ANALISIS STABILITAS METODE FORWARD TIME-CENTRE SPACE (FTCS) DAN LAX-WENDROFF PADA SIMULASI PENYELESAIAN PERSAMAAN ADVEKSI
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
RATIKA CANDRA 060801040
DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN Judul Kategori Nama NIM Program Studi Departemen Fakultas
: ANALISIS STABILITAS METODE FORWARD TIME-CENTRE SPACE (FTCS) DAN LAX-WENDROFF PADA SIMULASI PENYELESAIAN PERSAMAAN ADVEKSI : SKRIPSI : RATIKA CANDRA : 060801040 : SARJANA (S1) FISIKA : FISIKA : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Diluluskan di Medan, 05 April 2011
Diketahui/disetujui oleh Departemen Fisika FMIPA USU Ketua
Pembimbing
Dr. Marhaposan Situmorang NIP: 195510301980031003
Prof. Dr. Muhammad Zarlis, MSc NIP: 195707011986011003
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
ANALISIS STABILITAS METODE FORWARD TIME-CENTRE SPACE (FTCS) DAN LAX-WENDROFF PADA SIMULASI PENYELESAIAN PERSAMAAN ADVEKSI SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, 05 April 2011
RATIKA CANDRA 060801040
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis persembahkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan kasih sayang serta karunia-Nya kepada penulis hingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Analisis Stabilitas Metode Forward Time – Centre Space (FTCS) dan Lax-Wendroff pada Penyelesaian Persamaan Adveksi” ini dengan baik dan tepat pada waktu yang telah ditetapkan. Shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sebagai suri tauladan terbaik di muka bumi. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada Prof. Dr. Muhammad Zarlis, M.Sc, selaku pembimbing yang telah memberikan panduan, bantuan, serta segenap perhatian dan dorongan kepada penulis dalam menyempurnakan skripsi ini. Ucapan terimakasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Fisika Dr. Marhaposan Situmorang dan Dra. Justinon, M.Si. Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, seluruh staff pengajar, dan seluruh staff pegawai pada departemen Fisika FMIPA USU. Ucapan terimakasih terbesar penulis sampaikan kepada Ibunda tercinta Rasmidawati Nainggolan dan Ayahanda tersayang Syukur atas segala cinta kasih dan do’a yang selalu dihadiahkan kepada penulis tanpa henti, juga tak lupa kepada saudara terbaik penulis Mbak Rima dan Mas Fendi, Tri dan Tiwi yang selalu memotivasi penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Tak lupa pula terimakasih kepada sahabat-sahabat terbaik penulis Tari, Wulan, Vika, Jane, Linda, Muti, Eva, Lia Agustina, Juriah, Isma, Aulia, Mira, Kak Yossi, Kak Ayu, Kak Irma, Kak Putri, Kak Ita, Kak Nurhayati dan semua rekan-rekan fisika angkatan 2006 khususnya teman-teman seperjuangan di Elektronika dan Instrumentasi, abang-kakak senior dan juga adik-adik junior departemen Fisika. Serta kepada sahabat terbaik di UKMI AL-FALAK FMIPA USU yang telah mengajarkan banyak pengalaman berharga kepada penulis. Terimakasih pula kepada seluruh keluarga SDIT Alif dan TKI Al-Anshar yang telah mengisi hari-hari penulis dengan kegembiraaan. Semoga Allah SWT membalas kebaikan kita semua. Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Akhir kata, sesungguhnya Allah Maha Kuasa atas apa yang dikehendaki-Nya.
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Telah dibuat program untuk simulasi persamaan adveksi dengan menggunakan perangkat lunak MATLAB R2009b (versi 7.9.0.529). Simulasi dilakukan dengan dengan metode FTCS dan Lax-Wendroff untuk mengetahui stabilitas metode pada penyelesaian persamaan adveksi yang merupakan persamaan transport polutan pada fluida. Parameter yang terlibat pada simulasi adalah kecepatan aliran (v), panjang daerah tinjauan (L), time step, dan grid. Nilai awal diambil fungsi Gauss dan menggunakan syarat batas periodik. Hasil simulasi berupa plot gelombang amplitudo konsentrasi versus jarak dan waktu. Dari gelombang yang ditampilkan, metode Lax-Wendroff stabil untuk time step maksimum sampai time step yang jauh lebih kecil dari maksimum. Metode FTCS tidak stabil untuk semua time step.
Universitas Sumatera Utara
STABILITY ANALYSIS OF FORWARD TIME-CENTRE SPACE (FTCS) AND LAX-WENDROFF METHOD AT SIMULATION OF ADVECTION EQUATION SOLVING
ABSTRACT
A program for simulation of advection equation solving by using MATLAB R2009b (version 7.9.0.529) was composed. Simulation be done with FTCS and Lax-Wendroff method for known about stability methods at advection equation solving that it was a fluid pollutant transport equation. Parameters that involve were speed of fluid flow (v), domain size (L), time step and grid point. The initial value was Gaussian function and using periodic boundary condition. The result of simulation was plotted in amplitude wave versus position and time. From the plot, shown that Lax-Wendroff method was stable at maximum time step till small time step. FTCS method was not stable for all time step.
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI Halaman Persetujuan Pernyataan Penghargaan Abstrak Abstract Daftar isi Daftar Gambar
ii iii iv v vi vii ix
Bab 1 Pendahuluan 1.1 Latar Belakang 1.2 Tujuan Penelitian 1.3 Batasan Masalah 1.4 Sistematika Penulisan
1 1 2 2 3
Bab 2 Tinjauan Pustaka 2.1 Dasar Persamaan Diferensial 2.2 Persamaan Adveksi 2.3 Metode Analitik dan Numerik 2.4 Metode Beda Hingga 2.4.1 Dasar Metode 2.4.2 Diskritisasi 2.5 Metode FTCS 2.6 Metode Lax-Wendroff 2.6.1 Skema Lax-Friedrichs 2.6.2 Skema Leapfrog 2.6.3 Tahapan Skema Lax-Wendroff 2.7 Konvergensi, Stabilitas dan Konsistensi Skema Beda Hingga 2.7.1 Konvergensi Metode Beda Hingga 2.7.2 Stabilitas Metode Beda Hingga 2.7.3 Konsistensi Metode Beda Hingga 2.8 Syarat Kestabilan von Neumann
5 5 7 11 11 11 15 17 18 19 20 21 22 23 23 24 25
Bab 3 Analisis Masalah dan Perancangan Program 3.1 Analisis Masalah 3.1.1 Nilai Awal dan Syarat Batas 3.1.2 Prosedur Pemecahan dengan Metode Beda Hingga 3.1.2.1 Pemecahan dengan Metode FTCS 28 3.1.2.2 Pemecahan dengan Metode Lax-Wendroff 3.2 Perancangan Diagram Alir (Flowchart) Bab 4 Hasil dan Pembahasan 4.1 Distribusi Konsentrasi dan Stabilitas
26 26 27 28 29 30 34 34
Universitas Sumatera Utara
4.1.2 Stabilitas Metode FTCS 4.1.3 Stabilitas Metode Lax-Wendroff Bab V Kesimpulan dan Saran 5.1 Kesimpulan 5.2 Saran
34 39 45 45 46
Daftar Pustaka Lampiran
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Halaman Gambar 2.1 Gambar 2.2 Gambar 2.3 Gambar 2.4 Gambar 2.5 Gambar 2.6 Gambar 2.7 Gambar 2.8 Gambar 2.9 Gambar 2.10 Gambar 2.11 Gambar 2.12 Gambar 3.1 Gambar 3.2a Gambar 3.2b Gambar 4.1 Gambar 4.2 Gambar 4.3 Gambar 4.4 Gambar 4.5 Gambar 4.6 Gambar 4.7
Simulasi konsentrasi minyak saat surut menuju pasang selama 14400 detik (dt=500 detik, i = 288, Cawal = 4,2135 mg/L, kecepatan v = 0,5155 m/detik. Simulasi konsentrasi minyak saat pasang menuju surut selama 14400 detik (dt=500 detik, i = 288, Cawal = 6,5239 mg/L, kecepatan v = 0,4430 m/detik. Skema maju ruang dengan h=xi+1 – xi dan Δt = tn+1 – tn Kisi beda hingga skema mundur Kisi beda hingga skema tengah-ruang Diskritisasi aliran sungai Kisi beda hingga ruang (x) dan waktu (t) Skema FTCS Skema Lax-Friedrichs Skema Leaprog (loncat katak) Skema Lax-Wendroff Hubungan Konseptual antara konvergensi, stabilitas, dan konsistensi Grid daerah tinjauan Diagram alir penentuan nilai awal dan syarat batas Diagram alir distribusi konsentrasi Bentuk gelombang awal dan akhir distribusi konsentrasi pencemar titik coba 50 dan time step 0.02 dalam 2D dengan metode FTCS Bentuk gelombang awal dan akhir distribusi konsentrasi pencemar titik coba 50 dan time step 0.02 dalam 3D dengan metode FTCS Bentuk gelombang awal dan akhir distribusi konsentrasi pencemar titik coba 50 dan time step 0.002 dalam 2D dengan metode FTCS Bentuk gelombang awal dan akhir distribusi konsentrasi pencemar titik coba 50 dan time step 0.002 dalam 3D dengan metode FTCS Pergerakan gelombang adveksi dengan metode FTCS Bentuk gelombang awal dan akhir distribusi konsentrasi pencemar titik coba 50 dan time step 0.02 dalam 2D dengan metode Lax-Wendroff Bentuk gelombang awal dan akhir distribusi konsentrasi pencemar titik coba 50 dan time step 0.02 dalam 3D
10 10 13 14 14 16 16 17 20 20 21 22 27 30 31 34 34 35 36 39 40 41
Universitas Sumatera Utara
dengan metode Lax-Wendroff Bentuk gelombang awal dan akhir distribusi konsentrasi pencemar titik coba 50 dan time step 0.005 dalam 2D dengan metode Lax-Wendroff Gambar 4.9 Bentuk gelombang awal dan akhir distribusi konsentrasi pencemar titik coba 50 dan time step 0.005 dalam 2D dengan metode Lax-Wendroff Gambar 4.10 Pergerakan gelombang persamaan adveksi dengan metode Lax-Wendroff Gambar 4.8
42 42 43
Universitas Sumatera Utara
