A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról – 1. rész Bevezetés Az idő múlik, a kívánalmak és a lehetőségek változnak. Tegnap még logarléccel számoltunk, ma már elektronikus számoló - és számítógéppel. Sok teendőnk mellett folyamatosan követni kell(ene) a haladást, még ha némi késéssel is. Ehhez, persze, jó állapotú és hozzáférhető szakirodalom szükséges. Szétnézve az interneten – a címbeli témában is – elég sok leíró jellegű segédanyagot találtunk, melyek azonban nem ritkán mellőzik a számításokat, legfeljebb csak a végeredményeket adják meg. Ez a helyzet [ 1 ] - nél is, ahol mérnöki kézikönyvből vett képleteket közölnek, azok levezetése nélkül. Ilyenkor könnyű téveszteni, akár csak sajtóhibák miatt is. Továbbá a számító gépi programok alkalmazásával mintegy kiment a divatból az elvégzendő számítások részletes ismertetése. Az pedig már a vég kezdete, amikor azt mondják / gondolják, hogy ezt mindenki úgyis ismeri. De durva…! Na, ez a helyzet a torokgerendás / fogópáros tetőszerkezetek statikai számításaival is. Persze, van magyar nyelvű szakirodalom, többféle is. Az ismert [ 2 ] - ben mintapéldán keresztül mutatják meg a teendőket, az akkori idők kívánalmainak megfelelően. Minthogy ez egy igen régi munka, azóta többszöri szakmai irányváltás is történhetett. Hogy ez követhető legyen, ahhoz szakirodalom is kell – már másodszor hozom ezt elő. Nagyon vártuk [ 3 ] - at, de ebben is éppen csak említést tesznek a hagyományos fedél székek méretezéséről, majd a szakirodalomra utalnak. Ez azonban akkor is eléggé nehe zen volt elérhető, így ott voltunk és vagyunk, ahol a part szakad. Nem sokkal jobb a helyzet a mai, korszerűnek mondott szakkönyvek esetében sem. Egy példa: [ 4 ] - ben a torokgerendás fedélhez nem adnak meg képleteket; amihez ad nak, annál is egy szinte hozzáférhetetlen bécsi diplomamunkára hivatkoznak. Hát szabad ilyet tenni? De jöjjön már a felmentő sereg! Nahát, hogy ez egy ősz szakállas könyv alakját öltötte fel – [ 5 ]! Elképesztő, hogy egy 62 évvel ezelőtt kiadott, ma már antikváriumban is csak ritkán fel lelhető munkáról van szó. Nem győzöm hangsúlyozni, hogy azóta nálunk szinte semmi nem változott, a mondott értelemben. Ez lenne a haladás és a szakmai fejlődés…? Persze – szinte hallom azokat, akiknek ez inge – , hogy ez már másik világ, másfajta követelményekkel, bla - bla. De akkor miért nincsenek meg már régen a rendes szak könyvek? Generációk jöttek és mentek korszerű, szakszerű, érthető, tanulható, elérhető, magyar nyelvű faszerkezetes szakirodalom nélkül. Miért beszélek erről ennyit? Mert akárhányszor egy kicsit is „spéci” anyag után kutakodom, mindig ugyanaz van: ez! Szóval: ha a torokgerendás / fogópáros fedélszék statikai kérdéseiben ma itt el kívánunk mélyedni, akkor tanácsos az [ 5 ] munkát alaposabban tanulmányozni. Igaz, megkísérel hetjük levezetni saját képleteinket. Ez azonban nélkülözni fogja az értő szakmai közön ség kontrollját és jóváhagyását; ami ugyan oly gyakran nem tántorít el minket, de még sem igazán szerencsés. Így aztán olyat teszünk, ami talán furcsának tűnhet: elővesszük és közzétesszük a nehezen hozzáférhető, viszont elég jól érthető [ 5 ] - beli tudásanyagot. Azoknak, akik szeretnének elmélyedni a szerkezet vizsgálatának részleteiben, gyalog is.
2 Tárgyalás Az 1. és a 2. ábrán a torokgerendás tető szemlélhető.
Részei: 1 Ellenléc 2 Alátéthéjazat (alátétfólia) 3 Ereszdeszkázat szellőző nyílásokkal 4 Talpszelemen 5 Talpszelement lekötő csavar 6 Szarufa 7 Torokgerenda 8 Taréjszelemen 9 Kakasüllő 10 Padlásfödém 11 Ereszcsatorna
1. ábra – forrása: http://baubid.hu/baubid/portal/iodisp?nev=a_teto_a_haz_koronaja
2. ábra – forrása: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/c/c7/Kehlbalkendach.jpg Itt nincs minden szerkezeti elem feltüntetve, csak a kötőgerendás megoldást mutatja.
3
3. ábra – forrása: http://www.s-jarosch.de/media/Dachtragwerke.pdf
4. ábra – forrása: http://www.s-jarosch.de/media/Dachtragwerke.pdf A 3. ábrán egy üres szarufafedél és hosszirányú merevítése látható. A 4. ábrán egy to rokgerendás tetőszerkezet merevítése látható, a szokásos – a 3. ábrán is feltüntetett – vihardeszkázat ábrázolása nélkül. A torokgerendák síkjában kialakított andráskereszt merevítés jelentősen csökkenti a torokgerendák külső terhek hatására történő elmozdu lását, miáltal a torokgerendák a szarufákat közel fixen támasztják meg. Az andrásolás ( Kehlverband ) helyett síkjában viszonylag merev falemezzel – tárcsával – való borítás, illetve erősítés ( Kehlscheibe ) is szóba jöhet, mint korszerű szerkezeti megoldás.
4 Ezeket szemlélteti az 5. ábra is.
5. ábra – forrása: http://www.holzbau.tu-darmstadt.de/Lehre/vertieferfach/tragwerke-der-hausdaecherb1.pdf Látjuk, hogy ezek a megoldások arra irányulnak, hogy a szerkezet általános merevségét növeljék, amivel egyúttal az erőtani modellezést és - számítást is megkönnyítik. Kétségtelen, hogy ha jogos a torokgerenda mint fix támasz feltevése, akkor a szarufa méretezése fix támaszokon nyugvó folytatólagos tartóként jóval egyszerűbb lehet. A ha zai gyakorlatban nem nagyon látni e megoldásokat, így akár a régi tetők felújítása, akár újak építése során is leginkább a hagyományos, azaz elmozduló torokgerendás szerkezet sajátosságaira kell figyelnünk. Ennek közelítő vizsgálata [ 5 ] szerint az alábbi. Az általában egyforma torokgerendás szaruállások úgy tekinthetők, mint egy három csuklós tartó, melyet a torokgerenda merevít. Mivel a háromcsuklós tartó külsőleg és belsőleg is statikailag határozott, a torokgerendával történő kimerevítés hatására belső leg egyszeresen határozatlanná válik. A statikailag határozatlan mennyiségnek a torok gerendában működő X rúderő - nagyságot választjuk. A tárgyalás alapjául az általános vonalozású alakot vesszük, mert a gyakorlatban ez is előfordulhat – 6./ d ábra. Megjegyezzük, hogy az alábbiakban a torokgerendában működő rúderő X értékére levezetendő eredmények minden esetben csakis a bal oldali terhelésből származó rúderőt adják. Eszerint: ha a szerkezet jobb oldala is terhelve van, akkor az ebből származó rúd erőt a bal oldali terhelésből származó rúderővel algebrailag összegezni kell. A folytatólagos szarufák alsó részei és a torokgerenda egy négycsuklós rúdláncot képez nek – 7. ábra. Itt csak a szarufák tengelyére merőleges elmozdulásokkal foglalkozunk, ezért a 4 és 5 csuklók elmozdulására merőleges egyenesek metszéspontja – a pólus – a 2 csuklópontban van.
5
6. ábra – forrása: [ 5 ]
7. ábra A 7. ábra alapján:
f1 a 2 , f 2 b2 ;
(1)
6 innen:
f1 a 2 . f2 b2
(2)
Az erősen nagyított 7. ábrán a bal oldali terhekből származó bal oldali behajlást pozitív, a jobb oldali felhajlást negatív előjellel vettük számításba. Minthogy a szerkezet belsőleg egyszeresen határozatlan, a X rúderő - nagyság megha tározására további feltételi egyenleteket kell felírni; az ( 1 ) egyenlet már az egyik ilyen. Ezek az alakváltozásokkal kapcsolatosak. Ha X már ismert, akkor a további számítás úgy folytatódik, mintha a statikailag határozott háromcsuklós tartót a többi külső erő mellett még az X erők is terhelnék. Az fi behajlások meghatározásához szükségünk lesz az adott terheléshez tartozó rugal mas vonal egyenletére. Ezt a Szilárdságtan tankönyveiből vehetjük ki – ld. pl.: [ 6 ]! A ) terhelési eset: a P erő az 12 rúd alsó darabját terheli: a2 < x2 – 6. / a ábra. Ehhez tekintsük a 8. ábrát is! Itt az [ 5 ] és [ 6 ] szerinti jelöléseket alkalmaztuk, hogy a [ 6 ] - ban levezetett egyenlet - alakból előálljon az [ 5 ] szerinti. [ 6 ] szerint
[ 5 ] szerint
8. ábra Kiindulunk a behajlásra felírt [ 6 ] szerinti egyenlet - alakból:
F a x l 2 a 2 x 2 6 E I l 0 xb . y(x)
,
(3)
7 A behajlás az x = x* helyen, ahol y( x* ) = y*:
y*
F a x * 2 l a 2 x *2 . 6 E I l
(4)
Most elvégezzük az alábbi betűcseréket:
F P , a x1 , x* a 2 , l a , y* f10 .
(5)
Majd ( 4 ) és ( 5 ) szerint:
f10
P x1 a 2 a 2 x 12 a 2 2 . 6 E I a
(6)
Ezután azonos átalakítással:
a 2 x12 a x1 a x1 ;
(7)
figyelembe véve, hogy
x 2 a x1 ,
(8)
( 7 ) és ( 8 ) - cal:
a 2 x12 x 2 a x1 ;
(9)
most ( 6 ) és ( 9 ) - cel:
f10
P a 2 x1 x 2 a x1 a 2 2 . 6 E I a
( 10 )
A ( 10 ) képlet adja az 12 rúd behajlását a kötőgerenda becsatlakozási keresztmetszeté ben, a P erő hatására. Ez megegyezik az [ 5 ] - ben – levezetés nélkül közölt – megfelelő képlettel. ( A nyomtatásban közölt képletek ellenőrizendők. Van olyan, hogy sajtóhiba. ) Most tekintsük a 9. ábrát! Itt azt az esetet vettük, hogy a torokgerendában X = 1 nagysá – gú húzóerő működik. Ekkor a szarufákat a 4 és 5 csuklókon keresztül 1 sin és 1 sin nagyságú erők hajlítják, és az általuk előidézett behajlás nagysága f ’1 és f ’2. Most állapítsuk meg ezek nagyságát! Ez a ( 10 ) képlet kis átalakításával történhet. Ekkor az ábrák szerint:
P '1 1 sin , P '2 1 sin ; x1 a 1 , x 2 a 2 ,
( 11 )
8
9. ábra Most ( 10 ) és ( 11 ) szerint:
f '1
P '1 a 2 a1 1 sin a 2 a1 a 2 a a1 a 2 2 a 2 a a1 a 2 2 ; 6 E I a 6 E I a
( 12 )
most átalakításokkal:
a 2 a a1 a 2 2 a 2 a a 2 a1 a 2 2 a 2 a a 2 a1 a 2 a 2 a1 a1 a1 2 a1 a 2 , tehát:
a 2 a a1 a 2 2 2 a1 a 2 .
( 13 )
Majd ( 12 ) és ( 13 ) - mal:
1 sin a 2 a1 1 sin a12 a 2 2 f '1 2 a1 a 2 , 6 E I a 3 E I a tehát:
1 sin a12 a 2 2 f '1 . 3 E I a Most index és betűcserével, ( 14 ) - ből:
( 14 )
9
1 sin b12 b2 2 f '2 . 3 E I b
( 15 )
A 4 és 5 pontok tényleges behajlása a P erő és az X rúderő hatására:
f1 f10 X f '1 ,
( 16 )
és
f 2 X f '2 .
( 17 )
Most ( 10 ), ( 14 ), ( 16 ) - tal:
P a 2 x1 X sin a12 a 2 2 2 f1 x 2 a x1 a 2 , 6 E I a 3 E I a
( 18 )
majd ( 15 ) és ( 17 ) - tel:
X sin b12 b 2 2 f2 . 3 E I b
( 19 )
Ezután ( 2 ), ( 18 ) és ( 19 ) - cel:
P a 2 x1 X sin a12 a 2 2 2 x 2 a x1 a 2 a 6 E I a 3 E I a 2 ; 2 2 X sin b1 b 2 b2 3 E I b a rendezést részletezve:
P a 2 x1 X sin a12 a 22 a 2 X sin b12 b 2 2 2 x 2 a x1 a 2 ; 6 E I a 3 E I a b2 3 E I b P a 2 x1 sin a12 a 2 2 sin a 2 b 2 b12 2 x 2 a x1 a 2 X X ; 6 E I a 3 E I a 3 E I b P a 2 x1 X sin a12 a 2 2 sin a 2 b 2 b12 2 ; x 2 a x1 a 2 6 E I a 3 E I a b sin a12 a 2 2 sin a 2 b 2 b12 P a 2 x1 2 ; x 2 a x1 a 2 2 X a a b
P a 2 b x1 x 2 a x1 a 22 2 X sin b a12 a 2 2 sin a a 2 b 2 b12 ; P b x1 x 2 a x1 a 2 2 2 X sin b a12 a 2 sin a b 2 b12 ;
10 folytatva:
b x 1 a x 2 x 1 x 2 a 2 2 P X P , 2 a12 a 2 b sin b12 b 2 a sin 2 a12 a 2 b sin b12 b2 a sin b x1 x 2 a x1 a 2 2
tehát:
b x1 a x 2 x 1 x 2 a 2 2 P XA 2 . 2 2 a1 a 2 b sin b1 b 2 a sin
( 20 )
A ( 20 ) képlet adja meg az általános vonalozású kimerevített háromcsuklós tartó mere vítő rúdjában működő X rúderő nagyságát, az A ) terhelési esetre. Most nézzünk néhány speciális esetet! A / S1.) A torokgerenda párhuzamos a kötőgerendával – 10. ábra
10. ábra Ekkor:
a2 a a a 2 b2 . b2 b b
( 21 )
11
X A1 X A
a 2 b2
a b
b x1 a x 2 x1 x 2 a 2 2 P 2 2 a1 a 2 b sin b12 b 2 a sin
a 2 b 2
a b
b x1 a x 2 x 1 x 2 a 2 2 b x1 a x 2 x1 x 2 a 2 2 P P 2 a 2 b a b sin b 2 b a sin 2 a12 b 2 a sin b12 b 2 a sin 1 2 1 2 b 2 P b x1 a x 2 x 1 x 2 a 2 , 2 a b 2 a12 sin b12 sin 2 P b x 1 a x 2 x 1 x 2 a 2 X A1 . 2 a b 2 a12 sin b12 sin
( 22 )
A / S2.) A torokgerenda párhuzamos a kötőgerendával és a magasság felében van – 11. ábra
11. ábra Ekkor:
a , 2 b . b1 b 2 , 2 h a sin b sin a1 a 2
Most ( 20 ) és ( 23 ) - mal:
( 23 )
12
X A2 X A
a , 2 b b1 b2 , 2 h asin bsin
a1 a 2
b x1 a x 2 x1 x 2 a 2 2 P 2 2 a1 a 2 b sin b12 b 2 a sin
a , 2 b b1 b2 , 2 h asin bsin
a1 a 2
a2 a2 b x1 a x 2 x1 x 2 x1 a x 2 x1 x 2 4 4 P 2 4 P b2 b 2 a a a 2 a sin b 2 a sin b sin a sin 4 2 4 2 a 2 a 2 x1 a x 2 x1 x 2 x1 a x 2 x1 x 2 4 4 4 P 4 P 2 a a sin a b b sin a a a sin b b sin a 2 a 2 x1 a x 2 x1 x 2 x1 a x 2 x1 x 2 4 4 P 4 4 P a a h bh a a b h
4 P
a 2 x1 a x 2 x1 x 2 4 a h a b
,
tehát:
XA 2 4 P
a 2 x1 a x 2 x1 x 2 4 a h a b
.
( 24 )
A / S3.) A tető szimmetrikus és a torokgerenda párhuzamos a kötőgerendával – 12. ábra Ekkor:
, a b , a1 b1 , a 2 b2 .
( 25 )
13
12. ábra Most ( 20 ), ( 23 / 3 ), ( 25 ) szerint:
X A3 X A
, a b , a1 b1 , a 2 b2
b x 1 a x 2 x1 x 2 a 2 2 P 2 2 a1 a 2 b sin b12 b 2 a sin
, a b , a1 b1 , a 2 b2
2 a x 1 a x 2 x 1 x 2 a 2 2 P P x 1 a x 2 x 1 x 2 a 2 2 2 a1 a 2 a sin a12 a 2 a sin 2 a12 a 2 sin a12 a 2 sin 2 2 P x1 a x 2 x 1 x 2 a 2 P x 1 a x 2 x 1 x 2 a 2 2 2 a12 a 2 sin 4 a12 a 2 sin 2 P a x1 a x 2 x1 x 2 a 2 , 4 h a 12 a 2
tehát: 2 P a x1 a x 2 x1 x 2 a 2 X A3 . 2 4 h a1 a 2
( 26 )
14 A / S4.) A tető szimmetrikus, a torokgerenda párhuzamos a kötőgerendával és a magasság felezőjében van – 13. ábra
13. ábra Ekkor fennáll, hogy
, a b , a b b1 = 2 2 a b a 2 b2 = 2 2 a1
, .
( 27 )
Most ( 20 ) és ( 27 ) - tel:
a 2 a 2 a x1 a x 2 x1 x 2 a x1 a x 2 x1 x 2 4 4 P X A4 X A , 2P a2 a 2 a 2 a a sin a b , 2 a sin a b a1 b1 = , 4 2 2 2 a b a 2 b 2 = 2 2
2P tehát:
a 2 x1 a x 2 x1 x 2 4 a 2 a sin
2P
a 2 x1 a x 2 x1 x 2 4 h a2
,
15
X A4 2 P
a 2 x1 a x 2 x1 x 2 4 ha2
.
( 30 )
A / S5.) A tető szimmetrikus, a torokgerenda párhuzamos a kötőgerendával és a magasság felezőjében van, a P erő pedig éppen a torokgerenda végén terhel – 14. ábra
14. ábra Ekkor:
, a b , a b a1 b1 = , 2 2 a b a 2 b 2 = , 2 2 a x1 x 2 . 2 Most ( 20 ) és ( 31 ) - gyel:
( 31 )
16
X A5 X A
, a b , a b a1 b1 = , 2 2 a b a 2 b2 = , 2 2 a x1 x 2 2
2P
a 2 x1 a x 2 x1 x 2 4 h a2
x1 x 2
a 2
a a a a a 2 a a a a 2 2 2 2 4 P a P 2P 2P 2 22 , 2 ha h a 2 h 2 sin tehát:
X A5
P . 2 sin
( 32 )
A ( 32 ) képlet értelmezéséhez tekintsük a 15. ábrát is!
15. ábra A ( 32 ) képlet azt jelenti, hogy ekkor a torokgerenda rúderőjének a szarufára merőleges komponense egyenlő a szelemenre ható erő felével. A 15. ábra kapcsán jól elmagyaráz ható a torokgerenda szerepe: együttdolgoztatja a szarufákat, azáltal, hogy a terhelt szarufa terhének egy részét – itt: a felét – áthárítja a terheletlen szarufára.
17 Ha pedig a szarufára merőleges P erő helyett egy függőleges P’ erő működik, akkor ennek a tetőre merőleges P P' cos ( 33 ) komponense hatására ( 32 ) így alakul:
X A5
P' cos P' . 2 sin 2 tg
( 34 )
Az utóbbi eset azért is érdekelhet bennünket, mert szelemenes tetőnél a torokgerendát, illetve a fogópárt célszerű a magasság felében elhelyezni, a középszelement ( Mittel pfette ) pedig a torokgerenda / fogópár ( Zange ) végére helyezzük – 16. ábra.
16. ábra Bár a dolgozat címében csak torokgerendás tetőkről van szó, látjuk, hogy az összetettebb szelemenes tetőknél is hasznát vehetjük az itt talált némely összefüggésnek. Ezzel végeztünk az A ) terhelési eset bemutatásával. További terhelési eseteket a 2. részben vizsgálunk, szintén [ 5 ] alapján.
18 Megjegyzések: M1. A 4. és 5. ábrán szemléltetett merevítési megoldások nem új keletűek: a már 6 - 7 évtizede forgalomban lévő [ 7 ] munka is tárgyalja ezeket. M2. Különös, de az itteni – a torokgerendában általában ébredő erőre vonatkozó – leve zetések nem szerepelnek [ 7 ] - ben. M3. A torokgerenda / fogópár rúderőjére korlátozás, hogy nagysága legyen kisebb a rúdra megengedett nyomóerőnél, tekintettel a kihajlásra, illetve a nyomás + hajlításra is. M4. A számítások során feltettük, hogy a normálerők és a nyíróerők okozta alakváltozá sok elhanyagolhatóan kicsinyek a hajlításból származóakhoz képest. M5. A ( 20 ) képletre vezető számítás során feltettük, hogy a két szarufa egyforma anya gú és keresztmetszetű. M6. Az ( 1 ) képletet úgy is értelmezhetjük, hogy a torokgerenda t hossza állandó. E kijelentés belátásához tekintsük az alábbi 7. / 1 ábrát is!
7. / 1 ábra Az f1 elmozdulás rúdirányú összetevője:
f1,r f1 cos 90 f1 sin ;
(a)
majd ( 1 / 1 ) - gyel is:
f1,r a 2 sin ;
(b)
19 hasonlóan az f2 elmozdulás rúdirányú összetevője:
f 2,r f 2 cos 90 f 2 sin ;
(c)
majd ( 1 / 2 ) - vel is, az előjeltől eltekintve:
f 2,r b 2 sin .
(d)
Ha fennáll az
f1,r f 2,r
(e) összefüggés, az azt jelenti, hogy a 45 rúd elejének és végének rúdirányú elmozdulása ugyanaz, vagyis a torokgerenda elmozdulása merevtestszerű. Valóban: a rúd igen kis elmozdulású síkmozgását felfoghatjuk egy f r m nagyságú rúdtengely - irányú haladó, valamint egy szögelfordulású forgó mozgás kombinációjának – 7. / 2 ábra.
7. / 2 ábra Ezt könnyű áttekinteni, ha pl. úgy képzeljük, hogy a rúd a T talppontban mereven hozzá lett erősítve a rúdra merőleges 2T karhoz, majd azt δφ - vel elforgatjuk a 2 pólus körül. Ennek során a T pont fr elmozdulással T’- be kerül, a 4’5’ rúd pedig T’ körül elfordul δφ szöggel. Ekkor természetesen a rúd megnyúlása zérus. Ha ( e ) fennáll, akkor ( b ) és ( d ) miatt fennáll az is, hogy
a 2 sin b 2 sin , azaz
a 2 sin b 2 sin .
(f)
De ( f ) valóban fennáll, mert a ( 7 / 1 ) ábra szerint
m a 2 sin b 2 sin .
(g)
20 Most már mondhatjuk – visszafelé haladva – , hogy ( g ) miatt igaz ( e ), emiatt pedig fennáll, hogy t konst . (h) Minthogy az egész vizsgálat során eltekintünk a rúdtengely - irányú deformációktól, ezért a ( h ) feltételnek teljesülnie kell. Mivel a 7. ábra szerinti modell ezt teljesíti, így annak választása megengedett e közelítő számítás során. Ezzel megválaszoltuk azt az eddig ki nem mondott kérdést is, hogy vajon jogos - e az X - re vonatkozó, az ( 1 ) kép leten alapuló számítás. A 7. / 1 , 7. / 2 ábrával kapcsolatban mondottakra nézve ld. a [ 8 ] művet is!
Irodalom: [1]– http://www.epito.bme.hu/hsz/oktatas/feltoltesek/BMEEOHSAT19/ffk_fedelszek_bsc_ja v.pdf [ 2 ] – Hilvert Elek: Faszerkezetek Tankönyvkiadó, Budapest, 1956. [ 3 ] – Rónai Ferenc ~ Somfalvi György: Fa tartószerkezetek Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1982. [ 4 ] – Anton Pech ~ Karlheinz Hollinsky: Dachstühle Springer Verlag, Wien - New York, 2005. [ 5 ] – Szerk.: Palotás László: A fa mint építőanyag Benne: Tobiás László: Faszerkezetek a magasépítésben A Budapesti Építőmesterek Ipartestülete, Budapest, 1949. [ 6 ] – Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981. [ 7 ] – Anton Gattnar ~ Franz Trysna: Hölzerne Dach - und Hallenbauten ( korábban: Gesteschi, Hölzerne Dachkonstruktionen ) 6. Auflage, Verlag von Wilhelm Ernst und Sohn, Berlin, 1954. [ 8 ] – Muttnyánszky Ádám: Kinematika és kinetika 5. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1966. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2011. augusztus 18.
