Kajian Gejala Fisika dengan Scratch

Kajian Gejala Fisika dengan Scratch

Penulis : Prof. Dr. rer.nat. Wahyu Hardyanto M.Si.

Editor: Satria Nur Karim Amrullah

PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG iii


PRAKATA

Gejala fisika yang nyata atau real world physics sebenarnya sangat kompleks, sehingga diperlukan pendekatan dan pemanfaatan komputer. Pendekatan untuk hal tersebut adalah pendekatan numerik, sedangkan implementasinya berupa pemrograman komputer. Dalam hal pemrograman komputer, biasanya dipilih bahasa pemrograman yang sederhana dan mudah dipahami. Salah satu bahasa pemrograman yang cukup mudah untuk membuat program simulasi dan visualisasi gejala fisika adalah

Scratch. Scratch merupakan bahasa pemrograman yang dikembangkan oleh MIT Media Lab. Amerika Serikat. Yang juga menarik, perangkat lunak ini dapat digunakan secara gratis oleh siapa saja. Perbedaan yang mendasar jika dibandingkan dengan program konvensional, kode pada program

Scratch disusun dengan menggunakan gambar. Seperti menyusun puzzle. Berdasarkan penelitian yang dilakukan penulis terhadap penggunaan Scratch dan pendekatan numerik dalam mengkaji gejala fisika, penulis iv

akhirnya mencoba menyusun buku ini. Tujuannya adalah untuk meletakkan dasar teknik komputasi guna menyelesaikan persoalan-persoalan fisika, utamanya gejala fisika yang nyata atau real world physics. Gejala fisika biasanya disederhanakan dengan dengan menghilangkan faktor atau komponen yang kompleks menjadi rumusan yang ideal sebagaimana kebanyakan dalam buku teks. Hal tersebut dimaksudkan untuk menghindari pendekatan numerik atau penggunaan komputer. Namun dengan kemajuan teknologi

komputer

dan

kemudahan

dalam

memprogram,

akhirnya

komputer akan dapat mengubah peranannya menjadi sesuatu yang sangat dibutuhkan, utamanya oleh mahasiswa, guru dan dosen fisika. Dengan demikian komputer akan berfungsi sebagai alat perubahan dan akan menjadi komponen yang sangat penting pada saat belajar atau memahami gejala fisika. Hal yang tidak kalah pentingnya adalah mampu memberikan dorongan kreatifitas. Semoga buku ini bermanfaat.

Semarang, November 2014 Wahyu Hardyanto

v


DAFTAR ISI

PRAKATA

iii

DAFTAR ISI PENGENALAN SCRATCH

1

1.1

Instalasi Scratch

1

1.2 1.3 1.4

Kebutuhan Minimum Instalasi Scratch Offline Editor Instalasi Adobe Air Instalasi Scratch Offline Editor Mengenal IDE (Integrated Development Environment) Scratch Belajar Menggunakan Scratch Sharing Aplikasi berbasis Scratch

2 3 4 10 18

GERAK SATU DIMENSI

21

2.1

Gerak Benda Jatuh

21

2.2

Solusi Numerik

25

BAB 1

1.5 1.6 1.7 BAB 2

vi

v

5

GRAFIK PADA SCRATCH

33

3.1

Grafik Pada Layar Scratch

33

3.2

Garis Sumbu Kartesian pada Scratch

36

3.3 3.4

Grafik Kecepatan dan Percepatan Benda Jatuh Kode Program

39 41

DINAMIKA SATU DIMENSI

47

4.1

Benda pada Pegas

47

4.2 4.3 4.4

Ruang Phase Perbaikan Algoritma Kode Program

53 53 56

DINAMIKA DALAM DUA DIMENSI

65

5.1

Gerak Proyektil

65

5.2 5.3 5.4 5.5

Gerak Proyektil dengan Hambatan Udara Gerak Satelit Gerak Orbital Elektron mengitari Proton Kode Program

67 71 76 78

RANGKAIAN RC, LR, DAN LRC

85

6.1

Rangkaian RC

85

6.2 6.3 6.4

Rangkain LR Rangkaian LRC Kode Program

90 93 99

BAB 3

BAB 4

BAB 5

BAB 6

BAB 7

SISTEM TIGA BENDA (Three Body System)

113

7.1

Ion H2

+

113

7.2

Kode Program

122

vii


HAMBURAN RUTHERFORD

135

8.1

Tinjauan Fisika dari Eksperimen Hamburan Rutherford

136

8.2

Kode Program

145

BAB 8

BAB 9

DINAMIKA DALAM TIGA DIMENSI

151

9.1

Gerak Muatan dalam medan Magnet

151

9.2 9.3 9.4

Gerak Muatan dalam medan Magnet dan Listrik Grafik Tiga Dimensi Kode Program

153 159 160

DAFTAR PUSTAKA

viii

167

BAB

1

PENGENALAN SCRATCH

Pada bab pertama ini diberikan pengenalan mengenai Scratch.

Scratch adalah bahasa pemrograman visual berbasis blok kode yang didesain oleh Kindergarden Lifelong Learning Group di MIT untuk memperkenalkan konsep dasar pemrograman dalam bahasan yang interaktif dan menyenangkan. Dalam bahasa pemrograman Scratch, objek ( sprites) dimanipulasi dalam background (stage) dengan menggunakan berbagai

script. Setiap sprite memiliki script yang mengontrol interaksinya dengan sprite yang lain. Perangkat lunak ini menggunakan lisensi opensource MIT sehingga dapat digunakan secara gratis dan bebas oleh siapa saja. Perbedaan yang mendasar jika dibandingkan dengan program konvensional, kode pada program Scratch disusun dengan menggunakan gambar. Tipe penyusunan kode yang mirip dengan permainan lego ini diharapkan dapat memudahkan pembuat aplikasi pemula maupun yang sudah mahir.

1.1

Instalasi Scratch Scratch dikembangkan sebagai aplikasi berbasis Cloud Computing

yang memungkinkan pengguna dan pembuat aplikasi berbantuan Scractch dapat membagikan (sharing) ke pengguna lainnya, bahkan melihat kode


sumber (source code ) yang dikerjakan oleh pengguna lainnya.

Scratch

secara online dapat anda akses di laman http://scratch.mit.edu/. Pembuatan aplikasi dengan bantuan Scratch selain dapat dikerjakan secara online, anda juga dapat mengerjakan secara offline dengan menginstall aplikasi Scratch Offline Editor yang dapat anda unduh di laman http://scratch.mit.edu/scratch2download/ namun sebelumnya anda harus memiliki Adobe Air terlebih dahulu untuk menjalankan aplikasi ini. Scratch dapat dijalankan di berbagai sistem operasi seperti Mac, Windows dan Linux

1.2

Kebutuhan Minimum Instalasi Scratch Offline Editor Untuk meng-install atau menjalankan Scratch membutuhkan: 1) Layar (display) : 800 x 480 atau lebih besar (warna 16-bit atau lebih). 2) Sistem operasi : Windows 2000 atau yang terbaru, Mac OS X 10.4 atau yang terbaru, Linux Ubuntu 9.04 atau yang terbaru. 3) Hard disk 120 MB ruang bebas 4) Sebagian besar komputer memiliki memori yang cukup untuk menjalankan

tetapi

pada

komputer

yang

sangat

tua

(komputer dengan spesifikasi rendah) Scratch dapat berjalan lambat. 5) Instalasi Adobe Air

2

BAB 1 Sekilas Tentang Scratch

1.3

Instalasi Adobe Air Adobe Air ini singkatan dari Adobe Integrated Runtime yang merupakan

Runtime Environment antar platform yang dibangun menggunakan Adobe Flash, Adobe Flex, HTML, dan Ajax yang dapat dipasang sebagai aplikasi desktop.

Aplikasi Adobe Air dapat anda unduh di laman http://get.adobe.com/air/ , Kemudian jalankan aplikasi Adobe Air dengan klik ganda file tersebut.

Gambar 1. 1 . Jendela instalasi Adobe Air

Setelah sukses Adobe Air sukses terinstal, jalankan aplikasi Scratch.air yang telah anda unduh di laman : http://scratch.mit.edu/scratch2download/

3


1.4

Instalasi Scratch Offline Editor Klik ganda file Scratch.air Kemudian tentukan lokasi tempat instalasi,

secara default biasanya terletak di C:\Program Files. Jika ingin mengubah lokasi install, klik tombol bergambar folder. Setelah itu klik Continue Kemudian Klik Finish sebagai langkah akhir instalasi

Gambar 1. 2 Jendela Instalasi Scratch Offline

4


1.5

Mengenal IDE (Integrated Development Environment)

Scratch

Scratch IDE terdiri dari 3 bagian penting, yakni Code Block Area, Sprite Area dan Stage. Code Block Area menampilkan blok kode yang dapat kita masukkan ke dalam script aplikasi yang akan kita buat.Code Block terdiri dari

beberapa

kategori

seperti

Motion, Looks, Sound, Pen, Data,

Evente,Control, Sensing, Operators, dan More Block. Masing-masing kategori memiliki warna yang berbeda sehingga mudah ditentukan suatu blok kode berasal dari kategori yang mana.

Gambar 1. 3 Tampilan IDE Scratch 2 Offline Editor

5


Di sebelah kanan area blok kode (Code Block Area) adalah area

sprite. Informasi tentang sprite yang dipilih akan ditampilkan di bagian atas daerah ini. dia area ini tersedia tiga tab yang digunakan untuk mengontrol akses ke script (Script Tab), tampilan sprite (Custom Tab), dan Suara sprite (Sound Tab) . Di sebelah kiri area area blok kode (Code Block Area) adalah Stage,

Stage berfungsi sebagai layar dalam pembuatan aplikasi. di bagian bawah Stage terdapat daftar sprite (Sprite List) yang menampilkan daftar semua sprite yang digunakan dalam pembuatan aplikasi.

Tabel 1. 1 Daftar Scratch Block Category

No 1

Block Category Motion Blocks

6

Keterangan Blok berwarna biru medium, digunakan untuk mengontrol gerakan sprite

Block Move () Steps • Turn () Degrees • Point in Direction () • Point Towards () • Go to X: () Y: () • Go to () • Glide () Secs to X: () Y: () • Change X by () • Set X to () • Change Y by () • Set Y to () • If on Edge, Bounce • Set Rotation Style () • X Position • Y Position • Direction


2

Looks Blocks

Blok berwarna ungu , digunakan untuk mengontrol penampilan sprite

3

Sound Blocks

Blok berwarna ungu cerah, berfungsi untuk mengontrol suara dan fungsi MIDI

4

Pen Blocks

Blok berwarna hijau gelap, digunakan untuk mengontrol aspek pena Program Scratch

Say () for () Secs • Say () • Think () for () Secs • Think () • Show • Hide • Switch Costume to () •Next Costume • Switch Backdrop to () • Change () Effect by () • Set () Effect to () • Clear Graphic Effects • Change Size by () • Set Size to ()% • Go to Front • Go Back () Layers •Costume # • Backdrop Name • Size Play Sound () • Play Sound () Until Done • Stop All Sounds • Play Drum () for () Beats • Rest for () Beats • Play Note () for () Beats • Set Instrument to () • Change Volume by () • Set Volume to () % • Volume • Change Tempo by () • Set Tempo to () bpm • Tempo Clear • Stamp • Pen Down • Pen Up • Set Pen Color to () • Change Pen Color by () • Change Pen Shade by () •Set Pen Shade to () • Change 7


Pen Size by () • Set Pen Size to () 5

Control Blocks

Blok berwarna emas, digunakan untuk mengontrol script

6

Events Blocks

Blok berwarna coklat, digunakan untuk memicu script berjalan, Events Block sangat penting untuk setiap project aplikasi. Tanpa kategori ini project yang dikerjakan tidak akan bisa berjalan (running)

8

Wait () Secs • Repeat () • Forever • If () Then • If () Then, Else • Wait Until () • Repeat Until () • Stop () • When I Start as a Clone • Create Clone of () • Delete This Clone When Green Flag Clicked • When () Key Pressed • When This Sprite Clicked • When Backdrop Switches to ()• When () > () • When I Receive () • Broadcast () • Broadcast () and Wait


7

Sensing Blocks

Blok berwarna biru muda, digunakan untuk mendeteksi faktor yang berbeda dari proyek

8

Operators Blocks

Blok berwarna hijau muda, digunakan untuk script persamaan matematika dan penanganan string

9

Data Blocks

Blok berwarna oranye digunakan untuk mengontrol variabel

Touching ()? • Touching Color ()? • Color () is Touching ()? • Distance to () • Ask () and Wait • Answer • Key () Pressed? • Mouse Down? • Mouse X • Mouse Y • Loudness • Video () on () • Turn Video () • Set Video Transparency to ()% • Timer • Reset Timer • () of () • Current () • Days Since 2000 • Username • () Sensor Value • Sensor ()? () + () • () - () • () * () • () / () • Pick Random () to () • () < () • () = () • () > () • () and () • () or () • Not () • Join ()() •Letter () of () • Length of () • () Mod () • Round () • () of () () • Set () To () • Change () by () • Show Variable () • Hide Variable () • Add () to () • Delete () of () • Insert () at () of () • Replace Item () of () with () • Item () of () •Length of () • () 9


Contains () • Show List () • Hide List ()

10

More Blocks

1.6

Belajar Menggunakan Scratch

Blok berwarna ungu, digunakan untuk membuat Blok

Define () • () (Custom block)

Scratch merupakan salah satu bahasa yang cukup baru dalam pengembangannya. Cara tercepat dalam mempelajari Scratch adalah melalui percobaan. Dengan melakukan percobaan dengan kode blok yang tersedia anda akan semakin mahir dalam menyusun aplikasi berbasis Scratch yang anda inginkan. 1.6.1

Menulis Script Sederhana

Untuk menyusun script, klik dan drag blok kode yang anda inginkan ke Sprite Area, pada langkah kali ini kita menggunakan sprite kucing yang secara default disediakan oleh scratch. Pilih kategori Motion kemudian klik dan drag kode blok

. Untuk menguji

dampak dari kode blok tersebut klik ganda pada kode block

10


tersebut. Setelah

mencoba

memasukkan

script

tersebut,

Selanjutnya

tambahkan pemicu (trigger) untuk melakukan perintah tersebut dengan memilih kategori Events kemudian pilih

.

Kita telah menambahkan triger jika bendera hujau di klik maka aplikasi akan menjalankan perintah Sprite1 (kucing) bergerak sejauh 10 gerakan.

Gambar 1. 4 Contoh Script dengan trigger

1.6.1

Penambahan Variabel Variabel dalam dunia pemrograman sering disebut sebagai

identifier. Variabel adalah suatu peubah yang digunakan untuk menampung nilai yang dinamis (nilainya berubah) selama program berjalan (running). Penambahan variabel pada Scratch dapat dilakukan dengan memilih kategori blok kode Data kemudian Make a Variable, masukkan nama variabel dan status variabel, untuk pemilihan status variabel anda dapat memilih For all Sprites jika variabel yang anda 11


buat adalah variabel publik yang dapat diakses di seluruh sprite, atau For this sprite only jika variabel khusus hanya dibutuhkan di

sprite yang sedang aktif saja.

Gambar 1. 5 Membuat Variabel Baru di Scratch

Penggunaan Operator pada Scratch

1.6.2

Operator merupakan simbol yang menunjukkan suatu operasi yang dikenakan terhadap variabel. Operator terdiri dari Operator aritmatika, operator assignment, operator relasi, dan operator logika. Operator Aritmatik Operator aritmatik adalah operator digunakan untuk mendukung operasi aritmatika. Tabel 1. 2 Operator Aritmatik

Operator +

Operasi penambahan

12

Tipe Data

Tipe hasil

integer, real

integer, real

Contoh X+Y


–

pengurangan

integer, real

integer, real

Result - 1

*

Perkalian

integer, real

integer, real

P*Q

/

pembagian

integer, real

Real

X/2

Sisa

Integer

Integer

Y mod 6

mod

Operator Relasi Operator relasi berfungsi untuk membandingkan suatu nilai dengan nilai lain. Ekspresi yang menggunakan operator perbandingan akan selalu menghasilkan nilai boolean ( true dan

false) Tabel 1. 3 Operator Relasi

Tipe hasil

Contoh

simple, class, class reference, interface, string, packed string

Boolean

I = Max

Lebih kecil dari

simple, string, packed string, Pchar

Boolean

X
Lebih besar dari

simple, string, packed string, Pchar

Boolean

Len > 0

Operator

Operasi

=

Sama dengan

<

>

Tipe Data

13


Operator Logika Operator logika digunakan untuk mengkombinasikan kondisi, sehingga beberapa kondisi dapat dievaluasi atau diperiksa dalam sebuah ekspresi. Sebagai contoh logika AND akan bernilai true jika semua kondisi benar. Tabel 1. 4 Operator Logika

Operator

Operasi

Tipe Data

Tipe hasil

Contoh

not

Tidak

Integer

integer

not X

and

Dan

Integer

integer

X and Y

or

Atau

Integer

integer

X or Y

Penggunaan Operator di Scratch dapat dilakukan dengan memilih menu operators. Misal dalam percobaan kali ini kita menggunakan operator aritmatika sederhana.

Gambar 1. 6 Script Contoh Penggunaan Operator

1.6.3 14

Perulangan / Looping


Perulangan adalah bagian program yang bertugas mengulang statemen-statemen tertentu. Pada Scratch, Statement dapat berupa

single code block maupun multiple code block, untuk memasukkan perintah perulangan / looping, pilih kategori blok kode Control. Pada kategori ini ada beberapa perintah perulangan di antaranya

,

, dan

. Pada

percobaan ini kita akan menggunakan blok kode untuk melakukan pengulangan statement

, ketika

bendera hijau di klik.

Gambar 1. 7 Contoh Script dengan perulangan repeat sebanyak 20 kali

1.6.4

Percabangan / Flow Control Percabangan yang dimaksud disini adalah suatu pemilihan

yang didasarkan atas suatu kondisi tertentu. Suatu aksi akan akan dipilih jika kondisi yang didefinisikan telah dipenuhi. Pada Scratch blok kode untuk percabangan terdapat di kategori Control dengan 15


perintah blok kode if .. then dan if .. else serta blok kode yang mewakili percabangan dan perulangan yakni repeat .. until. Pada contoh kali ini kita akan menggunakan perpaduan perulangan, percabangan, operator dan sensing. Perhatikan script berikut :

Gambar 1. 8 Script Contoh Perulangan, Percabangan, Operator, dan Sensing

Berikut Penjelasan dari Gambar 1.8, Ketika bendera hijau di klik nilai variabel n akan diatur sama dengan 0, kemudian dilakukan perulangan yang akan berakhir jika kondisi nilai variabel n = 20 atau sprite1 (kucing) menyentuh dinding stage. Selama perulangan terjadi increment (penambahan berulang) nilai n sebanyak 1 sehingga perulangan ini akan memiliki nilai terbatas. Ketika nilai batas n = 30 terpenuhi atau sprite menyentuh sisi stage maka perulangan akan berhenti. Ingat bahwa dalam pemrograman, penggunaan

16

perulangan

(looping)

yang

tidak

memiliki akhir


merupakan suatu kesalahan fatal. Untuk contoh lain penggunaan sensing dapat dilihat di kategori blok kode Sensing. Silakan mengeksplorasi dan bereksperimen dengan blok kode yang terdapat di kategori tersebut.

1.6.5

Interaksi Sprite Interaksi Sprite hanya dapat terjadi jika sebuah sprite atau

trigger menyampaikan sesuatu yang dapat dimengerti oleh sprite yang lain. Pada Scratch, kita dapat memerintahkan sprite untuk menyampaikan pesan perintah melalui blok kode dan blok kode sebagai penerima pesan perintah tersebut. Pada langkah ini kita menggunakan 2 sprite, sprite1(kucing) dan sprite start. Sprite start akan melakukan broadcast perintah “start” yang kemudian diterima sprite1 (kucing), perintah ini yang akan dijadikan trigger untuk memulai perintah selanjutnya

17


Gambar 1. 9 (a) Script pada sprite start memberikan broadcast start (b)

Script pada Sprite1 menerima trigger dari broadcast sprite start

1.7

Sharing Aplikasi berbasis Scratch Setelah aplikasi berbasis Scratch yang kita buat telah selesai kita

dapat membagikannya ke forum Scratch Online. Sharing hanya dapat dilakukan

jika

anda

memiliki

akun

Scratch

yang

terdaftar

di

http://scratch.mit.edu/. Sharing dapat dilakukan dengan 2 cara yakni dengan

mengunjungi

laman

http://scratch.mit.edu/

dan

dengan

memanfaatkan fitur pada Scratch Offline Editor yang telah terinstal.

Sharing dengan mengunjungi laman Scratch Proses sharing dengan mengunjungi laman Scratch diawali dengan proses login ke laman Scratch. Setelah anda dapat menuju laman My Stuff untuk upload proyek Scratch yang anda kerjakan.

18


Gambar 1. 10 Tombol menuju laman My Stuff

Setelah memasuki laman My Stuff, Klik tombol New Project kemudian pada menu File pilih Upload From Your Computer. Kemudian Browse file yang ingin anda upload kemudian klik Open. Jika muncul kotak dialog Replace Content, klik OK

Gambar 1. 11 Tombol Upload from your computer

19


Sharing dengan fitur pada Scratch Offline Editor Sharing dengan fitur pada aplikasi Scratch Offline Editor dapat dilakukan

dengan klik pada menu File kemudian pilih Share to

Website. Kemudian akan muncul kotak dialog yang berisikan Project name, Your Scratch name, dan Password.

Gambar 1. 12 Kotak Dialog Share to Scratch Website

Pada isian Your Scratch name dan Password diisi dengan

username dan password yang anda gunakan untuk login ke laman Scratch. Setelah proses sukses maka anda dapat melihat proyek yang anda share di laman My Stuff pada laman Scratch Online.

20

BAB

GERAK SATU DIMENSI

2

Dalam bab ke dua ini, akan dibahas fenomena fisika yang sederhana, yaitu mengenai geraksatu dimensi. Dalam beberapa buku teks di sekolah menengah, biasanya dalam buku teks fisika persoalan gerak satu dimensi hanya di bahas secara ideal. Dalam hal ini tidak diperhitungkan aspek nyata yang ada, misalnya hambatan udara. Pada bab ini persoalan gerak satu dimensi tidak hanya dibahas secara analitik, melainkan juga menggunakan solusi numerik dengan komputer.

2.1 Gerak Benda Jatuh Bagaimanakah kecepatan dan percepatan dari sebuah benda berubah saat dijatuhkan?. Jika benda bermassa m dijatuhkan, percepatan benda tanpa gesekan udara adalah:

a

g

(2.1)

dimana g = 9.8 ms-2. Hal ini disebabkan karena satu-satunya gaya yang bekerja

pada

benda

tersebut

adalah

gaya

berat

mg.

Dengan

mengaplikasikan Hukum Newton kedua F = ma, diperoleh

ma

mg

(2.2)

Dengan membagi m persamaan di atas diperoleh a = g (persamaan 2.1) Jika a adalah konstan dalam hal ini adalah nilai g dianggap tidak


mengalami perubahan, dengan perhitungan matematis dapat dibuktikan bahwa kecepatan untuk tiap-tiap waktu t adalah

v(t )

v0

(2.3)

gt

dimana diasumsikan bahwa nilai arah gerak positif adalah arah gerak ke bawah dan benda mempunyai kecepatan awal

v0 . Rumus ini dapat

digunakan untuk mendapatkan nilai v pada tiap waktu t setelah benda dijatuhkan

(dan

sebelum

mensubstitusikan 9.8 ms

-2

benda

menyentuh

tanah).

Dengan

untuk g dan waktu tertentu pada t , semua

masalah fisika seperti di atas, dimana percepatan adalah konstan dapat diselesaikan dengan menggunakan matematika konvensional yaitu aljabar, trigonometri dan kalkulus. Dalam masalah di atas sebenarnya terdapat kompleksitas yang telah diketahui banyak orang. Rumus untuk

v(t ) pada persamaan 2.3 diatas

hanya berlaku jika tidak ada hambatan udara. Dari eksperimen dapat ditunjukkan bahwa sebuah benda yang jatuh (dengan memperhitungkan hambatan

udara)

akan

mendapatkan

gaya

hambat

yang

besarnya

bergantung pada kecepatan dari benda tersebut, sedemikian hingga percepatannya tidak konstan. Gaya tersebut diekspresikan sebagai:

Fa

22

1 C Av2 2 d

(2.4)

BAB 2 Gerak Satu Dimensi

di mana Cd adalah faktor koefisien hambatan udara yang tak bersatuan. A adalah cross section (penampang lintang) dari benda,

adalah

-3

kerapatan udara (sekitar 1.2 kgm ) dan v adalah kecepatan benda. Arah gaya berlawanan dengan kecepatan benda. Cd sangat berhubungan dengan bentuk dari benda, misalnya ada tidaknya stream line. Seperti terlihat dalam gambar 2.1, tampak bahwa jika benda berupa plat bergerak ke kanan, maka benda tersebut akan memiliki koefisien hambatan sekitar 1,28. Sedangkan untuk benda berbentuk bola, maka nilai koefisien hambatan memiliki rentang antara 0,07 sampai dengan 0,5. Jika benda memiliki bentuk yang lain maka benda tersebut akan memiliki koefisien hambatan tertentu, seperti benda berbentuk prisma akan memiliki koefisien hambatan 1,14, kapsul dengan koefisien 0,295 dan lain-lain.

Gambar 2. 1 Nilai Cd dari berbagai bentuk permukaan benda dengan nilai penampang lintang yang sama

23


Dari eksperimen menunjukkan bahwa benda yang smooth (seperti bola kasti) dengan cross section berupa lingkaran (A =

r2) didapat C

sekitar 0.46. Dengan demikian, untuk mendapatkan percepatan pada arah ke bawah dari bola dengan jari-jari r digunakan hukum Newton kedua.

ma

(2.5)

mg Fa

dengan mensubstitusikan persamaan (4) dan A =

r2 serta membagi

dengan m maka di dapatkan:

a

g

1 C 2 d

.r 2 2 v m

(2.6)

di mana m adalah massa benda. Hal yang paling penting adalah fakta bahwa bila hambatan udara dimasukkan dalam perhitungan percepatan, maka akan sangat sulit mendapatkan

solusi

analitik

eksak

dari

kecepatan

v(t )

dengan

menggunakan aljabar dan kalkulus. Hal inilah yang tidak pernah tampak dalam buku teks fisika. Untungnya komputer memberikan kemungkinan untuk memperkirakan solusi dari masalah ini. Garis besar pendekatan pemecahan masalah ini akan dibahas lebih lanjut pada subbab berikutnya.

24


2.2 Solusi Numerik Percepatan dari benda dapat didefinisikan sebagai:

a(t )

lim h

v(t

0

h) v(t ) h

(2.7)

v(t h) v(t ) adalah perubahan kecepatan selama

di mana kuantitas

interval waktu h. Jika interval waktu h cukup kecil (tetapi tidak nol) maka

a(t ) dapat diaproksimasikan:

v(t

a(t )

h) v(t ) h

(2.8)

v(t ) ha(t )

(2.9)

atau

v(t

h)

Jika a(t) adalah konstan selama interval waktu h, maka ekspansi ini adalah eksak, bukan suatu aproksimasi. Kita asumsikan benda mulai dilepaskan saat t = 0 sehingga v = v0 dan a = a0. Dengan inisial kecepatan v0, percepatan a0 dapat dihitung dengan menggunakan rumus yang diperoleh dari hukum Newton kedua. Dari persamaan 2.6 diperoleh:

a0

g

1 C 2

.r 2 2 v0 m

(2.10)

25


Pada kasus ini v0 = 0. Selanjutnya kita gunakan pendekatan untuk menghitung kecepatan pad akhir dari interval waktu kecil h.

v1

v0

(2.11)

a0 h

Dengan nilai kecepatan yang baru ini, percepatan saat t1 = h dapat diekspresikan:

a1

1 C 2 d

g

.r 2 2 v1 m

(2.12)

Dengan percepatan yang baru ini didapatkan pendekatan:

v2

v1

(2.13)

a1h

Dari sini persamaan umum untuk mencari kecepatan dan percapatan pada suatu saat adalah:

an

1 C 2 d

g

.r 2 2 vn m

(2.14)

dan

vn

1

vn

(2.15)

an h

Cara penyelesaian masalah di atas disebut dengan penyelesaian numerik karena solusi diperoleh dengan sejumlah perhitungan angka, bukan dengan persamaan analitik. Misalnya persamaan penyelesaian analitik.

26

v(t )

v0

gt adalah


Sebagai catatan di sini pada permulaan perhitungan diperlukan v0 atau v(0) sebagai kecepatan pada saat t = 0. Hal ini sering disebut sebagai nilai kondisi awal. Pada soal selanjutnya diasumsikan v0 = 0. Gambar 2.2 menunjukkan ilustrasi grafik dari satu step dalam solusi numerik yaitu dari v(t) ke v(t+h). Anggap v(t) sebenarnya adalah kurva tebal yang diberi label v(t). Kita perkirakan solusi pada t+h diperoleh dengan mengalikan slope dari kurva pada t dengan interval waktu h dan menjumlahkannya dengan nilai kecepatan pada saat t. Pada Gambar 2.1 nampak bahwa kesalahan (error) adalah jarak antara garis tangen dengan kurva. Pada gambar memang nilai h tidak cukup kecil, tetapi dapat dilihat bahwa dengan mengambil nilai h yang lebih kecil akan menambah ketelitian dari perkiraan. Tentu saja dengan memperkecil nilai h akan menghasilkan

step yang lebih banyak dan perhitungan yang lebih banyak dalam mencari solusi.

27


v Garis slope = a(t)

v(t) sebenarnya ha(t)

v(t)

t

v(t+h) = v(t) + ha(t)

t+h

t

Gambar 2. 2 Representasi Grafik dari teknik untuk mencari solusi numerik v(t)

Gambar 2.2 mengilustrasikan prosedur atau flow chart untuk menghitung solusi numerik dari kecepatan benda jatuh sebagai fungsi dari waktu. Adapun algoritmanya dapat dituliskan sebagaimana ditunjukkan pada Algoritma 2.1.

28


Algoritma 2.1 Kecepatan sebuah benda jatuh STEP 1 STEP 2 STEP 3 STEP 4

Pilih nilai h Pilih kondisi awal, v0 Mulai Loop Hitung a

STEP 5 Cetak t dan v STEP 6 Update v: v v+ha STEP 7 Increment t t t+h STEP 8 Loop hingga t > t max STEP 9 Selesai

29


mulai

Inisialisasi awal h dan v(0)

Hitung F m

a

Cetak V(t)

v(t+h) = v(t) + h a(t)

t=t+h

Tidak t >= tmax ?

Ya Selesai

Gambar 2. 3 Flowchart Program menghitung kecepatan benda jatuh

30


Soal 2.1 Implementasikan Algoritma 2.1 dalam sebuah program komputer dengan bantuan aplikasi Spreadsheet untuk menghitung kecepatan

sebagai

fungsi

waktu.

Asumsikan

bahwa

benda

mempunyai radius 7.5 mm dan massa 3.9 g. Gunakan h = 0.01 s dan loop akan terhenti jika t > 15 s. Gambar 2.3 adalah hasil output dari program. Dengan hasil program tersebut jawablah pertanyaanpertanyaan berikut: (1) Bagaimana kecepatan berubah terhadap waktu? Mengapa? (2) Apakah yang dimaksud dengan kecepatan terminal? Kapan benda tersebut dapat mencapai kecepatan terminal? Soal 2.2 Buktikan bahwa secara analitik, kecepatan benda yang bergerak dalam suatu fluida dengan kecepatan awal 0 adalah

v

g Cd A 2 gm tanh t AC d 2m

(tanda negatif menunjukkan arah

gerak ke bawah) Soal 2.3 Pelajari efek dari hambatan udara terhadap benda yang bergerak vertikal ke atas dengan kecepatan awal tertentu. Bandingkan lintasannya dengan gerakan benda pada vakum.

31


Gambar 2. 4 Tampilan hasil solusi numerik dari v(t). Parameter: h = 0.01 s, g = 9.8 ms-1, C = 0.46, r = 0.01 m, m = 0.01 kg dan v0 = 0

32

BAB

3

GRAFIK PADA SCRATCH

Dalam bab ini akan dibahas tentang bagaimana komputer dapat digunakan untuk menggambarkan grafik atau kurva. Dengan cara tersebut diharapkan dapat diperoleh gambaran yang lebih jelas mengenai arti fisis sebuah persamaan matematis. Persamaan matematis tersebut muncul sebagai akibat adanya fenomena fisika yang nyata atau sering diamati setiap hari (real world).

3.1 Grafik Pada Layar Scratch Stage (layar pada Scratch) menggunakan rentang nilai sumbu X antara 240 s/d. 240 dan sumbu Y -180 s/d. 180 Sehingga untuk penggambaran koordinat kartesian yang akan digunakan dalam pembuatan model (memerlukan

nilai

domain

dan

range

tertentu)

harus

dipetakan

(ditransformasikan) terlebih dahulu pada koordinat Scratch. Untuk mengkonversikan koordinat kartesian ke dalam koordinat layar Scratch, kita asumsikan bahwa ada transformasi linier antara koordinat

Scratch (Px, Py) dari titik P, dan koordinat kartesian (x, y) dari titik P sebagai berikut:

Px = k1 x + k2 dan

(3.1)


Py = k3 y + k4

(3.2)

Yang disebut dengan transformasi linier adalah tidak adanya faktor eksponensial pada variabel Px, Py, x, dan y. Ini berarti garis lurus pada koordinat kartesian digrafikkan juga sebagai garis lurus pada koordinat

Scratch, grafik lingkaran ke lingkaran, dll. Jadi secara umum fungsi grafik pada koordinat Scratch sama dengan fungsi grafik pada koordinat kartesian. Berapakah nilai dari konstanta k1, k2, k3, dan k4? Dengan adanya konstanta-konstanta tersebut, maka dapat digunakan untuk menghtung Px,

Py, bila nilai x, dan y diketahui. Agar lebih jelas, kita asumsikan bahwa grafik pada sumbu x akan diplot pada interval [xmin, xmax] dan sumbu y terletak pada interval [ymin, ymax]. Pada Scratch sumbu horizontal diberi nomor dari -240 s/d. 240 , sedangkan untuk sumbu vertikal diberi nomor -180 s/d. 180.

34

BAB 3 Grafik dengan Scratch

Gambar 3. 1 Koordinat Scratch dan koordinat kartesian, Koordinat Scratch memiliki rentang sumbu X antara -240 s/d. 240 dan sumbu Y antara -180 s/d. 180

Berikut adalah beberapa kemungkinan untuk memperoleh solusi konstanta k: •

Jika x = xmin, maka Px = -240

•

Jika x = xmax, maka Px = 240

•

Jika y = ymin, maka Py = -180

•

Jika y = ymax, maka Py = 180

35


Kemudian kita substitusikan 4 kemungkinan di atas pada persamaan transformasi 3.1 dan 3.2, sehingga akan didapatkan solusi untuk k1, k2, k3, dan k4 masing-masing adalah sebagai berikut:

k1 =

480 x max − x min

(3.3)

⎛ 2x ⎞ min k2 = −240 ⎜⎜ +1⎟⎟ ⎝ ( xmax − xmin ) ⎠ k3 =

(3.4)

360 y max − y min

(3.5)

" 2y % min k4 = −180 $$ +1'' # ( ymax − ymin ) &

(3.6)

Pada program komputer, perhitungan k dapat diselesaikan dalam satu kali urutan, tetapi tiap titik memerlukan transformasi linier seperti tersebut di atas.

3.2

Garis Sumbu Kartesian pada Scratch

Pembuatan

garis

sumbu

pada

Scratch

dapat

dilakukan

dengan

menggunakan 2 sprite, sprite pertama untuk membuat sumbu x dan sprite kedua untuk membuat sumbu y. Sebelum mem-plot garis sumbu terlebih dahulu kita tentukan kontrol sprite yang akan kita gunakan. 36


Pada contoh ini digunakan broadcast reset untuk membuat garis sumbu dan memasukkan nilai-nilai (inisiasi) variabel yang digunakan . Misalnya kita ingin membuat layar dengan dom=[-2,15] dan ran=[-20,50] , disarankan menaruh perintah inisiasi di stage backdrop

agar tidak memperbanyak

script pada sprite dan semua variabel pada akan selalu di set untuk seluruh sprite (public variable).

Gambar 3. 2 Memasukkan nilai variabel yang akan digunakan di stage backdrop

Selanjutnya pada sprite yang bertugas membuat garis sumbu y, tarik garis pada saat x =0 dari y = ymax sampai y = ymin

37


Gambar 3. 3 Script pembuatan sumbu y

Selanjutnya pada sprite yang bertugas membuat garis sumbu y, tarik garis pada saat x =0 dari y = ymax sampai y = ymin

Gambar 3. 4 Script Pembuatan sumbu X

38


3.3

Grafik Kecepatan dan Percepatan Benda Jatuh

Berikut ini adalah penerapan dari transformasi sistem koordinat untuk menggambarkan grafik. Dalam pembahasan selanjutnya, perlu kiranya dibuat konvensi notasi. Grafik v(t) berarti sebuah grafik dari v vs t, dimana v disepanjang sumbu y dan t disepanjang sumbu x. Sebagaimana telah dijelaskan di atas bahwa label untuk nilai ekstrem adalah xmin, xmax, ymin dan

ymax. Untuk lebih singkatnya dalam penulisan akan digunakan domain dan range untuk notasi interval. Jadi penulisan dom = [-1, 1] m berarti sumbu x dieksistensikan dari -1 ke 1 dan unitnya meter. Demikian juga ran = [0, 50] ms-1 berarti sumbu y dieksistensikan dari 0 ke 50 dalam satuan kecepatan. Dalam Gambar 3.2, skala dan unit dari sumbu vertikal sebagai grafik dari

v(t). Sedangkan grafik y(t)

dan a(t) ditumpangkan pada kurva v(t)

sedemikian rupa kita dapat mempelajari ketiganya sekaligus. Nampak jelas pada gambar bahwa hanya diperlukan waktu beberapa detik saja sebelum percepatan benda berbeda secara signifikan terhadap

g. Beberapa

pertanyaan akan timbul misalnya: Kapan benda mempunyai kecepatan kurang dari 10% terhadap kecepatan terminal? Bagaimana grafik y(t) dan a(t) berubah saat mendekati kecepatan terminal?

39


v(t) s(t) a(t)

Gambar 3. 5 Kecepatan dan percepatan sebuah benda jatuh sebagai fungsi dari waktu. Parameter: r = 0.075 m, m = 0.39 kg, h = 0.02 s, C = 0.46, dom = [-2, 15] s dan ran = [-20, 50] ms-1. Grafik a(t) dikalikan dengan faktor 3 dan y(t) dibagi dengan faktor 10.

40


3.4

Kode Program

Kode program atau unit berikut dimaksudkan untuk mem-plot grafik sebagai solusi numerik dari benda yang jatuh dengan skala yang disesuaikan, dalam hal ini semua kuantitas a(t), v(t) dan y(t) digambarkan dalam grafik pada sistem koordinat sama (lihat Gambar 3.5). Pada Stage Backdrop

Gambar 3. 6 (a) Script pada Tombol Clear (b) Script pada tombol Reset (c) Script pada tombol Start. Tombol-tombol tersebut berfungsi sebagai trigger dari suatu perintah

41


Gambar 3. 7 Script pada Stage Backdrop (bagian1)

42


Gambar 3. 8 Script pada Stage Backdrop (bagian2)

43


Gambar 3. 9 Script pada Sprite yang berfungsi menampilkan grafik kecepatan

44


Gambar 3. 10 Script pada Sprite yang berfungsi menampilkan grafik percepatan. Pada script ini grafik menampilkan nilai a dengan dikalikan faktor 3 agar menampilkan gambar paduan grafik yang menarik

45


Gambar 3. 11 Script pada Sprite yang berfungsi menampilkan grafik percepatan. Pada script ini grafik menampilkan nilai y dengan dibagikan faktor 10 agar menampilkan gambar paduan grafik yang menarik

46

BAB

4

DINAMIKA SATU DIMENSI

Pada bab ini akan diungkap bagaimana komputer dapat digunakan untuk memperoleh solusi numerik dari masalah-masalah sederhana dan nyata dengan mengilustrasikannya dalam bentuk grafik. Masalah yang dimaksud adalah tentang solusi numerik dari konsep gerak benda pada pegas. Dalam hal ini, pembahasan dibatasi tentang gerak benda pada pegas dalam satu dimensi.

4.1

Benda pada Pegas

y a n

m

F O

F mg

Gambar 4. 1 Benda pada pegas yang tertekan

Gambar 4.1 mengilustrasikan benda bermassa m yang diam pada permukaan yang ideal tanpa gesekan dan dihubungkan dengan pegas yang mempunyai kontanta pegas k. Selanjutnya bila benda ditekan ke kiri gaya pegas menentang ke arah kanan dan ini membesar sesuai dengan besarnya perpindahan x dari benda dari posisi setimbang pada x = 0, sebaliknya jika

x


benda ditarik ke kanan maka gaya pegas tersebut berarah ke kiri hal ini diekspresikan sebagai hukum Hookes:

F

(4.1)

kx

dimana tanda minus berarti gaya pegas berlawanan dengan pepindahan. Jika kita aplikasikan hukum kedua Newton pada sistem tersebut, maka akan diperoleh:

kx

(4.2)

ma

Percepatan a dapat ditulis sebagai

k xt m

a(t )

(4.3)

dimana kita gunakan notasi fungsi yang bergantung pada waktu. Tugas selanjutnya adalah mencari x(t) dan v(t) pada semua waktu setelah pegas dimampatkan kemudian benda dilepaskan. Dengan mengaplikasikan cara yang sama, definisi percepatan menjadi:

a(t )

v(t

h) v(t ) h

(4.4)

v(t ) ha(t )

(4.5)

atau

v(t

h)

Dengan kata lain kecepatan pada t+h adalah kecepatan v pada waktu sebelumnya t ditambah percepatan dikalikan dengan beda waktu h. Untuk itu mula-mula kita harus tahu kondisi awal dari sistem benda pegas. Kondisi 48

BAB 4 Dinamika Satu Dimensi

awal pada saat t = 0 , v = v0 dan x = x0, sedangkan percepatan awal adalah

–kx0/m sehingga kita tahu kecepatan pada beda waktu h berikutnya. Prosedur untuk menyelesaikan persoalan benda-pegas ditunjukkan dalam Algoritma 4.1. Dalam hal ini sistem mendapat hambatan udara atau gesekan yang proporsional dengan negatif dari kecepatan, sesuai dengan hukum Newton kedua:

F

ma

kx cv

(4.6)

yang dapat ditulis menjadi

a

k x m

c v m

(4.7)

yaitu sebagai percepatan benda yang berosilasi. Persamaan tersebut tidak lain adalah persamaan osilasi dengan bagian redaman cv.

49


Algoritma 4.1 Gerak sebuah benda pada pegas STEP 1 Pilih nilai k dan m Untuk hal yang sederhana k = 1 dan m = 1 STEP 2 Pilih harga interval waktu h STEP 3 Beri harga kondisi awal, misalnya v0 = 0 dan x0 = 1 m STEP 4 Mulai loop hingga t > t max STEP 5 Hitung percepatan:

STEP 6 STEP 7

Plot t, x, v dan a Update v: v v+ha STEP 8 Update x: x x+hv STEP 9 Increment t t t+h STEP 10 Akhir Loop dari STEP 4 STEP 11 Selesai

Soal 4.1 Buktikan bahwa solusi analitik dari persamaan (4.3) adalah x A sin( .t ) B cos( .t ) dimana A dan B ditentukan dengan kondisi awal dan

50

k ! m


Soal 4.2 Getaran teredam.Ubahlah program benda-pegas dengan memasukan bagian –cv/m. Pilih parameter k = 1 Nm-1, m = 1 kg dan c = 0.1 kgs-1 untuk nilai awalnya dan cobalah untuk harga-harga c dan k yang berlainan. Soal 4.3 Ayunan sederhana. Turunkan persamaan sebuah benda bermassa m yang digantungkan pada tali sepanjang L berikut:

mL2

mgL sin dengan

(4.8)

adalah simpangan tali, g adalah percepatan gravitasi dan

adalah percepatan angular. Soal 4.3 Buatlah program dengan menggunakan algoritma solusi numerik persamaan 4.8. Gunakan parameter g = 9.8 ms-2, L = 1m, h = 0.1 s,

0

= 0.1 radian dan kecepatan angular

0

= 0 dom = [0, 4] s

dan ran = [-0.1, 0.1] radian. Soal 4.4

Ayunan

teredam.

Dengan

adanya

faktor

redaman

persamaan ayunan sederhana menjadi

mL2

mgL sin

c

(4.9) dimana c adalah koefisien redaman. Buatlah program dengan menggunakan parameter pada soal 4.3 dan c = 0.1 kgm2s-1.

51


Gambar 4. 2 Osilasi teredam pada benda-pegas. Parameter: k = 1 Nm-1, m = 1 kg, c = 0.2 kgs-1, x0 = 1 m, v0 = 0, dom = [-π, 10π] s dan ran = [-1.5, 1.5] m

4.2

Ruang Phase

Kadang-kadang perangai sistem, sebagaimana sistem benda-pegas mungkin

lebih

mudah

dipahami

dengan

grafik

kecepatan

versus

perpindahan v(x), dibanding grafik perpindahan versus waktu, v(t). Sistem koordinat x-v ini disebut sebagai ruang phase (Phase Space). Lintasan dalam ruang phase dengan mudah dapat memberikan persfektif yang lain terhadap permasalahan. Kadang-kadang hal ini menjadi lebih berarti daripada sekedar lintasan x(t) dalam ruang waktu. Grafik lintasan sistem benda pegas teredam dalam ruang phase ditunjukkan oleh Gambar 4.3, dimana kondisi 52


awal x0 = 1 dan v0 = 0. Lintasan akan berbentuk spiral dalam ruang phase, sebagaimana sistem yang kehilangan energi ke udara di sekitarnya. Pada sistem benda pegas ini titik (0, 0) disebut Stable attractor. Berapapun kondisi awal sistem, tidak akan menjadi masalah, osilasi tetap akan menuju ke titik yang sama dalam ruang phase yaitu titik (0, 0).

Gambar 4. 3 Lintasan sistem benda-pegas dalam ruang phase dengan attractor pada (0, 0). Semua parameter yang digunakan sama dengan parameter pada Gambar 4.2

4.3

Perbaikan Algoritma Numerik

Sebagaimana nampak pada Algoritma 4.1 mula-mula kita gunakan interval h untuk mendapatkan v di akhir interval h kemudian kita gunakan v di akhir interval h untuk mendapatkan x pada akhir interval h. Kita dapat 53


meningkatkan akurasi dengan menghitung x di akhir interval dengan menggunakan v di tengah-tengah dari interval h. Secara simbolik adalah:

xn

1

xn

2

hvn

1

2

(4.10)

Dimana vn+1/2 adalah kecepatan setengah jalan pada interval h. Bagaimana

vn+1/2? Jawabnya sederhana yaitu dengan

mendapatkan

ekspresi:

vn

1

vn

2

1

2

han

(4.11)

Bila perhitungan dimulai dari t = 0, maka persamaan di atas menjadi :

v 12

v

1

2

ha0

(4.10)

yang berarti kita harus mengetahui v jika t = -h/2 dari pada saat t = 0. Untuk memecahkan persoalan ini kita akan gunakan kasus khusus untuk memulai perhitungan:

v 12

v0

h a0 2

(4.11)

Jadi Algoritma secara lengkapnya diberikan pada Algoritma 4.2 metode ini disebut metode Feyman–Newton. Juga disebut sebagai metode Half–

step.

54


Algoritma 4.2 Penggunaan metode Feynman-Newton pada penyelesaian dinamika

STEP 1 STEP 2 STEP 3 STEP 4

Cari total gaya yang bekerja pada benda lalu tentukan percepatan a = F/m Pilih harga interval waktu h dan kondisi awal v0 dan x0 Dengan menggunakan kondisi awal hitung percepatan pada t =0 Hitung

STEP 5 Mulai loop.hingga t > tmax STEP 6 Plot x(t), v(t) dan a(t) STEP 7 Update nilai x: x x+hv STEP 8 Dengan menggunakan nilai-nialai x dan v, hitung a dari hukum Newton kedua STEP 9 Update nilai v: v v+ha STEP 10 Increment t t t+h STEP 11 Akhir loop (STEP 5) STEP 12 Selesai

55


4.4

Kode Program

Di bawah ini adalah kode program yang digunakan untuk mem-plot grafik solusi persoalan benda pegas. Program masih ditulis dengan metode Euler (Algoritma 4.1) untuk mem-plot x(t) dan v(t) (lihat Gambar 4.2).

Gambar 4. 4 (a) Script pada Tombol Clear (b) Script pada tombol reset (c) Script pada tombol start. Tombol-tombol tersebut berfungsi sebagai trigger dari suatu perintah

56


Gambar 4. 5 Script pada Stage Backdrop (bagian 1)

57



58


Gambar 4. 7 Script pada Sprite yang berfungsi menampilkan grafik (x vs t )

59


Kode program berikut ini ditulis dengan memodifikasi kode program di atas dengan mengimplementasikan metode Feynman-Newton (Algoritma 4.2) untuk mem-plot grafik ruang phase (phase-space). Agar dapat memperlihatkan lintasan pada ruang phase, domain diubah menjadi [-1.5, 1.5] m (lihat Gambar 4.3).

(a) Script pada Tombol Clear (b) Script pada tombol reset (c) Script pada tombol start. Tombol-tombol tersebut berfungsi sebagai trigger dari suatu perintah

60


Gambar 4. 8 Script pada Stage Backdrop. Perbaikan metode dengan menggunakan Metode Feynmann-Newton (bagian 1)

61


Gambar 4. 9 Script pada Stage Backdrop. Perbaikan metode dengan menggunakan Metode Feynmann-Newton (bagian 1)

62


Gambar 4. 10 Script pada Sprite yang berfungsi menampilkan grafik fase (x vs v)

63


64

BAB

5

DINAMIKA DALAM DUA DIMENSI

Pada bab ini akan dibahas tentang digunakannya komputer untuk memperoleh solusi numerik dari masalah-masalah nyata namun lebih kompleks. Agar mudah dipahami tetap akan digunakan ilustrasi atau gambaran grafik. Masalah yang dibahas masih terbatas pada penggunaan solusi numerik sederhana untuk mendapatkan solusi gerak sebuah benda. Dalam hal ini hanya akan dibahas tentang gerak benda dalam dua dimensi.

5.1

Gerak Proyektil

Pada bab yang terdahulu telah dibahas penggunaan metode Euler atau metode Feynman-Newton dalam teknik numerik untuk persoalan yang meliputi hukum Newton kedua. Pada bab ini akan diperluas untuk masalah dua dimensi, yaitu tentang gerak proyektil dengan hambatan udara dan gerak orbital. Gambar 5.1 menunjukan kuantitas yang penting yang diasosiasikan sebagai gerak dalam dimensi dua. Sebuah benda dengan massa m, dengan perpindahan r, yang mungkin saja bervariasi terhadap waktu dan dikenai gaya eksternal F. Vector r mempunyai komponen x dan y, yaitu koordinat dari massa m. Vektor F mempunyai komponen Fx dan

Fy . Kita tahu bahwa

Mengungkap Fenomena Fisika dengan Scratch

Fx menghasilkan percepatan arah x, ax dan Fy menghasilkan percepatan arah y,

a y . Jadi:

ax =

Fx m

dan

ay =

Fy

(5.1)

m

dengan kata lain, kita dapat menyelesaikan masalah gerak dalam dua dimensi dengan menggunakan metode yang sama sebagaimana telah dijelaskan pada bab 2 dan 3. Namun demikian kita harus mempunyai satu set persamaan pada masing-masing koordinat. Gaya ini bekerja pada proyektil dapat ditunjukkan dari gambar berikut:

y F=Fx i + Fy j

(x,y) r=xi+yj x Gambar 5. 1 Gaya dan vektor perpindahan dalam dua dimensi

66

BAB 5 Dinamika dalam Dua Dimensi

5.2 Gerak Proyektil dengan Hambatan Udara Sebagaimana telah dijelaskan pada bab 1 bahwa besar gaya hambatan udara adalah:

Fa =

1 cAρv 2 2

(5.2)

Dari Gambar 5.2 diketahui bahwa:

cosθ =

vx v

dan

sin θ =

vy v

(5.3)

sedangkan v dapat dihitung dengan:

v = vx2 + v y2

(5.4)

Dengan mengikuti hokum Newton kedua,

1 A ax = − cρ v 2 cosθ 2 m

(5.5)

1 A a y = − g − cρ v 2 sin θ 2 m

(5.6)

dan

67


vy

v θ

vx

Fa Gambar 5. 2 Hubungan antara Fa dan v

Persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi:

ax = −kvvx

(5.7)

a y = − g − kvvy

(5.8)

1 A cρ 2 m

(5.9)

dan

dimana:

k=

Algoritma 5.1 merupakan solusi numerik persamaan-persamaan di atas. Soal 5.1 Buatlah program yang dapat menghasilkan grafik ketinggian

y dan jarak x untuk proyektil. Anggap benda dengan diameter 6 cm dan massa 100 gram dilemparkan dengan kecepatan awal 25 ms-1 pada sudut elevasi 370. gunakan domain = [-5, 50], dan range = [-3, 15] m. 68


Algoritma 5.1 Solusi numerik dari persoalan dinamika 2D STEP 1 Tentukan interval h STEP 2 Berikan koordinat awal untuk

,

dan elevasi. STEP 3 hitung

, , dimana

, adalah sudut

Tentukan pula sumua parameter gerak, koefisien gesekan udara, massa, percepatan gravitasi dll. dan

di mana

STEP 4 hitung half-interval kecepatan untuk setiap komponen. dan

STEP 5 Mulai loop untuk y < 0 STEP 6 plot posisi (x, y) STEP 7 update koordinat x dan y dan STEP 8

hitung percepatan

dan

dengan rumus di atas

69


STEP 9

update komponen-komponen kecepatan dan

STEP 10

increament waktu

STEP 11 Akhir loop dari STEP 5. STEP 12 Selesai

Gambar 5. 3 Lintasan proyektil dengan hambatan udara. Parameter: h = 0.01 s, g = 9.8 ms-1, C = 0.46, r = 6 cm, m = 0.19 kg dan v0 = 25 ms-1, sudut elevasi 370, dom =[0, 40] m, dan ran = [0, 10] m

70


5.3 Gerak Satelit Sebagaimana ditunjukkan pada gambar 5.4 kita ganti permukaan datar bumi dengan planet bola dengan sistem koordinat baru.

Gambar 5. 4 Penembakan proyektil dari puncak gunung pada sebuah planet

Kita asumsikan planet kita tidak berotasi dan massanya M sedemikian hingga GM = 1. dari puncak gunung pada planet tersebut kita tembakan meriam secara harisontal dengan kecepatan awal v0. gaya gravitasi F yang bekerja pada proyektil mengarah ke pusat planet. Jika massa gunung kita abaikan dan jarak proyektil dari pusat planet r serta massa proyektil m, maka gaya yang bekerja adalah

71


F=− bagian rˆ

GMm rˆ r2

adalah

vektor

(5.10) satuan

sepanjang

r

dan

tanda

minus

memperlihatkan gaya F berarah ke pusat planet. Menurut hukum Newton kedua kita dapatkan:

a=

F GM = − 2 rˆ m r

(5.11)

Percepatan relatif dari proyektil dengan massa m terhadap bumi dengan massa M, jika m<< M dapat dihitung sebagai berikut: Dengan asumsi GM = 1 dan komponen komponen dalam arah x dan y dari percepatan adalah

ax = −

cosθ r2

(5.12)

ay = −

sin θ r2

(5.13)

di mana:

cosθ = sin θ =

72

x 2

x + y2 y 2

x + y2

(5.14)

(5.15)


atau ditulis juga bahwa:

r 2 = x2 + y 2

(5.16)

jadi kita peroleh:

ax = −

x ( x2 + y 2 )

3

3

(5.17)

2

dan

ay = −

y 2

2

(x + y )

3

(5.18) 2

di mana ax dan ay adalah percepatan proyektil yang mengelilingi planet yang lebih kompleks dibanding bumi yang datar. Sebagai contoh adalah gerak satelit semacam gerak bumi mengitari matahari atau gerak elektron mengitari proton. Berikut ini adalah data yang diperoleh untuk mem-“plot“ orbit dari bumi: G = 6.672 × 10-11 Nm2kg-2, M = 1.99 × 1030 kg, x = 1.496 × 1011 m, y = 0 dan vx = 0, vy = 2.94 × 104 ms-1. Kita gunakan h = 86400 s (satu hari), sedangkan domain dan range-nya adalah [-2.25, 2.25]x 1011 m dan [-1.5, 1.5]x 1011 m. Gambar 5.5 adalah lintasan gerak bumi yang mengitari matahari.

73


Algoritma 5.2 Model gerakan bumi mengitari matahari STEP 1 Tentukan h = 864000 s STEP 2 Pilih kondisi awal seperti contoh STEP 3 Hitungn p = GM = 1.328 x 1020 Nm2kg-1

dan

STEP 4 Hitung half step velocity komponen dengan rumus:

dan

STEP 5 Mulai loop hingga koordinat y berganti dari – ke + STEP 6 Plot (x,y) STEP 7 Hitung koordinat baru dengan rumus: dan STEP 8

74

Hitung komponen x dan y dari percepatan dengan persamaan yang diberikan di atas (STEP 3).


STEP 9 Update komponen-komponen kecepatan: dan STEP 10 Increment waktu: STEP 11 Akhir loop dari STEP 5 STEP 12 Selesai

Selain itu dengan adanya variasi kecepatan satelit akan menempuh lintasan yang berbeda-beda memperlihatkan bahwa lintasan dapat berupa orbit terbuka berupa parabola dan hiperbola atau orbit tertutup yaitu elips dan lingkaran. Lintasan orbit lingkaran adalah kasus paling sederhana dari gerak satelit, namun hal ini merupakan kasus penting. Bila sebuah gaya bekerja pada satelit dalam orbit lingkaran mengelilingi bumi dalam gaya tarik bumi, yang mana arah gaya tersebut ke pusat bumi sebagai pusat orbit. Ini berarti bahwa satelit bergerak melingkar beraturan dengan kecepatan konstan. Soal 5.2 Untuk mendapatkan gambaran yang lengkap tentang bentuk lintasan berbagai orbit satelit, ubahlah program lintasan bumi yang mengitari matahari dengan memberikan kondisi awal yang berbeda-beda. Ambil GM = 1, x0 = 25, y0 = 0 dan vx = 0 dengan vy yang divariasi. Hasilnya seperti nampak pada Gambar 5.6, dimana vy berubah mulai 0.04 hingga 0.32 dengan perubahan 75


0.04. Grafik mempunyai dom = [-75, 75] dan ran = [-50, 50], sedangkan h = 0.05.

Gambar 5. 5 Lintasan gerak bumi yang mengitari matahari. Parameter: G = 6.672 × 10-11 Nm2kg-2,, M = 1.99 × 1030 kg, x = 1.496 × 1011 m, y = 0 dan vx = 0, vy = 2.94 × 104 ms-1, h = 86400 s (satu hari), dom = [-2.5, 2.5] × 1011 m dan ran = [-2.5, 2.5] × 1011 m

5.4

Gerak Orbital Elektron mengitari Proton Menurut model atom Bohr, atom hidrogen terdiri dari orbit elektron yang

mengelilingi proton dalam bentuk lingkaran. Untuk mem-plot orbit dari elektron dalam atom hidrogen, kita gunakan hukum Coulomb

F =k 76

Q1Q2 r2

(5.19)


Gaya tersebu adalah gaya atraksi diantara proton dan elektron dalam orbit pada jarak r dari proton. Kuantitas k = 8.99 × 109 Nm2C-2. Untuk lebih sederhanya kita asumsikan orbit lingkaran dengan proton pada titik pusat koordinat.

Gaya

coulomb

menghasilkan

gaya

sentripetal

yang

mempertahankan elektron dalam orbit lingkaran. Elektron dalam atom hidrogen mengitari sebuah proton sebagai inti, keduanya bermuatan sebesar 1.602 × 10-19 C. Dengan demikian menurut hukum Newton kedua akan diperoleh

a=−

ke 2 1 m r2

(5.20)

dengan mengganti parameter p dalam Algoritma 5.2 menjadi

ke 2 p= m

(5.21)

Dalam program selengkapnya diperlukan informasi berikut: Q1 = Q2 = e

= 1.6 × 10-19 C, k = 8.99 × 109 Nm2C-2, m = 9.11 × 10-31 kg, x0 = 5.3 × 10-11 m, y0 = 0 dan vx0 = 0, vy0 = 2.19 × 109 ms-1. Gantilah semua nilai yang digunakan untuk mem-plot orbit bumi dengan nilai-nilai tersebut di atas, kemudian jalankan program untuk mem-plot lintasan elektron. Agar diperoleh gambar yang baik gunakan domain dan range untuk persoalan ini adalah [-9, 9] × 10-11 m dan [-6, 6] × 10-11 m, dengan interval h = 10-19 s.

77


5.5 Kode Program Berikut ini adalah kode program yang digunakan untuk mem-plot lintasan proyektil dengan hambatan udara. Program masih ditulis dengan metoda

Feynman-Newton

(Algoritma

5.1),

adapun

parameter

yang

digunakan dan hasil atau output dari program adalah sebagaimana nampak pada Gambar 5.3.


78



79


Gambar 5. 8 Script pada sprite yang menjalankan grafik gerak parabola dengan hambatan udara

80


Kode program berikut ini ditulis dengan mengimplementasikan Algoritma 5.2 tentang model orbit bumi mengitari matahari. Metode yang dipakai masih Feynman-Newton, sedangkan parameter yang digunakan dan hasil atau output dari program diperlihatkan pada Gambar 5.5.


81



Gambar 5. 11 Script pada sprite yang menjalankan grafik gerak planet mengelilingi matahari (bagian 1)

82


Gambar 5. 12 Script pada sprite yang menjalankan grafik gerak planet mengelilingi matahari (bagian 2)

83


84

BAB

6

RANGKAIAN RC, LR, DAN RLC

Pada bab berikut ini kembali akan dibahas tentang peranan komputer dalam menjelaskan masalah-masalah nyata dan sederhana khususnya pada topik rangkaian listrik. Pembahasan rangkaian listrik dalam hal ini terbatas pada rangkaian RC, RL dan RLC dalam arus searah. Untuk mempermudah pembahasan, dalam hal mencari solusi numerik masih digunakan metode numerik sederhana dengan dilengkapi ilustrasi grafik.

6.1

Rangkaian RC

R

a

b

i V

C

S Gambar 6. 1 Rangkaian RC

c


Rangkaian RC terdiri dari baterai dengan beda potensial V yang diserikan dengan resistor dengan resistansi R dan kapasitor dengan kapasitansi C. Rangkaian tersebut diperlihatkan pada Gambar 6.1 Pada saat

t = 0 saklar ditutup. Arus pada rangkaian i(t) dan muatan pada kapasitor q(t). Bagaimana arus pada rangkaian berubah terhadap waktu setelah itu? Bagaimana muatan pada C berubah terhadap waktu? Sesuai dengan hukum Kirchoff pada suatu rangkaian tertutup, jumlah potensialnya adalah nol.

V − iR −

q =0 C

(6.1)

Tegangan pada resistor menurun sesuai dengan hukum Ohm iR dan tegangan yang turun pada kapasitor adalah q/C. Muatan q(t) dan arus i(t) saling berhubungan. Muatan pada kapasitor naik sebab ada muatan yang mengalir melalui kawat ke C.

dq =i dt Jadi

semakin

(6.2) besar

arus,

maka

semakin

cepat

kenaikan

q.

Substitusikan hubungan ini pada persamaan pertama hingga diperoleh

dq V q = − dt R RC

(6.3)

Kita asumsikan bahwa tidak ada muatan saat t = 0, jadi kondisi awalnya t = 0, q = 0 dan i = V/R. 86

BAB 6 Rangkaian RC, LR, dan LRC

Jika kita cari kesamaannya dengan apa yang telah kita pelajari pada Bab 2, Tabel 6.1 menunjukkan adanya analogi antara i dengan a dan q dengan v. Tabel 6. 1 Perbandingan antara masalah benda jatuh dan rangkaian RC

Arus pada rangkaian RC

Percepatan pada benda jatuh Definisi percepatan

a(t ) =

dv v(t + h) − v(t ) = lim h → 0 dt h

Diselesaikan dengan hukum Newton II, sehingga:

1 A a = g − cρ v 2 2 m Kita gunakan definisi turunan untuk aproksimasi percepatan (Metoda Euler)

a(t ) ≅

v(t + h) − v(t ) h

Definisi Arus

i(t ) =

dq q(t + h) − q(t ) = lim h → 0 dt h

Diselesaikan dengan hukum Kirchoff pada rangkaian tertutup, sehingga:

i=

V q − R RC

Kita gunakan definisi turunan untuk aproksimasi arus listrik (Metoda Euler)

i (t ) ≅

q(t + h) − q(t ) h

dan

dan

v(t + h) ≅ v(t ) + ha (t )

q(t + h) ≅ q(t ) + hi (t )

Kondisi awalnya: t = 0, v = 0 dan a = g

Kondisi awalnya: t = 0, q = 0 dan i = V/R

87


Algoritma 6.1 adalah tahapan atau prosedur dalam menyelesaikan persamaan di atas secara numerik dengan metoda Euler.

Algoritma 6.1 Muatan pada kapasitor dalam rangkaian RC STEP 1 STEP 2 STEP 3

Tentukan R, C dan interval waktu h Pilih kondisi awal q0 = 0 dan i0 = V/R Mulai loop hingga t > tmax STEP 4 Hitung i(t) dengan rumus:

STEP 5 STEP 6

Plot q(t) dan i(t) Update muatan

STEP 7

Increment waktu:

STEP 8 Akhir dari loop STEP 3 STEP 9 Selesai

Soal 6.1 Buatlah program dengan mengimplementasikan Algoritma 6.1 untuk mem-plot grafik q(t). Pilih V = 10 Volt, R = 1000 Ω, C = 100 µF, h = 0.5 ms, i0 = q0 = 0, dom = [-0.1, 2.5] s dan ran = [-0.0001, 0.0015] C. Modifikasi juga program tersebut dengan nilai R yang berbeda-beda. Hasilnya akan nampak sebagaimana Gambar 6.2

88


Gambar 6. 2 Grafik q(t) untuk beragam nilai R (1 KΩ , 4 KΩ , 6 KΩ) . Parameter lainnya adalah V = 10 Volt, C = 100 µF, h = 0.05 ms, i0 = q0 = 0, dom = [-0.1, 2.5] s dan ran= [-0.0001, 0.0015] C

Soal 6.2 Bandingkan solusi numerik untuk q(t) dengan solusi analitik t ⎤ ⎡ − RC q(t) = VC ⎢1− e ⎥ ⎣ ⎦

89


6.2

Rangkaian LR

R b

a i V

L

S

c

Gambar 6. 3 Rangkaian LR

Nampak pada Gambar 6.3, rangkaian LR terdiri dari baterai, resistor dan induktor. Tujuan kita adalah mencari perubahan arus terhadap waktu setelah saklar ditutup. Kita asumsikan beda potensial dari baterai adalah V, resistansi R dan induksi diri dari kumparan adalah L. Tegangan VL yang melalui induktor dapat diekspresikan sebagai:

VL = − L

di dt

(6.4)

Hubungan di atas memperlihatkan bahwa arus akan naik secara perlahan-lahan dari nilai awal nol.

90


Kemudian kita aplikasikan aturan Kirchoff untuk rangkaian tertutup saklar ditutup akan diperoleh

V − iR − L

di =0 dt

(6.5)

atau

di V R = −i dt L L

(6.6)

Untuk mendapatkan solusi numerik i(t). Analog dengan rangkaian RC diperoleh rumus iterasi sebagai

in+1 = in + hi''n

(6.7)

V R − in L L

(6.8)

dimana

i''n =

Soal 6.2 Ubahlah Algoritma 6.1 untuk dapat digunakan mencari solusi pada rangkaian RL. Gunakan algoritma tersebut untuk mendapatkan solusi numerik i(t). Buat grafik i(t) dengan parameter:

L = 100 mH, R = 200 Ω , V = 10 V. Pilih h = 0.009 ms, dom = [0.00005, 0.005] s dan ran = [-0.001, 0.06] A.

Soal

6.3

Tegangan

yang

lewat

induktor

VL diberikan

persamaan 6.4. Buatlah grafik tegangan sebagai fungsi waktu. 91


Gunakan semua parameter pada soal 6.2. Anda tinggal mengubah ran menjadi [0, 10] V. Soal 6.4 Bandingkan solusi numerik dari soal 6.2 dengan solusi analitik untuk rangkaian RL berikut: R

i(t ) =

− t ⎞ V⎛ ⎜1 − e L ⎟ ⎟ R ⎜⎝ ⎠

(6.9) Buatlah grafik dari persamaan di atas dan bandingkan dengan grafik pada soal 6.2.

Gambar 6. 4 Grafik i(t) untuk beragam nilai R (2 KΩ, 3 KΩ dan 4KΩ). Parameter lainnya adalah V = 10 Volt, L = 100 mH,. h = 0.01 ms. Sedangkan dom = [0, 0.005] s dan ran = [0, 0.05] A

92


93


6.3

Rangkaian LRC Anggaplah saklar dalam rangkaian LR terhubung dan arus dapat

mengalir. Apa yang terjadi bila saklar dibuka? Membuka saklar akan menimbulkan di/dt yang sangat besar, berarti akan menghasilkan beda potensial yang sangat besar yang melalui induktor. Hal ini akan sering menimbulkan

percikan

api pada

saklar. Ada

beberapa

cara

untuk

menghindarkan hal tersebut. Cara pertama, dengan menaruh kapasitor diantara terminal saklar. Cara ini akan menjadikan induktor diusahakan dialiri arus listrik yang konstan. Akan tetapi sebaliknya percikan api pada saklar sekarang akan mengisi kapasitor. Marilah kita lihat prosesnya secara lebih rinci. Rangkaian tersebut ditunjukkan pada Gambar 6.5 Sebelum t = 0, saklar tertutup dan arus i

=V/R mengalir dalam rangkaian. Saat t = 0, saklar dibuka. Dengan menerapkan hukum Kirchoff pada rangkaian tersebut akan diperoleh persamaan

94


R b

a i V

L

C c S Gambar 6. 5 Rangkaian LRC

V −L

di q − − Ri = 0 dt C

(6.10)

95


Pada kasus dimana kondisi awal t = 0 dan q = 0, akan terdapat arus yang mengalir dalam rangkaian bila saklar telah dibuka. Kita tahu bahwa

dq = q' (t ) dt

(6.11)

di d 2 q = = q' ' (t ) dt dt 2

(6.12)

i= dan

Dengan mensubstitusikan kedua persamaan di atas ke persamaan (6.10) akan diperoleh

q' ' (t ) = −

1 ⎡q ⎤ + R q' (t ) − V ⎥ ⎢ L ⎣C ⎦

(6.13)

Sebagaimana kasus pada hukum Newton kedua, rumus yang diturunkan dari loop Kirchoff akan dapat dicari solusi numeriknya baik untuk

q(t) maupun i(t). Dari diskusi di atas dianggap V = 0, sehingga solusi numeriknya dapat dituliskan seperti Algoritma 6.2 . Jika kita bandingkan dengan hukum Newton kedua untuk sistem benda pegas pada bab 3, maka terdapat analogi seperti nampak pada Tabel 6.2. Pada Tabel 6.2 ditunjukkan perbandingan antara hukum Newton kedua dengan solusi numerik tentang rangkaian LRC.

96


Algoritma 6.2 Solusi numerik rangkaian menggunakan metoda Feynman-Newton.

LRC

dengan

STEP 1

Tentukan R, L, C dan V. Berikan nilai interval waktu h dan kondisi awal q0 dan t0. STEP 2 Hitung turunan kedua saat t = 0

STEP 3

Dari turunan kedua, dapatkan nilai turunan pertamanya saat t = h/2

STEP 4

STEP 8 STEP 9

Mulai loop hingga t > tmax STEP 5 Plot q(t) dan/atau i(t) STEP 6 Update muatan STEP 7

Hitung harga baru untuk turunan kedua q dimana

STEP 8

Update turunan dari muatan

STEP 9

Increment waktu:

Akhir dari loop STEP 4 Selesai

97


Tabel 6. 2 Perbandingan antara solusi rangkaian LRC dan hukumNewton kedua

Rumus loop Kirchoff

q' ' (t ) = −

1 ⎡q ⎤ + R q' (t )⎥ ⎢ L ⎣C ⎦

Dengan kondisi awal q0 dan

q 0' (i0 )

dapat ditulis:

q '12 = i 12 = i0 +

Hukum Newton kedua

x' ' (t ) = −

1 [kx + c x' (t )] m

Dengan kondisi awal x0 dan

x 0' (v 0 )

dapat ditulis:

h '' q0 2

Mulai loop:

h '' x0 2

Mulai loop:

q ← q + hi atau

q ← q + hq

x '12 = v 12 = v0 +

'

x ← x + hv atau x ← x + hx '

hitung q” dari rumus loop Kirchoff

hitung x” dari rumus hukum Newton kedua

i ← i + hq ''

v ← v + hx ''

t ←t+h

t ←t+h

Akhir loop

Akhir loop

Soal berikut tentang sebuah model dengan kondisi sebagaimana dijelaskan di atas. Kita ingin mengetahui bagaimana arus listrik melalui rangkaian yang divariasi dan bagaimana tegangan yang melewati induktor berubah terhadap waktu. Motivasi kita tidak hanya sekedar mempelajari 98


perangai rangkaian LRC. Rangkaian ini telah banyak diaplikasikan dalam berbagai hal antara lain: radio, stereo, pemancar, telepon dan lain-lain. Anda juga pasti akan mempelajari osilasi LRC jika anda mempelajari gelombang elektromagnetik. Soal 6.5 Tulislah program yang mengimplentasikan Algoritma 6.2. Pilih parameter-parameter berikut: L = 1 mH, R = 5 Ω , C = 1 µF, V = 10 V, h = 5 × 10-7 s, dom = [0, 0.001] s dan ran = [-10, 10] V. Sebagai kondisi awal pilih q0 = 0 dan i0 = 0.2 A. Gambarkan grafik

VL sebagai fungsi waktu dan arus dalam rangkaian sebagai fungsi waktu. Agar dapat di-plot dalam domain

dan range yang sama,

kalikan arus dengan faktor skala 20. Hasilnya akan nampak seperti Gambar 6.6.

99


Gambar 6. 6 Osilasi teredam dalam rangkaian LRC. Parameter L = 1 mH, R = 5 Ω, V = 0 Volt, C = 1 µF, h = 1 × 10-5 s, dom = [-0.0001, 0.001] s dan ran = [-0.4, 0.4] A. i0 = 0.2 A, dan q0 = 0.

Sistem sebagaimana dilukiskan pada Gambar 6.5 adalah sistem

dibawah dalam kondisi teredam (under damped). Anda dapat mengeceknya pada situasi teredam kritis (critically damped). Dengan R yang besar sistem akan menjadi sangat teredam (over damped).

6.4

Kode Program Kode program sebagai implementasi dari Algoritma 6.1 dengan

paramater, kondisi awal dan hasil berupa grafik q(t) untuk berbagai nilai R seperti nampak pada Gambar 6.2, adalah sebagai berikut:

100



101



102



103


Gambar 6. 10 Script pada sprite yang menampilkan grafik dengan nilai R = 1kW

104


Gambar 6. 11 Script pada sprite yang menampilkan hasil dengan nilai R = 4kW

105


Gambar 6. 12 Script pada sprite yang menampilkan hasil dengan nilai R = 6kW

106


Berikut ini kode program hasil modifikasi dari kode program tersebut di atas untuk mem-plot 3 buah grafik i(t), masing-masing dengan nilai R = 2 KΩ, R = 4 KΩ dan R = 6 KΩ. Adapun paramater, kondisi awal dan hasilnya nampak pada Gambar 6.4.


107



108


Gambar 6. 15 Script pada sprite yang menampilkan grafik dengan nilai R = 2 kW

109



110



111


Berikut ini kode program untuk mem-plot 3 buah grafik i(t). Adapun paramater, kondisi awal yang digunakan dan hasilnya seperti ditunjukan pada Gambar 6.6.


112



113


Gambar 6. 20 Script pada sprite yang menampilkan grafik RLC

114

BAB

7

SISTEM TIGA BENDA

(Three Body System)

Pada bab terdahulu telah dibahas lintasan gerak partikel dalam sistem fisika yang terdiri satu atau dua benda. Pada kasus tertentu sistem tersebut mempunyai solusi analitik, tetapi kasus yang lain tidak ada. Pada bab ini akan dipelajari sistem dengan banyak benda, sebutlah three-body problem. Sistem

yang

demikian

tidak

mempunyai

solusi

analitik,

sehingga

penggunaan komputer menjadi mutlak esensial.

7.1

Ion H2+ Dalam bab ini akan digunakan teknik yang telah dijelaskan pada bab

sebelumnya untuk menguji sistem tiga benda (three-body sytem) yaitu molekul hidrogen yang terionisasi, ion H 2+. Di akhir bab ini metoda Feynman-Newton digunakan untuk menyelesaikan persamaan deferensial orde dua. Molekul Hidrogen yang telah kehilangan satu elektronnya, disebut molekul hidrogen yang terionisasi dan diberi simbol H2+. Ion ini terdiri dari dua proton dan satu elektron, sebagaimana molekul Hidrogen. Ion H 2+ adalah sistem fisika yang stabil. Karena kompleksitas sistem, kita ambil penyederhanaan dengan mengasumsikan kedua proton tidak bergerak, sedangkan elektron mengorbit pada kedua proton. Untuk tujuan yang


praktis sifat-sifat alami proton dapat diabaikan karena massa proton kira-kira 2000 kali dari massa elektron, sehingga pusat massa dari kedua proton berada pada titik nol pada sistem koordinat. Hukum Coulomb dan hukum Newton kedua mendasari gerak elektron pada ion H2. Hukum Coulomb adalah

F

k

Q1Q2 rˆ r2

(7.1)

dimana k = 8.99 × 109 Nm2C-2. Semua muatan di dalam ion H2 mempunyai nilai yang sama (kecuali tandanya). Jadi Q1 = Q2 = e =1.6 x 10-19 C dan m = 9.11× 10-31 kg. Geometri dari sistem diilustrasikan pada gambar 7.1 yang sangat mirip dengan geometri yang digunakan pada gerak proyektil dan gerak satelit, tetapi di sini terdapat dua gaya yang bekerja pada orbit. Dengan demikian metoda Feynman-Newton akan digunakan pada banyak bagian.

Gambar 7. 1 Geometri dari posisi dan vektor gaya pada ion H2.

114

BAB 7 Sistem Tiga Benda

Kedua proton terletak pada titik (d, 0) dan (-d, 0) pada jarak 2d. Percepatan ax dari elektron karena adanya proton pada (d, 0) adalah

ax

F1 cos m

1

k

e 2 cos mx d

1

2

y2

(7.2)

e2 x d

k

m x d

2

y2

3

2

Untuk mendapatkan percepatan karena gaya oleh proton pada ( -d, 0), persamaan di atas diganti bagian (x-d) dengan (x+d):

ax

F2 cos m

2

k k

e 2 cos 2 mx d

2

y2

(7.3)

e2 x d m x d

2

3

y2

2

Dengan demikian resultan percepatan dalam arah sumbu x adalah

ax

a1x

(7.4)

a2 x

sehingga

ax

x d

C

dimana C

x d

k

e2 m

2

x d y2

3

2

x d

2

y2

3

2

(7.5) 115


Ekspresi yang sama untuk ay akan diperoleh dengan mengganti pembilang (x ± d) dengan numerator y.Algoritma selengkapnya adalah sebagai berikut:

Algoritma 7.1 Orbit elektron pada H2 STEP 1 Tentukan nilai-nilai parameter berikut: - muatan masing-masing partikel Q1, Q2 dan e - massa elektron - konstante k pada hokum Coulomb - jarak 2d antar proton dalam molekul - step-size h STEP 2 Pilih kondisi awal untuk x, y, vx dan vy STEP 3 Hitung komponen percepatan ax dan ay

dan

dengan STEP 4 Hitung nilai half-step untuk vxdan vy

dan

116


STEP 5 Mulai loop hingga t > tmax STEP 6 Plot (x,y) dari elektron STEP 6 Plot (x,y) dari elektron STEP 7 Update posisi

STEP 8 STEP 9

Hitung komponen-komponen dengan rumus pada STEP 3 Update kecepatan

STEP 10

Increment waktu:

STEP 8 STEP 9

Akhir dari loop STEP 5 Selesai

percepatan

Soal 7.1 Buat program untuk mem-plot lintasan dari elektron pada ion H2. Gunakan nilai-nilai parameter berikut: d = 5.35 × 10-12 m, x0 = -y0 = -2.4 × 10-10 m, vx0 = vy0 = -2.8 × 104 ms-1,

h = 5 × 10-19 s, dom = [-4.5, 4.5] × 10-10 m dan ran = [-3, 3] × 10-10 m. Hasilnya akan nampak seperti gambar 7.2.

117


Gambar 7. 2 Lintasan elektron dalam molekul Hidrogen yang terionisasi. Parameter: d = 5.35 × 10-12 m, x0 = -y0 = -2.4 × 10-10 m, vx0, vy0 = -2.8 × 104 ms-1, h = 5 × 10-19 s, dom = [-6, 6] × 10-10 m dan ran = [-4, 4] × 10-10 m

Soal 7.2 Modifikasi soal 7.1 untuk menggambarkan lintasan lain dari elektron pada ion H 2. Cobalah dengan parameter berikut: x0 = 0, y0 = 2 × 10-10 m, vx0 = 1.725 × 105 ms-1, vy0 = 0 , h = 1 × 10-19 s, dom = [-3, 3] ×10-10 m dan ran = [-2.1, 2.1] × 10-10 m. Perhatikan, apakah bedanya dengan lintasan pada gambar 7.2? Soal 7.3 Untuk menggambarkan lintasan elektron berikutnya ambil: d = 5.35 × 10-11 m, x0 = 0, y0 = 0, vx0 = vy0 = -1.5 × 106 ms-1, h = 0.2 × 10-19s , dom = [-9, 9] ×10-11 m dan ran = 118


[-6, 6] × 10-11 m. Dari ketiga lintasan elektron yang telah berhasil dibuat grafiknya, manakah yang anda anggap sebagai ion H2 paling stabil?

Gambar 7. 3 Lintasan lain dari elektron dalam molekul Hidrogen yang terionisasi. Parameter: d = 5.35 × 10-11 m, x0 = -y0 = 0, vx0 = vy0 = 1.5 × 104 ms-1, h = 1× 10-20 s, dom = [-7, 7] × 10-11 m dan ran = [-4.67, 4.67] × 10-11 m.

Gambar 7.3 memperlihatkan lintasan yang sangat berbeda dengan Gambar 7.2 sebagai solusi dari soal 7.1. Hal ini dapat dipahami bahwa terdapat dua perbedaan yang esensial pada lintasan yang dihasilkan dari soal 7.3. Pertama, lintasan pada Gambar 7.3 lebih padat dan raping dalam mengitari proton dibanding lintasan 119


pada Gambar 7.2. Kedua, energi elektron pada Gambar 7.2 adalah 10.1 elektron volt, sementara energi dari elektron pada Gambar 7.3 adalah -41 eV. Energi ini dihitung dari persamaan berikut:

U

1

ke2

x d

1 2

y2

x d

2

y2

(7.4)

K

1 2 mv 2

(7.5)

E

K U 1.6 10 19

(7.5)

dan

Pada rumus di atas U adalah energi potensial listrik, K adalah energi kinetik dan E adalah energi total dari elektron. Jika K dan U dalam joule, maka pada persamaan 7.5 E dalam elektron volt. Ingat bahwa bagian e2 adalah

perkalian

antara

muatan

negatif

(elektron)

dan

muatan

positif(proton). Sehingga dalam kasus ini U < 0. Dengan menambahkan kode program untuk menghitung E, tentunya akan diperoleh hasil bahwa nilai E adalah kekal, sementara elektron mengorbit pada proton. Hasil ini selanjutnya dapat dipakai untuk mengecek validitas dari program yang bersangkutan.

120


Gambar 7. 4 Lintasan lain dari elektron dalam molekul Hidrogen yang terionisasi. Parameter: d = 5.35 × 10-11 m, x0 =0, y0 = 2 x 10-10 m, vx0 =1.725 x 105 ms-1, vy0 = 0, h = 1× 10-19 s, dom = [3, 3] × 10-11 m dan ran = [-2.1, 2.1] × 10-11 m.

121


7.2

Kode Program

Kode Program untuk kasus seperti Gambar 7.2


122



123


Gambar 7. 7 Script pada sprite yang berfungsi membuat grafik Lintasan lain dari elektron dalam molekul Hidrogen yang terionisasi (bagian 1)

124



125




126



127



128



129




130



131



132



133


134

BAB

12

DINAMIKA DALAM TIGA DIMENSI

Dalam bab ini kita akan mempelajari fenomena fisika yang cukup kompleks, yaitu tentang dinamika klasik dari partikel bermuatan yang terisolasi di dalam medan listrik dan magnet. Untuk memvisualisaikan perangai gerak partikel tersebut dan kaitanya dengan gaya Lorentz, beberapa konsep dan pengertian penting yang harus dipahami yaitu: perkalian vektor, gerak heliks dan sikloid sebagai superposisi dari gerak melingkar dan translasi dalam ruang (sistem koordinat 3D).

9.1 Gerak Muatan dalam Medan Magnet Medan magnet adalah medan vektor, karena besaran medan adalah suatu besaran vektor yang mempunyai harga pada tiap titik dalam ruang. Vektor medan magnet B, dinamakan induksi magnet. Vektor medan magnet dihubungkan dengan garis induksi dengan cara: jika garis-garis berdekatan satu sama lain maka B adalah besar dan di tempat dimana garis-garis berjauhan maka B adalah kecil. Dalam hal ini garis-garis induksi hanyalah sekedar memberikan sebuah representasi grafik mengenai cara B berubah di seluruh ruang tertentu. Singkatnya B disebut medan magnet. Bila muatan q yang diam pada sebuah titik di dekat sebuah magnet permanen, ternyata tidak ada gaya yang bekerja pada q atau tidak ada gaya yang diakibatkan ada/tidak adanya medan magnet. Namun bila q


ditembakkan dengan kecepatan v ke kanan, maka muatan positif q akan mendapatkan sebuah gaya yang mengarah ke bawah sebesar Fmag (lihat Gambar 9.1). Gaya tersebut akan memenuhi hubungan:

Fmag

q ( v B)

(9.1)

Nampak bahwa gaya magnet ini selain terkait langsung dengan kecepatan dan jenis muatan, juga tidak melakukan kerja. y q

v

Fmag

x

z

B

Gambar 9. 1 Muatan positif q bergerak dalam medan magnet serba sama B. Lintasan muatan terbut akan berupa lingkaran

Kenyataan bahwa gaya magnet selalu tegak lurus pada arah gerakan partikel, hal ini berarti bahwa (setidak-tidaknya untuk medan magnet yang tetap) kerja yang dilakukan oleh gaya ini pada partikel tersebut adalah nol. Jadi, untuk sebuah partikel yang bergerak dengan lintasan atau mempunyai elemen perpindahan sepanjang dl, maka kerja dWmag adalah 152

BAB 9 Dinamika dalam Tiga Dimensi

dWmag

Fmag dl

q ( v B) v dt

0

(9.2)

Dari persamaan 9.2 jelas bahwa dWmag akan sama dengan nol, karena Fmag dan dl saling tegak lurus. Dengan kata lain sebuah medan magnet statik tidak dapat mengubah tenaga kinetik sebuah muatan yang bergerak; medan magnet statik tersebut hanya dapat membelokan muatan ke arah samping.

9.2 Gerak Muatan dalam Medan Magnet dan Listrik Definisi medan listrik E secara operasional dapat diilustrasikan sebagai berikut: jika ditempatkan sebuah muatan uji q positif pada titik tertentu di dalam medan listrik E serba sama (uniform), maka padanya akan bekerja sebuah gaya listrik F. Gaya listrik tersebut adalah vektor yang memenuhi hubungan:

F

(9.3)

qE

Dalam hal ini q dan E adalah kuantitas yang dapat di ukur. Selanjutnya jika sebuah muatan bergerak melalui sebuah daerah dimana terdapat kedua medan tersebut secara bersamaan yaitu medan listrik dan magnet, maka gaya resultannya merupakan kombinasi dari persamaan gaya magnet (persamaan 9.1) dan gaya listrik (persamaan 9.3):

F

qE

v B

(9.4)

Persamaan di atas sering disebut persamaan Lorentz. 153


Misalnya terdapat sebuah kasus dimana sebuah partikel bermuatan bergerak di dalam ruang yang terdapat medan listrik dan magnet yang serba sama. Secara vektoris, medan magnet serba sama tersebut hanya mempunyai komponen yang searah dengan sumbu z yaitu

B

Bz k ,

sedangkan vektor medan listriknya juga serba sama dengan mempunyai tiga komponen, masing-masing dalam arah sumbu x, y dan z. Medan listrik tersebut adalah E

E x i E y j E z k . Menurut hukum Newton kedua,

dapat dituliskan persamaan gerak dari partikel bermuatan tersebut sebagai

m

dv dt

qE

v B

(9.5)

Bila persamaan 9.5 diuraikan dalam tiga komponen dalam sistem koordinat kartesian, akan diperoleh persamaan-persamaan sebagai berikut

d3 x dt

3

d3 y dt 3

154

2

2

Ey Bz

dx dt

(9.6a)

Ex Bz

dy dt

(9.6b)


dan

d2 z dt 2 dimana

Ez Bz

(9.6c)

qB z . m

Persamaan-persamaan 9.6a, 9.6b dan 9.6c tidak lain adalah persamaan differensial orde-3 tentang gerak partikel dalam medan listrik dan magnetik. Persamaan-persamaan tersebut akan diselesaikan atau dicari solusinya secara numerik secara simultan dengan menggunakan metode yang paling sederhana yaitu metode Euler. Dengan

Euler

metode

persamaan-persamaan

tersebut

dapat

dituliskan

an

1

an

san h

vn

1

vn

an h

xn

1

xn

vn 1h

(9.7)

dimana n adalah indeks iterasi pada increment waktu h sehingga xn+1, vn+1 dan an+1 masing-masing secara berurutan adalah harga posisi, kecepatan dan percepatan pada iterasi ke n+1, sedangkan san merupakan syarat awal di setiap iterasi ke n yang dihitung berdasarkan persamaan 2

san

E B

2

vn

(9.7) 155


dengan B dan E adalah besarnya medan magnetik dan listrik. Sedangkan sering disebut Gyrofrequency dari partikel. Persamaan di atas memerlukan harga-harga awal, misalnya

x0

k1

v0

k2

a0

q E m

(9.8)

k2

dimana k1 dan k2 adalah suatu konstanta. Adapun algoritma selengkapnya adalah sebagai berikut

Algoritma 9.1 Gerak Muatan dalam Medan Listrik dan Medan Magnet STEP 1

STEP 2 STEP 3

156

Tentukan nilai-nilai parameter berikut: - massa elektron m - muatan partikel elektron e - Selang waktu dt - Waktu maksimum tmax Pilih kondisi awal untuk x, y, z, vx, vy, vz, Bz, Ex, Ey, Ez, Hitung komponen , percepatan ax, ay, dan az


an

STEP 4 Mulai loop hingga t > tmax STEP 5 Hitung Sax, dan Say

STEP 6 STEP 7

Update Percepatan

STEP 8

Update kecepatan

STEP 9

Update Posisi

STEP 10

Plot (x,y,z) dari partikel

Increment waktu:

STEP 8 Akhir dari loop STEP 4 STEP 9 Selesai

157


Soal 9.1 Buatlah program yang dapat menghasilkan grafik posisi x,

y, dan z untuk gerak muatan yang berada dalam pengaruh medan magnet dalam arah sumbu z yang besarnya Bz = 0.005 Wm-2. Anggap tidak ada medan listrik yang mempengaruhi gerak muatan tersebut. Anggap pula muatan berupa elektron yang diberi kecepatan awal searah sumbu x (vx) dan sumbu z (vz) masingmasing vx=1

107 ms-1, vz=1

106 ms-1, sudut antara sumbu x dan

z dalam penggambaran di layar 300. Gunakan h = 2

10-11 s, tmax

= 3.35 10-8 s, domain = [-0.05, 0.05], dan range = [-0.05, 0.05] m.

Gambar 9. 2 Lintasan gerak muatan elektron dalam medan listrik dan medan magnet. Parameter: vx=1 107 ms-1, vy=0 ms-1, vz=1 106 ms-1, Bz=0.005 Wm2 , Ex=0, Ey=0, Ez=0 , h=2x10-11 s, q=-1.6x10-11 C, m=9.1 10-31 kg, tetha=300, dom =[-0.05, 0.05] m dan ran = [-0.005, 0.005] m

158


9.3 Grafik Tiga Dimensi Untuk mem-plot sebuah titik dalam bidang cukup menggunakan sistem koordinat kartesian 2D, dengan sumbu x dan sumbu y. Akan tetapi lokasi sebuah titik dalam ruang diperlukan sistem koordinat kartesian 3-D dengan menambah satu sumbu z. Penggambaran hal tersebut biasanya menggunakan aturan tangan kanan. Aturan ini selanjutnya disebut sebagai sistem koordinat tangan kanan saja. Transformasi untuk mendapatkan posisi pada layar, lokasi titik pada sistem koordinat tagan kanan digunakan cara proyeksi langsung pada sumbu vertikal dan horizontal. Persamaan untuk mendapatkan titik proyeksi itu adalah:

px

x cos

y cos

z cos ,

py

x sin

y sin

z sin

(9.9)

dimana x, y dan z adalah koordinat pada sistem koordinat tangan kanan. dan

,

berturut- turut adalah sudut antara sumbu x, y dan z dengan bidang

datar dalam arah putar berlawanan jarum jam, biasanya diambil 0 o, 90o dan 225o sedangkan px dan py adalah hasil proyeksi titik pada sumbu x dan y.

159


9.4 Kode Program

Gambar 9. 3 Script pada stage backdrop ( bagian 1 )

160



161



162


Gambar 9. 6 Script pada sprite muatan yang bergerak (bagian 1)

163



164



165


166

DAFTAR PUSTAKA

Alberty, R.A.. 1987. Physical Chemistry. New York: John Wiley & sons Arya, Atam Parkash.Introduction to Classical Mechanics—2nd ed.New Jersey: Prentice-Hall. Inc De Jong, M.L. 1991. Introduction to Computational Physics. Massachusetts: Addison-Wesley Pub. Company Durran, Dale R.1998.Numerical Methods for Wave Equations in Geophysical Fluid Dynamics.NewYork: Springer French, A. P.. 1971. Newtonian Mechanics. New York: W.W. Norton & Co. Inc. Ford, Fr. Jerry Lee. 2008. Scratch Programming for Teens. Kentucky: course Technology PTR Gibbs, William R.1999.Computation in Modern Physics.Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. Gould, H. and Tobochnik. J.. 1988. Computer Simulation Methods.Massachusetts: Reading MA. AddisonWesley


Griffiths, David. J. 1989. Introduction to Electrodynamics. New Delhi: Prentice-Hall of India Hardyanto, W. 2005. Mengungkap Fenomena Fisika dengan Delphi. Unnes Press. Kadir, Abdul & Nurcito, Lukman Arif. 2011. Bahasa Pemrograman Scratch. Yogyakarta: Mediakom. Law, Averill M.2000. Simulation Modeling and Analysis.Singapore: McGraw-Hill Maloney, J., Peppler, K., Kafai, Y.B., Resnick, M., Rusk, N. 2008. Programming by Choise: Urban Youth Learning Programming with Scratch. SIGCSE, Oregon, USA, pp 367-371 Osgood, T.H.. 1985. Rutherford and his Alpha Particles. Physics History from AAPT journals M. N. Phillips. American Association of Physics Teachers. Osier, Dan, Steve G., and Steve B.. 1996. Teach Yourself Delphi 2 in 21 days. Indianapolis. Sams Publishing Sears. F. W, Zemansky, M. W., Young. H.D.. 1987. University Physics seventh Edition. Massachusetts: AddisonWesley Pub. Thijssen, J.M.1999.Computational Physics.Cambridge: Cambridge University Press Watts, R.G.. and Baroni. S.. 1989. Base ball-Bat Collisions and Resulting Trajectories of Spring Balls. J. Physics. 168

Daftar Pustaka

-------.1963. Some reader will recognize my indebtedness to Feynman lectures on physics Vol.1. Reading.Massachusetts: Addison-Wesley. Young, H.D., and Freedman. R.A.. 1996. University Physics 9th Edition. Massachusetts: Addison-Wesley Pub.

169

Kajian Gejala Fisika dengan Scratch

Recommend Documents