Halmazműveletek – feladatok Soroljuk fel a {a; b; c} halmaz összes részhalmazát!
Határozza meg az A és B halmazokat, ha tudja, hogy A B ={1;2;3;4;5}; A B ={3;5}; A\B={1}; B\A={2;4 A={-1; 0; 1; 2; 5; 7; 8} B={-9; -6; -2; -1; 0; 3; 7; 9} Határozzuk meg az A\B halmaz elemeit! A={27-nél nem nagyobb 5-tel osztható természetes számok} B={18-nál kisebb 3-mal nem osztható természetes számok} Határozzuk meg az AUB halmaz elemeit! A={-8; -6; -4; -1; 1; 3; 4} B={-9; -7; -6; -4; 0; 4; 5; 9} Határozzuk meg az A∩B halmaz elemeit! A={-5; -4; -3; 0; 1; 2; 4; 6; 9; 10} B={-10; -2; 2; 3; 5; 6; 9; 10} Határozzuk meg a B\A halmaz elemeit! A={25-nél kisebb páratlan természetes számok} B={15-nél nem nagyobb 4-gyel nem osztható természetes számok} Határozzuk meg az A\B halmaz elemeit!
1. Határozd meg az alábbi halmazokat a megfelelő számhalmaz jelöléssel vagy felsorolással N \ Z+ = Q+ Z = P\R= Z\N= Z– N = Q– Q+ =
ahol P {prím számok} és R {r Z | r = 2k+1; k N}
2. Ábrázold a következő halmazokat Venn-diagramm segítségével: a, A 10-zel, a 15-tel és a 20-szal osztható számok halmazai b, A prím számok, a 3-mal és a 12-vel osztható számok halmazai c, A 6-tal, a 8-cal és a 24-gyel osztható számok halmazai
3. A := {4; 5; 6; 7; 8}
B := {6; 8; 10; 12}
C := {6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}
Határozd meg a következő halmazokat felsorolással: a, A B = { b, A C = { c, (C \ A) B = { d, (B \ A) (B \ C) = { 4. Adott a síkon az e szakasz és rajta az A pont. Ábrázold a két alábbi ponthalmazt: P := {P pontok | dAP 2 cm} és R := {R pontok | deR 1 cm} Ábrázold (ábrádon színessel emeld ki) az R \ P ponthalmazt.
Egy 33 fős tankörben háromféle idegen nyelvet tudnak: 20 diák tud angolul, 16 németül és 6 franciául, 5 diák tud pontosan két nyelven és 2 diák tud mindhárom nyelven beszélni. Hányan nem tudnak egy idegen nyelvet sem, és hányan tudnak pontosan egy idegen nyelven beszélni? 1. Egy suliban 3 kirándulást szerveznek. Az elsőre 500-an, a másodikra 200-an, a harmadikra 250-en jelentkeztek. Tudjuk: 40-en gyerek jelentkezett mindhárom kirándulásra. 100 gyerek legalább két kirándulásra jelentkezett. Hány tanuló vett részt legalább egy kiránduláson? 2. Egy 28-as létszámú osztályban 3 szakkör van. Minden gyerek legalább egy szakkörre jár. Tudjuk: A matek-szakkörre 14 gyerek jár. Akik csak matek-szakkörre járnak, 6-an vannak. Akik csak fizika-szakkörre járnak, 4-en járnak. Akik csak történelem-szakkörre járnak, 7-en járnak.
Bármelyik két szakkörnek pontosan ugyanannyi közös tagja van. Hány gyerek jár mindhárom szakkörre? Mit értünk két halmaz unióján? Mi a jele? Mit értünk két halmaz metszetén? Mi a jele? Mit értünk A\ B halmazon ? Mi a jele? Mit értünk B \ A halmazon ? Mi a jele? Mit értünk részhalmazon? Mi a jele? Mikor egyenlő két halmaz? Mi az üreshalmaz? Mi a jele? Mit értünk valódi részhalmazon?
2. Add meg két különböző jelöléssel a kettőnél nagyobb és a 10-nél nem nagyobb pozitív egész számok halmazát. 3. Legyen A a jó tanuló fiatalok halmaza, B a jó sportoló fiatalok halmaza. Adja meg szavakkal az A B, A \ B, B \ A, A B, A ∆ B halmazt! 4. A = a;b;e;f;g;h;i B = c;d;f;g;h;i;j;k Határozza meg az A\ B; B \ A; A B; B A; A B; B A halmazokat! 5. Ábrázold a következő halmazokat, adott A,B és C halmazok esetén! (A B)\C A B C
-
(B A)\C A\(B C) (B A)\C B\A (A B)\C B A C (B A)\C (A B) C A\B A\(B\C) A\(B C) (B A)\C
6. A1; 2; 5; 7; 9
B3; 4; 5; 6;
A(BC) ? (AB)C ? (AC)B ? 7. Adja meg a színezett tartományt képlettel!
C5; 6; 8; 9
8. Határozza meg az A\ B és a B \ A halmazt, ha A a; b; c; d; AB a; b; c; d; A B a; c A \ Bb; d és B \ A 9. Milyen kapcsolat van az alábbi esetekben az A és a B halmaz között? a) A\B és ABA b) A\B és ABA c) A\B és B\A 10. Az M a; b; c; d;e; f halmaz A, B és C részhalmazaiból az alábbiakat tudjuk: A B b; (A B) C e; f; A \ C b; c; d; C \ B a; e. Határozza meg az A, B és a C halmazokat! 11. Határozza meg az A és a B halmazokat, ha tudja, hogy A B a; b; c; d; e; A B c; f; A \ B a; B \ A b; d! 12. A = {2; 3; 5; 8}; B = {1; 3; 4; 8}; C = {1; 5; 6; 7} ABC=? (A B) C = ? B \ (A B) = ? A B C = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
(A B) C = {5; 1} B \ (A B) = {4} 13. A = {a, d, e, f}; B = {a, c, d, g}; C = {b, c, d, f, g} (A \ B) C = ? B \ (A C) = ? (A \ B) C = {f} B \ (A C) = 14. Határozd meg az A, B és C halmazokat, ha tudod hogy : A B C = {2;4;5;6;7;8;9} A B C = {2}; A B = {2;4}; A \ B = {9;6}; B \ (A C) = {7}; A \ (B C) = {9} és (B C) \ (A (B C)) = {5}
15. Egy osztály 32 tanulója közül 8-an emelt matematikából, 6-an emelt fizikából, 4 tanuló emelt matematikából és emelt fizikából is érettségizik. Hányan nem érettségiztek egyik említett tantárgyból sem? Hányan tettek emelt érettségit csak az egyik tantárgyból? Hányan tettek emelt érettségit valamelyik tantárgyból? 16. Egy osztály létszáma 32. Az osztályban angolul és németül tanulnak, és mindenki tanul valamilyen nyelvet. Mindkét nyelvet huszonegyen tanulják. Bizonyítsa be, hogy az angolul és a németül tanuló diákok száma nem lehet egyenlő! 17. 30 tanuló indult matematika versenyen. Az első feladatot 19-en, a másodikat 15-en, a harmadikat 18-an oldották meg hibátlanul. Az első és a második feladatra 7-en, az első és a harmadik feladatra 9-en, a második és a harmadik feladatra 10-en adtak helyes megoldást. Mindhárom feladatot 3 tanuló oldotta meg jól. Hány tanulónak nem sikerült egy feladatot sem megoldani? 18. Igaz-e bármely A; B; C halmazok esetén? a) (A B) \ C = A (B \ C) b) (A B) \ C = A (B \ C) c) (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (A B) d) C \ ( A B) = (C \ A) (C \ B) 19. Bizonyítsd be, hogy
!
20. Bizonyítsd be, hogy
!
21. Bizonyítsd be, hogy a metszet asszociatív művelet! 22. Bizonyítsd be, hogy az unió asszociatív művelet! 24. Tudjuk, hogy |A B| = 4; |A \ B| = 2; |A B| = 9. |A| = ?; |B| = ? 25. Adott a valós számok néhány részhalmaza. A = [ 2; 6] ; B = [ 4; 8] A B = ? A B =? A \ B =? B \ A =? A ∆ B =? 26. Adott a valós számok néhány részhalmaza. A = ]2; 6[ ; B = ] 4; 8[ A B = ? A B =? A \ B =? B \ A =? A ∆ B =? 27. Adott a valós számok néhány részhalmaza. A = [ 2; 6[ ; B = ]4; 8] A B = ? A B =? A \ B =? B \ A =? A ∆ B =? 28. Adott a valós számok néhány részhalmaza. A = ] 2; 6] ; B = ] 4; 8] A B = ? A B =? A \ B =? B \ A =? A ∆ B =? 29. Adott a valós számok néhány részhalmaza. A = [ 2; 6[ ; B = [ 4; 8]
A B = ? A B =? A \ B =? B \ A =? A ∆ B =? 30. Adjon meg öt olyan számot, amelyek az
intervallumba esnek.
31. Adja meg az alábbi műveletek eredményét intervallummal és számegyenesen is! a) [2;3] [4;5]
b) [2;3] [4;5]
c) [2;3] \ [4;5]
32. Adja meg az alábbi műveletek eredményét intervallummal és számegyenesen is! a) ]–; 4[ ]3;[ d) ]–; 4] [3;[
b) ]–; 4[ ]3;[ e) ]–; 4] [3;[
c) ]–; 4[ \ ]3;[ f) ]–; 4] \ [3;[
1. Sorolja fel az A halmaz részhalmazait! A0; 2; 4; 6; 8 2. Ábrázold a két halmazt Venn-diagrammon! A1; 2; 3; 4; 7; 8; B3; 4; 5; 6 Add meg a két halmaz közös elemeit! Add meg azt a halmazt, amelyben csak az A elemei vannak benne! Add meg azt a halmazt, amelyben csak a B elemei vannak benne! Add meg azt a halmazt ,amely az A és a B összes elemét tartalmazza! 3. Ábrázold Venn-diagrammon a téglalapokat és a rombuszokat! Mik tartoznak bele mind a két halmazba? 4. Legyen A a páros számok halmaza, B a néggyel osztható egész számok halmaza. Mi a kapcsolat a halmazok között? 5. Keresse meg a következő halmazok között az egyenlőket!
HALMAZOK Halmazműveletek 1. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 3-mal osztható számok B = 10-nél nagyobb, de 30-nál nem nagyobb pozitív egész számok Határozza meg az A B halmaz elemeit!
(2 pont)
2. Az A halamaz elemei a kétjegyű négyzetszámok, B = 3 k k N . Határozza meg az alábbi halmazokat! a) A B b) A \ B (2 pont) 3. Ha az A halmaz a B halmaznak részhalmaza, akkor az alábbi állítások közül melyik igaz és melyik hamis: a) A B = A b) A B B (2 pont)
4. Legyen az A halmaz a 15-nél nem nagyobb pozitív páros számok halmaza, a B halmaz a 15-nél nem nagyobb 3-mal osztható számok halmaza. Határozza meg az A \ B halmaz elemeit! (2 pont) 5. Adott két halmaz: A = húsznál kisebb, pozitív, hárommal osztható számok halmaza B = 1;4;9;16 Sorolja fel az A B és az A \ B elemeit!
(2 pont)
6. Az A halmaz elemei a pozitív egész egyjegyű számok, a B halmaz elemei a prímszámok. Határozza meg az A B halmaz elemeit! (2 pont) 7. Az A halmaz elemei a 0-ra végződő kétjegyű természetes számok, B = 3 k k N . Határozza meg az alábbi halmazokat: a) A B b) A \ B ! (2 pont) 8. Az A és a B halmazokról a következőket tudjuk: A B =1;2, A B =1;2;3;4;5;6;7, Adja meg az A és B halmaz elemeit!
A \ B =5;7.
9. A=trapézok; B=deltoidok; C=Húrnégyszögek. Határozza meg az alábbi halmazokat! a) A B b) B C c) A C (12 pont) Számegyenes, intervallumok 10. Legyen az A halmaz a -3;5 intervallumban levő valós számok halmaza, B pedig a 2;6 intervallumban levő valós számok halmaza. Adja meg és ábrázolja egy számegyenesen az A \ B halmaz elemeit! (3 pont) 11. Legyen az A halmaz 1-nél nem kisebb, de 9-nél kisebb számok halmaza, a B halmaz a 7-nél nem nagyobb pozitív számok halmaza. Ábrázolja egy számegyenesen az A és B halmazok metszetét! (3 pont) 12. A póknak 8 lába van. Szekrényfiókjában 10 db piros, 10 db kék, 10 db fehér és 10 db sárga zoknit tart. Legkevesebb hány db zoknit kell kivennie becsukott szemmel, hogy biztosan jusson minden lábára ugyanolyan színű zokni? (4 pont) 13. Az A és B halmazokról a következőket tudjuk: A B =1;2;3;4;5;6;7 A B =2;7 Határozza meg a B halmaz elemeit!
A \ B =1;3;5 (2 pont)
14. Legyen az A halmaz azon x valós számok halmaza, melyekre x 10. A B halmaz azon x valós számok halmaza, melyekre -3 x, végül C halmaz azon x valós számok halmaza, melyekre -3 < x >20. Határozza meg az A B C halmaz elemeit! (2 pont) Halmazok számossága 15. Ha az A halmaznak 15 eleme van, a B halmaznak 9 eleme van, az A B halmaz 6 elemű, akkor hány eleme van az A \ B halmaznak? (2 pont) 16. Az A halmaz elemei a 20-nál kisebb pozitív egész számok. A B halmaz elemei a pozitív prímszámok. Hány eleme van az A \ B halmaznak? (2 pont) 17. Az A halmaznak 12 eleme van, a B halmaznak 18 eleme van. Az A B elemeinek a száma 7. Hány eleme van az A B halmaznak? (2 pont) 18. Egy matematikaversenyen két feladatot tűztek ki. Az első feladatot az indulók 80%-a, a másodikat pedig az indulók 40%-a oldotta meg. Minden résztvevő megoldott legalább egy feladatot, mindkét
feladatot 2 tanuló oldotta meg. Hányan indulhattak a versenyen?
(2 pont)
19. Egy 10 tagú csoportban mindenki beszéli az angol és a német nyelv valamelyikét. Hatan beszélnek közülük németül, nyolcan angolul. Hányan beszélik mindkét nyelvet? Válaszát indokolja számítással, vagy szemléltesse Venn-diagrammal! (3 pont) 20. Egy zeneiskola egyik évfolyamán háromféle hangszeren tanulnak a diákok (mindenki tanul legalább egy hangszeren). Hegedülni 32-en, zongorázni 36-an, fuvolázni 28-an tanulnak. Három hangszeren senki sem tanul. Azok száma, akik pontosan két hangszeren játszanak 25, közülük hegedülni és zongorázni is tanulnak 8-an. a) Hányan tanulnak csak fuvolán? (6 pont) b) Hányan járnak erre az évfolyamra? (5 pont) c) Igaz-e, hogy van az évfolyamon legalább 11 olyan diák, akik születési dátuma a hétnek ugyanolyan napjára esik? (6 pont) 21. Egy 26 fős sportosztályban háromféle sportot űznek a diákok: 15-en atletizálnak, 14-en birkóznak és 12-en cselgáncsoznak. (Minden tanuló sportol valamit.) Azok száma, akik két sportot űznek háromszor annyi, mint azok száma, akik mindhárom sportot űzik. a) Hányan vannak, akik csak egy sportot űznek? (6 pont) b) A két sportágat űzők közül azok, akik atletizálnak és cselgáncsoznak, fele annyian vannak, mint a többiek, akik két sportágat űznek. Hányan járnak az osztályból csak birkózóedzésre? (6 pont) c)Ha tudjuk, hogy legalább két olyan diák van, akik csak atletizál és birkózik, akkor legalább és legfeljebb hányan vannak azok, akik csak cselgáncsoznak? (5 pont) 22. Egy természettudományos tagozatú osztály létszáma 41 fő. E diákok 3 tárgyat választhatnak fakultációs tárgyként: biológiát, kémiát és fizikát. Azok a diákok, akik két tárgyat választottak pontosan kétszer annyian vannak, mint akik mindhárom tárgyat választották. a) András szerint 27 olyan diák van, akik csak egy tárgyból fakultáltak. Kati szerint András tévedett. Kinek van igaza? (6 pont) b) Ha 4 tanuló volt, aki csak biológiából és kémiából fakultált, és hárman mindhárom tárgyból fakultáltak, akkor hány olyan tanuló van, akik csak egy tárgyat választottak? (6 pont) c) Az osztály minden tanulója kiszámította – egy öröknaptár segítségével –, hogy születési dátuma a hétnek milyen napjára esett. Ezt mindenki felírta egy cetlire, majd a cetliket egy nagy kalapba tették. Igaz-e, hogy van legalább 6 olyan cédula, melyeken ugyanaz a nap szerepel? (5 pont) 23. Az iskolai Túra Szakosztály mind a 42 tagja részt vett az idei három túra valamelyikén. A második kiránduláson 1-gyel, a harmadikon pedig 5-tel többen vettek részt, mint az elsőn. Azok száma, akik két túrán vettek részt 3-szor, akik pedig egy túrán vettek részt 10-szer annyi, mint azok száma, akik mindhárom túrán részt vettek. a) Hányan vettek részt a kiránduláson? (6 pont) b) Hányan vettek részt az első, a második és a harmadik kiránduláson? (6 pont) Vegyes feladatok 1. Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először Ádám és Tamás nézték meg figyelmesen az ábrákat: Ádám 11, Tamás 15 eltérést talált, de csak 7 olyan volt, amelyet mindketten észrevettek. a) Hány olyan eltérés volt, amelyet egyikük sem vett észre? (4 pont) Közben Enikő is elkezdte számolni az eltéréseket, de ő sem találta meg az összeset. Mindössze 4 olyan volt, amelyet mindhárman megtaláltak. Egyeztetve kiderült, hogy az Enikő által bejelöltekből hatot Ádám is, kilencet Tamás is észrevett, és örömmel látták, hogy hárman együtt az összes eltérést
megtalálták. b) A feladat szövege alapján töltse ki az alábbi halmazábrát arról, hogy ki hányat talált meg!
(7 pont) c) Fogalmazza meg a következő állítás tagadását! Enikő minden eltérést megtalált. (2 pont) d) Mennyi annak a valószínűsége, hogy eltérést véletlenszerűen kiválasztva, azt legalább ketten megtalálták? (4 pont) 2. Egy osztályban a következő háromféle sportkört hirdették meg: kosárlabda, foci és röplabda. Az osztály 30 tanulója közül kosárlabdára 14, focira 19, röplabdára 14 tanuló jelentkezett. Ketten egyik sportra sem jelentkeztek. Három gyerek kosárlabdázik és focizik, de nem röplabdázik, hatan fociznak és röplabdáznak, de nem kosaraznak, ketten pedig kosárlabdáznak és röplabdáznak, de nem fociznak. Négyen mind a háromféle sportot űzik. a) Írja be a megadott halmazábrába a szövegnek megfelelő számokat!
(4 pont) b) Fogalmazza meg a következő állítás tagadását! A focira jelentkezett tanulók közül mindenkinek van testvére. (2 pont) c) A focira jelentkezett 19 tanulóból öten vehetnek részt egy edzőtáborban. Igazolja, hogy több, mint 10 000-féleképpen lehet kiválasztani az öt tanulót! d) Az iskolák közötti labdarúgó-bajnokságra jelentkezett 6 csapat között lejátszott mérkőzéseket szemlélteti a 2. ábra. (3 pont) Hány mérkőzés van még hátra, ha minden csapat minden csapattal egy mérkőzést játszik a
bajnokságban? (Válaszát indokolja!)
(3 pont) 3. Egy zeneiskola minden tanulója szerepelt a tanév során szervezett három hangverseny, az őszi, a téli, a tavaszi koncert valamelyikén. 20-an voltak, akik az őszi és a téli koncerten is, 23-an, akik a télin és a tavaszin is, és 18-an, akik az őszi és a tavaszi hangversenyen is szerepeltek. 10 olyan növendék volt, aki mindhárom hangversenyen fellépett. a) Írja be a halmazábrába a szövegben szereplő adatokat a megfelelő helyre!
(4 pont) A zeneiskolába 188 tanuló jár. Azok közül, akik egy hangversenyen léptek fel, kétszer annyian szerepeltek tavasszal, mint télen, de csak negyedannyian ősszel, mint tavasszal. b) Számítsa ki, hogy hány olyan tanuló volt, aki csak télen szerepelt! (8 pont) c) 32 tanuló jár az A osztályba, 28 pedig a B-be. Egy ünnepélyen a két osztályból véletlenszerűen kiválasztott 10 tanulóból álló csoport képviseli az iskolát. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mind a két osztályból pontosan 5-5 tanuló kerül a kiválasztott csoportba? (5 pont) 4. Egy középiskolába 700 tanuló jár. Közülük 10% sportol rendszeresen a két iskolai szakosztály közül legalább az egyikben. Az atlétikai szakosztályban 36 tanuló sportol rendszeresen, és pontosan 22 olyan diák van, aki az atlétikai és a kosárlabda szakosztály munkájában is részt vesz. a) Készítsen halmazábrát az iskola tanulóiról a feladat adatainak feltüntetésével! (4 pont) b) Hányan sportolnak a kosárlabda szakosztályban? (4 pont) c) Egy másik iskola sportegyesületében 50 kosaras sportol, közülük 17 atletizál is. Ebben az iskolában véletlenszerűen kiválasztunk egy kosarast. Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott tanuló atletizál is? (4 pont) Emelt szint 1. Egy sporttagozatos osztályban (ahol mindenki sportol), atletizálnak, birkóznak és cselgáncsoznak a tanulók. Három olyan diák van, aki mindhárom sportot űzi. Akik pontosan 2 sportot űznek, 10-zel kevesebben vannak, mint azok, akik pontosan egy sportot űznek. Akik csak birkóznak kétszer annyian vannak, mint azok akik csak atletizálnak, és fele annyian vannak, mint akik csak cselgáncsoznak. Melyik állítás igaz? a) Osztálylétszám: 31 fő.
b) Osztálylétszám: 33 fő. c) Osztálylétszám: 35 fő.
(12 pont)
2. Legyen az A halmaz a 4-gyel osztható négyjegyű számok halmaza, a B halmaz pedig az 5-tel osztható négyjegyű számok halmaza. a) Hány eleme van az A és a B halmaznak? (6 pont) b) Egy urnában elhelyeztük az A halmaz elemeit, majd utána elhelyeztük ugyanebben az urnában a B halmaz elemeit. Ez után véletlenszerűen kivettünk az urnából egy számot. Mekkora a valószínűsége, hogy a kivett szám eleme az A B halmaznak? (7 pont)
Halmazok számossága Egy 25 fős osztályban mindenki tanul angolt vagy németet. Angolul 18-an, németül 17-en tanulnak. Hányan tanulják mindkét nyelvet? Az alaphalmazban az osztály tanulói vannak, összesen 25-en. Az alaphalmaz számossága 25. Így jelöljük: |U| = 25. Két tulajdonságot különböztetünk meg: angolul tanulók, németül tanulók. Bármely tanuló legalább az egyik halmaznak eleme. Az angolul tanulók halmazának 18 eleme van, azaz számossága 18. Így jelöljük: |A|=18. A németül tanulók halmazának 17 eleme van, azaz számossága 17. Így jelöljük: |B|=17. Azok a tanulók, akik mindkét nyelvet tanulják a két halmaz metszetének elemei. A kérdés a metszet számossága. A 18+17 összegben kétszer szerepel a metszet elemszáma: aki mindkét nyelvet tanulja arra igaz az is, hogy angolt tanul, és az is, hogy németet. Az osztálylétszámban viszont mindekinek egyszer kell szerepelnie. Hány tanulót számoltunk meg kétszer? 35 - 25 = 10. Tehát 10 tanuló tanulja mindkét nyelvet. Egy osztály tanulóinak 2/3 része angolul tanul, 3/4 része pedig franciául. 10 tanuló mindkét nyelvet tanulja. Hányan járnak az osztályba, ha mindenki tanul legalább egy nyelvet? Ismét a metszet elemei szerepelnek mindkét halmazban, az angolul tanulók halmazában is, és a franciául tanulók halmazában is. 2/3 + 3/4 = 8/12 + 9/12 = 17/12. Ahányad résszel több ez az összeg az 1 egésznél, az osztály annyiad része van a metszetben: 1 - 17/12 = 12/12 - 7/12 = 5/12. Az osztály 5/12 része 10 fő. Így az 1/12 rész 2 fő. A 12/12 rész 24 fő. Tehát az osztályban 24 diák tanul. Egy 30 fős osztályban 20-an tanulnak angolul, nem tanulnak németet 17-en, és két olyan diák van, akik sem németül, sem angolul nem tanulnak. Hányan tanulják mindkét nyelvet? Az, hogy "nem tanulnak németet" azt jelenti, hogy a németül tanulók halmazának komplementere 17 főt
tartalmaz. Így a halmaz számossága 30 - 17 = 13 fő. Tehát 13 fő tanul németet. Az idegen nyelvet tanulók száma: 30 - 2 = 28. Akik mindkét nyelvet tanulják: (20 + 13) - 28 = 5. Tehát mindkét nyelvet 5 diák tanulja.
MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATOK I. HALMAZOK 1. Legyen X = Z az alaphalmaz, továbbá A = aZ"a" páros B = bZ"a" páratlan C = 2, 3, 4, D = -2, 0, 4 a) Adjon meg részhalmazokat, diszjunkt halmazokat! b) Végezze el a műveleteket: AB, AD, AB, AD, AC, C\A, D\A! c) Adja meg a B és C halmazok számosságát! 2. Legyen az alaphalmazunk: X = R, azaz a valós számok halmaza. Legyenek A = N a természetes számok, B = Z az egész számok, C = Q a racionális, D = Q* az irracionális számok halmaza. Mivel egyenlő
AB AB
CD CD
C D
CA
AD
D-C
3. Írja le halmazelméleti jelölésekkel a halmazokat, ha X=a Pest megyei lakosok H =”A” típusú jogosítvánnyal rendelkezők K=”B” típusú jogosítvánnyal rendelkezők a) mindkettővel rendelkeznek: b) legalább az egyikkel rendelkeznek c) nincs ”A” típusú jogosítványuk d) egyikkel sem rendelkeznek e) csak ”A” típusú jogosítvánnyal nem rendelkeznek f) legalább egyikkel nem rendelkeznek g) pontosan az egyikkel rendelkeznek
4. Írja át tizedes tört formába a p/q alakú racionális számokat, illetve viszont! 4/5,
2/3,
3/2,
-7/13
-5,
4,16
-0,058
62,333…
-0,10505…
9,03417417…
