I D O S O R O K
• Elorejelzés (predikció vagy extrapoláció) • Adatpótlás (interpoláció) • Dekompozíciós vagy determinisztikus modellek.
E L E M Z É S E
A trendfüggvény
A ciklikus hatás
A szezonális hatás
A zaj (hibatag)
3000
2000
1000
0
901
801
701
601
501
401
301
201
101
-1000 1
I D O S O R E L E M Z É S
Az idõsor
1
3000
2
400
1
200
0
0
-1
-200
-2
-400
2000
1000
0
Lineáris trend
-3
egy periódus
49
46
43
40
37
34
31
901
28
801
25
701
22
601
19
501
16
401
7
301
4
201
13
101
szezonális hatás, p=50
10
-600 1
y=2*t-8
1
901
801
701
601
501
401
301
201
1
-1000 101
I D O S O R E L E M Z É S
p=50
200
100
0
-100
901
801
701
601
501
401
301
201
1
101
-200
a zaj
A trendfüggvény becslése 3000
2000
1000
0 Az idosor
1000
800
600
400
Lineáris trend 200
-1000 0
I D O S O R E L E M Z É S
-------------------- Variables in the Equation -------------------Variable IDO (Constant)
B
SE B
Beta
T
Sig T
2,006954 -31,262314
,019975 11,541197
,953956
100,474 -2,709
,0000 ,0069
2
600
Periodogram
400 100000 10000 200 1000 0 100 -200 10 1 -400 ,1
2000
901 1000
701 200 300 400 801 500
601 100
401 20 30 501 40 50
-600 ,01 1 1 101 2 2013 4 5 301 10
I D O S O R E L E M Z É S
X(t)-T(t)=S(t)+Z(t) Periódus. A maximum p=50
• Simító eljárások (exponenciális szurés) I D O S O R O K E L E M Z É S E
A simító eljárások a sztochasztikus modellezésnél egyszerubb, áttekinthetobb modelleket állítanak fel. A determinisztikus modellezésnél jobban figyelembe veszik az idosor véletlen jellegét, belso összefüggéseit.
• Sztochasztikus modellek (ARIMA-modellek ) A legárnyaltabb, legösszetettebb elemzés a Box és Jenkins által kidolgozott ARIMA-modellekben lehetséges. Az ARIMA-modellek feltételeznek az idosor adatai között meglévo, valamilyen belso sztochasztikus koherenciát, ami tartósan megvan, kimutatható, és feltehetoleg a jövobeni lefolyás során is jelen lesz.
3
Autokovariancia függvény (AVF): I D O S O R O K E L E M Z É S E
ρ k nem m ás, m int az X t és X t + k változók közötti parciális korrelációs együttható, azaz ezeknek az X t − 1 , X t − 2 ,..., X t + k
változókra vett függvény lineáris regresszióinak Autokorrelációs (ACF): korrelációs együtthatója.
Parciális autokorrelációs függvény (PACF):
Autokovariancia függvény (AVF): I D O S O R O K E L E M Z É S E
Autokorrelációs függvény (ACF):
Parciális autokorrelációs függvény (PACF):
4
I D O S O R O K
keresztkovariancia függvény (CVF)
E L E M Z É S E
I D O S O R O K E L E M Z É S E
keresztkorrelációs függvény (CCF)
α
jelzi, hogy a t idopillanathoz tartozó megfigyelés, milyen mélységig függ az elozo idopontbeli megfigyelésektol, azaz az idosor emlékezetével kapcsolatos. Ha α=1, akkor a legutolsó elem korrelálatlan az elozo megfigyelésektol, azaz az idosor emlékezetnélküli. Az α=0 esetén viszont az összes megelozo megfigyelés azonos erosséggel korrelál Xt-vel.
5
I D O S O R O K
γ
Akkor szerepel ez a paraméter, ha trenddel számolunk a modellben. Ha γ közel van 1-hez, a trendfüggvényben az Xt közeli értékek nagyobb súllyal lesznek figyelembevéve, 0-közeli érték esetén pedig mindegyik érték közel azonos súllyal szerepel a trendfüggvény kiszámításában.
E L E M Z É S E
I D O S O R O K E L E M Z É S E
δ Szezonalitási paraméter. δ≈1 esetén a szezonalitást leíró függvény eloállításában az Xt közeli értékek nagyobb súllyal lesznek figyelembevéve, δ≈0 érték esetén pedig mindegyik érték közel azonos súllyal szerepel a szezonalitási függvény kiszámításában.
6
I D O S O R O K E L E M Z É S E
A γ paraméter helyett használatos, amikor a trendfüggvény idovel lecseng. Ha Φ≈1 a trend lecsengése gyors, Φ≈0 esetén pedig lassú.
Φ
EXPONENCIÁLIS SZURÉS I D O S O R O K
Az exponenciális szurési eljárás keretében több különbözo paraméter kombináció beállítása mellett kiszámoljuk a
E L E M Z É S E
négyzetes eltérést, és azt a paraméter kombinációt választjuk ki, amely mellett ez az eltérés a legkisebb. A képletben
jelöli a modell becslését a t-edik idopillanatban.
7
Box-Jenkins-féle idosormodellek ARIMA(0,0,q)=MA(q) modellek: I D O S O R E L E M Z É S
X = b e +b e +b e + ... + b e t 0 t 1 t −1 2 t − 2 q t−q ahol
et , t = 1,2,...,T
fehérzaj folyamat, azaz teljesen független, normális eloszlású változók sorozata
A mozgóátlag a folyamat egy fehérzaj folyamat elemeinek lineáris kombinációjaként áll elo. Xt és Xt-1 q-1 változóban közös. Az MA(q) folyamat együtthatói a b0 ,b1 ,…,bq .
Box-Jenkins-féle idôsormodellek Autoregresszív folyamatok ARIMA(p,0,0)=AR(p) I D O S O R E L E M Z É S
X t = a1 X t − 1 + a 2 X t − 2 + a3 X t − 3 + ... + a p X t − p + σet
Az autoregresszív folyamat a megelôzô p megfigyelt érték lineáris kombinációja és egy független et hiba összegeként regresszálódik. Az AR(p) folyamat együtthatói az a1 ,…,ap , σ .
8
Box-Jenkins-féle idosormodellek
I D O S O R E L E M Z É S
Általános autoregresszív és mozgóátlag folyamatok, ARIMA(p,0,q)=ARMA(p,q) X t = a1 X t − 1 + a 2 X t − 2 + ... + a p X t − p + b0 et + b1et − 1 + ... + bq et − q
Integrált autoregresszív és mozgóátlag folyamatok, ARIMA(p,d,q) modellek deriváltsor
dX t = X t − X t − 1
második deriváltsor
d 2 X t = dX t − dX t − 1
Stb.
9
