A lengőfűrészelésről Az [ 1 ] tankönyvben ezt írják a lengőfűrészről, működéséről, használatáról: „ A lengőfűrész árkolásra, csaprések készítésére alkalmazott, 150…200 mm átmérőjű, 3…4 mm vastag, sűrű fogazású fűrészlapból és befogótárcsákból álló szerszám. A vízszintes síkból kibillentett fűrészlap forgó és lengő mozgása következtében saját vastagságánál szélesebb rést mar ki. A B résszélesség a lap síkjának a vízszintessel bezárt φ szögétől függően változik ( 90. ábra ).
1. ábra A fűrészlap hajlásszöge a szorítótárcsákon levő skáláról leolvasható ( 91. ábra ).
2. ábra A B résszélesség értéke a hajlásszög és a fűrész - átmérő ismeretében a következő képlettel számítható: B = D ⋅ sin ϕ ( mm ) , (1)
2
ahol B a résszélesség ( mm ); D a szerszám élkörátmérője ( mm ); φ a fűrészlap hajlásszöge.” Eddig az idézet. Ezt korábban is olvastuk már. Viszont felmerültek egyéb kérdések is, melyekre még nem tudjuk a választ. Az egyik ilyen maga az elnevezés: milyen lengésről van szó, hogyan áll ez elő, és mit eredményez. Most ennek járunk utána. Ehhez tekintsük a 3. ábrát is!
3. ábra Itt az átmérője körül α szögben elfordított körtárcsa elöl - és felülnézeti képét látjuk. A lengés kérdését itt úgy vizsgáljuk, hogy nem a ferde tárcsát forgatjuk el
3
ϑ = ω⋅ t
(2) szöggel a z tengely körül, hanem a tárcsát állva hagyva mi magunk forgunk visszafelé ϑ szöggel, miközben figyeljük, hogy a tárcsa jobb oldali széle mennyire fordul el a kezdő helyzetéhez képest. Ez a két eljárás ugyanazt eredményezi. A 3. ábrán a ϑ szög 30, 60 és 90 fokos értékeihez tartozó tárcsaszél - helyzeteket szerkesztettük meg. A szerkesztés eredményeként megállapíthatjuk, hogy a tárcsa megfigyelt jobb oldali széle az idő függvényében egy köríven – piros vonal – mozog. Eszerint helyénvaló az 1. ábrán a horony aljának íves rajza. A körív menti mozgás létezését számítással is igazoljuk, az alábbiak szerint. A felülnézeti ( kék ) ellipszis polárkoordinátás kifejezése – ennek levezetését az Olvasó megtalálhatja egy korábbi dolgozatunkban, melynek címe: Az ellipszis két körrel történő szerkesztéséhez – az alábbi:
ρ(ϕ) =
1
,
cos ϕ sin ϕ + 2 a2 b 2
2
(3)
ahol a pólus az ellipszis O középpontja, és a φ polárszöget az ellipszis nagytengelyétől mérjük. Minthogy itt éppen ellenkezőleg, a kistengelytől mérjük a ϑ szöget, ezért a
ϕ = 90 − ϑ
(4)
helyettesítéssel ( 3 ) - ból kapjuk a rádiusz - vektor – [ 2 ] – kifejezésére, hogy
ρ(ϑ) =
1 sin ϑ cos ϑ + a2 b2 2
2
.
(5)
Most alkalmazva, hogy az ellipszis tengely - szakaszai a=R , , b = R ⋅ cos α
(6)
( 5 ) és ( 6 ) - tal:
ρ(ϑ) =
1 sin ϑ cos ϑ + 2 2 R R ⋅ cos 2 α 2
2
=
R cos ϑ sin ϑ + cos 2 α 2
.
(7)
2
Most a szerkesztést követve bevezetjük az alábbi újabb változókat:
y' = ρ , z ' = ρ ⋅ cos ϑ⋅ tgα
.
(8)
4
Azt várjuk, hogy az összetartozó ( y’ , z’ ) koordináták a körív egy pontjának koordinátái. Ennek igazolására ( 8 ) - cal: y '2 + z '2 = ρ2 + ρ2 ⋅ cos 2 ϑ⋅ tg 2 α = ρ2 ⋅ 1 + cos 2 ϑ⋅ tg 2 α ,
(
tehát:
(
)
)
y '2 + z '2 = ρ2 ⋅ 1 + cos 2 ϑ⋅ tg 2 α .
(9)
Majd ( 7 ) és ( 9 ) - cel: R2 y ' + z ' = ρ ⋅ 1 + cos ϑ⋅ tg α = ⋅ 1 + cos 2 ϑ⋅ tg 2 α = 2 cos ϑ sin 2 ϑ + cos 2 α R 2 ⋅ cos 2 α = ⋅ 1 + cos 2 ϑ⋅ tg 2 α = 2 2 2 cos α ⋅ sin ϑ + cos ϑ R2 = ⋅ cos 2 α + cos 2 ϑ⋅ sin 2 α , 2 2 2 cos α ⋅ sin ϑ + cos ϑ 2
2
2
(
2
2
)
(
(
)
)
(
)
tehát:
R2 ⋅ cos 2 α + cos 2 ϑ⋅ sin 2 α . y' + z' = 2 2 2 cos α ⋅ sin ϑ + cos ϑ 2
(
2
)
( 10 )
Részletszámítás: cos 2 α ⋅ sin 2 ϑ + cos 2 ϑ = cos 2 α ⋅ 1 − cos 2 ϑ + cos 2 ϑ = cos 2 α + cos 2 ϑ⋅ 1 − cos 2 α =
(
)
(
)
= cos 2 α + cos 2 ϑ⋅ sin 2 α , tehát:
cos 2 α ⋅ sin 2 ϑ + cos 2 ϑ = cos 2 α + cos 2 ϑ⋅ sin 2 α ,
( 11 )
így ( 10 ) és ( 11 ) - gyel kapjuk, hogy
y '2 + z '2 = R 2 ,
( 12 )
ami valóban egy O középpontú, R sugarú kör egyenlete. Ezután megvizsgáljuk a tárcsa lengésének időfüggvényét; ehhez felírjuk a z’ = z’( t ) kifejezést. Most ( 7 ) és ( 8 / 2 ) - vel:
z'=
R ⋅ tgα ⋅ cos ϑ
cos ϑ sin ϑ + cos 2 α 2
2
;
( 13 )
5
Részletszámítás: cos 2 ϑ cos 2 ϑ 1 2 2 2 sin ϑ + = 1 − cos ϑ + = 1 + cos ϑ⋅ − 1 = 2 2 2 cos α cos α cos α
1 − cos 2 α sin 2 α 2 = 1 + cos ϑ⋅ = 1 + cos ϑ⋅ = cos 2 α cos 2 α = 1 + tg 2α ⋅ cos 2 ϑ , 2
tehát:
cos 2 ϑ 2 2 sin ϑ + = 1 + tg α ⋅ cos ϑ. cos 2 α 2
( 14 )
Majd ( 13 ) és ( 14 ) - gyel:
z '(ϑ) = R ⋅
tgα ⋅ cos ϑ
1 + tg 2 α ⋅ cos 2 ϑ
;
( 15 )
végül ( 2 ) és ( 15 ) - tel:
tgα ⋅ cos ( ω⋅ t )
z '(t ) = R ⋅
1 + tg α ⋅ cos ( ω⋅ t ) 2
2
.
( 16 )
Ez a tárcsa megfigyelt jobb széle függőleges lengésének időfüggvénye. 5.5
z' , y' ( cm )
f(x)=20/3*cos(x)/(sqrt (1+16/9*cos(x)*cos(x))) f(x)=sqrt (25-sqr(20/3*cos(x)/(sqrt(1+16/9*cos(x)*cos(x)))))
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
t(s ) π/10
π/5
3π/10
2π/5
π/2
3π/5
7π/10
4π/5
9π/10
π
11π/10
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
-4
4. ábra
6π/5
13π/10
7π/5
3π/2
8π/5
17π/10
9π/5
19π/10
2π
21π/10
6
A 4. ábrán ábrázoltuk a ( 16 ) függvényt a 3. ábrának megfelelő
R = 5 cm , tgα = 4 / 3 , ω = 1 1/ s
(A)
adatokkal – piros görbe. Látjuk, hogy ez nem egy egyszerű koszinusz - görbe. A teljesség kedvéért felírjuk a forgó tárcsa jobb széle vízszintes elmozdulásának idő függvényét is. ( 12 ) - ből:
y '(t ) = R 2 − z '2 (t ) ,
( 17 )
ahol z’( t ) a ( 16 ) képlet szerinti. Ennek grafikonja a 4. ábrán a kék görbe. Most vizsgáljuk meg a térbeli helyzeti és sebességi viszonyokat! A tárcsa egy tetszőleges P fog - pontjának koordinátáit az elforgatás előtti és utáni helyzetekben az 5. ábra alapján állapítjuk meg. Itt S0 a tárcsa síkja, annak kezdő helyzetében. Az elforgatás előtti x0y0z0 koordináta - rendszer megfelel a 3. ábra xyz koordináta - rendszerének. Az elforgatás utáni xyz koordináta - rendszert itt már nem tüntettük fel.
5. ábra
7
Az 5. ábra szerint:
X P (ϕ, ϑ) = ρ(ϕ) ⋅ cos ( ϕ + ϑ ) , YP (ϕ, ϑ) = ρ(ϕ) ⋅ sin ( ϕ + ϑ ) , Z P (ϕ, ϑ) = ρ(ϕ) ⋅ sin ϕ ⋅ tgα .
( 18 )
A ( 18 ) képletsor azt írja le, hogy a tárcsa egy adott P fog - pontja a térben egy víz szintes síkú körön mozog, a függőleges tengelyű forgás során. Emlékeztetőül: a φ polárszöget az ellipszis nagytengelyétől mérjük. Az ellipszis rádiusza ( 3 ) és ( 6 ) szerint:
R
ρ(ϕ) =
1 + ( tgα ⋅ sin ϕ )
.
2
( 19 )
Most ( 18 ) és ( 19 ) - cel:
X P (ϕ, ϑ) = YP (ϕ, ϑ) = Z P (ϕ, ϑ) =
R ⋅ cos ( ϕ + ϑ ) 1 + ( tgα ⋅ sin ϕ )
2
R ⋅ sin ( ϕ + ϑ ) 1 + ( tgα ⋅ sin ϕ )
2
R ⋅ tgα ⋅ sin ϕ 1 + ( tgα ⋅ sin ϕ )
2
, , .
( 20 )
Ellenőrzésül: X P + YP + Z P = 2
2
2
=
R2
2 ⋅ cos 2 ( ϕ + ϑ) + sin 2 ( ϕ + ϑ ) + ( tgα ⋅ sin ϕ ) = 1 + ( tgα ⋅ sin ϕ ) 2
R2
1 + ( tgα ⋅ sin ϕ )2 = R 2 , ⋅ 2 1 + ( tgα ⋅ sin ϕ )
tehát:
X P 2 + YP 2 + Z P 2 = R 2 , ahogyan azt vártuk is. Majd ( 2 ) és ( 20 ) - szal:
( 21 )
8
X P (ϕ, ϑ) = YP (ϕ, ϑ) = Z P (ϕ, ϑ) =
R ⋅ cos ( ϕ + ω⋅ t ) 1 + ( tgα ⋅ sin ϕ )
2
R ⋅ sin ( ϕ + ω⋅ t ) 1 + ( tgα ⋅ sin ϕ )
2
R ⋅ tgα ⋅ sin ϕ 1 + ( tgα ⋅ sin ϕ )
2
, , .
( 22 )
A P fog - pont sebességének X, Y, Z tengely menti skaláris komponensei:
vX ,P =
sin ( ϕ + ω⋅ t ) dX P = − R ⋅ ω⋅ 2 dt 1 + ( tgα ⋅ sin ϕ )
vY , P =
cos ( ϕ + ω⋅ t ) dYP = R ⋅ ω⋅ 2 dt 1 + ( tgα ⋅ sin ϕ )
vZ , P =
dZ P =0. dt
, ,
( 23 )
A sebesség négyzete: vP 2 = vX , P 2 + vY , P 2 + vZ , P 2 =
= =
( R ⋅ ω)
2
1 + ( tgα ⋅ sin ϕ )
( R ⋅ ω)
2
⋅ sin 2 ( ϕ + ω⋅ t ) + cos 2 ( ϕ + ω⋅ t ) + 0 =
2
= ρ2 ⋅ ω2 ,
2
1 + ( tgα ⋅ sin ϕ )
tehát:
v P 2 = ρ 2 ⋅ ω2 , innen ( 19 ) - cel:
vP = ρ ⋅ ω =
R ⋅ω
1 + ( tgα ⋅ sin ϕ )
2
.
( 24 )
9
Megjegyzések: M1. A mozgást leíró ( 22 ) képletsor birtokában visszatérhetünk a „lengések” egy másfajta leírásához. Ehhez vegyük az
X P (ϕ, ϑ) ≡ 0
( 25 )
helyettesítést! Ez azt jelenti, hogy az X = 0 egyenlettel jellemzett YZ síkban kívánjuk vizsgálni a mozgás lefolyását. Most ( 22 / 1 ) és ( 25 ) - tel:
cos ( ϕ + ω⋅ t ) = 0 → ϕ + ω⋅ t = 90 ,
( 26 / 1 )
innen:
ϕ = 90 − ω⋅ t .
( 26 )
A ( 26 ) képlet egyenértékű ( 2 ) és ( 4 ) - gyel. Most ( 22 / 2 ) és ( 26 ) - tal:
YP ( X = 0) =
R 1 + tgα ⋅ cos ( ω⋅ t )
;
2
( 27 )
Bevezetve az
YP ( X = 0) ≡ y '(t )
( 28 )
jelölést, ( 27 ) és ( 28 ) - cal adódik, hogy
y '(t ) =
R 1 + tgα ⋅ cos ( ω⋅ t )
.
2
( 29 )
Majd ( 22 / 3 ) és ( 26 ) - tal:
Z P ( X = 0) =
R ⋅ tgα ⋅ cos ( ω⋅ t )
1 + tgα ⋅ cos ( ω⋅ t )
2
;
( 30 )
bevezetve a
Z P ( X = 0) = z '(t )
( 31 )
jelölést, ( 30 ) és ( 31 ) - gyel:
z '(t ) =
R ⋅ tgα ⋅ cos ( ω⋅ t ) 1 + tgα ⋅ cos ( ω⋅ t )
2
.
( 32 )
10
Látjuk, hogy ( 32 ) megegyezik ( 16 ) - tal. Most ( 29 ) és ( 32 ) - vel: 2 R2 2 2 2 y '(t ) + z '(t ) = ⋅ 1 + tg α ⋅ cos ω⋅ t ( ) 2 =R , 1 + tgα ⋅ cos ( ω⋅ t )
{
}
tehát:
y '(t )2 + z '(t )2 = R 2 ,
( 33 )
ami egy O középpontú, R sugarú kör egyenlete. ( 33 ) - ból:
y '(t ) = ± R 2 − z '(t ) 2 ;
( 34 )
itt a + előjelet véve rögzítjük a +X tengely menti értékeket, amivel egyezésre jutunk ( 17 ) - tel. Így beláthatjuk ( 17 ) és ( 29 ) egyezését is. Ne feledkezzünk el a – X tengely menti, ( 29 ) és ( 32 ) - nek megfelelő függvények ről sem! Ezekhez úgy jutunk, hogy ( 26 / 1 ) helyett például a
cos ( ϕ + ω⋅ t ) = 0 → ϕ + ω⋅ t = −90
( 26 / 2 )
összefüggésből indulunk ki. Ennek továbbvitelét már az Olvasóra bízzuk. Ezzel ismét megmutattuk, hogy mit érthetünk lengés alatt, vagyis hogy a lengőfűrész mitől „lengő”.
M2. A függőleges tengely körül forgó ferde tárcsa mozgását úgy is tekinthetjük, mint két összetevő forgás eredőjét – 6. ábra. Ehhez az ω szögsebesség - vektort felbontjuk egy a ferde tárcsa síkjára merőleges, ω⊥ = ω⋅ cos α nagyságú, valamint egy a ferde tárcsa síkjába eső, ω = ω⋅ sin α nagyságú összetevőre. Az ezeknek megfelelő v és v ⊥ összetevő vektorok eredője a vízszintes síkban lévő v sebességvektor.
6. ábra
11
M3. A lengőfűrész fogai nem egyforma sebességgel mozognak; ( 24 ) alapján:
vP ,max = ρmax ⋅ ω = R ⋅ ω , vP ,min
= ρmin ⋅ ω = R ⋅ cos α ⋅ ω ;
a legnagyobb sebességkülönbség:
∆vP = vP ,max − vP ,min = R ⋅ ω⋅ (1 − cos α ) .
( 35 )
Minthogy a gyakorlatban a tárcsa ferdesége kicsi, ezért a sebességingadozás ( 35 ) szerint nem jelentős nagyságú. M4. A forgó tengelyre ferdén felerősített tárcsa a csapágyakban többlet támaszerőket ébreszt, melyek nem igazán kedvezőek gépészeti, illetve szilárdságtani szempontból. Ettől azonban még ma is használják ezt a technológiát, főleg ha nincs marógép, de van körfűrészgép. Ezzel kapcsolatban utalunk a forgó részek kiegyensúlyozásával foglal kozó korábbi dolgozatainkra is. Lásd például: A rögzített tengely körül forgó testek kiegyensúlyozottságáról - kezdőknek című írásunkat! M5. Meglepő, hogy egy ennyire egyszerű megoldással – mint amilyen a tárcsa síkjá nak ferdére állítása – ilyen, az eredeti feladatain túlmutató felhasználást találnak egy forgácsoló szerszámnak. Ügyes! M6. Sajnos nem értjük, hogy miért nem találkoztunk eddig egy a fentihez hasonló elemzéssel. Talán azért, mert ezt úgyis mindenki tudja? Nem valószínű. Reméljük, ez az írás is segít a hiány pótlásában.
Irodalom: [ 1 ] – Nagy József: Asztalos szakmai ismeret 7. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1997. [ 2 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv Műszaki Könyvkiadó, Budapest, több kiadásban
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2013. április 17.
