Kis Miklós: A Laplace transzformáció… (Kézirat, 2003)
3. Az inverz Laplace transzformáció Ahogy a Laplace transzformáció, ugyanúgy az inverz Laplace transzformáció – a „viszszatranszformálás” – módszereinek ismerete sem nélkülözhető a differenciálegyenlettel modellezett szabályozási rendszer vizsgálata során. E módszerek ismertetésével kapcsolatban sem törekszünk a teljességre, hanem csak a tipikus inverz transzformációs feladatok megoldásának lehetőségeit tekintjük át. A gyakorlati alkalmazást kívánjuk megkönnyíteni a tárgyalás választott sorrendjével is, amelyben – az általános inverz transzformációs módszer ismertetése helyett, – az egyszerűbb esetektől, fokozatosan haladunk az összetettebbek felé. 3.1. Az inverz Laplace transzformáció definíciója és lineáris tulajdonsága A Laplace transzformáció definíciója alapján, elsőként annak inverzét kell meghatároznunk. Definíció: Legyen a ϕ (s ) egy, komplex szám független változójú függvény, és létezzen egy olyan f (t ) egyváltozós valós (esetleg komplex) szám értékű függvény, amelyre teljesül, hogy L[ f (t )] = ϕ ( s ) . Az f (t ) függvényt a ϕ (s ) függvény inverz Laplace transzformáltjának nevezzük. Az inverz Laplace transzformáció jelölése: L−1 [ϕ ( s )] = f (t ) .
A gyakorlati alkalmazás szempontjából egyik legfontosabb tulajdonságot – bizonyítás nélkül, – az alábbi állításban adjuk meg. 3.1.1. Állítás: Ha léteznek az f 1 (t ) = L−1 [ϕ 1 ( s )]; f 2 (t ) = L−1 [ϕ 2 ( s )]; ... f k (t ) = L−1 [ϕ k ( s )] inverz Laplace transzformált függvények, és c1 ; c 2 ; ... c k tetszőlegesen adott valós vagy komplex számok, akkor L−1 [c1 ⋅ ϕ 1 ( s ) + c 2 ⋅ ϕ 2 ( s ) + ... + c k ⋅ ϕ k ( s )] = = c1 ⋅ L−1 [ϕ 1 ( s )] + c 2 ⋅ L−1 [ϕ 2 ( s )] + ... + c k ⋅ L−1 [ϕ k ( s )] = c1 ⋅ f 1 (t ) + c 2 ⋅ f 2 (t ) + ... + c k ⋅ f k (t )
azaz az inverz Laplace transzformáció lineáris tulajdonságú. (A linearitás lényege, röviden: az „összeg tagonként transzformálható vissza” és a „konstans szorzó kiemelhető a visszatranszformálás során.”) Ugyancsak bizonyítás nélkül adjuk meg a konvolúció tételeként ismert állítást. 3.1.2. Állítás: Egy ismeretlen f (t ) függvény ϕ (s ) Laplace transzformáltja legyen szorzat alakú: ϕ ( s ) = ϕ 1 ( s ) ⋅ ϕ 2 ( s ) , de legyenek ismertek az f 1 (t ) és f 2 (t ) függvények, mint a tényezők inverz Laplace transzformáltjai: f 1 (t ) = L−1 [ϕ 1 ( s )] és f 2 (t ) = L−1 [ϕ 2 ( s )] . Ekkor t
f (t ) = L [ϕ ( s )] = L [ϕ 1 ( s ) ⋅ ϕ 2 ( s )] = ∫ f 1 ( x) ⋅ f 2 (t − x) dx . −1
−1
0
3.2. Elemi transzformált függvények inverz Laplace transzformáltjának meghatározása
Áttekintve az e at ; sin at ; cos at ; t n ; 1(t ); δ (t ) és e at f (t ) függvények Laplace transzformáltjait, továbbá a hasonlósági tételt, megállapíthatjuk, hogy – a δ (t ) Dirac féle deltafüggvény kivételével, – mindegyik olyan törtfüggvény, amelynek nevezője ( s − a) k vagy b s 2 + c s + d alakú, – ahol a , b ≠ 0 , c és d adott valós számok, k adott pozitív egész szám – számlálója pedig legalább eggyel alacsonyabb fokú, mint a nevező. 15
Kis Miklós: A Laplace transzformáció… (Kézirat, 2003)
Definíció: Elemi Laplace transzformált függvények azok a ϕ ( s ) (racionális) törtfüggvények, amelyek nevezője ( s − a) k vagy (b s 2 + c s + d ) k alakú, – ahol a , b ≠ 0 , c és d adott valós, k pedig adott pozitív egész szám, – és számlálója legalább eggyel alacsonyabb fokú a nevezőnél.
Az elemi transzformált függvények inverz transzformáltjának meghatározását, a lineáris tulajdonságot kihasználó, célszerű algebrai átalakítások alkalmazása teszi lehetővé. Tekintsük ezeket az algebrai átalakításokat a ϕ ( s ) függvény szerkezete szerint csoportosítva! 3.2.1. Elsőfokú nevező 1 , ahol a adott valós szám, akkor s−a ª 1 º a ≠ 0 esetén: L−1 « = eat ; » ¬s − a¼ ª 1 º −1 ª 1 º a = 0 esetén: L−1 « = L « s » = 1(t ) . » ¬s − a¼ ¬ ¼ Megjegyezzük, hogy ha a = a1 + j a 2 ≠ 0 adott komplex szám, akkor eredményül t -től függő, komplex szám értékű függvényt kapunk: ª º 1 ( a1 + j a 2 ) t = e a1 t ⋅ e j a2 t . L−1 « »=e − + s a j a ( ) ¬ 1 2 ¼
a) Ha ϕ ( s ) =
(A függvény adott t 0 > 0 helyen vett helyettesítési értéke egy exponenciális alakú komplex szám, amelynek abszolút értéke és irányszöge egyaránt t 0 -tól függ.) b) Ha ϕ ( s ) =
a , ahol a ≠ 0 , b ≠ 0 és c adott valós számok, akkor a hasonlósági tételt bs −c
alkalmazva, c ≠ 0 esetén:
a bc t a a 1 −1 −1 L = e ; = L b s − c b s − c b b
a a 1 a L−1 = L = 1(t ) . b s − c b s b Itt is megjegyezzük, hogy ha a = a1 + j a 2 ≠ 0 , b = b1 + j b2 ≠ 0 és c = c1 + j c 2 ≠ 0 adott komplex számok, akkor a fenti algebrai átalakítások szintén elvégezhetők, csak – adott esetben, – eredményül t -től függő, komplex szám értékű függvényt kapunk. Az átalakítások részletezését mellőzve: c = 0 esetén:
ª º § a1b1 + a 2 b2 a1 + j a 2 a b − a 2 b1 · ¸⋅e L « − j 1 22 » = ¨¨ 2 2 2 b1 + b2 ¸¹ ¬ (b1 + j b2 ) s − (c1 + j c 2 ) ¼ © b1 + b2 −1
3.2.2. Másodfokú nevező a) Ha ϕ ( s ) =
as+b , ahol a , b és c ≠ 0 adott valós számok, akkor s2 + c2
16
c1b1 + c2b2 b12 + b2 2
t
⋅e
−j
c1b2 − c2 b1 b12 + b2 2
t
.
Kis Miklós: A Laplace transzformáció… (Kézirat, 2003)
b as +b s b −1 c = a ⋅ L−1 2 + ⋅L 2 L−1 2 = a ⋅ cos ct + ⋅ sin ct . 2 2 2 c s + c c s + c s + c as+b , ahol a , b és c ≠ 0 adott valós számok, akkor a számlálót kipótoljuk, s2 − c2 a nevezőt szorzattá alakítjuk, majd két tört összegévé bontunk, és az első törtet egyszerűsítjük:
b) Ha ϕ ( s ) =
ª a ( s + c) + (b − a c) º ª º 1 ª as +b º ª 1 º = L−1 « = a ⋅ L−1 « + (b − a c) ⋅ L−1 « L−1 « 2 » » 2 » » ¬s − c¼ ¬s − c ¼ ¬ ( s − c) ( s + c) ¼ ¬ ( s − c) ( s + c ) ¼ A második tagbeli törtet tekintsük két tört, közös nevezőre hozva kiszámított összegének. Határozzuk meg a két összeadandó törtet! A ( s + c) + B ( s − c) ( A + B) s + ( A − B) c 1 A B = + = = ( s − c) ( s + c) s − c s + c ( s − c) ( s + c) ( s − c) ( s + c)
A közös nevezőre hozás azonos átalakítás, ezért – mivel az eredeti és a kapott tört nevezője azonos, – számlálók között is azonosságnak kell fennállnia, azaz az egyenlő kitevőjű hatványok együtthatóinak rendre egyenlőknek kell lenniük egymással: 1 = ( A + B) s + ( A − B) c
A+ B = 0 ® ¯( A − B) c = 1
A=
1 1 . ; B=− 2c 2c
Tehát a második tagbeli tört összeggé bontott alakja: 1 1 1 1 1 = ⋅ − ⋅ . ( s − c) ( s + c) 2 c s − c 2 c s + c
Mivel a Laplace transzformáció lineáris tulajdonságú, így
ª as +b º ª 1 º b − a c −1 ª 1 º b − a c −1 ª 1 º = a ⋅ L−1 « + ⋅L « − ⋅L « = L−1 « 2 2 » 2c 2c ¬ s − c »¼ ¬ s − c »¼ ¬ s + c »¼ ¬s − c ¼ =
b + a c −1 ª 1 º b − a c −1 ª 1 º b + a c c t b − a c −c t ⋅L « − ⋅L « = ⋅e − ⋅e . 2c 2c 2c 2c ¬ s − c »¼ ¬ s + c »¼
s+a , ahol a , b ≠ 0 , c adott valós számok, és c − b 2 ≠ 0 , – ami lés + 2b s + c nyegében az előző két eset általánosítása, – akkor a nevezőt teljes négyzetté egészítjük ki:
c) Ha ϕ ( s ) =
2
ª º º s+a s+a −1 ª L−1 « 2 , »=L « 2 2 » ¬ ( s + b) + (c − b ) ¼ ¬s + 2b s + c¼
és megvizsgáljuk a nevezőbeli c − b 2 előjelét. i) c − b 2 > 0 esetén, a számlálót kipótoljuk, majd a számlálóbeli összeg alapján, a törtet két tört összegévé alakítjuk, végül a második tört számlálójából kiemelünk, és ezt a törtet alkalmasan bővítjük: ª º ª ( s + b) + ( a − b ) º º c − b2 s+b a−b −1 ª −1 = ⋅ L L−1 « L + . « « 2 2 » 2 2 » 2 2 » c − b2 ¬ ( s + b) + (c − b ) ¼ ¬ ( s + b ) + (c − b ) ¼ ¬« ( s + b) + (c − b ) ¼»
Alkalmazva az exponenciális függvénnyel szorzott függvényre vonatkozó transzformációs összefüggést, az inverz transzformált tehát 17
Kis Miklós: A Laplace transzformáció… (Kézirat, 2003)
ª º s+a a−b −b t 2 ⋅ e −b t ⋅ sin c − b 2 t , ha c − b 2 > 0 . L−1 « 2 » = e ⋅ cos c − b t + 2 + + 2 s b s c c−b ¬ ¼ ii) c − b 2 < 0 esetén b 2 − c > 0 , ezért tekintsük az azonosan átalakított nevezőjű törtet:
ª º ª º º s+a s+a s+a −1 ª L−1 « 2 = L−1 « »=L « ». 2 2 » 2 2 ¬ ( s + b ) + (c − b ) ¼ ¬ ( s + b) − (b − c) ¼ ¬s + 2b s + c¼
Itt a számlálót kipótoljuk, a nevezőt szorzattá alakítjuk, majd két tört összegévé bontunk, és az első törtet egyszerűsítjük:
)) ( ))( (
( ( ( (
)º» = )) »¼
2 2 ª ª º s+a −1 s + b + b − c + a − b − b − c L−1 « = L « » 2 2 «¬ s + b + b 2 − c s + b − b 2 − c ¬ ( s + b) − (b − c) ¼
ª 1 = L−1 « «¬ s + b − b 2 − c
(
)
) (
ª º 1 −1 2 » + a−b− b −c ⋅L « «¬ s + b + b 2 − c s + b − b 2 − c »¼
))( (
( (
º ». »¼
))
A második tagbeli törtet két tört összegévé bontjuk: 1
A
(s + (b + b − c ))(s + (b − b − c )) s + (b + b − c ) A (s + (b − b − c )) + B (s + (b + b − c )) = (s + (b + b − c ))(s + (b − b − c )) = ( A + B) s + (A (b − b − c ) + B (b + b − c )) = (s + (b + b − c ))(s + (b − b − c )) . 2
=
2
2
2
+
(
B
s + b − b2 − c
)=
2
2
2
2
2
2
2
A számlálóban, az egyenlő kitevőjű hatványok együtthatóinak rendre egyenlőknek kell lenniük egymással: A+ B = 0 ® 2 2 ¯A b − b − c + B b + b − c = 1
(
) (
)
A=−
1 2 b2 − c
; B=
1 2 b2 − c
.
Ezt az eredményt alkalmazva, térjünk vissza az inverz transzformációs feladathoz: ª º s+a L−1 « 2 »= ¬ s + 2b s + c ¼ ª º a − b − b 2 − c −1 ª º 1 1 1 = L−1 « + ⋅ L «− + » »= 2 2 2 2 s + b − b − c b − c s + b + b − c s + b − b − c 2 »¼ ¬« ¬« ¼»
)
(
=
a − b + b2 − c 2 b −c 2
⋅e
− §¨ b − b 2 − c ·¸ t © ¹
)
(
−
a − b − b2 − c 2 b −c 2
⋅e
− §¨ b + b 2 − c ·¸ t © ¹
,
3.2.3. A nevező s k vagy ( s − a) k alakú, ahol k = 2; 3; 4;... és a ≠ 0 a) Ha ϕ ( s ) =
1 , ahol k = 2; 3; 4;... adott egész szám, akkor sk
18
(
ha c − b 2 < 0 .
)
Kis Miklós: A Laplace transzformáció… (Kézirat, 2003)
ª1 L−1 « k ¬s
1 1 º −1 ª ( k − 1)!º k −1 » = (k − 1)! ⋅ L « s k » = (k − 1)! ⋅ t . ¼ ¬ ¼
1 , ahol k = 2; 3; 4;... adott egész szám, és a ≠ 0 adott valós szám, akkor (s − a) k az exponenciális függvénnyel szorzott függvényre vonatkozó transzformációs összefüggést alkalmazzuk:
b) Ha ϕ ( s ) =
ª 1 º ª (k − 1)! º 1 1 = ⋅ L−1 « L−1 « = ⋅ t k −1 ⋅ e a t . k » k » − k k − ( 1 )! ( 1 )! − − s a s a ( ) ( ) ¬ ¬ ¼ ¼
Megjegyezzük, hogy konstanstól különböző számláló esetén, a számláló alkalmas kipótolásával a törtet átalakíthatjuk, és a fenti inverz transzformációs összefüggést használhatjuk. Példa: 2 s2 + 2 8 ( s − 4) + 32 − 14 1 −1 ( s − 4) + 8 s − 16 + 2 −1 L−1 = L + =L = 5 5 3 ( s − 4) ( s − 4) 5 ( s − 4) ( s − 4)
1 1 1 1 2 4 t 8 3 4 t 18 4 4 t = L−1 + 8⋅ + 18 ⋅ = ⋅t ⋅e + ⋅t ⋅e + ⋅t ⋅e . 3 4 3! 4! ( s − 4) ( s − 4) 5 2! ( s − 4) 3.2.4. A nevező ( s 2 + 2 a s + b) k alakú, ahol a , b adott valós, k ≥ 2 adott egész szám, azonban b − a 2 > 0
Ilyen esetben a konvolúció tételének alkalmazásával számítható ki az inverz transzformált. a) Az általánosság helyett azonban, tekintsünk először egy példát! Hogy a konvolúció tételét alkalmazhassuk, a visszatranszformálandó függvényt szorzattá bontjuk: 3 1 3 L−1 2 = L−1 2 ⋅ 2 , 2 s + 9 s + 9 ( s + 9)
ahol az egyes szorzótényezők inverz Laplace transzformáltja: ª 3 º L−1 « 2 » = sin 3t ; ¬s + 9¼
ª 1 º 1 L−1 « 2 » = ⋅ sin 3t . ¬s + 9¼ 3
Az inverz transzformált meghatározására tehát a konvolúció tételét alkalmazzuk: t 1t 3 1 L−1 2 = sin 3 x sin 3 ( t − x ) dx = sin 3 x (sin 3t cos 3x − cos 3t sin 3x ) dx = 2 ∫ 3 ∫0 ( s + 9) 3 0 t
=
t
t
t
sin 3t cos 3t sin 3t cos 3t (1 − cos 6 x )dx = sin 3x cos 3 xdx − sin 2 3xdx = sin 6 xdx − ∫ ∫ ∫ 3 0 3 0 6 0 6 ∫0 t
t
sin 3t cos 6 x cos 3t sin 6 x sin 3t cos 3t = ⋅ − − ⋅ x − = ⋅ (1 − cos 6t ) − ⋅ (36t − sin 6t ) . 6 6 0 6 6 0 36 36 b) Ha a nevező ( s 2 + 2 a s + b) k alakú, ahol k = 3; 4; 5;... adott egész szám, akkor az inverz Laplace transzformált a konvolúció tételének k − 1 -szeri alkalmazásával határozható meg.
19
Kis Miklós: A Laplace transzformáció… (Kézirat, 2003)
(Amint láttuk, k = 2 – másodfokú nevező, – esetén a konvolúció tételét egyszer alkalmaztuk.) Kiszámítandó például a
ϕ (s) =
c1 ⋅ c 2 ⋅ c3 ⋅ ... ⋅ c k −1 ⋅ c k , ( s 2 + 2 a s + b) k
– ahol c1 ; c 2 ; c3 ;...c k −1 ; c k nullától különböző, a , b adott valós számok, és b − a 2 ≠ 0 , – inverz Laplace transzformáltja. Legyen c1 f 1 (t ) = L−1 2 ; s + 2a s + b
c2 f 2 (t ) = L−1 2 ; s + 2a s + b
c f k −1 (t ) = L−1 2 k −1 ; s + 2a s + b
….
c3 f 3 (t ) = L−1 2 ; s + 2a s + b
ck f k (t ) = L−1 2 , s + 2a s + b
amelyeket az előzőekben megtárgyalt, alkalmasan kiválasztott módszerrel határozhatunk meg. Alkalmazva a konvolúció tételét, t
∫ f (t ) f 1
2
(t − x) dx = f 1 2 (t )
0
inverz transzformált függvényt kapjuk, majd ismét és ismét alkalmazzuk a konvolúció tételét: t
∫f
12
(t ) f 3 (t − x) dx = f 1 2 3 (t )
0
… t
∫f
1 2 3...( k − 2 )
(t ) f k −1 (t − x) dx = f1 2 3...( k −2 ) ( k −1) (t )
0 t
∫f
1 2 3...( k − 2 ) ( k −1)
0
c ⋅ c ⋅ c ⋅ ... ⋅ c k −1 ⋅ c k (t ) f k (t − x) dx = f (t ) = L−1 1 22 3 , k ( s + 2 a s + b)
amelynek eredményeként a keresett inverz Laplace transzformáltat kaptuk. 3.2.5. Elemi transzformált függvény és e − a s szorzata
Emlékeztetünk arra, hogy ilyen szerkezetű transzformált függvényt az eltolási tétel alkalmazásának eredményeként kapunk. Ezek inverz transzformáltját két lépésben kell kiszámítani. Először az elemi transzformált függvény inverz transzformáltját határozzuk meg, majd az exponenciális szorzótényező hatványkitevőjében álló konstanssal képezzük az előbb kapott függvény eltolását.
[
]
Tehát L−1 e − a sϕ ( s ) esetén, először az L−1 [ϕ ( s )] = f (t ) , ha t ≥ 0 inverz transzformált függvényt képezzük. Ezután megállapítjuk az eltolás mértékét és következik az eltolás: ha 0 ≤ t < a 0 , , L−1 e −a sϕ ( s ) = g (t ) = ® ¯ f (t − a) , ha a ≤ t
[
]
amely a kérdéses inverz transzformált függvény. Tekintsük át ennek gyakorlati végrehajtását egy példán! Felhívjuk a figyelmet arra a fontos körülményre, hogy – amint azt majd a példa is mutatja, – az inverz transzformált ki-
20
Kis Miklós: A Laplace transzformáció… (Kézirat, 2003)
számítása az eltolási tétel segítségével két, egymástól teljesen elkülönült lépésben hajtandó végre! Példa: − π6 s ( s + 2) − 4 2s − 4 2s − 4 −1 L e = 2 L−1 ⇒ L 2 = 2 2 s + 4 s + 40 s + 4 s + 40 ( s + 2) + 36 −1
4 −1 s+2 6 4 = 2 L−1 − L = 2 e − 2 t cos 6t − e − 2 t sin 6t ⇒ 2 2 2 2 3 ( s + 2) + 6 3 ( s + 2) + 6 −π s 2s − 4 L−1 e 6 2 = s + 4 s + 40
π ha 0 ≤ t < 0 , 6 . = g (t ) = −2 t − π π 2 t − − 2 e 6 cos 6 t − π − 4 e 6 sin 6 t − π , ha π ≤ t 6 3 6 6 3.2.6. Gyakorló feladatok elemi transzformált inverz transzformáltjának kiszámítására 1)
a)
4 L−1 s − 3
b)
5 L−1 3 s
c)
2 L−1 4 ( s − 5)
d)
3 L−1 − 2 s + 5
e)
s−6 L−1 2 s − 4 s + 20
f)
6 L−1 2 s − 4
g)
3s + 4 L−1 2 s + 6 s − 16
h)
1 L−1 2 s + s + 1
i)
1 L−1 2 s + s − 1
j)
1 L−1 2 s − s − 1
2) Számítsa ki a konvolúció tételének alkalmazásával az alábbi inverz transzformáltakat! a)
1 1 L−1 2 ⋅ s s − 2
c)
2s L 2 2 ( s + 4) −1
b)
s L−1 2 2 s ( s + 9)
d)
s2 L 2 2 (s + 9) −1
3) Számítsa ki az eltolási tétel alkalmazásával az alábbi inverz transzformáltakat! a)
6 L−1 e −5 t 4 s
b)
4 L−1 e −3 t s − 5
3.3. Inverz transzformáció racionális törtfüggvény parciális törtekre bontásával
Az előzőekben bemutatott inverz Laplace transzformációs módszereket most két lépésben általánosítjuk. 21
Kis Miklós: A Laplace transzformáció… (Kézirat, 2003)
3.3.1. Polinom szorzattá bontott alakja
Tekintsük az s független változónak egy n -edfokú, p n (s ) polinomját, azaz a p n ( s ) = s n + a1 s n −1 + a 2 s n − 2 + ... + a n − 2 s 2 + a n −1 s + a n
polinomot, ahol a1 ; a 2 ;...a n − 2 ; a n−1 ; a n együtthatók adott valós számok, és n a polinom foka, adott pozitív egész szám. (Az általánosság csorbítása nélkül feltételezhetjük, hogy a legmagasabb kitevőjű hatvány együtthatója 1, ugyanis ellenkező esetben, a kiemelt együttható és a fenti polinom a szorzatát kapnánk.) Az algebra alaptétele értelmében, a polinom felírható gyöktényezők szorzatának alakjában: p n ( s ) = ( s − s1 )( s − s 2 )( s − s3 ) . . . ( s − s n− 2 )( s − s n−1 )( s − s n ) ahol az s1 ; s 2 ; s 3 ;...s n − 2 ; s n −1 ; s n gyökök mindegyike egy-egy, adott komplex szám. Lehetnek a gyökök között olyanok is, amelyeknek a képzetes része nulla, ezek tehát valós számok. A nullától különböző képzetes részű komplex szám gyökök mindegyike a konjugáltjával együtt fordul elő. Lehetnek továbbá a gyökök között egymással egyenlők is. Egy konjugált komplex gyökpár mindkét tagja ugyanannyiszor fordul elő. Tekintsük át a fentiek következményeit! a) Legyen két gyök egymásnak konjugáltja, például s1 = α 1 + j β 1 és s1 = α 1 − j β 1 . A két gyöktényező szorzata: 2 2 ( s − s1 )( s − s1 ) = ( s − α 1 − jβ 1 )( s − α 1 + jβ 1 ) = s 2 − 2α 1 s + α 1 + β 1 = s 2 + c1 s + d1 . Amint látható, a szorzat egy másodfokú polinom, amelynek együtthatói valós számok. Az eredményül kapott szorzatot továbbiakban másodfokú (egyszeres) gyöktényezőként fogjuk említeni. b) Legyenek s 2 = α 2 + j β 2 és s 2 = α 2 − j β 2 , – szintén egymás konjugáltjai, – ( k ≥ 2 ) előforduló gyökök, akkor a gyöktényezők szorzata hatvány alakban írható:
(
k -szor
)
k
( s − s 2 ) k ( s − s 2 ) k = s 2 − 2α 2 s + (α 2 + β 2 ) = ( s 2 + c 2 s + d 2 ) k . Ezt a továbbiakban másodfokú, k -szoros gyöktényezőnek nevezzük. A k ≥ 2 természetes szám a gyökök, egyúttal a gyöktényezők mutiplicitása. 2
2
c) Tekintsük a másik fajta gyököket! Legyen például s3 nulla képzetes részű komplex szám, azaz valós szám. Az ( s − s3 ) különbséget a továbbiakban elsőfokú (egyszeres) gyöktényezőként fogjuk említeni. d) Ha például az s 4 valós gyök l ( l ≥ 2 ) gyöktényezőben fordul elő, akkor ezek szorzata (s − s4 ) l hatvány alakban írható fel, amely elsőfokú, l multiplicitású gyöktényező.
A fentieket foglaljuk össze egy – bizonyítás nélküli – állításban! 3.3.1.1. Állítás: Egy n -edfokú, p n (s ) polinom felírható valós együtthatós, első- és másodfokú, egyszeres és többszörös gyöktényezők szorzatára bontott alakban. A felbontás – a sorrendtől eltekintve, – egyértelmű.
Az állítás részletesen azt jelenti, hogy ha a másodfokú, egyszeres és többszörös gyöktényezők szorzata k p n1 ( s ) = ( s 2 + c1 s + d1 ) ⋅ ... ⋅ ( s 2 + ci s + d i ) ⋅ ( s 2 + ci +1 s + d i +1 ) k1 ⋅ ... ⋅ ( s 2 + ci + q s + d i + q ) q , 22
Kis Miklós: A Laplace transzformáció… (Kézirat, 2003)
az elsőfokú, egyszeres és többszörös gyöktényezők szorzata pedig p n2 ( s ) = ( s − s1 ) ⋅ ... ⋅ ( s − s j ) ⋅ ( s − s j +1 ) l1 ⋅ ...( s − s j + r ) lr , akkor p n ( s ) = p n1 ( s ) ⋅ p n2 ( s ) .
Itt c1 ;...ci ; ci +1 ;...ci + q ; d 1 ;...d i ; d i +1 ;...d i + q ; s1 ;...s j ; s j +1 ;...s j + r adott valós, k1 ;...k q ; l1 ;...l r pedig szintén adott, egynél nagyobb természetes számokat jelentenek, amelyek egyértelműen meghatározottak. Az egyes polinomok foka nyilvánvalóan: n1 = 2 ⋅ i + 2 ⋅ (k1 + ... + k q ) ; n2 = j + (l1 + ... + l r ) ; n = n1 + n2 . A fenti állítás jelentősége az inverz Laplace transzformáció szempontjából abban áll, hogy a gyöktényezők éppen az elemi transzformált függvények nevezői. 3.3.2. Racionális törtfüggvény parciális törtekre bontása
Tekintsük az előző, p n (s ) polinomot és a p m (s ) , m -edfokú, ugyancsak valós szám együtthatós polinomot, amelyek fokszámára teljesül az n ≥ m feltétel. Képezzük a két polinom hányadosát, az p ( s) R( s) = m pn (s) racionális törtfüggvényt. Nyilvánvaló, hogy – amiként p n (s ) , – p m (s ) is gyöktényezők szorzatává bontható. Az általánosság csorbítása nélkül feltételezhetjük, hogy a számlálóban és a nevezőben egymással megegyező gyöktényezők nincsenek, hiszen ellenkező esetben – megfelelő, az s független változóra vonatkozó kikötések mellett, – az ilyenekkel egyszerűsítenénk. Legyen p m ( s ) = b0 s m + b1 s m −1 + b2 s m −2 + ... + bm −2 s 2 + bm−1 s + bm alakban felírva, – ahol b0 ; b1 ; b2 ;...bm− 2 ; bm −1 ; bm együtthatók adott valós számok, – p n (s ) pedig legyen gyöktényezők szorzatára bontott alakban megadva. Ekkor az R(s ) racionális törtfüggvényt úgy tekintjük, mint az R1 ( s ) ; R2 ( s ) ;… Rk −1 ( s ) ; Rk (s ) racionális törtfüggvények közös nevezőre hozásának eredményeként kapott összeget, vagyis R( s ) = R1 ( s ) + R2 ( s ) + ... + Rk −1 ( s ) + Rk ( s ) . 3.3.2.1. A parciális törtek szerkezete és száma
Nyilvánvaló, hogy többféleképpen lehet ilyen összeggé bontani, hiszen többféle törtnek lehet ugyanaz a közös nevezője. Azonban az inverz Laplace transzformáció végrehajtása szempontjából, van egy célszerű és egyértelmű felbontás, amelynek tagjait parciális törteknek nevezzük. A parciális törteknek öt, a gyöktényezőkkel összefüggő, jellemző tulajdonsága van: 1. Valamennyi – akár első-, akár másodfokú – gyöktényezőnek elő kell fordulnia legalább egy parciális tört nevezőjében, azonban minden tört nevezőjében csak egy gyöktényező állhat. 2. Az egyszeres – akár első-, akár másodfokú – gyöktényezők mindegyike csak egy-egy parciális tört nevezőjében áll. 3. Minden többszörös – akár első-, akár másodfokú – gyöktényező annyi parciális tört nevezőjében áll, mint amennyi a multiplicitása. Az első parciális törtben a gyöktényező az első hatványon, a többiben az előzőnél rendre eggyel magasabb hatványon áll.
23
Kis Miklós: A Laplace transzformáció… (Kézirat, 2003)
4. Minden tört számlálója eggyel alacsonyabb fokú polinom, mint a nevezőbeli gyöktényező, de a számlálóbeli együtthatók ismeretlenek. Az ismeretleneket szükség szerinti számban, rendre A ; B ; C ; stb. betűkkel szokás jelölni. Tehát a számláló A „nulladfokú” polinom, egy – elsőfokú gyöktényező esetén: elsőfokú polinom, két – másodfokú gyöktényező esetén: B s + C ismeretlen együtthatóval. 5. Ha R(s ) racionális törtfüggvény számlálója és nevezője egyenlő fokú ( n = m ), akkor – a fenti tulajdonságokkal rendelkező – parciális törtekhez még egy további ismeretlen (például D -vel jelölt) konstanst is hozzá kell adni.
Ismét felhívjuk a figyelmet arra, hogy éppen az ilyen parciális törteket neveztük elemi transzformált függvényeknek. A felbontásnak tehát az a jelentősége, hogy az R(s ) helyett, az azzal azonos, parciális törtekből álló összeg inverz Laplace transzformáltját kell kiszámítani. Lássunk néhány példát az olyan parciális törtek felírására, amelyek megfelelnek az előírt tulajdonságoknak! 3.3.2.1.1. Példák a parciális törtek megállapítására 3s −1 Bs +C A = + 2 a) ; 2 ( s − 2) ( s + 9) s − 2 s + 9 b)
s 4 + 10 s 3 + 23 s 2 − 38 s − 141 Ds + E A B C ; = + + + 2 3 2 2 3 s + 4 ( s + 4) ( s + 4) ( s + 6 s + 13) ( s + 4) s + 6 s + 13
c)
s4 − 3s + 8 A B s + C D s + E ; = + 2 + s s ( s 2 + 5) 2 s + 5 ( s 2 + 5) 2
d)
4 s 2 − 12 s + 8 A B = + +C . ( s + 2) ( s + 3) s + 2 s + 3
Az alábbiakban két általános, de a példák alapján is könnyen belátható, olyan megállapítást teszünk, amely némileg megkönnyíti annak ellenőrzését, hogy a parciális törtek szerkezete és száma helyesen lett-e megállapítva. 1) Ha a megadott tört számlálója alacsonyabb fokú a nevezőjénél, akkor a parciális törtek számlálóiban pontosan annyi ismeretlen áll, mint a megadott tört nevezőjének foka. 2) Ha a megadott számláló és a nevező egyenlő fokú, akkor a nevező fokánál eggyel több ismeretlent kell kiszámítani. 3.3.2.2. Az ismeretlenek kiszámítása: az együtthatók összehasonlításának módszere
Mint már említettük, az R(s ) racionális törtfüggvényt a parciális törtek közös nevezőre hozásának eredményeként kapott összegnek tekintjük. Felhívjuk a figyelmet arra a fontos körülményre, hogy a közös nevező a nevezők legkisebb közös többszöröse, és nem a nevezők szorzata! Mivel a megadott törtnek azonosnak kell lennie a közös nevezőre hozva összegezett parciális törtekkel, és a nevezők azonosak, ezért a számlálóknak is azonosaknak kell lenniük. Ez csakis akkor teljesül, ha a két számlálóban álló, egyenlő kitevőjű hatványok együtthatói is egyenlők egymással, és az egyenlőség az így képezhető, valamennyi együttható-párra fennáll. Az ismeretlen együtthatókra vonatkozó, fenti egyenlőségek egy olyan lineáris egyenletrendszert alkotnak, amelynek egyértelmű megoldásrendszere van. 24
Kis Miklós: A Laplace transzformáció… (Kézirat, 2003)
Az egyenletrendszerhez vezető eljárást nevezzük az együtthatók összehasonlítása módszerének. A módszer gyakorlati alkalmazását az alábbi példákon mutatjuk be. 3.3.2.2.1. Példák az együtthatók összehasonlításának módszerére: (a 3.3.2.1.1 Példák folytatása)
(Valamennyi példában rendre megadjuk a tört parciális törtekre bontását, ezek közös nevezőre hozott alakját, és – az áttekinthetőség érdekében, esetleg több lépésben, – az új számlálónak az együtthatók összehasonlítására alkalmassá tett változatát. Ennek alapján felírjuk a lineáris egyenletrendszert, és – a megoldás részleteit mellőzve, – megadjuk a megoldásrendszerét. Végül, a már ismert együtthatókkal felírjuk a megadott tört parciális törtekre bontott, az inverz Laplace transzformáció végrehajtására legalkalmasabb alakját.)
B s + C A ( s 2 + 9) + ( B s + C ) ( s − 2) 3s −1 A = + = = ( s − 2) ( s 2 + 9) s − 2 s 2 + 9 ( s − 2) ( s 2 + 9)
a)
A s 2 + 9 A + B s 2 − 2 B s + C s − 2 C ( A + B) s 2 + (−2 B + C ) s + (9 A − 2 C ) = ( s − 2) ( s 2 + 9) ( s − 2) ( s 2 + 9)
= A
+
=
B
− 2B + C − 2C 9A
0 = 3 ⇒ = − 1
A=
29 5 5 . ; B=− ; C= 13 13 13
5 5 29 − s+ 3s −1 5 1 5 s 29 3 − ⋅ 2 + ⋅ 2 = 13 + 132 13 = ⋅ . 2 2 13 s − 2 13 s + 3 39 s + 3 2 ( s − 2) ( s + 9) s − 2 s +9
s 4 + 10 s 3 + 23 s 2 − 38 s − 141 Ds + E A B C = + + + 2 = 3 2 2 3 s + 4 ( s + 4) ( s + 4) ( s + 6 s + 13) ( s + 4) s + 6 s + 13
b)
=
(A (s + 4)
2
)
+ B ( s + 4) + C ( s 2 + 6 s + 13) + ( D s + E )( s + 4) 3 = ( s + 4) 3 ( s 2 + 6 s + 13)
( A s 2 + 8 A s + 16 A + B s + 4 B + C ) ( s 2 + 6 s + 13) + ( D s + E ) ( s 3 + 12 s 2 + 48 s + 64) = = ( s + 4) 3 ( s 2 + 6 s + 13) ( A + D) s 4 + (14 A + B + 12 D + E ) s 3 + (77 A + 10 B + C + 48 D + 12 E ) s 2 = + ( s + 4) 3 ( s 2 + 6 s + 13) +
A 14 A 77 A 200 A 208 A
(200 A + 37 B + 6 C + 64 D + 48 E ) s + (208 A + 52 B + 13 C + 64 E ) ( s + 4) 3 ( s 2 + 6 s + 13)
+ B + 10 B + C + 37 B + 6C + 52 B + 13C
1 + D = + 12 D + E = 10 + 48D + 12 E = 23 ⇒ + 64 D + 48E = − 38 + 64 E = − 141
25
A=B=0 C = −1 D =1 E = −2
Kis Miklós: A Laplace transzformáció… (Kézirat, 2003)
s 4 + 10 s 3 + 23 s 2 − 38 s − 141 −1 s−2 = + 2 = 3 2 3 ( s + 4) ( s + 6 s + 13) ( s + 4) s + 6 s + 13 =−
1 2! s+3 5 2 ⋅ + − ⋅ . 3 2 2 2! ( s + 4) 2 ( s + 3) 2 + 2 2 ( s + 3) + 2
s4 − 3s + 8 A B s + C D s + E = + 2 + = s s ( s 2 + 5) 2 s + 5 ( s 2 + 5) 2
c)
A ( s 2 + 5) 2 + ( B s + C ) s ( s 2 + 5) + ( D s + E ) s = = s ( s 2 + 5) 2 ( A + B) s 4 + C s 3 + (10 A + 5 B + D) s 2 + (5 C + E ) s + 25 A s ( s 2 + 5) 2
=
A
+
= 1 17 8 = 0 A= ; B = ; C = 0; 25 25 = 0 ⇒ 165 D=− ; E = −3 E = − 3 25 = 8
B C
10 A + 5B
+ D +
5C 25 A
8 17 165 s − s −3 s − 3 s + 8 25 25 25 = = + 2 + s s ( s 2 + 5) 2 s + 5 ( s 2 + 5) 2 4
=
d)
8 1 17 s ⋅ + ⋅ 25 s 25 s 2 + 5
( )
2
−
165
⋅
25 5 s 2 +
s
( 5)
2
⋅
5
s + 2
( 5)
2
3 5 − ⋅ 5 s2 + 5
( )
2
⋅
5
s + 2
( 5)
2
.
A ( s + 3) + B ( s + 2) + C ( s + 2) ( s + 3) 4 s 2 − 12 s + 8 A B = = + +C = ( s + 2) ( s + 3) s + 2 s + 3 ( s + 2) ( s + 3)
C s 2 + ( A + B + 5 C ) s + (3 A + 2 B + 6 C ) = ( s + 2) ( s + 3) C A + B + 5C 3 A + 2 B + 6C
=
4 = − 12 ⇒ = 8
A = 48; B = −80; C = 4
4 s 2 − 12 s + 8 − 80 1 1 48 + 4 = 48 ⋅ − 80 ⋅ +4. = + ( s + 2) s+3 ( s + 2) ( s + 3) s + 2 s + 3 A példák megoldása során tapasztaltakat úgy foglalhatjuk össze, hogy a transzformált függvény algebrai átalakításainak célja egy olyan alakú kifejezés létrehozása, amely már alkalmas az inverz Laplace transzformáció végrehajtására. 3.3.3. Az inverz transzformált kiszámítása
Foglaljuk össze eddigi eredményeinket! Racionális törtfüggvényt parciális törtek összegévé alakítunk úgy, hogy az egyes parciális törtek elemi transzformált függvény alakúak le26
Kis Miklós: A Laplace transzformáció… (Kézirat, 2003)
gyenek. Az elemi transzformált függvények inverz transzformációs módszereinek ismertében, – a Laplace transzformáció lineáris tulajdonságát alkalmazva, – már kiszámíthatjuk a racionális törtfüggvény inverz transzformáltját. 3.3.3.1. Példák az inverz transzformált kiszámítására, a parciális törtekké bontás módszerével: (a 3.3.2.2.1. Példák folytatása) a)
5 −1 1 5 −1 s 29 −1 3 3s − 1 L−1 = + L 2 = L 2 2 2 − L 2 ( s − 2) ( s + 9) 13 s − 2 13 s + 3 39 s + 3 =
b)
5 2t 5 29 e − cos 3 t + sin 3 t 13 13 39
s 4 + 10s 3 + 23s 2 − 38s − 141 L−1 = 3 2 ( s + 4 ) ( s + 6 s + 13 ) =−
5 −1 1 −1 2! s+3 2 = L + L−1 − L 3 2 2 2 2 2! ( s + 4) ( s + 3) + 2 2 ( s + 3) + 2
1 5 = − e − 4 t t 2 + e −3 t cos 2 t − e −3 t sin 2 t 2 2
c)
s 4 − 3s + 8 8 −1 1 17 −1 s = + − L L L 2 2 2 s ( s + 5) 25 s 25 s 2 + 5 −1
−
( )
s L−1 25 5 s 2 + 5 165
( )
2
⋅
5
s2 +
3 5 − L−1 2 5 5 s 2 + 5
( )
( )
2
⋅
5
s2 +
2 5
( )
Az első és második tag inverz transzformáltjának meghatározása további meggondolásokat nem igényel, a harmadik és negyedik tag inverz transzformáltját azonban a konvo-lúció tétele alkalmazásával kell kiszámítani. Ezekben: s L−1 2 s + 5
5 −1 cos 5 = t és L 2 2 s + 5
( )
= sin 5 t 2
( )
(A trigonometrikus azonosságok és az integrálás részletezését mellőzzük.) i) A harmadik tag: t
³ cos 5 x cos 5 (t − x) dx = ... = 0
t
t
− sin 5t ³ sin 5 x cos 5 x dx = ... = 0
t
cos 5t cos 5t 1 dx + cos 2 5 x dx − ³ 2 0 2 ³0 cos 5t sin 2 5t sin 3 5t − t + 2 2 5 2 5
ii) A negyedik tag: t
t
0
0
2 ³ sin 5t sin 5 (t − x) dx = ... = sin 5t ³ cos 5 x dx −
27
t
sin 2 5t ³0 sin 5 x dx = 2
Kis Miklós: A Laplace transzformáció… (Kézirat, 2003)
= .. . =
sin 3 5t 5
+
sin 2 5t cos 5t 2 5
−
sin 2 5t 2
iii) Tehát az inverz transzformált: s 4 − 3s + 8 8 17 33 cos 5t sin 2 5t 33 3 t + − sin 5t − L
= 1 ( t ) + cos 5 t − 2 2 50 25 25 + s ( s 5 ) 10 5 2 5 −1
−
d)
3 5 5
sin 3 5t −
3 10 5
sin 2 5t cos 5t −
3 sin 2 5t 10
ª 4s 2 − 12s + 8 º −1 ª 1 º −1 ª 1 º − L−1 « 80 L + 4 L−1 [1] = » = 48L « » « » ¬ s + 2¼ ¬ s + 3¼ ¬ ( s + 2) ( s + 3) ¼ = 48 e −2t − 80 e −3t + 4δ (t )
3.3.3.2. Gyakorló feladatok az inverz transzformált kiszámítására, a parciális törtekké bontás módszerével: 1)
a)
ª − 3s − 9 º L−1 « » ¬ ( s + 1) ( s − 2) ¼
b)
ª º s2 + 2 L−1 « 2 » ¬ ( s + 3) ( s − 2) ¼
c)
ª 2s 2 − s º L « » ¬ ( s + 1) ( s − 3) ¼
d)
ª s +1 º L−1 « » 2 ¬ s ( s + 4) ¼
−1
2) Az inverz transzformált kiszámítása során a konvolúció tételét kell alkalmazni! a)
2s 2 + 3s − 7 L−1 2 2 ( s + 1) ( s + 9)
b)
8 L−1 2 3 ( s + 4)
3) Az inverz transzformált kiszámítása során az eltolási tételt kell alkalmazni! a)
− 3s − 9 L−1 e − s ( s + 1) ( s − 2)
b)
28
s +1 L−1 e −5 s s ( s 2 + 4)
