A SMITH-PREDIKTOR ALKALMAZÁSA

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR MŰSZAKI MECHANIKAI TANSZÉK

A SMITH-PREDIKTOR ALKALMAZÁSA DINAMIKAI RENDSZEREKRE IDŐ- ÉS FREKVENCIATARTOMÁNYBAN

Készítette: Hajdu Dávid 2012

Konzulens:

Dr. Insperger Tamás, egyetemi docens Műszaki Mechanikai Tanszék

NYILATKOZAT

Alulírott, Hajdu Dávid, a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem hallgatója kijelentem, hogy ezt a szakdolgozatot meg nem engedett segítség nélkül, saját magam készítettem és a szakdolgozatban csak a megadott forrásokat használtam fel. Minden olyan részt, amelyet szó szerint, vagy azonos értelemben, de átfogalmazva más forrásból átvettem, egyértelműen a forrás megadásával jelöltem.

............................................... Hajdu Dávid

TARTALOMJEGYZÉK

1. BEVEZETŐ

1

2. MATEMATIKAI HÁTTÉR

3

2.1.

INGA ÉS INVERZ INGA ........................................................................ 3

2.2.

IDEÁLIS INGA ÉS INVERZ INGA STABILITÁSA ...................................... 7

2.3.

HAYES-EGYENLET ............................................................................. 8

2.4.

INSTABIL GYÖKÖK ...........................................................................10

2.5.

KÉSLELTETETT OSZCILLÁTOR EGYENLETE ......................................11

2.6.

SZABÁLYOZÁS KÉSLELTETETT VISSZACSATOLÁSSAL ........................14

2.7.

LINEÁRIS KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLET ............................16

3. SMITH-PREDIKTOR

18

3.1.

A HAGYOMÁNYOS SMITH-PREDIKTOR ..............................................18

3.2.

AZ ÁTVITELI FÜGGVÉNY MEGHATÁROZÁSA .....................................20

3.3.

ELSŐRENDŰ RENDSZER ....................................................................23

3.4.

MÁSODRENDŰ RENDSZER .................................................................25

3.5.

ÁLLAPOTTÉR MODELL .....................................................................30

3.6.

SZABÁLYOZÓERŐ IDŐFÜGGVÉNYE ...................................................33

3.7.

SZABÁLYOZÓERŐ DISZKRETIZÁLÁSA ................................................35

3.8.

MOZGÁSEGYENLET AZ ÁTVITELI FÜGGVÉNYBŐL ÉS ÁTM-BŐL ........40

3.9.

STABILITÁSVIZSGÁLAT A DISZKRETIZÁLT MOZGÁSEGYENLETTEL ....42

4. ÖSSZEFOGLALÁS

49

4.1.

ÖSSZEFOGLALÁS ..............................................................................49

4.2.

SUMMARY ........................................................................................50

5. FÜGGELÉK A.

I

ROUTH-HURWITZ KRITÉRIUM ............................................................ I

6. IRODALOMJEGYZÉK

III

1. BEVEZETŐ A XX. században bekövetkezett technológiai robbanás az élet minden területét befolyásolta. A technológia fejlődésével az elektromos rendszerek beszivárogtak a hétköznapjaink minden területére, mára nemcsak az iparnak, hanem a háztartásunknak is szinte minden egyes terméke tartalmaz valamilyen integrált elektronikát. Ez meghatározza a működésüket, mindemellett automatikussá, megbízhatóbbá, gyorsabbá váltak. Az 1940-es években fejlődésnek indult irányításelmélet is drasztikusan megváltozott napjainkra. Korábban a robosztus, stabil rendszerek domináltak, de mára az instabil rendszerek szabályozása okoz nagyobb kihívást. Ennek oka, hogy az instabil rendszerek csak szabályozással stabilizálhatók, ugyanakkor sokkal gyorsabban, kisebb energia-befektetéssel képesek reagálni. Vegyük például az embert. Amikor fekszünk, felállunk, hosszú idő kell, mire ki tudunk egyenesedni és elindulni, azonban már álló helyzetből sokkal gyorsabban tudunk pozíciót változtatni. Azonban ez a pozíció egy instabil helyzet, csak folyamatos egyensúlyozással vagyunk képesek tartani magunkat, érzékszerveink nélkül egy helyben állni sem tudnánk. Ez igaz más dinamikai rendszerekre is, például vadászgépekre, a hadipar egyéb találmányaira, robotokra. Éppen ezért mára a fejlődés irányát az instabil rendszerek szabályozása határozza meg [1]. Modellalkotás során bizonyos jelenségeket és paramétereket elhanyagolunk, és ideális esetekkel foglalkozunk. De ezek gyakran nem írják le megfelelően a valóságot és nem elegendőek. Ennek következményeként a modelleket lépésenként bonyolítjuk, kiegészítjük újabb jelenségekkel, hogy megfelelően pontos eredményt kapjunk. Mikor egy szabályozókört tervezünk nem elegendő a szabályozandó rendszert ismerni, hanem a teljes szabályozókör elemeinek paramétereivel is tisztában kell lennünk. Egy gyakran elhanyagolt jelenség az időkésés, amely nemcsak ipari folyamatokban, de gazdasági és biológiai rendszerekben is meghatározó lehet [2]. A rendszerek helyzeteinek mérésére szenzorokat használunk, ezek azonban a legkevésbé sem ideálisak, nemlinearitásokkal és legtöbbször időkésésekkel terheltek. Az időkésés oka pedig lehet a véges információterjedési sebesség, illetve a digitális rendszerekben a mintavételezés. Az emberi szervezet is hasonló, hiszen a szenzorjaink az érzékszerveink, amelyek reflexkésése gyakran problémát okoz. Az időkésés így a dinamikai rendszerek szabályozótervezését is befolyásolja, ugyanis az instabillá teheti azokat. Célunk, hogy az időkésés ellenére egy stabilan működő, adott feladat számára optimális dinamikai tulajdonságokkal rendelkező rendszert hozzunk létre. A

dinamikai

rendszereink

működését

(így

a

szabályozott

rendszerekét

is)

differenciálegyenletek írják le, amelyeket késleltetett tagok terhelnek. Az első ilyen matematikai modelleket is már 1940-ben megalkották, bár azóta igencsak sokat fejlődtek. Az első olyan szabályozási struktúrát, amely a késleltetett rendszereket hivatott stabilizálni, 1

O.J.M. Smith mutatta be 1957-ben (lsd. 3.1 alfejezet) [3]. Feltalálója után ez a szabályozó Smith-prediktor néven terjedt el, röviden SP. Szokás még Smith holtidős kompenzátornak is nevezni (Smith dead-time compensator, DTC). Ennek a struktúrának az elmúlt néhány évtizedben meghatározó szerepe volt az időkéséssel terhelt rendszerek problémáinak megoldásában. Valójában ez az elmélet adott kezdeti lökést a tervezésnek, és az ún. módosított Smith-prediktorok megalkotásának, amelyek szélesebb körben alkalmazottak, mint elődjük. Éppen ezért ma napig gyakran vizsgált téma az eredeti Smith-prediktor működése is, hiszen ennek ismeretében könnyebben érthetjük meg a modernebb szabályozók működését és kereshetünk megoldást a felmerülő problémákra. Addig nem érthetjük meg az emberi idegrendszer szabályozó mechanizmusát sem, amíg ezeket az egyszerű, idealizált modelleket nem tudjuk matematikailag megfelelően kezelni és tárgyalni. A további felfedezésekhez az alapok biztos és pontos ismeretére van szükség. A SP mellett egy sokat vizsgált szabályozótípus az ún. FSA szabályozó (FiniteSpectrum Assignment), amely hasonlóan időkésleltetett rendszerekre tervezett kontroller. Az eredeti

SP

csak

stabil

rendszerekre

alkalmazható,

módosított

változatai

instabil

szabályozandó szakaszokra is kiterjednek. A legtöbb szakirodalomban a két kontroller különkülön taglalt téma, gyakran semmi párhuzamot nem vonnak közöttük. Valójában azonban az FSA szabályozó és a módosított Smith-prediktor (generalized SP) struktúrája megfeleltethető egymásnak. A kettő közötti ekvivalens működést a [4]-as irodalom bizonyítja be, a kettő rendszer obszerver-prediktor blokkdiagramja ugyanis ekvivalens egymással. A következőkben az eredeti Smith-prediktort vizsgáljuk. A 2-es fejezet a késleltetett differenciálegyenletek stabilitásvizsgálatának egy módszerét ismerteti, a prediktor működését pedig részletesebben a 3-as fejezet. A megismert matematikai módszereket alkalmazzuk a SP esetén is, miközben célunk a stabilitás meghatározása nemideális esetben. A dolgozatban részletesebben tárgyaljuk az analitikus és semi-diszkretizációs módszer eredményeinek összehasonlítását [5].

2

2. MATEMATIKAI HÁTTÉR A jelent fejezetben bemutatásra kerülnek a különféle késleltetett differenciálegyenletek, azok megoldásának és stabilitásvizsgálatának módszerei. Az időkéséssel rendelkező szabályozókörök egyenleteit is késleltetett differenciálegyenletekkel írhatjuk le, ezért első lépésben ezeket mutatjuk be. A feladatok könnyebb érthetősége és kezelhetősége végett egy egyszerű mechanikai példával kezdődik a fejezet, amelyet demonstrációs célra használunk. Ez a mechanikai modell egy inga illetve inverz inga. Segítségével könnyebben tudjuk értelmezni majd az ideális és késleltetett esetek közötti eltéréseket és a stabilitás kérdését is.

2.1. INGA ÉS INVERZ INGA A stabilitás vizsgálatához a kiinduló modell egy inga lesz. Ehhez meghatározzuk az inga mozgásegyenletét, hogy annak a stabilitását megvizsgálhassuk (2-1. ábra). Az ingát felfordítva inverz ingát kapunk, aminek a mozgásegyenlete hasonló az ingáéhoz, levezetése megegyezik vele, de paraméterét tekintve egyetlen előjellel eltér. Éppen ezért nem szükséges a két modellhez két levezetést készíteni, csak a két paraméter közötti kapcsolatot megállapítani.

2-1. ábra: Inga (bal) és inverz inga (jobb) sematikus ábrája A mozgásegyenlet felírásához a Lagrange-egyenletet használhatjuk, amelynek általános alakja a (2.1.)-es egyenlet alapján írható fel [1]. Mivel a szabályozáshoz szükséges egy beavatkozó erő, hogy a mechanikai rendszer stabil maradjon, ezért egy motor segítségével hozzuk létre a szabályozó

erőt. Ez lesz az általános erő, ami az egyenletben is szerepel.

3

−

+

+

=

∗

(2.1.)

A Lagrange-egyenlethez szükség van a kinetikus energia ( ), a disszipációs energia ( ) és a helyzeti energia (

) függvényeire, továbbá a mozgásegyenlethez a

általános

koordinátát is ki kell jelölnünk. Utóbbi jelen esetben egy két szabadságfokot tartalmazó koordinátavektor, a (2.2.)-es összefüggéssel megadva. =

(2.2.)

Mivel jelen esetben a viszkózus és a Coulomb-súrlódástól eltekintünk, ezért a (2.1.)-es egyenletben a

disszipációs függvénytől eltekinthetünk. A többi egyenletet a súlypontra

felírva kell meghatároznunk, amelynek a pillanatnyi sebessége a koordináták ismeretében a következők szerint adható meg: =

+

=

+ 2

0

2

∙ ' & &= ∙ & %

∙ cos ∙ sin

+ 2

2

∙ cos

∙ sin

∙ ' & & & ∙ %

(2.3.)

Az energiafüggvényekbe a súlypont sebességét helyettesítve a kinetikus energiára a (2.4.)-es, a helyzeti energiára pedig a (2.5.)-ös összefüggés adódik. =

1 1 ∙ ) ∙ | |+ + ∙ Θ- ∙ 2 2 = −) ∙

∙

2

+

(2.4.)

∙ cos

(2.5.)

A két energiaegyenlet közül a kinetikus energia függvényét kell kicsit alakítanunk, hogy a megfelelő formára hozhassuk. Ehhez át kell rendezni a súlyponti sebességre kapott összefüggésünket a (2.3.)-as egyenletből kiindulva. A vektor abszolút értékét képezve, eredményképpen a (2.6.)-os összefüggés adódik, amely kifejtve és átrendezve a (2.7.)-es alakra hozható. |+ = ./0 +

|

|

|+ =

2 +

+

∙ cos

∙ 1 + 0 ∙ sin 2

+ ∙

∙

∙ cos

+

+

2

∙

+

∙ 1 2

+

(2.6.)

+

(2.7.)

Az egyenletek linearizálása nélkül, a (2.4.)-es egyenletbe helyettesítve a (2.7.)-es összefüggést, majd átrendezve azt, a kinetikus energia függvényére a következő egyszerűsített alak adódik: =

4

1 ∙)∙ 2

+

+

1 ∙)∙ ∙ 2

∙

∙ cos

+

1 ∙)∙ 6

+

∙

+

(2.8.)

A Lagrange-egyenlethez szükség van ezeknek az energiafüggvényeknek a megfelelő koordináta- valamint idő szerinti parciális deriváltjaira, amelyet a (2.9.)-(2.16.)-os egyenletek mutatnak.

=

=

1 =− ∙)∙ ∙ 2

1 ∙)∙ ∙ 2

1 ∙ ) ∙ ∙ 5 ∙ cos 2

∙

∙ cos

−

+

1 ∙)∙ ∙ 2

=)∙

∙

2

∙ sin

1 ∙)∙ 3 ∙ sin

(2.9.) +

∙

∙

∙ sin

(2.10.) +

1 ∙)∙ 3

+

∙ 5

(2.11.) (2.12.)

=0

=)∙ =)∙ 5 +

+

(2.13.)

1 ∙)∙ ∙ 2

1 ∙ ) ∙ ∙ 5 ∙ cos 2

∙ cos −

=0

Mivel a beavatkozó erő teljesítménye csak az

1 ∙)∙ ∙ 2

(2.14.) +

∙ sin

(2.15.) (2.16.)

koordinátától függ, ezért a

∗

általános

erővektor a (2.17.)-es egyenlet alapján írható fel a szabályozóerő ismeretében. ∗

=

0

(2.17.)

Az energiaegyenletek, valamint azok deriváltjainak ismeretében felírható a két változó szerinti komponensegyenlet: −

+

=0

(2.18.)

−

+

=

(2.19.)

Így a (2.18.) és (2.19.)-es egyenletbe behelyezve a tagokra kapott részeredményeket, a két egyenlet leegyszerűsítés után egyetlen mátrixegyenletbe rendezhető, amelyet a (2.20.)-as kapcsolat mutat.

1 ∙)∙ 3

+

1 ∙ ) ∙ ∙ cos 2

1 1 ∙ ) ∙ ∙ cos ' 5 ∙ ) ∙ ∙ ∙ sin & 2 2 &6 7+ 1 & 5 ) − ∙ ) ∙ ∙ sin ∙ 2 %

' 0 & &=6 7 +& %

(2.20.)

5

Az

koordináta ciklikus koordináta, ezért az egyenletrendszerből átrendezéssel kiejthető, ha

a második komponensegyenletet

8 +

∙ ∙ cos

-vel megszorozzuk, majd az első egyenletből

kivonjuk. A tagokat átrendezve a következő nemlineáris egyenlet adódik: 94 − 3 ∙ cos + ; ∙ 5 +

A

6∙

sin

− 3 ∙ sin

∙ cos

∙

+

=−

6 ∙ cos )∙

∙

(2.21.)

szabályozó erőt egy negatív visszacsatolással hozhatjuk létre, amely közben

mérjük a pillanatnyi szöghelyzetet és szögsebességet, ezt pozíció-visszacsatolásnak (position feedback) nevezzük. A szabályozóerő ezek és egy PD szabályozó segítségével valósítható meg, melyhez két paraméterre, egy < -re valamint

-re van szükségünk. Előbbit

proporcionális-, míg utóbbit derivatív erősítési tényezőnek nevezzük. Így az alábbi összefüggés adódik, amelyet a későbbiekben is fogunk használni: 9 ;=

9 , , ;=<∙ 9 ;+

∙ 9 ;

(2.22.)

A következő lépésben linearizálhatjuk a (2.21.)-es mozgásegyenletet, ha csak kis kitéréseket feltételezünk. Egyszerűsítések után a következő egyenlet adódik, amely a rendszer mozgását írja le kis kitérések esetén (| 59 ; +

6∙

9 ;=−

>?@ |

≤ 5°):

6 6 ∙<∙ 9 ;− ∙ )∙ )∙

∙ 9 ;

(2.23.)

A későbbi vizsgálatokhoz szükségünk van a mechanikai rendszer átviteli függvényére, amelyet a rendszert leíró differenciálegyenlet Laplace transzformáltjától határozhatunk meg. Ez csak a lineáris mozgásegyenletből adható meg. Ehhez először a könnyebb kezelhetőség érdekében új paramétereket vezetünk be az együtthatók helyett: 5 9 ; + D ∙ 9 ; = −E ∙ 9 ; −

∙ 9 ;,

(2.24.)

majd a két oldalt transzformálva az operátor tartományba, a (2.25.)-ös egyenlethez jutunk. A jobb oldal a bemenetnek tekinthető szabályozóerő, ezt helyettesíthetjük egyetlen 9F;

függvénnyel. Az átviteli függvény a bemenet és kimenet Laplace transzformáltjának a hányadosa.

s + ∙ Φ9F; + D ∙ Φ9F; = −E ∙ Φ9F; − HI 9F; =

∙ F ∙ Φ9F; = 9F;

Φ9F; 1 = + 9F; s + D

(2.25.) (2.26.)

A végső összefüggés a (2.24.)-es és (2.26.)-os egyenlet, amely az egyszerű szabályozott inga linearizált mozgásegyenlete és átviteli függvénye. A fenti egyenletekben szereplő három paraméter, D , E és

a rendszer stabilitása szempontjából lényeges. Cél ezeknek a

paramétereknek a függvényében megvizsgálni a teljes rendszer működését, stabilitás feltételeit és körülményeit. D=

6

6∙

E=

6 ∙< )∙

=

6 ∙ )∙

(2.27.)

A fentiekben levezett összefüggések az egyszerű ingára vonatkoznak. Abban az esetben, ha megfordítjuk az ingát, inverz ingát kapunk, amelynek a stabilitása megváltozik, de a mozgását leíró egyenletek hasonlók. A különbség csak az D paraméterben jelentkezik,

mivel a két rendszer közötti kapcsolat felfogható úgy is, mintha a gravitáció irányát cserélnénk fel, vagyis

előjele változik meg.

helyett − -vel számolnánk. Így az egyenletben láthatóan csak D 5 9 ; − D ∙ 9 ; = −E ∙ 9 ; − HI 9F; =

s+

1 −D

∙ 9 ;

(2.28.) (2.29.)

A következőkben a most levezetett egyenleteket végeredményét alkalmazzuk, erre a fejezetre csak hivatkozunk.

2.2. IDEÁLIS INGA ÉS INVERZ INGA STABILITÁSA A 2.1-es alfejezetben levezetett összefüggések alapján a folytonos rendszerű, ideális PD szabályozó esetére könnyű a stabilitás feltételeit meghatározni [1], [5]. A jelen példára elkészíthető blokkdiagramot a 2-2. ábra szemlélteti. A visszacsatolt ág nem tartalmaz időkésést, mintavételezést, ezért a leíró egyenletek közönséges, jelen esetben másodrendű differenciálegyenletek. A vizsgálathoz a (2.24.) és a (2.28.)-as egyenletet használjuk (az előbbi az ingára, míg az utóbbi az inverz ingára vonatkozik). Rendezzük át az egyenlet tagjait egyetlen oldalra, majd gyűjtsük egybe az együtthatókat. Az így kapott átrendezett (2.30.)-as alak láthatóan egy másodrendű lineáris differenciálegyenlet, amire alkalmazható a Routh-Hurwitz kritérium (A Függelék). HK

HI

2-2. ábra: Idealizált szabályozókör Jelen, másodrendű rendszer esetében egyszerűsödik a feltétel, és a Routh-Hurwitz determináns helyett csak az együtthatók előjelét kell megvizsgálnunk. 59 ; +

∙ 9 ; + 9E J D; ∙ 9 ; = 0

(2.30.)

A fenti egyenlet két részre bontható, ha ingáról beszélünk, akkor a nulladrendű tag együtthatója 9E + D;, ha inverz inga a modell, akkor pedig 9E − D;. Ezek alapján a stabilitás

feltételeit a (2.31.)-(2.32.)-es egyenlőtlenség definiálja.

7

L0

E L JD

→

→

L0

(2.31.)

< L J) ∙

(2.32.)

Láthatóan az aszimptotikus stabilitáshoz szükséges egy

tag is a szabályozóhoz, nem

elegendő egy egyszerű proporcionális tagot tartalmazó szabályozó. Éppen ezért minimálisan szükséges a PD kontroller, amiben nincs integráló tag. A PID-ben szereplő integrátor lényegesen elbonyolítaná a számításokat. A könnyű grafikai megjelenítés érdekében szokás a stabil tartományokat síkban, egy

diagramon ábrázolni. A fenti példa egyszerű, a E -

síkon kell a stabilitást kielégítő

tartományokat megjelölni. Ezt mutatja a 2-3. ábra. Vagyis bármilyen E -

kombinációt

választva a stabil területen, a rendszer stabil marad, illetve stabilizálható, azon kívül pedig instabillá válik. Láthatóan mindkét esetben van stabil tartomány, pontosabban a stabil tartomány egy teljes negyedsík, de az inverz inga esetében a határ eltolva kezdődik.

2-3. ábra: Stabil tartományok az inga (bal) és inverz inga (jobb) esetében

2.3. HAYES-EGYENLET Az

eddigiek

során

megnéztük

az

ideális,

késleltetés

nélküli

szabályozó

mozgásegyenletét és megvizsgáltuk annak stabilitását az időtartománybeli alakjában. Abban az esetben, ha a leíró egyenlet nem közönséges lineáris differenciálegyenlet, a Routh-Hurwitz kritérium nem használható (A Függelék), a szükséges determináns ugyanis csak polinomok esetén definiálható. Az egyszerűbb kezelhetőség kedvéért az első példa egy elsőrendű, skalár együtthatójú, késleltetett differenciálegyenlet, amelyet Hayes-egyenletnek nevezünk [5]. Ez a legegyszerűbb forma a késleltetett differenciálegyenletek bevezetésére, általános alakját a következő egyenlet mutatja:

8

9 ; = D ∙ 9 ; + N ∙ 9 − O;

(2.33.)

A megoldás során próbafüggvénnyel keressük a megoldást. Hasonlóan a folytonos esethez (2.34.), a késleltetett tag esetén is könnyen elvégezhető az idő szerinti deriválás (2.35.).

9 ; = P Q∙R

9 − O; = P Q∙9RTU;

→

→

9 ; = S ∙ P Q∙R

(2.34.)

9 − O; = S ∙ P Q∙R ∙ P TQ∙U

(2.35.)

Visszahelyettesítve ezt az egyenletbe, majd egyszerűsítve azt a megfelelő kikötésekkel, a (2.36.)-os kifejezéshez jutunk, amelyet karakterisztikus egyenletnek nevezünk. Az időkésés miatt a rendszer végtelen dimenziós rendszerként fogható fel, mert végtelen sok karakterisztikus exponens egyenlíti ki az egyenletet, amelyre már bonyolultabb a stabilitás feltételét meghatározni.

9S; = S − D − N ∙ P TQ∙U = 0

(2.36.)

A D-görbe módszerrel (D-subdivision method) azonban lehetőségünk van meghatározni a határgörbéket, ahol a rendszer instabil exponenseinek számában változás jelentkezik [5]. Ezzel a módszerrel könnyen körbehatárolható a stabil terület, ha a kapott egyenletrendszer megoldható. Ehhez a S = V J W ∙ X, X ≥ 0 helyettesítést kell elvégeznünk. V + W ∙ X − D − N ∙ P T9Z[\∙

;∙U

=0

(2.37.)

V + W ∙ X − D − N ∙ P TZ∙U ∙ 9cos9X ∙ O; − W ∙ sin9X ∙ O;; = 0

(2.38.)

A karakterisztikus egyenlet így valós és képzetes részre bontható szét. A D-görbéket

úgy kaphatjuk meg, hogy V = 0 feltételezéssel leegyszerűsítjük az egyenletet, majd a két

együtthatóra, D-ra és N-re megoldjuk azt. ]9X; = ]P 9S;: _9X; = `) 9S;:

V − D − N ∙ P TZ∙U ∙ cos9X ∙ O; = 0

(2.39.)

X + N ∙ P TZ∙U ∙ sin9X ∙ O; = 0

Így két egyenletet kapunk, amelyet az X frekvencia függvényében értelmezhetünk. ha X = 0:

N = −D

ha X ∙ O ≠ b ∙ c, b ∈ ℕ:

D=

X ∙ cos9X ∙ O; sin9X ∙ O;

N=−

X

sin9X ∙ O;

(2.40.)

(2.41.) (2.42.)

A megoldás az D-N síkon, X paraméterezéssel kirajzolható. A D-görbe módszer nem mutatja

meg rögtön a stabil tartományt, azt különféle módszerekkel kell megállapítanunk, hol instabil és hol stabil a megoldás. A stabil tartomány megkeresésére több módszer van,

például az instabil gyökök számát minden egyes tartományban meghatározhatjuk, de a karakterisztikus exponensek változását is számíthatjuk (exponent crossing direction) [5]. A tartományok instabil gyökeinek számát a Stépán formulákkal számíthatjuk ki egyszerűen [6]. Az eredményeket kis utólagos munkával jól szemlélteti a 2-4. ábra. A

9

térképen az instabil gyökök száma is fel van tűntetve, amelyek kiszámítási módjáról a 2.4-es alfejezet szól. 5

3 1

0 2

4

2-4. ábra: Hayes-egyenlet stabilitása (τ = 1)

2.4. INSTABIL GYÖKÖK A legfontosabb stabilitáskritériumok alapja a karakterisztikus egyenlet gyökeire vezethető vissza. Mennyiségük és „milyenségük” nemcsak a stabilitást határozza meg, hanem a rendszernek a működését, dinamikai viselkedését is. Ezek határozzák meg a rendszer gyorsaságát, időállandóját, beállási pontosságát, túllendülését és a lengéseket is. Éppen ezért fontos, hogy ismerjük azoknak a számát és értékét. Ahol az instabil gyökök száma nullára adódik, ott a rendszer stabil, ha ez egy, vagy ennél nagyobb, akkor instabil. Az instabil gyökök meghatározására szolgáló egyik formula az ún. Stépán formula [6]. Ehhez szükség van a rendszert leíró karakterisztikus egyenlet valós és képzetes részre bontott alakjára, ]9X; és _9X; függvényekre. Ezt követően meg kell keresnünk ezen

függvények gyökeit, ami gyakran önmagában sem egy egyszerű feladat, mivel általában csak közelítéssel oldhatók meg. Ezt követően a kapott gyököket a megfelelő formulába kell helyettesíteni, ennek eredményeképpen adódik az instabil gyökök száma. n

g = ) + 9−1;> ∙ h9−1;i[8 ∙ sgn _k9li ;m io8

T8

1 1 g = ) + + 9−1;> ∙ p 9−1; ∙ sgn ]90; + h9−1;i[8 ∙ sgn ]9qi ;r 2 2 io8

10

(2.43.)

(2.44.)

Abban az esetben, ha a rendszer s szabadságfoka páros, vagyis s = 2) , akkor a

(2.43.)-ös összefüggés használható. A képlet használatához meg kell keresnünk az

]9X; = 0 egyenlet valamennyi pozitív valós 0 < ln ≤ ⋯ ≤ l8 gyökét. Ha ismerjük ln gyököket,

akkor ezeket kell visszahelyettesíteni _9X; függvénybe, Xn = lv alapján. A képlet ezt követően

az instabil gyökszámot adja meg egyetlen zárt tartományra.

Ha a rendszer páratlan szabadságfokú, vagyis s = 2), a (2.44.)-os összefüggésre van

szükségünk. Hasonlóan az előzőekhez, most az _9X; = 0 egyenlet nemnegatív valós gyökeit

kell meghatároznunk. Az így kapott 0 = q ≤ ⋯ ≤ q8 gyököket pedig az ]9X; függvénybe kell

visszahelyettesíteni.

Problémát a gyökök meghatározása jelenthet, hiszen a karakterisztikus egyenlet nem egyszerű polinom, analitikusan általában nem tudjuk megoldani. Egy megoldás az, hogy első lépésben kirajzoljuk az _9X; és ]9X; függvényeket X függvényében. Ekkor, ha lehetőségünk

van, szemmel általában le tudjuk olvasni a gyökök helyét. Pontosabb megoldáshoz pedig numerikusan kereshetjük meg azok értékét, ha a leolvasott pont környezetében indítunk iterációs lépéseket. Különféle matematikai szoftverekben erre más-más parancsok állnak lehetőségre, de ezzel a módszerrel gyorsan meghatározhatók a szükséges értékek. A Stépán formula egyszerre csak 1-1 területre ad megoldást. A D-görbékkel feldarabolt stabilitási térképen minden felszabdalt területen ki kell választanunk egy pontot és ezeket a paramétereket kell visszahelyettesíteni a karakterisztikus egyenletbe. Tehát minden tartományra külön-külön, újra és újra el kell végeznünk ezeket a számításokat, amely igencsak időigényes. A továbbiakban a gyökök meghatározásánál csak a módszerre hivatkozunk, annak lépéseit nem tűntetjük fel, csak a térképeken ábrázoljuk az instabil gyökök számát. Ez alapján kiegészíthető a Hayes-egyenlet stabilitástérképe (2-4. ábra) és a további térképek is ettől a fejezettől kezdődően.

2.5. KÉSLELTETETT OSZCILLÁTOR EGYENLETE Hasonlóan a 2.3-as alfejezethez, megvizsgálható az ún. késleltetett oszcillátor egyenlete is [5], amely annyiban különbözik a Hayes-egyenlettől, hogy ez egy másodrendű rendszert ír le, de jelen esetben is csak egyetlen késleltetett taggal rendelkezik (2.45.). 5 9 ; + D8 ∙ 9 ; + Dw ∙ 9 ; = Nw ∙ 9 − O;

(2.45.)

Hasonlóan a előzőkhöz, a D-görbe módszerrel határozzuk meg a stabilitás határát. Ehhez helyettesítsük a (2.45.)-ös egyenletet a (2.34.) és (2.35.)-ös összefüggések alapján, majd egyszerűsítsük le azt a megfelelő kikötésekkel. Ennek eredményeként a (2.46.)-as összefüggés adódik, amely már három együtthatót tartalmaz. A feladat megoldható így is, problémát viszont az ábrázolás jelent. Három paramétert egyetlen síkban nem tudunk

11

ábrázolni, de lehetőségünk van 1-1 paraméter lerögzítése mellett a másik kettőre a stabil tartományt meghatározni síkban. S+ + D8 ∙ S + Dw = Nw ∙ P TQ∙U

(2.46.)

Következő lépésben helyettesítsük a karakterisztikus egyenlet karakterisztikus

exponensét az előzőekhez hasonlóan, vagyis S = V J W ∙ X, X ≥ 0 , majd bontsuk szét az

egyenletet valós és képzetes részre:

]9X;: V + − X+ + D8 ∙ V + Dw − Nw ∙ P TZ∙U ∙ cos9X ∙ O; = 0

(2.47.)

_9X;: D8 ∙ X + Nw ∙ P TZ∙U ∙ sin9X ∙ O; = 0

(2.48.)

Ezt a lépést követően azt kell meghatároznunk, hogy mely paramétersíkon szeretnénk ábrázolni a stabilitást, vagyis mely paramétert kívánjuk rögzíteni. Ez esetben legyen a

rögzíteni kívánt paraméter D8 , amely a rendszer csillapítási tényezője. Így a megmaradó két együttható síkján (az Dw -Nw síkon) kirajzolhatók a D-görbék. ha X = 0:

ha X ∙ O ≠ b ∙ c, b ∈ ℕ:

N0 = D0

D0 = X2 −

D1 ∙ X ∙ cos9X ∙ O; sin9X ∙ O;

, N0 = −

D1 ∙ X

sin9X ∙ O;

(2.49.) (2.50.)

Egy speciális megoldás, ha a rendszer csillapítása nulla (D8 = 0), ebben az esetben a

szétválasztott karakterisztikus egyenletek megoldása a trigonometrikus összefüggések miatt a (2.51.) és (2.52.)-es alakra bontható szét. Ennek oka, hogy X ∙ O = b ∙ c helyen az

összefüggésnek szingularitása van, minden más érték esetén pedig Nw = 0 . Az így kapott megoldás egyenesek sokasága, amelyek egymáshoz képest b-tól függően eltolódnak. ha X ∙ O ≠ b ∙ c, b ∈ ℕ: ha X ∙ O = b ∙ c, b ∈ ℕ:

N0 = 0, D0 = X2

b∙c 2 N0 = 9−1;b ∙ xD0 − 0 1 y , D0 = X2 O

(2.51.) (2.52.)

Ezeket az egyeneseket könnyen ábrázolhatjuk az Dw -Nw síkon. Az kapott térképet az ún. HsuBhatt stabilitási térkép (2-5. ábra).

Általános esetben, ha a rendszer csillapítást is tartalmaz, a stabilitási térkép elkezd torzulni és növekedni. A (2.49.)és (2.50.)-es egyenletek alapján kapott megoldást a 2-6. ábra mutatja. Ez az oszcillátor-egyenlet egy másodrendű rendszer működését írja le. Ha a

paraméterek olyanok, hogy a rendszer az X = 0 görbén helyezkedik el, a megoldás statikus

stabilitásvesztés helyzetébe kerül. Ha a rendszer itt helyezkedik el, az instabil gyökszám átlépéskor nulláról egyre változik. Ez azt jelenti, hogy egy tisztán valós részű gyök lépi át a stabilitási határt, a megoldás pedig exponenciálisan növekvő lesz.

12

5 4

3

2 2

1 0

0

0

0

0 2

2

2 4

4

2-5. ábra: Hsu-Bhatt stabilitási térkép csillapítás nélkül 9O = 2c, D8 = 0; 5 4

2

3 2 0

1 2

2 4

2 4

2-6. ábra: Hsu-Bhatt stabilitási térkép csillapítással (O = 2c, D8 = 0,1)

A többi, stabil tartományt határoló, X ≠ 0 görbét dinamikus stabilitásvesztési

határgörbének nevezzük. Itt ugyanis egyszerre egy komplex konjugált gyökpár lépi át a stabilitási határt, amely egy exponenciálisan növekvő oszcillálójú lengést eredményez. A Smith-prediktornál későbbiekben bemutatunk két ilyen instabil megoldást (3-15. ábra). Fontos megemlíteni, hogy a stabil tartományokon is eltérő a rendszer viselkedése. A stabil gyököktől függően az időfüggvény különböző módokon áll vissza egyensúlyi helyzetébe, ezekről a későbbiekben lesz szó, de ezt is az határozza meg, hogy a stabil gyök tisztán valós-e, vagy komplex gyökpár. Előbbi exponenciális, utóbbi viszont exponenciálisan csökkenő oszcilláló beállást biztosít.

13

2.6. SZABÁLYOZÁS KÉSLELTETETT VISSZACSATOLÁSSAL A jelen alfejezet egy egyszabadságfokú, másodrendű, visszacsatolt rendszer vizsgálatát mutatja be. A zárt szabályozási körbe egy PD-szabályozó van beépítve, amelynek

paraméterei most E és . A rendszert leíró egyenletek hasonlóak az oszcillátor-egyenletéhez,

de ebben az esetben a visszacsatolásban két késleltetett tag szerepel (2.53.). Vegyük észre a

hasonlóságot a 2.1-es alfejezet (2.28.)-as egyenletével. Abban az esetben, ha az D8 együttható értéke zérus, vagyis a rendszerben nincs csillapítás és az időkésés zérus (O = 0), akkor a két

egyenlet megfeleltethető egymásnak.

5 9 ; + D8 ∙ 9 ; + Dw ∙ 9 ; = −E ∙ 9 − O; −

∙ 9 − O;

(2.53.)

A következőkben ezt az egyenletet fogjuk megvizsgálni a csillapítás nélküli esetben, mivel a későbbiekben ez

meghatározó

lesz

a

további

eredmények

értékelésében. A

fenti

megfontolásokkal a rendszer a 2-7. ábra szerinti blokkdiagramba írható át. HK

O

HI

2-7. ábra: Szabályozókör késleltetett visszacsatolással A korábbi fejezetekhez hasonlóan fejezzük ki a karakterisztikus egyenletet (2.54.),

majd bontsuk szét. Ha a korábban említettek alapján a rendszerben csillapítás nincs, D8

együttható értéke nulla. Ezzel szemben az ingához viszonyítva Dw = D egy olyan paraméter, ami csak a geometriára jellemző paramétereket tartalmaz (2.27.), vagyis értéke állandónak tekinthető. Így a két paraméter, E- síkján ábrázolhatjuk a stabilitást. 9S; = S+ + Dw + E ∙ P TQ∙U +

∙ S ∙ P TQ∙U

Az S = V J W ∙ X, X ≥ 0 helyettesítéssel tehát a következő egyenletek adódnak.

]9X;: V + − X+ + Dw + EP TZU cos9XO; + VP TZU cos9XO; + XP TZU sin9XO; = 0 _9X;: 2VX − EP TZU sin9XO; + XP TZU cos9XO; − VP TZU sin9XO; = 0

Abban az esetben, ha V = 0, a D-görbéket kapjuk meg. ha X = 0: E = −D0 ,

∈{

ha X ≠ 0: E = 9X2 − D0 ; ∙ cos9XO; ,

=

X2 − D0 X

(2.54.)

(2.55.) (2.56.)

(2.57.) ∙ sin9XO;

(2.58.)

A két paraméter ismeretében már elkészíthető a stabilitási térkép. Az instabil gyökök száma a Stépán módszerrel meghatározható, az ábrákon azok száma látható.

14

3

5

4

3 2 1

0

2

1

2-8. ábra: Késleltetett visszacsatolású inga stabilitási tartománya (Dw = 0,5, O = 1) 3

5

4 0

3 2

1

1

2

2-9. ábra: Késleltetett visszacsatolású inverz inga stabilitási tartománya (Dw = −0,5, O = 1) A 2-8. ábra megfeleltethető az inga stabilitási térképének, míg a 2-9. ábra az inverz ingáénak. Látható, hogy az inverz inga esetén a stabil tartomány jóval szűkebb, de jellegre a kettő hasonló. Ennek az az oka, hogy a gravitáció az inga esetén stabilizálja az ingát, míg inverz ingánál éppen ellenkezőleg hat. A statikus stabilitásvesztési határgörbe éppen ezért a E = JD0 pontokon helyezkedik el.

Az is látható a tartományokon, hogy a statikus határgörbe átlépésekor az instabil

gyökök száma mindig eggyel változik, míg dinamikus határgörbe esetén kettővel. Utóbbi egy komplex instabil gyökpár átlépését jelenti a képzetes tengelyen.

15

2.7. LINEÁRIS KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLET A következőkben a lineáris homogén és inhomogén differenciálegyenletek egy megoldási módszerét fogjuk bemutatni. Legyen adott egy homogén differenciálegyenlet-rendszer a (2.59.)-es egyenlettel jelzett

mátrixegyenletben. Jelen esetben |9 ; és |9 ; egy s elemű vektor ( |9 ; ∈ {} ), míg ~ egy s × s elemű mátrix.

|9 ; = ~ ∙ |9 ;

(2.59.)

|9 ; = P ~R ∙ |w

(2.60.)

Ezen egyenletrendszer megoldása a kezdeti feltételekkel megadható: Az így kapott megoldásban P ~R együttható, az ún. mátrixexponenciális, meghatározására különféle módszerek vannak. Kiszámítható a ~ mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak

vizsgálatával, de a legtöbb matematikai szoftverben erre előre definiált parancsok vannak.

P ~R meghatározható az exponenciális függvény Taylor-sorával is (2.61.). …

P ~R = exp9~ ; ≔ h

iow

1 i ~ b!

i

(2.61.)

A következőkben nézzük meg egy lineáris inhomogén differenciálegyenlet-rendszer

megoldását. Legyen adott az egyenlet a következő, (2.62.)-es alakban, ahol †9 ; ∈ {} . |9 ; = ~ ∙ |9 ; + †9 ;

(2.62.)

A megoldás során az állandók variálásának módszerét használjuk. Keressük a megoldást a (2.63.)-as alakban megadott összefüggéssel, ahol ‡9 ; ∈ {} differenciálható függvény. Ennek

a feltételnek a figyelembevételével deriváljuk a feltételezett egyenletet. |9 ; = P ~R ∙ ‡9 ;

|9 ; = ~ ∙ P ~R ∙ ‡9 ; + P ~R ∙ ‡9 ;

(2.63.) (2.64.)

Visszahelyettesítve a (2.62.)-es egyenletbe, majd egyszerűsítve a kapott összefüggést, a következő alak adódik:

P ~R ∙ ‡9 ; = †9 ;

(2.65.)

Ezt a formát átrendezve, majd integrálva azt, a (2.66.)-os összefüggéshez jutunk, ahol ˆ

konstansvektor.

R

‡9 ; = ‰ P T~ †9F; F + ˆ RŠ

(2.66.)

Az így kapott megoldást a ‡9 ; függvényre visszahelyettesíthetjük a (2.63.)-as egyenletbe.

Így az összefüggés a következőképpen alakul: R

|9 ; = P ~R ‰ P T~ †9F; F + P ~R ˆ RŠ

16

(2.67.)

A kezdeti feltételek kielégítésével a ˆ konstansvektort is meghatározhatjuk, ez alapján: ˆ = P T~RŠ |RŠ

(2.68.)

A kezdeti feltétellel kapott általános megoldást a (2.69.)-es egyenlet mutatja. A későbbiekben erre az összefüggésre sokszor fogunk hivatkozni, levezetését nem fogjuk részletesen bemutatni.

R

|9 ; = P ~9RTRŠ; |RŠ + ‰ P ~9RT ; †9F; F RŠ

(2.69.)

Ezt a módszert nem csak a közönséges differenciálegyenletek megoldásához, hanem a késleltetett egyenletekhez is használhatjuk. Az időfüggvény meghatározásánál és az állapottér modellnél többször fogjuk alkalmazni a fenti megoldás módszerét.

17

3. SMITH-PREDIKTOR A következőkben a hagyományos Smith-prediktor kerül bemutatásra, amely a szakdolgozat témáját képezi. A legtöbb szakirodalomban megtalálható számításoktól eltérően a levezetések során a fentiekben bemutatott módszereket használjuk, vagyis az egyenleteket elsősorban időtartományban kezeljük az időkésés figyelembevételével. Első lépésben bemutatjuk a Smith-prediktort, majd egy ilyen prediktív típusú szabályozót

tartalmazó,

egyszerű,

elsőrendű

rendszeren

alkalmazzuk

a

megismert

módszereket és vizsgáljuk a stabilitást. Későbbiekben pedig a korábban levezetett ingára is bemutatjuk az eredményeket, de részletesebben kielemezve azokat, különböző módszereket, többet között a szemi-diszkretizációt alkalmazva [5].

3.1. A HAGYOMÁNYOS SMITH-PREDIKTOR A valós rendszerekben jelentkező időkésés hétköznapi probléma, hiszen minden rendszert terhel, legyen az ipari, gazdasági vagy biológiai [2]. Folytonos rendszereknél gyakran elhanyagoljuk ezt, mivel az információterjedés sebessége jóval nagyobb, minthogy az érdemi befolyást jelentene. Vannak esetek, amikor azonban ez ténylegesen fontos lehet, például bonyolultabb elektronikai rendszereknél, vagy digitális mintavételes rendszereknél, ahol a mintavételezés időkéséshez hasonló jelenségeket okoz [7]. A már korábban többször említett Smith-prediktor nevet kapott szabályozási struktúrát O.J.M. Smith mutatta be 1957-ben [3]. Ez egy matematikai levezetése annak, hogyan lehetne az időkésést a rendszerből kivenni, majd az ideális szabályozóra visszavezetni azt. Az első próbálkozások annak gyakorlatba ültetésére kevés sikerrel jártak, részletesebb elméleti levezetésekre az 1970-es és 1980-as években került sor [2]. Ezek a levezetések sokban segítették a Smith-prediktor működésének megértését, tulajdonságainak megismerését, de legnagyobb előnye a következő években jelentkezett. A Smith-prediktor olyan szabályozót tartalmaz, amely az időkésést ideális esetben elméletileg képes kiemelni a szabályozási körből [2]. Valójában a szabályozó tartalmaz egy ún. prediktor tagot, amely a szabályozandó szakasz egy matematikai modellje. Ennek a prediktor modellnek az elkészítése analóg rendszerek esetén komoly nehézségekbe ütközik, többek között az időkésés megvalósítása miatt. Gyakorlatba ültetésére a digitális rendszerek elterjedése után került igazán sor, ahol az időkésés egyszerű shift-eléses utasítássá vált, a modell pedig egy számítógépes algoritmussá [2]. Habár a gyakorlatban a mintavételes SP az elterjedtebb, a dolgozat során a

18

folytonos rendszert vizsgáljuk. Ennek oka, hogy úgy

tekintjük a mintavételezést, mint ami olyan nagy frekvencián történik, hogy az jó közelítéssel folytonosnak tekinthető, a mintavételezési hatásokat pedig elhanyagoljuk. N

P

v

HK

Ž

HI ‹

‹• •

HŒI PT

U‹

PT

U

3-1. ábra: Smith-prediktor általános blokkdiagramja A beavatkozás úgy történik, hogy a bemeneti jel hatására az eredeti visszacsatolt jellemzők mellett megjelenik két másik visszacsatolt tag is, ezt szemlélteti a 3-1. ábra. Az elmélet szerint, ha pontosan ismerjük a fizikai rendszert és el tudjuk készíteni annak a matematikai modelljét, akkor ismerjük annak dinamikai viselkedését is. Pontosabban bármely időpontban meg tudjuk határozni a rendszer állapotát a jelenlegi állapot ismeretében.

Jelöljük a rendszert terhelő időkésés O-val. Tehát, ha ismerjük a rendszer állapotát

w

időpontban és ismerjük a matematikai modell minden egyes paraméterét pontosan, akkor meg tudjuk adni könnyen a

w

+ O állapotot is. A Smith-prediktor esetében ez pontosabban

úgy működik, hogy a késleltetett valós visszacsatolást egy nem késleltetett, ideális

visszacsatolással cseréljük ki. Tehát ahelyett, hogy egy olyan jellel szabályoznánk a rendszert, amely „elkésett”, pontosan egy akkora jelet kap, amely a jelen állapotra vonatkozik és nincs „elkésve”. Ez a működésben úgy jelentkezik, hogy a késleltetett tagok ellentétes előjellel összeadódnak, valamint kiegészül egy prediktált állapottal. Ha minden paraméter ideális és pontosan ismerjük a rendszereket, akkor ezek a tagok valóban kiesnek és az időkésés kiemelhető. A problémát az jelenti, hogy sem a rendszert, sem az időkésést nem ismerjük pontosan, pedig a prediktor működésének alapja, hogy ezek teljesen megegyeznek. Már kis perturbáció (paramétereltérés) esetén is ezek a tagok nem egyszerűsíthetők le és figyelembe kell vennünk a hatásokat. A legtöbb szakirodalomban nem kezelik a valós és a prediktor rendszer eltéréseit, csak az időkésés bizonytalanságát [2], [8]. A probléma ezzel viszont az, hogy a dinamikai rendszerek esetén a paramétereket a tömeg, csillapítás, súrlódás, hossz, tehetetlenségi nyomaték stb. határozzák meg. Ezek közül egyiket sem ismerjük pontosan, ezért nem is mondhatjuk azt, hogy a rendszer és a modell megegyezik. Az időkésés

19

ismeretéről hasonló állítható. Éppen ezért célunk, hogy a stabilitás vizsgálásánál minél több bizonytalanságot figyelembe vegyünk, és így a valósághoz közelebb álló modellt készítsünk. A következőkben ezt szem előtt tartva vizsgáljuk meg a Smith-prediktor működését és határozzuk meg a stabil területeket elsősorban időtartománybeli vizsgálattal.

3.2. AZ ÁTVITELI FÜGGVÉNY MEGHATÁROZÁSA Az általános alakban megadott blokkdiagramot a 3-1. ábra mutatja, amelyen az

átviteli függvények vannak megadva. HI átviteli függvény a mechanikai rendszer átviteli

függvénye, HŒI a prediktor modellé, HK a szabályozókörbe épített szabályozóé, vagy más

szóval controller-é. A valós modell szögelfordulását egy szenzorral mérjük, amely jelen esetben nem ideális. Ezt egy O időkéséssel vesszük figyelembe, amely alapján a mérőeszköz

átviteli függvényét egyetlen időkéséses tag, P T U jellemzi. Láthatóan a modell is tartalmaz

egy nem ideális, Õ időkéséssel rendelkező tagot, ennek átviteli függvénye P T U‹ .

A szabályozókörben valamennyi tag visszacsatolva van jelen. Láthatóan a szenzor

miatt a valós

időfüggvény a rendszerben csak egy O időkéséssel van jelen, amelynek pontos

értékét nem ismerjük. A késleltetett tagot

•,

mint delayed tag jelzi. Ehhez képest a

rendszerben visszacsatolva van a modell valós idejű ‹ és ‹• késleltetett tagja is. Abban az

esetben, ha tökéletesen pontosan ismerjük a mechanikai modell paramétereit, valamint a rendszer időkésését és ezt pontosan be is tudjuk állítani a prediktor modellen, akkor az időkésés kiküszöbölhető, hiszen a két késleltetett tag ellentétes előjellel adódik össze (3.2.). Így ideális esetben a beavatkozás a modell alapján történik, nem pedig a valós rendszer alapján. Ez persze egy olyan ideális eset, amely csak matematikailag érhető el. A valóságban viszont sem a fizikai rendszer paramétereit nem tudjuk pontosan lemérni, sem pedig a prediktor modellen nem tudjuk azt pontosan beállítani. Éppen ezért a nem ideális eset kezelése írja le jobban a valóságos működést. A következőkben cél ennek a megvizsgálása elsőrendű és másodrendű rendszeren bemutatva. A blokkdiagram ismeretében meghatározható a rendszer átviteli függvénye, vagyis a

bemenet és a kimenet közötti függvénykapcsolat. Ehhez ki kell fejeznünk a szükséges összefüggéseket, majd azokat a megfelelő formára hozni. Ezek az N beavatkozójel, az v

rendelkező jel, P ellenőrző jel, valamint az Ž szabályozóerő. v=N−P

P = ‹ − ‹• + Ž = v ∙ HK

= Ž ∙ HI

20

•

(3.1.) (3.2.) (3.3.) (3.4.)

‹ = Ž ∙ HŒI

•

=

∙ PT

‹• = ‹ ∙ P T

(3.5.) U

(3.6.)

U‹

(3.7.)

A (3.1.)-(3.7.)-es összefüggésekből kifejezhető a rendszer •9F; átviteli függvénye. Ehhez a fenti egyenleteket kell kifejezni a következő alakra hozni: •9F; =

N

(3.8.)

= Ž ∙ HI = v ∙ HK ∙ HI = HK ∙ HI ∙ 9N − ‹ + ‹• −

A következő lépésben az ‹, ‹• ,

Ž= •

HI

=

‹ HŒI

→

‹=

HŒI HI

•;

(3.9.) (3.10.)

elemeket kell kifejeznünk

segítségével, hogy az átviteli

függvény megadható legyen. Az így kapott egyenlet átrendezhető és kiemelhető mindkét oldalról a keresett változó. = HK ∙ HI ∙ xN − + HK ∙ HŒI ∙

HK ∙ HI ∙ N =

•9F; =

N

=

HŒI HI

+

HŒI T U‹ ∙P − HI

+ HI ∙ HK ∙ P T U ∙ HK ∙ HI

∙ PT Uy

− HK ∙ HŒI ∙

1 + HK ∙ HŒI + HI ∙ HK ∙ P T U − HK ∙ HŒI ∙ P T

(3.11.) ∙ PT U‹

U‹

(3.12.) (3.13.)

Az egyenletek helyes átrendezését követően a kapott (3.13.)-as alak a rendszer általános esetben megadott átviteli függvénye. Ez azonban nem egyezik meg a stabilitásvizsgálathoz szükséges karakterisztikus egyenlet formulával, ehhez a fenti átviteli függvényeket a megfelelő formával helyettesíteni, majd átalakítani kell. A legtöbb szakirodalomban szokás egy zavarójelet figyelembe venni a rendszer előtt, amellyel valamiféle egyensúlyi megzavarást, vagy kezdeti feltételt vehetünk figyelembe [2], [8]. Ezt szemlélteti a 3-2. ábra. Mivel a N -vel jelzett bemenet jelen esetben az

egyensúlytartás miatt nulla, ezért célszerű a ‘ zavarást feltételezni külső bemenetnek,

amelyet a szabályozókör kompenzálni kényszerül. Ezzel a megfontolással az átviteli függvényt újra fel kell írnunk a zavarójel és a kimenet között.

21

N

P

v

HK

‘

Ž

‹

‹• •

HI HŒI PT

U‹

PT

U

3-2. ábra: Smith-prediktor általános blokkdiagramja zavarással kiegészítve Ebben az esetben csak egy egyenletet kell újradefiniálnunk, a többi változatlan. Így a (3.4.)es összefüggést a (3.14.)-essel cserélhetjük ki. Ezt azért célszerű megtennünk, mert a valóságos szemléletnek ez utóbbi ábra jobban megfelel. Így ugyanis a gerjesztés csak a valós fizikai rendszert éri, a beavatkozás pedig a szenzor jele alapján történik. Ennek hatására a prediktor modellbe is már a mért jel csatolódik vissza, a valós rendszer nem kerülhető meg. = 9Ž + ‘; ∙ HI

(3.14.)

Ezen megfontolások alapján az átviteli függvényt könnyen felírhatjuk újra. Az egyenleteket átrendezve és áthelyettesítve, ez előzőekhez hasonlóan, a következő összefüggés adódik: − ‘ ∙ HI = HK ∙ HI ∙ x− x ∙

HŒI HŒI − ‘ ∙ HI y + x ∙ − ‘ ∙ HI y ∙ P T U‹ − HI HI

∙ PT Uy

(3.15.)

Ebből könnyen kifejezhető a zavarójel és a kimenet közötti átviteli függvény, ezt mutatja a (3.13.)-as kifejezés. •’ 9F; =

‘

=

HI − HK ∙ HI ∙ HŒI ∙ P T U‹ + HK ∙ HI ∙ HŒI 1 + HK ∙ HŒI + HI ∙ HK ∙ P T U − HK ∙ HŒI ∙ P T

U‹

(3.16.)

Az így kapott átviteli függvények között láthatóan csak a számlálóban van különbség, a rendszer karakterisztikus egyenlete, amely a nevezőből képezhető, változatlan. A kettő között azonban van eltérés, ezt a 3.3-as alfejezetben vizsgáljuk meg részletesebben.

22

3.3. ELSŐRENDŰ RENDSZER Elsőrendű rendszerről akkor beszélhetünk, a fizikai rendszer átviteli függvényének karakterisztikus egyenlete elsőrendű. Mivel valós fizikai rendszereknél az átviteli függvény számlálójának rendszáma maximum annyi lehet, mint a nevező rendszáma, az átviteli függvény például a (3.17.)-es alakban írható. Ebben az esetben a magára hagyott rendszer instabil lenne, ha az D paraméter értéke pozitív.

1 F−D

HI =

(3.17.)

Ebben az alfejezetben ennek az egyszerűsített rendszernek a példáján fogjuk megvizsgálni a stabilitást. A következőkben csak az ideális esetet vizsgáljuk, a paraméterek perturbációjával később foglalkozunk.

Az elsőrendű rendszer esetén elegendő a szabályozáshoz egyetlen E paraméter, vagyis a

szabályozót egyetlen proporcionális tag képezi:

HK = E

(3.18.)

A fenti egyenleteket behelyettesítetjük például a (3.13.)-as eredeti átviteli függvénybe, vagy a (3.16.)-os zavarással kiegészítettbe. Ezt követően rendezzük mind a számlálót, mind a nevezőt kvázipolinom (exponenciális polinom) alakra. Ezt mutatja az alábbi átrendezés: •9F; = •9F; =

1+E∙

E∙

1 F−D

1 1 1 +E∙ ∙ PT U − E ∙ ∙ PT F − D‹ F−D F − D‹

(3.19.)

U‹

E ∙ 9F − D‹; 9F − D; ∙ 9F − D‹; + E ∙ 9F − D; + E ∙ 9F − D‹; ∙ P T U − E ∙ 9F − D; ∙ P T

U‹

(3.20.)

U‹

(3.21.)

Hasonlóan a zavarással figyelembevett átviteli függvény is megadható így: •’ 9F; =

9F − D‹; − E ∙ P T U‹ + E 9F − D; ∙ 9F − D‹; + E ∙ 9F − D; + E ∙ 9F − D‹; ∙ P T U − E ∙ 9F − D; ∙ P T

A (3.20.)-as és (3.21.)-es összefüggés között csak a számlálóban van különbség. Az átviteli függvényt képező nevező gyökeit nevezzük pólusoknak, a számláló gyökeit zérusoknak. Ha egy zérus pontosan megegyezik egy pólussal, abban az esetben az átviteli függvény

egyszerűsíthető,

hiszen

egy

gyök

kiejthető.

Ezt

nevezzük

pólus-zérus

egyszerűsítésnek (pole-zero cancellation). Ez csak abban az esetben állhat fent, ha például a számlálóból és a nevezőből is egyszerűen kiemelhető ugyanaz a gyök. Jelen esetben az ideális

esetet tárgyalhatjuk egyszerűen, ezért tegyük meg azt az egyszerűsítést, miszerint D = D‹ és

O = Õ . Vagyis a rendszer és a prediktor modell minden paramétere megegyezik. Nézzük első

esetben a (3.20.)-as összefüggést. Látható, hogy az 9F − D; együttható kiemelhető mindkét

23

esetben, a késleltetett tagok pedig kiesnek. Eredményképpen az ideális, késleltetés nélküli P szabályozóval szabályozott rendszer egyenletét kapjuk vissza: •9F; =

HK ∙ HI HK E = = 1 9F − D; + E 1 + HK ∙ HI + HK HI

(3.22.)

Ez az egyszerűsítés nem végezhető el a (3.21.)-es egyenleten, mivel abból nem emelhető ki ilyen együttható. Ennek következménye, hogy a két esetben két karakterisztikus egyenletet vizsgálhatunk meg, az egyszerűsítettet és a teljeset. Elsőként az eredeti karakterisztikus egyenletet vizsgáljuk meg az ideális esetben, amikor a paraméterek megegyeznek. Ezt a következő egyenletek mutatják.

9F; = 9F − D; ∙ 9F − D‹; + E ∙ 9F − D; + E ∙ 9F − D‹; ∙ P T U − E ∙ 9F − D; ∙ P T

9F; = F + + 9E − D − D‹;F + D9D‹ − E; − EP T U‹ F + EP T U F + DEP T U‹ − D‹EP T

ha D‹ = D és Õ = O:

9F; = F + + 9E − 2D;F + D9D − E;

U‹

U

(3.23.) (3.24.) (3.25.)

A Smith-prediktor esetében általánosan igaz az, hogy ha a paraméterek nem egyeznek meg, vagy átalakítás után egyszerűsítjük a karakterisztikus egyenletet, a rendszer fokszámát kétszeresére

növeli,

vagyis

jelen

elsőrendű

rendszer

esetében

másodfokú

lesz

a

karakterisztikus polinom. A fenti, (3.25.)-ös összefüggés a Routh-Hurwitz kritériummal ellenőrizhető, amely jelen esetben csak az együtthatók előjelének vizsgálatát jelenti. E − 2D L 0 D9D − E; L 0

(3.26.)

A fenti két feltétel három további feltételre bontható szét. E L 2D D < 0 és D < E

D L 0 és D L N

(3.27.)

Az így nyert (3.27.)-es feltételek egyértelműen meghatároznak egy stabilitási tartományt az

D - E síkon, ezt mutatja a 3-3. ábra jobb oldali képe. A bal oldali képen a zérussal

leegyszerűsített eset látható. A két térképen jól összehasonlíthatók a kapott eredmények, de ne felejtsük el, hogy ez csak a rendszerparaméterek egyezése esetén áll fent így.

Látható, hogy abban az esetben, ha a bemenet és kimenet között felírt átviteli függvényt a zérussal leegyszerűsítjük, egy gyök kieseik a rendszerből. Ez nem probléma akkor sem, ha ez a gyök instabil, vagyis maga a szabályozandó rendszer instabil. Ebben az esetben is lesz stabil tartomány, ezt mutatja a bal oldali ábrán a jobb oldali félsíkon megtalálható stabil terület. Ha az átviteli függvényt nem egyszerűsítjük le, vagy a kimenet és a zavarás között írjuk fel, akkor a stabilitási tartományt a jobb oldalon látható ábra mutatja. Ebben az esetben a jobb oldali félsík instabil tartománnyá válik. A kiinduló példában instabil rendszert feltételeztünk, ezt mutatja a (3.17.)-es átviteli

függvény. Így minden D L 0 rendszerparaméter instabil rendszert eredményez. A levezetés 24

végeredményeképpen megmutatható, hogy a Smith-prediktor nem alkalmas instabil

rendszerek szabályozására, mivel D L 0 esetén a stabil tartomány megszűnik. Valójában a

bal oldali esetben is van egy instabilitást okozó gyökünk, de a speciális paraméteregyezés miatt ez megegyezik egy zérussal, így az kiejthető.

3-3. ábra: Elsőrendű rendszer stabilitási tartománya az eredeti átviteli függvény (bal) és a zavarás figyelembevételével felírt átviteli függvény esetén (jobb) A két eredmény azt mutatja, hogy pontosabb megoldáshoz a teljes karakterisztikus egyenletet kell vizsgálunk, nem pedig annak a zérusokkal egyszerűsített alakját.

3.4. MÁSODRENDŰ RENDSZER A másodrendű rendszer példájának bemutatására a 2.1-es alfejezetben, az ingára illetve inverz ingára levezetett átviteli függvényt fogjuk használni. Vagyis a Smithprediktorral próbáljuk meg a rendszer időkésés okozta instabilitását megoldani. Ehhez a rendszer átviteli függvényéhez, amely jelen esetben az inga függvénye, a (3.28.)-as egyenletet használjuk. A prediktor modell ez alapján hasonlóan másodrendű tag, paramétere D helyett azonban D‹ , amit a (3.29.)-os egyenlet mutat. Továbbá a szenzort jellemzi a O, valamint a prediktor modellt a Õ időkésés. HI = HŒI =

F+

1 +D

1 F + + D‹

(3.28.) (3.29.)

A szabályozókörben ezek mellett egy PD szabályozó is szerepel, amelynek E és

paraméterei mellett határozzuk meg a stabilitási tartományokat. Mindeközben D és O értékét lerögzítjük, további a prediktorra megadott eltérést engedünk meg D‹-ra és Õ -ra nézve. Vagyis célunk a nem ideális, paraméterek eltérése melletti eset vizsgálata.

25

Jelen esetben tehát a beszerelt PD szabályozót nem időtartományban definiáljuk, hanem operátortartományban, vagyis a Laplace transzformáltjával megadva. ℒ9E ∙ 9 ; +

∙ 9 ;;

→

HK = E + F ∙

(3.30.)

Ezt követően, mivel minden átviteli függvényt ismerünk, a (3.13.)-as egyenletbe visszahelyettesítve, megadhatjuk a másodrendű, Smith-prediktorral szabályozott rendszer átviteli függvényét (3.31.). A következő lépésben hozzuk a kifejezést kvázipolinom alakra: •9F; = •9F; =

1 + 9E + F ; ∙

F+

9E + F ; ∙

1 F+ + D

1 1 1 + ∙ 9E + F ; ∙ P T U − 9E + F ; ∙ + ∙ PT + D‹ F + + D F + D‹

U‹

9E + F ;9F + + D‹;

9F + + D‹;9F + + D; + 9E + F ;k9F + + D; + 9F + + D‹; ∙ P T U − 9F + + D; ∙ P T U‹ m

(3.31.)

(3.32.)

Az átviteli függvény nevezőjéből képezhető a karakterisztikus egyenlet, amelyet a stabilitásvizsgálatra használhatunk itt is. Első lépésben bontsuk fel a (3.32.)-es tört nevezőinek szorzatait, hogy a helyettesítést könnyebben elvégezhessük. Ezt követően a korábbi fejezetekhez hasonlóan meghatározhatjuk a D-görbéket közvetlenül, ha jelen esetben

F = W ∙ X, X ≥ 0 helyettesítéssel élünk. Szétválasztva az egyenletet valós és képzetes részre, a

következő egyenletek adódnak.

]9X;: DD‹ + DE − DX+ − D‹X+ − EX+ + X” + D‹Ecos9XO; − EX+ cos9XO; − DEcos9XÕ ; + EX+ cos9XÕ ; + D‹ X sin9XO; − X• sin9XO; − D X sin9XÕ ; + X• sin9XÕ ; = 0 _9X;: D X − X• + D‹ X cos9XO; − X• cos9XO; − D X cos9XÕ ; + X• cos9XÕ ; − D‹E sin9XO; + EX+ sin9XO; + DE sin9XÕ ; − EX+ sin9XÕ ; = 0

(3.33.) (3.34.)

A paraméteres D-görbék meghatározásához ezt a két egyenletet kell megoldanunk E és

paraméterekre (3.36.). Így a stabilitási tartományok megrajzolhatók a szükséges D és O értékek megválasztását követően. ha X = 0: E = −D, ha X ≠ 0:

∈{

E = –9D − X+ ;9D‹ − X+ ;k9−D‹ + X+ ; cos9XO; + 9D − X+ ;9−1 + cos9XÕ ;;m— /92D+ + D‹ + − 4DX+ − 2D‹X+ + 3X” + 29D − X+ ;9D‹ − X+ ;cos9OX; + 29D − X+ ;9−D‹ + X+ ;cos9X9O − Õ ;; − 2D+ cos9XÕ ; + 4DX+ cos9XÕ ; − 2X” cos9XÕ ;; = –9D − X+ ;9D‹ − X+ ;k9−D‹ + X+ ; sin9XO; + 9D − X+ ; sin9XÕ ;m— /9X92D+ + D‹+ − 4DX+ − 2D‹X+ + 3X” + 29D − X+ ;9D‹ − X+ ; cos9XO; + 29D − X+ ;9−D‹ + X+ ; coskX9O − Õ ;m − 2D+ cos9XÕ ; + 4DX+ cos9XÕ ; − 2X” cos9XÕ ;;;

(3.35.)

(3.36.)

Abban az esetben, ha a prediktált és a valós paraméterek megegyeznek, az egyenletek az ideális PD szabályozó egyenleteire egyszerűsödnek le (2.2-es alfejezet), ez a Smith-

26

prediktor működésének a lényege. Ha azonban a paraméterek nem ideálisak, a fenti egyenletek érvényesek, a következőkben ezt fogjuk vizsgálni. A módszerrel csak a D-görbék határozhatók meg, a stabil tartomány ezen belül közvetlenül nem. Ehhez a Stépán módszert használhatjuk itt is, amellyel minden tartományon egyenként kell meghatározzuk az instabil gyökök számát. Ahol az instabil gyökök száma nullára adódik, stabil tartományt kapunk. A 3-4. ábra és 3-5. ábra ezeket a gyököket is mutatja. Látható, hogy jelen estben is, ha a statikus határgörbét lépjük át, az instabil gyökszám eggyel változik, míg a dinamikus határgörbe esetén mindig kettővel. 5 4 0 2

3

1 0

1

4 2

2

3

3-4. ábra: Stabilitási térkép (D = 0,5, O = 1, D‹ = 0,8D, Õ = 0,5O )

5 4

2 0

2 4 3 6 5

4

3-5. ábra: Stabilitási térkép (D = 0,5, O = 1, D‹ = 1,2D, Õ = 0,5O ) A stabil tartományok ismeretében elkészíthető egy olyan diagram, amely a paraméterérzékenységet mutatja (lsd. 3-6. ábra és 3-7. ábra). Látható, hogy az időkésés változása jóval kisebb hatással van a rendszerre, mint a rendszerparaméter. Ez utóbbi

ugyanis minőségi ugrást jelent a stabil tartományok változásában. Ha az D paraméter 27

értékét alábecsüljük, a stabil tartomány az ideálishoz képest elkezd egy spirálhoz hasonló alakkal szűkülni. Mindenközben megjelenik egy apró hurok, amely mindig az origóban metszi önmagát, és az alsó negatív félsíkból metsz ki egy darabot. Ha azonban az D

paraméter értékét felülbecsüljük, a hurok a felső tartományon jelenik meg. Ebben az esetben a stabil tartomány a hurok által körbeölelt terület lesz. Ez egy hirtelen méretváltozás, ugyanis ha a rendszerparaméter két oldalról tart a valóshoz, hirtelen ugrik végtelenről nullára a stabil tartomány, majd kezd el újra növekedni.

Az időkésés becslése is meghatározó, ha Õ értékét zérusra vesszük, az eredeti O

időkéséses stabilitást kapjuk vissza. Ez nem véletlen, hiszen ebben az esetben, a blokkdiagramon is látható módon a prediktor önmagát egyszerűsíti le (3-2. ábra). Ehhez

képest amíg Õ → O , a stabilitási tartományok növekednek, mert a spirál kezdeti szakasza egyre inkább ellaposodik és Õ → O esetén maximális. Ezt követően O → ∞ esetén drasztikusan

leszűkül. Erre mutat néhány példát a 3-6. ábra és 3-7. ábra. A kis hurok is jól megfigyelhető a lenti ábrákon. Látható, hogy a görbék menete viszonylag hasonló, de az D‹ paraméter

eltérésének növekedésével a hurok egyre dominánsabbá válik, és nagy eltérés esetén akár új területeket is metszhet ki a már meglévő D-görbékkel.

3-6. ábra: Stabil tartományok változása az időkésé és modellparaméter függvényében (kis eltérések, = O, I = Õ , DI = D‹ )

28

3-7. ábra: Stabil tartományok változása az időkésé és modellparaméter függvényében (nagy eltérések, = O, I = Õ , DI = D‹ ) Valamennyi hivatkozott szakirodalom a rendszerparaméterek eltérését elhanyagolja, és

csak az időkésés eltérésével foglalkozik [2], [8]. Ez azt jelenti, hogy az D‹ = D egyszerűsítés

következtében a karakterisztikus egyenlet egy gyöke ismert, hiszen egy 9F + + D; együttható kiemelhető (3.32.). Ez az együttható megadja a rendszer egy komplex póluspárját, amely jelent esetben a következő alakú:

F = JW ∙ √D

(3.37.)

A stabilitás feltétele, hogy a zárt szabályozási kör valamennyi pólusa a komplex sík negatív valós térfelén helyezkedjen el. A jelen esetben kapott eredmény egy nulla valós értékű komplex gyökpárat mutat, amely a stabilitás határára kényszeríti a rendszert. Vagyis ebben az esetben nem instabil a zárt kör, de nem is aszimptotikusan stabil. Valójában a rendszer állandó amplitúdójú csillapítatlan lengéseket végez állandósult állapotban. Ez azért fontos, mert ha a rendszert úgy vizsgáljuk, hogy nincs zavarás, és a bemenet szerint szabályozzuk, ez a gyök nem jelentkezik, mert egy pólus pont lefedi azt (3.3 alfejezet). Abban az esetben, ha a zavarás téríti ki a rendszert, ez a pólus határhelyzetre kényszeríti a rendszert. A későbbiekben szimulációval is bemutatjuk a jelenséget. Hasonlóan az előzőekhez, az instabil szabályozandó szakaszt tartalmazó rendszer stabilitási térképe is elkészíthető. Ebben az esetben az eredeti rendszerparaméter előjelét negatívra cserélhetjük (2.1. alfejezet, (2.29.)-es egyenlet). Az előző bekezdés megfontolása

29

alapján, ha a rendszerparaméter és a prediktor paramétere megegyezik, vagyis D‹ = D, egy 9F + − D; tényező kiemelhető. Jelen esetben is ez két valós pólust eredményez. F = J√ D

(3.38.)

Ezek közül a negatív előjelű stabil, míg a pozitív instabil pólus. A vizsgált szakirodalmakban ezzel magyarázzák a Smith-prediktor korlátait, miszerint az instabil rendszerekre nem alkalmazható [2], [8]. Ez azonban csak speciális eset, a szakdolgozatban ezzel az D‹ = D

egyszerűsítéssel nem éltünk általánosan, így a számítás is bonyolultabbá vált. A rendszer instabil pólusainak meghatározása nem egyszerű feladat, erre azonban nekünk nincs is szükségünk. Pontosabban nekünk nem az instabil gyökök paraméteres értéke a fontos, hanem azok darabszáma. A Stépán módszerrel ezeket ebben az esetben is meg tudjuk határozni (3-8. ábra).

4

1

3

1

2

3

3 2 5

4

3-8. ábra: Stabilitási térkép (D = −0,5, O = 1, D‹ = 0,8D, Õ = 0,5O) (minden tartomány instabil) A kapott D-görbék nagyon hasonlók a stabil rendszerhez, ellenben nem alakul ki az origóban a kis hurok, valamint minden tartományban eggyel növekszik az instabil gyökök száma. Ezzel magyarázható az, miért nem alkalmas a Smith-prediktor instabil rendszer stabilizálására.

3.5. ÁLLAPOTTÉR MODELL A 3.2-es alfejezetben bemutatott blokkdiagramok nem, vagy rosszul kezelik a kezdeti feltételek megadását. A 3-1. ábra nem is veszi figyelembe a külső beavatkozást, csak a bemeneti jelet, amely az egyensúlytartás miatt konstans nulla. A stabilitás ettől függetlenül ez esetben vizsgálható, például egységugrásra adott válasz segítségével. Ez azonban nem felel

30

meg a jelen feladatnak, a kezdeti feltételeket is figyelembe kell vennünk valahogy. Ez a kezdeti feltétel egy kezdeti pozíciót és kezdeti szögsebességet jelent. =

w

w

(3.39.)

w

A korábban bemutatott 3-2. ábra sem kezeli megfelelően a kezdeti feltételt. Ez ugyanis nem ír elő sem kezdeti szögsebességet, sem kezdeti pozíciót. Bár a rendszer stabilitása szempontjából hasonló beavatkozást jelent a szabályozóerő megzavarása, a rendszer működése tekintve azonban nem ekvivalensek egymással. A modell kiegészítését állapottér modell átírásával érhetjük el. Az ÁTM modell időtartományban definiált alapegyenleteit a (3.40.) és (3.41.)-es egyenlet mutatja.

9 ; = ~ ∙ 9 ; + œ ∙ Ž9 ;

(3.40.)

|9 ; = ˆ• ∙ 9 ; + ž ∙ Ž9 ;

(3.41.)

Az állapotváltozó tetszőlegesen megválasztható, jelen esetben célszerű a szöghelyzet és a szögsebesség időfüggvényét választani. 9 ;=

9 ; 9 ;

(3.42.)

Mind a valós rendszer, mind pedig a prediktor modell esetén definiálható ez az alak,

hiszen mindkét esetben a bemenet az Ž szabályozóerő, ahogy azt a 3-1. ábra blokkdiagramja mutatja. Az együtthatómátrixok felírásához csak a szabályozatlan rendszer egyenletét kell ismerni, amelyet a (2.24.)-es egyenlettel már levezettünk. A jobb oldal ez esetben az Ž

szabályozóerővel helyettesítendő. Kimenetként a szöghelyzetet választjuk, így egy egy bemenetű, egy kimenetű (SISO) rendszert kapunk. Így az állapottér modell mátrixai a következő alakot nyerik:

9 ; 0 1 = ∙ −D 0 9 ; ~=

9 ; 0 + ∙ Ž9 ; , 1 9 ;

0 1 , −D 0

œ=

0 , 1

ˆ• = Ÿ1

9 ; = Ÿ1 0,

0 ∙ =0

9 ; 9 ;

(3.43.)

(3.44.)

Hasonlóan a prediktor modell ÁTM egyenleteit is felírhatjuk, a különbség csak az, hogy a megfelelő paramétereket a prediktált paraméterekre kell kicserélnünk.

¤

¢ ∙ ¡9 ; + œ ∙ Ž9 ; , ¡9 ; = ~

‹9 ; ‹9 ; 0 1 0 ¥= ∙¤ ¥+ ∙ Ž9 ; , −D‹ 0 1 ‹9 ; ‹9 ;

£9 ; = ˆ• ∙ ¡9 ;

‹ 9 ; = Ÿ1

0 ∙¤

(3.45.) ‹9 ; ¥ ‹9 ;

(3.46.)

Így helyettesíthető a korábban egyetlen blokkal jelzett átviteli függvény egy bonyolultabb struktúrával, amely azonban egyenértékű azzal. A kezdeti feltételek megadását az ÁTM egyenletek segítségével határozhatjuk meg. Vegyük a (3.40.) és (3.41.)-es egyenletek Laplace

31

transzformáltjait úgy, hogy a derivált tag esetén a kezdeti feltételt nem hagyjuk el. Ez esetben az egyenlet a következő alakot ölti.

F ∙ ¦9F; − ¦w = ~ ∙ ¦9F; + œ ∙ 9F;

(3.47.)

§9F; = ˆ• ∙ ¦9F; + ž ∙ 9F;

(3.48.)

Elegendő a (3.47.)-es összefüggést átrendeznünk, amelyben a kezdeti feltétel jól elkülöníthető. Így látható, hogy a blokkdiagramon a bevezetésnek az integráló tag előtt kell lennie, a bemenettel összegezve. A szimulációban lehetőségünk van az integrátor kezdeti feltételeként is megadni ezt az ¦w vektort.

¦9¨; = 9F ∙ © − ~;T8 ∙ 9¦w + œ ∙ 9F;;

(3.49.)

Az így kapott ÁTM blokkstruktúrát mutatja a 3-9. ábra. Látható, hogy így már megfelelő módon figyelembe tudjuk venni a rendszer kezdeti állapotát, amit az egyszerű átviteli függvénnyel nem tudtunk volna.

Ž

œ

ž

w

1 F

ˆ

~

3-9. ábra: Általános ÁTM modell blokkdiagramja Hasonlóan a fentiekhez a Smith-prediktor ekvivalens struktúrája is elkészíthető. A különbség csak az, hogy nem kell kezdeti feltételt figyelembe vennünk a prediktor modellen, csak a valós rendszeren. Ezt szemlélteti a 3-10. ábra. N

P

v

HK

Ž

œ

w

1 F

PT

ˆ

U

~

œ

¡

1 F

¢ ~

¡

PT

ˆ

U‹

‹•

‹

3-10. ábra: Smith-prediktor ÁTM modellel kiegészített blokkdiagramja

32

•

3.6. SZABÁLYOZÓERŐ IDŐFÜGGVÉNYE A szabályozóerő a motor szabályozóerejének időfüggvénye, amely a beavatkozás és stabilitás miatt fontos. Ez a szabályozóerő fogja az ingát egyensúlyi helyzetben tartani. Ismeretében egyben meghatározható az inga mozgásegyenletének időfüggvénye is. Az így kapott megoldásokat szimulációval is összehasonlíthatjuk. Vegyük a 3-1. ábra egyenleteit és összefüggéseit. Az időfüggvény meghatározható, ha a visszacsatolt állapotjelzőket és a szabályozó paramétereit ismerjük. Ehhez vegyük úgy a rendszert, mintha bemeneti jel zérus lenne. Ez megfelel a valóságnak, hiszen a célunk az egyensúlyi pontban tartás. Ebben az esetben a szögelfordulás és szögsebesség is nulla, vagyis az állapotjelzőket a (3.50.)-es összefüggésnek megfelelően definiálhatjuk, valamint írhatjuk át. Így mátrixalakban írhatók fel az egyenletek. 9 ;=

9 ; 9 ;

és ¡9 ; = ¤

‹9 ; ¥ ‹9 ;

(3.50.)

Ezek alapján az időfüggvény a blokkdiagramból kifejezhető, ha a teljes egyenletet időtartományban írjuk fel. Az időfüggvényben az is látszik, hogy a hullámmal jelzett prediktált tagok is megjelennek a valós rendszer visszacsatolásán kívül. Ha minden paraméter megegyezik, itt is szembetűnő, hogy a késleltetett tagok kiesnek és az ideális visszacsatolást kapjuk vissza. Az állapotváltozókkal leírt szabályozóerő időfüggvényét a (3.51.)-es egyenlet mutatja (legegyszerűbben a 3-1. ábra alapján vezethető le, de a 3-10. ábra végeredménye is több átalakítással ugyanerre vezet).

Ž9 ; = ª• ∙ k 9 − O; − ¡9 − Õ ; + ¡9 ;m,

ª• = Ÿ−E

−

(3.51.)

A 2-es alfejezetben bemutatott matematikai módszerrel megoldhatjuk az egyenletet, de problémát jelent, hogy nem ismerjük az állapotváltozók időfüggvényeit, így ezzel a megközelítéssel közvetlenül nem oldható meg a szabályozóerő időfüggvénye. Ehhez kiegészítő egyenletekre van szükségünk. Ezeket az egyenleteket a rendszer állapottér modell leírásából nyerhetünk, amely során korábban a valós rendszert és a prediktort két külön részre bontottuk szét:

9 ; = ~ ∙ 9 ; + œ ∙ Ž9 ;,

90; =

w

¢ ∙ ¡9 ; + œ ∙ Ž9 ;, ¡90; = ¡w ¡9 ; = ~

~=

0 1 , −D 0

¢= ~

0 1 , −D‹ 0

œ=

(3.52.) 0 1

(3.53.)

Ebből az alakból már kifejezhetők az állapotváltozót, felhasználva a korábban ismertetett mátrixexponenciális módszert. Tehát a megoldást az együtthatók variálásnak módszerével keressük, vagyis a megoldás keresett alakját a következő egyenlet mutatja. 9 ; = P ~R ∙ ‡9 ;

(3.54.)

33

Visszahelyettesítve az eredeti egyenletbe, majd leegyszerűsítve az összefüggést, a lenti alakhoz jutunk:

‡9 ; = P T~R ∙ œ ∙ Ž9 ;

(3.55.)

A korábbiakhoz képest ez az alak annyiban különbözik a 2-es alfejezetben levezetett

mintához képest, hogy egy œ mátrix is helyet kap az összefüggésben. A kezdeti feltételek

megfogalmazásával és a (3.55.)-as alak integrálásával és áthelyettesítésével a (3.56.)-os eredményhez jutunk.

R

9 ; = P ~9RTRŠ; ∙

~9RT ; ∙ œ ∙ Ž9F; F RŠ + ‰ P RŠ

(3.56.)

Megmutatható, hogy abban az esetben, ha a késleltetett állapotváltozóra oldjuk meg

az egyenletet, egyszerűen helyettesíthető − O-val, valamint a prediktor modell a prediktált paraméterivel.

9 − O; = P ~9RTUTRŠ; ∙

RŠ

+‰

RTU

RŠ

R

P ~9RTUT ; ∙ œ ∙ Ž9F; F

¡9 ; = P ~¢9RTRŠ; ∙ ¡RŠ + ‰ P ~¢9RT ; ∙ œ ∙ Ž9F; F RŠ

¡9 − Õ ; = P ~¢9RTU‹TRŠ; ∙ ¡RŠ + ‰

RTU‹

RŠ

P ~9RTU‹T ; ∙ œ ∙ Ž9F; F ¢

(3.57.) (3.58.) (3.59.)

Ezt követően a (3.57.)-(3.59.)-es megoldásokat a (3.51.)-ös kiinduló egyenletbe helyettesíthetjük vissza. Látható, hogy a szabályozóerő időfüggvénye meghatározható a rendszer kezdeti állapotváltozóiból, valamint a korábbi szabályozóerőkből. Logikus választás w

= 0 kezdeti feltétellel számolni, így az összefüggés egyszerűsödik. Ž9 ; = ª• ∙ pP ~9RTU; ∙

w

− xP ~9RTU‹; ∙ ¡w + ‰ ¢

R

+‰

RTU‹

w

RTU

w

P ~9RTUT ; ∙ œ ∙ Ž9F; F

P ~9RTU‹T ; ∙ œ ∙ Ž9F; Fy ¢

(3.60.)

+ xP ~R ∙ ¡w + ‰ P ~9RT ; ∙ œ ∙ Ž9F; F yr ¢

w

¢

Megfigyelhető az is, hogy a szabályozóerő meghatározásánál szükség van a modell és a valós rendszer kezdeti feltételeire (ez lehet zérus is), illetve a kezdeti időponttól történő integrálásra. Az így kapott megoldás hasonlít a [9]-es forrásban publikálthoz, de attól egy általánosabb alakot állapítottunk meg. Ebben jelentősen különbözik a Smith-prediktor más szabályozóktól, például az FSA szabályozótól, ahol az integrálás csak egy adott időre nyúlik vissza [10]. A szabályozóerő meghatározása a motor szempontjából lényeges, ellenben számunkra az inga mozgása a fontos. Ez utóbbit a (3.56.)-os egyenlet írja le. Vagyis a szabályozóerő időfüggvényének ismeretében meghatározható az inga mozgásának is az időfüggvénye, amin jól látható annak stabil vagy instabil viselkedése.

34

3.7. SZABÁLYOZÓERŐ DISZKRETIZÁLÁSA A (3.60.)-as alakban meghatározott szabályozóerő a folytonos rendszer működését írja le. Az egyenlet megoldásakor több probléma is felvetül. Például az integrál analitikus alakja túlságosan bonyolult, ráadásul az integrálási tartomány egészen a

időpontig tart. Ennek

eredményeképpen az integrál implicit tartalmazza Ž9 ; szabályozóerő

időpillanatbeli

értéket. Ez az egyenlet a beavatkozó erőre nézve analitikusan nem oldható meg. A megoldásra azonban szükségünk van, ehhez numerikusan, fix időlépésenként közelítjük az egyenletet. Egy integrált a következő alakban közelíthetünk: ®T8

•

‰ «9 ;

≅ h «9 \ ; ∙ ∆ ,

w

g=

\ow

∆

(3.61.)

Ez a formula téglalapokkal közelíti a függvénygörbe alatti területet. Akkor ad

pontosabb megoldást, minél kisebb a ∆ lépés. A lépésszám növekedésével a megoldás tart a pontos megoldáshoz, ellenben a számításigény lényegesen növekszik. Fontos, hogy akkora

lépésközt találjunk, amekkorával a hiba minél kisebb, ugyanakkor értékelhető eredményt kapunk viszonylag rövid idő alatt. Ha túl kicsi ez a lépésköz például egy differenciálegyenlet esetén, a stabil megoldás instabillá is válhat, éppen ezért lényeges kérdés annak megfelelő megválasztása. A Smith-prediktor esetén az állapotváltozókra megoldott analitikus egyenleteteket kell diszkretizálnunk. Ehhez az időkésést és az adott időt is diszkrét alakban kell megfogalmaznunk:

\

=W∙∆ ,

v= \Tn

O , ∆

ṽ =

= 9W − v; ∙ ∆ ,

Õ ∆

(3.62.) \Tñ

= 9W − ṽ ; ∙ ∆

(3.63.)

+ ¡9 \ ;m

(3.64.)

A dimenziótlanított időlépésekkel felírható a szabályozóerő diszkrét időfüggvénye: Ž9 \ ; = ª• ∙ k 9

\Tn ;

− ¡9

\Tñ ;

A megoldáshoz az állapotváltozók egyenleteit is meg kell oldanunk diszkrét alakban. Vagyis a közelítés során valamennyi változót úgy keresünk, hogy a kezdeti értékektől a jelenbeli értékekig ismert állapotváltozókból meghatározzuk a következő időbeli értéket. Vagyis w, 8 +

…

\

időpontbeli értékekből határozzuk meg a

\[8

időbeli értéket. A közelítés

problémája, hogy a pontos megoldást elvileg csak a végtelenül kicsi időlépésekkel érnénk el. Valójában viszont viszonylag gyorsan elvégezhetők a számítások numerikusan, így számítógéppel gyorsan eredményt kaphatunk. 9

\[8 ;

=P

~∙\∙∆R

∙

w

\T8

+ h P ~∙9\T°;∙∆R ∙ œ ∙ Žk °ow

°[8 m

∙∆

(3.65.)

35

¡9

\T8

¢ ∙\∙∆R ¢ ~ ∙ ¡w + h P ~∙9\T°;∙∆R ∙ œ ∙ Žk \[8 ; = P °ow

°[8 m

∙∆

(3.66.)

A (3.65.) és (3.66.)-os egyenlet a valós rendszer és a prediktált rendszer állapotváltozónak diszkrét megoldási egyenlete. Könnyebbséget jelent, hogy a késleltetett tagot nem kell ismételten kiszámítanunk, hiszen az a keresett állapotváltozó adott idővel korábbi értéke. A (3.64.)-es összefüggésbe helyettesítve a fenti egyenleteket, a szabályozóerő

időfüggvénye és egyben az inga mozgásegyenlete is meghatározható, hiszen ez 9 \ ; diszkrét

időfüggvény az folytonos megoldást közelíti.

Fontos azonban megjegyezni, hogy a rendszer indításakor egy tranziens jelenséghez hasonló jelenséget kell figyelembe vennünk. Ez azért van, mert amíg az időkésés le nem telik, a visszacsatolásban jel nem jelenik meg (ilyet mutat például a 3-14. ábra szabályozóerő függvényének kezdeti szakasza). Vagyis a numerikus program elkészítésekor figyelembe

kellett venni azt is, hogy kezdeti időponttól O és Õ időkésésig melyik jel ér vissza hamarabb.

Tehát ha például Õ < O, akkor Õ ideig nincs jel, majd ¡ jel ér vissza elsőként. Ha azonban O < Õ , akkor O ideig nincs jel, majd

jel után érkezik csak az ¡ visszacsatolt jel O − Õ idővel.

Ilyen példát mutat a 3-11. ábra. A 0 ≤ < O intervallumon nincs kimeneti jel, mivel a

késleltetés a bemeneti jelet O ideig tartja, hiába van bemenet. Ezt követően O ≤ < Õ

tartományon csak 9 ; jel ér még vissza, ¡9 ; jel csak Õ idő után jelentkezik. A pontos szabályozóerő meghatározásához ezt a jelenséget kellett megfelelően figyelembe venni.

O

Õ

O

Õ

O

Õ

3-11. ábra: Késleltetett visszacsatolás A numerikus számítás tovább egyszerűsíthető, illetve gyorsítható, ha már korábban kiszámított értékeket nem számítunk ki újra. A fenti egyenletben látszik, hogy az összegképzés a nulla időponttól kezdődik. Ez a számítás során minden egyes ciklusban

36

újraszámítódna, ezért érdemes az értékét tárolni, és csak a következő ciklusban történt változással számolni. Vagyis jelen esetben a függvénygörbe alatti területet nem számítjuk ki minden lépésben újra (hiszen az mindig adott), hanem csak a következő szakasz alatti területet adjuk hozzá. Ez természetesen csak a számításban jelent egyszerűsítést, az időfüggvény esetén az integrálási tartomány nem változik, csak a korábbi értékeket nem számítjuk ki újra, mivel értékük változatlan. 9

¡9

\[8 ; \[8 ;

= P ~∙∆R ∙

R±

+ P ~∙∆R ∙ œ ∙ Ž9 \ ; ∙ ∆

(3.67.)

¢ ¢ = P ~∙∆R ∙ ¡R± + P ~∙∆R ∙ œ ∙ Ž9 \ ; ∙ ∆

(3.68.)

A fenti levezetéseket az inga példájára mutattuk be, amely esetén a bemenetet zérusnak

feltételeztük

az

egyensúlytartás

miatt.

Hasonló

megfontolásokkal,

a

blokkdiagramon megmutatható, hogy a bemenet értéke is figyelembe vehető, ellenben ez nem felel meg az egyensúlytartás felvetésünknek. Ez esetben a szabályozóerő kiegészül egy bemeneti †9 ; jellel, amely könnyen hozzávehető a fenti egyenletekhez (3.69.).

Ez a

későbbiekben az eredmények kiértékelésénél fontos szerepet kap. Ž9 \ ; = ª• ∙ k 9

\Tn ;

− ¡9

\Tñ ;

+ ¡9 \ ; − †9 \ ;m

(3.69.)

A 3-12. ábra egy stabil és instabil paraméterkombináció esetén történő megoldást mutat be. A kezdeti feltétel lehet szögelfordulás vagy szögsebesség, jelen esetben ez utóbbinak adtunk nullától eltérő értéket. A stabil paraméterkombináció hatására a rendszer lassú lecsengéssel áll vissza az egyensúlyi helyzetébe. Instabil esetben az egyik domináns instabil gyök fogja meghatározni a lengést. Ha a legnagyobb instabil gyök tisztán valós, lengések nem jelentkeznek, a rendszer exponenciálisan elszáll. Ha ez a gyök egy komplex gyökpár, a megoldás exponenciálisan növekvő lengésű. Érdemes a szabályozóerő és a szöghelyzet időfüggvényét is megtekinteni (3-14. ábra). Látható, hogy hiába van a Smith-prediktor szabályozó beépítve, ha nem mérjük külön szenzorral a zavaró jellemzőt (vagy kezdeti feltételeket), a külső behatásra a szabályozóerő mindig O idővel később jelentkezik. Ez azért van, mert ha egyetlen szenzort használunk,

annak időkésését így nem tudjuk megkerülni. Ha a rendszert a N bemenet felöl szabályozzuk,

nem pedig a ‘ zavarással, ahogy a 3-2. ábra mutatja, akkor ez az időkésés nem okoz problémát. Ellenben ez nem felel meg az inga egyensúlyozásának, hiszen a N bemenet az

egyensúlyi helyzet, ami konstans nulla értékű. Ha ezt ettől eltérőnek vesszük, az azt jelentené, hogy az ingát egy egyensúlyi helyzettől eltérő pozícióba kívánjuk hozni. Ettől függetlenül a stabilitási térképek változatlanok, hiszen a karakterisztikus egyenletek megegyeznek. Eltérés csak az ideális esetben van, amit már tárgyaltunk, amikor egy zérussal egy instabil gyök kiejthető.

37

3-12. ábra: Számítási eredmények stabil (E = 0, = 8) és instabil (E = 0, (D = 0,5, O = 1, D‹ = 0,8D, Õ = 0,5O)

= 11) esetre

3-13. ábra: Számítási eredmények paraméteregyezés esetén (D = 0,5, O = 1, D‹ = D, Õ = 0,5O, E = 3, = 3) Speciális

esetként

kezelendő

tehát

a

korábban

már

levezetett

D‹ = D

paraméterkombináció. Ez esetben ugyanis jelentkezik egy nulla valós értékű komplex póluspár (3.37.). Ennek eredményeképpen a rendszer állandósult állapotban nem cseng le, állandó amplitúdójú lengéseket végez (Lyapunov értelemben stabil, nem aszimptotikusan). A 3-13. ábra egy ilyen esetet mutat be. Habár a szabályozóerő exponenciálisan lecsökken, a rendszer mozgása nem áll meg.

38

3-14. ábra: Számítási eredmények egy stabil példára (D = 0,5, O = 1, D‹ = 0,8D, Õ = 0,5O, E = 0, = 7) A rendszer pólusinak száma és milyensége határozza meg a beállást. A statikus stabilitásvesztési görbe átlépésével eggyel növekszik az instabil gyökök száma. Ez azért van mert itt egy tisztán valós gyök lépi át a képzetes tengelyt balról jobbra. Ennek eredményeképpen az egy instabil gyököt tartalmazó tartományon az időfüggvény megoldása exponenciálisan növekszik. Dinamikus stabilitásvesztés esetén a domináns instabil gyökpár egy komplex konjugált pár. Így a megoldás exponenciálisan, lengésekkel elszáll. Ezt a két példát mutatja a 3-15. ábra.

Statikus stabilitásvesztés

Dinamikus stabilitásvesztés

3-15. ábra: Statikus és dinamikus stabilitásvesztés Az időfüggvényeket meghatározó numerikus programot MathWorks MATLAB® programmal készítettem. Az eredményeket Simulink® szimulációs környezettel kapott eredményekkel hasonlítottam össze. A két numerikus megoldás teljesen megegyező görbéket adott, eltérés csak a numerikus sémák között volt. A szimulációban ugyanis a pontosabb megoldás érdekében negyedrendű Runge-Kutta megoldót alkalmaztunk. Elkészítettük a rendszer állapottér modell alapján felírható blokkdiagramját Simulink® környezetben (3-10.

39

ábra), majd ennek az eredményét vetettük össze. A 3-16. ábra az így kapott szabályozóerők eltérését mutatja néhány pontban kinagyítva. A legnagyobb eltérések az időintervallumok végén jelentkeznek, mivel a numerikus integrálok hibája az időlépések növekedésével folyamatosan nő. Ez a növekvő eltérés látható a kinagyított pontokon. Ezzel szemben viszont viszonylag kicsi időlépéssel, rövid idő alatt elég pontos eredményt kaphatunk.

Számítás

Szimuláció

3-16. ábra: Szimuláció és számítás eredményei (időlépés: ∆ = 0,005) (Folytonos vonal a számítás, szaggatott a szimuláció eredménye)

3.8. MOZGÁSEGYENLET AZ ÁTVITELI FÜGGVÉNYBŐL ÉS ÁTM-BŐL Korábbi fejezetekben levezettük a Smith-prediktor átviteli függvényét, amelyre a (3.13.)-as egyenlet adódott. Ezt az alakot a (3.32.)-es összefüggésben polinomtört formára tudtuk hozni, de a kifejezés továbbra is a bemenet és a kimenet kapcsolatát mutatja. A nevezővel átszorozhatjuk az egyenletet, és az így kapott negyedrendű egyenlet a rendszer egyenlete a bemenet és kimenet között. Abban az esetben, ha a bemenet zérus, vagyis jelen esetben egyensúlyozásról beszélünk, a jobb oldal értéke nulla, hiszen a N bemenet is nulla. Mivel a kimenet a szögelfordulás, a blokkdiagramon jelezett

kimenetet most

koordinátával helyettesíthetjük.

09F + + D‹;9F + + D; + 9E + F ; –9F + + D; + 9F + + D‹; ∙ P T U − 9F + + D; ∙ P T U‹ —1 ∙ 9F; = 0

(3.70.)

Ezt követően felbonthatjuk a zárójeleket és elvégezhetjük az inverz Laplace transzformációt. Eredményképpen egy negyedrendű késleltetett differenciálegyenlet adódik, amely az egyensúlyozás, vagy egyensúlyi pontban tartás esetén érvényes összefüggés. Az így kapott alak az általános mozgásegyenlet: ³´ 9

40

; = −9D + D‹; ∙ 5 9 ; − D ∙ D‹ ∙ 9 ; − E ∙ 5 9 ; − D ∙ E ∙ 9 ; − ∙ µ9 ; − D ∙ −E ∙ 5 9 − O; − ∙ µ9 − O; − D‹ ∙ ∙ 9 − O; − D‹ ∙ E ∙ 9 − O; +E ∙ 5 9 − Õ ; + ∙ µ9 − Õ ; + D ∙ ∙ 9 − Õ ; + D ∙ E ∙ 9 − Õ ;

∙ 9 ;

(3.71.)

A (3.71.)-es egyenleten is látható, hogy ha paraméterek megegyeznek, a késleltetett tagok egytől-egyig kiesnek, ellenben az egyenlet továbbra is negyedrendű marad. Ha az egyszerűsítést már az átviteli függvény törtalakján elvégeznénk, csak másodrendű egyenletet kapnánk (pole-zero cancellation-re vezet vissza). A megoldás az állapottér modell egyenleteiből is kifejezhető. A levezetés azonban igencsak bonyolult, mivel a mátrixalak nem használható.

9 ; = ~ ∙ 9 ; + œ ∙ Ž9 ;

~=

0 1 , −D 0

¢= ~

¢ ∙ ¡9 ; + œ ∙ Ž9 ; ¡9 ; = ~

0 1 , −D‹ 0

œ=

0 , 1

9 ;=

Ž9 ; = ª• ∙ k 9 − O; − ¡9 − Õ ; + ¡9 ;m,

(3.72.) 9 ; , 9 ;

¡9 ; = ¤

ª• = Ÿ−E

−

‹9 ; ¥ ‹9 ;

(3.73.) (3.74.) (3.75.)

A probléma az egyenletek áthelyettesítésénél van. Mikor a (3.75.)-os egyenletet a (3.72.)-es összefüggésbe helyettesítjük, a œ és ª• vektorokat össze kell szoroznunk. Ez egy szinguláris

mátrixot eredményez, ami nem invertálható (3.76.). A megoldáshoz azonban szükségünk lenne ennek az inverzére, viszont ez így nem létezik. 0 œª• = −E

−

0

(3.76.)

A megoldás ettől függetlenül levezethető, csak a mátrixegyenleteket skaláregyenletekre kell bontanunk. A (3.72.)-es összefüggésbe helyettesítsük a (3.75.)-os egyenletet, majd bontsuk fel az eredményt skaláregyenletre és rendezzük át. A két egyenlet közül egy egyenlet marad:

5 9 ; + D ∙ 9 ; + E ∙ 9 − O; + ∙ 9 − O; = −E ∙ k ‹9 ; − ‹9 − Õ ;m − ∙ – ‹ 9 ; − ‹ 9 − Õ ;—

(3.77.)

A (3.72.) és (3.73.)-as számú összefüggést összevonhatjuk, hiszen mindkét egyenlet tartalmazza az Ž9 ; szabályozóerőt. Ebből további egyenletet gyerünk, amelynek vehetjük egy Õ -mal korábbi alakját is. Ezt az egyenletet kell majd helyettesítenünk. A célunk az, hogy

kifejezzük a 9 ; differenciálegyenletét a ‹9 ; prediktált állapotok nélkül. Ehhez azonban a

(3.77.)-as egyenletből ezeket ki kell küszöbölnünk.

‹5 9 ; = 5 9 ; + D ∙ 9 ; − D‹ ∙ ‹ 9 ;

‹5 9 − Õ ; = 5 9 − Õ ; + D ∙ 9 − Õ ; − D‹ ∙ ‹9 − Õ ;

(3.78.) (3.79.)

Első lépésben deriváljuk idő szerint egyszer a (3.77.)-as egyenletet, majd rendezzük kicsit át:

µ9 ; = −D ∙ 9 ; − E ∙ 9 − O; − ∙ 5 9 − O; −E ∙ – ‹ 9 ; − ‹ 9 − Õ ;— − ∙ – ‹5 9 ; − ‹5 9 − Õ ;—

(3.80.)

41

Az így kapott (3.80.)-as egyenlet utolsó ‹5 9 ; és ‹5 9 − Õ ; tagjait tudjuk helyettesíteni a (3.78.) és (3.79.)-as összefüggéssel:

µ9 ; = −D ∙ 9 ; − E ∙ 9 − O; −

− ∙ k 5 9 ; + D ∙ 9 ; − D‹ ∙ ‹9 ;m +

∙ 5 9 − O; − E ∙ – ‹ 9 ; − ‹ 9 − Õ ;—

∙ k 5 9 − Õ ; + D ∙ 9 − Õ ; − D‹ ∙ ‹9 − Õ ;m

(3.81.)

Ezt követően ismét deriváljuk le az összefüggést egyszer idő szerint: ³´ 9

; = −D ∙ 5 9 ; − E ∙ 5 9 − O; −

− ∙ – µ9 ; + D ∙ 9 ; − D‹ ∙ ‹ 9 ;— +

∙ µ9 − O; − E ∙ – ‹5 9 ; − ‹5 9 − Õ ;—

∙ – µ9 − Õ ; + D ∙ 9 − Õ ; − D‹ ∙ ‹ 9 − Õ ;—

(3.82.)

Ismét át tudunk helyettesíteni újabb ‹5 9 ; és ‹5 9 − Õ ; tagokat: ³´ 9

; = −D ∙ 5 9 ; − E ∙ 5 9 − O; −

∙ µ9 − O; − E ∙ k 5 9 ; + D ∙ 9 ; − D‹ ∙ ‹9 ;m

+E ∙ k 5 9 − Õ ; + D ∙ 9 − Õ ; − D‹ ∙ ‹ 9 − Õ ;m −

∙ – µ9 ; + D ∙ 9 ; − D‹ ∙ ‹ 9 ;—

+ ∙ – µ9 − Õ ; + D ∙ 9 − Õ ; − D‹ ∙ ‹ 9 − Õ ;—

(3.83.)

Redezzük át a prediktált tagokat egy helyre, hogy könnyen kiemelhetők legyenek: ³´ 9

; = −D ∙ 5 9 ; − E ∙ 5 9 − O; − ∙ µ9 − O; − E ∙ k 5 9 ; + D ∙ 9 ;m +E ∙ k 5 9 − Õ ; + D ∙ 9 − Õ ;m − ∙ k µ9 ; + D ∙ 9 ;m + ∙ k µ9 − Õ ; + D ∙ 9 − Õ ;m −D‹ ∙ 0−E ∙ k ‹9 ; − ‹9 − Õ ;m −

∙ – ‹ 9 ; − ‹ 9 − Õ ;—1

(3.84.)

Látható, hogy az utolsó sor tényezője megegyezik a (3.77.)-es kiinduló egyenlet második felével. Vagyis helyettesíthetjük annak az egyenletnek a bal oldalát a jelenlegi egyenletünkbe. ³´ 9

; = −9D + D‹; ∙ 5 9 ; − D ∙ D‹ ∙ 9 ; − E ∙ 5 9 ; − D ∙ E ∙ 9 ; − ∙ µ9 ; − D ∙ −E ∙ 5 9 − O; − ∙ µ9 − O; − D‹ ∙ ∙ 9 − O; − D‹ ∙ E ∙ 9 − O; +E ∙ 5 9 − Õ ; + ∙ µ9 − Õ ; + D ∙ ∙ 9 − Õ ; + D ∙ E ∙ 9 − Õ ;

∙ 9 ;

(3.85.)

Ezzel minden egyes prediktált függvényt ki tudtunk küszöbölni. Az így nyert (3.85.)-ös megoldás teljes egészében megegyezik a (3.71.)-es egyenlettel. Vagyis a két módszer ugyanarra a negyedrendű késleltetett differenciálegyenletre vezetett vissza.

3.9. STABILITÁSVIZSGÁLAT A DISZKRETIZÁLT MOZGÁSEGYENLETTEL Ebben az alfejezetben megvizsgáljuk a mozgásegyenlet stabilitását, amelynek végeredménye az analitikus eredménnyel összevethető. Célunk, hogy a szemi-diszkretizációs módszerrel is megvizsgáljuk a stabilitást. A (3.71.)-es egyenlet megoldásához is használhatjuk a mátrixexponenciális módszert, ehhez viszont át kell alakítanunk az egyenletet, ilyen formában ugyanis ezt nem tehetjük meg. Használjuk a Cauchy-átírást és (3.71.)-ös egyenletet rendezzük mátrixalakba a következő szerint:

42

9 ;=¶∙ 9 ;+

∙ 9 − O; + · ∙ 9 − Õ ;

(3.86.)

9 ;

0 0 0 −E ∙ D‹

9 9 59 µ9

;' 0 ;& 0 = 0 ;& & −D ∙ D‹ − E ∙ D ;%

0 0 0 − ∙ D‹

0 0 0 −E

0 0 0 −

¶

1 0 0 − ∙D

9 ' &∙ 9 & 59 & % µ9

0 1 0 −E − D − D‹

− O;' 0 − O;& 0 + 0 − O;& & E∙D − O;%

0 0 0 ∙D

9 − O;

·

0 0 1 −

9 ;

9 ;' ' & ∙ 9 ;& + & 5 9 ;& & & % µ9 ;% 9 − Õ ;' 0 0' 9 − Õ ;& 0 0& ∙ 0 0& 5 9 − Õ ;& & & E % µ9 − Õ ;%

(3.87.)

9 − Õ ;

A szemi-diszkretizációs módszer lényege, hogy a késleltetett tagokat minden diszkretizációs lépésben szakaszonként állandó értékkel közelítjük. Ennek következtében az időkésés is olyan, mintha diszkretizációs lépésenként szakaszonként periodikusan változna, ezt mutatja a 3-17. ábra. Minél kisebb a diszkretizációs lépés, a diszkrét időkésés annál jobban közelíti a folytonost, de csak végtelenül sűrű felbontásnál éri el azt [11].

3-17. ábra: Szemi-diszkretizáció miatt létrejövő időfüggő időkésés [11] A szemi-diszkretizációt alkalmazva az így kapott (3.86.)-os alakot megoldhatjuk az eddigi módszerekhez hasonlóan, de attól kicsit eltérően. Keressük ismét a megoldást 9 ; = P ¶R ∙ ‡9 ; alakban, és helyettesítsük ezt be a függvénybe. A késleltetett tagokat viszont

ezzel szemben vegyük szakaszonként konstansnak (korábbi megfontolások alapján). ¶ ∙ P ¶R ∙ ‡9 ; + P ¶R ∙ ‡9 ; = ¶ ∙ P ¶R ∙ ‡9 ; +

∙ 9 − O; + · ∙ 9 − Õ ;

(3.88.)

Egyszerűsítsük le az egyenletet, majd integráljuk azt a megfelelő módon. ‡9 ; = P T¶R ∙ R

‡9 ; = ‰ P T¶ ∙ RŠ

∙ 9 − O; + P T¶R ∙ · ∙ 9 − Õ ; R

∙ 9 − O; F + ‰ P T¶ ∙ · ∙ 9 − Õ ; F + ˆ RŠ

(3.89.) (3.90.)

Az integrálási konstanst a kezdeti feltételből határozhatjuk meg, ‡9 ; függvényt pedig a kezdeti helyettesítésből.

‡9 ; = P T¶R ∙ 9 ; ˆ = P T¶RŠ

RŠ

(3.91.) (3.92.)

Mivel a késleltetett tagokat szakaszonként konstansnak feltételeztük, ezért azok az integrálásból kiemelhetők.

43

9 ; = P ¶9RTRŠ;

Ezt

követően

RŠ

R

R

F ∙ 9 − O; + ‰ P ¶9RT ; ∙ · F ∙ 9 − Õ ;

+ ‰ P ¶9RT ; ∙

vegyük

RŠ

=

a

\[8

w

és

=

\

RŠ

időpontot,

hasonlóan,

(3.93.) ahogy

a

diszkretizációnál vettük, korábban a (3.62.)-es összefüggések szerint. Így az integrálási tartományok is átírhatók. 9

∆R

¶∙∆R ∙ 9 \ ; + ‰ P ¶9∆RT ; ∙ \[8 ; = P

∆R

F∙ 9

w

¶9∆RT ; ∙· F∙ 9 \Tn ; + ‰ P w

\Tñ ;

(3.94.)

A kapott együtthatók konstans mátrixok, vezessünk be új jelölést: ¸ = P ¶∙∆R ,

∆R

¹ = ‰ P ¶9∆RT ; ∙

F,

w

∆R

º = ‰ P ¶9∆RT ; ∙ · F w

(3.95.)

Az így kapott (3.94.)-es egyenlet szerint bármelyik időpontbeli érték kiszámítható a korábbi értékek ismeretében. Ez alapján felírható egy olyan együtthatómátrix, amely kapcsolatot teremt bármely

\[8

időpillanatbeli érték és v vagy ṽ darab korábbi értékek között. ' & & & ⋮ &= \Tn[8 & ⋮ & \Tñ [8 % \[8

\ \T8 \T+

¸ © ½ ½ ⋮ ½ ½

½ ½ © ½ ⋮ ½ ½

§\[8 = » ∙ §\

… … … … … …

½ ½ ½ ½ ⋮ ½ ½

¹ ½ ½ ½ ⋮ ½ ½

½ ½ ½ ½ ⋮ ½ ½

… … … … … …

½ ½ ½ ½ ⋮ ½ ©

º' ½& ½& ½&∙ ⋮& ½& ½%

\

(3.96.)

'

\T8 & \T+

&

\T• &

⋮ & \Tn & ⋮ & \Tñ %

(3.97.)

Jelen esetben » együtthatómátrix minden eleme egyben egy 4x4-es almátrix is. A fenti

felírás olyan esetre vonatkozik, amikor Õ L O, de fordítva is felírható a mátrix. Ekkor a ¹ és

º almátrixok sorrendje, pontosabban helye felcserélődik. Az is előfordulhat, hogy Õ = O ,

vagyis egyenlőség esetén a két almátrix összeadódik. Ha a paraméterek megegyeznek a két mátrix éppen ellenkező előjellel adódik össze, összegük nulla lesz. Ez a felírásmód mértani sorhoz hasonló, a stabilitásvizsgálatot ezen is el tudjuk

végezni. Egy mértani sor akkor konvergens, ha a kvóciens abszolút értékben kisebb, mint egy. Ez a fenti példára úgy fogalmazható meg, hogy a megoldás akkor stabil, ha az

együtthatómátrix minden ¾\ sajátértékének abszolút értéke kisebb, mint egy. Ezek közül a

legnagyobb sajátérték azt mutatja meg, hogy a megoldás egy diszkretizációs időlépés alatt az előzőhöz képest hányad részére csökkent (vagy növekedett, ha nagyobb, mint egy). Ennek alapján megmutathatjuk, hogy tetszőleges idő alatt a kezdeti állapothoz képest hányad részére csillapodott a rendszernek a lengése. Például megnézhetjük, hogy egy másodperc után mennyire csillapodott a rendszer, ha meghatározzuk, hogy egy másodpercet hány ∆ időlépésre osztottunk fel:

s=

44

1 ∆

(3.98.)

Ha belátjuk, hogy ¾>?@ a rendszer egy időlépés alatti csillapítását jellemzi, akkor

összevethetjük a különböző paraméterkombinációkhoz tartozó csillapításokat, amelyeket s időre képezünk le a következők alapján:

§} = »}T8 ∙ »}T+ ∙ »}T• ∙ ⋯ »w ∙ §w , ahol

»\ = »

(3.99.)

Ha az átviteli mátrixok megegyeznek, akkor a ¾>?@ sajátértékeik is. Az előzőgondolatot

folytatva, az egy másodpercre definiált csillapítási arány a következőképpen adható meg: s

1 ∆

¿ = –À¾W À )D — = –À¾W À )D —

(3.100.)

A fenti kritériummal elkészíthető egy diszktrét stabilitási térkép, ahol minden pontban

meghatározzuk az adott mátrix sajátértékeit. Ehhez a E- síkot diszkrét pontokra bontjuk,

megfelelő felbontással, hogy az analitikus eredményhez viszonyítható legyen. A vizsgálat során a rendszerparaméter és az időkésés, valamint a prediktormodell paraméterei állandók, csak E és

értékét kell változtatni minden egyes pontban. Ehhez minden pontban újra és

újra fel kell írni és ki kell számítani a » mátrix ¾\ sajátértékeit. Ha tehát a legnagyobb

abszolút értékű sajátérték kisebb, mint egy, a rendszer stabil, ahol nagyobb, mint egy, ott instabil. Ezek alapján a térkép minden egyes pontjához rendelhető egy valós szám, amely a stabilitást jellemzi. Analitikus megoldás nem teszi lehetővé (illetve túlságosan bonyolult) a leggyorsabb beállású pont megkeresését. Ez egy szabályozási cél lehet, hogy azt a paraméterkombinációt állítsuk be, amely mellett a rendszer lefutása a leggyorsabb. Ez megfelel a teljes térképen a legkisebb sajátértékű pontnak (stabil tartományon belül), amit a ¿ csillapítás segítségével

határozhatunk meg. Vagyis ahol a sajátérték a legkisebb, ott a rendszer legnagyobb időállandója minimális lesz, a lehető leggyorsabban áll be a kívánt pontba az összes paraméterkombináció közül. A szintvonalakkal jelölt térképen csak a stabil tartományokat láthatók beszintezve, a leggyorsabb beállású pont így jól meghatározható. Ez az a pont lesz, amelyet a szintvonalak elkezdenek közbeölelni. Láthatóan ez nem egyezik meg a terület súlypontjával, attól általában eltolva jelentkezik. A fentieknek megfelelően elkészített numerikus stabilitástérképek ezt mutatják

(3-18. ábra és 3-19. ábra). A diagramok paraméterei megfelelnek a 3.4-es alfejezetben található ábrákéval, így azokkal jól összehasonlíthatók. Láthatóan az analitikus eredmény (vékony görbe) jól körbeöleli a numerikusan számított stabil pontokat (nagy pontok), míg az instabil pontok kívül esnek ezen (kis pontok). Eltérés jellemzően a határgörbe széleinél

jelentkezhet, de a numerikus ∆ lépésközök finomításával ez az eltérés csökkenthető. Abban

az esetben, ha éppen egy D-görbén találunk el egy pontot (pl. statikus határgörbét könnyű beállítni), akkor a numerikus hiba miatt ott véletlenszerűen hol stabil, hol instabil eredményt kapunk.

45

A 3-18. ábra egy lehetséges paraméterkombinációra elkészített numerikus térképet mutat, rajta az analitikus D-görbékkel. Az eredmény hasonló, eltérés a határokon van csak. A leggyorsabb beállású pont is megmutatható rajta, ellenben ezen a diagramon ez nehezen értelmezhető. A 3-19. ábra ennél lényegesen szemléletesebb.

3-18. ábra: Numerikusan számított stabilitási tartomány és leggyorsabb beállási pont, alsó két ábrán egy részlet kinagyítva (D = 0,5, O = 1, D‹ = 0,8D, Õ = 0,5O, ∆ = 0,01)

3-19. ábra: Numerikusan számított stabilitási tartomány és leggyorsabb beállási pont (D = 0,5, O = 1, D‹ = 1,2D, Õ = 0,5O, ∆ = 0,01) 46

Külön ki kell emelnünk azokat az eseteket, amikor D‹ = D. Korábban bemutatottakat a

jelen stabilitási térképek is bizonyítják. Ha a két paraméter megegyezik, a rendszernek egy

nulla valós értékű pólusa jelenik meg, ez pedig a stabilitás határára kényszerítik azt, állandó amplitúdójú csillapítatlan lengést végez. A numerikus sajátérték-vizsgálat esetén ez megfelel egy egy abszolút értékű sajátértéknek. A 3-21. ábra mutatja az így kapott stabilitási térképet. A szintvonalakon jól látható a numerikus pontatlanság, mint valami numerikus zaj. Mivel a sajátérték meghatározása numerikusan történik, ezért az egy valós értékű sajátérték csak analitikusan lesz pontosan egy értékű. A közelítések miatt ez a szimulációban folyton egy körül fog ugrálni, az időlépés nagyságától függetlenül.

3-20. ábra: Numerikusan számított stabilitási tartomány és leggyorsabb beállási pont (D = 0,5, O = 1, D‹ = D, Õ = O, ∆ = 0,01)

3-21. ábra: Numerikusan számított stabilitási tartomány és leggyorsabb beállási pont (D = 0,5, O = 1, D‹ = D, Õ = 1,8O, ∆ = 0,01) Megvizsgálhatjuk az instabil szabályozott szakasz stabilitási térképét is. Korábban már megmutattuk és bebizonyítottuk, hogy a Smith-prediktor nem alkalmas instabil rendszerek szabályozására, ezt a feltevést a következő módszer is bizonyítva. A numerikus számítás során kapott sajátértékek között megjelenik egy egynél nagyobb sajátérték, amely

47

instabilitást okoz. Ez egyik tartományon sem tűnik el, sőt, a pozitív síknegyedben állandósul egy ilyen gyök értéke, ezt mutatja a 3-22. ábra.

3-22. ábra: Numerikusan számított stabilitási tartomány és leggyorsabb beállási pont (D = −0,5, O = 1, D‹ = D, Õ = O, ∆ = 0,01)

Látható, hogy a pozitív E- sík felé haladva ritkulnak a szintvonalak, végül nincs is változás

a legnagyobb gyök értékében. Ezért nem látható ezen a területen újabb szintvonal (kisebb lépésköz esetén sem). Az analitikus eredményeket jól közelíti nemcsak a numerikus számítás, de a

szimulációs eredmények is. Azon paraméterek mellett, ahol a rendszernek stabilnak kell lennie, ott a szimuláció és az időfüggvények is stabil eredményt adnak. Eltérés közvetlenül a határgörbéken lehet, de attól távol valamennyi eredmény egyező.

48

4. ÖSSZEFOGLALÁS 4.1. ÖSSZEFOGLALÁS A Smith-prediktor egy időkéséssel terhelt szabályozókör számára tervezett speciális kontroller, amely megfelelő paraméterek mellett képes a rendszert ideálisként kezelni, az időkésés kiemelésével a visszacsatolásból. Ez azonban egy olyan speciális eset, amely csak tökéletes paraméteregyezéssel érhető el. A valóság ennél jóval bonyolultabb és ilyen egyszerűsítésekre nem szorítkozhatunk. A dolgozatban levezettük az általános eset egyenleteit, mind időtartományban, mind frekvenciatartományban. Meghatároztuk a teljes zárt kör átviteli függvényét mind a bemenet, mind pedig a zavarás felöl, valamint rámutattunk arra is, miként alkalmazható a Smith-prediktor dinamikai rendszerek stabilizálására. Felírtuk az egyenleteket állapottér modell segítségével is, így általánosabb esetben tudtuk megfogalmazni a dinamikai kezdeti feltételeket, amely a rendszer működése szempontjából meghatározók. Meghatároztuk a rendszer analitikus stabilitási görbéit általános esetben, majd a Stépán módszerrel az instabil gyökök számát is. Ezzel könnyen rámutathattunk a stabil tartományokra, valamint megmutathattuk azt is, hogy a Smith-prediktor miért nem alkalmas instabil rendszerek stabilizálására. Ez már a szakirodalomban magyarázott jelenség, ám jelen munkában más megközelítéssel fogalmaztuk meg. Ezen felül meghatároztuk az időtartománybeli viselkedést, a rendszer időfüggvényeit, és az eredményeket szimulációs környezetben kapott eredményekkel vetettük össze. Megvizsgáltuk a különböző speciális eseteket és rámutattunk azok okára. Az eredmények között sok különös jelenséget tapasztaltunk, amelyre azonban jó magyarázatot tudtunk találni. Végül meghatároztuk a mozgásegyenletet is időtartományban, amely egy negyedrendű késleltetett differenciálegyenletre vezetett vissza. Ennek is elkészítettük a numerikus stabilitási térképét, amely nagyon jó egyezést mutatott az analitikus eredményekkel, továbbá jó magyarázattal szolgált bizonyos speciális esetekre. Az eredményeket több megközelítéssel, több módszerrel vezettük le, de minden végeredmény az előzőt erősítette meg. A modellek minden lépésben az előzőt bővítették ki és segítették az eredmények megértését. Bár a Smith-prediktor egy több mint 50 éves találmány, a fenti módszerrel a stabilitási problémáit még nem vezették le. A dolgozatban közölt módszerek más esetekre is alkalmazhatók és segíthet megérteni más szabályozók működését.

49

4.2. SUMMARY The Smith Predictor is a special controller, which was designed for control loops with feedback delay. If the predicted parameters are perfectly matched, the system can be traced back to optimal control, taking out the time delay from the feedback. This is a special case, which only can be achieved with perfect parameter matching. In fact, these optimal cases do not describe the real behavior, so in this work, the parameter mismatches are also treated. In this final report, the general equations are presented in time- and frequency domain. The transfer function of the closed loop from the side of the input and disturbance are also defined, and the application of the Smith predictor for stabilizing dynamical system is also explained. The equations were also determined with the state space model, as a result, the initial conditions were able to be included. The initial state has an important role in the dynamical behavior. Owing to the block diagram and transfer function in frequency domain, the analytical stability charts were determined, and the number of the unstable characteristic exponents was also specified with the Stepan’s formulas. Therefore the stable regions could easily be found, and it has also pointed at the reason why the Smith Predictor is unable to stabilize unstable plants. This fact can be found in every article in connection with the Smith Predictor, but in this work, tried to approach from a different way, including the parameter and time delay mismatch. In addition, we determined the behavior and functions in time domain, and also compared the results with the simulation. The special cases were also examined and explained. Many interesting phenomenon were found, but each of them can be justified. Finally, the equation of motion was also determined, resulting a fourth order delayed differential equation. The numerical stability charts were prepared and compared to the analytical results. The comparison resulted small difference but explained some special case as well. To be sure of the results, more methods were applied, but each of them verified the previous ones. Every model extended the former models and helped us to understand the operation of the controller. Although the Smith Predictor is a more than 50 years old invention, the presented methods have not been applied to this structure yet. This report may be able to help us to understand other controllers and systems.

50

5. FÜGGELÉK A. ROUTH-HURWITZ KRITÉRIUM A Routh-Hurwitz stabilitási kritérium szükséges és elégséges feltétele a lineáris időinvariáns rendszereknek. A vizsgálat a rendszer karakterisztikus egyenletén történik, amely a fent említett esetben a (A.1.)-es általános alakban írható fel egy s-ed fokú rendszer esetén. E9F; = D} ∙ F } + D}T8 ∙ F }T8 + D}T+ ∙ F }T+ + ⋯ + D8 ∙ F + Dw

(A.1.)

A kritérium szerint aszimptotikusan stabil, ha a karakterisztikus egyenlet minden együtthatója pozitív (A.2.), valamint az együtthatókból képzett Routh-Hurwitz determináns (A.3.) és annak minden főátló szerinti aldeterminánsa pozitív.

Â=

D8 D• DÃ ⋮

D° L 0

D+}T8

Dw D+ D” ⋮ D+}T+

Á = 0,1,2 … s 0 D8 D• ⋮

D+}T•

0 Dw D+ ⋮

D+}T”

(A.2.) … … …

…

0' 0& 0& ⋮& D} %

(A.3.)

Egy másodrendű rendszer esetén tehát a determináns a következőképpen nézni ki: D8 Ä+ = det 0

Dw D+ L 0

(A.4.)

Kifejtve a determinánst, látható, hogy nem adódik új feltétel ((A.5.) és (A.6.)). Vagyis másodrendű rendszernél szükséges és elégséges az együtthatókat megvizsgálni. Magasabb rendű rendszer esetén már a determináns felírása és vizsgálata nem hagyható el. Dw , D8 , D+ L 0 D8 ∙ D+ L 0

(A.5.) (A.6.)

I

II

6. IRODALOMJEGYZÉK [1] G. Stépán, Robotok mechanikája, Előadás, BME, 2012 [2] Z. J. Palmor, Time-delay compensation-smith predictor and its modifications, in W.S. Levine, editor, The Control Handbook: 224-237, Boca Raton, Fl, 2000. CRC and IEEE Press. [3] O. J. M. Smith, Closer control of loops with dead time, Chem. Engrg. Prog., 53(5): 217219, 1957. [4] Q. C. Zhong, Bridging Finite-Spectrum Assignment and Smith Predictor, 2003. febr. 14. [5] T.

Insperger

and

G.

Stepan,

Semi-Discretization

for

Time-Delay

Systems,

Springer, New York, 2011. [6] G. Stépán, Retarded dynamical systems, Longman, Harlow, 1989. [7] J. Kovács, Számítógépes irányításelmélet, Jegyzet, BME, 2009. [8] W.

Michiels

and

S.-I.

Niculescu,

On

the

delay

sensitivity

of

Smith

Predictors, International Journal of Systems Science, 34(8-9):543–551, 2003. [9] M. Krstic, Delay compensation for nonlinear, adaptive, and PDE systems, Birkhäuser, Boston, 2009. [10] Q. G. Wang, T. H. Lee, K. K. Tan, Finite Spectrum Assignment for Time Delay Systems, Springer, 1999. [11] T. Insperger, G. Stépán, Semi-discretization method for delayed systems, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Int. J. Numer. Meth. Engng, 2002, 55:5003-518 (DOI: 10.1002/nme.505)

III

A SMITH-PREDIKTOR ALKALMAZÁSA

Recommend Documents