III. Úplná pravděpodobnost. Nezávislé pokusy se dvěma výsledky. Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina

Úplná pravděpodobnost

Nezávislé pokusy se dvěma výsledky

Náhodná veličina

III Přednáška

Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina

III. Přednáška

Statistika A (LS 2015)



Náhodná veličina

Pravděpodobnost při existenci neslučitelných hypotéz

Věta Mějme jev A. Pokud H1 ,H2 , : : : ,Hn tvoří úplnou skupinu vzájemně neslučitelných hypotéz, pak n X P(Hi ) ´ P(AjHi ) : P(A) = i=1

Mějme A a tři alternativní hypotézy, H1 ,H2 ,H3 , pak P(A) = P(A ´ H1 ) + P(A ´ H2 ) + P(A ´ H3 ) H1

A ´ H3

A ´ H1

H3

A ´ H2 A H

2

P(A ´ Hi ) = P(Hi )P(AjHi ), i = 1,2,3 P(A) = P(H1 )P(AjH1 )+ + P(H2 )P(AjH2 )+ + P(H3 )P(AjH3 )

III. Přednáška




Náhodná veličina

Příklad Osivo se skládá ze 3/4 ze semen I. jakosti a z 1/4 ze semen II.jakosti. Semena I. jakosti vyklíčí s pravděpodobností 0,94 a semena II. jakosti vyklíčí s pravděpodobností 0,72. Kolik procent osiva vyklíčí?

P(H1 ) = 3=4

P(AjH1 ) = 0,94

P(H2 ) = 1=4

P(AjH2 ) = 0,72

P(A) = P(H1 )P(AjH1 ) + P(H2 )P(AjH2 ) = = 0,75 ´ 0,94 + 0,25 ´ 0,72 = 0,885

Příklad Jaké procento z vyklíčené populace je první jakosti? III. Přednáška




Náhodná veličina

Bayesova formule (dvě alternativní hypotézy) I

Máme jevy A a H.

I

Jevy H a H 0 tvoří úplnou skupinu alternativních hypotéz.

I

P(A) = P(H) ´ P(AjH) + P(H 0 ) ´ P(AjH 0 ),

I

P(A ´ H) = P(H) ´ P(AjH) = P(A) ´ P(HjA), P(A ´ H) P(HjA) = , P(A)

I

Bayesova věta pro dvě alternativní hypotézy Mějme jev A a alternativní hypotézy H a H 0 , pak P(HjA) =

III. Přednáška

P(H) ´ P(AjH) P(H) ´ P(AjH) + P(H 0 ) ´ P(AjH 0 ) Statistika A (LS 2015)



Náhodná veličina

Použití úplné pravděpodobnosti a Bayesovy formule

Příklad Preventivní test označí správně 99 % nemocných (senzitivita) a správně označí 98 % zdravých (specificita). V populaci jsou 3 % nemocných. Zvažte, zda je účelné test provozovat. 1. Jak velkou část populace test označí pozitivně? 2. Jak velkou část nemocné populace označí test pozitivně? 3. Jak velkou část zdravé populace označí test pozitivně?

III. Přednáška




Náhodná veličina

Použití úplné pravděpodobnosti a Bayesovy formule I I I I I I I

H — jedinec je nemocný, P(H) = 0,03, H 0 — jedinec je zdravý, P(H 0 ) = 0,97, AjH — nemocný má pozitivní test, P(AjH) = 0,99, AjH 0 — zdravý má pozitivní test, P(AjH 0 ) = 0,02, A — jedinec má pozitivní test . . . ? H|A — jedinec má pozit. test a je nemocný . . . ? H’|A — jedinec má pozit. test a je zdravý . . . ?

P(A) = P(H) ´ P(AjH) + P(H 0 ) ´ P(AjH 0 ) = 0,049 P(HjA) =

P(H) ´ P(AjH) = 0,61 P(H) ´ P(AjH) + P(H 0 ) ´ P(AjH 0 ) P(H 0 jA) = 1 ` P(HjA) = 0,39

III. Přednáška




Náhodná veličina

Změna zadání I

H — jedinec je nemocný, P(H) = 0,01, H 0 — jedinec je zdravý, P(H 0 ) = 0,97, I AjH — nemocný má pozitivní test, P(AjH) = 0,99, I AjH 0 — zdravý má pozitivní test, P(AjH 0 ) = 0,02, I A — jedinec má pozitivní test . . . ? I H|A — jedinec má pozit. test a je nemocný . . . ? I H’|A — jedinec má pozit. test a je zdravý . . . ? P(A) = P(H) ´ P(AjH) + P(H 0 ) ´ P(AjH 0 ) = 0,029 I

P(HjA) =

P(H) ´ P(AjH) = 0,33 P(H) ´ P(AjH) + P(H 0 ) ´ P(AjH 0 ) P(H 0 jA) = 1 ` P(HjA) = 0,67

III. Přednáška




Náhodná veličina

Bayesova formule, obecně

Věta (Bayesova) Mějme jev A. Pokud H1 ,H2 , : : : ,Hn tvoří úplnou skupinu vzájemně neslučitelných hypotéz, pak P(Hk jA) =

P(A ´ Hk ) P(Hk ) ´ P(AjHk ) = n P(A) X P(Hi ) ´ P(AjHi ) i=1

I

P(Hi ) — pravděpodobnost hypotézy Hi „a priori“

I

P(Hi jA) — pravděpodobnost Hi „a posteriori“

III. Přednáška




Náhodná veličina

Bernoulliův pokus Probíhá série 3 pokusů. Jev A nastane v každém pokusu s pravděpodobností P(A) = p. p p

A

A p

1`p

p 1`p

1` `p p 1

A00 p2 (1 ` p) A

p p

A p2 (1 ` p) A

1`p

A0 p(1 ` p)2

p p

A p2 (1 ` p) A

1`p

A0 p(1 ` p)2

p

A p(1 ` p)2

A00

A

A

A0

A

1`p

0

A

1`p III. Přednáška

A p3

A0 q 3 Statistika A (LS 2015)



Náhodná veličina

Bernoulliův pokus Probíhá série n pokusů. Jev A nastane v každém pokusu s pravděpodobností P(A) = p. Pravděpodobnost, že jev A nastane v n-té sérii právě k-krát je “n ” ´ p k ´ (1 ` p)n`k : P(Bk ) = k

Příklad V testu má každá odpověď dvě alternativy. Jaká je pravděpodobnost, že náhodným výběrem zodpovíte správně nejméně 8 otázek z 10. “10” 0 III. Přednáška

´

“10” 1 1 “10” 1 1 1 1 ´ + ´ ´ + ´ 2 ´ 8 = 0,05 1 2 20 210 21 29 2 2 Statistika A (LS 2015)



Náhodná veličina

Náhodná proměnná Funkce definovaná na ˙, přiřazující každému elementárnímu jevu E reálné číslo X (E ) X: ˙ ! R : I

Dva hody mincí ˙ = f(L,L),(R,L),(L,R),(R,R)g

I

E 2˙ (L,L) (R,L) (L,R) (R,R) X (E ) 2 R 0 1 2 3 Výška v populaci. Nedá se popsat výčtem.

III. Přednáška




Náhodná veličina

Typy náhodných veličin

I

diskrétní — obor hodnot je posloupnost

I

spojitá — obor hodnot je interval

III. Přednáška




Náhodná veličina

Popis náhodných veličin

Rozložení (rozdělení) pravděpodobnosti Pravidlo přiřazující hodnotám náhodné veličiny pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude této hodnoty.

Distribuční funkce náhodné veličiny X F : R ! h0,1i každé hodnotě x přiřadí pravděpodobnost F (x ), že náhodná veličina X nabude hodnoty menší nebo rovno x F (x ) = P(X » x ) :

III. Přednáška




Náhodná veličina

Vlastnosti distribuční fce

I

Neklesající. Pokud x1 » x2 , pak F (x1 ) » F (x2 )

I

Zprava spojitá. lim F (x + h) = F (x )

I

Má pevné hodnoty v nevlastních bodech.

h!0

lim F (x ) = 0 ,

x !`1

lim F (x ) = 1 :

x !1

P(a < X » b) = F (b) ` F (a) Graf

III. Přednáška




Náhodná veličina

Frekvenční funkce

I

diskrétní náhodná veličina — pravděpodobnostní funkce.

I

spojitá náhodná veličina — funkce hustoty.

III. Přednáška


III. Úplná pravděpodobnost. Nezávislé pokusy se dvěma výsledky. Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina

Recommend Documents