A FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, A TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES TÉTELE, FÜGGETLENSÉG Populációgenetika gyakorlat 2013.02.06.
A teljes valószínűség tétele A teljes valószínűség tétele azt mondja ki, hogy ha ismerjük egy E esemény feltételes valószínűségét egy teljes eseményrendszer valamennyi F1, F2, ..., Fn eseménye, mint feltétel mellett, akkor ebből az E esemény feltétel nélküli valószínűségét az alábbi képlettel határozhatjuk meg:
n
P(E ) = ∑ P(E Fi )P(Fi ) i =1
Bayes tétele • a fordított irányú kérdésre ad választ: • A tétel akkor használható, ha ismerjük egy E esemény feltételes valószínűségét egy teljes eseményrendszer valamennyi F1, F2, ... , Fn eseménye, mint feltétel mellett, és ebből szeretnénk meghatározni az egyes Fi eseményeknek az E-re vonatkozó feltételes valószínűségét.
Két eseményre: P ( E F 2) P ( F 2) P(F 2 E ) = P ( E F 2 ) P ( F 2 ) + P ( E F 1) P ( F 1) a nevező a teljes valószínűség tétele
Általánosságban megmondja, hogy mekkora a vsz.-e, hogy a teljes eseményrendszer elemei közül éppen a k-adik (Fk) következik be, feltéve, ha tudjuk, hogy bekövetkezett az E esemény.
P (F k E ) =
P (E F k )P (F k ) n
∑ P (E F )P (F ) i
i =1
i
Teljes eseményrendszer • Az F1, F2, F3, ... , Fn eseményeket teljes eseményrendszernek nevezzük, ha az Fi események páronként kizárják egymást, és az összes Fi összege a biztos esemény
P(F1), P(F2), ... , P(Fn) valószínűségek az a priori valószínűségek a P(F1|E), P(F2|E), ... , P(Fn|E) feltételes valószínűségek az a posteriori valószínűségek Két esemény független, ha E bekövetkezése nem befolyásolja F esélyeit, azaz P(EF ) = P(E )P(F ), vagyis P(E F) = P(E) és P(F E ) = P(F ) Két esemény kizáró, ha nem következhetnek be egyszerre, azaz ha szorzatuk a lehetetlen esemény.
Milyen valószínűséggel lesz a pedigrén látható 6. egyén AA illetve A0 vércsoportú?
A 6. egyén lehet AA és A0 vércsoportú -> F1 és F2 lehetőség F1: AA (mindkét szülőtől A allélt kapott); ennek valószínűsége: P(F1) = 0,5 F2: A0 (A-t és 0-t is kapott); ennek valószínűsége: P(F2) = 0,5 P(a 6. egyén A-t ad tovább, ha AA genotípusú) = = P(A-t ad | AA) = P(E | F1) = 1 P(a 6. egyén A-t ad tovább, ha A0 genotípusú) = = P(A-t ad | A0) = P(E | F2) = 0,5
P(E F1 ) ⋅ P(F 1 )
1 ⋅ 0,5 2 P(F1 E ) = = = P(E F1 ) ⋅ P(F 1 ) + P(E F2 ) ⋅ P(F 2 ) 1 ⋅ 0,5 + 0,5 ⋅ 0,5 3 P(E F2 ) ⋅ P(F 2 )
0,5 ⋅ 0,5 1 P(F2 E ) = = = P(E F1 ) ⋅ P(F 1 ) + P(E F2 ) ⋅ P(F 2 ) 1 ⋅ 0,5 + 0,5 ⋅ 0,5 3 F1
Grafikusan:
Szürke = E, azaz A allélt ad tovább
F2
Hogyan változik meg ez a valószínűség, ha a 6. egyénnek születik még két AB-s gyermeke (akik a pedigrén nincsenek feltüntetve), illetve, ha összesen 10 AB-s gyermeke lesz?
Legyen K annak a valószínűsége, hogy három AB vércsoportú gyerek születik, ekkor a valószínűségek F1: AA (mindkét szülőtől A allélt kapott); ennek valószínűsége: P(F1) = 0,5 F2: A0 (A-t és 0-t is kapott); ennek valószínűsége: P(F2) = 0,5
P(K F1 ) = 1 1 1 1 1 P(K F2 ) = ⋅ ⋅ = = 0,125 2 2 2 8 1 ⋅ 0,5 8 P(F1 K ) = = = P(K F1 )P(F1 ) ⋅ P(K F2 )P(F2 ) 1 ⋅ 0,5 + 0,125 ⋅ 0,5 9 P(K F1 )P(F1 )
Legyen K annak a valószínűsége, hogy tíz AB vércsoportú gyerek születik, ekkor a valószínűségek: P(K F1 ) = 1 1 P(K F2 ) = 2
10
1 ⋅ 0,5 1024 P(F1 K ) = = = 10 P(K F1 )P(F1 ) ⋅ P(K F2 )P(F2 ) 1 ⋅ 0,5 + 0,5 ⋅ 0,5 1025 P(K F1 )P(F1 )
Mit mondhatunk, ha ezek után a házaspár tizenegyedik gyermeke B vércsoportú lesz?
Mit mondhatunk, ha ezek után a házaspár tizenegyedik gyermeke B vércsoportú lesz?
• Ekkor a 6. egyén 0-s allélt adott, tehát biztosan A0 • ha nagyon sok olyan családot megvizsgálnánk, mint a pedigrén látható, akkor 2/3 részükben a 6. egyénnek megfelelő személy AA vércsoportú lenne, 1/3 részükben pedig A0 • Ha sok olyan családot megvizsgálnánk, ahol 3 ill. 10 AB-s gyerek van, akkor csak 1/9 ill. 1/1025 részükben találnánk azt, hogy a 6. egyénnek megfelelő személy A0
Példa 1. • Mi a valószínűsége annak, hogy egy szabályos dobókockával páratlan számot dobunk? • Mi a valószínűsége annak, hogy a dobókockával 6-ost dobunk és a feldobott pénz fej lesz?
Példa 2. Aa×Aa keresztezés utódok : ½ Aa, ¼ AA -> sárga ¼ aa -> zöld Mi a valószínűsége annak, hogy egy sárga egyed Aa genotípusú?
Példa 3. Aa×Aa keresztezés utódok : ½ Aa, ¼ AA -> sárga ¼ aa -> zöld Mi a valószínűsége annak, hogy egy sárga egyed Aa genotípusú? P(Aa | sárga) = P (Aa,sárga) / P(sárga)
Példa 4. Egy házaspárnak van már 2 lánya, mi az esélye, hogy a harmadik gyerekük is lány lesz? Egy normál színezetű házaspárnak albínó gyermeke születik. Mi az esélye, hogy a következő gyerek is albínó lesz? Mi az esélye, hogy a következő gyerek egy albínó kislány lesz?
Példa 4. - Binomiális eloszlás n k n −k P ( X = k ) = ⋅ q ⋅ p k
• Mi a valószínűsége annak, hogy egy ivarsejtbe mindössze 2 apai kromoszóma kerül? (23 pár kromoszóma) • n=23, k=2, p=0,5 23 23! 2 23 − 2 23 −5 P ( X = 2) = ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 = ⋅ 0,5 = 3,105 ⋅ 10 2!21! 2
Példa 5. Az albínók gyakorisága 1:10000-hez. Ha véletlenszerűen kiválasztunk 15000 embert, mennyi a valószínűsége, hogy nem lesz közöttük egyetlen albínó sem? n=15000, k=0, q=0,0001 => p=0,9999
Példa 6. Egy piros és egy fehér csodatölcsért keresztezünk, majd az F1 nemzedék egyöntetűen rózsaszínű egyedeit egymás közt szaporítjuk tovább. Mi a valószínűsége, hogy az F2 nemzedék 10 egyede közül egyik sem lesz rózsaszín? P(rózsaszín; AB) =? -> AB x AB
Példa 6. Egy piros és egy fehér csodatölcsért keresztezünk, majd az F1 nemzedék egyöntetűen rózsaszínű egyedeit egymás közt szaporítjuk tovább. Mi a valószínűsége, hogy az F2 nemzedék 10 egyede közül egyik sem lesz rózsaszín? P(rózsaszín; AB) =? -> AB x AB 10 ⋅ 0,510 ⋅ 0,5 0 = 0,510 0
• az F2 nemzedékben a 10 egyedből pontosan 5 lesz rózsaszín?
• az F2 nemzedékben a 10 egyedből legalább 2 rózsaszín lesz?
• az F2 nemzedékben a 10 egyedből pontosan 5 lesz rózsaszín? 10 10! 5 5 10 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 = ⋅ 0,5 5!⋅5! 5
• az F2 nemzedékben a 10 egyedből legalább 2 rózsaszín lesz? 10 10! 1 9 10 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 = ⋅ 0,5 1!⋅9! 1 10 10! 2 8 10 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 = ⋅ 0 , 5 2!⋅8! 2
• P(ζ≥2)=1- P(ζ=0)- P(ζ=1)=0,989
Mendeli genetika – és példák az ettől való eltérésre interakció allélok között: dominancia interakció gének között: episztázis interakció a környezet és a gének között
Kísérlet: sárga színű és szürke egereket keresztezünk => az utódok közt az arány: sárga : szürke = 1:1 tudjuk, hogy a szürke homozigóta – ha domináns lenne, akkor az utódok mind szürkék lennének => a sárga szín a domináns
Kísérlet: jelöljük a szürkék genotípusát yy-nal, legyen sárga szín alléjának jele Y ; mivel az utódok között volt szürke is, ezért biztos nem volt homozigóta a sárga, tehát Yy-nak kellett lennie. Ha csinálunk egy keresztezést két sárga között, akkor azt várjuk, hogy: Yy x Yy => 3 sárga: 1 szürke. Ehelyett: 2 sárga és 1 szürke lesz az arány. Hogyan lehetséges ez?
Tesztkeresztezések: a született sárga egereket szürkékkel párosítjuk => minden alomban fele-fele arányban kapunk sárgát és szürkét => ezek szerint minden sárga heterozigóta volt. A YY genotípus valami miatt letális A 2:1 hasadási arány gyakran letális gént jelez.
Pl. Manx macskák Egy domináns allél faroknélküliséget okoz: MLM farok nélküli, életképes MLML életképtelen
Génkölcsönhatások
Mendel borsói ráncosság és szín • a független hasadás törvénye azt mondja ki, hogy a különböző gének alléljei (pl. Rr és Yy) egymástól függetlenül válnak szét és kerülnek be a gamétákba. • Ezt dihibrid keresztezésekkel bizonyította Szülők: RRYYxrryy F1: RrYy • A RrYy genotípusú F1 egyed négyféle gamétát hozhat létre: RY, Ry, rY és ry. • A gaméták véletlenszerű kombinációi F2 nemzedékben a 9:3:3:1 fenotípusarányt eredményeznek.
A négyféle fenotípus genotípusai • • • •
9/16 R_Y_ 3/16 R_yy 3/16 rrY_ 1/16 rryy
• A gének egy-egy tulajdonságot határoztak meg: – R -> ráncosság – Y -> szín
Mi van akkor ha két gén ugyanarra a tulajdonságra hat? • A 9:3:3:1-től eltérő fenotípus-arányok alakulhatnak ki: • Episztázis = gének közti interakció – 2 v. több lokusz interakciója új fenotípust eredményez – Egy lokusz adott allélja elfedi a egy v. több másik lokusz alléljainak hatását – Egy lokusz adott allélja módosítja egy v. több másik lokusz alléljainak hatását
Egyszerű génkölcsönhatás Bateson & Punnett (1905, 1906, 1908) • Borsó-, rózsa-, egyszerűés diótaraj. • Rózsa és borsótarajú tiszta vonalak keresztezésével F1-ben diótarajt kapunk.
http://www.gutenberg.org/files/28775/28775h/28775-h.htm Mendelism (Third Edition, Reginald Crundall Punnett)
Egyszerű génkölcsönhatás • P
ppRR x PPrr rózsa
• F1
borsó
PpRr »
dió
• F2 9/16 P_R_ dió • 3/16 ppR_ rózsa • 3/16 P_rr borsó • 1/16 pprr egyszerű • Két függetlenül öröklődő (különböző lokuszon elhelyezkedő) gén felelős egyetlen fenotípusos jegyért.
Egér szőrszínének öröklődése: • A ”B” allél felelős a vad típusú ún. agouti (szürke) színért a ” b ” allél pedig a fekete színért. – A BB or Bb genotípus agouti, a bb: fekete. – Egy másik lokusz felelős a pigmentképzésért. CC és Cc képeznek pigmentet, míg cc albino.
Recesszív episztázis • P
bbCC x BBcc » Fekete
• F1
albino
BbCc » agouti
• F2 – – – –
9/16 B_C_ agouti 3/16 bbC_ fekete 3/16 B_cc albino 1/16 bbcc albino
• A recesszív episztázisra jellemző módosult F2 fenotípusarány: 9:3:4
Forrás: http://legacy.owensboro.kctcs.edu/gcaplan/bio/notes/bio%20notes%20j%20genetics.htm
Komplementer gének • Ha két gén kifejeződése kölcsönösen függ egymástól, akkor komplementer génekről van szó. • Pl. Bateson & Punnett: borsóvirágok színét vizsgálták: • Beltenyésztett fehér virágú borsókat keresztezve F1ben minden utód lila virágú lett. • F2-ben 382 lila és 269 fehér virágú egyedet kaptak -> 382:269 = 9,4 : 6,6 ~9 : 7
• Későbbi vizsgálatokkal kiderült, hogy kék színért az antocianin felelős, aminek az előállítása két lépcsőben történik a borsókban: – Az egyik gén (C) felel az első lépésért, a másik (P) a másodikért. Ha valamelyik lépés kimarad, nem termelődik antocianin és a virág fehér lesz. – A C és P jelenléte azt jelenti, hogy az adott lépés végbemegy, azaz ha a növény valamelyik lokuszra nézve homozigóta recesszív, akkor fehér marad.
Komplementer génhatás CcPpxCcPp Anyai gaméták
Apai gaméták
CP
Cp
cP
cp
CP
CCPP
CCPp
CcPP
CcPp
Cp
CCPp
CCpp
CcPp
Ccpp
cP
CcPP
CcPp
ccPP
ccPp
cp
CcPp
Ccpp
ccPp
ccpp
Domináns szupresszor episztázis 13:3 • A kankalin színe a malvidintől kék lesz (K lokusz, K allél) • Ezt a D lokusz D allélja el tudja nyomni (domináns K-val szemben), azaz a K_D_ genotípusú virág nem termel malvidint • 13 fehér (12 tartalmaz D-t, 1 nem tartalmaz D-t, de K-t sem) és 3 kék KkDdxKkDd Anyai gaméták KD
kD
kd
KKDD KKDd
KkDD
KkDd
Kd Apai gaméták kD
KKDd
KKdd
KkDd
Kkdd
KkDD
KkDd
kkDD
kkDd
kd
KkDd
Kkdd
kkDd
kkdd
KD
Kd
Azonos hatású domináns gének 15:1 • A búzamag színe egy olyan vegyülettől függ, amelynek a prekurzorból való előállítását két gén (A és B) terméke előidézheti = A vagy B allél esetén kialakul a szín Csak a mindkét génre nézve recesszív homozigóta (aabb) lesz színtelen (közel uniform a fenotípusok alapján) AaBbxAaBb Anyai gaméták
Apai gamétá k
AB
Ab
aB
ab
AB
AABB
AABb
AaBB
AaBb
Ab
AABb
AAbb
AaBb
Aabb
aB
AaBB
AABb
aaBB
aaBb
ab
AaBb
Aabb
aaBb
aabb
Összefoglalva: Genotípusok Klasszikus arány
A_B_ A_bb aaB_ aabb 9
Domináns episztázis Recesszív episztázis
3 12
9
Azonos hatású domináns gének
3
1
3
1
3
4
15
1
Komplementer gének
9
7
Domináns szupresszor episztázis / inhibítor gének Alternáló gének
13
3
9
6
1
http://www.nature.com/scitable/topicpage/epistasis-gene-interaction-and-phenotype-effects-460
Ha keresztezünk két, aguti színezetű, AaBb genotípusú egeret, mi a valószínűsége, hogy a 300 utód közül mindegyik a szülőkével egyező fenotípusú lesz? p=? n=? k=300 q=?
n k n −k P ( X = k ) = ⋅ q ⋅ p k
Ha keresztezünk két, aguti színezetű, AaBb genotípusú egeret, mi a valószínűsége, hogy a 300 utód közül mindegyik a szülőkével egyező fenotípusú lesz? p=0,5625; n=300, k=300, q=0,4375 300
0
300 9 7 ⋅ ⋅ = 16 300 16 300! ⋅ 0,5625 300 ⋅ 0,4375 0 = 0,5625 300 = 300!0!
Ha keresztezünk két, aguti színezetű, AaBb genotípusú egeret, mi a valószínűsége, hogy a 300 utód közül egyik sem lesz a szüleivel megegyező fenotípusú? p= n= k= q=
Ha keresztezünk két, aguti színezetű, AaBb genotípusú egeret, mi a valószínűsége, hogy a 300 utód közül egyik sem lesz a szüleivel megegyező fenotípusú? p=0,5625; n=300, k=0, q=0,4375 300 9 ⋅ 0 16
0
7 ⋅ 16
300
=
300! ⋅ 0,5625 0 ⋅ 0,4375 300 = 0!300!
Ha keresztezünk két, aguti színezetű, AaBb genotípusú egeret, mi a valószínűsége, hogy a 16 utód közül pontosan 9 lesz a szülőkével egyező fenotípusú? p= n= k= q=
Ha keresztezünk két, aguti színezetű, AaBb genotípusú egeret, mi a valószínűsége, hogy a 16 utód közül pontosan 9 lesz a szülőkével egyező fenotípusú? p=9/16; n=16, k=9, q=7/16
16 9 ⋅ 9 16
9
7
7 ⋅ = 16
16! ⋅ 0,5625 9 ⋅ 0,4375 7 = 9!7!
A feniltiokarbamid keserű ízének érzékelését a T, t betűkkel jelzett allélpár határozza meg: a TT és Tt genotípusú egyének a vegyület keserű ízét érzik, a tt genotípusúak nem. Egy nem ízérző egyén szülei ízérzők, testvérének felesége pedig nem ízérző.
• Mekkora a valószínűsége annak, hogy a testvér illetve annak gyermeke ízérző?
• Nagyszülők? • Szülők? 1
3
2
5
4 6
• Nagyszülők - Tt • Szülők: 1
3
2
5: tt 4: TT -> 0,25 Tt-> 0,5
5
4
4: 0,75, h ízérző 6
1
3
• Nagyszülők - Tt • Szülők:
2
5: tt 4: 0,75, h ízérző
5
4 6
P (Aputól T, ha Apu TT) = 1 P (Aputól T, ha Apu Tt) = 0,5
6: Anyutól csak t P(t-t ad)= 1 P(Apu TT) = 0,25 P(Apu Tt) = 0,5
P(6. ízérző) = 0,25*1 + 0,5*0,5 = 0,5
Az először említett egyén egy másik testvérének férje ízérző. Ennek a férjnek a szüleiről nem tudunk semmit, de tudjuk, hogy a populációban 19% TT, 50% Tt és 31 % tt. Ennek a másik testvérnek és férjének gyermeke milyen valószínűséggel lesz ízérző?
1
3
2
5
4 6
1 8
7 3
2 4
5
6 9 P (9. ízérző) = ? = 1 - P(mindkét szülőtől t-t kap) t Anyutól = 0,5 t Aputól = 50/69
1 8
7 3 9 t Anyutól = 0,5 t Aputól = 50/69
2 5
4 6
P(mindkét szülőtől t-t kap) = 0,5 * (50/69*0,5)
