0
/CSAK ISKOLAI HASZNÁLATRA /
MECHANIKA / STATIKA ÉS SZILÁRDSÁGTAN / FELADATOK
ÖSSZEÁLLÍTOTTA: SZEKERES GYÖRGY
1
1. Feladat: Csı ellenırzés, ébredı feszültségekre.
Az „1" és „2" pontok közé hegesztett csı tengelyére merılegesen hegesztett kart, a csı tengelyével párhuzamos erıvel terheljük. Ellenırizzük a csıben ébredı tengelyirányú feszültségek nagyságát, megfeleltetés céljából! Ismert adatok: A terhelı erı:
F = 22,5 kN
A csırúd adatai: Külsı átmérı: d k
= 45 mm Belsı átmérı: d b = 35 mm l1 = 120 mm l 2 = 280 mm Megengedett feszültség: σ hmeg = 85 MPa Megoldás: A rendszer egyensúlyban van. A rúdirányú erık:
F − F1 − F2 = 0 F1 = F − F2 A húzott rész megnyúlása: ∆l1 A nyomott rész rövidülése: F ⋅l
Az egyensúly alapján. A1⋅E1
=
=
F1⋅l1 A⋅E
∆l 2 = F2 ⋅l 2 A ⋅E
→ F1 ⋅ l1 = F2 ⋅ l 2 → F1 =
F⋅l1 l1 + l 2
→ F2 =
F2 ⋅l 2 A ⋅E F2 ⋅l 2 l1
→ F − F2 =
F2 ⋅l 2 l1
22,5⋅120 = 120 = 6,75 kN + 280
F1 = F − F2 = 22,5 − 6,75 = 15,75 kN A húzott - nyomott felület:
(
)
A = π4 ⋅ d 2 k − d 2 b = 0,785 ⋅ (2025 − 1225) = 628 mm 2
-
Feszültség az-l részen:
σ1 =
F1 A
= 15750 = 25,08 MPa 628
F1 A
=
Feszültség az ,2" részen:
σ1 =
6750 628
= 10,78 MPa
Megállapítás: A csırúd az adott igénybevételnek meg felel!
→
2
2. Feladat: Súlyterheléső szelep méretezése. Az ábra és az ismert adatok alapján határozzuk meg a következıket: a, Az ellensúly „ l1” távolságát b, Az „A” csuklóerı nagyságát c, A négyzet keresztmetszető kar oldalainak méretét ha a karra megengedet feszültség σ hmeg = 60 MPa
Ismert adatok:
l 3 = 100 mm, l 2 = 350 mm, d = 30 mm, p = 2 MPa Fsz = 10 N, Fk = 30 N, FE = 160 N Megoldás: a, Az ellensúly „l1” távolsága: A szelep nyomott felülete:
A sz =
d 2 ⋅π 4
=
0,0009⋅π 4
= 7,065 ⋅ 10 −4 m 2
A nyomásból származó erı:
Fp = p ⋅ A sz = 2 ⋅ 706,7 = 1413,4 N Nyomatéki egyenlet az „A” pontra:
(
)
M A = 0 = Fsz − Fp ⋅ l 3 + l 2 ⋅ Fk + l1 ⋅ FE → (F −F )⋅l +l ⋅F (10−1413, 4 )⋅0,1+0,35⋅30 , 4+10,5 ,9 → l1 = − sz pF 3 2 k = − = − −140160 = − −129 = 0,812 m 160 160 E
b, Az „A” csuklóerı nagysága: Nyomatéki egyenlet az „E” pontra:
(
M E = 0 = l1 ⋅ FA + (l1 − l 2 ) ⋅ Fk + (l1 − l 3 ) ⋅ Fsz − Fp (l −l )⋅F +(l −l )⋅(F −F ) (0,812−0,35)⋅30+(0,812−0,1)(⋅ 10−1413, 4 ) → FA = − 1 2 k l1 3 sz p = − = 0,812
)
→
1
999, 22 → = − 13,860,−812 = 1213,5 N
vagy:
FA + Fsz + Fk + FE = Fp → FA = Fp − Fk − Fsz − FE =
→ FA = 1413,4 − 30 − 10 − 160 = 1213,4 N c, A négyzet keresztmetszető kar méretezése: /A kar mértékadó terhelése: hajlítás. / A veszélyes keresztmetszet a koncentrált erıket figyelembe véve , az „Fp – Fsz” erık függıleges vonalában, az „A” ponttól „ l3” távolságra van: A maximális hajlító nyomaték:
M h max = l 3 ⋅ FA = 0,1 ⋅ 1213,5 = 121,35 Nm
3
M h max = l 3 ⋅ FA = σ meg ⋅ K = σ meg ⋅ a6 → a = 3
6⋅M h max σmeg
=3
6⋅121,35⋅103 60
= 22,99 mm
3
3. Feladat: Méretezés rúd /csı /kihajlásra. Mekkora „F” erıvel terhelhetı maximálisan, a vázolt acélcsövekbıl álló rácsos szerkezet, melynek további adatai: A csövek belsı átmérıje: d b = 34 mm
d k = 40 mm A csı megengedett húzófeszültsége: σ hmeg = 100MPa A csövek külsı átmérıje:
A csı rugalmassági modulusa:
E = 2,1 ⋅ 1011 Pa
A kihajlásnál figyelembe veendı biztonsági /törı / tényezı:
n tö = 2,5
Megoldás: Az „ AB” csırúd maximális terhelhetısége / a csırúd, húzásra van igénybevéve /: A csırúd keresztmetszete: ( d k 2 −d b 2 )⋅π 4
Ao =
=
(1600−1156)⋅π 4
= 348,7 ⋅ mm 2
Az „AB” csırúd terhelısége:
F1 = σ hmeg ⋅ A o = 100 ⋅ 348,7 = 34871 N Az „F1”maximális húzóerıt létrehozó „F” terhelı erı: F1 1,5
=
F
→ F = 1,15 =
F 1
34871 1,5
= 23247,3 N
Az „AC” csırúd hossza:
AC = l = 12 + 1,5 2 = 3,25 = 1,8 m A csırúd, tengelyre vett másodrendő /inercia /nyomatéka:
I xy =
(
π⋅ d k 4 −d b 4 64
) = π⋅(2,56⋅10 −1,336⋅10 ) = 60083 mm 4 6
6
64
Az „l” csırúd nyomott, és karcsúsági tényezıje:
λ=
l I xy Ao
=
,8⋅10 = 113 = 137 > 100 így a méretezést a továbbiakban „Euler” alapján végezzük. ,13 3
1,8 60083 348 , 7
Az „AC” csırúd kritikus v. törı terhelhetısége:
Ftö AC =
π2 ⋅E⋅I xy
l
2
=
π2 ⋅2,1⋅1011⋅6⋅10−8 3, 24
= 38382 N
Az „AC” csırúd megengedett terhelése:
F2 = Fmeg AC =
Ftö AC n tö
=
38382 2, 5
= 15353 N
Az „F2” rúderı figyelembevételével a terhelı „F” erı: F2 1,8
=
F′ 1
→ F′ = 1,28 = 15353 = 8529,4 N 1,8 F
Mivel az „AC” csırúd kisebb külsı erı hatására éri el terhelhetıségének határát, úgy az itt megjeleníthetı külsı erıt vehetjük figyelembe:
Fmax = F′ = 8529,4 N
4
4. Feladat: Személyfelvonó (lift) méretezése. Az alábbi ismert adatok alapján ellenırizzük, hogy a hajtómotor megfelelı teljesítményő – e? A liftszekrény tömege: m j = 280 kg , A szállítandó személyek max. száma: 5 fı A menetsebesség:
v t = 0,75 ms , A lift biztonsági tényezıje: b = 1,8
A felvonó összhatásfoka: A motor teljesítménye:
η öf = 0,79
Pm = 4,5 kW
A min. és max. gyorsulás: A motor hatásfoka: Megoldás: A teher súlyereje:
a = 1,5 m2
η m = 88%
s
Ft = 5 ⋅ 75 ⋅ g = 5 ⋅ 75 ⋅ 10 = 3750 N F
F
F0 = Fe = Fj + 2t = m j ⋅ g + 2t = 280 ⋅ 10 + 3750 = 4675 N 2 m ⋅(g +a ) 467,5⋅(9,81+1,5 ) ,4 A legnagyobb kötélerı: F1 = F0 ⋅ e = 4675 ⋅ 280⋅(9,81−1,5) = 4675 ⋅ 5287 = 10623,5 N m j ⋅(g −a ) 2326,8 A tárcsa kerületi ereje: Fk = F1 − F0 = 10623,5 − 4675 = 5948,5 N Az ellensúlyerı:
ha a felvonó alapteljesítménye: alapján:
Pm ⋅ η m ≥ (?) Pf =
Pf =
Fk ⋅v t
Fk ⋅v t
⋅ 1,8
ηöf
ηöf
P
⋅ b és a motor teljesítménye: Pm = η f úgy az egyenlıtlenség m
illetve
4500 ⋅ 0,88 = 3960 ≤ Mivel a felvonó alapteljesítménye: Pf
5948,5 ⋅0, 75 ⋅ 1,8 0, 79
= 10165,12 W
= 10,16 kW , a motoré pedig csak: Pm = 4,5 kW így nem felel meg.
5. Feladat: ∆
Masszív támaszok közé acélrudat illesztettünk. Milyen hımérsékletre kell a rudat hevítenünk, hogy a rúdban maradandó legyen az alakváltozás!? Ismert adatok: Az acél arányossági határfeszültsége:
σ p = 190 MPa Az acél rugalmassági modulusa:
E = 2,15 ⋅ 10 5 MPa Az acél hıtágulási együtthatója:
α = 11,5 ⋅ 10 −6
1 K
A kiindulási hımérséklet: t 1 = 293 K / 20 C / Megoldás: Hı hatására a megnyúlás: ∆l = α ⋅ l ⋅ ∆t = 0
A fajlagos hosszváltozás: ε
=
∆l l
A „Hooke” törvény alapján: σ p
t 2 = t1 +
σp α⋅E
= 293 +
α ⋅ l ⋅ (t 2 − t 1 ) α⋅l⋅( t 2 − t1 ) = = α ⋅ ∆t = α ⋅ (t 2 − t 1 ) l
= σ = − E ⋅ ε = − E ⋅ α ⋅ ∆t = − E ⋅ α ⋅ (t 2 − t 1 )
190 11,5⋅10−6 ⋅2,15⋅105
= 293 + 76,84 = 369,84 K → 96,84 C 0
5
6. Feladat. Komplex feladat daru méretezésre. Ismert adatok alapján válaszoljunk az alábbi kérdésekre!: a, Mekkora legyen az ellensúly, ha a stabilitás adott. ? ( S tn = 2,5 ), ( FE = ? ) b, Q terhelés esetén mekkora a stabilitás?( S Q
= ?)
c, Mekkora az emelı motor teljesítménye ?( Pem d, „ e, „
= ?) a futómő motor „ ?( Pfm = ? ) a kötél hasznos átmérıje?( d h = ? )
A stabilitás feltétele:
S=
Ms f 1 , M s = stabilitási nyomaték, M b = billentı nyomaték Mb
Ismert adatok: Daruváz súlya: FV = 16 kN
l1 = 1,5 m , l 2 = 1,3 m , l 3 = 2,6 m , l 4 = 2 m Futószerkezet súlya: FF = 20 kN , Teher súlya: Q = 30 kN , A terheletlen daru stabilitása: S tn = 2,5 Az emelımotor hatásfoka: η em A futómő motor hatásfoka: η fm A gördülési ellenállás: µ g
m
= 89 % , A teheremelési sebesség: v e = 6 min
m = 85 % , A daru haladási sebessége: v d = 50 min
= 0,03 , Az elemi szálak szakítószilárdsága: R m = 1620 MPa
Biztonsági tényezı: n = 10 , Elemi szál átmérıje: δ = 0,5 mm Megoldás: a, Stabilizáló nyomaték a „B” pontra: /terheletlen állapot/ l l M sB = 4 ⋅ FF + 4 + l 2 ⋅ FV = 20 + 2,3 ⋅ 16 2 2 Billentı nyomaték a „B” pontra: M bB
= (l1 −
l4 ) ⋅ FE 2
= 56,80 kNm = 0,5 ⋅ FE kNm
M sB 56,8 = 2,5 = a FE = 45,44 kN M bB 0,5⋅ FE b, Stabilizáló nyomaték az „A” pontra: /terhelt állapot/ l l M sA = 4 ⋅ FF + ( 4 + l1 ) ⋅ FE = 20 + 2,5 × 45,44 = 133,6 kNm 2 2 Billentı nyomaték az ”A” pontra: l l M bA = (l 2 − 4 ) ⋅ FV + (l 3 − 4 ) ⋅ Q = 0,3 ⋅ 16 + 1,6 ⋅ 30 = 52,8 kNm 2 2 M 133,6 Stabilitás aránya: sA = = 2,53 M bA 52,8 Az ellensúly: S =
P = m ⋅ g ⋅ v [W ],
c, Az emelımotor teljesítménye:
Pem =
P ηem
=
30000 0,89
m ⋅ g = Q = 30 kN
= 3,37 kW
d, A futómő motor teljesítménye
µg = Pfm =
Fü FN
FN = Q + FE + FF + FV = 30 + 45,44 + 20 + 16 = 111,44 kN
,
FN ⋅µ g ⋅v ηfm
⋅0,83⋅10 = 111, 44⋅00,03 = 3264 W = 3,26 kW ,85 3
e, A kötél átmérıje: σ hmeg
i=
4⋅Q δ 2 ⋅ π ⋅ σ hmeg
=
Rm n
= 1620 = 162 MPa 10
= 12 ⋅10 = 943,14 4
127, 23
d h = δ 2 ⋅ i = 0,25 ⋅ 943,14 = 15,35 mm
6
7. Feladat: Differenciál csigasor méretezése. Ismert adatok alapján, válaszoljunk az alábbi kérdésekre! a, Mekkora lesz a maximálisan megemelhetı teher tömege? b, A húzott oldal figyelembevételével, milyen magasra kell azt emelnünk? c, Mekkora erıt kell kifejtenünk? d, Mekkora lesz a munkavégzés nagysága? e, Mekkora volt a teljesítményünk ha az emelést 8 min. alatt végeztük el.? Ismert adatok: A kötél névleges átmérıje: d n
= 8 mm
A húzott kötél hossza:
l k = 53,1 m
A nagy és kis állócsiga átmérıinek viszonya: D = 1,2 d Az elemi szálakra megen. húzófesz.: σ hmeg = 60 MPa , A nagy állócsiga átmérıje: D = 320 mm d n 2 8 2 2 a, d n = δ ⋅ i → i = = 0,3 ≈ 711 δ Az elemi szálak átmérıje:
σ hmeg =
Q⋅g 2
=
δ = 0,3 mm
Q ⋅g ⋅ 2
→Q=
A δ 2 ⋅ π ⋅i 320 b, R = D = = 160 mm 2 2
σ hmeg ⋅ δ 2 ⋅ π ⋅i 2⋅g
R = 1,2 → r = r
60 ⋅ 0,09⋅ π ⋅ 711 = 603,1 kg 20 R = 160 = 133,33 mm 1,2 1, 2
=
l k ⋅ (R − r ) 53,1⋅(0,16 − 0,133) = = 4,43 m 2⋅R 0,32 Q ⋅ g ⋅ (R − r ) 603,1⋅10 ⋅ (0,16 − 0,1333) c, F = = = 502,65 N 2⋅R 0,32
ht =
d,
W = F ⋅ l k = 502,65 ⋅ 53,1 = 26690,5 J
e,
26690,5 P= W = = 55,6 W t
8⋅ 60
8. Feladat: Az ábrázolt csapágyazott acéltengely - mőködés közben – üzemi hımérsékletre melegszik. Mekkora legyen a befeszülés elkerülése végetti tágulási hézag, és mekkora lenne a tengely feszültsége, ha a hézag nullaértékő lenne? Ismert adatok: Hıtágulási együttható: A tengely mértékadó hossza: l 0
= 550 mm ,
Az acél rugalmassági modulusa:
E = 2,1 ⋅ 10 5 MPa
Kiindulási hımérséklet: t 1 Üzemi hımérséklet: t 2
α ac = 11,5 ⋅ 10 −6
1 C0
= 20 0 C ,
= 62 0 C
Megoldás: A hımérsékletváltozás értéke: A tágulási hézag: ∆l
∆t = t 2 − t1 = 62 − 20 = 42 0 C
= α ac ⋅ l 0 ⋅ ∆t = 11,5 ⋅ 10 −6 ⋅ 550 ⋅ 42 = 0,265 mm
A hézag nélküli állapotban nyomófeszültség ébred:
σ n = α ac ⋅ E ⋅ ∆t = 11,5 ⋅ 10 −6 ⋅ 2,1 ⋅ 10 5 ⋅ 42 = 101,43 MPa
7
9. Feladat: Hatvány csigasor méretezése. Ismert adatok alapján válaszoljunk az alábbi kérdésekre! a, Mekkora lesz a maximálisan megemelhetı teher tömege? b, A húzott oldal figyelembevételével, milyen magasra kell azt emelnünk? c, Mekkora erıt kell kifejtenünk? d, Mekkora lesz a munkavégzés nagysága? e, Mekkora volt a teljesítményünk ,ha az emelést 2 min. alatt végeztük el? f, Ábrázolja és értelmezze a mőködési elvét a közönséges csigasornak! Ismert adatok: A 4. sz kötélág névleges átmérıje:
d n = 8 mm
= 25 m δ = 0,4 Az elemi szál meg. hú.fesz.: σ hmeg = 35 MPa A húzott kötél hossza: l k Az elemi szálak átmérıje:
Megoldás:
a,
d n = d 4 = δ2 ⋅ i σ hmeg =
2
Q ⋅g
→ Q=
δ ⋅ π ⋅i n 4 b, l k = 2 ⋅ h t = 2 ⋅ h t → c, F = d,
Q ⋅g 2n
2
d → i = 4 = 8 = 400 0, 4 δ
2
σ hmeg ⋅ δ 2 ⋅ π ⋅i g
ht =
lk 16
=
35⋅ 0,16⋅ π ⋅ 400 10
= 224 kg
= 25 = 1,56 m 16
= 2240 = 140 N 16
W = F ⋅ l k = 140 ⋅ 25 = 3500 J
e, P
= W = 3500 = 29,16 W t
2 ⋅ 60
10. Feladat: Nyíró igénybevételre. Számítsuk ki a húzott rúd hengeres fejének magasságát, valamint ellenırizzük az ébredı húzófeszültséget, ha ismertek az alábbi adatok! A megengedett nyírófeszültség: τ nmeg = 85 MPa A terhelı erı: F = 50000 N A fej átmérı: D = 40mm A rúd átmérı: d = 20 mm Megoldás: /tiszta nyírás/ A nyírófeszültség: τ nmeg
[
]
= d ⋅ π ⋅ h mm 2 = AF = d⋅πF⋅h [MPa ]
A nyírt felület nagysága: A
50000 = 9,36 mm F A fej magassága: h = = 20 d⋅π⋅τnmeg ⋅π⋅85
A megengedett húzófeszültség:
σ hmeg ≈
τnmeg 0,65
=
85 0,65
= 130 MPa
σ h ≤ σ hmeg Az ébredı feszültség:
σh =
F A
=
F⋅4 d 2 ⋅π
=
50000⋅4 400⋅π
= 159 MPa > σ hmeg = 130 MPa
A rúd, húzásra nem felel
8
11. Feladat: Mekkora tengelyirányú erıvel terhelhetı egyik végén rögzítetlen, a másik végén befogott ötvözetlen acél csı, ha ismertek az alábbi adatok: Külsı átmérı: D = 180 mm Belsı átmérı: d = 150 mm Kinyúló hossz: l = 5,5 m Biztonsági tényezı: n b = 4 Megoldás: A csıkeresztmetszet másodrendő nyomatéka:
I min =
(D4 −d4 )⋅π = (1804 −1504 )⋅π = (1,05⋅109 −5,06⋅108 )⋅π = 26,7 ⋅10 6 mm 4 64
64
64
A csıkeresztmetszet területe:
A=
(D2 −d2 )⋅π = (1802 −1502 )⋅π = (32400−22500)⋅π = 7775,4 mm 2 4
4
4
I min A
Az inercia sugár: i min =
26, 7⋅106 7775, 4
=
= 58,6 mm
A szabad kihajlási hossz: l 0 = 2 ⋅ l = 2 ⋅ 5500 = 11000 mm A karcsúsági tényezı:
λ=
l0 i min
= 11000 = 187,7 > λ e = 105 Ezen érték alapján a kritikus törıfeszültséget 58,6
Euler – képlet alapján számítjuk. 2073000 = 2073000 = 58,84 MPa λ2 187,72 σ 58,84 Az ébredı nyomófeszültség: σ n = n t = 4 = 14,71 MPa b
A kritikus törıfeszültség:
A terhelı erı:
σ nmeg =
σt =
F A
→ F = σ nmeg ⋅ A = 14,71 ⋅ 7775,4 = 114376,13 N = 114,4 kN
12. Feladat:
α
Az egyik végén rögzített acélrudat hevítjük. Az ábra és az ismert adatok alapján határozzuk meg az„α”szöget és a mutató kitérésének ívhosszát! Ismert adatok: A hevítés kiindulási hımérséklete:
t 0 = 25 0 C A hevítés véghımérséklete: t 1
= 90 0 C , Hıtágulási együttható: α ac = 11,5 ⋅ 10 −6
A rúd mértékadó kiindulási hossza: l 0 = 920 mm A jelzıkarok méretei: a = 65 mm Megoldás:
b = 80 mm
A hımérsékletváltozás: ∆t = t1 − t 0 = 90 − 25 = 65 C 0
A lineáris hosszváltozás: ∆l = α ac ⋅ l 0 ⋅ ∆t = 11,5 ⋅ 10 A kitérés szöge: α
−6
⋅ 920 ⋅ 65 = 0,687 mm
687 = arc tg ∆bl = arc tg 0,80 = 0,492 0
A kitérés ívhossza: i
=
α⋅2⋅a⋅π 3600
=
0, 496⋅2⋅65⋅π 3600
=
202,57 3600
= 0,5626 mm
1 C0
9
13. Feladat: Mekkora lesz a tömör, kör keresztmetszető, két végén csuklósan megfogott acélrúd átmérıje, ha ismertek az alábbi adatok: A nyomóerı: F = 3200 N A rúd hossza: l = 1300 mm A biztonsági tényezı: n b = 6
= 2,1 ⋅ 10 5 MPa
Rugalmassági modulus: E Megoldás:
/ Feltételezzük, hogy Euler képlet érvényes./ Kritikus vagy törıerı: Fkr = σ kr ⋅ A = F ⋅ n b
F= A rúd átmérıje:
d=4
Fkr nb
=
64⋅F⋅l2 ⋅n b π3 ⋅E
π2 ⋅I⋅E , l 2 ⋅n b
=4
I=
d 4 ⋅π , tehát 64
64⋅3200⋅16,9⋅105 ⋅6 π3 ⋅2,1⋅105
F=
π3 ⋅d 4 ⋅E 64⋅l 2 ⋅n b
= 4 318932,66 = 23,76 mm
4 318702,7⋅π A keresztmetszet másodrendő nyomatéka: I = d ⋅π = = 15644,3 mm 4
64
d 2 ⋅π
A rúd keresztmetszeti felülete: A = A rúd inercia sugara: i =
I A
=
4
=
564,54⋅π 4
64
= 443,4 mm 2
= 35,28 = 5,94 mm / i =
15644,3 443, 4
d 4
=
23, 76 4
= 5,94 mm /
l A karcsúsági tényezı: λ = 0 = l = 1300 = 218,8 > λ e = 105, /Az Euler egyenlet/ i
i
5,94
2073000 = 2073000 = 43,3 MPa λ2 218,82 Az ébredı nyomófeszültség: σ n = F = 3200 = 7,21 MPa A 443, 4
A kihajlási törıfeszültség:
σ kr =
σ
A biztonsági tényezı ellenırzése: σkr n
=
43,3 7 , 21
= 6 = n b A rúd kihajlásra megfelel
14. Feladat: Mekkora lesz az ábra szerinti szelepemelı kar biztonsági tényezıje, ha ismertek az alábbi adatok? A terhelı erı: F = 3200 N , Emelı szár hossz: l = 320 mm Szár átmérı /tömör, hengeres /: d = 14 mm A szár anyaga: ötvözött acél / A szár befogását mindkét végén csuklósnak tekintjük! / Megoldás: Szár hossz: l 0 = l A karcsúsági tényezı: λ =
4⋅l0 d
=
4⋅l d
=
4⋅320 14
= 91,42 < λ t = 112
így a Tetmajer képlettel számolunk! A törıfeszültség: σ kr = 303 − 1,29 ⋅ λ = 303 − 1,29 ⋅ 91,42
= 185 MPa
A szelepszárban ébredınyomó feszültség: σ n = F = F2⋅4 = 3200⋅4 = 20,78 MPa A 196⋅π d π σ A biztonsági tényezı: n b = kr = 185 = 8,89 σ
20,78
10
15. Feladat: A négyzetes, fúrt acélhasábot – az ábrán látható módon – külsı erı húzásra veszi igénybe. Az ismert adatok segítségével határozzuk meg: -a kiindulási keresztmetszetet -a terhelı erıt -az ébredı feszültséget -a kiindulási hosszt -a megváltozott hosszt
Ismert adatok: Méretek: a = 0,04 m , b = 0,06 m , d = 0,015 m , Hosszváltozás: ∆l = 0,15 mm Rugalmassági modulus: E
= 2,1 ⋅ 10 5 MPa , Fajlagos hosszváltozás: ε = 3,2 ⋅ 10 −4
Megoldás: A fúrt hasáb keresztmetszete: A 0
= a ⋅ b − d 4⋅π = 40 ⋅ 60 − 154⋅π = 2223,3 mm 2 2
A terhelı erı: F = ε ⋅ A 0 ⋅ E = 3,2 ⋅ 10 Az ébredı feszültség: σ h = AF = 0 A kiindulási hossz: l 0
=
∆l ε
=
−4
⋅ 2223,3 ⋅ 2,1 ⋅ 10 5 = 149405,76 N
149405, 76 2223,3
015 3, 2⋅10− 4
2
= 67,2 MPa
= 468,75 mm
A megváltozott hossz: l1 = l 0 + ∆l = 468,75 + 0,15 = 468,9 mm 16. Feladat: Az acélcsövet– az ábrán látható módon – külsı erı húzásra veszi igénybe. Az ismert adatok segítségével határozzuk meg: -a kiindulási keresztmetszetet -a terhelı erıt -az ébredı feszültséget -a kiindulási hosszt -a megváltozott hosszt
Ismert adatok: Méretek: D = 0,07 m Rugalmassági modulus: E
d = 0,02 m
= 2,1 ⋅ 10 5 MPa A terhelı erı: F = 426300 N
Megoldás:
(
A csırúd keresztmetszete: A 0 = π4 ⋅ D − d A fajlagos nyúlás: ε =
l 0 = 0,37 m
F A 0 ⋅E
=
2
426300 3534,3⋅2,1⋅105
2
)=
π 4
⋅ (4900 − 400 ) = 3534,3 mm 2
= 5,47 ⋅ 10 −4
Az ébredı feszültség: σ h = AF = 426300 = 120,6 MPa 3534,3 0 A hosszváltozás: ∆l = l 0 ⋅ ε = 370 ⋅ 5,74 ⋅ 10
−4
= 0,212 mm
A megváltozott hossz: l1 = l 0 + ∆l = 370 + 0,212 = 370,212 mm
11
17. Feladat:
A forgótengelyre, könnyen elmozduló golyósúlyok vannak szerelve. Adott fordulatszámnál határozzuk meg a rugók „f” összenyomódását és a golyók „D2” távolságát! Ismert adatok: A golyók tömege: m = 0,4 kg A fordulatszám:
1 n = 600 min
= 300 mm A spirálrugók közép átmérıje: D r = 30 mm A rugóhuzal átmérıje: d = 5 mm A mőködı menetszám: i m = 15 A golyók alaptávolsága: D1
A csúsztatási rugalmassági modulus: G
= 80 ⋅ 10 3 MPa
Megoldás: Dr d 2⋅π⋅n 60
Feszültségtényezı: k =
=
30 = 6 5 2 ⋅600 = 62,83 1 A szögsebesség: ω = = ⋅π60 s D1 0 ,3 2 2 A centrifugális erı: Fc = m ⋅ 2 ⋅ ω = 0,4 ⋅ 2 ⋅ 62,83 = 236,85 N F ⋅8⋅D ⋅k 236,85⋅8⋅30⋅6 A rugóban ébredı csavaró feszültség: τ cs = c 3r = = 868,5 π⋅125 π⋅d
A rugó összenyomódás: f =
i m ⋅D 2 r ⋅π⋅τcs d⋅G ⋅k
A megváltozott golyótávolság:
MPa
,5 = 15⋅900⋅π⋅868 = 4,88 mm 3 5⋅80⋅10 ⋅6
D 2 = D1 + 2 ⋅ f = 300 + 2 ⋅ 4,88 = 309,76 mm
12
18. Feladat: Elemi, egyenes, hengeres evolvens fogazatú fogaskerék hajtással, szivattyút mőködtetnek. Az ismert és számított adatokkal határozzuk meg: a, szivattyú fordulatszámát b, a hajtómő kimenı teljesítményét c, a hajtó tengely átmérıjét, tiszta csavaró igénybevétel alapján d, a fogaskerekek közös és egyedi adatait
Ismert adatok: A bemenı teljesítmény:
P1 = 5 kW 1 n1 = 1440 min
A bemenı fordulatszám:
z1 = 20 z 2 = 50
A fogaskerekek fogszáma: A modul: m = 4 mm
A lábhézag tényezı: c
*
= 0,2
A hajtómő hatásfoka: η = 98 %
A hajtótengely megengedett csavaró feszültsége: τ nmeg = 54 MPa Megoldás: n a, a szivattyú fordulatszáma: n 1
2
=
z2 z1
b, a hajtómő kimenı teljesítménye: P2 c, a hajtótengely átmérıje: -a csavaró nyomaték: M cs
τ nmeg =
M cs Kp
=
M cs ⋅16 d3 ⋅π
=
→ n2 =
A fogfej magasság: h a Fogosztás: p
a=
m 2
⋅20 = 576 1 = 1440 50 min
= P1 ⋅ η = 5 ⋅ 0,98 = 4,9 kW
P1 ω1
=
→d=3
P1⋅60 2⋅π⋅n1
=
5000⋅60 2⋅π⋅1440
M cs ⋅16⋅103 τnmeg ⋅π
d, a fogaskerekek közös és egyedi adatai: - közös adatok: A tengelytáv:
n1⋅z1 z2
⋅ (z1 + z 2 ) =
= m = 4 mm
4 2
=3
= 33,16 Nm
33,16⋅16⋅103 54⋅π
= 14,62 mm
(20 + 50) = 140 mm
A fogláb magasság: h f
= h a + c* ⋅ m = 4,8 mm
= m ⋅ π = 4 ⋅ π = 12,5663mm Fogmagasság: h = h f + h a = 4 + 4,8 = 8,8 mm Mőködı fogmagasság:
h w = 2 ⋅ h a = 2 ⋅ m = 2 ⋅ 4 = 8 mm
Fogvastagság, fogárok szélesség: s
= π2 ⋅ m =
p 2
= e = π ⋅ 2 = 6,2831 mm
- egyedi adatok: Osztó kör:
Fejkör:
d1 = m ⋅ z1 = 4 ⋅ 20 = 80 mm d a1 = d1 + 2 ⋅ h a = 80 + 2 ⋅ 4 = 88 mm
d 2 = m ⋅ z 2 = 4 ⋅ 50 = 200 mm
d a 2 = d 2 + 2 ⋅ h a = 200 + 2 ⋅ 4 = 208 mm Lábkör:
d f 1 = d1 − 2 ⋅ h a = 80 − 2 ⋅ 4,8 = 70,4 mm
Alapkör:
d b1 = d1 ⋅ cos 20 = 80 ⋅ cos 20 = 75,175 mm
d f 2 = d 2 − 2 ⋅ h f = 200 − 2 ⋅ 4,8 = 190,4 mm 0
0
d b 2 = d 2 ⋅ cos 20 0 = 200 ⋅ cos 20 0 = 187,938 mm
13
19. Feladat: Csıméretezés összetett igénybevételre. /húzás-hajlítás/ A vastag falú csövet az ábrázolt módon befogással rögzítettük, majd a jelölt helyen terheltük. Önsúlyát elhanyagolva, határozzuk meg, hogy a keresztmetszet mely pontján és ott mekkora lesz a maximális feszültség? Ismert adatok:
D NA = 10 mm A falvastagság. s = 15 mm Az erı hatásvonala: k = 320 mm A terhelı erı: F = 4300 N A belsı átmérı:
σΑ
σΒ
Megoldás: Elemzés:- az igénybevétel összetett, húzás és nyomás. - a keresztmetszet „A" pontjában a feszültség:
/ σ A = σ hú − σ ha =
- a keresztmetszet „B" pontjában a feszültség:
/ σ B = σ hú + σ ha =
F − F⋅k⋅e / A I F + F⋅k⋅e / A I
A csı külsı átmérıje:
D = D NA + 2 ⋅ s = 100 + 2 ⋅ 15 = 130 mm A csı keresztmetszete:
( ) ⋅ (1,96 ⋅10 − 10 ) = 5419,25 mm A csı inercia nyomatéka: ) = ⋅ (28,56 ⋅10 − 10 ) = 91,11 ⋅10 mm A = ⋅ (D − D A=
π 4
⋅ D 4 − D 4 NA =
π 64
4
4
NA
π 4
4
4
π 64
7
2
7
5
4
A szélsı szál távolsága:
e=
D 2
= 130 = 65 mm 2
A keresztmetszet „A" pontjában a feszültség:
σ A = σ hú − σ ha =
F A
−
F⋅k ⋅e I
=
4300 5419, 25
−
4300⋅320⋅65 91,11⋅105
= 0,79 − 9,82 = −9,02 MPa
+
4300⋅320⋅65 91,11⋅105
= 0,79 + 9,82 = 10,61 MPa
A keresztmetszet „B" pontjában a feszültség:
σ A = σ hú + σ ha =
F A
+
F⋅k⋅e I
=
4300 5419, 25
14
20. Mechanika /statika/ feladat: Számítsuk ki az ábrán rajzolt síkbeli erık forgatónyomatékát az erık síkjában lévı „0” pontra: A megoldáshoz tudni kell: - hogy az erı hatásvonalán bárhova eltolható - hogy a közös hatásvonalon ébredı különbözı nagyságú, ellentétes értelmő erık eredıjének nagysága a két erı algebrai összege - hogy a forgató nyomaték az erı és az erıre merıleges kar szorzata
FR1, 4 = − F1 + F4 = −200 + 400 = 200 N Az
FR1, 4 eredı erı karja b = 0,4 m
FR 3, 6 = − F3 + F6 = −300 + 100 = −200 N Az
FR 3, 6 eredı erı karja a = 0,6 m
Az
F2 és F5 erınek nincs nyomatéka a „0” pontra a fenti szabályok miatt.
(
) (
)
Így a „0” pontra felírt forgató nyomaték:
M 0 = b ⋅ FR1, 4 − a ⋅ FR 3, 6 = 0,4 ⋅ 200 − 0,6 ⋅ 200 = 80 − 120 = −40 Nm ↑ 21. Mechanika / statika / feladat: Az ábra egy szögemelıt szemléltet. A szögemelı az „A” csukló körül a rajz síkjában elfordulhat. A szögemelı „B” pontjában „M = 400 N m” nyomaték hat. Számítsuk ki, hogy mekkora vízszintes irányú „F” erıt kell a szögemelı „C” pontjában mőködtetni, hogy a szerkezet egyensúlyban legyen! Mekkora ebben az esetben az „A” reakcióerı? Ismert adatok:
a = 2 m, b = 1 m Fb ⋅ b = M → Fb =
M b
=
400 1 0
= 400 N
Fb ⋅ b = M A = 2 ⋅ cos 45 ⋅ F F=
Fb ⋅b 2⋅cos 450
=
M 2⋅cos 450
= 1400 = 282,8 N , 414
Fa = cos 45 0 ⋅ F = cos 45 0 ⋅ 282,8 = 199,98 N = 200 N 2
Fr = FA = F 2 a + F 2 b = 200 2 + 400 = 447,2 N
15
22. Feladat: Eredınyomaték meghatározása:
α
Határozzuk meg az eredı nyomaték: - nagyságát, - értelmét - az eredı erı „B” ponttól való „x” távolságát Ismert adatok: l1 Megoldás:
= 2,2 m l 2 = 1,2 m F1 = 6,1 kN F2 = 8,4 kN α = 48 0
Az „F1”erı merıleges összetevıje: F1y = sin α ⋅ F1 Az eredı nyomaték:/ A forgatás értelme „+” /
= sin 48 0 ⋅ 6,1 = 4,533 kN
M B = M R = M B1 + (−M B 2 ) = (l1 + l 2 ) ⋅ F1y − l 2 ⋅ F2 =
= (2,2 + 1,1) ⋅ 4,533 − 1,1 ⋅ 8,4 = 14,96 − 9,24 = 5,72kNm Az eredı erı nagysága: FR = F1y − F2 = 4,53 − 8,4 = − 3,87 N Az eredı erı távolsága:
x=
MR − FR
=
5, 72 −3,87
= 1,47 m
23. Feladat: Eredınyomaték meghatározása
α Határozzuk meg az eredı nyomaték: - nagyságát, - értelmét, - az eredı erı „A” ponttól való „x” távolságát Ismert adatok: l1 Megoldás:
= 1,8 m F1 = 4,2 Nm l 2 = 0,9 m F2 = 2,3 kN α = 430
Az „F1”erı merıleges összetevıje: F1y = sin α ⋅ F1 Az eredı nyomaték / A forgatás értelme „-” /
= sin 430 ⋅ 4,2 = 2,864 kN
M A = M R = M A1 − M A 2 = (l1 ⋅ F1y ) − (l1 + l2 ) ⋅ F2 =
= (1,8 ⋅ 2,864) − (1,8 + 0,9) ⋅ 2,3 = 5,15 − 6,21 = −1,06kNm Az eredı erı nagysága: FR
= F1y + (− F2 ) = 2,864 − 2,3 = 0,56 kN
Az eredı erı távolsága az „A” ponttól: x
=
MR FR
=
−1, 06 0,56
= 1,89 m
16
24. Feladat: Kıtél és rúd reakcióerık meghatározása / szerkesztés – számítás / Szerkesztés: az egyensúlyi háromszög szerint a nyílfolyam folytonos és zárt.
Számítás: Az egyensúly feltételei a külsı erırendszerre Vízszintes erık algebrai összege zérus:
FB − FAx = 0 Függıleges erık algebrai összege zérus: F − FAy = 0
Nyomatéki egyenlet az „A” pontra:
FB = FAx = 1250 N ,
M A = FB ⋅ 2 − F ⋅ 5 = 0 FB =
F⋅5 2
=
500⋅5 2
= 1250 N
F = FAy = 500 N
FA = FAx 2 + FAy 2 = 1250 2 + 500 2 = 1379,31 N 25. Feladat: Rúdtámasz reakcióerıinek meghatározás
FBx − FCx = 0 FBy − FCy + F = 0
M A = 0 = FBx ⋅ 3 − F ⋅ 6 = 0 → FBx =
F⋅6 3
= 2 ⋅ F = 2 ⋅ 500 = 1000 N
FBx = FCx = 1000 N M D = 0 = FBy ⋅ 6 − FCy ⋅ 2 → FBy = FCy 3
(
)
FCy ⋅2 6
=
FCy 3
− FCy + F = 0 → FCy ⋅ 1 − 13 = F → FCy = 32 ⋅ F = 32 ⋅ 500 = 750 N
FBy = FCy − F = 750 − 500 = 250 N FB = FBx 2 + FBy 2 = 1000 2 + 250 2 = 1030,7 N FC = FCx 2 + FCy 2 = 1000 2 + 750 2 = 1250 N = FA
17
26. Feladat: Kötél és rúd reakcióerık egyensúlyi helyzetbıl való meghatározása:
Határozzuk meg az ábrázolt szerkezetben ébredı reakcióerıket számítással és szerkesztéssel!
Megoldás:
Az egyensúly feltételei a külsı erırendszerre: - a függıleges erık algebrai összege zérus: F − FCy
= 0 → FCy = F = 1670 N
- vízszintes erık algebrai összege zérus:
FB − FCx = 0
- nyomatéki egyenlet a „C” pontra: M C
= 2,6 ⋅ FB − 4,2 ⋅ F = 0
FB =
4, 2⋅F 2, 6
=
4, 2⋅1670 2, 6
= 2697,7 N
FB = FCx = 2697,7 N FC = F 2 Cy + F 2 Cx = 2788900 + 7277585,3 = 3172,8 N
18
27. Feladat: Kötél és rúd reakcióerık egyensúlyi helyzetbıl való meghatározása:
Határozzuk meg az ábrázolt szerkezetben ébredı reakcióerıket számítással és szerkesztéssel!
Megoldás:
Az egyensúly feltételei a külsı erırendszerre: - a függıleges erık algebrai összege zérus: - vízszintes erık algebrai összege zérus: - nyomatéki egyenlet a „ C” pontra:
FB =
5,7⋅F 1,9
=
5,7⋅4200 1,9
F − FCy = 0 → F = FCy = 4200 N
FB − FCx = 0
M C = 1,9 ⋅ FB − 5,7 ⋅ F = 0
= 12600 N
FB = FCx = 12600 N FC = F 2 Cx + F 2 Cy = 158760000 + 17640000 = 13281,6 N
19
28. Feladat: a nyomaték szerkesztéses megoldására. / az ábra nem léptékhelyes / a, Határozzuk meg szerkesztéssel, majd ellenırizzük számítással az erık nyomatékának helyét és nagyságát!
Megoldás számítással: Az eredı erı:
FR = F1 − F2 + F3 = 290 − 220 + 95 = 165 N Nyomaték az „A” pontra:
M A = (l1 ⋅ F1 ) − (l1 + l 2 ) ⋅ F2 + (l1 + l 2 + l 3 ) ⋅ F3 =
= (1,9 ⋅ 290) − (1,9 + 1,5) ⋅ 220 + (1,9 + 1,5 + 0,9) ⋅ 95 = 551 − 748 + 408,5 = 211,5 Nm Az eredı erı távolsága az „A” ponttól:
x=
MA FR
Megoldás szerkesztéssel: F1=290N =29mm F2=-220N =22mm F3=95N =9,5mm
=
211,5 165
= 1,2818 m
l1=15,833mm=1,9m l2=12,5mm=1,5m l3=7,5mm=0,9m
b, Az eredı erı:
FR = 312 − 260 + 120 = 172 N Nyomaték az „A” pontra:
M A = (2,3 ⋅ 312) − (4 ⋅ 260) + (5,3 ⋅ 120) = 313,6 Nm Az eredı erı távolsága az „A” ponttól:
x=
Megoldás szerkesztéssel: F1=312N=31,2mm F2=- 260N=26mm F3=120N=12mm
l1=19,166mm=2,3m l2=14,166mm=1,7m l3=10,833mm=1,3m
MA FR
=
313,6 172
= 1,823 m
20
29. Feladat: Stabilitási feladat. Az ábra és az ismert adatok alapján határozzuk meg a hengeres acélellensúly hosszát, ha a tartályt teletöltjük vízzel, és a stabilitás értékét 2 re adjuk meg. Az állvány és a tartály önsúlyát elhanyagoljuk! Stabilitás:
s=2
Megoldás: A vízzel feltöltött tartály súlyereje:
Ft = Vt ⋅ ς v ⋅ g =
d 2 ⋅π 4
⋅ h ⋅ ςv ⋅ g =
0, 497⋅π 4
⋅ 0,8 ⋅ 1000 ⋅ 10 = 3123 N
A billentı nyomaték az „A” pontra:
M Ab = (1,2 − 0,9 ) ⋅ Ft = 0,3 ⋅ 3123 = 936,9 N
A rendszer stabilitása:
s=
M As M Ab
= 2 → M As = 2 ⋅ M Ab
A stabilizáló ellensúly:
Fe = Vv ⋅ ς v ⋅ g =
d 2 v ⋅π 4
⋅ h′ ⋅ ςv ⋅ g =
0, 04⋅π 4
A stabilizáló nyomaték az „A” pontra:
M As = 2 ⋅ M Ab = 2 ⋅ 936,9 = 1873,8 Nm Az ellensúly acélhenger hossza:
h′ =
M As 2513,3⋅1,8
,8 = 1873 = 0,414 m 4524
⋅ h ′ ⋅ 8000 ⋅ 10 = 2513,3 ⋅ h ′[N ]
21
30. Feladat: Stabilitás. Az álló, négyzetes hasábot az ábra szerint, külsı erı terheli. Határozzuk meg, hogy mekkora az „F” erı nagysága, ha ismertek az alábbi adatok: A hasáb adatai:
a = 450 mm h = 1260 mm m = 225 kg A stabilitás: s = 2,5
Megoldás:
z = a 2 + a 2 = 0,45 2 + 0,45 2 = 636,4 mm = 0,6364 m A hasáb súlyereje: FN = m ⋅ g = 225 ⋅ 10 = 2250 N A hasáb átlója:
A stabilizáló nyomaték:
M As = 2z ⋅ FN =
0, 6364 ⋅ 2250 2
A billenı nyomaték:
M Ab = h ⋅ F = 1,26 ⋅ F
A billentı külsı erı:
s = 2,5 =
M As M Ab
=
715,95 1, 26⋅F
= 715,95 Nm
,95 → F = 1715 = 227,28 N , 26⋅2,5
31. Feladat: Stabilitás. Az álló, négyzetes hasábot az ábra szerint, külsı erı terheli. Határozzuk meg, hogy mekkora az „F” erı nagysága, ha ismertek az alábbi adatok: A hasáb adatai:
a = 395 mm h = 1130 mm m = 198 kg A stabilitás: s = 3,4
Megoldás:
z = a 2 + a 2 = 0,395 2 + 0,395 2 = 0,31205 mm = 0,56 m A hasáb súlyereje: FN = m ⋅ g = 198 ⋅ 10 = 1980 N A hasáb átlója:
A stabilizáló nyomaték:
M As = 2z ⋅ FN =
0,56 2
A billenı nyomaték:
M Ab = h ⋅ F = 1,13 ⋅ F
A billentı külsı erı:
s = 3,4 =
M As M Ab
⋅ 1980 = 554,4 Nm
,4 ,4 = 1554 → F = 1554 = 144,3 N ,13⋅F ,13⋅3, 4
22
32. Feladat: Kéttámaszú tartó méretezése. Határozzuk meg az ábrán látható tartó maximális hajlítónyomatékát számítással és szerkesztéssel!
Ismert adatok: F1=1700N F2=1300N L1=0,9m L2=1m L3=2,8m
Megoldás: Eredı erı:
FR = F1 + F2 = 1700 + 1300 = 3000 N Nyomaték az „A” pontra:
M A = −(L1 ⋅ F1 ) − (L1 + L 2 ) ⋅ F2 + + (L1 + L 2 + L 3 ) ⋅ FB = 0 = = −(0,9 ⋅ 1700) − (1,9 ⋅ 1300) + (4,7 ⋅ FB )
FB =
− 4000 − 4, 7
= 851 N ,
FR = FB + FA → FA = FR − FB = 3000 − 851 = 2149 N
M max = −(L 2 ⋅ F1 ) + (L 2 + L1 ) ⋅ FA = −1700 + 4083,1 = 2383,1 Nm 33. Feladat: Megoszló terheléső kéttámaszú tartó méretezése: Ismert:
a = 2,5m , b = 2m , c = 1,2m N p = 800 m
Megoldás számítással!
(
F = p ⋅ b = 800 ⋅ 2 = 1600 N
MA = F ⋅ a + FB =
(
)
F⋅ a + b2 a + b+c
=
b 2
) − FB (a + b + c) = 0
1600⋅(2,5+1) 5, 7
= 982,46 N
FA = F − FB = 1600 − 982,46 = 617,54 N FA − p ⋅ x = 0 x=
FA p
=
617,54 800
= 0,772 m
M h max = FA ⋅ (a + x ) − p ⋅ x ⋅ x2 = 617,54 ⋅ (2,5 + 0,772) − − 800 ⋅ 0,772 ⋅ 0,772 = 2020,6 − 238,4 = 1782,2 Nm 2
23
34. Feladat: Megoszló terheléső kéttámaszú tartóméretezése. Öt méter támaszköző kéttámaszú tartót, „B” oldalán 4 m hosszon, egyenletesen megoszló erırendszer terheli, melynek nagysága:
N . Számítsuk ki és szerkesszük meg az erıhatásából keletkezı reakcióerık p = 50 m
nagyságát, értelmét, a maximális nyomaték nagyságát és helyét, vagyis a nyomatéki és a nyíróerı-ábrát A feladat megoldása számítással: A megoszló terhelés eredıje:
F = p ⋅ 4 = 50 ⋅ 4 = 200 N
Az egyensúly feltételezésével a nyomatéki egyenletekbıl a reakcióerık:
(
MA = − 1+ FB =
600 5
4 2
)⋅ p ⋅ 4 + (1 + 4) ⋅ FB = 0
= 120 N
F = FA + FB ⇒ FA = F − FB = 200 − 120 = 80 N A reakcióerık felfelé mutatnak, pozitív értelmőek. Ellenırzés algebrai összegzéssel:
F = FA + FB = 80 + 120 = 200 N
a számítás helyes! A maximális nyomaték helye ott van, ahol az illetı keresztmetszettıl balra ható erık eredıje nulla, a nyíró erı ábrában a ferde egyenes a tengelyt egy pontban metszi. A metszéspont helyét még nem ismerjük; a megoszló erırendszer bal oldali kezdetétıl való távolságát jelöljük x-szel. A bal oldali erık eredıje/ nyíróerı/ 0 val egyenlı: FRb = FA − p ⋅ x = 0 egyenletbıl kiindulva az x értéke számítható.
x=
FA p
=
80 50
= 1,6 m
(A „ p ⋅ x ”szorzat a megoszló erırendszer metszésponttól balra esı részének eredıje•) A metszéspont helyét ismerve /K /, felírhatjuk erre a keresztmetszetre a maximális nyomaték nagyságát:
M max = − p ⋅ x ⋅ x2 + FA ⋅ (1 + x ) = − p ⋅ x2 + FA ⋅ (1 + x ) = −50 ⋅ 2,256 + 80 ⋅ 2,6 = 2
= −64 + 208 = 144 Nm Ellenırzésül a keresztmetszettıl jobbra fekvı erık nyomatékát is írjuk fel:
M max = − p ⋅ (4 − x ) ⋅ 4−2x + (4 − x ) ⋅ FB = −50 ⋅ 2,4 ⋅ 1,2 + 2,4 ⋅ 120 = −144 + 288 = 144 Nm A feladat megoldása szerkesztéssel: Hosszlépték: 10mm=1m, C=100 N/cm Erılépték: 10mm=100 N
24
35. Feladat: Megoszló terheléső befogott tartó méretezése: Hosszlépték: 10mm=1m Erılépték: 10mm=800N p=3000 N/m b=2,2m C=2500N
Megoldás: számítással:
F = FA = p ⋅ b = 3000 ⋅ 2,2 = 6600 N 2
2
M A = M max = p ⋅ b2 = 3000 ⋅ 2,22 = 7260 Nm szerkesztéssel:
y max ≈ 2,9 m M max = C ⋅ y max = 2500 ⋅ 2,9 = 7260 Nm
36. Feladat: Húzásra – nyomásra , hosszváltozásra: Határozzuk meg a rúdban ébredı húzó – nyomófeszültséget, valamint a hosszváltozást! Ismert adatok: Terhelési mód: Wıhler I. Terhelı erı: F = 144 kN
A = 900 mm 2 l 0 = 1050 mm σ meg = 180 MPa Megoldás: Húzó – nyomó feszültség:
σ=
F A
= 144000 = 160 MPa < 180 MPa = σ meg 900
A fajlagos nyúlás:
∆l =
F A
l
⋅ E0 = 144000 ⋅ 900
1050 2,1⋅105
= 0,8 mm
37. Feladat: Méretezés palástnyomásra. Ismert adatok:
p 2meg = 80 MPa , F = 48000 N, d = 30mm Villa – csap kapcsolatában a :
p1meg =
F d⋅l
→l=
p1meg =
F d⋅p1meg
=
p 2 meg 2
48000 30⋅40
=
80 2
= 40 MPa
= 40 mm
Terhelı erı a csap és kar viszonylatában:
F = l ⋅ d ⋅ p1meg Villaszélesség a terhelı erı a csap és villa kapcsolatában:
F = 2 ⋅ a ⋅ d ⋅ p 2meg → a =
F 2⋅d⋅p 2 meg
=
48000 2⋅30⋅80
= 10 mm
25
38. Feladat: Méretezés palástnyomásra. Milyen vastagságú legyen a tartály fala, ha ismertek az alábbi adatok ?: A tartály anyagára megengedett húzófeszültség:
σ meg = 120 MPa
Megoldás:
p = 6 bar = 6 ⋅ 10 5 Pa = 0,6 MPa
s=
D⋅p 2⋅σmeg
=
550⋅0,6 2⋅120
A tartály belsı nyomása:
p = 6 bar
A tartály belsı átmérıje:
D = 550 mm
[ ] N mm 2
= 1,38 mm
39. Feladat: Méretezés palástnyomásra. Mekkora átmérıjő és hosszúságú legyen a siklócsapágy csapja, ha ismertek az alábbi adatok: Csaphossz / csapátmérı arány: l
d
A megengedett felületi nyomás: A terhelı erı:
= 1,5
p meg = 5 MPa
F = 12000 N
Megoldás:
p=
F , l⋅d
l = 1,5 ⋅ d → p =
F 1,5⋅d 2
,→ d =
F 1,5⋅p
=
12000 1,5⋅5
= 40 mm
l = 1,5 ⋅ d = 1,5 ⋅ 40 = 60mm 40.Feladat: Téglalapfelület másodrendő nyomatéka és keresztmetszeti tényetıje:
Ismert adatok:
a = 80 mm, b = 160 mm
Megoldás: a⋅b3 = 80⋅1603 = 327680000 = 27306666,67 12 12 12 2 2 a ⋅ b 80 ⋅ 160 K x = 6 = 6 = 341333,33 mm 3
Ix =
a 3 ⋅b = 803 ⋅160 = 512000⋅160 = 6826666,66 12 12 12 2 2 a ⋅ b 80 ⋅ 160 K y = 6 = 6 = 170666,66 mm 3
Iy =
mm 4
mm 4
26
41. Feladat: Körgyőrő keresztmetszet másodrendő nyomatéka és keresztmetszeti tényetıje. Ismert adatok:
D = 60 mm, d = 50mm,
Megoldás:
I0 =
D 4 ⋅π 64
K0 =
− d64⋅π = 4
π ⋅ D −d 32 D 4
4
=
π ⋅ 64
(D
4
)
− d4 =
π ⋅ 60 −50 32 60 4
4
π ⋅ 64
(60
4
)
− 50 4 = 329376,35mm 4
= 10979,2 mm 3
42. Feladat: Összetett síkidom másodrendő nyomatéka és keresztmetszeti tényezıje. Számítsuk ki az ábrázolt „T” idom másodrendő nyomatékát és keresztmetszeti tényezıjét az „x – x / súlyponti tengelyre! Megoldás: Részterületek:
A1 = 40 ⋅ 80 = 3200 mm 2 A 2 = 40 ⋅ 120 = 4800 mm 2 Nyomaték a „0”pontra:
M 0 = A1 ⋅ y1 + A 2 ⋅ y 2 = (A + A ⋅) ⋅ y s → A súlypont helye az alsó éltıl
→ ys = Az „A1”terület súlypontja a hajlítás „x – x „tengelyétıl: z1 Az „A2”terület súlypontja a hajlítás „x – x „tengelyétıl:
A1⋅y1 + A 2 ⋅y 2 A1 + A 2
=
3200⋅40+ 4800⋅100 3200+ 4800
= 76 mm
= y s − y1 = 76 − 40 = 36 mm
z 2 = y 2 − y s = 100 − 76 = 24 mm
Az „A1”keresztmetszet másodrendő nyomatéka a saját súlypontján átmenı tengelyre:
I s1 =
40⋅803 12
= 1706666,66 mm 4
valamint a hajlítás „ x – x „ tengelyére:
I x1 = I s1 + A1 ⋅ z 21 = 1706666,66 + 3200 ⋅ 36 2 = 5853866,66 mm 4 Az „A2” keresztmetszet másodrendő nyomatéka a saját súlypontján átmenı tengelyre:
I s 2 = 12012⋅40 = 640000 mm 4 3
valamint a hajlítás „x – x” tengelyére:
I x 2 = I s 2 + A 2 ⋅ z 2 2 = 640000 + 4800 ⋅ 24 2 = 3404800 mm 4 A súlyponti tengelyre vonatkoztatott másodrendő nyomaték:
I s = I x1 + I x 2 = 5853866,66 + 3404800 = 9258666,66 mm 4 A „T” idom keresztmetszeti tényezıje: /
K=
Is e
=
e = y s = 76 mm / 9258666, 66 76
= 121824,56 mm 3
27
43. Feladat: Méretezés lehajlásra. Az ismert adatok alapján határozzuk meg a befogott Téglalap keresztmetszető acéllemez: „φ”szögelfordulását „ζ”görbületi sugarát „a és b” oldalszélességét
Ismert adatok:
E = 2,1 ⋅ 10 5 MPa Az acéllemez hossza: l = 60 mm Az acéllemez megengedett hajlítófeszültsége: σ meg = 250 MPa A lehajlás mértéke: f = 2 mm A hajlítóerı: F = 5 N Az acél rugalmassági modulusa:
Megoldás:
σ meg = f=
F⋅l3 3⋅I⋅E
Mh K
=
=
F⋅l⋅6 a⋅b 2
→F=
σ meg ⋅a ⋅ b 2 ⋅ l3 6 ⋅l 3⋅a ⋅ b 3 ⋅ E
=
σmeg ⋅a ⋅b 2 6⋅l
2⋅σ meg ⋅l 2 3⋅b⋅E
, f=
→b=
F⋅l3 , 3⋅I⋅E
2⋅σ meg ⋅l 2 3⋅f ⋅E
=
12
F=
σmeg ⋅a ⋅b 2 6⋅l
I=
a ⋅b3 12
=
→a =
3,52⋅1, 433 12 a ⋅b 3
⋅E
F⋅6⋅l σ meg ⋅b 2
=
5⋅6⋅60 250⋅1, 432
I=
a ⋅b3 12
2⋅250⋅3600 3⋅2⋅2,1⋅105
= 1,43mm
= 3,52 mm
= 0,857 mm 4
⋅2,1⋅10 I⋅E = 12 ς= M = a12⋅b⋅F⋅⋅El = 3,52⋅112, 43 = 600 mm F⋅l ⋅5⋅60 h ) 2 0 5⋅602 φ = 2F⋅I⋅l⋅E = 5 = 0,05 rad → 2,86 3
3
5
2⋅0,857⋅2,1⋅10
44.Feladat: Egyenszilárdságú befogott tartó méretezése. Határozzuk meg a tartó „x” helyén az „ax” szélességet, ha ismertek az alábbi adatok: A tartó hossza: l = 500 mm
a = 120 mm A külsı terhelı erı: F = 800 N A tartó vastagsága: b = 20 mm Az „ax” helyének távolsága: x = 180 mm A tartó megengedett hajlítófeszültsége: σ meg = 120 MPa A tartó lábszélessége:
Megoldás:
a x = al ⋅ x , σ meg = σ meg =
F⋅x⋅6 a x ⋅b 2
M hx Kx
→ ax =
, M hx = F ⋅ x , K x =
F⋅x⋅6 σ meg ⋅b 2
=
8000⋅180⋅6 120⋅202
a x ⋅b 2 6
= 180 mm
45. Feladat: Retesz kötés méretezése felületi nyomásra és ellenırzése nyírásra.
28
1, Milyen hosszú legyen a reteszkapcsolat? 2, Végezzünk ellenırzést nyírásra, - ha ismertek az alábbi adatok: Csavaró nyomaték: M cs = 100 Nm Agy mege. felületi nyomása:
p ameg = 20 MPa
Tengely mege. felületi nyomása: Retesz mege. nyírófeszültsége: Méretek:
p tmeg = 65 MPa
τ rnmeg = 54 MPa
d = 50 mm, t 1 = 6,2 mm, t 2 = 3,9 mm, h = 10 mm, r = 0,5 mm, b = 10mm Megjegyzés: mindig a kisebb értékő felületi nyomást vesszük figyelembe!
p ameg = 20 MPa < p tmeg = 65 MPa Megoldás: Kerületi erı:
Fk =
M cs ⋅2 d
⋅10 ⋅2 = 4000 N = 10050 3
Nyomott felület a retesz – agy kapcsolatban: A sz A nyomott felület magassága: A retesz terhelt hossza: l ny
=
Fk pameg
=
4000 20
= 200 mm 2
h ny = h − t 1 − r = 10 − 6,2 − 0,5 = 3,3 mm
=
A sz h ny
=
200 3,3
= 60,61 mm
Az ébredı nyírófeszülltség:
τ rny =
Fny A ny
=
Fk A ny
Fk lny ⋅b
=
=
4000 60, 61⋅10
= 6,6 MPa < τ meg = 54 MPa
A nyírásra való ellenırzés alapján a retesz megfelel! 46. Feladat: Méretezés felületi nyomásra és nyírásra. Az ábrázolt csigakeréken a kerületi erıt 6db. M10 csavar, valamint adott mérető csıelem viszi át. Határozzuk meg a csı külsı átmérıjét! Ismert adatok: Egy tehermentesítıre jutó nyíróerı: Fk1 = Fny1 = 8000 N Csıelem belsı átmérıje:
d b = 11 mm
Csıelem mege.nyírófeszültsége:
τ cmeg = 77 MPa
l = 23 mm A bronz mege.palástnyomása: p bmeg = 18 MPa A bronz koszorúperem vastagsága: Megoldás: A szükséges keresztmetszet:
τ cmeg =
Fny1 A
→A=
Fny1 τcmeg
=
8000 77
= 103,9 mm 2
A csı külsı átmérıje:
d1 =
4⋅A π
+ d 2b =
4⋅103,9 π
+ 112 = 132,29 + 121 = 15,91 mm → 16 mm
Az ébredı palástnyomás:
p=
Fny1 d1⋅l
8000 = 21,74 MPa > p = 16 bmeg = 18MPa ⋅23
Mivel az ébredı palástnyomás nagyobb a megengedett értéknél a külsı átmérıt növelni kell!
d1tényl. =
Fny1 p bmeg ⋅l
8000 = 19,32 mm → d = 18 1tényl. = 20 mm ⋅23
47. Feladat: Méretezés tiszta hajlításra.
29
b,
c,
d,
Méretezzük a kéttámaszú tartót a kör, valamint a három ábrázolt keresztmetszetre. Végezzünk összehasonlítást a legkedvezıbb megoldás érdekében. Ismert adatok: A tartók anyagára megengedett hajlítófeszültség: σ hmeg = 120 MPa
F = F = 6000 N ,
a = 60 mm = 0,06 m
l = 3000 mm = 3 m ,
v s
=
1 2
→ s = 2⋅v
Megoldás: A reakcióerık:
M A = 0 = a ⋅ F + (a + l ⋅) ⋅ F − (a + l + a ) ⋅ FB a⋅F+(a +l )⋅F F = = 0,06⋅6000+3000,06⋅6000 = 6000 N a + l+ a
B
3000,12
FR = F + F = 2 ⋅ 6000 = 12000 N FA = FR − FB = 12000 − 6000 = 6000 N A maximális hajlító nyomaték:
M h max = FA ⋅ a = 6000 ⋅ 0,06 = 360 Nm Szükséges keresztmetszeti tényezı:
K=
M hmeg σhmeg
360⋅103 120
=
= 3000 mm 3
a, A kör keresztmetszető tartó átmérıje és szelvényfelülete:
K=
d 3 ⋅π 32
Aa =
→d=3
d 2 ⋅π 4
=
K⋅32 π
31, 262 ⋅π 4
=3
3000⋅32 π
≈ 31,26 mm
= 767,48 mm 2
b, Négyzet keresztmetszető tartó oldalszélessége és szelvényfelülete:
K=
a3 6
→ a = 3 K ⋅ 6 = 3 3000 ⋅ 6 ≈ 26,20 mm
A n = a 2 = 26,20 2 = 686,44 mm 2 c, Téglalap keresztmetszető tartó oldalainak szélessége és szelvényfelülete:
K=
v⋅s 2 6
2 = v⋅(26⋅v ) =
4⋅v3 6
=
2⋅v3 3
→v=3
s = 2 ⋅ v = 2 ⋅ 16,5 ≈ 33 mm
K⋅3 2
=3
3000⋅3 2
≈ 16,5 mm
A t = v ⋅ s = 16,5 ⋅ 33 = 544,5 mm 2 d ,Élére állított négyzet keresztmetszető tartó oldalszélessége és szelvényfelülete: 4
a , I = 12
K=
I e
=
e= a3 6⋅ 2
a⋅ 2 2
→ a = 3 K ⋅ 6 ⋅ 2 = 3 3000 ⋅ 6 ⋅ 2 ≈ 29,4 mm
A = a 2 = 29,4 2 = 864,36 mm 2 Megállapítás: az élére állított téglalap keresztmetszete a legkissebb, s így a legkedvezıbb megoldást adja.
48. Feladat: Méretezés kihajlásra.
30
Az egyik végén befogott, a másik végén rögzítettlen csövet tengelyirányó erıvel terheljük. Mekkora lehet a terhelı erı ötszörös biztonság esetén ? Ismert adatok: Külsı átmérı: D = 250 mm
b = 220 mm Csı hossz: l = 5 m Biztonsági tényezı: b = 5 Belsı átmérı:
Megoldás: A csı másodrendő nyomatéka:
I=
π 64
(
)
⋅ D4 − d4 =
A keresztmetszet területe:
A=
π 4
(
)
⋅ D2 − d2 =
Az inercia sugár:
i=
I A
=
π ⋅ 64 π 4
(39 ⋅10
8
)
− 23,42 ⋅ 108 = 76,8 ⋅ 10 6 mm 4
(
)
⋅ 6,25 ⋅ 10 4 − 4,84 ⋅ 10 4 = 11074,1 mm 2
76,8⋅106 11074,1
= 82,73 mm 4
A kihajló hossz és a karcsúsági tényezı: l0 i
l 0 = 2 ⋅ l = 2 ⋅ 5 = 10 m, λ =
= 10000 = 120,87 > 80 = λ p tehát Euler képlettel számolunk. 82,73
Az Euler féle törıfeszültség öntöttvasra: A törıerı:
σt =
987000 λ2
987000 = 67,55 MPa = 14609 ,6
Ft = σ t ⋅ A = 67,55 ⋅ 11074,1 = 748149,8 N = 748,15 kN
A megengedett erıhatár:
Fmeg =
Ft b
=
748,15 5
= 149,63 kN
49. Feladat: Méretezés kihajlásra. Mekkora lesz az átmérıje a két végén csuklósan megfogott acélrúdnak, ha ismerjük az alábbi adatokat, feltételezve,hogy a rugalmas /Euler /kihajlás érvényes? Ismert adatok: Fmeg = 120000 N, l = 1,5 m, b = 9 Megoldás:
l 0 = l → l 2 0 = l 2 = 1,5 2 = 2,25m 2 = 2250000 mm 2 Fmeg =
I=
d 4 ⋅π 64
π2 ⋅I⋅E l20 ⋅b
=
=
704 ⋅π 64
π3 ⋅d 4 ⋅E 64⋅l20 ⋅b
→d=4
64⋅Fmeg ⋅l2 0 ⋅b π ⋅E 3
= 1178588 mm 4
=4
i min =
64⋅120000⋅2, 25⋅106 ⋅9 π3 ⋅2,1⋅105 I min A
=
d 4 ⋅π 64 d 2 ⋅π
=
= 4 23884865 = 69,9 mm d2 16
=
d 4
4
λ=
l0 i min
=
4⋅l0 d
=
4⋅1500 70
≈ 85,7 < 105 = λ p A karcsúsági tényezı értéke alapján látható, hogy nem a
rugalmas hanem a plasztikus /Tetmajer/ képlete érvényes. Az elıbbi számítás nem biztosítja az elıírt kilencszeres bitonságot ezért az átmérıt növelni kell.
d1 = 80 mm, λ1 = σ meg =
Fmeg A1
4⋅l0 d1
=
4⋅1500 80
= 75
A1 =
d 21⋅π 4
=
6400⋅π 4
= 5026,5 mm 2
= 120000 = 23,87 MPa , σ t = 310 − 1,14 ⋅ λ1 = 224,5MPa 5026,5 σ meg =
50. Feladat: Méretezés nyírásra.
σt b
→b=
σt σmeg
=
224,5 23,87
= 9,4
31
Méretezzük a csavarfej magasságát az ismert adatok alapján! A csavar: M 20 → d = 20 mm A terhelı erı:
F = Fny = 20000 N
A megengedett nyírófeszültség:
σ meg = 50 MPa
Megoldás: d⋅π > 0,5 ≈ 2 így h 3 ⋅ Fny = β⋅3⋅Fny MPa 2 A 2⋅d⋅π⋅h
Várható hogy a
b
τ meg = β ⋅ h=
β⋅3⋅Fny 2⋅d⋅π⋅τmeg
=
β = 1,396 /táblázat/
⋅3⋅20000 = 1,396 = 13,33 mm 2⋅20⋅π⋅50
51. Feladat: Méretezés nyírásra. Mekkora átmérıjő tárcsát lehet kivágni a lemezbıl, ha ismertek azlábbi adatok? Lemez vastagság: s = 2 mm A lemez megengedett nyírófeszültsége: A présgép által biztosított kivágó erı: Megoldás:
τ ny =
F ,→ A
A=
F τny
A = d ⋅ π ⋅ s, → d =
=
A π⋅s
20000 40
= 500 mm 2
=
= 79,57 mm
500 π⋅2
τ meg = 40 MPa
F = 20000 N
52. Feladat: Méretezés nyírásra. Nyírófeszültséget figyelembe véve, határozzuk meg a retesszel átvihetı teljesítményt a forgó tengelyen ,ha ismertek az alábbi adatok!
d = 65 mm A retesz nyírt hossza: l = 72 mm A retesz szélessége: b = 15 mm A tengely átmérı:
A retesz megengedett nyírófeszültsége: A tengely fordulatszáma:
τ meg = 50 MPa
1 n = 500 min
Megoldás:
τ meg =
F A
=
F ,→ l⋅b
F = τ meg ⋅ l ⋅ b = 50 ⋅ 72 ⋅ 15 = 54000 N
F = Fk M f = d2 ⋅ Fk = Mf =
P ω
=
0, 065 ⋅ 54000 = 1755 Nm 2 P⋅60 , → P = M f ⋅2⋅π⋅n = 1755⋅2⋅π⋅500 2⋅π⋅n 60 60
53. Feladat: Méretezés csavarásra.
= 91891,6 W ≈ 92kW
32
Határozzuk meg az ábrázolt rúd megengedett csavarófeszültségét és elfordulási szögét, ha ismerjük az alábbi adatokat!
M cs = 1650 Nm A rúd átmérıje: d = 75 mm A rúd hossza: l = 1800 mm A csavaró nyomaték:
A csúsztató rugalmassági modulus:
G = 80 ⋅ 10 3 MPa
Megoldás: d 3 ⋅π = 753 ⋅π = 421875⋅π = 82834,9 16 16 16 3 M cs ⋅10 = 19,9 MPa = 1650 Kp 82834,9
Kp = τ cs =
I p = d32⋅π = ) M ⋅l ϕ = I ⋅csG = 4
p
754 ⋅π 32
mm 3
= 3106311 mm 4
1650⋅103 ⋅1800 3106311⋅80⋅103
= 0,0119 rad
ϕ 0 = 180 ⋅ 0,0119 = 0,68 0 ≈ 40′ π Az egy méterre vonatkoztatott szögelfordulás:
) ϕ1 / m =
) ϕ l
=
0,0119 1,8
= 0,00661 rad m
) ϕ 0 / m = ϕ1 / m ⋅ 180 = 0,00661 ⋅ 180 = 0,3787 π π
0 m
> 0,25 m0 = ϕ meg 0
Az átmérıt növelni kell, mivel a méterenkénti szögelfordulás nagyobb a megengedett éréknél.
54. Feladat: Méretezés csavarásra. Határozzuk meg a rúdban, az erık hatására ébredı maximális csavarófeszültséget, valamint az elfordulás szögét, ha ismerjük az alábbi adatokat! A rúd átmérıje: d = 25 mm
l = 360 mm A kar hossza: k = 428 mm A rúd hossza:
A csúsztató rugalmassági modulus: A csavaró erık:
G = 80 GPa
F = 250 N
Megoldás:
Ip =
d 4 ⋅π 32
=
0, 0254 ⋅π 32
= 3,8 ⋅ 10 −8 m 4 = 38000 mm 4
d 3π 16
=
0,0253 ⋅π 16
= 3,067 ⋅ 10 −6 m 3 = 3067,9 mm 3
Kp =
M cs = F ⋅ k = 250 ⋅ 0,36 = 90 Nm τ max =
) ϕ=
M cs Kp
M cs ⋅l Ip ⋅G
=
=
90⋅103 3067,9
= 29,33 MPa
90⋅103 ⋅360 38⋅103 ⋅80⋅103
= 0,0106 rad
) ϕ 0 = 180 ⋅ ϕ = 180 ⋅ 0,0106 = 0,6 0 = 36′ π π
55. Feladat: Méretezés egyirányú összetett igénybevételre. /húzás – hajlítás /
33
Mekkora legyen a négyzet keresztmetszető rúd laptávolsága a befogás helyén-az ábra szerinti terhelés esetén –ha ismertek az alábbi adatok?
A terhelıerı:
F = 1200 N
A terhelıerı irányszöge: α = 55 A rúd hossza: l = 200 mm A megengedett húzófeszültség:
0
σ húmeg = 150 MPa
A megengedett hajlítófeszültség:
σ hameg = 180 MPa
Megoldás:
Fha = F1 = F ⋅ sin 55 0 = 1200 ⋅ sin 55 0 = 983 N Fhú = F2 = F ⋅ cos 55 0 = 1200 ⋅ cos 55 0 = 688,3 N σ hameg =
M ha K
Fha ⋅l⋅6
=
a ha 3
=
983⋅200⋅6 a ha 3
= 1179600 MPa , → a ha = 3 3 a ha
1179600 180
= 18,7 mm
A ha = a ha 2 = 18,7 2 = 349,69 mm 2 σ húmeg =
Fhú A
=
688,3 a hú 2
MPa , → a hú =
Fhú σhúmeg
=
688,3 150
= 2,14 mm
A hú = a hú 2 = 2,14 2 = 4,58 mm 2 A hajlításból származó laptáv nagyobbra adódott, így ezt az értéket kell számításba venni! Ellenırzendı e laptávhoz tartozó húzófeszültséget:
σ hú =
Fhú A ha
=
688,3 349,69
= 1,97 MPa < σ húmeg = 150 MPa
Látható, hogy a húzófeszültség elhanyagolhatóan kicsi, így lényegében tiszta hajlításról beszélhetünk.
56. Feladat: Méretezés egyirányú összetett igénybevételre. Végezzünk ellenırzést a húzófeszültségre a csavaros szorítón, ha ismertek az alábbi adatok! A csavar húzóereje: F = 6500 N A megengedett húzófeszültség a csavaros szorító anyagára:
σ húmeg = 120 MPa a = 20 mm, b = 30 mm, c = 40 mm Megoldás:
M ha = F ⋅ c = 6500 ⋅ 0,04 = 260 Nm
A = 30 ⋅ 20 = 600 mm 2 , K = σ max = σ er =
F A
+
M ha K
=
6500 600
+
260⋅103 3000
a ⋅b 2 6
=
20⋅302 6
= 3000 mm 3
= 10,83 + 86,66 = 97,5 MPa < σ húmeg = 120 MPa
A csavaros szorító az igénybevételnek megfelel!
57 .Feladat: Méretezés többirányú összetett igénybevételre. /hajlítás – csavarás / Határozzuk meg az ábrázolt tengely átmérıjét ha ismertek az alábbi adatok! A tengely hossza: l = 1750 mm
34
k = 860 mm A külsı hatóerı: F = F1 = 95 N A kar hossza:
A tengely anyagát a megengedett hajlítófeszültség:
σ hameg = 90MPa
Megoldás:
M ha = F′ ⋅ l = 95 ⋅ 1,75 = 166,25 Nm M cs = F ⋅ k = 95 ⋅ 0,86 = 81,7 Nm
M re = M 2 ha + M 2 cs = 166,25 2 + 81,7 2 = 27639 + 6675 = 185,24 Nm σ hameg =
M re K
=
M re ⋅32 ,→ d 3 ⋅π
d=3
M re ⋅32 σhameg ⋅π
=3
185, 24⋅103 ⋅32 90⋅π
= 27,57 mm
58. Feladat: Méretezés többirányú összetett igénybevételre.
Az ábrázolt tömör, kör keresztmetszető tengelyen lévı I.-es és III.-as tárcsa munkagépet hajt. A II.- es tárcsára lapos szíjjal pedig a hajtó motor. Határozzuk meg a tengelyben ébredı maximális feszültséget, ha ismertek az alábbi adatok! /Mohr alapján/: A tengely átmérıje: D
= 90 mm
A tengely megengedett h.feszültsége: Nyomatékigény az I.- es tárcsán:
σ h.meg = 110 MPa
M cs1 = 3000 Nm
Nyomatékigény a II. – es tárcsán:
M cs3 = 4000 Nm
Szíjhúzás az I.- es tárcsán: F1 = 4000 N Szíjhúzás a II: - es tárcsán: F2 = 5000 N
F3 = 6000 N a = 0,5 m, b = 1 m, c = 1 m, d = 1 m
Szíjhúzás a III. – as tárcsán: Megoldás:
M h max = M B = F3 ⋅ d = 6000 ⋅ 1 = 6000 Nm
σ ha max =
M h max K
=
M h max ⋅32 D3 ⋅π
=
6000⋅103 ⋅32 903 ⋅π
= 83,83 MPa
M cs 2 = M cs1 + M cs3 = 3000 + 4000 = 7000 Nm τ cs max =
M cs 3 Kp
=
M cs 3 ⋅16 D3 ⋅π
=
4000⋅103 ⋅16 903 ⋅π
= 27,94 MPa
σ re = σ 2 ha max + 4 ⋅ τ 2 cs max = 83,83 2 + 27,94 2 = 7808,1 = 88,36 MPa σ re = 88,36 MPa < σ húmeg = 110MPa tehát a tengely megfelel!
59. Feladat: Párhuzamos, egy síkban lévı, ellentétes értelmő erık eredıje és nyomatéka. Lépték: Erı:
10 mm = 200 N
35
20 mm = 1 m l1 = 1m → 20mm l 2 = 0,5m → 10mm F1 = 500 N → 25mm F2 = −1000 N → 50mm F3 = 800 N → 40mm Hossz:
FR = F1 − F2 + F3 = 500 − 1000 + 800 = 300 N → 15mm M A = −(F2 ⋅ l1 ) + (l1 + l 2 ) ⋅ F2 = −1000 + 1200 = 200 Nm
M A = FR ⋅ x → x =
MA FR
=
200 300
= 0,666m
60. Feladat: Párhuzamos, egy síkban lévı, ellentétes értelmő erık eredıje és nyomatéka.
Lépték:
l1 = 2 m → 40 mm l 2 = 1,5m → 300mm
10 mm = 200 N Hossz: 20 mm = 1 m Erı:
F1 = −600 N → 30mm F2 = −400 N → 20mm F3 = 500 N → 25mm
FR = − F1 − F2 + F3 = −600 − 400 + 500 = −500 N
M A = −(l1 ⋅ F2 ) + (l1 + l 2 ) ⋅ F3 = −800 + 1750 = 950 Nm
x=
MA FR
= − 950 = 1,9m → 38mm 500
61. Feladat. Közös pontban metszıdı erık eredıjének meghatározása számítással.
β
α
36
Számítsuk ki az ábrán jelölt erık eredıjét és az eredı„x” tengellyel bezárt szögét! Lépték : 10mm = 60 N
F1 = 51mm → β = 62 0 F2 = 22mm → α = 30 0 F3 = 39mm → γ = 45 0
51 ⋅ 60 = 306 N F = F1 = 10 2
22 10
39 ⋅ 60 = 165,46 N ⋅ 60 = 132 N F3 = 10
Megoldás:
Fx1 = cos β ⋅ F1 = cos 62 0 ⋅ 306 = 143,6 N → 23,9 mm Fx 2 = cos α ⋅ F2 = cos 30 0 ⋅ 132 = −114,3 N → 19 mm Fx 3 = cos γ ⋅ F3 = cos 45 0 ⋅ 234 = 165,46 N → 27,6 mm Fy1 = sin β ⋅ F1 = sin 62 0 ⋅ 306 = 270 N → 45mm Fy 2 = sin α ⋅ F2 = sin 30 0 ⋅ 132 = −66 N → 11mm Fy3 = sin γ ⋅ F3 = sin 45 0 ⋅ 234 = −165,46 N → 27,6mm Fx = Fx1 − Fx 2 + Fx 3 = 143,6 − 114,3 + 165,46 = 194,76 N → 32,46mm Fy = Fy1 − Fy 2 − Fy3 = 270 − 66 − 165,46 = 38,45 N → 6,4mm
FR = Fx 2 + Fy 2 = 194,76 2 + 38,46 2 = 198,53 N F
38, 45 α R = arc tg Fy = arc tg 194 = 11,19 0 , 76 x
62. Feladat. Közös pontban metszıdı erık eredıjének meghatározása számítással.
β
α
37
Számítsuk ki az ábrán jelölt erık eredıjét és az eredı„x” tengellyel bezárt szögét! Lépték : 10mm = 80 N
F1 = 42mm → β = 58 0 F2 = 19mm → α = 32 0 F3 = 35mm → γ = 42 0
F1 =
42 10
35 ⋅ 80 = 280 N ⋅ 80 = 336 N F2 = 19 ⋅ 80 = 152 N F3 = 10 10
Megoldás:
Fx1 = cos β ⋅ F1 = cos 58 0 ⋅ 336 = 178 N → 22,25 mm Fx 2 = cos α ⋅ F2 = cos 32 0 ⋅ 152 = −129 N → 16,12 mm Fx 3 = cos γ ⋅ F3 = cos 42 0 ⋅ 280 = 208 N → 26 mm Fy1 = sin β ⋅ F1 = sin 58 0 ⋅ 336 = 285 N → 35,62mm Fy 2 = sin α ⋅ F2 = sin 32 0 ⋅ 152 = −80,5 N → 10,06mm Fy3 = sin γ ⋅ F3 = sin 42 0 ⋅ 280 = −187,3 N → 23,41mm Fx = Fx1 − Fx 2 + Fx 3 = 178 − 129 + 208 = 257 N → 32,12mm Fy = Fy1 − Fy 2 − Fy3 = 285 − 80,5 − 187,3 = 17,2 N → 2,15mm
FR = Fx 2 + Fy 2 = 257 2 + 17,2 2 = 257 N → 32mm F
,2 α R = arc tg Fy = arc tg 17 = 3,82 0 257 x
63. Feladat: Vegyes terheléső tartó méretezése.
Lépték:
38
10 mm = 1 m 10 mm = 1000 N
F1 == 1,5 kN a = 1,2 m b = 0,6 m c = 3,8 m d =1m p = 500
N m
Megoldás:- Szerkesztéssel:
FR = F1 + F = F1 + p ⋅ c = 1,5 + 500 ⋅ 3,8 = 3,4 = FA + FB = 3,4 kN FA ≈ 20,6 mm ≈ 2 kN FB ≈ 13,4 mm ≈ 1,3 kN y max ≈ 10 mm ≈ 1 m M h max ≈ y max ⋅ C ≈ 1 ⋅ 3000 ≈ 3000 Nm ≈ 3 kNm - Számítással:
F = p ⋅ c = 500 ⋅ 3,8 = 1900 N
(
M A = 0 = −(a ⋅ F1 ) − a + b +
FB =
(
)
a⋅F1 + a + b + c ⋅F 2
a + b + c +d
=
c 2
)⋅ F + (a + b + c + d ) ⋅ FB →
3,8 1, 2⋅1,5+ 1, 2+ 0, 6+ 1,9 2 1, 2+0,6+3,8+1
= 1,34 kN
FA = FR − FB = 3,4 − 1,34 = 2,06 kN Fny = 0 = FA − F1 − x ⋅ p → x = M h max = −
FA −F1 p
=
(x2 ⋅ p ⋅ x ) − (x + b ) ⋅ F1 + (x + b + a )
2060−1500 = 1,1 m 500 ⋅ FA = − 12,1 ⋅ 0,5 ⋅ 1,1
(
)− (1,1 + 0,6) ⋅1,5 + .. →
→ .. + (1,1 + 0,6 + 1,2) ⋅ 2,06 = −0,3025 − 2,55 + 5,974 = 3,12 kNm
64. Feladat: Vegyes terheléső tartó méretezése.
Lépték:
39
10 mm = 1 m 10 mm = 1000 N
F2 == 1,7 kN a = 1,9 m b = 3,1 m c = 1,6 m d = 0,5 p = 600
Megoldás :- Szerkesztéssel:
FR = F1 + F2 = p ⋅ b + F2 = 600 ⋅ 3,1 + 1700 = 1860 + 1700 = 3560 = FA + FB FA ≈ 12 mm ≈ 1200 N FB ≈ 25,4 mm ≈ 2370 N y max ≈ 11 mm ≈ 1,1 m M h max ≈ y max ⋅ C ≈ 1,1 ⋅ 3000 ≈ 3300 Nm - Számítással:
F = p ⋅ b = 600 ⋅ 3,1 = 1860 N
( )
M A = 0 = − a ⋅ b2 ⋅ F1 − (a + b + c ) ⋅ F2 + (a + b + c + d ) ⋅ FB → (a + b )⋅F1 +(a + b +c )⋅F2 3, 45⋅1860+6,86⋅1700 FB = = = 2456,4 N a + b +c + d 7 ,36
FA = FR − FB = 3560 − 2456,4 = 1103,6 N Fny = 0 = FA − x ⋅ p → x = M h max = −
FA p
,6 = 1103 = 1,839 m 600
(x2 ⋅ p ⋅ x ) − (x + a ) ⋅ FA = −(1,284 ⋅ 1,84 ⋅ 600) − (3,74 ⋅ 1103,6) =→ → = 1015,7 − 4127,5 = 3111,76 Nm
65. Feladat:
mm = 1 m Erı lépték: 10 mm = 1000 N Hossz lépték: 10
N m
40
Határozzuk meg a befogott tartó hajlítónyomatékának, nyíróerejének nagyságát szerkesztéssel és számítással!
Ismert adatok:
F1 = 1000 N F2 = 2200 N a = 3,8 m b = 2,3 m C = 3000 N Szerkesztéses:
y c ≈ 38 mm → 3,8m M ≈ y c ⋅ C ≈ 3,8 ⋅ 3000 ≈ 11400 Nm Fny = FA = FR = F1 + F2 = 1000 + 2200 = 3200 N Számításos:
M = −(b ⋅ F2 ) − (b + a ) ⋅ F1 = −(2,3 ⋅ 2200) − (2,3 + 3,8) ⋅ 1000 = −5060 − 6100 = (− ) 11160 Nm 66. Feladat:
F1 = 3000 N F2 = 3000 N F3 = 4000 N
y c ≈ 22,8 mm → 2,28m M max = y c ⋅ C M max ≈ 2,28 ⋅ 5000 ≈ 11400 N
Reakcióerık:
M A = 0 = −(2 ⋅ F1 ) − (4 ⋅ F2 ) + (7 ⋅ FB ) − (10 ⋅ F3 ) FB =
58000 7
= 8285,7 N
FR = F1 + F2 + F3 = FA + FB = 10000 N FA = FR − FB = 10000 − 8285,7 = 1714,3 N A maximális hajlító nyomaték:
M h max = −(3 ⋅ F3 ) = (− ) 3 ⋅ 4000 = (− )12000 Nm
67. Feladat: Határozzuk meg az alakzat súlypontját! Megoldás:
41
A1 = 2 ⋅ 1,8 = 3,6 m 2 A 2 = 4,5 ⋅ 2,5 = 11,25m 2
A 3 = 6,8 ⋅ 2 = 13,6 m 2 A = A1 + A 2 + A 3 =→ = 3,6 + 11,25 + 13,6 = 28,45 m 2
s x1 = 1 m s x 2 = 2,5 m s x 3 = 3,4 m s y1 = 7,4 m s y 2 = 4,25 m s y3 = 1 m
s x ⋅ A = M x = s x1 ⋅ A1 + s x 2 ⋅ A 2 + s x 3 ⋅ A 3 s y ⋅ A = M y = s y1 ⋅ A1 + s y 2 + A 2 + s y3 ⋅ A 3 sx = sy =
s x1⋅A1 +s x 2 ⋅A 2 +s x 3⋅A
11, 25+3, 4⋅13,6 = 1⋅3,6+ 2,5⋅28 = , 45
3
A s y1⋅A1 + s y 2 ⋅A 2 + s y 3 ⋅A3
A
=
7 , 4⋅3,6+ 4, 25⋅11, 25+1⋅13,6 28, 45
=
77,965 28, 45
= 2,7 m
88,0525 28, 45
= 3,1 m
68. Feladat: Határozzuk meg az alakzat súlypontját!
A1 = −(2 ⋅ 4) = −8 m 2 A 2 = 10 ⋅ 15 = 150 m 2 A 3 = 3 ⋅ 8 = 24 m 2 A = − A1 + A 2 + A 3 = = −8 + 150 + 24 = 166 m 2
x1 = 2,5 m x2 = 5 m x 3 = 14 m
y1 = 13,5 m y 2 = 7,5 m y 3 = 1,5 m
s x ⋅ A = M x = x 1 ⋅ ( − A1 ) + x 2 ⋅ A 2 + x 3 ⋅ A 3 s y ⋅ A = M y = y1 ⋅ ( − A 1 ) + y 2 ⋅ A 2 + y 3 ⋅ A 3 sx =
x1⋅( − A1 )+ x 2 ⋅A 2 + x 3 ⋅A3 A
sy =
y1⋅( − A1 ) + y 2 ⋅A 2 + y3 ⋅A3
A
=
=
69. Feladat: Súlypont számítás
2,5⋅( −8) +5⋅150+14⋅24 166
= 1066 = 6,42 m 166
13,5⋅( −8)+ 7,5⋅150+1,5⋅24 166
= 1053 = 6,34 m 166
42
A1 = 4 ⋅ 4 = 16 m 2 A 2 = 12 ⋅ 12 = 144 m 2 2
A 3 = − d 4⋅π = − 164⋅π = −12,56 m 2 A = A1 + A 2 − A 3 =
= 16 + 144 − 12,56 = 147,44 m 2 x1 = 2 m y1 = 14 m x2 = 6 m y2 = 6 m x3 = 9 m y3 = 9 m
s x ⋅ A = M x = x 1 ⋅ A1 + x 2 ⋅ A 2 + x 3 ⋅ ( − A 3 ) s y ⋅ A = M y = y1 ⋅ A 1 + y 2 ⋅ A 2 + y 3 ⋅ ( − A 3 ) sx =
x1⋅A1 + x 2 ⋅A 2 + x 3 ⋅( − A3 ) A
sy =
y1⋅A1 + y 2 ⋅A 2 + y3 ⋅( − A3)
A
=
2⋅16+6⋅144−9⋅12,56 147, 44
782,96 = 147 = 5,3 m , 44
⋅144−9⋅12,56 974,96 = 14⋅16+6140 = 147 = 6,61 m ,56 , 44
70. Feladat: Fékezési út
µ
43
Az ábrázolt gépkocsit blokkolással fékezzük,
65 km sebességnél. Az ismert és számított adatokkal h
határozzuk meg: a, a fékút hosszát b, a megállásig eltelt idıt Ismert adatok: A gépkocsi tömege: m
= 850 kg
A kerék – út, tapadási együtthatója: µ = 0,72 Megoldás:
v = 65 km = h
65000 3600
= 18 ms
Az úton csúszó tömeg egyenletesen lassuló mozgást végez.
FSA = FAN ⋅ µ
FSB = FBN ⋅ µ
Q = m ⋅ g = FAN + FBN = 8500 N
FSA + FSB = µ ⋅ (FAN + FBN ) = µ ⋅ m ⋅ g = m ⋅ a A lassulás:
µ ⋅ g = −a = 0,72 ⋅ 10 = −7,2 m2 s
A fékezési idı:
t=
v a
=
18 7, 2
= 2,5 s
A fékút:
s = a2 ⋅ t 2 =
7, 2 2
⋅ 2,52 = 3,6 ⋅ 6,25 = 22,5 m
Megjegyzés: A fékezési idı és a fékút nem függ a jármő tömegétıl!
71. Feladat: Forgó tömeg mozgási energiája
44
Az ábrázolt vasúti kocsikerék súlypontja adott sebességgel, tiszta gördüléssel halad a sínen. Csak a koszorú tömegét figyelembe véve, határozzuk meg a kerék mozgási energiáját! Ismert adatok: A geometriai méretek:
D k = 1100 mm D b = 800 mm b = 95 mm A sőrősége: ρ
kg
= 8,2
dm3
A súlypont haladási sebessége: v s
= 54 km h
Megoldás: A kerék tömege: ⋅π m1 = ρ ⋅ b ⋅ D 4k ⋅π = 8200 ⋅ 0,095 ⋅ 1,21 = 740kg 4 2
2
2
m 2 = ρ ⋅ b ⋅ D 4b ⋅π = 8200 ⋅ 0,095 ⋅ 0,84 ⋅π = 391,6kg
m = m1 − m 2 = 740 − 391,6 = 348,4 kg A tehetetlenségi nyomatékok:
J1 =
m1⋅D 2k 4
J2 =
m 2 ⋅D2 b 4
= =
740⋅1,12 4
= 224 kgm 2
391,6⋅0,82 4
= 62,64 kgm 2
J = J1 − J 2 = 224 − 62,64 = 161,36 kgm 2 A kerék szögsebessége:
v s = 54 ⋅ 1000 = 15 ms 3600
ω=
vs ⋅2 Dk
⋅2 = 27,27 1 = 15 1,1 s
A kerék mozgási energiája:
Eö=
m⋅v 2s 2
+
J⋅ω2 2
=
348, 4⋅152 2
+ 161,36⋅227, 27 = 39195 + 59998 = 99193 Nm[J ]
72. Feladat: Forgó tömeg gyorsulása
2
45
Határozzuk meg a forgó lendítıkoszorús keréktárcsa esetére, az alábbiakat: - nyugalmi helyzetbıl indulva mennyi idı tesz meg 25 fordulatot? - mekkora a centripetális gyorsulás a 6. másodpercben? Ismert adatok: A geometriai méretek: D k A kerék sőrősége: ρ
= 1650 mm , D b = 1000 mm , s = 120 mm
kg
=8
, Ellenırzött fordulatok száma: z
dm3
A forgatási nyomaték: M
= 25
= 430 Nm
Megoldás: A kerék tömege: 2
⋅π m1 = ρ ⋅ s ⋅ D 4k ⋅π = 8000 ⋅ 0,12 ⋅ 1,65 = 1244 kg 4 2
m 2 = ρ ⋅ s ⋅ D 4b ⋅π = 8000 ⋅ 0,12 ⋅ 1 4⋅π = 754 kg 2
m = m1 − m 2 = 740 − 391,6 = 348,4 kg A tehetetlenségi nyomatékok:
J1 =
m1⋅D 2k 4
J2 =
m 2 ⋅D 2b 4
2
= 1244⋅41,65 = 846,7 kgm 2 =
754⋅12 4
= 188,5 kgm 2
J = J1 − J 2 = 846,7 − 188,5 = 658,2 kgm 2 A szögsebesség:
β=
M J
=
430 658, 2
= 0,65 )
1 s2
β
Az egységnyi szögelfordulás: ϕ = 2 ⋅ t A 25 fordulat megtételének ideje:
t=
) 2⋅z⋅ϕ β
=
2⋅z⋅2⋅π β
=
2
= z ⋅ 2 ⋅ π [rad ]
2⋅25⋅2⋅π 0, 65
= 21,98 s
A centripetális gyorsulás a 6. másodperc végén:
ω6 = β ⋅ t 6 = 0,65 ⋅ 6 = 3,9 1s a c6 =
Dk 2
73. Feladat: Vontatási erı
⋅ ω 2 6 = 1,265 ⋅ 3,9 2 = 12,55 ms
46
g
α
µ
Az ábrázolt jármővet lejtın felfelé vontatják, kötéllel. Az ismert és számított adatokkal, határozzuk meg a vontató kötélben ébredı feszültség nagyságát! Ismert adatok: A jármő tömege: m
= 6850 kg Gördülı ellenállási tényezı: µ g = 0,026 A lejtési szög: α = 14,3
0
≈ 15 mm
Kötél /elméleti/átmérıje: d Megoldás: Az egyensúly feltétele:
Fv − Fg − µ g ⋅ Fn = 0 Fg = Q ⋅ sin α = m ⋅ g ⋅ sin α
Fn = Q ⋅ cos α = m ⋅ g ⋅ cos α A vonóerı:
Fv = m ⋅ g ⋅ sin α + m ⋅ g ⋅ cos α = m ⋅ g ⋅ (sin α + cos α ) =
(
)
= 6850 ⋅ 9,81 ⋅ sin 14,30 + cos14,30 = 67198,5 ⋅ (0,247 + 0,969) = 81714,4 N Feszültség a kötélben:
σhú =
Fv ⋅4 d 2 ⋅π
74. Kényszermozgási feladat.
, 4⋅4 = 81714 = 462,4 MPa 2 15 ⋅π
47
A surrantón cementes zsákot csúsztatnak. Az ismert és számított adatokkal határozzuk meg: a,- a surrantót terhelı felületi /pálya/ nyomást /egy zsák esetén/ b,- a lejtın ébredı súrlódási erıt c,- a lejtın ébredı mozgatási erıt d,- a csúszó zsák gyorsulását e,- a surranó hosszát Ismert adatok: - A surrantó lejtszöge: α = 41 - A pálya súrlódási tényezıje: µ = 0,18 0
- A zsák tömege: m = 50 kg - A zsák leérkezési ideje: t
= 1,6 s
Megoldás: A zsák a felületre merılegesen nem mozog, így:
F − Fn = 0 F = Fn a,
F = Fn = Q ⋅ cos α = m ⋅ g ⋅ cos α = 50 ⋅ 9,81 ⋅ cos 410 = 370 N b,
Fs = µ ⋅ Fn = 0,18 ⋅ 370 = 66,6 N c,
Fcs = sin α ⋅ Q = sin 410 ⋅ 50 ⋅ 9,81 = 321,8 N d, Mozgási eredı erı: Fr
a=
Fr m
=
225, 2 50
= Fcs − Fs = 321,8 − 66,6 = 255,2 N
= 5,104 m2 s
e,
s = a2 ⋅ t 2 =
5,104 ⋅ 1,62 2
= 6,53 m
48
75. Feladat: Az ábrázolt kötéldob ismert és számított adataival határozzuk meg: a, -az ébredı kötélág erıt b,- az emelés nyomatékát c, -a kötél névleges átmérıjét Ismert adatok:
= 2,2 m2
- az emelés gyorsulása: a t
s
- a kötéldob tehetetlenségi nyomatéka: J
= 14,2 kg m 2
- a kötéldob átmérıje: D = 310 mm - a kötél megengedett húzófeszültsége: σ hmeg - az emelendı tömeg: m
= 90 MPa
= 320 kg
Megoldás: a, A kötél ágerı:
Fk = m ⋅ a t + m ⋅ g = m ⋅ (a t + g ) = 320 ⋅ 12,01 = 3843,2 N
b, Az emelés nyomatéka: - szöggyorsulás: 2⋅a t D
β=
=
2⋅ 2, 2 0,31
= 14,19
1 s2
- a teher nyomatéka:
M t = Fk ⋅ D2 = 3843,2 ⋅ 0,232 = 614,9 Nm - a kötéldob nyomatéka:
M kd = J ⋅ β = 14,2 ⋅ 14,19 = 439,7 Nm M = M t + M kd = 614,9 + 439,7 = 1054,6 Nm c, A kötél névleges átmérıje:
σhmeg =
Fk ⋅4 2
d ⋅π
→d=
Fk ⋅4 σ hmeg ⋅π
=
3843, 2⋅4 90⋅π
= 7,37 mm
49
76. Feladat: Gyorsítási és vontatási teljesítmény
µ
Határozzuk meg, az ábrázolt nehézgépjármő gyorsítás alatti teljesítményét az ismert és számított adatokkal! Ismert adatok: - a teherautó tömege: m
= 15000 kg - menet ellenállási /gördülı/ tényezı: µ = 0,035 - indulási sebesség: v0 = 0 = 85
- gyorsulás utáni sebesség: v1
= 72 s
- gyorsítás ideje: t
km h
= 23,61 ms
Megoldás: Menet ellenállási erı:
Fe = µ ⋅ Q = µ ⋅ m ⋅ g = 0,035 ⋅ 15000 ⋅ 9,81 = 5150,25 N A gyorsulás:
a=
v1 t
=
23, 61 72
= 0,33 m2 s
A gyorsító erı:
Fa = m ⋅ a = 15000 ⋅ 0,33 = 4919 N A teljesítménynél figyelembe veendı erı:
F = Fe + Fa = 5150,25 + 4919 = 10069,25 N A közepes sebesség:
vk =
v1 2
=
23,61 2
= 11,5
m s
A teljesítmény:
P = F ⋅ v k = 10069,25 ⋅ 11,8 = 118817,15 W = 118,8 kW A gyorsítás alatt megtett út:
l = a2 ⋅ t 2 =
0,33 ⋅ 722 2
= 855,36 m
A gyorsítás alatt végzett munka:
W = F ⋅ l = 10069,25 ⋅ 855,36 = 8612,83 kNm
Ellenırzés munkára:
W=
m⋅ v 2 2
2
+ Fe ⋅ l = 15000⋅223,61 + 5150,25 ⋅ 855,36 =
= 4180741 + 4405317 = 8586058 = 8586 kNm Ellenırzés teljesítményre:
P=
W t
=
8612,83⋅103 72
= 119622,64 W = 119,6 kW
50
78. Feladat:
µ
Az ábrázolt, összekapcsolt kocsikat adott nagyságú erı gyorsítja Az ismert és számított adatokkal határozzuk meg: a,- gyorsító erı nagyságát b,- a kötél erık nagyságát c,- az összekötı kötelek névleges átmérıjét Ismert adatok: A kocsik egyenkénti, terhelt tömege: m
= 2800 kg
A gördülési tényezı: µ = 0,028 A rendszer gyorsulása: a
= 0,95 m2 s
A kötelekre megengedett feszültség: σ hmeg
= 80 MPa
Megoldás: A gördülési ellenállás: / m1
= m 2 = m3 /
Fg = 3 ⋅ µ ⋅ Fn = 3 ⋅ µ ⋅ m ⋅ g = 3 ⋅ 0,028 ⋅ 2800 ⋅ 9,81 = 2307,3 N a, A gyorsító erı:
F = 3 ⋅ m ⋅ a + Fg = 3 ⋅ 2800 ⋅ 0,95 + 2307,3 = 10287,3 N /D’ Alambert elv: a tehetetlenségi és aktív erı egyensúlyban van./ b, A kötélerık:
F − Fk1 − Fg1 − m1 ⋅ a = 0 Fk1 = F − Fg1 − m ⋅ a = 10287,3 − µ ⋅ m1 ⋅ g − m1 ⋅ a = 10287,3 − 769,1 − 2660 = 6858,2 N Fk 2 − Fg 3 − m3 ⋅ a = 0 Fk 2 = µ ⋅ m3 ⋅ g + m3 ⋅ a = 0,028 ⋅ 2800 ⋅ 9,81 + 2800 ⋅ 0,95 = 769,1 + 2660 = 3429,1 N c, A kötél átmérık:
d1 =
Fk 2 ⋅4 σ hmeg ⋅π
=
6858, 2⋅4 80⋅π
= 10,44 mm
d1 =
Fk 2 ⋅4 σ hmeg ⋅π
=
3429,1⋅4 80⋅π
= 7,38 mm
