9. SZINUSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA

9. SZINUSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA A Kirchhoff típusú hálózatok általában dinamikus komponenseket (tekercseket és kondenzát6orokat) is tartalmaznak, így a hálózatot dinamikus hálózatnak tekintjük. A dinamikus hálózatok működésében két állapotot különböztetünk meg, úgy mint a hálózat struktúrájában, ill. a gerjesztésében történő változás utáni rövid időszakot, a tranziens folyamatot, valamint a tranziens folyamat lecsengése utáni, a hálózat üzemi működésének állapotát, az állandósult állapotot. A továbbiakban a dinamikus hálózatok állandósult állapotának vizsgálatának elemzésére kerül sor. A villamos hálózatok szinuszos gerjesztésre adott válaszának meghatározása a cél.

9.1. A szinuszos lefolyású gerjesztő jel jellemzői A 9.1a ábrán látható lineáris, invariáns és kauzális dinamikus hálózat s (t ) gerjesztése egy eltolt szinusz jellel (9.1b ábra), (coszinusz függvénnyel) irható le, s (t ) = u (t ), u (t ) = Uˆ cos(ωt + ρ ) .

a)

(9.1)

b)

9.1. ábra. A lineáris, invariáns, kauzális hálózat időben szinuszosan változó gerjesztése

9. SZINUSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA

267

A gerjesztő jel amplitúdója ± Uˆ , periódus ideje T , azaz a jel periodikus u (t + T ) = u (t ), u (t + nT ) = u (t ) ,

(9.2)

ahol n egész szám és T a periódus idő. A villamos hálózatoknál a periódus idő helyett az f frekvenciát, ill. az ω körfrekvenciát, valamint a jel kezdő időpillanatbeli u (0) = Uˆ cos ρ értéke helyett a ρ kezdőfázist (fázisszöget) használják, f =1 T ,

[ f ] = 1 Hz ,

(9.3)

ω = 2πf , [ω ] = 1 rad s ,

(9.4)

−π ≤ ρ ≤ π .

(9.5)

Az időben szinuszos lefolyású jeleket lehet még jellemezni a jel különböző középértékeivel, úgy mint az egyszerű középérték, az effektív érték és az abszolút középérték. Az i(t ) = Iˆ cos(ωt + ρ ) egyszerű középértéke az az I e áram, amely egy periódus

alatt ugyananyui töltést szállít, mint az i(t ) áram, T

Qe = TI e = ∫ i (t )dt ,

(9.6)

0

ahonnan Ie =

1T ∫ i (t )dt . T 0

(9.7)

A fentiek alapján az i(t ) = Iˆ cos(ωt + ρ ) jel egyszerű középértéke nulla, I e = 0 . Az i(t ) = Iˆ cos(ωt + ρ ) jel I effektív értéke valamely ellenálláson ugyanakkora hőteljesítményt ad le egy periódus alatt, mint az i(t ) áram, P = RI 2 =

ahonnan

1T 1T ∫ p(t )dt = ∫ Ri 2 (t )dt , T 0 T 0

(9.8)

268


I=

1T 2 ∫ i (t )dt . T 0

(9.9)

Pl. ha az áram időfüggvénye i(t ) = Iˆ cos(ωt + ρ ) , akkor

I=

1T 2 1 T ˆ2 ∫ i (t )dt = ∫ I cos 2 (ωt + ρ )dt T 0 T 0

Iˆ 1 T ˆ 2 1 + cos 2(ωt + ρ ) dt = = . ∫I T 0 2 2

(9.10)

Az i(t ) = Iˆ cos(ωt + ρ ) jel I a abszolút középértéke az az áram, amely ugyanannyi töltést hajt át egy periódus alatt, mint a kétoldalasan egyenirányított i(t ) áram jel. Kétoldalas egyenirányítás pl. a 9.2 ábrán látható Graetz kapcsolással állítható elő.

9.2. ábra. Graetz kapcsolású kétoldalas egyenirányítással előállított abszolút érték T

QT = TI a = ∫ i (t ) dt ,

(9.11)

0

ahonnan Ia =

1T ∫ i(t ) dt . T0

Az i(t ) = Iˆ cos ωt áram abszolút középértéke

(9.12)


1T 1T 4T 4ˆ ∫ i (t ) dt = ∫ Iˆ cos ωt dt = ∫ I cos ωtdt T 0 T 0 T 0 T 4 4 Iˆ sin ωt 4 Iˆ sin ωT / 4 2 Iˆ = = = . T T 2π / T ω 0 π

269

Ia =

(9.13)

A középértékeken kívül az alaktényezőket is meg szokás vizsgálni, ezek közül legfontosabb a k f formatényező és a kcs csúcstényező, amely szinuszosan változó jel esetén kf =

π I Iˆ 2 Iˆ Iˆ = = ≈ 1,11 kcs = = = 2 ≈ 1,41 . ˆ Ia 2 I π 2 2 I Iˆ 2

(9.14)

Meg kell azonban jegyezni, hogy sem a középértékek, sem a formatényezők nem határozzák meg a jelalakot.

9.2. A komplex formalizmus A szinuszos gerjesztésű hálózatok áramát, ill. feszültségét a komplex formalizmus bevezetésével és segítségével szokás meghatározni. Ezért a következőkben a komplex számok fogalmát és a köztük végzett műveletek összefoglalására kerül sor. A komplex számok matematikájából ismert, hogy a z komplex szám algebrai alakja megadható a Re{z } valós (reális) és Im{z } képzetes (imaginárius) részével (9.3a ábra) z = Re{z } + j Im{z },

ill. exponenciális alakban a z = z

(9.15) abszolút értékével és a ρ = arc{z } szögével

(9.3a ábra), z = ze jρ .

(9.16)

A fenti kifejezésekben a j a képzetes egység (9.3b ábra), j = − 1 = 1eπ = 1e j π 2 .

Egységvektorral végzett műveletek a következők lehetnek,

(9.17)

270


j ⋅ j = j 2 = −1;

j ⋅ j ⋅ j = j 3 = − j, { −j

j4 j

= j3 =

1 = − j, j

j4 = { j2 ⋅ { j2 = 1 −1 −1

(9.18)

j 1 1 j = = = − j, j j j −1

a)

b)

9.3. ábra. a) A komplex szám ábrázolása a komplex számsíkon, b) a képzetes egységvektor bevezetése

A komplex számok algebrai és exponenciális alakja között az Euler reláció teremt kapcsolatot, ahol az e jρ = cos ρ + j sin ρ

(9.19)

összefüggés felhasználásával

{ }

{ }

Re e jρ = cos ρ , Im e jρ = sin ρ .

(9.20)

A fenti (9.19) összefüggésből következik, hogy cos ρ =

e jρ + e − jρ e jρ − e − jρ . , sin ρ = 2 2j

(9.21)

Tehát a z = ze jρ exponenciális alakból az algebrai alak előállítható z = ze jρ = z (cos ρ + j sin ρ ) = Re{z } + j Im{z }, Re{z } = z cos ρ , Im{z } = z sin ρ .

(9.22)

Az algebrai alakból az exponenciális alak pedig a következő összefüggéssel állítható elő


(Re{z})2 + (Im{z})2 , Im{z } ρ = arc{z } = arctg ± kπ , Re{z }

271

z= z =

k = 0,1, L.

(9.23)

9.3. Műveletek komplex számokkal 9.3.1. A komplex szám algebrai alakjából az exponenciális alak előállítása Legyen egy komplex szám algebrai alakja z1 = a + jb , az exponenciális alak

z1 = a 2 + b 2 e jarc{z1} = z1e jρ1 , ahol ρ1 = arctg (b a ) ± kπ attól függően, hogy a komplex szám melyik térnegyedben van. A 9.4 ábrán látható négy komplex szám algebrai alakjából az exponenciális alak a következő lesz z1 = 5 + j 3 = 52 + 32 e jarctg(3 5) = 5,8310e j 30,9638o ,

z 2 = −3 + j 6 =

(− 3)2 + 62 e − j (arctg(6 3)+π ) = 6,7082e j116,5651o ,

z3 = −2 − j 3 =

(− 2)2 + (− 3)2 e j (arctg(3 2)−π ) = 3,6056e − j123,6901o ,

z 4 = 4 − j 3 = 4 2 + (− 3)2 e − jarctg(3 4 ) = 5e − j 36,8699o .

9.4. ábra. A komplex számok ábrázolása a komplex számsíkon

272


9.3.2. A komplex szám exponenciális alakjából az algebrai alak előállítása Valamely z1 = z1e jρ1 komplex szám exponenciális alakjából az algebrai alak a következő módon állítható elő, z1 = z1e jρ1 = z1 (cos ρ1 + j sin ρ1 ) = a + jb = Re{z1} + j Im{z1} , ahol Re{z1} = z1 cos ρ1 = a , Im{z1} = z1 sin ρ1 = b . A következő négy komplex szám exponenciális alakjából az algebrai alak a következő lesz

(

)

z1 = 6e j 30 o = 6 cos 30o + j sin 30o = 5,1962 + j 3,0000 ,

(

)

z 2 = 4e − j 60 o = 4 cos 60o − j sin 60o = 2,0000 − j 3,4641 ,

(

)

z3 = 3e j120 o = 3 cos 120o + j sin 120o = −1,5000 + j 2,5981 ,

(

)

z 4 = 5e − j150o = 5 cos 150o − j sin 150o = −4,3301 − j 2,5000 .

9.3.3. A z komplex szám z* konjugáltja Valamely komplex szám konjugáltja a valós tengelyre való tükörképét állítja elő, ahogy az a 9.5 ábrán látható, azaz a komplex szám imaginárius része előjelet vált.

9.5. ábra. A komplex szám konjugáltja

Ha a komplex szám algebrai alakban adott,

z1 = a + jb = Re{z1} + j Im{z1} , a

konjugáltja z1* = a − jb = Re{z1} − j Im{z1} , ha azonban exponenciális alakban adott, z1 = z1e jρ1 , konjugáltja z1* = z1e − jρ1 lesz.


273

A következő négy komplex szám konjugáltja

(

)

z1 = 6e j 30 o = 6 cos 30o + j sin 30o = 5,1962 + j 3,0000, z1* = 6e − j 30o = 5,1962 − j 3,0000, z 2 = −3 + j 6, z 2* = −3 − j 6 = 6,7082e − j116,5651o , z3 = −2 − j 3, z3* = −2 + j 3 = 3,6056e j123,6901o , z 4 = 5e − j150o , z 4* = 5e j150o = −4,3301 + j 2,5000 .

9.3.4. Két komplex szám összege, különbsége algebrai alakban A z1 = a + jb = Re{z1} + j Im{z1} és a z 2 = c + jd = Re{z 2 } + j Im{z 2 } komplex számok összege ill. különbsége az algebrai alakból képezhető, z = z1 ± z 2 = (a + jb ) ± (c + jd ) = (a ± c ) + j (b ± d ), z = z1 ± z 2 = (Re{z1} + j Im{z1}) ± (Re{z 2 } + j Im{z 2 }) = Re{z1 ± z 2 } + j Im{z1 ± z 2 }, A következő négy komplex szám összege, ill. különbsége z1 = 5 + j 3, z 2 = −3 + j 6, z = z1 + z 2 = (5 + j 3) + (− 3 + j 6 ) = 2 + j 9 , z1 = 5 + j 3, z 2 = −3 + j 6, z = z1 − z 2 = (5 + j 3) − (− 3 + j 6) = 8 − j 3 , z3 = −2 − j 3, z 4 = 4 − j 3, z = z3 + z 4 = (− 2 − j 3) + (4 − j 3) = 2 − j 6 , z3 = −2 − j 3, z 4 = 4 − j 3, z = z3 − z 4 = (− 2 − j 3) − (4 − j 3) = −6 − j 0 .

9.3.5. A z komplex szám és a z* konjugáltjának összege, különbsége A z1 = a + jb = Re{z1} + j Im{z1} komplex szám és a * z1 = a − jb = Re{z1} − j Im{z1} konjugáltjának összege a z = z1 + z1* = 2a = 2 Re{z1} , ill. különbsége z = z1 − z1* = j 2b = j 2 Im{z1} . A következő négy komplex szám és konjugáltjaik összege, ill. különbsége z1 = 5 + j 3, z1* = 5 − j 3, z1 + z1* = 10, z1 − z1* = j 6 ,

274


z 2 = −3 + j 6, z 2* = −3 − j 6, z 2 + z 2* = −6, z 2 − z 2* = j12 , z3 = −2 − j 3, z3* = −2 + j 3, z3 + z3* = −4, z3 − z3* = − j 6 , z 4 = 4 − j 3, z 4* = 4 + j 3, z 4 + z 4* = 8, z 4 − z 4* = − j 6 .

9.3.6. Két komplex szám szorzata, algebrai alakban A z1 = a + jb = Re{z1} + j Im{z1} és a z 2 = c + jd = Re{z 2 } + j Im{z 2 } komplex számok szorzata z = z1 ⋅ z 2 = (a + jb ) ⋅ (c + jd ) = ac + jbc + jad + { jbjd = (ac − bd ) + j (ad + bc ) , j ⋅ j = −1

z = z1 ⋅ z 2 = (Re{z1} + j Im{z1}) ⋅ (Re{z 2 } + j Im{z 2 })

= (Re{z1}⋅ Re{z 2 } − Im{z1}⋅ Im{z 2 }) + j (Re{z1}⋅ Im{z 2 } + Im{z1}⋅ Re{z 2 }) . A következő két-két komplex szám szorzata z1 = 5 + j 3, z 2 = −3 + j 6, z = z1 ⋅ z 2 = (5 + j 3) ⋅ (− 3 + j 6) = −33 + j 21 , z3 = −2 − j 3, z 4 = 4 − j 6, z = z3 ⋅ z 4 = (− 2 − j 3) ⋅ (4 − j 6) = −26 + j 0 .

9.3.7. Két komplex szám szorzata, exponenciális alakban A z1 = z1e jρ1 és a z 2 = z 2e jρ 2 komplex számok szorzata z = z1 ⋅ z 2 = z1e jρ1 ⋅ z 2e jρ 2 = z1 ⋅ z 2 e j (ρ1 + ρ 2 ) . A következő két-két komplex szám szorzata z1 = 5e j 30o , z 2 = 6e j80o z3 = 3e − j 60o , z 4 = 4e j 30o

z = z1 ⋅ z 2 = 5e j 30o ⋅ 6e j80o = 30e j110o , z = z3 ⋅ z 4 = 3e − j 60o ⋅ 4e j 30 o = 12e − j 30o .

9.3.8. Komplex szám szorzata a konjugáltjával A z = a + jb = Re{z } + j Im{z } = ze jρ komplex szám és a z * = a − jb = Re{z } − j Im{z } = ze − jρ abszolút értékének négyzetét adja,

konjugáltjának szorzata a komplex szám


275

z ⋅ z * = (a + jb ) ⋅ (a − jb ) = a 2 + b 2 = (Re{z })2 + (Im{z })2 , ill. exponenciális alakban 2

z ⋅ z * = ze jρ ⋅ ze − jρ = z 2 = z .

A következő két komplex számnak a konjugáltjával való szorzata z1 = 5 + j 3, z1* = 5 − j 3, z = z1 ⋅ z1* = (5 + j 3) ⋅ (5 − j 3) = 25 + 9 = 34 , z 2 = 5e j 30 o , z 2* = 5e − j 30o

z = z 2 ⋅ z 2* = 25 .

9.3.9. Két komplex szám hányadosa, exponenciális alakban A z1 = z1e jρ1 és a z 2 = z 2e jρ 2 komplex számok hányados z z e jρ1 z z= 1 = 1 = 1 e j (ρ1 − ρ 2 ) . z 2 z 2 e jρ 2 z 2 A következő két-két komplex szám hányadosa z1 = 6e j 30o , z 2 = 5e j80o

z3 = 3e − j 60o , z 4 = 4e j 20 o

6e j 30o z z= 1 = = 1,2e − j 50o , z 2 5e j80o z 3e − j 60o z= 3 = = 0,75e − j80o . z4 4e j 20o

9.3.10. Két komplex szám hányadosa, algebrai alakban A z1 = a + jb = Re{z1} + j Im{z1} és a z 2 = c + jd = Re{z 2 } + j Im{z 2 } komplex számok z = z1 z 2 hányadosának meghatározásához a nevező konjugáltjával megszorozva a számlálót és a nevezőt, a nevezőben valós szám adódik amivel az osztás már elvégezhető, azaz z a + jb a + jb c − jd (ac − bd ) + j (bc − ad ) . z= 1 = = ⋅ = z 2 c + jd c + jd c − jd c2 + d 2 A következő két-két komplex szám hányadosa z1 = 5 + j 3, z 2 = −3 + j 6, z 5 + j3 5 + j 3 − 3 − j 6 (− 15 + 18) + j (30 + 9) z= 1 = = ⋅ = = 0,0667 − j 0,8667, z2 − 3 + j 6 − 3 + j 6 − 3 − j6 9 + 36

276


z3 = −2 − j 3, z 4 = 4 − j 6, z − 2 − j 3 − 2 − j 3 4 + j 6 (− 8 + 18) + j (− 12 − 12 ) z= 3 = = ⋅ = = 0,1923 − j 0,4615. z4 4 − j6 4 − j6 4 + j6 16 + 36

9.4. A komplex formalizmus alkalmazása 9.4.1. A jel komplex csúcsértéke Az előzőek alapján belátható, hogy az u (t ) = Uˆ cos(ωt + ρ ) valós időfüggvény előállítható az Uê j (ωt + ρ ) komplex időfüggvény valós (reális) részeként,

{

}

u (t ) = Uˆ cos(ωt + ρ ) = Re Uê j (ωt + ρ ) .

(9.24)

Szétválasztva az időtől függő e jωt forgató fazort és az időtől független Uˆ = Uê jρ komplex csúcsértéket, a valós időfüggvény megadható egy komplex csúcsérték és egy forgató fazor szorzataként,

{

}

{

}

{

}

u (t ) = Uˆ cos(ωt + ρ ) = Re Uê j (ωt + ρ ) = Re Uê jρ e jωt = Re Uˆ e jωt ,

(9.25)

ahol a komplex csúcsérték

{}

{}

Uˆ = Uê jρ = Uˆ (cos ρ + j sin ρ ) = Re Uˆ + j Im Uˆ .

(9.26)

A valós időfüggvény úgy tekinthető, mint a komplex időfüggvény valós tengelyre eső vetülete (9.6 ábra).

9.6. ábra. A komplex csúcsérték


277

9.4.2. Hálózati egyenletek komplex formalizmus setén a) A hálózat topológiájára vonatkozó törvényszerűségeket az összekapcsolási kényszerek (Kirchhoff egyenletek) írják le. A Kirchhoff egyenletek a komplex formalizmus alkalmazása esetén a következő alakra vezetnek. Az anyagmegmaradás törvény a villamos hálózatokban a töltésmegmaradás törvénnyel, ill. a Kirchhoff csomóponti törvénnyel, ill. annak általánósított alakjával a vágattörvénnyel adható meg. Legyen valamely csomóponthoz (vágathoz) illeszkedő k − adik ág áramának valós időfüggvénye ik (t ) = Iˆ cos(ωt + ρ k ) , k = 1,2, L , n .

(9.27)

A komplex formalizmus alkalmazásával a csomóponthoz (vágathoz) illeszkedő ágak áramainak valós időfüggvénye megadható a komplex csúcsérték és a forgató fazor szorzatának valós részével

{

}

{

}

{ }

ik (t ) = Iˆ cos(ωt + ρ k ) = Re Iê j (ωt + ρ k ) = Re Iê jρ k ⋅e jωt = Re Iê jωt .

(9.28)

Felírva a csomóponthoz (vágathoz) illeszkedő ágak áramainak komplex formalizmussal megadott alakjával a Kirchhoff csomóponti törvényt,

{

}

⎫⎪ ⎧⎪⎛ ˆ ⎞ ˆ ∑ ik (t ) = ∑ Re I k e jωt = Re ⎨⎜⎜ ∑ I k ⎟⎟e jωt ⎬ = 0 , ⎪⎭ ⎪⎩⎝ k ⎠ k k

(9.29)

könnyen belátható, hogy az egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha a csomóponthoz (vágathoz) illeszkedő ágak áramainak komplex csúcsértékeire fennáll a Kirchhoff csomóponti törvény, ˆ ∑ Ik = 0 ,

(9.30)

k

azaz a csomóponthoz (vágathoz) illeszkedő ágak áramainak komplex csúcsértékeinek algebrai összege nulla. Az energia megmaradás törvény a villamos hálózatokban a zárt hurokhoz illeszkedő ágak feszültségeinek összege nulla törvénnyel, ill. a Kirchhoff hurok törvénnyel adható meg. Legyen valamely hurokhoz illeszkedő k − adik ág feszültségének valós időfüggvénye uk (t ) = Uˆ cos(ωt + ρ k ) , k = 1,2, L , n .

(9.31)

278


A komplex formalizmus alkalmazásával a hurokhoz illeszkedő ágak feszültségeinek valós időfüggvénye megadható a komplex csúcsérték és a forgató fazor szorzatának valós részével

{

}

{

}

{

}

uk (t ) = Uˆ cos(ωt + ρ k ) = Re Uê j (ωt + ρ k ) = Re Uê jρ k ⋅e jωt = Re Uˆ e jωt .

(9.32)

Felírva a hurokhoz illeszkedő ágak feszültségeinek komplex formalizmussal megadott alakjával a Kirchhoff hurok törvényt,

{

}

⎫⎪ ⎧⎪⎛ ˆ ⎞ ˆ ∑ uk (t ) = ∑ Re U k e jωt = Re ⎨⎜⎜ ∑ U k ⎟⎟e jωt ⎬ = 0 , ⎪⎭ ⎪⎩⎝ k k k ⎠

(9.33)

belátható, hogy az egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha a hurokhoz illeszkedő ágak feszültségeinek komplex csúcsértékeire fennáll a Kirchhoff hurok törvény, ˆ ∑U k = 0 ,

(9.34)

k

azaz a hurokhoz illeszkedő ágak feszültségeinek komplex csúcsértékeinek összege nulla. b) A dinamikus hálózatok komponenseinek karakterisztikái (ágtörvények) a komplex formalizmus alkalmazásakor a következő alakra vezetnek. Legyen a 9.7 ábrán látható R ellenállás áramának valós időfüggvénye a komplex formalizmus alkalmazása mellett

{

}

{

}

iR (t ) = Iˆ cos(ωt + ρ ) = Re Iê jρ e jωt = Re IˆR e jωt .

(9.35)

9.7. ábra. Az ellenállás

Az ellenállás árama és feszültsége közti ágtörvényt alkalmazva az ellenállás feszültsége u R (t ) = RiR (t ) , valamint figyelembe véve, hogy a lineáris, invariáns, kauzális hálózatokban a válasz hasonlít a gerjesztésre, azaz az ellenállás feszültségének valós időfüggvénye szintén megadható egy komplex csúcsérték és a forgató fazor


{

279

}

szorzatának valós részeként, u R (t ) = Re Uˆ R e jωt , az ellenállás árama és feszültsége közti kapcsolat a komplex formalizmus esetén a következő lesz,

{

u R (t ) = RiR (t ) = Re RIˆR e jωt

} = Re{Uˆ

Re

}

jωt .

(9.36)

Belátható, hogy az egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha az ellenállás feszültségének komplex csúcsértéke egyenlő az ellenállás és az ellenállás áramának komplex csúcsértékének szorzatával, Uˆ R = RIˆR .

(9.37)

A komplex számsíkon ábrázolva az ellenállás áramának és feszültségének komplex csúcsértékeit (fazorjait) (9.8 ábra), a fazorábrából az látható, hogy az ellenállás árama fázisban van az ellenállás feszültségével, az áram és a feszültség között nincs fázisletolódás.

9.8. ábra. Az ellenállás áramának és feszültségének fazorjai a komplex számsíkon

Legyen a 9.9 ábrán látható L indukció együtthatójú tekercs áramának valós időfüggvénye a komplex formalizmus alkalmazása mellett

{

}

{

}

iL (t ) = Iˆ cos(ωt + ρ ) = Re Iê jρ e jωt = Re IˆL e jωt .

(9.38)

A tekercs árama és feszültsége közti ágtörvényt alkalmazva a tekercs feszültsége u L (t ) = L diL (t ) dt , valamint figyelembe véve, hogy a lineáris, invariáns, kauzális hálózatokban a válasz hasonlít a gerjesztésre, azaz a tekercs feszültségének valós időfüggvénye szintén megadható egy komplex csúcsérték és a forgató fazor szorzatának valós részeként, u L (t ) = Re Uˆ L e jωt , a tekercs árama és feszültsége közti kapcsolat,

{

}

figyelembe véve, hogy az idő szerinti derivált a komplex formalizmus alkalmazása esetén jω -val való szorzással egyenértékű, de jωt dt = jωe jωt , így a komplex formalizmus alkalmazása esetén a tekercsre vonatkozó ágtörvény a következő lesz,

280


u L (t ) = L

{

} {

d Re IˆL e jωt = Re jωLIˆL e jωt dt

} = Re{Uˆ e ω }. j t

L

(9.39)

9.9. ábra. Az tekercs

Belátható, hogy az egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a tekercs feszültségének komplex csúcsértéke egyenlő a jωL és a tekercs áramának komplex csúcsértékének szorzatával, ˆ ˆ U L = j ω LI L .

(9.40)

A komplex számsíkon ábrázolva a tekercs áramának és feszültségének komplex csúcsértékeit (fazorjait) (9.10 ábra), a fazorábrából az látható, hogy a tekercs feszültsége 90o − kal siet a tekercs áramához képest, az áram és a feszültség között a fázisletolódás + 90o .

9.10. ábra. A tekercs áramának és feszültségének fazorjai a komplex számsíkon

Legyen a 9.11 ábrán látható C kapacitású kondenzátor feszültségének valós időfüggvénye a komplex formalizmus alkalmazása mellett

{

}

{

}

uC (t ) = Uˆ cos(ωt + ρ ) = Re Uê jρ e jωt = Re Uˆ C e jωt .

(9.41)

A kondenzátor feszültsége és árama közti ágtörvényt alkalmazva a kondenzátor árama iC (t ) = C duC (t ) dt , valamint figyelembe véve, hogy a lineáris, invariáns,


281

kauzális hálózatokban a válasz hasonlít a gerjesztésre, azaz a kondenzátor áramának valós időfüggvénye szintén megadható egy komplex csúcsérték és a forgató fazor szorzatának valós részeként, i (t ) = Re Iˆ e jωt , így a kondenzátor feszültsége és C

{

C

}

árama közti kapcsolat, figyelembe véve, hogy de jωt dt = jωe jωt , a komplex formalizmus alkalmazása esetén a következő lesz, iC (t ) = C

{

} {

d Re Uˆ C e jωt = Re jωCUˆ C e jωt dt

} = Re{Iˆ e ω }. C

j t

(9.42)

9.11. ábra. A kondenzátor

Belátható, hogy az egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a kondenzátor áramának komplex csúcsértéke egyenlő a jωC és a kondenzátor feszültségének komplex csúcsértékének szorzatával, IˆC = jωLUˆ C , ahonnan Uˆ C =

1 ˆ IC . jωC

(9.43)

A komplex számsíkon ábrázolva a kondenzáátor áramának és feszültségének komplex csúcsértékeit (fazorjait) (9.12 ábra), a fazorábrából az látható, hogy a kondenzátor feszültsége 90o − kal késik a kondenzátor áramához képest, az áram és a feszültség között fázisletolódás − 90o .

9.12. ábra. A kondenzátor áramának és feszültségének fazorjai a komplex számsíkon

282


9.4.3. A komplex impedancia Minthogy a komplex formalizmus alkalmazásával a dinamikus hálózatok komponenseinek árama és feszültsége közötti kapcsolat egy komplex mennyiséggel való szorzással megadható (9.13 ábra),

9.13. ábra. A dinamikus hálózat komponensei

Uˆ R = RIˆR , Uˆ L = jωLIˆL , Uˆ C =

1 ˆ IC , jωC

(9.44)

célszerűnek látszik a dinamikus hálózat komponenseinek pólusmennyiségei, az áram és a feszültség komplex csúcsértékei közti kapcsolatot megadó komplex mennyiség jelölésére egy új fogalom, a Z komplex impedancia bevezetése (9.14 ábra)

9.14. ábra. A komplex impedancia

Uˆ = Z Iˆ .

(9.45)

A fentieknek megfelelően az R ellenállás impedanciája ZR = R ,

(9.46)

az L indukció együtthatójú tekercs impedanciája Z L = jωL ,

és a C kapacitású kondenzátor impedanciája

(9.47)


ZC =

1 1 =−j . jωC ωC

283

(9.48)

Általában a Z impedancia egy komplex kifejezés, amelynek valós és képzetes része is van, Z = Re{Z }+ j Im{Z } = R + jX ,

(9.49)

ahol az impedancia valós része a rezisztencia Re{Z } = R , míg az imaginárius része a reaktancia Im{Z } = X . Ennek alapján az L indukció együtthatójú tekercs reaktanciája X L = ωL ,

(9.50)

és a C kapacitású kondenzátor reaktanciája XC =

1 . ωC

(9.51)

Nagyon sokszor az impedancia reciproka, az admittancia szerepel a hálózatszámítási feladatokban, Y =

R − jX R − jX 1 1 1 = = G + jB , = = Z R + jX R + jX R − jX R 2 + X 2

(9.51)

ahol G a konduktancia, míg B a szuszceptancia.

9.5. Hálózatszámítás a komplex formalizmus alkalmazásával A komplex formalizmus alkalmazásával kimutatható volt, hogy a hálózati egyenletek, köztük a Kirchhoff csomóponti és hurok egyenletek a komplex amplitúdókra formailag hasonlítanak az egyenáramú, rezisztív hálózatok egyenleteinek alakjára, továbbá a dinamikus hálózat komponenseinek karakterisztikái a komplex impedancia bevezetésével szintén hasonlít a rezisztív hálózatoknál alkalmazott Ohm törvényre, ˆ ˆ ˆ ˆ ∑ I k = 0, ∑ U k = 0, U k = Z k I k , k = 1,2, L , n , k

k

(9.52)

284


így az egyenáramú hálózatoknál megismert hálózatszámítási eljárások továbbra is alkalmazhatók a komplex formalizmus figyelembevételével.

9.5.1. Impedanciák soros és párhuzamos kapcsolása A Z1 = R1 + jX1 és a Z 2 = R2 + jX 2 impedanciák soros kapcsolása esetén (9.15a ábra) az eredő impedancia r Z s = Z1 + Z 2 ,

(9.53)

míg párhuzamos kapcsolásuk esetén (9.15b ábra) az eredő impedancia r r Z1 ⋅ Z 2 Z p = Z1 × Z 2 = r . Z1 + Z 2

(9.54)

9.15. ábra. Impedanciák soros és párhuzamos kapcsolása

9.5.2. Áram és feszültségosztás Az áram és a feszültségosztás összefüggései továbbra is érvényben maradnak a komplex formalizmus esetén. Két soros impedancia esetén a feszültségosztás alapján az egyik impedancia feszültsége előállítható a gerjesztő feszültség szorozva a soros elemekből annak az elemnek az impedanciájával, amely feszültsége keresett és osztva a két soros impedancia összegével (9.16 ábra), Uˆ 2 = Uˆ

Z2 . Z1 + Z 2

(9.55)

Hasonlóan két párhuzamosan kapcsolt impedancia esetén az áramosztás alapján az egyik impedancia árama előállítható a főág árama szorozva a párhuzamos elemekből a


285

szomszéd ág impedanciájával és osztva a két párhuzamosan kapcsolt impedancia összegével (9.16 ábra), Iˆ2 = Iˆ

Z1 . Z1 + Z 2

(9.56)

9.16. ábra. A feszültség osztás és az áramosztás értelmezése

9.5.3. A szuperpozíció módszere komplex formalizmus esetén Komplex formalizmus esetén is alkalmazható a szuperpozíció módszere, azzal a megkötéssel, hogy a feszültségforrások, az áramforrások, valamint a komplex impedanciák feszültségeinek és áramainak komplex csúcsértékeire alkalmazható. A 9.17 ábrán látgató áram- és feszültségforrásokat valamint impedanciákat tartalmazó hálózatban a Z t terhelő impedancia feszültsége az egyes források által a keltett feszültségek komplex csúcsértékeinek algebrai összege, Uˆ = Uˆ ′ + Uˆ ′′ .

(9.57)

286


9.17. ábra. A szuperpozíció módszer alkalmazása

9.5.4. Helyettesítő generátorok elve komplex formalizmus esetén A helyettesítő generátorok elve a komplex formalizmus esetén is alkalmazható a komplex csúcsértékek figyelembe vételével. A 9.18a ábrán látható hálózat az A-B pólusokra (kapcsokra) helyettesíthető egy Thevenin generátorral (9.18b ábra) vagy egy Norton helyettesítő generátorral (9.18c ábra)

a)

b)

c)

9.18. ábra. a) A hálózat és b) Thevenin, c) Norton helyettesítő képe

A rezisztív hálózatokhoz hasonlóan a helyettesítő generátorok elve csak akkor alkalmazható, ha az A-B pólusok azonos terhelése mellett azokon azonos áramok folynak, ill. feszültségek lépnek fel. A Thevenin helyettesítő kép forrásfeszültségének Uˆ T komplex csúcsértéke és a Z b belső impedancia meghatározásához a pólusáram-pólusfeszültség közti kapcsolat ad segítséget


Uˆ = Z b Iˆ + Uˆ T .

287

(9.58)

Ha az eredeti hálózatot és helyettesítő generátorhoz tartozó hálózatot is szakadással (üresjárási állapot) ( Z t = ∞ , Iˆ = 0 ) zárjuk le, akkor az eredeti hálózat A-B pólusain megjelenő feszültség az Uˆ üresjárási feszültség megegyezik a helyettesítő generátor üj

A-B pólusain megjelenő Uˆ T feszültséggel, Iˆ = 0, Uˆ üj = Uˆ T .

(9.59)

Ha azonban az A-B pólusokat rövidzárral zárjuk le ( Uˆ = 0 ), a pólusokon az Iˆrz rövidzárási áram folyik. Minthogy a helyettesítő generátor esetén a Z b belső Uˆ impedancia a (9.58) összefüggésből Z b = − T , az eredeti hálózatban pedig mivel az Iˆrz Uˆ feszültség azonos az Uˆ üresjárási feszültséggel , így a Thevenin helyettesítő T

üj

generátor belső impedanciája a pólusmennyiségek referencia iránya mellett megegyezik az eredeti hálózatban az üresjárási feszültség és a rövidzárási áram hányadosának minusz egyszeresével, Uˆ üj Uˆ . Zb = − T = − Iˆrz Iˆrz

(9.60)

Hasonló módon a Norton helyettesítő kép forrásáramának IˆN komplex csúcsértéke és a Z b belső impedancia meghatározásához most is a pólusáram-pólusfeszültség közti kapcsolat ad segítséget Uˆ Iˆ = + IˆN . Zb

(9.61)

Ha az eredeti hálózatot és helyettesítő generátorhoz tartozó hálózatot rövidzárral ( Z t = 0 , Uˆ = 0 ) zárjuk le, akkor az eredeti hálózat A-B pólusain megjelenő Iˆrz rövidárási áram megegyezik a helyettesítő generátor A-B pólusain megjelenő Iˆ N

forrásárammal,

288


Uˆ = 0, Iˆrz = IˆN .

(9.62)

Ha azonban az A-B pólusokat szakadással zárjuk le ( Iˆ = 0 ), a pólusokon az Uˆ üj üresjárási feszültség lép fel. Minthogy a helyettesítő generátor esetén a Z b belső Uˆ üj impedancia a (9.61) összefüggésből Z b = − , az eredeti hálózatban pedig mivel az IˆN Iˆ áram azonos az Iˆ rövidárási árammal, így a Norton helyettesítő generátor belső N

rz

impedanciája a pólusmennyiségek referencia iránya mellett megegyezik az eredeti hálózatban az üresjárási feszültség és a rövidzárási áram hányadosának minusz egyszeresével, Zb = −

Uˆ üj Uˆ üj . =− Iˆ Iˆ N

(9.63)

rz

9.5.5. Csatolt tekercsek és a komplex formalizmus A szinuszos áramú hálózatoknál az eddig megismert eljárások alkalmazása mellett érdemes megnézni néhány speciális hálózat számítási eljárását a komplex formalizmus alkalmazása esetén. Ezek közé tartoznak a csatolt tekercsek esete is. Mint ahogy azt a 6.3.6 pontban láttuk a 9.19 ábrán látható két csatolt tekercs feszültsége az időtartományban di di u1 = L1 1 + M 2 , dt dt di di u2 = M 1 + L2 2 , dt dt

(9.64)

9.19. ábra. A csatolt tekercs és a kölcsönös indukció együttható

ahol a tekercseken elhelyezett pont azt jelöli, hogy ha a tekercsek árama a ponttal jelölt pólusokon folyik be, az M kölcsönös indukció értéke pozitív, míg, ha az egyik tekercs


289

árama ellenkező irányúra fordul, azaz az egyik tekercs árama a ponttal, a mások tekercs árama a pont nélküli pólusokon folyik be az M kölcsönös indukció előjele negatívra vált. Időben szinuszosan változó áramot feltételezve és a komplex írásmódot alkalmazva, továbbá figyelembe véve, hogy a csatolt tekercs is egy lineáris invariáns, kauzális komponens, a (9.64) pólusfeszültségek

{} { } d u (t ) = Re{Uˆ }= M Re{Iˆ e ω }+ L dt

{

}

d d u1 (t ) = Re Uˆ1 = L1 Re Iˆ1e jωt + M Re Iˆ2e jωt , dt dt 2

2

1

j t

{

}

d Re Iˆ2e jωt , 2 dt

(9.65)

komplex csúcsértékei a következő alakban adhatók meg Uˆ1 = jωL1Iˆ1 + jωMIˆ2 ,

(9.66)

Uˆ 2 = jωMIˆ1 + jωL2 Iˆ2 .

9.5.6. Kiegyenlített hídkapcsolás A komplex formalizmus alkalmazása esetén érdemes áttekinteni a hídkapcsolások, köztük a 9.20 ábrán látható Wheaston híd kiegyenlítésének feltételeit.

9.20. ábra. A Wheaston híd kiegyenlítése

Mint ismeretes a Wheaston híd egyik, pl. a Z1 impedancia változtatása mellett meghatározható valamely ágban, pl. Z 4 impedancia értéke. A Z1 impedancia értékét addig változtatva, amíg a galvanométer Iˆ árama nulla lesz, a híd kiegyenlített lesz. G

290


Ekkor az Z1, Z 2 , ill. a Z 3 , Z 4 impedanciák árama azonos, azaz azok sorba kapcsolódnak IˆG = 0, Iˆ1 = Iˆ2 , Iˆ3 = Iˆ4 .

(9.67)

Mivel kiegyenlített állapotban a galvanométeren nem folyik áram, így a feszültsége is nulla, Uˆ G = 0 . Ekkor a Z1, Z 3 , ill. a Z 2 , Z 4 impedanciák feszültsége azonos lesz, azaz az impedanciák párhuzamosan kapcsolódnak Uˆ G = 0, Z1Iˆ1 = Z 3 Iˆ3 , Z 2 Iˆ2 = Z 4 Iˆ4 .

(9.68)

A (9.68) összefüggés második és harmadik tagját elosztva (9.67) második és harmadik tagjával, valamint némi rendezés után a híd kiegyenlítésének feltétele Z1Z 4 = Z 2 Z 3 ,

(9.69)

azaz a hídágak szemközti impedanciáinak szorzata egyenlő. i) Feltételezve, hogy a hídkapcsolás impedanciái algebrai alakban vannak megadva, Z k = Re{Z k }+ j Im{Z k } = Rk + jX k , k = 1, L ,4,

(9.70)

a hídkapcsolás kiegyenlítésének feltétele

(R1 + jX1 )(R4 + jX 4 ) = (R2 + jX 2 )(R3 + jX 3 ) ,

(9.71)

akkor és csak akkor áll fenn, ha az egyenlőség a valós és a képzetes részekre különkülön fennáll, azaz R1R4 − X1 X 4 = R2 R3 − X 2 X 3 ,

(9.72)

X1R4 + R1 X 4 = X 2 R3 + R2 X 3 ,

csatolt egyenletből a keresett meghatározható.

Z4

impedancia rezisztenciája és reaktanciája

ii) Ha azonban a hídkapcsolás impedanciái exponenciális alakban ismertek, Z k = Z k e ρ k , k = 1, L ,4,

(9.73)


291

akkor a hídkapcsolás kiegyenlítésének feltétele Z1e ρ1 ⋅ Z 4e ρ 4 = Z 2e ρ 2 ⋅ Z 3e ρ 3

(9.74)

a szemközti impedanciák abszolút értékeinek szorzatára, valamint a szemközti impedanciák szögeinek összegére vonatkozik, Z1 ⋅ Z 4 = Z 2 ⋅ Z 3 , ρ1 + ρ 4 = ρ 2 + ρ3 ,

(9.75)

ahonnan a keresett impedancia szintén meghatározható.

9.5.7. Rezgőkörök i) A soros rezgőkör A 9.21 árán látható soros rezgőkör impedanciája és annak exponenciális alakja Z = R + jωL +

2

1 1 ⎞ jρ ⎛ = R 2 + ⎜ ωL − ⎟ e , jωC ωC ⎠ ⎝

⎛⎛ 1 ⎞ ⎞ ahol ρ = arctg ⎜⎜ ⎜ ωL − ⎟ R⎟ . ωC ⎠ ⎟⎠ ⎝⎝

9. 21. ábra. A soros rezgőkör komponensei

9.22. ábra. A soros rezgőkör impedanciájának frekvencia függése

(9.76)

292


Megvizsgálva a soros rezgőkör impedanciájának frekvencia függését (9.22 ábra), azt tapasztaljuk, hogy ha az impedancia imaginárius része nullává válik, és ekkor az impedancia minimális abszolút értéket vesz fel. Amikor a soros rezgőkör impedanciájának imaginárius része minimális rezonancia áll fenn,

{}

Im Z = ωL −

1 =0, ωC

(9.77)

ahonnan a rezonancia frekvencia

ω0 =

1

LC

.

(9.78)

Fazorábrán ábrázolva a rezonancia előtti, a rezonancia és a rezonancia utáni frekvencián a áram és a feszültség fazorokat (9.23 ábra), az tapasztalható, hogy rezonancia frekvenciánál kisebb frekvencián a kondenzátor feszültsége nagyobb, mint a tekercsé, így a hálózat impedanciája kapacitív jellegű. Rezonancia frekvencián a kondenzátor feszültsége megegyezik a tekercs feszültségével, így a hálózat formálisan rezisztenciaként viselkedik. Rezonancia frekvenciánál nagyobb frekvencián pedig a tekercs feszültsége válik dominánsá a kondenzátoron megjelenő feszültséghez képest, azaz a hálózat induktív tulajdonságokat mutat.

9.23. ábra. A soros rezgőkör fazorábrája különböző frekveciákon

A soros rezgőkörön folyó áram (9.24 ábra) Iˆ =

Uˆ R + jωL + 1 jωC

(9.79)

kis frekvenciákon a kondenzátor hatásának megfelelően kicsi, nagy frekvenciákon a tekercs hatásának megfelelően szintén kicsi, míg rezonancia frekvencián a rezgőkör


293

rezisztív jellegű, árama maximális értékű, továbbá a soros rezgőkör árama és pólusfeszültsége fázisban van.

9.24. ábra. A soros rezgőkör áramának frekvencia függése

ii) A párhuzamos rezgőkör Ideális párhuzamos rezgőkör esetén a hálózat komponensei párhuzamosan kapcsolódnak (9.25 ábra).

9.25. ábra. Az ideális párhuzamos rezgőkör

A párhuzamos rezgőkör admittanciája Y =

1 1 1 ⎞ ⎛ + + jωC = G + j ⎜ ωC − ⎟. ωL ⎠ R jωL ⎝

(9.80)

Az a frekvencia, amelyen az admittancia imaginárius része nullává válik rezonancia frekvenciának tekinthető, Im{Y } = 0, ωC −

1 = 0, ω0 = ωL

1

LC

A rezonancia feltételéből következik, hogy

.

(9.81)

294


⎛ 1 ⎞ ⎟=0, Iˆ1 = Uˆ ⎜⎜ jωC + ω j L ⎟⎠ ⎝

(9.82)

azaz a főág Iˆ árama az R ellenálláson keresztül záródik, míg az Iˆ1 áram nulla lesz. Ez azt jelenti, hogy a tekercsen és a kondenzátoron folyó áramok egyenlők és ellenkező előjelűek, azaz az L − C elemeken egy zárt áramkör alakul ki, Uˆ jωC = −Uˆ

1 ≠ 0, IˆC = − IˆL ≠ 0 . jωL

(9.83)

9.6. A teljesítmény Időben szinuszosan változó áram, ill. feszültség esetén többféle teljesítmény definiálható.

9.26. ábra. A komponens árama és feszültsége

9.27. ábra. A komponenses árama és a feszültsége

Legyen a 9.26 ábrán látható komponens feszültsége u (t ) = Uˆ cos(ωt + ρ ) ,

(9.84)


295

és árama késsen a ϕ fázisszöggel a feszültéghez képest (9.27 ábra) i(t ) = Iˆ cos(ωt + ρ − ϕ ) .

(9.85)

9.6.1. A pillanatnyi teljesítmény A komponens teljesítményének, a pillanatnyi teljesítménynek időfüggvénye p(t ) = u (t ) ⋅ i(t ) = UÎˆ cos(ωt + ρ ) cos(ωt + ρ − ϕ ) .

(9.86)

Alkalmazva a két szög összegének és különbségének coszinuszára vonatkozó összefüggést, cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β , ahol α = ωt + ρ , β = ωt + ρ − ϕ , a két szög különbségéből egy időtől független, míg a két szög összegéből kétszeres körfrekvenciával lengő komponensre bontható a pillanatnyi teljesítmény, ahogy az a 9.28 ábrán látható, p(t ) =

UÎˆ UÎˆ cos ϕ + cos(2ωt + 2 ρ − ϕ ) . 2 2

(9.87)

9.28. ábra. A pillanatnyi teljesítmény időfüggése

A kétpólus által t1, t 2 időintervallum alatt végzett munka t2

W (t1, t2 ) = ∫ p(t )dt t1

UÎˆ UÎˆ sin (2ωt2 + 2 ρ − ϕ ) − sin (2ωt1 + 2 ρ − ϕ ) cos ϕ ⋅ (t 2 − t1 ) + = . 2 2 2ω

(9.88)

296


Figyelembe véve, hogy t 2 − t1 >> T , a második tört maximális értéke

2 T = 2 ⋅ 2π T 2π

lesz, és így a t1, t 2 időintervallum alatt végzett munka kifejezésében a második tag elhanyagolható.

9.6.2. A hatásos teljesítmény A pillanatnyi teljesítményre ritkán van szükség, helyette a hatásos teljesítményt használjuk, amely a periodikusan változó pillanatnyi teljesítmény egy periódusra vett átlagértéke P=

1T UÎˆ cos ϕ ∫ p(t )dt = 2 T 0

[P] = W .

(9.89)

A pillanatnyi és a hatásos teljesítmény mértékegysége a watt, jele: W.

9.6.3. A látszólagos teljesítmény és a teljesítménytényező A látszólagos teljesítmény az áram és a feszültség csúcsértékeinek szorzatának a fele, S=

UÎˆ , 2

[S ] = VA .

(9.90)

9.29. ábra. A pillanatnyi teljesítmény a hatásos teljesítmény körül a látszólagos teljesítmény amplitúdójával leng, kétszeres körfrekvenciával leng

A látszólagos teljesítmény a pillanatnyi teljesítmény lengő összetevőjének a csúcsértéke, (9.29 ábra). A (9.87) összefüggésből látható, hogy a pillanatnyi teljesítmény a P − S ≤ p(t ) ≤ P + S intervallum között változik.


297

A látszólagos teljesítményhez nem kapcsolódik munkavégzés. A pillanatnyi teljesítmény egy másik jellemzője a teljesítménytényező, a cos ϕ , ahol

ϕ az áram és a feszültség közti szög, az impedancia szöge, cos ϕ =

P , 0 ≤ cos ϕ ≤ 1 . S

(9.91)

Minthogy induktív hálózatok esetén a feszültség siet az áramhoz képest, (9.30.a ábra) az áram és feszültség közti szög 0 ≤ ϕ ≤ 90o , így a teljesítménytényező pozitív, azaz cos ϕ > 0 , míg kapacitív hálózatok esetén a feszültség késik az áramhoz képest, (9.30.b ábra) az áram és feszültség közti szög − 90o ≤ ϕ ≤ 0 , a teljesítménytényező azonban pozitív, azaz cos ϕ > 0 . Ekkor a fogyasztót induktív, ill. kapacitív fogyasztónak hívjuk.

a)

b) 9.30. ábra. a) Induktív, b) kapacitív fogyasztó

9.6.4. A meddő teljesítmény A (9.87) pillanatnyi teljesítmény második tagját két szög különbségének coszinuszára vonatkozó cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β kifejezés felhasználásával átalakítva, ahol α = 2ωt + 2 ρ , β = ϕ , a következő kifejezést kapjuk,

298


p(t ) =

UÎˆ UÎˆ [cos(2ωt + 2ρ ) cos ϕ + sin(2ωt + 2ρ )sin ϕ ] . cos ϕ + 2 2

(9.92)

A fenti kifejezést szétbontva a cos ϕ , ill. a sin ϕ együtthatóira, a pillanatnyi teljesítmény két komponensre bontható (9.31 ábra)

p(t ) =

UÎˆ UÎˆ cos ϕ [1 + cos(2ωt + 2 ρ )] + sin ϕ sin (2ωt + 2 ρ ) . 2 2

(9.93)

UÎˆ cos ϕ [1 + cos(2ωt + 2 ρ )] , a P 2 hatásos teljesítmény körül a 0 − 2 P érték között változik, ennek egy periódusra vett átlagértéke a munkavégzéssel arányos hatásos teljesítmény. A második tag UÎˆ sin ϕ sin (2ωt + 2 ρ ) , amelynek egy periódusra vett átlagértéke nulla, azaz p′′(t ) = 2 munkát átlagosan nem végez. Ennek a tagnak az amplitúdója a Q meddő teljesítmény, A pillanatnyi teljesítmény első tagja, a p' (t ) =

Q=

UÎˆ sin ϕ , 2

[Q] = var ,

(9.94)

amely egy lengő teljesítmény.

9.31. ábra. A pillanatnyi teljesímény komponensei

9.6.5. A komplex teljesítmény Minthogy állandosult állapotban a szinuszos gerjesztésre adott választ a komplex formalizmus segítségével határozzuk meg, így célszerűnek tünik a teljesítmény komponenseket is a komplex formalizmus keretében definiálni.


299

Tekintsük a 9.32. ábrán látható Z impedancia (9.84) feszültségének és (9.85) áramának komplex csúcsértékeit Uˆ = Uê jρ , Iˆ = Iê j (ρ −ϕ ) ,

(9.95)

ahol az impedancia Z =

Uˆ Uˆ jϕ = e . Iˆ Iˆ

(9.96)

9.32. ábra. A komplex impedancia árama és feszültsége

A komplex teljesítmény magában foglalja a hatásos és a meddő teljesítményt is, S=

1 ˆ ˆ * 1 ˆ ˆ jϕ 1 ˆ ˆ 1 U I = UIe = UI cos ϕ + j UÎˆ sin ϕ = P + jQ, 2 2 2 2

[S ] = VA ,

(9.97)

ahol a * az áram komplex konjugáltját jelöli. Figyelembe véve, hogy a feszültség komplex csúcsértéke Uˆ = Z Iˆ , továbbá, az impedancia rezisztenciáját és reaktanciáját alkalmazva a komplex teljesítmény 2 1 2 1 1 1 S = Uˆ Iˆ* = Z IÎˆ* = Z Iˆ = (R + jX ) Iˆ = P + jQ , 2 2 2 2

(9.98)

ahol a hatásos teljesítmény a komplex teljesítmény valós része, míg a meddő teljesítményt a komplex teljesítmény imaginárius része adja,

{}

P = Re S =

2 1 ˆ2 1 R I [W ], Q = Im S = X Iˆ [var] , 2 2

{}

(9.99)

azaz a határos teljesítmény az ellenálláson keletkezik, míg a meddő teljesítményt a reaktancia termeli. Meg kell jegyezni, hogy a komplex teljesítmény baszolut értéke a látszólagos teljesítményt adja,

300


S = S [VA ] .

(9.100)

9.6.6. Teljesítményillesztés Szinuszos gerjesztésű hálózatoknál is fontos szerepet játszik a teljesítményillesztés problémája. Tekintsük a 9.33 ábrán látható hálózatot és annak Thevenin helyettesítő képét, amelyet Z f = R f + jX f fogyasztóval terhelünk.

9.33. ábra. A fogyasztóval terhelt hálózat és Thevevin helyettesítő képe

Figyelembe véve, hogy a Thevevin helyettesítő kép belső impedanciája rezisztenciát és reaktanciát is tartalmaz, Z b = Rb + jX b , a fogyasztón fellépő hatásos teljesítmény a következő alakban fejezhető ki, 2 2 Uˆ ˆ U 1 1 1 Pf = R f Iˆ = R f = Rf . Zb + Z f 2 2 2 Rb + R f 2 + X b + X f 2 2

(

) (

)

(9.101)

A fogyasztó által felvett teljesítmény maximális, ha a fenti kifejezésben a nevező minimális. A nevező csökkenthető, ha az impedanciákból származó reaktanciákat tartalmazó tag eltűnik, azaz X b + X f = 0,

X f = −Xb .

(9.102)

A fenti feltétel tejesülése esetén a fogyasztón fellépő teljesítmény

P f ==

2 Uˆ

1 Rf 2 Rb + R f 2

(

)

(9.103)

kifejezése megegyezik a rezisztív hálózatoknál kapott kifejezéssel, ahonnan a teljesítményillesztés feltétele a szélsőérték számítási feladat


dPf dR f

=0

301

(9.104)

megoldásából R f = Rb .

(9.105)

Tehát szinuszos gerjesztésű hálózat állandosult állapotában a teljesítményillesztés esete akkor áll fenn, ha Z f = R f + jX f = Rb − jX b = Z b* ,

(106)

a terhelő impedancia a belső impedancia komplex konjugáltja. Ez azt jelenti, hogy ha a hálózat induktív jellegű, akkor teljesítményillesztéshez a terhelést kapacitív jellegűnek kell választani, míg kapacitív hálózat esetén a teljesítményillesztés induktív terheléssel érhető el. Teljesítményillesztés esetén a fogyasztó által felvett maximális teljesítmény (9.103) alapján 2 Uˆ 1 T Pf = , max 2 4 Rb

(9.107)

ill. Norton helyettesítő kép esetén 2 Rb IˆN 1 Pf = . max 2 4

(9.108)

9.7. Gyakorló feladatok 9.7.1. Feladat

(

)

Egy feszültség valós időfüggvénye u (t ) = 15 cos ωt + 30o V . Adja meg a jel komplex csúcsértékét.

302


Megoldás Mivel a valós időfüggvény a reláis része az

{

}

u (t ) = 15 cos ωt + 30o V = Re 15e j (ωt + 30o ) V komplex időfüggvénynek, az időtől függő e jωt forgató fazor leválasztása után a komplex csúcsérték Uˆ = 15e j 30o V = 15 cos 30o + j sin 30o = (12,9904 + j7,5000 ) V .

(

)

(

)

9.7.2. Feladat Valamely feszültség komplex csúcsértékének algebrai alakja Uˆ = (− 5 + j 3) V . Adja meg a jel valós időfüggvényét. Megoldás A komplex csúcsértéket exponenciális alakjának meghatározása ⎛ 3 ⎞ jarctg ⎜ ⎟ +π ˆ 2 2 ⎝ −5 ⎠ U = (− 5 ) + (3) e = 5,83e j149 o V után a valós időfüggvény

(

)

u (t ) = 5,83 cos ωt + 149o V lesz.

9.7.3. Feladat Egy dinamikus elem áramának és feszültségének valós időfüggvénye i(t ) = 1,5 cos ωt A ,

(

)

u (t ) = 24 cos ωt − 30o V . Határozza meg az áram és a feszültség komplex csúcsértékét.

Megoldás Minthogy az áram valós időfüggvényének nincs kezdőfázisa, azaz i(t ) = 1,5 cos ωt A = Re 1,5e jωt A , az áram komplex csúcsértéke Iˆ = 1,5 A . A

{ } feszültség u (t ) = 24 cos(ωt − 30o ) V = 24e j (ωt −30o ) V , a komplex csúcsértéke Uˆ = 24e − j 30o = (20,7846 − j12,0000) V .

9.7.4. Feladat Két feszültség valós időfüggvénye u1 (t ) = (20 sin ωt − 10 cos ωt ) V , u2 (t ) = (30csωt − 10 sin ωt ) V . Határozza meg a) a feszültségek komplex csúcsértékeit, b) a két feszültség összegének komplex csúcsértékét, valamint valós időfüggvényét,


303

c) a két feszültség különbségének komplex csúcsértékét, valamint valós időfüggvényét. Megoldás a) Minthogy a sin ωt a komplex időfüggvénynek az imaginárius tengelyre eső vetülete, a valós időfüggvény reális része akkor lesz sin ωt lefolyású, ha a valós tengely irányában forgatjuk, azaz megszorozzuk e − j π 2 -lel, azaz

{

} {

}

sin ωt = Re e jωt ⋅ e − j 90o = Re − je jωt = − j (cos ωt + j sin ωt ) = sin ωt − j cos ωt . Az előző összefüggés figyelembe vételével az u1 (t ) = (20 sin ωt − 10 cos ωt ) V feszültség a következő kifejezésnek reális része lesz u1 (t ) = (20 sin ωt − 10 cos ωt ) = Re − j 20e jωt − 10e jωt = Re (− j 20 − 10)e jωt , ahonnan a komplex csúcsérték Uˆ = (− j 20 − 10 ) V .

{

}

{

}

1

Hasonló elvek alapján az u2 (t ) = (30csωt − 10 sin ωt ) V valós időfüggvény u2 (t ) = (30csωt − 10 sin ωt ) = Re 30e jωt − − j10e jωt = Re (30 + j10)e jωt V , ahonnan a komplex csúcsérték Uˆ = (30 + j10) V .

{

(

)}

{

}

2

b) A két feszültség összege a komplex csúcsértékek összegével állítható elő, ˆ U 3 = Uˆ1 + Uˆ1 = (− j 20 − 10) + (30 + j10 ) = (20 − j10 ) = 22,3607e − j 26,5651o V . A két feszültség összegének valós időfüggvénye az Uˆ komplex csúcsérték exponenciális

3 o j ωt − j 26 , 5651 e = 22,3607 cos ωt − 26,5651o V . alakjából u3 (t ) = Re 22,3607e

(

)

(

)

c) A két feszültség különbségének komplex csúcsértéke ˆ U 4 = Uˆ 1 − Uˆ 2 = (− 10 − j 20 ) − (30 + j10 ) = (− 40 − j 30 ) = 50 e − j143 ,1301 o V , a két feszültség különbségének valós időfüggvénye pedig u4 (t ) = Re 50e − j143,1301o e jωt = 50 cos ωt − 143,1301o V .

{

}

(

)

9.7.5. Feladat A 9.34 ábrán látható L = 3 mH indukció együtthatójú tekercs feszültségének valós időfüggvénye u L (t ) = 10 cos ωt V , ω = 4 krad s .

9.34. ábra. A tekercs

304


Határozza meg a tekercs áramának komplex csúcsértékét és valós időfüggvényét. Megoldás A komplex formalizmust alkalmazva a tekercs feszültségének komplex csúcsértéke ˆ U L = 10 V , a tekercs impedanciája Z L = jωL = j 4 ⋅ 103 ⋅ 3 ⋅ 10 −3 = j12 Ω . Az áram ˆ ˆ komplex csúcsértéke I L = U L Z L = 10 j12 = − j 0 ,8333 = 0,83333 e − j π 2 A , a tekercs áramának valós időfüggvénye iL (t ) = Re 0,83333e − j π 2e jωt = 0,8333 cos ωt − 90o A .

{

}

(

)

9.7.6. Feladat A 9.35 ábrán látható C = 2,5 µF kapacitású kondenzátor áramának valós időfüggvénye iC (t ) = 0,10 cos ωt A , ω = 400 krad s . Határozza meg a kondenzátor feszültségének komplex csúcsértékét és valós időfüggvényét.

9.35. ábra. A kondenzátor

Megoldás A komplex formalizmust alkalmazva a kondenzátor áramának komplex csúcsértéke Î = 0,10 A , a kondenzátor impedanciája C Z C = 1 jωC = 1 j 400 ⋅ 1032,5 ⋅ 10 −6 = − j1 Ω . A kondenzátor feszültségének komplex csúcsértéke Uˆ = Z Iˆ = 0,1 ⋅ (− j1) = − j 0,1 = 0,1e − j π 2 V , a kondenzátor C

C C

{

}

(

)

feszültségének valós időfüggvénye uC (t ) = Re 0,1e − j π 2e jωt = 0,1 cos ωt − 90o V .

9.7.7. Feladat Az 9.36 ábrán látható hálózatban a soros R − L körben az ellenállás értéke

R = 3 Ω , a tekercs reaktanciája X L = ωL = 3 Ω . Az u s (t ) forrásfeszültség valós időfüggvénye u s (t ) = 10 cos ωt V . Határozza meg a tekercs áramának komplex csúcsértékét és valós időfüggvényét.


305

9.36. ábra. A soros R-L kör Megoldás A komplex formalizmust alkalmazva a forrásfeszültség komplex csúcsértéke ˆ U = 10 V . Az ellenállás impedanciája Z R = 3 Ω , a tekercs impedanciája Z L = j ωL = j 3 Ω . A tekercs áramának komplex csúcsértéke Uˆ s 10 10 5 5 − j 30 o IˆL = = = = = e A , az áram o j 30 ZR + ZL 3 + j 3 arctg 3 3 j 3 3e 12e

(

)

(

)

⎧ 5 − j 30o jωt ⎫ 5 e e cos ωt − 30o A . valós időfüggvénye iL (t ) = Re⎨ ⎬= 3 ⎩ 3 ⎭

9.7.8. Feladat Határozza meg az 9.37 ábrán látható hálózatban a kondenzátor feszültségének komplex csúcsértékét és valós időfüggvényét, ha a feszültségforrás forrásfeszültségének valós időfüggvénye u s (t ) = 15 cos ωt V , az ellenállás R = 3 Ω és a kondenzátor reaktanciája 1 ωC = 4 Ω .

9.37. ábra. A soros R − C hálózatban a kondenzátor feszültsége

Megoldás A komplex formalizmust alkalmazva a forrásfeszültség komplex csúcsértéke ˆ U s = 15 V . Az ellenállás impedanciája Z R = 3 Ω , a kondenzátor impedanciája 1 ZC = = − j 4 Ω . A feszültségosztás felhasználásával a kondenzátor feszültségének jωC

306


komplex csúcsértéke

Uˆ C = Uˆ s

ZC − j4 60 e − j 90 o = 15 = = 12 e − j 36,87 o V , a o Z R + ZC 3 − j 4 5e − j 53,13

kondenzátor feszültségének valós időfüggvénye

{

}

(

)

uC (t ) = Re 12e − j 36,87 o e jωt = 12 cos ωt − 36,87 o V .

9.7.9. Feladat Határozza meg az 9.38 ábrán látható hálózatban az ellenállás feszültségének komplex csúcsértékét, ha a feszültségforrás forrásfeszültségének valós időfüggvénye 1 u (t ) = 12 cos ωt V , és R = 5 Ω , X L = ωL = 10 Ω , X C = = 5Ω . ωC

9.38. ábra. A hálózat

Megoldás A komplex írásmód alkalmazásával a feszültségforrás forrásfeszültségének komplex csúcsértéke Uˆ = 12 V , az ellenállás impedanciája Z = 5 Ω , a tekercs impedanciája s

R

1 = − j5 Ω . jωC A feszültségosztás összefüggésének alkalmazásával az ellenállás feszültségének komplex csúcsértéke Z L × (Z R + Z C ) 5 ZR j10 × (5 − j 5) = 12 Uˆ R = Uˆ s 10 + j10 × (5 − j 5) 5 − j 5 Z 2 R + Z L × (Z R + Z C ) Z R + Z C Z L = jX L = jωL = j10 Ω , a kondenzátor impedanciája Z C = − jX C =

= 12

10 5 6 6 j 45o = = e V. 20 5 − j 5 1 − j 2

9.7.10. Feladat Határozza meg az 9.39 ábrán látható hálózatban az ellenállás áramának komplex csúcsértékét exponenciális alakban, ha az áramforrás forrásáramának valós időfüggvénye is (t ) = 4 cos ωt A , és R = 3 Ω , 1 ωC = 6 Ω .


307

9.39. ábra. A hálózat képe

Megoldás A komplex írásmód alkalmazásával az áramforrás áramának komplex csúcsértéke Î = 4 A . Az áramosztás összefüggését alkalmazva a keresett áram komplex s csúcsértéke 1 2R + 6 − j6 jωC IˆR = Iˆs =4 = (3,0769 − j 0,6154) A = 3,1379e − j11,3099 o A . 9 − j6 ⎛ 1 ⎞ ⎟ R + ⎜⎜ 2 R + jωC ⎟⎠ ⎝

9.7.11. Feladat Határozza meg a 9.40 ábrán látható hálózatban az 2R-L elemek feszültségének Uˆ komplex csúcsértékét exponenciális alakban, ha a feszültségforrás forrásfeszültsége u s (t ) = 32 cos ωt V és R = 3 Ω , ωL = 6 Ω .

9.40. ábra. A hálózat az L-2R elemek feszültségével

Megoldás A komplex írásmód alkalmazásával a feszültségforrás feszültségének komplex csúcsértéke Uˆ = 32 V . A feszültségosztás összefüggését alkalmazva a keresett elemek s

feszültségének komplex csúcsértéke 2 R + jωL 6 + j6 Uˆ = Uˆ s = 32 = (24,6154 + j 4,9231) V = 25,1029e j11,3099o V . R + (2 R + jωL ) 9 + j6

308


9.7.12. Feladat Határozza meg az 9.41 ábrán látható hálózatban az R-C elemek feszültségének Uˆ komplex csúcsértékét, ha a feszültségforrás feszültsége u s (t ) = 36 cos ωt V és R = 4 Ω , 1 ωC = 8 Ω .


Megoldás A komplex írásmód alkalmazásával a feszültségforrás feszültségének komplex csúcsértéke Uˆ s = 36 V . A feszültségosztás összefüggését alkalmazva a keresett elemek feszültségének komplex csúcsértéke 1 R+ 4 − j8 + j 6 ω j C Uˆ = Uˆ s = 36 1 12 − j8 2R + R + jωC = (19,3846 − j11,0769 ) V = 22,3263e − j 29,7449 o V.

9.7.13. Feladat Határozza meg az 9.42 ábrán látható hálózatban az ellenállás áramának komplex csúcsértékét exponenciális alakban, ha az áramforrás árama is (t ) = 4,8 cos ωt A és R = 3 Ω , ωL = 9 Ω .



309

Megoldás A komplex írásmód alkalmazásával az áramforrás áramának komplex csúcsértéke Î = 4,8 A . Az áramosztás összefüggését alkalmazva a keresett áram komplex s csúcsértéke 2 R + jωL 6 + j9 IˆR = Iˆs = 4,8 = (4,0000 + j 0,8000 ) A = 4,0792e j11,3099o A . R + 2 R + jωL 9 + j9

9.7.14. Feladat A 9.43 ábrán látható hálózat gerjesztése u s (t ) = 28 cos ωt . Határozza meg az R ellenállás feszültségének komplex csúcsértékét algebrai alakban, ha R = 3 kΩ és 1 ωC = 3 kΩ .

9.43. ábra. A hálózat rajza

Megoldás A komplex írásmód alkalmazásával a gerjesztés komplex csúcsértéke Uˆ s = 28 V . A feszültségosztás alkalmazásával az R ellenállás feszültségének komplex csúcsértéke 1 R× 3 × (− j 3) jωC = 28 Uˆ R = Uˆ s 1 6 + 3 × (− j 3) 2R + R × jωC = (6,4615 − j 4,3077 ) V = 7,7658e −33,6901 V.

9.7.15. Feladat A 9.44 ábrán látható hálózat gerjesztése is = 3 cos ωt A . Határozza meg a kondenzátor feszültségének komplex csúcsértékét algebrai alakban, ha R = 3 Ω , 1 ωC = 6 Ω .

310



Megoldás A kondenzátor feszültsége az áramosztás alapján R 1 3 ˆ (− j 6) = (2,7692 − j 4,1538) V . U C = Iˆs =3 R + 2 R + 1 jωC jωC 9 − j6

9.7.16. Feladat Határozza meg a 9.45 ábrán látható hálózatban a tekercs áramának komplex csúcsértékét exponenciális alakban, ha u s (t ) = 15 cos ωt − 30o V , is (t ) = 3 cos ωt A , és R = 5 Ω , ωL = 10 Ω , 1 ωC = 5 Ω .

(

)


Megoldás A tekercs árama a szuprpozició elve alapján Uˆ s 1 jωC 5 ⋅ (− j 5) − 15e − j 30o IˆL = Iˆs − = R + jωL + 1 jωC R + jωL + 1 jωC 5 + j5 = −5,0321 + j 0,0321 = 5,0322e j179,6341o A .


311

9.7.17. feladat Határozza meg a 9.46 ábrán látható hálózat AB kapcsira vonatkozó Thevenin helyettesítő képet, ha u s (t ) = 18 cos ωt V , R = 3 Ω , ωL = 6 Ω , 1 ωC = 3 Ω .

, 9.46. ábra. A hálózat

Megoldás A 9.47 ábrán látható Thevenin helyettesítő kép paraméterei az Uˆ T és a Z b , amelyek a hálózat alapján

9.47. ábra. A Thevenin helyettesítő kép

Uˆ T = Uˆ s

Zb = R ×

1 j 6 × (− j 3) jωC = 18 = (14,4000 − j 7,2000) V , 1 ( ) 3 + 6 × − 3 j j R + jωL × jωC 1 jωL × = 3 × j 6 × (− j 3) = (0,9231 + j 1,3846) Ω . jωC jωL ×

9.7.18. feladat Egy Z = (5 + j 3) Ω impedancia árama impedancia hatásos és meddő teljesítményét.

Iˆ = 6e − j 30 o A . Határozza meg az

312


Megoldás A komplex teljesítmény 2 1 1 1 S = P + jQ = Uˆ Iˆ* = Z Iˆ = (5 + j 3)6 2 = (90,0000 + j 54,0000 ) VA , ahonnan a 2 2 2 hatásos teljesítmény P = 90,0000 W és a meddő teljesítmény Q = 54,0000 var .

9.7.19. feladat Egy Y = (3 + j 6 ) S admittancia feszültsége Uˆ = (5 − j 2 ) V . Határozza meg az admittancia hatásos és meddő teljesítményét. Megoldás A komplex teljesítmény 1 1 2 1 S = P + jQ = Uˆ Iˆ* = Uˆ Y * = 52 + 2 2 (3 − j 6 ) = (43,5000 − j87,0000 ) VA , 2 2 2 ahonnan a hatásos teljesítmény P = 43,5000 W és a meddő teljesítmény Q = −87,0000 var .

(

)

9. SZINUSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA

Recommend Documents