációs lépésben ugyanazt a c értéket használjuk (a p = 0 kezd˝olépést˝ol kezdve), akkor az fp (p 2) sim´ıt´ o f¨ uggvényre a következ˝o zárt kifejezést kapjuk: p 2 p t k (p −k)( p −k+2) 2 2 2 (5.4.12) fp (t) = Ap (−1) c f0 k , k 2 c k=0

c

ahol a q-binomi´ alis egy¨ utthat´ o jelölésére az alábbi formul´ at alkalmazzuk: ⎧ ⎪ 1 , ha r = 0 ⎨ s (1−q s )(1−q s−1 )...(1−q s−r+1 ) = (5.4.13) , ha 1 r s (1−q)(1−q 2 )...(1−q r ) ⎪ r ⎩ q 0 , ha r > s utthat´ o a következ˝o lesz: és az (5.4.12) egyenletbeli Ap egy¨ p p 2 2 1 1 2k . c Ap = p 2 c( 2 +2) −4 k=1 1 − c−(2k+2) k=0

(5.4.14)

Azokat a sim´ıt´ o f¨ uggvényeket, amelyeket az (5.4.9) és az (5.4.12) egyenletek seg´ıtségével szám´ıtottunk ki, t¨ obbszélesség˝ u sim´ıt´ o f¨ uggvényeknek, az ezeket haszn´ al´ o sim´ıt´ asi módszert pedig t¨ obbszélesség˝ u g¨ orb¨ uletkorrekci´ onak (MWCC) nevezz¨ uk. Az elnevezés a sim´ıtott SPLD-nek az MWCC módszerbeli p 2 p p k (p −k)( −k+2)+k 2 2 g˜γ,p (E) = Ap (−1) c 2 g˜ k (E) (5.4.15) k 2 γc ,0 k=0

c

alakj´ ab´ ol származik. Az (5.4.15) egyenletb˝ ol látszik, hogy a p-ed fok´ u görb¨ uletkorrekci´ oval rendelkez˝ o sim´ıt´ o f¨ uggvényhez kapcsolód´ o sim´ıtott SPLD azoknak asi az SPLD-eknek a lineáris kombin´ aciója, amelyet a γck (k = 0, . . . , p2 ) sim´ıt´ szélesség˝ u kezd˝ o sim´ıt´ o f¨ uggvényb˝ ol kapunk. Az egyes g˜γck ,0 (E) tényez˝ok k¨ ul¨ onb¨ oz˝oen viselkednek, néh´ any tényez˝o mutatja a héjstrukt´ ur´ at, mások meg t´ ulsim´ıthatnak, de a megfelel˝ o lineáris kombin´ ació fenntartja az egyens´ ulyt a tagok között.

5.4.4.

Deriv´ alt g¨ orb¨ uletkorrekci´ o

Az (5.4.9) egyenletbeli rekurzió c = 1 esetén nem érvényes. Ha a c → 1 hat´ arértéket L’Hospital szabálya alapj´ an határozzuk meg, akkor az u ´j p-ed fok´ u


54

g¨ orb¨ uletkorrekci´ os sim´ıt´ o f¨ uggvény fp+2 (t) =

p+3 1 d fp (t) + t fp (t) p+2 p + 2 dt

(5.4.16)

alakban jelenik meg. Az ´ıgy kapott sim´ıt´ o f¨ uggvényt deriv´ alt sim´ıt´ o f¨ uggvénynek nevezz¨ uk, a módszert pedig deriv´ alt g¨ orb¨ uletkorrekci´ onak (DCC). Az (5.4.16) egyenletbeli rekurzió seg´ıtségével egy zárt kifejezés nyerhet˝o a (p 0) sim´ıt´ o f¨ uggvényekre: p

fp (t) =

2 a( p2 + 1, k + 1)

p 2 !2

k=0

p 2

tk

dk f0 (t) , dtk

(5.4.17)

ahol az a(n, m) egy¨ utthat´ ok teljes´ıtik az a(n, m) = (2n + m − 2)a(n − 1, m) + a(n − 1, m − 1)

(5.4.18)

rekurzi´ ot a(1, 1) = 1, a(n, 0) = 0 (n tetsz˝oleges egész) és a(n, m) = 0 (n < m) kezdeti feltételekkel. A tk szorzófaktort´ ol eltekintve az (5.4.17) és az (5.4.3) egyenletbeli sim´ıt´ o f¨ uggvények hasonl´ıtanak egymásra. A BPCC módszerrel ellentétben azonban az (5.4.17) egyenletben a line´ aris kombin´ aciós egy¨ utthat´ ok f¨ uggetlenek a kezdeti sim´ıt´ o f¨ uggvényt˝ ol. A BPCC módszerben a lineáris kombin´ aciós egy¨ utthat´ okat az (5.4.4) egyenletet használva szám´ıtjuk ki. Az (5.4.16) rekurzió leegyszer˝ us´ıti a héjkorrekci´ os módszer segédmennyiségeinek kiszám´ıt´ asát. A részecskeszám kiszám´ıt´ asához sz¨ ukség¨ unk lesz az alábbi x fp (t)dt, p 0 (5.4.19) Np (x) = −∞

integr´ alra (lásd a (4.0.11) egyenletet). Könnyen megkapjuk a k¨ ovetkez˝o reuggvényre: kurzi´ ot az Np (x) f¨ Np+2 (x) = Np (x) +

Ez a rekurzió lim

t→−∞

1 xfp (x) . p+2

tfp (t) = 0,

p0

(5.4.20)

(5.4.21)

esetében érvényes. A sim´ıtott energia kiszám´ıt´ asára sz¨ ukség¨ unk van az x tfp (t)dt, p 0 (5.4.22) Ep (x) = −∞

´ GORB ¨ ¨ ´ MODSZEREK ´ 5.5. AZ UJ ULETKORREKCI OS ´ ALKALMAZASAI

55

integr´ alra (lásd a (4.0.12) egyenletet). Levezethetj¨ uk a következ˝o rekurziót Ep+2 (x) =

p+1 1 Ep (x) + x2 fp (x) . p+2 p+2

(5.4.23)

Itt feltételezt¨ uk, hogy lim

t→−∞

5.5.

t2 fp (t) = 0,

p0 .

(5.4.24)

Az u ´ j g¨ orb¨ uletkorrekci´ os m´ odszerek alkalmaz´ asai

Az u ´j görb¨ uletkorrekci´ os módszerek alkalmazásakor el˝oször egy alkalmas kezd˝o sim´ıt´ o f¨ uggvényt kell választanunk. Erre a legszélesebb körben használt 2 √ aban a BPCC forma a Gauss-f¨ uggvény: f0 (t) = e−t / π. A [28] munk´ módszernél f0 (t) = 1/(2cosh2 (t)) sim´ıt´ o f¨ uggvényt használtak. Mi mindkét sim´ıt´ o f¨ uggvényt használni fogjuk és Gauss, valamint Cosh-t´ıpus´ u sim´ıt´ o f¨ uggvényeknek fogjuk h´ıvni o˝ket. Meg kell eml´ıten¨ unk egy érdekes megfigyelést. Gauss kezd˝o sim´ıt´ o f¨ uggvény esetén a PCC, a BPCC és a DCC módszerek o f¨ uggvényhez vezetnek. Az MWCC módszer azonban ugyanarra az fp sim´ıt´ u ´j sim´ıt´ o f¨ uggvényt eredményez. A Cosh-t´ıpus´ u kezd˝ o sim´ıt´ o f¨ uggvény esetén minden bemutatott módszer k¨ ul¨ onb¨ oz˝o sim´ıt´ o f¨ uggvényeket eredményez. Az MWCC módszer a γ sim´ıt´ asi szélességen és p paraméteren k´ıv¨ ul (ahol p a görb¨ uletkorrekci´ o foka) tartalmaz még egy u ´ j, dimenzi´ o nélk¨ uli technikai paramétert, amit c-vel jelölt¨ unk. Az 5.9. a´br´ an a c paraméter f¨ uggvényében mutatjuk a héjkorrekci´ ot egy könny˝ u (N =20) mag esetére, három k¨ ul¨ onb¨ oz˝o sim´ıt´ asi szélességet használva. Az ábra szerint c-nek van egy optimális régiója (ahol a héjkorrekci´ o nem f¨ ugg a c értékét˝ol). Ez a régió mindh´ arom γ értékre nagyjáb´ ol 0.8 és 1 között van. Az általunk elvégzett szám´ıt´ asokban mindig tal´ altunk egy stabil régiót c-ben, és ez az esetek többségében 1 alatt volt. Mivel a héjkorrekci´ os módszer eleve tartalmaz két technikai paramétert (γ és p), nem lenne bölcs dolog emelni a számukat, ezért le´ırjuk, hogy milyen m´ odszert vezett¨ unk be c értékének rögz´ıtésére. A γ és p paraméterek minden rögz´ıtett értékénél c értékét a következ˝oképpen hat´ arozzuk meg. Kiválasztunk egy átlagol´ o ablakot az N részecskeszám kör¨ ul. Mivel az energian´ıv´ ok héjakba rendez˝odnek, ´ıgy elég természetesnek t˝ unik az a választás, hogy az átlagol´ o ablak fels˝o értéke essen egybe a héjlezár´ od´ asnak megfelel˝ o részecskeszámmal, az ablak alsó értéke pedig legyen az adott héj kezdete.


56

12 _

γ / hΩ0 = 10/6 _ γ / hΩ0 = 20/6 _ γ / hΩ0 = 30/6

4 0

δE

[MeV]

8

-4 -8 -12 0.6

0.8

1

c

1.2

1.4

1.6

5.9. ábra. Az MWCC m´ odszerrel sz´ am´ıtott héjkorrekci´ o harmonikus oszcill´ ator uggvénye, h´ arom potenci´ alra (Ω0 = 6 MeV, N =20), mint a c paraméter f¨ k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o sim´ıt´ asi szélességet haszn´ alva. A g¨ orb¨ uletkorrekci´ o foka p = 6. A sim´ıt´ o f¨ uggvényeket Gauss kezd˝ o sim´ıt´ o f¨ uggvényekb˝ ol ´ allap´ıtjuk meg MWCC m´ odszerrel. Kiszám´ıtjuk az ´ atlagol´ o ablakhoz tartoz´ o valamennyi atommag héjkorrekci´ oj´ at. A c paramétert u ´ gy választjuk meg, hogy a héjkorrekci´ ok átlagértéke olyan közel essen nullához, amennyire csak lehetséges. Ezt a módszert a [47, 48] munk´ ak alapj´ an vezett¨ uk be. A héjkorrekci´ o a részecskeszám gyorsan változó f¨ uggvénye. Bár a δE átlagértékét null´ anak várt´ ak, de kider¨ ult, hogy az energia fluktu´ al´ o részének az átlaga nem zérus, és ez az átlagérték az energia sima részéhez járul hozzá [47]. A c értékét u ´gy hat´ arozzuk meg, hogy minimalizáljuk a héjkorrekci´ o ezen extra sima tagját. Egy könny˝ u és egy középnehéz atommag esetén is megvizsgáltuk az átlagol´ o ablakt´ ol val´ o f¨ uggést. A c optimális értékét a fenti módszerrel határozzuk meg ezen esetekben is. A görb¨ uletkorrekci´ o fokszáma p = 6 volt. Az átlagol´ o ablakok fels˝o határai a héjlezár´ od´ asokhoz tartoztak, m´ıg az alsó határok az u ´j héjak kezdetei voltak. Az eredményeket az 5.10. ábr´ an mutatjuk be. L´ athat´ o, hogy a héjkorrekci´ o alig f¨ ugg az átlagol´ o ablakt´ ol (figyelj¨ uk meg a ´ találtuk, hogy a c optim´ f¨ ugg˝ oleges tengely beosztását). Ugy alis értékének megul elegend˝o az eggyel hat´ arozásához a vizsgált részecskeszám saját héj´ an k´ıv¨ alatta, illetve felette lév˝o héjakat figyelembe venni. A héjkorrekci´ os módszer által´ aban két technikai paramétert tartalmaz, a γ


-3.9

(a) 3-70 3-112 3-168

-3.905 [MeV]

57

δE

-3.91 -3.915

(b) 21-112 21-168 21-240

-8.9

δE

[MeV]

-8.89

-8.91 -8.92

1

2

3_ γ / hΩ0

4

5

5.10. ábra. Héjkorrekci´ o harmonikus oszcill´ ator potenci´ alra (Ω0 = 6 MeV), mint a sim´ıt´ asi szélesség f¨ uggvénye, k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o ´ atlagol´ o ablakokat haszn´ alva a c paraméter megfelel˝ o meghat´ aroz´ as´ ara. A g¨ orb¨ uletkorrekci´ o foka p = 6. A sim´ıt´ o f¨ uggvényeket Gauss kezd˝ o sim´ıt´ o f¨ uggvényekb˝ ol ´ allap´ıtjuk meg MWCC m´ odszerrel. A részecskesz´ am N =20 az (a) esetben és N =70 a (b) esetben. sim´ıt´ asi szélességet és a görb¨ uletkorrekci´ o p fokszámát. Ha ezen paraméterek értékeit megfelel˝oen választjuk meg, akkor az eredményeknek ezekt˝ol f¨ uggetlennek kell lenni¨ uk. A harmonikus oszcill´ ator, vagy hasonl´ o potenciálok esetén (ami végtelen szám´ u köt¨ ott állapotot tartalmaz) a [28] munk´ aban megmutatt´ ak, hogy a sim´ıt´ asi szélességnek van egy elég nagy tartománya, ahol a héjkorrekci´ o gyakorlatilag konstans, teh´ at a platófeltétel teljes¨ ul. Az u ´j görb¨ uletkorrekci´ os módszereket is ellen˝orizni kell harmonikus oszcill´ ator potenciálra, hogy a plat´ ofeltétel teljes¨ ul-e. Az ellen˝orz˝o szám´ıt´ as során a harmonikus oszcill´ ator potenciál paraméterét


58

Ω0 = 6 MeV-nek választottuk, a vizsgált részecskeszám N = 70 volt és a görb¨ uletkorrekci´ o fokát p = 6-nak választottuk, ugyan´ ugy, mint a [28] munk´ aban. Ebben az esetben a PCC (Gauss-t´ıpus´ u sim´ıt´ o f¨ uggvény esetén) és a BPCC (Cosh-t´ıpus´ u sim´ıt´ o f¨ uggvény esetén) módszereket alkalmaztuk. A héjkorrekci´ ot a sim´ıt´ asi szélesség f¨ uggvényében ábr´ azolva az 5.11. ábra mutatja, ahol Gauss kezd˝ o sim´ıt´ o f¨ uggvényt használtunk. -8.2 PCC p = 6 PCC p = 10 MWCC p = 6 MWCC p = 10

-8.6 -8.8

δE

[MeV]

-8.4

-9 -9.2 -9.4

1

1.5

2

2.5

3_ γ / hΩ0

3.5

4

4.5

5

5.11. ábra. K¨ ul¨ onb¨ oz˝ o m´ odszerekkel sz´ am´ıtott héjkorrekci´ o harmonikus oszcill´ ator potenci´ alra (Ω0 = 6 MeV, N =70), mint a sim´ıt´ asi szélesség f¨ uggvénye. A g¨ orb¨ uletkorrekci´ o foka p = 6 és p = 10. A sim´ıt´ o f¨ uggvényeket Gauss kezd˝ o sim´ıt´ o f¨ uggvényekb˝ ol ´ allap´ıtjuk meg. Ebben az esetben PCC, BPCC és DCC ugyanazt a sim´ıt´ o f¨ uggvényt adja a sim´ıt´ asra. okat csak γ > Ω0 esetben Mivel a héjt´ avols´ agok értéke Ω0 , a héjkorrekci´ számoltuk ki, másképp a sim´ıtott SPLD-ben a héjakbeli fluktu´ aciók is megfigyelhet˝ ok lennének [49]. A PCC p = 6-al jelölt görbe az 5.11. ábr´ an megegyezik a [28] munka eredményével. A héjkorrekci´ o nagy abszol´ utértéke annak köszönhet˝ o, hogy a 70-es részecskeszám a harmonikus oszcillátor potenciálban mágikus szám. Annak érdekében, hogy lássuk a görb¨ uletkorrekci´ o fokát´ ol val´ o f¨ uggést is, a szám´ıt´ ast megismételt¨ uk p = 10-re és ezt ábr´ azoltuk az 5.11. ábr´ an. Láthat´ o, hogy a vizsgált MWCC módszer γ-beli platótartom´ anya kör¨ ulbel¨ ul kétszer nagyobb a PCC módszer platótartom´ any´ an´ al. Az is láthat´ o, hogy a görb¨ uletkorrekció fokának 6-ról 10-re történ˝o emelése nem módos´ıtja az MWCC módszer


59

eredményét, nagy változást eredményez azonban a PCC módszer esetében. A Cosh-t´ıpus´ u kezd˝ o sim´ıt´ o f¨ uggvénynél a héjkorrekci´ ot az 5.12. ábra mutatja. 0 BPCC DCC MWCC

[MeV]

-8

δE

-4

-12

-16

-20

1

1.5

2

2.5

3_ γ / hΩ0

3.5

4

4.5

5

5.12. ábra. K¨ ul¨ onb¨ oz˝ o m´ odszerekkel sz´ am´ıtott héjkorrekci´ o harmonikus oszasi szélesség f¨ uggvénye. cill´ ator potenci´ alra (Ω0 = 6 MeV, N =70), mint a sim´ıt´ A g¨ orb¨ uletkorrekci´ o foka p = 6. A sim´ıt´ o f¨ uggvényeket Cosh-t´ıpus´ u kezd˝ o sim´ıt´ o f¨ uggvényekb˝ ol a ´llap´ıtjuk meg. Ezt a sim´ıt´ o f¨ uggvényt használva meg tudjuk ´ıtélni a DCC, MWCC és BPCC módszerek jóság´ at. Ebben az esetben is az MWCC módszer bizonyult a legjobbnak, mert ez adta a legnagyobb plat´ otartom´ anyt. A BPCC és az MWCC módszerek eredményei csak nagy γ értékeknél térnek el. Ilyen nagy γ tartom´ anyban csak az MWCC módszer tartja meg a platófeltételt. A nagy plat´ otartom´ any azért fontos, mert a globális tömegszám´ıt´ asokn´ al csak egy A-tól f¨ ugg˝ o γ értéket használnak. K´ıv´ anatos, hogy ez a γ érték a platótartom´ anyba essen. os módszerek tulajMindezek után tanulm´ anyozzuk a görb¨ uletkorrekci´ dons´ agait realisztikus potenciálokn´ al. Munk´ ankat a gömbszimmetrikus potenciálok vizsgálat´ ara korl´ atozzuk. Spin-p´ alya taggal kiegész´ıtett Woods– Saxon-potenci´ alt fogunk haszn´ alni. A Woods–Saxon-potenci´ al paramétereit a [46] munk´ aban adott univerz´ alis parametrizál´ asnak megfelel˝oen választottuk, ahogy azt az 5.3. részben megadtuk. Nagy k¨ ul¨ onbség van a harmonikus oszcill´ ator és a realisztikus potenciál között. Am´ıg a h. o. potenci´ alnak csak köt¨ ott


60

´llapotai vannak, addig a Woods–Saxon-potenci´ a alnak a k¨ ot¨ ott állapotok mellett kontinuuma is van. A c paraméter értékét ugyan´ ugy hat´ arozzuk meg, mint ahogy azt a harmonikus oszcillátor esetén tett¨ uk. Mivel véges szám´ u köt¨ ott állapotunk van, az Nb di . Ez egy olyan atomatlagol´ ´ o ablak fels˝o határ´ anak természetes értéke i=1 maghoz tartozik, amiben minden k¨ ot¨ ott állapot bet¨ olt¨ ott. Az átlagol´ o ablak alsó határa N = 50 volt. Ellen˝ orizt¨ uk, és azt találtuk, hogy az eredmény alig f¨ ugg¨ ott ett˝ol az értékt˝ol. oj´ at az 5.13. és 5.14. ábra mutatja. A 146 Gd mag neutron héjkorrekci´ 2 0

δE

[MeV]

-2

PCC p = 6 PCC p = 10 MWCC p = 6 MWCC p = 10

-4 -6 -8 -10 -12 -14

10

15

γ

20 [MeV]

25

30

5.13. ábra. K¨ ul¨ onb¨ oz˝ o m´ odszerekkel sz´ am´ıtott neutron héjkorrekci´ o a 146 Gd magra, mint a sim´ıt´ asi szélesség f¨ uggvénye. Az egyrészecske-potenci´ al Woods– Saxon-potenci´ al spin-p´ alya taggal. A g¨ orb¨ uletkorrekci´ o foka p = 6 és p = 10. A sim´ıt´ o f¨ uggvényeket Gauss kezd˝ o sim´ıt´ o f¨ uggvényekb˝ ol ´ allap´ıtjuk meg. Ebben az esetben PCC, BPCC és DCC ugyanazt a sim´ıt´ o f¨ uggvényt adja a sim´ıt´ asra. A Gauss kezd˝o sim´ıt´ o f¨ uggvény esetén (5.13. ábra) a görb¨ uletkorrekci´ o foka p = 6 és p = 10 volt. Az eredményeket, melyeket Cosh-t´ıpus´ u kezd˝ o sim´ıt´ o f¨ uggvényt használva nyert¨ unk, az 5.14. a´bra mutatja, ahol a g¨ orb¨ uletkorrekci´ o foka p = 14 volt. Az 5.13. és 5.14. ábr´ ab´ ol ugyanazt a k¨ ovetkeztetést vonhatjuk le. MWCC m´ odszer esetén egy nagyobb plat´ otartom´ any van, amiben a héjkorrekci´ o gyakorlatilag f¨ uggetlen a γ értékt˝ol. A többi héjkorrekci´ os módszernek nincs platója, ezek csak a lokális platófeltételnek tesznek eleget (a héjkorrekci´ o γ szerinti deriváltja csak egyes γ pontokban zérus). A plat´ ofeltétel


61

0

-10

δE

[MeV]

-5

-15

-20

DCC BPCC MWCC 10

15

γ

20 [MeV]

25

30

5.14. ábra. K¨ ul¨ onb¨ oz˝ o m´ odszerekkel sz´ am´ıtott neutron héjkorrekci´ o a 146 Gd magra, mint a sim´ıt´ asi szélesség f¨ uggvénye. Az egyrészecske-potenci´ al Woods– Saxon-potenci´ al spin-p´ alya taggal. A g¨ orb¨ uletkorrekci´ o foka p = 14. A sim´ıt´ o f¨ uggvényeket Cosh-t´ıpus´ u kezd˝ o sim´ıt´ o f¨ uggvényekb˝ ol ´ allap´ıtjuk meg.

teljes¨ ulését kvantitat´ıvv´ a tehetj¨ uk, ha meghat´ arozzuk a héjkorrekci´ o teljes vari´ aciój´ at az adott γ intervallumon bel¨ ul. Az 5.13. ábr´ at nézve az MWCC módszernek teljes variációja 0.3 MeV, m´ıg a PCC módszeré 3 MeV. Harmonikus oszcillátorn´ al az MWCC módszer héjkorrekci´ oj´ anak a teljes vari´ aciója csak 0.01 MeV. A plat´ ofeltétel természetesen nem teljes¨ ul olyan j´ ol realisztikus potenciáln´ al, mint harmonikus oszcill´ ator esetében. A görb¨ uletkorrekci´ o fokát´ ol val´ o f¨ uggés ugyanolyan mérték˝ u, mint a harmonikus oszcillátor esetén volt. Az MWCC módszer eredményei gyakorlatilag f¨ uggetlenek a p paramétert˝ol. PCC, DCC és BPCC módszereknél a héjkorrekci´ o érzékeny a p értékre. A héjkorrekci´ os módszerben a görb¨ uletkorrekci´ o fokát és a sim´ıt´ asi tartományt a plat´ ofeltétel határozza meg. Néhány esetben, pl. egyes könny˝ u atommagokn´ al a plat´ ofeltétel nem teljes¨ ult [26]. Nézz¨ uk meg, hogy mi a helyzet az u ´j módszereknél. Vizsgáljuk ezért a 40 Ca k¨ onny˝ u atommagot. A 40 Ca neutron héjkorrekci´ oj´ at az 5.15. ábra mutatja. Az eredményeket PCC és MWCC módszerrel szám´ıtottuk ki. A g¨ orb¨ uletkorrekci´ o foka p = 6, p = 8 és p = 10 volt. A részecskeszám most csak 20 volt, de hasonló eredmény figyelhet˝ o meg, mint a kor´ abbi szám´ıt´ asainkn´ al, ahol a


62

1 0

δE

[MeV]

-1 -2

PCC p = 6 PCC p = 8 PCC p = 10 MWCC p = 6 MWCC p = 8 MWCC p = 10

-3 -4 -5 -6 10

15

γ

20 [MeV]

25

30

5.15. ábra. K¨ ul¨ onb¨ oz˝ o m´ odszerekkel sz´ am´ıtott neutron héjkorrekci´ o a 40 Ca magra, mint a sim´ıt´ asi szélesség f¨ uggvénye. Az egyrészecske-potenci´ al Woods– Saxon-potenci´ al spin-p´ alya taggal. A g¨ orb¨ uletkorrekci´ o foka p = 6, p = 8 és p = 10. A sim´ıt´ o f¨ uggvényeket Gauss kezd˝ o sim´ıt´ o f¨ uggvényekb˝ ol ´ allap´ıtjuk meg. részecskeszám 82 volt. A héjkorrekci´ o a γ f¨ uggvényében stabilabb az MWCC módszernél, mint a PCC módszernél. A görb¨ uletkorrekci´ o fokát´ ol val´ o f¨ uggés ar´ ol leolvasnem olyan jó, mint a nehezebb 146 Gd mag esetében. Az 5.15. ábr´ hat´ o, hogy az MWCC módszer még a könny˝ u magtartományban is pontosabb eredményeket ad, mint a PCC módszer.

6. fejezet

Egy u ´ j, fenomenologikus magpotenci´ al Az atommagok rezonanciaállapotai napjainkban u ´jra a figyelem k¨ ozéppontj´ aba ker¨ ultek a radioakt´ıv nyal´ abokat használ´ o gyors´ıt´ okban el˝o´ all´ıtott nem, vagy gyengén köt¨ ott magoknak k¨ oszönhet˝ oen. Ezeknek a magoknak az elméleti le´ır´ asára u ´j modelleket vezettek be, pl. a Gamow-héjmodellt [50], ami a héjmodell olyan által´ anos´ıt´ asa, amiben az egyrészecske-bázis komplex energiáj´ u rezonanci´ akat (Gamow-állapotokat) és szór´ asi állapotokat is tartalmaz [51, 52]. A szám´ıt´ asokban használt egyrészecske-potenciál Woods–Saxon alak´ u, mivel onkonzisztens szám´ıt´ ¨ asok alapján az egy nukleon ´ altal érzékelt er˝os kölcsönhat´ as átlagos er˝ossége jól közel´ıthet˝ o a fenomenologikus WS-potenci´ allal (2.2.39), kiegész´ıtve egy a WS-potenciál deriv´ altj´ aval megegyez˝o alak´ u spin-p´ alya taggal (2.2.40). Mivel azonban a WS-potenci´ al hatót´ avols´ aga végtelen, a rövid hat´ ot´ avols´ ag´ u mager˝ok le´ır´ asához a csonkolt változat´ at használj´ ak, amiben egy véges Rmax t´ avols´ agon t´ ul a potenciált null´ aval teszik egyenl˝ové. Gyakorlati szám´ıt´ asokhoz csak a csonkolt alakot (2.2.41) alkalmazzák. (A v´ ag´ as miatt a potenciál deriváltja nem létezik az r = Rmax pontban.) A spin-p´ alya tagra ugyanilyen v´ ag´ ast alkalmaznak, vagyis a fenomenologikus potenciál Rmax -on t´ ul null´ aval egyenl˝ o. Megfelel˝o Ras Rmax sugarat választva illeszthetj¨ uk a radi´ alis Schr¨ odinger-egyenlet megoldását a (2.2.19) egyenletbeli aszimptotikus megoldáshoz és kiszám´ıthatjuk az S-mátrix p´ olusainak helyét az E komplex energias´ıkon, vagy a k hull´ amszám-s´ıkon. A k¨ ot¨ ott állapoti p´ olusok helyének numerikus meghatározásával a 2.3. részben már foglalkoztunk. A 63

´ FENOMENOLOGIKUS MAGPOTENCIAL ´ 6. FEJEZET: EGY UJ,

64

p´ olusoknak a komplex k-s´ıkon val´ o tipikus elhelyezkedését a 2.1. ábr´ an mutattuk be. Ezen p´ olusok köz¨ ul azoknak van val´ odi fizikai tartalma, amelyek a val´ os tengelyekhez közel fekszenek. Egy adott parciális hull´ amban által´ aban egy keskeny és több széles rezonancia találhat´ o. Köztudott, hogy a keskeny rezoag´ asi sugárt´ ol [53], azonban a széles nanci´ ak helyzete gyengén f¨ ugg az Rmax v´ rezonanci´ ak esetén ez a f¨ uggés jóval er˝osebb, ami a csonkolt WS-potenciál kellemetlen tulajdons´ aga. A 6.1. ábra erre a f¨ uggésre mutat néh´ any péld´ at. 0 Rmax = 12 Rmax = 15

-0.2

Im(k)

-0.4

-0.6

-0.8

-1 0

0.5

1

1.5 Re(k)

2

2.5

3

6.1. ábra. Az 1h11/2 rezonancia p´ olusainak helyzete a komplex k-s´ıkon, a Woods–Saxon-potenci´ al alapj´ an, a k¨ ovetkez˝ o paraméterértékek mellett: V0 =50 olve), valamint MeV, R=4.6 fm, a=0.65 fm és Rmax =15 fm (plusszal jel¨ Rmax =12 fm (csillaggal jel¨ olve). A k = (0.705, −0.027) fm−1 , E = (10.49, −0.81) MeV értékeknél találhat´ o 1h11/2 rezonancia kivételével, amely gyakorlatilag f¨ uggetlen az Rmax értékét˝ol, minden más rezonancia helyzete nagyon er˝osen f¨ ugg t˝ole. A kor´ abban t´ argyalt héjkorrekci´ o szám´ıt´ asokn´ al köt¨ ott állapotokat haszn´ altunk, s ezek helye érzéketlen volt az Rmax értékére. Vannak azonban olyan mennyiségek, amelyek szám´ıt´ asán´ al fontos lehet a szélesebb rezonanciák pontos elhelyezkedése. A Green-f¨ uggvény, illetve a válaszf¨ uggvény kontinuum RPA [54] k¨ ozel´ıtésben t¨ ortén˝ o pólus kifejtésében nagyon hasznosnak bizonyultak a széles rezonanciák. Az Rmax f¨ uggés megmagyarázhat´ o, ha perturb´ aciószám´ıt´ as seg´ıtségével kiszám´ıtjuk egy p´ olus energiáj´ anak változását. Jelölj¨ uk az n-edik pólus alis hull´ amf¨ uggvényt ui (r, kn )-el energi´ aj´ at en -el, a hozzá tartozó normált radi´

65

WS az Rmax sug´ arn´ al vágott vtr (r) potenciálban. (Az i index itt n mellett az l, j kvantumsz´ amokat is tartalmazza.) A pólusokban vett megold´ asok normál´ asához a [55] munk´ aban szerepl˝o Berggren-féle által´ anos´ıtott skal´ arszorzatot és a [56] munk´ aban bevezetett komplex forgatást használtuk. N¨ ovelj¨ uk meg az Rmax lev´ ag´ asi sugarat ∆R-el. Ekkor a p´ olus energiáj´ anak megváltozását els˝orendben a következ˝o kifejezés adja: Rmax +∆R v W S (r)u2i (r, kn )dr = 0 . (6.0.1) ∆en = Rmax

Mivel a (2.2.39) egyenletbeli v W S (r) le nem vágott potenciál az integr´ aciós tartom´ anyon nem nulla, az energia ∆en megváltozása a radiális hull´ amf¨ uggvény aciós tartományon vett viselkedését˝ol f¨ ugg. Er˝ osen köt¨ ott ui (r, kn ) integr´ allapotok és keskeny rezonanciák esetén az ui (r, kn ) f¨ ´ uggvény értéke ebben a altoztat´ asa miatti energiaeltolód´ as elhanyatartom´ anyban kicsi, ´ıgy az Rmax v´ golhat´ o. Széles rezonanciák esetén azonban az ui (r, kn ) radi´ alis hull´ amf¨ uggvény értéke a tartományon nagy, ami nagy ∆en értékeket eredményezhet. Mivel a publik´ aciók többsége nem ad meg konkrét Rmax értékeket, a széles rezonanciák helyzetének bizonytalans´ aga emiatt jelent˝os lehet. A potenciál sim´ıt´ asi munk´ ankban [57] az volt a célunk, hogy bevezess¨ unk egy olyan potenciált, amely már egy véges ρ értéknél egzaktul null´ av´ a válik, és a deriváltjai folytonosak (még az r = ρ pontban is). Ilyen potenci´ al esetén ol, ha Ras ρ. a pólusenergia biztosan nem fog f¨ uggni az Ras illesztési sugárt´ Erre alkalmas lehet a következ˝o f¨ uggvényalak: r2 −e r2 −ρ2 , ha r < ρ (6.0.2) fρ (r) = 0 , ha r ρ , mert lim fρ (r) = 0 .

r→ρ

(6.0.3)

Ennek az alaknak kellemes matematikai tulajdons´ aga, hogy minden rend˝ u deriv´ altja elt˝ unik az r = ρ pontban: dn fρ (r) |r=ρ = 0, drn

n = 0, 1, 2, . . .

(6.0.4)

Vagyis az n-ed rend˝ u deriv´ altak még az r = ρ pontban is folytonosak. Ilyen t´ıpus´ u potenciálra példa lehetne a következ˝o egyszer˝ u alak: vN (r) = c0 fρ (r) ,

(6.0.5)

66


ami azonban jelent˝ osen k¨ ul¨ onb¨ ozik a v W S (r) potenciált´ ol, ugyanis nem tartalmaz a WS alak diffuzitásának megfelel˝o paramétert. WS Mivel a (2.2.41) egyenletbeli csonkolt vtr (r) potenciálnak négy paramétere van (V0 , R, a és Rmax ), célszer˝ u ezt egy olyan véges potenciállal közel´ıteni, aminek szintén négy szabad paramétere van. Az u ´ j potenci´ al alakj´ at a mag fel¨ uletének közelében kell jav´ıtanunk, ezért olyan tagot adunk hozz´ a, amelynek itt van a maximuma. Az fρ (r) els˝o deriváltja fρ (r) =

r2 2rρ2 e r2 −ρ2 2 2 −ρ )

(r2

(6.0.6)

épp megfelel˝oen viselkedik. Az u ´j (SV) potenci´ al v SV (r) = −V0 F SV (r)

(6.0.7)

alak´ u lesz, ahol az F SV (r) alak a következ˝o lineáris kombin´ ació: F SV (r) = c0 fρ0 (r) + c1 fρ 1 (r) = F SV (r, c0 , c1 , ρ0 , ρ1 ) .

(6.0.8)

A (2.2.39) egyenletbeli v W S (r) potenciál a következ˝o formáj´ u: v W S (r) = −V0 F W S (r) , ahol F W S (r) =

(6.0.9)

1

(6.0.10) r−R . 1+e a Annak érdekében, hogy az u ´j potenci´ al alakja a lehet˝ o legjobban illeszkedjen a (6.0.10) egyenletbeli WS alakhoz, a k¨ ovetkez˝o integr´ alt, mint az u ´j paraméterek f¨ uggvényét, minimalizálnunk kell: ρ> WS ∆(ρ0 , ρ1 , c0 , c1 ) = [F SV (r, c0 , c1 , ρ0 , ρ1 ) − Ftr (r)]2 dr , (6.0.11) 0

WS ahol ρ> = max(ρ0 , ρ1 ) és Ftr (r) a (2.2.41) egyenlet alapj´ an WS (r), ha r < Rmax F WS Ftr (r) = 0, ha r Rmax .

(6.0.12)

A következ˝okben megprób´ aljuk reproduk´ alni az A = 50 tömegszám´ u mag WS-potenciálj´ at a következ˝o tipikus paraméterértékek mellett: V0 = 50 MeV, r0 = 1.25 fm, a = 0.65 fm, Rmax = 15 fm.

67

A többv´ altozós ∆ funkcion´ al abszol´ ut minimum´ anak megtalál´ asához el˝oször a Downhill-szimplex módszert [58] használtuk véletlenszer˝ uen kiv´ alasztott kezd˝o szimplexekkel, majd a Powell-módszerre [59] váltottunk. Az illesztési integrál minim´ alis értéke ∆ = 0.136-nak adódott, a k¨ ovetkez˝o paraméterértékeknél: an jól ρ0 = 7.1 fm, ρ1 = 4.78 fm, c0 = 0.996, c1 = −0.292. A 6.2. ábr´ l´ athat´ o, hogy a (6.0.8) egyenletben bemutatott u ´j, véges potenciál ezekkel a paraméterekkel jól visszaadja a centr´ alis WS-potenciálalakot. 0

v(r) [MeV]

-10

SV WS

-20 -30 -40 -50 0

2

4

6

8

10

r [fm]

6.2. ábra. A Woods–Saxon-potenci´ al centr´ alis tagj´ anak (V0 =50 MeV, R=4.6 fm, a=0.65 fm) és a SV-potenci´ alnak az ¨ osszehasonl´ıt´ asa (ρ0 =7.1 fm, ρ1 =4.78 fm, c0 =0.996 és c1 =–0.292). A két alak közötti legnagyobb eltérés a k¨ uls˝ o régióban figyelhet˝ o meg, mivel at, a csonkolt WS-potenci´ al az u ´j potenci´ al ρ> = ρ0 = 7.1 fm-nél eléri a null´ pedig ezt csak 15 fm-nél teszi. Megprób´ altunk o¨sszef¨ uggéseket találni az u ´j potenciál és az illesztett WS-potenciál paraméterei között. Ebben az esetben alv¨ olgy sugara, a ρ1 = 4.78 fm sugár egy kicsit nagyobb, mint a WS-potenci´ uk az összef¨ uggés által´ anosság´ at, 1.25A1/3 ≈ 4.6 fm. Azért, hogy ellen˝orizz¨ megváltoztattuk az A tömegszámot a WS-potenciálban, R = 1.25A1/3 , és kiszám´ıtottuk a legjobb illeszkedést adó paraméterértékeket. Azt találtuk, hogy o értékkel, ρ1 /A1/3 jó közel´ıtéssel megegyezik egy r0 -nál kicsivel nagyobb a´lland´ teh´ at a ρ1 paraméter a WS-potenciál R sugarára hasonl´ıt. A ρ0 , ρ1 sugarak k¨ ul¨ onbsége ugyanazt a szerepet tölti be, mint a WS-potenci´ al diffuzitás pa-


68

ramétere, ugyanis a nagyon k¨ onny˝ u (A < 28) magok kivételével fennáll a ρ0 − ρ1 ≈ 4a

(6.0.13)

osszef¨ ¨ uggés. A két fenomenologikus potenciál összehasonl´ıt´ asa érdekében fontos az altaluk gener´ ´ alt egyrészecske-spektrumok összehasonl´ıt´ asa. Ahhoz, hogy reális fizikai héjstrukt´ ur´ at kapjunk, helyesen kell meg´ allap´ıtanunk a spin-p´ alya potenciál er˝osségét és alakját. A GAMOW [34] program seg´ıtségével kiszám´ıtottuk a köt¨ ott és rezonancia egyrészecske-állapotokat, Vso -t 10 MeV-nek véve a (2.2.40) egyenletben. A WS-potenci´ al esetében kapott értékeket a 6.1. tábl´ azat második oszlopa tartalmazza. n,l,j 1s1/2 1p3/2 1p1/2 1d5/2 1d3/2 2s1/2 1f7/2 1f5/2 2p3/2 2p1/2 2d5/2 2d3/2 1g9/2 1g7/2

Energia(WS) −39.14 −30.15 −28.93 −20.26 −17.67 −17.15 −9.81 −5.72 −6.78 −5.50 (1.05, −0.23) (1.93, −0.92) (0.72, −8.8 × 10−3 ) (5.58, −0.30)

Energia(SV) −38.96 −30.13 −28.50 −20.53 −17.16 −17.29 −10.42 −5.05 −6.78 −5.03 (1.29, −0.29) (2.85, −1.61) (−0.10, 0.0) (6.58, −0.40)

6.1. tábl´ azat. K¨ ot¨ ott és rezonancia neutron egyrészecske-energi´ ak ¨ osszehasonl´ıt´ asa WS-potenci´ al és a SV-potenci´ al esetében az A=50 magra. Az ¨ osszes energia MeV egységben van megadva. Az u ´ j SV-potenci´ al esetében a spin-pálya tagot a szokásos módon a (6.0.7) egyenletben szerepl˝o centrális potenciál deriv´ altja (1/r)-szeresének vett¨ uk: SV (r) vso

SV

cso = − rc 2(l · s) dv dr (r) = 0 2ρ2 (3r 4 −ρ4 ) = − crso 2(l · s) fρ 0 (r) + cc10 fρ1 (r) (r1 2 −ρ2 )41 . 1

(6.0.14)

69

A 6.1. tábl´ azat harmadik oszlopában azok a köt¨ ott és rezonancia-energiaszintek ´llnak, amelyeket az u a ´j potenci´ allal (6.0.8) és az u ´ j spin-p´ alya taggal (6.0.14) kaptunk cso = 0.267c0 esetén. Ezzel a csatolási álland´ oval siker¨ ult a legjobban illeszten¨ unk az adatokat a legkisebb négyzetek módszerének seg´ıtségével. Láthat´ o, hogy a WS-potenci´ al által generált spektrum héjstrukt´ ur´ aj´ at siker¨ ult elfogadhat´ oan reproduk´ alni a SV-potenci´ allal. A legnagyobb eltérések az 1f5/2 (0.67 MeV) és az 1f7/2 (0.61 MeV) pály´ ak esetén adódnak. Le kell ellen˝ orizn¨ unk, hogy nehéz magok esetén is visszakapjuk-e a WS-potenciál spektrumát, ezért kiszám´ıtottuk az egyrészecske neutron-állapotokat a 208 P b magra. A WSpotenciálhoz a paramétereket a [60] munk´ ab´ ol vett¨ uk (V0 = 44.4 MeV, r0 = 1.27 fm, a = 0.7 fm, Rmax = 15 fm, Vso = 16.5 MeV). Ezt illesztve a (6.0.8) egyenletbeli alakkal, a k¨ ovetkez˝o paraméter értékeket kaptuk: ρ0 = 10.963 fm, alis potenciálalakot ´ıgy jól ρ1 = 8.328 fm, c0 = 0.983 és c1 = −0.997. A centr´ reproduk´ altuk. Az u ´j spin-p´ alya tagban a cso = 0.38c0 csatolási álland´ o adta a legjobb illeszkedést a WS-potenciálhoz, minden k¨ ot¨ ott energiaszintnél. A 6.2. tábl´ azat tartalmazza a WS-potenciál, illetve az u ´j potenci´ alb´ ol szám´ıtott Fermi-szint feletti egyrészecske-energiákat, lehet˝ové téve azok összehasonl´ıt´ asát.

n,l,j 2g9/2 1i11/2 3d5/2 1j15/2 4s1/2 3d3/2 2g7/2 3f7/2 2h11/2 3f5/2 1k17/2 1j13/2

Energia(WS) −3.93 −2.80 −2.07 −1.88 −1.44 −0.78 −0.77 (2.10, −0.87) (2.25, −0.026) (2.70, −2.32) (5.03, −1.26 × 10−3 ) (5.41, −9.4 × 10−3 )

Energia(SV) −3.92 −2.81 −2.00 −1.97 −1.31 −0.63 −0.50 (2.33, −0.95) (2.41, −3.1 × 10−2 ) (3.45, −2.59) (4.87, −9 × 10−4 ) (5.36, −8 × 10−3 )

6.2. tábl´ azat. Fermi-szint feletti k¨ ot¨ ott és rezonancia neutron egyrészecskeenergi´ ak ¨ osszehasonl´ıt´ asa a WS-potenci´ al és a SV-potenci´ al esetében az A=208 magra. Az ¨ osszes energia MeV egységben van megadva.


70

A részecskeszám f¨ uggvény Nd (E) =

di

(6.0.15)

i: ei <E

módon van értelmezve. A WS-potenciálb´ ol, valamint az u ´j potenci´ alb´ ol kapott köt¨ ott energiaszintek közötti összef¨ uggést a 6.3. ábra mutatja, – az egyezés l´ athat´ oan nagyon j´ o. 200 SV WS

Nd(E)

150

100

50

0

-40

-30 E

-20 [MeV]

-10

0

6.3. ábra. Részecskesz´ am f¨ uggvények ¨ osszehasonl´ıt´ asa a SV-potenci´ al és a WSpotenci´ al esetén a 208 P b magra.

6.1.

Tov´ abbi vizsg´ alatok

´ Ujabban azt vizsg´ aljuk, hogy az S-mátrix p´ olusai hogyan v´ andorolnak a magpotenciál V0 er˝osségének f¨ uggvényében a komplex k-s´ıkon (E-s´ıkon) k¨ ul¨ onb¨ oz˝o l értékek esetén a levágott WS-potenciálban, illetve a SV-potenci´ alban. A p´ olusok altal le´ırt görbéket trajektóri´ ´ anak nevezik. Ismeretes, hogy lényeges k¨ ul¨ onbség van az l = 0 és az l > 0 trajektóri´ ak között [61]. A WS-potenci´ albeli p´ olus trajektóri´ akat Bang és munkat´ arsai vizsgált´ ak [62], és azt tapasztalták, hogy a rezonancia-trajektóri´ ak er˝osen f¨ uggnek az Rmax levág´ asi sugárt´ ol. A mi kezdeti vizsgálataink [63] meger˝os´ıtik ezt a f¨ uggést. Azt találtuk, hogy a p´ olusok trajektóri´ ai u ´gy f¨ uggnek a WS-potenci´ al Rmax értékét˝ol, hogy a nagyobb Rmax

´ ´ 6.1. TOVABBI VIZSGALATOK

71

érték esetén a trajektória V0 → 0 kezd˝opontj´ anak Im(k0 ) értéke ford´ıtottan ar´ anyos az Rmax értékkel, tehát Rmax Im(k0 ) értéke egy adott rezonanciára alland´ ´ o. Megjegyezz¨ uk, hogy az a k¨ ozkelet˝ u hiedelem, hogy a p´ olus helye gyakorlatilag nem f¨ ugg Rmax -tól, ezért Rmax pontos értékét nem is sz¨ ukséges megadni, téves. A SV-potenciál esetén ilyen f¨ uggés természetesen nem létezik. Tervezz¨ uk még a SV-potenciál kipr´ ob´ al´ asát a f´ uzi´ os és a rugalmas szór´ asi mérések egyidej˝ u elméleti le´ır´ asában is. Ez ut´ obbira ugyanis a WS-potenci´ al nem volt alkalmas [64].

7. fejezet

¨ Osszefoglal´ as Dolgozatomban két f¨ uggvénysim´ıt´ asi probléma megoldásával foglalkoztam. Az els˝o probléma a Mic-Mac magmodellben felhasznál´ asra ker¨ ul˝ o héjkorrekci´ o pontosabb kiszám´ıt´ asa volt. A Mic-Mac modellben az atommag kötési energiáj´ at két nagyon k¨ ul¨ onb¨ oz˝o magmodell kombin´ al´ asával szám´ıtjuk. A mikroszkopikus magmodellben a nukleonok mozgását a kvantummechanika keretében végezz¨ uk, a makroszkopikus modellben a magot makroszkopikus objektumnak, pl. folyadékcseppnek tekintj¨ uk, amire a klasszikus mechanika vonatkozik. Mivel a két modellbeli kötési energiák egyszer˝ u összeadásával a nukleonok k¨ ozötti k¨ olcsönhat´ asokat dupl´ an számoln´ ank, ezért a makroszkopikus energiához a mikroszkopikusan számolt kötési energiának csak azt a részét szabad hozzáadni, amib˝ ol a simán változó részt már leválasztottuk. Ez ut´ obbi a héjkorrekci´ o. A mikroszkopikus le´ır´ ast az egyszer˝ uség kedvéért az egyrészecske-héjmodell keretében végezt¨ uk, és az ennek eredményeképpen kapott diszkrét energiaspektrumot pr´ ob´ altuk kisim´ıtani. A sim´ıt´ as módj´ ara kerest¨ unk olyan m´ odszereket, amelyek akkor is megb´ızhat´ oan alkalmazhat´ ok, ha a mag spektrumának folytonos energiáj´ u részét is figyelembe vessz¨ uk. A kor´ abban erre az esetre alkalmazott módszerek nem voltak mentesek önkényes választásoktól a sim´ıt´ as folyamat´ aban alkalmazott technikai paramétereket illet˝oen. Az eddigi módszerek a sim´ıt´ ast vagy a n´ıv´ os˝ ur˝ uségben, vagy a részecskeszámban alkalmazt´ ak. Strutinsky héjkorrekci´ os módszerében a sim´ıtott n´ıv´ os˝ ur˝ uséget konvol´ uci´ oval szám´ıtj´ ak ki. A görb¨ uletkorrekci´ onak az a célja, hogy teljes´ıtse az onkonzisztencia-feltételt: a sim´ıt´ ¨ asnak (konvol´ uci´ onak) egy sima f¨ uggvényt v´ altozatlanul kell hagynia. Polinomi´ alis görb¨ uletkorrekci´ onak (PCC) nevezz¨ uk azt a módszert, amikor a sim´ıt´ ashoz használt f¨ uggvényt u ´gy kapjuk meg, hogy 73

74

¨ ´ 7. FEJEZET: OSSZEFOGLAL AS

a kezd˝o sim´ıt´ o f¨ uggvényt megszorozzuk egy polinommal. Egyik jav´ıtott módszer¨ unk a polinomi´ alis görb¨ uletkorrekci´ o azon esete, amiben a végtelen hatót´ avols´ ag´ u sim´ıt´ of¨ uggvénynek véges hatót´ avols´ ag´ ura cserélésével ér¨ unk el javul´ ast [39]. Ez a változtat´ as lehet˝ové teszi, hogy egyetaj´ u egyrészecske-állapot hat´ asát egy véges [ei − γ, ei + γ] interlen ei energi´ vallumra lokaliz´ aljuk. Ez a lokaliz´ ació tette lehet˝ové, hogy a módszer alkalmazhatósági tartomány´ at széles´ıts¨ uk. Így könnyebben kisz´ am´ıthat´ ov´ a vált a héjkorrekci´ o az elhullat´ asi vonalak k¨ ozelében elhelyezked˝o, kismértékben köt¨ ott magok esetében, illetve könny˝ u magok esetén is. Ez az u ´j módszer az u ń. lok´ alis plat´ ofeltételt használja. Megmutattuk, hogy az u ´j módszer proton és neutron héjkorrekci´ ok kiszám´ıt´ asán´ al egyar´ ant jól m˝ uk¨ odik. Vizsgáltuk még azt a módszert is, amelyben meghagyjuk a végtelen hat´ ot´ avols´ ag´ u sim´ıt´ o f¨ uggvényt, azonban ebb˝ ol többféle szélesség˝ u tagokb´ ol osszeáll´ıtott alkalmas lineáris kombin´ ¨ aciót használunk, amit t¨ obb szélesség˝ u onak (MWCC) nevez¨ unk. Sz´ or´ asi állapotok nélk¨ uli pog¨ orb¨ uletkorrekci´ tenciálokra (harmonikus oszcill´ ator és hasonló potenciálok) a héjkorrekci´ o a sim´ıt´ asi szélesség f¨ uggvényében minden görb¨ uletkorrekci´ os módszernél gyakorlatilag álland´ o, tehát kielég´ıti a plat´ ofeltételt. A platótartom´ any mérete azonban az MWCC módszernél sokkal nagyobb, mint a t¨ obbi módszernél. Az MWCC módszernél belép˝ o extra paraméter alkalmas megválasztásával elért¨ uk, hogy széles részecskeszám tartományon j´ ol m˝ uk¨ od˝ o sim´ıt´ o eljár´ ast alkalmazzunk. Az MWCC módszer igen fontos tulajdons´ aga, hogy használat´ aval szór´ asi allapotokat is tartalmaz´ ´ o spektrum esetén is teljes¨ ul a plat´ ofeltétel [40]. Mindkét sim´ıt´ asi eljár´ asnak nagy el˝onye, hogy kiterjeszti a héjkorrekci´ o ara, ami a kor´ abbi megb´ızhat´ o szám´ıt´ asát a könnyebb atommagok tartom´ any´ módszerek alkalmazásával nem volt lehetséges. A véges hatót´ avolság´ u PCC módszerrel még a neutronelhullat´ asi vonal közeli magokra is kiterjeszthet˝o a módszer. A kétféle sim´ıt´ asi módszer egymáshoz val´ o viszony´ anak részletes feltár´ asára tov´ abbi vizsgálatokat tervez¨ unk. A második sim´ıt´ asi feladatban a fenomenologikus magpotenci´ al hib´ aj´ at jav´ıtottuk ki egy alkalmasabb u ´j potenci´ alalak bevezetésével. A héjkorrekci´ o szám´ıt´ asainkn´ al használt egyrészecske Hamilton-operátorban a lev´ agott WS t´ıpus´ u fenomenologikus potenci´ alalakot használtuk. A lev´ ag´ as miatt ez az alak matematikailag nem esztétikus, hiszen a levág´ as helyén szakadása van, s itt a deriv´ altja nem létezik. Az önkényes távols´ agban lév˝o levág´ as emellett jelent˝os hat´ assal van a széles rezonanciák komplex energiáj´ ara, ami bizonyos esetekben jelent˝ os bizonytalans´ ag forr´ asa lehet. unk egy u ´j potenci´ alalakot, az u ń. SV alaEnnek kik¨ uszöb¨ olésére bevezett¨

75

kot [57], aminek deriv´ altjai minden¨ utt folytonosak, és a SV-potenciál véges hat´ ot´ avols´ ag´ u. Megmutattuk, hogy a SV-potenci´ al paramétereinek alkalmas megválasztásával a WS alakkal sz´ amolt energiák és a héjszerkezet jól k¨ ozel´ıthet˝ ok. Ezért javasoljuk az a´ltalunk bevezetett SV-potenciál használat´ at a levágott WS forma helyett.

Summary My PhD thesis deals with two sorts of smoothing tasks. The first task is to find an improved method for the calculation of the shell correction to be used in the Mic-Mac model. In the Mic-Mac model the binding energy of the nucleus is calculated by combining two very different nuclear models. In the microscopic model we calculate the motion of the nucleons in the nucleus in the framework of quantum mechanics. In the macroscopical model the nucleus is treated as a macroscopic object, and we describe it by the classical mechanics. If we would simply add the binding energies calculated in the two models, we would doublecount a major parts of the binding energy. Therefore we should add to the macroscopic binding energy only those part of the microscopic binding energy from which the smooth part has been deducted. This part of the microscopic energy is the shell correction. For the sake of simplicity, we work in the simple single-particle shell model. We have to smooth the discrete energy spectrum resulted by the single-particle shell model. Our task is to find reliable smoothing methods for spectra including not only discrete part but a continuum of scattering states as well. Earlier methods used so far were not free from the uncertainties caused by choosing the technical parameters of the smoothing procedures. These methods used either smoothing of the level density or smoothing in the particle number variable. In the shell correction method introduced by Strutinsky the smoothed level density is calculated by using a convolution integral. The curvature correction should serve to fulfill the so-called self-consistency condition, which requires that the smoothing operation should not change a function which is already smooth. We call polynomial curvature correction the method in which the smoothing function is a product of the starting smoothing function and a polynomial. In one of our improved method we change the original smoothing function with infinite-range to a smoothing with finite-range [39]. This change made it possible to localize the effect of a single ei energy to a finite [ei − γ, ei + γ] interval. This localization helped us to broaden the range of applicability of

76

¨ ´ 7. FEJEZET: OSSZEFOGLAL AS

our method. Our method made it possible to calculate more reliable values of the shell corrections for slightly bound nuclei being in vicinity of the drip lines and also for light nuclei. Our new method uses the local plato condition and we proved that it can be applied for the calculation of proton and neutron shell corrections. In the first task, we studied another method in which we kept the infinite-range smoothing function but we used a suitable linear combination of smoothing functions with different widths. We called this method as multi width curvature correction (MWCC). If we apply any of the smoothing methods for potentials without continuum (harmonic oscillator like potentials), the plateau curves are practically independent of the smoothing width parameter, therefore the plateau condition is satisfied. However the length of the plateau is much wider for the MWCC method than for the other methods. By using a proper value for the extra parameter in the MWCC method, we get a properly working smoothing method for wide ranges of nuclei. An important feature of the MWCC method is that it works well even for potentials with scattering states and the plateau condition can be satisfied for these potentials too [40]. A great advantage of both smoothing procedures is that the range of the applicability can be extended for lighter nuclei, where the earlier methods could not be applied. The PCC method with finite-range can be used even for nuclei in the drip line region. We plan to carry out further studies for the relation of the two smoothing methods. In the second task, we cured an error of the widely used form of the phenomenological nuclear potential by introducing a new potential form. The singleparticle Hamiltonian used in the calculation of the shell correction contained a truncated Woods–Saxon potential form. From a mathematical point of view this form is not nice due to the sharp cut, since it has a discontinuity at the cutoff radius, where their derivatives are not defined. The positions of the broad resonances in the complex energy-plane do depend on the value of the cut-off radius and this dependence causes a source of uncertainty if the value of the cut-off radius is not specified. We introduced a new potential shape, the so-called SV potential, which has a finite-range and the new form and its derivatives are continuous in the whole range [57]. We showed how one can choose the parameters of the SV potential so that the single-particle energies calculated by using a WS potential shape are reproduced reasonably well. Since the shell structure of a WS potential can be reproduced by an SV potential too, we suggested to use the SV potential instead of the truncated WS potential.

Irodalomjegyz´ ek [1] K. Blaum, Phys. Rep. 425, 1 (2006). [2] D. Lunney, J. M. Pearson, C. Thibault, Rev. Mod. Phys. 75, 1021 (2003). [3] O. Takaharu, M. Takahiro, H. Michio, J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 25, 699-715 (1999). [4] I. O. Morales, P. Van Isacker, V. Velazquez, J. Barea, J. Mendoza-Temis, J. C. López Vieyra, J. G. Hirsch, A. Frank, Phys. Rev. C81, 024304 (2010). [5] S. Goriely, F. Tondeur, J. M. Pearson, At. Data Nucl. Data Tables 77, 311 (2001). [6] V. M. Strutinsky, Nucl. Phys. A95, 420 (1967). [7] V. M. Strutinsky, Nucl. Phys. A122, 1 (1968). [8] A. Bhagwat, X. Vi˜ nas, M. Centelles, P. Schuck, R. Wyss, Phys. Rev. C81, 053825 (2010). [9] F. Garcia, O. Rodriguez, J. Mesa, J. D. T. Arruda-Neto, V. P. Likhacchev, E. Garrote, R. Capote, F. Guzm´ an, Comp. Phys. Commun. 120, 57 (1999). [10] W. Dudek, S. Cwiok, P. Kaszynski, Int. J. Mod. Phys. E14, 377 (2005). [11] K. Mahata, S. Kailas, S. S. Kapoor, Prog. Part. Nucl. Phys. 59, 305 (2007). 77

´ IRODALOMJEGYZEK

78

[12] A. Dobrowolski, B. Nerlo-Pomorska, K. Pomorski, Act. Phys. Pol. 40, 705 (2009). [13] V. I. Zagrebaev, A. V. Karpov, W. Greiner, Phys. Rev. C81, 044608 (2010). [14] C. Yannouleas, U. Landman, Phys. Rev. B48, 8376 (1993). [15] S. N¨ aher, S. Bjørnholm, S. Frauendorf, F. Garcias, C. Guet, Phys. Rep. 285, 245 (1997). [16] S. Kr¨ uckeberg, G. Dietrich, K. L¨ utzenkirchen, K. Schweikhard, J. Ziegler, Phys. Rev A60, 1251 (1999). [17] F. Tondeur, Nucl. Phys. A383, 32 (1982). [18] K. Pomorski, Phys. Rev. C70, 044306 (2004). [19] A. Diaz-Torres, Phys. Lett. B594, 69 (2004). [20] C. K. Ross, R. K. Bhaduri, Nucl. Phys. A188, 566 (1972). [21] W. Nazarewicz, T. R. Werner, J. Dobaczewski, Phys. Rev. C50, 2860 (1994). [22] A. T. Kruppa, Phys. Lett. B431, 237 (1998). [23] T. Vertse, A. T. Kruppa, R. J. Liotta, W. Nazarewicz, N. Sandulescu, T. R. Werner, Phys. Rev. C57, 3089 (1998). [24] T. Vertse, A. T. Kruppa, W. Nazarewicz, Phys. Rev. C61, 064317 (2000). [25] M. Brack, R. K. Bhaduri, Semi-classical Physics, Addison-Wesley, Reading, Mass. (1997). [26] P. M¨ oller, J. R. Nix, W. D. Myers, W. J. Swiatecki, At. Data Nucl. Data Tables 59, 185 (1995). [27] G. G. Bunatian, V. M. Kolomietz, V. M. Strutinsky, Nucl. Phys. A188, 225 (1972). [28] M. Brack, H. C. Pauli, Nucl. Phys. A207, 401 (1973).

´ IRODALOMJEGYZEK

79

[29] S. E. Liverhant, Elementary Introduction to Nuclear Reactor Physics, John Wiley & Sons (1960). [30] C. Mahaux, H. A. Weidenm¨ uller, Shell-Model Approach to Nuclear Reactions, North-Holland Publ. Comp., Amsterdam, London (1969). [31] M. Abramowitz, I. A. Stegun, (Eds.). ”Orthogonal Polynomials.” Ch. 22 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing, New York, Dover (1972). [32] G. Szeg˝o, Orthogonal Polynomials, American Mathematical Society (1939). [33] R. D. Woods, D. S. Saxon, Phys. Rev. 95 (1954). [34] T. Vertse, K. F. P´ al, Z. Balogh, Comput. Phys. Commun. 27, 309 (1982). ¨ [35] W. Ritz, Uber eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik, Journal f¨ ur die Reine und Angewandte Mathematik, Vol. 135. (1909). [36] A. T. Kruppa, Z. Papp, Comput. Phys. Commun. 36, 59 (1985). [37] M. Bender, P. H. Heenen, P. G. Reinhard, Rev. Mod. Phys. 75, 121 (2003). [38] P. G. Reinhard, M. Bender, W. Nazarewicz, T. Vertse, Phys. Rev. C73, 014309 (2006). [39] P. Salamon, A. T. Kruppa, T. Vertse, Phys. Rev. C81, 067422 (2010). [40] P. Salamon, A. T. Kruppa, J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 37 105106 (2010). [41] R. K. Bhaduri, C. K. Ross, Phys. Rev. Lett. 27, 606 (1971). [42] B. K. Jennings, Nucl. Phys. A207, 538 (1973). [43] B. K. Jennings, R. K. Bhaduri, M. Brack, Phys. Rev. Lett. A34, 228 (1975). [44] B. K. Jennings, R. K. Bhaduri, Nucl. Phys. A237, 149 (1975). [45] B. K. Jennings, R. K. Bhaduri, M. Brack, Nucl. Phys. A253, 29 (1975).

[46] J. Dudek, Z. Szyma´ nski, T. R. Werner, Phys. Rev. C23, 920 (1981). [47] M. Centelles, P. Leboeuf, A. G. Monastra, J. Roccia, P. Schuck, X. Vi˜ nas, Phys. Rev. C74, 034332 (2006). [48] J. Roccia, P. Leboeuf, Phys. Rev. C76, 014301 (2007). [49] B. Mohammed-Azizi, D. E. Medjadi, Phys. Rev. C74, 054302 (2005). [50] N. Michel, W. Nazarewicz, M. Ploszajczak, T. Vertse, J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 36 013101 (2009). [51] R. Id Betan, R. J. Liotta, N. Sandulescu, T. Vertse, Phys. Rev. Lett. 89, 042501 (2002). [52] N. Michel, W. Nazarewicz, M. Ploszajczak, K. Bennaceur, Phys. Rev. Lett. 89, 042502 (2002). [53] A. I. Baz’ , Y. B. Zeldovich, A. M. Perelomov, Scattering, Reactions, and Decay in Non-relativistic Quantum Mechanics, IPST No. 5149 Jerusalem (1969). [54] P. Lind, R. J. Liotta, E. Maglione, T. Vertse, Z. Phys. A347, 231 (1994). [55] T. Berggren, Nucl. Phys. A109, 265 (1968). [56] B. Gyarmati, T. Vertse, Nucl. Phys. A160, 523 (1971). [57] P. Salamon, T. Vertse, Phys. Rev. C77, 037302 (2008). [58] J. A. Nelder, R. Mead, Comput. J. 7, 308 (1965). [59] W. H. Press, S. A. Theukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery, Numerical Recipes in FORTRAN, The Art of Scientific Computing, 2. Ed., Cambridge University Press, Cambridge (1992). [60] P. Curutchet, T. Vertse, R. J. Liotta, Phys. Rev. C39, 1020 (1989). [61] R. G. Newton, Scattering Theory of Waves and Particles, SpringerVerlag, New York (1982). [62] J. Bang, S. N. Ershov, F. A. Gareev, G. S. Kazacha, Nucl. Phys. A339, 89 (1980). [63] P. Salamon, T. Vertse, Phys. Rev. C, el˝ okész¨ uletben. 80

[64] A. Mukherjee, D. J. Hinde, M. Dasgupta, K. Hagino, J. O. Newton, R. D. Butt, Phys. Rev. C75, 044608 (2007).

81

A jel¨ olt publik´ aci´ oi Megjelent publik´ aci´ ok • P. Salamon, A. T. Kruppa, T. Vertse, New method for calculating shell correction, Phys. Rev. C81, 067422 (2010). • P. Salamon, A. T. Kruppa, Curvature correction in Strutinsky’s method, J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 37 105106 (2010). • P. Salamon, T. Vertse, New simple form for a phenomenological nuclear potential, Phys. Rev. C77, 037302 (2008). • P. Salamon, A. T. Kruppa, T. Vertse, Shell correction with finite-range smoothing, Atomki Annual Report (2008). • P. Salamon, A. T. Kruppa, Shell correction and function approximation, Atomki Annual Report (2007). • P. Salamon, T. Vertse, New simple form for a phenomenological nuclear potential, Atomki Annual Report (2007).

83

El˝ oad´ asok • Salamon P., F¨ uggvénysim´ıt´ asok magfizikai problém´ akban, MTA, Budapest, szeptember 15 (2010). • Salamon P., F¨ uggvénysim´ıt´ asok magfizikai problém´ akban, Atomki, EFO, Debrecen, szeptember 10 (2010). • Salamon P., Véges hat´ ot´ avols´ ag´ u s´ ulyf¨ uggvény alkalmaz´ asa a héjkorrekci´ o sz´ am´ıt´ as´ aban, Atomki, EFO, Debrecen, szeptember 15 (2009). • Salamon P., Héjkorrekci´ o sz´ am´ıt´ as véges hat´ ot´ avols´ ag´ u s´ ulyf¨ uggvénnyel, Magfizikus Tal´ alkozó, Jávork´ ut, szeptember 3-4 (2009). • Salamon P., F¨ uggvénysim´ıt´ as héjkorrekci´ o sz´ amol´ asra, DE Alkalmazott Matematika és Valósz´ın˝ uségszám´ıt´ as Tanszék, Debrecen, november 13 (2008). • Salamon P., F¨ uggvénysim´ıt´ as, DE Alkalmazott Matematika és Valósz´ın˝ uas Tanszék, Debrecen, május 11 (2006). ségszám´ıt´

El˝ ok´ esz¨ uletben l´ ev˝ o munk´ ak • P. Salamon, A. T. Kruppa, T. Vertse, Comparison of the new methods for calculating shell corrections. • A. Rácz, P. Salamon, T. Vertse, Trajectories of poles of the S-matrix in the SV potential.

84

magfizikai problémákban

Recommend Documents