Készítette: Vidra Gábor. 7. modul Koordinátageometria 2 A kör

7. modul Koordinátageometria2 A kör

Készítette: Vidra Gábor

Matematika „A” – 11. évfolyam – 7. modul: Koordinátageometria2 – A kör

Tanári útmutató

2

A modul célja

A kör egyenlete, a kör és az egyenes kölcsönös helyzete. A kör érintőjének egyenlete.

Időkeret

9 óra

Ajánlott korosztály

11. évfolyam

Modulkapcsolódási pontok

Vektorok, vektorműveletek a koordinátasíkon. Korábbi tanulmányok a vektorokról, az egyenes egyenletéről. Egyenes és kör kölcsönös helyzetének ismerete.


A képességfejlesztés fókuszai

Tanári útmutató

3

Számolás, számítás, számlálás: Alakzat pontjainak koordinátái közötti kapcsolatok kiszámolása. Zsebszámológép biztos használata Mennyiségi következtetés: A tanulók biztos eligazodása a koordinátasíkon. Ismert adatokból logikus rend szerint ismeretlen adatok meghatározása. Nagyon fontos a jó vázlatrajz elkészítése, melyen az ismert adatokat célszerű színessel kiemelni. A mennyiségek folytonosságának, fogalmának továbbfejlesztése. Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet: A feladatok várható eredményének becslése, különösen a szöveges feladatok esetén. Koordinátákkal adott feladatok esetén az eredmények ellenőrzése a koordináta-rendszerben. Szöveges feladatok, metakogníció: A geometriai feladok algebrai megoldása során keletkező hamis gyökök kiválasztásának képessége. Szövegértelmezés továbbfejlesztése, a lényegkiemelő képesség fejlesztése. A valóság tárgyainak geometriai modellezéséhez szükséges képességek fejlesztése. Csoportmunkában a társak jó gondolatainak megismerése, elfogadása, helytelen következtetések cáfolata. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: Egyszerűsítések felfedezése az ábrázolásból, az ábra és a számítás kapcsolatának elmélyítése. A geometriai feladatok megoldási tervének elkészítési képessége. A geometriai feladatok algebrai eszközökkel történő megoldásának képessége. Geometriai fogalmak segítségével az absztrakciós képesség fejlesztése. Induktív, deduktív következtetés: Összefüggések, képletek felfedezése gyakorlati tapasztalatból kiindulva, azok általánosítása és alkalmazása más esetekben.


Tanári útmutató

4

TÁMOGATÓ RENDSZER A modulhoz a következő eszközök készültek: • bemutató, amely tartalmazza az elméleti anyagot, a mintapéldákat és az eszközök alkalmazásához szükséges információkat; • 7.1 kártyakészlet: csoportalakításhoz (szakaszok felezőpontjait kell meghatározni); • 7.2 kártyakészlet: egyszerű másodfokú egyenletrendszerek megoldását kell elvégezni, és a megfelelő betűjeleket beírni a 7.3 munkalapra; • 7.3 munkalap. Nem kell minden feladatot megoldani a modulból. A tanulócsoport igényeinek és tudásszintjének megfelelően lehetőségünk van differenciálásra és arra is, hogy a modul anyagát a heti 3 óránál nagyobb óraszámban tanuló diákokkal is fel tudjuk dolgozni. Az utolsó, „Vegyes feladatok” fejezet sok olyan gyakorlófeladatot tartalmaz, amely a modul témakörébe beilleszthető. Amennyiben egy adott anyagrészhez tartozó feladatmennyiséget kevésnek tartjuk, akkor érdemes az utolsó fejezet feladatai között is keresgélni. A modult úgy állítottuk össze, hogy az új anyag felfedezése korábbi ismeretekre támaszkodjon, amelyeket a modult megelőző vektorok, illetve egyenesekről szóló modulban már megismertünk. A mintapéldák a felfedezett új tudáselemek gyakorlati (koordinátageometriai) alkalmazását jelentik, ezért egyrészt a bemutató segítségével, csoportmunkában javasoljuk átvenni azokat, másrészt a tanulók a megoldás során ne használják a Tanulók könyvét.

ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK Középszint Adott középpontú és sugarú körök egyenletének felírása. Kétismeretlenes másodfokú egyenletből a kör középpontjának és sugarának meghatározása. Kör és egyenes metszéspontjának meghatározása. A kör adott pontjában húzott érintő egyenletének felírása. Alkalmazza ismereteit feladatokban. Emelt szint A kör egyenletének levezetése. A kör és a kétismeretlenes másodfokú egyenlet kapcsolata. Két kör kölcsönös helyzetének meghatározása, metszéspontjainak felírása. Külső pontból húzott érintő egyenletének felírása. Megjegyzés: Az érettségi követelményrendszere nem említi törzsanyagként a kör adott irányú érintőjének felírását. A modulba mégis belekerült, mert középszintű érettségin találkoztunk már ilyen feladattal. A külső pontból húzható érintő egyenletét csak speciális esetben kérjük (amikor az egyik érintő valamelyik koordinátatengellyel párhuzamos).


JAVASOLT ÓRABEOSZTÁS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

A kör egyenlete Feladatok megoldása A köregyenlet különböző alakjai Feladatok megoldása A kör és az egyenes kapcsolata Feladatok megoldása A kör érintője Feladatok megoldása Vegyes feladatok

Tanári útmutató

5


Tanári útmutató

MODULVÁZLAT Lépések,

Kiemelt készségek, képességek

Eszköz/Feladat/

tevékenységek

Gyűjtemény

I. A kör egyenlete (4 óra) 1. Csoportalakítás

Metakogníció, figyelem

7.1 kártyakészlet

2. A kör pontjaival kapcsolatos ismeretek (csoportmunka, mintapél-

Kooperáció, kommunikáció,

1. és 2. mintapélda

dák megoldása)

metakogníció, számolás

3. A kör egyenlete (frontális tanári magyarázat)

Figyelem, kombinatív gondolkodás

4. Köregyenlet felírása (csoportmunka)


3. mintapélda

metakogníció, számolás 5. Feladatok megoldása (tetszőleges módszerrel)

Számolás, számlálás

1–6. feladatok közül válogatunk

6. A köregyenlet és egyes másodfokú egyenletek kapcsolata


4–6. mintapélda

metakogníció, számolás, rendszerezés 7. Feladatok megoldása


7–14. feladatokból váloga-

metakogníció, számolás

tunk

6


Tanári útmutató

7

II. A kör és az egyenes (4 óra) 1. A kör és az egyenes kölcsönös helyzete (frontális ismétlés)

Rendszerezés, figyelem, deduktív és induktív következtetés

2. A kör és az egyenes viszonylagos helyzetével kapcsolatos tapaszta- Kooperáció, kommunikáció, latszerzés (csoportmunka)

metakogníció, becslés, kombinatív gon-

7.2 kártyakészlet, 7.3 munkalap

dolkodás 3. A kör és az egyenes metszéspontjainak száma

7. mintapélda

4. A kör és az egyenes közös pontjának alkalmazása


8. mintapélda

5. Feladatok megoldása (tetszőleges módszerrel, diákkvartett is)

metakogníció, becslés, ábrázolás

15–22. feladatok közül válogatunk

6. A kör és a koordinátatengelyek kapcsolata (speciális helyzetű, a koordinátatengelyek által érintett körök vizsgálata; diákkvartett)


9. mintapélda feldolgozása

metakogníció, becslés, ábrázolás

7. Feladatok megoldása (tetszőleges módszerrel)

23–26. feladatokból válogatunk

8. A kör egy adott pontjába húzható érintő egyenletének felírása (főleg csoportmunka) 9. Adott irányú érintő felírása

Kombinatív gondolkodás, képletek al-

10. mintapélda, 27. és 28.

kalmazása

feladat 29–32. feladat


Tanári útmutató

III. Vegyes feladatok (1 óra) 1. Feladatok megoldása (tetszőleges módszerrel)

Figyelem, példakövetés, rendszerezés,

33–57. feladatok közül vá-

kommunikáció, kooperáció

logatunk

8

7. modul: Koordinátageometria2 – A kör

Tanári útmutató

9

I. A kör egyenlete 7.1 kártyakészlet csoportalakításhoz Módszertani megjegyzés: Csoportalakításhoz használjuk a 7.1 kártyakészletet. Minden tanuló kap egy kártyát, amelyen két pont található: ezek egy szakasz végpontjai. A feladat a szakasz felezőpontjának meghatározása. Azok kerülnek egy csoportba, akiknek a felezőpontjai megegyeznek. A tanári kártyákon megtaláljuk a felezőpontokat, amelyeket a tanulói kártyák kiosztása után a csoportoknak megfelelő asztalokra rak le a tanár. A tanulók megkeresik a saját felezőpontjuknak megfelelő asztalt. A csoportok elrendeződése után a tanulók ábrázolják a pontokat koordináta-rendszerben és meghatározzák, milyen síkidomra illeszkednek az ábrázolt pontok. A kártyákat úgy állítottuk össze, hogy a felezőpont a kör középpontja, az ábrázolt pontok mindegyike ugyanazon a körön található. A továbbiakban a mintapéldákat és a feladatokat csoportmunkában oldják meg a tanulók. A Tanulók könyvét nem használhatják, a feladatokat a bemutató segítségével vetítjük ki. Az első óra célja a kör egyenletének felfedezése, ezért lehetőség szerint tartózkodjunk a megoldások közlésétől. Amennyiben egy csoport rossz nyomon jár vagy nincs ötlete, válasszon ki egy csoporttagot, aki a többi csoportban, végső esetben a tanárnál keres segítséget, majd a saját csoportjához visszatérve irányítja a megoldást. Javasoljuk, hogy a kártyakészlet használata után ráhangolódásként ismételjük át a kör és az alakzat egyenletének fogalmát. Ezt célszerű diákkvartett keretében megtenni, amelynek kérdései a következők lehetnek: 1. Válasszátok ki a kör fogalmát a következő definíciók közül! a) Egy adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza. b) Két adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkon. c) Egy adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkon. Megoldás: c) 2. Válasszátok ki a helyes meghatározást! Egy alakzat egyenletén a koordináta-rendszerben… a) olyan görbét értünk, amely összekapcsolja az alakzat pontjait. b) olyan összefüggést értünk, amelyet az alakzat pontjainak koordinátái, és csak azok tesznek igazzá. c) olyan szabályt értünk, ami az alakzat pontjaira igaz. Megoldás: b)

Matematika „A” – 11. évfolyam

Tanári útmutató

10

Mintapélda1 Jelölje k a C(3; – 5) középpontú, 10 egység sugarú kört. a) Ábrázoljuk a kört koordináta-rendszerben! b) Döntsük el a P(–7, – 5), Q(15; –5), R(9; 3) és S(3; –13) pontokról, hogy illeszkednek-e k-ra! Megoldás: Az esetek többségében az ábráról nem olvasható le pontosan az illeszkedés, ezért ellenőrzésnek használjuk a Pitagorasz-tételt! Ne felejtsük el, hogy 8; 6 és 10 pitagoraszi számhármast alkotnak. P és R illeszkednek, S és Q nem illeszkedik a körre. c) Keressünk további pontokat, amelyek illeszkednek k körre! Módszertani megjegyzés: k egész koordinátájú pontjai: (–7; – 5), (–5; 1), (–3; 3), (3; 5), (9, 3), (11; 1), (13; –5), (11; – 11), (9; –13), (3, –15), (–3; –13), (–5; –11). Kerekasztal módszerrel javasolt: d) Határozzuk meg, hogy a kör hol metszi a tengelyeket! Megoldás: A négyzetrács adta lehetőségeket kihasználva, Pitagorasz-tétel segítségével határozzuk meg a tengelymetszetekhez tartozó távolságokat. Például az ábrán pirossal jelölt derékszögű háromszögben a nagyobb befogó hossza: 10 2 − 32 = 91 ≈ 9,5 . Így az y tengellyel alkotott metszéspontok: K(0, 4,5)és M(0; –14,5). Hasonlóan, a másik jelölt derékszögű háromszögben az x tengelyen található befogó hossza: 10 2 − 5 2 = 75 ≈ 8,7 . Az x tengellyel alkotott metszéspontok: N(11,7; 0) és L(–5,7; 0).


Tanári útmutató

11

e) A kör egy pontjának abszcisszája (x koordinátája) –1. Határozzuk meg a pont hiányzó ordinátáját (y koordináta)! Megoldás: A tengelymetszetek esetében alkalmazott módszert használjuk: megkeressük a megfelelő derékszögű háromszöget a négyzetrácson. d = 10 2 − 4 2 = 84 ≈ 9,2 .

Két pontot találtunk. F(–1; 4,2) és G(–1; –14,2).

Módszertani megjegyzés: A következő mintapélda megoldásakor versenyt is rendezhetünk a csoportok között: ki talál több pontot 3 perc alatt. Érdemes felhívni a figyelmet arra is, hogy az a) feladat megoldásakor ne csak az egész koordinátájú pontokra gondoljanak.

Mintapélda2 a) Jelölje g az x 2 + y 2 = 25 egyenletű görbét. Keressünk olyan pontokat, amelyek illeszkednek a görbére és ábrázoljuk a megtalált pontokat koordináta-rendszerben! Megoldás: A 3; 4; 5 pitagoraszi-számhármas (azaz igaz rá, hogy

32 + 4 2 = 5 2 ). Ennek ismeretében az egész koordinátájú pontokat könnyű megtalálni: (0; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 0). A szimmetria miatt ezen pontok tükörképei a tengelyekre és az origóra szintén a görbe pontjai, pl. (–3; 4) vagy (–3; –4). Nem egész koordinátájú pontok a görbén például

(2; −

)(

)

21 , − 3,5; 12,75 stb.

A pontok egy körön helyezkednek el.


Tanári útmutató

12

b) Jelölje k az (x + 2) + ( y − 3) = 25 egyenletű görbét. Keressünk olyan egész koordinátájú 2

2

pontokat, amelyek illeszkednek a görbére és ábrázoljuk a megtalált pontokat koordinátarendszerben!

Megoldás: Az a) feladathoz hasonlóan járunk el. A pontok most is egy körön helyezkednek el. Az egész koordinátájú pontok: (3; 3), (2; 6), (1; 7), (–2; 8), (–5; 7), (– 6; 6), (–7; 3), (– 6; 0), (–5; –1), (–2; –2), (1; –1), (2; 0). Módszertani megjegyzés: Próbáljuk felíratni a csoportokkal az 1. mintapéldában található kör pontjainak x és y koordinátái közötti összefüggést (a kör egyenletét)! Javasoljuk, hogy adjunk néhány percet a megoldásra, és amelyik csoport megtalálta az egyenletet, kapjon elismerést. A 2. mintapéldában kapott ponthalmazok körök, amelyeknek egyenletei: x 2 + y 2 = 25 , illetve

(x + 2)2 + ( y − 3)2 = 25 . Az 1. mintapéldában található kör középpontja C(3; –5), sugara 10 egység, és a kör pontjainak koordinátáira érvényes az (x − 3) + ( x + 5) = 100 összefüggés. 2

2

Ezek az egyenletek a körvonal minden pontjának koordinátáira érvényesek, és a körvonalra nem illeszkedő pontok koordinátái nem teszik igazzá az egyenleteket. A C(u; v) középpontú, r sugarú kör egyenlete:

(x − u )2 + ( y − v )2 = r 2 Mintapélda3 Írjuk fel az A(–6; 4) és B(2; –2) végpontú AB szakasz Thalész-körének egyenletét! Megoldás:

A köregyenlethez a középpont koordinátáira és a sugárra van szükség. •

⎛ a +b a +b ⎞ A középpont az AB szakasz felezőpontja: F ⎜ 1 1 ; 2 2 ⎟ = F (− 2;1) . 2 ⎠ ⎝ 2

•

A sugár az AB szakasz hosszának a fele, és AB =

(a1 − b1 )2 + (a2 − b2 )2

= 64 + 36 = 10 .


Tanári útmutató

13

Az (x − u ) + ( y − v ) = r 2 köregyenletbe behelyettesítve az u = −2; v = 1 és r = 5 értéke2

ket:

2

[ x − (− 2) ] 2 + ( y − 1)2 = 25 , ahonnan a megoldás: (x + 2)2 + ( y − 1)2 = 25 .

Feladatok 1. Írd fel az AB szakasz Thalész-körének egyenletét, ha a szakasz végpontjai:

a) A(–6; 0), B(0; 0);

b) A(2; –6), B(–4; 6);

c) A(6; 4), B(–4; 1).

Megoldás: a) A középpont C(–3; 0) felezőpont, a sugár az AB távolság fele: 3 egység. A köregyenlet: (x + 3) + y 2 = 9 ; b) (x + 1) + y 2 = 45 ; c) (x − 1) + ( y − 2,5) = 27,25 . 2

2

2

2

2. Egy rádióadó helye a koordináta-rendszerben a P(5; –4) pont, és az adás 13 egység su-

garú körben fogható. Döntsd el az alábbi pontokról ábrázolás nélkül, hogy azokban fogható-e a rádióadás? A(–8; –4), B(0; 7), C(–10; 0), D(10; 8), E(16; 2), F(16; –2), G(–2; –16). Megoldás: Fogható az A, B, D, E, F pontokban, nem fogható a C és a G pontban. 3. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelyik az (x + 2) + ( y − 4) = 20 körrel koncent2

rikus, és

a) kétszer akkora sugarú;

2

b) áthalad az A(3; – 5) ponton!

Megoldás: a) A kör egyenletéből leolvassuk a középpontot: (–2; 4) és a sugarat:

20 . Kettővel

szorozva az új sugár 2 20 = 80 , ezért a keresett kör egyenlete:

(x + 2)2 + ( y − 4)2 = 80 . b) A sugár a középpont és az A pont távolsága: 106 . A keresett kör egyenlete:

(x + 2)2 + ( y − 4)2 = 106 .


Tanári útmutató

14

4. Írd fel az ábrán látható négyzetbe, illetve köré írható körök egyenleteit!

Megoldás: a) C (0; 3) ; a beleírható kör esetén r = 3; x 2 + ( y − 3) = 9 , a köré írható kör esetén 2

r = 3 2; x 2 + ( y − 3) = 18 ; 2

b) C (− 1,5;1,5) ; a beleírható kör esetén r = 4,5; (x + 1,5) + ( y − 1,5) = 20,25 , a köré írha2

2

tó kör esetén r = 4,5 2; ( x + 1,5) + ( y − 1,5) = 40,5 ; 2

2

c) C (2; − 2 ) ; a beleírható kör esetén r = 4; ( x − 2) + ( y + 2) = 16 , a köré írható kör ese2

2

tén r = 4 2; ( x − 2 ) + ( y + 2 ) = 32 . 2

2

5. Egy négyzet három oldalegyenesének egyenlete: y = −5; y = 7; x = 3 .

a) Írd fel a négyzet csúcsainak koordinátáit! b) Írd fel a négyzetbe írható kör egyenletét! c) Írd fel a négyzet köré írható kör egyenletét! Megoldás: a) Két megoldást találunk. Az egyik négyzet csúcsai: (3; 7), (3; –5), (15; 7), (15; –5), a másik négyzet csúcsai: (3; 7), (3; –5), (–9; 7), (–9; –5).


Tanári útmutató

15

b) A körök sugara 6 egység, középpontjai (9; 1), illetve (–3; 1). Az egyenletek:

(x − 9)2 + ( y − 1)2 = 36 , illetve (x + 3)2 + ( y − 1)2 = 36 . c) A köré írható körök sugara 6 2 egység, középpontjai szintén (9; 1), illetve (–3; 1). Az egyenletek: (x − 9) + ( y − 1) = 72 , illetve (x + 3) + ( y − 1) = 72 . 2

2

2

2

Módszertani megjegyzés: Javasoljuk, hogy a következő feladat a) és c) részét a tanulók csoportmunkában, a másik részfeladatot pedig önállóan oldják meg (esetleg házi feladatként). 6. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja a C pont, és érinti az e egye-

nest!

a) C (0; 0 ), e : y = −6 ;

b) C (− 1; 2 ), e : x = 3 ;

c) C (3; − 2 ), e : 4 x − 3 y = −7 ;

d) C (6; − 4 ), e : 3 x − 4 y = −16 .

Megoldás: A megoldáshoz a tanulók készítsenek ábrát. Az a) és b) feladatban a sugár leolvasható az ábráról, azonban a c) és a d) esetében a C pont, valamint a C ponton áthaladó, e-re merőleges egyenes és e metszéspontjának távolsága a sugár. b) (x + 1) + ( y − 2) = 16 ; 2

a) x 2 + y 2 = 36 ; c) (x − 3) + ( y + 2 ) = 25 ; 2

2

2

d) (x − 6) + ( y + 4) = 100 . 2

2

A kör egyenletének különböző alakjai Módszertani megjegyzés: A mintapéldák semmilyen új ismeretet nem igényelnek, viszont a tanulókat problémamegoldás során rávezetik az új ismeretek alkalmazására. Javasoljuk, hogy a tanulók ne a Tanulók könyvét használják, hanem bemutató segítségével, csoportban dolgozzák fel a mintapéldák feladatait. A kör egyenletét az előzőektől eltérő algebrai alakban is felírhatjuk. Például az

(x − 2)2 + ( y + 5)2 = 9

kör egyenlete felírható négyzetre emelés és rendezés után az

x 2 + y 2 − 4 x + 10 y + 20 = 0 alakban is. Az algebrai átalakítások továbbra is ugyanannak a körnek az egyenletét adják. Például: 3x 2 + 3 y 2 − 12 x + 30 y + 60 = 0

1 2 1 2 x + y − 2 x + 5 y + 10 = 0 2 2

Szokás az ilyen módon megadott köregyenletet a kör általános egyenletének nevezni.

Mintapélda4


Tanári útmutató

16

Párosítsuk össze az ugyanazt a kört leíró köregyenleteket! A. (x + 4) + y 2 = 25 2

1. 9 x 2 + 9 y 2 + 30 x + 36 y − 47 = 0

2

1⎞ ⎛ B. x + ⎜ y − ⎟ = 1 2⎠ ⎝

2. 2 x 2 + 2 y 2 − 32 x − 20 y − 22 = 0

2

2

5⎞ ⎛ 2 C. ⎜ x + ⎟ + ( y + 2) = 12 3⎠ ⎝

3. 4 x 2 + 4 y 2 − 4 y − 3 = 0

D. (x − 8) + ( y − 5) = 100

4. x 2 + y 2 + 8 x − 9 = 0

2

2

Megoldás: Elvégezzük a hatványozást és megvizsgáljuk, kell-e az eredményként kapott kifejezést tovább alakítani, hogy megegyezzen a jobb oldali oszlop valamelyik kifejezésével.

(x + 4)2 + y 2 = 25

⇒ x 2 + 8 x + 16 + y 2 = 25

/ − 25

⇒

x 2 + y 2 + 8x − 9 = 0 ;

2

1⎞ 1 1 3 ⎛ x + ⎜ y − ⎟ = 1 ⇒ x 2 + y 2 − 2 ⋅ ⋅ y + = 1 ⇒ x 2 + y 2 − y − = 0 /⋅ 4 2⎠ 2 4 4 ⎝ 4x 2 + 4 y 2 − 4 y − 3 = 0; 2

2

5⎞ 5 25 ⎛ 2 2 + y 2 + 4 y + 4 = 12 / − 12 ⎜ x + ⎟ + ( y + 2 ) = 12 ⇒ x + 2 ⋅ ⋅ x + 3 3 9 ⎠ ⎝ 10 47 = 0 /⋅ 9 x2 + y2 + x + 4 y − 3 9 9 x 2 + 9 y 2 + 30 x + 36 y − 47 = 0 ;

(x − 8)2 + ( y − 5)2 = 100

⇒ x 2 − 16 x + 64 + y 2 − 10 y + 25 = 100 / − 100 x 2 + y 2 − 16 x − 10 y − 11 = 0

/⋅ 2

2 x + 2 y − 32 x − 20 y − 22 = 0. 2

2

Így az egymásnak megfelelő párok: A – 4; B – 3; C – 1; D – 2. Észrevehetjük, hogy a kör egyenlete kétismeretlenes, másodfokú egyenlet, de nem minden kétismeretlenes másodfokú egyenlet kör egyenlete. Tudnunk kell eldönteni egy másodfokú, kétismeretlenes egyenletről, hogy az köregyenlet-e vagy sem, és a köregyenletből tudnunk kell meghatározni a kör középpontját és sugarát. A kör egyenletének általános alakja: Ax 2 + Ay 2 + Bx + Cy + D = 0 , ahol A ≠ 0 . Vegyük észre, hogy ebben az egyenletben az x2 és y2 tag együtthatója egyenlő, és nincs benne xy-os tag. Csak az ilyen alakú egyenlet lehet kör egyenlete!


Tanári útmutató

17

Mintapélda5 Határozzuk meg a következő körök középpontját és sugarát! a) x 2 + y 2 + 10 x − 6 y − 15 = 0

b) 2 x 2 + 2 y 2 − 2 x − 2 y − 1 = 0

c) x 2 + y 2 + 4 x + 2 y + 21 = 0

d) x 2 − 7 x + y 2 + 2 y + 13,25 = 0

Megoldás: Az egyenlet bal oldalán teljes négyzetet tartalmazó kifejezéseket alakítunk ki. a) x 2 + y 2 + 10 x − 6 y − 15 kifejezésben x 2 + 10 x az (x + 5) kifejezésben található, hiszen 2

(x + 5)2 = x 2 + 10 x + 25 . Hasonlóan:

( y − 3)2 = y 2 − 6 y + 9 .

y 2 − 6 y az ( y − 3) kifejezés része: 2

Ennek megfelelően az egyenlet bal oldalát átalakítjuk:

x 2 + y 2 + 10 x − 6 y − 15 = 0

⇒

(x + 5)2 − 25 + ( y − 3)2 − 9 − 15 = 0

Átrendezve:

(x + 5)2 + ( y − 3)2 = 49

A kör egyenlete:

(x − u )2 + ( y − v )2 = r 2

/ + 49

Ezeket összehasonlítva u = −5 , v = 3 és r 2 = 49 adódik, ahonnan a kör középpontja C(– 5; 3), sugara 7 egység. b) A teljes négyzetté alakítás előtt az egyenletet 2-vel osztjuk, hogy az x2 és az y2 kifejezések együtthatója 1 legyen. Elvégezzük a teljes négyzetté alakítást: 1 x + y −x− y− =0 2 2

2

2

⇒

2

1⎞ 1 ⎛ 1⎞ 1 1 ⎛ ⎜x − ⎟ − +⎜ y − ⎟ − − = 0 2⎠ 4 ⎝ 2⎠ 4 2 ⎝ 2

2

1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ ⎜x − ⎟ +⎜ y − ⎟ =1 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝

⎛1 1⎞ A köregyenlettel ezt összevetve, a középpont: C ⎜ ; ⎟ , a sugár 1 egység. ⎝2 2⎠ c) Elvégezzük a teljes négyzetté alakításokat: x 2 + y 2 + 4 x + 2 y + 21 = 0

⇒

(x + 2)2 − 4 + ( y + 1)2 − 1 + 21 = 0 (x + 2)2 + ( y + 1)2 = −16

–16 nem lehet egy valós szám négyzete (így a sugáré sem), ezért az egyenlet nem köregyenlet. (Egy „üres alakzat” egyenlete.)


Tanári útmutató

18

d) Átalakítás után x 2 − 7 x + y 2 + 2 y + 13,25 = ( x − 3,5) − 3,5 2 + ( y + 1) − 1 + 13,25 = 2

2

= ( x − 3,5) + ( y + 1) − 13,25 + 13,25 = ( x − 3,5) + ( y + 1) , vagyis (x − 3,5) + ( y + 1) = 0 . 2

2

2

2

2

2

Ez azt jelenti, hogy a „kör” sugara nulla: csak a (3,5; –1) koordinátájú pont elégíti ki az egyenletet.

Mintapélda6 Válasszuk ki az alábbi egyenletekből a köregyenleteket! a) x 2 + y 2 − 10 x + 19 = 0

b) 8 x 2 + 8 y 2 − 4 x + 12 y + 9 = 0

c) x 2 − y 2 − 2 x + 2 y + 2 = 0

d) 2 x 2 + 2 y 2 + 24 x + 32 y = 0

Megoldás: 2

2

a) (x − 5) + y = 6 , köregyenlet;

1⎞ ⎛ 3⎞ 1 ⎛ b) ⎜ x − ⎟ + ⎜ y + ⎟ = − , nem köregyenlet; 4⎠ ⎝ 4⎠ 2 ⎝

c) nem köregyenlet;

d) (x + 6 ) + ( y + 8) = 100 , köregyenlet.

2

2

2

2

Feladatok Módszertani megjegyzés: Javasoljuk, hogy a feladatokat csoportmunkában oldják meg a tanulók. Minden csoporttag egy-egy részfeladat megoldásával járul hozzá a csoport eredményéhez. Kijelölhetünk feladatokat, mintha feladatlapot oldana meg a csoport, és a füzeteket szúrópróbaszerűen ellenőrizzük az óra végén. Használhatunk diákkvartett módszert is, de ekkor adjunk időt arra is, hogy a gyerekek egymást ellenőrizzék a csoporton belül.

7. Melyik köregyenlethez melyik középpont tartozik?

A. (x − 6) + ( y + 2) = 10 ;

B. x 2 + y 2 + 5 x − 5 y + 0,5 = 0 ;

C. x 2 + y 2 + 6 x − 2 y + 2 = 0 ;

D. x 2 + y 2 − 7 x − 3 y = 0 ;

2

1. (− 2,5; 2,5) ;

2

2. (− 3; 1) ;

3. (6; − 2 ) ;

Megoldás: A–3; B–1; C–2; D–4.

8. Melyik pont nem lesz egyik körnek sem a középpontja?

A. x 2 + y 2 − 16 x − 10 y − 11 = 0 ;

B. x 2 + y 2 + 3 y − 10 = 0 ;

⎛7 3⎞ 4. ⎜ ; ⎟ . ⎝2 2⎠


C. x 2 + y 2 − 2 x + 2 y + 2 = 0 ;

B–1;

19

D. 9 x 2 + 9 y 2 − 6 x − 1 = 0 ;

⎛1 ⎞ 2. ⎜ ; 0 ⎟ ; ⎝3 ⎠

1. (0; − 1,5) ;

Megoldás: A–3;

Tanári útmutató

3. (8; 5) ;

4. (2; − 2 ) .

D–2; a 4. pont egyik körnek sem a középpontja.

9. Határozd meg a következő egyenletekkel megadott körök középpontját, sugarát!

a) x 2 + y 2 − 24 x − 6 y + 89 = 0 ;

b) x 2 + y 2 + 2,5 x + 5 y + 3,8125 = 0 ;

c) 4 x 2 + 4 y 2 + 8 x − 8 y − 1 = 0 ;

d) 3x 2 + 4 x + 3 y 2 − 8 y = 0 .

Megoldás: a) C (12 ; 3); r = 8 ;

b) C (− 1,25 ; − 2,5); r = 2 ;

c) C (− 1; 1) ; r = 1,5 ;

20 ⎛ 2 4⎞ d) C ⎜ − ; ⎟ ; r = . 3 ⎝ 3 3⎠

Módszertani megjegyzés: A következő feladatokat vezessük vissza síkgeometriai feladatra, hiszen a szerkesztés menetét követve egyszerűen megoldhatóak.

10. Ábrázold a koordináta-rendszerben a következő egyenletekkel megadott köröket!

a) x 2 + y 2 − 4 x + 3 y = 0 ;

b) x 2 + y 2 + 8 x − 10 y + 5 = 0

c) 25 x 2 + 25 y 2 + 20 x + 160 y + 196 = 0 ;

d) 20 x 2 + 20 y 2 − 220 x − 140 y − 595 = 0 .

Megoldás: a) C (2 ; − 1,5) , r = 2,5 ; b) C (− 4 ; 5), r = 6 ;

c) C (− 0,4 ; − 3,2 ), r = 1,6 ;

d) C (5,5 ; 3,5) , r = 8,5 . 11. A k kör két pontja A(2 ; − 1) és B (6 ; 7 ) , és középpontja illeszkedik a 2 y = x + 6 egye-

nesre. Válaszd ki, hogy a következő egyenletek közül melyik lehet k egyenlete? A. x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 6 = 0 ;

B. x 2 + y 2 + 4 x − 8 y − 6 = 0 ;

C. x 2 + y 2 − 4 x − 8 y − 5 = 0 ;

D. 2 x 2 + 2 y 2 − 8 x + 16 y + 5 = 0 .

Megoldás: C. a k kör egyenlete. A kör középpontját az AB szakasz felezőmerőlegesének és az e egyenesnek a metszéspontja adja.


Tanári útmutató

20

AB(b1 − a1 ; b2 − a2 ) = AB(4 ; 8) , ami az f egyenes normálvektora, a felezőpont:

⎛ a +b a +b ⎞ F ⎜ 1 1 ; 2 2 ⎟ = F ( 4 ; 3) . 2 ⎠ ⎝ 2 1 Ebből az egyenes egyenlete: f : y = − x + 5 , e és f metszéspontja: C (2 ; 4 ) , a kör suga2 ra pl. az AC távolság: 5 egység. k egyenlete: (x − 2) + ( y − 4) = 25 , négyzetre emelés és összevonás után a C. egyenle2

2

tet kapjuk. Módszertani megjegyzés: A következő feladatokhoz készítsenek a tanulók ábrát a koordinátarendszerben. Ehhez hasonló egyszerű feladatokat találunk a modul végén levő, „Vegyes feladatok” részben is.

12. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek érintője az y = 4 egyenes, azon az érin-

tési pont a P(5; 4 ) pont, és a sugara 7 egység. Az egyenletet összeg alakban add meg! Megoldás: Az ábra elkészítése után leolvasható a középpont: C (5 ; − 3) ,

a kör egyenlete: (x − 5) + ( y + 3) = 49 , 2

2

a négyzetre emelés és rendezés után a megoldás: x 2 + y 2 − 10 x + 6 y − 15 = 0 .

13. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely felezi a x 2 + y 2 + 10 x + 14 y + 14 = 0

egyenletű kör területét, és illeszkedik az A(2; 5) pontra! Megoldás:


Tanári útmutató

21

A kör egyenletét átalakítva az (x + 5) + ( y + 7 ) = 60 egyenletet kapjuk, ahonnan a kö2

2

zéppont: C(– 5; – 7). Az AC átmérő egyenese felezi a kör területét. CA(7; 12 ) az irányvektor, amiből a keresett egyenes egyenlete: 12 x − 7 y = −11 .

14. Az ABC háromszög átfogójának két végpontja: A és B. A harmadik csúcsról tudjuk,

hogy valamelyik koordinátatengelyre illeszkedik. Határozd meg a háromszög harmadik csúcsát! (Ügyelj a megoldások számára is!) a) A(− 7 ; − 7 ), B(1; − 1) ;

b) A(− 2 ; 6 ), B (14 ; − 6 ) ;

c) A(− 5 ; 2 ), B(− 5 ; − 6 ) ;

d) A(2 ; − 6 ), B(6 ; 2 ) .

Megoldás: a) Az AB szakasz Thalész-körének egyenlete: (x + 3) + ( y + 4) = 25 , amelynek ten2

2

gelymetszetei: (0; 0), (– 6; 0) és (0; – 8). b) Az AB szakasz Thalész-körének egyenlete: (x − 6) + y 2 = 100 , amelynek tengely2

metszetei: (16; 0), (– 4; 0), (0; 8) és (0; – 8). c) Az AB szakasz Thalész-körének egyenlete: (x + 5) + ( y + 2 ) = 16 , amelynek ten2

(

) (

2

)

gelymetszetei: 2 3 − 5 ; 0 és − 2 3 − 5 ; 0 . d) Az AB szakasz Thalész-körének egyenlete: (x − 4) + ( y + 2 ) = 20 , amelynek ten2

gelymetszetei: (0; 0), (0; – 4) és (8; 0).

2


Tanári útmutató

22

II. A kör és az egyenes A kör és az egyenes kölcsönös helyzete

Az egyenesek metszéspontját a koordináta-rendszerben úgy határoztuk meg, hogy megoldottuk az egyenleteikből álló egyenletrendszert. Akkor említettük, hogy ez a módszer általános esetben, bármely két alakzat metszéspontjának kiszámításához, így kör és egyenes esetében is használható. Egy kör és egy egyenes metszéspontját úgy határozzuk meg, hogy megoldjuk az egyenleteikből álló egyenletrendszert. Természetesen ennek a másodfokú, kétismeretlenes egyenletrendszernek nincs mindig megoldása. A megoldás során az is kiderül, hogy milyen a kör és az egyenes kölcsönös helyzete. Ha az egyenletrendszernek nincs megoldása, akkor az egyenesnek és a körnek nincs közös pontja, egy megoldás esetén érintő, két megoldás esetén metsző az egyenes. 7.2 kártyakészlet és 7.3 munkalap

Módszertani megjegyzés: A téma feldolgozását tapasztalatszerzéssel kezdjük. Egyszerű köregyenletek és egyenesegyenletek által meghatározott egyenletrendszer megoldásait kell elvégeznie a tanulónak. Minden tanuló húz 1-1 kártyát a 7.2 kártyakészletből, amelyen három kör-egyenes pár található (a 4. kártyát a csoport leggyakorlottabb tagjának ajánljuk). Két dolgot kell megállapítani a megoldás során: 1. Mi dönti el a megoldás folyamata során, hogy hány metszéspontja van a körnek és az egyenesnek? 2. Milyen a kör és az egyenes kölcsönös helyzete: A kártya betűjelét a csoport mun-


Tanári útmutató

23

kalapjának megfelelő helyére írja. A 7.3 munkalap szabályos háromszög alakú (amelyet a tanár előre kivág a mellékelt dokumentum nyomtatása után). Az A eseteknél nincs közös pont, az érintő esetek B, a metsző esetek mind C jelűek a helyesen kitöltött munkalapon. Javasoljuk, hogy óra végén házi feladatnak ugyanezeket a feladatokat adjuk fel, de a tanulók cseréljenek egymással kártyát.

Módszertani megjegyzés: Amennyiben szükséges, ismételjék át a másodfokú egyenlet megoldóképletének és diszkriminánsának fogalmát, használatát!

Mintapélda7 Határozzuk meg az (x − 2 ) + ( y + 5) = 20 és az y + 2 x = −5 egyenes közös pontjainak szá2

2

mát! Megoldás: Megoldjuk a két egyenletből álló egyenletrendszert, pl. behelyettesítő módszerrel. Az egyenes egyenletéből y = −2 x − 5 , így a (− 2 x − 5) kifejezést y helyére a köregyenletbe behelyettesítjük:

(x − 2)2 + [(− 2 x − 5) + 5]2 = 20

⇒

x 2 − 4 x + 4 + 4 x 2 = 20

5 x 2 − 4 x − 16 = 0 másodfokú egyenlet adódik.

⇒

(x − 2)2 + (− 2 x )2 = 20 , a négyzetre emelések után:


Tanári útmutató

24

A metszéspontok száma attól függ, hogy ennek a másodfokú egyenletnek hány megoldása van. A megoldások számát a diszkrimináns dönti el: D = (− 4) − 4 ⋅ 5 ⋅ (− 16 ) = 336 . 2

Mivel a diszkrimináns pozitív, az egyenletnek két megoldása van, vagyis az egyenes (két pontban) metszi a kört.

Mintapélda8 Az (x − 1) + ( y + 2 ) = 25 egyenletű körnek mely pontjai vannak egyenlő távolságra az 2

2

A(8 ; 2) és a B (10 ; − 4 ) pontoktól? Megoldás: A keresett pontok az AB szakasz felezőmerőlegesének és a körnek a metszéspontjai. A szakasz felezőpontja F (9 ; − 1) , f normálvektora az AB (2 ; − 6 ) . A 1 felezőmerőleges egyenes egyenlete: f : y = x − 4 . 3 A kör és f metszéspontjának kiszámításához az f egyenletéből és a kör egyenletéből álló egyenletrendszert kell megoldani. Célszerű az egyenes egyenletéből x-et kifejezni, mert így egész együtthatókkal számolhatunk : f : 3 y = x − 12

⇒

x = 3 y + 12 .

Ezt beírjuk a kör egyenletébe:

(3 y + 12 − 1)2 + ( y + 2)2 = 25

⇒

(3 y + 11)2 + ( y + 2)2 = 25 . Négyzetre emelés és rende-

zés következik, majd megoldjuk a kapott másodfokú egyenletet: 9 y 2 + 66 y + 121 + y 2 + 4 y + 4 − 25 = 0

⇒ 10 y 2 + 70 y + 100 = 0 / : 10 y 2 + 7 y + 10 = 0

y1, 2 =

− 7 ± 49 − 4 ⋅1⋅10 − 7 ± 3 = 2 2

⇒

y1 = −5 ; y 2 = −2 . Két metszéspontot kaptunk.

Mindkettőhöz kiszámítjuk a hiányzó abszcisszát: x1 = 3 ⋅ (− 5) + 12 = −3 , illetve x2 = 3 ⋅ (− 2 ) + 12 = 6 . A keresett pontok: (–3; –5) és (6; –2).


Tanári útmutató

25

Feladatok Módszertani megjegyzés: Igaz-hamis kérdések következnek, amelyeket diákkvartett keretében javasolnuk feldolgozni. Ajánlott a bemutató használata. 1. Az (x + 2 ) + ( y − 4 ) = 16 kört érinti az y tengely. 2

2

Megoldás: Hamis, az x tengelyt érinti. 2. Az (x + 5) + ( y − 2) = 36 kört érinti az y = 8 egyenes. 2

2

Megoldás: Igaz. 3. Az x 2 + y 2 = 18 kört érinti az y = − x + 6 egyenes.

Megoldás: x 2 + (6 − x ) = 18 2

⇒

x 2 − 6x + 9 = 0

⇒

(x − 3)2 = 0 , az egyenes érinti a

kört. Az állítás igaz. 4. Az (x − 3) + ( y + 3) = 9 egyenletű kör mindkét koordinátatengelyt érinti. 2

2

Megoldás: Igaz. A következő feladatok megoldását csoportmunkában javasoljuk, ezért találunk a feladatokban a) – d) pontokat. Érdemes felhívni a gyerekek figyelmét a csoporton belüli munkamegosztásra!

15. Határozd meg a kör és egyenes kölcsönös helyzetét az alábbi feladatokban! Ha az

egyenes metsző vagy érintő, akkor határozd meg az érintési, illetve a metszéspontokat is!

a) (x − 4) + ( y + 2) = 25 és y = x + 2 ; 2

2

b) (x − 3) + ( y + 5) = 100 és x = −7 ; 2

2

c) x 2 + y 2 + 6 x + 4 y − 12 = 0 és y = x − 4 ; d) (x − 6) + ( y + 9) = 169 és 2 x + 3 y = 11 . 2

2

Megoldás: Módszertani megjegyzés: A d) feladatot a csoport „leghaladóbb” diákjának adjuk. a) A másodfokú egyenlet: 2 x 2 + 7 = 0 . Nincs megoldása, nincs közös pont. b) A másodfokú egyenlet: ( y + 5) = 0 . Egy megoldás van, az érintési pont: (–7; –5). 2

c) A másodfokú egyenlet: x 2 + x − 6 = 0 . Metsző, a metszéspontok: (–3; –7) és (2; –2). 3 11 behelyettesítése után: y 2 + 6 y − 27 = 0 . Metsző d) A másodfokú egyenlet x = − y + 2 2 egyenes, a metszéspontok: (1; 3) és (19; –9).


Tanári útmutató

26

Módszertani megjegyzés: A következő két feladat ugyanazokat a számolásokat igényli, de az első egyszerűbb (az érintőre merőleges egyenes leolvasható az ábráról).

16. Egy kör áthalad az (1; 2) ponton, és egyik érintőjének egyenlete az e : y = 10 . Az e

egyenes –3 abszcisszájú pontja az érintési pont. Írd fel a kör általános egyenletét (az egyenlet nem tartalmaz teljes négyzetet)! Megoldás: Az érintési pont: A(–3; 10), abból e-re merőleges egyenest állítunk, melynek egyenlete: g : x = −3 . A kör középpontja ezen is, és az AB húr felezőmerőlegesén is megtalálható, ezért ezek metszéspontja a középpont. AB(b1 − a1 ; b2 − a2 ) = AB(4 ; − 8) , és AB felezőpontja F (− 1; 6 ) . Ezekből felírjuk f egyenletét: y =

1 13 x + . Megoldjuk az f és g egyenleteiből 2 2

álló egyenletrendszert: C (− 3; 5) , a kör sugara egyenlő az AC távolsággal: 5 egység. Így a kör egyenlete (x + 3) + ( y − 5) = 25 , átalakítva x 2 + y 2 + 6 x − 10 y + 9 = 0 . 2

2

17. Egy kör áthalad a (6; – 11) ponton, és egyik érintőjének egyenlete e : 3x + 4 y = 24 . Az

e egyenes 3 ordinátájú pontja az érintési pont. Írd fel a kör általános egyenletét! Megoldás: Az érintési pont (e egyenletébe y = 3 behelyettesítéséből): A(4; 3). A kör középpontja rajta van az érintőre az érintési pontban állított merőleges egyenesen: g-n. e normálvektora (3; 4), amelyet 90°-kal elforgatva kapjuk a g egyenes normálvektorát: (– 4; 3). Az egyenes egyenlete: g : −4 x + 3 y = −7 . Az A(4; 3) és az adott B(6; –11) pont által meghatározott húr felezőmerőlegesének egyenlete f : x − 7 y = 33 . f és g egyenleteiből álló egyenletrendszer megoldása adja a kör


Tanári útmutató

27

középpontját: C(–2; –5). A kör sugara egyenlő az AC távolsággal: AC =

(a1 − c1 )2 + (a2 − c2 )2

= 10 .

A kör egyenlete (x + 2 ) + ( y + 5) = 100 , átalakítva x 2 + y 2 + 4 x + 10 y − 71 = 0 . 2

2

Módszertani megjegyzés: A következő két feladatnak lényegében ugyanaz a megoldási módszere. Javasoljuk az a) feladatrészeket „ellenőrzés párban” módszerrel megoldani, a b) feladatrészeket önálló munkára (például házi feladatnak) kijelölni. A feladatokat vektor elforgatásával is meg lehet oldani.

18. Egy egyenlőszárú háromszög alapjának két csúcsa A és B, az alaphoz tartozó magas-

ságvonal hossza m egység. Határozd meg a háromszög harmadik csúcsának koordinátáit! a) A(1; 3), B(− 3 ; − 3), m = 52 ;

b) A(− 3; 5), B(3; − 1), m = 2 2 .

Megoldás: A harmadik csúcs az AB szakasz felezőmerőlegesének (f) és az AB felezőpontja mint középpont által meghatározott, m sugarú k körnek a metszéspontja. a) K (− 1; 0 ) , AB(− 4 ; − 6 ) ⇒

f : 2 x + 3 y = −2 és

k : ( x + 1) + y 2 = 52 . Megoldva az egyenletrend2

szert, két csúcspont adódik: C1 (5 ; − 4 ) és C2 (− 7 ; 4 ) .

b) K (0 ; 2 ) , AB(6 ; − 6 ) ⇒

f : y = x + 2 és

k : x 2 + ( y − 2) = 8 . Megoldva az egyenletrend2

szert, két csúcspont adódik: C1 (2 ; 4 ) és C 2 (− 2 ; 0 ) .

19. Egy rombusz egyik átlójának végpontjai: A és C. A másik átló hossza d egység. Hatá-

rozd meg a másik két csúcs koordinátáit! a) A(− 5 ; 2), C (7 ; − 4 ), d = 4 5 ; Megoldás:

b) A(− 5 ; 4 ), C (7 ; − 5), d = 10 .


Tanári útmutató

28

A hiányzó csúcsok az AC szakasz felezőmerőlegesének (f) és az AC-nek a felezőpontja mint középpont által meghatározott, b) K (1; − 1) , AC (12 ; − 6 ) ⇒

d sugarú körnek (k) a metszéspontjai. 2

f : 2 x − y = 3 és

k : ( x − 1) + ( y + 1) = 20 . Megoldva az egyenlet2

2

rendszert, a két hiányzó csúcspont: B(− 1; − 5) és D(3; 3) .

b) K (1; − 0,5) , AC (12 ; − 9 )

⇒

f : 8 x − 6 y = 11

és k : ( x − 1) + ( y + 0,5) = 25 . Megoldva az egyen2

2

letrendszert, a két hiányzó csúcspont: B(− 2 ; − 4,5) és D(4 ; 3,5) .

Módszertani megjegyzés: A következő feladatot a „nagy” számolási igény miatt javasolt csoportmunkában feladni. Egy hasonló példát találunk a Vegyes feladatok témakörben, a modul végén is.

20. A derékszögű háromszög egyik befogójának csúcsai: (0; 5) és (4, –3) a köré írt kör

sugara 2 10 egység. Határozd meg a háromszög hiányzó csúcsát! Megoldás: A megoldás stratégiáját úgy dolgozzuk ki, hogy azt visszavezetjük síkgeometriai esetre. Vázlatot készítünk – a köréírt kör sugara az A és a C csúcsok ismeretében a BC befogó szerkeszthető: az AC-re állított merőleges egyenesen az A ponttól a B pont 2r távolságban van. A feladatnak négy megoldása van. Legyen A(0; 5), C(4, –3). Mindkét pontban merőlegest állítunk az AC szakaszra, és

felírjuk az A, illetve C köré írható, 4 10 sugarú körök egyenletét. A háromszög harmadik csúcsa az egyenesek és a körök metszéspontjaként adódik.


Tanári útmutató

AC (4 ; − 8) az egyenesek normálvekto-

ra, így e1 : x = 2 y + 10 és e2 : x = 2 y − 10 . A körök egyenletei:

k1 : x 2 + ( y − 5) = 160 és 2

k 2 : (x − 4 ) + ( y + 3) = 160 . Megoldva 2

2

az e1, k1, illetve az e2, k2 egyenletrendszereket, kapjuk a négy derékszögű háromszög hiányzó csúcsát: B1(8; 9), B2(12; 1), B3(–8; 1) és B4(–4; –7).

21. Egy egyenlőszárú háromszög alapjának két csúcsa A(2; 5) és B(10; 1), a harmadik

csúcs az x 2 + y 2 − 2 x − 6 y − 90 = 0 egyenletű körön található. a) Melyek a háromszög harmadik csúcsának koordinátái? b) Határozd meg a háromszög(ek) súlypontját! c) Határozd meg a háromszög alapjának hosszát! d) Mekkora a háromszög(ek) területe? Megoldás: a) Az AB felezőpontja: F (6 ; 3) , felezőmerőlegesének egyenlete: f : y = 2 x − 9 . Ezt behelyettesítjük a kör egyenletébe. Rendezés után kapjuk az x 2 − 10 x + 9 = 0 másodfokú egyenletet, amelynek megoldásai 1 és 9. Így két pontot kapunk harmadik csúcsnak: C1 (9 ; 9 ) és C 2 (1; − 7 ) . b) Az ABC1 háromszög súlypontja: ⎛ 2 + 10 + 9 5 + 1 + 9 ⎞ S⎜ ; ⎟ = S (7 ; 5) . Az ABC2 három3 3 ⎠ ⎝ ⎛ 2 + 10 + 1 5 + 1 − 7 ⎞ ⎛ 13 1 ⎞ ; szög súlypontja: S ⎜ ⎟ = S⎜ ; − ⎟ . 3 3 ⎠ 3⎠ ⎝ ⎝3

c) AB =

(b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2

= 80 ≈ 8,9 egység.

29


Tanári útmutató

30

d) A háromszög magassága: FC1 = 45 , ezért az ABC1 háromszög területe 80 ⋅ 45 = 30 . FC 2 = 125 , ezért az ABC2 háromszög területe 2

80 ⋅ 125 = 50 t.e.. 2

22. Határozd meg, hogy mekkora területű körszeleteket vág le az x 2 + y 2 = 100 egyenletű

körből a 2 y = x − 10 egyenletű egyenes! Megoldás: A két egyenletből álló egyenletrendszerből kapjuk az y 2 + 8 y = 0 egyenletet, amelyből a két metszéspont: A(10 ; 0 ) és B(− 6 ; − 8) . Az α szög III. síknegyedbe eső részének tangense

6 , ahonnan az 8

a szögrész 36,87°, az egész α szög ennél 90°-kal nagyobb: kb. 126,9°. Az α szögű körszelet területe:

126,9° 1 ⋅10 2 π − 10 2 sin 126,9° ≈ 70,76 t.e., a másik kör360° 2

szelet területe ezt a kör területére egészíti ki: 10 2 π − 70,76 ≈ 243,4 t.e..

A kör érintője Egyes körrel kapcsolatos koordinátageometriai feladatokban bonyolult lenne visszavezetni a megoldást az elemi geometriában megtanult ismereteinkre, ezért ilyen esetekben ezt nem is érdemes megpróbálni. Módszertani megjegyzés: Ilyen a következő feladat is, amivel a mintapéldában foglalkozunk: adott a kör két nem párhuzamos érintője (e és f) és egy pont (P), ami illeszkedik a körre. Szerkesszük meg a kört! A feladatot hasonlóság segítségével oldjuk meg. A kör középpontja illeszkedik az érintők által alkotott szög felezőjére. (Jelölje A az érintők metszéspontját.) Szerkesztünk egy tetszőleges, az érintőket érintő k kört a szögfelező egy tetszőleges K pontja köré, amelyet elmetszünk az AP egyenessel. A k kör és az AP egyenes metszéspontjai, valamint a K pont által meghatározott egyenesekkel (g és h) párhuzamosokat húzunk a P ponton keresztül, és ezeknek a szögfe-


Tanári útmutató

31

lezővel alkotott metszéspontjai adják a keresett körök középpontjait (C1 és C2). Ezek után a körök (k1 és k2) könnyen megszerkeszthetők.

A fenti megoldást meglehetősen problémás koordinátageometriai módszerekre átültetni. Olyan feladatok következnek, amelyeknél a megoldási terv elkészítésekor és végrehajtásakor célszerűbb a koordinátageometriai ismereteinkre támaszkodni.

Mintapélda9 Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amelyik érinti mindkét koordinátatengelyt, és áthalad az (1, – 8) ponton! Megoldás: Módszertani megjegyzés: Javasoljuk, hogy a mintapéldát csoportmunkában oldjuk meg, tanári kérdésekkel irányítva (esetleg diákkvartett formájában). A kérdések (utasítások) lehetnek például a következők: 1. Vázoljuk fel, hogy a keresett kör hogyan helyezkedik el a koordináta-rendszerben! 2. A köregyenlet felírásához u, v és r értékét kell meghatározni. Ebben a feladatban milyen kapcsolat van a keresett értékek között? Megoldás: u= r és v = – r. 3. Írjuk fel a kör egyenletetét, és alakítsuk át úgy, hogy csak r legyen benne ismeretlen! Megoldás: (x − r ) + ( y + r ) = r 2 . 2

2

4. Milyen információt nem használtunk még fel a megoldás során? Megoldás: Hogy a P pont illeszkedik a körre. 5. Mit jelent az, hogy egy pont illeszkedik egy alakzatra?


Tanári útmutató

32

Megoldás: Koordinátái igazzá teszik az egyenletét. 6. Végezzük el a behelyettesítést! Milyen egyenletet kaptunk? Oldjátok meg! Megoldás: r-re másodfokút: r 2 − 18r + 65 = 0 , a megoldások 13 és 5. 7. Írjuk fel a körök egyenleteit! Megoldás: (x − 13) + ( y + 13) = 169 és (x − 5) + ( y + 5) = 25 . 2

2

2

2

Kiindulunk az (x − u ) + ( y − v ) = r 2 köregyenletből 2

2

és abból, hogy a keresett kör – elhelyezkedése következtében – milyen kapcsolatok találhatók az ismeretlen u, v és r között. A vázlat elkészítése után leolvashatók a következő összefüggések: (hiszen r > 0 , de v < 0)

u = r és v = −r

Ezeket a köregyenletbe helyettesítve az az

(x − r )2 + ( y + r )2 = r 2

egyenletté egyszerűsödik.

Mivel a megadott pont illeszkedik a körre, koordinátáit behelyettesítve igazzá válik a kör egyenlete: (1 − r ) + (− 8 + r ) = r 2 . ebben már csak r az ismeretlen, vagyis r-re má2

2

sodfokú egyenletet kapunk. Elvégezzük a négyzetreemelést és az összevonást: 1 − 2r + r 2 + 64 − 16r + r 2 = r 2

/ − r2

r 2 − 18r + 65 = 0

18 ± 18 2 − 4 ⋅ 65 18 ± 8 = r1, 2 = 2 2

⇒

r1 = 13 r2 = 5

A megoldások: (x − 13) + ( y + 13) = 169 és (x − 5) + ( y + 5) = 25 . 2

2

2

2

A megoldás során a köregyenletet egyszerűsítettük mindaddig, amíg egyetlen ismeretlent tartalmazó egyenletet kaptunk. A következőkben is ezt a módszert követjük a feladatok megoldása során.


Tanári útmutató

33

Feladatok Módszertani megjegyzés: Jobban haladó csoportoknál a csoport tagjainak célszerű a következő hasonló jellegű feladatokból 1-1 részfeladatot feladni. Például 20/a, 21/a, 22. és 23. Ha a csoporttagok nem boldogulnak a saját feladatukkal, akkor „szakértői mozaik” módszert alkalmazva összegyűlnek az azonos feladatot végzők, és együtt keresik a megoldást. Fontos, hogy minden csoporttag megismerje a többiek példáinak a megoldását is.

23. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelyik érinti mindkét koordinátatengelyt, és

áthalad az

a) A(8; 1);

b) B(–4; 2);

c) C(– 8; – 9) ponton!

Megoldás: a) (x − 13) + ( y − 13) = 169 és (x − 5) + ( y − 5) = 25 ; 2

2

2

(x + 2)2 + ( y − 2)2 = 4 ;

b) (x + 10) + ( y − 10) = 100 és 2

2

c) ( x + 5) + ( y + 5) = 25 és 2

2

2

(x + 29)2 + ( y + 29)2 = 841 .

24. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelyik áthalad az (1; 2) ponton, a sugara 5 egy-

ség és érinti az

a) x tengelyt;

b) y tengelyt!

Megoldás: a) v = r = 5 , csak u marad ismeretlen:

(1 − u )2 + (2 − 5)2 = 52 , ahonnan u1 = −3; u 2 = 5 , a megoldások: (x + 3) + ( y − 5) = 25 , illetve 2

2

(x − 5)2 + ( y − 5)2 = 25 . b) u = r = 5 , csak v marad ismeretlen:

(1 − 5)2 + (2 − v )2 = 52 , ahonnan v1 = −1; v2 = 5 , a megoldások:

(x − 5)2 + ( y − 5)2 = 25 , illetve (x − 5)2 + ( y + 1)2 = 25 . 25. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a (3, – 4) ponton, középpontja az

y = 2 x egyenesre illeszkedik és érinti az x tengelyt! Megoldás: r = | v | és v = 2u miatt a köregyenlet alakja: (x − u ) + ( y − 2u ) = (2u ) . Behelyettesít2

ve a megadott pont koordinátáit

(3 − u )2 + (− 4 − 2u )2 = (2u )2

u 2 + 10u + 25 = 0 . Megoldása u = −5 . A keresett kör egyenlete:

(x + 5)2 + ( y + 10)2 = 100 .

2

2

adódik, ahonnan


Tanári útmutató

34

26. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a (6, 2) ponton, középpontja az

y = 2 x + 1 egyenesre illeszkedik és érinti az x tengelyt! Megoldás: v = r , és v = 2u + 1 miatt a köregyenlet alakja: (x − u ) + ( y − 2u − 1) = (2u + 1) . behe2

2

2

lyettesítve a megadott pont koordinátáit (6 − u ) + (1 − 2u ) = (2u + 1) adódik, ahonnan 2

2

2

u 2 − 20u + 36 = 0 . Megoldásai 18 és 2. A keresett körök egyenlete: (x − 18) + ( y − 37 ) = 1369 és (x − 2) + ( y − 5) = 25 . 2

2

2

2

Mintapélda10 Írjuk fel az (x + 3) + ( y − 1) = 25 egyenletű körnek az (1, 4) pontra illeszkedő érintőjét! 2

2

Megoldás: Módszertani megjegyzés: A mintapélda feldolgozását csoportmunkában, a bemutató segítségével, projektorral kivetítve javasoljuk. Direkt eredményközlés helyett – amennyiben szükséges – a megoldás lépéseire utaló rávezető kérdésekkel segítsük a tanulók munkáját: 1. Hol helyezkedik el az adott pont a körhöz képest? 2. Milyen tulajdonsága van a kör egy pontjába húzott érintőnek? Készítsetek vázlatot! 3. Milyen adatok kellenek az egyenes egyenletének felírásához? 4. (Mi lesz a sugár vektora?) Melyik egyenesegyenletet célszerű használni?

Jelölje P az (1, 4) pontot! Behelyettesítéssel ellenőrizzük, hogy a P illeszkedik-e a körre:

(1 + 3)2 + (4 − 1)2 = 16 + 9 = 25 , vagyis P a körvonal egy pontja. A kör középpontja: C(– 3; 1), sugara 5 egység. Elkészítjük a vázlatot, berajzoljuk az érintőt, valamint az érintési pontba húzott sugár vektorát (r = CP ). Az érintő merőleges a sugárra, ezért r az érintő normálvektora. r = CP( p1 − c1 ; p 2 − c2 ) ⇒ ⎧n(4 ; 3) e:⎨ ⎩ P(1; 4)

r(4; 3).

Ax + By = Ax0 + By0 4 x + 3 y = 4 ⋅1 + 4 ⋅ 3


Tanári útmutató

35

Az érintő egyenlete e : 4 x + 3 y = 16 .

Feladatok 27. Írd fel a k kör P pontjába húzható érintőjének egyenletét!

a) k : ( x − 2) + ( y + 3) = 25 , P(5 ; 1) ; 2

2

b) k : ( x − 1) + ( y − 3) = 100 , P(− 7 ; − 3) ; 2

2

c) k : x 2 + y 2 + 8 x + 12 y − 117 = 0 , P(8 ; − 1) d) k : x 2 + y 2 + 8 x − 14 y − 35 = 0 , P(4 ; 1) Megoldás: a) 3x + 4 y = 19 ; b) 4 x + 3 y = −37 ; c) 12 x + 5 y = 91 ; d) 4 x − 3 y = 13 .

28. Írd fel az x 2 + y 2 = 169 egyenletű kör 5 abszcisszájú pontjaiba húzható érintők egyen-

letét! Megoldás: x = 5 értéket behelyettesítünk a köregyenletbe, ezáltal megkapjuk az érintési pontok ko-

ordinátáit: (5 ; 12 ) és (5 ; − 12 ) . A kör középpontja az origó, ezért a sugarak vektorai

(5 ; 12) és (5 ; − 12) . Az érintők egyenletei: 5 x + 12 y = 169 , illetve 5 x − 12 y = 169 . Módszertani megjegyzés: A középszintű érettségi követelményrendszer csak a kör egy adott pontjába húzott érintő egyenletének felírását követeli meg. Azonban érdemes foglalkozni egy adott egyenessel párhuzamos, illetve egyszerűbb esetekben a külső pontból húzott érintő egyenletének felírásával is. Ezeket elsősorban a matematika iránt fogékonyabb diákoknak ajánljuk, mert megoldásuk egy-egy ötletet kíván. A feladatok többféle módon is megoldhatók, az egyik az y = mx + b alakú egyenlet alkalmazása. Mivel az érintővel kapcsolatos feladatok megoldásakor ez általában célravezető módszer és a diszkrimináns vizsgálatát is ismételjük a segítségével, mi is ezt helyeztük előtérbe.


Tanári útmutató

36

29. Írd fel az x 2 + y 2 = 25 egyenletű kör 3x + 4 y = 0 egyenletű egyenessel párhuzamos

érintőinek egyenletét! Megoldás: Keressük az érintőt y = mx + b alakban, hiszen a meredekségét meghatározhatjuk a megadott egyenes meredekségéből. Párhuzamos egyenesek meredeksége egyenlő, az 3 3 adott egyenesé pedig y = − x miatt − , az egyenes egyenletéből csak a b értéke isme4 4 retlen: y = −

3 x + b . Ezt behelyettesítve a köregyenletbe másodfokú egyenlet adódik, 4

amelynek egy megoldása van (érintő: egy közös pontja van a körrel). 25 x 2 − 24bx + 16b 2 − 400 = 0 ,

(

)

D = (− 24b ) − 4 ⋅ 25 ⋅ 16b 2 − 400 = 0 2

⇒ 1024b 2 = 40 000

⇒

b1, 2 = ±6,25 .

3 25 3 25 A keresett érintők egyenletei: y = − x + és y = − x − . 4 4 4 4

30. Határozd meg az x 2 + y 2 = 16 egyenletű körnek azokat az érintőit, amelyek a P (− 10 ; 4 ) ponton haladnak keresztül.

Megoldás: Az egyik érintő egyenlete leolvasható: y = 4 . A másik érintő hajlásszöge meghatározható az ábrán jelölt egybevágó derékszögű háromszögekből: tg α =

4 10

⇒

α ≈ 21,8° . Ebből a PE érintő me-

redeksége tg (− 2 ⋅ 21,8°) ≈ −0,95 . Az iránytényezős egyenletet használva y = −0,95 x + b , és P koordinátái igazzá teszik ezt az egyenletet. b = −5,5 , így a PE érintő egyenlete kerekítésekkel: y + 0,95 x = −5,5 .

Megjegyzés: A meredekség pontosabban meghatározható a tg 2α =

gés alkalmazásával: m = −

2tg α összefüg1 − tg 2 α

20 . Így az érintő pontos egyenlete: 20 x + 21y = −116 . 21


Tanári útmutató

37

31. Határozd meg az (x − 5) + ( y − 3) = 9 egyenletű körnek azokat az érintőit, amelyek a 2

2

P(2 ; − 5) ponton haladnak keresztül.

Megoldás: A kör középpontja (5; 3), sugara 3 egység. P a körön kívül van. Az egyik érintő egyenlete leolvasható: x = 2 . A másik érintő hajlásszögére az ábrán jelölt derékszögű háromszögekből következtethetünk. tg α =

3 8

⇒

α ≈ 20,56° ; β = 90° − 2α ≈ 48,88°

m = tg β ≈ 1,15 , a keresett e érintő egyenlete:

1,15 x − y = 7,3 Módszertani megjegyzés: A meredekség pontosan meghatározható a tg 2α =

2tg α 1 − tg 2 α

összefüggés alkalmazásával, amelynek ismerete emelt szinten követelmény (de a függvénytáblázatban megtalálható): tg 2α =

48 55 ; m = tg β = tg (90° − 2α ) = ctg 2α = (≈ 1,15) . Így az érintő pontos egyenle55 48

te: 55 x − 48 y = 350 .


Tanári útmutató

38

Vegyes feladatok 32. Adott az ( x − 4 ) + ( y − 2) = 36 egyenletű kör. 2

2

a) Döntsd el az alábbi pontokról, hogy a kör belső vagy külső pontjai, vagy a körvonalra illeszkednek-e: A(− 1; 1), B (7 ; − 3), C (− 2 ; 5) ! b) Add meg a körnek azokat a pontjait, amelyek abszcisszája 4! Megoldás: a) A kör középpontja a K(4; 2), és r = 6 egység. Az adott pontok távolságát kell kiszámítani a középponttól. Ezek:

KA = 26 ≈ 5,1< r , ezért az A belső pont;

KB = 34 < r , ezért a B belső pont; KC = 45 > r , ezért a C külső pont. b) x = 4 behelyettesítése után az ( y − 2) = 36 egyenletet kapjuk, amelynek megoldásai 2

8 és – 4. A keresett pontok: (4 ; 8), (4 ; − 4 ) .

33. Mekkora a sugara annak a körnek, amely az x 2 + y 2 + 14 x − 6 y + 42 = 0 egyenletű kör-

rel koncentrikus, és átmegy a P(−1; 3) ponton? Megoldás: A kör egyenletét átalakítva megkapjuk a kör középpontját: (x + 7 ) + ( y − 3) = 16 , 2

2

C (− 7 ; 3) . A keresett sugár éppen a CP távolság: CP = 36 = 6 egység.

34. Egy négyzet szemközti csúcsai: A(− 5 ; − 3) és C (9 ; 5) . Írd fel a négyzet köré írható

kör egyenletét! Megoldás: A keresett kör az AC szakasz Thalész-köre. A felezőpont: F (2 ; 1) , a sugár: r = FC = 65 . A kör egyenlete: (x − 2) + ( y − 1) = 65 . 2

2


Tanári útmutató

39

35. Egy négyzet szomszédos csúcsai: A(− 3; − 2 ) és B(5 ; 0 ) . Írd fel a négyzet köré írható

kör egyenletét! Ügyelj a megoldások számára! 1. Megoldás: Két négyzetet kapunk megoldásnak. Az AB(8 ; 2 ) -t 90° és –90°-kal elforgatva, valamint a B pontba tolva megkapjuk a négyzetek egy-egy újabb csúcsát, amelyek A-val alkotott szakaszainak Thalész-körei lesznek a megoldások. C1 (3; 8), C 2 (7 ; − 8) , a középpontok: K1 (0 ; 3), K 2 (2 ; − 5) , a sugár: r = K1 B = K 2 B = 34 . A

megoldások: x 2 + ( y − 3) = 34 és (x − 2) + ( y + 5) = 34 . 2

2

2

2. Megoldás: OK 1 = k 1 = f + x 90° , ahol f =

a+b b−a , x= , 2 2

OK 2 = k 2 = f + x − 90° ; r =| x | 2 .

A konkrét adatok figyelembevételével x ( 4 ; 1 ) ; x 90° ( −1; 4 ) ; x − 90° ( 1; − 4 ) ; f ( 1; −1 ) ; K1 ( 0 ; 3 ); K 2 ( 2 ; − 5 ) .

A

keresett

körök

egyenlete:

x 2 + ( y − 3) = 34 2

és

(x − 2)2 + ( y + 5)2 = 34 . Megjegyzés: Ez a megoldási módszer mindig alkalmazható, ha egy négyzet két szomszédos csúcsa, vagy egy téglalap két szomszédos csúcsa az oldalak arányával adott, és a köré írt kör egyenletét keressük.

36. Írd fel az ábrán látható kör és egyenes e-

gyenletét, majd számítással határozd meg a metszéspontjukat!


Tanári útmutató

40

Megoldás:

1 2 2 A kör egyenlete: (x − 4) + ( y + 6) = 64 , az egyenesé y = − x − 5 . Innen x-et kifejezve: 2 x = −2 y − 10 , ezt behelyettesítve a köregyenletbe: (− 2 y − 14) + ( y + 6 ) = 64 , átalakí2

2

tás és rendezés után: 5 y 2 + 68 y + 168 = 0 . Ennek megoldásai y1 ≈ – 10,4 és y2 ≈ – 3,2, a metszéspontok:

(10,8 ; − 10,4) és (− 3,5 ; − 3,2) . 37. Írd fel annak a körnek az általános egyenletét, amelynek érintője az x = 5 egyenletű

egyenes, a sugara 6 egység és középpontja illeszkedik az 3 y + x = 8 egyenletű egyenesre! Megoldás:

Az ábra elkészítése után a középpont abszcisszája egyszerűen meghatározható. Két megoldást kapunk. g : x = −1, h : x = 11 , ezeknek az adott egyenes-

sel alkotott metszéspontjai adják a körök középpontját: C1 (− 1; 3) és C2 (11; − 1) . A körök egyenletei:

(x + 1)2 + ( y − 3)2 = 36 , átalakítva:

x 2 + y 2 + 2 x − 6 y − 26 = 0 , illetve

(x − 11)2 + ( y + 1)2 = 36 , átalakítva:

x 2 + y 2 − 22 x + 2 y − 86 = 0 .

38. Egy téglalap rövidebb oldalának csúcsai A(2; – 2) és B(– 2; 0). A hosszabb oldal hosz-

sza a rövidebb oldal hosszának másfélszerese. Határozd meg a téglalap köré írható kör egyenletét! Megoldás:

A megadott oldal vektorát az A pont körül 90°-kal mindkét irányban elforgatjuk, és szorozzuk 1,5-tel. Ezeket a vektorokat (például) a B pontba tolva megkapjuk a két téglalap harmadik csúcsát (C1 és C2). A téglalapok köré írt körök megegyeznek az AC1, illetve AC2 szakaszok Thalész-köreivel.


Tanári útmutató

41

Felezőpontokkal számolva K1 (1,5; 2 ) , illetve K 2 (− 1,5; − 4 ) . A körök sugarait két pont távolságának képletéből határozzuk meg: AC1 = 12 + 82 = 65 , a sugarak hossza 65 = 16,25 . A keresett körök egyenletei: 2 k1 : ( x − 1,5) + ( y − 2) = 16,25 , illetve k 2 : ( x + 1,5) + ( y + 4) = 16,25 . 2

2

2

2

39. Milyen messze van az x 2 + y 2 + 8 x + 6 y + 9 = 0 egyenletű kör középpontja a

3x + 2 y = 8 egyenletű egyenestől? Megoldás:

A kör középpontjából az egyenesre állított merőlegesből kimetszett szakasz hossza a keresett távolság. Átalakítjuk a köregyenletet: (x + 4) + ( y + 3) = 16 , a középpontja: C (− 4 ; − 3) . Felírjuk 2

2

a C ponton áthaladó, adott egyenesre merőleges e egyenes egyenletét, meghatározzuk a két egyenes metszéspontját és kiszámítjuk a metszéspont távolságát C-től. Az adott egyenes normálvektora (3; 2), ezt pl. – 90°-kal elforgatva kapjuk e normálvektorát: (2; –3). Az e egyenes egyenlete: 2 x − 3 y = 1 . Megoldva az egyenletrendszert, a metszéspont (2; 1), amelynek C-től való távolsága

52 ≈ 7,2 egység.

40. Egy derékszögű háromszög egyik befogójának végpontjai A(– 1; – 2) és C(1; 1), a má-

sik befogó hossza AC hosszának háromszorosa. Írd fel a derékszögű háromszög köré írt körének egyenletét!

Megoldás:


Tanári útmutató

42

AC (2 ; 3) 90°-os elforgatottjának háromszorosát és ennek a vektornak az ellentettjét a C

pontba tolva megkapjuk a háromszög harmadik csúcsát:

(9 ; − 6) C (1 ; 1) B1 (10 ; − 5)

(− 9 ; 6) C (1 ; 1) B2 (− 8 ; 7 )

A keresett körök AB1, illetve AB2 szakaszok Thalész-körei. A középpontok felezőpontok: K1 (4,5 ; − 3,5), K 2 (− 4,5 ; 2,5) , a körök sugara:

r=

AB1 AB2 130 = = = 32,5 . 2 2 2

A körök egyenletei: (x − 4,5) + ( y + 3,5) = 32,5 és (x + 4,5) + ( y − 2,5) = 32,5 . 2

2

2

2

Megjegyzés: Ugyanezt a két kört kapjuk, ha az elforgatott vektorokat az A pontba toljuk és CB3, illetve CB4 Thalész-köreit írjuk fel.

41. Egy derékszögű háromszög átfogójának egyik végpontja az A(– 5; 3) pont, derékszögű

csúcsa a C(4, 6). A háromszög harmadik csúcsa az x tengelyen van. Határozd meg a háromszög köré írható kör egyenletét! Megoldás:

Felírjuk az AC szakaszra merőleges a egyenes egyenletét és kiszámítjuk az x tengellyel alkotott metszéspontját (B). A derékszögű háromszög köré írt kör éppen az AB Thalész-köre. ⎧⎪n = AC (9 ; 3) 9 x + 3 y = 54 a:⎨ ⎪⎩C (4 ; 6) a : 3 x + y = 18 y = 0 ⇒ x = 6, B(6 ; 0 ) FAB (0,5 ; 1,5), r =

AB 130 = = 32,5 . 2 2

A kör egyenlete: (x − 0,5) + ( y − 1,5) = 32,5 . 2

2

42. Egy kör egyenlete x 2 + y 2 + 6 x + 8 y + 18,75 = 0 . Adott egy négyzet két szomszédos csúcsa: A(–8; –5) és B(–3; 6), és a négyzetnek van olyan pontja, amely az I.


Tanári útmutató

43

síknegyedben található. Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik a négyzetnek és a körnek is felezi a területét! Megoldás: A keresett egyenes áthalad a kör és a négyzet középpontján. A kör egyenletét átalakítva

(x + 3)2 + ( y + 4)2 = 6,25 , ahonnan a középpontja K(–3; –4). A négyzet harmadik csúcsa ( BA -t – 90°-kal való elforgatás után B pontba toljuk, így végpontja megadja a négyzet C csúcsának koordinátáit): C(8; 1). A négyzet középpontja az AC átló felezőpontja: F ( 0 ; − 2 ) Az FK egyenes felezi mindkét sík-

idom területét, egyenlete: y=

2 x −2. 3

44. Az derékszögű háromszög egyik befogójának csúcsai: (2; 5) és (4, –1), az átfogója 130 egység. Határozd meg a háromszög hiányzó csúcsának koordinátáit! Megoldás: Elemi geometriai ismereteinket felhasználva, a másik befogó egyenesét megkapjuk, ha mindkét pontban merőlegest állítunk az AC szakaszra. Felírjuk az A, illetve a C köré írható, 130 sugarú körök egyenletét. A háromszög harmadik csúcsa az egyenesek és a körök metszéspontjaként adódik. AC (2 ; − 6 ) az egyenesek normálvektora, így e1 : x = 3 y + 7 és e2 : x = 3 y − 13 . A körök

egyenletei: k1 : (x − 2 ) + ( y − 5) = 130 és 2

2

k 2 : ( x − 4 ) + ( y + 1) = 130 . Megoldva az egyenletrendszereket, kapjuk a négy derék2

2

szögű háromszög hiányzó csúcsát: B1 (11; 8), B2 (13; 2), B3 (− 7 ; 2), B4 (− 5 ; − 4) .


Tanári útmutató

44

44. Egy háromszög csúcsai A(− 3; 9 ), B(5 ; − 7 ), C (11; 11) . Írd fel a háromszög köré írható kör egyenletét! Megoldás: A háromszög köré írható kör középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja. Az oldalfelező pontok: F (4 ; 10 ) és G (1; 1) , az oldalvektorok AC (14 ; 2 ), AB (8 ; − 16 ) , az egyenesek f b : 7 x + y = 38 és f c : x − 2 y = −1 . Az egyenletrendszert megoldva, a kör középpontja: K (5 ; 3) , sugara r = KB = 10 egység (az ábráról leolvasható). A kör egyenlete: (x − 5) + ( y − 3) = 100 . 2

2

45. Egy számítógép monitorán olyan kört akarunk ábrázolni, amely három adott ponton halad keresztül. A pontok koordinátái: A(542 ; 384 ), B (611; 651), C (905 ; 483) . Határozd meg a három ponton áthaladó kör egyenletét! A monitoron a koordináta-rendszer kezdőpontját a bal alsó sarokhoz rögzítjük. Megoldás: A keresett kör az ABC háromszög köré írható kör, amelynek középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja. A BC oldal felezőpontja és oldalvektora: F (758 ; 567 ) , :42 BC (294 ; − 168) ⎯⎯→ n(7 ; − 4 ) , ahonnan f BC : 7 x − 4 y = 3038 . :3 Az AB oldalra hasonlóan: G (576,5 ; 517,5) , AB(69 ; 267 ) ⎯⎯→ n(23; 89 ) , ahonnan

f AB : 23 x + 89 y = 59317 . A két egyenes metszéspontja az egyenletrendszert megoldva

adódik: K (710 ; 483) , a sugár 195 egység. A kör egyenlete: (x − 710) + ( y − 483) = 38025 . 2

2

46. A PQRS négyszög csúcsai: P(3; –1), Q(1; 3), R(–6; 2) és S(–5; –5). Igaz-e, hogy a PQRS négyszög húrnégyszög?


Tanári útmutató

45

Megoldás: Azt ellenőrizzük, hogy az R pont illeszkedik-e a PQS háromszög köré írható körre. SP oldal felezőpontja (– 1; – 3), oldalvektora (8; 4), így az oldalfelező merőleges egyenlete 2 x + y = −5 . A PQ oldal felezőpontja (2; 1), oldalvektora (– 2; 4), oldalfelező merőlegesének egyenlete x = 2 y . A két felezőmerőleges metszéspontja K(– 2; – 1), a PQS háromszög köré írható kör sugara KP = 5 egység, a kör egyenlete:

(x + 2)2 + ( y + 1)2 = 25 . Behelyettesítve ebbe R koordinátáit (− 6 + 2) + (2 + 1) = 16 + 9 = 25 , és mivel igazzá 2

2

teszi a köregyenletet, R is illeszkedik a körre, a négyszög húrnégyszög. 47. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely az e : y + 2 x = −1 egyenest az E (− 2 ; 3) pontban érinti, és sugara

45 egység!

Megoldás: Az E ponton áthaladó, e-re merőleges f egyenes és az E középpontú,

45 egység suga-

rú k kör metszéspontjai lesznek a keresett körök középpontjai. Az e normálvektorát – 90°-kal elforgatva kapjuk f normálvektorát: n(1; –2), ebből az egyenlet: f : − x + 2 y = 8 . A k egyenlete (x + 2) + ( y − 3) = 45 . A kör egyenletébe az f 2

2

egyenletéből adódó x = 2 y − 8 behelyettesítése után az 5 y 2 − 30 y = 0 egyenletet kapjuk, amelynek megoldásai 0 és 6. A középpontok így (− 8 ; 0 ) és (4 ; 6 ) , a végeredmény:

(x + 8)2 + y 2 = 45 és (x − 4)2 + ( y − 6)2 = 45 . 48. Írd fel az x 2 + y 2 + 12 x + 16 y = 0 egyenletű kör –2 ordinátájú pontjaiba húzható érintők egyenletét! Megoldás: Az y = −2 értéket behelyettesítjük a kör egyenletébe, ezáltal megkapjuk az érintési pontokat: (2 ; − 2 ) és (− 14 ; − 2 ) . A köregyenlet átalakítva:

(x + 6)2 + ( y + 8)2 = 100 , a kör

középpontja a (− 6 ; − 8) pont, az érintési pontokhoz tartozó sugarak vektorai (8 ; 6 ) és

(− 8 ; 6) . Az érintők egyenletei: 4 x + 3 y = 2 , illetve

− 4 x + 3 y = 50 .


Tanári útmutató

46

49. Írd fel az x 2 + y 2 − 8 x − 4 y − 5 = 0 egyenletű körnek azokat az érintőit, amelyek párhuzamosak az e : y =

4 x egyenessel! 3

Megoldás: A kör C középpontján áthaladó, e-re merőleges f egyenes és a kör metszéspontjai az A és a B érintési pontok. Az ezeken áthaladó, e-vel párhuzamos egyenesek a keresett érintők. A kör egyenlete: (x − 4) + ( y − 2) = 25 , középpontja C(4; 2). f meredeksége a merőle2

gesség miatt −

2

3 3 , így az egyenlet f : y = − x + 5 . A kör egyenletébe behelyettesítve 4 4

kapjuk az x 2 − 8 x = 0 egyenletet, amelynek megoldásai 0 és 8. Az érintési pontok (0; 5) és (8; –1). Az y − y0 = m( x − x0 ) egyenletet használva a két érintő: y =

4 x + 5 és 3

3 y = 4 x − 35 . 4 x + b alakban keressük, behelyettesítés után a kapott 3 másodfokú egyenlet túlságosan bonyolult. Ezért másik utat választottunk. Megjegyzés: Ha az érintőt y =

50. Írd fel az x 2 + y 2 − 8 x + 6 y − 75 = 0 egyenletű körnek azokat az érintőit, amelyek merőlegesek a 3 y + 4 x = 0 egyenesre! Megoldás: 4 Az egyenes egyenletét átalakítva kapjuk az y = − x egyenletet. Az erre merőleges 3 egyenesek meredeksége Behelyettesítve

a

3 3 , vagyis keressük az egyenes egyenletét y = x + b alakban! 4 4

köregyenletbe

a

diszkrimináns

nulla,

amiből

kapjuk

a

b 2 + 12b − 120,25 = 0 egyenletet. Megoldásai 6,5 és –18,5, a keresett érintők egyenletei: y=

3 3 x + 6,5 és y = x − 18,5 . 4 4

Módszertani megjegyzés: A következő feladatok már előfordultak középszintű érettségin, vagy központilag kiadott mintafeladatsorban.

51. Egy kör sugarának hossza 4, középpontja a (–3; 5) pont. Írd fel a kör egyenletét! Megoldás: (x + 3) + ( y − 5) = 16 . 2

2


Tanári útmutató

47

52. Adott a síkon az x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 47 = 0 egyenletű kör. a) Állapítsd meg, hogy az A (7; 7) pont illeszkedik-e a körre! b) Határozd meg a kör középpontjának koordinátáit és a kör sugarát! c) Legyenek A (7; 7) és B (0; 0) egy egyenlő szárú háromszög alapjának végpontjai. A háromszög C csúcsa rajta van az x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 47 = 0 egyenletű körön. Számítsd ki a C csúcs koordinátáit! Megoldás: a) Az A pont koordinátáit behelyettesítjük a köregyenlet bal oldalába:

7 2 + 7 2 + 2 ⋅ 7 − 2 ⋅ 7 − 47 = 51 ≠ 0 , ezért A nem illeszkedik a körre. b) Átalakítjuk a köregyenletet: (x + 1) + ( y − 1) = 49 , ahonnan a középpont: (– 1; 1), a 2

sugár

2

49 = 7 egység.

c) A keresett pont az AB felezőmerőlegesének ( f ) és a körnek a metszéspontja. Az AB felezőpontja: F (3,5 ; 3,5) , az f normálvektora: AB(7 ; 7 ) . Az egyenlet f : y = − x + 7 . A köregyenletbe behelyettesítve kapjuk, hogy x 2 − 5 x − 6 = 0 , amelynek megoldásai 6 és –1. A C csúcsok: (6; 1) és (– 1; 8).

53. Tekintsük a koordináta-rendszerben adott A(6; 9), B(− 5; 4) és C(− 2; 1) pontokat! a) Mekkora az AC szakasz hossza? b) Írd fel az AB oldalegyenes egyenletét! c) Igazold (számítással), hogy az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van! d) Írd fel az ABC háromszög körülírt körének egyenletét! Megoldás: a) AC =

(a1 − c1 )2 + (a2 − c2 )2

=8 2.

90° b) AB(− 11; − 5) ⎯⎯ ⎯→ n(5 ; − 11) , az egyenlet: 5 x − 11y = −69 . c) A háromszög oldalainak hossza AC = 128 , AB = 146 , BC = 18 . Az oldalakra teljesül a Pitagorasz-tétel megfordítása: AC 2 + BC 2 = AB 2 , így az AC és a BC derékszöget zárnak be, C-nél 90°-os szög van. Megjegyzés: Ez az állítás más módon is igazolható, például: CA = ( 8 ; 8 ), CB = ( − 3 ; 3 ); CA ⋅ CB = 0 .


Tanári útmutató

48

d) Derékszögű háromszög esetén a köré írt kör megegyezik az átfogó (AB) Thalészkörével. Az AB felezőpontja F (0,5 ; 6,5) , a sugár r =

AB = 36,5 . A körülírt kör 2

egyenlete: (x − 0,5) + ( y − 6,5) = 36,5 . 2

2

54. Egy négyzet oldalegyenesei a koordinátatengelyek és az x = 1 , valamint az y = 1 egyenletű egyenesek. a) Ábrázold derékszögű koordináta-rendszerben a négyzetet és add meg csúcsainak koordinátáit! b) Írd fel a négyzet köré írható kör egyenletét! c) Állapítsd meg, hogy a négyzet kerülete hány százaléka a kör kerületének? d) Az y = −4 x + 2 egyenletű egyenes a négyzetet két részre bontja. Számítsd ki e részek területének arányát! Megoldás: a) A csúcsok koordinátái: (1; 1), (1; 0), (0; 1), (0; 0). b) A középpont: (0,5; 0,5), a sugár r =

2 , a kör egyenlete: 2

(x − 0,5)2 + ( y − 0,5)2 = 0,5 .

c) A négyzet kerülete 4 egység, a köré írt kör kerülete sett arány tehát

2π , a kere-

4 ⋅100 ≈ 90 % . 2π

d) A négyzetet az egyenes két trapézra osztja. Az ábrán jelölt A pont y koordinátája 1, ezért 1 = −4 x + 2 tén 0 = −4 x + 2

⇒

x=

⇒

x=

1 , míg a B pont ese4

1 . 2

1 1 + 3 a+c A kisebb trapéz területe T = ⋅ m = 4 2 ⋅1 = t.e., a másik trapéz területe 2 8 2 3 5 3 1 − = t.e.. Ezért a két rész területének aránya . 5 8 8


Tanári útmutató

49

55. Írd fel annak a két egyenesnek az egyenletét, amelyek párhuzamosak a 3x − 4 y = 0 egyenletű egyenessel, és érintik az x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 20 = 0 egyenletű kört! Megoldás: A köregyenletet átalakítjuk: (x − 1) + ( y + 2) = 25 , a középpont K(1, – 2). Meghatároz2

2

zuk az egyenesre merőleges, K ponton áthaladó egyenes és a kör metszéspontját, így megkapjuk az érintési pontokat. Az egyenes egyenlete: 4 x + 3 y = −2 , a körrel való metszéspontjai az egyenletrendszer megoldása után: (– 2; 2) és (4; – 6). Az érintők egyenletei: 3x − 4 y = 36 és 3x − 4 y = −14 .


Tanári útmutató

Kislexikon Az origó középpontú, r sugarú kör egyenlete: x 2 + y 2 = r 2 . A C (u ; v ) középpontú, r sugarú kör egyenlete: (x − u ) + ( y − v ) = r 2 . 2

2

A kör általános egyenlete: Ax 2 + Ay 2 + Bx + Cy + D = 0 , ahol A ≠ 0 .

50

Készítette: Vidra Gábor. 7. modul Koordinátageometria 2 A kör

Recommend Documents