KNM XVII
11-14 Juni 2014
ITS, Surabaya
GELOMBANG EKSTRIM DAN PROSES PEMBANGKITANNYA MARWAN RAMLI PROGRAM STUDI MATEMATIKA UNIVERSITAS SYIAH KUALA BANDA ACEH
Extended abstract Tulisan ini memaparkan parameter penentu terjadinya peristiwa pemuncakan dan pemisahan gelombang. Parameter ini merupakan faktor penting dalam rangka efektifitas dan efesiensi proses pembangkitan gelombang di laboratorium, yang selama ini sering dilakukan dengan cara trial & error. Dalam kajian mengenai pemuncakan gelombang permukaan, Westhuis, dkk [8] melakukan eksperimen di laboratorium hidrodinamika dengan membangkitkan gelombang bikromatik dengan amplitudo dan frekuensi selubung yang bervariasi serta mengamati pola perambatannya. Yang bersangkutan juga membangun model numerik yang dinamakan HUBRIS, untuk mensimulasikan pembangkitan gelombang. Usaha lain untuk memahami pemuncakan gelombang dilakukan pula oleh Cahyono [4] dengan membangun Analytical Wave Code (AWC) yang memberikan koreksi terhadap bilangan gelombang. AWC dibangun dengan menggunakan model KdV dan pendekatan orde ke tiga model tersebut. Salah satu tujuan yang hendak dicapai adalah memprediksi di posisi mana gelombang terbangkit akan mengalami pemuncakan tertinggi serta berapa amplifikasinya. Model yang ditinjau adalah persamaan Korteweg de Vries (KdV). Pendekatan solusi untuk model tersebut adalah ekspansi asimptotik orde ke tiga dan pemanfaatan keberadaan suku side band orde ke tiga. Besaran yang digunakan untuk memprediksi posisi ekstrim dan FAA adalah MTA [2,5,7]. Di sini diambil studi kasus dua grup gelombang permukaan yang periodik, yaitu gelombang bikromatik dan gelombang trikromatik bertipe Benjamin-Feir (BF) [3,6,9]. Apabila diberikan suatu sinyal bikromatik atau trikromatik di suatu posisi tertentu, diprediksi posisi ekstrim xmax dan faktor amplifikasi amplitudo (FAA) untuk model tersebut. Untuk gelombang bikromatik diperoleh bahwa xmax dipengaruhi oleh amplitudo dan frekuensi selubung sinyal gelombang bikromatik di posisi awal. Kebergantungan xmax terhadap amplitudo dan frekuensi selubung tersebut berorde
, dengan
dan
berturut-turut menyatakan amplitudo dan frekuensi selubung sinyal gelombang bikromatik di posisi awal. Selanjutnya, sebagaimana halnya xmax, FAA gelombang bikromatik juga dipengaruhi oleh amplitudo
dan frekuensi selubung sinyal gelombang bikromatik
di posisi awal. Makin
besar nilai a makin besar FAA, sebaliknya makin besar nilai ν makin kecil FAA.
MTA : m( x) = max η ( x, t ) t
Elevasi Gelombang
Selubung
MTA
Gambar 1. Elevasi, selubung dan MTA gelombang [1]
DAFTAR PUSTAKA 1. 2. 3. 4. 5.
6.
7. 8.
9.
Akhmediev, N.N. and Ankiewicz, A. (1997) : Solitons-Nonlinear Pulses and Beams, Chapmann & Hall Andonowati dan van Groesen, E. (2003) : Optical Pulse Deformation in Second Order Nonlinear Media, Journal of Non-linear Optics Physics and Materials, 12, 221-234 Benjamin, T.B. dan Feir, J.E. (1967) : The Disintegration of Wave Trains on Deep Water, Part 1. Theory, J. of Fluid Mech., 27, 417-430 Cahyono, E., “Analytical wave codes for predicting surface waves in a laboratory basin”, Ph. D Thesis, Fac. of Mathematical Sciences Univ. of Twente, The Netherlands (2002) Marwan dan Andonowati (2003) : Perubahan Bentuk pada Perambatan Signal Bikromatik dan Pengaruhnya Terhadap Amplitudo Maksimum, Jurnal Matematika dan Sains FMIPA ITB, 8, 81-87 Ramli, Marwan (2009), The deterministics generation of extreme surface water waves based on soliton on finite background in laboratory, International Journal of Engineering, Vol. 22, No. 3, 243-249 Marwan (2010), On the maximal temporal amplitude of down stream running non linear water waves, Tamkang Journal of Mathematics, vol. 14 No.1, 51-69 Westhuis, J., Groesen, E. van, Huijsmans, R.H.M. (2001), Experiments and numerics of bichromatic wave groups, J. Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering 127, 334-342 (2001) Zakharov, V.E. (1967) : Stability of Nonlinear Waves Dispersive Media, Shov. Phys. JETP., 24, 455-459
GELOMBANG EKSTRIM PROSES PEMBANGKITANNYA DI LABORATORIUM
MARWAN PROGRAM STUDI MATEMATIKA
[email protected], http://math.unsyiah.ac.id/marwan
Universitas Syiah Kuala
Surabaya, 11-14 Juni 2014
PERMASALAHAN GELOMBANG AIR Bagaimana membangkitkan gelombang ekstrim pada suatu posisi di kolam uji untuk menguji kelayakan suatu benda terapung ?
Sinyal ?
GELOMBANG CURAM BERAMPLITUDO TINGGI
typical wave tank 200m long, 5m deep, 11m wide WAVE MAKER
ABSORBER Melalui Matematika dan Terapannya menuju Universitas Berkelas Dunia
Fenomena gelombang tak linear New Year Wave: On January 1st 1995, an extreme wave was measured under the Draupner platform in the North Sea…..The maximal amplitude of 18.5 m is more than three times the significant amplitude for the wave train. (Karsten Truslen et.al, Univ. of Oslo, Norway, http://www.math.uio.no/~karstent/wave s/indexen.html )
"Out of nowhere... a wave twice as high as average. The ship went down like freefall“, Göran Persson, Caledonian Star First Officer Freak Wave – Program Summary, BBC Two, 14 November 2002
Melalui Matematika dan Terapannya menuju Universitas Berkelas Dunia
Kegiatan Laboratorium
Melalui Matematika dan Terapannya menuju Universitas Berkelas Dunia
SKENARIO PEMECAHAN MASALAH Direct problem Invers problem selubung MTA
Elevasi gelombang
ηηnew ( 0(0,,tt ) skema wave tank, panjang 200m
TIDAK PECAH
0
xkapal
?
xmax
Melalui Matematika dan Terapannya menuju Universitas Berkelas Dunia
MODEL MATEMATIKA untuk fluida ideal EXACT SOLUTION
SOLITON ON FINITE BACKGROUND 1997
NLS EQUATIONS (1D-2D)
WAVES GROUP WITH Slowly Varying Envelope
WAVE GROUP WITH Slowly Varying Envelope
UNI-DIRECTIONALISATION
TWO DIMENSIONAL
ONE DIMENSIONAL
KdV EQUATIONS
BOUSSINESQ EQUATIONS 1872
1895
KP EQUATIONS 1970
AB EQUATIONS 2008
BOUNDARY CONDITIONS AT FREE SURFACE
LAPLACE EQUATIONS
INNER FLUID PROPERTIES BOTTOM BOUNDARY CONDITIONS
Melalui Matematika dan Terapannya menuju Universitas Berkelas Dunia
PERSAMAAN KdV 1 −1 1 −1 2 −1 ∂ tη + ∂ x R η + R (η ( R η )) + ( R η ) = 0 2 4
Amplitudo
Gelombang Bikromatik
∂tη + Ω(−i∂ xη) + 32 η∂ xη = 0
2 Frekuensi
Gelombang Trikromatik Amplitudo
SFB
Ketidakstabilan Benjamin-Feir
Frekuensi Melalui Matematika dan Terapannya menuju Universitas Berkelas Dunia
Posisi Ekstrim Gelombang Bikromatik MTA : m( x) = max η ( x, t ) t
(Marwan, dkk, 2003)
xmax ≈
Melalui Matematika dan Terapannya menuju Universitas Berkelas Dunia
Posisi Ekstrim Gelombang Trikromatik MTA : m( x) = max η ( x, t ) t
(Marwan, dkk, 2004)
xmax ≈
Melalui Matematika dan Terapannya menuju Universitas Berkelas Dunia
SOLITON ATAS LATAR BERHINGGA 1 A(ξ , τ ) =
(υˆ 2 − 1) cosh(σξ ) + (2 − υˆ 2 ) / 2 cos(υτ ) + iυˆ 2 − υˆ 2 sinh(σξ ) cosh(σξ ) − (2 − υˆ ) / 2 cos(υτ ) 2
ae
ia 2γξ
= e ia γξ F (ξ , τ ) 2
σ = γ a 2νˆ 2 − νˆ 2 , νˆ =
ν a
γ β
, AAF = 1 +
4 − 2νˆ 2 0 < νˆ <
MTA : m( x) = max η ( x, t )
2
(Marwan, dkk, 2003)
t
Elevasi Gelombang
Selubung
MTA
Marwan, dkk, 2009 Melalui Matematika dan Terapannya menuju Universitas Berkelas Dunia
SOLITON ATAS LATAR BERHINGGA PHASE SINGULARITY PHENOMENA Marwan, 2009, INTERNATIONAL JOURNAL OF ENGINEERING Melalui Matematika dan Terapannya menuju Universitas Berkelas Dunia
SOLITON ATAS LATAR BERHINGGA FFT SELF FOCUSING PHENOMENA Marwan, 2010, TAMKANG JOURNAL OF MATHEMATICS Melalui Matematika dan Terapannya menuju Universitas Berkelas Dunia
SOLITON ATAS LATAR BERHINGGA 1 HASIL EKSPERIMEN Karjanto, 2006 LAB. MARIN BELANDA
νˆ = 0.9, a = 4.9118 cm, M = 25 cm, xmax = 150 m Melalui Matematika dan Terapannya menuju Universitas Berkelas Dunia
Perbandingan Tinggi Gelombang di Posisi Ekstrim
Marwan, 2010 Melalui Matematika dan Terapannya menuju Universitas Berkelas Dunia
Peningkatan Tinggi Gelombang Akibat Orde Tinggi
η = εη (1) + ε 2η (2) + ε 3η (3) + ε 4η (4) + ε 5η (5) +....
MTA : m(x) = max η (x, t) t
Melalui Matematika dan Terapannya menuju Universitas Berkelas Dunia
Peningkatan Tinggi Gelombang Akibat Orde Tinggi
Signal : η (x = a, t) Ekspansi Asimtotik untuk orde lebih tinggi Penggunaan Persamaan KdV termodifikasi
η = εη (1) + ε 2η ( 2) + ε 3η (3) + ε 4η ( 4) + ....
Melalui Matematika dan Terapannya menuju Universitas Berkelas Dunia
Terima Kasih 2D Wave Generation Simulations sampai Jumpa
