A folyáshatár hőmérsékletfüggése intermetallikus ötvözetekben

A folyáshatár hőmérsékletfüggése intermetallikus ötvözetekben

Cserti József Eötvös Loránd Tudományegyetem Szilárdtest Fizika Tanszék

Kandidátusi értekezés 1993

. Köszönetnyilvánítás Köszönetemet szeretném kifejezni Prof. V. Viteknek, aki a dolgozatomban leírt munkámat írányította és a magas szintű munkafeltételeket bizosította számomra. Hálás vagyok Dr. M. Khanthanak, akivel a kutatásaim legnagyobb részét végeztem. Külön köszönet illeti Dr. Tichy Gézát, aki mindvégig bátorított a dolgozat megírásában és a kézirat gondos átolvasásával, tanácsaival segítette a munkámat.

I

II

Tartalomjegyzék .

Köszönetnyilvánítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I

1. Bevezetés

1

2. Áttekintés

5

2.1. A folyáshatár az L12 és a DO19 ötvözetekben

. . . . . . . . . . . . . . . .

2.2. Az atomok közti kölcsönhatás jellege ötvözetekben

6

. . . . . . . . . . . . . 14

2.3. Általánosított rétegződési hibák, γ-felületek . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4. Egyenes diszlokációk elmozdulástere anizotrop közegben

. . . . . . . . . . 23

2.5. Diszlokációtársulások L12 és DO19 ötvözetekben . . . . . . . . . . . . . . . 28 3. A diszlokációk magszerkezetének szimulációja L12 ötvözetben

31

3.1. Számítási módszer [53, 54] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2. L12 ötvözet az {111} síkon metastabil CSF hibával: (Ni3 Al) [53, 54]

. . . 34

3.3. L12 ötvözet az {111} síkon instabil CSF hibával: (Cu3 Au) [53, 54]

. . . . 38

4. A diszlokációk magszerkezetének szimulációja DO19 ötvözetben

41

4.1. A potenciál kiszámítása DO19 kristályszerkezetben [60, 61] . . . . . . . . . 42 4.2. Síkhibák stabilitása: γ-felületek [60, 61]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3. Az 1/3[¯12¯10] szuperparciális magszerkezete DO19 kristályszerkezetben [60, 61] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.4. A DO19 hexagonális és az L12 köbös szerkezetű anyagok plasztikus tulajdonságainak diszkussziója [53, 60, 61]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5. A folyáshatár hőmérsékletfüggésének egy modellje L12 ötvözetekre

61

5.1. A mozgó diszlokációk megakadásának folyamata [67, 69] . . . . . . . . . . 62 5.2. A diszlokáció elszakadása a rögzítési pontoktól [68, 69] . . . . . . . . . . . 71 5.3. A modell alkalmazása Ni3 Al és Ni3 (Al, Ta) ötvözetekre [67, 68, 69] III

. . . . 81

6. Összefoglalás

89

IV

1. fejezet Bevezetés Napjainkban az anyagok mechanikai tulajdonságainak kutatásában előtérbe kerültek a fémközi vegyületek, más néven intermetallikus ötvözetek, mint például Ni3 Al, Pt3 Al, Ti3 Al, Al3 Ti stb. A kísérletek szerint ezen anyagok közül többnek a mechanikai szilárdsága, azaz a folyáshatára nő a hőmérséklet növelésével. Az ilyen ötvözetekben az egyik alkotó gyakran az alumínium és ezért sűrűségük jóval kisebb, mint a hagyományos acél-ötvözetek sűrűsége. Ezekkel a tulajdonságokkal rendelkező anyagok kiválóan alkalmasak a magas hőmérsékletnek és nagy mechanikai igénybevételnek kitett eszközök pl. turbina lapátok gyártásához. A kerámiák rigedségük miatt nem alkalmazhatók kritikus helyeken és így az intermetallikus ötvözetek látszanak igen igéretesnek. A fémek mechanikai tulajdonságai sokszor javíthatók úgy is, hogy különféle feszültségeknek teszük ki ezeket és így a megmunkálás megkeményíti az anyagot. A jelenség magyarázata a fémek kristályszerkezetében rejlik. Egy adott fém mechanikai tulajdonságait a bennük lévő hibák, azaz a kristályban található atomi rétegek kapcsolódásainak az ideális esettől való eltérése határozza meg. Ez a felismerés a harmincas évektől kezdődően egyre intezívebb kutatást eredményezett ezen a területen. Ma már az anyagtudomány kutatói előre megtervezett módon hozzák létre a különböző hibákat a fémes kristályban, hogy a céljuknak megfelelő tulajdonságokkal rendelkező anyagokat állítsanak elő. A fémek ötvözésével — más fématomok hozzáadásával — újabb tipusú hibák is létezhetnek az ötvözetben. Ezzel megnő a lehetőség a még bonyolultabb hibaszerkezetek kialakítására és így szinte rendelésre tervezett ötvözetek állíthatók elő. Természetesen egy ilyen technológiai művelethez az adott ötvözet mikroszerkezetének és a deformáció következtében fellépő atomi átrendeződéseknek a pontos ismeretére van szükség. Az anyagok képlékeny tulajdonságai sok esetben magyarázhatók a bennük lévő diszlokációk mozgásá1

val. Ötvözetekben a rétegződési hibák és a különféle diszlokáció-tipusok mozgékonysága együttesen határozzák meg azok plasztikus tulajdonságait. Itt jegyezzük meg, hogy ebben a dolgozatban az anyagok képlékeny (plasztikus) tulajdonságai közül csak a folyáshatár hőmérsékletfüggését tanulmányozzuk az egykristályok diszlokáció-reakcióira korlátozódva; nem célunk más plasztikus tulajdonság vizsgálata, mint pl. a folyásfeszültségnek a deformációtól való függése. Az ötvenes években kiderült, hogy az anyag plasztikus viselkedésében alapvető szerepe van a diszlokációk magszerkezetének, azaz a diszlokáció vonalának néhány atomtávolságon belüli tartományában lévő atomok elrendeződésének. A külső mechanikai feszültség hatására a diszlokáció elmozdul eredeti helyéről és ezt a mozgást a diszlokáció magszerkezete nagymértékben befolyásolja. Korábban a diszlokációknak, mint vonalhibáknak egy a rugalmasságtan alapján jól kidolgozott elméletével sikerült megmagyarázni az anyagok plasztikus viselkedésének főbb vonásait. Azonban a diszlokációk rugalmasságtani leírása nem alkalmas a vonalhiba közelében lévő atomi elrendeződések kiszámítására és ilymódon a diszlokáció magszerkezetét sem lehet figyelembe venni. Az egyre nagyobb kapacitású számítógépekkel több száz, ma már néhány ezer atomot tartalmazó kristályban lehet vizsgálni a különféle rétegződési hibákat és diszlokációkat ill. azok magszerkezetét. Egy új vizsgálati módszer kezdődött ezen a területen, amelyet a témában közölt publikációk emelkedő száma is mutat. Az ilyen jellegű kutatásokban alapvető kérdés az atomok közti kölcsönhatás ismerete, amely a fémek elektronszerkezetének mind pontosabb leírását eredményezi. Ma már számos törekvés irányul arra, hogy az ún. első elvek alapján (csak kevés számú bemenő paraméterrel) származtassák a potenciálokat. Az atomi kölcsönhatásokat ismerve tanulmányozhatók a különböző rácshibák és így az anyag mikroszerkezetéből a makroszkopikus tulajdonságokra lehet következtetni. Természetesen a számítógépes lehetőségek növekedésével a vizsgálható kérdések köre is bővül. Ebben a dolgozatban az intermetallikus ötvözetek plasztikus tulajdonságai közül csak a folyásfeszültség hőmérsékletfüggésével foglalkozunk. Nem célunk az alakítási keményedés részleteinek tanulmányozása. A dolgozatban az A3 B típusú fémközi vegyületek közül is csak az L12 és DO19 kristályszerkezetű anyagokat vizsgáljuk. Azonban számos más rácsszerkezetű intermetallikus ötvözet is létezik. Nemrégiben jelent meg Yamaguchi és Umakoshi kitűnő összefoglalója az intermetallikus ötvözetek deformációs viselkedéséről [1]. A dolgozat áttekinti a lehetséges kristályszerekezeteket és a különböző anyagok 2

plasztikus tulajdonságainak kísérleti eredményeit. Mivel a terjedelmes cikk ismertetése nem lehet feladatunk, itt csak röviden említjük meg a sok fajta kristályszerkezet általuk történő felosztását: 1. Az fcc alapú szuperrácsok (a) L12 (b) L10 (c) L12 -ből származtatott hosszú periódusú rácsok (DO22 , DO23 ) 2. A bcc alapú szuperrácsok (a) B2 , DO3 , L21 (b) C11b 3. hcp alapú szuperrácsok (a) DO19 (b) DOa Az egyes kristályszerkezetek elemi cellája megtalálható ebben az összefoglalóban. Számos ötvözet kristályosodik az egyes kristályszerkezetben, ezeket elméleti úton vagy számítógépes szimulációkkal a dolgozatban leírt módon tanulmányozzák és mindezzel párhuzamosan intenzív kísérleti kutatás is folyik. Ezen anyagok közül több mutat anomális viselkedést a folyásfeszültségben, ami technológiai szempontból nagy érdeklődést vált ki világszerte. A következő fejezetben áttekintjük azokat a legfontosabb kísérleti eredményeket és módszereket, amelyek meghatározók ezen a területen és amelyet mi is felhasználtunk a kutatásainkban ill. a későbbi fejezetek ismertetésében. Az új tudományos eredményeinket a dolgozat 3 – 5. fejezeteiben ismertetjük. A 3. fejezetben az L12 kristályszerkezetű ötvözetekben található diszlokációk és azok magszerkezetének numerikus módszerrel történő vizsgálatát mutatjuk be. A 4. fejezetben megadjuk azt a módszert, amellyel az atomi kölcsönhatást származtattuk a DO19 kristályszerkezetű anyagban. Ezt a potenciált használva tanulmányoztuk a különböző diszlokációk magszerkezetét ill. bizonyos következtetéseket vontunk le az ilyen rácsszerkezetű ötvözetek plasztikus viselkedését illetően. 3

A 5. fejezetben ismertetjük azt a modellt, melyet az L12 szerkezetű Ni3 Al ötvözet folyásfeszültségének anomális hőmérsékletfüggésére dolgoztunk ki. A dolgozat utolsó fejezetében foglaljuk össze a kapott tudományos eredményeinket.

4

2. fejezet Áttekintés

5

2.1. A folyáshatár az L12 és a DO19 ötvözetekben Az anyagok fizikai és a mechanikai tulajdonságait az anyagban lévő kiterejedt kristályhibák, mint pl. diszlokációk, szemcsehatárok, a különböző fázisok közötti határfelületek stb. nagymértékben befolyásolják. Bizonyos esetekben a mechanikai tulajdonságokat jól lehet magyarázni makroszkópikus modellekkel, a lineáris rugalmasságtan alkalmazásával. Jó példa erre a diszlokációk rugalmasságtani elmélete, mellyel sok kérdést sikerült tisztázni. A területnek kitünő áttekintése található Hirth és Lothe [2], Nabarro [3] ill. Kovács István és Zoldos Lehel magyarul megjelent művében [4]. A kristályos anyag plasztikus viselkedését általában az anyagban lévő diszlokációk mozgása határozza meg. Az anyag deformálhatóságának egyik fontos jellemzője az ún. folyáshatár. A külső erőhatásnak (pl. húzás, nyomás, csavarás) bizonyos küszöbértéke alatt az anyag rugalmasan deformálodik, azaz az erőhatás megszüntetésével visszanyeri eredeti állapotát. Ha azonban az erőhatás nagyobb az anyagra jellemző küszöbértéknél, akkor a deformáció maradandó lesz, az alakítás képlékeny. Ezt a küszöbértéket folyáshatárnak nevezik. A gyakorlatban a folyáshatárt egy előre megadott plasztikus deformációhoz tartozó feszültséggel azonosítják. Elsőként lapcentrált köbös (fcc) anyagok folyáshatárát tanulmányozták. A diszlokációknak az időközben jól kidolgozott elméletével kitünően meg tudták magyarázni azt a tényt, hogy ezekben az anyagokban a folyáshatár elég alacsony és közel független a hőmérséklettől. A szennyezések hatására a folyáshatár növekszik, míg a hőmérséklet növelésével fokozatosan csökken egy bizonyos értékig, majd állandó marad a hőmérséklet függvényében. Tércentrált köbös anyagban (bcc) a folyáshatár hasonlóan viselkedik a hőmérséklet növelésével, mint a szennyezett lapcentrált köbös anyagokban. Így sokáig úgy vélték, hogy a bcc kristályszerkezetű anyagok plasztikus viselkedése is magyarázható a külső szennyezők jelenlétével, ám a tiszta, szennyezőktől mentes bcc anyagok folyáshatára is jóval nagyobb, mint a lapcentrált köbös anyagoké. A számítógépes szimulációkkal sikerült megmutatni, hogy a diszlokácók magszerkezete a felelős a bcc anyagok plasztikus viselkedéséért [5, 6]. A diszlokáció magja három egymással 120◦ -ot bezáró irányban hasad fel és így nagyobb külső feszültség hatására lehet a diszlokációt elmozdítani. A bcc anyagok plasztikus viselkedésében a diszlokáció magjának felhasadása ugyanazt a szerepet játsza, mint amit az fcc anyagoknál a szennyezők. Megfigyelték egyes egykristályokon végzett kísérletekben, hogy a folyáshatár irány6

függő és jól magyarázható a Schmid-törvénnyel [7]. A mai ismereteink alapján ezt úgy fejezzük ki, hogy a diszlokáció mozgatásához szükséges csúsztató feszültség (resolved shear stress) ˆ τrss = bσn,

(2.1)

ˆ egységvekahol σ a rendszerre ható feszültségtenzor, n a csúszási sík normálvektora, a b tor és a Burgers-vektor irányába mutat. A lapcentrált köbös rácsban a négy {111} síkon három különböző Burgers-vektor összesen 12 csúszási rendszert eredményez, és mindegyikhez egy τrss csúsztató feszültség tartozik. A külső feszültség növelésével a legnagyobb τrss érték átlépi az ún. τcrss kritikus csúsztató feszültség értékét és ekkor a maximális τrss hez tartozó csúszási rendszer aktívizálódik. Ezen csúszási rendszer megadja azt a síkot, amelyen azok a diszlokációk mozdulnak el, melyeknek a Burgers-vektora ezt a csúszási rendszert határozza meg. Így az anyagok folyáshatárát a τcrss -sel adhatjuk meg. A továbbiakban a kutatások középpontjába került a diszlokációk magjának vizsgálata. A diszlokációknak a rugalmasságtan kontinuum elméletével történő leírása nem alkalmazható a diszlokáció vonalának közelében, ahol az elmélet szerint a fizikai mennyiségek szingulárisak. Másrészt a kontinuum elmélet nem veszi tekintetbe a rács szerkezetének részleteit (kivéve a rugalmas állandók anizotropiáját). A diszlokáció elmozdításához szükséges feszültség kiszámításához figyelembe kell venni a diszlokáció magját is. Az első ilyen elméletet Frenkel és Kontorova [8] dolgozta ki, majd Peierls [9] és Nabarro [10] fejlesztette tovább. A végső modelljük alapján a diszlokáció mozgatásához szükséges τp kritikus csúsztató feszültség (más néven Peierls-feszültség) τp =

2G − 4πξ e b , α

(2.2)

ahol G a nyírási rugalmassági együtható, b a Burgers-vektor abszolút értéke, α = 1 csavar, illetve α = 1 − ν éldiszlokációra (ν a Poisson szám), ξ a diszlokáció magjának szélessége. Feltételezve, hogy ξ ≈ b és ν = 1/3, τp = 10−5 G adódik. J. Friedel [11] szerint ez olyan kicsi érték, hogy már a termikus fluktuációk is mozgathatnák a diszlokációt. Az eredeti Peierls–Nabarro-modellben ξ = d/2α, ahol d a szomszédos kristálysíkok közti távolság. Ebből következik, hogy a mag szélessége a szoros illeszkedésű síkban a legnagyobb és a csúszás síkja is ez a sík lesz. Taylor és munkatársai [12, 13] megmutatták, hogy ez az állítás általában nem mindig igaz. Az atomisztikus számolásokkal elsőként V. Vitek tanulmányozta a bcc kristályban az 1/2 < 111 > Burgers-vektorú csavardiszlokáció magjának szerkezetét [5, 6, 14]. Az 7

eredmények segítségével sikerült tisztázni a bcc fémek plasztikus tulajdonságainak főbb vonásait [14]. Azóta a diszlokációk magjának atomisztikus számolásokkal történő vizsgálata igen elterjedt módszernek bizonyult. A deformáció hatására az atomok elmozdulnak eredeti helyükről, a diszlokáció magjában az atomok átrendeződnek. A jelenség modellezésére nagyteljesítményű számítógépekre van szükség. Ma már az anyagok plasztikus viselkedésének számos kérdését sikerült tisztázni a diszlokációk magjának felhasadását tanulmányozva. A területnek rendkivül nagy irodaloma van, így itt csak Tichy Géza művét említjük, amelyben a kitünő összefoglalás mellett bőséges hivatkozás található az eredeti munkákra [14]. Ugyanebben a munkában található a tiszta fémek plasztikus deformációjának legfontosabb osztályainak (lapcentrált köbös fémek, szoros illeszkedésű hexagonális kristály, tércentrált köbös anyagok) ismertetése is. Ebben a dolgozatban az ún. L12 és DO19 kristályszerkezetű ötvözetekkel kapcsolatos kutatásainknak az eredményeit tárgyaljuk. A kapott eredmények ismertetése előtt tekintsük át az ilyen kristályszerkezetű anyagok esetében a folyáshatárral kapcsolatos fontosabb kísérleti tényeket. Mindkettőben a kétfajta fématom rendezett módon helyezkedik el, összetételük az A3 B szerkezeti képlettel írható le. Az ilyen anyagokat rendezett kétalkotós ötvözeteknek hívják. A folyáshatár L12 kristályokban Az A3 B szerkezeti képletű rendezett L12 ötvözet rácsa a lapcentrált köbös anyagok kristályszerkezetéből származtatható úgy, hogy a csúcsokon B típusú atomok és a lapközepeken pedig A típusú atomok helyezkednek el. A rácsszerkezet az 2.1 ábrán látható. A legismertebb L12 ötvözetek: Ni3 Al, Ni3 Se, Ni3 Ge, Zn3 Ti, Zn3 Al, Pt3 Al, Cu3 Au. Az L12 ötvözetben a kisebbségi atomok kis fajsúlyú, nagy rácsállandójú fém vagy metalloid atomok, míg a többségi atomok minden esetben jóval kisebb rácsállandójú fématomok. Az ötvözet rácsállandója lényegében megfelel a többségi atom rácsállandójának. A plasztikus tulajdonságaikat tekintve két osztályba sorolhatók: az egyik Ni3 Al-hoz hasonló, a másik a Pt3 Al-hoz hasonló viselkedést mutat. A 2.2 és a 2.3 ábrán a folyáshatár hőmérsékletfüggése látható a két osztálynak megfelelően. A 2.2 ábra a Ni3 Al osztályába sorolható ötvözetek [15], míg a 2.3 ábra Pt3 Al és annak az osztályának plasztikus viselkedését mutatja [16]. A két osztály között a leg8

2.1. ábra. Az L12 kristályszerkezet. Az A3 B képletű rácsban a fehér körök az A, a fekete körök a B atomokat jelképezik. fontosabb eltérés, hogy az előbbiben a folyáshatár–hőmérséklet görbének maximuma van; a hőmérséklet növelésével a folyáshatár anomális módon — más anyagok viselkedésével ellentétben — növekszik egy bizonyos hőmérsékletig és csak utána csökken [17, 18]. Az egyik legtöbbet vizsgált L12 ötvözet az Ni3 Al, amely a következő kísérletileg kimutatott tulajdonságokkal rendelkezik: 1. A folyáshatár maximumának megfelelő hőmérséklet alatt az < 110 > {111} csúszásrendszer, míg fölötte az < 110 > {001} aktív [19]. 2. Főleg egyenes csavardiszlokációkat találunk az elektronmikroszkópos felvételeken [20, 21]. 3. A csúcs hőmérséklete és nagysága erősen függ az egykristálynak az alkalmazott külső feszültséghez viszonyított irányítottságától, és attól, hogy a terhelés húzás vagy nyomás [17]. Azokban az anyagokban (pl. Cu3 Au), ahol a rend–rendezetlen fázisátalakulás hőmérséklete alacsony, a folyáhatár–hőmérséklet görbén található csúcs azzal magyarázható, hogy a rendezetlenség növekedésével egyre több akadály keletkezik, amelyek gátolják a diszlokációk mozgását. Ez a magyarázat a többi ötvözetre (pl. Ni3 Al) nem helytálló, mivel a folyáshatár maximumához tartozó hőmérsékleten az ötvözet még rendezett. Ezek 9

2.2. ábra. A folyáshatár hőmérsékletfüggése Ni alapú L12 ötvözetben.

az intermetallikus ötvözetek még az olvadási hőmérsékleten is erősen rendezettek. Nem lehet a jelenséget azzal sem magyarázni, hogy az anyagban kialakuló diszlokáció–erdő akadályozza a diszlokációk mozgását. Az L12 rácsban a legrövidebb Burgers-vektor a < 100 > vektor, de az (111) síkon mozgó szuperdiszlokáció Burgers-vektora még ennél is nagyobb (< 101 > vektor). Ez jóval hosszabb az fcc anyagban található 1/2 < 101 > Burgers-vektornál. Ismeretes, hogy egy diszlokáció keltéséhez szükséges energia arányos a Burgers-vektor abszolútértékének négyzetével, ezért az L12 kristályban nagyobb energiára van szükség a diszlokáció-erdő kialakulásához, mint az fcc anyagban. Ezen anyagok mechanikai szilárdságának anomális viselkedése a hőmérséklet függvényében egy belső mechanizmusra, a diszlokáció magszerkezetének az átalakulására vezethető vissza. A dolgozatban az egykristályokban lejátszodó diszlokáció–reakciók és a diszlokációk magszerkezetének tanulmányozásával probáljuk értelmezni ezt az anomális viselkedést. Numerikus számolásokkal sikerült tisztázni az L12 anyagokban lévő hosszú egyenes csavardiszlokációk magjának lehetséges szerkezeti átalakulásait. Az L12 ötvözetekkel kapcsolatos számítógépes szimulációk és elméleti megfontolások eredményeit a 3. és az 5. fejezetben ismertetjük. 10

2.3. ábra. A folyáshatár hőmérsékletfüggése Pt3 Al egykristályban. A folyáshatár DO19 kristályokban A dolgozat 4. fejezetében részletesen ismertetjük a DO19 kristályszerkezetű ötvözetek plasztikus tulajdonságainak vizsgálatában elért eredményeinket. A DO19 ötvözet úgy nyerhető az L12 -ből, mint a hexagonális szoros illeszkedésű rács a lapcentrált köbösből. A 2.4 ábra a DO19 kristály szerkezetét mutatja. Az elemi cellában 8 atom van (6 A atom és 2 B atom). A hexagonális kristálynak az alapsíkjára merőlegesen háromfogású szimmetriája van. Ezt a szimmetriát tükrözi az ún. négyes indexelés [4]. Legyen a1 , a2 , a3 az alapsíkon fekvő három egymással 120◦ -os szöget bezáró legrövidebb rácsvektor . Jelöljük a hexagonális rács alapsíkjára merőleges irányú legrövidebb rácsvektort c-vel. Ekkor feltéve, hogy i + j + k = 0 az [ijkl] négyindexes vektorjelölésből a következő képlettel lehet meghatározni a tényleges vektort: [ijkl] = ia1 + ja2 + ka3 + lc. A négyes idexelésben az első három index összege mindig zérus. Az alapsík négyes idexelésben: (0001), a prizmatikus síkoknál a negyedik index mindig zérus, míg a piramidális síkokra ez az index nem zérus. 11

2.4. ábra. A DO19 kristályszerkezet. Az A3 B képletű rácsban a fehér körök az A, a fekete körök a B atomokat jelképezik. Itt jegyezzük hogy a DO19 rácsban az indexelésekre az irodalomban is elfogadott szokást követjük, azaz a rácsállandókat és a Miller-indexeket a hexagonális rácsra vonatkoztatjuk és nem a DO19 szerkezet elemi cellájára. Így pl. aDO19 = 2ahcp = 2a és cDO19 = chcp = c (2.4 ábra). A legismertebb DO19 kristályszerkezetű ötvözetek: Mn3 Sn, Ti3 Al, Mg3 Cd, Cd3 Mg, Ti3 Sn. A DO19 ötvözetek plasztikus tulajdonságai legalább olyan összetettek, mint az L12 anyagoké. Az Mn3 Sn ötvözetekben is megfigyelték a folyáshatár hőmérsékletfüggésének anomális viselkedését az alapsíkon [22, 23]. Míg Mn3 Sn-ben az alapsík az elsődleges csúszási sík, a Ti3 Al-ban az {10¯10} prizmatikus sík [24]. Mindkét esetben a csúszás iránya < ¯12¯10 >. A 2.5 ábrán az Mn3 Sn ötvözet folyáshatárának hőmérsékletfüggése látható adott orientáció mellett [23]. A folyáshatár anomális hőmérsékletfüggése szembeötlő. Ti3 Al-ben a folyáshatár csökken a hőmérséklet növekedésével, mind az alap, mind a prizmatikus síkon. A piramidális síkon azonban az {11¯21} < ¯1¯120 > csúszási rendszer erősen anomális hőmérsékletfüggést mutat, és a maximális feszültség 1000 K hőmérséklet körül van [24]. A 4. fejezetben számítógépes szimulációval vizsgáljuk egy általunk szerkesztett modell-potenciál segítségével a DO19 kristályban a különböző diszlokáció-magszerekezeteket. 12

2.5. ábra. A folyáshatár hőmérsékletfüggése Mn3 Sn-ben. Azonban ezeknek az anyagoknak a folyáshatár–hőmérsékletfüggését még nem sikerült egy megbízható elmélettel magyarázni és további kutatásokra van szükség.

13

2.2. Az atomok közti kölcsönhatás jellege ötvözetekben Az anyagok makroszkópikus tulajdonságait a bennük lévő mikroszkópikus folyamotok hozzák létre. A kristályos anyagok számos tulajdonsága csak egy mikroszkópikus modell segítségével érthető meg, és így a kristályszerkezet ill. a hibák atomi leírására van szükség. Az egyik legjellemzőbb példa az anyagok plasztikus deformációja, amelynek — mint 60-as években már kiderült — több jellemzője nem magyarázható a diszlokációk kontinuum elméletével. A kísérleti eredmények eltérést mutattak a Schmid törvénytől tércentrált köbös szerkezetű fémekben, intermetallikus ötvözetekben a folyásfeszültség anomális hőmérséklet-függését figyelték meg (áttekintő irodalom: [25, 26, 27]). A kristályban található kiterjedt hibák atomisztikus modellezéséhez ismerni kell az atomok közti kölcsönhatást. Különböző módon lehet származtatni a kölcsönhatásokat (potenciálokat). Lehet kevés számú kísérleti adatból teljesen elméleti megfontolások alapján szerkeszteni potenciált. A kvantummechanika keretén belül az első elvekből kiindulva adiabatikus közelítéssel elvben megkaphatjuk az atomok közti kölcsönhatást leíró potenciált. Azonban ez a gyakorlatban nehezen véghezvihető módszer, hiszen a vizsgált rendszer általában több ezer atomot tartalmaz; ezért közelítésekre és egyszerűsítő feltevésekre van szükség. Az ún. félempirikus potenciálok esetén a függvényalakot elméleti alapon határozzuk meg, míg a bennük szereplő paramétereket a kísérleti adatokhoz illesztjük (kohéziós energia, vakancia-képződési energia, rugalmas együtthatók, síkhibák energiái). Végül a potenciál lehet teljesen empirikus, amikor nagy számú kísérleti adathoz illesztjük a potenciált. Elsőként a párpotenciált használták a kristályhibák modellezésére, melynek két fajtáját mutatjuk be. A Lennard–Jones [28] potenciál V (r) =

B A − m, n r r

(2.3)

ahol n = 12, m = 6 választás a leggyakoribb. A másik az ún. Morse potenciál [29]   r−r0 r−r0 V (r) = V0 e−2α r − 2e−α r . (2.4) Belátható [14], hogy párpotenciál esetén mindig teljesül a Cauchy reláció, mely pl. köbös kristályra C1122 = C1212 ; vagyis C12 = C44 .

(2.5)

Ez az összefüggés ionkristályra elég jól teljesül, de fémekre jelentős az eltérés. Fémek esetében a pszeudópotenciál közelítés [30, 31] ad jó leírást. Az ilymódon leszármaztatott 14

potenciál két tagból áll; az egyik párpotenciálok összege, míg a másik egy térfogattól függő tag E=

1X W (rij ) + E1 (V ), 2 ij

(2.6)

ahol rij az i és a j atomot összekötő vektor, V a kristály térfogata. A térfogatfüggő tag bevezetésével a Cauchy reláció már nem teljesül és ekkor C1122 − C1212

∂ 2 E1 ∂E1 = . V0 + 2 2 ∂V ∂V

(2.7)

Így lehetségessé vált az összes rugalmas együtthatóra illeszteni a potenciál paramétereit. Ezzel a módszerrel kapott potenciálokat alkalmazták különböző kristályhibák (diszlokációk, rétegződési hibák, szemcsehatárok) vizsgálatára [32, 33, 34]. Azonban ez a fajta potenciál csak akkor ad jó eredményt, ha az anyag sűrűsége nem függ a helytől, hiszen a teljes anyag térfogata szerepel benne. Legtöbb számítógépes szimulációban a térfogat rögzített és így a térfogatfüggő tag nem játszik szerepet a számolás során; hasonló eredményeket kapunk, mintha párpotenciállal számoltunk volna. Jelentős előrelépés történt ezen a területen egy ún. soktest kölcsönhatást leíró potenciál bevezetésével, amellyel a lokális elektronsűrűség hatása vehető figyelembe. Két egymástól független megközelítés terjedt el: a beágyazott atom módszer (Embededd atom method, EAM) [35, 36] és a szorosan kötött elektron-közelítésen alapuló Finnis–Sinclairmodell (FS)[37]. A két potenciálnak hasonló alakja van X 1X E= V (rij ) − f (%i ), 2 ij i

(2.8)

ahol %i =

X

Φ(rij ).

(2.9)

i

Az első tag az ionokból származó taszító jellegű párpotenciál, a második tag az elektronok által létrehozott vonzó jellegű potenciál, mely azonban nem párpotenciál. A %i fizikai interpretációja különböző az EAM ill. az FS tipusú potenciálok esetében. Az előbbiben %i a környező atomok által létrehozott elektronsűrűség az i-dik beágyazott atom helyén és a (2.9) egyenletnek megfelelően a Φ(rij ) párpotenciálok összegével egyenlő. Az i-dik rácspontban lévő atom energiája — ebben a közelítésben — megegyezik a homogén %i töltéssűrűségű elektrongázba ágyazott atom energiájával. Az f függvény alakja a beágyazott atom tipusától függ. Az FS potenciál esetében a Φ(rij )-k a szorosan kötött elektron-közelítésben szereplő átfedési integrálok függvényei és az f függvény a négyzetgyök függvénnyel azonos. 15

Ebben a dolgozatban a Finnis–Sinclair-potenciált használtuk a rácshibák modellezésére. A (2.8) egyenletben a második tagot Finnis és Sinclair eredetileg a szorosan kötött elektron-közelítésből származtatta le. Egy ettől eltérő származtatást mutatott be Tichy Géza [14]. Most egy vele közösen kidolgozott újabb származtatást ismertetünk. Legyen az elektron energiája egy adott atomon E0 és az ugrási tag az i-dik atomról a j-dik atomra Kij , ekkor a Hamilton-operátor atomhely reprezentációban [14] 

E0  K21 ˆ = H  ..  .

 . . . K1N . . . K2N   ..  . .. . .  . . . E0

K12 E0 .. .

K N 1 KN 2

(2.10)

A Hamilton-operátorban Kij ugrási tagok kis perturbációnak tekinthetők a diagonális elemekhez képest ˆ =H ˆ0 + H ˆ 0, H

(2.11)

ˆ 0 ) = E0 δij (H ij

(2.12)

ahol

és a perturbáció 

0  K21 ˆ0 =  H  ..  .

K12 0 .. .

KN 1 K N 2

 . . . K1N . . . K2N   ..  . .. . .  ... 0

(2.13)

Alkalmazzuk a kevésbé ismert Brillouin–Wigner-féle pertubációszámítást [38], mely szerint második közelítésben az energia-sajátértékek: 2

Ei =

Ei0

ˆ0 | X |H ij . Ei − Ej0 i6=j

ˆ ii0 + +H

(2.14)

ˆ0 a H ˆ 0 operátor mátrixeleme a H ˆ 0 operátor sajátfüggvényei szerint. Fontos megjeItt H ij gyezni, hogy a perturbációs sorban az egyes tagok nevezőjében is ugyanaz az Ei energia szerepel, mint ami az egyenlet bal oldalán van. Ez a leglényegesebb különbség a közismertebb Rayleigh–Schrödinger-féle perturbációszámításhoz képest. (2.12)-ból látható, hogy Ei0 = E0 minden i-re és a (2.14) egyenletet felhasználva a (2.10) Hamilton-operátor sajátértékeit meghatározó egyenlet a perturbáció másodrendjéig 2

ˆ0 | |H ij , Ei − E0

P

i6=j

Ei = E0 + 16

(2.15)

melyből az i-dik atom energiája (2.13) felhasználásával sX Ei = E0 − |Kij |2 .

(2.16)

i6=j

Mivel a feszültség és a rugalmas együtthatók kifejezésében a V (rij ) potenciál első és második deriváltja jelenik meg [14], a második deriváltnak folytonosnak kell lenni. A leggyakoribb módszer, hogy a potenciál-függvényt szakaszonként harmadrendű polinomokból állítják elő. Ezzel a numerikus számításokat lehet gyorsítani egy többszáz vagy ezer atomot tartalmazó blokk esetében, hiszen ilymódon az atomok közt fellépő erőket viszonylag gyorsan meghatározhatjuk. A potenciálokban szereplő paramétereket mindkét modellben úgy határozzák meg, hogy egy adott anyag esetén a rácsállandó, a kohéziós energia, a vakancia-képződési energia és a rugalmas együtthatók megegyezzenek a kísérletileg mért értékekkel. Az FS modell ötvözetekre való kiterjesztése esetén V és Φ függ az i-dik és a j-dik pontban lévő atom tipusától. Ebben a munkában a kétkompenensű ötvözeteket vizsgáljuk, így a V és a Φ párpotenciáloknak három különböző függvényére van szükség. Jelöljük ezeket VAA , VAB , VBB , ΦAA , ΦAB , ΦBB -vel, ahol az indexek az atom tipusára vonatkoznak. Feltesszük, hogy ezek a függvények függetlenek az ötvözet koncentrációjától és ezért VAA , VBB , ΦAA , ΦBB kifejezések a megfelelő tiszta fémre vonatkozó függvényekkel egyeznek meg [39, 40]. A ΦAB függvényt úgy választottuk meg, hogy az a ΦAA és a ΦBB mértani közepe legyen; összhangban az átfedési integrálok interpretációjával. Így a hat illesztendő függvény közül csak a VAB függvényt kell illeszteni az adott ötvözet tulajdonságaira. A potenciálok megszerkesztésénél az a cél, hogy reprodukálja: 1. a kristályszerkezetet 2. az ötvezet tulajdonságait, pl. rendezési energia 3. rugalmas együtthatókat és esetleg a fonon-spektrumot 4. az anyag bizonyos paramétereit (pl. rétegződési hiba energiája, vakancia-képződési energia, anti-fázisú határ energia). Az anyag fenti tulajdonságai az egyensúlyi állapotra jellemzőek; a lokális környezet nagyobb deformációi a rendszert a nemegyensúlyi állapotba viszik. Felmerül a kérdés vajon elegendő az anyag egyensúlyi állapotára jellemző fizikai mennyiségek illesztése vagy más szempontokat is figyelembe kell venni. A tapasztalat szerint az empirikusan megszerkesztett potenciáloknak biztosítani kell, hogy 17

1. az adott kristályszerkezet stabil legyen a különböző szimmetriával vagy kémiai renddel rendelkező alternatív szerkezetekhez képest 2. mechanikailag stabil legyen a kis és nagy homogén deformációkkal szemben. Ilyen feltételek mellett elkerülhető a kiterjedt hibák körül kialakuló instabil, fizikailag nem magyarázható szerkezetek keletkezése. Sok atomisztikus számításban nem egy specifikus ötvözetet vizsgálnak, hanem bizonyos fizikai paramétereknek a kristályhibákra gyakorolt hatását tanulmányozzák. Ezért a megszerkesztett potenciálok nem egy kiválasztott anyagra jellemzőek, csak az előbb említett feltételeknek tesznek eleget. A 4.1 szakaszban a DO19 szerkezetre illesztettünk potenciált a fenti elveknek megfelelelően. Végezetül megemlítjük, hogy történtek az első elvekből kiinduló számolások is [41, 42], melyek hasonló eredményeket adtak, mint amit a fél-empirikus FS potenciál alkalmazásával kaptak a rácsállandó ill. rugalmas együtthatókat illetően [40]. Sajnos a korlátozott számítógépes kapacitás miatt az így kapott potenciálokat még nem lehet hatékonyan alkalmazni a kiterjedt kristályhibák tanulmányozásában, ezért a fél-emprikus potenciálok használata még nélkülözhetetlen.

18

2.3. Általánosított rétegződési hibák, γ-felületek A síkhibák közül az ún. rétegződési hibáknak döntő szerepe van a diszlokációk felhasadásában [2]. Ezek az alábbiakban definiált általánosított rétegződési hibáknak speciális esetei. Vágjuk el a végtelen méretű kristályt egy síkjával párhuzamosan és toljuk el a felső

2.6. ábra. Az általánosított rétegződési hiba létrehozása adott kristálysíkon részt az alsóhoz képest egy adott f vektorral a vágási sík mentén, ahogy az a 2.6 ábrán látható. Az így keletkezett hibának az egységnyi felületre vonatkoztatott γ(f ) energiája az ismert atomi kölcsönhatás alapján kiszámítható. Ebben a számolásban a rendszer energiáját úgy határozzuk meg, hogy az atomokat a rájuk ható erőnek a hiba síkjára merőleges irányú komponensével arányos módon elmozdítjuk, de a hiba síkjával párhuzamosan nem engedjük meg az atomok elmozdulását. A keletkezett új atomi elrendeződésben ismét kiszámítjuk az egyes atomokra ható erőket és újra elmozdítjuk az egyes atomokat az előzőhöz hasonló módon. Ezt a relaxációs folyamatot addig csináljuk, amíg az atomokra ható erőnek a síkra merőleges komponense kisebb nem lesz egy bizonyos kritikus érténél. Ekkor befejezzük az atomok további mozgatását, a relaxációt. A kapott atomi elrendezésből meghatározhatjuk a a rendszer teljes energiáját. Ha a teljes energiából levonjuk az ideális rács energiáját, akkor megkapjuk az f vektorral jellemzett általánosított rétegződési hiba energiáját. Ha a kristálysík ismétlési cellájában lévő összes f vektorra kiszámítjuk a megfelelő rétegződési hibának az egységnyi felületre vonatkoztatott energiáját a fenti relaxációs módszerrel, akkor egy energia–elmozdulás felületet kapunk, amelyet γ-felületnek neveznek. Elsőként Vitek vezette be ezt a fogalmat a bcc szerkezetű fémekben lévő metastabil 19

rétegződési hibák tanulmányozására [6]. Ezen a felületen található lokális minimumok megadják a vizsgált síkon a lehetséges metastabil rétegződési hibákat. Itt jegyezzük meg, hogy az atomokat azért kell rögzíteni a vágási síkkal párhuzamos irányban, mert máskülönben az atomok elegendő idejű relaxáció után visszakerülnének az energia minimumot jelentő ideális kristályrácsnak megfelelő helyzetbe. Ugyanakkor ebben a számolásban az f vektor a γ-felület független változója és így feltétlenül rögzíteni kell a relaxáció során. A továbbiakban a kapott metastabil rétegződési hiba energiáját úgy lehet pontosabban kiszámítani, hogy most már megengedjük az atomoknak a vágási síkkal párhuzamos elmozdulását is. A tapasztalat szerint ez az energia csak kevéssel tér el a γ-felület alapján kapott értéktől, de a hibát jellemző vektor különbözhet a lokális minimum helyétől. Az összes lehetséges metastabil rétegződési hibát csak a megfelelő γ-felület kiszámításával kaphatjuk meg, azonban bizonyos esetekben a kristály szimmetriájából is következtethetünk ezek létezésére. Ha az f vektorral jellemzett általánosított rétegződési hiba esetén az ideális rácsban találunk egy tükörsíkot, amely átmegy az f vektor végpontján és merőleges a hiba síkjára, akkor a γ-felület iránymenti deriváltja zérus lesz a tükörsíkra merőleges irányban. Ha az adott f vektorhoz találunk legalább két ilyen nem párhuzamos tükörsíkot az ideális rácsban, akkor a γ-felületnek extrémuma (minimum, maximum vagy inflexiós pont) van a felület f pontjában, mivel a γ-felületnek az első deriváltja zérus lesz ebben a pontban. Az, hogy ez az extrémum megfelel egy minimumnak, gyakran a legközelebbi szomszédok közti kölcsönhatások nagyságából állapítható meg. Így a kristály szimmetriájából előre megtudhatjuk, hogy vajon léteznek-e metastabil rétegződési hibák az adott kristálysíkon. Természetesen egy ilyen analízisből nem lehet az összes metastabil rétegződési hibát megtalálni, mivel az atomi kölcsönhatások részleteitől függően lehetnek más, a szimmetriából nem következő metastabil helyek is a γ-felületen. Példaként megvizsgáljuk az L12 kristályszerkezet {111} ill. {001} síkjának megfelelő γ-felület speciális pontjait. A 2.7 ábra az atomok elrendeződését mutatja az (111) síkon. A kis körök az X atomot, a nagy körök az Y atomot reprezentálják az X3 Y ötvözetben. A γ-felületet úgy kapjuk, hogy az A és a B réteg között elvágjuk a kristályt, majd a B és a fölötte lévő többi réteget eltoljuk egy f vektorral. A 2.7 ábrán három hibavektor ¯ elmozdulásvektorral, komplex rétegződési látható: antifázisú határ (APB) fA = 1/2[110] hiba (CSF) fC = 1/6[1¯21] elmozdulásvektorral és a szuperrács intrinszik rétegződési hiba ¯ elmozdulásvektorral. (SISF) fS = 1/3[12¯1] 20

2.7. ábra. Az atomok elhelyezkedése három szomszédos (A,B,C) (111) síkon L12 rácsban

Amint a 2.7 ábrán látható az APB-nek megfelelő fA vektor esetén csak egy tükörsíkot találunk, amelyet m1 -gyel jelöltünk és párhuzamos az 1/2[11¯2] iránnyal. Így nem következik a szimmetriából, hogy az APB az (111) síkon metastabil hiba. Azonban alkalmaztak olyan potenciálokat, amikor az APB instabil volt [43, 44]. Másrészt még ha az APB metastabil is, a megfelelő hibavektor nem feltétlenül egyezik meg a 1/2[1¯10] vektorral; lehet az [11¯2] vektorral párhuzamos komponense is [43]. A CSF hiba esetén is csak egy tükörsíkot találunk: az m3 -mal párhuzamos és az fC vektor végpontján megy át. A CSF vagy stabil vagy instabil az adott potenciáltól függően [43, 44]. Más a helyzet az SISF hiba esetén. Három az (111) síkra merőleges tükörsíkot találunk ekkor, melyeket a 2.7 ábrán m1 , m2 , m3 -mal jelöltünk. A γ-felületnek extrémuma van az fS pontban és mivel az első és második legközelebbi szomszédok szeparációja ill. stöchiometriája nem változik az ideális rácshoz képest, ez a pont valószínűleg minimum pont a felületen. Így az SISF metastabil hiba bármely L12 szerkezetben kristályosodó anyagban megtalálható. Különböző potenciálokat alkalmazva a γ-felületen az SISF hiba minden esetben minimumhely [43, 44, 45]. L12 szerkezetben a (001) síkon egyszerűbb a helyzet. Két tükörsík található az ¯ hibavektorhoz, amelyek merőlegesek a (001) síkra és párhuzamosak az [1¯10] f = 1/2[110] és az [110] iránnyal. Ezért a γ-felületnek extrémuma van az f pontban és a szomszédok 21

közötti kölcsönhatásokat figyelembe véve valószínűleg minimum [43, 44, 45]. DO19 kristályszerkezetben az alapsíkon az L12 szerkezetben kapott γ-felülethez hasonló eredmény várható, mivel az atomok elrendeződése azonos. A DO19 ráccsal kapcsolatos eredményeket részletesen tárgyaljuk a 4. fejezetben. Szimmetria-megfontolások alapján előre megállapíthatjuk a γ-felület szélsőértékeinek helyét. A γ-felület ismeretében meghatározhatók a lehetséges metastabil rétegződési hibák, amelyek vagy a kristály szimmetriájából következnek, vagy az atomi kölcsönhatások jellegéből adódnak. Az utóbbi esetre látunk példát a DO19 kristályszerkezet prizmatikus síkjára vonatkozó γ-felület esetében. Ha az atomok között párkölcsönhatást teszünk fel, akkor a rétegződési hibák energiája kifejezhető az AA, BB, AB atomok közti párpotenciálokkal. Vezessük be a rendeződési energiát  1 Vˆ (k) = VAA (rk ) + VBB (rk ) − VAB (rk ), 2

(2.17)

ahol Vαβ (rk ) a párpotenciál az α típusú atom és a tőle k-dik legközelebbi szomszédtávolságra (rk ) lévő β típusú atom között. Az alábbi táblázatban megadjuk a különböző síkhibák energiáját az L12 rácsszerkezetre [1]. Sík

Hibavektor Hiba 1/2 < 110 > APB {111} 1/6 < 112 > CSF ¯ 1/3[211] SISF {001} 1/2 < 110 > APB

A hiba energiája √ ˆ (2V (1) − 6Vˆ (2) )/ 3a2 [2Vˆ (1) − 6Vˆ (2) + √ +4VAA (r0 ) + 4VAB (r0 )]/√ 3a2 2[3VAA (r0 ) + VBB (r0 )]/ 3a2 −2Vˆ (2) /a2

√ 2.1 táb. A különböző síkhibák energiája L12 rácsban, a rácsállandó: a és r0 = (2/ 3)a.

Hasonló számolást végeztünk a DO19 kristályráccsal kapcsolatban is. A kapott eredményeket a 4.2 részben foglaltuk táblázatba.

22

2.4. Egyenes diszlokációk elmozdulástere anizotrop közegben Ebben a részben röviden áttekintjük a diszlokáció elmozdulásterének számítási módját az anizotrop anyagra vonatkozó rugalmasságtan elmélete alapján. Az elméletet elsőként Eshelby és társai [46] dolgozták ki 1953-ban, majd Foreman [47] megadta a diszlokáció energiájának számítási módját. Az elméletet Stroh [48], Spence [49], Chou [50] és mások fejlesztették tovább. Bizonyos értelemben különböző, de azonos eredményekre vezető új módszert dolgozott ki Seeger és Schoeck [51]. Eshelby számítási eljárását — amelyett Hirth és Lothe [2] részletesen tárgyal könyvében — az alábbiakban röviden ismertetjük. Lineáris közelítésben a σij feszültségtenzor és az εkl deformációtenzor között a kapcsolat σij = Cijkl εkl ,

(2.18)

ahol εkl =

1  ∂uk ∂ul  . + 2 ∂xl ∂xk

(2.19)

Itt uk (x) az x pontban az elmozdulás vektor k-adik komponense és Cijkl a rugalmas együtthatók négyindexes tenzora. Az azonos indexekre összegezni kell. A σij feszültségtenzornak az alábbi egyensúlyi egyenleteket kell kielégíteni ∂σij =0 ∂xj

i = 1, 2, 3.

(2.20)

Válasszuk a koordinátarendszer x3 tengelyét (z-tengely) párhuzamosan a diszlokáció vonalával és legyen a Cijkl rugalmas együtthatók tenzora ebben a rendszerben adott. Végtelen hosszú, egyenes diszlokáció esetén az elmozdulástér, a deformációtenzor és a feszültségtenzor függetlenek x3 -tól. A probléma egyszerűsítése érdekében a következő konvenciót vezetjük be: az α és β indexek az 1,2 értéket, míg az i és j indexek az 1,2,3 értéket vehetik fel. A fenti konvenciót használva a (2.18) és (2.19) egyenletekből nyerjük σiα = Ciαkβ

∂uk , ∂xβ

ahol kihasználtuk a Cijkl tenzor jól ismert szimmetria tulajdonságait Cijkl = Cjikl = Cijlk Cijkl = Cklij . 23

(2.21)

Behelyettesítve (2.21)-t a (2.20) egyensúlyi egyenletbe, az uk elmozdulásra a következő parciális differenciálegyenletet kapjuk Ciαkβ

∂ 2 uk =0 ∂xα ∂xβ

i = 1, 2, 3.

(2.22)

Keressük az egyenlet megoldását az alábbi alakban uk = Ak f (η),

(2.23)

η = x1 + px2

(2.24)

ahol

és ahol p ill. Ak konstansok. A fenti megoldást (2.22)-be írva   ∂ 2f Ci1k1 + (Ci1k2 + Ci2k1 )p + Ci2k2 p2 Ak 2 = 0 ∂η

(2.25)

egyenletet kapjuk. A ∂ 2 f /∂η 2 tényezővel egyszerűsítve az Ak -ra vonatkozó három lineáris egyenlet aik Ak = 0,

(2.26)

aik = Ci1k1 + (Ci1k2 + Ci2k1 )p + Ci2k2 p2 .

(2.27)

ahol

Az egyenletnek akkor van triviálistól különböző megoldása Ak -ra, ha az aik 3x3-as mátrix determinánsa zérus. Ez hatodrendű egyenletet jelent p-re, melynek gyökei pn ,

n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Minden pn -hez tartozik egy Ak (n) megoldás, amely kielégíti a (2.26) egyenletet. Mivel a polinom együtthatói valós számok, a gyökök páronként komplex konjugáltak p4 = p∗1 p5 = p∗2 p6 = p∗3 . Tekintve, hogy uk valós függvény a (2.23) egyenlet a következő alakba írható uk = Re

3 hX

i Ak (n)fn (ηn ) .

(2.28)

n=1

fn három egyenlőre ismeretlen analitikus függvényt jelöl, amelyeket a határfeltételekből határozhatunk meg. Az uk elmozdulás-vektor többértékű függvény a diszlokációt tartalmazó tartományban. Gondolatban vágjuk el az anyagot az x1 tengely mentén a diszlokáció vonaláig az 24

x2 tengelyre merőleges síkkal és a sík fölötti részt toljuk el az alsó részhez képest a b Burgers-vektorral. Ekkor uk analitikus és egyértékű függvény a vágási felületen kivül és b-vel ugrik a vágási felületen, ha az alábbi határfeletételt írjuk elő  uk (x1 , 0+ ) − uk (x1 , 0− ) = bk , ha x1 > 0 ∆uk = 0, ha x1 < 0,

(2.29)

ahol bk a b Burgers-vektor k-adik komponense. A másik határfeltételt abból a megfontolásból kapjuk, hogy egyensúlyban a diszlokációt körülvevő bármely felületre ható erő zérus. Legyen ez a felület henger alakú, amely tartalmazza a diszlokációt, ekkor a henger egységnyi hosszára ható teljes erő zérus: I (σi1 dx2 − σi2 dx1 ) = 0 i = 1, 2, 3. (2.30) Az integrálás az (x1 , x2 ) síkon a diszlokáció vonalát körülvevő kontúr mentén történik. A fenti két határfeltétellel összhangban az fn függvény legáltalánosabb alakja fn (ηn ) = −

D(n) ln ηn , 2πi

(2.31)

ahol a D(n) együtthatókra a következő egyenleteket kapjuk Re

3 hX

i ±Ak (n)D(n) = bk , k = 1, 2, 3

n=1

Re

3 hX

i ±Bi2k (n)Ak (n)D(n) = 0, i = 1, 2, 3

(2.32)

n=1

és Bijk (n) = Cijk1 + Cijk2 pn .

(2.33)

Az egyenletekben a + előjelet kell venni, ha p képzetes része pozitív és a − előjelet, ha az negatív. n = 1, 2, 3. A D(n) valós és képzetes részére hat egyenletünk van. Végül a (2.28) és a (2.31)-ből uk elvben meghatározható 3  1 X  uk = Re − Ak (n)D(n) ln ηn , 2πi n=1

ahol ηn -t pn (2.24)-be való behelyettesítésével kapjuk.

Feszültségek és energiák 25

(2.34)

A feszültségtenzort közvetlenül a (2.18)–(2.19) és a (2.34) egyenletekből számíthatjuk ki 3  1 X  σij = Re − Bijk Ak (n)D(n)ηn−1 . 2πi n=1

(2.35)

A diszlokáció energiája egyenlő a fent említett vágási művelet során végzett munkával és így a diszlokáció egységnyi hosszára vonatkoztatott energia w=

Kb2 R ln , 4π r0

(2.36)

ahol a K energia együtthatót a következő módon definiáljuk 3 hX i Kb = bi Im Bi2k Ak (n)D(n) . 2

(2.37)

n=1

Itt r0 a belső, R a külső levágási rádiusz. Az r0 az atomok távolságának nagyságrendjébe esik, ahol a deformáció igen nagy, és a makroszkopikus elmélet nem alkalmazható. R a diszlokáció hosszával megegyező nagyságrendű. Ezt a kifejezést először Foreman vezette le [47]. K értéke izotrop közegben csavardiszlokációra µ, éldiszlokáció esetén µ/(1 − ν).

Párhuzamos és egyenes diszlokációk között ható erő

A rugalmasságtan szerint a diszlokáció egységnyi hosszára ható erő [4] Fk = εkji σjl bl ξi ,

(2.38)

ahol ξi a diszlokáció vonalával párhuzamos egységvektor, εkji pedig a Levi–Civita-szimbólum. A fentiek alapján anizotrop közegben két párhuzamos és egyenes diszlokáció között fellépő erőt úgy számolhatjuk ki, hogy először az (2.35) egyenlet segítségével kiszámoljuk a diszlokáció által létrehozott feszültséget. Ez a feszültségtér hatni fog a másik diszlokációra, és így az előbbi (2.38) egyenletből számíthatjuk ki a diszlokációk között ható erőt. Ebben a részben leírt elmélet általános esetben magában foglal egy hatodfokú egyenlet megoldását p-re, ezért nem lehet minden esetben analitikus megoldást találni. Ilyenkor numerikus módszerekre van szükség [52]. Azonban szimmetria-megfontolásokkal gyakran egyszerűsíteni lehet a problémát. Jó példa erre az az eset, amikor a diszlokáció vonala merőleges a kristályszerkezet valamely tükörsíkjára. Ekkor belátható [2], hogy az aik 3x3-as 26

mátrix determinánsa egy 1x1-es és egy 2x2-es aldetermináns szorzatával egyenlő. Ez annak felel meg, hogy a diszlokáció Burgers-vektora felbomlik csavar- és élkomponensre. Így csavardiszlokációra az 1x1-es determinánsból p-re kapunk egy másodfokú egyenlet, míg éldiszlokáció esetén a 2x2-es determináns p2 -ben vezet másodfokú egyenletre, ezek mindkét esetben könnyen megoldhatóak. A különböző speciális eseteket részletesen taglalja Hirth és Lothe a diszlokációkról szóló könyvében [2]. Ebben a dolgozatban a mindenkori esetnek megfelelően az itt vázolt elméletet alkalmaztuk a diszlokációk terének vagy kölcsönhatásának a kiszámításához.

27

2.5. Diszlokációtársulások L12 és DO19 ötvözetekben A γ-felületek tárgyalásakor láttuk, hogy milyen módszerrel lehet megkeresni az adott kristálysíkon található metastabil rétegződési hibákat. Ebben a részben azt vizsgáljuk meg, hogy ezek a hibák milyen kapcsolatban vannak az ún. parciális diszlokációkkal az L12 és a DO19 kristályszerkezetű ötvözetekben. L12 szerkezet Az L12 rácsban a legrövidebb Burgers-vektor az < 110 > vektor, amely a szuperrács egyik transzlációs vektora. Ez az (111) síkon felhasadhat az [¯101] = 1/2[¯101] + 1/2[¯101] ¯ + 1/3[¯211] [¯101] = 1/3[1¯12]

(2.39)

egyenletek valamelyike szerint [43, 14]. Az első esetben egy antifázisú határ (APB), a második esetben egy szuperrács intrinszik rétegződési hiba (SISF) keletkezik a két szuperparciális diszlokáció között. A másik lehetséges disszociáció az (111) síkon az 1/2[¯101] szuperparciális —, amely az APB hibát hozza létre — további felhasadása a 1/2[¯101] = 1/6[¯211] + 1/6[1¯12]

(2.40)

egyenletnek megfelelően közben létrehozva a komplex rétegződési hibát (CSF) a két ún. Shockley parciális diszlokáció között. A fenti egyenletek csak a lehetséges felhasadásokat veszik számba, de hogy ezek közül melyik valósul meg, az az anyagtól függ ill. a számítógépes vizsgálatokban az adott anyagnak megfelelő potenciáltól. Azt a γ-felületek ismertetésénél láttuk, hogy az (111) síkon az APB hiba nem minden esetben stabil és így a (2.39)-ben az első egyenlet szerinti felhasadás nem valósul meg instabil APB hiba esetén. Ekkor csak (2.39) második egyenlete szerint mehet végbe a felhasadás és egy SISF hiba keletkezik a két parciális diszlokáció között [14]. Hasonlóan a (2.40) egyenlet alapján a felhasadás csak abban az esetben jön létre, ha a CSF hiba stabil az (111) síkon [43, 14]. A {001} síkon csak az APB rétegződési hiba létezik, úgy hogy az < 110 > szuperdiszlokáció két 1/2 < 110 > szuperparciálisra hasad, miközben közöttük egy APB keletkezik. Ez a parciális diszlokáció is felhasadhat a (2.40) egyenlet szerint ha az {111} síkon a CSF hiba stabil. 28

DO19 szerkezet

A 2.3 szakaszban áttekintettük a lehetséges rétegződési hibákat a DO19 szerkezetben, azonban a stabilitásukat elméletileg csak a γ-felületek kiszámításával állapíthatjuk meg. Így szükségünk van az atomok közti potenciálra. A 4. fejezetben taglaljuk azt a munkát, amely során konstruáltunk egy potenciált, majd ezzel meghatároztuk a γ-felületeket az alapsíkon és a prizmatikus síkon. Látni fogjuk, hogy pl. az alapsíkon mind a három rétegződési hiba stabilnak adódik. Itt most csak az alapsíkon történő felhasadást említjük meg. DO19 rácsban az alapsíkon a 2/3 < 11¯20 > szuperrács diszlokáció felbomolhat két 1/3 < 11¯20 > szuperparciális diszlokációra, miközben egy APB hiba keletkezik köztük. Ez utóbbi parciális is felhasadhat, de mint látni fogjuk, sokkal bonyolultabb módon, mint az L12 rácsban. A számítógépes szimulációkban ismernünk kell a felhasadt diszlokációk közti egyensúlyi távolságot. Az fcc rácsban a két Shockley parciális diszlokáció közti távolságot izotrop közegben viszonylag egyszerűen kiszámíthatjuk [4]. A hiba keletkezésekor fellépő erő tart egyensúlyt a hibát határoló két parciális között ható taszító erővel. Ez utóbbi erő a távolsággal fordítva arányos és az arányossági tényező a rugalmas együtthatóktól és a Burgers-vektorok nagyságától függnek. Így az arányossági tényező ismeretében az egyensúlyi feltételből meghatározhatjuk a keresett egyensúlyi távolságot. A legnehezebb az arányossági tényező kiszámítása és anizotrop közegben gyakran csak numerikus úton lehet számolni. A 2.4 szakaszban az anizotrop rugalmasságtan néhány elemének tárgyalásakor leírtuk azt az eljárást, amellyel meghatározható a két párhuzamos diszlokáció között fellépő erő. Ilymódon kiszámítható a fenti arányossági tényező. Bizonyos esetekben ez a tényező egzaktul is meghatározható, mint pl. fcc rácsban az (111) síkon a két párhuzamos Shockley parciális esetén [2]. A 3. és a 4. fejezetben számítógépes szimulációkkal vizsgáljuk meg az itt tárgyalt felhasadások során keletkezett parciális diszlokációk magszerkezetét az L12 és a DO19 kristályrácsban, figyelembe véve a kristály anizotrop voltát is.

29

30

3. fejezet A diszlokációk magszerkezetének szimulációja L12 ötvözetben

31

3.1. Számítási módszer [53, 54] A 2.5 szakaszban láttuk, hogy az < 110 > szuperdiszlokáció hogyan hasadhat fel az {111} síkon szuperparciális diszlokációkra. A komplex rétegződési hiba (CSF) és az antifázisú határ (APB) stabilitása a potenciál megválasztásától függ. A Finnis–Sinclair- potenciált alkalmazva két különböző potenciált szerkesztett Ackland [53], melyek közül az egyik (Ni3 Al) metastabil APB és CSF hibát eredményez, míg a másik esetben (Cu3 Au) a CSF instabil és az APB egy nagy energiájú metastabil hiba. Az < 110 > csavardiszlokáció felhasadásának vizsgálatára atomisztikus számolásokat végeztünk a fenti két potenciált alkalmazva [53]. Mielőtt ismertetnénk a kapott eredményeket, röviden áttekintjük az alkalmazott számítási módszert. A számításokat minden esetben úgy végeztük el, hogy először a vizsgálandó felhasadásnak megfelelően létrehoztunk egy kezdő konfigurációt. Az adott méretű L12 ideális rácsban az egyes atomok helyzetét a blokkban lévő diszlokációk elmozdulásterével módosítottuk. Egy diszlokáció uk elmozdulásterét a (2.34) egyenletből az anizotrop rugalmasságtan alapján határozhatjuk meg. Ilymódon az ideális rácsba helyezett diszlokációt modellezhetjük. Abban az esetben, ha a szuperdiszlokáció két szuperparciálisra történő felhasadását kivánjuk vizsgálni, akkor a két parciális közötti rétegződési hiba szélességét a 2.5 szakasz végén leírt módon határozhatjuk meg. A következő lépésként az így létrehozott konfigurációhoz tartozó egyensúlyi állapotnak az energiáját gradiens módszerrel kaphatjuk meg [55]. Kiszámítjuk minden egyes atomra a szomszédos atomok által kifejtett erők eredőjét, majd minden atomot a rájuk ható erővel arányos mértékben az erő irányába elmozdítunk. A kapott új atomi elrendeződésben ismét kiszámoljuk az atomokra ható erőket és ha mindegyik erőnek a nagysága egy bizonyos küszöbértéknél kisebb, akkor befejezzük a relaxációt. Egyensúlyban ez a küszöbérték zérus, a szimulációkban általában kb. 10−12 N értéknél hagytuk abba a relaxációt. Végül kiszámítjuk az atomok közti kölcsönhatás alapján az egyensúlyban lévő rendszer teljes energiáját. Természetesen az egész relaxációt egy adott határfeltétel mellett kell végrehajtani, amelyet a következőképpen rögzítettünk: a relaxációban résztvevő atomok blokkját egy külső határtartománnyal vettük körbe, melyben az atomok helyzetét az adott diszlokációk által létrehozott elmozdulástér (a (2.34) egyenlet) alapján határoztunk meg és a relaxáció során nem változtattunk. A határtartomány méretét úgy választottuk meg, hogy az megegyezzen a kölcsönhatásból számolható levágási hosszal. A levágási hossz az a távolság, amelynél nagyobb távolságra az atomok közti erő már zérus. Tekintve, hogy a diszlokáció 32

egy vonalhiba, így elegendő a hiba vonalának irányában az ismétlődési vektor hosszának megfelelő vastagságú mintát venni és alkalmazni a periodikus határfeltételt ebben az irányban. Végül megjegyezzük, hogy a relaxációban az atom elmozdulása és a rá ható erő nagysága közötti arányossági tényezőt tapasztalat útján állítottuk be. Ha ez az érték túl nagy, a relaxációt gyorsítani lehet, de osszcilláció lép fel; az erők nem érik el az előre megadott küszöbértéket. Ellenkező esetben viszont a relaxáció túl lassú lesz a reális CPU időkhöz képest.

33

3.2. L12 ötvözet az {111} síkon metastabil CSF hibával: (Ni3Al) [53, 54] Az < 110 > szuperparciális diszlokációnak az (111) és a (001) síkon történő felhasadását tanulmányoztuk számítógépes szimulációkkal. ¯ csavardiszlokációnak az [1¯10] = 1/2[1¯10]+ Tekintsük az (111) és a (001) síkon az [110] 1/2[1¯10] diszlokáció reakcióját. Az [1¯10] diszlokáció vonalára merőleges síkban a blokk mérete 50a x 50a volt és így a blokk 14210 atomot tartalmazott. Az a rácsállandó értéke Ni3 Al esetén 2.52 Å. Az alábbi négy ábra (3.1–3.4) a különböző diszlokáció-magszerkezeteket mutatja. Minden egyes ábrán az atomok elrendeződése látható az (1¯10) síkra vetítve.

3.1. ábra. Ni3 Al-ban az (111) síkon lévő APB hibát határoló 1/2[1¯10] szuperparciális magszerkezete: Csúszóképes konfiguráció

3.2. ábra. Ni3 Al-ban az (111) síkon lévő APB hibát határoló 1/2[1¯10] szuperparciális magszerkezete: Nagy energiájú rögzült konfiguráció 34

3.3. ábra. Ni3 Al-ban az (111) síkon lévő APB hibát határoló 1/2[1¯10] szuperparciális magszerkezete: Alacsony energiájú rögzült konfiguráció

3.4. ábra. Ni3 Al-ban a (001) síkon lévő APB hibát határoló 1/2[1¯10] szuperparciális magszerkezete Az ábrákon a kis körök az A atomot, a nagy körök a B atomot jelölik az A3 B ötvözetben. A két egymást követő (2¯20) síkot a fekete és a fehér körökkel különböztettük meg. A két atom között lévő nyíl hossza a két atom relatív elmozdulásának az [1¯10] irányú komponensével (csavar) arányos és az 1/2[1¯10] vektor nagyságával normált. A nyilak iránya az elmozdulások előjelét reprezentálják. Az áttekinthetőség érdekében az ábrákon az atomok az ideális rácsnak megfelelő helyzetben vannak. Az állandó hosszúságú nyilak az antifázisú határt (APB) jelölik. Az atomok elmozdulásának ilymódon történő ábrázolását először Vitek alkalmazta és azóta is elterjedt módszer [27, 6], ezzel kapcsolatban egyéb megjegyzések találhatók még Tichy Géza könyvében [14]. Természetesen ábrázolhatjuk a diszlokáció vonalára merőleges irányú elmozdulásokat is, ekkor az elmozdulástérkép ún. élkomponensét kapjuk. 35

(A 3.1–3.4 ábrákon a csavarkomponens látható.) A 3.1–3.3 ábrákon az 1/2[1¯10] szuperparciális diszlokáció három különböző magszerkezete látható, mindegyik esetben az (111) síkon lévő APB hibával. A 3.4 ábra a ¯ parciális diszlokáció magszerkezetét mutatja. A (001) síkon lévő APB végén az 1/2[110] 3.1 ábrán látható magszerkezetben a jelentősebb atomi elmozdulások csak az APB síkjára korlátozódnak; a magszerkezet az (111) síkra terjed ki. Külső nyírófeszültséggel ez a konfiguráció könnyen elmozdítható az APB síkja mentén és csúszóképes (glissile) konfigurációnak nevezik. Ugyanakkor a 3.2–3.4 ábrákon a mag az (1¯11) síkra terjed ki, miközben az APB hiba vagy az (111) vagy a (001) síkon helyezkedik el. Ezek az ún. rögzült (sessile) konfigurációk, csak nagy nyíróerőkkel mozdíthatók el a diszlokációk. A négy magszerkezet közös vonása, hogy mindegyik az {111} sík valamelyikére terjed ki. Ezt a kiterjedést jó közelítéssel leírhatjuk az 1/2[1¯10] szuperparciális diszlokáció további felhasadásával a (2.40) egyenletnek megfelelően. A 3.1, 3.2 és a 3.4 ábrákon látható konfigurációkat már a korábbi párpotenciált [45] és a beágyazott atom módszert [56, 57] (EAM) alkalmazó számolások során is kimutatták. Azonban a 3.3 ábrán látható magszerkezetet nem találták meg a korábbi atomisztikus számolásokban. A konfiguráció a 3.4 ábra magszerkezetére hasonlít, ahol az APB a (001) ¯ síkra terjed ki. Így az előző eset felfogható egy olyan magszersíkon van és a mag az (111) kezetnek, amelyben az (111) síkon lévő APB végén kialakul egy kb. |1/4[110]| széles csík — ami a (001) síkon egy APB hibának felel meg —, és ezt követi a diszlokáció kiterjedése az (1¯11) síkra. Ni3 Al-ban a folyáshatár anomális hőmérséklet-függésének elméleti magyarázatában a 3.3 ábrán látható rögzült konfiguráció létezése alapvető fontosságú [58]. Ebben a modellben az egyik feltevés az, hogy az [1¯10] szuperdiszlokáció könnyen mozog az (111) síkon mint csúszóképes konfiguráció (3.1 ábra). A másik feltevés szerint ezen csavardiszlokációnak a magja termikus aktivációval átalakul a 3.3 ábrán látható rögzült magszerkezetbe. ¯ diszlokáció vonalának rövid szakaszain a mag egy nehezen Így az (111) síkon mozgó [110] mozgó magszerkezetté alakul át, miközben a külső feszültségek miatt a diszlokáció megmaradt csúszóképes része kihajlik a megakadt szakaszok között. A kihajlott rész már nem tisztán csavar jellegű diszlokáció és ezért nem alakul át rögzült formába, így a diszlokáció vonala mentén csak rövid rögzült szegmensek képződnek. Ezek a szegmensek (pinning pontok) akadályozzák a diszlokáció mozgását, és mivel a hőmérséklet növelésével nő a pinning pontok száma, a diszlokációnak ezen pinning pontoktól való elszakításához szük36

séges külső feszütség is növekszik. Feltehetően ez a mechanizmus az oka a folyáshatár hőmérsékletfüggésében tapasztalható anomális viselkedésnek. Visszatérve a 3.1 és a 3.3 ábrán látható két konfigurációra a fent leírt csúszóképes–rögzült transzformáció úgy tekinthető, mint egy keresztcsúszás, melyben az 1/2[1¯10] szuperparciális magja átcsúszik az (1¯11) síkra és közben a (001) síkon egy APB hiba keletkezik. Az 2.1 táblázatból látható, hogy az APB energiája a (001) síkon kisebb, mint az (111) síkon, mivel a párpotenciáloknak az elsőszomszédoktól származó járulékait nem tartalmazza. Így a 3.3 ábra egy alacsonyabb energiájú, de rögzült konfigurációnak felel meg, a 3.1 ábrán látható magasabb energiájú csúszóképes konfigurációhoz képest. A két energiaminimumnak megfelelő konfiguráció között egy nyeregpont van és ezért termikus aktivációra van szükség a csúszóképes–rögzült transzformációhoz. A 3.2 ábrán látható konfiguráció is rögzült, de nagyobb energiájú, mint a csúszóképes megfelelője. Felmerül a kérdés, vajon, hogyan lehet meghatározni a különböző magszerkezetek energiáját? A diszlokáció energiáját nem lehet egyértelműen felbontani a mag energiájára, ill. a rugalmas energiára, mivel nem ismerjük a mag méretét. Egy nagy méretű blokkban a rugalmas energia lesz a domináns. Annak érdekében, hogy a 3.1–3.3 ábrákon látható magszerkezetek energiáját megbecsüljük, a következő módszert alkalmaztuk. Kiszámoltuk egy olyan kisszámú (240) atomot tartalmazó blokknak az energiáját, amelynek a középpontja a vizsgált diszlokáció magjának helyén van. A blokkban lévő Ni és Al atomok számának aránya 3:1, megtartva az eredeti arányt. A számítások szerint a 3.1–3.3 ábrákon látható magszerkezetek energiáinak az aránya 1:1,03:0,95. Világos, hogy energetikailag a legkedvezőbb konfiguráció a 3.3 ábrának megfelelő; ugyanakkor a másik rögzült mag a legnagyobb energiájú a három magszerkezet közül. Az atomisztikus számolások megerősítik azt a feltevést, hogy a csúszóképes–rögzült magszerkezet-átalakuláskor egy magasabb energiájú állapotból külső energia befektetésével (külső feszültség alkalmazásával és termikus aktivációval) juthatunk át a nyeregponton az alacsonyabb energiájú állapotba.

37

3.3. L12 ötvözet az {111} síkon instabil CSF hibával: (Cu3Au) [53, 54] A (001) síkon az < 110 > szuperdiszlokáció felhasadhat két 1/2 < 110 > szuperparciális diszlokációra. Azonban olyan potenciál esetében, amikor a CSF hiba instabil és az APB hiba energiája nagy, akkor nem a (2.39) első egyenlete szerint, hanem a második egyenlet ¯ = 1/3[1¯21] + 1/3[2¯1¯1] reakcióban a két parciális szerint történik a felhasadás. Az [110] között a mindenkor metastabil szuperrács intrinszik rétegződési hiba (SISF) keletkezik. Megvizsgáltuk mind a (001) síkon lévő APB hibát határoló 1/2[1¯10] szuperparciális, mind az (111) síkon lévő SISF hibát határoló 1/3[1¯21] szuperparciális magszerkezetét. A számításokat a 3.1 szakaszban leírt módon végeztük el és az eredmények a 3.5 és a 3.6 ábrán láthatók. Az ábrákon a köröknek és nyilaknak ugyanaz a jelentése, mint a 3.2 szakaszban.

3.5. ábra. Cu3 Au-ban a (001) síkon lévő APB hibát határoló 1/2[1¯10] szuperparciális magszerkezete instabil CSF hiba esetén. Mindkét ábrán az elmozdulások csavarkomponensét ábrázoltuk. A 3.5 ábrán látha¯ szuperparciális nem a (001) síkra terjed ki, hanem szimultán módon tó, hogy az 1/2[110] ¯ síkokra. Így ez a mag ismét rögzült szerkezet. Azonban ezek a magaz (111) és az (111) szerkezetek nem feleltethetők meg két Shockley parciálisra történő felhasadásnak, mivel a CSF hiba nem stabil az (111) síkon. Ez az oka annak, hogy ebben az esetben a mag két különböző {111} síkra terjed ki. ¯ szuperparciális csavarkomponense látható annak ellenére, A 3.6 ábrán az 1/3[121] ¯ irányra merőleges elmozduhogy a magszerkezet rendelkezik élkomponenssel is (az [110] lások). Az elmozdulások élkomponense csak az SISF hiba síkjában terjed ki. Az ábrán a 38

3.6. ábra. Cu3 Au-ban az (111) síkon lévő SISF hibát határoló 1/3[1¯21] szuperparciális magszerkezete instabil CSF hiba esetén. diszlokáció magja egyrészt az (1¯11) síkra, másrészt közvetlenül az SISF hiba síkja fölötti rétegre terjed ki. A kapott eredmények gyakorlatilag megegyeznek azokkal, melyeket a korábban párpotenciálokat alkalmazó számításokból nyertek [44, 45]. A csavardiszlokációnak nincs könnyen mozgó rögzült konfigurációja, és így ezek a diszlokációk nehezen mozognak az anyagban, hasonlóan mint pl. bcc fémekben [2, 27, 6]. Mivel a rögzült diszlokációk mozgását termikus aktivációval lehet elősegíteni, a folyáshatár csökkenni fog a hőmérséklet növelésével és semmilyen anomális viselkedést nem mutat. Tichy Géza és társai kidolgoztak egy modellt [59, 16, 14] a rögzült csavardiszlokációkat tartalmazó ötvözeteknek a folyáshatár hőmérsékletfüggésére. A modell szerint termikus aktivációval ún. kinkpárok képződnek, és ezek mozgásával értelmezhető az anyag folyáshatára. Pt3 Al-ra a folyáshatárnak a kísérletekből kapott hőmérséklet- és irányfüggése kitünően egyezik az elméleti értékekkel alacsony hőmérsékleten.

39

40

4. fejezet A diszlokációk magszerkezetének szimulációja DO19 ötvözetben

41

4.1. A potenciál kiszámítása DO19 kristályszerkezetben [60, 61] A DO19 kristályszerkezetben (A3 B típusú ötvözet) az atomok közti kölcsönhatás leírásához a Finnis-Sinclair típusú potenciált [37] használtuk fel hasonló módszerrel, mint ahogy ezt nemesfémek és az L12 rendezett ötvözetek esetében tették [40, 53]. Az N atomot tartalmazó rendszer energiája N N X 1X √ VTi Tj (Rij ) − E= %Ti 2 i,j=1 i=1

(4.1)

ahol %Ti =

N X

ΦTi Tj (Rij ).

(4.2)

j=1

Az első tag az atomok közötti párkölcsönhatások összege, míg a második tag a vonzójellegű N-részecskés kölcsönhatás. A VTi Tj (Rij ) és a ΦTi Tj (Rij ) potenciálok az i és j atomok közötti Rij távolságtól függenek. A Ti index az A és B típusú atomot tartalmazó kétkomponensű ötvözetben az i-dik rácspontban lévő atom típusát jelöli, ami vagy A vagy B. A csak A ill. B atomot tartalmazó anyagban a megfelelő potenciálok a VAA , VBB , ΦAA és a ΦBB . Összhangban a Finnis-Sinclair jellegű potenciál alakkal a ΦAB potenciált a ΦAA és a ΦBB mértani közepével azonosítottuk [53, 62]. Így csak a VAB potenciált kell illeszteni az adott ötvözet ismert paramétereihez. Hasonlóan a korábbi vizsgálatokhoz [40, 53, 39], a fenti potenciálokat köbös polinomok kombinációjával állítottuk elő. A köbös polinomalakot az indokolja, hogy a kölcsönhatásból számítható feszültségtenzor ill. a rugalmas állandók a potenciálok első ill. második deriváltjával kapcsolatosak és így ezek az illesztésnél folytonos függvények lesznek. A V és Φ potenciálokat az alábbi alakban vettük fel VAA (Rij ) =

6 X

3

AA AA aAA k H(rk − Rij )(rk − Rij )

k=1

ΦAA (Rij ) = VAB (Rij ) =

6 X k=1 3 X

AA AA AAA k H(Rk − Rij )(Rk − Rij )

3

3

AB AB aAB k H(rk − Rij )(rk − Rij )

k=1

q ΦAB (Rij ) = ΦAA (Rij )ΦBB (Rij ), 42

(4.3)

ahol H(x) a Heaviside lépcső függvény, és az ak , rk paramétereket később határozzuk meg. Nem célunk a potenciálokat egy konkrét ötvözet paramétereire illeszteni, mivel csak a kristályhibák alapvető tulajdonságait kivánjuk tanulmányozni a számítógépes szimulációkkal. Így elegendő, ha a fent definiált potenciál az alábbi követelményeknek tesz eleget: 1. A DO19 kristályszerkezet a legstabilabb összehasonlítva a különböző kristályszimmetriával rendelkező A3 B típusú ötvözetekkel (L12 ,DO3 , DO22 , DO23 és A15). 2. A DO19 szerkezetnek a kis és nagy homogén deformációkkal szemben mechanikailag stabilnak kell lennie. A lokális egyensúly feltétele annak felel meg, hogy az átlagos feszültség zérus az anyagban. A σαβ feszültségtenzor egy periodikus kristályszerkezetben a Finnis-Sinclair típusú potenciálból a következő módon származtatható σαβ

M 1 XX 0 Rij α Rij β −1/2 0 = ΦTi Tj (Rij )] [V (Rij ) − (%Ti ) , 2V0 i=1 j Ti Tj Rij

(4.4)

ahol V0 az elemi cella térfogata, M a cellában levő atomok száma (DO19 esetében 8) és adott i-re a j szerinti összegzés az i-dik atom szomszédaira történik. Ha a koordinátarendszer z tengelyét úgy választjuk meg, hogy az párhuzamos a hexagonális rács c tengelyével és az x ill. y tengely pedig az alapsíkon fekszik, akkor a szimmetriából következik, hogy σ12 = σ13 = σ23 = 0 és σ11 = σ22 . Így a kis deformációkkal szembeni mechanikai stabilitást biztosító két egyensúlyi feltétel σ11 = 0, σ33 = 0.

(4.5)

Középpontos szimmetriával rendelkező rács esetén (pl. köbös rács) az egyes atomokra ható erő mindig zérus a szimmetria következtében. Más a helyzet a DO19 rácsszerkezet esetében, mivel míg a szimmetria miatt a B atomra ható erő zérus, ez nem teljesül az A atomokra; így a rács stabilitásának érdekében egy újabb feltételt kell előírni. Az A atomra ható erő iránya merőleges a c tengelyre és a nagysága minden A atomra FA =|

X j

1 Rj 0 {−VAT (Rj ) + Φ0ATj (Rj )[(%A )−1/2 + (%Tj )−1/2 ]} |= 0. j 2 Rj

(4.6)

Az összegzés az A atom szomszédaira terjed ki, Rj az A atomot a j-dik szomszéddal összekötő vektor. Mivel a célunk egy modell-potenciál megszerkesztése, az A-A ill. B-B típusú kölBB AA BB csönhatásokat jellemző aAA paramétereket a korábban már [53] nikkelre k , ak , rk , rk

43

és aluminiumra illesztett értékkel azonosítottuk. Természetesen a Ni3 Al-nak a stabil kristályszerkezete L12 és nem a DO19 rács. Ezért nem használhatjuk az Ni3 Al-ra korábban kapott potenciált [53]. Ahhoz, hogy ez az ötvözet a DO19 rácsra legyen stabil, azaz teljesítse a korábban említett követelményeket, módosítani kell a Ni és az Al atomok közötti potenciált. Tekintve, hogy nincsenek mérési adatok a DO19 kristályszerkezetű ötvözetek rugalmas együtthatóira, a potenciált nem tudjuk illeszteni ezeknek megfelelően. Ilymódon a kapott potenciál nem felel meg semmilyen létező anyagnak; csak modell-potenciálnak tekinthető, amely azonban már felhasználható a kiterjedt rácshibák alapvető tulajdonságainak tanulmányozásához a DO19 ötvözetekben. Megjegyezzük, hogy a diszlokációk magszerkezetét még nem vizsgálták numerikus módon ezekben az anyagokban. A VAB potenciál együtthatóit kell meghatározni, mely a következőképpen történt. Adott rkAB értékkel a (4.3)–(4.6) egyenletek alapján kiszámíthatók az aAB paraméterek, k majd az rkAB töréspontokat úgy választjuk meg, hogy optimalizáljuk a mechanikai stabilitást a nagy deformációkkal szemben, és a szerkezeti stabilitást az alternatív kristályszerkezetekhez képest. Az ismertett illesztési módszer alapján kapott paraméterek az alábbi táblázatban találhatók.

44

nikkel aluminium a1 32.90999 32.25880 a2 -51.34769 -74.5610 a3 39.20791 140.01250 a4 -88.21415 -107.57890 a5 131.14030 29.44470 a6 0.0 0.0 r1 1.2250 1.2250 r2 1.2020 1.180 r3 1.10 1.090 r4 0.90 1.050 r5 0.820 0.90 r6 0.70711 0.70711 A1 28.7717 19.2224 A2 -94.0309 4.95954 A3 105.270 0.0 R1 1.2250 1.20 R2 0.930 0.930 R3 0.60 0.80 a(Å) 3.524 4.05030

Ni-Al 0.523762 -0.554863 0.102965 5.002994 4.977198 4.380030 * * * * * * 2.64

4.1 táb. A DO19 szerkezet potenciáljának illesztési paraméterei. ak és Ak eV−3 , míg rk és Rk Å egységekben

A táblázatban a csillaggal jelzett együtthatókra nincs szükség, azok a (4.3) egyenletekből számolhatók. A megszerkesztett potenciálból a rácsállandókra a = 2.52 Å és c = 4.138 Å értékeket kaptuk. A kettő aránya c/a = 1.64, ami valamivel nagyobb, mint az ideális érték a p szoros illeszkedésű hexagonalis rácsra ( 8/3 ). Az egy atomra vonatkozó kohéziós energia 4.052 eV és potenciálból számított rugalmas állandók az alábbi táblázatban találhatók ( 1011 Nm−2 egységekben).

C11 C12 C13 C33 C44 1.869 0.782 0.623 2.575 0.375 4.2 táb. A DO19 szerkezet potenciáljából kapott rugalmas együtthatók 1011 Nm−2 egységekben

45

Egyik paramétert sem illesztettük valamely ötvözet rugalmas állandóira, de a kapott értékek a várt nagyságrendbe esnek. Megvizsgáltuk a DO19 szerkezetnek a mechanikai stabilitását is a nagy deformációkkal szemben, hasonlóan ahogy korábban a hexagonális rácsszerkezetű fémek esetében történt [63]. Kiszámítottuk a rács energiáját, mint az egy atomra vonatkozó Ω térfogat és a c/a arány függvényét a 0.55 ≤ Ω/Ω0 ≤ 1.45 √ (Ω0 = 2 3a2 c az egyensúlyi térfogat) és a 1.5 ≤ c/a ≤ 1.7 intervallumban. A 4.1 ábrán

4.1. ábra. A rács energiája (eV-ban) az Ω és a c/a arány függvényében. Az Ω = Ω0 , c/a = 1.64 pont az energiafelület minimumhelye. látható, hogy az energiafelületnek csak egyetlen minimuma van az adott tartományban és ez éppen az Ω = Ω0 , c/a = 1.64 pont, azaz nem találtunk más metastabil DO19 rácsot. A kristályszerkezet stabil a nagy mechanikai deformációkkal szemben. Ellenőriztük a DO19 szerkezet stabilitását az ugyanolyan összetételből nyerhető alternatív kristályszerkezetekhez képest is, mint pl. L12 ,DO3 , DO22 , DO23 és A15 rácsszerkezetek. Az egyes kristályszerkezethez tartozó atomonkénti energia ( eV egységekben) eredményeit az alábbi táblázatban foglaltuk össze.

46

L12 DO3 DO19 DO22 DO23 A15 -4.044 -4.002 -4.052 -4.037 -4.040 3.900 4.3 táb. Az alternatív kristályszerkezetek atomonkénti kohéziós energiája eV-ban.

Látható, hogy valóban a DO19 szerkezet energiája a legkisebb. A táblázatban a kapott energiák közötti különbség a szobahőmérsékletnek megfelelő termikus gerjesztési energia nagyságrendjébe esik. Annak ellenére, hogy ez elég kicsi érték, az egyes szerkezetek közti fázisátmenet csak magasabb hőmérsékleten lehetséges, mivel a szabadenergiában az entrópia-járulékot nem hanyagolhatjuk el. Ebben a fejezetben leírtuk azt az eljárást, amellyel a modell-potenciált megszerkesztettük és vizsgáltuk a különböző stabilitási feltételeket. Megszeretnénk jegyezni, hogy egy ilyen jellegű munka a gyakorlatban több hónapos probálkozás eredménye. A továbbiakban ezt a potenciált használjuk a kristályhibák számítógépes szimulációjához.

47

4.2. Síkhibák stabilitása: γ-felületek [60, 61] Az alábbi táblázatban az általunk számított különböző rétegződési hibák energiáit foglaltuk össze a DO19 kristályrács esetén csak párkölcsönhatást feltételezve. Az energiákat ismét a (2.17)-ben definiált rendeződési energiával fejeztük ki. Az eredményeket még nem publikáltuk, de felhasználtuk a [60] cikkben leírt munkában.

Sík

Hibavektor 1/3[¯12¯10] 1/3[01¯10]

Hiba APB CSF

A hiba energiája √ (Vˆ (2) − 3Vˆ (3) − 2Vˆ (4) + 2Vˆ (6) + 4Vˆ (7) )/ 3a2 (4) (4) (6) (6) (6) (0001) (Vˆ (2) − 3Vˆ (3) − 3VAA − VBB + 8VAA + 2VAB + 2VBB − √ (7) (7) (8) (8) −12VAA − 12VAB + 6VAA + 6VAB )/ 3a2 (4) (4) (6) (6) (7) (7) 1/3[¯1100] SISF (−3VAA − VBB + 6VAA + 6VAB − 12VAA − 12VAB + (8) (8) √ +9VAA + 3VAB )/ 3a2 (10¯10) 1/3[¯12¯10] APB-I (−2Vˆ (3) + 2Vˆ (5) + 4Vˆ (6) − 4Vˆ (8) )/ac 1/3[¯12¯10] APB-II (2Vˆ (2) − 4Vˆ (3) + 2Vˆ (5) − 4Vˆ (8) )/ac √ (¯12¯10) [¯1010] APB (2Vˆ (1) − 4Vˆ (3) + 4Vˆ (6) + 4Vˆ (7) − 8Vˆ (8) )/ 3ac (4) 1/3[¯12¯10] APB-I (Vˆ (2) − 5Vˆ (3) − 2Vˆ√ + 4Vˆ (5) + 6Vˆ (6) + +4Vˆ (7) − 8Vˆ (8) )/a 4c2 + 3a2 ˆ (4) + 4Vˆ (5) + 2Vˆ (6) + (10¯11) 1/3[¯12¯10] APB-II (3Vˆ (2) − 7Vˆ (3) − 2V √ +4Vˆ (7) − 8Vˆ (8) )/a 4c2 + 3a2 (3) 1/3[¯2113] APB-I (2Vˆ (1) + Vˆ (2) − 5Vˆ√ − 2Vˆ (4) + 2Vˆ (5) + 4Vˆ (6) + (7) (8) +4Vˆ − 8Vˆ )/a 4c2 + 3a2 (3) 1/3[¯2113] APB-II (2Vˆ (1) + Vˆ (2) − 7Vˆ√ − 2Vˆ (4) + 2Vˆ (5) + 6Vˆ (6) + +4Vˆ (7) − 8Vˆ (8) )/a 4c2 + 3a2 (4) (10¯12) 1/3[¯12¯10] APB-I (Vˆ (2) − 3Vˆ (3) − 2Vˆ√ + 2Vˆ (5) + 2Vˆ (6) + +4Vˆ (7) − 4Vˆ (8) )/a c2 + 3a2 (4) 1/3[¯12¯10] APB-II (Vˆ (2) − 5Vˆ (3) − 2Vˆ√ + 2Vˆ (5) + 6Vˆ (6) + +4Vˆ (7) − 4Vˆ (8) )/a c2 + 3a2 p 4.4 táb. A különböző síkhibák energiája DO19 rácsban c/a > 8/3 esetén. Az energiák az első 8 legközelelebbi szomszéd-kölcsönhatás járulékait tartalmazzák. Az p ideális c/a = 8/3 arány esetén hasonló számításokat végzett Umakoshi és Yamaguchi [64]. Ebben az esetben az 1. és 2. illetve a 5. és 6. legközelebbi szomszédtávolságok p azonosak. Ha c/a > 8/3, akkor az első 8 szomszédtávolság: r r 1 2 1 2 4 2 1 2 r1 = a, r2 = a + c , r3 = a + c , r4 = c, 3 4 3 4 r √ √ 7 2 1 2 r5 = 3a, r6 = a + c , r7 = a2 + c2 , r8 = 2a. 3 4 48

Ha c/a <

p

8/3, akkor a fenti képletek változatlanok maradnak, csak az 1. és 2. illetve

az 5. és 6. legközelebbi szomszédtávolságok szerepet cserélnek. A 2.3 szakaszban vezettük be a γ-felület fogalmát. Most az előző szakaszban megszerkesztett modell-potenciált felhasználva kiszámítjuk a DO19 kristályszerkezetben az alapsíkon és az (10¯10) prizmatikus síkon a megfelelő γ-felületeket. A γ-felület lokális minimumai meghatározzák a lehetséges stabil rétegződési hibákat a megfelelő síkon. A (0001) alapsík A 4.2 ábrán az alapsíkhoz tartozó γ-felület állandó energiájú szintvonalai láthatók.

4.2. ábra. A DO19 rács (0001) alapsíkjához tartozó γ-felület. Szimmetria okok miatt az alapsíkon a γ-felület kiszámításához elegendő az ¯ ¯ 1/3[¯1210]x[ 1010] ún. ismétlési cellát tekinteni. Az ábrán az egymást követő energia-szintvonalak közötti különbség 33.2 mJ/m−2 . Ez a γ-felület nagyon hasonlít az L12 kristályszerkezet {111} síkjához tartozó γ-felületre [43]. Ebben az esetben is megtaláljuk a három ¯ 10]), ¯ metastabil rétegződési hibát, nevezetesen az antifázisú határt (APB, fA = 1/3[12 a komplex rétegződési hibát (CSF, fC = 1/3[01¯10]) és a szuperrács intrinszik rétegződési 49

hibát (SISF, fS = 2/3[¯1100]). Ezen hibák energiái rendre γAPB = 63.0mJ/m2 , γCSF = 83.9mJ/m2 , γSISF = 44.7mJ/m2 . A 4.3 ábrán a DO19 rácsszerkezet két szomszédos alapsíkjának atomi elrendeződése látható.

4.3. ábra. DO19 -ben a két szomszédos (0001) alapsíkon az atomok elrendeződése és a lehetséges metastabil hibák hibavektorai. A kis körök az A tipusú, a nagy körök a B tipusú atomokat jelképezik az A3 B szerkezeti képlettel rendelkező anyagban. A fehér és fekete körökkel a két szomszédos alapsíkot különböztettük meg. A korábbi vizsgálatokban kimutatták [64], hogy az SISF hiba szimmetria okok miatt mindig metastabil rétegződési hiba. Valóban a 4.3 ábrán az fS vektor végpontján átmenő az alapsíkra merőleges három különböző sík egyben tükörsík is. A 2.3 szakaszban leírtak szerint ez azt jelenti, hogy a γ-felületnek az fS pontban extrémuma van. A 4.2 ábrán látható, hogy ez a pont (SISF) minimumnak felel meg az alkalmazott DO19 modell-potenciál alapján. Azonban az APB és CSF hibák stabilitását nem garantálja a rács szimmetriája, ezek az atomi kölcsönhatástól függnek. Az alkalmazott modell-potenciál alapján ezek metastabil hibák, ahogy a 4.2 ábrán látható (az APB és a CSF lokális minimum a felületen). A DO19 kristályban az alapsíknak megfelelő γ-felületen található rétegződési hibák stabilitási viszonyai hasonlóak az L12 ötvözetekben talált esethez.

50

Az (10¯10) prizmatikus sík

Az (10¯10) prizmatikus síkon három különböző γ-felületet kapunk a három különböző vágási síknak megfelelően. Ezeket a vágási síkokat a 4.4 ábrán A, B és C-vel jelöltük.

¯ prizmatikus síkon 4.4. ábra. Két egymást követő alapsík. Az alapsíkra merőleges (1010) a három vágási sík: A, B, C. A két lehetséges antifázisú határ: APB-I, APB-II. Az atomok és a fekete, fehér körök jelentése ugyanaz, mint a 4.3 ábrán. A három ¯ ¯10] hibakülönböző vágási síknak megfelelő γ-felületen csak két különböző az fA = 1/3[12 vektorral jellemzett antifázisú határt kapunk. Ezeket a 4.4 ábrán APB-I és APB-II-vel jelöltük, ahol azt is feltüntettük, hogy ezek melyik vágási síkhoz tartozó γ-felületen találhatók. Belátható, hogy szimmetria okok miatt mindkét APB a γ-felületen extrémumnak felel meg [64]. A bizonyítás a 2.3 szakaszban leírt szimmetria érvelések alapján nyerhető. A DO19 ötvözetre kapott modell-potenciál segítségével kiszámítottuk a három külön¯ prizmatikus síkra [61, 60]. Kiszámítottuk az APB-I és APB-II böző γ-felületet az (1010) hibák energiáit is és γAPB−I = 11.2mJ/m2 , γAPB−II = 101.1mJ/m2 értékeket kaptuk. A ¯ prizmatikus síkon az APB-I energiájához az első 4.4 táblázatból látható, hogy az (1010) kettő legközelebbi szomszéd nem ad járulékot a párpotenciálból. Míg az APB-II esetében már a második legközelebbi szomszéd —, amely majdnem megegyezik az első szomszéd 51

távolsággal, mivel a modell-potenciálból kapott c/a = 1.64 arány közel van az ideális p 8/3 értékhez — is ad járulékot. Ezért az APB-II energiája mindig nagyobb, mint az APB-I energiája. Azt mondhatjuk, hogy az APB-I általában alacsony energiás hiba. Az (10¯10) prizmatikus síkon a három különböző γ-felület közül kettő (a 4.4 ábrán az A ill. B vágási síknak megfelelő) esetében csak egy energiaminimum található a felületen, melyek rendre az APB-I ill. az APB-II rétegződési hibák. Ugyanakkor a C vágási síkhoz tartozó γ-felületen az APB-I hiba mellett egy másik minimum hely is található, amely egy általánosított rétegződési hibának felel meg (jelöljük SF-el). A 4.5 ábra ezt a γ-felületet mutatja.

4.5. ábra. DO19 -ben a (10¯10) − C γ-felület. A prizmatikus sík ismétlési cellája: 1/3[¯12¯10]x1/2[0001]. Az ábrán az SF rétegződési ¯ 1x], ¯ ahol az α és x paraméterek az atomi kölcsönhahibának megfelelő hibavektor α/6[12 tástól függnek. Az általunk szerkesztett modell-potenciált használva α = 0.92, x = 0.84 és az SF hiba energiájára γSF = 132.3mJ/m2 értékeket kaptuk. Az SF rétegződési hiba hasonló ahhoz, amit a szoros illeszkedésű hexagonális szerkezetű fémek esetében találtak, ahol α = 1.0 és x az atomi kölcsönhatás részleteitől függ és anyagról anyagra változik az értéke [65]. 52

A diszlokációk parciálisokra történő felhasadásait vizsgálva alapvető fontosságú, vajon milyen stabil rétegződési hibák vannak a különböző kristálysíkokon. A következő szakaszban ismertetjük a számítógépes szimulációk alapján kapott magszerkezeteket a DO19 modell-ötvözetben.

53

4.3. Az 1/3[¯12¯10] szuperparciális magszerkezete DO19 kristályszerkezetben [60, 61] A 3.1 szakaszban ismertett módszer segítségével vizsgáltuk az a = 1/3[¯12¯10] csavardiszlokáció magszerkezetét az alapsíkon, ill. a rá merőleges (10¯10) prizmatikus síkon [60]. A diszlokáció vonala mentén ([¯12¯10] irány) periodikus határfeltételt alkalmaztunk. ¯ A relaxált blokk mérete a diszlokáció vonalára merőleges két irányban ([1010] és [0001]) 24a volt, így a blokk kb. 1600 atomot tartalmazott. A 4.6–4.8 ábrákon az atomok elrende¯ 10] ¯ irányra merőleges síkra vetítve. A kis körök az A atomokat, a nagy ződése látható a [12 körök a B atomokat jelképezik az A3 B ötvözetben. A két egymást követő (¯12¯10) síkot a fehér és fekete körökkel különböztettük meg. Az elmozdulástérképen a nyilak hossza ¯ 10] ¯ irányú komponenseivel (más szóval a csavaraz atomok relativ elmozdulásainak a [12 ¯ 10] ¯ vektor hosszával van normálva. Az állandó komponenssel) arányos és az a = 1/3[12 hosszúságú nyilak a síkhibákat (például APB) jelképezik az elmozdulástérképen.

4.6. ábra. Az alapsíkon lévő APB hibát határoló 1/3[¯12¯10] szuperparciális magszerkezete. Felhasadás Shockley parciálisokra.

Két alternatív magszerkezet látható a 4.6 és a 4.7 ábrákon. A 4.6 ábrán a magszer¯ > Shockley kezet az alapsíkra terjed ki és ilymódon úgy tekinthető, mint két 1/3 < 0110 ¯ prizparciálisra történő felhasadás. Ugyanakkor a 4.7 ábrán a magszerkezet az (1010) matikus síkra terjed ki. Az előző szakaszban láttuk, hogy (10¯10) − C γ-felületen létezik egy metastabil rétegződési hiba (SF), másrészt a 4.7 ábrán a magszerkezet éppen erre az ¯ − C síkra terjed ki. Így az 1/3[¯12¯10] szuperparciális magszerkezete a következő (1010) 54

4.7. ábra. Az alapsíkon lévő APB hibát határoló 1/3[¯12¯10] szuperparciális magszerkezete. A magszerkezet kiterjed az (10¯10) prizmatikus síkra. diszlokáció-reakcióval írható le   1¯ ¯ α¯ ¯ 2 − α ¯ ¯ −α [1210] = [121x] + x 121 3 6 6 2−α

(4.7)

úgy, hogy a két parciális diszlokáció között az SF metastabil rétegződési hiba helyezkedik el a (10¯10) prizmatikus síkon. A 4.8 ábrán az (10¯10) prizmatikus síkon lévő APB-I alacsony energiás hibát határoló 1/3[¯12¯10] szuperparciális magszerkezete látható. A szuperparciális felhasadása ismét a (4.7) egyenlettel írható le, a magszerkezet az (10¯10) prizmatikus síkra terjed ki egy SF hibát képezve a felhasadt parciálisok között. Ezek az eredmények azt sugalják, hogy a 4.6 és a 4.8 ábrán látható magszerkezetek csúszóképes konfigurációk, míg a 4.7 ábrán lévő szerkezet rögzült konfiguráció. Ezen feltevés ellenőrzése érdekében meghatároztuk azt a feszültséget, ami ahhoz szükséges, hogy a szuperparciális diszlokáció elmozduljon a megfelelő APB hiba síkja mentén. Külső feszültség hatására a diszlokáció egységnyi hosszára ható erőt a (2.38) egyenletből számíthatjuk ki. Ha a diszlokáció vonala a koordinátrendszer z irányába mutat, akkor ξ = (001). Ekkor a csavardiszlokációra ható erő



 σ23 b F =  −σ13 b  , 0

(4.8)

ahol b a csavardiszlokáció Burgers-vektorának az abszolút értéke. Az éldiszlokációra ható erő 

 σ21 b1 + σ22 b2 F =  −σ11 b1 − σ12 b2  , 0 55

(4.9)

4.8. ábra. Az (10¯10) prizmatikus síkon lévő APB-I alacsony energiás hibát határoló 1/3[¯12¯10] szuperparciális magszerkezete.

ahol b1 , b2 az éldiszlokáció Burgers-vektorának x ill. y komponense. A (4.8) egyenletből látható, hogy ha a 4.6–4.8 ábrán a csavardiszlokációkra olyan külső feszültséget alkalmazunk, amelynek csak a σ23 komponense nem zérus, akkor a diszlokációra ható erő x irányú lesz. Egy bizonyos kritikus feszültség fölött a diszlokáció elmozdul az x tengely mentén, amely egyben a megfelelő APB hiba síkja is. Ezt a kritikus feszültséget Peierls-feszültségnek nevezik. Azonban meg kell jegyezni, hogy a fenti magszerkezetek számításánál az APB hibát határoló szuperparciális közül az egyik mindig a relaxált blokkon kivül volt rögzítve, és így amikor a blokkban lévő parciális elkezd mozogni pl. a −x irányba, akkor az APB hiba területe növekszik. Ebből következik, hogy a minimális feszültség, amelynél a diszlokáció mozogni kezd γAPB /bsp -vel egyenlő, ahol γAPB a megfelelő APB hiba energiája és bsp a vizsgált szuperparciális Burgers-vektorának az abszolút értéke. A 4.6 ábrán látható magszerkezet esetében a diszlokáció elmozdításához szükséges kritikus feszültségre 0.05µ értéket kaptunk, ahol µ a nyírási rugalmassági együttható (jelen esetben 4,5.1010 Pa). Ez az érték kb. egy nagyságrenddel nagyobb, mint a γAPB /bsp . Ilyen nagy feszültséget általában rögzült magszerkezet esetén kapunk. Például L12 szerke¯ szuperparciális zetben Ni3 Al-ra az (111) síkon a Shockley parciálisokra felhasadt 1/2[110] kb. γAPB /bsp feszültségnél kezdett mozogni [66]. Ez azt jelenti, hogy az alapsíkon az ¯ > parciális rögzült konfiguráció. Valóban a 4.6 ábrán látható, hogy a mag1/3 < 0110 ¯ prizmatikus síkra is kiterjed. szerkezet az (1010) 56

A 4.7 ábrán a külső feszültség alkalmazásával a diszlokáció magszerkezete fokozatosan átalakul egy olyan magszerkezetté, amely gyakorlatilag megegyezik a 4.6 ábrán látható konfigurációval [60]. Ezért a kritikus Peierls-feszültségre ismét 0.05µ értéket kaptunk. A 4.8 ábrán látható magszerkezet esetében a diszlokáció 0.02µ értéknél kezdett mozogni. Ez kb. fele annak, amit az alapsíkon kaptunk, de még mindig jóval nagyobb, mint ¯ prizmatiamit csúszóképes diszlokációra várnánk. A 4.8 ábrán jól látható, hogy az (1010) kus síkon az SF hibát határoló α/6[¯12¯1x] parciális magszerkezetében jelentős a kiterjedés az alapsíkra. Feltehetően ez a nem egy síkra kiterjedt magszerkezet az oka annak, hogy a konfiguráció rögzült, és a Peierls-feszültség viszonylag magas.

57

4.4. A DO19 hexagonális és az L12 köbös szerkezetű anyagok plasztikus tulajdonságainak diszkussziója [53, 60, 61] Az elöző szakaszban ismertettük a DO19 kristályszerkezetben a csavardiszlokáció magszerkezetének vizsgálatára alkalmazott atomisztikus számítások eredményeit. A 4.1 szakaszban bemutattuk a soktest-potenciál megszerkesztésének módját. Ez a potenciál természetesen nem alkalmas tetszőleges DO19 ötvözetben a plasztikus tulajdonságok tanulmányozására, de valószínűleg sok fontos vonás vizsgálható vele. Különösen jól használható azoknak a különbségeknek a kimutatására, amelyek a DO19 és az L12 ötvöztekben lévő diszlokációk viselkedésében mutatkozik. Láttuk, hogy az APB hiba energiája sokkal kisebb a prizmatikus síkon, mint az alapsíkon. Ehhez hasonló a helyzet az L12 szerkezetekben is, ahol az APB energiája a {001} síkon kisebb, mint az {111} síkon. Azonban DO19 esetén létezik egy metastabil rétegződési hiba a prizmatikus síkon, míg L12 -ben a {001} síkon nincs ilyen stabil hiba. Így az 1/3[¯12¯10] csavar jellegű szuperparciális felhasadhat a prizmatikus síkon, de az 1/2[1¯10] szuperparciális nem hasadhat fel az (001) síkon, a magszerkezet az {111} síkokra terjed ki és ezért mindig erősen rögzült. A DO19 ötvözetekben a 2/3[¯12¯10] csavardiszlokáció lehet csúszóképes, legalábbis nem túlzottan rögzült a prizmatikus síkon, amint ezt az előző szakaszban láttuk. Érdemes összehasonlítani az L12 -ben és a DO19 -ben az {111} ill. az alapsíkon lévő APB hibát határoló szuperperciális diszlokáció mozgékonyságát. Mindkét esetben a megfelelő szuperparciálisok felhasadhatnak Shockley parciálisokra és hasonló magszerkezeteket kapunk. Ugyanakkor a két szerkezetben a Peierls-feszültség nagyon különböző lehet ezekre a konfigurációkra. A köbös L12 rácsban ezeknek a parciálisoknak mindig csúszóképes jellegű magszerkezetük van, a Peierls-feszültség alacsony. Azonban a hexagonális DO19 rácsban az előző szakaszban vizsgált modell-ötvözet esetén ezek a parciálisok rögzült jellegűek. A legfőbb különbség az, hogy az L12 -ben a Shockley parciálisok magja csak az {111} síkokra terjed ki, míg DO19 esetén az alapsíkra és a prizmatikus síkra egyszerre kiterjedhet. Ebben a modell DO19 ötvözetben az 1/3[¯12¯10] szuperparciális diszlokáció felhasadása sokkal kedvezőbb a prizmatikus síkon, mint az alapsíkon, mivel az APB hiba energiája sokkal kisebb a prizmatikus síkon. Továbbá a szuperparciális Peierls-feszültsége kisebb a prizmatikus síkon, mint az alapsíkon. Mindezekből következik, hogy az elsődleges csú58

szási sík ebben a modell-ötvözetben a prizmatikus sík. Azonban, mivel a magszerkezet kiterjed az alapsíkra is a konfiguráció még eléggé rögzült jellegű összehasonlítva pl. az L12 -ben az {111} síkon mozgó 1/2 < 110 > szuperparciális magszerkezetével. Így ebben a modell-ötvözetben az elsődleges csúszási sík a prizmatikus sík, de alacsony hőmérsékleten a nagy Peierls-feszültség miatt a folyáshatár nagyon nagy lesz. A hőmérséklet növelésével a termikus aktiváció segíthet abban, hogy diszlokáció a magas Peierls-feszültség ellenére elkezdjen mozogni. Mindez a folyáshatár gyors csökkenéséhez vezet a növekvő hőmérséklettel, amely jól ismert a nagy Peierls-feszültséggel rendelkező anyagokban. A Ti3 Al-on végzett kísérletekben megfigyelték, hogy a plasztikus viselkedését elsősorban a prizmatikus síkon történő csúszás és a folyáshatár erős hőmérsékletfüggése jellemzi. Így az általunk szerkesztett modell-potenciállal ennek az ötvözetnek a plasztikus tulajdonságai sikerrel vizsgálhatók. A fentiekből következik, hogy a modell-potenciálunk nem alkalmas a diszlokációk atomisztikus vizsgálatára az olyan ötvözetekben, mint az Mn3 Sn, ahol a kísérleti eredmények szerint az elsődleges csúszási sík az alapsík. Mindenesetre ezen eredmények alapján is levonható néhány következtetés a tekintetben, hogy az Mn3 Sn ötvözet plasztikus viselkedésének megértéséhez miféle feltételeknek kell teljesülniük. Az első lehetőség az, hogy az APB hiba energiája nagyobb lenne a prizmatikus síkon, mint az alapsíkon és így a szuperdiszlokáció felhasadása az alapsíkon történne. Ekkor a csúszás kedvezőbb lenne az alapsíkon, mint a prizmatikus síkon. Az 4.4 táblázatból látható, hogy a prizmatikus síkon az APB-I hiba energiája nem tartalmaz első és második legközelebbi szomszéd kölcsönhatásokat. Ezért az ún. centrális atomi kölcsönhatások esetén az APB-I energiája mindig sokkal kisebb, mint az APB energiája az alapsíkon. Ez a helyzet fordított is lehetne, ha a kölcsönhatások a kötési szögektől is függenének. Ugyanis ebben az esetben a prizmatikus síkon lévő APB-I hiba energiájában az első és második legközelebbi szomszédok járulékai is lényegesek lehetnének. A másik lehetőség az lehet, hogy az 1/3[¯12¯10] szuperparciálisnak a Peierls-feszültsége sokkal kisebb az alapsíkon, mint a prizmatikus síkon. Ez azt jelenti, hogy — ellentétben a kapott eredményekkel — a szuperparciális az alapsíkon csúszóképes és sokkal inkább rögzült a prizmatikus síkon. A 4.6 ábrán a Shockley parciálisok magja kiterjed a prizmatikus síkra is, amely — mint láttuk — egy rögzült konfigurációt eredményez. Ez azzal ¯ 10] ¯ irányban a γ-felület energiértékei kisebbek a prizmatikus magyarázható, hogy az [12 síkon, mint az alapsíkon. A kötési szögektől is függő atomi kölcsönhatás esetén elképzel59

hető, hogy ez a helyzet megfordítható és ekkor a szuperparciális az alapsíkon csúszóképes jellegű lesz. Ha a fenti két lehetőség mindegyikében a prizmatikus síkon talált SF rétegződési hiba energiája kisebb, mint az alapsíkon lévő CSF hiba energiája, akkor az 1/3[¯12¯10] szuperparciális felhasadása kedvezőbb lenne a prizmatikus síkon. Mindezen körülmények mellett ¯ 10] ¯ az elsődleges csúszási sík az alapsík lenne, de létezne egy hajtóerő, amely az 1/3[12 szuperparciális magját egy a 4.7 ábrának megfelelő alacsonyabb energiájú rögzült konfigurációvá alakítaná át. Mindez igen hasonló az L12 rácsszerkezetű Ni3 Al ötvözetben ¯ szuperparciálisnak az (111) síkon talált viselkedésével. Az ezzel kapcsolatos az 1/2[110] eredményeket a 3.2 szakaszban ismertettük. A magszerkezetnek egy ilyen átalakulását a termikus fluktuációk segítik. Végül a kezdetben könnyen mozgó szuperparciális (csúszóképes) termikus aktivációval egy rögzült konfigurációvá alakulna át, és a hőmérséklet növelésével egyre több ilyen rögzült magszerkezet képződne, amely a folyáshatár növekedését eredményezné. Ez megmagyarázná az Mn3 Sn ötvözet anomális plasztikus viselkedését az alapsíkon, melyet a 2.1 szakaszban láttunk. A fenti gondolatmenetben fel kellett tételezni az atomok közötti kölcsönhatásnak a kötési szögektől való függését. Mindez igen valószínű Mn3 Sn ötvözet esetében, amelyre sokkal jellemzőbb a fémes kötés, mint Ti3 Al ötvözetre. Természetesen még további kutatásokra van szükség DO19 kristályszerkezetű ötvözetek plasztikus viselkedésének megértéséhez. Azonban a kapott eredmények alapján elképzelhető, hogy a 4.7 ábrán látható rögzült magszerkezet a felelős az Mn3 Sn ötvözetnek az alapsíkon tapasztalt anomális folyáshatár-hőmérséklet függéséért.

60

5. fejezet A folyáshatár hőmérsékletfüggésének egy modellje L12 ötvözetekre

61

5.1. A mozgó diszlokációk megakadásának folyamata [67, 69] A legtöbb nikkel alapú L12 kristályszerkezetű ötvözet esetén a folyásfeszültség nő a hőmérséklet növekedésével, és így anomális viselkedést mutat [70, 71, 72]. A jelenség magyarázatára először Kear és Wilsdorf [73] javasolta az ún. keresztcsúszás mechanizmust, amelyben az {111} síkon mozgó csavardiszlokáció bizonyos része átcsúszik az energetikailag kedvezőbb {001} síkra és így a diszlokáció mozgékonysága csökken. A hőmérséklet növelésével egyre gyakoribb lesz a keresztcsúszás, ami a folyáshatár növekedéséhez vezet. Takeuchi, Kuramoto [22] és Paidar, Pope, Vitek [58] (továbbiakban röviden PPV) elméleti modelljei — a keresztcsúszás mechanizmus alapján — magyarázták az anomális viselkedést és az ezzel kapcsolatos orientációs függést. Mindkét modellben feltételezték, hogy az (111) síkon csúszó < 101 > csavardiszlokációkon termikus aktivációval rövid rögzült szegmensek (pinning pontok) képződnek. Azonban a diszlokációnak ezen rögzítési pontoktól való elszakadását nem tekintették termikusan aktivált folyamatnak. A két modell csak az orientációs függés tendenciájára ad megfelelő magyarázatot. Azóta Vitek és Sodani egy új — a paraméterek illesztésén alapuló — modellt dolgoztak ki, melyben már az elszakadási folyamatot is termikus aktivációval írták le [74]. Ennek ellenére, ez a modell sem ad kielégítő választ a következő bekezdésben felsorolt tapasztalati tényekre. Egy más megközelítést javasolt Hirsch [75, 76]. Itt a korábbi modellekkel ellentétben, a csavardiszlokáción hosszú rögzült szegmensek alakulnak ki. Az elszakadást két különböző mechanizmussal veszi figyelembe, melyek alacsony ill. magas hőmérékleten működnek és az elszakadás fő hajtóereje az alkalmazott külső feszültség, míg a termikus aktiváció csak kis mértékben játszik szerepet. A 2.1 szakaszban összefoglaltuk Ni3 Al-ra kísérletileg kimutatott tulajdonságokat. Az ott felsorolt szempontokat figyelembe véve az anomális tartományt illetően az alábbi tapasztalati tényeket szeretnénk megmagyarázni az általunk kidolgozott modell alapján: 1. A folyáshatár erősen függ a kristály orientációjától [70, 22, 77]. 2. Nyomásra és húzásra a folyáshatár különböző [22, 77]. 3. Az anomális tartományban a csúcshőmérséklet (Tp ) alatt a folyáshatár a deformáció sebességétől való függése elhanyagolható [22, 78]. 4. Az aktivációs térfogatnak (va ) a hőmérséklet függvényében ugrása van jóval a Tp 62

hőmérséklet alatt [78]-[80]. A modellünkben [67, 68, 69] továbbra is — a PPV modellhez hasonlóan — azt feltételeztük, hogy csak rövid rögzült, azaz rögzítési pontok alakulnak ki. Ezt a folyamatot (rögzülési mechanizmus) a PPV-hez hasonló módon kezeltük azzal a különbséggel, hogy módosítottuk a folyamatot leíró entalpia kifejezését. Az elszakadási folyamatra egy újabb, a termikus aktivációt figyelembe vevő modellt javaslunk. E két folyamatot leíró együttes modellünk alapján jól magyarázhatók az anomális tartomány legfontosabb tulajdonságai minden további feltételezés nélkül. Ennek a fejezetnek az első részben ismertetjük a rögzülési mechanizmust, a következő részben az elszakadási folyamatot, majd ezt követően alkalmazzuk a modellt a kétalkotós Ni3 Al és a három komponensű Ni3 (Al, Ta) (itt a Ta csak kis koncentrációban van jelen) ötvözetekre, összehasonlítva az ereményeinket a kísérletekben kapottakkal. A számítógépes szimulációk alapján (3.2 szakaszban ismertettük az ezzel kapcsola¯ tos eredményeinket) kiderült, hogy az APB hibát határoló, b = a/2[101] Burgers-vektorú csavardiszlokáció magjának két különböző konfigurációja van (itt a rácsállandót a-val jelöltük). Az egyik a csúszóképes szerkezet, amely úgy tekinthető, mint két Shockley parciális felhasadása az (111) síkon, miközben közöttük egy CSF hiba keletkezik. A másik magszerkezet rögzült jellegű és a (010) síkon kialakuló keskeny APB hibának ill. a b Burgers-vektorú szuperparciálisnak az (1¯11) síkon Shockley parciálisokra történő felhasadásának felel meg. A 5.1 ábra e két magszerkezetnek a sematikus képét mutatja. A

5.1. ábra. Sematikus ábra, amelyen az (111) síkon lévő 1/2[¯101] szuperparciálisnak a két lehetséges (csúszóképes és rögzült) magszerkezete látható. csúszóképes konfiguráció energiája nagyobb, mint a rögzült magszerkezeté. Az eredetileg csúszóképes szerkezet termikus aktivációval átalakulhat rögzült maggá. A termikus 63

5.2. ábra. Az egyik szuperparciális keresztcsúszása az (111) síkról a (010) síkra miközben egy kinkpár képződik. aktivációra a két konfigurációt elválasztó nyeregponton való átjutás miatt van szükség. A csúszóképes–rögzült magtranszformáció folyamata határozza meg a nyeregpontot. A PPV modellhez hasonlóan feltesszük, hogy ezt a folyamatot egy keresztcsúszással lehet leírni. A 5.2 ábrán látható a keresztcsúszás sematikusan vázolva. A keresztcsúszás során a diszlokáció lp hosszúságú szakasza átcsúszik a (010) síkra és így egy kinkpár alakul ki. A kinkek közötti távolság lp , a kinkpár magassága pedig w. Több áttekintő mű foglalkozik a kinkek leírásával [4, 14, 2]. A 5.1 ábra alapján látható, √ hogy w = b/2, ahol b = a/ 2 (a b Burgers-vektor nagysága). Mielőtt meghatároznánk a nyeregpont eléréséhez szükséges aktivációs entalpiát, vezessünk be néhány jelölést! A kísérletekben a minta egy adott n normálisú felületére alkalmazzuk a külső erőt, ezért az alkalmazott feszültségtenzor a következő alakú σ = σn ◦ n, ahol σ a minta egységnyi felületére ható erő nagysága. További jelölések:     1 −1 1 1 σp = √  1 σ  0  √ 3 1 2 1     0 −1 1    1 σ 0 √ σc = 2 0 1     1 1 1 1 σe = √  1 σ  −2  √ , 3 1 6 1

(5.1)

(5.2)

ahol σ a (5.1)-ben definiált feszültségtenzor. Mind a három mennyiség a feszültségtenzor egyes fontos komponense. σp és σe a csúsztató feszültség az (111) síkon a b Burgers-vektorral párhuzamos ill. arra merőleges irányában. σc a csúsztató feszültség a (010) síkon a 64

b Burgers-vektorral párhuzamos irányában. A kísérletekben az alkalmazott feszültségnek a σp komponensét mérik. A húzásnak ill. nyomásnak kitett anyag esetén az alkalmazott külső erő ellentétes irányú és ezért bevezetünk egy konvenciót: nyomásra σp pozitív és húzásra σp negatív. Szokás bevezetni az alábbi két Schmid-tényezőt is Q = σe /σp ,

N = σc /σp .

(5.3)

Q és N csak n-től, azaz a minta orientációjától függ. A fenti jelöléseket alkalmazva a kinkpár képződéséhez szükséges entalpia

Hp =

µb3 µb2 w2 Wc + 2Cw − (∆E)lp − σc blp w − . 2π 2π 2lp

(5.4)

Ebben a kifejezésben az első tag az összehúzódási energia (a későbbiekben határozzuk meg), a második tag a két kink sajátenergiája (C az egységnyi hosszra jutó sajátenergia). A harmadik tag a csúszóképes–rögzült transzformáció során fellépő energianyereség (a csúszóképes konfiguráció energiája ∆E-vel nagyobb a rögzült magszerkezethez képest egységnyi hosszra vonatkoztatva; más szóval ∆E a transzformáció hajtóereje). A negyedik tag a külső tér munkája, azaz a 5.2 ábrán látható — a (010) síkban az lp hosszúságú csavardiszlokációra ható — σc blp erő által végzett munka. Végül az utolsó tag a kink–kink kölcsönhatási energia. A µ az anyag nyírási rugalmas együtthatója. A Wc összehúzódási energia nem függ lp -től. A fenti kifejezés lényegében megegyezik a PPV modellben használt képlettel azzal a különbséggel, hogy az összehúzódási energiára más alakot vettünk és a ∆E értékét ebben a modellben paraméterként kezeljük. Megjegyezzük, hogy a fenti képlet utolsó tagjában w = b/2. Így a kinkek közötti kölcsönhatás energiája csak közelítőleg adhat helyes eredményt, mivel ilyen távolságoknál a kontinuum modell alkalmazhatósága kérdésessé válik. Azonban a modell alapján kapott numerikus eredményekből látható, hogy ez a tag csak néhány százalékos járulékot jelent a teljes Hp entalpiához és így nem befolyásolhatja jelentősen a folyáshatár értékét. A legnagyobb járulékot az összehúzódási energia adja, ezért ennek minnél pontosabb kiszámítása a célunk. A nyeregpontban a Hp aktivációs entalpiának maximuma van lp függvényében. Legyen l0 a maximum helye, ekkor azt kapjuk, hogy l0 = b

µ

s 16π



65

∆E b2

+

|σc | 2

.

(5.5)

Az aktivációs entalpia maximuma 

v   u |σ | ∆E c u c t b2 + 2 π  µb3   , Wc + − Hp =  2π  2 µ

(5.6)

ahol kihasználtuk, hogy w = b/2 (5.1 ábra) és c = 2C/(µb2 /2π) ≈ 0, 5 [58]. Hátra van még a Hp -ben szereplő Wc normalizált összehúzódási energiának a meghatározása. Az (111) síkon kiterjedt (csúszóképes) lp hosszúságú diszlokáció magjának össze kell húzódni ahhoz, hogy átcsúszon a (010) síkra. Mint láttuk, ez a magszerkezet lényegében két Shockley parciálissal és a közöttük lévő CSF hibával helyettesíthető. Ilyen elrendezésben az összehúzódási energiát először Stroh határozta meg [81]. A modellünkben mi is ezt a formulát alkalmaztuk, amely a következő alakú s r 1.1 4 + ν dCSF dCSF Wc = ln , 8 3 (1 − ν) b b

(5.7)

ahol ν a Poisson-szám és ν ≈ 1/3 értékkel számoltunk, dCSF a CSF hiba szélességét — a Shockley parciálisok közötti távolságot — jelöli. Itt jegyezzük meg, hogy nemrégiben Hirsch az általa kidolgozott modelljében is ezt a formulát használta [75, 76]. Az utolsó feladat a fenti formulában szereplő dCSF kiszámítása. Számszerű becslésekből kiderül, hogy a Hp aktivációs entalpiában a legnagyobb járulékot az összehúzódási energia adja és így a dCSF pontos meghatározása igen fontos a számítási hibák csökkentése érdekében. Ezért a számolásban az anizotrop rugalmasságtant fogjuk alkalmazni, melyet a 2.4 szakaszban foglaltunk össze. Az eredetileg könnyen mozgó < 101 > szuperdiszlokáció a (2.39) első egyenlete alapján felhasad két szuperparciálisra, majd ezek tovább hasadnak a (2.40) egyenlet szerint Shockley parciálisokra. Végül négy Shockley parciális keletkezik úgy, hogy közöttük vagy az APB vagy a CSF hiba helyezkedik el. Ezt az elrendezést mutatja az 5.3 ábra. Az ábrán a diszlokációk vonala [¯101] irányú, ezért az (111) síkon fekvő Shockley parciálisok Burgers-vektorai: b1 = 1/6[¯1¯12], b2 = 1/6[¯211], b3 = b1 , b4 = b2 . Az 5.3 ábrán γAPB és γCSF az APB ill. CSF hiba energiája egységnyi felületre vonatkoztatva az (111) síkon. Egyensúlyban a négy parciális diszlokáció mindegyikére zérus erő hat. Az egyenes diszlokációk között ható erőt ill. a külső feszültségből származó erőt a 2.4 szakaszban leírt módon a (2.38) egyenlet segítségével számíthatjuk ki. Nyilvánvaló, hogy az első két, illetve az utolsó kettő diszlokáció közti távolság szimmetria okok miatt azonos; ezt x-szel, míg az APB hiba szélességét y-nal jelöltük az 5.3 ábrán. Felírva az egyensúly feltételét 66

5.3. ábra. Az (111) síkon lévő négy párhuzamos Shockley parciális egyensúlyi helyzete. a négy diszlokációra (csak a diszlokáció vonalára merőleges erőket tekintjük) a következő két egyenletet kapjuk A B A + + − γCSF + σe be = 0 x x + y 2x + y A A B − + + − γAPB + γCSF − σe be = 0, x y x+y

(5.8)

ahol  a2 A = Ks − 16π  a2 B = Ks + 16π

 1 Ke 3  1 Ke . 3

(5.9)

Az A és B paraméterek az 1. és 2. ill. 1. és 3. parciális közötti kölcsönhatások energia együtthatóival arányos mennyiségek. Az (5.8) egyenletekben σe be a Shockley parciális Burgers-vektorának az élkomponensére ható erő és az élkomponens abszolút értéke mind √

a négy parciálisra: be =

6 a. 12

Az (5.3) egyenletben definiáltuk σe -t. A Ks és Ke a (2.37)

egyenletben bevezetett energia együtthatók a Shockley parciális csavar- és élkomponensére, és az alábbi módon függnek a rugalmas együtthatóktól p 0 0 C44 C55 s   0 0 0 0 C C55 (C¯11 − C12 ) 1 0 0 ¯11 + C ) = 2 + ¯22 ( C , 12 0 0 0 0 0 ¯ 3 C11 C22 (C11 + C12 + 2C55 )

Ks = Ke

(5.10)

p 0 0 0 0 ahol C¯11 = C11 C22 és Cmn a rugalmas együtthatók tenzorának az i = [010], j = √ √ 0 (1/ 2)[¯101], k = (1/ 2)[101], koordináta-rendszerbeni mátrix-reprezentációja. A Cmn rugalmas együtthatók kifejezhetők a köbös anyag C11 , C12 , C44 rugalmas együtthatóival 67

[2] 0 = C11 + H/2 C22 0 C23 = C12 − H/2 0 C44 = C44 − H/2,

0 = C11 C11 0 C12 = C12 0 C55 = C44

ahol H = 2C44 + C12 − C11 . Megjegyezzük, hogy az egyes parciálisok csavarkomponenseire is hat erő, azonban ezek mind a négy parciálisra azonos nagyságúak és irányúak. Ez a parciálisok transzlációját erdeményezi, de közben az anyagban való mozgás következtében fellép egy a diszlokáció mozgását akadályozó ún. súrlódási erő is. A parciálisokra ható erők egyensúlyából megmutatható, hogy e két erő végül nem befolyásolja a parciálisok közötti egyensúlyi távolságot és ezért nem szerepelnek ezek az erők az (5.8) egyenletekben [2]. Rögzített σe mellett az (5.8) egyeneletből egy harmadfokú egyenlet megoldása adja a keresett dCSF = x(σe ),

(5.11)

és dAPB = y(σe ) távolságokat. A legutóbbi elektronmikroszkópos mérések [82, 83] alapján γAPB = 120 mJ/m2 és γCSF = 200 mJ/m2 Ni3 Al ötvözetre. A rugalmas együtthatók: C11 = 2, 40 · 1010 mN2 , C12 = 1, 50 · 1010 mN2 , C44 = 1, 26 · 1010 mN2 . Az a rácsállandó 3,65 Å. Ezekkel az értékekkel számolva σe = 0 esetén a CSF hiba szélességére dCSF = 2, 4b értéket √ kapunk, míg dAPB = 22, 7b, ahol b = a/ 2. Megjegyezzük, hogy az (5.8) egyenlet alapján a σe úgy vehető figyelembe, mintha a külső feszültség zérus lenne, de a γCSF helyett egy ef f γCSF = γCSF − σe be

(5.12)

effektív energia szerepelne az egyenletben. A fentiek szerint a rögzülési folyamatban a Hp entalpiát az (5.6) kifejezés adja felhasználva az (5.7)–(5.11) összefüggéseket. A következő szakaszban felhasználjuk ezt az alakot a diszlokáción keletkező rögzítési pontok és a rögzítési pontoktól való elszakadás gyakoriságának leírására. A folyásfeszültségnek a minta irányítottságától való függésére vonatkozólag néhány megállapítás a Hp kifejezés alapján is levonható. Az (5.6) képletben a Hp entalpia az (5.3)-ben definiált σc és σe feszültség-komponensektől függ és így ezeken keresztül a minta irányítottságától (az n egységvektortól). Külső feszültség esetén az (111) síkon lévő Shockley parciálisok közötti dCSF távolság különbözik attól, amely zérus külső feszültségnél adódik. Az (5.11)-ből azt kapjuk, hogy dCSF σe előjelétől függően vagy nagyobb 68

vagy kisebb a σe = 0 esethez képest. Ezért az összehúzódási energia, amely közelítőleg arányos dCSF -fel változhat az alkalmazott feszültség előjelváltásával. Ez azt jelenti, hogy a Hp aktivációs entalpia különböző lesz az azonos nagyságú húzásnak és nyomásnak kitett minta esetében. Hp csak akkor nem változik húzásra és nyomásra, ha σe = 0, azaz amikor Q = 0. A Q = 0-nak megfelelő orientációjú mintára a mért folyásfeszültség ugyanaz lesz húzásra és nyomásra, más szóval nincs aszimetria húzásra és nyomásra. A kísérletek szerint Ni3 Ga-ra a húzás/nyomás aszimmetria fokozatosan csökken négy különböző orientációjú mintára, melyeknél Q pozitív és csökken [18]. Először Q = 0, 083nál lehet látni, hogy nyomásra a folyásfeszültség valamivel nagyobb lesz, mint húzásra. Sajnos, csak egy méréssorozatot végeztek ezzel az anyaggal, így nem tudjuk határozottan eldönteni, hogy a húzás/nyomás aszimmetria Q melyik értékénél tűnik el, tekintettel a mérési hibákra. Mindenesetre Q nem tér el jelentősen a zérustól, ha figyelembe vesszük, √ hogy Q maximális értéke 1/ 3. ¯ 9, 22] oriVégeztek méréseket Ni3 Al-ra, melyre a húzás/nyomás aszimmetria az [1, entációjú mintánál (azaz Q = 0, 076) válik elhanyagolhatóvá [84]. A mérési hibákat figyelembe véve a kísérleti eredmények azt mutatják, hogy mindkét anyagra a húzás/nyomás aszimmetria Q = 0-nál tűnik el, amely összhangban van a modellünkkel [77, 18]. √ A maximális húzás/nyomás aszimmetriát |Q| = 1/ 3 értéknél kapjuk. A kísérletek szerint az aszimmetria a [001] és a [011] orientációhoz közel maximális, amelyeknél √ Q ≈ 1/ 3, egyezésben a modellünkkel. Három komponensű Ni3 Al alapú ötvözetben, melyben a szennyező kis koncentrációban van jelen (tipikusan 1 atom %) a húzás/nyomás aszimetria nem Q = 0-ra, hanem Q > 0-ra tűnik el [17, 85, 84]. Feltehetően ez a harmadik komponens miatt keletkező belső feszültségeknek a következménye. A szennyezéseknek ezt az effektusát úgy vehetjük figyelembe, hogy az aktivácós energia számításánál σe helyett σe0 = (Q + βc )σp

(5.13)

veszünk. βc a szennyező atom koncentrációjától függ. Ekkor a húzás/nyomás aszimmetria σe0 = 0-nál (azaz βc = −Q ) tűnik el. Ennél az orientációnál a mérések szerint Q > 0 és így βc negatív lesz. Az (5.12) és (5.13) egyenletekből látható, hogy negatív βc -re az effekef f tív CSF hiba energiája (γCSF ) nagyobb szennyezett ötvözetre a szennyezés mentes, tiszta

két komponensű anyaghoz viszonyítva. Így három komponensű anyagban dCSF csökken húzásra és nyomásra is az orientációtól függetlenül a kétalkotós ötvözetbeni értékhez képest (feltéve, hogy a rétegződési hibák energiái nem változnak jelentősen a szennyezés 69

miatt). Ez a csökkenés kisebb összehúzódási energiát és kisebb aktivációs energiát jelent a rögzítési pontok képződéséhez. Adott hőmérsékleten több rögzítési pont keletkezik a szennyezett ötvözetben és így ez a folyásfeszültség növekedését okozza, ami megfelel a kísérleti eredményeknek. βc értékét elméletileg nem tudjuk meghatározni, de mérések alapján megbecsülhető. Meg kell nézni, hogy melyik orientációnál tűnik el a húzás/nyomás aszimmetria és ebből kiszámítva Q-t βc = −Q. Ni3 (Al, Ta)-ra végzett mérési eredményekből [84] becsülve βc = −0, 09 adódik. A Hp aktivációs energia nagyságrendi becslése érdekében a Ni3 Al adatait használjuk. A mérések szerint a rácsállandó a = 3, 56 Å, a nyírási rugalmas együttható µ = 7, 8 · 1010 mN2 , és az APB és CSF hiba energiáira γAPB = 120 mJ/m2 ill. γCSF = 200 mJ/m2 értékeket vettünk [82, 83]. Szükségünk van még az (5.6) kifejezésben szereplő ∆E energianyereség értékére. Figyelembe véve azt, hogy az APB hiba energiája kisebb a (010) síkon, mint az (111) síkon [86], ∆E-t a PPV modellben leírt módon becsülhetjük meg. A számításainkban ∆E = 0, 01µb2 /2π = 7, 9 · 10−10 mJ értéket vettünk. Megjegyezük, hogy ez az energianyereség a csúszóképes–rögzült magtranszformációval kapcsolatos és így a rugalmasságtan kontiniuum modellje nem alkalmazható, csak nagyságrendi becslés tehető. Később látni fogjuk, hogy ∆E 50%-os változása sem okoz lényeges eltérést a folyásfeszültségben. A Hp aktivációs energiában a legnagyobb járulék a Wc összehúzódási energiából származik, ezért a dCSF minnél pontosabb meghatározása sokkal fontosabb (a PPV modellben ezt csak közelítéssel és az izotrop rugalmasságtan keretén belül vették figyelembe). A fenti adatokkal és a mérésekben alkalmazott feszültségekkel (100–300 MPa) az (5.5) és (5.6) kifejezéseket felhasználva l0 ≈ 2b − 3b és Hp -re közel 1 eV adódik. A következő részben tárgyaljuk a diszlokáció elszakadásának folyamatát és meghatározzuk a modellünk alapján a folyásfeszültséget, amely — mint látni fogjuk — függ a diszlokáció megakadásához szükséges Hp aktivációs energiától is.

70

5.2. A diszlokáció elszakadása a rögzítési pontoktól [68, 69] Külső feszültség hatására az 1/2 < 101 > csavar jellegű parciális diszlokáció az (111) síkon mozog. A diszlokáció vonala mentén termikus aktivációval rögzítési pontok keletkeznek, amelyek megállítják a diszlokáció mozgását. Ezt a folyamatot az előző szakaszban tárgyaltuk. Az alkalmazott külső feszültség nem elég ahhoz, hogy a diszlokáció elszakadjon a rögzítési pontoktól és így ez a folyamat is — a rögzítési pontok keletkezéséhez hasonlóan — termikus aktivációval történik [68, 69]. A rögzítési pontoktól való elszakadás után a diszlokáció egyenletes sebességgel mozog az (111) síkon addig, amíg a rögzülési folyamat nem állítja meg. Az átlagos rögzítési pontok száma nem változik stacionárius állapotban, így ebből a feltételből kiszámítható a diszlokáció szabad mozgása során megtett út. A rögzítési pontoktól való elszakadásra egy olyan modellt használunk fel, melyet korábban a belső súrlódás leírására dolgoztak ki [87]-[90]. A továbbiakban a folyamat modellezése érdekében feltesszük, hogy a rögzítési pontok egyenlő l távolságra vannak egymástól. Tekintve, hogy a rögzítési pontok véletlenszerűen keletkeznek a diszlokáció vonalán, az l távolság a szomszédos rögzítési pontok közötti átlagos távolsággal azonosítható. Az előző szakaszban láttuk, hogy ezek a rögzítési pontok valójában véges l0 méretűek (2b − 3b), amelyek azonban elhanyagolható hosszúságuak az l távolsághoz képest. Az l — mint később látni fogjuk — egy–két nagyságrenddel nagyobb. Tegyük fel, hogy a diszlokáció vonala egyenes, ha az alkalmazott külső feszültség zérus és legyen y(x) a diszlokáció kihajlásának a függvénye külső feszültség esetében. A diszlokáció teljes energiája a vonalmenti feszültség modellt [4, 48] használva # Z L "  2 1 ∂y V = µ + ρ(x)U (y) − σby dx = 0, 2 ∂x 0

(5.14)

ahol L a diszlokáció teljes hossza, µ az egyenes vonalú diszlokáció vonalmenti feszültsége, ρ(x) a rögzítési pontok sűrűsége az y = 0 egyenes mentén, U (y) egy rögzítési pont és a diszlokáció közti kölcsönhatási energia, σ a külső feszültség és végül b az 1/2 < 101 > parciális diszlokáció Burgers-vektorának a nagysága. Az egyenletben az első tag a diszlokáció hosszváltozásával arányos, a második tag a rögzítési pont–diszlokáció, az utolsó tag pedig a külső térrel történő kölcsönhatást írja le. Határfeltételként kikötjük, hogy az y kihajlás zérus a diszlokáció végpontjainál. A variációszámítás alapján az egyensúlyi egyenlet µy 00 − ρ(x)

dU + σb = 0. dy 71

(5.15)

A vessző az x-szerinti deriváltat jelöli. A modellünk feltevése értelmében a rögzítési pontok sűrűsége ρ(x) =

N −1 X

δ(x − νl),

ν = 1, 2, . . . , (N − 1).

(5.16)

ν=1

Ekkor (N − 1) számú rögzítési pont van az N l = L hosszúságú diszlokáció mentén. A diszlokációnak egyetlen rögzítési ponttal történő kölcsönhatását matematikailag a Dirac-δ függvénnyel írhatjuk le. Az U (y) kölcsönhatási energiának egy egyszerű alakját fogjuk használni, amely azonban kvalitatíven tükrözi a kölcsönhatás jellegét. A potenciál hasonló az ún. Cottrell potenciálhoz [91, 87], amely a diszlokációnak a szennyező atomokkal való kölcsönhatását írja le. Az általunk alkalmazott potenciál  2 k , ha k ≤ p U (y)  2 = 1 − n(q − k) , ha p < k ≤ q  U0 1, ha q < k,

(5.17)

ahol k = y/b a dimenziótlan kihajlás, U0 a potenciálgát magassága és n = 1/q(q − p). p és q szabad paraméterek és ugyanazokat az értékeket használtuk, mint amit [87]-ben (p = 1/3, q = 3). Az (5.17) kifejezés alapján a diszlokáció és a rögzítési pont között ható erő F (k) = −

1 dU (k) , b dk

(5.18)

amely szakaszonként lineáris függvény k-ban. Az 5.4 ábrán látható az F (k) erő és az (5.17)-ben definiált U (k) potenciál.

5.4. ábra. A diszlokáció és a rögzítési pont közt ható F (k) erő ill. az U (k) kölcsönhatási potenciál. 72

Az F (k) függvény három tartományra bontható. 1. tartomány: k≤p 2. tartomány: p < k ≤ q 3. tartomány: q < k.

(5.19)

Az (5.15)–(5.18) egyenletekből a k(x) dimenziótlan kihajlásra a következő egyenletet kapjuk 00

µbk +

N −1 X

δ(x − νl)F (k) + σb = 0,

(5.20)

ν=1

ahol ν = 1, 2, . . . , (N − 1). Az egyenletben szereplő Dirac-δ függvény miatt a k(x) függvény kvadratikus lesz a rögzítési pontok között és minden x = νl helyen k 0 -nek ugrása van. Legyen sν = k(νl), ekkor minden egyes (ν − 1)l ≤ x ≤ νl intervallumban az (5.20) egyenletnek a megoldása k(x) = −(σ/2µ) [x − (ν − 1)l] (x − νl) + + (sν /l) [x − (ν − 1)l] − (sν−1 /l)(x − νl),

(5.21)

az s0 = sN = 0 határfeltétellel. Az (5.14)-ből az előző összefüggést felhasználva a rendszer teljes energiája tetszőleges sν esetén " # N V N α2 X U (sν ) (sν − sν−1 )2 α + − (sν + sν−1 ) , =− + U0 6β U 2β β 0 ν=1

(5.22)

ahol

σl2 U0 l , β = 2. (5.23) 2µ µb Az α paraméter megfelel a dimenziótlan feszültségnek, míg β a dimenziótlan l távolságα=

nak. Egyensúlyban az sν konfigurációt meghatározó egyenlet 1 ∂V 1 dU (sν ) 2sν − sν−1 − sν+1 α = + − 2 = 0, U0 ∂sν U0 dsν β β

(5.24)

amely az (5.18) segítségével az alábbi egyszerűbb alakba írható −sν−1 + 2(1 + β)sν − sν+1 = 2α, sν ≤ p −sν−1 + 2(1 − nβ)sν − sν+1 = 2(α − βnq), p < sν < q −sν−1 + 2sν − sν+1 = 2α, q < sν . Megfelelő határfeltételek mellett ennek az egyenletnek a megoldása adja az egyes sν egyensúlyi poziciókat, azaz a diszlokáció dimenziótlan kihajlását a rögzítési pontoknál. 73

Az egyensúlyi konfiguráció stabilitását a V teljes energia második deriváltjából határozhatjuk meg   1 ∂ 2V 1 d2 U (sν ) 2 1 = + δνµ − (δν,µ−1 + δν,µ+1 ) . 2 U0 ∂sν ∂sµ U0 dsν β β

(5.25)

Itt δνµ a Kroneker-szimbólum, és d2 U/ds2ν egyenlő 2U0 , −2nU0 vagy 0-val, attól függően, hogy sν az 1., 2. vagy a 3. tartományba esik. Adott sν mellett a fenti kifejezés egy kontinuáns (tridiagonális) mátrixnak, másképpen Jacobi-féle mátrixnak felel meg. Az ilyen mátrixban csak a fődiagonális és a két szomszédos átlóban lévő elemek különböznek zérustól. A stabilitás analízis érdekében meg kell határozni ennek a mátrixnak a sajátértékeit. Abban az esetben, ha mindegyik sajátérték negatív, az egyensúlyi konfiguráció energia-maximumnak felel meg. Ha a sajátértékek között van pozitív és negatív is, akkor nyeregpontról beszélünk. Végül ha az összes sajátérték pozitív, akkor az egyensúlyi állapot energia-minimumnak felel meg. A stabilitás-viszonyok részleteiről [87]-ben találunk bővebbet. Mielőtt az általános esetet vizsgálnánk illusztrációképpen tekintsünk két rögzítési pontot a diszlokáció mentén (ekkor N = 3). Legyen rögzítve a diszlokáció a két végpontján, azaz x = 0-nál és x = 3l-nél a kihajlás zérus. Az egyes rögzítési pontoknál a diszlokáció kihajlásának nagysága az (5.19) alapján megadott három tartomány valamelyikébe sorolható. Jelöljük az egyes konfigurációkat (ij)-vel, ahol i és j az 1, 2, 3 számok valamelyikét veszi fel annak megfelelően, hogy a rögzítési pontnál a diszlokáció kihajlása melyik tartományba esik. Ebben az esetben a diszlokációnak hat különböző egyensúlyi konfigurációja létezik, amelyek 5.5. ábrán láthatók. A diszlokáció teljesen rögzült állapota az (11)-nek felel meg, míg a rögzítési pontoktól való teljes elszakadás esetén a (33) állapotba kerül. Az (11), (31) és a (33) konfigurációk energia-minimumnak, a (21) és (32) nyeregpontnak, végül a (22) energia-maximumnak felel meg. A (21) nyeregpontban a kihajlás csak az első rögzítési pontnál kerül ki az 1. tartományból. A (32) konfiguráció esetén a kihajlás mind a két rögzítési pontnál egyszerre kilép az 1. tartományból. A diszlokáció az (11) állapotból a (33) állapotba két különböző aktivációs úton keresztül juthat el, amelyek a következők: az (11) → (21) → (31) → (32) → (33) és az (11) → (32) → (33). Felmerül a kérdés, hogy hogyan lehet eldönteni vajon melyik aktivációs úton keresztül valósul meg a diszlokáció teljes elszakadása. Legyen az (ij) állapotban a konfiguráció energiája Vij , amelyet úgy számíthatunk ki, hogy az (5.25) egyenletnek azt a megoldását helyettesítjük az (5.22)-be, amelyik az (ij) állapotnak felel meg. A szimmetria miatt 74

5.5. ábra. Az egyensúlyi konfigurációk két rögzítési pont esetén (N = 3). nyilvánvaló, hogy a Vij = Vji . Legyen továbbá Hu = V21 − V11 az egy rögzítési ponttól való elszakadás aktivációs entalpiája. (Itt u az angol unpinning szóra utal.) Termikus aktiváció révén ennyi energia szükséges ahhoz, hogy a diszlokáció az (11) állapotból a (21) nyeregponton keresztül a (31) állapotba kerüljön. Hasonlóan Hb = V21 − V31 az energiagát nagysága a fordított folyamat esetén, amikor a diszlokáció újra visszakerül a teljesen megakadt állapotba. (A b az angol backward szóra utal.) Mindkét energia függ az (5.23) egyenletben definiált dimenziótlan α feszültségtől és a szomszédos rögzítési pontok közti dimenziótlan β távolságtól. Termikus aktivációval a diszlokáció csak akkor szakad el az egyik rögzítési ponttól, ha Hu < Hb . Az elszakadás a (21) nyeregponton keresztül történik, és belátható, hogy a diszlokációnak a második rögzítési ponttól való elszakadásához már Hu -nál kisebb energia szükséges. Az elszakadási folyamat az első aktivációs úton keresztül történik. Azonban l csökkenésével (később látni fogjuk, hogy L12 ötvözet esetén növekvő hőmérséklettel l csökken) egy bizonyos feszültségnél az elszakadáshoz szükséges Hu energia nagyobb lesz, mint Hb . Ekkor az elszakadási folyamat a második aktivációs úton keresztül valósul meg. Az első esetben (Hu < Hb ) a (21) nyeregpont kontrollálja az aktivációs folyamatot, míg a második esetben (Hu > Hb ) kihagyva a (21) állapotot közvetlenül a (32) nyeregponton át kerül a diszlokáció a teljesen elszakadt helyzetbe. Így egy bizonyos l és σ feszültség esetén, amikor Hu ≈ Hb az aktivációs út megváltozik. A továbbiakban általánosítjuk az itt vázolt helyzetet arra az esetre, amikor a diszlokáció vonala mentén N − 1 rögzítési pont van. Az egyes rögzítési pontoknál a diszlokáció 75

kihajlása az (5.19)-ben megadott három tartomány egyikébe esik. Az így kapott konfigurációt jelöljük (l1 , l2 , . . . , lν , . . . , lN −1 )-gyel, ahol minden egyes lν az 1, 2, 3 értékek valamelyikét veszi fel, attól függően, hogy a ν-dik rögzítési pontnál a diszlokáció sν dimenziótlan kihajlása az (5.19)-ban megadott tartományok melyikébe esik. Az lν -t tartomány-indexnek nevezzük. Adott (l1 , l2 , . . . , lν , . . . , lN −1 ) konfiguráció esetén az egyes sν kihajlásokat az (5.25)-ben szereplő három egyenlet közül az határozza meg, amelyik megfelel az lν tartomány-indexnek. Így s1 , . . . , sN −1 -re N − 1 darab lineáris egyenletrendszert kapunk, amelyek megoldását beírva az (5.22) energia-kifejezésbe megkapjuk a diszlokáció teljes energiáját az adott (l1 , l2 , . . . , lν , . . . , lN −1 ) konfigurációra. Analitikus számolások már két rögzítési pont esetén (N = 3) is bonyolult eredményeket adnak [89]. Azonban numerikus módszerrel könnyen megoldható a lineáris egyenletrendszer. Bizonyos speciális konfigurációkra analitikusan is meghatározhatjuk a diszlokáció teljes energiáját. Jelöljük a teljesen rögzült konfigurációt P = (111 . . . 1)-gyel és a teljesen elszakadt állapotot U = (333 . . . 3)-mal. (A P és U betük az angol pinned és unpinned state-re utalnak.) Mindkét állapotban a rendszer energiminimumban van. A két minimum közötti nyeregpont jellemzése érdekében tekintsük a következő konfigurációt l1 , l2 , . . . , lm−1 = 3 lm = 2 lm+1 , . . . , lN −1 = 1 A fenti konfigurációt röviden S = (333 . . . 2)-vel jelöljük, ahol az első m−1 darab rögzítési pontnál a diszlokáció dimenziótlan kihajlása a 3. tartományban van, míg az m-diknél a 2. tartományba esik. Az m-dik rögzítési ponton túl a diszlokáció kihajlása az 1. tartományban van. (Az S betü az angol saddle state-re utal.) Ezeknél a pontoknál a kihajlás jó közelítéssel zérusnak vehető és ekkor a P, S, U konfigurációkra a diszlokáció teljes energiája az alábbi alakba írható VP (m) U0 VS (m) U0 VU (m) U0

2

= − αβ

h

m+1 6

+

m2 mβ+1

i

= (m − 1) + (1 − nq 2 ) +  2  = m − αβ m2 + m+1 . 6

α2 6β

(m3 + 1) +

[2βnq−(m+1)α]2 2β (2βn− m+1 m )

A P → S → U folyamat során a diszlokáció az S nyeregponton való átjutás után az összes rögzítési ponttól elszakad. Az elszakadáshoz szükséges aktivációs entalpia Hu (m) = VS (m) − VP (m). Az U → S → P folyamatban a diszlokáció ismét visszakerül a teljesen rögzült állapotba. A folyamat aktivációs entalpiája Hb (m) = VS (m) − VU (m). Elegendően nagy α-ra (nagy l-re) Hu (m = 1) < Hb (m = 1), azaz az elszakadás termikus aktivációval megvalósulhat. Részletes számolással belátható, hogy ekkor 76

V211...1 ≈ VS (m = 1) > VS (m = 2) ≈ V321...1 . Ez azt jelenti, hogy a szomszédos rögzítési pontoktól való elszakadáshoz nem szükséges további termikus aktiváció. Először az első rögzítési ponttól szakad el a diszlokáció (a kihajlás a 3. tartományba kerül), majd a következő rögzítési ponttól és így tovább. A diszlokáció elszakadása láncszerűen, pontról pontra történik. A folyamatot az egy rögzítési ponttól való elszakadás kontrollálja (m = 1 eset). Az l csökkenésével az elszakadás Hu (m = 1) aktivációs entalpiája nagyobb lesz az újrarögzülési folyamat Hb (m = 1) energiájánál és így megváltozik az elszakadási folyamat aktivációs útja. A részletes vizsgálat szerint ez az (5.26) alapján az m = 2 nyeregponti konfigurációval jellemezhető. Az elszakadást kontrolláló folyamat aktivációs entalpiája Hu (m = 2). Azonban, ha m = 2-re Hu (m = 2) > Hb (m = 2), akkor ismét megváltozik az aktivációs út és ekkor már három vagy több rögzítési pontnál egyszerre kerül a diszlokáció kihajlása az 1. tartományon túlra. Adott m-re a Hu (m) < Hb (m) egyenlőtlenség megol√

dása: α > αc =

mβ+1 . m

Így ha az α − αc mennyiség előjele pozitívról negatívra vált az

aktivációs út az m-mel jellemzett nyeregpont helyett az m+1-nek megfelelő nyeregponton keresztül halad át. Azonban α ≈ αc esetén mindkét aktivációs utat figyelembe kell venni az elszakadási folyamatban. Látjuk, hogy l fokozatos csökkenésével (a hőmérséklet növelésével) változik az aktivációs út is, aminek az lesz következménye, hogy a va = −

∂Hu ∂σ

(5.26)

aktivációs térfogatnak ugrása lesz a hőmérséklet függvényében. Általában va sokkal nagyobb m + 1-re, mint m-re.

A stacionárius állapot

A diszlokáció miután a rögzítési pontoktól teljesen elszakad a külső feszültség hatására állandó v sebességgel fog mozogni az (111) síkon d távolságot megtéve egészen addig, amíg ismét elegendő számú rögzítési pont nem keletkezik rajta. Azonban magas hőmérsékleten (közel ahhoz a hőmérséklethez, ahol a folyásfeszültségnek maximuma van) a diszlokáció azonnal megakad néhány szomszédos rögzítési ponttól való elszakadást követően. Ebben az esetben a d távolság közelítőleg egyenlő a diszlokáció kihajlásával. 77

Tekintsünk egy csavardiszlokáció L hosszúságú szegmensén a rögzítési pontoknak egy véletlenszerű eloszlását, amikor a szomszédos pontok közti átlagos távolság l. Legyen a diszlokáció mentén adott t időpillanatban Np (t) számú megakadt szegmens. Az Np (t) kétféle módon változhat: (i) csökken, amikor a diszlokáció elszakad bizonyos számú rögzítési ponttól és (ii) növekszik, amikor új rögzítési pontok képződnek a korábban már elszakadt szegmenseken. Világos, hogy ha a folyásfeszültség növekszik a hőmérséklettel, akkor a rögzítési pontok keletkezésének a folyamata dominánsabb, mint az elszakadási folyamat. Stacionárius állapotban jelen vannak a megakadt és az elszakadt szegmensek egyaránt és ekkor az Np (t)-t növelő domináns (rögzítési pont képződése) folyamatot csatolni kell az Np (t)-t csökkentő gyenge (elszakadás a rögzítési pontoktól) folyamattal. Máskülönben a domináns folyamat eredményeképpen a csavardiszlokáció teljes egészében rögzülni fog és megszűnik a mozgása. Számos modell ismeretes, ahol az erős és gyenge folyamatok nemlineáris módon csatolódnak egymással. Ilyenek pl. a ragadozó–zsákmány modell, logisztikus egyenlet, és számos kémiai reakciók [92, 93]. Ezen modellekhez hasonlóan feltesszük, hogy az Np (t)-t meghatározó master-egyenletben az Np (t)-t növelő tag arányos az elszakadt szegmensek számának (Np (t)e−Hu /kT ) és a diszlokáció v sebességgel haladó mozgása során keletkező rögzítési pontok számának ( vd ν0 e−Hp /kT ) szorzatával. (Megjegyezzük, hogy Np (t) a ragadozó–zsákmány modellben a ragadozók számának felel meg.) A k a Boltzmann-állandó, ν0 a Debey-frekvencia, T a hőmérséklet. Így az Np (t)-re vonatkozó master-egyenlet  
ν0 b L L d −Hp /kT dNp (t) −Hu /kT =− Np (t)e + ν0 ν0 e Np (t)e−Hu /kT , (5.27) dt l l l0 v ahol

L l0

a nukleációs helyek száma a rögzítési pontok képződésekor és

L l

az elszakadási

folyamatban a nukleációs helyek száma a diszlokáció L hosszúságú szegmensén. A Hp a rögzítési pontok keletkezéséhez szükséges aktivációs entalpia és az az előző szakasz (5.6) egyenlete alapján határozható meg. Stacionárius állapotban Np (t) időben nem változik, ezért dNp (t)/dt = 0. Véletlen eloszlású rögzítési pontok esetén jó közelítésben feltehetjük, hogy d ≈ l és így a fenti egyenletből stacionárius állapot esetén a következő összefüggést nyerjük d-re: d≈l=

p 3 l0 bv/ν0 eHp /3kT .

(5.28)

A képletből látható, hogy a hőmérséklet növelésével a rögzítési pontok közti l távolság csökken. Takeuchi és Kuramoto az l hőmérsékletfüggését illetően hasonló eredményt 78

kaptak abból a feltevésből, hogy stacionárius állapotban a diszlokációnak egy rögzítési ponttól való elszakadását követően ezen a szabadon" mozgó szegmensen bizonyos d " távolság megtétele után egy újabb rögzítési pont keletkezik [22]. Az általunk feltételezett nemlineáris csatolás magyarázata még nem teljesen tisztázott kérdés és további kutatásra lenne szükség a probléma átfogóbb vizsgálata érdekében. Azonban az (5.28) összefüggést használva a modellünk alapján a folyásfeszültség hőmérsékletfüggése jól egyezik a kísérleti eredményekkel, mint azt a következő szakaszban látni fogjuk. A csavardiszlokáció mozgása és a deformáció sebessége az anomális tartományban Az (111) síkon mozgó, termikus aktivációval elszakadt csavardiszlokáció deformációs sebességét a következő egyenlet határozza meg Hu

ε˙ = ε˙0 e− kT .

(5.29)

A pont az idő szerinti deriváltat jelöli. Az ε˙0 -t állandónak vettük a modellben. A kísérletekben a σ feszültségtenzornak az (5.3)-ban definiált σp komponensét mérik, amely a csúsztatófeszültség az (111) síkon. Ez a komponens felbontható egy hőmérsékletfüggő és egy hőmérséklettől független tagra: σp = σp0 + σpT . (A következőkben a σp0 -t az alacsony hőmérsékleten mért folyásfeszültséggel azonosítjuk.) A Hu aktivációs entalpiát az (5.26) alapján számíthatjuk ki úgy, hogy az (5.23)-ban definiált α paraméterben σ helyére a σpT -t helyettesítjük. A diszlokációnak a rögzítési pontoktól való elszakadása utáni v sebességét Leibfried [94] alábbi kifejezése alapján határoztuk meg v = 10σpT b4 ν0 /3kT.

(5.30)

A számításainkban elhanyagoltuk a v sebességnek a σp0 -tól való függését, de az eredmények még akkor sem változnak jelentősen ha a sebességet állandónak vesszük. A kísérletekben a folyásfeszültséget egy előre megadott ε˙ deformációs sebesség mellett mérik. Így ismert deformációs sebesség esetén az (5.29) egyenlet megoldása adja σpT folyásfeszültségnek a hőmérséklettől való függését. Az (5.26) egyenletekből látható, hogy Hu a σ-nak másodfokú függvénye, azonban α az l távolságon keresztül az (5.28) egyenletnek megfelelően nemlineáris módon függ a σ feszültségtől, és így a fenti (5.29) egyenlet csak numerikus úton oldható meg σ-ra. 79

Korábban láttuk, hogy α ≈ αc (m) esetén két különböző aktivációs úton keresztül azonos gyakorisággal valósulhat meg a diszlokáció elszakadása és így az (5.29) egyenlet nem alkalmazható. Ezzel a kérdéssel kapcsolatos számításainkat még nem fejeztük be. Legyen Tp az a hőmérséklet, ahol a folyásfeszültségnek maximuma van. Az (5.28) egyenletből látható, hogy l csökken T növelésével és bizonyos hőmérsékleten l összemérhető a diszlokáció megakadt szegmenseinek l0 méretével. Ekkor az egész diszlokáció megakad és a magszerkezete rögzült jellegűvé válik a teljes vonal mentén. Azt a hőmérsékletet, amikor ez a jelenség tapasztalható a Tp csúcshőmérséklettel azonosítjuk. Valóban pontszerű rögzítési pontok esetén βn < 1 megfelel egy teljesen rögzült jellegű diszlokációnak [89]. Azonban a mi esetünkben l0 kb. 2b − 3b nagyságrendű és így ha βn ≈ 3 − 4, akkor nincs értelme a továbbiakban diszkrét rögzítési pontokról beszélni. Így a Tp hőmérsékletet a βn ≈ 3 − 4 feltételből határozhatjuk meg. Ha T > Tp , akkor a diszlokáció elszakadását kinkpár képződés kontrollálja, amelyről bővebb információ található a [95] publikációban.

80

5.3. A modell alkalmazása Ni3Al és Ni3(Al, Ta) ötvözetekre [67, 68, 69] Ebben a részben a folyásfeszültség hőmérsékletfüggését határozzuk meg az előző két szakaszban ismertett modell alapján Ni3 Al és Ni3 (Al, Ta) ötvözetekre. Az utóbbi anyagban a Ta, mint harmadik komponens csak kis koncentrációban van jelen (tipikusan 1 atom %). Az alábbi táblázatban összefoglaltuk a modellben szereplő paramétereket a két anyagra vonatkozólag.

Paraméterek Ni3 Al APB(010) 100 mJ/m2 APB(111) 120 mJ/m2 CSF(111) 200 mJ/m2 µ 7, 8 · 1010 mN2 b 2,52 Å ∆E 0, 01µb2 /2π βc 0 U0 3,2 eV ε˙0 1013 1s

Ni3 (Al, Ta) 200 mJ/m2 237 mJ/m2 290 mJ/m2 7, 8 · 1010 mN2 2,52 Å 0, 01b2 /2π -0,09 2,8 eV 1013 1s

5.1 táb. A modell paraméterei Ni3 Al-ra és Ni3 (Al, Ta)-ra

Az APB és CSF rétegződési hibák energiáira a [82, 83] -ben közölt mérési eredményeket vettük alapul. Nagyságrendi becslésből a ∆E energianyereségre 0,01µb2 /2π adódik. µ a nyírási rugalmas együttható, b az (111) síkon csúszó csavardiszlokáció Burgers-vektora. Az (5.13) egyenletben bevezetett βc koncentrációtól függő paraméter értéke zérus kétalkotós ötvözetre és a mérések [84] szerint βc = −0, 09 Ni3 (Al, Ta)-ra. A σp0 a folyásfeszültség szobahőmérsékleti értéke és függ a minta orientációjától. Az U0 , ε˙0 , ∆E és βc paramétereket elméleti alapon nem lehet megbízhatóan kiszámítani, de a modellünkben ezeknek még 50%-os megváltozása sem okoz jelentős eltérést a folyáshatárban. A σp (T ) folyásfeszültséget az előző két szakaszban ismertett modell alapján a következő módon határozhatjuk meg. Adott T hőmérsékletnél és a minta n orientációjának ismeretében a (5.29) egyenletet σpT -re megoldva nyerjük a folyásfeszültségnek a hőmérsékletfüggését. Ehhez az egyenletben szereplő Hu aktivációs entalpia σpT -től való függését kell 81

meghatározni. Első lépésként n-ből kiszámítjuk az (5.3)-ban definiált Q és N Schmid-tényezőt (ezek csak n-től függnek), majd adott σp -re a σ tenzornak a σe és σc komponensei meghatározhatók. A második lépésben az (5.8) egyenletekből kiszámítjuk a Shockleyparciálisok közötti dCSF távolságot, amelyet az (5.7) összefüggésbe írva megkapjuk a Wc összehúzódási energiát és az (5.5)–(5.6) kifejezésekből nyerjük a rögzült szegmensek l0 méretét ill. a megakadáshoz szükséges Hp aktivációs entalpiát. A következő lépés, hogy ezek ismeretében az (5.28) és (5.30) összefüggéseket felhasználva kiszámítjuk a rögzítési pontok (szegmensek) közti l távolságot és az (5.23)-ban definiált α és β paramétereket (itt σ ≡ σpT ). Az (5.26) egyenletekből m = 1, 2, 3-ra kiszámítjuk a Hu (m) = VS (m) − VP (m) és a Hu (m) = VS (m)−VU (m) aktivációs entalpiákat. Végül az (5.29) egyenletben szereplő √

Hu (m)-nek azt az értékét kell venni, amelyre teljesül az α > αc =

mβ+1 m

egyenlőtlen-

ség. Az m = 3-ra, amikor a (332) nyeregponton keresztül történő termikus aktiváció valószínűsége kicsi — azaz ha Hu (m = 3) > Hb (m = 3) —, akkor más nyeregponton való áthaladást is figyelembe kell venni, amelyeknél az aktivációs entalpia még nagyobb. Ilyenek pl. a (323), (213), stb. nyeregponton áthaladó aktivációs utak. A továbbiakban ismertetjük a modell felhasználásával kapott numerikus számolásaink eredményeit. A 5.6 ábrán a modellünk alapján számított folyásfeszültség hőmérsékletfüggése látható a mérési eredményekkel együtt az n = [¯1, 2, 20] orientációjú Ni3 Al ötvözetre, ε˙ = 1, 3 · 10−3 s−1 deformációs sebesség esetén húzásra és nyomásra. A négyzetek és a körök

5.6. ábra. A számított és mért folyásfeszültség a hőmérséklet függvényében [¯1, 2, 20] minta-orientáció esetén Ni3 Al-ra. 82

a mérési pontokat jelképezik a húzásnak ill. nyomásnak kitett mintában. A szobahőmérsékleten mért folyásfeszültségre σp0 = 59 MPa értéket vettünk. A modellből közvetlenül adódik, hogy ennél az orientációnál nyomásra nagyobb a folyásfeszültség, mint húzásra, ami összhangban van a mérésekkel. Három különböző hőmérséklet-tartományt azonosíthatunk az aktivációs utaknak megfelelően. Az m = 1-gyel jellemzett aktivációs út 300K és kb. 600K között meghatározó. 600K és 650K között (itt l ≈ 120b) Hu > Hb jelezve, hogy az aktivációs út megváltozik ebben a hőmérséklet-tartományban és a következő m = 2-nek megfelelő aktivációs út válik dominánssá magasabb hőmérsékleten. Kiszámítottuk az m = 1 → m = 2 átmenetnél az (5.26)-ban definiált aktivációs térfogatot is, amely ≈ 400b3 -ről 2000b3 -re ugrik. A mérések szerint polikristályos Ni3 Al-ra 670K-nél figyeltek meg ugrást az aktivációs térfogatban [78, 79]. Az m = 2-nek megfelelő aktivációs út 650K – 850K hőmérséklet-tartományban dominál. Az m = 2 → m = 3 átmenet 850K és 900K közötti hőmérsékleten lép föl, ahol l ≈ 50b. Azonban az aktivációs térfogat ugrása már sokkal kisebb, mint az előző átmenetnél. 1000K hőmérséklet fölött Hu (m = 3) > Hb (m = 3), azaz a (332) nyeregponton történő termikus aktiváció már valószínűtlen és ekkor figyelembe kell venni a (323), (213) stb. nyeregpontokon keresztül megvalósuló aktivációs folyamatokat is. A numerikus eredményekből kiderül, hogy ezekhez tartozó Hu aktivációs entalpiák csak kevéssel térnek el egymástól és így a folyásfeszültség értékei közel azonosak a különböző aktivációs utakra. A 5.6 ábrán a (323) nyeregponti konfigurációnak megfelelő esetet tüntettük fel. A Tp csúcshőmérsékletre a korábban említett βn ≈ 3 − 4 feltételből kb. 1150K adódik, ami kitűnően egyezik a mérési eredményekkel [77]. A következő 5.7 ábrán a számított és mért folyásfeszültség hőmérsékletfüggése látható Ni3 Al-ra n = [¯1, 9, 22] orientációjú mintára ε˙ = 1, 3 · 10−3 s−1 deformációs sebesség esetén (σp0 = 69 MPa). Az ábrán a vonal (folytonos és szaggatott) az ε˙ = 1, 3 · 10−3 s−1 , a négyzet ε˙ = 1, 3·10−2 s−1 deformációs sebességre vonatkozik (egy nagyságrend a különbség közöttük). A körök a húzási teszt mérési pontjainak felelnek meg. Ennél az orientációnál a húzás/nyomás aszimmetria eltűnik és így csak a nyomásra vonatkozó eredményeket ábrázoltuk. Megjegyezzük, hogy ebben az esetben Q = 0, 076, ami jó közlítéssel zérusnak vehető, a modellünk szerint valóban húzásra és nyomásra azonos folyásfeszültséget kapunk. Jól látható az ábrából, hogy Tp alatt a folyáshatár mindkét deformációs sebességre gyakorlatilag azonos. A numerikus számolásokból az aktivációs térfogatnak 650K és 850K hőmérsékleten van ugrása. A Tp csúcshőmérsékletre 1100K-t kaptunk. 83

5.7. ábra. A számított és mért folyásfeszültség a hőmérséklet függvényében [¯1, 9, 22] minta-orientáció esetén Ni3 Al-ra két különböző deformációs sebességre (lásd a szöveget). Az 5.8 ábrán a számított és mért folyásfeszültség hőmérsékletfüggése látható Ni3 (Al, Ta)ra n = [¯1, 2, 3] orientációjú mintára ε˙ = 1, 3·10−5 s−1 deformációs sebesség esetén (σp0 = 40 MPa). Ismét három különböző aktivációs folyamat működik a Tp alatti hőmérséklet-tartományban és a va aktivációs térfogatnak 450K–500K ill. 650K-nél van ugrása. A számított csúcshőmérséklet: Tp ≈ 800K. Végül az utolsó 5.9 ábrán a számított és mért va aktivációs térfogat hőmérsékletfüggése látható Ni3 (Al, Ta)-ra. Az aktivációs térfogatnak 470K-nél megfigyelt ugrása jól egyezik az általunk számított értékkel. A kísérleti adatokból úgy tűnik, hogy kb. 600K-nél is van egy ugrás, de ez nem dönthető el egyértelműen, további mérésekre lenne szükség. Az 5.1 szakasz elején négy pontban foglaltuk össze azokat a tapasztalati tényeket, amelyekre a kidolgozott modellünk alapján válaszolni kivánunk. Az alábbiakban összefoglaljuk a kapott eredményeinket ezen szempontok fényében. 1. Az 5.6 és az 5.7 ábrák a folyáshatár hőmérsékletfüggését mutatják két különböző orientációra. Mindkét esetben az összes paraméter azonos volt, kivéve az orientációra jellemző n vektor. Látható, hogy az eredményeink jól egyeznek a mérési adatokkal. Nincs szükség a többi paraméter módosítására, illesztésére ellentétben a korábban említett modellekkel [22, 58, 74]. Az 5.8 ábra szerint Ni3 (Al, Ta)-ra a folyáshatár 84

¯ 2, 3] min5.8. ábra. A számított és mért folyásfeszültség a hőmérséklet függvényében [1, −5 −1 ta-orientáció esetén Ni3 (Al, Ta)-ra ε˙ = 1, 3 · 10 s deformációs sebesség mellett. Csak a nyomási teszt van feltüntetve. hőmérsékletfüggése jól egyezik a mérési adatokkal az adott orientáció mellett. 2. Az 5.6 ábrából jól látható, hogy a folyáshatár húzásra nagyobb, mint nyomásra az adott orientáció mellett. Az 5.1 szakaszban megmutattuk, hogy a modellünk szerint ez az aszimmetria a Q = 0-nak megfelelő orientációra tűnik el. Az 5.7 ábrán Q = 0, 076 és valóban nincs különbség a húzásra és nyomásra kapott folyáshatár között (ez az oka, hogy a számított és mért eredményeket csak nyomásra tüntettük fel). Tekintve, hogy a minta irányítottsága (és ezzel együtt a Q paraméter) csak a Hp entalpiában szerepel, a folyáshatár orientációtól való függését lényegében a megakadási folyamat határozza meg. 3. Az 5.7 ábrán vonallal ill. négyzetekkel jelöltük a két egymástól egy nagyságrenddel különböző deformációs sebesség mellett számított folyáshatár értékeket. Látható, hogy a folyáshatárnak a deformációs sebességtől való függése elhanyagolható. 4. Az utolsó 5.9 ábra az aktivációs térfogat hőmérsékletfüggését mutatja Ni3 (Al, Ta)ra. Az általunk számított ill. a mért adatokban egyaránt látható egy ugrás 470 K-on. Ez az eredmény fontos bizonyíték lehet a modell helyességét illetően. A modell szerint az aktivációs térfogat kb. 650 K-on is ugrik, de ez nem látható egyértelműen a mérési adatokból. Kevés a kísérleti eredmény, ezért az általunk használt paramétereket sem tudtuk elég pontosan megbecsülni. 85

5.9. ábra. A számított és mért va aktivációs térfogat a hőmérséklet függvényében Ni3 (Al, Ta)-ra feltüntetve a domináns aktivációs utakat is. Összefoglalva megállapíthatjuk, hogy a modellünk egyrészt kielégítő válaszokat ad a fenti kérdésekkel kapcsolatban, másrészt több tapasztalati tényre ad magyarázatot, mint a korábbi modellek. Fontos megjegyezni, hogy a modellben szereplő becsült paraméterek (U0 , ε˙0 , ∆E és βc ) nagymérvű megváltozása esetén sem változik tendenciájában a folyáshatár hőmérsékletfüggése, ezért a modell tartalmazza a jelenség leglényegesebb elemeit. A számszerű eredmények azt mutatják, hogy a modellben szereplő paraméterek közül az egyik legfontosabb a CSF hiba energiája; erre a mennyiségre a legérzékenyebb a számított folyáshatár. Sajnos nincs elegendő elektronmikroszkópos mérés, ami alapján pontosan meghatározhatnánk a γCSF értékét. Így a modellből kapott eredmények sem lehetnek teljesen megbízhatóak. Az egész modell a rugalamsságtan kontinuum elméletére épül és így mindenképpen közelítésnek tekinthető. Természetesen a rögzült szegmensek sem tekinthetők pontszerűnek. Az elektronmikroszkópos mérések [96, 97, 98] szerint az L12 ötvözetekben az (111) síkon mozgó csúszóképes diszlokáció megakadásakor nem pontszerű rögzült szegmensek alakulnak ki — ahogy azt mi feltételezzük —, hanem a diszlokáció vonala mentén hosszú szakaszok alakulnak át rögzült jellegű magszerkezetté. Azonban ez nem befolyásolja azt a tényt, hogy az elszakadáskor a termikus aktiváció különböző nyeregpontokon keresztül történik a hőmérséklet növelésével és így az aktivációs térfogatban ugrások lépnek fel. Az aktivációs entalpia kifejezése is módosul, ha a megakadt szegmensek mérete nem hanyagolható el. Lényegében egy jóval bonyolultabb modell szükséges, mint a mi ilyen értelemben egyszerűsített modellünk. Azonban a modellből 86

kapott eredmények tendenciában és a mérési hibákon belül megegyeznek a kísérletben kapottakkal. Mindezek figyelembe vételével azt reméljük, hogy a modell helyesen írja le a jelenség mechanizmusát és számszerűleg is jó közelítéssel alkalmazható a különböző L12 ötvözetekre, ugyanakkor alapul szolgálhat más intermetallikus ötvözetekben tapasztalható anomális folyásfeszültség hőmérsékletfüggésének megértésében. A modell megbízhatóságát, helyességét csak egy széleskörű, több anyagra kiterjedő kísérleti munkával ellenőrizhetjük.

87

88

6. fejezet Összefoglalás Napjainkban mind a szilárdtestfizika, mind az anyagtudomány egyre dinamikusabban fejlődik. Egyre több tudományos eredmény kerül a gyakorlatban hasznosításra, újabb folyóiratok jelennek meg. A plasztikus tulajdonságok magyarázatánál felmerült az az igény, hogy a fizika alapvető törvényeit felhasználva meghatározzuk az anyagban lévő atomok közti kölcsönhatásokat és ezekből kiindulva értelmezzük a jelenségeket. Itt elsősorban arra gondolunk, hogy pl. az atomok közti kölcsönhatás a kvantummechanika keretén belül — az atomok elektronszerkezetét is figyelembe véve — a sok atomot tartalmazó rendszerre felírt Schrödinger-egyenlet megoldásával határozható meg. Ilyen első elvekből származtatott potenciálok már alkalmasak lehetnek arra, hogy tanulmányozzuk az anyagban lévő szerkezeti hibáknak a fizikai tulajdonságokra gyakorolt hatását. Természetesen a feladat igen összetett. Az egyik legnehezebb probléma az atomok közti erők pontos kiszámítása úgy, hogy az könnyen felhasználható legyen a vizsgált anyag mechanikai tulajdonságainak megértésében. Ennek jegyében folynak olyan kutatások, amelyekben az atomok közötti kölcsönhatást empirikus úton, de kvantummechanikai alapokon származtatnak és ezt használják fel a kristályhibák vizsgálatában. Az empirikus potenciálok létjogosultságát az indokolja, hogy ma még komoly számítógépes kapacitást igényel a potenciálok első elvekből történő meghatározása, így az ilyen potenciálokat még nem lehet hatékonyan alkalmazni a különböző mechanikai tulajdonságok leírásában. A másik igen nehéz feladat az adott kölcsönhatás ismeretében következtetni az anyag mechanikai tulajdonságaira. Ennek az összetett tudományos programnak egy példája az a számítógépes vizsgálatsorozat, amelyet a DO19 kristállyal kapcsolatban ismertettünk a dolgozat 4. fejezetében. Az L12 kristályon végzett numerikus számítások (a dolgozat 3. fejezete) a tudományos programnak csak egy része, nem volt célunk a potenciál származtatásának ismertetése. A kérdéskör elméleti megközelítése, modellek felállítása a kísérleti és számítógépes eredmé89

nyek alapján történhet. A dolgozat 5. fejezetében tárgyalt modell egy ilyen munkának az eredménye. A korábban Ni3 Al-ra és Cu3 Au-ra szerkesztett Finnis–Sinclair-potenciált (FS) használva modelleztük a diszlokációk különböző magszerkezetét ezekben az anyagokban. A 3.2 és a 3.3 szakaszban az 1/2 < 101 > szuperparciális csavardiszlokáció lehetséges felhasadásait vizsgáltuk számítógépes szimulációval és találtunk egy alacsony energiájú, nehezen mozgó (sessile) konfigurációt, amelyet korábban még nem mutattak ki numerikus módszerekkel. Ennek a konfigurációnak a létezése kiinduló pont az L12 kristályos anyagok esetében megfigyelt anomális folyáshatár–hőmérsékletfüggésre már kidolgozott és az általunk javasolt 5. fejezetben leírt elméleti modellekben. A Finnis–Sinclair potenciált használva származtattunk egy modell-potenciált a DO19 kristályszerkezet esetében, melyet a 4.1 szakaszban ismertettünk. A DO19 rácsban a szimmetriából nem következik, hogy az egyes atomokra ható erő automatikusan zérus. A potenciál származtatásához külön feltételként kell kikötni, hogy a kisebbségi atomokra ható erő zérus az ideális rács egyensúlya esetén. A kapott potenciál nem felel meg semmilyen gyakorlatban ismert ötvözetnek, de a kis és nagy homogén deformációkkal ill. a más rácsokkal szemben stabil. A 4.2 szakaszban párpotenciál közelítés esetén megadtunk a különböző rétegződési hibák energiáit analitikus alakban. A potenciál alkalmazásaként először kiszámítottam a DO19 rács alapsíkjához és (10¯10) prizmatikus síkhoz tartozó γ-felületeket. A kapott eredmények alapján megvizsgáltuk az egyes rétegződési hibák stabilitását és a prizmatikus síkon a geometriából nem következő új metastabil rétgződési hibát találtunk. A 4.3 szakaszban tanulmányoztuk az 1/3[¯12¯10] szuperparciális csavardiszlokáció magszerkezetét az alapsíkon és a prizmatikus síkon és kiszámítottuk az egyes magszerkezetekhez tartozó Peierls-feszültséget. A parciálisnak nehezen mozgó (sessile) magszerkezete van az alapsíkon, míg a prizmatikus síkon a Peierls-feszültség az előbbinek a fele és így az elsődleges csúszási sík a prizmatikus sík. Az említett új metastabil rétegződési hiba alapján a numerikus eredményeket felhasználva javasoltunk egy lehetséges felhasadást a fenti szuperparciálisra a két síkon. A kapott eredmények azt mutatják, hogy ezzel a potenciállal értelmezhető a Ti3 Al ötvözet folyáshatárának hőmérsékletfüggése. Ugyanakkor Mn3 Sn ötvözetben a folyáshatár anomális vislekedése az alapsíkon jelentkezik ezért a plasztikus tulajdonságainak vizsgálatára ez a potenciál nem alkalmas. Összehasonlítva L12 és a DO19 rácsban vizsgált magszerkezetek Peierls-feszültségeit, Mn3 Sn90

ben ezt az anomáliát valószínűleg ismét az L12 anyagoknál már említett csúszóképes–rögzült magtranszformációval magyarázhatjuk. Azonban ennél az ötvözetnél lényeges szerepe lehet a potenciál iránytól való függésének. A dolgozat utolsó részében ismertettünk egy lehetséges elméleti modellt, amely a folyásfeszültség anomális hőmérsékletfüggését értelmezi az L12 kristályos anyagokban. A modell két különböző folyamatot vesz figyelembe. Az egyik az (111) síkon mozgó csúszóképes diszlokáció megakadása, a másik ennek elszakadása a rögzítési pontoktól. Mindkét mechanizmus termikus aktivációval történik és meghatároztuk a szükséges aktivációs entalpiákat is. Az első esetben a korábbi PPV modellből indultunk ki, de az entalpiában szereplő összehúzódási energiát más úton és az anizotrop rugalmasságtant figyelembe véve határoztuk meg. A numerikus adatok szerint ez a tag adja a legnagyobb járulékot a megakadáshoz szükséges entalpiához. A rögzítési pontoktól való elszakadásra egy olyan modellt használtunk fel, melyet korábban a belső súrlódás leírására dolgoztak ki. Megvizsgáltuk a különböző aktivációs utakat, melyek a hőmérséklet növelésével változhatnak az elszakadási folyamatban. A modell alapján a folyáshatár hőmérsékletfüggésére kapott számszerű eredmények a mérési hibákon belül egyeznek a kísérleti eredményekkel. Sikerült válaszolni az 5.1 szakasz elején négy pontban összefoglalt tapasztalati tényekre. A korábbi modellek általában csak a folyáshatárnak a minta orientációjától való függését magyarázták kilégítő módon. A többi kérdés megválaszolatlan maradt. Az egyik legfontosabb kísérleti tény, hogy 470 K-on az aktivációs térfogatnak ugrása van. Ez a modellünk szerint az aktivációs út megváltozásának a következménye és így egy teljesen új jelenség fontossága kap szerepet. Ilyen jellegű magyarázat korábban nem merült fel. Természetesen a modellben alkalmazott közelítések és a viszonylag kevés mérési adat miatt még további kutatásokra van szükség mind kísérleti, mind elméleti téren. Remélhetőleg ez a modell hozzájárul ahhoz, hogy mind jobban megértsük az intermetallikus ötvözetekben tapasztalható folyáshatár–hőmérsékletfüggés anomális viselkedését. A kérdés gyakorlati jelentősége az ipari alkalmazás terén is döntő fontosságú. A dolgozatban vizsgált L12 és DO19 kristályszerkezetű ötvözetekkel szemben a megfigyelt plasztikus tulajdonságaik miatt nagy a várakozás technológiai szinten. Ezért az itt kapott eredményeink hasznos információkat jelenthetnek közvetlenül az ipar számára is.

91

92

Irodalomjegyzék [1] M. Yamaguchi, Y. Umakoshi, Progress in Materials Science 34, 1 (1990). [2] J. P. Hirth, J. Lothe, Theory of Dislocations, Mcgraw–Hill, New York, 1968. [3] Dislocations In Solids (series) (szerk.: F. R. N. Nabarro) Amsterdam etc. Vol. 1–8. [4] Kovács I., Zsoldos L., Diszlokációk és képlékeny alakváltozás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest 1965. [5] V. Vitek, R. C. Perrin, D. K. Bowen, Phil. Mag. 21, 1049 (1970). [6] V. Vitek, Crystal Lattice Defects 5, 1 (1974). [7] E. Schmid, Proc. Int. Cong. Appl. Mech. Delft, p. 342 (1924). [8] J. Frenkel, T. Kontorova, Phys. Z. Sowj. Un. 13, 1 (1938). [9] R. E. Peierls, Proc. Phys. Soc. 52, 34 (1940). [10] F. R. N. Nabarro, Proc. Phys. Soc. 59, 256 (1947). [11] J. Friedel, Phil. Mag. A 45, 271 (1982). [12] G. I. Taylor, C. F. Elan, Proc. Roy. Soc. (London) A 62, 337 (1926). [13] G. I. Taylor, Proc. Roy. Soc. (London) A 68, 1 (1926). [14] Tichy Géza doktori dolgozata Tichy G., Fémek és ötvözetek rácshibáinak atomi modellezése, Akadémiai Kiadó, Budapest 1992. [15] D. M. Wee, T. Suzuki, Trans. Japan Inst. Metals 20, 634 (1979). 93

[16] F. E. Heredia, G. Tichy, D. P. Pope, V. Vitek, Acta Metall. 37, 2755 (1989). [17] Y. Umakoshi, D. P. Pope, V. Vitek, Acta Metall. 32, 449 (1984). [18] S. S. Ezz, D. P. Pope, V. Vitek, Acta Metall. 35, 1879 (1987). [19] A. E. Statom–Bevan, R. D. Rawlings, Phys. Stat. Sol. (a) 29, 613 (1975). [20] A. E. Statom–Bevan, R. D. Rawlings, Phil. Mag. 32, 787 (1975). [21] B. H. Kear, M. F. Hornbecker, Trans ASM 59, 155 (1966). [22] S. Takeuchi, E. Kuramoto, Acta Metall. 21, 415 (1973); Acta Metall. 22, 429 (1974). [23] J. Kandra, Ph.D. Thesis, University of Pennsylvania, 1991. [24] Y. Minonishi, Philos. Mag. A 63, 1085 (1991). [25] V. Vitek, Dislocations and Properties of Real Materials (szerk.: M. H. Loretto) The Institute of Metals, London, 1985, p. 50. [26] P. Veyssiere, Rev. Phys. Appl., Paris 23, 673 (1988). [27] M. S. Duesbery, Dislocations in Solids (szerk.:F. R. N. Nabarro) Elsevier Science Publ., Amsterdam, 1989, p. 67. [28] Lennard–Jones, Proc. Roy. Soc. A 106, 463 (1924). [29] P. M. Morse Phys. Rev. 34, 57 (1929). [30] W. A. Harrison, Pseudopotentials in the Theory of Metals, New York, Benjamin, 1966. [31] V. Heine, Solid State Phys. 24, 1 (1970). [32] Interatomic Potentials and Simulation of Lattice Deffects (szerk.: P. C. Gehlen, J. R. Beeler Jr., R. I. Jaffe) Plenum Press, New York, 1973. [33] Computer Simulation for Material Applications (szerk.: R. J. Arsenault, R. J. Beeler Jr., J. A. Simmons) Nuclear Metallurgy, 20, (1976). 94

[34] Proc. Sump. on Interatomic Potentials and Crystalline Defects (szek.: J. K. Lee) TMS AIME Publ. (1981). [35] M. S. Daw, M. I. Baskes, Phys. Rev. Lett. 50, 1285 (1983). [36] M. S. Daw, M. I. Baskes, Phys. Rev. B 29, 6443 (1984). [37] M. W. Finnis, J. E. Sinclair, Philos. Mag. A 50, 45 (1984). [38] M. Gitterman, V. Halpern, Fizikai problémák kvalitatív elemzése, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1985. F. Schwabl, Quantum Mechanics, Springer–Verlag, Berlin Heidelberg etc. 1988. [39] G. J. Ackland, G. Tichy, V. Vitek, M. W. Finnis, Phil. Mag. A 56, 735 (1987). [40] G. J. Ackland, V. Vitek, Phys. Rev. B 41, 10324 (1990). [41] K. Terakura, T. Oguchi, T. Mohri, K. Watanabe, Phys. Rev. B 35, 2169 (1987). [42] T. Mohri, K. Terakura, T. Oguchi, K. Watanabe, Acta Metall. 36, 547 (1988). [43] M. Yamaguchi, V. Vitek, D. P. Pope, Phil. Mag. A 43, 1027 (1981). [44] G. Tichy, V. Vitek, D. P. Pope, Phil. Mag. A 53, 467 (1986). [45] M. Yamaguchi, V. Paidar, V. Vitek, D. P. Pope, Phil. Mag. A 45, 867 (1982). [46] J. D. Eshelby, W. T. Read, W. Shockley, Acta Met. 1, 251 (1953). [47] A. J. E. Foreman, Acta Met. 3, 322 (1955). [48] A. N. Stroh, Phil. Mag. 3, 625 (1958). [49] G. B. Spence, J. Appl. Phys. 33, 729 (1962). [50] Y. T. Chou J. Appl. Phys. 33, 2747 (1962). [51] A. Seeger, D. Schoeck Acta Met. 1, 519 (1953). [52] L. J. Teutonico, Phys. Rev. 127, 1039 (1961). Phys. Rev. 127, 413 (1962). Acta Metall. 11, 1283 (1963). 95

[53] V. Vitek, G. J. Ackland, J. Cserti, Alloy Phase Stability and Design (szerk.: G. M. Stocks, A. P. Giamei, D. P. Pope) Vol. 186, Materials Research Society, Pittsburgh, 1991, p. 237. [54] V. Vitek, Y. Sodani, J. Cserti, High Temperature Ordered Intermetallic Alloys IV., (szerk.: L. Johnson, J. O. Stiegler, D. P. Pope), Vol. 213, Materials Research Society, Pittsburgh, PA, 1991. p. 195. [55] G. S. G. Beveridge, R. S. Schechter Optimization: Theory and Practice, McGraw– Hill 1970. [56] D. Farkas, E. J. Savino, Scripta Metall. 22, 557 (1988). [57] M. H. Yoo, M. S. Daw, M. I. Baskes, Atomistic Simulation of Materials: Beyond Pair Potentials (szerk.: V. Vitek, D. J. Srolovitz) Plenum Press, New York, 1989, p. 401. [58] V. Paidar, D. P. Pope, V. Vitek, Acta Metall. 32, 435 (1984). [59] G. Tichy, V. Vitek, D. P. Pope, Phil. Mag. A 53, 485 (1986). [60] J. Cserti, M. Khantha, V. Vitek, D. P. Pope, Materials Science and Eng. A 152, 95 (1992). [61] V. Vitek, M. Khantha, J. Cserti, Y. Sodani, Intermetallic Compounds–Structure and Mechanical Properties (szerk.: O. Izumi), Japan Institute of Metals, Sendai, p. 3. (1991). [62] G. J. Ackland, M. W. Finnis, V.Vitek, J. Phys. F: Met. Phys. 18, L153 (1988). [63] M. Igarashi, M. Khantha, V. Vitek, Philos. Mag. B 63, 603 (1991). [64] Y. Umakoshi, M. Yamaguchi, Phys. Status Solidi (a) 68, 457 (1981). [65] M. Igarashi, V. Vitek, Philos. Mag. A 63, 1059 (1991). [66] V. Paidar, M. Yamaguchi, D. P. Pope, V. Vitek, Philos. Mag. A 45, 883 (1982). [67] M. Khantha, J. Cserti, V. Vitek, Scripta Metall. Mater. 27, 487 (1992). [68] M. Khantha, J. Cserti, V. Vitek, Scripta Metall. Mater. 27, 481 (1992). 96

[69] M. Khantha, J. Cserti, V. Vitek, Materials Research Society Meeting, Boston, December, 1992. [70] D. P. Pope, S. S. Ezz, Int. Met. Rev. 25, 233 (1984). [71] N. S. Stoloff, Int. Met. Rev. 34, 153 (1989). [72] D. M. Dimiduk, Journal de Physique III 1, 1025 (1991). [73] B. H. Kear, H. G. Wilsdorf, Trans. Metall. Soc. AIME 224, 382 (1962). [74] V. Vitek, Y. Sodani, Scripta Metall. Mater. 25, 939 (1991). [75] P. B. Hirsch, Scripta Metall. Mater. 25, 1725 (1991). [76] P. B. Hirsch, Philos. Mag. A 65, 569 (1992). [77] F. E. Heredia, D. P. Pope, Acta Metall. Mater. 39, 2027 (1991). [78] P. H. Thornton, R. G. Davies, T. L. Johnston, Metall. Trans. A 1, 207 (1970). [79] J. Bonneville, N. Baluc, J. L. Martin, Int. Symp. on Intermetallic Compounds – Structure and Mechanical Properties – (JIMIS-6) (szerk.: O. Izumi), The Japan Institute of Metals, 323 (1991). [80] J. Bonneville, J. L. Martin, High–Temperature Ordered Intermetallic Alloys IV (szerk.: L. A. Johnson, D. P. Pope és J. O. Stiegler), Materials Research Society, Vol. 213, p.629 (1991). [81] A. N. Stroh, Proc. Phys. Soc. London B 67, 427 (1954). [82] N. Baluc, R. Schaublin, K. J. Hemker, Philos. Mag. Lett. 64, 327 (1991). [83] N. Baluc, H. P. Karnthaler, M. J. Mills, Philos. Mag. A 64, 137 (1991). [84] F. H. Heredia, Ph.D. Thesis, University of Pennsylvania: (1990). [85] S. S. Ezz, D. P. Pope, V. Paidar, Acta Metall. 30, 921 (1982). [86] P. Flinn, Trans. TMS–AIME. 218, 145 (1960). [87] L. J. Teutonico, A. V. Granato, K. Lüke, J. Appl. Phys. 35, 220 (1964). 97

[88] D. G. Blair, T. S. Hutchinson, D. H. Rogers, J. Appl. Phys. 40, 97 (1969). [89] L. J. Teutonico, K. Lüke, F. W. Heuser, A. V. Granato, J. Acoust. Soc. Amer. 45, 1402 (1969). [90] A. V. Granato, K. Lüke, J. Appl. Phys. 52, 7136 (1981). [91] A. H. Cottrell, Report of a Conference on Strength of Solids, University of Bristol ( The Physical Society, London), p. 30. (1948). [92] L. E. Reichl, A Modern Course in Statistical Physics, University of Texas Press: Austin (1980). [93] H. Haken, Szinergetika, Müszaki könyvkiadó, Budapest, (1984). [94] G. Leibfried, Z. Phys. bf 127,344 (1950). [95] Y. Sodani, V. Vitek, Int. Symp. on Intermetallic Compounds – Structure and Mechanical Properties (szerk. O. Izumi), The Japan Institute of Metals, p. 27 (1991). [96] Y. Q. Sun, P. Hazzledine, Phil. Mag. A 58, 603 (1988). [97] P. Veyssière, MRS Symp. Proc. 133, 175 (1989). [98] K. J. Hemker, M. J. Mills, W. D. Nix, Acta Metall. Mater. 39, 1901 (1991).

98