Definisi 2.3 : Jika max min E(X,Y) = min

Teori Permainan 22

Penelitian Operasional II

Definisi 2.3 : Jika max min E(X,Y) = min max E(X,Y) =E(x0, y0), maka (x0, y0) didefinisikan z

y

y

z

sebagai strategi murni dari permainan itu dengan x0 sebagai strategi optimum bagi pemaian P1 dan y0 sebagai strategi optimum bagi pemain P2 dan E(x0, y0) adalah nilai permainannya. Contoh 2.5 : Diberikan matriks pembayaran di bawah ini : j

Pemain P2 i 1 2 Pemain P1 1 1 6 2 2 -7 3 -3 8 Misalkan P1 memilih strategi campuran X = (x1, x2,x3) dan P2 memilih strategi campuran Y =(y1,y2.y3) E(X,Y) = XAY 6   1   y1  = (x1, x2,x3)  2 − 7    − 3 8  y 2    = (x1 + 2x2 – 3x3

 y1  6x1-7x2+8x3)    y2 

= y1(x1 + 2x2 – 3x3) + y2 (6x1-7x2+8x3) Misalkan X = (1/3, 1/6 , ½) dan Y = (1/4, ¾ ) E(X,Y) = ¼ (1/3 +2/6 – 3/2) + ¾ (2-7/6 + 4) = 83/24 ini berarti secara rata-rata pemain P1 memperoleh kemenangan sebesar 83/24. Definisi 2.4 : Jika X* = (x1*, x2*, … , xm*) merupakan strategi campuran optimum bagi P1. Y* = (y1*, y2*, … , yn*) merupakan strategi campuran optimum bagi P2. Maka V* = E(X*, Y*) = X* A Y* adalah nilai harapan optimumnya. 2.2.3 Aturan Dominansi Sebelum menyelesaikan suatu permainan, perlu dipertimbangkan apakah ada baris atau kolom dalam matriks pembayaran yang tidak efektif pengaruhnya didalam penentuan strategi optimum dan nilai permainan. Bila ada, baris/kolom tersebut bisa dihapus , hal ini berarti probabilitas untuk memilih strategi ini = nol. Aturan ini dinamanakan aturan dominansi.

Siana Halim – Teknik Industri – UK. Petra


Teori Permainan 23

(1) Aturan Dominansi bagi P1 Bila terdapat suatu baris dengan semua elemen dari baris tersebut adalah sama (sekolom) atau lebih kecil dari baris yang lain maka baris tersebut dikatakan didominansi dan dapat dihapuskan. (2) Aturan Dominansi bagi P2 Bila terdapat suatu kolom dengan semua elemen dari baris kolom tersebut adalah sama atau lebih besar dari elemen dalam posisi yang sama (sebaris) dari kolom yang lain maka kolom tersebut dikatakan didominansi dan dapat dihapuskan. Aturan dominansi ini dapat diulang lagi jika masih ada baris atau kolom yang didominansi oleh baris/kolom yang lain. Tetapi tidak semua permainan yang mempunyai titik pelana dapat diselesaikan dengan aturan dominansi yang berulang-ulang tersebut. Contoh 2.6: Diberikan matriks pembayaran di bawah ini : Pemain P2 j i 1 2 3 4 Pemain 1 4 -9 7 -2 P1 2 2 -8 4 -4 3 -2 8 9 2 4 5 1 8 0

5 1 0 3 2

Terlihat bahwa a1j < a4j dan a2j < a4j ini berarti bahwa P(a1j ) = P(a2j) = 0 j i Pemain P1

3 4

1 -2 5

Pemain P2 2 3 4 8 9 2 1 8 0

5 3 2

Terlihat bahwa ai2 > ai4 , ai3 > ai4 dan ai5 > ai4 ini berarti P(ai2) = P(ai3) = P(ai5)= 0 j Pemain i P1 3 4

Pemain P2 1 4 -2 2 5 0


Teori Permainan 24


2.3 Metode Penyelesaian (Dari permainan berjumlah nol untuk 2 orang dengan strategi campuran) 2.3.1 Metode Aljabar Dapat digunakan untuk mendapatkan penyelesaian dari suatu permainan berjumlah nol dari dua orang dengan masing-masing pemain memiliki 2 strategi. Perhatikan :

Pemain P1 •

Pemain P2 i|j Y 1-Y i 1 2 1 a11 a12 2 a21 a22

x 1-x

Pemain P1 : Total kemenangan harapan P1 ketika P2 memainkan strategi I = total kemenangan harapan P1 ketika P2 memainkan strategi 2 x a11 + (1-x) a21 = x a12 + (1-x) a22 x(a11 + a22 – a21 – a12) = a22 – a21 a 22 − a 21 x1*= x = a11 + a 22 − a 21 − a12 * x2 = 1- x1* ; X* = (x1* , x2*)

•

Pemain P2 : Kekalahan ketika P1 memainkan baris I = kekalahan ketika P1 memainkan baris II y a11 + (1-y) a12 = y a21 + (1-y) a22 a 22 − a12 y1*= y = a11 + a 22 − a12 − a 21 y2* = 1-y1*; Y* = (y1* , y2*)

• •

Nilai permainan menurut pandangan P1 V* = y1*[ x1* a11 + x2* a21] + y2*[ x1* a12 + x2* a22] Nilai permainan menurut pandangan P2 V* = x1*[ y1* a11 + y2* a12] + x2*[ y1* a21 + y2* a22]

Contoh 2.7

P1

i \ j 1 2

P2 1 5 1

2 3 4



Teori Permainan 25

2.3.2. Metode Grafik • Hanya dapat digunakan jika permainan berukuran 2x2, 2x n atau mx2 • Pemain yang hanya punya 2 strategi harus mencari strategi yang optimum lebih dahulu • Perhitungan dapat dilakukan dengan menggunakan aturan dualitas, pada program linear. Permainan berukuran 2xn

P1 2

x1 1-x1

∑ xi = 1 i =1

i\j 1 2 n

∑y i =1

i

=1

y1 1 a11 a21

P2 y2 2 a12 a22

…. … … …

yn N a1n a2n

xi ≥ 0 ; yj ≥ 0 ∀ i,j

Pembayaran harapan berdasarkan strategi murni P2 : Strategi Murni P2 1 2 3 . . . n • • •

Pembayaran Harapan Bagi P1 a11 x1 + a21 ( 1 – x1) = (a11 – a21) x1 + a21 a12 x1 + a22 ( 1 – x1) = (a12 – a22) x1 + a22 a13 x1 + a23 ( 1 – x1) = (a13 – a23) x1 + a23 . . . a1n x1 + a2n ( 1 – x1) = (a1n – a2n) x1 + a2n

Pembayaran harapan bagi P1 bervariasi secara linear terhadap x1 Berdasarkan kriteria minimax untuk permainan dengan strategi campuran, P1 harus memilih nilai x1 yang akan memaksimalkan pembayaran harapan minimumnya. Metode Grafik : - Sumbu Vertikal merupakan pembayaran harapan - Sumbu Horizontal merupakan variasi x1 , 0 ≤ x1 ≤ 1 - Cari titik maximin

Contoh 2.8

P1

i \ j x1 1-x1


Y1 -1 5

P2 y2 1 3

y3 3 -3

Teori Permainan 26


Pembayaran harapan bagi P1 bedasarkan strategi murni P2 : Strategi Pembayaran Harapan Bagi P1 Murni P2 1 - x1 + 5 ( 1 – x1) = -6 x1 + 5 2 X1 + 3 ( 1 – x1) = -2 x1 + 3 3 3 x1 - 3 ( 1 – x1) = 6 x1 – 3

(1) (2) (3)

….

5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4

(1) (2)

5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4

titik maximin x1*=2/3

(3)

V* = max { min (-6 x1 + 5, -2 x1+3, 6x1 – 3) } x1

= max {min (-6 x1 + 5, 6x1 – 3) } x1

-6 x1 + 5 = 6x1 – 3 -12 x1 = -8 x1 = 8/12 = 2/3 = x1* x2* = 1 – 2/3 = 1/3 V* = -6. 2/3 + 5 = 1 Strategi optimum pemain P2 V* =

m

n

∑∑ a i =1 j =1

ij

xi* y *j

V = y1*(-6 x1*+5) + y2*(-2 x1*+3) + y3*(6x1* -3) *

1 = y1*(-6 (2/3)+5) + y2*(-2 (2/3) +3) + y3*(6 (2/3) -3) 1 = y1*+ 5/3 y2* + y3* dengan 1 = y1*+ y2* + y3* m

Dari grafik di atas dapat dilihat bahwa semua garis

∑a i =1

ij

xi yang tidak melewati

titik maximin berkorespondensi dengan yj* = 0 (supaya tidak menaikkan nilai dari pembayaran harapan) , karena untuk setiap x1* pada garis tersebut akan menghasilkan pembayaran harapan yang lebih tinggi dari nilai maksimum pembayaran harapan.



Teori Permainan 27

Lihat : garis dengan persamaan -2 x1 + 3 tidak melewati titik maximin. Cek : -2 (2/3) + 3 = 5/3 > V* Berarti y2* = 0 dan y1* + y3* = 1 Strategi kedua dari P2 tidak dimainkan sehingga matriks pembayaran menjadi :

P1

i \ j x1 1-x1

P2 y1 -1 5

1-y1 3 -3

Pembayaran harapan bagi P2 bedasarkan strategi murni P1 : Strategi Pembayaran Harapan Bagi P2 Murni P1 1 - y1 + 3 ( 1 – y1) = 3 - 4 y1 2 5 y1 - 3 ( 1 – y1) = 8 y1 - 3 Penyelesaian : 3 - 4 y1 = 8y1 - 3 12 y1 = 6 y1*= 1/2, y2* = 1/2 jadi : P1 X* = (2/3, 1/3) P2 Y* = (1/2, 0 , ½) V* = 1 Permainan berukuran (mx2) P2 y1 y2 1 2 x1 a11 a12 P1 x2 a21 a22 x3 a31 a32 . . . . . . . . . xm am1 am2 Dalam permainan ini diasumsikan permainan tidak memiliki titik pelana. Pembayaran harapan yang berkaitan dengan strategi murni pemain P2 adalah : Strategi Murni P2 1 2 3 . .

Pembayaran Harapan Bagi P1 (a11 – a12) y1 + a12 (a21 – a22) y1 + a22 (a31 – a32) y1 + a32 . .

M

(am1 – am2) y1 + am2


Teori Permainan 28


Di sini pemain p2 seharusnya memilih y1 yang dapat meminimumkan pembayaran harapan maksimumnya (prinsip minimaks) Contoh 2.9 P2

P1

x1 x2 x3

Strategi Murni P1 1 2 3

4 3 2 1 0 -1 -2 -3

y1 1 4 -1 2

1-y1 2 -3 3 1

Pembayaran Harapan Bagi P2 7 – 3 y1 3 - 4 y1 y1 + 1

4 3 2 1 0 -1 -2 -3

minimax

Titik Potong (minimax) 2 – 4y1 = y1 + 1 -5y1 = -2 y1* = 2/5 , y2* = 3/5 v* = 2/5 + 1 = 7/5 Nilai optimum x1* bagi pemain P1 dapat diperoleh dari pembayaran harapan perminan, dengan mensubstitusikan nilai y1* pada persamaan v*, yaitu V* = x1*(7y1* - 3) + x2*(3-4y1*) + x3*(y1*+1) dengan x1* + x2* + x3* = 1 Karena garis (7 y1-3) tidak melewati titik minimax, berarti x1* = 0 sehingga diperoleh persamaan x2* + x3* = 1. Pemain P2 y1 y2 x2 -1 3 1 – x2 2 1

Strategi P2 1 2

Pembayaran Harapan P1 2 –3 x2 2 x2 + 1



Teori Permainan 29

Penyelesaian : 2–3 x2 = 2 x2 + 1 5 x2 = 1 x2 = 1/5 x3 = 4/5 * Jadi : X = (0, 1/5 , 4/5) Y* = (2/5, 3/5) V* = 7/5 Cara lain untuk menghitung strategi optimum bagi pemain yang mempunyai lebih dari 2 pilihan strategi, adalah dengan menggunakan teori dualitas pada program linear dengan menganggap persamaan untuk pemain dengan 2 strategi sebagai primalnya. Pemain P2

P1

•

x1 x2 x3 . . . xm

i\j 1 2 3 . . . m

y1 1 a11 a21 a31 . . . am1 ≥ V

y2 2 a12 a22 a32 . . . am2 ≥ V

… … … … . . . … …

yn n a1n a2n a3n . . . amn ≥ V

≤V ≤V ≤V . . . ≤V

Prinsip Pemain P1 Mamaksimumkan V sedemikian hingga : m

∑a i =1

ij

xi ≥ V ; j = 1,2,…, n dan V : nilai permainan

i

=1

Dengan m

∑x i =1

xi ≥ 0 ∀ I m

m

m

i =1

i =1

i =1

V = min ( ∑ ai1 xi , ∑ ai 2 xi ,..., ∑ ain xi ) •

Prinsip Pemain P2 Meminimumkan V sedemikian hingga : n

∑a j =1

ij

y j ≤ V ; i = 1,2,…, m dan V : nilai permainan


Teori Permainan 30


Dengan : n

∑yj =1 j =1

yj ≥ 0 ∀ j n

n

n

j =1

j =1

j =1

V = min ( ∑ a1 j y j , ∑ a 2 j y j ,..., ∑ a mj y j )

Contoh 2.10 y1

y2

y3

y4

1 2 3 4 x1 2 1 0 4 x2 -2 0 2 -3 Dengan menggunakan metode grafik, strategi optimal pemain P1 adalah X* = (2/3 , 1/3). Akan digunakan teori dualitas untuk menghitung P2.

0 < 2/3 =x1 0 < 1/3 =x2

Dualitas :

0 > y1 2 -2 = 2/3

0 > y2 1 0 = 2/3

0 > y3 0 2 = 2/3

0 = y4 4 -3 > 2/3

= 2/3 = 2/3

2 y1 + y2 = 2/3

-2y1 +2y3 = 2/3 --------------------- + y2 + 2 y3 = 4/3 ⇔ y2 = 4/3 – 2 y3 ambil y3 = λ > 0 ⇔ y2 = 4/3 – 2 λ Berarti : 2 y1 = 2/3 – y2 y1 = λ - 1/3 * ⇒ y1 = λ - 1/3; y2* = 4/3 - 2λ; y3* = λ; y4* = 0 dan λ > 0 ⇒ Y* = (λ - 1/3, 4/3 - 2λ , λ , 0) ⇒ Misalkan λ = 2/3 maka akan didapat Y* = (1/3 , 0 , 2/3, 0) ⇒ λ =1/3 maka akan didapat Y* =(0, 2/3, 1/3,0)



Teori Permainan 31

2.3.3 Metode Program Linear • •

Setiap permainan berjumlah nol dari 2 orang (yang berhingga) dapat diubah ke dalam bentuk program linear dan sebaliknya. Suatu permainan dengan matriks pembayaran berukuran mxn, tidak memiliki titik pelana serta metode dominansi tidak dapat digunakan untuk mereduksi ukuran matriks dapat diselesaikan dengan metode program linear.

Diketahui matriks pembayaran : j i

y1 a11 a21 . . . am1

x1 x2 . . . xm

Pemain Pertama (P1)

Pemain Kedua (P2) y2 y3 … a12 a13 … a22 a23 … . . . . . . . . . am2 am3 …

yn a1n a2n . . . amn

xi = Probabilitas P1 memilih strategi ke-i yj = Probabilitas P2 memilih strategi ke-j aij = Nilai pembayaran yang bersesuaian dengan strategi ke-i P1 , dan ke-j P2, dengan I = 1,…,m dan j = 1,…, n •

Untuk Pemain P1 P1 memilih xi, (xi ≥ 0,

m

∑x i =1 m

i

= 1 ) yang akan memaksimumkan : m

m

i =1

i =1

max {min ( ∑ ai 1 xi , ∑ ai 2 xi ,..., ∑ ain xi ) } xi

i =1

Dengan kendala : m

∑x i =1

i

=1

xi ≥ 0 ∀ i = 1,2,..,m Bentuk Program Linear : m

m

m

i =1

i =1

i =1

V = min ( ∑ ai1 xi , ∑ ai 2 xi ,..., ∑ ain xi ) Max Z = V


Teori Permainan 32


Kendala : m

(1)

∑a i =1 m

(2)

ij

∑x i =1

xi ≥ V

i

j = 1,2,…,n

=1

xi ≥ 0 ∀ i = 1,2,..,m ; V = nilai permainan Penyederhanaan (1) m

(1’) (2’)

xi ≥ 1; j = 1,2,…,n V i =1 m xi 1 = ∑ v i =1 V xi ≥ 0 ∀ i = 1,2,..,m

∑a

ij

Perhatikan Jika V > 0 ⇒ tidak ada masalah tetapi jika V = 0 ⇒ pembagian tidak berlaku V < 0 ⇒ ubah menjadi V > 0 dengan menambahkan aij +k ∀ i,j dan k ≥ a ij* dan aij* adalah elemen terkecil dari matriks pembayaran

Penyederhanaan (2) x Notasi : Xi = i , i = 1,2,…,m ⇒ v karena max V = min

m

∑X i =1

i

=

1 v

(2”)

m m m 1 = min ( ∑ ai1 xi , ∑ ai 2 xi ,..., ∑ ain xi ) v i =1 i =1 i =1

maka di dapat : Min Z = X1 + X2 + … + Xm ( =

1 ) v

Kendala : m

∑a i =1

ij

Xi ≥1 Xi ≥ 1

∀ j = 1,2,…,n ∀i = 1,2,…,m


Penelitian Operasional II Penyelesaian : •

Teori Permainan 33

Gunakan Metode Simplex Untuk P2 gunakan dualitas dari P1

Untuk Pemain P2 (Dual dari P1) Max W = Y1 + Y2 + … + Yn ( =

1 ) v

Kendala : n

∑a Y j =1

ij

≤1

∀ i = 1,2,…,m

Yj ≥ 1

∀j = 1,2,…,n

j

Contoh 2.11:

Pemain Pertama (P1)

X1 X2 X3

y1 2 -2 0

y2 -1 0 -3

y3 -3 1 2

Permainan di atas : • Tidak memiliki titik pelana • Aturan dominansi tidak berlaku • Nilai maximin = -2 berarti ada kemungkinan nilai permainannya V ≤ 0, tambahkan nilai k ≥ − 3 , ambil k = 4 •

Matriks pembayaran berubah menjadi : Pemain kedua P2 y2 Y3 y1 Pemain X1 6 3 1 Pertama X2 2 4 5 P1 X3 4 1 6

•

Metode simplex untuk P2 : Max W = Y1 + Y2 + Y3 ( = 1/v) Kendala: 6 Y1 + 3Y2 + 1Y3 ≤ 1 2 Y1 + 4Y2 + 5Y3 ≤ 1 4 Y1 + 1Y2 + 6Y3 ≤ 1 Y1 , Y2 , Y3 ≥ 0


Teori Permainan 34 • Tabel Simplex Cj Ci 1 Yi\ Yj Y1 0 P 6 0 Q 2 0 R 4 Zj 0 Zj-Cj -1 1 Y1 1 0 Q 0 0 R 0 Zj 1 Zj-Cj 0 1 Y1 1 0 Q 0 1 Y3 0 Zj 1 Zj-Cj 0 1 Y1 1 1 Y2 0 1 Y3 0 Zj 1 Zj-Cj 0


1 Y2 3 4 1 0 -1 ½ 3 -1 ½ -1/2 17/32 31/8 -3/16 11/32 -21/32 0 1 0 1 0

1 Y3 1 5 6 0 -1 1/6 14/3 16/3 1/6 -5/6 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0

0 P 1 0 0 0 0 1/6 -1/3 -2/3 1/6 1/6 3/16 ¼ -1/8 1/16 1/16 19/124 2/31 -7/62 13/124 13/124

W = 35/ 124 Y = (13/124, 3/31, 5/62) yj = Yj/W, Yj = yj/v v = 1/W = 13/35, y = 12/35 , y = 10/35 y1 2 3 v* = 1/W – k = 124/3 - 4 = -16/35 •

0 Q 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 -11/124 8/31 3/62 21/124 21/124

0 R 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 -1/32 -7/8 3/16 5/32 5/31 11/124 -7/31 9/62 1/124 1/24

Vi

Ri

1 1 1

1/6 ½ 1/4

1/6 2/3 1/3

1 1/7 1/16

5/32 3/8 1/16

5/17 3/31 -

13/124 3/31 5/62 35/124

j = 1,2,3

Bagi Pemain P2

Pemain Pertama P1

Pemain kedua P2 0> 0> y1=13/124 y2=3/31 0<X1 6 3 0<X2 2 4 0<X3 4 1 =1 =1

0> y3=5/62 1 5 6 =1

=1 =1 =1

Masalah dual : 6 X1 + 2 X2 + 4 X3 = 1 3 X1 + 4 X2 + 1 X3 = 1 1 X1 + 5 X2 + 6 X3 = 1



Teori Permainan 35

Dapat diselesaikan dengan aljabar linear, didapat : X1 = 13/ 124; X2 = 21/124; X3 = 1/124 Z = 1/v = X1 + X2 + X3 = 35/124 Xi = xi/v, Z = 1/v, xi = Xi/Z x1 = 13/35; x2 = 21/35; x3= 1/35 X* = (13/35, 21/35, 1/35)

2.4 Permainan Berjumlah Nol dari n Orang 2.4.1 Pendahuluan Asumsi yang digunakan : (1) Setiap pemain dalam permainan ini dapat berkomunikasi dan berunding dengan pemain yang lain untuk membuat suatu perjanjian yang mengikat serta membentuk koalisi. (2) Para pemain dapat membuat pembayaran sampingan yaitu suatu pemindahan pembayaran di antara pemain. (3) Pemain-pemain di dalam permainan n orang ini dapat dibagi menjadi 2 koalisi yang saling bersaing, berarti permainan n orang dapat diperlakukan sebagai permainan untuk 2 orang yaitu koalisi I Vs koalisi II. 2.4.2 Bentuk Koalisi Secara umum di dalam permainan berjumlah nol n orang terdapat 2n-1 cara yang mungkin untuk mengelompokkan n orang itu ke dalam 2 kelompok yang saling bersaing. Contoh Permainan yang berjumlah nol dari 4 orang (A,B,C,D). Pada permainan ini ada 8 koalisi yang berbeda, yaitu : Grup I Grup II 1 ABCD φ (*) 2 ABC D 3 ABD C 4 ACD B 5 BCD A 6 AB CD 7 AC BD 8 AD BC (*) tidak digunakan (koalisi φ tidak mempunyai langkah, pengaruh dan keuntungan / kerugian. Contoh 2.12 Diberikan permainan berjumlah nol dari 3 orang (A,B,C) dengan masing-masing pemain mempunyai 2 pilihan strategi. Misalnya : - Pemain A mempunyai 2 strategi : X1, X2 Siana Halim – Teknik Industri – UK. Petra

Teori Permainan 36


- Pemain B mempunyai 2 strategi : Y1, Y2 - Pemain C mempunyai 2 strategi : Z1, Z Ada 3 koalisi yang mungkin, yaitu : Grup I Grup II A BC B AC C AB Dengan matriks pembayaran di bawah ini :

A X1 X1 X1 X1 X2 X2 X2 X2

Strategi B Y1 Y1 Y2 Y2 Y1 Y1 Y2 Y2

C Z1 Z2 Z1 Z2 Z1 Z2 Z1 Z2

A -1 -3 0 3 -2 0 -1 2

Strategi B 1 2 2 -2 0 -1 -2 1

C 0 1 -2 -1 2 1 3 -3

Dengan Metode pada Subbab 2.3 di dapat : ♦ A Vs BC - Strategi optimum untuk A : X* = (1/2 ,1/2) - Strategi optimum untuk BC : Y* =(3/4, ¼ , 0,0) - Nilai permainan V(A) = -3/2 ♦ B Vs AC - Strategi optimum untuk B : X* = (3/4 ,1/4) - Strategi optimum untuk AC : Y* =(0, 0, 1/2, 1/2) - Nilai permainan V(B) = -1/2 ♦ C Vs AB - Strategi optimum untuk C : X* = (2/7 ,5/7) - Strategi optimum untuk AB : Y* =(0, 6/7, 0 , 1/7) Nilai permainan V(C) = -9/7

2.4.3 Imputasi Imputasi adalah suatu distribusi (pembagian) yang mungkin dari pembayaran yang tersedia yang dinyatakan sebagai vektor pembayaran untuk suatu permainan yang memenuhi kriteria Pi adalah suatu besaran pembayaran yang diterima oleh (1) ∑ Pi = 0 i∈I

pemain ke i∈ I = {1,2,…,m} (2) Pi ≥ V({i}) ∀ i ∈ I , dimana V({i}) adalah nilai permaian untuk pemain ke-i


Penelitian Operasional II Contoh 2.13: Dari Contoh 2.12 di dapat V(A) = - 1.5 V(B) = -0.5 V(C) = -1.286

Teori Permainan 37

V(BC) = 1.5 V(AC) = 0.5 V(AB) = 1.286

Imputasi : (PA, PB, PC) (-1.5; 0.5; 1) (0.5;-0.25;0.25) (0.75; 0.25; -1) … dsb Bukan imputasi : - (0.2; - 0.7; 0.5) karena –0.7 < 0.5 - (-2; 1.5; 0.5) karena –2 < 1.5 Terlihat ada banyak kemungkinan imputasi. Mana yang harus dipilih ? ! Kriteria Dominansi : Misal diberikan 2 imputasi berbeda P1 , P2. Imputasi P1 dikatakan mendominasi imputasi P2 untuk suatu koalisi jika : " Pembayaran-pembayaran untuk semua anggota koalisi itu lebih besar untuk P1 daripada untuk P2 " Total pembayaran untuk koalisi itu cukup besar untuk menyediakan pembayaran secara individu yang diberikan oleh P1. Contoh 2.14 : Dari contoh 2.13 : Misal P1 = (-1.5; 0.5; 1) P2 = (0.5;-0.25;0.25) Disini P1 mendominasi P2 untuk koalisi (BC) karena (-1.5; 0.5; 1) > (0.5;-0.25;0.25) > > Tetapi P2 tidak mendominasi P1 untuk koalisi BC karena (0.5;-0.25;0.25) < (-1.5; 0.5; 1) < <


Definisi 2.3 : Jika max min E(X,Y) = min

Recommend Documents