Kopula Függvények Kalibrálása - Tudományos Diákköri Dolgozat -
Konzulens: Dr. Medvegyev Péter
Készítette: Bagaméry Gerg®, III. évf. Pénzügy és Számvitel BSc Pénzügy szakirány 2012. március 26.
A BCE Közgáz Campus Tudományos Diákköri Konferenciáját a TÁMOP-4.2.2/B-10/12010-0023 azonosítójú "A tudományos képzés m¶helyeinek átfogó fejlesztése a Budapesti Corvinus Egyetemen" cím¶ projektje támogatja.
A
Kivonat
dolgozatomban bemutatom a kopula függvényeket, mint a modern matematika széles
körben alkalmazott eszközeit, és egy speciális vonatkozását a kvantitatív pénzügyekben. Ezek után rátérek a kopula paraméterek becslésére, másnéven a kopula kalibrációra. Három eljárást is ismertetek (ML, IFM, CML), majd ezeket összevetem egy "vegytiszta" szimuláció során. Egy rövid fejezet erejéig szót ejtek a szintetikus CDO-k alapvet® karakterisztikáiról, majd ezek után bemutatom az árazásuk hátterében lév® matematikai gondolatmenetet. A dolgozatom hátralév® részében kipróbálom a Gauss és Studen tkopula modelleket a gyakorlatban, konkrétabban bemutatom az árazását egy szintetikus CDO-nak, melynek referencia portfóliója az iTraxx Europe CDS index 14. szériája. Végül rávilágítok a két modell különbségeire a CDO tranche spreadekre gyakorolt hatásaik tükrében. A dolgozatban bemutatott felület ábrázolásokat és szimulációkat MATLAB - ban és "R"-ben készítettem el. Rengeteg dolgozat és publikáció található, amely a válságot és hozzá köthet® derivatívákat boncolgatja. Szintén sok munka szól a válságban szerepet játszó Li-modellr®l, illetve általánosan a Gauss egyfaktoros modellr®l. Ezen munkák nagyrésze pontosan leírja a modell hibáit. Nekem nem célom ezeknek a hibáknak a részletes felfedése és tárgyalása. Dolgozatomban arra keresem a választ, hogy hogyan ragadható meg empirikusan a Gauss és Student t- kopulák közötti különbség a CDO-k árázásában.
Tartalomjegyzék
1. Bevezetés
3
2. Kopulák
5
2.1. Elliptikus kopulák . . . . 2.1.1. Gauss kopula . . 2.1.2. Student t- kopula 2.1.3. Mintavétel . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
3. A Kopulák kalibrálása 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.
Maximum Likelihood Módszer (ML) . . . . . . . Inference Functions for Margins Módszer (IFM) . Canonical Maximum Likelihood Módszer (CML) . A módszerek tesztelése . . . . . . . . . . . . . . .
4. A CDO-k bemutatása és árazásuk
4.1. A CDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. A szintetikus CDO árazása . . . . . . . . . 4.2.1. A cs®d intenzitás meghatározása . 4.2.2. A veszteség eloszlás meghatározása 4.2.3. A fair prémium megadása . . . . .
5. CDO árazás, egy numerikus példa 5.1. 5.2. 5.3. 5.4.
A hazárd függvény kalibrálása A kopula függvény kalibrálása A modell . . . . . . . . . . . . Eredmények . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
7 7 8 9
13
13 15 16 17
20
20 20 21 22 22
24
24 25 26 27
6. Összefoglalás
32
A. Kódok
33
1
Ábrák jegyzéke
2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.
Gauss kopula s¶r¶ségfüggvénye (R=0,1) . . . . . . . . . . . . . . . . Student t- kopula s¶r¶ségfüggvénye (R=0,1 ; ν =13) . . . . . . . . . . Gauss és Student t-mintavétel. 4000 szimuláció, R=0.5, ν =5 . . . . . Gauss és Student t- mintavétel. 20 000 szimuláció, R=0.5, ν =5 . . . . Gauss és Student t- mintavétel. 20 000 szimuláció, R=0.5, ν =5 . . . . Gauss és Student t- mintavétel. 4000 szimuláció, Dim=3, R=0.5, ν =5
. . . . . .
8 9 10 11 11 12
3.1. A Log-likelihood függvény maximalizálása . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
4.1. A determinisztikus hazárd ráták alakulása . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6.
29 29 30 30 31 31
A Gauss és a Student kopulával árazott tranche spread-ek alakulása Az Equity tranche árfelülete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Gauss kopulával árazott Mezzanine tranche-ok árfelülete . . . . . A Student kopulával árazott Mezzanine tranche-ok árfelülete . . . . A Gauss kopulával árazott Senior tranche-ok árfelülete . . . . . . . A Student kopulával árazott Senior tranche-ok árfelülete . . . . . .
2
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
1. fejezet Bevezetés
A
dolgozatom célja az elliptikus, Gauss és Student t- kopulák hatásának vizsgálata a
CDO-k árázásának tükrében. E két kopula vizsgálata nem véletlenül képzi tárgyát szakdolgozatok és publikációk hadának világszerte, hiszen a hitelportfólióban lév® elemek összetételéhez alapvet® eltéréssel állnak hozzá. A szakma kitüntetett gyelme e matematikai eszközök iránt a bonyolultabb derivatív termékek megjelenésével állítható párhuzamba, holott azok már Wassily Höeding 1940-es cikke óta ismertek. A strukturált derivatív termékek megjelenésével tulajdonképpen megtörtént a kopulák "újra feltalálása" melynek id®pontját a legtöbben David Li 2000.-ben megjelent cikkére tennék. Az ebben bemutatott modell esszenciális eszközévé vált a hitel portfólió cs®deloszlásának meghatározására, azonban mint kés®bb világossá vált, talán túl gyorsan ültették át az elméletet a gyakorlatba. A dolgozatban arra keresem a választ, hogy a kopula különböz® megválasztása és annak kalibrálása a piaci adatokhoz, milyen hatást gyakorol a CDO árazás eredményeire, nevezetesen arra vagyok kíváncsi, hogy milyen eltérés mutatkozik egy Gauss és egy Student t- kopulával elvégzett árazás eredményein a különböz® tranche-okra lebontva. Fontos megemlítenem, hogy a dolgozatban nem célom a Li modell és annak hibáinak részletes bemutatása annak ellenére, hogy a numerikus példa során erre a modellre építünk. Vizsgálódásainkat csupán a modell, különböz® kopulák használata mellett kinyert eredményeinek összehasonlítására korlátozzuk. A dolgozat során el®ször bemutatom a kopula függvényeket, mint a modern matematika univerzális, függ®ségi struktúra megjelenít®it. Vizsgálódásaink során kizárólag az elliptikus kopulákkal foglalkozunk, melyek bemutatása után rátérek az összehasonlításukra. Egy mintavételi algoritmus ismertetése után belátjuk, hogy a Student t- kopulából vett minták jobban koncentrálódnak a sarkokon, azaz használatukkal jobban modellezhet®ek az extrém esetek. Ezen tulajdonsága a t- kopulának igencsak kedvez® a modellezés szempontjából, hiszen nem nehéz belátni, hogy az extrém veszteségek el®fordulása a hitel portfólióban igencsak valószín¶ esemény lehet, f®leg ha a már el®fordult gazdasági recessziókra gondolunk. Ezek után bemutatok három becslési módszert melyek segítségével egy iterációs folyamat során meghatározhatjuk a kopula paramétereit egy diszkrét id®sor alapján. Megismerkedünk a lokális maximum problémájával majd a módszerek tesztelésére egy szintetikus, azaz ismert paraméterekkel rendelkez® id®sort generálunk és azokra 3
végezzük el a becslést, meg gyelve, hogy mekkora pontossággal kaptuk vissza a bemeneti paramétereket. A becslések során nem elhanyagolandó szempont a számítási id® sem, amely szintén fontos lehet a kalibrációs eljárás megválasztásánál. Ezek után rátérek a szintetikus CDO-k alapvet® karakterisztikáinak ismertetésére, ahol f®ként a dolgozatban bemutatott modellezés szempontjából releváns témák kerülnek feldolgozásra. Szintén bemutatásra kerül az árazás matematikai háttere mely elméleteket a dolgozat végén átültetünk a gyakorlatba. A referencia portfólió cs®d eloszlásának meghatározása, mely terület a leginkább vitatott a témában, szintén bemutatásra kerül, amely gyakorlati alkalmazása, a hazárd függvény kalibrálásának bemutatása után válik végleg világossá. Végül egy gyakorlati példán keresztül megkapjuk a választ a dolgozat elején feltett kérdésre, azaz rávilágítunk a két különböz® kopulával elért eredmények különbségeire.
4
2. fejezet Kopulák
A
kopulák az összefügg®ségi struktúra univerzális megjelenít®i, melyek segítségével két
vagy több változó együttes eloszlásának elemzését végezhetjük el. Széles körben alkalmazzák id®járás és gyógyszerkutatásokban, építészetben és a kvantitatív pénzügyekben. Leggyakrabban a portfóliók cs®d modellezését végezzük kopulákkal, mely során meghatározhatjuk, hogy az egyes termékek vesztesége milyen mértékben eredményezte a portfólió veszteségét. Ezen kívül még megvizsgálhatjuk, hogy a portfólióban lév® termékek közötti korreláció következtében fellép® veszteségek a portfólió veszteségének mekkora részét teszik ki. A következ®kben f®ként McNeil et al 2005 munkájára támaszkodunk.
1. De níció (Kopula). Egy d dimenziós kopula olyan
amely sztenderd egyenletes peremeloszlással rendelkezik.
C : [0, 1]d → [0, 1] leképzés,
A kopula az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: • C(U1 , ..., Ud ) minden Ui komponensében szigorú monoton növekv®. • az i − edik peremeloszlás, C(1, ..., 1, Ui , 1, ..., 1) = Ui azaz Ui = 1 lesz minden i 6= j
esetben.
• ∀ (a1 , ..., ad ), (b1 , ..., bd ) ∈ [0, 1]d és ai ≤ bi esetén 2 X i1 =1
...
2 X
(−1)i1 +...+id C(u1i1 , ..., udid ) ≥ 0
id =1
ahol uj1 = aj és uj2 = bj , ∀j ∈ {1, ..., d} Egy d - dimenziós kopula, bármely k - dimenziójú pereme is kopula, ahol teljesül 2 ≤ k ≤ d. A kopulák szakirodalmának talán legtöbbet hivatkozott tétele Sklar 1959-es elméletéb®l született, amely alapján bevezetésre kerül a kopulákkal való függ®ségi struktúra modellezése. 5
2. Tétel (Sklar). Legyen F egy d-dimenziós eloszlásfüggvény F1 , ..., Fd perem eloszlásokkal. Ekkor létezik egy C : [0, 1]d → [0, 1] kopula , amelyre ∀x ∈ Rn esetén igaz, F (x1 , ..., xd ) = C(F1 (x1 ), ..., Fd (xd ))
(2.1)
és ha F1 , F2 , ..., Fn folytonos ∀ n esetén, akkor C egyértelm¶. Vagyis, ha adottak F1 , ..., Fd marginális eloszlások és C egy kopula, akkor a 2.1 által de niált F egy d-dimenziós eloszlásfüggvény az F1 , ..., Fd peremekkel. Láthatjuk, hogy a tétel alapgondolata, hogy minden többváltozós eloszlásfüggvény esetén a peremeloszlásokat külön tudjuk választani a függ®ségi struktúrától, így azokat egymástól függetlenül tudjuk vizsgálni. A tételnek van egy fontos következménye is.
3. Állítás. Legyen G egy n-dimenziójú eloszlásfüggvény, folytonos
(F1 , ..., Fn ) peremeloszlásokkal, és C egy n-dimenziójú kopula függvény. Ekkor minden u ∈ [0, 1]n esetén: C(u1 , ..., un ) = G(F1−1 (u1 ), ..., Fn−1 (un ))
ahol Fi−1 (ui ) a kummulatív eloszlásfüggvény inverze. Fontos megjegyezni, hogy egy kopula minden esetben két korlát között helyezkedig el. Alsó korlátjául a kontramonoton1 , fels® korlátjául pedíg a komonoton2 kopula szolgál.
4. Tétel (Fréchet-Hoeding határok). Minden C(u1 , ..., ud ) kopulára fenáll a max
( d X
) ui + 1 − d, 0
≤ C(u1 , ...ud ) ≤ min{u1 , ..., ud }
i=1
egyenl®tlenség. Ábrázolva a két határ eloszlásfüggvényt, valamint a függetlenségi3 kopulát, megkapjuk az összes el®állítható eloszlásfüggvény típust. Vegyük észre, hogy a két határ kopulának nem léteznek s¶r¶ségfüggvényei mivel nem dierenciálhatóak. Nézzük meg, hogy hogyan kapjuk meg egy kopula s¶r¶ségfüggvényét.
5. De níció (Kopula s¶r¶ségfüggvény). Ha a kopula d - szer dierenciálható akkor s¶r¶ségfüggvénye:
C(U1 , ..., Ud ) :=
∂ d C(Ui , ..., Ud ) ∂Ui ...∂Ud
(2.2)
Most, hogy áttekintettük a kopulák f®bb tulajdonságait, rátérek a részletesebb tárgyalásukra. 1 C − (u
Pd = max{ i=1 ui + 1 − d, 0} 2 C + (u , ..., u ) = min{u , ..., u } 1 d 1 d 3 C ⊥ (u , ..., u ) = Qd u 1 d i=1 i 1 , ..., ud )
6
2.1.
Elliptikus kopulák
A kopuláknak két f®bb fajtája van: az elliptikus eloszlásból származóak, illetve az Arkhimédeszi kopulák. Dolgozatomban az elliptikus azaz Gauss iletve Student -t kopulákkal foglalkozok. Az Arkhimédeszi kopulák (Gumbel, Clayton, Galambos ) tárgyalása nem képezi részét a vizsgálódásainknak. Fang et.al. (1987) de níciója alapján:
6. De níció (Elliptikus eloszlás). Ha X egy n-dimenziójú vektor véletlenszer¶ váltoP
zókkal és µ ∈ Nn , és egy nxn -es nemnegatív de nit, P szimmetrikus mátrix, akkor X −µ 0 karakterisztikus függvénye ϕX (t) függvénye a t t kvadratikus alaknak, ekkor X -nek P −µ P n elliptikus eloszlása van (µ, , ϕ) paraméterekkel és így X ∼ E (µ, , ϕ). A kopulák tárgyalásánál leggyakrabban a s¶r¶ségfüggvényüket ábrázoljuk, de szokás még eloszlásfüggvényüket is vizsgálni. A következ®kben ábrázolom a Gauss és a Student t kopula s¶r¶ségfüggvényét MATLAB segítségével, ezek után mintavétellel fogom szemléltetni a két kopula közötti különbségeket. A vonatkozó MATLAB kódok a mellékletben találhatóak. (A mintavételi algoritmus Embrechts et al(2001) alapján.) 2.1.1.
Gauss kopula
7. De níció (Gauss kopula). Az n-változós normál eloszlás kopulájához legyen R egy
szimmetrikus pozitív de nit mátrix, és legyen ΦNR az együttes eloszlásfüggvénye az nváltozós normális eloszlásfüggvénynek, R korrelációs mátrixal. Φ−1 jelöli a normális eloszlásfüggvény inverzét, ekkor a kopula: −1 −1 CRG (u) = ΦN R (Φ (u1 ), ..., Φ (un )),
(2.3)
Egy többváltozós esetben a kopula felírható még a
CRG (u, v)
Z
Φ−1 (u)
Z
Φ−1 (v)
= −∞
−∞
2 s − 2R12 st + t2 1 exp − dsdt. 2 1/2 2 2π(1 − R12 ) 2(1 − R12 )
(2.4)
formában is. A mellékletben megadott MATLAB kód segítségével ábrázolhatjuk a Gauss kopula s¶r¶ségfüggvényét. A kód segítségével, különböz® korrelációs értékeket megadva megnézhetjük, hogy hogyan változik a s¶r¶ségfüggvény alakja. Ennek kipróbálását az Olvasóra bízom. 7
2.1. ábra. Gauss kopula s¶r¶ségfüggvénye (R=0,1)
A ábrán láthatjuk, hogy a s¶r¶ségfüggvény két széle elnyúlik felfelé. A Student t- kopulánál is meg gyelhet® lesz a szélek felfelé nyúlása, ennek magyarázatát azonban csak a 2.1.3 fejezetben szemléltetem. 2.1.2.
Student t- kopula
8. De níció (Student t- kopula). Az n-változós Student t- eloszlás kopulájához legyen
R egy szimmetrikus pozitív de nit mátrix és legyen tnν,R az együttes eloszlásfüggvénye az n-változós Student t- eloszlásfüggvénynek, R korrelációs mátrixal és ν szabadságfokkal. t−1 ν jelöli a Studen t- eloszlásfüggvény inverzét, ekkor a kopula t −1 Cν,R (u) = tnν,R (t−1 ν (u1 ), ..., tν (un ))
(2.5)
alakot ölt. Ez másképpen felírható még a
t Cν,R (u, v)
Z
tν −1 (u)
Z
tν −1 (v)
= −∞
−∞
1 2 1/2 2π(1 − R12 )
módon is.
8
−(ν+2)/2 s2 − 2R12 st + t2 1+ dsdt. 2 ν(1 − R12 )
(2.6)
2.2. ábra. Student t- kopula s¶r¶ségfüggvénye (R=0,1 ; ν =13)
A t-kopula ν → ∞ esetén konvergál a Gauss kopulához, ami azt jelenti a gyakorlatban, hogy kell®en nagy szabadságfok paramétert megadva a Gauss kopula alakját veszi fel. 2.1.3.
Mintavétel
Most bemutatok két véletlenszer¶ mintavételi algoritmust elliptikus kopulákból, Embrechts et al(2001) alapján.
Gauss A véletlenszer¶ változók generálása a CRGauss kopulából egy R korrelációs mátrixszal a következ® képpen történik: • Számítsuk ki Cholesky-felbontással 4 A-t R-b®l ahol R = A · AT . • Adjunk meg egy N dimenziójú Z vektort, ahol: Z = (z1 , z2 , ..., zn )0 , amik N(0,1)-b®l
származnak.
• Legyen x = Z 0 A • Legyen x egy N dimenziójú u vektor, amit u = Φ(x) kiszámításával kapunk. • Ekkor, u ∼ CRGauss 4A
Cholesky-felbontás a szimmetrikus, pozitív de nit mátrixok felbontása alsó trianguláris mátrixok és azok konjugált transzponáltjainak szorzatává.
9
Student t Student A véletlenszer¶ változók generálása a CR,ν kopulából egy R korrelációs mátrixszal és ν szabadságfokkal a következ®képpen történik:
• Számítsuk ki Cholesky-felbontással A-t R-b®l ahol R = A · AT . • Adjunk meg egy N dimenziójú Z vektort, ahol: Z = (z1 , z2 , ..., zn )0 , amik N(0,1)-b®l
származnak.
• Adjunk meg egy független χ2ν véletlen s változót. • Legyen y = z 0 A p • Legyen x = y νs • Legyen x egy N dimenziójú u vektor, amit u = tν (x) kiszámításával kapunk. Student • Ekkor u ∼ CR,ν
A mintavételi algoritmusokat leprogramozva MATLAB-ban és 4000 szimulációt véve a 2.3 ábrát kapjuk.
2.3. ábra. Gauss és Student t-mintavétel. 4000 szimuláció, R=0.5, ν =5 Meg gyelhetjük, hogy a t-kopulából vett minta a jobb fels® és bal alsó sarkaiban sokkal koncentráltabb mint a Gauss kopula esetén, amely jelenség magyarázható a két kopula s¶r¶ségfüggvényével. Ha megnézzük ®ket láthatjuk, hogy a t-kopula s¶r¶ségfüggvénye sokkal jobban nyúlik felfelé a sarkainál. Érdemes növelni a szimulációk számát, hogy ezt az elnyúlást jobban meg gyelhessük. Vegyünk most 20 000 szimulációt. 10
2.4. ábra. Gauss és Student t- mintavétel. 20 000 szimuláció, R=0.5, ν =5 Láthatjuk, hogy a 2.4 ábrán már sokkal szembet¶n®bb a sarkok koncentrálódása. Ilyen magas mennyiség¶ szimulációnál meg gyelhetjük továbbá a másik két sarok (bal fels®, jobb alsó ) koncentráltságát is. Ennek pontosabb szemléltetésére a szimuláció során kapott pontokat összekötöttem egy vonallal és fekete színt állítottam be.
2.5. ábra. Gauss és Student t- mintavétel. 20 000 szimuláció, R=0.5, ν =5 Itt nem látszik az, hogy mennyire koncentráltak a pontok viszont tisztábban kirajzolódik a t- kopula bal fels® és jobb alsó sarkának fontossága. Ez a jelenség szintén visszavezethet® a s¶r¶ségfüggvényre. Ezek a sarok elnyúlások mutatják, hogy a t- kopula jobban modellezi az extrém-értékek el®fordulását. A mintavételt még ábrázolhatjuk az "R" statisztikai 11
programcsomaggal is, a "copula"5 csomag segítségével. Itt három dimenziós mintavételt csináltam, láthatjuk, hogy a korábban meg gyelt jelenségek itt is felt¶n®ek.
2.6. ábra. Gauss és Student t- mintavétel. 4000 szimuláció, Dim=3, R=0.5, ν =5
5A
csomagot Jun Yan fejlesztette ki
12
3. fejezet A Kopulák kalibrálása
A
különböz® derivatív termékek árazásánál, de más applikációknál is igen fontos a meg-
felel® kopula kiválasztása, illetve a kopula paraméterek (korreláció, szabadságfok) pontos kalibrálása a valós piaci adatokhoz. Gauss típusú függ®ségnél a korrelációt, Student t- nél pedig a korrelációt és a szabadságfokot kell meghatároznunk, melyre több módszer is a rendelkezésünkre áll. A paraméterek becsl®iben fontos szerepet játszanak a rangkorrelációs együtthatók, úgy mint a Spearman féle ρ vagy a Kendall féle τ . A kalibráció pontossága hatással van az egész modellezésre alkalmazástól függetlenül. Mi sem bizonyítja jobban a téma fontosságát, mint a szakirodalom folyamatos kitüntetett gyelme. Ebben a fejezetben bemutatok néhány becsl® eljárást, majd ezeket egy konkrét alkalmazáson keresztül összehasonlítom.
Tételezzünk fel1 , hogy vizsgálódásainkat egy diszkrét id®soron végezzük, amely: X = (Xi1 , ..., Xid )ni=1 , ahol n jelöli a meg gyelések számát és d a dimenziók számát, vagyis ezzel adjuk meg, hogy hány alaptermékünk van. Legyen β az a vektor, ami a perem paramétereket tartalmazza, és α az a vektor ami a kopula paramétereket. A paraméter teret Θ -val jelöljük.
3.1.
Maximum Likelihood Módszer (ML)
A becslés során célunk egy ismeretlen θ paraméter becslése, amelyre rendelkezésünkre áll egy diszkrét id®sor skalár érték¶ valószín¶ségi változókkal, amelyek a paraméterre vonatkozó információkat tartalmaznak. A becslés során el®ször is szükségünk van egy úgynevezett log-likelihood függvényre, amelyet kiterjesztünk az együttes valószín¶ségi s¶r¶ségfüggvényel. A θ paramétert ennek a kiterjesztett log-likelihood függvénynek a maximalizálásával kapjuk meg 3.4 mellett. A paraméter becslése során a paraméter el®fordulásának a valószín¶ségét akarjuk maximalizálni. Ezt az úgynevezett "likelihood" függvény maximalizálásával tehetjük meg. Az ML becslés alapjait R.A. Fisher fektette le. Az elmélet szerint a kívánt valószín¶ségi eloszlás az, amely a vizsgált id®sort a legvalószín¶bbé teszi. Ebb®l következik, hogy 1 Jun
Yan - Enjoy The Joy of Copulas, alapján
13
azt a paraméter vektort keressük, amely a likelihood függvényt maximalizálja. Úgy is mondhatjuk, hogy azokat az eloszlás paramétereket keressük, amelyek létrehoznak egy olyan eloszlást, amely a legnagyobb valószín¶séggel generálta a vizsgált id®sort. A számítást megkönnyít® okokból a likelihood függvény logaritmizált változatát maximalizáljuk, amely az eredmény szempontjából nem hoz különbséget, hiszen egymásnak monoton transzformáltjai. Az optimalizálási algoritmus lefuttatása során az els® deriváltból határozzuk meg a maximum/minimum pontot. Ezek után a második deriváltal sz¶rjük le ezekb®l a maximum pontokat, ezért fontos, hogy paramétereknél a log-likelihood függvény konvex legyen.
3.1. ábra. A Log-likelihood függvény maximalizálása
Az algoritmus lefuttatása közben, a leggyakrabban el®forduló hiba a lokális maximum problémája. A 3.1 ábrán láthatjuk, hogy a B kivételével minden pont lokális maximum, becslésünk során mi azonban a függvény globális maximumát keressük. Az iterációs folyamatot - ,amelyet az ábrán nyilakkal jelöltem- az eljárási algoritmustól függ®en vagy egy véletlenszer¶, vagy egy valamilyen ismérv alapján el®re megadott Xn pontban kezdjük el. Láthatjuk azonban, hogy egy rosszul meghatározott kezd®pont könnyen egy lokális maximum meghatározásához vezethet. Ha például az X1 pontban kezdjük a folyamatot, akkor az A lokális maximumot kapjuk eredményül, ha azonban X2 a kezd®pontunk, akkor a globális maximum, azaz a B pont lesz a maximalizálás eredménye. Létezik egy olyan sztochasztikus optimalizálási elmélet (Kirkpatrick, Gelatt & Vecchi, 1983), amely képes kiküszöbölni a lokális maximum problémáját, azonban gyakorlati alkalmazása több akadályba is ütközik. A leggyakrabban használt eljárások a szimulációs futások számát növelik a nagyobb pontosság elérésében. A 3.4 fejezetben részletesebben szemléltetem a szimulációs szám megválasztásának fontosságát. Most határozzuk meg az ML loglikelihood függvényt, Használva a 2.1 Sklar tételt, és kihasználva az eloszlás és a s¶r¶ségfüggvény közötti kapcsolatot: 14
f (x) =
∂F (x) ∂x
megkaphajuk a c(F1 (x1 ), ..., Fd (xd )) többváltozós kopula s¶r¶ség és a C(F1 (x1 ), ..., Fd (xd )) kopula összekapcsolását: d ∂ n [C(F1 (x1 ), ..., Fd (xd ))] Y f (x1 , ..., xd ) = · fi (xi ), ∂F1 (x1 ), ..., ∂Fd (xd ) i=1
amib®l megkapjuk, hogy:
f (x1 , ..., xd ) = c(F1 (x1 ), ..., Fd (xd ))
d Y
fi (xi ),
(3.1)
i=1
Nézzük meg a likelihood függvényt n idei meg gyeléseinkre:
`(θ) =
n X
(3.2)
`i
i=1
Ezt kiterjesztve a 3.1 egyenlettel megkapjuk a `(θ) =
n X
log c{F1 (Xi1 ; β), ..., Fp (Xip ; β); α} +
i=1
p n X X
log fi (Xij ; β)
(3.3)
i=1 j=i
log-likelihood függvényt. De niáljuk a Maximum Likelihood becsl®t θˆM L = arg max `(θ) θ=Θ
(3.4)
A θ paraméter becsléséhez tehát a 3.3 függvényt kell maximalizálnunk 3.4 mellett.
3.2.
Inference Functions for Margins Módszer (IFM)
Az kalibráció során gyakorta felmerül a probléma, amelyet a túl nagy id®sorok által okozott számítási sebesség megnövekedése okoz. Ha növeljük az alaptermékek számát (dimenzió), az nagyban befolyásolja az adathalmazunk méretét, és így az optimalizálási folyamat is hosszabb. Az IFM módszer tulajdonképpen az ML egy felbontott analóg változata. Ez a módszer két lépcs®ben végzi el a becslést, mely során els® körben becsli a β perem paramétereket 15
βˆIF M = arg max β
p n X X
log fi (xij ; β)
i=j j=1
Ezek után második lépésként az α kopula paraméter vektor becslése következik α ˆ IF M = arg max α
n X
log c(F1 (Xi1 ; βˆIF M ), ..., Fp (Xip ; βˆIF M ); α)
i=1
Az els® lépés minden peremre elvégzi az ML becslést (j=1,...,p) a következ® módon
βˆIF M = arg max βj
n X
log f (Xij ; βj )
i=1
Ez a módszer azért okoz a programnak kevesebb számítási feladatot, mert minden maximalizálási folyamat, amit elvégez ML módszerrel, az nagyon kevés paraméterrel rendelkezik. Ebb®l következik, hogy az IFM-el kapott eredmények igen közel állnak az ML módszerrel becsültekhez. A 3.4 fejezetben ezt a jelenséget is meg gyeljük.
3.3.
Canonical Maximum Likelihood Módszer (CML)
A CML módszer2 , másnéven pszeudó ML, nagyban különbözik az el®z® két becslést®l, amelyb®l nagy el®nye is származik az el®z® kett®vel szemben. A CML nem támaszkodik a perem paraméterekre, így f®leg akkor célszer¶ a használata, ha f® célunk az α paraméterek pontos becslése. A módszer az empírikus eloszlásfüggvényét használja minden peremeloszlásnak, az α paraméterek kiszámításához. A transzformációt, amely az eredeti Xi mintából csinál Ui pszeudó mintát, empírikus perem transzformációnak 3 nevezzük, amihez legyen az eredeti id®sorunk X = (Xi1 , ..., Xip ) és a transzformációhoz legyen, Ui = (Ui1 , ..., Uip ) = [F1 (Xi1 ), ..., Fp (Xip )]
Ezek után második lépésként határozzuk meg a paraméter vektort a következ® módon, α ˆ CM L = arg max α
2 Bouyé 3 Lásd:
n X
log c(Ui1 , ..., Uip ; α)
i=1
et al 2000 Mashal 2002
16
3.4.
A módszerek tesztelése
A különböz® becslési eljárások összevetéséhez, el®ször szükségünk van egy olyan "tiszta" id®sorra, melyet saját magunk generáltunk valamely kopulából, tehát pontosan tisztában vagyunk paramétereivel. Ezek után megpróbájuk becsülni a paramétereket a különböz® módszerekkel, így tudjuk vizsgálni a becslésünk pontosságát. Ennél a vizsgálatnál fontos szempont a generált minta mérete. Minél nagyobb elemszámú mintát generálunk annál pontosabb becslést kapunk, és annál hosszab id®t vesz igénybe a számítás. Az elemzés során három különböz® méret¶ mintával végzem a becsléseket. Fontos még megemlíteni, hogy az eredmények szempontjából igen fontos kérdés, hogy milyen programot használunk a szimulációra. Ugyanazt az eljárást használva eltér® eredményre juthatunk a MATLAB és az "R" programcsomag, esetén, annak ellenére, hogy egyik program sem kínál beépített függvényt a becslésre. Az eltérés mind az id®sor generálásra mind a becslésre is vonatkozik. A következ® becslési szimulációkat MATLAB-ban végeztem el, azonban érdekes lenne egy tanulmányban összevetni a különböz® programcsomagokban elvégzett becsléseket. Vizsgálódásaink során három különböz® méret¶ mintából (2000, 20 000 és 200 000) végzünk becsléseket, melyeket Gauss és Studen t- kopulából generálunk. Az id®sor generálása során a 2.1.3 fejezetben leírt algoritmust használjuk. Minden generálásnál az R=0.5 és ν = 3 paramétereket adtam meg ami azt jelenti, hogy a becslés után az ezekhez közelít® eredményeket tekintjük pontosnak. A különböz® becslési eljárásokat (ML, IFM, CML) leprogramozva a 3.1 táblázatban látható eredményeket kaptam. A kis mintás Gauss kopulából származó id®sor esetén láthatjuk, hogy az IFM módszer bizonyult a legpontosabbnak, azonban tudni kell, hogy ilyen kicsi mintánál a kapott paramétereknek igen nagy a szórása, azaz ha többször egymás után elvégezzük a rutint a kapott értékeknek nagy a szórása. A 3.2 táblázatban láthatjuk, a kismintás esetekben a különböz® becslési eredmények szórásait. Láthatjuk, hogy e konkrét esetben ugyan rosszabbul teljesített az ML módszer de kis minta esetén mégis ezt választanánk a korreláció becslésére az alacsonyabb szórása miatt. Ugyan ez igaz a Student t- kopulából vett minta esetén is, azonban gyeljük meg, hogy az IFM módszer feltün®en rosszul becsli a szabadságfokot (DoF) a másik két eljárással szemben.
17
Gauss Mintanagyság 2000 θ R ML 0.4745 Id® (másodperc) 0.9314 IFM 0.5078 Id® (másodperc) 0.791 CML 0.4875 Id® (másodperc) 0.1705
20 000 R 0.5120 43.5635 0.4883 42.1738 0.5013 16.3688
200 000 R 0.4988 3211.0213 0.4990 3157.9968 0.5005 1665.1047
Student t2000 2000 20 000 20 000 R DoF R DoF 0.4856 2.8751 0.4954 2.9080 1.5749 48.3843 0.5161 1.6438 0.5118 1.9919 1.8939 50.6802 0.5316 3.565 0.4986 3.0211 0.5117 20.1151
3.1. táblázat. A kopula kalibráció eredményei
18
Mintanagyság θ
ML IFM CML
Gauss Student t2000 2000 R R DoF 2.6 % 3.7% 9.7 % 3.8% 4.9% 46.3% 3.7% 5.1% 4.9 %
3.2. táblázat. Kismintás becslések szórása
200 000 200 000 R DoF 0.5012 3.0408 3351.0419 0.5036 2.2319 3301.5927 0.4990 2.9999 1703.7882
Érdemes továbbá megjegyezni, hogy míg a 3.1 táblázat alapján az ML t¶nhet a szabadságfok jobb becsl®jének úgy a 3.2 táblázat szórás adataiból látszik, hogy érdemes inkább a CML-t használni erre a célra. A nagyobb minták esetén (n ≥ 20000) a szórások kiszámítása már igen intenzív számolási feladatot jelent, ami rendes körülmények között4 rendkívül hosszú szimulációkat jelentene. A nagyobb számítási intenzitás eléréséhez érdemes a CPU helyett a GPU-t dolgoztatni az érdekl®d®k gyelmébe ajánlom az nVIDIA által kifejlesztett CUDA programozási nyelvet, amely közvetlenül a GPU-t terheli. A számítás ezen nehézsége miatt a nagyobb elemszámoknál feltételezzük, hogy a szórás adatok megegyeznek az egyes módszereknél. Az elemszám növekedésével meg gyelhetjük, a CML már említett el®nyét, hogy minél nagyobb mintát veszünk annál pontosabban határozza meg a paramétereket a másik két módszerhez képest. A szabadságfokot is rendkívül pontosan határozza meg 200 000db -os elemszám mellett. Fontos meg gyelni a szimulációs id®tartamokat ami a CML esetében a legnagyobb mintánál majdnem a felére csökkent, ez szintén párhuzamban áll a már elmondottakat, miszerint a CML sokkal rövidebb id® alatt képes elvégezni az iterációs eljárást. Ez a tulajdonsága kifejezetten fontos a nagy mennyiség¶ adat kalibrálásánál.
4 CPU:
IntelCore duo 2x 2.66GHz, RAM: 4GB, MATLAB R2010A
19
4. fejezet A CDO-k bemutatása és árazásuk
4.1.
A CDO
A
legegyszer¶bb hitelderivatívák esetében az alaptermék jellemz®en csak egyetlen szer-
z®désb®l áll. A CDO alapvet® lényege, hogy ezekb®l a szerz®désekb®l egy egész kosarat (pool) tartalmaz. A kosárban található hitelszerz®dések kockázatát így transzferálni lehet, amelyet úgy oldanak meg, hogy több részre (tranche) darabolják a kosarat, amelyek azonos átlagid®vel rendelkeznek, majd ezeket értékpapírosítják. A különböz® tranche-okat a veszteségb®l való részesedésük alapján osztják szét. A legáltalánosabb tranche felbontás szerint a veszteség el®ször az Equtiy tranche-ot érinti majd a Mezzaninet és ezek után a Seniort. A különböz® tranche-okat a hitelmin®sít®k is értékelik kockázati kitettségük szerint. A gyakorlatban érdemes különbséget tenni a cash és a szintetikus CDO-k között. Az els® esetben a CDO alaptermékei jellemz®en közvetlen hitelkockázattal bírnak (Pl: jelzáloghitel). Fontos még kiemelni, hogy ebben a konstrukcióban a referencia portfólió összetételét a futamid® alatt megváltoztathatja a portfólió menedzser, amely tulajdonsága miatt matematikailag igen nehezen modellezhet®. A másik eset az úgynevezett szintetikus CDO melynek alaptermékei már önmagukban derivatívák, tehát önmagukban is hitelkockázatot testesítenek meg. Ezek az alaptermékek a CDS-ek (Credit Default Swap) amelyek védelmet biztosítanak egy adott alaptermék cs®djére adott lejárat mellett. A dolgozat hátralév® részében a szintetikus CDO-k árazásával foglalkozunk.
4.2.
A szintetikus CDO árazása
Amíg semmilyen hitel esemény nem történt a CDO kibocsátója rendszeresen zet prémiumot a tranche befektet®nek. Cs®d esetén a befektet® (védelem eladója) zet a kibocsátónak (védelem vev®je) a veszteség mértékében. 20
Amint már említettük a cash CDO modellezése egy komplex feladat, amely különböz® mikroökonómiai és játékelméleti elemzéseket is igényel, azonban a dolgozatban felvetett probléma, nevezetesen maga a kalibrációs eljárás, bemutatására a szintetikus CDO árazása a célravezet®, hiszen jobban tudunk a problémára fókuszálni. Fontos megemlíteni, hogy az évek el®rehaladtával egyre transzparensebb a CDS piac hiszen manapság már igen fejlettek és naprakészek a különboz® CDS indexek (iTraxx, CDX) ami a piac likviditását is nagyban el®segíti. Ezek az adatbázisok nagyban megkönnyítik a kalibrációs eljárást. A következ®kben f®ként Lüscher 2005 munkájára támaszkodunk. 4.2.1.
A cs®d intenzitás meghatározása
A továbbiakban a véletlen folyamatokkal kapcsolatos vizsgálódásainkhoz vegyük a (Ω, A, P, F)sztochaszikus alapteret, ahol (Ω, A, P) teljes 1 és az F ltráció eleget tesz a szokásos feltételeknek azaz jobbról folytonos és tartalmazza az (Ω, A, P) mez® nulla halmazait. Ekkor azt mondhatjuk, hogy a sztochasztikus alaptérre teljesülnek a szokásos feltételek tehát τ megállási id®2 , ahol a cs®d bekövetkezik. Most határozzuk meg a λ cs®d intenzitást, a biztosítási matematikából ismert hazárd függvény segítségével, amelyhez a sztochasztikus analízisb®l ismert Poisson folyamatokat használjuk. Legyen τi az a pozitív valószín¶ségi változó, amely az i -edik CDS cs®djének idejét adja meg Fi eloszlásfüggvénnyel. Ekkor Fi (t) = P (τi ≤ t) jelöli annak a valószín¶ségét, hogy a referencia termék a T = (0, ..., t) intervallumon belül becs®döl. Tehát a cs®d idejét egy Poisson folyamat els® ugrásáig eltelt idejeként értelmezzük. A cs®dvalószín¶ség a λi (t) intenzitáshoz az alábbi módon kapcsolódik, Z F (t) = 1 − exp −
t
λ(u)du
(4.1)
0
Tehát az események közötti id® hossza exponenciális míg az adott id®szak alatt bekövetkez® cs®dök száma Poisson eloszlású. Fontos megjegyezni, hogy élünk a gyakori feltételezéssel miszerint a hazárd ráták determinisztikusak azaz szakaszonként konstansak a 4.1 ábrához hasonlóan. Ekkor, λ0,1
ha T0 < t ≤ T1
ha Tn − 1 < t ≤ Tn
. λ = .. 1A
λn−1,n
mez® teljes ha A ∈ A, melyre P(A) = 0 akkor ∀ B ⊆ A esetén B ∈ A Medvegyev (2008)
2 Lásd:
21
4.1. ábra. A determinisztikus hazárd ráták alakulása
4.2.2.
A veszteség eloszlás meghatározása
A cs®dintenzitások meghatározása után, adjuk meg az aggregált veszteséget t id®pontra az egész portfólióra nézve, L(t) =
n X (1 − Ri )1τi
(4.2)
i=1
ahol, Ri jelöli a visszanyerési rátát és 1τi
A
fair prémium
ha L(t) < KA ha KA ≤ L(t) < KD ha L(t) ≥ KD
(4.3)
megadása
A CDO beárazása hasonlóképpen történik mint a CDS3 árazása. Úgy határozzuk meg a rCDO fair prémiumot, hogy a cs®d ág (Default Leg) és prémium ág (Premium Leg) jelenértéke megegyezzen. A prémim ág (PL) értékét az összes várható spread ki zetés jelenértékeként kapjuk. A ki zetések a 0 ≤ t0 < ... < tn−1 id®pontokban fordulnak el®. A prémium ág tehát: 3 Lásd
5.1. fejezet
22
P Li (rcdo ) =
N X
β(0, ti ) · (ti − ti−1 ) · rcdo · [1 − EL(KA ,KD ) (ti−1 )]
(4.4)
i=1
ahol β(0, tk ) a diszkontfaktor, rcdo a prémium és EL az elvárt százalékos veszteség, amely egy várható érték. A cs®d ágat az el®z®ekhez hasonlóan a cs®d ki zetések várható értékeként adjuk meg: Z
tn
β(t0 , s)dELKA ,KD (s)
DL = t0 N
. X β(t0 , t1 )(ELKA ,KD (ti ) − ELKA ,KD (ti−1 )) =
(4.5)
i=1
Ezek után már könnyen meghatározható a CDO tranche fair prémiuma. P L(rcdo ) − DL = 0
Amelynek alapján megadható a keresett prémium: PN
β(t0 , t1 )(ELKA ,KD (ti ) − ELKA ,KD (ti−1 )) rcdo = PNi=1 i=1 β(0, ti ) · (ti − ti−1 ) · [1 − EL(KA ,KD ) (ti−1 )]
23
(4.6)
5. fejezet CDO árazás, egy numerikus példa
A
z el®z® fejezetekben megismerhettük a kopula függvények alapvet® fontosságát az
összefügg®ségi struktúra modellezésében. Ezen felül beláttuk azt is, hogy milyen fontos szerepet játszik a kopula paramétereinek pontos megválasztása. Végül megismerhettük a CDO hitelderivatívák alapvet® karakterisztikáit, és áttekintettük az árazásuk matematikáját. Ebben a fejezetben szeretném átültetni az el®z®eket a gyakorlatba, és végigmenni a már bemutatott folyamatokon. Az árazás során szükségünk lesz a hazárd függvény kalibrálására azaz meg kell határoznunk a cs®d intenzitásokat. Ezek után a választott kopula paramétereit kell meghatároznunk. Végül rátérhetünk a pénzáramlások szimulálására, és így a fair prémium meghatározására. A különböz® trance-ok spreadjeinek meghatározása után ábrázolom azok árfelületeit, melyen látható lesz a spread (bázispont), korreláció és a visszanyerési ráta egymásra gyakorolt hatása a különböz® tranche-ok esetén.
5.1.
A hazárd függvény kalibrálása
A kalibrálást a CDO alaptermékéül szolgáló CDS-ek adataira nevezetesen a különböz® lejáratokkal rendelkez® CDS spreadek re végezzük el. Vizsgálódásaink során az iTraxx Europe CDS index 14. sorozata lesz a referencia portfóliója a szintetikus CDO nak. Az index a függelékben található A.1 táblázatban szerepl® 125 vállalatot tartalmazza, lejárata 3,5,7 vagy 10 év, a visszanyerési rátája 40%. A kalibrálás a CDS árazás alapgondolatát használja fel ami nagyban hasonlít a 4.2.3 fejezetben megadott CDO fair prémium meghatározásához. Három feltevés rögzítésével így kalibrálhatjuk a szakaszonként konstans hazárd függvényt. A három feltevés: • A cs®dki zetéseket rögtön a cs®d bekövetkezésekor rendezik • A kamat zetés és a cs®d folyamata független egymástól a kockázatsemleges Q mart-
ingál mérték alatt
• Adott egy véges halmaz, amely diszkrét cs®d dátumokat tartalmaz N = t0 , ..., tn
ahol N a lejárati dátum
24
Ezek után alkalmazzuk a CDS prémium és cs®d ágának egyenleteit (Tops 2010) alapján. A prémium ág becslése:
PcL = u
K X i=1
1 ξβ(ti )[S(ti ) + (S(ti−1 ) − S(ti ))] 2
(5.1)
ahol jelölje u a spreadet, K a prémium ki zetések számát, ξ a dátum számláló faktort ami ha a prémiumok évente kerülnek ki zetésre ξ = 1, ha félévente ξ = 12 vagy negyedévente ξ = 41 stb. és legyen S(t) a 4.2.1 fejezetb®l már ismert P (τi ≤ t) valószín¶ség ahol S(t) = 1 − F (t)1 . A cs®d ág becslése a következ® módon történik: d = (1 − R) DL
n X
β(tj )(S(tj−1 ) − S(tj ))
(5.2)
j=1
ahol R jelöli a visszanyerési rátát. Szakaszonként konstans h hazárd rátát feltételezve, az S(t)-ben szerepl® integrált egy sor konstans hazárd ráta összegeként becsülhetjük. A fejezet elején már említettük, hogy szükségünk van a különböz® lejáratú CDS spreadRt ekre, ha például veszünk egy egy éves lejáratú CDS szerz®dést akkor 0 h(u)du ≈ h1 t ahol t ≤ 1. Ebb®l következik, hogy ha az u egy éves spread ismert akkor megbecsülhetjuk h1 -et ha a 5.1 és 5.2 egyenleteket egyenl®vé tesszük:
u
K X i=1
−h1 ti
ξβ(ti )[e
n X 1 −h1 ti−1 −h1 ti −e )] = (1 − R) β(tj )(e−h1 tj−1 − e−h1 tj ) + (e 2 j=1
(5.3)
Ha már megkaptuk az egy éves hazárd rátát, akkor könnyedén kiszámíthatjuk h2 -t is véve a két éves CDS spread-et és kiszámolva a már említett integrált. Az 5.3 folyamatos ismétlése mellett meghatározhatjuk az összes hazárd rátát és így megkaphatjuk a cs®deloszlást F (t) = 1 − S(t).
5.2.
A kopula függvény kalibrálása
A kopula függvény kalibrálásánál, talán a legfontosabb kérdés amit feltehetünk, az az, hogy milyen piaci adatokra végezzük el a számításainkat. Szerintem a válasz a kérdésre tulajdonképpen a paraméterek megértésében rejlik. Hiszen ha tudjuk, hogy mit akarunk megkapni akkor könnyebben tudunk válaszolni a feltett kérdésre. Ebben az esetben mi a referencia portfólióban lév® 125 cég teljesítményének korrelációjára vagyunk els®sorban 1 S(t)
R t = exp − 0 λ (u)du
25
kíváncsiak, amelynek jó indikátora az egyes cégek részvényeinek mozgása2 . Hozzunk létre tehát egy portfóliót a vállalatok részvényeib®l majd egy tetsz®leges id® intervallumra állítsuk párhuzamba a részvények hozamait. A pontos becsléshez vegyünk a napi hozam adatokat legalább egy évre visszamen®leg. Az adatok beszerzésére a yahoo. nance adatbázisáról történt egy Visual Basic makró segítségével. Ezek után végezzük el az id®sorra a 3. fejezetben már ismertetett CML becslést. Eredményül két 125x125-ös korrelációs mátrixot (a két fajta kopulára egyet egyet) és egy ν adatot kapunk. Ezek lesznek a következ® fejezetben ismertetett modellünk bemeneti paramétereinek egy része.
5.3.
A modell
A következ®kben szimulálom a CDO tranche spread-ek alakulását a korreláció és visszanyerési ráta függvényében. Ehhez az iTraxx Europe CDS index 14. széria tranche felosztását használom, amelyet a 5.1. táblázatban láthatunk. Tranche KA , KD Osztály Equity 0% − 3% Equity Mezzanine Junior 3% − 6% Mezzanine Mezzanine 6% − 9% Senior 9% − 12% Super Senior 12% − 22% Senior Super Super Senior 22% − 100% 5.1. táblázat. Az iTraxx Europe tranch felosztása A következ® algoritmusban testesül meg mindaz amit eddig a CDO árazáshoz átvettünk. El®ször is a hazárd és kopula függvényeket kalibráljuk, majd egy Monte Carlo szimuláció segítségével létrehozunk független cs®d id®ket a választott kopulából és megbecsüljük a CDO referencia portfóliójának az L(t) veszteség eloszlását. Ezek után 4.2.3. fejezet alapján meghatározzuk a prémium és cs®d ágakat melyekb®l kinyerjük a fair prémiumot. A következ® széles körben használt CDO árazási algoritmust Galiani 2003. munkája alapján mutatom be:
I. Minden referencia termékre kalibráljuk a cs®d eloszlás paramétereit úgy, hogy kiszámítjuk a λn (t) cs®d intenzitásokat ahol t = T1 , ..., TM a piacon elérhet® CDS lejárati dátumok.
2 A legtöbb írásban a valós piaci adatokra bemutatott kalibrációhoz, részvényárfolyamokat használnak. Lásd: Galiani 2003, Tops 2010, Romano 2002
26
II. Válasszunk egy kopulát amellyel modellezni szeretnénk a pool-ban szerepl® referencia termékek közötti függ®séget. Becsüljük meg ennek a kopulának a paramétereit, egy diszkrét valós id®sor alapján. Ezt a 2. és a 5.2. fejezetben leírtak alapján tehetjük meg.
III. Minden k-adik szimulációra ismételjük meg a következ® rutint: 1. A 2. fejezetben ismertetett mintavételi algoritmus alapján generáljunk egy N dimenziós vektor, amely korrelált véletlen változókat tartalmaz. 2. A véletlen változókat alakítsuk át cs®did®kké. 3. A cs®did®ket τi , tartalmaz® n-dimenziós vektort rendezzük növekv® sorrendbe és a vegyük a Γi = {τi1 , ..., τin } cs®did®ket tartalmazó vektort úgy, hogy teljesüljön a τij ≤ T ∀ j ∈ {1, ..., n} 4. Számoljuk ki a lehetséges cs®d ki zetéseket a következ® rutin alapján i. A Γi realizációk alapján számoljuk ki a pool felhalmozott veszteségét az Li (t) kiszámolásával, a 4.2 képlet alapján: ii. Ha Li (T ) < KA akkor a cs®d ki zetések 0-val egyenl®ek. iii. Ha KA ≤ Li (T ) < KD akkor legyen a cs®d indító id® τiα = inf{t > 0|L(t) ≥ KA } és minden becs®dölt ` ∈ {1, ..., L} amelynél τi ≥ τiα számoljuk ki a diszkontált cs®d ki zetéseket nevezetesen a Γi(KA ,KD ) = {τi , ..., τiL } cs®d id®kre a DLiκ =Pβ(0, τiκ )(1 − Rκ )Vκ ∀ κ ∈ {τiα , ..., L}, és ez után kumuláljuk a DLi = Lκ=α DLiκ módon. iv. Ha Li (T ) > KD akkor legyen τiα ugyan az a cs®d indító id® mint az el®z® pontban, vegyük még mellé a fels® cs®d indító id®t ami legyen, τiξ = inf{t > 0 | L(t) ≥ KD }. Ekkor minden becs®dölt ` ∈ {1, ..., L} amelynél teljesül a τiξ > τi ≥ τiα , számoljuk ki a diszkontált cs®d ki zetéseket nevezetesen aΓi(KA ,KD ) = {τi , ..., τiξ }, cs®d id®kre a DLiκ = β(0, τiκ )(1 − P Rκ )Vκ ∀ κ ∈ {τiα , ..., ξ}, és ez után kumuláljuk a DLi = ξκ=α DLiκ módon. 5. Számoljuk ki a prémium ág értékét az alábbi rutin alapján i A Γi realizációi alapján minden prémium (ki zetési) id®pontra t = {t1 , ..., ti } számoljuk ki a Li (ti ) veszteségeket, és utána a prémium ágat a 4.4 képlet alapján.
IV. Számoljuk ki a cs®d ág (DL) és a prémium ág (PL) aritmetikai átlagát, hogy megkapjuk az rCDO fair prémiumot a 4.6 képlet alapján.
5.4.
Eredmények
Most pedig végezzük el a CDO tranche spreadjeinek meghatározását az imént tárgyalt algoritmus alkalmazásával. Amint már említettük a szimulációt mind Gauss mint Student t-(továbbiakban t-) kopulával is elvégezzük. Célunk a két kopulával nyert eredmények 27
összevetése, de miel®tt még végrehajtanánk a feladatot próbáljuk meg megbecsülni az eredményeket csupán az eddigi eredményeinkre és intuícióinkra hagyatkozva. A 2.1.3. fejezetben beláttuk, hogy a t- kopula jobban modellezi a széls®séges eseteket, er®s szélvastagsága miatt, ami azt jelenti, hogy nagyobb valószín¶séggel produkál extrém értékeket a mintavétel során. Ebb®l következik, hogy a t- kopulával modellezett referencia portfólió cs®d eloszlása nagyobb valószín¶séggel tartalmaz széls®ségesebb eseteket, azaz vagy nagyon sok cs®d fordul el® a portfólióban az öt éves lejáraton belül vagy nagyon kevés. Ha azt feltételezzük, hogy nagyon kevés vállalat fog becs®dölni akkor az alacsonyabb kockázati kitettséget jelent így a tranche spreadek csökkenni fognak még az Equity tranche esetén is. Ha azonban magas számú cs®deseményre számítunk, akkor a Senior tranche spread-je a magas kockázat miatt jobban megemelkedik mint az Equity tranche esetén hiszen az Equity tranche spreadje nem emelkedik arányosan mivel kockázati kitettsége nem különbözik szigni kánsan az extérm és közepesen extrém esetekben. Tops 2010. egy példával szemlélteti az esetet melyben feltételezzük, hogy a vállalatok a referencia portfólióban tökéletes pozitív korrelációt mutatnak, azaz vagy becs®döl az összes vállalat egyszerre vagy egyik sem. Ebben az esetben az összes tranche-nak ugyanakkora a kockázata. Ezek ismeretében, megfelel® számú szimulációs futás mellett arra számíthatunk, hogy a Senior tranche-ok relatív drágábbak lesznek t-kopulával árazva, ezzel szemben az Equity és Mezzanine tranche-ok spreadjei Gauss kopulát használva lesznek magasabbak. Tranche KA , KD Gauss spread Student spread Equity 0% − 3% 4400 2933 Mezzanine Junior 3% − 6% 1504 935.9 Mezzanine 6% − 9% 842 492.2 Senior 9% − 12% 284.4 295.8 Super Senior 12% − 22% 105.4 109.7 Super Super Senior 22% − 100% 2 2.3 5.2. táblázat. A modellezés spread eredményei bázispontban
A 5.2. táblázatban láthatjuk a szimuláció eredményeit 40%-os visszanyerési ráta, 5 éves lejárat és 100 000-szer lefutott szimuláció mellett. A szimulációs id® (a kalibrálási id®t nem számolva) a t- kopulával történt modellezés esetén drasztikusan megnövekedett. Ez a mintavételi nehézségnek tudható be, amely intenzívebb számítási feladatot jelent tkopula esetén. Ha megnézzük az eredményeket láthatjuk, hogy az Equity tranche spreadje Gauss kopula használata esetén rendkívül magas, ám szintén meg gyelhetjük, hogy a két modell eredményeinek különbsége folyamatos csökkenést mutat. A 5.1. ábrán jól látszik, hogy a Senior tranche esetén már a t-kopula modellel kapunk magasabb árat.
28
5.1. ábra. A Gauss és a Student kopulával árazott tranche spread-ek alakulása
Az ábrán a Senior tranche pontosabb meg gyelhet®sége miatt nem látható az Equity tranche, de az 5.2. táblázat adataiból nem nehéz következtetni az ábra lemaradt részére. Ezek után beláthatjuk, hogy az eredményeink szoros párhuzamban álnak várakozásainkkal. A pontosabb szemléltetés kedvéért elkészítettem a tranche spreadek árfelületének ábráit. A korrelációs paramétert és a visszanyerési rátát itt nem tekintjük konstansnak, így meg gyelhetjük a különböz® tranchok esetére a spread alakulásának az eseteit.
(a) Gauss
(b) Student t-
5.2. ábra. Az Equity tranche árfelülete A 5.2. ábrán láthatjuk, hogy az Equity tranche ára az iTraxx Europe 14. széria esetében f®leg a visszanyerési rátától függ. Az általánosított esetekben azonban elmondható, hogy ennél a tranche-nál a korreláció és a spread alakulása között a negatív kapcsolat jel29
lemz®. Az ábrán szintén meg gyelhetjük, hogy a t- kopulával árazott tranche, korreláció érzékenyebb illetve a már említett ár különbségeket a két modell között.
5.3. ábra. A Gauss kopulával árazott Mezzanine tranche-ok árfelülete
A Mezzanine Junior tranche-ok hasonlóan viselkednek mint az Equity, így itt is szembet¶n® a t- kopula érzékenyebb reakciója a korrelációra és a pozitív kapcsolat a visszanyerési ráta és a spread között. Ez a kapcsolat a Mezzanine tranche-ok esetén már nem teljesül. Láthatjuk, hogy 60% feletti visszanyerési ráta esetén a kapcsolat már negatív lesz.
5.4. ábra. A Student kopulával árazott Mezzanine tranche-ok árfelülete
30
5.5. ábra. A Gauss kopulával árazott Senior tranche-ok árfelülete
A 5.5. és a 5.6. ábrákon láthatjuk a Senior tranche-okat. Itt már magasabb a spread a t- kopula modell esetén. Láthatjuk hogy az els® esetben 40%-os visszanyerési ráta felett a többinél pedig állandóan a negatív spread-visszanyerési ráta kapcsolat jellemz®.
5.6. ábra. A Student kopulával árazott Senior tranche-ok árfelülete
Beláttuk tehát, hogy a Gauss kopula modellt használva jóval magasabb árakat kapunk az Equity és Mazzanine tranche-ok esetén. Így szintén világossá válhat, hogy miért vált ilyen közkedvelt eszközzé ennek a modellnek az alkalmazása a hatalmas CDO kibocsátó vállalatok számára. Fontos megemlíteni, hogy a kibocsátó vállalat gyakran részben vagy egészben felvásárolja magának a kibocsátott CDO, Equity és Mezzanine tranche-okat, hogy ezzel is kommunikálja a befektet®k felé a bizalmát a termékben. Ez azt jelenti, hogy a legbiztonságosabb szeletek, a Senior tranche-ok kerülnek értékesítésre, amely a portfólió legnagyobb részét képzi. A megtartott részek tehát relatíve felül értékeltek míg az eladott szeletek kevesebb hozamot generálnak mintha t- kopulát használnánk. A kibocsátó szemszögéb®l tehát érdemes megtartani azokat a szeleteket, amelyeknek magasabb a spreadje a Gauss modell szerint, és érdemes eladni azokat, amelyeknek magasabb a tkopula szerint. A 5.1. ábrára visszatérve, láthatjuk, hogy e konkrét példában a Senior tranche-ot már érdemes lenne eladni a befektet®knek. 31
6. fejezet Összefoglalás
Láthattuk, hogy a dolgozat elején felvetett kérdés, sok kis, önmagában is rendkívül komplex témán vezet keresztül. Ezen területek megértése és tanulmányozása elengedhetetlen a f® probléma vizsgálatához miszerint a különböz® kopulák használata milyen hatást gyakorol a tranche spreadek meghatározására. Véleményem szerint fontos, hogy mialatt bejárjuk a végcélhoz elvezet® ösvényeket, id®nként térjünk vissza kérdésünkhöz és próbáljuk meg mintegy "puzzle " darabként elhelyezni a megszerzett információt. A dolgozat elején megismerhettük a kopula függvényeket melyek segítségével a kés®bbiekben modelleztük a CDO referencia portfóliójában található vállalatok összefügg®ségi struktúráját. Már ekkor beláttuk a kopula paraméterek pontos becslésének fontosságát. A kalibrációs eljárások bemutatása és tesztelése után rátértünk egy gyakorlati alkalmazási terület ismertetésére, nevezetesen a CDO árazásra. Az iTraxx Europe CDS indexet használva referencia portfóliónak végig vettük azokat a gyakorlati lépéseket, amelyek szükségesek ezen bonyolult termékek árazásához. Meghatároztuk a tranche spreadeket mind Gauss mind Student t- kopulával, majd beláttuk, hogy kibocsátó szemszögéb®l melyik modell a kedvez®bb és miért. Ez a dolgozat végén bemutatott példa jól szemlélteti, hogy mennyire fontos a modellezés során használt kopula paramétereinek pontos becslése. Egy túlságosan alulbecsült ν paraméter a t- kopula esetén magasan túlárazott Senior tranche-okat és alulárazott Equity tranche-okat eredményezne. Ezzel szemben, ha a valósnál magasabb ν értéket becslünk akkor közelítünk a Gauss kopula eredményeihez, amely szintén igencsak félrevezet® lehet. Beláthatjuk tehát, hogy a kopula kalibráció egy rendkívül fontos eleme annak a komplex folyamatnak, amely elé a struktúrált hitelderivatívák árazása állít bennünket.
32
A. Függelék Kódok
Az alábbiakban megadom a dolgozat során használt MATLAB és "R" kódokat a s¶r¶ségfüggvény ábrázoláshoz és a háromdimenziós mintavételhez. A további .m -fájlok a szerz®t®l érhet®ek el a,
[email protected] címen keresztül. A Student t- kopula s¶r¶ségfüggvény felületének ábrázolásához a következ® függvényt írtam, melyben "r" jelöli a korrelációt és "v" jelöli a szabadságfokot: f u n c t i o n sample=student_copulapdf_surf ( r , v ) m1=l i n s p a c e ( 0 . 0 0 1 , 0 . 9 9 9 , 5 0 ) ; m2=l i n s p a c e ( 0 . 0 0 1 , 0 . 9 9 9 , 5 0 ) ; Rho=[1 r ; r 1 ] ; [M1,M2]= meshgrid (m1, m2 ) ; c=copulapdf ( ' t ' , [ M1( : ) M2 ( : ) ] , Rho , v ) ; c=reshape ( c , s i z e (M1) ) ; g=l o g ( c ) ; sample=s u r f (m1, m2, g ) ; A Gauss kopula s¶r¶ségfüggvény felületének ábrázolásához a következ® függvényt írtam, ahol "r" a korreláció: f u n c t i o n sample=gauss_copulapdf_surf ( r ) m1=l i n s p a c e ( 0 . 0 0 1 , 0 . 9 9 9 , 5 0 ) ; m2=l i n s p a c e ( 0 . 0 0 1 , 0 . 9 9 9 , 5 0 ) ; Rho=[1 r ; r 1 ] ; [M1,M2]= meshgrid (m1, m2 ) ; c=copulapdf ( ' Gaussian ' , [ M1( : ) M2 ( : ) ] , Rho ) ; c=reshape ( c , s i z e (M1) ) ; g=l o g ( c ) ; sample=s u r f (m1, m2, g ) ;
33
A Gauss és Student t- kopula három dimenziós mintavételéhez az alábbi "R" kódot használtam1 : myCop . t<− e l l i p C o p u l a ( f a m i l y="t " , dim=3, d i s p s t r ="toep " , param=c ( 0 . 8 , 0 . 5 ) , df =5) myCop . norm<− e l l i p C o p u l a ( f a m i l y="normal " , dim=3, d i s p s t r ="ex " , param =0.5) , par ( mfrow=c ( 1 , 2 ) , mar=c ( 2 , 2 , 1 , 1 ) , oma=c ( 1 , 1 , 0 , 0 ) , mgp=c ( 2 , 1 , 0 ) ) u<−r c o p u l a (myCop . norm , 4 0 0 0 ) v<−r c o p u l a (myCop . t , 4 0 0 0 ) scatterplot3d (u) scatterplot3d (v)
Adecco S. A. AKZO Nobel N.V. ALSTOM Anglo American plc ArcelorMittal BAE SYSTEMS PLC BASF SE Bayer AG Bayerische Motoren Werke AG BOUYGUES Compagnie De Saint-Gobain Compagnie Financiere Michelin Daimler AG Deutsche Post AG EADSC N.V. Finmeccanica S.P.A. Glencore International AG Holcim Ltd Koninklijke DSM N.V. Airliq Lanxess Aktiengesellschaft Linde Aktiengesellschaft Rolls-Royce plc Sano -Aventis Siemens AG Solvay TNT N.V. Vinci Volkswagen AG Xstrata plc British American Tobacco plc Cadbury Holdings Limited Carrefour Casino Guichard-Perrachon Compass Group plc Danone Deutsche Bahn AG Diageo plc Experian Finance plc Groupe Auchan Henkel AG CO. KGaA Imperial Tobacco Group plc
Jti (UK) Finance plc King sher plc Koninklijke Ahold N.V. Koninklijke Philips Electronics N.V. LVMH MOET HENESSY LOUIS VUITTON Marks And Spencer plc Metro Ag Nestle S.A. Next plc PPR Sabmiller plc Safeway Limited Sodexo Suedzukker AG Mannheim/Ochsenfurt Svenska Cellulosa Aktiebolaget SCA Swedish Match AB TESCO plc Unilever N.V. BP plc Centrica plc E.ON AG Edison S.P.A. EDP S.A. Electricite de France Energie Baden-Wuerttemberg AG Enel S.P.A. Fortum Oyj Gas Natural SDG, S.A. GDF Suez Iberdrola S.A. National Grid plc Repsol YPF S.A. RWE AG Technip Total S.A. United Utilities plc Vattenfall Aktienbolag Veolia Environnement Aegon N.V. Allianz S.E. Assicurazioni Generali Aviva plc
AXA Banca Monte Dei Paschi Di Siena Banco Bilbao Vizcaya Argentaria Banco Espirito Santo S.A. Banco Santander S.A. Bank of Scotland plc Barclays Bank plc BNP PARIBAS Commerzbank Credit Agricole S.A. Credit Suisse Group Ltd Deutsche Bank AG Hannover Rueckversicherungs Societe Generale Swiss Reinsurance company Royal Bank of Scotland plc UBS AG Unicredit S.P.A. Zurich Insurance Company Ltd Bertelsmann AG France Telecom Hellenic Telecommunications Koninklijke KPN N.V. Pearson plc Portugal Telecom Int. Finance B.V. Publicis Groupe S.A. Reed Elsevier plc STMicroelectronics N.V. Telecom Italia S.P.A. Telefonica S.A. Telekom Austria AG Telenor ASA TeliaSonera Aktiebolag Vivendi Vodafone Group plc Wolters Kluwer N.V. WPP 2005 Limited
A.1. táblázat. Az iTraxx Europe Index 14. Széria, 125 vállalata 1 Forrás:
Yan 2007
34
Irodalomjegyzék [1] Ageeva, E. (2011): Bayesian Inference for Multivariate t Copulas Modeling Financial Market Risk. Msc Thesis, ETH Zürich [2] Bouyé, E. - Durrleman, V. - Nikeghbali, A. - Riboulet, G. - Roncalli, T. (2000): Copulas For Finance - A Reading Guide and Some Applications. Working Paper, Groupe de Reserche Operationnelle, Credit Lynonnais, Paris [3] Choros, B. - Härdle, W. - Okhrin, O. (2009): CDO Pricing with Copulae. SFB 649 Discussion Paper, Humboldt-Universität zu Berlin [4] Choros, B. - Ibragimov, R. - Permiakova, E. (2010): Copula Estimation. Workshop Paper, Springer [5] Embrechts, P. - Lindskog, F. - McNeil, A. (2001): Modelling Dependence with Copulas and Applications to Risk Management. Working Paper, ETH Zürich, Department of Mathematics [6] Fang, K. T. - Kotz, S. - Ng, K. W. (1987): Symmetric Multivariate and Related Distributions. Chapman and Hall, London [7] Galiani, S. (2003): Copula Functions and Their Application in Pricing and Risk Managing Multiname Credit Derivative Products. MSc Thesis, King's College London, Department of Mathematics [8] Joe, H. - Xu, J.J. (1996): The estimation method of inference function for margins for multivariate models. Technical Report, University of British Columbia, Department of Statistics [9] Kirkpatrick, S. - Gelatt, C. D. - Vecchi, M. P. (1983): Optimization by simulated annealing . Science, New Series, Vol. 220, No. 4598. (May 13, 1983), pp. 671-680. [10] Li, D. X. (2000): On Default Correlation - A Copula Function Approach Journal of Fixed Income, Vol. 9, No. 4, (March 2000), pp. 43-54. [11] Lindskog, F. - McNeil, A. - Schmock, U. (2001): Kendall's Tau for Elliptical Distributions. Working Paper, ETH Zürich, Department of Mathematics [12] London, J. (2006): Modelling Derivatives Applications in Matlab, C++, and Excel. Draft Manuscript, Pearson
35
[13] Lüscher, A. (2005): Synthetic CDO Pricing Using the Double Normal Inverse Gaussian Copula with Stochastic Factor Loadings. MSc Thesis, ETH Zürich [14] Markit (2010): www.markit.com
Markit iTraxx Europe Series 14 Final Membership List.
[15] Mashal, R. - Zeevi, A. (2002): Beyond Correlation - Extreme Co-Movements Between Financial Assets. Working Paper, Columbia Graduate School of Business [16] McNeil,A. J. - Frey, R. - Embrechts, P. (2005): Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, and Tools. Princeton University Press, Princeton [17] Medvegyev, P. (2004): Sztochasztikus analízis. Typotex, Budapest [18] Myung, J. (2003): Tutorial On Maximum Likelihood Estimation. Journal of Mathematical Psychology 47, pp. 90-100. [19] Romano, C. (2002): Calibrating and Simulating Copula Functions - An Application to the Italian Stock Market. Working Paper, Centro Interdipartimentale sul Diritto e l'Economia dei Mercati [20] Tops, R. (2010): Copulas and Correlation in Credit Risk. BSc Thesis, University of Amsterdam, Faculty of Sciences, Mathematics and Information Technology
Copula Parameter Estimation - Numerical Considerations and Implications for Risk Management. Lehrstuhl, Ruhr-Universität Bochum,
[21] Weiÿ, G. (2009):
http://ssrn.com/abstract=1648983
[22] Yan, J. (2007): Enjoy the Joy of Copulas - With a Package Copula. Journal of statistical software, http://www.jstatsoft.org/v21/i04/
36
