GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY
PLOCHA JAKO VEKTOR
G0 n ΔS Ploše přiřadíme vektor, který 1) je k této ploše kolmý 2) má velikost rovnou velikosti (obsahu) plochy
G G0 ΔS = ΔS .n
Matematický doplněk
G0 n
Elementární plocha
dS G G0 dS = dS .n U zakřivených a uzavřených ploch orientujeme vektor plochy směrem ven do otevřeného prostoru.
GAUSSŮV ZÁKON
(HRW III, kapitola 24)
Tok vektoru intenzity elektrického pole – speciální případy
G E G ΔS G G G E = konst. E & ΔS G G ΦE = E .ΔS = E .ΔS .cos α = E .ΔS N 1
G ΔS
α ≠0
G E
G G G E = konst. E(ΔS α ≠ 0 G G Φ E = E.ΔS = E.ΔS .cos α
Tok vektoru intenzity elektrického pole – obecná definice G G dΦΕ = E.dS
G dS G E
S G G G E ≠ konst. E(dS
α≠0
ΦΕ = ∑ dΦΕ → ΦΕ =
∫ dΦΕ
(S)
ΦΕ =
∫
G G E.dS
(S )
Tímto způsobem lze pro libovolné vektorové pole definovat tok vektoru
G Speciální případ: E , α ≡ konst. G G ΦΕ = ∫ E.dS = ∫ N E .dS .cos α= N ( S ) konst.
(S )
konst.
= E .cos α . ∫ dS = E .S .cos α (S )
Tok vektoru intenzity elektrického pole uzavřenou plochou G G dΦ = EdS > 0
G dS
G E
G dS G G dΦ = EdS < 0
G G Φ = v∫ dΦ = v∫ EdS = 0 (S )
(S )
G E
zdroj pole tj. náboj
G dS
Uvnitř uzavřené plochy je zdroj elektrického pole - náboj
G G Φ = v∫ dΦ = v∫ EdS >< 0 (S )
(S )
Dva stejně velké bodové náboje opačného znaménka a siločáry elektrického pole jimi vytvořeného. V řezu jsou znázorněny čtyři Gaussovy plochy. S1 S2 S3 S4
obklopuje kladný náboj, obklopuje záporný náboj, neobklopuje žádný náboj, obklopuje oba náboje.
Součet nábojů uvnitř je tedy nulový. Stejný počet siločar, který do prostoru obklopeného plochou vstupuje, také z něj vystupuje zase ven.
Gauss ův zákon elektrostatiky
Zdroj
+Q
Gaussova plocha (!!! uzavřená !!! )
G E G dS
Vyjadřuje vztah mezi intenzitou elektrického pole na uzavřené Gaussově ploše a celkovým nábojem, který je touto plochou obklopen.
v∫
G G Q E .dS =
ε0
(S )
, kde
Q = ∑ Qi i
Tok intenzity elektrického pole libovolnou uzavřenou plochou je roven součtu všech nábojů, které jsou touto plochou obklopeny, děleným permitivitou (ε0 – ve vakuu) Jiná vyjádření (HRW)
G G ε0 .∫ v E.dS = Q
nebo
ε0 .Φ = Q
(S )
Gaussův zákon platí obecně pro libovolné vektorové pole, nejen pro pole elektrostatické.
Volba tvaru Gaussovy plochy Vhodná volba zjednoduší výpočet integrálu v Gaussově zákoně. Pravidla: 1. Plochu volíme vždy uzavřenou tak, aby obklopila zadané náboje.
G 2. Plochu volíme tak, aby bod, ve kterém E
určujeme, na této ploše ležel. 3. Gaussovu plochu volíme vždy tak, aby v každém jejím bodě byla splněna právě jedna z následujících podmínek: G G G G G G G G a) E & dS , pak E .dS = ± E .dS nebo b) E ⊥ dS , pak E .dS = 0 4. Gaussovu plochu volíme vždy tak, aby podmínka a) tzn., že vektor G E je rovnoběžný (souhlasně nebo nesouhlasně) elektrické intenzity G sGvektorem dS byla splněna, v těch místech Gaussovy plochy, kde má E konstantní velikost. Pak můžeme E vytknout před integrační značku plošného integrálu G G a získáme
v∫ E ⋅ dS = ± v∫ E dS = ± E v∫ dS = ± E S
(S )
(S )
(S )
G V obecných případech je výpočet E složitý.
.
Využití Gaussova zákona elektrostatiky Používá se k určení intenzity elektrického pole v případech, kdy náboj je rozložen s vhodnou symetrií. Bodový náboj ― Řeší stejný problém jako Coulombův zákon
Nabitá koule ― Koule o poloměru R nabitá rovnoměrně nábojem s objemovou hustotou ρ
Nabitá kulová plocha ― Kulová slupka o poloměru R nabitá rovnoměrně nábojem s plošnou hustotou σ
Nekonečné nabité vlákno ― Nekonečně dlouhé vlákno (válec) nabité rovnoměrně nábojem s lineární hustotou τ
Nekonečná nabitá deska ● nevodivá ● vodivá
Bodový náboj
GAUSSŮV ZÁKON A COULOMBŮV ZÁKON Oba zákony jsou ekvivalentní ⇒ lze odvodit jeden z druhého.
G Z Gaussova zákona vypočteme intenzitu elektrického pole E ve vzdálenosti r od náboje Gaussovu plochu volíme ve tvaru kulové plochy o poloměru r. G. z.
G G Q v∫ E ⋅ dS =
ε0
G G G Q Q E = konst., E ↑↑ dS , E v∫ dS = Î ES = S
ε0
Povrch koule S = 4π r 2 , Î E ( 4π r 2 ) =
ε0
Q
ε0
1 Q E= 2 (plyne i z Coulombova zák.) 4πε 0 r
Nabitá koule
Rovnoměrně nabitá koule s objemovou hustotou náboje nebo s celkovým nábojem Q
ρ
ρ
Q,ρ
R
R
Q′
r
r Gaussova plocha. Hustota
ρ nebo náboj Q
r > R Gaussovou plochou je povrch koule o poloměru r > R. Rozprostřený náboj vytváří stejné elektrické pole jako stejně velký bodový náboj téhož znaménka, umístěný ve středu koule. Tedy r
1 Q E= 4πε 0 r 2
Gaussovou plochou je povrch koule o poloměru r < R. Náboj ležící vně této Gaussovy plochy nevytváří na ní žádné elektrické pole.
Náboj obklopený uzavřenou plochou vytváří stejné pole, jako by byl tento náboj ve středu kulové vrstvy. Část celkového náboje, který je touto Gaussovou plochou obklopen označíme Q´. Poněvadž je koule nabita homogenně s objemovou hustotou ρ , je náboj úměrný objemu koule ( Q = ρ V a Q′ = ρ V ′ ) a platí
Q′ Q ρ= = V′ V
E
4 3 πr Q′ 3 = Q 4 π R3 3 r
r
a
⇒
⇒
Q′ V ′ = Q V r3 Q′ = Q 3 R
Q 1 Q′ E r = E= ⇒ 3 2 4πε 0 R 4πε 0 r
Nekonečné nabité vlákno Nekonečně dlouhé vlákno rovnoměrně nabité kladným nábojem s délkovou hustotou τ
Gaussovou plochou je povrch válce o poloměru r a výšce h. G G G G Na základnách válce je E ⊥ dS a proto E ⋅ dS = 0 . Tok základnami je nulový.Budeme se zabývat pouze pláštěm G G Q G. z. v∫ E ⋅ dS =
ε0
G G G Q Q E = konst., E ↑↑ dS , E v∫ dS = Î ES = ,
ε0
ε0
Plášť válce S = 2π r ⋅ h Q Q E ( 2π rh ) = Î E= , kde Q = τ h , ε0 2π rhε 0
τh E= , 2π rhε 0
E=
τ 2πε 0 r
nabité vlákno
Nekonečná nabitá deska − nevodivá
Nekonečně velká tenká rovina
s konstantní plošnou hustotou náboje σ
Gaussovou plochou je povrch válce s podstavami o obsahu S, jehož osa je kolmá k rovině. Siločáry neprotínají plášť válce ⇒ pláštěm neprochází žádný tok. Celkový tok je tedy roven součtu toků oběma podstavami válce G Q G G G G Q Q G. z. v ∫ E ⋅ (2dS ) = , E = konst., E ↑↑ dS , 2 E v∫ dS = Î 2 ES =
ε0
ε0
2 ES =
Q
ε0
σS pro Q = σ S je 2 ES = ε0
Î
σ E= 2ε 0
ε0
nabitá plocha
Nabitý vodivý předmět (vodič), bez vodivého spojení s okolím (izolovaný) tedy Nabitý izolovaný vodič
