Gyakorl´ o feladatok Alkalmazott Oper´ aci´ okutat´ as vizsg´ ara. Tov´ abbi p´ eld´ ak tal´ alhat´ ok az fk.sze.hu oldalon a let¨ olt´ esek r´ eszben a k¨ ozleked´ esi oper´ aci´ okutat´ asban 1. Oldja meg grafikusan az al´abbi feladatokat mindh´arom c´elf¨ uggv´eny eset´en! a, x1 + x2
≥
2
2x1 + x2 −x1 + x2 x1
≤ ≤ ≤
6 1 2, 5
x1 ≥ 0, x2 z1 = 4x1 − 3x2
≥ →
0 max;
z2 = 4x1 − 3x2 z3 = 4x1 + 2x2
→ →
min; max;
b, 11x1 − 7x2 −6x1 + 9x2 3x1 + x2
≤ ≤ ≥
77 54 3
4x1 + 7x2 x1 ≥ 0, x2
≥ ≥
14 0
z1 = −8x1 + 12x2 z2 = −8x1 + 12x2 z3 = 2x1 + 8x2
→ max; → min; → max;
c, 3x1 + 2x2 x1 + 6x2
≥ ≥
6 6
x2 −2x1 + x2
≥ ≤
10 5
x1 ≥ 0, x2 z1 = −6x1 + 4x2 z2 = 6x1 + 4x2
≥ 0 → max; → min;
z3 = −x1 − 2x2
→ max;
d, x1 − x2
≤
2
x1 + x2 −x1 + 3x2 x1 + x2
≥ ≤ ≤
2 4 8
x1 ≥ 0, x2 z1 = −x1 + 2x2
≥ 0 → max;
z2 = −x1 + 2x2 z3 = −x1 − 2x2
→ min; → max;
2. Oldja meg az al´abbi feladatokat a szimplex m´odszerrel! Az ¨osszes optim´alis megold´ ast adja meg! ´Irja fel a feladat du´alis´at, ´es a du´alis feladat optim´alis megold´ as´ at is adja meg! a, 4x1 + 4x2 − 2x3
≤
12
−x1 + x3 −x1 + x2 + 1x3
≤ ≤
8 12
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 2x1 + 6x2 + 7x3
≥ →
0 max
x1 + x3 −x2 + x3 2x1 + 2x2 − 2x3
≤ ≤ ≤
40 10 36
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 4x1 + 3x3
≥ →
0 max
b,
c, x1 + 2x2 + x4 x2 + x3 x1 + 2x2 + x3 + 2x4 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 3x1 + 4x2 + 3x3 + 5x4
≤ ≤
10 12
≤ 24 ≥ 0 → max
d, x1 − x2 + x3 x2 + x3 − x4
≤ ≤
8 11
x1 + 2x2 − x3 + x4 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4
≤ ≥
10 0
6x1 + 2x2 + 5x3 + 7x4
→ max
3. Az al´abbi sz´all´ıt´ asi feladatokban a rakt´arakb´ol (R jel¨oli ˝oket) sz´all´ıtunk a felvev˝ okh¨ oz (F -fel jel¨olve)! Az egys´egnyi sz´all´ıt´as k¨olts´eg´et a k¨ovetkez˝o t´abl´azatok tartalmazz´ ak! Hat´arozza meg az optim´alis megold´ast, ´es a hozz´a tartoz´o sz´all´ıt´asi osszk¨ ¨ olts´eget! A kiindul´o megold´ast a a,sorminimum; b, oszlopminimum c, Vogel-Korda m´odszerrel hat´arozza meg!
R1 R2 R3 ig´enyek
F1 5 6 6 25
F2 2 7 5 45
F3 9 9 2 40
kapacit´as 50 30 30 110
R1 R2 R3 ig´enyek
F1 4 6 7 25
F2 2 1 5 20
F3 9 8 3 50
kapacit´as 40 30 20 90
R1 R2 R3 ig´enyek
F1 6 5 7 40
F2 5 4 5 40
F3 9 9 3 40
kapacit´as 52 47 50
R1 R2 R3 ig´enyek
F1 2 3 7 40
F2 8 5 5 30
F3 9 9 3 20
kapacit´as 40 20 60
4. a, Oldja meg a 3/a feladatot azzal a felt´etellel, hogy R1 -b˝ol F2 -be ´es F3 -ba is legal´abb 20-at kell sz´all´ıtani! b, Oldja meg a 3/b feladatot azzal a felt´etellel, hogy R3 -b´ol mindegyik felvev˝ oh¨ oz legal´abb 5 egys´eget el kell sz´all´ıtani!! c, Oldja meg a 3/c feladatot azzal a felt´etellel, hogy a rakt´arakb´ol csak n´egyes´evel lehet a felvev˝ okh¨ oz sz´all´ıtani (azaz csak 0,4,8, 12 stb. ´arut sz´all´ıthatunk)! d, Oldja meg a 3/d feladatot azzal a felt´etellel, hogy a rakt´arakb´ol csak ¨ot¨os´evel lehet a felvev˝ okh¨ oz sz´all´ıtani (azaz csak 0,5,10,15 stb. ´arut sz´all´ıthatunk)! 5. 5 alkatr´eszt kell megmunk´alni 5 g´ep valamelyik´en. Minden g´epen csak 1 alkatr´eszt munk´ alhatunk meg, ´es minden alkatr´eszt csak 1 g´epen munk´alhatunk meg. A k¨ovetkez˝ o t´abl´ azat az alkatr´eszeknek az egyes g´epeken val´o megmunk´al´asi idej´et jelzi percben megadva (az i. sor j. eleme az i. alkatr´esznek a megmunk´ al´ asi ideje a j. g´epen. Melyik alkatr´eszt melyik g´epen kell megmunk´alni, hogy a megmunk´ al´ asi id˝ok ¨osszege minim´alis legyen? (Oldja meg a hozz´arendel´esi feladatn´ al tanult m´odszerrel!) a, 4 3 3 4 4
4 9 8 8 9
7 6 6 6 5
6 7 7 7 8
5 9 7 7 6
9 6 4 8 6
4 9 4 6 7
3 3 3 3 3
5 4 4 3 9
5 8 4 7 6
4 7 6 8 9
8 9 8 4 3
3 6 3 2 2
6 4 7 3 8
2 8 2 7 6
b,
c,
d, 4 3 5 8 4
4 5 7 5 3
3 6 3 2 3
6 5 6 3 8
5 7 2 7 6
6. a, Oldja meg az 5/a/b/c/d feladatokat u ´gy, hogy a 3. alkatr´eszt nem munk´ alhatjuk meg az 5. g´epen! b, Oldja meg az 5/a/b/c/d feladatokat u ´gy, hogy a 2. alkatr´eszt vagy a m´asodik vagy a harmadik g´epen kell megmunk´alnunk! c, Az 5. feladatban elromlik a negyedik g´ep, a harmadik g´epen viszont k´et alkatr´eszt is megmunk´ alhatunk. Oldja meg ezzel a felt´etellel az 5/a/b/c/d feladatokat! 7. Egy v´allalatnak 3 helysz´ınre kell kamiont k¨ uldenie. Mindegyik helysz´ınre pontosan k´et kamionnak kell mennie; egy kamion csak egy helysz´ınre mehet. A feladatra 6 kamion ´all rendelkez´esre, melyeknek az egyes helysz´ınekt˝ol val´o t´ avols´ ag´ at (10 km-ben) a k¨ovetkez˝o t´abl´azat tartalmazza: h1 4 3 3 3 3 3
k1 k2 k3 k4 k5 k6
h2 7 5 7 6 6 6
h3 9 6 8 6 8 8
Melyik kamiont melyik helysz´ınre k¨ uldj¨ uk, hogy a kamionok ´altal megtett t´avols´agok osszege minim´alis legyen? ¨ 8. Egy csapatversenyen 6 f˝os csapatok veszenek r´eszt. A versenyen 6 feladat van. Mindegyik csapattagnak pontosan az egyik feladatot kell megcsin´alnia. A magyar csapat eset´en az egyes csapattagoknak az egyes feladatokn´al v´arhat´o pontsz´ am´ at a k¨ovetkez˝ o t´abl´azat tartalmazza (az i. sor j. eleme az i. csapattagnak a j. feladatn´al v´arhat´ o pontsz´ama): 4 3 5 8 4 4
4 5 7 5 3 3
3 6 3 2 3 3
6 5 6 3 8 8
5 7 2 7 6 6
8 9 7 9 8 8
A 2. csapattag sem a 4., sem a 6. feladatot nem szeretn´e csin´alni. Melyik feladatot melyik csapattag v´egezze el, hogy a v´arhat´o ¨osszpontsz´am maxim´alis legyen?
9. Egy u ¨gyf´elszolg´ alaton 1 ablakn´al v´arj´ak az u ¨gyfeleket. Az u ¨gyfelek Poisson foyamat szerint ´erkeznek, ´or´ank´ent ´atlagosan 5 f˝o. Az u ¨gyint´ez´es ´atlagos ideje 10 perc. a, Mennyi a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy f´el ´ora latt legal´abb 3 u ¨gyf´el ´erkezik? b, Mennyi az irod´aban tart´ozkod´o szem´elyek ´atlagos sz´ama? ´ c, Atlagosan mennyit id˝ot t¨olt egy u ¨gyf´el az irod´aban? ´ d, Atlagosan h´anyan v´arakoznak? e, Mennyi az ´atlagos v´arakoz´asi id˝o? f, V´eletlenszer˝ uen ´erkezve mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy csak 1 ember van el˝ott¨ unk?
10. Egy u ¨gyf´elszolg´ alaton 1 ablakn´al v´arj´ak az u ¨gyfeleket. Az u ¨gyfelek Poisson ´ foyamat szerint ´erkeznek, a kiszolg´al´asi id˝o exponenci´alis eloszl´as´ u. Atlagosan 2u ¨gyf´el tart´ozkodik az irod´aban. ´ a, Atlagosan h´anyan v´arakoznak? b, V´eletlenszer˝ uen ´erkezve mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy egyb˝ol sorra ker¨ ul¨ unk? 11. Egy u ¨gyf´elszolg´ alaton 1 ablakn´al v´arj´ak az u ¨gyfeleket. Az u ¨gyfelek Poisson foyamat szerint ´erkeznek, a kiszolg´al´asi id˝o exponenci´alis eloszl´as´ u. Az u ¨gyf´elszolg´ alaton l´ev˝ ou ¨gyfelek ´atlagos sz´ama n´egyszerese a v´arakoz´ok ´atlagos sz´ am´ anak. Az ´atlagos v´arakoz´asi id˝o 10 perc. ´ a, Atlagosan mennyi id˝ot t¨olt egy u ¨gyf´el az irod´aban? ´ b, Atlagosan h´anyan v´arakoznak? c, Mennyi az ´atlagos v´arakoz´asi id˝o? d, V´eletlenszer˝ uen ´erkezve mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy egyb˝ol sorra ker¨ ul¨ unk? e, Mennyi az ´atlagos kiszolg´al´asi id˝o? 12. Egy kis post´an egy alkalmazott dolgozik. Az u ¨gyfelek Poisson foyamat szerint ´erkeznek, k´et´ or´ ank´ent ´atlagosan 16-an. Legfeljebb h´any perc lehet az atlagos kiszolg´al´ ´ asi id˝o, ha azt akarjuk, hogy az ´atlagos v´arakoz´asi id˝o ne legyen 5 percn´el t¨obb? 13. Egy kis post´an egy alkalmazott dolgozik. Az u ¨gyfelek Poisson foyamat szerint ´erkeznek. Tudjuk, hogy ´atlagosan 3 ember v´arakozik, ´es az ´atlagos v´ arakoz´ asi id˝o 8 perc. ´ a, Atlagosan mennyi id˝ot t¨olt egy u ¨gyf´el az irod´aban? ´ b, Atlagosan h´any u ¨gyf´el van a post´an? c, V´eletlenszer˝ uen ´erkezve mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy legfeljebb 2 ember van el˝ ott¨ unk? 14. Egy rakt´arn´ al a rakt´aroz´as k¨olts´ege 50Ft/db,nap. A megrendel´es fix k¨olts´ege 20000 Ft. Egy term´ek rendel´esi ´ara 600 Ft. A napi fogy´as 80 darab. A hi´any k¨ olts´ege 100 Ft/db,nap. a, Ha a hi´any nem megengedett, akkor mennyi az optim´alis rendel´esi t´etel nagys´ aga, ´es mennyi a peri´odusid˝o? Mennyi ebben az esetben az ´atlagk¨olts´eg? b, Az optim´alis rendel´esi t´etelnagys´agn´al mennyi az ´atlagos napi k¨olts´eg? c, Mennyivel n¨ovekszik az ´atlagos napi k¨olts´eg, ha az optim´alisn´al 200-zal t¨obb term´eket rendel¨ unk? d, Mennyi lesz az optim´alis rendel´esi t´etelnagys´ag, ha hi´anyt is megenged¨ unk? Mennyi lesz ekkor az ´atlagk¨olts´eg? Mennyi lesz a maxim´alis rakt´ark´eszlet? 15. Egy rakt´arn´ al a rakt´aroz´as k¨olts´ege 10Ft/db,nap. A megrendel´es fix k¨olts´ege 10000 Ft. A napi fogy´as 50 darab. A term´ek rendel´esi egys´eg´ara 400 Ft. A hi´ any k¨olts´ege 20Ft/db,nap a, Hi´anyt nem megengedve ´atlagk¨olts´eg szempontj´ab´ol melyik a kedvez˝obb: ha mindig 2400, vagy ha mindig 2800 term´eket rendel¨ unk? b, Ha hi´anyt is megnged¨ unk akkor a k¨ovetkez˝o k´et eset k¨oz¨ ul melyik a kedvez˝ obb: 1. Mindig 4000 db-ot rendel¨ unk, ´es a maxim´alis rakt´ark´eszlet 3000 darab lesz. 2. Mindig 3500 db-ot rendel¨ unk, ´es a maxim´alis rakt´ark´eszlet 2000 darab lesz. 16. Hogyan v´altozik az optim´alis rendel´esi t´etel nagys´aga, illetve a peri´odusid˝o, ha hi´anyt nem enged¨ unk meg, ´es a, a rakt´aroz´ asi k¨olts´eg a 4-szeres´ere n˝o b, a rendel´esi k¨olts´eg a k´etszerese lesz c, a rakt´aroz´ asi k¨olts´eg a 4-szerese, a rendel´esi k¨olts´eg a k´etszerese lesz? 17. Egy rakt´arn´ al a rakt´aroz´asi k¨olts´eg 10 FT/db,nap, a hi´any k¨olts´ege 15 Ft/db,nap. Hogyan v´altozik az optim´alis rendel´esi t´etel nagys´aga, illetve a peri´ odusid˝ o a,ha hi´anyt nem enged¨ unk meg, ´es a1 , a rakt´aroz´ asi k¨olts´eg a 4-szeres´ere n˝o
a2 , a rendel´esi k¨olts´eg a k´etszerese lesz a3 a rakt´aroz´ asi k¨olts´eg a 4-szerese, a rendel´esi k¨olts´eg a k´etszerese lesz? Hogyan v´altozik az optim´alis rendel´esi t´etel nagys´aga, illetve a peri´odusid˝o b ,ha megenged¨ unk hi´anyt, ´es b1 , a hi´any k¨olts´ege 30FT/db,nap-ra v´altozik; b2 , a rendel´esi k¨olts´eg a k´etszerese lesz b3 a rakt´aroz´ asi k¨olts´eg 5 FT/db,nap-ra cs¨okken?
