36. MEZINÁRODNÍ KONFERENCE HISTORIE MATEMATIKY

36. MEZINÁRODNÍ KONFERENCE

HISTORIE MATEMATIKY PodČbrady, 21. až 25. 8. 2015

Praha

2015 1

konference HM 36 - text.indd 1

1.7.2015 11:36:09

Recenzovali: J. BeþváĜ, M. BeþváĜová, E. Gruszczyk-KolczyĔska, Z. Halas, M. Hykšová, M. Melcer, J. Rataj, A. Slavík, I. Sýkorová, M. Šimša, D. Trkovská, J. Veselý, R. Wolak

Všechna práva vyhrazena. Tato publikace ani žádná její þást nesmí být reprodukována nebo šíĜena v žádné formČ, elektronické nebo mechanické, vþetnČ fotokopií, bez písemného souhlasu vydavatele. © J. BeþváĜ, M. BeþváĜová (ed.), 2015 © MATFYZPRESS, vydavatelství Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy v Praze, 2015

ISBN 978-80-7378-297-9

2


1.7.2015 11:37:44

Vážené kolegynČ, vážení kolegové,

pĜedkládáme vám sborník obsahující texty tĜí vyzvaných pĜednášek, texty delších a kratších sdČlení, které programový výbor obdržel do 1. kvČtna 2015. Všechny pĜíspČvky byly graficky a typograficky sjednoceny.1 ZaĜazen byl též program konference a seznam všech úþastníkĤ, kteĜí se pĜihlásili do 1. þervna 2015. V první þásti sborníku jsou otištČny rozšíĜené texty hlavních pĜednášek, o nČž byli požádáni pĜednášející, kteĜí se dlouhodobČ zabývají matematikou, její historií, vyuþováním a aplikacemi. Ve druhé þásti sborníku jsou publikovány pĜíspČvky jednotlivých úþastníkĤ, které nejsou monotematicky zamČĜeny, neboĢ konference se snaží poskytnout dostateþný prostor k aktivním vystoupením, diskusím a neformálním setkáním všem pĜihlášeným, tj. matematikĤm, historikĤm matematiky, uþitelĤm vysokých i stĜedních škol, doktorandĤm oboru Obecné otázky matematiky a informatiky, studentĤm i všem dalším zájemcĤm o matematiku a její historii. Program letošní konference je pomČrnČ pestrý. VČĜíme, že každý najde témata, která ho zaujmou a potČší, že objeví nové kolegy, pĜátele a spolupracovníky, získá inspiraci, Ĝadu podnČtĤ, motivaci i povzbuzení ke své další odborné práci a svému studiu. Informace o letošní konferenci i o všech pĜedchozích konferencích a letních školách lze najít na adrese http://www.fd.cvut.cz/personal/becvamar/konference/hlavnindex.html.

Martina BeþváĜová a JindĜich BeþváĜ V Praze, v þervnu 2015

1

Jednotlivé pĜíspČvky byly ĜádnČ recenzovány, neprošly však jazykovou korekturou.

3


1.7.2015 11:37:45

SEZNAM ÚýASTNÍKģ

Bálint Vojtech Bálintová Anna Bálintová Dagmar Baštinec Jaromír BeþváĜ JindĜich BeþváĜová Martina Boháþ Pavel Ciesielska Danuta ýižmár Ján Domoradzki Stanisław Durnová Helena Halas ZdenČk Hykšová Magdalena Kalousová Anna Koudela Libor Landsman Bohumil Lengyelfalusy Tomáš Melcer Martin Mészárosová Katarína

Netuka Ivan Otavová Miroslava Pajerová Nikola Pelantová Edita Pogoda Zdzisław Rieþan Beloslav Rieþanová Eva Slavík Antonín Sýkorová Irena ŠtČpánová Martina Trkovská Dana Ulrychová Eva Vacková Petra Vacková VČra Vízek Lukáš Vošický ZdenČk Zamboj Michal Zeman Jan Zuzáková Jana

4


1.7.2015 11:37:45

SEZNAM PěEDNÁŠEK

I. Vyzvané pĜednášky ýižmár J.: Výchova uþitel’ov matematiky na Slovensku v období 1945–2010 Domoradzki S.: Kamienie milowe w nauczaniu matematyki dzieci w Polsce od ostatnich dekad XIX stulecia do ostatnich dekad XX w. Slavík A.: O nČkterých klasických nerovnostech

II. Konferenþní vystoupení Bálint V.: Bola raz jedna konferencia ... Bálintová A.: Príbeh arabských mozaík BeþváĜ J.: Gramovy matice a determinanty BeþváĜová M.: „Akreditace“ matematiky pĜed 77 lety Boháþ P.: Kruhová inverze v NewtonovČ Optice Ciesielska D., Pogoda Z.: Metoda współrzĊdnych w geometrii rzutowej Durnová H.: Teorie pravdČpodobnosti a mravní záležitosti dle Jakuba Bernoulliho Kalousová A.: Fermatova metoda maxim a minim Koudela L.: Mikuláš Kusánský a kvadratura kruhu Mészárosová K.: Benoit Mandelbrot a jeho fraktálna geometria Netuka I.: ZobecnČné limity Otavová M.: Podivná tváĜ geometrie u Jana Caramuela z Lobkovic Rieþan B.: Tibor Neubrunn a slovenská škola teórie miery ŠtČpánová M.: Hans Schneider (1927–2014) Zeman J.: Bolzanova matematická vylepšení

5


1.7.2015 11:37:45

ODBORNÝ PROGRAM KONFERENCE Pátek 21. 8. 2015

Dopolední program 10:30–12:00 Zahájení konference Plenární pĜednáška: ýižmár J.: Výchova uþitel’ov matematiky na Slovensku v období 1945–2010

Odpolední program 14:00–16:00 Konferenþní vystoupení: BeþváĜová M.: „Akreditace“ matematiky pĜed 77 lety BeþváĜ J.: Gramovy matice a determinanty Odpolední program 16:30–18:00 Konferenþní vystoupení: Netuka I.: ZobecnČné limity

Sobota 22. 8. 2015

Dopolední program 9:15–10:30 Konferenþní vystoupení: Mészárosová K.: Benoit Mandelbrot a jeho fraktálna geometria Bálintová A.: Príbeh arabských mozaík Dopolední program 11:00–12:00 Plenární pĜednáška: Domoradzki S.: Kamienie milowe w nauczaniu matematyki dzieci w Polsce od ostatnich dekad XIX stulecia do ostatnich dekad XX w. Odpolední program 14:00–16:00 Konferenþní vystoupení: Bálint V.: Bola raz jedna konferencia ... Diskuse o souþasném stavu a smČĜování naší historie matematiky Odpolední program 16:30–18:00 Osm desetiletí Jána ýižmára 6


1.7.2015 11:37:45

NedČle 23. 8. 2015

Dopolední program 9:15–10:30 Konferenþní vystoupení: Durnová H.: Teorie pravdČpodobnosti a mravní záležitosti dle Jakuba Bernoulliho Koudela L.: Mikuláš Kusánský a kvadratura kruhu Dopolední program 11:00–12:00 Plenární pĜednáška: Slavík J.: O nČkterých klasických nerovnostech

PondČlí 24. 8. 2015

Dopolední program 10:00–12:00 Konferenþní vystoupení: Otavová M.: Podivná tváĜ geometrie u Jana Caramuela z Lobkovic Boháþ P. Kruhová inverze v NewtonovČ Optice

Odpolední program 14:00–16:00 Konferenþní vystoupení: Rieþan B.: Tibor Neubrunn a slovenská škola teórie miery ŠtČpánová M.: Hans Schneider (1927–2014)

Odpolední program 16:30–17:30 Konferenþní vystoupení: Ciesielska D., Pogoda Z.: Metoda współrzĊdnych w geometrii rzutowej

Úterý 25. 8. 2015

Dopolední program 9:00–11:00 Konferenþní vystoupení: Kalousová A.: Fermatova metoda maxim a minim Zeman J.: Bolzanova matematická vylepšení Zakonþení

7


1.7.2015 11:37:45

8


1.7.2015 11:37:45

VYZVANÉ PěEDNÁŠKY

9


1.7.2015 11:37:45

10


1.7.2015 11:37:45

VÝCHOVA UýITEďOV MATEMATIKY NA SLOVENSKU V OBDOBÍ 1945–2010 JÁN ýIŽMÁR Abstract: This paper describes the system of secondary school teachers’s training at the territory of Slovakia in the period 1945–2010. It presents the origin and development of the university institutions providing this training in the framework of substantial social and legislative changes from the World War Second to nowadays.

1 Úvod Do r. 1940 neexistovali na území Slovenska inštitúcie, ktoré by poskytovali možnosĢ vzdelávania a výchovy v slovenskom jazyku budúcich profesorov matematiky pre potreby gymnázií, reálnych gymnázií, reálok, uþiteĐských ústavov a stredných odborných škôl. Záujemcovia zo Slovenska o prípravu na túto profesiu mali jedinú možnosĢ absolvovaĢ štúdium za úþelom získania potrebnej kvalifikácie v rámci medzivojnovej ýeskoslovenskej republiky (1918–1939) na prírodovedeckých fakultách Univerzity Karlovej v Prahe alebo Masarykovej univerzity v Brne. Prví absolventi tohto štúdia pochádzajúci zo Slovenska vychádzali z týchto univerzít v druhej polovici 20. rokov a v 30. rokoch 20. storoþia. Ich poþet bol vzhĐadom na potreby stredných škôl na Slovensku zanedbateĐný, a tak hlavná Ģarcha výuþby matematiky na týchto školách naćalej spoþívala na profesoroch þeskej národnosti, ktorí prišli na Slovensko v prvých rokoch existencie nového štátu. Znaþná þasĢ slovenských absolventov uþiteĐského štúdia matematiky vracajúca sa na Slovensko reprezentovala vyššiu kvalitu, ktorá sa v prvej etape po 2. svetovej vojne veĐmi pozitívne prejavila pri zakladaní vysokoškolských a vedeckých inštitúcií na Slovensku. ZdĎhavý zápas o zriadenie prírodovedeckej fakulty na Univerzite Komenského v Bratislave, deklarované už v zakladajúcom zákone univerzity z r. 1919, nebol z mnohých príþin úspešný. Ani rozpad a zánik republiky nebol v prvej fáze dostatoþným popudom k urýchlenému založeniu fakulty. Až tragické novembrové udalosti r. 1939 v Prahe a následná barbarská likvidácia þeského vysokého školstva nemeckou okupaþnou mocou spolu s vynúteným návratom slovenských vysokoškolských študentov z þeských krajín do vlasti postavili kompetentné slovenské orgány pred naliehavú úlohu neodkladne riešiĢ problém pokraþovania navrátilcov v štúdiu. Vládnym nariadením þ. 180/1939 Zbierky zákonov a nariadení bol týmto študentom povolený zápis na prírodovedné odbory na Filozofickej fakulte Slovenskej univerzity (pomenovanie Univerzity Komenského v rokoch 1939–1954) už do zimného semestra školského roku 1939/1940. Výuþbu matematických predmetov zabezpeþovali uþitelia Slovenskej vysokej školy technickej (SVŠT) v Bratislave: riadny profesor RNDr. Jur Hronec a mimoriadny profesor PhDr. Josef Kaucký (pozri [7]). Na situácii sa reálne niþ nezmenilo ani po otvorení Prírodovedeckej fakulty Slovenskej univerzity 1. októbra 1940, zriadenej na základe zákona þ. 168/1940 Zb. z. a n. Formálnou zmenou bolo vymenovanie oboch profesorov matematiky za bezplatných profesorov Prírodovedeckej fakulty SU popri ich plnom platenom zamestnaní na SVŠT (pozri [2]). Výuþba matematických predmetov v odbore uþiteĐstvo matematiky pre stredné školy prebiehala v akomsi núdzovom režime, ktorého jadro tvorili predmety Matematika I–III

11


1.7.2015 11:37:45

v prvých troch semestroch štúdia s dotáciou 6 – 6 – 5 týždenných hodín prednášok doplnených 2 hodinami cviþení a 2 hodinami proseminára. Od štvrtého semestra pribúdali namiesto predmetov Matematika I–III, ktoré adepti uþiteĐstva matematiky absolvovali spolu s poslucháþmi technických odborov, špecializované odborné predmety v rozsahu 2−4 týždenných hodín v jednom semestri: Teória þísel, Analytická geometria, Diferenciálna geometria, Teória funkcií komplexnej premennej a Nekoneþné rady. Výuþba bola dopĎĖaná seminármi a proseminármi v rozsahu dvoch týždenných hodín za semester (pozri [11]). Takéto štúdium uþiteĐstva matematiky pre stredné školy v kombinácii s ćalším predmetom (fyzika, deskriptívna geometria, krátky þas aj chémia) na Prírodovedeckej fakulte SU bolo až do školského roku 1946/1947 vrátane jedinou inštitucionalizovanou formou kvalifikovanej profesijnej prípravy budúcich stredoškolských profesorov matematiky na Slovensku. Štúdium uþiteĐstva matematiky pre stredné školy absolvovalo v priemere 5 poslucháþov roþne. UþiteĐský zbor sa vyznaþoval relatívnou stabilitou: kĐúþovými osobnosĢami matematického vzdelávania boli po celý sledovaný þas prof. J. Hronec a prof. J. Kaucký ako kmeĖoví zamestnanci SVŠT a od 1. 10. 1944 aj ako bezplatní profesori novovytvoreného Ústavu matematiky Prírodovedeckej fakulty SU. Na ústav pribudli ako zamestnanci Prírodovedeckej fakulty SU dvaja asistenti z radov absolventov a niektoré výberové predmety prednášal RNDr. Štefan Schwarz, kým nebol na jeseĖ 1944 internovaný a deportovaný. Zriadenie matematického ústavu na PF SU okrem pridelenia urþitých priestorov na umiestnenie osôb a zariadenia neprinieslo žiadne podstatné zmeny v materiálnom i personálnom zabezpeþení výuþby matematiky na prírodovedeckej fakulte. Osobitne personálna jednota a „dvojdomosĢ“ uþiteĐského zboru ústavov matematiky na SVŠT a na PF SU pretrvávala prakticky až do r. 1950, keć koniec tohto stavu vynútil nový vysokoškolský zákon.

2 Legislatívny rámec rozvoja vysokých škôl 1945–2010 Charakteristiku jednotlivých etáp vývoja vysokého školstva na Slovensku a v celom ýeskoslovensku v sledovanom vyše šesĢdesiatroþnom období v hlavných rysoch naþrtávajú základné zákony o vysokých školách od r. 1945 do r. 2002 a v detailoch dotvárajú nespoþetné novelizácie, vyhlášky, výnosy a nariadenia ministerstiev – do kompetencie ktorých spadalo školstvo, špeciálne vysoké – týkajúce sa organizácie školstva, náplne vzdelávania a materiálneho zabezpeþenia. Všetky tieto dokumenty odrážali prirodzeným spôsobom – príznaþným pre úlohu a fungovanie štátnej moci prinajmenšom od þias osvietenstva – ideologické, politické a spoloþenské zámery panujúcich režimov v oblasti vysokoškolského vzdelávania a výchovy. Najzávažnejšiu úlohu v tomto smere zohrali nasledovné legislatívne dokumenty (pozri [10]): − Dekrét prezidenta republiky zo dĖa 27. októbra 1945 (þiastka 32/1945 Zb. z. a n.) o vzdelaní uþiteĐstva, − Zákon o pedagogických fakultách zo dĖa 9. apríla 1946 (þiastka 100/1946 Zb. z. a n.), − Zákon o vysokých školách zo dĖa 18. mája 1950 (þiastka 58/1950 Zb. z.), − Zákon o školskej sústave a vzdelávaní uþiteĐov z r. 1953 (þiastka 31/1953 Zb. z.), − Zákon o vysokých školách z r. 1966 (þiastka 19/1966 Zb. z.), − Ústavný zákon o þeskoslovenskej vzdelávacej sústave (þiastka 62/1978 Zb. z.), − Zákon o vysokých školách z r. 1980 (þiastka 39/1980 Zb. z.), − Zákon o vysokých školách z r. 1990 (þiastka 172/1990 Zb. z.), − Zákon o vysokých školách z 21. februára 2002 (þiastka 131/2002 Zb. z.).

12


1.7.2015 11:37:45

Každý z uvedených zákonov výrazne ovplyvnil základné smerovanie vysokých škôl v duchu aktuálnej štátnej ideológie, podĐa dobových zámerov – nie vždy objektívnych a vecne podložených – reglementoval stroho þi voĐnejšie vnútornú štruktúru základných organizaþných jednotiek vysokých škôl, predpisoval rámcovo alebo znaþne detailne obsah výuþby, štruktúru organizácie vzdelávania, samosprávne orgány vysokých škôl a ich zložiek, práva i povinnosti študujúcich i uþiteĐov atć., predovšetkým však jasne formuloval základné a hlavné ciele vysokoškolského vzdelávania, v þom sa najzreteĐnejšie a najpregnantnejšie odrážala ideologická povaha štátu a právne pretenzie štátneho dirigizmu. Uvedené zákonné dokumenty na jednej strane zakotvujú tie stránky dosiahnutého stavu, ktoré sú z pohĐadu štátu hodnotené ako pozitívne a žiaduce, na druhej strane formulujú ciele, úlohy a opatrenia, ktorých úspešná realizácia má zabezpeþiĢ všestranný progresíny rozvoj v smere prospešných celospoloþenských záujmov. Práve táto stránka školských a špeciálne vysokoškolských zákonov obþas prekroþila hranice triezveho posudzovania a realizaþných možností najmä v ekonomickom zabezpeþení a proklamovala ako bezprostredné ciele výsledky, ktorých dosiahnutie mohlo byĢ len métou þasovo vzdialenej perspektívy. Napr. takým opatrením malo byĢ povinné vysokoškolské vzdelanie uþiteĐov všetkých typov a stupĖov škôl školskej sústavy – od materských škôl až po vyššie stredné školy – proklamované už v prezidentskom školskom dekréte z r. 1945. Trvalo vyše pätnásĢ rokov, kým sa tento princíp naplnil pre prípravu uþiteĐov primárnych škôl, a v prípade uþiteliek materských škôl trvala cesta k jeho realizácii ešte aspoĖ o jednu generáciu dlhšie. Vo víĢaznej eufórii po skonþení 2. svetovej vojny – aj pod tlakom vplyvných spoloþensko-politických síl – videla þasĢ verejnosti, osobitne poþetná vrstva pokrokových uþiteĐov, tento akt ako úspešné zavĚšenie zápasu, do ktorého najprogresívnejší predstavitelia uþiteĐskej komunity vstupovali svojimi projektmi a realizaþnými experimentmi v ýeskoslovenskej republike už okolo r. 1930. Z hĐadiska akceptácie zásady potreby vysokoškolského vzdelania všetkých uþiteĐov – i keć opäĢ viac na úrovni deklarácie než na možnosti dôslednej realizácie – možno za prelomový akt považovaĢ prijatie zákona o zriadení pedagogických fakúlt r. 1946. Zákon a naĖ nadväzujúce ćalšie právne normy boli v svojej podstate konkretizáciou všeobecne deklaratívneho znenia prezidentského dekrétu. Základnou ideou motivujúcou zriadenie pedagogických fakúlt bola snaha sústrediĢ roztrieštenú prípravu uþiteĐstva pre všetky typy a stupne škôl na jedno vysokoškolské pracovisko, ktoré by v plnom rozsahu zabezpeþovalo jednotnú psychologickú, pedagogickú a didaktickú teoretickú aj praktickú prípravu, v odbornej zložke prípravy zabezpeþiĢ štúdium odborov predtým rozptýlených na mimouniverzitných pracoviskách a podĐa kvalifikácie uþiteĐských kádrov poskytnúĢ aj možnosĢ štúdia s nižšou kvalifikáciou v tých odboroch, v ktorých sa uþitelská kvalifikácia pre vyšší stupeĖ stredných všeobecnovzdelávacích škôl, pre uþitelské ústavy a stredné odborné školy získavala na filozofických a prírodovedeckých fakultách. Ako ćalšie dôležité poslanie sa pedagogickým fakultám ukladala úloha organizovaĢ výuþbu a praktickú prípravu aktívnych uþiteĐov s nedostatoþnou alebo neúplnou kvalifikáciou, resp. uþiteĐov bez kvalifikácie. Rozhodujúcim krokom k zmene tradíciou ustáleného charakteru vysokého školstva a k jeho organizaþnému i obsahovému priblíženiu k sovietskemu vzoru bolo prijatie zákona o vysokých školách r. 1950. Tento právny akt bol dôsledkom radikálnych mocensko-politických zmien po februárovom zvrate r. 1948 a následných udalostiach, ktoré sa na vysokých školách najvýraznejšie prejavili politickými þistkami v uþiteĐských zboroch i v radoch študentov. Ústrednou ideou zákona je tuhý štátny dirigizmus, krajná centralizácia riadenia v organizácii aj v obsahu vzdelávania. Novými prvkami systému je na-

13


1.7.2015 11:37:46

hradenie ústavov katedrami a zavedenie študijných plánov a uþebných osnov. Zákon zrušil rigorózne konanie ako podklad udeĐovania akademického titulu doktor, rámcovo vymedzil zavedenie ašpirantúry ako nadstavbovej formy výchovy vedeckých kádrov a udeĐovanie dvoch stupĖov vedeckých hodností podĐa sovietskeho vzoru. Definitívna realizácia týchto opatrení vstúpila do platnosti r. 1953. Zákon bol novelizovaný r. 1956 ako prejav mocenskej reakcie na študentské nepokoje, ktoré boli súþasĢou oneskoreného mierneho politického uvoĐnenia po Stalinovej smrti r. 1953. V histórii vysokoškolskej legislatívy sa nedoceĖuje význam zákona o školskej sústave a vzdelávaní uþiteĐov z r. 1953, ktorým sa zaviedla osemroþná stredná škola a jedenásĢroþná stredná škola ako úplná stredná všeobecnovzdelávacia škola. Panuje vcelku neúplná a nejasná informovanosĢ, že štvorroþné vysoké školy pedagogické, resp. dvojroþné vyššie pedagogické školy vznikli ako špecifické vysokoškolské inštitúcie zamerané na prípravu odborných uþiteĐov plne kvalifikovaných pre 3., resp. 2. stupeĖ jedenásĢroþnej strednej školy, keć jej prvý stupeĖ predstavovala národná škola s uþiteĐmi pripravovanými v stredných pedagogických školách. Zákon o vysokých školách z r. 1966 mal priniesĢ zmeny, ktoré boli výrazom spoloþensko-politického uvoĐnenia v prvej polovici 60. rokov 20. storoþia temer vo všetkých satelitných krajinách sovietskeho bloku. Zákon obnovil niektoré – viac-menej formálne – vysokoškolské tradície predsocialistickej éry, akou bolo napr. udeĐovanie akademického titulu doktor na báze vypracovania a obhájenia rigoróznej práce a úspešného zloženia rigoróznych skúšok. Nepriniesol však návrat k skutoþným demokratickým tradíciám obnovením inštitúcie akademického senátu s jeho právomocami pri výbere akademických funkcionárov a s vplyvom na všetky stránky þinnosti vysokých škôl a fakúlt vrátane dosahu na hospodárenie rektorátnych a fakultných zložiek. Mierne sa uvoĐnil nadmerný centralizmus v oblasti vnútornej štruktúry a personálnej politiky fakúlt, kde sa napr. ustúpilo od zriaćovania katedier a obsadzovania miest vedúcich katedier rozhodovaním až na úrovni ministerstva, resp. povereníctva, ako tomu bolo podĐa zákona z r. 1950. Náznaky demokracie boli po r. 1970 zlikvidované legislatívnymi opatreniami nižšej úrovne, ako aj poþetnými legislatívne nepodloženými internými praktikami, ktorými ovzdušie vysokých škôl zaĢažoval tzv. proces normalizácie. Mal analogické, v zaþiatkoch dokonca podobne vyostrené prejavy a dôsledky ako v rokoch 1948–1949 kampaĖ politických þistiek na vysokých školách. V personálnej politike vysunul do popredia faktor politickej angažovanosti na úkor odbornej kvalifikácie. V prvej polovici 70. rokov sa viedla dlhodobá kampaĖ vrcholiaca r. 1976 prijatím programového politického dokumentu Ćalší rozvoj þeskoslovenskej výchovnovzdelávacej sústavy a naĖ nadväzujúceho ústavného zákona o þeskoslovenskej výchovnovzdelávacej sústave (þiastka 62/1978 Zb. z.), ako aj ćalších zákonov týkajúcich sa jednotlivých zložiek výchovnovzdelávacej sústavy. Do tejto série zapadá aj nový zákon o vysokých školách þ. 39 z r. 1980. Výraznou þrtou naĖ nadväzujúcich opatrení je celoštátna unifikácia študijných odborov a vypracovanie jednotných študijných plánov a uþebných osnov predmetov v zhodných a blízkych študijných odboroch. V oblasti organizácie vysokého školstva je najmarkantnejšou inováciou zjednotenie aprobácie absolventov pedagogických fakúlt a absolventov uþiteĐského štúdia rovnomenných odborov na filozofických, prírodovedeckých a matematicko-fyzikálnych fakultách univerzít pre 2. stupeĖ základných škôl a pre stredné školy, þo pre absolventov pedagogických fakúlt znamená rozšíre-

14


1.7.2015 11:37:46

nie ich aprobácie o oprávnenie pôsobiĢ aj na stredných školách; toto oprávnenie predchádzajúce vysokoškolské zákony nepriznávali. PodĐa ustanovení tohto zákona a súvisiacich dokumentov sa v prvej polovici 80. rokov rozvinula þinnosĢ mnohých odborových komisií a predmetových rád s cieĐom pripraviĢ podrobný text unifikácie uþebných plánov a uþebných osnov jednotnej nomenklatúry odborov a špecializácií vysokoškolského štúdia. Unikátnym ustanovením zákona bolo zavedenie rigoróznych skúšok bez povinnosti vypracovaĢ a obhájiĢ rigoróznu prácu a priznávanie akademického titulu doktor absoventom univerzitných odborov bez akéhokoĐvek rigorózneho konania pri dosiahnutí priemerného prospechu za celé štúdium do hodnoty 1,5. Zákony o vysokých školách z r. 1990 a 2002, prijaté po globálnych mocenskopolitických zmenách v rokoch 1989–1990 a po zvrate vnútornej i zahraniþnej politickej orientácie štátu, resp. od roku 1993 po vzniku dvoch nových samostatných štátov, odrážajú v oblasti vnútornej organizácie a samosprávy vysokých škôl rešpektovanie osvedþených historických tradícií európskeho, špeciálne stredoeurópskeho vysokého školstva, a vcelkovej organizácii vzdelávania prijímajú celoeurópske, resp. celosvetové štandardy odvodené z dokumentov zakladajúcich istú globálnu unifikáciu svetového vysokého školstva. Pri kritickom pohĐade na túto tendenciu, ako aj na dianie v Európskej únii v oblasti školstva, nemožno sa zbaviĢ istých výhrad voþi miere byrokracie v celej mašinérii kontaktov a spolupráce. Nesporným prínosom posledného štvrĢstoroþia je uvoĐnenie podmienok v oblasti medzinárodných stykov a vytváranie priaznivejších predpokladov medzinárodnej koordinácie. Trvalo limitujúcim faktorom je ekonomická situácia znaþne sĢažená dôsledkami rozsiahlej krízy v posledných rokoch.

3 Inštitúcie vysokoškolského vzdelávania 1945–2010 PodĐa struþných informácií v úvode jedinou formou vysokoškolskej prípravy stredoškolských profesorov matematiky na Slovensku od r. 1940 do r. 1947 a reálne až do r. 1953 bolo interné, resp. externé štúdium uþiteĐstva matematiky pre stredné školy v rámci Prírodovedeckej fakulty Slovenskej univerzity v Bratislave. O obsahu a organizácii tohto vzdelávania bola v úvode zmienka. Systém a organizácia štúdia, spôsob kontroly a hodnotenia, štátne skúšky, absolvovanie, rigorózny poriadok a i. siahali svojimi koreĖmi do þias Rakúska-Uhorska a ich podstatu zásadne nezasiahli poþetné novelizácie a vládne nariadenia medzivojnovej ýeskoslovenskej republiky ani vojnovej Slovenskej republiky. VeĐké oþakávania sa spájali so zriadením Pedagogickej fakulty Slovenskej univerzity zákonom z r. 1946, ktorá však svoju þinnosĢ v internom štúdiu v Bratislave reálne zaþala až v školskom roku 1947/1948 (pozri [1], [3]) Sídlo fakulty bolo so znaþnými ĢažkosĢami zriadené v Bratislave, za sídla poboþiek boli stanovené Banská Bystrica a Košice. Ćalšie konzultaþné strediská boli otvorené v Nitre, Žiline, Spišskej Novej Vsi a Luþenci. Fakulta mala podĐa deklarácie základného legislatívneho dokumentu – prezidentského dekrétu – právo otvoriĢ štúdium pre všetky kategórie uþiteĐov – od uþiteliek materských škôl až po stredoškolských profesorov gymnázií a stredných odborných škôl, priþom dĎžka štúdia pre kandidátky uþiteĐstva na materských školách bola predpísaná na štyri semestre, pre kandidátov uþiteĐstva na vtedajších Đudových a meštianskych školách na šesĢ semestrov a pre kandidátov uþiteĐstva na stredných (všeobecnovzdelávacích) školách a na stredných odborných školách na osem až desaĢ semestrov. Hlavnú, no explicitne nedeklarovanú úlohu mala fakulta zohraĢ v likvidácii alebo aspoĖ v podstatnom zmiernení

15


1.7.2015 11:37:46

enormnej nekvalifikovanosti uþiteĐstva v základnom školstve – na vtedajších Đudových a meštianskych školách – zapríþinenej najmä prudkým kvantitatívnym rastom škôl tohto druhu a v menšej miere odchodom jednotlivcov neúnosnou mierou skompromitovaných spoluprácou s režimom vojnovej Slovenskej republiky (1939–1945). Úþinným opatrením zameraným na dosiahnutie toho cieĐa malo byĢ masové zapojenie nekvalifikovaného uþiteĐstva týchto škôl do štúdia popri zamestnaní formou doplĖovacieho a diaĐkového štúdia realizovaného rozsiahlou výuþbou v konzultaþných strediskách. Vrcholne iluzórne predstavy o možnostiach tejto formy štúdia sa prejavili v študijných a skúškových predpisoch, ktoré sa ukázali navrhnutou þasovou organizáciou a materiálnymi možnosĢami školstva i uþitelstva totálne nerealizovateĐné. Toto hodnotenie je výrazne potvrdené faktom, že z vyše 12 000 poslucháþov zapísaných na toto štúdium ho úspešne absolvovalo necelých 5 % úþastníkov. Úspešných absolventov z radov uþiteĐov matematiky bolo z toho poþtu nanajvýš pár desiatok. V internom trojroþnom štúdiu s dvoj-, resp. trojpredmetovými kombináciami pre 2. stupeĖ povinnej školskej dochádzky, þo boli v þase reálneho rozbehu Pedagogickej fakulty SU meštianske školy a 1.–4. trieda gymnázia, od prijatia zákona o jednotnej škole r. 1948 štvorroþné stredné školy (vek žiakov 11–15 rokov), tvorilo uþiteĐstvo matematiky kombinácie s uþiteĐstvom fyziky, zemepisu alebo deskriptívnej geometrie. V rokoch 1951–1953 úspešne absolvovalo štúdium v týchto kombináciách okolo troch desiatok uþiteĐov, ktorí našli uplatnenie väþšinou na gymnáziách – v tom þase už len švorroþných, zodpovedajúcich niekdajším triedam 5.–8. osemroþných gymnázií. Mnohí z týchto absolventov si doplnili štúdiom popri zamestnaní kvalifikáciu na úplnú aprobáciu stredoškolského profesora; rovnako postupovala aj znaþná þasĢ absolventov z roþníkov dobiehajúceho štúdia pedagogickej fakulty v rokoch 1953–1955. Štúdium uþiteĐstva matematiky na Pedagogickej fakulte SU bolo zabezpeþené v rokoch 1947–1950 kvalitnými uþiteĐmi matematicko-geometrického ústavu a po reorganizácii v r. 1950 tými istými uþiteĐmi katedry matematiky a fyziky (prof. RNDr. Viktor Svitek, prof. RNDr. František Jurga, odborný asistent Karol Hluþil; niekoĐko ćalších asistentov), ktorí boli pred nástupom na fakultu honorovanými docentmi Prírodovedeckej fakulty SU, resp. SVŠT, alebo cviþnými profesormi na gymnáziách, prípadne inšpektormi. Obsah vzdelávania zahĚĖal tradiþné okruhy predmetov – matematickú analýzu, algebru, analytickú geometriu, elementárnu geometriu, teoretickú aritmetiku, teóriu þísel, metodiku vyuþovania matematiky, špeciálne semináre z matematiky. Praktická príprava sa konala na cviþných školách v Bratislave. Z koncepþných, þasových aj personálnych príþin v uþebných plánoch neboli zastúpené vyššie partie matematickej analýzy, vyššej geometrie a modernej algebry, ktoré sa v tom þase nenachádzali ani v uþebnom programe matematického vzdelávania na Prírodovedeckej fakulte SU. Pedagogická fakulta SU v Bratislave a jej poboþky boli zrušené r. 1953. Ich úlohu v príprave uþiteĐov pre školy 2. stupĖa prevzali vyššie pedagogické školy v Bratislave (neskôr už v statuse pedagogického inštitútu premiestnená do Trnavy) a v Prešove, kam sa presĢahovala bývalá poboþka bratislavskej pedagogickej fakulty sídliaca v Košiciach. Rok 1953 bol rokom podstatných zmien v organizácii vysokoškolskej prípravy uþiteĐov škôl druhého a tretieho stupĖa. Zákonom þ. 31/1953 Zb. z. o školskej sústave a vzdelávaní uþiteĐov základná a stredná všeobecnovzdelávacia škola prechádzali totálne na sovietsky model, podĐa ktorého 1. a 2. stupeĖ povinnej školskej dochádzky reprezentovala osemroþná stredná škola (oficiálny názov) a úplnou strednou všeobecnovzdeláva-

16


1.7.2015 11:37:46

cou školou sa stala jedenásĢroþná stredná škola (oficiálny názov). Vzdelávanie uþiteĐov pre 1.–5. roþník základnej školy (oficiálny názov – národná škola) preberali štvorroþné pedagogické školy pre prípravu uþiteĐov národných škôl (predtým pedagogické gymnáziá), výchova uþiteĐov pre 6.–8. roþník osemroþnej strednej školy prebiehala na dvojroþných vyšších pedagogických školách v Bratislave, Banskej Bystrici a Prešove a pre vzdelávanie uþiteĐov 9.–11. roþníka jedenásĢroþnej strednej školy a všeobecnovzdelávacích predmetov stredných odborných škôl (predtým stredoškolských profesorov) bol zriadený nový typ uþilišĢa – vysoká škola pedagogická v Bratislave s fakultou spoloþenských vied, fakultou prírodných vied a filologickou fakultou alokovanou do Prešova (pozri ([5], [6]). Tieto školy boli deklarované ako jediné vzdelávacie inštitúcie zabezpeþujúce výchovu kvalifikovaných uþiteĐov všeobecnovzdelávacích predmetov na 2. a 3. stupni vzdelávacej sústavy. Paralelné fakulty – filozofická fakulta a prírodovedecká fakulta v tom þase ešte stále jedinej univerzity na Slovensku – Slovenskej univerzity (od r. 1954 opäĢ Univerzity Komenského) – sa mali v päĢroþnom štúdiu venovaĢ výchove odborníkov zameraných na vedeckú þinnosĢ, aplikácie a odbornú prácu najvyššej kvalifikácie v rôznych oblastiach národného hospodárstva, základného a aplikaþného výskumu, verejného života, kultúry ap. Bola to iluzórna predstava, ktorá aj po 10–15 rokoch mala ćaleko do realizovateĐnosti. V r. 1953 reálne vyhliadky budúcich úspešných absolventov, nastupujúcich v tom þase na univerzitné štúdium, boli limitované aj faktom, že v tom roku vychádzali z gymnázií dva roþníky maturantov, z ktorých znaþná þasĢ mala zámer pokraþovaĢ v budovaní kariéry vysokoškolským štúdiom. Revízia unáhlených a nerealistických rozhodnutí nenechala na seba dlho þakaĢ. V školskom roku 1955/1956 sa na univerzitných fakultách obnovilo prijímanie na štúdium uþiteĐstva pre 3. stupeĖ všeobecnovzdelávacích škôl a stredné odborné školy s maturitou a taktiež väþšina študentov prijatých v rokoch 1953 a 1954 na „vedecké“ štúdium si doplnením psychologicko-pedagogicko-metodickej zložky uþiteĐskej prípravy a absolvovaním tradiþných odborných predmetov uþiteĐského štúdia rozšírila svoju odbornú kvalifikáciu o uþiteĐskú aprobáciu pre predmet matematika. Na vyšších pedagogických školách boli v dvoj- a trojpredmetových kombináciách študijný program a uþebné osnovy profilových predmetov oproti náplni na zrušených pedagogických fakultách v rozumnej miere zredukované tak, že absolvovanie školy ešte stále poskytovalo dostatoþný odborný nadhĐad nad uþivom a pedagogicko-metodická zložka prípravy mala postaþujúci rozsah a kvalitu. Najþastejším predmetom, s ktorým matematika vstupovala do dvojkombinácie, bola fyzika, þo sa z pohĐadu obsahovej relácie predmetov i zo skúseností dlhodobej tradície osvedþovalo ako optimálne riešenie. Vysoká škola pedagogická svojou koncepþnou požiadavkou vyváženosti predmetovo-odbornej a pedagogicko-metodickej zložky prípravy uþiteĐa vstupovala na pôdu v podmienkach nášho školstva neprebádanú v náležitom rozsahu, þo sa prejavilo v urþitých korekciách ešte pred dokonþením prvého cyklu štúdia. Študijný program, uþebné plány, uþebné osnovy jednotlivých predmetov, ako aj študijný a skúšobný poriadok vrátane štátnych závereþných skúšok boli starostlivo a detailne pripravené, uþiteĐský zbor, z veĐkej þasti prevedený zo zrušených pedagogických fakúlt a doplnený úspešnými a osvedþenými stredoškolskými profesormi z elitných gymnázií, bol zárukou odbornej i metodickej spoĐahlivosti. Chýbali však zhodnotenie a výber pozitívnych skúseností z dlhodobej úspešnej praxe, ktorú vykazovali špiþkové pedagogické inštitúty vtedajšieho Sovietskeho zväzu, a to nielen tie najvynikajúcejšie z najväþších miest.

17


1.7.2015 11:37:46

Matematika sa na bratislavskej vysokej škole pedagogickej – jedinej na Slovensku – zaþala študovaĢ ako jednopredmetový odbor alebo v kombinácii s fyzikou, v nasledujúcom školskom roku 1954/1955 pribudla kombinácia matematika – zemepis a poslednou zavedenou kombináciou bola matematika – chémia. V školskom roku 1955/1956 sa pôvodné jednopredmetové štúdium matematiky (na fakulte prírodných vied), slovenþiny a ruštiny (oboch predmetov na fakulte spoloþenských vied) transformovalo na klasické dvojkombinácie, ktorými boli matematika – deskriptívna geometria a slovenþina – dejepis; kombinácia s ruštinou nebola striktne stanovená. Vysoká škola pedagogická v Bratislave zanikla fúziou s Univerzitou Komenského k 1. septembru 1959. Štvorroþným vzdelávacím cyklom v internom štúdiu prešlo na nej šesĢ roþníkov s prijímacím konaním v rokoch 1953–1958 a absolvovaním v rokoch 1957–1962. Na škole bolo organizované aj rozsiahle štúdium popri zamestnaní, ktorého poslední absolventi opúšĢali školu (v tom þase už fyzicky neexistujúcu) r. 1965. Za uvedené roky fakulta prírodných vied len v dennom štúdiu vychovala vyše 400 úspešných absolventov uþiteĐského štúdia matematiky; v diaĐkovom štúdiu bol poþet absolventov tohto štúdia minimálne 6–7 desiatok. Na porovnanie: Prírodovedecká fakulta UK za 25 rokov svojej existencie v období 1940–1965 vyškolila súhrnne 330 uþiteĐov matematiky pre stredné školy. Prínos Vysokej školy pedagogickej v Bratislave k radikálnemu zvýšeniu kvalifikácie uþiteĐstva stredných škôl na Slovensku v období 1955–1965 nebol historiografiou školstva docenený. Aká je odpoveć na otázku: ýo bolo väþším omylom – zriadenie Vysokej školy pedagogickej alebo jej zrušenie? Štafetu zrušených vyšších pedagogických škôl prevzali r. 1958 pedagogické inštitúty, zriadené vládnym nariadením þ. 576/1959 Zb. z. v Trnave, Nitre, Martine, Banskej Bystrici, Košiciach a Prešove ako samostatné štvorroþné vysoké školy s poslaním vychovávaĢ v oddelených formách štúdia uþiteĐov 1. a 2. stupĖa základnej osemroþnej (od r. 1960 deväĢroþnej) školy a poskytovaĢ v rôznych formách štúdia a v kurzoch pedagogické vzdelanie pre nadobudnutie kvalifikácie vychovávateĐa, uþiteĐa odborných predmetov v odborných uþilištiach a uþĖovských školách a taktiež majstra odborného výcviku v odborných uþilištiach a uþĖovských strediskách (pozri [6]). Poþas existencie pedagogických inštitútov bol inštitút z Martina zaþlenený do inštitútu v Banskej Bystrici a inštitút z Košíc do inštitútu v Prešove, ktorý však fungoval ako organizaþná zložka Univerzity Pavla Jozefa Šafárika v Košiciach, založenej r. 1959. Organizaþná, administratívna a ekonomická agenda pedagogických inštitútov bola v kompetencii príslušných krajských národných výborov, obsahová a personálna stránka ich þinnosti podliehala povereníctvu. Zákonným opatrením Predsedníctva Národného zhromaždenia þ. 166/1964 Zb. z. boli pedagogické inštitúty zrušené a ich nástupníckymi inštitúciami sa stali pedagogické fakulty. Pedagogická fakulta v Trnave bola elokovanou fakultou Univerzity Komenského v Bratislave. Po vzniku Trnavskej univerzity v Trnave, na ktorej bola r. 1992 zriadená vlastná pedagogická fakulta, sa pôvodná Pedagogická fakulta UK presídlila do Bratislavy. Príprava uþiteĐov matematiky pre 2. stupeĖ základnej školy bola na pedagogických inštitútoch, resp. na pedagogických fakultách organizovaná v kombinácii s fyzikou alebo ćalšími prírodovednými predmetmi (zemepis, chémia, biológia), príp. s predmetmi praktického zamerania (práce v dielĖach, práce na pozemku) – predmetmi tzv. polytechnickej prípravy – sprvu v štvorroþnom štúdiu, ktoré sa neskôr zmenilo na päĢroþné. Na pedagogických fakultách sa postupne vytvorili poþetné odborne zdatné, vedecky i pedagogicky

18


1.7.2015 11:37:46

vysoko kvalifikované uþiteĐské kolektívy, ktoré podstatnou mierou prispeli k rapídnemu zlepšeniu kvalifikovanosti uþiteĐských kádrov na 2. stupni základných škôl. Významným strediskom výchovy stredoškolských uþiteĐov matematiky sa stala Prírodovedecká fakulta Univerzity Pavla Jozefa Šafárika v Košiciach (pozri [4]). Univerzita vznikla r. 1959 ako druhá univerzita klasického typu v novodobých dejinách na Slovensku; jej prírodovedecká fakulta bola zriadená r. 1963. Po zaþiatoþných Ģažkostiach s kvalifikovaným personálnym obsadením, typickým pre všetky (nielen) školské inštitúcie, sa príchodom niekoĐkých zrelých vedecko-pedagogických osobností, ale hlavne výchovou vlastných talentovaných absolventov fakulta rozvinula na silné centrum niekoĐkých vedných disciplín, ako aj na stabilizovanú inštitúciu zásobujúcu rozsiahly región východného Slovenska kvalitnými uþiteĐskými kádrami. V prvom desaĢroþí 21. storoþia opúšĢalo brány fakulty každoroþne 80–100 absolventov uþiteĐského štúdia prírodovedných predmetov, z toho poþtu 50–80 uþiteĐov matematiky pre sekundárn všeobecnovzdelávacie školy a stredné odborné školy. Závažnú zmenu vo vysokoškolskej príprave uþiteĐov matematiky pre školy 2. a 3. stupĖa (2. stupeĖ základných škôl a všetky stredné školy – v dnešnej školskej sústave oznaþované názvom sekundárna škola – nižší a vyšší stupeĖ) priniesol zákon o vysokých školách þ. 39/1980 Zb. z., ktorým sa oprávnenie výchovy uþiteĐov všeobecnovzdelávacích predmetov, teda aj matematiky, pre stredné všeobecnovzdelávacie a stredné odborné školy rozširuje z filozofických a prírodovedeckých, resp. matematicko-fyzikálnych fakúlt univerzít aj na existujúce pedagogické fakulty. Prvými realizaþnými krokmi k naplneniu tohto zákonného opatrenia bola tvorba jednotných uþebných plánov a uþebných osnov predmetov v celoštátnych odborových komisiách a predmetových radách. Druhou fázou zjednocovania obsahu výuþby bola tvorba záväzných uþebníc najprv pre hlavné predmety prvých roþníkov štúdia, neskôr mali nasledovaĢ uþebnice špeciálnejšieho zamerania. Z dôvodov nie celkom známych a verejne deklarovaných sa presadila tvorba samostatných uþebníc v jednotlivých národných republikách federácie. Prvá etapa tvorby uþebníc bola uzavretá publikáciou uþebníc v polovici 80. rokov 20. storoþia. Uþebnice sa miestami podĐa okolností používajú dodnes. Táto zmena neviedla k rozširovaniu siete „uþiteĐských“ fakúlt. Jej hlavným dôsledkom bola nutnosĢ prispôsobiĢ dovtedajší systém prirodzeným spôsobom odlišných koncepcií pre školy 2. stupĖa a školy 3. stupĖa jednotnej koncepcii zahrĖujúcej oba stupne. Pre niektoré pracoviská fakúlt pripravujúcich pôvodne uþiteĐov len pre 3. stupeĖ to prinášalo potrebu pragmatickejšieho prístupu k teoretickej úrovni vyuþovaných predmetov, pre pedagogické fakulty predchádzajúceho razenia to znamenalo zvýšený dôraz na exaktnosĢ hlavných teoretických predmetov. Nevyskytli sa vážnejšie problémy s transformáciou prvého þi druhého druhu. Potreba pripraviĢ vysokoškolských uþiteĐov na vyuþovanie niektorých nových predmetov študijného programu uþiteĐstva matematiky viedla k myšlienke organizovaĢ celoštátne tematické semináre, ktoré by za nejaký þas pokryli hlavné tematické okruhy výuþby. V predmete Dejiny matematiky sa ujala prax pravidelných roþných letných škôl s tematikou filozofie matematiky, dejín matematiky a jej vyuþovania, ktorá sa od prvého stretnutia r. 1980 rozvinula na hodnotnú tradíciu dnešných medzinárodných konferencií Historie matematiky, pokraþujúcu úspešne t. r. 36. roþníkom. Podstatné zmeny v organizácii, obsahu, ako aj v sústave inštitúcií vychovávajúcich uþiteĐov matematiky sa za posledných dvadsaĢpäĢ rokov odohrali na báze prevratných

19


1.7.2015 11:37:46

udalostí a vývoja, ktorým prešli temer všetky európske štáty aj väþšina celosvetového spoloþenstva v oblasti politiky, medzinárodných vzĢahov aj ekonomických premien. Prvým štartovacím impulzom na území Slovenska (a väþšiny krajín bývalého sovietskeho bloku) bol pád režimu, ktorý z ideologických (ale aj mnohých iných) pozícií staval mnohé zábrany do cesty nevyhnutnému pokroku vnútornej situácie na vysokých školách aj rozvoju medzinárodných kontaktov a spolupráce. Postupne v priebehu 90. rokov 20. storoþia a v prvom desaĢroþí 21. storoþia vznikali nové školy a nové fakulty, medzi nimi aj pedagogické, s programom výchovy uþiteĐov aj v matematike, niektoré existujúce inštitúcie sa presĢahovali aj menili svoju štruktúru tak, že z nej vypadla výchova uþiteĐov matematiky. Na báze pedagogických fakúlt a niektorých ćalších fakúlt, resp. škôl vznikla Trnavská univerzita a na nej pedagogická fakulta, Pedagogická fakulta UK sa z Trnavy presĢahovala do Bratislavy a uþiteĐské štúdium matematiky (aj ćalších exaktných a prírodovedných odborov) na nej v druhej polovici prvého desaĢroþia 21. storoþia zaniklo. Pedagogické fakulty v Nitre a v Banskej Bystrici sa stali jadrom nových univerzít – Univerzity Konštantína Filozofa v Nitre a Univerzity Mateja Bela v Banskej Bystrici; uþiteĐstvo matematiky pre sekundárne školy sa na nich študuje na novozriadených fakultách prírodných vied, zatiaĐ þo ich dnešné pedagogické fakulty pripravujú uþiteĐov primárnych škôl. V Prešove vznikla Prešovská univerzita; uþiteĐov matematiky pre sekundárne školy vychováva jej pedagogická fakulta. Budúci uþitelia matematiky študujú aj na pedagogickej fakulte Katolíckej univerzity v Ružomberku. Krátky þas sa uþitelia matematiky pripravovali aj na dnes už neexistujúcej Fakulte prírodných vied Žilinskej univerzity v Žiline. Pohyb a zmeny v sústave fakúlt poskytujúcich vzdelávanie uþiteĐov matematiky sekundárnych škôl sú väþšinou odôvodnené novými pravidlami zriaćovania a fungovania odborov štúdia na vysokých školách: základnou (nevyhnutnou) podmienkou otvorenia štúdia v odbore je súhlas a odporúþanie akreditaþnej komisie, na základe ktorého súhlasné alebo zamietavé rozhodnutie vydáva Ministerstvo školstva, vedy, mládeže a športu Slovenskej republiky. PodĐa deklarovaných zásad hlavným faktorom ovplyvĖujúcim rozhodnutie je miera garantovania kvality prípravy dostatoþne vedecky a pedagogicky renomovanými osobnosĢami uþiteĐského zboru fakulty. Príprava uþiteĐov matematiky pre sekundárne školy na území Slovenska je organizovaná na nasledovných fakultách vysokých škôl (pozri [8]): − Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v spolupráci s Prírodovedeckou fakultou Univerzity Komenského v Bratislave, − Prírodovedecká fakulta Univerzity Pavla Jozefa Šafárika v Košiciach, − Pedagogická fakulta Trnavskej univerzity v Trnave, − Fakulta prírodných vied Univerzity Konštantína Filozofa v Nitre, − Fakulta prírodných vied Univerzity Mateja Bela v Banskej Bystrici, − Pedagogická fakulta Prešovskej univerzity v Prešove, − Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity v Ružomberku. Tento stav sa môže mierne zmeniĢ v najbližších rokoch na základe výsledkov práve prebiehajúceho procesu novej akreditácie vysokých škôl v Slovenskej republike.

20


1.7.2015 11:37:47

4 Etápy vývoja vzdelávania uþiteĐov matematiky Prvú etapu organizovanej vysokoškolskej prípravy uþiteĐov matematiky pre stredné školy na Slovensku možno približne ohraniþiĢ rokmi 1940–1960 a v tejto etape odlíšiĢ obdobia 1940–1953 a 1953–1960. Obdobie do r. 1953 je dobou faktickej dominancie Prírodovedeckej fakulty SU vo výchove stredoškolských uþiteĐov matematiky napriek zdanlivej konkurencii zo strany Pedagogickej fakulty SU od r. 1947. Výhoda PrírF SU v porovnaní s PedF SU spoþívala v tradícii – síce krátkodobej, ale v kruhoch potenciálnych záujemcov o štúdium predsa len existujúcej, a v urþitej väþšej miere informovanosti o obsahu a organizácii štúdia. Urþitú úlohu vo väþšej popularite prírodovedeckej fakulty zaiste zohrávali aj na prvý pohĐad nepodstatné faktory: 1. Absolvovanie prírodovedeckej fakulty znamenalo v blízkej budúcnosti status stredoškolského profesora na vyššom stupni spoloþenského rebríþka než kvalifikácia uþiteĐa pre nižšiu strednú školy z pedagogickej fakulty; 2. Kratšie štúdium na pedagogickej fakulte bolo pre študentov zo slabšie situovaného sociálneho prostredia zjavne prijateĐnejšie po materiálnej stránke. Rozdiely v obsahu a štýle vzdelávania na oboch fakultách boli determinované hlavne odborným profilom vedúcich uþiteĐských osobností. Prof. Hronec a prof. Kaucký mali v prvom rade blízko k matematickej analýze, hoci roky pôsobenia v technickom vysokom školstve mierne obrúsili vyhranenosĢ tohto záujmu. Aj ćalšie osobnosti – prof. Karel Dusl a prof. Otakar BorĤvka – ktoré sa zásluhou kontaktov prof. Hronca podarilo interne þi externe angažovaĢ na prírodovedeckú fakultu, spadali do tejto kategórie, hoci vedecký rozhĐad a tvorivá potencia prof. BorĤvku zreteĐne prevyšovali prostredie pracoviska. A tak vzdelávanie poslucháþov sa vcelku dialo v duchu osvedþených tradícií bez väþších náznakov modernizácie, ktorá sa až v 50. rokoch zaþala pomaly prejavovaĢ v záujmoch a v prvej vedeckej tvorbe prvej generácie absolventov, ktorí zostali ako asistenti na škole, a prvých posíl, ktoré prišli z iného prostredia. Ku koncu 50. rokov výuþba základných predmetov – matematickej analýzy, algebry a geometrie – vcelku prebiehala ešte stále v tradiþnom duchu, ale mladí absolventi, z radov ktorých sa dopĎĖal kádrový stav katedry matematiky, naznaþovali v seminároch a príležitostne aj v prednáškach nástup modernizácie obsahu. Výuþba základných predmetov v uþiteĐskom štúdiu matematiky na fakulte prírodných vied Vysokej školy pedagogickej v Bratislave v rokoch 1953–1962 sa opierala o najnovšie vysokoškolské uþebnice a príruþky odporúþané uþebnými plánmi a osnovami. Tak napr. základnou literatúrou pre matematickú analýzu boli prvé diely Jarníkových uþebníc, algebra sa prednášala podĐa KoĜínkových Základov algebry a analytická geometria sa vykladala vektorovou metódou podĐa príruþiek Masného a Kraemera, štúdium teoretickej aritmetiky pokrývala Hrušova publikácia Elementární aritmetika. Kontakty a spolupráca medzi katedrami matematiky na PrírF UK a FPV VŠP v þase trvania katedry na VŠP (1953–1959) boli minimálne. Modernizácia obsahu vzdelávania sa stala aktuálnou v prvej polovici 60. rokov, keć prednášky základných predmetov v najnižších roþníkoch štúdia zaþali preberaĢ mladí pracovníci po krátkej niekoĐkoroþnej prípravnej praxi. V analytickej geometrii sa ústrednou témou stala výstavba reálneho afinného priestoru na báze n-rozmerného vektorového priestoru nad poĐom reálnych þísel a lineárne geometrické transformácie, jadro výuþby algebry po absolvovaní základov lineárnej algebry tvorila teória algebrických štruktúr.

21


1.7.2015 11:37:47

V polovici obdobia 1960–1980, ktoré možno oznaþiĢ za prvú etapu modernizácie obsahu výuþby matematiky v uþiteĐskom i odbornom štúdiu matematiky na prírodovedeckej fakulte UK v Bratislave a s urþitým þasovým posuvom aj na prírodovedeckej fakulte košickej Univerzity P. J. Šafárika, sa k dispozícii študentom a ašpirantom dostali preklady oboch verzií algebrických uþebníc autorov Birkhoffa a Mac Lana. Koncepcia týchto publikácií sa odrazila aj v niekoĐkých uþebných textoch (skriptách) vydaných na Slovensku, ako aj v neskoršej vysokoškolskej uþebnici KatriĖák a kol: Algebra a teoretická aritmetika. Zmodernizované uþebné texty z geometrie od V. ZaĢka, neskôr prepracované a doplnené na uþebnicu, vyšli už v 60. rokoch. Modernizaþné tendencie a koncepcie boli zjavné aj v rozliþných vydaniach uþebných textov z matematickej analýzy a uþebníc tohto predmetu vydaných autormi slovenských vysokých škôl. Všetky tieto modernizaþné kroky súviseli tesne þi voĐnejšie s modernizaþným procesom zasahujúcim oveĐa intenzívnejšie, nie však celkom podložene a racionálne celé základné a stredné všeobecnovzdelávacie školstvo v uvedenom þase. Revízia koncepcie na tomto stupni vzdelávania však nemala maĢ – a, našĢastie, nemala – priamy negatívny dosah na potrebné a realizované zmeny vo vysokoškolskej výuþbe. Vykonaná prestavba základov hlavných matematických predmetov uþiteĐského vzdelávania mala nevratný charakter a výuþba týchto predmetov sa už nikdy nevrátila do stavu pred rokom 1960. Podobný obraz sa naskytoval aj v doplĖujúcich a rozširujúcich predmetoch matematického vzdelávania budúcich uþiteĐov, akými boli napr. PravdepodobnosĢ a matematická štatistika, Numerické metódy ap., kde sa zakomponovanie pokroku do pedagogického procesu nestretávalo s takými vyhrotenými kontroverznými stretmi ako v hlavných formujúcich predmetoch. Tempo hĐadania nových modernizaþných ciest sa z pochopiteĐných príþin pribrzdilo v 80. rokoch, keć sa naliehavou aktuálnou úlohou stala tvorba uþebníc, do ktorých nebolo možné zaradiĢ neoverené výsledky didaktického výskumu, domnienok a voluntaristických predstáv a požiadaviek. O to vypuklejšie sa tieto momenty vynorili v búrlivom kvase 90. rokov po kardinálnom spoloþensko-politickom zvrate rokov 1989–1990 a osobitne v ćalšom desaĢroþí, keć sa naliehavou úlohou dĖa stala fundamentálna štrukturálna prestavba vysokého školstva v duchu prijatých medzinárodných záväzkov, týkajúca sa, prirodzene, aj základných obsahových princípov. Rozsah koncepþných a formálno-administratívnych úkonov naþas zatlaþil do úzadia seriózne nedoriešené otázky aktuálneho i perspektívneho obsahu matematického vzdelávania, ktorý inak – z pohĐadu formálnej skladby hlavných predmetov študijného programu uþiteĐstva matematiky pre sekundárnu školu – vykazuje nadmernú stabilitu, ktorá za sedemdesiat rokov sledovaných v tomto príspevku nebola podstatne narušená. Treba si však uvedomiĢ, že z historického pohĐadu je každá štruktúra vzdelávania a jej obsahová náplĖ jav len relatívne stabilný a zdanlivo definitívny, lebo nepretržite fungujúca denná prax vyžaduje stále korekcie a zmeny a adekvátne reakcie na výskyt nových situácií a problémov. Búrlivý rozvoj technických prostriedkov, ktorý niektorým subjektom vzdelávacieho procesu zastiera podstatu, povahu a funkciu tohto procesu, nie je javom, ktorý by zásadne zmenil ciele a úlohy školského vzdelávania a výchovy a degradoval podstatu komunikaþnej relácie uþiteĐa a žiaka/študenta. Toto všetko treba maĢ na pamäti pri pravidelne opakujúcej sa revízii programových dokumentov štúdia i vo vlastnej realizaþnej þinnosti vo výuþbe.

22


1.7.2015 11:37:47

5 Zhodnotenie a závery 5.1

Zhrnutie výsledkov

Inštitucionálna výchova uþiteĐov matematiky pre školy zodpovedajúce dnešným sekundárnym školám nižšieho i vyššieho stupĖa sa na území Slovenska v období 1940– 2010 rozvinula z nulového bodu na jeseĖ r. 1939 na pestrú, bohato rozvinutú sieĢ vysokoškolských ustanovizní pokrývajúcich celé územie Slovenska v miere možno až prevyšujúcej rozumné potreby. Azda je tento stav pozostatkom nedávneho obdobia, keć blízkosĢ sídla vysokej školy bola základným sociálno-ekonomickým predpokladom rozhodnutia absolventa strednej školy zo sociálne slabšej rodiny o pokuse vôbec študovaĢ na vysokej škole. Historický pohĐad na vznik prvej inštitúcie, organizáciu štúdia, obsah vzdelávania, poþetnosĢ a kvalitu uþiteĐského zboru, poþtu prvých študentov, ich sociálnej skladby atć., pribúdanie ćalších škôl, kvantitatívny aj kvalitatívny rast poþtu študentov, legislatívne zázemie v jednotlivých etapách vývoja až po dnešný stav atć. by sa mohol zdaĢ ohromujúci, ak by sa nebrala do úvahy skutoþnosĢ, že medzi zaþiatkom a dneškom je rozpätie troch štvrtín storoþia, v ktorých sa vývoj všetkých stránok spoloþnosti viditeĐne urýchlil. Z toho pohĐadu je taktiež zrejmé, že základné limitujúce podmienky realizácie akýchkoĐvek zámerov a plánov tkvejú v ekonomických možnostiach štátu, ktorý legislatívnymi opatreniami si vyhradzuje právo rozhodujúcim spôsobom ovplyvĖovaĢ temer všetky zložky existencie a þinnosti vysokých škôl, þo však zároveĖ definuje aj povinnosti štátu podieĐaĢ sa na zabezpeþovaní materiálnej bázy života škôl vrátane urþitej miery starostlivosti o uþiteĐov a študentov. Je vždy otázne, þi splnenie takých alebo onakých kvantitatívnych ukazovateĐov, podĐa ktorých sa stanovujú hlavné ekonomické kritériá podpory škôl, je tým najpresnejším adekvátnym vystihnutím cesty k všestrannej prosperite škôl a k prospechu spoloþnosti. Úspech školy, fakulty, uþiteĐov a študentov, ako aj spokojnosĢ dvoch posledných skupín závisí do istej miery od ich morálnych postojov, ktoré ovplyvĖujú ich konanie neraz napriek vonkajším okolnostiam, znaþne vzdialeným od þiniteĐov pozitívnej motivácie. Pokles vážnosti a spoloþenského uznania uþiteĐského povolania a jeho predstaviteĐov je nespochybniteĐným fenoménom našej spoloþnosti. Žiadna politická garnitúra zatiaĐ neprejavila serióznu snahu nielen riešiĢ tento problém, ale ani vážne zamyslieĢ sa nad ním. Napriek tomu väþšina príslušníkov uþiteĐskej komunity pociĢuje akúsi morálnu zaviazanosĢ pracovaĢ þestne a statoþne s odkazom na vlastné svedomie a zodpovednosĢ za generáciu budúcich plnohodnotných obþanov vyrastajúcich z dnešných žiakov a študentov. 5.2

ĆaĐšie perspektívy

Prechod na trojstupĖové vysokoškolské štúdium berú dnešné generácie vysokoškolských uþiteĐov ako nezmeniteĐnú skutoþnosĢ, s ktorou treba uvádzaĢ do súladu všetky aktivity v rámci pôsobenia na vysokej škole. Hoci vysokoškolský zákon z r. 2002 umožĖuje organizáciu štúdia v jednom päĢroþnom cykle hodnotenom ako magisterské štúdium, þo by v prípade uþiteĐského štúdia (nielen) matematiky zodpovedalo nášmu (a stredoeurópskemu) predchádzajúcemu a osvedþenému modelu, neobjavili sa doteraz seriózne snahy využiĢ tieto ustanovenia zákona aspoĖ na komparatívny pokus s dnešným dvojstupĖovým prístupom k uþiteĐskej kvalifikácii. Sledovanie problému, s akou „dôslednosĢou“ pristupujú v niektorých krajinách k dodržiavaniu uplatĖovania tohto – pôvodom stredovekého, v dnešnej dobe vnímaného prevažne ako anglosaského – modelu vysokoškolského štúdia, ukazuje, že sú miesta, kde prísnu záväznosĢ tohto modelu nerešpektujú. ýasĢ vysokých škôl v USA má organizáciu štúdia odlišnú od dvojstupĖovej postupnosti bakalárske – magisterské štúdium (pozri [9]). V našich podmienkach je najväþším prob-

23


1.7.2015 11:37:47

lémom uplatnenie kvalifikácie bakalár v systéme organizácie školstva. Pozoruhodné je riešenie na niektorých pedagogických univerzitách v Ruskej federácii: štvorroþným bakalárskym štúdium uþiteĐskej kombinácie získava absolvent uþiteĐskú kvalifikáciu pre nižší stupeĖ školskej sústavy, ćalším dvojroþným magisterským štúdiom získava kvalifikáciu uþiteĐa pre vyšší stupeĖ školskej sústavy. Pre obvyklý systém práce v našej spoloþnosti bude úspechom, ak sa podarí bez prerušenia absolvovaĢ aspoĖ jeden vzdelávací cyklus v dnešnom systéme organizácie. Potom by sme mohli zhodnotiĢ tento systém a s rozumom a obozretnosĢou pristúpiĢ k jeho prípadným korekciám. Literatúra [1] Varsik B. a kol.: PäĢdesiat rokov Univerzity Komenského, UK, Bratislava, 1969. [2] Lukáþ R. a kol.: 25 rokov Prírodovedeckej fakulty Univerzity Komenského v Bratislave 1940–1965, Slovenské pedagogické nakladateĐstvo, Bratislava, 1966. [3] Univerzita Komenského: PrehĐad profesorov 1919–1966. PrehĐad pracovísk 1919–1948, UK, Bratislava, 1968. [4] Sovák P. a kol.: 45. výroþie Prírodovedeckej fakulty Univerzity P. J. Šafárika, Prírodovedecká fakulta UPJŠ, Košice, 2008. [5] Pavlík O. a kol.: Pedagogická encyklopédia Slovenska 1 (A–O), Veda, VydavateĐstvo SAV, Bratislava, 1984. [6] Pavlík O. a kol.: Pedagogická encyklopédia Slovenska 2 (P–Ž), Veda, VydavateĐstvo SAV, Bratislava, 1985. [7] 10 rokov Slovenskej vysokej školy technickej v Bratislave 1938–1948. Pamätnica, SVŠT, Bratislava, 1948 [8] Galdunová I.: Výchova uþiteĐov matematiky v niektorých krajinách Európskej únie, Diplomová práca, Trnavská univerzita, Trnava, 2015. [9] Homolová D.: Výchova uþiteĐov matematiky v USA a v Ruskej federácii, Diplomová práca, Trnavská univerzita, Trnava, 2015. [10] Zbierky zákonov ýSR, SR, ýSR, ýSSR, SR, 1919–2012. [11] Soznam prednášok (V. Medek), Index poslucháþa odboru matematika – deskriptívna geometria 1942–1946. Adresa Prof. RNDr. Ján ýižmár, PhD. Katedra matematiky a informatiky Pedagogická fakulta Trnavská univerzita Priemyselná ul. þ. 4 P.O.BOX 9 918 43 Trnava Slovenská republika e-mail: [email protected]

24


1.7.2015 11:37:47

KAMIENIE MILOWE W NAUCZANIU MATEMATYKI DZIECI W POLSCE OD OSTATNICH DEKAD XIX STULECIA DO OSTATNICH DEKAD XX W. STANISŁAW DOMORADZKI Krótkie streszczenie: W referacie przestawione zostaną usilne starania o nowoczesne kształcenie matematyczne dzieci w wieku 7–10 lat w okresie zaborów i dwudziestolecia miĊdzywojennego. Szczególna uwaga zostanie zwrócona na prace zapomnianych dzisiaj A. Jeskego (1836–1875), L. JeleĔskiej (1885–1961). M. Rusieckiego (1892–1956). PokreĞlone zostanie teĪ zaangaĪowanie profesorów uniwersyteckich matematyki w kształcenie matematyczne dzieci młodszych, w tym S. Banacha (1892–1945). Nie zabraknie odwołaĔ do współczesnych koncepcji nauczania matematyki dzieci młodszych, m.in. koncepcji dzieciĊcej matematyki opracowanej przez E. Gruszczyk-KolczyĔską. DostrzeĪona zostanie metamorfoza roli dziesiątkowego systemu liczenia w edukacji matematycznej dzieci w Polsce w omawianym okresie. Milestones in the teaching of mathematics to children in Polish territories from the last decades of the nineteenth century until the end of the twentieth century. Short summary: In the talk, we will present persistent efforts to provide modern mathematical education to children aged 7–10 years in the period of the partitions and the two-decade interwar period. Particular attention will be paid to the works of now-forgotten A. Jeske (1836–1875), L. JeleĔska (1885–1961), M. Rusiecki (1892–1956). We will also underline the commitment of university professors of mathematics to mathematical education of younger children, including S. Banach (1892–1945). We will refer to the modern conception of teaching mathematics to younger children, among others, to the concept of children's mathematics developed by E. Gruszczyk-KolczyĔska. We will observe the metamorphosis of the role of the decimal system of counting in the mathematical education of children in Poland in the period under discussion. WstĊp W II połowie XIX w. Polski nie było na politycznej mapie Europy. Ziemie polskie podzieli pomiĊdzy sobą zaborcy: Austro-WĊgry, Prusy i Rosja. W Galicji – wchodzącej w skład Monarchii Austro-WĊgierskiej były najwieksze moĪliwoĞci rozwoju szkolnictwa i nauki, funkcjonowały gimnazja z polskim jĊzykiem wykładowym, działały dwa uniwersytety we Lwowie i Krakowie. Takich moĪliwoĞci nie było w pozostałych zaborach. Mimo to zakres i metody matematycznej stosowane w szkołach powszechnych zadziwiająco skutecznie przygotowywały dzieci radzenia sobie w codzienych sytuacjach. Dlatego warto przypomnieü dokonania A. Jeskego w zakresie nauczania dzieci w domu i w ówczesnych szkołach. Agust Jeske (1836–1875)1 – informacje biograficzne: Urodził siĊ 6 wrzeĞnia 1836 r. w Trzemesznie koło Poznania. Po ukoĔczeniu szkoły Ğredniej i uzyskaniu stypendium ufundowanego przez K. Marcinkowskiego wyjechał do

1 A. Wachułka, A. Jeske, [w]: Słownik Biograficzny Matematyków Polskich, red. S. Domoradzki, Z. Pawlikowska-BroĪek, D. WĊglowska, PWSZ Tarnobrzeg, 2003.

25


1.7.2015 11:37:47

Berlina i rozpoczął tam studia na Wydziale Historyczno-Filologicznym Uniwersytetu BerliĔskiego. W 1865 przyjechał do Warszawy, gdzie rozpoczął pracĊ literacko-pedagogiczną. W 1873 w wydawnictwie S. Arcta w Lublinie opublikował Augusta Jeskego Systematyczny kurs nauk przeznaczony do pomocy w wychowaniu domowym dzieci od lat 3 do 15; zawierał on m.in. ArytmetykĊ cz. I , ArytmetykĊ cz. II. W Katalogu Biblioteki Rosyjskiej Akademii Nauk (najwiĊcej z dostĊpnych w sieci bibliotek) znajdujemy aĪ 82 pozycje Jeskego. Dotyczyły one nauczania matematyki, geografii, gramatyki jĊzyka polskiego, obejmowały wypisy z literatury polskiej, opowiadania dla dzieci. Zmarł 27 paĨdziernika 1875 w Warszawie. Był autorem niezwykle popularnym i chĊtnie czytanym, gdyĪ wiele jego dzieł było wydanych i wznawianych wiele lat po jego Ğmierci.

Strony: tytułowa pierwszego wydania niezwykle popularnej Arytmetyczki Jeskego (1873) i zamieszczona w tym podrĊczniku reklama jego Systematycznego Kursu Nauk. Oddajmy głos Autorowi „Arytmetyczki”: Nauka rachunku początkowego sprawia niemałe kłopoty. Ma ona tĊ niedobrą stronĊ, Īe ją rozpoczynaü moĪna z punktów najrozmaitszych. Wszystkie one są niby dobre, ale wszĊdzie potem zjawiają siĊ trudnoĞci nie do zwalczenia. Zwykle zacząü łatwo, ale przeprowadziü naukĊ systematycznie do koĔca, to juĪ sprawa nieco trudniejsza. ĩeby pokazaü mistrzowstwo pedagogiczne Jeskego przytaczam jego sposób opracowania liczby 20. Jeske zaleca uĪywanie „okazów” (konkretów – liczmanów, narysowanych kresek, kropek (te ostatnie nie oznaczją innego przedmiotu) w nastĊpujący sposób. Przedstawiü na okazach liczbĊ 20! 20 krések jestto 2-razy 10 krések. 20 składa siĊ zatém z ilu dziesiątków?

26


1.7.2015 11:37:48

Przypomnijmy, Īe 10:20 oznacza tu pytanie ile razy 10 mieĞci siĊ w 20? ZauwaĪmy, Īe „10” nie zajmuje jeszcze centralnego miejsca w rachunkach. W czasach Jeskego posługiwano siĊ w obliczeniach kopami, tuzinami, arszynami i innymi miarami, dlatego naturalnym jest zalecanie zadaĔ, które dotyczą równieĪ innych systemów liczbowych. Na przykład: 20 jednoĞci ile dziesiątków? 20 sztuk ile tuzinów i sztuk? 20 gr. ile piĊciogroszówek? – Kiedy za 10 sztuk owiec płaci gospodarz 20 rub., po ile płacił 1 sztukĊ? Ile zapłacił za 3 sztuki, za 8 sztuk? – Ile ołówków dostaü moĪna za 20 gr., jeĪeli jedne ołówek kosztuje 4 gr.? Dukat w złocie ma 20 zł.; ile wynosi ½ dukata ? – ¼ dukata? ʹൗͶ dukata? Przy monograficznym opracowaniu nastĊpnych liczb naturalnych podobnych zadaĔ jest wiĊcej. Nie trudno zauwaĪyü, Īe dziesiątka w tych czasach nie pełni centralnego miejsca w metodyce kształtowania pojĊü liczbowych. Zapewne jest to konsekwencją tego, Īe zadaniem edukacji szkolnej było wówczas przygotowanie do radzenia sobie w sytuacjach Īyciowych. A tam przy obliczeniach posługiwano siĊ m.in. stopami, łokciami, librą i wieloma innymi miarami. Potwierdzeniem tego są zalecenia Jeskego odnoĞnie monograficznego opracowania nastĊpnych liczb, np. liczby 52.

27


1.7.2015 11:37:50

Dodaü tu trzeba, Īe Jeske w swojej koncepcji matematycznego kształcenia dzieci nawiązuje do umiejĊtnoĞci kształtowanych w edukacji domowej. Twierdzi w „Arytmetyce”: Dzieci przystĊpujące do nauki Arytmetyki, powinny byü obeznane z liczeniem i rozwiązywaniem łatwych zadaĔ w granicach do jednej setki; to im ułatwi zrozumienie i przyswojenie sobie objaĞnieĔ teoretycznych i okreĞleĔ … O tym, jak nowatorsko Jeske omawia kształcenie dzieci i młodzieĪy moĪna siĊ przekonaü studiując jego PedagogikĊ,obejmującą zasady i metody moralnego, fizycznego i naukowego wychowania dziatek (nakładem KsiĊgarni Stanisława Arcta w Lublinie, Warszawa, 1875). W tym podrĊczniku dla nauczycieli przestawił. m.in. koncepcjĊ naucznia arytmetyki.

Strona tytułowa Pedagogiki Jeskego, aprobaty: Archidiecezji Warszawskiej i cenzury carskiej. We WstĊpie Jeske twierdzi, Īe metody nauczania – takĪe te stosowane w edukacji matematycznej – mogą byü Ğrodkami, przysposabiającemi do nauki i pracy poĪytecznéj. Odwołuje siĊ do zaleceĔ ksiĊdza Piramowicza2: abyĞmy mieli zawsze przed oczyma jako cel jedyny poĪytecznoĞü w Īyciu i społeczeĔstwie ludzkiém. Cel wykształcenia elementarnego wyłoĪył w słowach: Nauka elementarna ma kształciü i sposobiü na religijno-moralnych ludzi i uĪytecznych obywateli dla kraju i społeczeĔstwa swego. KaĪdy, komu bliski jest Ğwiat dziecka – zauwaĪa Jeske – powinien zauwaĪyü, Īe dziecko ma skłonnoĞü do czynnoĞci, przewaĪa u niego chĊü zajmowania siĊ Ğwiatem najbliĪszym i branie z niego wyobraĪeĔ, a takĪe chĊü przekształcania wszystkiego (podkreĞlenie S. D.3). G. Piramowicz naleĪał do zakonu jezuitów, pedagog, w latach 1770–1773 wykładał filozofiĊ w kolegium jezuickim we Lwowie. Działał aktywnie w Komisji Edukacji Narodowej, był sekretarzem, powołanego przez KEN Towarzystwa dla Ksiąg Elementarnych. 3 Dodaü tu trzeba, Īe tezĊ tĊ Jeske sformułował pół wieku wczeĞniej nim J. Piaget ogłosił Ğwiatu swoją koncepcjĊ operacyjnego rozumowania, w której istotne miejsce zajmuje charakterystyka dzieciĊcego rozumowania właĞnie w zakresie wnioskowania o skutkach przekształceĔ (por. Piaget J.: RównowaĪenie struktur poznawczych. Centralny problem rozwoju, PWN, Warszawa, 1981, na podstawie L'équilibration des structures cognitives: problème central du développement, Presses universitaires de France, 1975). 2

28


1.7.2015 11:37:52

ZauwaĪmy i podkreĞlmy to, Īe Jeske w tej i innych swoich publikacjach odwołuje siĊ do słynnej ksiąĪki wspomnianego juĪ G. Piramowicza (1735–1801) PowinnoĞci nauczyciela (z 1787 r.), w której jej autor zauwaĪył odnoĞnie matematycznego kształcenia dzieci: Dając przykłady i üwiczenia w arytmetyce, zawsze ma przestawaü na tych rzeczach, na tych okolicznoĞciach, które siĊ w Īyciu wiejskim i po miasteczkach trafiają. Niech piszą rejestra urodzajów, zbioru, płacy czeladzi, podziału na pewną ich liczbĊ pewnej miary, ĪywnoĞci i tym podobne. […] Niech bierze od dobrych rachmistrzów dworskich wzory rachunków zboĪowych i pieniĊĪnych, podług których by uczniowie układali owe rejestra.4 Trzeba tu dodaü, Īe w czasach działalnoĞci pedagogicznej Jeskego dydaktyka niemiecka wyznaczała kształt edukacji w Europie, a w matematycznych kształceniu wzorowano siĊ na koncepcji K. Grube’go. Tymczasem Jeske podkreĞla, Īe chociaĪ w dydaktyce niemieckiej problemy dydaktyczne dotyczące nauczania elementarnego zostały doskonale opracowane, to … cała dydaktyka i metodyka niemiecka, jest gimnastyką rozumu, jest ciĊĪka i jedno-stronna; nie mieĞci w sobie piérwiastku sercowego i religijnego, nie jest zastosowana do Īycia ani wpłynąü nie jest zdolna na całkowity rozwój człowieka. JeĞli chodzi o kształtowanie sprawnoĞci rachunkowych, to Jeske zastanawia siĊ, czy jest przedmiot, który jest gorzej nauczany niĪ rachunki: Biedne dziecko, prowadzone przez niedoĞwiadczoną matkĊ lub guwernantkĊ, odrabia działania rachunkowe bez najmniejszego zasilania umysłu, bez wszelkiéj korzyĞci ulgi dla siebie. NastĊpnie Jeske: 

podkreĞla rolĊ samodzielnoĞci w nauczaniu i przestrzega przed mechanicznym kształtowaniem umiejĊtnoĞci rachunkowych;



zaleca, aby po opanowaniu przez dziecko liczenia, np. do 1000 przystĊpowaü, przede wszystkim do kształcenia umiejĊtnoĞci dodawania, odejmowania, mnoĪenia i dzielenia.

SłusznoĞü tych zaleceĔ ilustruje przykładem: przy dodawaniu zazwyczaj mówi siĊ dziecku: Dodaje siĊ od prawej rĊki do lewej, najpierw dodają siĊ liczby w pierwszym rzĊdzie, potem w drugim, trzécim ; jeĪeli w piérwszym rzĊdzie wypadnie suma 25, to 5 podpisuje siĊ pod tym samy rzĊdem a 2 dodają siĊ do drugiego rzĊdu, etc. etc. […] nota bene: coto jest liczba 1, to 100, ten tysiąc, to „dodawanie”, ta „suma”, ta „lewa”, ta „prawa”strona i tym podobne „drobnostki”, o tém dziecko najmniejszego nie ma pojĊcia, zresztą przy takiém załoĪeniu mieü go nawet nie moĪe. Cała tedy sztuka tego rachowania zasadza siĊ na bezmyĞlnym mechanizmie. Dalej Jeske wylicza niedostatki mechanicznej (pamiĊciowej) koncepcji nauczania rachowania. Nauczyciel, który nie umié inaczéj uczyü rachunków i dla którego mechanizm jest jedyną metodą wykładu, nie jest godzien byü nauczycielem: bo albo nie pojmuje wcale celu téj nauki, albo téĪ jest za leniwy … Jeske przedstawia teĪ szczegółowe zasady kształtowania umiejĊtnoĞci rachunkowych, czĊsto powołując siĊ na zalecenia G. Piramowicza. Spróbujmy, cytując Jeskego, dokładnie je zaprezentowaü:

4

Cytat za wydaniem: WSiP, Warszawa 1988.

29


1.7.2015 11:37:53

… Zaczynaü trzeba od rzeczy unaoczniających dziecku pojĊcie iloĞci, tj. od okazów i przedmiotów, które znajdują siĊ w najbliĪszym otoczeniu. Autor podkreĞla rolĊ postrzegania, oglądania, porównywania, wymyĞlania, przez co jego umysł staje siĊ twórczym i samodzielnym. Zaleca przygotowanie drewnianych klocków (10 albo 100), 100 patyczków krótkich, monet (kopiejki, dziesiątki, liczbony). WaĪnym teĪ jest uĪywanie kresek, kropek, krzyĪyków, kółek, jak równieĪ odwoływanie siĊ do elementów ciała ludzkiego (palce u rąk, nóg,) Ğwiata zwierząt (skrzydła, rogi), Ğwiata roĞlin (liĞcie, kwiaty, korony, kielich, owoce), miejsca zamieszkania (koĞciół, wieĪa, dworek, dom, pałac, zamek, ogród, staw, rzeka, góra, las), narzĊdzi i sprzĊtów domowych (zegar, noĪe, talerze, skrzypce, fortepian), monet, miar. Patyczki uwaĪa Jeske za prosty, dogodny i praktyczny Ğrodek okazowy. Mają byü wiĊksze od zapałek, dziecko … wybornie nimi operuje i sprawia mu to przyjemnoĞü. KaĪde zadanie ma rozwiązywaü samodzielnie według swoich przemyĞleĔ, ma poprawiü pomyłki i sprawdzaü za ich pomocą poprawnoĞü rozwiązania. Dla nauczyciela operowanie patyczkami przez dziecko jest wyrazem jego zaangaĪowania i rozumienia omawianych treĞci. Pomoce dydaktyczne nie polecane przez Jeskego to takĪe owoce i ciastka (nie są w stanie oprzeü siĊ mĊĪnie widokowi tych rzeczy smacznych). Druga zasada w nauczaniu rachunków brzmi: korzystaü z tego co siĊ juĪ zdobyło. Od przykładów konkretnych autor zaleca przechodzenie do pojĊü, od pojĊü do wysnuwania wniosków i podkreĞla potrzebĊ powtarzania. Dla wiĊkszej czytelnoĞci tej zasady przedstawimy przykład prezentacji liczby 3, uĪywając współczesnego jĊzyka: zajĊcia zaczynamy od konkretów, 3 patyczki, 3 klocki, 3 kreski, nastĊpnie konkrety odsuwamy i dzieci rachują w pamiĊci: ile to 2 patyczki i 1 patyczek, 2 klocki i jeden klocek, 2 kreski i jedna kreska. Potem pytamy ile to jest 1 grosz i 2 grosze, 1 dzieĔ i 2 dni, by potem zostawiü liczby mianowane i zapytaü ile to jest 1 i 2, 2 i 1. Po tych pytaniach uczeĔ pod kierunkiem nauczyciela zapisuje dodawanie pisemnym 2 i 1, 1 i 1 i 1, sposobem uĪywanym dzisiaj w pisemnym dodawaniu. PostĊpowanie takie autor nazywa genetycznym … prawideł, wniosków, formułek nie naleĪy dawaü z góry, ale dziecko powinno je raczéj wykrywaü samo, drogą własnego doĞwiadczenia. PodkreĞlona została rola samodzielnego dochodzenia do umiejĊtnoĞci rachowania. Zacytujmy i pamiĊtajmy, Īe myĞli te zostały wydrukowane w 1873 r.: Dlatego niewolno tu nigdy kwapiü siĊ nierozwaĪnie i nieopatrznie z podsuwaniem gotowych rzeczy: niewolno myĞleü, mówiü, wnioskowaü za dziecko; nie wolno utrzymywaü go ciągle w stanie biernym i zamieniaü w papugĊ, powtarzającą bezmyĞlnie to co widzi lub słyszy. JuĪ wtedy Jeske zauwaĪył negatywne dla uczenia matematyki jej formalne nauczanie. Nauka rachunków słuĪyü powinno praktycznym celom Īycia; wszelkie zatém üwiczenia i zagadnienia muszą dotyczyü sfery istotnych potrzeb naszych. Dalej autor szczegółowiej wyjaĞnia to hasło, m.in. wskazuje szkodliwoĞü długich przykładów, podczas rozwiązywania których dziecko uczy siĊ pobieĪnie i mechanicznie. Zaleca przykłady (üwiczenia) z małymi liczbami. Wprawdzie, jak zauwaĪa autor podczas uĪywania liczb duĪych wprawdzie dziecko uczy siĊ mnoĪyü i dzieliü, dodawaü i odejmowaü, ale przenigdy – rachowaü. […] Niech siĊ nauczyciel rozpatrzy siĊ troskliwie w okolicy swojej: niech bada przemysł miejscowy, handel ceny produktów, ludzi stosunki, wydarzenia pouczające, niech to wszystko zbiera skrzĊtnie i dzieciom natychmiast przedkłada, aby wiedziały jak sobie radziü póĨniej, i aby, co waĪniejsza, uczyły siĊ zwolna rozglądaü praktycznie w okolicy i ziemi swojéj.

30


1.7.2015 11:37:54

PoniewaĪ iloĞü wszelka jestto coĞ umysłowego, jest produktem ducha, rachowanie jest wiĊc takĪe prostą czynnoĞcią, prostym aktem ducha; odbywaü siĊ przeto tylko moĪe w umyĞle – siłą myĞlenia, czyli jak to mówimy, sposobem pamiĊciowym. Jeske podkreĞla rolĊ własnych spostrzeĪeĔ i doĞwiadczeĔ dziecka do przyswojenia rachunku pamiĊciowego. Zacytujemy fragment, z którym mamy do czynienia nagminnie i dzisiaj: Nie naleĪy tu atoli zapomninaü o jednej niezmiernie waĪnéj maksymie nauki: aby dzieci licząc pamiĊciowo, liczyły istotnie p a m i Ċ c i o w o, t.j. iloĞciami czyli liczbami, a nie – cyframi! jakto siĊ niestety zbyt czĊsto przytrafia. Przez złe i opatrzne rachowanie cyframi przywykają dzieci (i starzy nawet!) do tego, Īe i w pamiĊciowym rachunku widzą tylko cyfry przed sobą: licza wiĊ zupełnie tak samo jak na papierze … JeĞli dasz im do obliczenia ile wynosi „4 razy 333” to miasto liczyü praktycznie pamiĊciowo tak: 2 x 222 = 666, do tego +666 = 1332, to one bĊdą liczyü tak: 4 x 3=12, piszĊ 2, pozostaje siĊ 1; 4 x 3 = 12 a 1 z przeniesienia = 13, piszĊ 3, pozostaje siĊ 1; 4 x 312 a 1 z przeniesienia = 13, razem 1332. Liczą wiĊc kubek w kubek jak na papierze!.. Tamte rozwaĪają zadanie, rozkładają i ułatwiaja je sobie w myĞli, te zaĞ mnoĪą mechanicznie, bez myĞli bez pewnoĞci, słowem podług danéj formułki. Tamte dzieci są istotnie rachmistrzami, te zaledwie automatami i niewolnikami kilku stereotypowych prawideł. Jeske uwaĪał takĪe, Īe do rachunku pisemnego (piĞmiennego) przechodzimy nie szybciej niĪ dziecko bĊdzie w stanie pokonaü. WyjaĞniając kwestiĊ – kiedy dziecko podoła? Odpowiada: Wtedy gdy bĊdziemy je wspieraü w rachunku na konkretach, przezwyciĊĪaü niepewnoĞü … PewnoĞü i dokładnoĞü są niemniéj waĪnym warunkiem dobrego rachunku. Jeske proponuje takĪe wydzielenie czasu na rachowanie. […] przyuczamy dziecko do spokoju i uwagi, aby wiedziało Ğwiadomie, co liczy i jak liczy. […] jeĞli dziecko nie jest w stanie zrozumieü i rozwiązaü pytania naszego, trzeba mu je podaü w formie odmiennéj, praktyczniejszéj, bliĪszéj wyobraĨni jego, i jeĞli siĊ okaĪe potrzeba rozwiązaü samemu po kilka razy, póki dziecko nie wpadnie na myĞl naszą. Ponadto radzi: jeĞli pragniemy sukcesów dziecka w rachowaniu to … pozostawmy mu w nauce rachunków wszelką swobodĊ ducha, myĞli i kombinacyi: niech siĊ rusza samo (ah! Ono tak tego pragnie z duszy!) […] Niech nie bĊdzie naszym niewolnikiem: niech do jednego zagadnienia dobiera kilku sposobów rozwiązania. Wielokrotnie podkreĞla zasadĊ Powolnie a gruntownie. […] Kto téj zasady szanowaü nie umié, niech naukĊ rachunków zostawi komu innemu. A takĪe to, Īe […] pytania i zagadnienia powinny byü zawsze proste, jasne i, co najwaĪniejsze – właĞciwe wiekowi dziecinnemu. 5 Jeske zaleca teĪ w edukacji matematycznej systematycznoĞü, regularnoĞü i powtarzalnoĞci, a takĪe wiązanie nauki szkolnej z sytuacjami Īyciowymi ówczesnych uczniów. Przykładem jest sposób monograficznego opracowania liczby 1. a) Nauczyciel pokazuje dziecku jeden patyczek i pyta siĊ ile to jest patyczków, potem rysuje jedną kreskĊ na tablicy i pyta o to samo. Dalej pokazujemy kilka patyczków, kulek

5

Pół wieku póĨniej tezĊ tĊ rozwinął wielki polski psycholog S. Szuman w swojej Pedagogice pytaĔ. Podstawą jej opracowania była dogłĊbna analiza dzieciĊcych pytaĔ i odpowiedzi dorosłych akceptowanych przez dzieci. Szczegółowe informacje w rozprawie S. Szuman Rozwój pytaĔ u dziecka. Badania nad rozwojem umysłowoĞci dziecka na tle jego pytaĔ, w: Dzieła wybrane, tom 1, WSiP, Warszawa, 1985 (wydana po raz pierwszy w 1939 r.).

31


1.7.2015 11:37:54

liczmanów i pytamy czy to takĪe jest jeden patyczek, jedna kulka, jeden liczman. Autor zaleca, aby zwracaü uwagĊ na słowa: kilka, wiele, duĪo. b) Nauczyciel bierze ksiąĪkĊ i kładzie ją na stole. Ile razy połoĪył tam ksiąĪkĊ. Jeden raz. Rysuje kreskĊ na tablicy. Ile razy narysowałem kreskĊ na tablicy. c) Masz na tablicy jedna kreskĊ. Ile kresek zostanie, jeĞli zmaĪesz jedną kreskĊ. 1 kreska odjąü jedna kreska, ile to bĊdzie kresek. 1 mniéj 1 ile jestto? d) Pewna kupcowa ma 1 łokieü płótna; ileĪ razy moĪe sprzedaü z tego płótna 1 łokieü; ileĪ razy moĪe sprzedaü z tego płótna 1 łokieü? – IleĪ wiĊc razy mieĞci siĊ6 1 łokieü w łokciu? – IleĪ razy mieĞci 1 kreska w jednej kresce? – a 1 liczbon w jednym liczbonie? – IleĪ razy mieĞci siĊ 1 w 1? e) Autor wprowadza zero. Ileto czyni 1 kreska mniéj nic? – A ile czyni: nic a 1 kreska? – Ile czyni 1kreska mniéj nic? – Zamiast nic mówi siĊ takĪe: zero. A zatém: ile czyni 1 a zero? – zero a 1? – 1 mniej zero? Dodatkowo zachĊca do napisania na tablicy jeden. Potem nastĊpujĊ czytanie tego wyrazy i objaĞnianie, Īe zapisujemy go przy pomocy cyfry 1. Na koniec nastepuje propozycja zapisania działaĔ arytmetycznych związanych z liczbą 1.

Ten schemat metodyczny jest konsekwetnie powtarzany w kolejnych monograficznych opracowaniach liczb wraz z tworzniem w umysłach dzieci umiejĊtnoĞci rachunkowych. PodnieĞ jedną rĊkĊ do góry! – Ile rąk podniósł? – Podniósł jeszcze jedną rĊkĊ- 1 rĊka i 1 rĊka, ileto rąk? – Ile masz nóg! – Ile masz nóg! […] KonsekwentnoĞü zaleceĔ metodycznych Jeskego zaczyna siĊ od badania relacji (nazywa je stosunkami) 1 do 2, nastĊpnie 2 do 2, zaĞ w kolejnych monografiach do relacji 1do 3, 2 do 3, 3 do 3 i dalej: 1 do 4, 2 do 4, 3 do 4, 4 do 4 itd. ¾ … stosunek 1 do 2. – (Pisząc 1 kreskĊ na tablicy): ileto krese? – (Dopisując drugą kreskĊ): ileto kresek? – IleĪto jestjest wiĊc 1 keska, wiĊcéj 1 kreska? – Czyli krócéj: 1 a 1?

6

Tkwi, siedzi, znajduje siĊ. KłaĞü nacisk na te wyrazy objaĞniając je okazami.

32


1.7.2015 11:37:54

¾ … stosunek 2 do 2 […] (MaĪąc 2 kreski z tabl.): ile razy zmazałem 2 kreski? – A wiĊc dwie kreski znadują siĊ czyli m i e s z c z ą s i Ċ w 2 kr. Ile razy – 2 mieĞcie siĊ w dwóch ile razy? RzoałóĪ te dwa orzechy na 2 kupki! – IleĪ czyni połowa 2 orzechów – Ile czyni połowa 2 złotych? – połowa 2 rubli? – połowa 2 lat? Matka rozdzieliła 2 jabłka miĊdzy dwoje dzieci: po ile dostanie kaĪde? […] Ile razy moĪna odmierzyü 2 łokcie z 2 łokciepłótna? – Ile wynosi połowa dwóch łokci? Ile bucików trzeba do jednej p a r y? Czy jeden wół jest jest juĪ jedną parą wołów? […] Ile trzeba zapłaciü za 1 jabłko, kiedy para jabłek kosztuje 2 grosze?

¾ Stosunek 1 do 4. – 1 ksiąĪka i 1 ksiąĪka ileto ks.? – 2 ksiąĪki i 1 ks. ileto ks.? – 2 ksiąĪki i 1 ks. ileto ks.? – 3 KsiąĪki i 1 ks. ile to ks.? – A zatém 1 a 1, a 1, a 1 ksiąĪka, ileto ks.? – Czyli 1+1+1+1= ? ¾ (biorąc 4 ksiąĪki zwolna jeną po drugiéj): ile razy wziąłem tu jedną ksiąĪkĊ? (4 razy). – A zatém 4 razy 1 ksiąĪka ile to ksiąĪek? ¾ 4 ksiąĪki, mniej 1 ks., ileto ksiąĪek? 3 ks., mniéj 1 ks., ileto ks.? 2 ks., mniéj 1 ks., ileto ks.? 1 ks., ileto ksiąĪek. A zatém: 4 ks. mniéj 1 ks., mniej 1 k., mniej 1 k., mniej 1 k., ileto ksiąĪek? – Czyli 4 – 1 – 1 – 1 – 1 =? ¾ Ile razy moĪna wziąü 1 ksiąĪkĊ z 4 ks.? – A zatém: 1ksiąĪka mieĞci siĊ w 4 ks. ile razy? – Czyli 1:4=? („1 w 4 mieĞci siĊ ile razy). Potem nastepują pytania dotyczące miar powierzchni, pojemnoĞci, operacji na piĊniadzach.

33


1.7.2015 11:37:55

JuĪ przy monograficznym opracowywaniu liczby 4 otrzymujemy pokaĨną porcjĊ działaĔ arytmetycznych,7 dziĊki koncepcji jednoczesnego ich kształtowania.

Z podanych przykładów wynika jasno, Īe Jeske proponuje jednoczeĞnie pisemne dodawanie, odejmowanie, mnoĪenie, dzielenie, dzielenie z resztą. Uzasadnia to tak: niesłusznym jest patrzenie na nauczanie rachunków tylko na jako nauczenie czterech działaĔ, reguły trzech (proporcji), ułamków. Takie spojrzenie uwaĪa za 7

O trafnoĞci tego załoĪenia Ğwiadczy to, Īe zaleca siĊ ją juĪ we współczeĞnie opracowanej koncepcji wspomagania rozwoju umysłowego wraz z edukacją matematyczną uzdolnionych matematycznie dzieci. Zob. O dzieciach matematycznie uzdolnionych. KsiąĪka dla rodziców i nauczycieli, red. E. Gruszczyk-KolczyĔska, Wydawnictwo Nowa Era, Warszawa, 2012, rozdziały czĊĞci czwartej.

34


1.7.2015 11:37:57

fałszywe. Dosłownie na kaĪdej stronie Arytmetyczek opracowanych przez Jeskego dostrzega siĊ starania o to, aby rozszerzaü wiedzĊ o otoczeniu i przygotowaü uczniów do radzenia sobie w Ğwiecie liczb i zmian, jakie miały miejsce wraz ze zmianami w sposobach pomiaru wielkoĞci. Dotyczy to szczególnie podrĊcznika do nauki arytmetyki (trzecie wydanie, jak udało mi siĊ ustaliü, Arytmetyki miało miejsce w Warszawie 1873 r, dla potrzeb artykułu korzystamy z wydania VI (1904), opracowanego i uzupełnionego przez Zbigniewa KamiĔskiego (1847– 1915). W podrĊczniku tym podkreĞla, Īe we Francji na początku wieku wprowadzono miary odznaczajace siĊ wielką prostotą i łatwoĞcią w uĪyciu. System ten przyjĊło wiele krajów, m.in. Austria i Niemcy. Doceniając to Jeske dokonał uzupełnieĔ do wczeĞniej opracowanej koncepcji nauczania matematyki klarownie wyjaĞnia: Uczeni zmierzyli czĊĞü odległoĞci od równika ziemskiego do bieguna8; stąd wywnioskowali o całej tej odległoĞci; podzielili ja potem na 10 milinów czĊĞci równych i jedna taka czĊĞü przyjĊli za miarĊ długoĞci; miarĊ tĊ nazwali metrem. Wymieniono słowa greckie dla miar 10, 100, 1000, 10 000 razy wiĊkszych: deko, hekto, kilo, myrya, które zostały dodane do wyrazu metr i slowa łaciĔskie: deci, centi, mili, dla oznaczenia miar 10, 100, 1000 razy mniejszym. CałoĞü dopełnia informacja o tym, które miary gdzie są uĪywane i jak siĊ one nazywają (czĊĞü nazw dzisiaj jest nieuĪywana).9

Fragment dotyczący nazw miar w systemie metrycznym podanym w Arytmetyce Jeskego.

PowyĪej podajemy jeszcze fragment z Arytmetyki Jeskego związany z działaniami na miarach układu metrycznego. 8

Autor proponuje wykorzystaü globus i wyjaĞniü wymienione pojĊcia, pokazaü równik i bieguny ziemi. Przeszło sto lat póĨniej ustalenia A. Jeskego doceniła E. Gruszczyk-KolczyĔska (Edukacja matematyczna w klasie I. KsiąĪka dla nauczycieli i rodziców. Cele i treĞci kształcenia, podstawy psychologiczne i pedagogiczne oraz opisy zajĊü z dzieümi, red. E. Gruszczyk-KolczyĔska, Wydawnictwo CEBP, Kraków, 2014, s. 164 i 189), gdy poszukiwała metodyki zapoznawania dzieci z liczbami mianowanymi. 9

35


1.7.2015 11:38:01

Nie ulega wątpliwoĞci, Īe dziĊki ustaleniom A. Jeskego wprowadzono do nauczania arytmetyki układ metryczny (tym samym nastąpiło dołączenie miar dziesiĊtnych). Nie oznacza to, Īe zapomniano o innych miarach, ale informacje o nich pełnią juĪ rolĊ drugorzĊdną.

Fragment Arytmetyki Jeskego z uwagami związanymi z miarami rosyjskimi. Analizując póĨniejsze koncepcje matematycznego kształcenia dzieci moĪna stwierdziü, Īe przytoczone ustalenia pedagogiczne Jeskego stały siĊ podstawą bodaj wszystkich nastĊpnych koncepcji matematycznego kształcenia dzieci. Skorelowano ze sobą: kształcenie pojĊü liczbowych uporządkowanych poprzez system dziesiątkowy i system dziesiątkowy jako baza dla kształtowania sensu mierzenia i dziesiątkowej logiki jednostek pomiarowych. To, w jaki sposób Jeske osadził dziesiątkowy w edukacji matematycznej dzieci jest tak znaczące, Īe moĪna to uznaü za kamieĔ milowy matematycznego kształcenia na poziomie edukacji wczesnoszkolnej. Ustalenia Jeskego spowodowały edukacyjną metamorfozĊ systemu dziesiątkowego – zaczĊto traktowaü go jako podstawĊ zarówno kształtowania pojĊü 36


1.7.2015 11:38:05

liczbowych i umiejĊtnoĞci rachunkowych, jak wdraĪania dzieci do rozumienia sensu pomiaru wielkoĞci ciągłych i kształtowania umiejĊtnoĞci mierzenia. Postaramy siĊ to wykazaü omawiając nastĊpne kamienie milowe historii edukacji matematycznej dzieci. Opracowana ponad 30 lat póĨniej metodyka nauczania dzieci arytmetyki i geometrii przez L. JeleĔską (przy współpracy z M. Rusieckim) połączyła oba w/w skorelowane ze sobą zakresy kształcenia oparte na systemie dziesiątkowym. Informacje biograficzne: Ludwika W. JeleĔska (1885–1961)10 Urodziła siĊ 17 kwietnia 1885 w Warszawie w rodzinie Jana i Ludwiki z Czajewskich. Była siostrą Szczepana – autora bestseleru ĝladami Pitagorasa. W 1915 na Uniwersytecie we Fryburgu uzyskała stopieĔ doktora na podstawie pracy La construction du systèmes philosophique d'après saint Thomas d'Aquin (Thèse présente par Louise JeleĔska à la Faculté des Lettres de l’Université de Fribourg. Fribourg, Suisse: Imprimerie de l’Oeuvre de SaintPaul, 1915). W okresie miĊdzywojennym pracowała w PaĔstwowym Seminarium Nauczycielskim ĩeĔskim im. E. Orzeszkowej w Grodnie, gdzie wykładała metodykĊ nauczania początkowego i propedeutykĊ filozofii. Wspólnie z M. Rusieckim opublikowała wielokrotnie wznawianą MetodykĊ arytmetyki i geometrii w pierwszych latach nauczania (1939). Po zakoĔczeniu wojny osiadła w Poznaniu, gdzie w dalszym ciągu zajmowała siĊ metodyką nauczania matematyki w szkole powszechnej. Opublikowała ksiąĪkĊ Szkoła kształcąca (1945). Interesowała siĊ takĪe zagadnieniami dogmatycznymi katolicyzmu; religii poĞwiĊciła kilka własnych ksiąĪek i tłumaczeĔ wydanych w Poznaniu przed 1939. W czasach komunizmu nie korzystano z jej rad. Zmarła 27 kwietnia 1961 w Poznaniu. Marian A. Rusiecki (1892–1956)11 Urodził siĊ 23 marca 1892 w Bodzechowie koło Kielc. W 1916 ukoĔczył Wydział Matematyczno-Fizyczny Uniwersytetu Kijowskiego. Przez trzy lata pracował jako nauczyciel w gimnazjum polskim w Kijowie, a od 1919 uczył w seminarium nauczycielskim w Białymstoku. W 1922 przeniósł siĊ do Warszawy, gdzie przez 16 lat pełnił obowiązki instruktora matematyki w Ministerstwie WyznaĔ Religijnych i OĞwiecenia Publicznego, jednoczeĞnie uczył w wielu warszawskich szkołach. W czasie okupacji brał udział w tajnym nauczaniu i prowadził antykwariat. Został wywieziony po Powstaniu Warszawskim, w 1945 pracował jako nauczyciel w wiejskiej szkole podstawowej. Po powrocie do Warszawy został redaktorem działu matematyki w PaĔstwowych Zakładach Wydawnictw Szkolnych. W latach 1953–1956 pracował w PaĔstwowym Wydawnictwie Naukowym jako redaktor, a potem jako doradca naukowy. Wykładał równieĪ metodykĊ nauczania matematyki na Uniwersytecie Warszawskim, był współzałoĪycielem czasopisma dla nauczycieli Matematyka, brał udział w pracach komisji programowej Ministerstwa OĞwiaty. W 1930 załoĪył i redagował waĪne czasopismo dla nauczania matematyki Parametr. Był autorem lub współautorem orygi 10

W. Piotrowski, L. JeleĔska, [w]: Słownik Biograficzny Matematyków Polskich, red. S. Domoradzki, Z. Pawlikowska-BroĪek, D. WĊglowska, PWSZ Tarnobrzeg, 2003. 11 W. Piotrowski, M. Rusiecki, [w]: Słownik Biograficzny Matematyków Polskich, red. S. Domoradzki, Z. Pawlikowska-BroĪek, D. WĊglowska, PWSZ Tarnobrzeg, 2003.

37


1.7.2015 11:38:09

nalnych podrĊczników szkolnych, opracowaĔ metodycznych, był członkiem Komisji Głównej Olimpiady Matematycznej. Zmarł 17 listopada 1956 w Warszawie.

L. JeleĔska, A. Rusiecki: Metodyka arytmetyki i geometrii w pierwszych latach nauczania, Pierwsze wydanie: KsiĊgarnia Ğw. Wojciecha, 1939 (204 s.), powojenne wydania mają mniej stron, nie ma teĪ informacji o wydaniu, nakładzie i pierwowzorze przedwojennym. Autorka wyraĨnie zaznaczyła: WaĪnym […] pojĊciem podstawowym, które dzieci musza zdobyü juĪ w I klasie (chociaĪ nie w całej rozciągłoĞci), jest pojĊcie systemu dziesiątkowego.Zaleca wyodrĊbnienie dziesiątki jako grupy podstawowej. Godnym zauwaĪenia jest jej rozumienie tego wyodrĊbnienia: jako specjalne troskliwe üwiczenie i uwypuklenie naszego systemu rachunkowego. Kiedy dziecko przejdzie do drugiej i trzeciej, nastĊpnych dziesiątek to według autorów samodzielnie zdobĊdzie pojĊcie powracającej dziesiątki jako porządkującej liczenie. PojĊcie takie to nie jest uwaĪane za równoznaczne z pojĊciem systemu dziesiątkowego, jest jego podłoĪem (podkreĞlenie S.D.). Momentami przełomowymi o szczególnym znaczeniu metodycznym u JeleĔskiej są: Przekraczanie progu dziesiątkowego w dodawaniu, w odejmowaniu i dodawanie „kilkunastu”. Dziecko powinno w trakcie nauki krystalizowaü pojĊcie systemu pozycyjnego, w tym waĪnej informacji, Īe kaĪda jednostka wyĪszego rzĊdu zawiera 10 jednostek niĪszego rzĊdu. Opracowana przez L. JeleĔską metodyka na kolejne długie lata wyznaczyła przebieg sposobu kształtowania pojĊü i umiejĊtnoĞci matematycznych dzieci. Równolegle waĪnoĞü układu dziesiĊtnego w nauczaniu podkreĞlili Polskiej Szkoły Matematycznej: S. Banach, W. SierpiĔski, W. StoĪek. W podrĊczniku12 napisanym przez nich

12 Po odzyskaniu niepodległoĞci przez PolskĊ w listopadzie 1918 roku, szkolnictwo polskie znalazło siĊ w duĪych kłopotach. Wynikały one z istnienia nie tylko róĪnych typów szkół, lecz równieĪ z róĪnych systemów szkolnictwa w trzech zaborach. Pierwsza reforma została przeprowadzona w latach 1919–1922. PodrĊczniki pisane przez S. Banacha z współautorami były dostosowane do przeprowadzonej Polsce reformy szkolnej braci

38


1.7.2015 11:38:10

Arytmetyka i geometria dla V klasy szkoły powszechnej (Lwów – Warszawa, 1933)13 tak prowadzili układ dziesiĊtny:

Fragment z podrĊcznika Arytmetyka i geometria dla V klasy szkoły powszechnej. JĊdrzejewiczów z lat 1932–1933. Według tej reformy obowiązywał nastĊpujący model kształcenia: Szkoła powszechna – 6 lat, szkoły Ğrednie: jednolite gimnazjum – 4 lata, zróĪnicowane liceum – 2 lata. Była teĪ klasa VII (koĔcząca) w szkole powszechnej, zamiast I gimnazjum. 13 S. Banach, W. SierpiĔski, W. StoĪek: Arytmetyka i geometria dla V klasy szkoły powszechnej, Lwów – Warszawa, 1933.

39


1.7.2015 11:38:12

Banach, SierpiĔski i StoĪek układ dziesiĊtny wprowadzają semantycznie. Semantyka podana przez wybitnych matematyków jest na dwóch poziomach, zarówno dla ucznia zdolnego i mniej zdolnego. Dla zdolnego słowo jakichĞ bĊdzie modelem generowany, zaĞ dla mniej zdolnego mamy model izolowany, który dotyczy kulek ZauwaĪmy, Īe to samo pojĊcie jest dla uczniów o róĪnych poziomach mentalnych. Zaprezentowaną sytuacją dydaktyczną (Łączymy kulki w dziesiątki, te zbieramy po dziesiĊü w setki ...) moĪemy manipulowaü, jak by tu było z pieniĊdzmi. Zwróümy uwagĊ na tabelkĊ, której analiza dostarczy uczniowi nazw liczb, procesu ich tworzenia, jak równieĪ w ĞwiadomoĞci niektórych z nich moĪe zrodziü siĊ pytanie co dalej, jak dalej moĪemy tworzyü nastĊpne jednostki. Przy tej analizie waĪny jest związek miĊdzy filogenezą a ontogenezą. W dobie Arystotelesa nie było moĪliwoĞci poznania tak duĪych liczb, przy pomocy rzymskich znaków nie zapiszemy miliona. NastĊpnie autorzy podrĊcznika w formie pisanego wyjaĞnienia informują, Īe 10 jednostek tworzy dziesiątkĊ, a wiĊc dziesiĊü jednostek rzĊdu pierwszego rzĊdu równa siĊ jednostce drugiego rzĊdu. 10 jednostek tworzy setkĊ, a wiĊc dziesiĊü jednostek drugiego rzĊdu równa siĊ jednostce trzeciego rzĊdu ... Konsekwentnie profesorowie matematyki, autorzy podrĊcznika semantykĊ prowadzą na dwóch poziomach. P i s a n i e l i c z b. Do zapisywania liczb uĪywamy dziesiĊciu znaków, zwanych cyframi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, . dla ucznia zdolnego

dla ucznia mniej zdolnego

Przy pomocy tych znaków moĪemy zapisaü kaĪdą liczbĊ.

Np. liczbĊ trzy tysiące czterysta dwadzieĞcia piĊü zapisujemy: 3425

KaĪda z cyfr wskazuje iloĞü jednostek tego rzĊdu, na którym stoi

(licząc od rĊki prawej ku lewej). A zatem liczba zawiera 5 jednostek, 2 dziesiątki, 4 setki i 3 tysiące.

Brak jednostek jakiegoĞ rzĊdu oznaczamy cyfrą zero, umieszczając ją na odpowiednim miejscu.

Np. w liczbie 5036 cyfra zero oznacza brak setek.

C z y t a n i e l i c z b. LiczbĊ odczytujemy w nastĊpujący sposób: dzielimy najpierw liczbĊ na klasy po t r z y c y f r y (od prawej rĊki ku lewej). dla ucznia zdolnego Np. a) 15 345 tys. b) 25 276 476 milionów tysiĊcy A wiĊc czytamy: a) 15 tysiĊcy 345, b) 25 milionów 276 tysiĊcy 456.

dla ucznia mniej zdolnego NastĊpnie odczytujemy kaĪdą klasĊ, wymieniając jednostkĊ najniĪszego rzĊdu danej klasy. MoĪemy równieĪ dzieliü liczbĊ na klasy po szeĞü cyfr. Np. 53 456714 712342 bilionów milionów Czytamy: 53 bilionów 456714 milionów 712342 40


1.7.2015 11:38:15

Zatem, ci wybitni matematycy Polskiej Szkoły Matematycznej pisali w ten sposób podrĊcznik, aby nauczyciele mogli uczniom otworzyü Ğwiat matematyki najbardziej adekwatnym sposobem. Nie przedkładali matematycznej precyzji nad zrozumienie, dbali o wykładową, ilustracyjną, i zadaniową funkcje podrĊcznika. Ich podrĊczniki miały szerokie spektrum, daje siĊ wyraĨnie zauwaĪyü czĊĞci przeznaczone dla uczniów słabszych i zdolniejszych. UczeĔ z takiego podrĊcznika moĪe korzystaü samodzielnie, ale podrĊcznik pomaga istotnie nauczycielowi w jego pracy. Podane w podrĊczniku sytuacje dotyczące codziennych doĞwiadczeĔ uczniów są z róĪnych dziedzin, co w umysłach uczniowskich moĪe budziü potrzebĊ ujĊcia tych sytuacji w sposób ogólniejszy, co w konsekwencji prowadziü moĪe do abstrahowania. PodkreĞliü tu trzeba, Īe ustalenia metodyczne L. JeleĔskiej oraz S. Banacha, W. SierpiĔskiego i W. StoĪka to nastĊpny kamieĔ milowy w matematycznym kształceniu dzieci na drodze wyznaczonej wczeĞniej przez A Jeskego. Ustalenia te wyznaczyły w czasach powojennych miejsce i sposoby zapoznawania dzieci z dziesiątkowym systemem liczenia oraz korzystania z niego w działalnoĞci matematycznej. Kolejna zmiana o randze kamienia milowego w ustalaniu miejsca dziesiątkowego systemu liczenia w edukacji dzieci odbyła siĊ na przełomie wieków XX i XXI. Jest ona konsekwencją badaĔ nad prawidłowoĞciami kształtowania siĊ umiejĊtnoĞci liczenia. Wymieniü tu trzeba badania R. Gelmam14 oraz polskie badania zrealizowane przez E. Gruszczyk-KolczyĔską.15 W badaniach tych ustalono, Īe umiejĊtnoĞü liczenia kształtuje siĊ w umysłach dzieci tak, jak gramatyka jĊzyka ojczystego. Opisano, jak dzieci odkrywają i przyswajają sobie reguły, które są stosowane w trakcie liczenia i stosując je doskonalą umiejĊtnoĞü liczenia. R. Gelman ustaliła, Īe są to: reguła jeden do jednego, reguła niezaleĪnoĞci porządkowej, reguła kardynalnoĞci i reguła abstrakcji. Na podstawie badaĔ E. Gruszczyk-KolczyĔska potwierdziła sposoby ustalania tych reguł przez dzieci i dodała jeszcze jedną – dostrzeganie regularnoĞci dziesiątkowego systemu liczenia i korzystanie z nich. Odkrycie tej reguły pozwala dzieciom liczyü w coraz szerszym zakresie, jest podstawą prawidłowego zapisywania liczb i doskonalenia umiejĊtnoĞci rachunkowych we wszystkich etapach edukacji szkolnej. E. Gruszczyk-KolczyĔska opracowała na tej podstawie edukacyjny model wspomagania dzieci w kształtowaniu siĊ liczenia w edukacji przedszkolnej i szkolnej. W ksiaĪce16 Eduakcja matematyczna w klasie I postuluje teĪ wydzielenie edukacji matematycznej z kształcenia zintegrowanego, bowiem kilkuletnia praktyka szkolna dowodzi, ze realizacja edukacji matematycznej w konwencji zintegrowanego kształcenia przynosi duĪo szkód. Ukazuje równieĪ o co zadbaü i czego unikaü, aby dzieci lubiły uczyü siĊ matematyki i odnosiły sukcesy edukacyjne, potem Īyciowe. Z jej badaĔ17 nad uzdolnieniami matematycznymi wynika, Īe dzieci w szkole tracą radoĞü uczenia siĊ matematyki i stają siĊ mniej twórcze. PoniĪej zamieszczamy fragmenty ze wspomnianej ksiaĪki Eduakcja matematyczna w klasie I, w któ R. Gelman: What young children know about numbers, Educational Psychologist 15(1980), 54–68, oraz R. Gelman i C. R. Gallistel: The child’s understanding of number, Harvard University Press, 1978. 15 Dzieci ze specyficznymi trudnoĞciami w uczeniu siĊ matematyki, Przyczyny, diagnoza, zajĊcia korekcyjnowyrównawcze, WSiP, Warszawa, 1992, i 13 nastĊpnych wydaĔ, rozdział 2. 16 Edukacja matematyczna w klasie I. KsiąĪka dla rodziców i nauczycieli, red. E. Gruszczyk-KolczyĔska, Wydawca CEBP, Kraków, 2014. 17 O dzieciach matematycznie uzdolnionych. KsiąĪka dla rodziców i nauczycieli, red. E. Gruszczyk-KolczyĔska, Wyd. Nowa Era, Warszawa, 2012, rozdział 5. 14

41


1.7.2015 11:38:15

rych autorka traktuje o wadach tradycyjnego sposobu przekraczania progu dziesiątkowego i o rozwiązywaniu zadaĔ okienkowych.

Przytoczony fragment publikacji pokazuje teĪ, jak zmienił siĊ sposób przedstawiania problemów edukacyjnych. Nacisk połoĪony jest na jest teraz umiejĊtne kierowanie procesem uczenia siĊ dzieci, aby zbudowały w swoim umyĞle okreĞlone pojĊcia i umiejĊtnoĞci matematyczne. Od nauczyciela wymaga siĊ wiĊc solidnej wiedzy psychologicznej i dobrej znajomoĞci modeli kształtowania pojĊü i umiejĊtnoĞci matematycznych. Dowodem jest nastĊpny fragment ksiąĪki dla rodziców i nauczycieli o edukacji matematycznej dzieci.

42


1.7.2015 11:38:15

Fragmenty podrĊcznika metodycznego E. Gruszczyk-KolczyĔskiej: Edukacja matematyczna w klasie I. ZakoĔczenie Zadziwiające jest to, Īe w koncepcjach edukacyjnych A. Jeskego, L. JeleĔskiej oraz S. Banacha, W. SierpiĔskiego i W. StoĪka odnaleĨü moĪna wiele rozwiązaĔ metodycznych, które są na miarĊ współczesnej wiedzy psychologicznej i pedagogicznej. Dotyczy to nie tylko roli dziesiątkowego systemu liczenia w edukacji matematycznej dzieci. Warto wiĊc siĊgnąü do tych opracowaĔ i odczytaü je na nowo, z korzyĞcią dla podniesienie poziomu edukacji matematycznej. Warto siĊgaü do Ĩródeł historycznych, korzystaü z propozycji dydaktycznych tam zawartych, modyfikowaü je odczytując je na nowo, dostosowywaü do obecnych propozycji. Koniecznym wydaje siĊ zapoznawanie z nimi czynnych i przyszłych nauczycieli. Literatura [1] Banach S., SierpiĔski W., StoĪek W.: Arytmetyka i geometria dla V klasy szkoły powszechnej, Lwów – Warszawa, 1933. [2] Domoradzki S.: Remarks concerning the texbook “Arithmetics and geometry” for 5 class of primary school by S. Banach, W. SierpiĔski and W. StoĪek, in: Education, Science and Economics at Universities. Integration to International Educational Area, Wydawnictwo Novum, Płock, 2008, pp. 659–667. 43


1.7.2015 11:38:19

[3] Gelman R., Gallistel C. R.: The child’s understanding of number, Harvard University Press, 1978. [4] Gelman R.: What young children know about numbers, Educational Psychologist, 15(1980), pp. 54–68. [5] Gruszczyk-KolczyĔska E.: Dzieci ze specyficznymi trudnoĞciami w uczeniu siĊ matematyki, Przyczyny, diagnoza, zajĊcia korekcyjno-wyrównawcze, WSiP, Warszawa, 1992. [6] Gruszczyk-KolczyĔska E. (ed.): O dzieciach matematycznie uzdolnionych. KsiąĪka dla rodziców i nauczycieli, Wydawnictwo Nowa Era, Warszawa, 2012. [7] Gruszczyk-KolczyĔska E. (ed.): Edukacja matematyczna w klasie I. KsiąĪka dla rodziców i nauczycieli, Wydawca CEBP, Kraków, 2014. [8] Jeske A.: Arytmetyczka dla dzieci, nakładem KsiĊgarni Stanisława Arcta w Lublinie, Warszawa, 1873. [9] Jeske A.: Pedagogika, obejmująca zasady i metody moralnego, fizycznego i naukowego wychowania dziatek, nakładem KsiĊgarni Stanisława Arcta w Lublinie, Warszawa, 1875. [10] Jeske A.: Arytmetyka, Kurs elementarny, nakładem i drukiem Michała Arcta, Warszawa, 1904. [11] JeleĔska L., przy współudziale Rusieckiego M.: Metodyka arytmetyki i geometrii w pierwszych latach nauczania, KsiĊgarnia Ğw. Wojciecha, PoznaĔ, 1939. [12] Piaget J.: RównowaĪenie struktur poznawczych. Centralny problem rozwoju, PWN, Warszawa, 1981. [13] Piotrowski W.: M. Rusiecki, [w]: Słownik Biograficzny Matematyków Polskich, Domoradzki S., Z. Pawlikowska-BroĪek Z., WĊglowska D. (eds), PWSZ, Tarnobrzeg, 2003. [14] Piotrowski W.: L. JeleĔska, [w]: Słownik Biograficzny Matematyków Polskich, Domoradzki S., Z. Pawlikowska-BroĪek Z., WĊglowska D. (eds), PWSZ, Tarnobrzeg, 2003. [15] Piramowicz G.: PowinnoĞci nauczyciela (1787), WSiP, Warszawa, 1988. [16] Szuman S.: Rozwój pytaĔ u dziecka. Badania nad rozwojem umysłowoĞci dziecka na tle jego pytaĔ, w: Dzieła wybrane, tom 1, WSiP, Warszawa, 1985. [17] Wachułka A.: A. Jeske, [w]: Słownik Biograficzny Matematyków Polskich, Domoradzki S., Z. Pawlikowska-BroĪek Z., WĊglowska D. (eds), PWSZ, Tarnobrzeg, 2003.

Adres Dr hab., prof. UR Stanisław Domoradzki Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Uniwersytet Rzeszowski 35-951 Rzeszów Ul. Prof. S. Pigonia 1 e-mail: [email protected]

44


1.7.2015 11:38:21

O NĚKTERÝCH KLASICKÝCH NEROVNOSTECH Antonín Slavík Abstract: The text focuses on the early history of several classical inequalities, in particular the AM-GM inequality, Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz inequality, and Jensen’s inequality. We revisit their original proofs, and also examine the context in which these inequalities appeared for the first time.

Úvod Nerovnosti patří mezi nepostradatelné nástroje ve všech odvětvích moderní matematiky. K tomu, že se staly samostatným předmětem systematického studia, došlo až v 19. století. V současnosti je každoročně publikována řada monografií a článků věnovaných nerovnostem, existují i matematické časopisy zaměřené výhradně na nerovnosti a jejich aplikace (např. Journal of Inequalities and Applications). Tento příspěvek se zabývá historií některých klasických nerovností, zejména nerovnosti mezi aritmetickým a geometrickým průměrem, Cauchyovy-BunjakovskéhoSchwarzovy nerovnosti a Jensenovy nerovnosti. Popíšeme, v jakém kontextu se tyto nerovnosti poprvé objevily, jak byly dokazovány a případně zobecňovány. Informace jsou čerpány především z původních pramenů a z přehledových prací [Fin, Roy], které se též věnují historii některých dalších nerovností. Řadu historických poznámek lze najít i v klasické monografii [HLP] nebo v mimořádně čtivě a srozumitelně psané knize [Stl]. 1. Nerovnost mezi aritmetickým a geometrickým průměrem K nejstarším známým nerovnostem patří vztah mezi aritmetickým a geometrickým průměrem (tzv. AG nerovnost): Pro každou n-tici nezáporných reálných čísel x1 , . . . , xn platí x 1 + · · · + xn n , (1) x1 · · · x n ≤ n přičemž rovnost nastává pouze pro x1 = · · · = xn . V nejjednodušším případě n = 2 má nerovnost (1) tvar x+y xy ≤ 2 nebo ekvivalentně

xy ≤

x+y 2

2 ,

přičemž rovnost nastává pouze pro x = y.

45


1.7.2015 11:38:22

Obě tvrzení lze interpretovat geometricky: 1) Nechť AC je průměr půlkružnice, který je bodem B rozdělen na dvě části o délkách x, y. Uvažujme pravoúhlý trojúhelník ACD, kde bod D leží na dané půlkružnici a úsečka BD je kolmá na AC (obr. 1). Podle Eukleidovy věty o výšce je |BD| = xy. Protože délka BD nikdy nebude větší než poloměr půlkružnice, platí |AC| x+y = , |BD| ≤ 2 2 přičemž rovnost nastává, jen když B je středem AC, tj. když x = y. 2) Ze všech obdélníků, které mají obvod předepsané délky , má největší obsah čtverec o straně délky /4. Skutečně, jsou-li x, y délky stran obdélníku, pak podle AG nerovnosti platí 2 2 x+y = xy ≤ 2 4 a rovnost nastává, pouze když x = y = /4.

D

xy

A

x

y

B

C

Obr. 1: Geometrická interpretace AG nerovnosti pro n = 2 Tyto výsledky (a tedy vlastně i AG nerovnost pro n = 2) byly známy již ve starověkém Řecku.1 Další historie AG nerovnosti je spjata až s rozvojem algebry v 17. století, zejména s prohlubováním znalostí o řešení algebraických rovnic.2 Připomeňme známý vztah mezi kořeny a koeficienty libovolného normovaného polynomu: Jestliže x1 , . . . , xn jsou kořeny polynomu P (x) = xn − A1 xn−1 + A2 xn−2 − · · · + (−1)n An , tj. pokud platí P (x) = (x − x1 ) · · · (x − xn ), pak Ak = x i1 · · · x ik ,

k ∈ {1, . . . , n}.

(2)

(3)

1≤i1
46


1.7.2015 11:38:22

Koeficienty jsou tedy vcelku jednoduchými funkcemi kořenů (jedná se o tzv. elementární symetrické polynomy). Obtížnější a z praktického hlediska důležitější je obrácený problém: Co můžeme říci o kořenech daného polynomu na základě znalosti jeho koeficientů? V dalším textu budeme uvažovat pouze normované polynomy s reálnými koeficienty. Je dobře známo, že kvadratický polynom x2 − A1 x + A2 má reálné kořeny x1 , x2 2 právě tehdy, když jeho diskriminant A21 − 4A2 je nezáporný, tj. když (A1 /2) ≥ A2 . Zároveň víme, že A1 = x1 + x2 a A2 = x1 x2 . Odtud po úpravě plyne, že pro každá dvě reálná čísla x1 , x2 platí 2 x1 + x 2 ≥ x1 x 2 , 2 což je speciální případ AG nerovnosti (1) pro n = 2. Fran¸cois Viète se v práci De Numerosa Potestatum Resolutione 3 z roku 1600 zabývá otázkou, za jakých okolností má kubická rovnice x3 − A1 x2 + A2 x − A3 = 0 2 tři různé reálné kořeny, a bez důkazu uvádí podmínku 3 (A1 /3) > A2 . Jako příklad 3 2 zmiňuje rovnici x − 6x + 11x − 6 = 0, která má kořeny 1, 2, 3 a danou pod2 mínku splňuje, neboť 3 (6/3) > 11. Thomas Harriot v knize Artis analyticae praxis z roku 1631 upozorňuje, že Viètova podmínka není dostačující, neboť např. rovnice x3 − 6x2 + 11x − 12 = 0, která podmínce vyhovuje, má pouze jeden reálný kořen 4. K tomu, aby kubická rovnice měla tři navzájem různé kladné kořeny, musí podle 3 Harriota dále platit (A1 /3) > A3 , což ve výše uvedeném příkladu není splněno.4 Pokud x1 , x2 , x3 jsou tři různé kořeny normované kubické rovnice, pak Viètovu a Harriotovu podmínku můžeme s využitím vztahu (3) přepsat do tvaru 2 x 1 + x2 + x3 x1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 , (4) > 3 3 3 x1 + x2 + x3 > x1 x 2 x 3 . (5) 3 Harriot dokázal, že nerovnosti (4) a (5) platí pro každá tři čísla x1 , x2 , x3 , která nejsou všechna shodná. Jeho důkazy jsou elementární, avšak poněkud zdlouhavé; lze je najít v [Std2] na str. 234–6, resp. v [SG] na str. 101–103. Ze vztahu (5), který je ekvivalentní s AG nerovností pro n = 3, pak Harriot odvodil výše zmíněnou 3 podmínku (A1 /3) > A3 . Poznamenejme, že obě nerovnosti (4), (5) představují speciální případy tzv. Maclaurinových nerovností, o kterých se zmíníme později. 3 Viz

též anglický překlad [Vie], str. 360. zemřel roku 1621. Kniha Artis analyticae praxis byla sestavena z dochovaných rukopisů a publikována až deset let po jeho smrti, přičemž bohužel došlo k vynechání, resp. nevhodnému přeuspořádání některých částí. O pečlivější rekonstrukci se zasloužila historička Jacqueline Stedall v knize [Std2] z roku 2003, kde jsou Harriotovy rukopisy zároveň přeloženy do angličtiny. Pasáž o Vi` etově podmínce týkající se kubických rovnic začíná na str. 229, Harriotova nová podmínka je uvedena na str. 232. Další anglický komentovaný překlad Harriotovy práce Artis analyticae praxis byl publikován roku 2007 v [SG]. 4 Harriot

47


1.7.2015 11:38:22

Isaac Newton v knize Arithematica universalis [New] z roku 1707 publikoval bez důkazu následující pravidlo umožňující odhadnout počet komplexních kořenů libovolného polynomu stupně n: Začne se s posloupností zlomků n , 1

n−1 , 2

n−2 , 3

...,

1 n

a každý zlomek kromě prvního se vydělí předchozím zlomkem. Tím vznikne posloupnost n − 1 čísel n−1 , 2n

2(n − 2) , 3(n − 1)

3(n − 3) , 4(n − 2)

...,

n−1 , 2n

která se následně zapíší nad členy daného polynomu s mocninami xn−1, xn−2, . . . , x1. V dalším kroku se pod každý z uvažovaných členů připíše znaménko plus nebo mínus podle toho, zda je druhá mocnina členu násobená číslem nad ním větší nebo menší než součin nejbližších dvou sousedních členů. Pod krajní dva členy polynomu, tj. člen s nejvyšší mocninou a absolutní člen, se vždy napíší znaménka plus. V takto získané posloupnosti všech znamének se nakonec spočítají případy, kdy se znaménka mění, čímž se získá dolní odhad počtu komplexních kořenů.5 Protože u krajních členů jsou znaménka plus, počet znaménkových změn je vždy sudý; to je v souladu se skutečností, že polynom s reálnými koeficienty má sudý počet komplexních kořenů. Newton celý postup demonstruje na příkladu polynomu x3 + px2 + 3p2 x − q, kde p, q jsou libovolná kladná čísla. Z výchozí trojice zlomků 31 , 22 , 13 v dalším kroku vznikne dvojice zlomků 13 , 13 , které se zapíší nad prostřední dva členy polynomu: 1 3

1 3

x3 + px2 + 3p2 x − q Protože platí 13 p2 x4 < 3p2 x4 a 13 9p4 x2 > −qpx2 , doplníme pod prostřední dva členy znaménka plus a mínus. Po přidání znamének plus pod krajní členy vznikne následující schéma: 1 3

1 3

−

+

x3 + px2 + 3p2 x − q +

+

Znaménka se dvakrát mění, proto bude mít uvažovaný polynom aspoň dva komplexní kořeny. 5 Na počítání změn znamének je založeno i pravidlo Reného Descarta z roku 1637, které umožňuje odhadnout počet kladných kořenů libovolného polynomu; viz např. [Beč, Std1].

48


1.7.2015 11:38:22

V Newtonově postupu je potřeba uvažovat i členy s nulovými koeficienty. Například u polynomu x4 − 6x2 − 3x − 2 chybí kubický člen, což Newton vyznačuje hvězdičkou. Stejným postupem jako dříve pak dospěje ke schématu 3 8

4 9

3 8

+ +

+

−

x4 ∗ −6x2 − 3x − 2 +

a usoudí, že polynom má aspoň dva komplexní kořeny. Nakonec ještě podává upřesňující návod pro případ, kdy jsou nulové dva nebo více po sobě jdoucích koeficientů; viz např. [Roy], str. 83. Aplikujeme-li Newtonův postup na obecný polynom zapsaný ve tvaru (2), objeví k n−k se nad členem (−1)k Ak , kde k ∈ {1, . . . , n − 1}, číslo k+1 n−k+1 . Znaménka plus k n−k 2 nebo mínus pak doplňujeme podle toho, zda platí k+1 n−k+1 Ak > Ak−1 Ak+1 nebo opačná nerovnost, přičemž klademe A0 = 1. Z Newtonova pravidla plyne, že pokud polynom (2) má pouze reálné kořeny, pak platí k n−k A2 ≥ Ak−1 Ak+1 , k ∈ {1, . . . , n − 1}. (6) k+1n−k+1 k Jelikož je n n k n−k = k−1 k+1 , n 2 k+1n−k+1 k

dají se nerovnosti (6) přepsat do tvaru 2 Ak−1 Ak+1 Ak n ≥ n n , k

neboli

k−1

Ek2 ≥ Ek−1 Ek+1 ,

k ∈ {1, . . . , n − 1},

kde E1 , . . . , En definujeme předpisem 1 Ak E k = n = n k

k

k ∈ {1, . . . , n − 1},

k+1

x i 1 · · · x ik ,

k ∈ {1, . . . , n}

(7)

(8)

1≤i1
a E0 = 1. Vztahy (7) bývají označovány jako Newtonovy nerovnosti.6 Dnes víme, že z nich snadno plyne i AG nerovnost7 : Logaritmováním vztahu (7) dostaneme log Ek ≥

log Ek−1 + log Ek+1 , 2

6 Je užitečné nahlížet na E , . . . , E jako na funkce proměnných x , . . . , x , přestože tuto n n 1 1 závislost explicitně nevyznačujeme. 7 Zdůvodnění je převzato z dvanácté kapitoly [Stl].

49


1.7.2015 11:38:22

což znamená, že lomená čára procházející body [k, log Ek ], 0 ≤ k ≤ n, je grafem konkávní funkce (obr. 2). Nechť Lk = (log Ek )/k, tj. Lk je směrnice přímky spojující body [0, 0] = [0, log E0 ] a [k, log Ek ]. Z konkávnosti plyne L 1 ≥ L2 ≥ · · · ≥ L n a pomocí exponenciály ihned obdržíme následující tzv. Maclaurinovy nerovnosti: 1

1

1

E1 ≥ (E2 ) 2 ≥ · · · ≥ (En−1 ) n−1 ≥ (En ) n

(9)

Navíc lze dokázat, že všechny nerovnosti v (9) přecházejí v rovnost právě tehdy, když x1 = · · · = xn . Ponecháme-li v (9) pouze krajní členy, získáme AG nerovnost, neboť E1 = (x1 + · · · + xn )/n a En = x1 · · · xn . Pro n = 3 ze vztahu (9) plyne jak Viètova podmínka (4), tak i Harriotova podmínka (5).

log E5 log E4 log E3 log E2 log E1

1

2

3

4

5

Obr. 2: Klesající směrnice přímek spojujících body [0, 0] a [k, log Ek ] O zdůvodnění Newtonova pravidla týkajícího se počtu komplexních kořenů se pokusil Colin Maclaurin; roku 1726 zaslal viceprezidentovi Royal Society Martinu Folkesovi dopis, ve kterém jej informoval o svých dosavadních výsledcích. Dopis obsahuje zdůvodnění Newtonova pravidla pro polynomy druhého až čtvrtého stupně a je stručně zakončen větou „To be continued. Folkesovým přičiněním byl dopis ještě tentýž rok otištěn ve Philosophical Transactions of the Royal Society [Mac1]. Další pokusy o důkaz Newtonova pravidla pro obecné polynomy byly uveřejněny ve stejném časopise, a to nejprve v práci George Campbella [Cam] z roku 1728, a poté ve druhém otištěném Maclaurinově dopise Folkesovi [Mac2] z roku 1729.8 8 Obsahy

všech tří prací a okolnosti jejich vzniku jsou detailně popsány ve čtvrté kapitole [Std1]. Campbell a Maclaurin vedli spor ohledně prvenství, zdá se však, že ke svým objevům dospěli nezávisle na sobě. Edward Waring v knize [War1] (viz též anglický překlad [War2]) z roku 1782 poznamenal, že jejich důkazy Newtonova pravidla nejsou úplné. Campbell i Maclaurin dokázali, že každá změna znaménka odpovídá dvojici komplexních kořenů, avšak nezdůvodnili, že tyto dvojice jsou navzájem různé. Korektní odvození Newtonova pravidla pochází od Jamese Josepha Sylvestera, který v článku [Syl] z roku 1865 dokonce dospěl k obecnějšímu tvrzení. Moderní důkazy Newtonových nerovností lze najít např. v [HLP, Stl, Wag]; Sylvesterovo zobecnění Newtonova pravidla je popsáno v článku [Aco].

50


1.7.2015 11:38:22

Druhý dopis [Mac2] je zajímavý i tím, že obsahuje důkazy některých Maclaurinových nerovností (9) včetně AG nerovnosti. Obsahem lemmatu V je následující tvrzení, o kterém Maclaurin píše, že je převzato z Eukleidových Základů: Je-li úsečka AB rozdělena bodem P na dvě části, pak obsah obdélníku o stranách AP a P B je maximální, právě když jsou obě části stejně dlouhé. V dalšímu lemmatu VI pak Maclaurin tvrdí: Je-li úsečka AB rozdělena na libovolný počet částí AC, CD, DE, EB, pak součin jejich délek je maximální, právě když jsou všechny části stejně dlouhé. Důkaz vypadá následovně9 : Je-li bod D umístěn jakkoliv, E je střed DB a e je libovolný jiný bod ležící na úsečce DB, pak součin AC × CD × DE × EB je větší než AC × CD × De × eB, protože podle lemmatu V je DE × EB větší než De × eB. Ze stejného důvodu je uvažovaný součin maximální jen tehdy, když body C, D jsou středy úseček AD, CE, neboli když části AC, CD, DE, EB jsou stejně dlouhé. Přestože Maclaurin ve svých úvahách hovoří o dělení úsečky AB třemi dělicími body C, D, E, je jasné, že jeho postup je zcela obecný a funguje pro libovolný počet dělicích bodů. Důkaz však není zcela úplný: Maclaurin pouze ukázal, že součin délek může být maximální, jen když jsou všechny úsečky stejně dlouhé. Přitom automaticky předpokládal, že se maxima skutečně nabývá, což je ovšem potřeba zdůvodnit. Vybaveni znalostmi moderní matematické analýzy bychom mohli argu n−1 mentovat následovně: Je-li délka úsečky AB a jsou-li x1 , x 2 , . . . , xn−1 , − i=1 xi

n−1 délky dílčích úseček, pak funkce x1 · · · xn−1 · x − i=1 xi je spojitá na kompaktní množině {x ∈ Rn−1 ; x1 , x2 , . . . , xn−1 ≥ 0, x1 + · · · + xn−1 ≤ }, a tedy nabývá extrémů. Lemma VI v Maclaurinově dopise je následováno dalšími příbuznými tvrzeními. Lemma VII říká, že pokud je úsečka AB rozdělena na libovolný počet částí, pak součet součinů délek všech možných dvojic je maximální, právě když jsou všechny části stejně dlouhé. Jsou-li totiž části jako výše označeny AC, CD, DE, EB, pak uvažovaný součin je AC × (CD + DE + EB) + CD × (DE + EB) + DE × EB = = AC × CB + CD × DB + DE × EB. Aby byl součin DE × EB maximální, musí být podle lemmatu V bod E středem DE. Analogicky se zdůvodní, že D musí být středem CE a C středem AD. V lemmatu VIII Maclaurin podobným způsobem ukazuje, že součet součinů délek všech možných trojic je maximální, právě když jsou všechny části stejně dlouhé. Nakonec v lemmatu IX píše, že přechozí úvahy lze zobecnit na součet součinů všech možných k-tic. Poté odvozuje následující větu: Jestliže všechny kořeny rovnice xn − A1 xn−1 + A2 xn−2 − · · · + (−1)n An = 0 9 Držíme

se Maclaurinova zápisu a používáme stejné označení pro úsečky i jejich délky.

51


1.7.2015 11:38:22

jsou kladné a nejsou si rovny, pak platí n r

nr

Ar1 > Ar ,

r ∈ {2, . . . , n}.

(10)

K dokázání věty stačí použít lemma IX na úsečku AB o délce = x1 + · · · + xn , kde x1 , . . . , xn jsou kořeny dané rovnice: r r A1 n x i1 · · · x i r < = Ar = r n n 1≤i1
1≤i1
r Vztah (10) lze přepsat do tvaru (A1 /n) > Ar / nr , resp. (E1 )r > Er , kde E1 , . . . , En jsou definovány pomocí (8). Vidíme, že nerovnosti (10) odpovídají Maclaurinovým nerovnostem (9); speciálně pro r = n tedy ze vztahu (10) plyne AG nerovnost10 n x1 + · · · + x n x1 x2 · · · x n < . n Z dnešního pohledu první korektní důkaz AG nerovnosti podal Augustin Louis Cauchy v učebnici Cours d’analyse [Cau1]11 , která vychází z jeho přednášek konaných na pařížské École Polytechnique. První vydání knihy z roku 1821 je tvořeno dvanácti kapitolami, po kterých následuje devět dodatků na 174 stranách. Druhý dodatek Sur les formules qui résultent de l’emploi du signe > ou <, et sur les moyennes entre plusieurs quantités je věnován nerovnostem a průměrům. Cauchy v úvodu připomíná význam symbolů <, > a podrobně rozebírá, které operace lze s nerovnostmi provádět (sčítání a násobení nerovností, násobení číslem, umocňování, logaritmování). V další části dodatku se dostává k průměrům a píše, že průměrem čísel a, a , a , . . . je jistá hodnota M (a, a , a , . . . ), která se nachází mezi nejmenším a největším ze zadaných čísel. Cauchy nejprve dokáže několik vlastností takto abstraktně definovaného průměru a teprve poté se dostává k aritmetickému a geometrickému průměru; AG nerovnost se objevuje až v úplném závěru kapitoly. V první části důkazu používá Cauchy matematickou indukci k ověření tvrzení v případě, že n je mocnina dvojky; ve druhé části pak elegantním trikem výsledek zobecní pro libovolné n ∈ N. Ukažme si jeho postup podrobněji. Místo (1) budeme dokazovat ekvivalentní nerovnost n x1 + · · · + x n . (11) x1 · · · xn ≤ n (Cauchy místo x1 , x2 , x3 , . . . píše A, B, C, . . . ) Pro n = 2 tvrzení platí, neboť x1 x2 =

x1 + x 2 2

2

−

x1 − x2 2

2

≤

x1 + x 2 2

2 .

(12)

10 Nerovnost 11 Viz

je ostrá, neboť jsme předpokládali, že všechna čísla x1 , . . . , xn nejsou shodná. též komentovaný anglický překlad [BS].

52


1.7.2015 11:38:22

Pro n = 4 použijeme právě dokázanou nerovnost (12) dvakrát za sebou a dostaneme x 1 x 2 x 3 x4 ≤

x1 + x 2 2

2

x 3 + x4 2

2 ≤

x1 + x 2 + x 3 + x 4 4

4 .

(13)

Pro n = 8 nejprve aplikujeme vztah (13) a následně opět (12): 4 x 5 + x 6 + x7 + x8 ≤ x1 x2 x 3 x4 x5 x6 x 7 x8 ≤ 4 8 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 ≤ 8

x1 + x 2 + x 3 + x 4 4

4

Předchozí výpočty ukazují, jak lze indukcí dokázat platnost nerovnosti (11) pro všechna n ve tvaru 2m , kde m ∈ N0 : x 1 · · · x 2m ≤

x1 + · · · + x 2 m 2m

2m (14)

Není-li n mocninou dvojky, najdeme nejmenší přirozené m takové, že 2m > n. Dále položíme x 1 + · · · + xn K= n a použijeme již dokázanou nerovnost (14), čímž obdržíme x1 · · · xn K

2m −n

≤

x1 + · · · + xn + (2m − n)K 2m

K dokončení důkazu stačí vydělit číslem K 2

x1 · · · x n ≤ K n =

m

−n

2m

=

2m K 2m

2m

= K 2m .

:

x1 + · · · + x n n

n

Právě popsaný Cauchyův důkaz je dnes považován za klasický a najdeme jej v řadě učebnic; viz např. [Stl, Ves1]. AG nerovnost má i svou méně známou integrální variantu, kde místo konečné posloupnosti čísel x1 , . . . , xn vystupují funkční hodnoty spojité funkce g : [a, b] → R+ . Příslušné tvrzení se poprvé objevuje v práci Viktora Jakovleviče Bunjakovského [Bou] z roku 1859; ta je věnována nerovnostem, ve kterých vystupují integrály. Přirozenou analogií aritmetického průměru je výraz 1 b−a

b

g(x) dx.

a

53


1.7.2015 11:38:23

Bunjakovskij se zamýšlí nad otázkou, jak by měla být definována analogie geometrického průměru. Všímá si toho, že logaritmem geometrického průměru n-tice čísel je aritmetický průměr jejich logaritmů: log

√ n

x1 x 2 · · · x n =

log x1 + log x2 + · · · + log xn n

(15)

V souladu s tímto pozorováním by logaritmem geometrického průměru spojité b 1 funkce g měla být hodnota b−a log g(x) dx, což vede k definici geometrického a průměru jakožto výrazu

b 1 log g(x) dx . exp b−a a Bez podrobnějšího vysvětlení pak Bunjakovskij píše, že z AG nerovnosti plyne vztah

b

b 1 1 g(x) dx ≥ exp log g(x) dx . (16) b−a a b−a a Zřejmě má na mysli následující postup: Interval [a, b] rozdělíme pomocí bodů a = x0 < x1 < · · · < xn = b na n stejně velkých intervalů. Použitím AG nerovnosti a vztahu (15) na hodnoty g(x1 ), . . . , g(xn ) dostaneme n n 1 1 b−a = g(xi ) g(xi ) ≥ b − a i=1 n n i=1 n n 1 b−a i=1 log g(xi ) ≥ exp = exp , log g(xi ) n b − a i=1 n

odkud přechodem k limitě pro n → ∞ obdržíme nerovnost (16). Z integrální verze (16) lze zpětně odvodit původní nerovnost (1): Jsou-li dána kladná čísla x1 , . . . , xn , stačí opět rozdělit interval [a, b] na n stejně velkých podintervalů a definovat funkci g : [a, b] → R tak, že její hodnota uvnitř i-tého podintervalu bude xi (hodnoty v krajních bodech lze volit libovolně); nerovnost (16) se pak redukuje na vztah (1).

2. Cauchyova-Bunjakovského-Schwarzova nerovnost V Cauchyově učebnici [Cau1] se kromě důkazu AG nerovnosti poprvé v historii objevuje i následující nerovnost: Pro všechna reálná čísla a1 , . . . , an a b1 , . . . , bn platí n n n 2 a i bi ≤ ai b2i , (17) i=1

i=1

i=1

přičemž rovnost nastává právě tehdy, když jeden z vektorů (a1 , . . . , an ), (b1 , . . . , bn ) je násobkem druhého.

54


1.7.2015 11:38:23

Chceme-li dospět k požadované nerovnosti, stačí dokázat, že 2 n n n 2 2 a i bi ≤ ai bi . i=1

i=1

i=1

Tato nerovnost platí, protože n n 2 n n n 2 2 ai bi − a i bi = a2i b2j − a i bi a j bj = i=1

i=1

i=1

i,j=1

i,j=1

n n n 1 2 2 1 = (ai bj + a2j b2i ) − a i bi a j b j = (ai bj − aj bi )2 ≥ 0. 2 i,j=1 2 i,j=1 i,j=1

Z předchozího

n výpočtu zároveň plyne, že rovnost ve vztahu (17) nastane právě tehdy, když i,j=1 (ai bj − aj bi )2 = 0, neboli ai bj = aj bi pro každou dvojici i, j. a Je-li aspoň jedno číslo bj nenulové, bude platit ai = bjj bi pro každé i ∈ {1, . . . , n}, a a tedy (b1 , . . . , bn ) = λ · (a1 , . . . , an ) pro λ = bjj ; tím je důkaz dokončen. Vzorec

n i=1

a2i

n i=1

b2i

−

n

2 a i bi

i=1

=

n 1 (ai bj − aj bi )2 , 2 i,j=1

ke kterému jsme dospěli v průběhu důkazu, se nazývá Lagrangeova identita.12 Někdy se zapisuje v ekvivalentní podobě n n 2 n−1 n n 2 2 ai bi − a i bi = (ai bj − aj bi )2 . (18) i=1

i=1

i=1

i=1 j=i+1

Cauchy místo a1 , a2 , a3 , . . . a b1 , b2 , b3 , . . . píše a, a , a , . . . a α, α , α , . . . ; Lagrangeovu identitu (18) pak v jeho důkazu najdeme ve tvaru (aα + a α + a α + · · · )2 + (aα − a α)2 + (aα − a α)2 + · · · + (a α − a α )2 + · · · = = (a2 + a2 + a2 + · · · )(α2 + α2 + α2 + · · · ). Pokud odhlédneme od tohoto poněkud těžkopádného způsobu zápisu, neliší se Cauchyův postup od výše uvedeného důkazu. Je pozoruhodné, že v učebnici [Cau1] je nerovnost (17) uvedena bez jakékoliv motivace a ve zbytku knihy není nikde zapotřebí. Cauchy ji využil až v knize [Cau2] z roku 1829, konkrétně v dodatku Note sur la détermination approximative des racine d’une équation algébrique ou transcendante věnovaném přibližnému řešení algebraických a transcendentních rovnic. Podobně jako u AG nerovnosti se integrální verze Cauchyovy nerovnosti poprvé objevuje v Bunjakovského práci [Bou]. Autor nejprve uvádí nerovnost (17) a píše, že je dobře známá; Cauchyovo jméno nezmiňuje.13 Poté následuje integrální tvar 12 Pro n = 3 lze identitu nalézt v Lagrangeově práci [Lag] z roku 1773; Cauchy píše, že tento speciální případ identity je užitečný při zkoumání křivosti křivek na plochách a v mechanice, neuvádí však žádné podrobnosti. 13 Bunjakovskij byl Cauchyovým studentem, v Paříži získal roku 1825 doktorát.

55


1.7.2015 11:38:23

nerovnosti

X x0

2

ϕ(x) dx ·

X x0

2

ψ(x) dx ≥

X

2 ϕ(x)ψ(x) dx ,

x0

kde ϕ, ψ jsou spojité funkce definované na [x0 , X]. Bunjakovskij bez dalších podrobností tvrdí, že tento vztah ihned plyne z nerovnosti (17), pokud za čísla a1 , . . . , an a b1 , . . . , bn dosazujeme hodnoty funkcí ϕ, ψ. Integrální tvar Cauchyovy nerovnosti je spjat i se jménem Hermanna Amanda Schwarze. Ten v článku [Sch] z roku 1888 věnovaném zkoumání minimálních ploch pomocí variačního počtu uvažuje tři dvojné integrály

A= ϕ2 dx dy, B = ϕχ dx dy, C = χ2 dx dy, přičemž se vždy integruje přes jistou oblast T ⊂ R2 . O funkcích ϕ, χ : T → R se předpokládá, že jejich podíl není roven konstantní funkci. Potom

(αϕ + βχ)2 dx dy = Aα2 + 2Bαβ + Cβ 2 je kvadratická forma v proměnných α, β, která je pozitivně definitní, neboť integrál na levé straně je s výjimkou případu α = β = 0 kladný. Odtud plyne, že diskriminant kvadratické formy musí být záporný, tj. 4B 2 − 4AC < 0.14 Z této nerovnosti pak √ √ získáme |B| < A C, neboli ϕχ dx dy < ϕ2 dx dy · χ2 dx dy. (19) Pokud by některá z funkcí ϕ, χ byla násobkem druhé, pak předchozí nerovnost zřejmě přejde v rovnost. Cauchyova, Bunjakovského i Schwarzova nerovnost představují speciální případ obecného tvrzení: Nechť X je libovolný reálný vektorový prostor se skalárním součinem, ve kterém je norma vektoru x ∈ X je definována předpisem

x = x · x. (20) Pak pro každou dvojici vektorů x, y ∈ X platí |x · y| ≤ x

y ,

(21)

přičemž rovnost nastává pouze tehdy, když jeden z vektorů x, y je násobkem druhého.15 14 Diskriminantem kvadratické formy F (x, y) = ax2 + bxy + cy 2 rozumíme výraz D = b2 − 4ac. Snadno se ověří, že 4aF (x, y) = (2ax + by)2 − Dy 2 ; z tvaru pravé strany je pak vidět, že F je pozitivně nebo negativně definitní (v závislosti na znaménku a) jen tehdy, když D < 0. 15 Nerovnost (21) je nepostradatelným nástrojem při studiu vektorových prostorů se skalárním součinem; jejím důsledkem je například trojúhelníková nerovnost pro normu definovanou předpisem (20); viz [Net, Ves2].

56


1.7.2015 11:38:23

Schwarzův důkaz nerovnosti (19) je pozoruhodný tím, že se dá téměř beze změny použít k odvození obecné nerovnosti (21): Předpokládejme, že ani jeden z vektorů x, y není násobkem druhého (jinak je tvrzení zřejmé). Pak pro každou netriviální lineární kombinaci αx + βy platí 0 < αx + βy 2 = (αx + βy) · (αx + βy) = α2 x 2 + 2αβx · y + β 2 y 2 .

(22)

Výraz na pravé straně tedy představuje pozitivně definitní kvadratickou formu v proměnných α, β. Její diskriminant 4(x · y)2 − 4 x 2 y 2 musí být záporný, odkud po úpravě snadno plyne (21). Abstraktní Cauchyovu-Bunjakovského-Schwarzovu nerovnost (21) zformuloval John von Neumann v práci o spektrální teorii hermitovských operátorů [Neu] z roku 1929. Pracuje zde (zřejmě s ohledem na aplikace v kvantové mechanice) s komplexními vektorovými prostory se skalárním součinem16 a jeho důkaz nerovnosti (21) je proto komplikovanější. Mírnou modifikací Schwarzovy metody dospějeme k důkazu, který je dnes chápán jako standardní a vyskytuje se v mnoha učebnicích: Lineární kombinaci αx + βy ve vztahu (22) nahradíme výrazem x + βy, čímž obdržíme 0 < x + βy 2 = (x + βy) · (x + βy) = x 2 + 2βx · y + β 2 y 2 . Na pravé straně je nyní kladná kvadratická funkce v proměnné β, a proto její diskriminant 4(x · y)2 − 4 x 2 y 2 musí být záporný. 3. Jensenova nerovnost Johan Ludwig William Valdemar Jensen si při pozorném čtení Cauchyova důkazu AG nerovnosti uvědomil, že stejný postup lze použít k odvození obecnějšího tvrzení.17 Jeho článek [Jen2] z roku 1906 je významný i tím, že jde o první dobře dostupnou práci obsahující definice konvexní a konkávní funkce18 , a to v následující podobě: Funkce f definovaná na reálném intervalu I je konvexní, resp. konkávní, pokud platí f (x) + f (y) ≥ 2f

x+y , 2

resp.

f (x) + f (y) ≤ 2f

x+y 2

pro každou dvojici x, y ∈ I. Jensen uvádí řadu příkladů. Přímo z definice např. ukazuje, že funkce x → |x| je konvexní na R a x → xp je pro p > 1 konvexní na [0, ∞), zatímco pro p ∈ (0, 1) jde o konkávní funkci na [0, ∞). Z Rolleovy věty pak odvozuje 16 V tomto článku se poprvé objevuje definice abstraktního Hilbertova prostoru, tj. úplného vektorového prostoru se skalárním součinem. 17 Jensen nebyl profesionální matematik. V letech 1881–1924 pracoval jako inženýr v kodaňské telefonní společnosti Kjobenhavns Telefonselskab a matematice se věnoval pouze ve volném čase. 18 Poprvé se tyto definice spolu s důkazem Jensenovy nerovnosti objevily roku 1905 v Jensenově dánsky psaném článku [Jen1].

57


1.7.2015 11:38:23

známé kritérium dávající do souvislosti konvexitu nebo konkávnost se znaménkem druhé derivace. Moderní definice konvexní a konkávní funkce jsou poněkud odlišné19 : Funkce f : I → R je konvexní, pokud pro každou dvojici x, y ∈ I a každé t ∈ [0, 1] platí f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y); definice konkávní funkce se dostane obrácením předchozí nerovnosti. Jensenova podmínka odpovídá volbě t = 12 , je tedy slabší a třídy jensenovsky konvexních, resp. konkávních funkcí jsou bohatší. Pokud se ovšem omezíme na spojité funkce, jsou obě definice ekvivalentní20 . V dalším textu budeme předpokládat, že f : I → R je konvexní podle Jensenovy definice. Jensen si všímá, že pro každou čtveřici hodnot x1 , x2 , x3 , x4 ∈ I plyne z definice nerovnost x 3 + x4 x1 + x2 + 2f ≥ f (x1 ) + f (x2 ) + f (x3 ) + f (x4 ) ≥ 2f 2 2 x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 4f . 4 Obecněji, pro 2m hodnot x1 , . . . , x2m ∈ I obdržíme

m

2

m

f (xi ) ≥ 2 f

i=1

2m i=1 2m

xi

.

(23)

Mějme nyní n-tici hodnot x1 , . . . , xn ∈ I, kde n není mocninou dvojky. Najdeme nejmenší přirozené m takové, že 2m > n, položíme xn+1 = xn+2 = · · · = x2m =

x1 + · · · + x n n

a použijeme již dokázanou nerovnost (23): n

m

f (xi ) + (2 − n)f

i=1

n

1 xi n i=1

≥ 2m f

n

i=1

m

=2 f

n

xi + (2m − n) n1 2m

n

i=1

xi

=

1 xi n i=1

Odtud po úpravě dostaneme f

n

1 xi n i=1

n

≤

1 f (xi ). n i=1

19 Viz např. [Ves1]. Funkce konvexní podle Jensenovy definice se v angličtině označují termínem midpoint convex nebo zkráceně midconvex. 20 Důkaz lze najít např. v [Sim], str. 3.

58


1.7.2015 11:38:23

Jsou-li n1 , . . . , nm přirozená čísla a n = n1 + · · · + nm , plyne z předchozího vztahu nerovnost n1 x 1 + n 2 x 2 + · · · + nm x m n1 f (x1 ) + n2 f (x2 ) + · · · + nm f (xm ) ≤ . (24) f n n Pokud f je navíc spojitá (a tedy konvexní podle moderní definice), lze dokázat silnější tvrzení: Pro každou m-tici kladných reálných čísel a1 , . . . , am a jejich součet a = a1 + · · · + am platí a 1 x 1 + a2 x2 + · · · + am xm a1 f (x1 ) + a2 f (x2 ) + · · · + am f (xm ) f ≤ . (25) a a Jensen píše, že stačí volit posloupnost m-tic n1 , . . . , nm ∈ N tak, aby n1 lim m

i=1 ni

=

a1 , a

...,

nm lim m

i=1 ni

=

am . a

Pro každou takovou m-tici platí vztah (24) a limitním přechodem pak obdržíme požadovanou nerovnost (25); v tomto kroku využíváme též spojitost funkce f . Vztah (25) je dnes označován jako Jensenova nerovnost.21 Dospěl k ní Otto H¨ older již v roce 1889 v článku [Hol], a to za silnějšího předpokladu, že f má nezápornou druhou derivaci. H¨ olderův důkaz byl komplikovanější než Jensenův a klíčovou roli v něm hrála Lagrangeova věta o střední hodnotě. Někdy se nerovnost (25) zapisuje ve tvaru f (α1 x1 + α2 x2 + · · · + αm xm ) ≤ α1 f (x1 ) + α2 f (x2 ) + · · · + αm f (xm ), kde α1 , . . . , αm jsou kladná reálná čísla splňující funkce, pak platí obrácená nerovnost

m

i=1

αi = 1. Je-li f konkávní

f (α1 x1 + α2 x2 + · · · + αm xm ) ≥ α1 f (x1 ) + α2 f (x2 ) + · · · + αm f (xm )

(26)

(pro důkaz stačí použít Jensenovu nerovnost na funkci −f , která je konvexní). Řadu známých nerovností lze odvodit jako důsledek Jensenovy nerovnosti, kde za f volíme vhodnou funkci. Jensen např. ukazuje, že pro konkávní funkci f (x) = log x, x ∈ (0, ∞), dostaneme použitím (26) nerovnost log (α1 x1 + α2 x2 + · · · + αm xm ) ≥ α1 log x1 + α2 log x2 + · · · + αm log xm , ze které dále plyne α1 x1 + α2 x2 + · · · + αm xm ≥ (x1 )α1 (x2 )α2 · · · (xm )αm . 21 Spojitost funkce f ve skutečnosti není nezbytná, stačí konvexita podle moderní definice (viz např. [Jar], Věta 99, nebo [Sim], Proposition 1.2).

59


1.7.2015 11:38:23

Tento výsledek zobecňuje klasickou verzi AG nerovnosti, která odpovídá volbě 1 22 . α 1 = α2 = · · · = αm = m Jensen dále ukazuje, že volbou funkce f (x) = x2 (která je konvexní) přejde nerovnost (25) do tvaru

n 2 n ai x2i i=1 ai xi , ≤ i=1 a a neboli po úpravě

n

2 ai xi

≤a·

i=1

Položíme-li ai = yi2 , xi =

n

ai x2i .

i=1

zi yi ,

obdržíme Cauchyovu nerovnost 2 n n n 2 2 y i zi ≤ yi · zi . i=1

i=1

i=1

Aplikujeme-li Jensenovu nerovnost (25) na konvexní funkci f (x) = x1 , x ∈ (0, ∞), 1 , dostaneme přičemž položíme a1 = a2 = · · · = am = m m ≤ x1 + x2 + · · · + xm

1 x1

+

1 x2

+ ··· + m

1 xm

nebo ekvivalentně 1 x1

+

1 x2

m + ··· +

1 xm

≤

x 1 + x2 + · · · + xm , m

což je nerovnost mezi tzv. harmonickým průměrem a aritmetickým průměrem. Dodejme, že v Jensenově článku [Jen] je odvozena také integrální verze Jensenovy nerovnosti (25), a to ve tvaru 1 1 a(x)g(x) dx a(x)f (g(x)) dx 0 ≤ 0 1 , (27) f 1 a(x) dx a(x) dx 0 0 kde f je spojitá konvexní funkce, a je kladná integrovatelná funkce a g je integrovatelná. Důkaz je snadný, stačí aplikovat Jensenovu nerovnost (25) na integrální součty, které v limitě přejdou v integrály. V závěru článku pak Jensen vyjmenovává některé integrální nerovnosti, které lze získat jako důsledky vztahu (27). Položíme-li např. f (x) = log x, obdržíme po úpravě 1 1 a(x)g(x) dx a(x) log g(x) dx 0 0 , ≤ exp 1 1 a(x) dx a(x) dx 0 0 což je zobecněná verze integrální AG nerovnosti (16). 22 Uvedeným způsobem je AG nerovnost dokazována i ve známé učebnici Vojtěcha Jarníka Diferenci´ aln´ı poˇ cet II [Jar].

60


1.7.2015 11:38:24

4. Závěr V tomto příspěvku jsme se zaměřili pouze na nejstarší historii tří klasických nerovností. Ty byly v průběhu let dále zobecňovány a objevily se i nové důkazy, které jsou často elegantnější než původní postupy. V současnosti je např. známo více než padesát různých důkazů AG nerovnosti; viz [BMV, Bul]. Zjistilo se také, že některé nerovnosti jsou mezi sebou ekvivalentní v tom smyslu, že jedno tvrzení lze dokázat pomocí druhého a naopak. Např. AG nerovnost je ekvivalentní s Cauchyovou nerovností nebo s tzv. Bernoulliho nerovností; podrobnosti lze najít v [Lin, Mal].

Poděkování Děkuji Jiřímu Veselému za řadu podnětných připomínek k předchozí verzi textu a Zdeňku Halasovi za konzultace týkající se starořecké matematiky.

61


1.7.2015 11:38:24

Newtonovo pravidlo pro odhad počtu komplexních kořenů [New]

62


1.7.2015 11:38:24

Newtonovo pravidlo pro odhad počtu komplexních kořenů (pokračování)

63


1.7.2015 11:38:24

Lemma V a VI v Maclaurinově dopisu Folkesovi [Mac2]

64


1.7.2015 11:38:25

Lemma VII a VIII v Maclaurinově dopisu Folkesovi [Mac2]

65


1.7.2015 11:38:25

Cauchyův důkaz AG nerovnosti [Cau1]

66


1.7.2015 11:38:25

Cauchyův důkaz AG nerovnosti (pokračování)

67


1.7.2015 11:38:26

Původní důkaz Cauchyovy nerovnosti [Cau1]

68


1.7.2015 11:38:26

Původní důkaz Cauchyovy nerovnosti (pokračování)

69


1.7.2015 11:38:27

Bunjakovského nerovnost [Bou]

70


1.7.2015 11:38:27

Schwarzova nerovnost s důkazem [Sch]

71


1.7.2015 11:38:27

Jensenova definice konvexní a konkávní funkce [Jen2]

72


1.7.2015 11:38:27

Původní důkaz Jensenovy nerovnosti [Jen2]

73


1.7.2015 11:38:27

Původní důkaz Jensenovy nerovnosti (pokračování)

74


1.7.2015 11:38:28

Literatura [Aco]

Acosta D. J., Newton’s Rule of Signs for Imaginary Roots, Amer. Math. Monthly 110 (2003), no. 8, 694–706.

[Beˇ c]

Beˇ cv´ aˇr J., Algebra v 16. a 17. stolet´ı. In Beˇcv´ aˇr J., Fuchs E., Matematika v 16. a 17. stolet´ı. Edice Dˇ ejiny matematiky, sv. 17, Prometheus, Praha, 1999.

[Bou]

Bouniakowsky V., Sur quelques in´ egalit´ es concernant les int´ egrales ordinaires et les int´ egrales aux diff´ erences finies, M´ emoires de l’Acad. de St.-Pétersbourg (ser. 7) 1 (1859), no. 9.

[BS]

Bradley R. E., Sandifer C. E., Cauchy’s Cours d’analyse: An Annotated Translation, Springer, 2010.

[BMV]

Bullen P. S., Mitrinović D. S., Vasi´ c P. M., Means and their Inequalities, Reidel, Dordrecht, 1988.

[Bul]

Bullen P. S., Handbook of Means and their Inequalities, Kluwer, Dordrecht, 2003.

[Cam]

Campbell G., A method of determining the number of impossible roots in affected aequations, Phil. Trans. Roy. Soc. 35 (1728), 515–531.

[Cau1]

´ Cauchy A. L., Cours d’Analyse de l’Ecole Royale Polytechnique, Paris, 1821.

[Cau2]

Cauchy A. L., Le¸cons sur le calcul diff´ erentiel, Paris, 1829.

[Fin]

Fink A. M., An Essay on the History of Inequalities, J. Math. Anal. Appl. 249 (2000), 118–134.

[HLP]

Hardy G. H., Littlewood J. E., P´ olya G., Inequalities. Second edition, Cambridge University Press, Cambridge, 1952.

[Hol]

H¨ older O., Ueber einen Mittelwerthssatz, G¨ ott. Nachr. (1889), 38–47.

[Jar]

Jarn´ık V., Diferenci´ aln´ı poˇ cet II, Academia, Praha, 1984.

[Jen1]

Jensen J. L. W. V., Om konvexe Funktioner og Uligheder mellem Middelvaerdier, Nyt Tidss. for Math. 16, B (1905), 49–68.

[Jen2]

Jensen J. L. W. V., Sur les fonctions convexes et les in´ egalit´ es entre les valeurs moyennes, Acta Mathematica 30 (1906), 175–193.

[Lag]

Lagrange J., Solutions analytiques de quelques probl` emes sur les pyramides triangulaires, Acad. Sci. Berlin (1773), 149–176.

[Lin]

Lin M., The AM-GM inequality and CBS inequality are equivalent, Math. Intell. 34 (2012), no. 2, 6.

[Mac1]

Maclaurin C., A Letter from Mr. Colin Mac Laurin, Professor of Mathematicks at Edinburgh, and F. R. S. to Martin Folkes, Esq; V. Pr. R. S. concerning Æquations with Impossible Roots, Phil. Trans. Roy. Soc. 34 (1726), 104–112.

[Mac2]

Maclaurin C., A Second Letter from Mr. Colin Mc Laurin, Professor of Mathematicks in the University of Edinburgh and F. R. S. to Martin Folkes, Esq; Concerning the Roots of Equations, With the Demonstration of Other Rules in Algebra; Being the Continuation of the Letter Published in the Philosophical Transactions, No 394, Phil. Trans. Roy. Soc. 36 (1729), 59–96.

[Mal]

Maligranda L., The AM-GM inequality is equivalent to the Bernoulli inequality, Math. Intell. 34 (2012), no. 1, 1–2.

[Neu]

Von Neumann J., Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren, Math. Ann. 102 (1929), 49–131.

[Net]

Netuka I., Z´ aklady modern´ı anal´ yzy, Matfyzpress, Praha, 2014.

75


1.7.2015 11:38:28

[New]

Newton I., Arithmetica universalis; sive de compositione et resolutione arithmetica liber, Cambridge, 1707.

[Roy]

Roy R., Sources in the Development of Mathematics. Infinite Series and Products from the Fifteenth to the Twenty-first Century, Cambridge University Press, New York, 2011.

[SG]

Seltman M., Goulding R., Thomas Harriot’s Artis analyticae praxis. An English translation with commentary, Springer, New York, 2007. ¨ Schwarz H. A., Uber ein die Fl¨ achen kleinsten Fl¨ acheninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung, Acta Soc. Scient. Fen. 15 (1888), 315–362.

[Sch] [Sim]

Simon B., Convexity: An Analytic Viewpoint, Cambridge University Press, New York, 2011.

[Std1]

Stedall J., From Cardano’s great art to Lagrange’s reflections: filling a gap in the history of algebra, European Mathematical Society, Z¨ urich, 2011.

[Std2]

Stedall J., The greate invention of algebra. Thomas Harriot’s treatise on equations, Oxford University Press, Oxford, 2003.

[Stl]

Steele J. M., The Cauchy-Schwarz Master Class. An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, Cambridge University Press, New York, 2004.

[Syl]

Sylvester J. J., Elementary Proof and Generalization of Sir Isaac Newton’s Hitherto Undemonstrated Rule for the Discovery of Imaginary Roots, Proc. London Math. Soc. 1 (1865), 1–16.

[Tik]

Tikhomirov V. M., Stories about maxima and minima, American Mathematical Society, Providence, RI; Mathematical Association of America, Washington, DC, 1990.

[Ves1]

Vesel´ y J., Z´ aklady matematick´ e anal´ yzy I, Matfyzpress, Praha, 2004.

[Ves2]

Vesel´ y J., Z´ aklady matematick´ e anal´ yzy II, Matfyzpress, Praha, 2009.

[Vie]

Vi` ete F., The analytic art. Translated from the Latin and with an introduction by T. Richard Witmer, Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2006.

[Wag]

Wagner C. G., Newton’s Inequality and a Test for Imaginary Roots, The Two-Year College Mathematics Journal 8 (1977), no. 3, 145–147.

[War1]

Waring E., Meditationes algebraicae, Cambridge, 1782.

[War2]

Waring E., Meditationes algebraicae, an English Translation of the Work of Edward Waring. Edited and translated from the Latin by Dennis Weeks, American Mathematical Society, 1991.

Adresa Doc. RNDr. Antonín Slavík, Ph.D. Matematicko-fyzikální fakulta UK Katedra didaktiky matematiky Sokolovská 83 186 75 Praha 8 – Karlín e-mail: [email protected]ff.cuni.cz

76


1.7.2015 11:38:28

KONFERENýNÍ VYSTOUPENÍ

77


1.7.2015 11:38:28

78


1.7.2015 11:38:28

BOLA RAZ JEDNA KONFERENCIA ... VOJTECH BÁLINT Abstract: In the years 1962 – 2008 there were held 30 conferences on the teaching of mathematics on the technical universities. The aim of this paper is to identify the reasons, which have lead to the disruption of that tradition.

1 Úvod V roku 1962 vznikla Komise JýSMF pro matematiku na vysokých školách technických, ekonomických a zemČdČlských, v skratke VŠTEZ. Hlavným cieĐom práce Komisie bolo skvalitniĢ vyuþovanie matematiky na všetkých technikách, teda na vyššie spomínaných typoch škôl v celej ýeskoslovenskej republike. Za tým úþelom sa Komisia rozhodla usporiadaĢ pravidelné konferencie pre uþiteĐov matematiky na technikách. Za 46 rokov sa konalo 30 takých konferencií, (zatiaĐ) posledná v roku 2008 v Lázních Bohdaneþ. CieĐom tohto príspevku nie je podaĢ podrobný prehĐad o tých konferenciách, pretože k tomu staþí nahliadnuĢ do konferenþných Zborníkov, ale identifikovaĢ príþiny, kvôli ktorým sa užitoþná tradícia prerušila. Je však možné, že sa aj ukonþila, pretože je otázne, þi bude niekedy pokraþovaĢ.

2 Pokus o krátku analýzu Ide o históriu posledného polstoroþia a najmä posledných 17 rokov, poþas ktorých sa odohrali naprosto zásadné zmeny. Ako už bolo spomínané, Komisia za najúþinnejšiu formu skvalitnenia vyuþovania matematiky na technikách považovala usporiadanie pravidelných konferencií. Bolo to logické, pretože potreba matematiky na technikách sa neustále zvyšovala, a spolu s tým sa na technikách zvyšoval aj poþet uþiteĐov matematiky, ktorý v roku 1984 bol približne 800. Poþet uþiteĐov matematiky na základných a stredných školách bol samozrejme výrazne vyšší. Lenže tých 800 malo uþiĢ vysokoškolskú matematiku a pritom ju ešte aj pestovaĢ, teda robiĢ vedu, takže to bola veĐká výzva aj pre tie vysoké školy, ktorých úlohou bolo vychovávaĢ budúcich uþiteĐov matematiky na technikách, teda pre fakulty prírodovedecké a matematicko-fyzikálne. Na konferenciách o vyuþovaní matematiky na VŠTEZ prezentovali svoje názory a najmä metódy vyuþovania mnohé osobnosti zo špiþkových matematických pracovísk, takže mladí, zaþínajúci uþitelia mali možnosĢ sa s nimi zoznámiĢ a zlepšiĢ tak svoje pedagogické majstrovstvo. V roku 1980 sa konala už 16. konferencia, teda za 18 rokov od vzniku Komisie sa konferencia VŠTEZ konala takmer každý rok, potom sa prešlo na pravidelný dvojroþný cyklus. Hlavnou témou konferencií VŠTEZ boli koncepþné otázky, teda þo by bolo treba uþiĢ a ako by to bolo asi najlepšie uþiĢ. Obvykle odzneli síce aj prednášky o vlastných vedeckých výsledkoch, ale nosnou oblasĢou bola metodika, pretože osnovy boli na všetkých technikách takmer rovnaké. Samozrejme, vo vyšších roþníkoch štúdia došlo na jednotlivých technikách k prirodzenej diferenciácii aj v osnovách matematiky, lebo elektrotechnický, strojársky a stavebný inžinier sa museli aj špecializovaĢ, a podobne aj inžinier hutnícky, banícky, dopravný, ekonomický, chemicko-technologický, textilný, lesnícky, drevársky, poĐnohospodársky, ... Spoloþný matematický základ bol ale veĐmi

79


1.7.2015 11:38:28

široký, takže naozaj bolo o þom hovoriĢ. Staþí nahliadnuĢ do SEFI Document 92.1: A core Curriculum in Mathematics for the European Engineer ([22]). V roku 1993 sa spoloþný štát rozpadol. ZotrvaþnosĢou však pokraþovali spoloþné problémy, a tým aj spoloþné konferencie o vyuþovaní matematiky na VŠTEZ. Zásadná zmena nastala až po roku 1998, keć „študent sa stal nositeĐom balíka peĖazí“ v oboch samostatných štátoch, v ýR aj v SR. Struþne: zaviedlo sa platenie za kus, teda škola dostala toĐko balíþkov peĖazí, koĐko mala študentov. Samozrejme, po formálnej stránke sa to nazvalo prechod na trojstupĖové štúdium, aby sa zahmlila podstata. Mnohým však bolo ihneć jasné, kam takáto napodobenina trhového mechanizmu povedie a dali to aj najavo. Na problémy vyuþovania matematiky na technikách som slovenskú matematickú komunitu upozornil ([1]) na zjazde JSMF v Nitre v roku 2002 a znovu – a oveĐa dôraznejšie – na ćalšom zjazde v roku 2005. Varovné a veĐmi kritické hlasy sa však ozvali z mnohých zdrojov, okrem iného na konferenciách v Hejnicích 2002 (napr. [2], [13], [14], [16], [17]), v Jasnej 2002 ([3]), v Brne 2003 (napr. [4], [9], [21]), v RožĖave 2004 (napr. [5], [18]), v Prahe 2010 (napr. [7], [10], [15], [20], [21]), … Kećže zjazdové ani konferenþné zborníky obvykle nie sú masovo dostupné, uvediem tu (bez nároku na úplnosĢ) niekoĐko málo z tých hlasov. Z pedagogického hĐadiska je veĐmi nepríjemná skutoþnosĢ, že na fakultu sú prijatí (zo známych dôvodov) všetci záujemcovia. Základný problém vidíme v tom, že pregraduálna etapa má dva rovnocenné, ale v podstate protichodné ciele: prípravu na nástup do praxe a prípravu na graduované štúdium. VzhĐadom k ohraniþenému poþtu hodín sa podĐa nás obom cieĐom súþasne nedá bezo zvyšku vyhovieĢ (J. Doležalová a P. Kreml [12], [13]). Kardinálna otázka je, þi sa podarí už v prvých semestroch bakalárskeho štúdia komplexným pôsobením všetkých zainteresovaných subjektov, t. j. predovšetkým odborových katedier, nastoliĢ pri výuþbe matematiky takú pracovnú atmosféru, ktorá by študentov motivovala k cieĐavedomej príprave na budúce aplikácie matematických znalostí. Je treba presvedþiĢ študentov, ktorí þasto z mnohých zdrojov poþúvajú o zbytoþnosti matematiky, že tento názor v žiadnom prípade nemôže obstáĢ na akejkoĐvek vysokej škole technického alebo ekonomického zamerania (L. Prouza [21]). Dôležitý je už samotný základ, s ktorým prichádzajú študenti zo strednej školy. Tu je možné pozorovaĢ dlhodobo sa zhoršujúcu úroveĖ stredoškolskej matematickej prípravy. Pritom za dobu od publikácie þlánku [8] sa situácia nielen nezlepšila, ale práve naopak (J. Baštinec [9]). PĜed sto lety probíhal boj … o zĜízení druhé þeské univerzity, a tím také o druhé místo vychovávající uþitele. Dnes uþitele matematiky v ýR vychovává 18 fakult … Opravdu si nČkdo v této republice mĤže myslet, že všechna tato pracovištČ jsou schopna poskytovat kvalitní vzdČlání, a kdyby tomu tak i náhodou bylo, že se roþnČ „urodí“ dostateþný poþet jejich studentĤ? (E. Fuchs [15]) Mimoriadne kvalitný a podrobný je rozbor stavu uþiteĐstva v þlánku [10] J. BeþváĜa. V Európe sa zaþala prednedávnom vyvíjaĢ enormná snaha vyškoliĢ znaþne väþšie percento populácie s tzv. univerzitným vzdelaním, lebo takto vraj predbehneme Ameriþanov, Japoncov a všetkých tých, ktorí nám strpþujú život tým, že sú chytrejší. Nedáva to žiaden zmysel, lebo uchádzaþ o univerzitný diplom by mal disponovaĢ prinajmenšom nadpriemerným talentom a k tomu nemalou usilovnosĢou. Graf, ktorý vyjadruje súvis IQ a poþtu Đudí má približne normálne rozdelenie. Ale graf tejto funkcie mal v podstate tento tvar pred tisíc rokmi a takýto bude maĢ aj o tisíc rokov. Aj v USA, aj v Japonsku, aj

80


1.7.2015 11:38:29

v Laponsku … ba dokonca aj na Slovensku. Je samozrejme len na spoloþnosti, od akého percentilu nahor sa rozhodne udeĐovaĢ papier o univerzitnom vzdelaní (VB [6]). Samostatnú kapitolu predstavuje zcela výnimoþný þlánok [19] P. PiĢhu, ktorý by mal byĢ citovaný celý, pretože mimoriadne výstižne charakterizuje problémy školstva v ýR aj v SR. Tento by mali všetci uþitelia na všetkých stupĖoch škôl ovládaĢ naspamäĢ. Prejavuje sa snaha ponechaĢ takmer celý terajší magisterský program z matematiky a vtesnaĢ ho do nepomerne menšieho poþtu hodín v bakalárskom programe. Ako to ale zvládnuĢ po stránke odbornosti predmetu samotného a tiež z hĐadiska didaktického? (R. Grepl [16]) Tieto trefné riadky sú presýtené zúfalstvom a zasluhujú si podrobnejší rozbor. Ide o odstrašujúce osnovy (pozri [14], [17], [5]), keć na Brnianskej technike sa pokúsili vtesnaĢ obsah štyroch semestrov do jedného. Študent techniky pri 4 hodinách prednášok a 2 hodinách cviþenia týždenne mal za 13 týždĖov zvládnuĢ nasledovný obsah: 1. Základné matematické pojmy, elementy matematickej logiky, množiny, operácie s množinami, funkcie, inverzná funkcia, funkcia dvoch a viac premenných, funkcia komplexnej premennej. 2. Vektorové priestory, základné pojmy, báza dimenzia. Vektory a operácie s vektormi, lineárna kombinácia vektorov, ich závislosĢ a nezávislosĢ. 3. Matice a determinanty, sústavy lineárnych rovníc a ich riešenie. Skalárny, vektorový a zmiešaný súþin vektorov a ich geometrické aplikácie. 4. Analytická geometria lineárnych a kvadratických útvarov. 5. Diferenciálny poþet funkcií jednej premennej, limita, spojitosĢ, derivácia. Priebeh funkcie. 6. Diferenciálny poþet funkcií viac premenných, limita, spojitosĢ. Smerové a parciálne derivácie, gradient funkcie. 7. Derivácie vyšších rádov, totálny diferenciál, Taylorova veta. Extrémy funkcií viac premenných. 8. Integrálny poþet funkcií jednej premennej, neurþitý integrál. Priame integraþné metódy. 9. Metóda per partes, substituþná metóda, integrovanie racionálnych funkcií. 10. Urþitý integrál a jeho aplikácie. 11. Dvojrozmerný a viacrozmerný integrál. 12. Transformácie viacrozmerných integrálov. 13. Krivkový a plošný integrál. Kećže na pedagogických princípoch sa niþ zásadného nezmenilo, bolo jasné, že tieto „osnovy“ sa nemôžu udržaĢ. Je ale pozoruhodné, že vôbec vznikli, priþom pomenovanie dôvodov, ktoré k ich vzniku viedli, by asi viedlo k právnym sporom ... Pre držiteĐov maturitného vysvedþenia zaviedol Igor Kluvánek v roku 1964 názov produkty povinnej školskej dochádzky (PPŠD). Problém PPŠD bol ten, že v povojnových rokoch nebol dostatok kvalifikovaných uþiteĐov, takže zćaleka nie na každej základnej alebo strednej škole uþili skutoþní odborníci. Snom Igora Kluvánka bolo vychovaĢ generáciu dobrých uþiteĐov matematiky. Tento svoj sen postupne uskutoþĖoval až do svojho odchodu do Austrálie nekompromisným prístupom k vedomostiam študentov. Tesne pred koncom 2. tisícroþia sa Európa rozhodla, že predbehne USA. Kećže jej vodcovia objavili dávno známy fakt, že k tomu bude treba dobré mozgy, v nemalej þasti

81


1.7.2015 11:38:29

Európy sa zaþali úvahy o prechode na trojstupĖové vysokoškolské štúdium. Vodcovia sa teda zišli v Bologni, jednom z najväþších centier stredovekej múdrosti, a bohužiaĐ príliš rýchlo sa prešlo od slov k þinom, pretože návnada bola neodolateĐná. Idea bola urþite zaujímavá: poskytnúĢ oveĐa väþšej þasti populácie vysokoškolské vzdelanie. Zabudlo sa pri tom na jednu dôležitú vec – vzdelanie sa v skutoþnosti nikomu nedá poskytnúĢ, dá sa len umožniĢ. To je zásadný rozdiel! V stredoveku bolo vzdelanie umožnené len malej vybranej hĚstke Đudí a je dobre, že sa to už dávno zmenilo aj bez BoloĖských dohôd. V dôsledku BoloĖských dohôd vznikla úplne nová situácia: aróma eurodotácií sa pre stredoeurópskych politikov stala neodolateĐnou. Zo školstva sa stal biznis, takže poþet (nielen) vysokých škôl sa zmnohonásobil – v SR je ich 38, v ýR takmer 80 a všetky sa chcú nazývaĢ univerzitami. Už v roku 2002 som v jednom þlánku napísal: „NositeĐom balíka peĖazí sa vraj má staĢ študent. Možno som to pochopil nesprávne, ale v praxi to bude znamenaĢ, že nastane neĐútostný – a možno aj bezohĐadný – boj o študenta, univerzity sa budú predháĖaĢ vo vytvorení þo najvýhodnejšej ponuky pre študenta, þo bude znamenaĢ enormný pokles požiadaviek na kvalitu študenta. Jednoducho povedané – ak ešte nemáte vysokoškolský diplom, prosíme Vás, prihláste sa!“ BohužiaĐ, moje najhoršie obavy sa naplnili vrchovatou mierou. Namiesto PPŠD je teda asi naþase zaviesĢ nový názov, a to nielen pre držiteĐov maturitného vysvedþenia, ale aj pre držiteĐov vyšších, možno až najvyšších certifikátov. PodĐa môjho názoru najvýstižnejší názov je PET-fĐaša. Dôvod je ten, že už stredné školy by mali byĢ do urþitej miery výberové, ale v dôsledku „financovania za kus“ takými nie sú, takže prijmú na štúdium aj prázdnu PET-fĐašu. Aby som predišiel súdnym sporom kvôli názvu prázdna PET-fĐaša, musím dodaĢ, že nejde o dehonestovanie študentov. Chyba nie je v študentoch, chyba je v systéme financovania, ktorý nútil a stále núti školy znižovaĢ požiadavky na vedomosti. Politikom (a najmä oligarchom, ktorí ich riadia) je naviac jasné, že stádu sa vládne oveĐa jednoduchšie, ako vzdelaným Đućom, takže nemajú záujem o skutoþnú vzdelanosĢ širšej vrstvy. O to viac však budú o potrebe vzdelanosti hovoriĢ ... Syndróm PET-fĐaše samozrejme pôsobí nielen na stredných školách, ktoré by už mali byĢ výberové, ale aj na bakalárskom stupni vysokých škôl a paradoxne – ale zákonite! – v ešte väþšej miere na magisterskom stupni, lebo prideĐovaný balíþek peĖazí je na tomto stupni väþší. Balíþek na doktorandskom štúdiu je ešte väþší, a na tzv. konþiaceho študenta sú balíþky dokonca dva. A kećže vstupuje do toho aj tzv. akreditaþná hra, aby sa dalo vôbec zúþastniĢ boja o balíþky, tak je neraz otázna aj kvalita vyšších certifikátov. ObzvlášĢ nepríjemné je, že do boja o PET-fĐaše sa z existenþných dôvodov zapojili aj špiþkové univerzity. Napr. poþet poslucháþov na Karlovej Univerzite v Prahe stúpol priam raketovo: z necelých 27 tisíc v roku 1999 až na 45 tisíc v roku 2003, na Masarykovej univerzite v Brne zo 17 tisíc v roku 1999 na vyše 36 tisíc v roku 2008. Nepodarilo sa mi zistiĢ tieto þísla pre Univerzitu Komenského v Bratislave, ale urþitý obraz poskytne aj poþet absolventov vysokých škôl na Slovensku; tento bol 15 tisíc v roku 1998 a takmer 35 tisíc v roku 2006. Vysoká škola dopravná v Žiline ako predchodkyĖa terajšej Žilinskej univerzity mala 6 tisíc poslucháþov v roku 1992, t. j. pre 15-miliónové ýeskoslovensko, ale teraz pre 5-miliónové Slovensko má poslucháþov až 12 tisíc. V rámci boja o PET-fĐaše musel poþet hodín matematiky na školách výrazne poklesnúĢ, kećže nie škola si vyberá žiaka, ale žiak si vyberá školu. Hlavné kritérium PET-fĐaše totiž je, že škola niþ po mne nemôže chcieĢ, a už vôbec nie matematiku. Škola ma potrebuje, kećže na mĖa dostáva peniaze, tak þo by ešte chcela.

82


1.7.2015 11:38:29

Prechod na trojstupĖové štúdium spôsobil, že koneþný produkt technickej univerzity, teda INŽINIER, absolvuje na väþšine našich techník zhruba o polovicu menej hodín kontaktnej výuþby matematických predmetov, ako v rokoch 1970–1985 ([1], [3], [4]). To zákonite znamená aj menší poþet uþiteĐov matematiky na technikách – to je už ale upozornenie pre fakulty matematicko-fyzikálne a prírodovedné na možnú (ne)potrebnosĢ ich produktov. Poþet úþastníkov 16. konferencie VŠTEZ v roku 1980 v Banskej Bystrici bol 143, na 18. konferencii v roku 1984 v Bratislave sa zúþastnilo dokonca 162 uþiteĐov. Poþet úþastníkov na 26. konferencii v roku 2000 v Lázních Bohdaneþ klesol na necelých 70 a približne tento poþet sa udržal až po 30. konferenciu v roku 2008. Samozrejme, dnes je možné aj viackrát roþne chodiĢ na odborne (aj geograficky) veĐmi atraktívne konferencie po celom svete – je to len otázka peĖazí. OveĐa väþší problém však je, že stratil sa hlavný motív konferencie typu VŠTEZ. Kećže každá technika (a nielen technika) prijme na štúdium aj prázdnu PET-fĐašu, lebo najmä poþet študentov rozhoduje o prídele financií, tak požiadavky na kvalitu išli zákonite dole. Dokonca na mnohých technikách sa už nerobia ani prijímacie skúšky, pretože PET-fĐaša by sa na školu s prijímaþkami možno ani neprihlásila. Za takéhoto stavu je zbytoþné hovoriĢ o metodike vyuþovania a jej zlepšovaní, lebo súĢaž o PET-fĐaše sa zaþala v roku 1999 a dosiahla obrovské úspechy: napr. v SR konþí roþne 600 politológov (400 z jednej fakulty) a neuveriteĐne veĐa inžinierov sociálnej práce. Asi aby sa mohli staraĢ jeden o druhého ...

3 Záver Platenie za kus považujem za hlavný dôvod, preþo sa tradícia konferencií VŠTEZ prerušila a (zatiaĐ) posledná, s poradovým þíslom 30, bola v roku 2008 v Lázních Bohdaneþ. Problém. Bude niekedy 31. konferencia o vyuþovaní matematiky na VŠTEZ? Lebo katedra kvantitatívnych metód a hospodárskej informatiky ju pripravila podĐa plánovaného dvojroþného cyklu na rok 2010 do Žiliny presne tak, ako to bolo aj napísané v Zborníku 30. konferencie. Ale záujemcov sa našlo len 14. Niþ to nemení na mojom presvedþení, že takéto konferencie by mimoriadne pomohli najmä zaþínajúcim uþiteĐom matematiky na technikách. Tí starší uþitelia im totiž majú odborne þo povedaĢ a nie je dôvod myslieĢ si, že v budúcnosti to bude ináþ. Aj keć – kto vie? Lebo v spoloþnosti, kde hlavným a takmer jediným kritériom kvality je schopnosĢ vyrobiĢ zisk, môže byĢ všetko ináþ.

Literatúra [1] [2] [3] [4] [5]

Bálint V.: Kam kráþaš, SVŠT? In: Zborník zjazdu JSMF, Nitra 2002, str. 71–74. Bálint V.: Inžinier a jeho matematická príprava, In: Zborník 27. konferencie VŠTEZ, Hejnice 2002, str. 7–12. Bálint V.: Dematematizácia SVŠT a jej možné dôsledky, In: Zborník 34. konferencie slovenských matematikov, Jasná pod Chopkom, november 2002, str. 21–24. Bálint V.: Stav vyuþovania matematiky na technikách, In: Sborník pĜíspČvkĤ 3. konference o matematice a fyzice na vysokých školách technických, Brno, september 2003, str. 29–30. Bálint V.: Zmenili sa pedagogické princípy? In: Zborník 28. konferencie VŠTEP, RožĖava, 30. 8. – 3. 9. 2004. EDIS, Žilina, 2004, 372 strán, str. 5–12.

83


1.7.2015 11:38:29

[6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22]

Bálint V.: Kvantita a kvalita, In: Zborník 37. konferencie slovenských matematikov, Jasná pod Chopkom, november 2005, str. 63–65. Bálint V.: Pár slov o reforme školstva, In BeþváĜ J., BeþváĜová M., Slavík A. (ed.): Sborník z konference Jak pĜipravit uþitele matematiky, Praha, 23. – 25. záĜí 2010. Matfyzpress, Praha, 2010, 334 stran, str. 151–157. Baštinec J.: ZmČny ve znalostech stĜedoškolské matematiky u studentĤ FEI VUT, In: XVI. VČdecké kolokvium o Ĝízení osvojovacího procesu. Sborník pĜíspČvkĤ I., Vyškov 1998, str. 55–59. Baštinec J.: Matematika pro sériové bakaláĜe na FEKT VUT, In: Sborník 3. konference o matematice a fyzice na vysokých školách technických, Brno 2003, str. 31–36. BeþváĜ J.: StruþnČ o souþasném stavu uþitelství (nejen matematiky), In BeþváĜ J., BeþváĜová M., Slavík A. (ed.): Sborník z konference Jak pĜipravit uþitele matematiky, Praha, 23. – 25. záĜí 2010. Matfyzpress, Praha, 2010, 334 stran, str. 17–28. ýepiþka J.; Míková M.; Tesková L.: Výuka matematiky na technických fakultách ZýU, In: Sborník 3. konference o matematice a fyzice na VŠT, Brno 2003, str. 43–47. Doležalová J.; Kreml P.: O nČkterých problémech výuky matematických pĜedmČtĤ na VŠB-TU Ostrava, In: Proc. of 3rd Scientific Colloqium, Praha 2001, str. 192–196. Doležalová J.; Kreml P.: První zkušenosti s výukou matematiky ve strukturovaném studiu, In: Sborník 27. konference VŠTEZ, Hejnice 2002, str. 54–59. Durnová H.: K þemu je matematika „letem svČtem“? In: Sborník 27. konference VŠTEZ, Hejnice 2002, str. 70–75. Fuchs E.: O výchovČ uþitelĤ v ýechách (a samozĜejmČ i na MoravČ), In BeþváĜ J., BeþváĜová M., Slavík A. (ed.): Sborník z konference Jak pĜipravit uþitele matematiky, Praha, 23. – 25. záĜí 2010. Matfyzpress, Praha, 2010, 334 stran, str. 103–110. Grepl R.: BoloĖská deklarace 1999 a pĜíprava strukturovaného studia na vysokých školách technických v BrnČ, In: Sborník 27. konference VŠTEZ, Hejnice 2002, str. 86– 89. Krupková V.: Matematika v bakaláĜských studijních programech na FEKT VUT v BrnČ, In: Sborník 27. konference VŠTEZ, Hejnice 2002, str. 125–126. Malý M.: Matematika na technické fakultČ, In: Zborník 28. konferencie VŠTEP, RožĖava 2004, str. 227–230. PiĢha P.: Velká iluze þeského školství, Uþitel matematiky 16(2007/08), str. 231–242. PiĢha P.: Archa matematiky ve vírech liberalistické relativizace, In BeþváĜ J., BeþváĜová M., Slavík A. (ed.): Sborník z konference Jak pĜipravit uþitele matematiky, Praha, 23. – 25. záĜí 2010. Matfyzpress, Praha, 2010, 334 stran, str. 144–148. Prouza L.: Integrovaná výuka matematiky ve strukturovaném studiu na Dopravní fakultČ Jana Pernera Univerzity Pardubice, In: Sborník 3. konference o matematice a fyzice na vysokých školách technických, Brno 2003, str. 142–146. SEFI Document 92.1: A core Curriculum in Mathematics for the European Engineer, 1992.

Adresa Doc. RNDr. Vojtech Bálint, CSc. Katedra kvantitatívnych metód a hospodárskej informatiky Fakulta PEDAS, Žilinská univerzita Univerzitná 1 010 26 Žilina e-mail: [email protected]

84


1.7.2015 11:38:29

PRÍBEH ARABSKÝCH MOZAÍK ANNA BÁLINTOVÁ, ROD. TROJÁýKOVÁ Abstract: This article is dedicated to Arabic mosaics which are considered to be the top of art in Arabic geometry. Following its history with emphasis on the period from the 16th century to the year 2011, when it attracted worldwide attention on the occasion of granting the Nobel price for chemistry – the discovery of quasicrystals. In certain Arabic mosaics, as well as in quasicrystals, there are methodical motives which are following particular mathematics rules, but are never recurring.

1

Úvod

Arabské mozaiky sú vedcami považované za umelecký vrchol arabskej geometrie. Neperiodické mozaiky arabsko-islamského umenia možno obdivovaĢ v paláci španielskej Alhambry ako aj v iránskej mešite Darb-il Imam. Tieto fascinujúce mozaiky pomohli vedcom pochopiĢ atómovú štruktúru kvazikryštálov. A práve za objav kvazikryštálu získal v roku 2011 izraelský vedec Daniel Shechtman1 Nobelovu cenu za chémiu.2 Nobelov výbor pri udeĐovaní prestížneho ocenenia oznaþil kvazikryštály nasledovne: Fascinujúce mozaiky, ktoré sa nikdy neopakujú, podobné tým z arabského sveta, ale na úrovni atómov. Výbor naviac zdôraznil, že tento objav bol extrémne kontraverzný. Vedci totiž považovali za nemožné, aby existoval kryštál s neperiodickým usporiadaným motívom atómov. Ak sa pozrieme na Shechtmanov objav kvazikryštálu z matematického hĐadiska, tak jeho revoluþnosĢ spoþívala v päĢþlennej ose symetrie. PodĐa dovtedajších poznatkov nemal kryštál s takouto symetriou existovaĢ. Teória totiž pripúšĢala kryštály 2, 3, 4 alebo 6 násobne symetrické. To znamená, že pri otoþení o patriþný zlomok kruhu vznikne rovnaký obrazec. Shechtman navzdory teórii, mal pred sebou difrakþný obrazec, ktorý staþilo otoþiĢ o desatinu kruhu, aby sa dokonale prekryl. A to bolo v rozpore s definíciou kryštálu platnou niekoĐko storoþí, þo vyvolalo nedôveru ba až zarytý odpor zo strany niektorých vedcov k tomuto prevratnému objavu. Bol to zrejme aj hlavný dôvod, preþo od objavu kvazikryštálu v roku 1982 musel D. Shechtman dlho a vytrvale bojovaĢ za jeho uznanie, korunované v roku 2011 Nobelovou cenou.

2

Arabské mozaiky a kvazikryštály

Pôvod mozaík je historikmi umiestnený do oblasti v okolí Stredozemného mora. Najstaršie známe mozaiky sa objavujú už v VIII. st. p. n. l., boli vytvorené z okrúhliakov rôznych farieb vložených do cementu. Neskoršie (III. – I. st. p. n. l.) sa k nim pridávajú úlomky kamienkov, kúsky pálenej hliny, mramora a podobne. V podstate každý národ im vpeþatil vlastnú identitu prostredníctvom materiálov, tvarov, zoskupení, farieb. Napríklad v Ríme dávali prednosĢ mramoru a sklovine, Mauri zasa najradšej používali úlomky zo smaltovaných tehliþiek. Všeobecne arabskí tvorcovia mozaík propagovali geometrické tvary, ktoré považovali za posvätné. V strede mozaík veĐmi þasto umiestĖovali 8 alebo 16 cípu hviezdu. 1 Daniel Shechtman, (nar. 24. Januára 1941 v Tel Avive), emeritný profesor Izraelského technologického inštitútu Technion v Haife. 2 Nobelova cena za chémiu za rok 2011sa tešila väþšej pozornosti ako obvykle. Organizácia spojených národov vyhlásila rok 2011 za rok chémie na poþesĢ stého výroþia udelenia Nobelovej ceny Marii Sklodowskej Curie.

85


1.7.2015 11:38:29

Vrcholné diela arabských majstrov môžno obdivovaĢ v španielskej Alhambre. Jej palác sa zaþal stavaĢ už v XII. storoþí, ale rozšírený, zveĐadený a dokonþený do súþasnej podoby bol až v XVI. storoþí. Je dekorovaný množstvom mozaík, ktoré sú vo väþšine prípadov vytvorené na základe pravidelných mnohouholníkov a následne aplikovaním základných geometrických transformácií, akými sú posunutie, otáþanie a symetria. Pri podrobnom skúmaní mozaík v Alhambre bolo urþených 17 rôznych geometrických transformácií, pomocou ktorých je možné realizovaĢ pokrytie roviny rôznymi motívmi. V prvom rade je to päĢ základných typov urþených posunutím daného motívu alebo otoþením o 60°, 90°, 120° a 180° – bez prevrátenia základného prvku pokrytia. Ak pripustíme toto prevrátenie získame ćalších dvanásĢ typov pokrytia, ktoré sú charakterizované rôznym poþtom osí symetrií: 0, 1, 2, 3, 4, 6. Takto dostávame spolu hore uvedených 17 rôznych rovinných pokrytí, nazývaných periodické pokrytia roviny. Môžeme ich rozlišovaĢ aj podĐa toho, þi sa zhodujú so svojím zrkadlovým obrazom alebo nie (prvých päĢ základných transformácií). Ako si možno Đahko všimnúĢ, v poþte osí symetrií chýba þíslo 5, a práve päĢþlenná osa symetrie nás obohatí nielen o neperiodické pokrytie roviny, ale zároveĖ aj o kvazikryštál. Existenciu uvedených 17 transformácií dokázal v roku 1891 aj matematik a kryštalograf Evgraf Stepanovich Fedorov (1853–1919).

Obr.1 Neperiodická arabská mozaika3 Konštrukcia motívov arabských mozaík zaþínala jednoduchými geometrickými tvarmi ako sú trojuholník, štvorec, kruh a následne boli postupne aplikované rôzne ćalšie konštrukcie vþetne už spomínaných geometrických transformácií. Finálna kompozícia arabských mozaík þasto pripomína istým spôsobom labyrint bez konca, þo umocĖuje ich povestné magické þaro. PodĐahol mu aj holandský všestranný umelec a vedec Maurits Cornelis Escher.4 Návšteva paláca v Alhambre zásadne ovplyvnila jeho ćalšiu þinnosĢ, 3

Obr. 1 je prevzatý z [6]. Maurits Cornelis Escher (1898–1972), holandský umelec a vedec známy svojimi kresbami a grafikami. 5 Obr. 2a je prevzatý z [8], obr. 2b je prevzatý z [7]. 4

86


1.7.2015 11:38:29

po zbytok svojho života sa venoval hlavne konštrukcii rôznych teselácií, nazývaných dodnes escherovské. Podrobnejšie sa možno s touto problematikou zoznámiĢ v þlánkoch Lucie Ilucovej Csachovej (pozri [1], [2] a [3]). PripomeĖme si teraz pre úplnosĢ aspoĖ definíciu teselácie: Rovinnou teseláciou sa nazýva pokrytie roviny dvojrozmernými ohraniþenými útvarmi bez prekrytia (pozri [3]). Najznámejšou Escherovou prácou spojenou s mozaikami je grafika predstavujúca príbeh jašteriþky, ktorá sa odpútala od roviny a vydala sa na cestu do priestoru. M. C. Escher sám o sebe povedal: Hoci nemám žiadne vzdelanie v exaktnej vede, þasto sa mi zdá, že mám viac spoloþného s matematikmi ako s mojimi kolegami umelcami. Napriek jeho pocitu matematika, reakcia na tvorbu M. C. Eschera bola zo strany matematikov rozporuplná. Podrobnejšie sa môžeme o tom doþítaĢ v þlánku Escher ako uþitel (pozri [3]). Venujme teraz svoju pozornosĢ kvazikryštálom, nakoĐko ich spojitosĢ s arabskými mozaikami je až zarážajúca (pozri [5]). Kvazikryštál, obr. 2a a 2b, je definovaný ako pevná látka, ktorej štruktúrne jednotky (atómy a molekuly) nie sú usporiadané periodicky, ako je tomu u tradiþných kryštálov, ale ani nie sú rozmiestnené náhodne ako u amorfných materiálov. Objav novej štruktúry spôsobil, že bolo potrebné predefinovaĢ aj kryštál. Súþasná definícia znie: Kryštál je akákoĐvek pevná látka, ktorej difrakþný diagram je bodový.

Obr. 2a Motív elektronickej difrakcie kvazikryštálu5

Obr. 2b Atomický model kvazikryštálu Ag-Al5

VráĢme sa opäĢ k našej kráĐovne – matematike s konštatovaním, že už v roku 1202 taliansky matematik Leonardo Pisano Fibonacci predstavil prvý kvaziperiodický rad. Jeho konštrukciou, už niekoĐko storoþí pred objavom kvazikryštálu, dal odpoveć na otázku: Je príroda pri stavbe pevných látok obmedzená výluþne len na materiály amorfné a kryštalické? Alebo existuje možnosĢ usporiadaĢ atómy na dlhú vzdialenosĢ pravidelne ale neperiodicky? Túto skutoþnosĢ pripomenuli Jan Fikar a Tomáš Kruml vo svojom príspevku Fibonacciho králikárna aneb dvacet let od objevu kvazikrystalu (pozri [4]). Príklady neperiodického rovinného pokrytia predstavili v druhej polovine dvadsiateho storoþia aj ćalší matematici. Uvećme niektorých z nich v chronologickom poradí: 1961 –

87


1.7.2015 11:38:30

Wang Hao, 1966 – Robert Berger, 1971 – Raphael M. Robinson, 1974 – Roger Penrose (tzv. Penrosovo pokrytie), 1977 – Robert Ammann, 1996 – Karel ýulík a Jaroslav Opatrný.

3

Záver

Arabské mozaiky predstavujú veĐmi zaujímavý, pouþný príklad spojenia matematiky a umenia. A v þom je pouþenie? Vedci by si mali þastejšie uvedomiĢ, že niektoré základné pravdy môžu byĢ len domnienky a je veĐmi potrebné maĢ stále otvorenú myseĐ novým informáciám, tak ako to zdôraznila Nobelova komisia pri udeĐovaní cien v roku 2011.

Literatúra [1] Ilucová L.: História pentagonálnych teselácií, In: BeþváĜ J., BeþváĜová M. (ed): 29. mezinárodní konference Historie matematiky, Matfyzpress, Praha, 2008, str. 57–62. [2] Ilucová L.: Pentagonálne teselácie, Pokroky matematiky, fyziky a astronomie 55(2010), str. 125–132. [3] Csachová L.: Escher ako uþitel, Pokroky matematiky, fyziky a astronomie 55(2010), str. 184–190. [4] Fiker J., Kruml T.: Fibonacciho králikárna aneb dvacet let objevu kvazikrystal [online]. [cit. 23. 5. 2015]. http://www.tomason.free.fr/kvazi.html [5] Lapoint P.: Le Nobel mosaique [online]. [cit. 29. 4. 2015]. http://www.sciences-presse.qc.ca/actualite/2011/10/5/nobel-mosaique [6] Kvazikryštál [online]. Posledná revízia 26. júna 2013 [cit. 29. 4. 2015]. http://cs.wikipedia.org/wiki/Kvazikrystal [7] Wikipedia: Dan Shechtman [online]. Posledná revízia 8. apríla 2015 [cit. 23. 5. 2015]. http://fr.wikipedia.org/wiki/Dan_Shechtman [8] Prix Nobel de Chimie 2011: la découvert des quasi-cristaux. [online]. Publikované 5. 6. 2012 [cit. 23. 5. 2015]. http://cultursciences.chimie.ens.fr./content/prix-nobel-de-chimie-2011 Adresa RNDr. Anna Bálintová, CSc. Département de mathématiques Faculté des Sciences Université de Monastir Boulevarde de l'Environement 5000 Monastir Tunisie email: [email protected]

88


1.7.2015 11:38:30

GRAMOVY MATICE A DETERMINANTY Jindřich Bečvář Abstract: In the first part of this article, some basic properties of Gram matrices and determinants are described in connections to the Gram-Schmidt ortogonalization process, QR-decomposition, solving overdetermined systems, theory of least squares etc. In the second part, the brief history of these questions, as well as basic information on lives and achievements of J. P. Gram and E. Schmidt are presented. 1 Úvod Článek je věnován Gramovým maticím a determinantům a jejich souvislostem s ortogonální projekcí, známým Gramovým-Schmidtovým ortogonalizačním procesem, QR-rozkladem, aproximací, přibližným řešením soustav lineárních rovnic, které nemají exaktní řešení, a metodou nejmenších čtverců. Přináší nejdůležitější informace o J. P. Gramovi a E. Schmidtovi, kteří svými pojednáními k rozvoji těchto témat přispěli, a několik ukázek z jejich prací. Pojednává též o výkladu této látky v monografii G. Kowalewského a v článku Y. K. Wonga. Volně navazuje na stať [B1] týkající se pseudoinverzních matic a řešení „neřešitelných soustav lineárních rovnic. 2 Gramova matice, Gramův determinant Nechť V je reálný nebo komplexní prostor se skalárním součinem, tj. vektorový prostor nad polem F reálných, resp. komplexních čísel, na kterém je definován skalární součin. Gramovou maticí vektorů w1 , . . . , wm ∈ V nazveme matici ⎛ ⎞ (w1 |w1 ) (w1 |w2 ) . . . (w1 |wm ) ⎜ (w |w ) (w2 |w2 ) . . . (w2 |wm ) ⎟ G(w1 , . . . , wm ) = ⎝ 2 1 ⎠, .................................. (wm |w1 ) (wm |w2 ) . . . (wm |wm ) Gramovým determinantem vektorů w1 , . . . , wm nazveme determinant této matice. Na místě ij tedy stojí v matici G(w1 , . . . , wm ) skalární součin i-tého a j-tého vektoru množiny {w1 , . . . , wm }. Je-li V reálný vektorový prostor, je matice G(w1 , . . . , wm ) symetrická, je-li V komplexní vektorový prostor, je matice G(w1 , . . . , wm ) hermitovská. Z elementárních vlastností skalárního součinu vyplývá, že pro každé číslo a ∈ F a každé j = 1, . . . , m je det G(w1 , . . . , awj , . . . , wm ) = |a|2 · det G(w1 , . . . , wm ) a pro každou permutaci P m-prvkové množiny {1, 2, . . . , m} je det G(wP (1) , . . . , wP (m) ) = det G(w1 , . . . , wm ). Gramova matice i Gramův determinant přirozeným způsobem souvisí s pojmem ortogonální projekce.

89


1.7.2015 11:38:30

3 Ortogonální projekce Nechť W = [w1 , . . . , wm ] je podprostor prostoru V a nechť v ∈ V je vektor, který v podprostoru W neleží. Hledejme ortogonální projekci v p vektoru v na podprostor W . Situaci naznačuje následující obrázek. ........... ............... .... ... ............... ................ . . . ... . . . . . . . . . . .. ... ............... ............... . . . . . . . . . . . . .... . . ........ . . . . . . . . . . . . . . .. ......... . . p . . . . . . . . . . . . . . . ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . ................ ........... .................. .. .... ................. .... ... ... ....... ............... p ... ......... .................................. . . . . . ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ....

v

v− v

.

v

W = [w1 , . . . , wm ]

Vektor v p je právě jediný vektor podprostoru W , pro který je vektor v −v p kolmý na podprostor W . Jestliže je v p = a1 w1 + · · · + am wm , potom je tato podmínka ekvivalentní se souborem rovností (v − v p |wj ) = 0,

j = 1, . . . , m.

Po dosazení za v p a jednoduché úpravě dostáváme rovnosti (w1 |w1 )a1 + (w2 |w1 )a2 + · · · + (wm |w1 )am = (v|w1 ) , (w1 |w2 )a1 + (w2 |w2 )a2 + · · · + (wm |w2 )am = (v|w2 ) , .................................................................................. (w1 |wm )a1 + (w2 |wm )a2 + · · · + (wm |wm )am = (v|wm ) . Hledaná m-tice (a1 , . . . , am ) je tedy řešením soustavy lineárních rovnic, jejíž maticí je matice transponovaná ke Gramově matici1 vektorů w1 , . . . , wm a vektor pravých stran je tvořen skalárními součiny vektoru v s vektory w1 , . . . , wm . Uvědomme si, že vektor v p ∈ W je možno vyjádřit právě jediným způsobem jako lineární kombinaci vektorů w1 , . . . , wm právě tehdy, jsou-li tyto vektory lineárně nezávislé, resp. právě tehdy, když má výše uvedená soustava rovnic právě jediné řešení, tj. právě tehdy, když je její matice regulární. Došli jsme k následujícímu poznatku: Gramova matice G(w1 , . . . , wm ) vektorů w1 , . . . , wm je regulární právě tehdy, když jsou tyto vektory lineárně nezávislé.2 V tomto případě je podle Cramerova pravidla pro každé j = 1, . . . , m aj = 1 2

det Gj , det G(w1 , . . . , wm )

Je-li prostor V reálný, je to přímo Gramova matice G(w1 , . . . , wm ) vektorů w1 , . . . , wm . Tento fakt se snadno dokáže i přímo.

90


1.7.2015 11:38:30

kde Gj je matice, která z matice G(w1 , . . . , wm )T vznikne nahrazením jejího j-tého sloupce sloupcem pravých stran uvažované soustavy rovnic. Předpokládejme, že w1 , . . . , wm jsou lineárně nezávislé vektory prostoru V . Podprostor W = [w1 , . . . , wm ] je rovněž prostorem se skalárním součinem (ten je dán zúžením skalárního součinu prostoru V na podprostor W ). Skalární součin je v komplexním případě pozitivně definitní hermitovská seskvilineární forma, v reálném případě pozitivně definitní symetrická bilineární forma. Její maticí vzhledem k bázi {w1 , . . . , wm } je právě Gramova matice G(w1 , . . . , wm ). Přejdeme-li od báze {w1 , . . . , wm } k nějaké ortonormální bázi N podprostoru W (vzhledem k té má skalární součin jednotkovou matici E), je3 E = B T · G(w1 , . . . , wm ) · B, kde B je matice přechodu od báze N k bázi {w1 , . . . , wm }. Podle věty o násobení determinantů je 2 1 = det B T · det G(w1 , . . . , wm ) · det B = det B · det G(w1 , . . . , wm ). Odtud ihned vyplývá následující výsledek. Gramův determinant lineárně nezávislých vektorů je kladný. Poznamenejme, že když je množina {w1 , . . . , wm } ortogonální bází podprostoru W , je situace jednodušší. Gramova matice vektorů w1 , . . . , wm je diagonální, na diagonále stojí čtverce norem těchto vektorů. Pro každé j = 1, . . . , m je (v|wj ) aj = . ||wj ||2 Koeficientům a1 , . . . , am se v tomto případě někdy říká Fourierovy koeficienty. Zdůrazněme, že j-tý koeficient závisí jen na vektoru v a j-tém vektoru ortogonální báze {w1 , . . . , wm }. Zvětšíme-li podprostor W přidáním nenulového vektoru wm+1 , který je kolmý na vektory w1 , . . . , wm , potom ortogonální projekce vektoru v na podporostor [W, wm+1 ] bude součtem ortogonální projekce vektoru v na podprostor W a vektoru (v|wm+1 ) · wm+1 . am+1 wm+1 = ||wm+1 ||2 Na této skutečnosti se zakládá myšlenka nekonečného rozvoje. Pokud má prostor V nekonečnou dimenzi a existuje v něm spočetná ortogonální podmnožina {w1 , w2 , . . . } nenulových vektorů, můžeme uvažovat o projekci v p vektoru v na podprostor W = [w1 , w2 , . . . ], tj. o nekonečné řadě ∞ (v|wj ) vp = aj wj , kde aj = pro každé j = 1, 2, 3, . . . ||wj ||2 j=1 Závažnou otázkou je, jaký je vztah vektoru v a jeho ortogonální projekce v p na podprostor W pro daný prostor V , daný skalární součin a podprostor W . 3 Symbolem B značíme matici, která je komplexně sdružená s maticí B, tj. na stejných místech těchto matic jsou navzájem komplexně sdružená čísla. V reálném případě je B = B.

91


1.7.2015 11:38:31

4 Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces Ortogonální projekci (a zejména její geometrickou představu – viz předchozí obrázek) lze velmi snadno využít ke zdůvodnění tzv. Gramova-Schmidtova ortogonalizačního procesu. Máme-li množinu {v1 , . . . , vm } vektorů prostoru V , můžeme následujícím postupem sestrojit ortogonální množinu {w1 , . . . , wm } podprostoru W = [v1 , . . . , vm ]. 1. Nejprve položíme w1 = v1 . 2. Vektor v2 kolmo promítneme na podprostor [w1 ] a jako druhý vektor vezmeme vektor w2 = v 2 −

(v2 |w1 ) ||w1 ||2

· w1 .

3. Vektor v3 kolmo promítneme na podprostor [w1 , w2 ] a jako třetí vektor vezmeme vektor w3 = v3 −

(v3 |w1 ) ||w1 ||2

· w1 −

(v3 |w2 ) ||w2 ||2

· w2

atd.

m. Nakonec vektor vm kolmo promítneme na podprostor [w1 , . . . , wm−1 ] a jako m-tý vektor vezmeme vektor wm = vm −

(vm |w1 ) ||w1 ||2

· w1 − · · · −

(vm |wm−1 ) ||wm−1 ||2

· wm−1 .

Z uvedené konstrukce4 ihned vyplývá ortogonalita vektorů {w1 , . . . , wm }. Rovněž je dobře vidět, že se vektory v1 , . . . , vm snadno vyjádří jako lineární kombinace vektorů w1 , . . . , wm a naopak, vektory w1 , . . . , wm jako lineární kombinace vektorů v1 , . . . , vm . Jestliže je tedy {v1 , . . . , vm } bází podprostoru W , je {w1 , . . . , wm } ortogonální bází tohoto podprostoru; pokud tyto vektory normujeme, dostaneme ortonormální bázi podprostoru W . 5 QR-rozklad Gramův-Schmidtův proces je jednou z cest, jak dospět k tzv. QR-rozkladu 5 matice na součin ortogonální a horní trojúhelníkové matice. Nechť je dána (obecně obdélníková) matice A typu n × m s lineárně nezávislými sloupci v1 , v2 , . . . , vm ∈ F n . Modifikujme výše uvedený Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces takto: v každém kroku budeme vektor wi normovat, získáme vektor ei , vektor vi+1 budeme promítat na podprostor generovaný ortonormální bází {e1 , e2 , . . . , ei } a vyjádříme jej lineární kombinací těchto vektorů. 1. w1 = v1 , 4

w1 ||w1 || .

Poznamenejme, že vyjde-li vektor wj nulový pro nějaký index j, vynecháváme v dalším

výpočtu členy 5

e1 = (vk |wj ) ||wj ||2

· wj pro k > j.

Též QR-faktorizace, resp. QR-dekompozice.

92


1.7.2015 11:38:31

Je tedy (v1 |e1 ) = (w1 |e1 ) = ||w1 ||. Potom je v1 = (v1 |e1 )e1 . 2. w2 = v2 − (v2 |e1 )e1 ,

e2 =

w2 ||w2 || .

Je tedy (v2 |e2 ) = (w2 |e2 ) = ||w2 ||. Potom je v2 = (v2 |e1 )e1 + ||w2 ||e2 = (v2 |e1 )e1 + (v2 |e2 )e2 . Atd. m. wm = vm − (vm |e1 )e1 − · · · − (vm |em−1 )em−1 ,

em =

wm ||wm || .

Je tedy (vm |em ) = (wm |em ) = ||wm ||. Potom je vm = (vm |e1 )e1 + · · · + (vm |em−1 )em−1 + ||wm ||em = = (vm |e1 )e1 + · · · + (vm |em )em . Utvoříme-li matici Q z vektorů e1 , e2 , . . . , em jako sloupců, je ⎞ (v1 |e1 ) (v2 |e1 ) (v3 |e1 ) . . . (vm |e1 ) ⎜ 0 (v2 |e2 ) (v3 |e2 ) . . . (vm |e2 ) ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . A=Q·⎜ 0 0 (v3 |e3 ) . . . (vm |e3 ) ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ...................................... ⎠ 0 0 0 0 (vm |em ) ⎛

Příklad. Uveďme jednoduchý příklad QR-rozkladu, který byl získán výše uvedeným postupem: ⎛ 1 ⎞ ⎛√ ⎞ √3 ⎞ ⎛ √ √1 2 √12 − √13 2 2 6 1 1 1 √ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ √2 √1 ⎟ · ⎜ 0 ⎝0 1 0⎠ = ⎜ 0 √3 − √16 ⎟ 6 3 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠. 2 1 1 1 1 0 2 1 √ √ − √6 √ 0 0 2 3 3

6 Aproximace Ortogonální projekce v p ∈ W vektoru v ∈ V na podprostor W = [w1 , . . . , wm ] je vektor, který je vektoru v ze všech vektorů podprostoru W „nejbližší v tomto smyslu: ||v − v p || < ||v − w||. ∀w ∈ W, w = v p K důkazu této skutečnosti stačí nahlédnout následující obrázek a užít Pýthagorovu větu pro vyšrafovaný trojúhelník. .... ........................... ............... ... ... ................ .............. ............... . . . . . . . . . . . ................... . . ................ ... ... ............... . . . . . . . . . . . ........................ . . . ......... . . . . . . . . ......................... . . . . . p .......... .. . . . . . . . . . . . . . . ............................... ....... . ................ ................................. ................ ............... ................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ... .. ........... . . p . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................... .. ....................... . ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. . ....

v

v−w

v− v

.

v

w

W = [w1 , . . . , wm ]

w − vp

93


1.7.2015 11:38:31

Jsou-li vektory w1 , . . . , wm lineárně nezávislé, můžeme pomocí Gramova determinantu zjistit, „o kolik se vektory v a v p liší, tj. vypočítat normu (délku) vektoru v − v p . Zřejmě je ||v − v p ||2 = (v − v p v − v p ) = (v − v p v) = (v|v) − (v p |v) = 2

= ||v|| − takže

m j=1

det Gj · (wj |v), det G(w1 , . . . , wm )

||v − v p ||2 · det G(w1 , . . . , wm ) = ||v||2 · det G(w1 , . . . , wm ) −

m

det Gj · (wj |v) .

j=1

Rozvineme-li determinant matice G(v, w1 , . . . , wm )T podle prvního řádku, dostaneme rovnost m (−1)j ·(wj |v)·(−1)j−1 · det Gj . det G(v, w1 , . . . , wm ) = (v|v) · det G(w1 , . . . , wm ) + j=1

Pravé strany předchozích rovností se rovnají, takže ||v − v p ||2 · det G(w1 , . . . , wm ) = det G(v, w1 , . . . , wm ), neboli ||v − v p ||2 =

det G(v, w1 , . . . , wm ) . det G(w1 , . . . , wm )

7 Přibližné řešení soustavy lineárních rovnic Uvažujme následující soustavu lineárních rovnic nad polem F . w11 x1 + w12 x2 + · · · + w1m xm = v1 , w21 x1 + w22 x2 + · · · + w2m xm = v2 , .................................................... wn1 x1 + wn2 x2 + · · · + wnm xm = vn .

(1)

Sloupce rozšířené matice této soustavy zapíšeme jako vektory w1 = (w11 , w21 , . . . , wn1 ), w2 = (w12 , w22 , . . . , wn2 ), ..................................... wm = (w1m , w2m , . . . , wnm ), v = (v1 , v2 , . . . , vn ), budeme je považovat za vektory prostoru F n se standardním skalárním součinem.6 Definujme podprostor W prostoru F n rovností W = [w1 , w2 , . . . , wm ]. 6 Připomeňme, že standardní skalární součin vektorů x = (x , . . . , x ), y = (y , . . . , y ) ∈ F n n n 1 1 n je definován rovností (x|y) = n i=1 xi yi pro F = R, resp. (x|y) = i=1 xi yi pro F = C.

94


1.7.2015 11:38:32

Víme, že soustava (1) je řešitelná právě tehdy, když je sloupec pravých stran lineární kombinací sloupců matice soustavy (tj. v ∈ W ); vektory utvořené z koeficientů všech takových lineárních kombinací jsou právě všechna řešení soustavy (1). Pokud soustava (1) není řešitelná, není sloupec pravých stran lineární kombinací sloupců matice soustavy (tj. v ∈ / W ). Vektor v nahradíme „nejbližším vektorem ležícím v podprostoru W . Tímto vektorem, jak již víme, je ortogonální projekce v p vektoru v na podprostor W . Zajímají nás však koeficienty a1 , . . . , am lineární kombinace, kterou je vektor v p z vektorů w1 , . . . , wm vyjádřen. Vektor (a1 , . . . , am ) dává tzv. přibližné řešení neřešitelné soustavy (1). Tento vektor, jak jsme již viděli, je řešením soustavy lineárních rovnic, jejíž maticí je matice G(w1 , . . . , wm )T . Jsou-li vektory w1 , w2 , . . . , wm lineárně nezávislé, je přibližné řešení jediné. Příklad. Uvažujme soustavu lineárních rovnic nad polem reálných čísel: x + y + 2z = 2, x − y + z = 1, 2x + 3z = 2.

(2)

Soustava (2) je zjevně neřešitelná. Vyřešíme tedy soustavu lineárních rovnic s Gramovou maticí: + 9a3 = 7, 6a1 a3 = 1, 2a2 + 9a1 + a2 + 14a3 = 11. Jejím řešením je lineární množina (− 31 , 0, 1) + (3, 1, −2) , všechny její vektory jsou přibližnými řešeními soustavy (2). Chceme-li najít přibližné řešení s nejmenší normou, musíme zjistit, pro jaké k nabývá funkce

−

2 1 1 + 3k + k 2 + (1 − 2k)2 = 14k 2 − 6k + 1 + 3 9

minimální hodnoty. Snadno zjistíme, že to nastane pro k = soustavy (2) s nejmenší normou je tedy

3 14 .

Přibližné řešení

1 13, 9, 24 . 42 Pro výpočet přibližného řešení s nejmenší normou můžeme využít MooreovuPenroseovu pseudoinverzní matici (viz [B1]). K matici A soustavy rovnic (2) je Mooreovou-Penroseovou pseudoinverzní maticí matice ⎛ ⎞ −2 7 5 1 ⎝ 18 −21 −3 ⎠ . A+ = 42 6 0 6 Vynásobíme-li touto maticí sloupec pravých stran soustavy (2), získáme výše uvedené přibližné řešení soustavy (2), které má nejmenší normu.

95


1.7.2015 11:38:32

8 Metoda nejmenších čtverců S výše uvedenou problematikou velmi úzce souvisí základní myšlenka tzv. metody nejmenších čtverců. Máme-li například najít koeficienty a1 , a2 , . . . , an , které figurují v lineární kombinaci y = a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn , přičemž hodnoty proměnných veličin y, x1 , x2 , . . . , xn jsou postupně zjišťovány pozorováními (nebo měřeními), docházíme po k pozorováních, kde k je výrazně větší než n, k soustavě rovnic a1 x11 + a2 x12 + · · · + an x1n = y1 , a1 x21 + a2 x22 + · · · + an x2n = y2 , ..............................................

(3)

a1 xk1 + a2 xk2 + · · · + an xkn = yk , která je pravděpodobně neřešitelná. Sloupec (y1 , y2 , . . . , yk ) pak není lineární kombinací sloupců matice soustavy (3). Nahradíme jej proto jeho ortogonální projekcí y p = (z1 , z2 , . . . , zk ) na podprostor W prostoru F k , který je generován n sloupci matice soustavy (3). Přitom je ∀w ∈ W, w = y p

||y − y p || < ||y − w||.

Píšeme-li w = (w1 , w2 , . . . , wk ), je tato podmínka ekvivalentní s nerovností k i=1

(yi − zi )2 <

k

(yi − wi )2 .

i=1

Proto se hovoří o metodě nejmenších čtverců. Širší kontext předchozích odstavců lze najít v učebnici [B2], ale i v řadě dalších knih, viz např. [P]. 9 Jørgen Pedersen Gram Jørgen Pedersen Gram, dánský matematik a pojišťovací matematik (aktuár), se narodil 27. června 1850 v Nustrupu (nedaleko Haderslev, vévodství Šlesvické) v rodině farmáře Pedera Jørgensena Grama. V letech 1862 až 1868 navštěvoval střední školu (Ribr Katedralskole), pak studoval na univerzitě v Kodani, kde roku 1873 absolvoval náročné magisterské studium matematiky (na úrovni dnešního Ph.D.). Ještě před koncem studia zveřejnil první práci v časopisu Tidsskrift for Mathematik a roku 1874 publikoval její rozšířenou verzi pod názvem Sur quelques théorèmes fondamentaux de l’algèbre moderne v časopisu Mathematische Annalen. Roku 1875 se stal asistentem-výpočtářem v pojišťovací společnosti Hafnia, v níž se postupně dostával na významnější pozice, v letech 1895 až 1910 byl jejím vedoucím úředníkem. V sedmdesátých a osmdesátých letech rovněž pracoval na matematickém modelu pro lesní hospodářství, který stále zdokonaloval, a své výsledky

96


1.7.2015 11:38:32

čas od času publikoval (1876, 1879, 1883, 1889). Jeho model lesního hospodářství byl v praxi využíván. Roku 1884 Gram založil vlastní pojišťovací společnost Skjold, jejímž ředitelem byl až do roku 1911. Nadále však pracoval ve společnosti Hafnia. Aktivity pro pojišťovací společnost i vytváření matematického modelu lesního hospodářství ho vedly zpět k teoretické matematice, zejména k pravděpodobnosti, statistice a numerické analýze. Teoretické poznatky těchto disciplín totiž často při svých činnostech využíval. Byl nejen vynikajícím výpočtářem, ale i tvůrčím matematikem. Jeho odborné zaměření je možno vymezit následujícími hesly: pravděpodobnost, matematická statistika, numerická analýza, teorie čísel, Gama funkce, Dzeta funkce, posloupnosti ortogonálních funkcí, rozvoje funkcí v ortogonální řady, aproximace, metoda nejmenších čtverců. Za rozsáhlou práci Undersøgelser angaaende Maengden af Primtal under en given Graeense 7 získal Gram roku 1884 zlatou medaili Dánské akademie věd. O čtyři roky později byl zvolen jejím čestným členem. V letech 1910 až 1916 byl předsedou Dánské pojišťovací rady. Pravidelně přednášel v Dánské matematické společnosti, v letech 1883 až 1889 byl editorem časopisu Tidsskrift for Mathematik, spolupracoval s časopisem Jahrbuch u ¨ber die Fortschritte der Mathematik (referoval o pracích publikovaných v Dánsku). Přestože nikdy nepůsobil na univerzitě, ovlivnil celou generaci dánských matematiků. Roku 1879 se Gram oženil, jeho ženou se stala Dorthe Marie Sørensen, dcera kováře. Roku 1895 ovdověl, o rok později se podruhé oženil, jeho druhou ženou byla Emma Birgitte Hansen. Zemřel 29. dubna 1916 v Kodani, po úrazu, který mu způsobil neopatrný cyklista. O jeho životě a díle viz [Z], [HM], [H1], [H2] a [Wa]. Jørgen Pedersen Gram získal roku 1879 titul doktora filozofie za práci Om R¨ akkeudviklinger, bestemte ved Hj¨ alp af de mindste Kvadraters Methode [G1], jejíž německou verzi publikoval roku 1883 v časopisu Journal f¨ ur die reine und angewandte Mathematik pod názvem Ueber die Entwickelung reeller Functionen in Reihen mittelst der Methode der kleinsten Quadrate [G2]. Tato práce sehrála důležitou roli v teorii integrálních rovnic. Právě v ní jsou načrtnuty (ještě v nepříliš zjevné formě) pojmy Gramova matice, Gramův determinant a ortogonalizační proces. Gegeben sei eine Reihe von Argumenten x und zwei derselben entsprechende Reihen von Gr¨ ossen ox und νx . Diese Gr¨ ossen werden s¨ ammtlich als reell angenommen, die νx ferner positiv. In einer nach bekannten Functionen von x fortschreitenden Reihe mit n Gliedern (1.)

yx = a1 X1 + a2 X2 + · · · + an Xn

sollen dann die Coefficienten so bestimmt werden, dass die Summe ein Minimum werde.

x

νx (ox − yx )2

7 Det kongelige danske Videnskabernes Selskab 2 (1884), str. 183–308. Práce bývá citována pod názvem Investigations of the number of primes less than a given number.

97


1.7.2015 11:38:32

Mit anderen Worten, man soll die Function y so bestimmen, dass, wenn ox als orige Gewichte aufgefasst werden, die Quadratsumme Beobachtungen, νx als zugeh¨ der Abweichungen die kleinstm¨ ogliche werde. Die Aufgabe f¨ uhrt auf n Gleichungen von der Form (2.) νx Xi ox = νx Xi yx (i = 1, 2, . . . n), x

x

aus welchen man durch Einsetzen des Ausdruckes (1.) f¨ ur y n Normalgleichungen erh¨ alt. Diese k¨ onnen nach dem bekannten Gaussischen Verfahren aufgel¨ ost werden; wir schlagen aber einen anderen Weg ein. Bezeichnet man im Allgemeinen durch (3.)

yx(m) = am1 X1 + am2 X2 + · · · + amm Xm

die Function y, welche erhalten wird, wenn man nur die m ersten Glieder der Reihe (1.) bei der Ausgleichung benutzt, und setzt man ferner der K¨ urze wegen (4.) νx Xi ox = si , und νx Xi Xk = pik = pki , x

x

so werden die Normalgleichungen f¨ ur die Coefficienten von y m ⎧ s1 = am1 p11 + am2 p12 + · · · + amm p1m , ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ s2 = am1 p21 + am2 p22 + · · · + amm p2m , (5.) ⎪ .............................................................. ⎪ ⎪ ⎩ sm = am1 pm1 + am2 pm2 + · · · + amm pmm . Statt die Function y direct zu bestimmen, suchen wir allgemein die Differenz y (m) − y m−1 = bm1 X1 + bm2 X2 + · · · + bmm Xm , wo bmi = ami − am−1 i . F¨ ur die b erh¨ alt man dann m − 1 Gleichungen bm1 p11 + bm2 p12 + . . . + bm m−1 p1 m−1 + amm p1m = 0, bm1 p21 + bm2 p22 + . . . + bm m−1 p2 m−1 + amm p2m = 0, ........................................................................................... bm1 pm−1 1 + bm2 pm−1 2 + · · · + bm m−1 pm−1 m−1 + amm pm−1 m = 0. Aus diesen ergeben sich die b, wenn zuerst amm aus den Normalgleichungen (5.) bestimmt worden ist. Bezeichnet man mit P (m) die symmetrische Determinante ±p11 p22 . . . pmm (m) und durch Pik die dem Elemente pik entsprechende Unterdeterminante derselben, so wird erstens (m) Pmi si amm = i (m) P

98


1.7.2015 11:38:32

und demn¨ achst bm1 (m)

bm2

=

Pm1

(m)

Pm2

= ··· =

bm m−1 (m)

Pm m−1

=

amm (m)

=

Pmm

(m) i Pmi si P (m) P (m−1)

.

ahler und Wenn man die m ersten Verh¨ altnisse resp. mit X1 , X2 , . . . , Xm im Z¨ Nenner multiplicirt und addirt, kommt (m) y (m) − y m−1 i Pmi si = , (m) (m) P P (m−1) i Pmi Xi oder ganz allgemein

(6.)

y (m) − y m−1 =

(m) i Pmi si P (m−1) P (m)

·

i

(m)

Pmi Xi .

1 Da ferner y (1) = a11 X1 = Ps(1) , so wird endlich durch einfache Addition f¨ ur y (n) die folgende Formel erhalten:

(7.)

y (n) =

s1 · X 1 + P (1)

i

(2) (n) (n) (2) P2i si · i P2i Xi i Pni si · i Pni Xi + · · · + . (1) (2) (n−1) P P P P (n)

Die Summationen sollen u ¨berall auf alle diejenigen Werthe von i erstreckt werden, f¨ ur welche die Determinanten ihre Bedeutung behalten. Aus dieser Formel lassen sich die Coefficienten a ohne Schwierigkeit bestimmen. ([G2], str. 42–44) O Gramově disertaci [G1] referoval v časopisu Jahrbuch u ¨ber die Fortschritte der Mathematik Wilhelm Lazarus (1825–1890), o Gramově práci [G2] Otto Stolz (1842–1905). Oba referáty přispěly k obecnému povědomí o Gramových výsledcích. 10 Erhard Schmidt Německý matematik Erhard Schmidt se narodil 13. ledna roku 1876 v Dorpatu (Tartu, Jurjev, nyní Estonsko) v rodině fyziologa Alexandera Schmidta. Studoval na německých univerzitách v Dorpatu, Berlíně a G¨ ottingen. V Berlíně byl jeho učitelem Hermann Amadeus Schwarz (1843–1921), v G¨ ottingen David Hilbert (1862–1943). Roku 1905 získal v G¨ ottingen doktorát. Výsledky jeho disertační práce Entwicklung willk¨ urlicher Funktionen nach Systemen vorgeschriebener byly roku 1907 publikovány v časopisu Mathematische Annalen (viz [S1]). Roku 1906 se Schmidt habilitoval v Bonnu. O dva roky později získal profesorské místo na univerzitě v Curychu, od roku 1910 působil krátce v Erlangen, od roku 1911 ve Vratislavi (Wroc law, Breslau) a pak v letech 1917 až 1950 na univerzitě v Berlíně (v období 1929 až 1930 byl rektorem). Od roku 1946 do roku 1958 byl prvním ředitelem Matematického institutu Akademie věd Německé demokratické republiky.

99


1.7.2015 11:38:33

Erhard Schmidt byl členem (1918) Pruské akademie věd v Berlíně, členem (1927) a předsedou (1927/28 a 1935/36) Deutsche Mathematiker-Vereinigung, členem (1942) Bavorské akademie věd. Roku 1936 byl vedoucím německé delegace na Mezinárodním kongresu matematiků v Oslo. Podílel se na založení časopisu Mathematische Zeitschrift (1918), roku 1948 založil časopis Mathematische Nachrichten a po dvě desetiletí byl jeho hlavním redaktorem. Roku 1909 se oženil, jeho žena Berta von Bergmann však roku 1916 při narození třetího syna zemřela. Schmidt zemřel 6. prosince 1959 v Berlíně. O jeho životě a díle viz [R], [Di], [N] a [Pi]. Erhard Schmidt stavěl na výsledcích svých učitelů. Pracoval hlavně v teorii funkcí, navazoval na Hilbertovy výsledky o integrálních rovnicích, využíval Schwarzovy metody. Věnoval se rovněž algebře, teorii potenciálu a izoperimetrickému problému. Patřil k těm matematikům, kteří do teorie Hilbertových prostorů vnesli geometrické představy a geometrickou terminologii; funkce, resp. posloupnosti chápal jako body (resp. vektory) prostoru nekonečné dimenze. Jeho práce z let 1907 a 1908 měly velký význam pro rozvoj funkcionální analýzy (ortogonalizační proces, lineární operátory a funkcionály, prostory nekonečné dimenze, prostory funkcí integrovatelných v lebesgueovském smyslu atd.). Ortogonalizační (přesněji řečeno ortonormalizační) proces prezentoval roku 1907 víceméně v dnešní podobě v první části třídílné práce Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen [S1].8 Popsal jej ve třetím paragrafu Ersetzung linear unabh¨ angiger Funktionensysteme durch orthogonale. Uvažoval n lineárně nezávislých spojitých reálných funkcí ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . , ϕn (x) definovaných na uzavřeném intervalu a, b a s jejich pomocí vytvořil ortonormální systém funkcí ϕ1 (x)

,

ψ1 (x) =

b

ψ2 (x) =

b ϕ2 (x) − ψ1 (x) a ϕ2 (z)ψ1 (z)dz 2 , b b ϕ (y) − ψ (y) ϕ (z)ψ (z)dz dy 2 1 2 1 a a

(ϕ1 (y))2 dy a

..................................................................... b =n−1 ϕn (x) − =1 ψ (x) a ϕn (z)ψ (z)dz ψn (x) = 2 , b =n−1 b ϕ (y) − ψ (y) ϕ (z)ψ (z)dz dy n =1 a a n který generuje stejný prostor funkcí jako výchozí soubor ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . , ϕn (x). Die Funktionen ψ1 (x), ψ2 (x), . . . , ψn (x) bilden ferner ein normiertes und orthogonales Funktionensystem d. h. gen¨ ugen den Gleichungen 8 První část práce [S1] má stejný název jako Schmidtova disertace z roku 1905, z velké části je její mírnou modifikací.

100


1.7.2015 11:38:33

a

b

ψμ (x)ψν (x)dx = 0

oder

1,

je nachdem ν und μ verschieden oder gleich sind. ([S1], str. 443) V poznámce pod čarou Schmidt upozornil na Gramovu práci [G2] z roku 1883, v níž se myšlenka ortogonalizace již objevila: Im wesentlichen dieselben Formeln sind von J. P. Gram in der Abhandlung „Ueber die Entwickelung reeller Functionen in Reihen mittelst der Methode der kleinsten Quadrate, Crelles Journal Bd. 94, aufgestellt worden. ([S1], str. 442) ¨ V závěrečné kapitole práce [S1] nazvané Uber die Entwicklung willk¨ urlicher Fuktionen nach Systemen vorgeschriebener (str. 473–476) uvažoval ortonormalizační proces aplikovaný na spočetný systém reálných funkcí ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . , ϕν (x), . . . se spojitými druhými derivacemi na uzavřeném intervalu a, b, pro které pro každé ν je ϕν (a) = ϕν (b) = 0. Předpokládal, že systém funkcí ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . je uzavřený 9 (abgeschlossenes), tj. že neexistuje nenulová spojitá funkce f (x), pro kterou by bylo f (a) = f (b) = 0 a pro každé ν platila rovnost a

b

f (x)ϕν (x) dx = 0.

Mírně modifikovaným ortogonalizačním procesem získal funkce ψ1 (x), ψ2 (x), . . . , ψν (x) =

b =ν−1 ϕν (x) − =1 ψ (x) a ϕν (z)ψ (z) dz , ... b b =ν−1 (y) − (z)ψ (z) dz 2 dy ϕ ψ (y) ϕ ν =1 a a ν

Pak dokázal, že pro každou funkci g(x) se spojitou derivací na intervalu a, b, pro kterou g(a) = g(b) = 0, je g(x) =

ν=∞ ν=1

ψν (x)

a

b

g (y)ψν (y) dy ,

přičemž tato řada konverguje absolutně a stejnoměrně. V následujícím paragrafu tento výsledek zobecnil: nepředpokládal nulovost funkcí v bodech a, b. Dospěl tak k úvahám o nekonečných rozvojích spojitých funkcí. Roku 1908 popsal Schmidt ortogonalizační proces daleko abstraktněji v práci ¨ Uber die Aufl¨ osung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten [S2]. Nekomplikoval přitom ortogonalizační proces normováním vektorů. V paragrafu Die Orthogonalisierung (str. 61–62) konstruoval k daným komplexním funkcím A1 (x), A2 (x), . . . , An (x) ortogonální systém funkcí (orthogonales Funktionensystem) 9

Tato podmínka velice omezuje prostor funkcí, na které lze výsledek aplikovat.

101


1.7.2015 11:38:33

C1 (x) = A1 (x), C2 (x) = A2 (x) −

(A2 ; C1 ) · C1 (x), ||C1 ||2

C3 (x) = A3 (x) −

(A3 ; C1 ) (A3 ; C2 ) · C1 (x) − · C2 (x), ||C1 ||2 ||C2 ||2

............................................................. Cn (x) = An (x) −

=n−1 =1

(An ; C ) · C (x) ||C ||2

a ukázal, že funkce C1 (x), C2 (x), . . . , Cn (x) generují stejný prostor jako funkce A1 (x), A2 (x), . . . , An (x) (o nichž tentokrát nepředpokládal, že jsou lineárně nezávislé). V poznámce pod čarou opět odkázal na Gramovu práci [G2] z roku 1883. Uvedl rovněž, že nenulové funkce Ci (x) je možno normovat a že lze vyjít i od spočetného systému funkcí A1 (x), A2 (x), . . . Unsere Rekursionsformeln (20) und die an sie gekn¨ upften Schlussfolgerungen behalten ihre G¨ ultigkeit, wenn die gegebene Funktionenreihe unendlich ist. Das angegebene Verfahren liefert dann eine orthogonale und normirte Funktionenreihe, welche mit der gegebenen in dem Sinne linear aequivalent ist, dass jede Funktion der ersteren Reihe sich linear homogen mit constanten Coefficienten durch eine endliche Anzahl der Funktionen der zweiten Reihe darstellen l¨ asst und umgekehrt. ([S2], str. 62) V následujícím paragrafu nazvaném Ein weiteres Kriterium linearer Abh¨ angigkeit (str. 62–63) Schmidt definoval Gramův determinant funkcí A1 (x), A2 (x), . . . , An (x) a dokázal, že je invariantní vzhledem k lineárním transformacím, jejichž determinant je v absolutní hodnotě roven jedné. Termín Gramův determinant nepoužil, ale opět se odvolal na Gramovu práci [G2]. Převodem odpovídající Gramovy matice na diagonální tvar Schmidt odvodil, že Gramův determinant je vždy nezáporný a že funkce A1 (x), A2 (x), . . . , An (x) jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když je příslušný Gramův determinant kladný. Die Determinante (21) ist also stets reell und nie negativ. Sie ist gleich Null, wenn die Funktionen A1 (x), A2 (x), . . . , An (x) linear abh¨ angig sind und gr¨ osser als Null, wenn sie linear unabh¨ angig sind. ([S2], str. 63) S ortogonalizačním procesem a Gramovými determinanty Schmidt pracoval i ve druhé kapitole Aufl¨ osung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten, která pojednává o homogenní soustavě lineárních rovnic an1 Z1 + an2 Z2 + · · · + anm Zm . . . ad inf. = 0 (n = 1, 2, . . . ad inf.)

102


1.7.2015 11:38:33

a nehomogenní soustavě lineárních rovnic, která je zapsána obdobně. Gramovy determinanty využil při rozkladu dané funkce na dvě navzájem kolmé složky, z nichž jedna leží v podprostoru generovaném funkcemi A1 (x), A2 (x), . . . , An (x), resp. ortogonální bází B1 (x), B2 (x), . . . , Bn (x) (str. 67–68); v poznámce pod čarou znovu odkázal na Gramovu práci [G2]. Gramovy determinanty využil i v paragrafu Aufl¨ osung der inhomogenen linearen Gleichungen (str. 69–71). O Schmidtově práci [S1] referoval v časopisu Jahrbuch u ¨ber die Fortschritte der Mathematik Paul Gustav St¨ ackel (1862–1919), o jeho práci [S2] Ernst Hellinger (1883–1950). Schmidtovy práce [S1] a [S2] jsou psány téměř dnešním stylem. Ve srovnání s Gramovou statí [G2] jsou jasné a srozumitelné. 11 Gerhard Hermann Waldemar Kowalewski Na Gramovy a Schmidtovy výsledky reagoval Gerhard Kowalewski (1876–1950)10 v prvním vydání své rozsáhlé monografie Einf¨ uhrung in die Determinantentheorie einschließlich der unendlichen und der Fredholmschen Determinanten [K] z roku 1909. V 15. kapitole nazvané Wronskische und Gramsche Determinanten věnoval pozornost Gramovým determinantům v souvislosti s lineární závislostí a nezávislostí aritmetických vektorů a spojitých reálných, resp. spojitých komplexních funkcí. Základní výsledky uvedl v paragrafu Gramsche Kriterium f¨ ur reelle stetige Funktionen (str. 321–325). Wir wissen, daß m Wertsysteme ⎧ x11 , x12 , . . . , x1n ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ x , x , ..., x 21 22 2n ⎪ ....................... ⎪ ⎪ ⎩ xm1 , xm2 , . . . , xmn

(1)

dann und nur dann linear unabh¨ angig sind, wenn ihre Matrix den Rang m hat. . . . Die reellen Wertsysteme (1) sind dann und nur dann linear unabh¨ angig, wenn !2 ! (x1 x1 ) (x1 x2 ) . . . (x1 xm ) ! x11 , x12 , . . . x1n ! ! ! (x x ) (x2 x2 ) . . . (x2 xm ) ! x21 , x22 , . . . x2n ! ! = 2 1 ! ................................. ! ...................... ! ! ! xm1 , xm2 , . . . xmn (xm x1 ) (xm x2 ) . . . (xm xm ) 10 Kowalewski studoval v K¨ onigsbergu (Královec, Kaliningrad), Greifswaldu a Lipsku, kde roku 1898 promoval a o rok později se habilitoval. Jako mimořádný profesor působil od roku 1901 v Greifswaldu a od roku 1904 v Bonnu, jako řádný profesor od roku 1909 na Německé technice v Praze, od roku 1912 na Německé univerzitě v Praze, od roku 1920 na technice v Drážďanech a v letech 1939 až 1945 opět na Německé univerzitě a Německé technice v Praze. Věnoval se hlavně teorii transformačních grup, diferenciální geometrii, teorii aproximací a interpolací, matematické teorii her a historii matematiky. Je autorem více než stovky odborných časopiseckých prací a více než dvaceti učebnic, které vycházely opakovaně a byly hojně využívány na německých univerzitách i technikách.

103


1.7.2015 11:38:33

positiv ist.11 Wir wollen diese Determinante die Determinante der inneren Produkte nennen oder die Gramsche Determinante der Wertsysteme (1). Die Determinante der inneren Produkte von m reellen Wertsystemen ist also positiv, solange die Wertsysteme linear unabh¨ angig sind, und verschwindet, wenn sie linear abh¨ angig sind. . . . Die Determinante der inneren Produkte von m reellen stetigen Funktionen (a ≤ x ≤ b)

f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x)

(2)

ist positiv, solange die Funktionen linear unabh¨ angig sind, und verschwindet, wenn sie linear abh¨ angig sind. Die notwendige und hinreichende Bedingung f¨ ur die lineare Unabh¨ angigkeit der reellen stetigen Funktionen (2) lautet also (f1 f1 ) (f1 f2 ) . . . (f1 fm ) (f f ) (f f ) . . . (f2 fm ) 2 1 2 2 > 0. ................................. (f f ) (f f ) . . . (f f ) m

1

m

2

m

m

Dies ist das Gramsche Kriterium. ([K], str. 321–322) V důkazu Gramova kritéria Kowalewski využil ortonormalizační proces a od funkcí f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x) dospěl k funkcím ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . , ϕm (x): Setzen wir

f1 , ϕ1 = (f1 f1 )

so wird (ϕ1 ϕ1 ) = 1. Es l¨ aßt sich nun λ so w¨ ahlen, daß (f2 + λ ϕ1 , ϕ1 ) = (f2 ϕ1 ) + λ = 0 ist. Man braucht nur λ = − (f2 ϕ1 ) zu setzen. f"2 = f2 + λ ϕ1 kann nicht in dem ganzen Intervall (a, b) verschwinden. Sonst w¨ aren die Funktionen f linear abh¨ angig. Es ist daher (f"2 f"2 ) > 0 11 Symbolem na levé straně předchozí rovnosti je míněn součin dvou matic, které mají v řádcích vektory x1 , x2 , . . . , xm , přičemž se násobí řádky s řádky. Viz [K], str. 66.

104


1.7.2015 11:38:33

und, wenn wir

f"2

ϕ2 =

(f"2 f"2 )

setzen, (ϕ2 ϕ2 ) = 1,

(ϕ2 ϕ1 ) = 0.

Jetzt lassen sich λ, μ so w¨ ahlen, daß (f3 + λ ϕ1 + μ ϕ2 , ϕ1 ) = 0 und (f3 + λ ϕ1 + μ ϕ2 , ϕ2 ) = 0 wird. Diese Gleichungen reduzieren sich n¨ amlich wegen (ϕ1 ϕ1 ) = 1,

(ϕ1 ϕ2 ) = 0,

(ϕ2 ϕ2 ) = 1

auf (f3 ϕ1 ) + λ = 0,

(f3 ϕ2 ) + μ = 0.

f"3 = f3 + λ ϕ1 + μ ϕ2 kann nicht durchweg Null sein, da die f linear unabh¨ angig sind. Daher ist (f"3 f"3 ) > 0 und, wenn man ϕ3 =

f"3 (f"3 f"3 )

setzt, (ϕ3 ϕ3 ) = 1,

(ϕ3 ϕ1 ) = (ϕ3 ϕ2 ) = 0.

So kann man fortfahren. ([K], str. 323–324) V následujícím paragrafu Komponenten einer Funktion in bezug auf m linear unabh¨ angige Funktionen (325–326) Kowalewski opět uvažoval výchozí systém funkcí f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x) a s ním ekvivalentní sytém ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . , ϕm (x), který získal ortogonalizačním procesem. Dospěl k rozkladu funkce F na dvě navzájem kolmé složky, opět využil Gramovy determinanty. Nehmen wir irgend eine Funktion F , die in (a, b) reell und stetig ist, so l¨ aßt sie sich in zwei Summanden zerlegen, von denen der eine sich linear durch die f ausdr¨ uckt, w¨ ahrend der andere zu allen f orthogonal ist . . . ([K], str. 325) V paragrafu Wronskische Determinanten (str. 327–330) uvedl ekvivalentní podmínku pro lineární závislost funkcí, v níž figuruje Wronského determinant, a zdůraznil výhodnost Gramovy metody.

105


1.7.2015 11:38:33

Die Wronskische ist spezieller als die Gramsche Methode, weil sie sich auf Funktionen bezieht, die eine gewisse Anzahl von Malen differenzierbar sind, w¨ ahrend die Gramsche Methode nur die Stetigkeit fordert. ([K], str. 330) V paragrafu Gramsches Kriterium f¨ ur komplexe stetige Funktionen einer reellen Ver¨ anderlichen (330–337) Kowalewski přenesl předchozí výsledky na spojité komplexní funkce. Nejprve však zavedl jejich skalární součin: Wenn zwei komplexe stetige Funktionen in (a, b) vorliegen, so bezeichnen wir

b

f (x) g(x) dx

mit

(f g),

a

wie wenn f und g reell w¨ aren. ([K], str. 330) Poté zformuloval Gramovo kritérium pro spojité komplexní funkce, definoval ortogonalitu funkcí rovností (f g) = 0 a v důkazu Gramova kritéria využil ortonormalizační proces. Připomněl, že výchozí funkce f1 , f2 , . . . , fm je možno vyjádřit lineárními kombinacemi funkcí ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕm , které získal ortonormalizačním procesem, a naopak. V následujícím textu se znovu zabýval ortogonální projekcí: Jede komplexe Funktion F , die in (a, b) stetig ist, l¨ aßt sich in zwei Summanden zerlegen, von denen der eine eine lineare Kombination der f und der andere zu allen f orthogonal ist. ([K], str. 333) Ortogonální projekci funkce F vyjádřil Kowalewski lineární kombinací funkcí ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕm , resp. lineární kombinací funkcí f1 , f2 , . . . , fm ; příslušnými koeficienty jsou Fourierovy koeficienty, resp. podíly dvou determinantů (viz část 3). Zdůraznil charakteristický znak ortogonální projekce: Sie ist unter den linearen Kombinationen L der f diejenige, welche das Integral (F − L, F − L) =

b

a

(F − L)(F − L) dx

zu einem Minimum macht. ([K], str. 335) Ortogonalizační proces Kowalewski znovu popsal v paragrafu Orthogonalisierung linear unabh¨ angiger Vektoren (str. 423–426), který uvedl větou: Eine wichtige Rolle in der Schmidtschen Theorie spielt das Orthogonalisierungsverfahren, welches wir jetzt darlegen wollen. ([K], str. 423) Podstatou ortogonalizace je v tomto paragrafu následující „indukční krok : Von den n + 1 linear unabh¨ angigen Vektoren u(1) , u(2) , . . . , u(n) , v

106


1.7.2015 11:38:33

seien die n ersten paarweise orthogonal. Es sei also (r) (s) u u = 0.

(r, s = 1, 2, . . . , n; r = s)

Nach den vorhin gemachten Bemerkung l¨ aßt sich die reelle Zahl aν so w¨ ahlen, daß u(ν) und v + aν u(ν) zueinander orthogonal sind, daß also

u(ν) , v + aν u(ν) = 0

ist. Bildet man nun den Vektor v + a1 u(1) + a2 u(2) + · · · + an u(n) , so ist er zu jedem der Vektoren u(1) , u(2) , . . . , u(n) orthogonal. . . . ([K], str. 423–424) Kowalewski zdůraznil možnost ortogonalizace pro nekonečnou posloupnost funkcí a poznamenal: ¨ Den Ubergang von dem Vektorensystem u(1) , u(2) , u(3) , . . . zu v (1) , v (2) , v (3) , . . . nennt E. Schmidt den Orthogonalisierungsprozeß. ([K], str. 424) Při výpočtu koeficientů, které svazují oba systémy vektorů, opět využil Gramovy determinanty. Ty se ostatně objevují v jeho monografii na řadě míst. V bibliografických poznámkách Kowalewski připomněl Gramovo pojednání [G2], Schmidtovu disertační práci z roku 1905 a článek [S2] (viz [K], str. 543–544). Pozoruhodné je, že se na řadě míst Kowalewského monografie z roku 1909 objevily odkazy na Schmidtovy výsledky z let 1905 a 1908. Pro časopis Bulletin of the American Mathematical Society sepsal podrobnou recenzi Kowalewského monografie [K] americký matematik Maxime Bôcher (1867– 1918), autor známé učebnice Introduction to Higher Algebra z roku 1907. Ve své dvacetistránkové stati [Bo] věnoval pozornost jak Gramovým determinantům, tak Kowalewského prezentaci Schmidtových výsledků. Mimo jiné uvedl: Chapter XV (17 pages) on Wronskian and Gramian Determinants is one of the most novel and timely in the book. ([Bo], str. 126) Karl Otto Emil Lampe (1840–1918) stručně referoval o Kowalewského monografii [K] v časopisu Jahrbuch u ¨ber die Fortschritte der Mathematik pouze na základě Bôcherovy recenze. Kowalewského monografie [K] byla velmi úspěšná. Nepřispěla však nijak zvlášť k rychlému rozšíření poznatků o Gramových maticích a determinantech, což je překvapivé.

107


1.7.2015 11:38:34

12 Y. K. Wong Přestože se Gramovy matice a determinanty v souvislosti s ortogonalizačním procesem a ortogonální projekcí objevily roku 1909 na řadě míst Kowalewského monografie Einf¨ uhrung in die Determinantentheorie . . . [K], termíny Gramova matice, Gramův determinant a Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces se až do poloviny třicátých let příliš neužívaly.12 Tyto pojmy a termíny pomohl rozšířit Y. K. Wong svou prací An application of orthogonalization process to the theory of least squares [Wo] publikovanou roku 1935. V její první části, která nese název Vectors, Inner Products, and Linear Independence (str. 55–57), uvedl (z dnešního pohledu) zcela elementární poznatky lineární algebry (sčítání vektorů, násobení vektoru skalárem, skalární součin, lineární závislost a nezávislost atd.), ve druhé části Gram-Schmidt’s Orthogonalization Process (str. 57–61) podal srozumitelný výklad ortogonalizačního procesu a připojil několik jednoduchých důsledků. Ve třetí části Algebraic Derivation of the Normal Equations (str. 61–64) odvodil způsob nalezení přibližného řešení neřešitelné soustavy lineárních rovnic pomocí Gramovy matice. Ve čtvrté části Matrices and Their Reciprocals (str. 64–66) a v páté části Symmetric Matrices of Positive Type (str. 66– 67) vyložil základy maticového počtu (definice matice, sčítání a násobení matic, násobení matice skalárem, inverzní matice, adjungovaná matice, pozitivně definitní symetrická matice). V šesté části Gramian matrices (str. 67–69) zavedl pojem Gramovy matice a ukázal některé jejich elementární vlastnosti (viz dále). V posledních dvou částech, Gauss Method of Substitution (str. 69–73) a Gauss’s Method of Substitution and its Relation to Gramian Schmidt’s Orthogonalization Process (str. 73–75), využil předchozí poznatky k jinému pohledu na Gaussův eliminační algoritmus (viz dále). Gramovu-Schmidtovu ortogonalizaci Wong charakterizoval v následující větě, samotný ortogonalizační proces popsal v jejím důkazu. Nejprve zavedl jednoduchou symboliku: . . . we shall adopt the notation Ai = (ai1 , . . . , ain ), Bi = (bi1 , . . . , bin ), and Ci = (ci1 , . . . , cin ) for i = 1, 2, . . . , r. 12 Jistými výjimkami jsou následující práce: L. Meder: Uber ¨ den Zusammenhang zwischen den Determinanten von Gram und Wronski, Monatshefte f¨ ur Mathematik und Physik 21 (1910), str. 336–343, D. R. Curtiss: Relations between the Gramian, the Wronskian, and a third determinant connected with the problem of linear independence, Bulletin of the American Mathematical Society 17 (1911), str. 462–467, K. Ogura: Generalization of Bessel’s and Gram’s inequalities and the elliptic space of infinitely many dimensions, The Tˆ ohoku Mathematical Journal 18 (1920), str. 1–22, M. Picone: Sul determinante di Gram, Bollettino della Unione matematica Italiana 5 (1926), str. 81–84, H. P. Thielman: On the invariance of a generalized Gramian under the group of linear functional transformations of the third kind, Bulletin of the American Mathematical Society 39 (1933), str. 342–343, H. P. Thielman: On the invariance of a generalized Gramian in a Riemannian function space, American Journal of Mathematics 56 (1934), str. 438–444.

108


1.7.2015 11:38:34

THEOREM 5. For every set of vectors A1 , . . . , Ar , there exists uniquely a set of vectors B1 , . . . , Br such that 5.1) (Bt , Bs ) = 0 (t = s). 5.2) For every t satisfying the relation 1 ≤ t ≤ r, then At is a linear combination of B1 , . . . , Bt ; and Bt is a linear combination of A1 , . . . , At . 5.3) B1 = A1 ; and for t > 1, (Bt − At ) is a linear combination of B1 , . . . , Bt−1 , and is also a linear combination of A1 , . . . , At−1 . 5.4) If t > 1, then (As , Bt ) = 0 for every s < t. 5.5) (At , Bt ) = (Bt , Bt ) = (Bt , At ) for every t. ([Wo], str. 57) Gramovu matici Wong charakterizoval v šesté části své práce takto: THEOREM 13. Let A1 , . . . , Ar be a set of vectors, and let B1 , . . . , Br be the orthogonalized set of vectors. Then the matrix ⎞ ⎛ (A1 , A1 ) . . . (A1 , Ar ) ζ(A1 , . . . , Ar ) = ⎝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎠ (6.1) (Ar , A1 ) . . . (Ar , Ar ) has the following properties: 13.1) symmetry 13.2) D[ζ(A1 , . . . , Ar )] = n(B1 )n(B2 ) · · · n(Br ),13 13.3) positiveness. A matrix of the form (6.1) is called a Gramian matrix. ([Wo], str. 67) V další větě Wong dokázal ekvivalenci lineární nezávislosti vektorů A1 , . . . , Ar , pozitivní definitnosti Gramovy matice těchto vektorů a nenulovosti příslušného Gramova determinantu. THEOREM 14. The following three assertions are equivalent: 14.1) the set A1 , . . . , Ar is linearly independent; 14.2) the Gramian matrix (6.1) is properly positive; 14.3) The determinant of the Gramian matrix (6.1) is different from zero. ([Wo], str. 68) Gramovy matice Wong využil i na dalších stránkách své práce, například při úpravách matice soustavy lineárních rovnic na stupňovitý tvar pomocí ortogonalizačního procesu (v podstatě se jedná o QR-rozklad). Zajímavé je, že Wong necitoval ani jednu z Gramových či Schmidtových prací. Přitom svým článkem výrazně přispěl k rozšíření pojmů, ale i termínů Gramova matice, Gramův determinant a Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces. Výslovně se 13

Symbolem D značí determinant, dále je n(X) = (X, X).

109


1.7.2015 11:38:34

odkazoval na výsledky Davida Hilberta a Eliakima Hastingse Moorea (1862–1932) a na klasické učebnice Leonarda Eugena Dicksona (1874–1954), Maxima Bôchera, Dunhama Jacksona (1888–1946) a E. H. Moorea.14 13 Závěr Poznamenejme na závěr, že jistou ortogonalizaci uvažoval již Pierre Simon Laplace (1749–1827), francouzský matematik, fyzik a astronom, v prvním doplňku práce Théorie analytique des probabilités [L]. Obdobný postup použil i Augustin Louis Cauchy (1789–1857). Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces poutá pozornost i v současné době, zejména v souvislosti s teorií nejmenších čtverců a s nejrůznějšími numerickými metodami (viz např. [S], [H], [LQ], [LL], [WL], [Dr]). Rozlišován je klasický a modifikovaný Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces (viz [F]). V té či oné podobě se Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces vyskytuje prakticky ve všech učebnicích lineární algebry a patří k základním poznatkům této disciplíny. Gramova matice a Gramův determinant se objevují spíše ve speciálních partiích větších monografií. Ortogonalizační proces je v německých, ale i jiných učebnicích označován většinou jen jako Schmidtův,15 v učebnicích vydaných v Sovětském svazu pouze jako ortogonalizační proces (beze jmen).16 V učebnicích psaných anglicky, italsky apod. je většinou uváděn jako ortogonalizační proces Gramův-Schmidtův.17 14 L. E. Dickson: Modern Algebraic Theories, Chicago, 1926, L. E. Dickson: First Course in the Theory of Equations, University of Michigan Library, 1922, M. Bˆ ocher: Introduction to higher algebra, New York, 1907, D. Jackson: The Theory of Approximation, AMS, 1930, E. H. Moore: Vectors, Matrices, and Quaternions, Class lectures by R. W. Barnard, 1925–1926. 15 Viz například H. Boseck: Einf¨ uhrung in die Theorie der linearen Vektorr¨ aume, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1965 (viz str. 223), M. Koecher: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Springer, Berlin, 1983 (viz str. 157), I. Satake: Linear Algebra, Dekker, New York, 1975 (viz str. 115), L. Bican: Lineární algebra, SNTL, Praha, 1979 (viz str. 185). 16 Viz například I. M. Gelfand: Linejnaja algebra, 3. vydání, Nauka, Moskva, 1966 (viz str. 39), český překlad: Nakladatelství ČSAV, Praha, 1953 (viz str. 28), A. G. Kuroš: Kurs vysšej algebry, 7. vydání, GIFML, Moskva, 1962 (viz str. 213–214), V. A. Il’in, E. G. Poznjak: Linejnaja algebra, Nauka, Moskva, 1974, (viz str. 93), A. N. Rublev: Linejnaja algebra, Vysšaja škola, Moskva, 1968, (viz str. 315). 17 Viz například D. S. Watkins: Fundamentals of Matrix Computations, J. Wiley & Sons, Hoboken, New Jersey, 2010 (viz str. 223), H. Paley, P. M. Weichsel: Elements of Abstract and Linear ALgebra, Holt, Rinehart and Winston, Inc., New York, Chicago, San Francisco, Atlanta, Dallas, Montreal, Toronto, London, Sydney, 1972 (viz str. 466), T. S. Blyth, E. F. Robertson: Linear Algebra, Chapman and Hall, London, 1986 (viz str. 75), C. W. Curtis: Linear Algebra. An Introductory Approach, Springer, New York, 1974, 1984 (viz str. 124), L. Smith: Linear Algebra, Springer, New York, 1978 (viz str. 230), G. Accascina, V. Villani: Algebra lineare, ETS Pisa, 1980 (viz str. 206), S. Mac Lane, G. Birkhoff: Algebra, Alfa, Bratislava, 1973, 1974 (viz str. 451), G. Birkhoff, S. Mac Lane: Prehl’ad modernej algebry, Alfa, SNTL, Bratislava, Praha, 1979 (viz str. 199). Připomeňme však i německou učebnici W. Klingenberg: Lineare Algebra und Geometrie, Springer, Berlin, 1984 (viz str. 106), a českou učebnici L. Motl, M. Zahradník: Pěstujeme lineární algebru, UK, Karolinum, 2003 (viz str. 65).

110


1.7.2015 11:38:34

Literatura [B1]

Bečvář J., Pseudoinverze, In: Bečvář J., Bečvářová M. (ed.): 35. mezinárodní konference Historie matematiky, Matfyzpress, Praha, 2014, str. 87–98.

[B2]

Bečvář J., Lineární algebra, Matfyzpress, Praha, 2000, další vydání 2002, 2005, 2010, 435 stran.

[Bo]

Bˆ ocher M., Kowalewski’s determinants, Bulletin of the American Mathematical Society 17 (1910), str. 120–140.

[Di]

Dinghas A., Erhard Schmidt (Erinnerungen und Werk), Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 72 (1970), str. 3–17.

[Dr]

Drygas H., On the relationship between the method of least squares and Gram-Schmidt orthogonalization, Acta et Commentationes Universitatis Tartuensis de Mathematica 15 (2011), Nr. 1, str. 3–13.

[F]

Farebrother R. W., Linear Least Squares Computations, Textbooks and Monographs, 91, Marcel Dekker, Inc., New York etc., 1988, xiii+293 stran.

[G1]

Gram J. P., Om R¨ akkeudviklinger bestemte ved Hj¨ alp af de mindste Kvadraters Methode, H¨ ost & S¨ on, Kj¨ obenhavn, 1879, 122 stran.

[G2]

Gram J. P., Ueber die Entwickelung reeller Functionen in Reihen mittelst der Methode der kleinsten Quadrate, Journal f¨ ur die reine und angewandte Mathematik 94 (1883), str. 41–73, německá verze práce [G1].

[H1]

Hald A., Nogle danske statistikeres liv og deres vaerker, Matematisk-Fysiske Meddelelser 51, The Royal Danish Academy of Sciences and Letters, Copenhagen, 2005, 36 stran; práce bývá citována pod názvem Lives and works of some Danish statisticians.

[H2]

Hald A., A history of mathematical statistics from 1750 to 1930, Wiley Series in Probability and Statistics, John Wiley & Sons, New York, 1998, xvii+795 stran.

[H]

Hoffman A. E., The Gram-Schmidt process is not so bad, Mathematics Magazine 43 (1970), str. 261–263.

[K]

Kowalewski G., Einf¨ uhrung in die Determinantentheorie einschließlich der unendlichen und der Fredholmschen Determinanten, Veit & Comp., Leipzig, 1909, v+550 stran, 2. vydání (přepracované): Einf¨ uhrung in die Determinantentheorie einschließlich der Fredholmschen Determinanten, W. de Gruyter & Co., Berlin, 1925, vi+304 stran, 3. vydání: 1942, vii+320 stran, 4. vydání: 1954, vi+348 stran.

[L]

Laplace P.-S., Premier Supplément. Sur l’application du calcul des probabilités a ` la philosophie naturelle, In: P.-S. Laplace: Théorie analytique des probabilités, Troisi` eme édition, Courcier, Paris, 1820, str. 497–530.

[LQ]

Liu Qiaohua, Modified Gram-Schmidt-based methods for block downdating the Cholesky factorization, Journal of Computational and Applied Mathematics 235 (2011), str. 1897– 1905.

[LL]

Li Xianjuan, Liu Qiaohua, Preconditioners for indefinite least square problems based on incomplete hyperbolic modified Gram-Schmidt, Communication on Applied Mathematics and Computation 26 (2012), str. 45–52.

[N]

Nevanlinna R., Erhard Schmidt zu seinem 80. Geburtstag, Mathematische Nachrichten 15 (1956), str. 1–6.

[HM]

O’Connor J. J., Robertson E. F., Edmund F., Jørgen Pedersen Gram, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews, http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/Biographies/Gram.html.

111


1.7.2015 11:38:34

[Pi]

Pietsch A., Erhard Schmidt and his contributions to functional analysis, Mathematische Nachrichten 283 (2010), str. 6–20.

[P]

Poole D., Linear Algebra. A Modern Introduction, Thomson Brooks/Cole, Cengage Learning, 2003, 2006, 2011, 768 stran.

[R]

Rohrbach H., Erhard Schmidt. Ein Lebensbild, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 69 (1967), str. 209–224.

[S1]

Schmidt E., Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. I. Teil: Entwicklung willk¨ urlicher Funktionen nach Systemen vorgeschriebener, Mathematische Annalen 63 (1907), str. 433–476, jedná se o mírně modifikovanou disertační práci (G¨ ottingen, 1905, 33 stran). II. Teil: Aufl¨ osung der allgemeinen linearen Integralgleichung, ¨ Mathematische Annalen 64 (1907), str. 161–174, III. Teil: Uber die Aufl¨ osung der nichtlinearen Integralgleichung und die Verzweigung ihrer L¨ osungen, Mathematische Annalen 65 (1908), str. 370–399.

[S2]

¨ Schmidt E., Uber die Aufl¨ osung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 25 (1908), str. 53–77.

[S]

Staib J. H., An alternative to the Gram-Schmidt process, Mathematics Magazine 42 (1969), str. 203–205.

[Wa]

Walker H. M., Studies in the History of Statistical Method: With Special Reference to Certain Educational Problems, The Williams & Wilkins Company, Baillière, Baltimore, London, Baillière, Tindal and Cox, 1929, viii+229 stran.

[WL]

Wei Musheng, Liu Qiaohua, A numerically stable block modified Gram-Schmidt algorithm solving stiff weighted least squares problems, Journal of Computational and Applied Mathematics 25 (2007), str. 595–619.

[Wo]

Wong Y. K., An application of orthogonalization process to the theory of least squares, Annals of Mathematical Statistics 6 (1935), str. 53–75.

[Z]

Zeuthen H. G., Jørgen Pedersen Gram, in Dansk Biografisk Leksikon VIII, Copenhagen, 1936, str. 269–271.

Adresa Doc. RNDr. Jindřich Bečvář, CSc. Katedra didaktiky matematiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze Sokolovská 83 186 75 Praha 8 – Karlín e-mail: [email protected]ff.cuni.cz

112


1.7.2015 11:38:34

„AKREDITACE“ MATEMATIKY PěED 77 LETY MARTINA BEýVÁěOVÁ

Abstract: The paper briefly outlines key moments from the history of Faculty of Science of German University in Prague, especially from the history of its Mathematical Institute. It pays attention in historical, political and professional content to personal and professional fates of individual mathematicians who spent longer or shorter part of their active lives at the German University in Prague. It recalls the level of teaching mathematics from 1920 until 1939, i.e. in the period of the biggest bloom and boom of German mathematical community in Prague. The main goal of this paper is to give a short analysis of the preserved document titled Richtlinien für das Studium der Mathematik als Lehrfach an Mittelschulen (1938) and to introduce some remarks for thought.

1 PĜírodovČdecká fakulta NČmecké univerzity v Praze – struþný úvod Od poþátku 20. století se stále více ukazovalo, že filozofické fakulty, na nichž se dosud vyuþovaly a studovaly matematika a pĜírodní vČdy, již nedávají dostateþný prostor pro jejich další rozvoj a pĜestávají poskytovat odpovídající vzdČlávání budoucím stĜedoškolským profesorĤm. Vzhledem k vývoji evropských univerzit a vČdeckých institucí bylo nutno vzniklou situaci urychlenČ Ĝešit i u nás. Proto již na poþátku 20. století podávali þeští i nČmeþtí pĜírodovČdci z univerzit v Praze návrhy na vytvoĜení samostatné pĜírodovČdecké fakulty. Její založení však oddálila první svČtová válka. Teprve po vzniku ýeskoslovenské republiky probČhla nová jednání, která vyústila v zákonné vládní naĜízení þ. 392 Sb. ze dne 24. þervna 1920, jímž byla od školního roku 1920/1921 založena samostatná PĜírodovČdecká fakulta University Karlovy a samostatná Naturwissenschaftliche Fakultät der Deutschen Universität in Prag [PĜírodovČdecká fakulta NČmecké univerzity v Praze]. Jejich hlavním úkolem bylo pĜipravovat stĜedoškolské profesory matematiky, pĜírodních vČd a farmaceuty. Ve dvacátých a tĜicátých letech 20. století byla NČmecká univerzita v Praze relativnČ malou, nicménČ významnou vČdecko-pedagogickou institucí ve stĜední EvropČ. Po roce 1920 sice došlo k nezanedbatelnému nárĤstu poþtu jejích studentĤ, souþasnČ však nastala zmČna v jejich zájmu o zamČĜení studia. Zatímco pĜed rokem 1918 pĜevažovali právníci, po roce 1920 zaþali hrát rozhodující úlohu medici. Tento trend mohl souviset s jistým omezením uplatnČní nČmecky mluvících absolventĤ v þeskoslovenské státní správČ. Také poþty studentĤ na filozofické a pĜírodovČdecké fakultČ narĤstaly jen pozvolna, neboĢ se již dále nerozšiĜovala rozsáhlá síĢ nČmeckých stĜedních škol, která byla budována od druhé poloviny 19. století, a tudíž nepĜibýval poþet systemizovaných míst stĜedoškolských profesorĤ. Výhled na dobrou kariéru poskytoval pĜedevším podnikatelský sektor, prĤmyslová výroba, soukromá lékaĜská a farmaceutická praxe. NČmecká univerzita v Praze zaþala ve dvacátých letech 20. století pĜitahovat nČmecky mluvící studenty, kteĜí dĜíve míĜili do Berlína, Drážćan, VídnČ a Budapešti. Jedním z dĤvodĤ mohlo být i to, že diplomy z nČmeckých, rakouských þi maćarských univerzit bylo nutno nostrifikovat, pĜípadnČ doplnit dalšími þeskoslovenskými státními zkouškami, pokud jejich nositel chtČl získat v ýeskoslovensku místo ve státní službČ. Díky demo-

113


1.7.2015 11:38:34

kratické, multikulturní a nábožensky tolerantní atmosféĜe meziváleþné Prahy se NČmecká univerzita stala pĜitažlivou také pro studenty židovského vyznání a demokratického smýšlení z Litvy, Lotyšska, Ukrajiny, Maćarska, Polska a pozdČji i NČmecka. Její popularitu zpĤsobovaly i pomČrnČ nízké školní poplatky, nižší životní náklady v Praze, její dobrá dopravní pĜístupnost a zejména vČhlas nČkterých profesorĤ (napĜ. L. Berwald, R. Carnap, C. I. Cori, Ph. Frank, H. Hirsch, H. Kelsen, A. Kirpal, A. Lampa, K. Löwner, A. Naegle, G. A. Pick, E. G. Pringsheim, E. Schneeweis, L. Spiegel, F. Spina, K. M. Swoboda, M. Winternitz, W. Wostry). Ani NČmecké univerzitČ v Praze se nevyhnuly nacionální, náboženské, hospodáĜské a sociální problémy, které vyvolávala nastupující hospodáĜská krize, sílící fašismus a místní rozpory mezi liberálními a sociálnČdemokratickými skupinami (podporovanými i nČmecky mluvícími multikulturními a židovskými kruhy) a nacionálními a antisemitskými skupinami. PĜes rĤzné excesy se antisemitismus na NČmecké univerzitČ v Praze prosazoval pomaleji než na jiných Ĝíšsko-nČmeckých a rakouských univerzitách. Ve tĜicátých letech však zaþaly i mezi pražskými studenty a profesory výraznČji sílit sympatie k nacismu. PĜesto se díky podpoĜe þeskoslovenské vlády podaĜilo na nČkterá ĜádnČ uprázdnČná profesorská místa jmenovat odborníky vyhnané z rasových þi politických dĤvodĤ z NČmecka. Až do Mnichova pražští profesoĜi židovského vyznání nemuseli univerzitu opouštČt, neboĢ si zde uchovávali rozhodující vČtšinu liberálnČ a demokraticky smýšlející pedagogové. Na poþátku zimního semestru 1938/1939 muselo vedení univerzity Ĝešit otázku, jak „naložit“ s vyuþujícími a studenty židovského pĤvodu. V prosinci 1938 profesorský sbor stanovil pravidlo upravující zkoušky; židovští vyuþující mohli zkoušet pouze židovské studenty, árijští pouze árijské, pokud to dovolovalo obsazení stolice, resp. oborĤ. Situace se však bČhem jara 1939 nadále zhoršovala, neboĢ v þeskoslovenské spoleþnosti i na NČmecké univerzitČ narĤstaly fašizující a protižidovské tendence. Pod silným nátlakem nČmecké politiky a propagandy vláda tehdy ještČ samostatného ýeskoslovenska pĜijala dne 21. ledna 1939 zvláštní usnesení O pĜíslušnících židovských ve státních službách omezující jejich zamČstnávání. Dne 27. ledna 1939 vydala naĜízení o pobytu imigrantĤ – všechny takové osoby mČly opustit naše území ve lhĤtČ jednoho až šesti mČsícĤ. Téhož dne rozhodla, že všichni vyuþující židovského pĤvodu pĜestanou vykonávat státní službu. Dne 10. února 1939 vyhlásila upravující naĜízení o prozkoumání státního obþanství imigrantĤ a souþasnČ vydala pokyn, aby úĜady zjistily všechny své zamČstnance židovského pĤvodu. Starší zamČstnanci mČli být urychlenČ penzionováni, zamČstnanci stĜedního vČku mČli být posláni na dovolenou s þekatelným a mladší propuštČni. Ze zamČstnancĤ židovského pĤvodu mohli ve státních službách zĤstat jen ti nepostradatelní, ale i oni museli být pĜeloženi na místa, kde nebudou pĜicházet do kontaktu s veĜejností. NČmecká univerzita v Praze otázku vylouþení židovských kolegĤ vyĜešila velmi iniciativnČ, samostatnČ a razantnČ, neboĢ na poþátku bĜezna 1939 vylouþila ze svých Ĝad všechny pedagogy židovského pĤvodu. Dne 2. srpna 1939 se NČmecká univerzita v Praze stala rozhodnutím A. Hitlera nedílnou souþástí Ĝíšských nČmeckých vysokých škol a výuka na ní probíhala podle Ĝíšských zákonĤ a pravidel až do kvČtna roku 1945.1

1 O 20. a 30. letech 20. století na NČmecké univerzitČ v Praze viz napĜ. J. Havránek, Z. Pousta (red.): DČjiny Univerzity Karlovy IV. 1918–1990, Univerzita Karlova, Karolinum, Praha, 1998.

114


1.7.2015 11:38:35

2 Personální obsazení výuky matematiky PĜi vzniku PĜírodovČdecké fakulty NČmecké univerzity v Praze pĜešli na tzv. „matematickou sekci“2 z Filozofické fakulty matematici, astronomové a geofyzici. Prvním Ĝádným profesorem matematiky se stal Georg Alexander Pick (1859–1942), který na univerzitČ pĜednášel již od roku 1883. Pozici prvního profesora matematiky zastával až do roku 1929, kdy byl penzionován. TČžištČ Pickovy odborné práce spoþívalo pĜedevším v matematické analýze a geometrii.3 Místo druhého profesora nebylo obsazeno, neboĢ Gerhard Hermann Waldemar Kowalewski (1876–1950) krátce pĜed vznikem PĜírodovČdecké fakulty odešel na drážćanskou techniku.4 Na PĜírodovČdeckou fakultu pĜešli také soukromí docenti a asistenti (L. Berwald a A. Winternitz), pĜevedeny sem byly veškeré matematické pĜednášky, semináĜe a prosemináĜe a matematická knihovna. V zimním semestru školního roku 1919/1920 zahájil svoji pedagogickou þinnost na NČmecké univerzitČ v Praze Ludwig Berwald (1883–1942), který na ní byl roku 1922 jmenován mimoĜádným a roku 1927 Ĝádným profesorem matematiky. PĜednášel až do roku 1939, kdy byl z rasových dĤvodĤ svého místa zbaven.5 Pracoval zejména v diferenciální geometrii, jen nČkolik jeho prací se týká jiných disciplín, vČtšinou algebraických a analytických problémĤ. Od poþátku tĜetího desetiletí 20. století narĤstal poþet studentĤ matematiky, zvyšoval se poþet výbČrových pĜednášek, semináĜĤ a prosemináĜĤ a rozšiĜovala se jejich tematická pestrost. Na univerzitČ pĤsobili 2 Ĝádní profesoĜi matematiky, 1 až 2 mimoĜádní profesoĜi, 1 až 2 soukromí docenti, 1 asistent a 2 síly zapĤjþené z NČmecké techniky v Praze na smluvní výuku deskriptivní geometrie a aplikované matematiky. Ve tĜicátých letech se zvýšil i poþet asistentĤ6 a docentĤ7. Po PickovČ penzionování se roku 1930 stal mimoĜádným profesorem matematiky Karl Löwner (1893–1968), absolvent pražské nČmecké univerzity. O þtyĜi roky pozdČji byl jmenován Ĝádným profesorem. PĜednášel do roku 1939, kdy byl pro svĤj židovský

2

Na PĜírodovČdecké fakultČ NČmecké univerzity v Praze byly pĜednášky rozdČleny do šesti základních sekcí: I. Matematika, astronomie a geofyzika, II. Fyzika a chemie, III. Mineralogie a geologie, VI. Botanika a zoologie, V. Geografie a VI. PĜírodní filozofie. 3 G. A. Pick byl dne 13. þervence 1942 transportem AAq pod þíslem 824 poslán do ghetta v TerezínČ. Transport AAq tvoĜilo celkem 1 000 protektorátních obþanĤ židovského pĤvodu, z nichž se konce války dožilo pouze 51 osob. G. A. Pick zemĜel v TerezínČ již dne 26. þervence 1942 v nedožitých tĜiaosmdesáti letech. 4 G. H. W. Kowalewski se roku 1909 stal Ĝádným profesorem matematiky na NČmecké technice v Praze, v roce 1912 pĜešel jako Ĝádný profesor na NČmeckou univerzitu v Praze, kde setrval do roku 1920. Podruhé se na NČmeckou univerzitu, resp. NČmeckou techniku v Praze vrátil na podzim roku 1939 a vyuþoval na nich až do kvČtna 1945. G. H. W. Kowalewski byl þlenem NSDAP, v kvČtnu 1945 byl v Praze zatþen a vyšetĜován, získal však dobrozdání nČmeckých židovských vČdcĤ, ruských a francouzských matematikĤ a nakonec byl propuštČn. V záĜí roku 1946 odešel do NČmecka a až do roku 1950 pĜednášel v Regensburgu (ěezno) a MnichovČ. Více viz [4]. 5 Dne 26. Ĝíjna 1941 se L. Berwald musel jako þíslo 2793/816 dostavit k Veletržnímu paláci a nastoupit do tĜetího transportu C, kterým bylo z Prahy deportováno 1 000 osob do ghetta v Łodži. Zahynul zde ve vČku padesáti devíti let dne 20. dubna 1942. Více viz [4]. 6 O vývoji poþtu asistentĤ viz informace v další þásti tohoto pĜíspČvku, viz též [4]. 7 Soukromými docenty se ve tĜicátých letech 20. století stali H. Löwig, O. Varga, M. Pinl a E. Lammel. H. Löwig zahájil výbČrové pĜednášky od letního semestru 1934/1935, O. Varga od zimního semestru 1937/1938, M. Pinl od letního semestru 1937/1938 a E. Lammel od zimního semestru 1938/1939. Více viz [4].

115


1.7.2015 11:38:35

pĤvod zbaven místa.8 V letech 1917 až 1939 uveĜejnil nČkolik inspirativních prací z geometrické teorie funkcí, teorie monotónních maticových funkcí, teorie míry na Hilbertových prostorech a aplikací matematiky v hydrodynamice. Od roku 1914 až do roku 1934 zastával místo asistenta Matematického ústavu Filozofické, resp. PĜírodovČdecké fakulty NČmecké univerzity Arthur Winternitz (1893– 1961), který byl po opakovaných snahách profesorského sboru jmenován mimoĜádným bezplatným profesorem matematiky teprve roku 1931 (byl mu však ponechán asistentský plat). Od zimního semestru 1934/1935 zahájil kariéru mimoĜádného profesora, kterou však ukonþil nástup nacistĤ.9 Roku 1931 pĜijal místo mimoĜádného profesora na NČmecké univerzitČ v Praze Rudolf Carnap (1891–1970), významný logik, znalec filozofie a pĜírodních vČd. Od zimního semestru 1931/1932 do zimního semestru 1935/1936 vypisoval výbČrové pĜednášky o logice, systému vČd, teorii poznání, vztahu filozofie a pĜírodních vČd, dČjinách filozofie a filozofických základech aritmetiky a geometrie.10

Ve dvacátých a tĜicátých letech 20. století pĤsobili na NČmecké univerzitČ v Praze také pedagogové z NČmecké techniky. VýbČrové pĜednášky z matematické analýzy, variaþního poþtu a aplikované matematiky konal Ĝádný profesor Paul Georg Funk (1886–1969). V lednu roku 1939 mu bylo pĜednášení zakázáno, neboĢ byl židovského pĤvodu.11 Základní kurzovní pĜednášky z deskriptivní geometrie vedl Ĝádný profesor Karl Mack (1882–1943);12 od letního semestru 1936/1937 výuku vzhledem k Mackovu špatnému zdravotnímu stavu suploval jeho asistent Walter Fröhlich (1902–1942). Rozhodnutím profesorského sboru a Ministerstva školství a národní osvČty ji oficiálnČ pĜevzal od zimního semestru 1938/1939. V lednu roku 1939 byl však pro svĤj židovský pĤvod zbaven místa.13

8

K. Löwnerovi se v Ĝíjnu 1939 podaĜilo emigrovat do USA. V letech 1939 až 1944 uþil na univerzitČ v Louisville, v letech 1944 až 1945 pĤsobil na Brown University v Providence, v letech 1945 až 1951 na Syracuse University a v letech 1951 až 1963 na Stanford University. Více viz [4]. 9 V lednu roku 1939 byla Winternitzova pedagogická þinnost zastavena, protože byl židovského pĤvodu. Na jaĜe roku 1939 získal britský cestovní pas, neboĢ mČl þeskoslovenské i britské obþanství. VystČhoval se do Velké Británie a od podzimu roku 1939 zaþal vyuþovat na univerzitČ v Oxfordu. Více viz [4]. 10 Rudolf Carnap byl oficiálnČ až do zimního semestru 1938/1939 Ĝádným þlenem profesorského sboru PĜírodovČdecké fakulty NČmecké univerzity v Praze, aþ od letního semestru 1935/1936 byl na studijním pobytu, resp. studijní dovolené v USA. V zimČ roku 1938 se rozhodl již do Evropy nevracet, zĤstal v USA, kde získal místo profesora filozofie na univerzitČ v Chicagu. V padesátých a šedesátých letech pĤsobil na Princetonu a na University of California v Los Angeles. Více viz [4]. 11 P. G. Funk byl dne 4. února 1945 transportem AE2 pod þíslem 682 deportován do ghetta v TerezínČ, kde se doþkal osvobození. V roce 1945 odešel do Rakouska. V letech 1945 až 1957 pĜednášel na vídeĖské technice a univerzitČ. Zabýval se pĜedevším variaþním poþtem, afinní geometrií, diferenciální geometrií ve velkém, Minkowskiho geometrií, teorií kontinua, kvantovou mechanikou a aplikacemi matematiky ve fyzice a technické praxi. Více viz [4]. 12 K. Mack spojil s Prahou celou svou odbornou kariéru, od roku 1916 až do roku 1943 pĜednášel jako mimoĜádný, resp. Ĝádný profesor deskriptivní geometrie na NČmecké technice v Praze. Od roku 1917, po více než tĜicetiletých snahách profesorĤ matematiky, se deskriptivní geometrie stala Ĝádným univerzitním pĜedmČtem, ne však plnohodnotným, neboĢ pro ni nebylo systemizováno místo Ĝádného ani mimoĜádného profesora. Její pravidelnou výuku zajišĢoval právČ K. Mack, ̎smluvnČ najímaný“ pedagog z techniky. Poznamenejme, že K. Mack byl þlenem NSDAP. Více viz [4]. 13 W. Fröhlich byl dne 21. Ĝíjna 1941 deportován transportem B jako þíslo 976 do ghetta v Łodži, kde dne 29. listopadu 1942 zahynul. Více viz [4].

116


1.7.2015 11:38:35

PĜipomeĖme, že od letního semestru 1934/1935 zahájil na PĜírodovČdecké fakultČ NČmecké univerzity v Praze výbČrové pĜednášky Heinrich Löwig (1904–1995), soukromý docent matematiky. Z rasových dĤvodĤ jako židovský míšenec 1. stupnČ byl ve školním roce 1938/1939 svého práva „venia docendi“ zbaven.14 Od letního semestru 1937/1938 byl soukromým docentem matematiky Maximilian Pinl (1897–1978), který musel roku 1939 jako politicky nespolehlivý své místo opustit.15 V zimČ roku 1939 na matematické sekci PĜírodovČdecké fakulty NČmecké univerzity v Praze zĤstali pouze mladí a nepĜíliš zkušení matematici Otto Varga (1909–1969)16 a Ernst Lammel (1908–1961),17 oba na pozici asistentĤ a soukromých docentĤ, a Alfred Eduard Rössler (1903–?),18 asistent NČmecké techniky, který se teprve habilitoval a narychlo byl povČĜen výukou deskriptivní a projektivní geometrie. Matematický vý-

14 H. Löwig byl od roku 1939 do roku 1943 bez Ĝádného místa, v roce 1944 byl totálnČ nasazen v kovoprĤmyslu. V záĜí roku 1944 byl deportován do nČmeckých táborĤ nucených prací. V letech 1945 až 1948 nemohl v ýeskoslovensku sehnat žádnou práci odpovídající jeho kvalifikaci, neboĢ byl podle tehdejších zákonĤ považován za nespolehlivého obþana nČmecké národnosti. V roce 1948 se mu podaĜilo emigrovat do Tasmánie, kde získal místo profesora matematiky na univerzitČ v Hobartu. V roce 1957 odešel do kanadské Alberty, kde obdržel místo profesora matematiky na univerzitČ v Edmontonu. VČnoval se zejména matematické analýze (diferenþní rovnice), funkcionální analýze (teorie dimenze) a obecné algebĜe (teorie grup a svazĤ). Více viz [4]. 15 M. Pinl byl na jaĜe roku 1939 zatþen Gestapem a krátce vČznČn. Byl jedním z mála nČmeckých matematikĤ, kteĜí se veĜejnČ rozešli s nacistickou ideologií, patĜil mezi zastánce vČdecké spolupráce NČmcĤ a ýechĤ. V letech 1939 až 1944 se musel podílet na výzkumu dynamiky plynĤ, konstrukci raketových motorĤ a Ĝízení leteckého provozu. Žil a pracoval v Braunschweigu (Brunswick) pod stálým policejním dozorem; byl vlastnČ totálnČ nasazen. V létČ roku 1944 se vrátil do Prahy, kterou opustil ve spČchu v kvČtnu 1945 krátce pĜed pĜíchodem Rudé armády a odešel do NČmecka. V roce 1946 získal místo docenta matematiky na univerzitČ v KolínČ nad Rýnem a o dva roky pozdČji i místo Ĝádného profesora. V letech 1949 až 1954 pĜednášel jako hostující profesor na univerzitČ v Dacca (Pákistán). V letech 1954 až 1962 vyuþoval na univerzitČ v KolínČ nad Rýnem a absolvoval nČkolik pobytĤ v USA (Atlanta) a SSSR (Moskva). Od roku 1962 do roku 1967 pracoval jako hostující profesor na univerzitČ v Münsteru. Zabýval se diferenciální geometrií, parciálními diferenciálními rovnicemi, teorií relativity a dynamikou plynĤ. Více viz [4]. 16 O. Varga se v listopadu 1937 po úspČšném habilitaþním Ĝízení stal soukromým docentem matematiky na PĜírodovČdecké fakultČ NČmecké univerzity v Praze. V letech 1937 až 1941 na ní konal základní i výbČrové matematické pĜednášky. V roce 1940 byl podle Ĝíšských zákonĤ jmenován Ĝádným docentem a pĜidČlen na PĜírodovČdeckou fakultu NČmecké univerzity v Praze. V létČ roku 1941 se odstČhoval do Popradu, na podzim téhož roku odešel do Kolozsvaru, kde obdržel místo na univerzitČ. Roku 1942 pĜešel na univerzitu do Debrecenu, kde pĤsobil jako Ĝádný profesor až do konce svého života. VČnoval se zejména diferenciální geometrii a matematické analýze. Více viz [4]. 17 E. Lammel pracoval na NČmecké technice v Praze od roku 1928 do roku 1929 jako demonstrátor fyziky, od roku 1929 do roku 1930 jako pomocný asistent matematiky a od roku 1931 do roku 1940 jako Ĝádný asistent matematiky. Roku 1938 se habilitoval na NČmecké technice v Praze a krátce nato i na NČmecké univerzitČ v Praze. Od roku 1939 do roku 1940 byl asistentem a soukromým docentem na NČmecké technice v Praze, kde suploval témČĜ veškerou výuku na katedĜe „Lehrstuhl für Mathematik II.“, která se uvolnila po FunkovČ nuceném odchodu. SouþasnČ v letech 1939 až 1940 jako soukromý docent vypomáhal s pĜednáškami a semináĜi na NČmecké univerzitČ v Praze. V létČ roku 1940 byl jmenován docentem na obou pražských nČmeckých vysokých školách a roku 1943 byl ustanoven mimoĜádným profesorem matematiky na NČmecké technice v Praze. V kvČtnu 1945 opustil Prahu a v létČ roku 1945 odešel do Jižní Ameriky. Roku 1950 obdržel místo profesora na univerzitČ v Tucumanu (Argentina), kde se stal uznávaným matematikem. VČnoval se zejména matematické analýze. Poznamenejme, že E. Lammel byl þlenem NSDAP. Více viz [4]. 18 A. E. Rössler se roku 1938 habilitoval na NČmecké technice v Praze a o rok pozdČji i na NČmecké univerzitČ v Praze. Od roku 1939 pĤsobil jako docent na NČmecké technice v Praze a na NČmecké univerzitČ v Praze, kde pĜednášel deskriptivní a projektivní geometrii. V roce 1945 odešel do NČmecka a na technice v Cáchách získal profesuru matematiky. VČnoval se zejména deskriptivní, projektivní, afinní a diferenciální geometrii. Poznamenejme, že A. E. Rössler byl þlenem NSDAP. Více viz [4].

117


1.7.2015 11:38:35

zkum, bČžná výuka i výchova doktorandĤ, spolkové aktivity, formální i neformální spoleþenské styky byly takĜka paralyzovány.19

3 Výuka matematiky Ve dvacátých letech se v tĜíletém, ve tĜicátých letech v þtyĜletém cyklu20 konaly základní kurzovní pĜednášky, které pokrývaly matematickou analýzu (diferenciální a integrální poþet, komplexní funkce komplexní promČnné, obyþejné i parciální diferenciální rovnice, variaþní poþet), geometrii (deskriptivní, projektivní, analytická, diferenciální, integrální, afinní a neeukleidovská), algebru (základy aritmetiky a algebry, transformace, algebraické rovnice) a teorii þísel.21 Z názvĤ pĜednášek vyplývá, že pomČrnČ malá pozornost byla pravdČpodobnČ vČnována moderní algebĜe, logice, teorii množin a topologii. Zcela stranou však zĤstávala výuka pravdČpodobnosti a statistiky.22 Na poþátku dvacátých let se prĤmČrný poþet studentĤ zapisujících si „velké kurzovní matematické pĜednášky“ pohyboval mezi 40 až 50, postupnČ narĤstal až na 60. Není proto pĜekvapující, že profesorský sbor usiloval o zĜízení tĜetí profesury, oddČlení pĜednášek pro chemiky a pĜenesení þásti „povinné výuky“ na mladé soukromé docenty. Tyto snahy se podaĜilo realizovat ve druhé polovinČ tĜicátých let, kdy se poþet studentĤ matematiky na „velkých kurzovních pĜednáškách“ pohyboval mezi 23 až 86 studenty,23 v prĤmČru jich bylo 70. Ke konci tĜicátých let vlivem oddČlení „elementárních“ kurzĤ a kurzĤ pro chemiky se poþet studentĤ na „velkých pĜednáškách“ ustálil kolem 45. NeménČ zajímavým vývojem prošla výuka semináĜĤ a prosemináĜĤ. Ve dvacátých letech si je zapisovalo 11 až 33 studentĤ, v prĤmČru kolem 15.24 SemináĜ (resp. seminární/proseminární cviþení) byl konán v jedné nebo ve dvou paralelních skupinách, z nichž jedna byla urþena pro kandidáty uþitelství a zaþáteþníky, druhá pro pokroþilé a talentované studenty, kteĜí se seznamovali i s principy vČdecké práce a tvorbou odborných þlánkĤ.25 Ve tĜicátých letech si semináĜ a prosemináĜ zapisovalo 9 až 31 studentĤ,26 v prĤmČru kolem 20. SouþasnČ došlo k jasnému oddČlení a pĜesnému vymezení obsahu a cíle semináĜe a prosemináĜe a k jednoznaþnému principu jejich obsazování vyuþujícími. Ve vedení semináĜe a prosemináĜe se ve dvouletém cyklu stĜídali Ĝádní profesoĜi L. Berwald a K. Löwner. Cílem prosemináĜe bylo procviþit a upevnit matematické znalosti kandidátĤ uþitelství. Cílem semináĜe bylo prohloubit a rozšíĜit znalosti studentĤ nad rámec „základního“ studia, seznámit je s novými matematickými výsledky a pĜipravit je na 19

O historii personálního obsazení výuky matematiky na NČmecké univerzitČ v Praze, životních osudech v širším dobovém kontextu a matematickém díle jednotlivých profesorĤ, docentĤ, asistentĤ a vybraných doktorandĤ viz [4]. 20 O promČnách základní délky univerzitního studia viz M. BeþváĜová: Zkoušky uþitelské zpĤsobilosti (pĜed nČmeckou zkušební komisí), in J. BeþváĜ, M. BeþváĜová: 35. mezinárodní konference Historie matematiky, Velké MeziĜíþí, 22. až 26. 8. 2014, Praha, Matfyzpress, 2014, 273 stran, stránkový rozsah 99–112. 21 Úplný seznam matematických pĜednášek, semináĜĤ a prosemináĜĤ konaných na NČmecké univerzitČ v Praze v letech 1882 až 1945 je uveden v [4]. 22 Na NČmecké univerzitČ v Praze nebyly tyto obory vyuþovány, byly však pĜednášeny na technice. Více viz [3]. 23 NejménČ (23) jich bylo zapsáno v letním semestru 1933/1934 na pĜednášce Differential- und Integralrechnung II. (L. Berwald), nejvíce (86) v zimním semestru 1932/1933 na pĜednášce Elemente der Zahlentheorie (L. Berwald). 24 NejménČ (11) jich bylo zapsáno v zimním a letním semestru 1920/1921 a v zimním semestru 1925/1926, nejvíce (33) v zimním semestru 1922/1923. 25 Nejasné formální rozdČlení skupin nebylo možno upĜesnit ani studiem katalogĤ posluchaþĤ. Jediné výjimky byly v zimním a letním semestru školního roku 1923/1924 a 1924/1925. 26 NejménČ (9) jich bylo zapsáno v letním semestru 1936/1937, nejvíce (31) v zimním semestru 1934/1935.

118


1.7.2015 11:38:35

vČdeckou práci. SemináĜe tedy podstatnČ více odrážely odborné zájmy jednotlivých pedagogĤ.27 Zcela samostatnou kapitolou bylo studium deskriptivní geometrie.28 Ve dvacátých letech si ji zapisovalo 7 až 26 studentĤ,29 v prĤmČru asi 16. Ve tĜicátých letech si ji vybíralo 15 až 49 studentĤ,30 v prĤmČru kolem 39. Poznamenejme, že si ji zapisovali jednak studenti matematiky, jednak studenti mineralogie, geodézie a chemie.31 Ani v našich, ani v zahraniþních archivech se nepodaĜilo dohledat žádné materiály, které by poskytovaly bližší informace o náplni jednotlivých pražských matematických pĜednáškových kurzĤ. V seznamech pĜednášek [2] nebyly uvádČny žádné anotace þi charakteristiky obsahu pĜedmČtĤ. Neexistovaly žádné povinné sylaby a uþebnice,32 seznamy základní a rozšiĜující literatury, soupisy Ĝešených þi neĜešených pĜíkladĤ, vzorové provČrky, soubory zkušebních otázek apod. V zápisech profesorského sboru nejsou poznamenány žádné údaje ani u návrhĤ nových pĜedmČtĤ, ani u výbČrových pĜednášek. Odborná, obsahová a pedagogická úroveĖ výuky byla plnČ v kompetenci jednotlivých profesorĤ a docentĤ, resp. „odborných sekcí“ fakulty. Nebyla vytvoĜena žádná „nadĜízená“ komise, která by posuzovala kvalifikaci pedagogĤ (profesorĤ þi docentĤ podle poþtu je27

Ve dvacátých letech 20. století Ĝeditel semináĜe dostával na nákup pomĤcek, literatury a bČžnou þinnost semináĜe státní roþní dotaci ve výši 1 200,− Kþ. Vedoucímu semináĜe a prosemináĜe náležela pravidelná roþní odmČna. S výukou, resp. opravováním seminárních prací vypomáhal jeden asistent, který byl obvykle jmenován na dva školní roky. V letech 1920 až 1934 zastával místo Ĝádného asistenta matematického ústavu A. Winternitz, který byl od roku 1921 soukromým docentem, od roku 1931 „neplaceným“ mimoĜádným profesorem a teprve od roku 1934 ĜádnČ honorovaným mimoĜádným profesorem. V letech 1930 a 1931 L. Berwald a K. Löwner s ohledem na poþet posluchaþĤ, kteĜí si zapisovali semináĜ a prosemináĜ, žádali o vytvoĜení nového placeného místa „pomocného vČdeckého asistenta“, které mČl zastávat student vyšších roþníkĤ nebo „doktorand“. Po opakovaných urgencích a zdĤvodnČních profesorského sboru bylo místo zĜízeno od školního roku 1931/1932. V letech 1931 až 1934 je zastával H. Löwig, v letech 1934 až 1935 O. Dobsch a v letech 1935 až 1938 O. Varga. Poznamenejme, že v roce 1934 H. Löwig po odchodu A. Winternitze na místo mimoĜádného profesora požádal o místo Ĝádného asistenta, rozhodnutím Ministerstva školství a národní osvČty je však nezískal, aþ byl doporuþen profesorským sborem. Zdá se, že místo asistenta zĤstalo neobsazeno a jeho práci pĜevzal pomocný asistent, neboĢ dne 9. prosince 1937 profesorský sbor navrhl, aby O. Varga byl ustanoven na místo bezplatného asistenta matematického ústavu a byl mu ponechán pĤvodní plat pomocného asistenta. Více viz [3] a [4]. 28 V letech 1920 až 1939 byl základními dvousemestrálními tĜíhodinovými pĜednáškami z deskriptivní geometrie povČĜován K. Mack, profesor NČmecké techniky v Praze. Od letního semestru 1936/1937 jeho výuku suploval jeho asistent W. Fröhlich. V letech 1920/1921 až 1930/1931 byly pĜednášky vypisovány pod názvem Kurs für geometrisches Zeichnen und darstellende Geometrie, od roku 1931/1932 pod názvem Kurs für darstellende und projektive Geometrie. Je pravdČpodobné, že se jejich obsah víceménČ nemČnil. 29 NejménČ (7) jich bylo zapsáno v letním semestru 1925/1926, nejvíce (26) v zimním semestru 1920/1921. 30 NejménČ (15) jich bylo zapsáno v letním semestru 1930/1931, nejvíce (49) v zimním semestru 1932/1933. 31 Poþty studentĤ byly vyhledány v katalozích posluchaþĤ. Zahrnuti však byli jen ti, kteĜí si ĜádnČ výuku zapsali a zaplatili školní poplatky, tj. ti, kteĜí mČli právo skládat zkoušky a získat vysvČdþení, resp. potvrzení o absolvování výuky. Ti, kteĜí zápis zrušili (pĜeškrtnutím perem, modrou nebo þervenou „úĜední pastelkou“) nebo nezaplatili školné, nebyli do souhrnu zapoþítáni. Pokud by byli zahrnuti, poþty mohly být pĜibližnČ o 5 až 10 vyšší. Poznamenejme, že studenti si mohli zapisovat libovolné pĜednášky, semináĜe a cviþení, a to v libovolném poĜadí a kombinaci. Mohli však absolvovat buć pĜednášku se cviþením, nebo pouze pĜednášku, nebo jen cviþení. Tyto „jemné rozdíly“ nebyly ve statistice zohlednČny; v zápisech je totiž nelze odlišit. Studenti, kteĜí si zapisovali v daném semestru alespoĖ jednu matematickou pĜednášku nebo semináĜ, tvoĜili obvykle 20 až 25 procent všech pĜírodovČdcĤ, neboĢ patĜilo k dobrému nepsanému zvyku, že fyzici, ale i astronomové, geografové, geologové, chemici a biologové absolvovali alespoĖ dva semestry základních matematických kurzĤ, resp. speciálních kurzĤ pro pĜírodovČdce þi chemiky. Vlastní matematická komunita pĜíliš velká nebyla, mČla obvykle kolem 40 studentĤ, z nichž hlubšímu studiu matematiky (budoucí stĜedoškolští a vysokoškolští uþitelé) se vČnovalo maximálnČ 10 až 15 posluchaþĤ. Více viz [2] a [4]. 32 Povinná náplĖ pĜednášek, resp. užívání schválených uþebnic bylo na univerzitách v rakouské monarchii zrušeno roku 1848.

119


1.7.2015 11:38:35

jich publikací, zahraniþních pobytĤ apod.), kontrolovala náplĖ a obsah pĜednášek, seznamy základní þi rozšiĜující literatury, prĤbČh zkoušek apod., vyjadĜovala se k materiálnímu, prostorovému þi technickému vybavení pracovištČ. Kontrolní mechanismy byly v rukou univerzity, fakulty, resp. komisí tvoĜených þleny profesorského sboru. ZpochybnČní pravomocí a akademických svobod byla velmi citlivou záležitostí a profesorský sbor na nČ otevĜenČ nelibČ reagoval. Výše uvedené kontroly (dnes zcela bČžné) nebyly vĤbec myslitelné; zdá se, že úĜady ani nenapadly (alespoĖ v „matematické sekci“ se o nich nepodaĜilo dohledat žádné doklady).

4 PĜepis dokumentu PĜi studiu zápisĤ ze zasedání profesorského sboru PĜírodovČdecké fakulty NČmecké univerzity v Praze v letech 1920/1921 až 1938/1939 se podaĜilo nalézt ojedinČlý dokument, který objasĖuje „studijní“ plán a povinnosti kandidátĤ uþitelství matematiky na stĜedních školách. Jedná se o nepodepsaný materiál nazvaný Richtlinien für das Studium der Mathematik als Lehrfach an Mittelschulen, který byl sepsán dne 27. ledna 1938 jako reakce profesorského sboru, resp. profesorĤ matematiky na dopis Ministerstva školství a národní osvČty požadující specifikaci studijních podmínek a povinností a obsahu zkoušek v souvislosti s pĜipravovanou školskou reformou.33 ProfesoĜi matematiky žádosti ministerstva vyhovČli. RozhodnČ však nelze Ĝíci, že by tak þinili ochotnČ a aktivnČ.34 Tehdejší „akreditace“ celé výuky univerzitní matematiky mČla dvČ a þtvrt strany (strojopis zkráceného formátu A4). V následujících Ĝádcích uvedeme úplné znČní dokumentu:35 Der mathematische Vorlesungsplan gibt dem Hörer die Möglichkeit, sich innerhalb seiner ersten vier Studiensemester die für die erste Staatsprüfung erforderlichen Kenntnisse anzueignen und innerhalb von sieben Studiensemestern die Kenntnisse zu erwerben, welche in der zweiten Staatsprüfung verlangt werden. Zu den einführenden Vorlesungen werden in der Regel Uebungen abgehalten. Es kann den Studierenden nicht dringend genug geraten werden, sich rege und aktiv an diesen zu beteiligen, da die rein aufnehmende Tätigkeit des Besuchs einer Vorlesung nicht hinreicht, um den darin behandelten Gegenstand sich voll zu eigen zu machen. Neben den Vorlesungen, welche alle Studierenden der Mathematik hören sollen, werden für fortgeschrittenere Hörer Sondervorlesungen gehalten, welche dem Hörer die Möglichkeit geben, sich in Spezialgebieten, für welche er besonderes Interesse hat, tiefer gehende Kenntnisse anzueignen. In der Regel wird das Thema der für die zweite Staats33

V zápisu profesorského sboru ze dne 27. ledna 1938 je uvedeno: Anlässlich der künftigen Neuauflage der Sammlungen der Ges. u. Verordn. für die Universität und für die Prüfungsordnung für Lehramt an Mittelschulen werden eine Reihe von Abänderungsvorschlägen seitens des Dekanates und der Mitglieder des Kollegiums vorgelegt. ([1], Protokoll der III. Sitzung des Professorenkollegiums der Naturwissenschaftlichen Fakultät am Donnerstag den 27. Jänner 1938 …, str. 1) Reforma nebyla uvedena v život v dĤsledku nacistické okupace ýeskoslovenska. 34 V [1] se dochovaly podobné dokumenty týkající se pĜípravy stĜedoškolských profesorĤ fyziky – matematiky (2 strany formátu A4; vypracovány byly fyziky) a fyziky – chemie (2 strany formátu A4; vypracovány byly fyziky a chemiky). Obsahují doporuþený prĤbČh studia (8 semestrĤ), tj. seznam pĜednášek, semináĜĤ, prosemináĜĤ a laboratorních cviþení. Naprosto samozĜejmou souþástí aprobace fyzika – chemie byl požadavek studia základĤ diferenciálního a integrálního poþtu (v rozsahu alespoĖ 2 semestrĤ). 35 Srovnejme citovaný dokument se souþasnými akreditacemi jednotlivých studijních oborĤ, fakult a vysokých škol, které obnášejí stohy materiálĤ o výšce nČkolika desítek centimetrĤ.

120


1.7.2015 11:38:36

prüfung bestimmten Hausarbeit einer von dem Studierenden gehörten Spezialvorlesung entnommen. Die Studierenden werden nachdrücklich auch auf die mathematischen Sondervorlesungen an der Deutschen Technischen Hochschule in Prag aufmerksam gemacht, welche insbesondere Fragen der angewandten Mathematik sowie der Geometrie behandeln. 1. Staatsprüfung. In den ersten zwei Studiensemestern ist eine Vorlesung über Differential- und Integralrechnung zu hören, innerhalb der vier ersten Studiensemester einführende Vorlesungen über Algebra und analytische Geometrie. Die Mathematikstudierenden, welche nicht darstellende Geometrie als zweites Hauptfach haben, besuchen den viersemestrigen Universitätskursus über darstellende Geometrie und projektive Geometrie. Alle genannten Vorlesungen setzen nur die Kenntnis der Mittelschullehrstoffs voraus. An die Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung schliesst sich ein zweisemestriges Proseminar an, dessen erfolgreicher Besuch Voraussetzung für die Zulassung zur ersten Staatsprüfung ist. Die Aufnahme in das Proseminar erfolgt auf Grund einer Prüfung, welche eine gründliche Kenntnis der Differential- und Integralrechnung erweisen soll. Den Studierenden, welche darstellende Geometrie als zweites Hauptfach haben und ihre ersten vier Studiensemester and der Brünner Technischen Hochschule verbracht haben, kann der Besuch des Proseminars erlassen werden, falls sie ein Zeugnis über den erfolgreichen Besuch von mathematischen Uebungen beibringen. Dieses muss den ausdrücklichen Vermerk tragen, dass es einem Proseminarzeugnisse gleichwertig ist. 2. Staatsprüfung. Anschliessend an die Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung wird ein drei- bis vier-semestriger Kurs über Analysis gehalten, der die Aufgabe hat, den Studierenden einen allgemeinen Ueberblick über die verschiedenen von der Infinitesimalrechnung abzweigenden analytischen Disziplinen insbesondere die Theorie der Differentialgleichungen, die für die Anwendungen besonders wichtigen Kapitel der Theorie der reellen Funktionen, Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen (Funktionentheorie), sowie die Variationsrechnung geben. Zur Einführung in die Geometrie ist je eine Vorlesung über Differentialgeometrie, über die Grundlagen der Geometrie sowie über die Nicht-Euklidische Geometrie zu hören. Ausserdem ist der Besuch einer Vorlesung über Zahlentheorie und einer über höhere Algebra erforderlich. Voraussetzung für die Ablegung der zweiten Staatsprüfung ist der erfolgreiche Besuch eines mathematischen Seminars in zwei Semestern. Die Aufnahme erfolgt auf Grund des erfolgreichen Besuchs eines Proseminars oder eines gleichwertigen Zeugnisses der Brünner Technischen Hochschule.36

36

Dokument pĜiložený do složky Sitzungsprotokoll im Studienjahr 1937/1938 (viz [1]).

121


1.7.2015 11:38:36

První þtyĜi odstavce popisují délku studia, organizaci státních zkoušek a pravidlo pro zapoþítání studia na technice. Další dva odstavce specifikují požadavky k první státní zkoušce a velmi neurþitČ naznaþují rozsah požadovaných znalostí. Poslední þtyĜi odstavce pĜinášejí obdobné informace o druhé státní zkoušce.

První stránka dokumentu Richtlinien für das Studium der Mathematik als Lehrfach an Mittelschulen (1938) 122


1.7.2015 11:38:36

5 Pár slov závČrem První i druhá þeskoslovenská republika si vážila kvalitních a odbornČ fundovaných vysokoškolských pedagogĤ bez ohledu na jejich národnost, vyznání, sociální pĤvod þi politickou pĜíslušnost. Profesorská jmenovací Ĝízení nebyla jednoduchá, místa byla obsazována na základČ konkurzu, v nČmž byla hodnocena odborná úroveĖ uchazeþĤ, jejich dosavadní vČdecké výsledky, pedagogické a organizaþní schopnosti a zkušenosti.37 Není divu, že profesorský post byl spojen s relativnČ dobrým platem a znaþnou spoleþenskou prestiží. DČkanát, rektorát, ministerstvo a státní správa nezatČžovaly profesory zbyteþnou administrativou, aþ stížnosti na její nárĤst nalezneme prakticky ve všech dobách v zápisech ze zasedání profesorského sboru, dopisech ministerstvu, osobních vzpomínkách a pamČtech. Dávaly pedagogickému sboru dĤvČru a ponechávaly mu témČĜ naprostou svobodu ve výuce (co, jak, kdy, v jakém rozsahu a podle þeho vyuþovat, zda a jakým zpĤsobem zveĜejĖovat studijní materiály a požadavky k dílþím þi státním zkouškám). To však rozhodnČ neznamená, že by pĜíprava napĜíklad budoucích stĜedoškolských profesorĤ matematiky þi matematikĤ nebyla kvalitní. Dá se Ĝíci, že opak je pravdou, jak ukazují domácí i klauzurní práce, protokoly o ústních zkouškách uþitelské zpĤsobilosti, resp. protokoly o doktorských zkouškách a vlastní doktorské práce.38 Zcela samozĜejmá byla svoboda vČdeckého bádání a pĤsobení na studenty, doktorandy i asistenty.39 Výzkum (alespoĖ v matematice) nebyl v tehdejší dobČ svazován návratností vynaložených finanþních prostĜedkĤ, aplikovatelností výsledkĤ, vČdecko-výzkumnými plány, tematickými okruhy grantových agentur, výzkumnými zámČry a projekty jednotlivých institucí. PĜesto (anebo právČ proto) na matematické sekci PĜírodovČdecké fakulty NČmecké univerzity v Praze probíhala bádání velmi úspČšnČ. Míra této svobody nebyla již nikdy po roce 1939. Nesouviselo to jen s váleþnými událostmi a následnými politickými pĜevraty, ale pravdČpodobnČ s celkovou promČnou naší spoleþnosti (všeobecný nárĤst nedĤvČry a kontroly, bujení administrativy a jejího aparátu, likvidace židovské komunity za války, odsun nČmecké komunity z pováleþného ýeskoslovenska, rozbití témČĜ všech struktur þeskoslovenské spoleþnosti po roce 1948, zmČna pohledu spoleþnosti na vysokoškolské pedagogy, resp. uþitele vĤbec, narĤstající masifikace vyššího vzdČlávání a s ní spojený pĜirozený a nutný úpadek vzdČlanosti, úbytek skuteþných odbornČ zdatných a morálnČ pevných pedagogĤ).

37

Konkurz byl vícestupĖový − zpráva konkurzní komise tvoĜené nejménČ tĜemi zvolenými þleny profesorského sboru, hlasování celého profesorského sboru (vyžadovalo se obvykle 2/3 kladných hlasĤ), výbČr tzv. terna (trojice nejúspČšnČjších kandidátĤ), prozkoumání všech materiálĤ „terna“ na ministerstvu školství, doporuþení nejlepšího kandidáta prezidentovi a následné prezidentské jmenování. PodobnČ nároþné bylo i habilitaþní Ĝízení, které pĜinášelo post soukromého docenta, neposkytovalo však „definitivu“ a dostateþné hmotné zajištČní. O nČco snadnČjší bylo konkurzní Ĝízení na místo asistenta, kterého si vybíral pĜíslušný profesor, jeho volbu doporuþoval profesorský sbor a schvalovalo ministerstvo (provČĜovalo odbornost na základČ hodnocení profesorského sboru, od poloviny 30. letech prošetĜovalo i loajalitu k ýeskoslovensku a zjišĢovalo pĜípadnou aktivitu ve fašistických stranách). 38 Více viz [4], kde jsou samostatné kapitoly o doktorátech z matematiky z let 1882 až 1945, resp. o zkouškách uþitelské zpĤsobilosti z matematiky v kombinaci s jiným aprobaþním pĜedmČtem, které se konaly pĜed nČmeckou zkušební komisí v letech 1882 až 1945. 39 PevnČ formulovány byly jen požadavky na minimální délku studia, požadavky k první a druhé státní zkoušce (u matematiky byl stanoven jen všeobecný rámec základních znalostí studentĤ).

123


1.7.2015 11:38:40

Literatura [1] Sitzungsprotokoll in den Studienjahren 1937/1938, kartón Protokoly profesorského kolegia 1932−1938, fond PĜírodovČdecká fakulta NČmecké univerzity v Praze, Archiv Univerzity Karlovy v Praze. [2] Naturwissenschaftlichen Fakultät der Deutschen Universität in Prag (1920/1921 až 1938/1939), fond PĜírodovČdecká fakulta NČmecké univerzity v Praze, Archiv Univerzity Karlovy v Praze. [3] Ordnung der Vorlesungen an der Deutschen Universität in Prag im Wintersemester 1920/21, ..., im Wintersemester 1938/39, Prag, 1920, ..., 1938. [4] BeþváĜová M.: Matematika na NČmecké univerzitČ v Praze v letech 1882 až 1945 (pĜipraveno do tisku).

Adresa Doc. RNDr. Martina BeþváĜová, Ph.D. Ústav aplikované matematiky Fakulta dopravní ýVUT v Praze Na Florenci 25 110 00 Praha 1 e-mail: [email protected]

Doc. RNDr. Martina BeþváĜová, Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze Sokolovská 83 186 75 Praha 8 e-mail: [email protected]

124


1.7.2015 11:38:40

KRUHOVÁ INVERZE V NEWTONOVċ OPTICE PAVEL BOHÁý Abstract: The foundation of the modern circular geometry is widely connected with the famous Swiss geometer Jakob Steiner, who allegedly discovered the circle inversion around 1824, although it has not been mentioned in his published works. In this paper we show that practically the same planar mapping has been used more than hundred years before Steiner as seen in the Opticks by Isaac Newton.

1 Úvod Zobrazení kruhové inverze, jakožto základní kámen kruhové geometrie, pĜedstavuje jeden z nejcennČjších nástrojĤ planimetrie vĤbec. Není však zcela jednoduché, a snad ani možné, dopátrat se jednoznaþné odpovČdi na otázku, komu soudobá geometrie vdČþí za její objev. Prvopoþátky kruhové inverze lze vypátrat už v díle staroĜeckého geometra a astronoma Apollónia z Pergy (cca 262 pĜ. n. l. až cca 190 pĜ. n. l.).1 Jeho práce však upadla v zapomnČní, vČtšina publikací (napĜ. [1], [2], [3]) tak v této souvislosti zmiĖuje až jméno slavného švýcarského geometra Jakoba Steinera (1796–1863), který mČl kruhovou inverzi objevit kolem roku 1824. Aþkoliv v jeho uveĜejnČných textech není toto zobrazení explicitnČ uvedeno, zdá se být bez pochyby, že princip kruhové inverze znal a využíval pĜi objevování a dokazovaní rozliþných výsledkĤ projektivní geometrie ([2]). Mnohé prameny (napĜ. [2] i [3]) ovšem druhým dechem dodávají, že kruhovou inverzi objevilo nezávisle na sobČ více geometrĤ, napĜ. Germinal Pierre Dandelin (1794–1847), Giusto Bellavitis (1803–1880), Luigi Cremona (1830–1903) i jiní. V tomto þlánku si neklademe za cíl vnést svČtlo do otázky prvotního autorství objevu kruhové inverze. Namísto toho ukážeme, že prakticky totožné zobrazení bylo ještČ pĜed svým znovuzrozením v 19. století využíváno v geometrické optice, kde dodnes sehrává klíþovou roli pĜi vysvČtlení funkce i tČch nejjednodušších optických pĜístrojĤ, aþkoliv patrnČ žádná bČžnČ dostupná publikace, kam až znalost autora sahá, na tuto skuteþnost neupozorĖuje. Naše tvrzení o využití kruhové inverze doložíme v þásti 4 þeským pĜekladem pasáže z Newtonovy Optiky, ve které je dotyþné zobrazení elegantnČ popsáno.

2 Kruhová inverze Uvećme nejprve moderní definici kruhové inverze na rozšíĜené (MöbiovČ) rovinČ, tedy rovinČ doplnČné o jeden nevlastní bod ܲஶ ([1]). Uvažujme jeden (vlastní) bod ܵ roviny a libovolné reálné þíslo ‫ ݎ‬൐ Ͳ. Zobrazení, které bodu ܵ pĜiĜadí nevlastní bod ܲஶ a naopak nevlastnímu bodu ܲஶ bod ܵ a které každý bod ‫ ܣ‬roviny rĤzný od ܵ i ܲஶ zobrazí na bod ‫ܣ‬ᇱ Obr. 1: Zobrazení bodu A kruhovou inverzí polopĜímky ܵ‫ ܣ‬tak, že platí ᇱ ȁܵ‫ܣ‬ȁ ‫ ڄ‬ȁܵ‫ ܣ‬ȁ ൌ ‫ ݎ‬ଶ , (1) se nazývá kruhová inverze se stĜedem ܵ a koeficientem ‫ݎ‬. 1

Kónika [Kuželoseþky], Kniha šestá, Tvrzení 13 a 14.

125


1.7.2015 11:38:40

Na obr. 1 je naznaþen bČžný postup konstrukce bodu ‫ܣ‬ᇱ pro známou polohu bodu ‫ܣ‬ pĜi kruhové inverzi se stĜedem ܵ a koeficientem ‫ ݎ‬൐ Ͳ, jenž hraje roli polomČru samodružné kružnice ߝ se stĜedem ܵ.2 Správnost nastínČného postupu lze ovČĜit využitím Eukleidovy vČty o odvČsnČ ܵܶ trojúhelníku ܵ‫ܶܣ‬, pĜípadnČ pĜímo pomocí podobnosti vyznaþených trojúhelníkĤ ܵ‫ܶܣ‬, ܵܶ‫ܣ‬ᇱ , podle které ȁௌ஺ȁ ȁௌ்ȁ

ȁௌ்ȁ

ൌ ȁௌ஺ᇲ ȁ

ȁܵ‫ܣ‬ȁ ‫ ڄ‬ȁܵ‫ܣ‬ᇱ ȁ ൌ ȁܵܶȁଶ ൌ ‫ ݎ‬ଶ .

neboli

Dodejme, že takto zavedené bijektivní zobrazení zĜejmČ pĜevádí vnitĜek samodružné kružnice na její vnČjšek a naopak. MénČ triviální, avšak zásadní vlastností kruhové inverze je, že kružnice a pĜímky (tzv. zobecnČné kružnice) zobrazuje opČt na kružnice a pĜímky3, jedná se tak o speciální pĜípad kruhového zobrazení.

3 Kruhová inverze v optice Za jednu ze základních a snad nejznámČjších rovnic klasické geometrické optiky lze považovat tzv. zobrazovací rovnici kulového zrcadla, pĜípadnČ tenké þoþky, též Descartesovu þi Gaussovu (zobrazovací) rovnici, obvykle psanou v podobČ ଵ ௙

ଵ

ଵ

ൌ ௔ ൅ ௔ᇲ

neboli

௔௔ ᇲ

݂ ൌ ௔ା௔ᇲ.

(2)

V našem þlánku ji budeme uvažovat pro duté kulové zrcadlo (obr. 2), kdy totiž právČ v uvedeném tvaru (v reálné situaci pouze pĜibližnČ) udává závislost mezi vzdáleností ܽ ൐ Ͳ zobrazovaného (bodového) pĜedmČtu ‫ ܣ‬od vrcholu ܸ zrcadla umístČného na optickou osu ‫ ݋‬pĜed zrcadlem s obrazovou vzdáleností ܽᇱ jeho obrazu ‫ܣ‬ᇱ pĜi známé ohniskové vzdálenosti ݂ ohniska ‫ ܨ‬od vrcholu ܸ. Vzdálenost ܽᇱ je kladná pro (skuteþný, tedy reálný4) obraz vzniklý pĜed zrcadlem a záporná pro (myšlený, ne- Obr. 2: Optické zobrazení bodu A dutým kuloreálný, zdánlivý) obraz vzniklý za zrcadlem. Ohni- vým zrcadlem sková vzdálenost ݂ je polovinou polomČru ܿ ൐ Ͳ kulové plochy tvoĜící odrazivý povrch ௖ zrcadla, tedy ݂ ൌ ଶ, viz napĜ. [4]. Na obr. 2 je nastínČna obvyklá paprsková konstrukce zobrazení bodového pĜedmČtu ‫ܣ‬ dutým kulovým zrcadlem, jejíž pĜesný popis ani správnost zde nebudeme ovČĜovat (obojí lze nalézt napĜ. v [5]). Za povšimnutí snad stojí, že konstrukþní roli od daného kulového zrcadla (na rozdíl od bČžného školského postupu) pĜejímá pĜímka ‫ݖ‬, pro niž se pak výsledek Ĝídí právČ rovnicemi (2). Souvislost rovnic (2) se zavedenou kruhovou inverzí pochopíme, když je upravíme do podoby, jež se v souþasných uþebnicích optiky uvádí jen zcela výjimeþnČ. 2

DoplĖme, že body ‫ ܣ‬a ‫ܣ‬ᇱ vystupují v definici kruhové inverze symetricky, je proto lhostejné, který z nich považujeme za obraz a který za vzor pĜi daném zobrazení. Tuto vlastnost má každé zobrazení, které složeno samo se sebou dává identitu a které pak nazýváme involutorní. 3 Na pĜímku se zobrazí jedinČ zobecnČná kružnice procházející stĜedem ܵ. 4 Tj. takový, který je možné zobrazit na stínítko.

126


1.7.2015 11:38:40

Oznaþme ݀ ൌ ȁܽ െ ݂ȁ a ݀ᇱ ൌ ȁܽᇱ െ ݂ȁ (nenulové a koneþné) vzdálenosti vzoru ‫ ܣ‬a obrazu ‫ܣ‬Ԣ od ohniska ‫ ܨ‬zrcadla v tomto poĜadí a poþítejme5 ݀ ‫݀ ڄ‬ᇱ ൌ ሺܽ െ ݂ሻ ‫ ڄ‬ሺܽᇱ െ ݂ሻ ൌ ܽܽᇱ െ ݂ܽ െ ܽᇱ ݂ ൅ ݂ ଶ , odkud dosazením za souþin ܽܽᇱ ze druhé rovnice uvedené v (2) dostaneme ݀ ‫݀ ڄ‬ᇱ ൌ ݂ሺܽ ൅ ܽᇱ ሻ െ ݂ሺܽ ൅ ܽᇱ ሻ ൅ ݂ ଶ,

tedy koneþnČ

݀ ‫݀ ڄ‬ᇱ ൌ ݂ ଶ .

(3)

Poslední rovnice bývá v literatuĜe uvádČna jako Newtonova (ohnisková) zobrazovací rovnice (kulového zrcadla, resp. tenké þoþky). Porovnáním s rovnicí (1) se ukazuje, že zobrazení kulovým zrcadlem (resp. model zobrazení daný rovnicemi (2)) realizuje kruhovou inverzi (ve stĜedovém Ĝezu dotyþné sféry) se stĜedem v ohnisku ‫ ܨ‬zrcadla a koeficientem rovným ohniskové vzdálenosti ݂ zrcadla (tudíž odpovídající samodružná kružnice má dvakrát menší polomČr než je polomČr c zrcadla). UvČdomme si, že zobrazení nekoneþnČ vzdáleného bodu do ohniska a naopak lze chápat jako limitní dĤsledek jak rovnic (2), tak i ekvivalentní rovnice (3). Jediným rozdílem optického zobrazení a kruhové inverze tak je, že zobrazované objekty se pochopitelnČ umisĢují vždy pĜed zrcadlo.

4 Kruhová inverze v NewtonovČ Optice Rovnice (3) nese jméno proslulého anglického fyzika, matematika a filosofa Isaaca Newtona (1643–1727), jednoho ze dvou tvĤrcĤ kalkulu, jenž je mnohými považován za nejvČtšího fyzika, jaký kdy žil. Isaac Newton za svého života publikoval dvČ zcela zásadní vČdecké práce, první jsou slavné Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica [Matematické základy pĜírodní filosofie] (1687) psané latinsky a druhou potom Opticks [Optika] (1704) ([6]) publikovaná nejprve anglicky. PrávČ druhá zmínČná monografie obsahuje ve své úvodní þásti i pozoruhodnou slovní formulaci zobrazovací rovnice (3) jako souþást komentáĜe k šestému axiomu. Tuto formulaci nyní uvedeme v doslovném þeském pĜekladu. Má podobu následující vČty: NechĢ ‫ ܤܥܣ‬je odrazivý povrch libovolné sféry, jejímž stĜedem je ‫ܧ‬. Rozpulte libovolný její polomČr (ĜeknČme ‫ )ܥܧ‬bodem ܶ, a pokud na tomto polomČru6 po téže stranČ vĤþi bodu ܶ vezmete body ܳ a ‫ݍ‬, tak, že ܶܳ, ܶ‫ ܧ‬a ܶ‫ ݍ‬jsou spojitČ úmČrné7 a bod ܳ je ohniskem8 dopadajících paprskĤ, bod ‫ ݍ‬musí být ohniskem tČch odražených (obr. 3). Klíþový vztah spojité úmČrnosti jistých tĜí veliþin9 bychom dnes popsali tak, že tĜi délky vyjmenovaných

Obr. 3: K NewtonovČ slovní formulaci rovnice pro zobrazení dutým kulovým zrcadlem

5 ObČ þísla ܽ െ ݂ i ܽᇱ െ ݂ jsou buć souþasnČ kladná, nebo záporná, jak bude zĜejmé z postupu výpoþtu souþinu ݀ ‫ ݀ ڄ‬ᇱ . Lze v nČm tedy absolutní hodnoty nahradit kulatými závorkami. Tato skuteþnost rovnČž znaþí, že zobrazovaný pĜedmČt ‫ ܣ‬i jeho obraz ‫ܣ‬ᇱ se vždy nacházejí na téže stranČ od ohniska ‫ ܨ‬dutého kulového zrcadla. 6 Zde ve významu pĜímky procházející stĜedem dotyþné sféry. 7 V originále „continual Proportionals“. 8 V originále použité „focus“ však neodkazuje na ohnisko zrcadla, jímž je zde bod ܶ. Význam termínu podle výkladu, který pĜeložené pasáži pĜedchází, odpovídá bodu, z nČhož se paprsky rozbíhají, zdroj resp. vzor, pĜípadnČ se k nČmu sbíhají, a je proto možné zde pozorovat ostrý, fokusovaný, obraz. 9 S konceptem spojitČ úmČrných veliþin se lze mimo Eukleidovy Stoicheia [Základy] setkat jen vzácnČ.

127


1.7.2015 11:38:41

úseþek tvoĜí v uvedeném poĜadí tĜi po sobČ jdoucí þleny jisté geometrické posloupnosti, jinými slovy, že délka prostĜední úseþky ܶ‫ ܧ‬je rovna geometrickému prĤmČru délek úseþek ܶܳ a ܶ‫ݍ‬, tedy ȁܶ‫ܧ‬ȁ ൌ ඥȁܶܳȁ ‫ ڄ‬ȁܶ‫ݍ‬ȁ

neboli

ሺ݂ ଶ ൌሻȁܶ‫ܧ‬ȁଶ ൌ ȁܶܳȁ ‫ ڄ‬ȁܶ‫ݍ‬ȁ,

což je dĜíve zmínČná Newtonova zobrazovací rovnice. Dodejme, že pĜiložený obrázek je vcelku podobný tomu, jakým i Newton ilustroval svĤj text. V naší verzi je však na rozdíl od originálu vyznaþena nejen standardní paprsková konstrukce, ale i „teþnová“ konstrukce obrazu pĜi kruhové inverzi. Takto doplnČný obrázek dává tušit, že obČ konstrukce vedou ke stejnému výsledku.

5 ZávČr V tomto þlánku jsme prokázali, že historie zobrazení kruhové inverze je ještČ o nČco spletitČjší, než napovídá citovaná literatura. Nic se však nemČní na tom, že poþátky moderní kruhové geometrie spadají do první poloviny 19. století, neboĢ zobrazení používané v optice, byĢ takĜka totožné s kruhovou inverzí, slouží tam ke zcela jinému a veskrze fyzikálnímu úþelu. I pĜesto se autor tohoto pĜíspČvku domnívá, že by si vyšetĜovaná souvislost elementární geometrické optiky se základním zobrazením kruhové geometrie zasloužila nejen v uþebnicích pĜinejmenším poznámku pod þarou. Literatura [1] Coxeter H. S. M., Greitzer S. L.: Geometry Revisited, The Mathematical Association of America, Inc., Washington, D.C., 1996, str. 108–114. [2] Patterson B. C.: The Origins of the Geometric Principle of Inversion, Isis 19(1933), str. 154–180. [3] Emch A.: The discovery of inversion, Bulletin of the American Mathematical Society 20(1914), str. 412–415. [4] Halliday D., Resnick R., Walker J. (pĜeklad Musilová J., Dub P., Obdržálek J. a kol.): Fyzika, VUTIUM a PROMETHEUS, Brno, 2006, str. 937–938. [5] Boháþ P.: Co je harmonického na harmonické þtveĜici?, Rozhledy matematicko-fyzikální 89(2014), þ. 4, str. 1–13. [6] Newton I.: Opticks: Or a treatise of the reflections, refractions, inflections and colours of light, Royal Society Printers, Londýn, 1704, str. 7–8. Adresa RNDr. Pavel Boháþ Ústav matematiky a statistiky PĜírodovČdecká fakulta Masarykova univerzita KotláĜská 267/2 611 37 Brno e-mail: [email protected]

128


1.7.2015 11:38:41

METODA WSPÓŁRZĉDNYCH W GEOMETRII RZUTOWEJ DANUTA CIESIELSKA, ZDZISŁAW POGODA Abstract: First, we briefly present the most important facts about the history of projective geometry and its analytical methods. Then we analyse the contents of some polish textbooks published in the XIX century for the use of projective methods. We pay special attention to the lithographed textbooks by F. Mertens (see [10]) and W. Zajączkowski (see [14], [15]).

1 Wprowadzenie Geometria rzutowa jako samodzielna dziedzina naukowa wykrystalizowała siĊ w pierwszej połowie XIX wieku. Jednak pierwsze twierdzenia, które moĪna zaliczyü do geometrii rzutowej pojawiły siĊ juĪ w staroĪytnoĞci. W znanym dziele Pappusa Synagoge z IV wieku naszej ery znajdujemy twierdzenie – nazwane póĨniej jego imieniem – które stało siĊ jednym z fundamentalnych faktów geometrii rzutowej. Nie ma precyzyjnych informacji o wczeĞniejszych twierdzeniach podobnego typu, choü staroĪytni Grecy interesowali siĊ teorią perspektywy i optyką. Praktycznie wszystkie informacje na ten temat pochodzą z drugiej rĊki; nie zachowały siĊ Īadne Ĩródła dotyczące teorii perspektywy czy optyki z tamtych czasów. Komentatorzy twierdzą jednak, Īe Euklides i Apoloniusz interesowali siĊ tymi problemami. Trzeba było czekaü tysiąc lat, aby zaczĊto siĊ dokładniej przyglądaü teorii perspektywy, która stała siĊ póĨniej Ĩródłem twierdzeĔ geometrii rzutowej. Najpierw problemami perspektywy zainteresowali siĊ artyĞci. Pierwszy z poprawną perspektywą fresk wykonał około 1420 roku Filippo Brunelleschi (1377–1446), a pierwsze teoretyczne podstawy opisał Leon Battista Alberti (1404–1472) w dziele Della pittura z 1436 roku (por. [1]). Istotny wkład mieli takĪe Albrecht Dürer (1471–1528) i Leonardo da Vinci. Ten ostatni jest autorem pierwszego rysunku anamorficznego, czyli, co stało siĊ jasne znacznie póĨniej, wykorzystania rzutowania ogólniejszego niĪ perspektywa. Artystą, który dał formalne podstawy teorii anamorfizmów, był Jean François Niceron (1613–1646). Jego La Perspective Curieuse (por. [11]) opublikowana w 1638 roku była pierwszą ksiąĪką, w której poruszono temat tworzenia obrazów anamorficznych. Rok póĨniej ukazuje siĊ Brouillon project d'une atteinte aux événements des rencontres d'un cone avec un plan Girarda Desarguesa (1591–1661) (por. [1]), gdzie znajdujemy juĪ elementy geometrii rzutowej z fundamentalnym twierdzeniem noszącym dziĞ jego imiĊ. Desargues rozwaĪa punkty w nieskoĔczonoĞci i prostą w nieskoĔczonoĞci, choü niektóry historycy uwaĪają, Īe prosta w nieskoĔczonoĞci pojawia siĊ znacznie póĨniej, dopiero w 1822 roku formalnie wprowadzona przez Ponceleta. Desargues jest pierwszym, który traktuje parabolĊ, hiperbolĊ i elipsĊ jako obrazy tego samego obiektu w przekształceniach nazywanych obecnie rzutowymi; rozróĪnia je w zaleĪnoĞci od liczby punktów w nieskoĔczonoĞci. NaleĪy zwróciü uwagĊ, Īe idea punktu w nieskoĔczonoĞci pojawia siĊ u Keplera (1571–1630) w rozprawie z 1604 roku Astronomiae pars optica. (por. [1]). Dzieło to ma w tytule Ad Vitellionem paralipomena, quibus astronomiae pars optica traditur, czyli Dopełnienia do Witelona. Kepler wyraĨnie darzył szacunkiem Witelona (1230–1280), jednego z pierwszych matematyków związanych z Polską, który wyraĨnie zaznaczył siĊ w europejskiej nauce jako autor dzieła Perspectivorum libri decem. Kepler i Desargues zakładali, Īe proste równoległe mają wspólny punkt w nieskoĔczonoĞci, a proste w takiej

129


1.7.2015 11:38:41

sytuacji przypominają okrĊgi – z obu stron zmierzają do tego samego punktu w nieskoĔczonoĞci. Do obu uczonych dołączył Blaise Pascal, który w 1640 roku rozpowszechnił plakat z twierdzeniem o szeĞciokącie wpisanym w stoĪkową. Essay pour les coniques został wydrukowany w 50 egzemplarzach i miał byü rozdany zainteresowanym uczonym. Pod koniec trzydziestych lat XVII wieku matematycy francuscy René Descartes oraz Pierre de Fermat niezaleĪnie zaproponowali zastosowanie metod analitycznych do opisu obiektów algebraicznych. Ich rozwaĪania dotyczyły przede wszystkim tych krzywych, które zyskały zapis algebraiczny. Metoda ta przyczyniła siĊ do ogromnego postĊpu w badaniu krzywych, a na szczególną uwagĊ zasługują tu wyniki Isaaca Newtona oraz Leonharda Eulera. Zastosowanie metody do opisu fizycznych i mechanicznych zagadnieĔ dały podstawy rachunku róĪniczkowego i całkowego. Metoda analityczna zaczĊła szybko odnosiü sukcesy; metody rzutowe nie zyskały uznania. Trzeba było czekaü blisko 200 lat, aby przypomniano sobie o wynikach matematyków siedemnastowiecznych. Niemałe zasługi miał Gaspard Monge (1746–1818), ale tak naprawdĊ geometriĊ rzutową rozwijali jego uczniowie: Victor Poncelet (1788–1867), Charles Brianchon (1783–1864), Michel Chasles (1793–1880), Joseph Gergonne (1771–1859), Lazare Carnot (1753–1823). Dołączyli do nich August Ferdinand Möbius (1790–1868) i Julius Plücker (1801–1868), którzy wprowadzili do geometrii rzutowej metodĊ analityczną oraz Karl Georg Christian von Staudt (1798–1867). Möbius, którego nazwisko kojarzone jest przede wszystkim z jednostronną wstĊgą, jest autorem wielu oryginalnych prac i ksiąĪek. Do najsłynniejszych naleĪy Der barycentrische Calcül (1827). MoĪna tam znaleĨü miĊdzy innymi współrzĊdne barycentryczne i współrzĊdne jednorodne. To dziĊki metodzie współrzĊdnych krzywe algebraiczne zostały opisane za pomocą jednorodnego wielomianu. Julius Plücker zaproponował podobne rozwiązanie do opisu połoĪenia prostych w przestrzeni. Karl von Staudt w dziele Geometrie der Lage (1847) zaprezentował pierwszą aksjomatykĊ geometrii rzutowej, tam równieĪ po raz pierwszy została uĪyta metoda czworokąta zupełnego do uzyskania punktu harmonicznego z danymi trzema współliniowymi punktami. Staudt zauwaĪył takĪe, Īe uzyskana w ten sposób konfiguracja punktów i prostych jest niezmiennikiem przekształceĔ rzutowych. Wprowadzone współrzĊdne oraz znane juĪ metody obliczania wyznaczników pozwoliły na skuteczne zastosowanie metod algebraicznych zarówno w opisie obiektów geometrii rzutowej, jak i dowodzenia twierdzeĔ. W szczególnoĞci twierdzenie Bézouta o liczbie punktów wspólnych dwóch krzywych zyskało przejrzystą formĊ w wersji rzutowej. Przeniesienie problemów związanych z obiektami opisanymi równaniami algebraicznymi z przestrzeni afinicznej do rzutowej, dokonane przez wprowadzenie współrzĊdnych jednorodnych, znakomicie upraszcza wiele problemów klasyfikacyjnych.

2 Polskie akcenty 2.1

Kraków i Mertens

Matematycy polscy nie prowadzili intensywnych badaĔ w zakresie geometrii rzutowej. W XIX wieku nie powstały oryginalne prace z tej dziedziny. Tematyka rzutowa pojawia siĊ przede wszystkim w podrĊcznikach oraz litografowanych notatkach z wykładów zwykle zatytułowanych ‘geometria analityczna’. Na uwagĊ zasługują tu opracowania wykładów Franciszka Mertensa (1847–1927) – o wykładzie wspomniano w pracy [3]. Mertens kojarzony jest głownie z analizą i analityczną teorią liczb. Pracując jednak na Uniwersytecie JagielloĔskim w latach 1865–1884 prowadził róĪnorodne wykłady w tym wykład z geometrii analitycznej. Wykłady te zostały opublikowane w wersji litogra-

130


1.7.2015 11:38:41

ficznej w 1882 roku1; w notatkach brak informacji o jakichkolwiek Ĩródłach, z których korzystał Mertens. Napisane są jasnym zwiĊzłym jĊzykiem i z punktu widzenia matematyka pierwszej dekady XXI wieku są klasyczne z pewnymi akcentami nowoczesnoĞci. Natomiast w czasach, w których powstały, naleĪały do bardzo nowoczesnych. Elementy geometrii rzutowej pojawiają siĊ juĪ w rozdziale czwartymi praktycznie są obecne do koĔca, czyli do rozdziału XII włącznie. Oto tytuły rozdziałów z Wykładów Mertensa: I Geometrya analit: w płaszczyĨnie, II O wyznacznikach i ich zastosowaniu do rozwiązania m równaĔ z n niewiadomymi, III Linie algebraiczne pierwszego rzĊdu, IV Zastosowania geometryczne – Podział harmoniczny,

Rysunek 1 Podział harmoniczny (czwórka harmoniczna punktów)

Rysunek 2 Czworobok zupełny

1 Notatki pochodzą z Biblioteki c. k. Seminarium Matematycznego w Krakowie, podrĊcznik nosi numer Biblioteki Instytutu Matematyki UJ 216/234.

131


1.7.2015 11:38:42

V O własnoĞciach projektywnych utworów zasadniczych jednego rozmiaru,

Rysunek 3 Twierdzenie Pappusa

Rysunek 4 Klasyfikacja utworów inwolutywnych VI O kolinearnem powinowactwie dwóch systemów płaskich, VII Powinowactwo odwrotne dwóch systemów płaskich; system biegunowy płaski, VIII Formy kwadratowe, IX Jeszcze kilka słów o systemie biegunowym płaskim, X RoztrząĞnienie najogólniejszego

132


1.7.2015 11:38:47

zrównania drugiego rzĊdu, jako zrównania, elipsy, hiperboli, lub paraboli, XI O niektórych własnoĞci krzywych drugiego rzĊdu, XII Utwory powstałe przez przeciĊcie dwóch wiązek projektywnych nieperspektywnych, i przez wzajemne rzucenie na siebie dwóch szeregów punktowych projektywnych nieperspektywnych. – Szereg punktowy drugiego rzĊdu. – Wiązka promieniowa drugiego rzĊdu.

Rysunek 5 Twierdzenia Pascala, wersje

133


1.7.2015 11:38:57

Rysunek 6 Twierdzenia Pascala, fragment

Rysunek 7 Twierdzenie Pascala II Mertens dowodzi, uĪywając metody współrzĊdnych oraz wykonując obliczenia odpowiednich wyznaczników, wszystkie standardowe twierdzenia geometrii rzutowej i, jak widaü z opisu tytułów rozdziałów, wykład ma charakter rzutowy. 2.2

Lwów i Zajączkowski

Wykład Władysława Zajączkowskiego z geometrii analitycznej oraz sporządzone na jego podstawie notatki zostały opisane w pracy [2]. Teraz postaramy siĊ porównaü wykład ten z opisanym powyĪej wykładem Mertensa. Na pierwszy rzut oka w notatkach do wykładu Władysława Zajączkowskiego (por. [14] i [15]) metody rzutowe nie są wyeksponowane. Wczytując siĊ jednak w tekst2 dostrzegamy równieĪ wpływ geometrii rzutowej. Zobaczmy, jak wyglądają tytuły poszczególnych rozdziałów czĊĞci pierwszej podrĊcznika: I WspółrzĊdne punktu, II Miejsce geometryczne równania. Równanie miejsca 2 Notatki wydano w formie dwóch zeszytów. DostĊpne nam zeszyty pochodzą ze zbiorów Władysława Kretkowskiego i noszą numery K 963/I oraz K 963/II.

134


1.7.2015 11:39:05

geometrycznego. III O płaszczyĨnie i o linii prostej na płaszczyĨnie. IV O płaszczyĨnie (Ciąg dalszy).

Rysunek 8 Twierdzenie Desarguesa, fragment

Rysunek 9 Twierdzenie Desarguesa V O punkcie. Równanie punktu. IX O Ğrednicach sprzĊĪonych krzywych rzĊdu drugiego.

135


1.7.2015 11:39:07

Rysunek 10 Osie potĊgowe i Ğrodki jednokładnoĞci X Równania krzywych rzĊdu drugiego we współrzĊdnych trójkątnych.

Rysunek 11 Twierdzenie Brianchona 136


1.7.2015 11:39:13

Rysunek 12 Twierdzenie Brianchona – fragment

Rysunek 13 Zasada dwoistoĞci

137


1.7.2015 11:39:22

VI O linii prostej. Równania linii prostej. VII O liniach krzywych rzĊdu drugiego. VIII O stycznych linii krzywych rzĊdu 2.

Rysunek 14 Biegun i biegunowa XI O powierzchniach rzĊdu drugiego. XII O inszych własnoĞciach powierzchni rzĊdu drugiego. Gdy zagłĊbimy siĊ w poszczególne rozdziały, zauwaĪymy natychmiast elementy geometrii rzutowej. I tak w rozdziale czwartym o niewiele mówiącym tytule „O płaszczyĨnie” juĪ sam podtytuł „WspółrzĊdne czworoĞcienne w przestrzeni, a trójkątne na płaszczyĨnie” wprowadza nas w teoriĊ współrzĊdnych jednorodnych, które są juĪ konsekwentnie wykorzystywane dalej. W rozdziale piątym pojawia siĊ zasada dwoistoĞci. W rozdziale ósmym spotykamy pojĊcie bieguna i biegunowej. W wykładzie znajdujemy wszystkie klasyczne twierdzenia geometrii rzutowej. KaĪdy rozdział koĔczy siĊ üwiczeniami, czego nie ma u Mertensa. CzĊĞü druga wykładu Zajączkowskiego poĞwiĊcona jest teorii krzywych algebraicznych W dwóch rozdziałach autor przedstawia róĪne własnoĞci krzywych algebraicznych oraz ich zastosowania, miĊdzy innymi do konstrukcji geometrycznych. Warto zwróciü uwagĊ na fakt opublikowania przez Zajączkowskiego w 1884 roku w Warszawie ksiąĪek: zatytułowanej Gieometryja analityczna (por. [16]), mającej Ğcisły związek z prowadzonymi przez niego wykładami oraz Zasady algebry wyĪszéj (por. [13]), w które równieĪ stosowane są metody współrzĊdnych rzutowych.

3 Uwagi koĔcowe Pierwszy podrĊcznik z geometrii rzutowej w jĊzyku polskim pojawił siĊ 1902 roku (por. [9]). Była to Geometrya rzutowa tworów pierwiastkowych Alfonsa Lewenberga. Nie ma w nim jednak metod analitycznych. Autor przedstawia wykład geometrii syntetycznej. Metody analityczne geometrii rzutowej znajdujemy w podrĊcznikach geometrii analitycznej. ChcieliĞmy zwróciü uwagĊ na fakt, iĪ metody rzutowe były obecne w polskich podrĊcznikach, zanim pojawił siĊ podrĊcznik poĞwiĊcony specjalnie geometrii rzutowej. Czytelnik miał okazjĊ zapoznaü siĊ z podstawowymi faktami tej dziedziny w ujĊciu przede wszystkim analitycznym. Wykład Mertensa ma charakter zdecydowanie rzutowy. Za-

138


1.7.2015 11:39:28

jączkowski sporo miejsca poĞwiĊca krzywym algebraicznym, a druga czĊĞü wykładu dotyczy geometrii przestrzennej. W niniejszym artykule nie moĪna było, ze wzglĊdu na ograniczenia iloĞciowe, dokonaü pełnej i drobiazgowej analizy podrĊczników pod kątem wykorzystania analitycznych metod rzutowych. Bardziej szczegółowa analiza, równieĪ innych podrĊczników, zostanie przedstawiona w kolejnych opracowaniach. Literatura [1] Alberti L. B.: Della pittura (De pictura). Florentiae, 1435. [2] Ciesielska D.: Geometria analityczna według W. Zajączkowskiego, [w:] J. BeþváĜ, M. BeþváĜová (ed.): 33. mezinárodní konference Historie matematiky, Matfyzpress, Praha, 2012, 187–194. [3] Ciesielska D., Domoradzki S.: Mathematical Lectures at the Jagiellonian Univeristy in the years 1860–1945, [w:] Binder Ch. (ed.): XI. Österreichisches Symposion zur Geschichte der Mathematik, Miesenbach 2012, Österreichisches Gesellschaft für Wissenschafts-geschichte, 43–51. [4] Desargues G.: Brouillon project d'une atteinte aux événements des rencontres d'un cone avec un plan, Publication par voie d'impression à cinquante exemplaires, source René Taton, Paris, 1639, ss. 36. [5] Juszkiewicz A. P.: Historia Matematyki, Tomy I–III, PWN, Warszawa, 1975. [6] Katz V. J.: A History of Mathematics: An Introduction (2nd ed.), Addison Wesley Longman, Reading, Mass., 1998. [7] Kepler J.: Astronomiae pars optica. Ad Vitellionem paralipomena, quibus astronomiae pars optica traditur, apud Claudium Marnium & haeredes Ioannis Aubrii, Francofurti, 1604, ss. 449. [8] Kline M.: Projective geometry, [w:] James R. Newman: The World of Mathematics, Georg Allen and Unwind, London, 1956. [9] Lewenberg A.: Geometrya rzutowa tworów pierwiastkowych, Drukarnia Sikorskiego, Warszawa, 1902. [10] Mertens F.: Wykład geometryi analitycznej. Towarzystwo matematyczno-przyrodnicze uczniów Uniwersytetu JagielloĔskiego, Kraków, 1882. [11] Nicéron J. F.: La Perspective Curieuse, Pierre Billaine ed., Parigi, 1638, ss. 52. [12] Stillwell J.: Mathematics and Its History (3rd ed.), Springer, New York, 2010. [13] Zajączkowski W.: Zasady algebry wyĪszéj, Drukarnia Noskowskiego, Biblioteka matematyczno-fizyczna, Warszawa, 1884. [14] Zajączkowski W.: Wykład Geometryi Analitycznèj. CzĊĞü I. Wydawca nieznany. Lwów, 1881. [15] Zajączkowski W.: Wykład Geometryi Analitycznèj, CzĊĞü II. Wydawca nieznany. Lwów, 1882. [16] Zajączkowski W.: Geometryja analityczna, Drukarnia Noskowskiego, Biblioteka matematyczno-fizyczna, Warszawa, 1884.

139


1.7.2015 11:39:29

Adresa Danuta Ciesielska, Ph.D. Institute of Mathematics Pedagogical University of Cracow PodchorąĪych 2, 30-084 Kraków, Poland e-mail: [email protected] Zdzisław Pogoda, Ph.D. Institute of Mathematics Jagiellonian University Łojasiewicza 6, 30-348 Kraków, Poland e-mail: [email protected] Zdzisław Pogoda, Ph.D. Instytut Pedagogiczny PaĔstwowej WyĪszej Szkoły Zawodowej w Nowym Sączu ChruĞlicka 6 33-300 Nowy Sącz, Poland e-mail: [email protected]

140


1.7.2015 11:39:29

TEORIE PRAVDċPODOBNOSTI A MRAVNÍ ZÁLEŽITOSTI DLE JAKOBA BERNOULLIHO HELENA DURNOVÁ Abstract: Jacob Bernoulli’s Ars Conjectandi (1713) is a key work in the history of probability theory. This contribution points out some aspects of the fourth part of his book, which is devoted to applications of probability theory that Bernoulli had explained in the previous three sections.

1 Úvodem: nČkteré práce o historii teorie pravdČpodobnosti VČtšinou se uvádí, že teorie pravdČpodobnosti se zrodila na základČ výmČny dopisĤ mezi Blaisem Pascalem (1623–1662) a Pierrem de Fermatem (1607/1608–1665).1 Tímto obdobím zaþíná také klasická kniha o historii teorie pravdČpodobnosti z pera Isaaca Todhuntera (viz [8]) z roku 1865. O rozšíĜení a prohloubení Todhunterova díla se pomČrnČ nedávno zasloužil dánský matematik Anders Hald (viz [4]), který podotýká, že první poznámky, které nám svým stylem pĜipomínají dnešní teorii pravdČpodobnosti, se zaþaly objevovat v dílech italských matematikĤ již bČhem 15. a 16. století a týkaly se pĜedevším úlohy o rozdČlení sázky mezi hráþe hazardní hry v pĜípadČ, že partie z nČjakého dĤvodu nemohly být dohrány. Tomuto problému se vČnovali Luca Pacioli (1445–1517), Niccolò Fontana (1499–1557), zvaný Tartaglia, a Gero-lamo Cardano (1501–1576). PoslednČ jmenovaný strávil hazardními hrami nezanedbatelné množství þasu a právČ od nČj pochází následující citát, který ukazuje, že k otázkám mravním nemČla teorie pravdČpodobnosti nikdy daleko: Základním principem veškerých hazardních her je jednoduše rovnost podmínek, což se týká napĜíklad protihráþĤ, penČz, situace, krabice s kostkami a samotných kostek. Pokud se v nČjaké míĜe odchýlíte od rovnosti ve prospČch protihráþĤ, jste pošetilý, pokud ve prospČch svĤj, jste nespravedlivý. ([4], str. 33) Úlohami o rozdČlení sázky se pĜed Jakobem Bernoullim zabývali zejména již zmínČní Blaise Pascal a Pierre de Fermat, a také Christiaan Huygens (1629–1695) v knize De ratiociniis in ludo aleae (O výpoþtech v hazardní hĜe) publikované roku 1657 (viz [6]). Bernoulli dosavadní poznatky ve své knize shrnul a navíc ve þtvrté þásti svého díla, které je vČnován tento krátký pĜíspČvek, nabídl zpĤsob, jak je prakticky aplikovat.

2 Jakob Bernoulli (1654–1705): struþný životopis2 Jakob Bernoulli spolu se svým mladším bratrem Johanem (1667–1748) patĜí k první generaci matematikĤ z rodu BernoulliĤ. Známé jsou zejména jeho výsledky v oblasti matematické analýzy a spolu s bratrem Johanem je považován za zakladatele variaþního

1 Podle pĜesvČdþivého výkladu nČmeckého historika matematiky Klause Barnera (viz [2]) se Fermat narodil v roce 1607 nebo 1608. Více informací vþetnČ odkazĤ na þetné Barnerovy publikace na toto téma, najdou þtenáĜi také v nČmecké verzi Wikipedie (heslo Pierre de Fermat). Vzhledem k tomu, že pro tento þlánek není Fermatovo datum narození podstatné, bližší informace zde neuvádím, podobnČ jako neuvádím zdroje pro všeobecnČ známé údaje o letech narození jednotlivých matematikĤ. 2 V této þásti þerpám zejména z poznámek k nČmeckému vydání Ars Conjectandi z roku 1899 (viz [1]).

141


1.7.2015 11:39:29

poþtu. Díky svým vČdeckým úspČchĤm, z nichž v tomto pĜíspČvku pĜipomeneme jeho dílo v teorii pravdČpodobnosti, se v roce 1699 stal þlenem paĜížské Akademie vČd. Jakob Bernoulli se zaþal otázkami z teorie pravdČpodobnosti zabývat již v letech 1679 až 1685, pĜiþemž vydání Ars Conjectandi bylo oznámeno v Histoire del’Académie des sciences de Paris v roce 1705 a v Journal de Scavans v roce 1706 (viz [1, str. 141]). Dílo však zĤstalo nevydáno celých osm let po smrti autora, neboĢ jak JakobĤv bratr Johan, tak jeho synovec Nikolas se k vydání díla nemČli. Nikolas se odvolával na své dosud nevelké zkušenosti a z toho plynoucí nedostateþnou erudici, kterou by k vydání takového díla potĜeboval. Navíc sám vydal práci, v níž ukázal využití poþtu pravdČpodobnosti v otázkách práva. Nakonec se však v roce 1713 odhodlal témČĜ dokonþené dílo svého strýce vydat.

3 Ars Conjectandi – UmČní odhadu (1713) Ian Hacking (viz [3]) tvrdí, že název díla Jakoba Bernoulliho zĜejmČ odkazuje na starší dílo o logice, Ars Cogitandi. Podle jeho interpretace je zjevné, že umČní odhadu (ars conjectandi) nastupuje tam, kde umČní myslet (ars cogitandi) konþí (viz [3, str. 145]). Bernoulliho Ars Conjectandi je rozdČleno na pČt þástí, z nichž poslední je pĜílohou k výkladu pĜedchozích þtyĜ kapitol. První þást obsahuje komentovaný výklad díla Christiaana Huygense a do þeštiny ji z latiny pĜeložil Karel Maþák (viz [6]). Sestává z Huygensových tvrzení a Bernoulliho poznámek, které tvoĜí pĜibližnČ tĜetinu této þásti spisku. Jejím tématem je pĜedevším otázka dČlení sázky pĜi nedokonþených partiích hazardních her. Druhý díl Bernoulliho díla zpracovala ve své diplomové práci Pavla Klusáþková (viz [5]). Z dnešního hlediska je pozoruhodné, že obsahuje kombinatorické kategorie permutace, kombinace a variace jak s opakováním i bez opakování bez vČtších odchylek od dnešní klasifikace, aþ jsou uvedeny pod jinými názvy. Ve tĜetím díle Bernoulli ukazuje použití vzorcĤ z dílu pĜedchozího na pĜíkladech rĤzných hazardních her. Tyto pĜíklady na sebe þásteþnČ navazují a problém pĜedstavuje právČ použití rĤzných her, jejichž pravidla jsou dnešnímu bČžnému þtenáĜi málo známá. ýtvrtý díl je vČnován užití dĜíve vyložené teorie a podrobnČji se mu vČnuji v samostatném oddíle. RelativnČ samostatnou pĜílohu k Ars Conjectandi pĜedstavuje pomČrnČ dlouhý dopis pĜíteli, jehož délka odpovídá délce þtvrté kapitoly a v nČmž se Bernoulli zabývá využitím teorie pravdČpodobnosti pĜi tenise. 3.1

Ars Conjectandi, díl 4: užití vyložené teorie

Celý název tohoto dílu zní Užití dĜíve vyložené nauky ve vztazích obþanských, mravních a hospodáĜských. Je rozdČlen do pČti kapitol: I. II.

Úvodní poznámky o jistotČ, pravdČpodobnosti, nutnosti a náhodnosti vČcí [jevĤ]. Jistota a domnČnka. UmČní odhadu. DĤvody pro dĤkaz domnČnky. NČkteré k tomu pĜíslušné vČty. III. RĤzné druhy dokazování; odhad jejich váhy pro výpoþet pravdČpodobnosti jevĤ. IV. O dvou zpĤsobech, jimiž lze urþit poþet pĜípadĤ. Co se dá odvodit od zpĤsobu, jímž bylo pozorování vedeno. Hlavní problémy s tím spojené a další záležitosti. V. ěešení pĜedchozího problému.

Významný podíl zaujímá v této þásti filosofický rozbor situace. ýtvrtá þást Ars Conjectandi zaþíná rozborem významu pojmĤ souvisejících s pravdČpodobností. Zde najdeme Bernoulliho definici pravdČpodobnosti: „PravdČpodobnost je stupeĖ jistoty a liší se od úplné jistoty tak, jako se þást liší od celku.“ (viz též [7], str. 133) PĜitom ze dvou jevĤ je

142


1.7.2015 11:39:29

pravdČpodobnČjší ten, jehož pravdČpodobnost je urþena vČtším dílem jistoty.3 Jako možné lze podle Bernoulliho oznaþit takové jevy, jejichž pravdČpodobnost je (Ĝeþeno dnešním slovníkem) nenulová. MorálnČ jisté jsou dle Bernoulliho takové jevy, jejichž pravdČpodobnost se blíží jistotČ, zatímco jako morálnČ nemožné oznaþujeme ty jevy, jejichž pravdČpodobnost je rovna tomu, co jevu morálnČ jistému chybí do jistoty, tedy napĜíklad: je-li morálnČ jistý jev, jehož pravdČpodobnost je 0,999, pak jako morálnČ nemožný oznaþujeme jev, jehož pravdČpodobnost je 0,001. Volbu þísla 0,999, potažmo 0,001, Bernoulli nezdĤvodĖuje. U jevĤ nutných lze rozlišit více druhĤ. Nutnost jejich nastoupení mĤže být fyzikální (hoĜení, zatmČní MČsíce), hypotetická (jako dĤsledek nČjakého jevu musí nastat jiný), þi dohodnutá (pokud se hráþi dohodnou, že padne-li jednomu z nich šestka, vyhrává, pak musí vyhrát, pokud mu šestka padne). Náhodné je to, co nemusí být dnes ani v budoucnu a co nemuselo být ani v minulosti. V tomto smyslu, podotýká Bernoulli, není poþasí náhodné, neboĢ závisí na dČjích v atmosféĜe. Z tohoto pohledu není poþasí o nic více náhodné než to, zda nastane þi nenastane zatmČní MČsíce. Je tedy vidČt, že to, co se nám jako náhodné jeví, ve skuteþností vĤbec náhodné není. ŠtČstí a smĤla, to jsou podle Bernoulliho pojmy, které vyjadĜují to dobré nebo špatné, co se nám stane, ale pouze v urþitých pĜípadech. O štČstí hovoĜíme v pĜípadČ, že je vysoce nepravdČpodobné, že se nám stane dobrá vČc, zatímco o smĤle mluvíme, je-li vysoce nepravdČpodobné, že se nám stane špatná vČc. Ve druhé kapitole tohoto dílu Bernoulli vysvČtluje, kdy a jak lze pravdČpodobnost urþit. Zejména nelze urþit pravdČpodobnost jevĤ, o nichž s jistotou víme, zda nastanou þi nenastanou. Bernoulli uvádí jako pĜíklad zatmČní MČsíce: není možné, aby astronom Ĝekl, že bČhem nČjakého úplĖku bČhem roku nastane þi nenastane zatmČní, protože ví (a tedy nedomnívá se), bČhem kterého úplĖku k zatmČní MČsíce dojde. K urþení pravdČpodobnosti pak nestaþí jen jeden zpĤsob dĤkazu; navíc musíme vzít v úvahu nejen ty skuteþnosti, které hovoĜí ve prospČch naší domnČnky, nýbrž také skuteþnosti, které hovoĜí proti naší domnČnce. K dĤkazu všeobecných vČcí lze použít všeobecné dĤvody, avšak k vyslovení domnČnky o individuálních skuteþnostech je potĜeba pĜedložit dĤvody individuální. U vČcí pochybných a nejistých je pak potĜeba poþkat, až se více rozjasní. NČkdy však, Ĝíká Bernoulli, je tĜeba konat; tehdy vybíráme to, co je vhodnČjší a bezpeþnČjší. V této souvislosti je zajímavé sledovat, jak se Bernoulli vyrovnává s pojmem pravdČpodobnosti. Je tĜeba mít na pamČti, že právČ Ars Conjectandi je jedním z prvních pokusĤ pravdČpodobnost exaktnČ popsat. Proto také uvádí Bernoulli pĜíklady ze života: mĤžemeli si vybrat, zda vyskoþíme z hoĜícího domu ze stĜechy domu þi z okna v prvním patĜe, co si vybereme? Jak podotýká Bernoulli, ani jedno není bez rizika, ale výskok z prvního patra se jeví na první pohled jako výhodnČjší. Není tedy pĜekvapující, že dále Bernoulli v souvislosti s výpoþty pravdČpodobnosti varuje pĜed pĜeceĖováním jednotlivých vlivĤ.

3 Zde Bernoulli podotýká, že jako pravdČpodobné v bČžné Ĝeþi oznaþujeme jevy, jejichž pravdČpodobnost je výraznČ vČtší než jedna polovina, zatímco jako nepravdČpodobné oznaþujeme ty jevy, jejichž pravdČpodobnost je naopak výraznČ menší než jedna polovina.

143


1.7.2015 11:39:30

Podle Bernoulliho je navíc dĤležité si uvČdomit, že lidské þiny nelze hodnotit pouze podle úspČšnosti, neboĢ to, co se jevilo jako pošetilé, mĤže vyústit v úspČch a naopak. Ve tĜetí kapitole Bernoulli rozebírá možné zpĤsoby dokazování, a to na základČ slovního rozboru konkrétních situací. Zaþíná také propojovat váhu jednotlivých dĤkazĤ a þetnost jejich výskytu s celkovou pravdČpodobností. V tom pokraþuje také v kapitole þtvrté a páté, þímž se dostává k formulaci zákona velkých þísel, který byl klíþový k tomu, aby bylo možné dát výsledky þetných pozorování do souvislosti s oþekávanou pravdČpodobností.

4 ZávČr Klasická práce Jakoba Bernoulliho, historie matematiky pomáhá pĜi výuce osvČtlit nČkteré základní pojmy a pĜispívá k jejich lepšímu pochopení. ýtvrtá þást Bernoulliho Ars Conjectandi umožní dnešnímu þtenáĜi nahlédnout do úvah o povaze pravdČpodobnosti a snad i osvČtlit, v þem se uvažování v ostatních oblastech matematiky liší od uvažování v teorii pravdČpodobnosti. Literatura [1] Bernoulli J.: Wahrscheinlichkeitsrechnung (Ars Conjectandi), Wilhelm Englemann, Leipzig, 1899. [2] Barner K.: Das Leben Fermats, In: Michael Toepell (ed.): Mathematik im Wandel 4, Franzbecker, Hildesheim, 2009, str. 101–114. [3] Hacking I.: The Emergence of Probability, Cambridge University Press, Cambridge, 1975. [4] Hald A.: A History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750, John Wiley and Sons, Hoboken, NJ, 2003. [5] Klusáþková P.: Poþátky kombinatoriky v díle J. Bernoulliho Ars Conjectandi (diplomová práce, vedoucí Pavel Šišma), PĜírodovČdecká fakulta MU, Brno, 2003. [6] Maþák K.: Poþátky teorie pravdČpodobnosti, Prometheus, Praha, 1997. [7] Saxl I.: Filosofické interpretace pravdČpodobnosti, In: JindĜich BeþváĜ, Eduard Fuchs (ed.): Matematika v promČnách vČkĤ. III., Výzkumné centrum pro dČjiny vČdy, Praha, 2004. str. 132–155. [8] Todhunter I.: A History of Mathematical Theory of Probability from the Time of Pascal to that of Laplace, MacMillan and Co., Cambridge and London, 1865. Adresa Mgr. Helena Durnová, Ph.D. Katedra matematiky Pedagogická fakulta Masarykova univerzita v BrnČ PoĜíþí 31 603 00 Brno e-mail: [email protected]

144


1.7.2015 11:39:30

FERMATOVA METODA MAXIM A MINIM ANNA KALOUSOVÁ Abstract: In the 17th century, the problems related to differential and integral calculus (such as properties of the tangent and the center of gravity, or the rectification and quadrature of curve) were studied by the then leading mathematicians. They used some methods that preceeded the methods of Newton and Leibniz. One of the most important mathematicians of that epoch, Pierre de Fermat, is considered to be a co-founder of analytic geometry, differential and integral calculus, number theory and probability theory. In this paper, we describe Fermat's method of maxima and minima.

1 Úvod V 17. století se mnoho velkých matematikĤ zajímalo o úlohy, které dnes Ĝešíme užitím diferenciálního a integrálního poþtu, jako je tĜeba konstrukce teþny ke kĜivce, hledání tČžištČ obrazce nebo tČlesa, délka kĜivky, obsah plochy ohraniþené nČjakými kĜivkami apod. Užívali metody, z nichž mnohé už dnes neznáme, ale které byly dĤležité právČ pro vytvoĜení diferenciálního a integrálního poþtu. Pierre de Fermat patĜil k nejvČtším matematikĤm této doby, i když vystudoval právo a ne matematiku. Ta pro nČj byla jen zábavou. PĜesto vytváĜel nebo spoluvytváĜel Ĝadu nových matematických oborĤ (analytická geometrie, teorie pravdČpodobnosti, teorie þísel, …). Metodu maxim a minim používal nejen k nalezení maxim þi minim algebraických výrazĤ, ale také napĜ. ke konstrukci teþen ke kĜivkám, k výpoþtu tČžištČ parabolického konoidu a k hledání inflexních bodĤ kĜivky.

2 Pierre de Fermat 2.1

Život

Pierre de Fermat se narodil v Beaumont-de-Lomagne (département Tarn-et-Garonne), jeho otcem byl Dominique Fermat, zámožný obchodník s kĤžemi. Totožnost matky stejnČ jako pĜesné datum narození Pierra de Fermata neznáme. Dominique Fermat byl totiž dvakrát ženat, nejprve s Françoise Cazeneuve (alespoĖ do roku 1603), poté s Claire de Long (oženil se pĜed rokem 1607), a v obou manželstvích se narodili synové pokĜtČní Pierre. Jeden z nich (pravdČpodobnČ ten starší) v dČtském vČku zemĜel. Fermat studoval právo v Toulouse, potom v Orléans, kde v roce 1631 získal titul bakaláĜe obþanského práva. Mezitím žil urþitý þas v Bordeaux, kde se stýkal s vČdci a právníky z okruhu Jeana d’Espagneta, presidenta Parlement de Bordeaux a pĜítele Françoise Vièta, a jeho syna Étienna, s nímž ho pojil zájem o matematiku. Seznámil se zde také s matematikem Jeanem de Beaugrandem. V roce 1631 se usadil v Toulouse, kde si koupil úĜad soudního rady; od té doby se psal de Fermat. V tomtéž roce se oženil se svou vzdálenou sestĜenicí Louisou de Long, mČli 7 dČtí. V zamČstnání prošel obvyklým postupem, pĤsobil nejprve v obþanskoprávním senátu, poté ve vyšetĜovacím, trestním a nakonec byl jmenován do velkého senátu (Grande Chambre). V roce 1642 se stal také þlenem edikto145


1.7.2015 11:39:30

vého senátu (Chambre de l'Édit1) sídlícího v Castres. TĜi dny pĜed smrtí zde vynesl poslední rozsudek. ZemĜel 12. ledna 1655. 2.2

VČdecká práce

Fermat byl velmi vzdČlaný, ovládal šest jazykĤ (francouzštinu, okcitánštinu2, španČlštinu, italštinu, latinu a Ĝeþtinu), psal latinské básnČ, zajímal se o filologii, o fyziku a hlavnČ miloval matematiku. Je známý pĜedevším díky své Velké (nČkdy nazývané Poslední) vČtČ, jejíž dĤkaz trápil matematiky nČkolik století. Díky své profesi byl finanþnČ dostateþnČ zajištČn, matematika byla zábavou, které se vČnoval ve volných chvílích. Své výsledky témČĜ nikdy nepublikoval, psal je jen jako poznámky na okraji stránek knih, které þetl, nebo v dopisech významným matematikĤm (Marin Mersenne, Gilles Personne de Roberval, Jean de Beaugrand, Étienne Pascal, pozdČji i Blaise Pascal, René Descartes, Pierre de Carcavi, John Wallis, Christiaan Huygens, ...), ve kterých je nabádal, aby vyĜešili problém, jehož Ĝešení on už znal. O jeho matematickém vzdČlání nejsou zprávy, bČhem svého pobytu v Bordeaux však urþitČ do hloubky studoval dílo Françoise Vièta (1540–1603). Po FermatovČ smrti vydal roku 1670 jeho syn Samuel Diophantovu Aritmetiku doplnČnou otcovými poznámkami a v roce 1679 sérii þlánkĤ a výbČr z korespondence pod názvem Varia opera mathematica. V roce 1843 bylo rozhodnuto, že budou vykoupeny všechny Fermatovy rukopisy, které se podaĜí dohledat, a bude vydáno kompletní Fermatovo dílo. Ale i to se zkomplikovalo, nČkteré získané rukopisy byly prodány soukromým sbČratelĤm. Nakonec se v roce 1881 Paul Tannery a Charles Henry pustili do vyhledávání Fermatových rukopisĤ; ty, které se jim podaĜilo shromáždit, vydali v letech 1891–1912. V tĜetím díle pĜipojili i pĜeklady latinsky psaných Fermatových dČl do francouzštiny. Oblast Fermatových matematických zájmĤ byla velmi široká. Velký vliv na nČj mČl François Viète, od nČhož pĜevzal nejen znaþení, ale také myšlenku, že lze pomocí algebry Ĝešit problémy z geometrie. V roce 1636, když se pokoušel rekonstruovat ztracený ApolloniĤv spis Plane loci, vytvoĜil systém analytické geometrie podobný tomu, který pĜedstavil René Descartes (1596–1650) v Geometrii vydané v roce 1637. V roce 1654 se na Fermata obrátil Blaise Pascal (1623–1662) s problémem, jak rozdČlit výhru mezi hráþe, když hra musela být pĜedþasnČ ukonþena. Diskusí o tomto problému položili základy teorii pravdČpodobnosti. Fermat se zabýval také teorií þísel, ale v této oblasti zĤstal ve svém zkoumání osamocen. Pro jeho souþasníky toto téma nebylo zajímavé. Možná právČ proto jsou dnes s Fermatovým jménem spojeny právČ pojmy z teorie þísel (Fermatova þísla, Malá Fermatova vČta, Velká Fermatova vČta, ...). Nemohl opominout ani velké téma oné doby, tedy otázky související s diferenciálním poþtem, k jejichž Ĝešení používal metodu maxim a minim.

1 Tyto senáty existovaly ve Francii v 17. století. Sestávaly ze stejného poþtu katolíkĤ a reformovaných. Jejich úkolem bylo dbát na dodržování práv hugenotĤ, která jim zaruþoval Edikt nantský (vydaný roku 1598 JindĜichem IV.). Chambres de l'Édit byly zrušeny v roce 1669 Ludvíkem XIV. 2 Okcitánština (francouzsky occitan, resp. langue d’oc) je románský jazyk používaný v jižní Francii a pĜilehlých územích ve ŠpanČlsku, Monaku a Itálii. Ve stĜedovČku se v jižní Francii používalo slovo oc pro vyjádĜení ano, zatímco ve Francii severní se používalo slovo oil (pozdČji se zmČnilo na dnes používané oui). Z toho pocházelo oznaþení tČchto jazykĤ langue d’oc, resp. langue d’oil. Okcitánie (tedy oblast, ve které se hovoĜilo okcitánsky) byla k francouzskému království pĜipojena ve 13. století po kĜížové výpravČ proti albigenským (katarĤm). Dnes se jeden z regionĤ na jihu Francie jmenuje Languedoc-Roussillon.

146


1.7.2015 11:39:30

3 Metoda maxim a minim 3.1

PĜedstavení metody

Fermat ve [2] vysvČtluje svou metodu takto: NechĢ a je nČjaká neznámá, která má jednu, dvČ þi tĜi dimense. VyjádĜí se množství v a (dnes bychom Ĝekli, že máme funkci promČnné a), které maximalizujeme nebo minimalizujeme pomocí výrazĤ, které mohou být libovolného stupnČ. Nahradíme promČnnou a výrazem a + e (neĜíká, jestli je e kladné nebo záporné), dosadíme a získaný výraz prohlásíme za adekvální pĜedchozímu. Fermat nevysvČtluje, co tento pojem znamená, jen se odvolává na Diofanta, který jej také použil. VČtšinou se interpretuje jako doþasná rovnost. Dnes bychom pravdČpodobnČ Ĝekli, že se rovnají limity tČchto výrazĤ pro e jdoucí k nule. Z obou stran (adekvality) odstraníme spoleþné výrazy. Všechny výrazy na obou stranách (adekvality) teć obsahují e v rĤzných mocninách. VydČlíme je e nebo mocninou e tak, aby se v nČkterých výrazech už e nevyskytovalo. Odstraníme ty výrazy, které stále ještČ obsahují e. ěešením poslední rovnice získáme hodnotu neznámé a, která dává maximum nebo minimum. Následuje pĜíklad. NechĢ je pĜímka (mínČno úseþka) AC rozdČlena v bodČ E tak, aby souþin | AE |  | EC | byl maximální. Položme | AC |  b a oznaþme a délku jedné z þástí. Délka druhé pak bude b  a a souþin obou þástí, jehož maximum hledáme, bude ba  a 2 . NechĢ je nyní délka první þásti rovna a  e, délka druhé potom bude b  a  e a souþin obou þástí ba  a 2  be  2ae  e 2 . To musí být adekvální pĜedchozímu (tj. ba  a 2 ). Když odstraníme spoleþné výrazy (tedy ba  a 2 ), máme be adekvální 2ae  e 2 . Po vydČlení e získáme b adekvální 2a  e. Odstraníme e a vyjde b adekvální 2a. Souþin bude maximální, jestliže b a  . Fermat na závČr dodává, že nelze najít obecnČjší metodu3. Podobným zpĤsobem 2 hledá v [4] bod B na úseþce AC takový, že je maximální souþin | AB |2  | BC | . 3.2

Nalezení teþny ke kĜivce

Fermat používá metodu maxim a minim též k nalezení teþen k rĤzným kĜivkám. V [2] popisuje postup, jak nalézt teþnu k parabole. Podobným zpĤsobem konstruuje také teþnu k elipse v [4] a ke kisoidČ, NikomédovČ konchoidČ a cykloidČ v [6]. Popíšeme zde konstrukci teþny k parabole. MČjme parabolu s vrcholem D, na ní bod B, kterým vedeme teþnu. Ta nechĢ protíná osu paraboly v bodČ E. Z bodu B spustíme kolmici k ose paraboly, prĤseþík oznaþíme C. Na úseþce BE zvolíme v blízkém okolí bodu B libovolnČ4 bod O, z nČj opČt spustíme kolmici k ose paraboly, prĤseþík s osou oznaþíme I. Z definice paraboly je zĜejmé, že | CD |  | BC |2 . Protože bod O leží vnČ paraboly, zĜejmČ platí | DI |  | OI |2 , a tedy

| CD | | BC |2  . Z podobnosti trojúhelníkĤ BCE | DI | | OI |2

3

Il est impossible de donner une méthode plus générale. Podobná vyjádĜení najdeme u Fermata þastČji. To je možná jeden z dĤvodĤ, proþ Descartes pozdČji napsal: Monsieur Fermat est Gascon, moi pas. (Pan Fermat je GaskonČc, já ne.) Oznaþením GaskonČc chtČl vyjádĜit, že Fermat je chvastoun. 4 Fermat píše: Si l’on prend sur la droite BE un point quelconque O … Neklade tedy podmínku na blízkost bodĤ B a O ani na polohu bodu O na úseþce BE. Pokud by bod O ležel na opaþné polopĜímce, úvahy by byly podobné, jen bychom museli položit |CI| = – e. Požadavek na blízkost bodĤ B a OFermat mlþky pĜedpokládá.

147


1.7.2015 11:39:30

a OIE plyne, že

| BC |2 | CE |2  , a dosazením do pĜedchozí nerovnosti získáme | OI |2 | IE |2

| CD | | CE |2  . Položme | CD |  d , | CE |  a a | CI |  e . Potom | DI | d  e, | IE | a  e | DI | | IE |2 a když dosadíme do pĜedchozí nerovnice, je d a2 . ObČ strany nerovnice vy 2 d  e a  e 2  2ae násobíme spoleþným jmenovatelem a získáme da 2  de 2  2dae  da 2  a 2e . Nyní položíme obČ strany nerovnosti sobČ adekvální, odstraníme spoleþné výrazy (tedy da²) a vydČlíme e. Získáme de  a 2 adekvální 2da . Odstraníme výraz s e (tedy de) a zbude nám a 2  2da , neboli a  2d (pĜípad, že a  0 , Fermat ani nezmiĖuje). Vzdálenost prĤseþíku teþny s osou paraboly (bod E) od bodu C je tedy dvojnásobkem vzdálenosti bodu C od vrcholu paraboly D. Teþna k parabole je urþena bodem dotyku B a bodem E. 3.3

Další použití metody maxim a minim

V [3] Fermat používá metodu maxim a minim k nalezení tČžištČ parabolického konoidu. V [5] hledá kužel s maximálním povrchem, který je vepsaný do dané koule. Podobnou úlohu, totiž nalezení válce s maximálním povrchem, který je vepsaný do dané koule, Ĝeší v [7]. V [6] používá tuto metodu k urþení inflexního bodu (podle Fermata bodu, kde se „mČní zakĜivení”5) kĜivky. Tvrdí, že teþna k dané kĜivce v tomto bodČ svírá se svislou osou (kartézského souĜadného systému, v obvyklém znaþení je to osa y) nejmenší úhel ze všech teþen vedených body nad, resp. pod inflexním bodem6 (tedy v jistém okolí inflexního bodu). Toto je zĜejmČ pravda (pro diferencovatelné funkce), když se rostoucí funkce v inflexním bodČ mČní (s rostoucím x) z konvexní na konkávní, resp. když se klesající funkce v tomto bodČ mČní z konkávní na konvexní. PĜíkladem mĤže být funkce y  sin x. V opaþném pĜípadČ (napĜ. y  x 3 ) je naopak (pokud uvažujeme ostrý úhel) tento úhel maximální. Fermat sám ukazuje jen zpĤsob hledání inflexního bodu u klesající funkce, která se mČní z konkávní na konvexní. Uvádí, že nepopisuje všechny pĜípady, jenom ukazuje zpĤsob hledání inflexního bodu.7

4 Spory kolem metody maxim a minim Když byla v roce 1637 vydána Descartesova Geometrie, vyjádĜil Fermat údiv nad tím, že v ní není nic o metodČ maxim a minim. Oznámil bez dĤkazu pravidlo pro Ĝešení problémĤ touto metodou (viz [2]). Descartes byl zasažen na citlivém místČ. Uplatnil Fermatovo pravidlo na hledání nejdelší úseþky ze všech, které vedou z pevnČ zvoleného bodu do bodu na kĜivce v þásti, která je konvexní vzhledem k tomu pevnému bodu, a dostal absurdní výsledek. Z toho vyvodil, že Fermatova metoda je nepĜesná. Fermata se 5

Fermat píše: Soit la courbe AHFG dont la courbure change par exemple au point H … A pokraþuje: Menez la tangente HB, l'ordonnée HC; l'angle HBC sera le minimum entre tous ceux que la tangente fait avec l'axe ACD, qu'elle soit au-dessous ou au-desus du point H, comme il est facile de le démontrer. 7 Nous ne poursuivons pas tous les cas, nous indiquons seulement le mode de recherche, les formes des courbes variant indéfiniment. 6

148


1.7.2015 11:39:31

zastal Roberval, který odpovČdČl, že se nejedná o maximum ve smyslu, jak je používá Fermat. Vzplanula válka slov, ve které mČl své zastánce jak Fermat, tak Descartes. Spor pozdČji popsal napĜ. Jean-Marie Duhamel (1797–1872) v [1]. Fermat na Descartesovy výhrady reagoval tím, že znovu (a pĜesnČji) popsal svou metodu v [8]. Tentokrát nepoužívá pojem adekvality a píše, že na metodu, jak hledat minimum a maximum, pĜišel pĜi studiu Viètova díla. Minima a maxima jsou totiž jedineþná8 (v následujícím smyslu). NechĢ (spojitá) funkce f nabývá v bodČ a svého maxima M. Rovnice f ( x )  M má v urþitém okolí bodu a jediné Ĝešení, totiž a. Pro hodnotu Z „o málo“ menší než M je rovnice f ( x )  Z „dvojznaþná“ (ambiguë), neboĢ existují body b  a a c  a , ve kterých f (b) f ( c) Z . Následuje pĜíklad uvedený v 3.1. Jak rozdČlit úseþku AC v bodČ E tak, aby souþin | AE |  | EC | byl maximální? PĜipomeĖme, že jsme položili | AC |  b a | AE |  a , souþin b2 b a nastává pro a  . Když chceme úseþku AC 2 4 b2 rozdČlit v bodČ E tak, aby souþin byl roven kladnému Z, které je menší než , dostá4 váme na úseþce AC dva rĤzné body, které splĖují tuto podmínku. Oznaþme a, resp. e vzdálenosti tČchto bodĤ od bodu A. Platí, že ba  a 2  Z be  e 2 , tedy ba  be  a 2  e 2 , a po vydČlení a  e získáme b a  e (pĜipomeĖme, že a  e ). Zvolíme-li hodnotu vČtší b2 než Z (ale menší než ), budou se þísla a a e lišit ménČ než v pĜedchozím pĜípadČ. ýím 4 vČtší bude hodnota souþinu, tím menší bude rozdíl a  e , až pro maximum bude nulový b (protože maximum je jedineþné), tedy a e . 2 V dalším pĜíkladu hledáme na úseþce AC bod E tak, aby souþin | AE |2  | EC | byl maximální. Položíme-li | AE |  a, | AC |  b , maximalizujeme výraz a 2 (b  a )  a 2b  a 3 . PodobnČ jako v pĜedchozím pĜípadČ platí, že pro hodnotu menší, než je ta maximální, existují na úseþce AC dva body, ve kterých je a 2b  a 3 rovno této hodnotČ. Vzdálenosti tČchto bodĤ od bodu A zase oznaþíme a a e. Platí a 2b  a 3  e 2b  e3 , a tedy a 2b  e 2b a 3  e3 . Po vydČlení a  e získáme ab  eb  a 2  ae  e2 . Položíme a  e (maximum je jedineþné) a získáme 2ba  3a 2 , neboli 2b  3a . je tedy ba  a 2 . Maximum je rovno

Protože a i e jsou neznámé hodnoty, nic nebrání tomu, abychom vzdálenost druhého bodu od A oznaþili a  e namísto e, tím bude rozdíl vzdáleností (kterým je tĜeba dČlit) roven e. Vše je ukázáno na pĜíkladu maximalizace výrazu b 2 a  a 3 . Pro kladné þíslo menší, než je maximum, existují þísla a a a  e , pro které je výraz b 2 a  a 3 (lépe b 2 x  x 3 ) roven tomuto þíslu. Platí tedy, že b 2 a  b 2 e  a 3  e3  3a 2 e  3ae2  b2a  a 3 . Ode3  3a 2 e  3ae 2 . stranČním stejných výrazĤ ( b 2 a  a 3 ) z obou stran rovnosti získáme b 2 e  Každý þlen nyní obsahuje nČjakou mocninu þísla e. Tímto þíslem vydČlíme obČ strany rovnosti. Máme b 2 e 2  3a 2  3ae . Abychom našli maximum (které je jedineþné), polo-

8 Les maxima et minima sont en effet uniques et singuliers, comme le dit Pappus et comme le savaient déjà les anciens, …

149


1.7.2015 11:39:31

žíme e  0 . Získáme b 2  3a 2 , odkud mĤžeme vyjádĜit a. Tím je vlastnČ zdĤvodnČn postup popisovaný dĜíve. Navíc není tĜeba používat trochu nejasný a pochyby vzbuzující pojem adekvality.

5 ZávČr I v pozdČjší dobČ si nČkteĜí matematici kladli otázku, jak moc si Fermat uvČdomoval, co vlastnČ jeho metoda znamená. Jeho postup se nápadnČ podobá tomu, co používáme dnes. Staþí si pĜedstavit, že všude napíšeme limitu pro e jdoucí k nule. NČkteĜí dospČli k názoru, že Fermat vynalezl diferenciální poþet dĜíve než Newton a Leibniz, jiní usoudili, že tak daleko Fermat nedospČl. Tato metoda však jistČ pĜispČla k rozvoji úvah o nekoneþnČ malých veliþinách, úvah, které k vytvoĜení diferenciálního poþtu vedly. Literatura [1] Duhamel J.-M.: Mémoire sur la méthode des maxima et minima de Fermat, et sur les methods des tangents de Fermat et Descartes, Extrait de tome XXXII des Mémoires de l’Académie des Sciences, Gauthier-Villars, Paris, 1864. [2] Fermat P. de: Méthode pour la recherche du maximum et du minimum, Oeuvres de Fermat publiées par les soins de MM. Paul Tannery et Charles Henry, tome III. Gauthier-Villars et fils, Paris, 1896, str. 121–123. [3] Fermat P. de: Centre de gravité du conoide parabolique, Oeuvres de Fermat publiées par les soins de MM. Paul Tannery et Charles Henry, tome III. Gauthier-Villars et fils, Paris, 1896, str. 124–126. [4] Fermat P. de: Sur la même méthode, Oeuvres de Fermat publiées par les soins de MM. Paul Tannery et Charles Henry, tome III. Gauthier-Villars et fils, Paris, 1896, str. 126–130. [5] Fermat P. de: Appendice à la méthode du maximum et minimum, Oeuvres de Fermat publiées par les soins de MM. Paul Tannery et Charles Henry, tome III. GauthierVillars et fils, Paris, 1896, str. 136–140. [6] Fermat P. de: Sur la même méthode, Oeuvres de Fermat publiées par les soins de MM. Paul Tannery et Charles Henry, tome III. Gauthier-Villars et fils, Paris, 1896, str. 140–147. [7] Fermat P. de: Problème envoyé au R. P. Mersenne, Oeuvres de Fermat publiées par les soins de MM. Paul Tannery et Charles Henry, tome III. Gauthier-Villars et fils, Paris, 1896, str. 148–149. [8] Fermat P. de: Méthode du maximum et minimum, Oeuvres de Fermat publiées par les soins de MM. Paul Tannery et Charles Henry, tome III. Gauthier-Villars et fils, Paris, 1896, str. 131–136.

Adresa RNDr. Anna Kalousová Katedra matematiky FEL ýVUT Technická 2 166 27 Praha 6 e-mail: [email protected]

150


1.7.2015 11:39:31

MIKULÁŠ KUSÁNSKÝ A KVADRATURA KRUHU LIBOR KOUDELA Abstract: Nicholas of Cusa often used mathematics to approach rationally the domain of transcendental principles. He also wrote several purely mathematical works devoted mostly to the solution of the old-standing problem of quadrature of the circle in terms of the doctrine of coincidentia oppositorum (coincidence of opposites). His attempts to square the circle were criticized by Regiomontanus, who used thorough numerical calculations to disprove Cusanus’ results. The Regiomontanus-Cusanus controversy illustrates a profound change in mathematical thought of the late Middle Ages.

1 Úvod V roce 1533 vyšla v Norimberku kniha De triangulis omnimodis [5], která pĜedstavuje mezník v historii trigonometrie. Její autor Johannes Müller z Königsbergu (1436–1476), známČjší pozdČji jako Regiomontanus, ji napsal již v roce 1464. Norimberské vydání pĜipravil nČmecký polyhistor Johannes Schöner (1477–1547), který k uvedené knize pĜipojil obsáhlý dodatek tvoĜený nČkterými dalšími spisy z Regiomontanovy pozĤstalosti. Tento apendix tvoĜí þtyĜi kratší matematické spisy Mikuláše Kusánského (1401–1464) a jejich kritika sepsaná Regiomontanem, která sestává z nČkolika oddČlených þástí lišících se formou. Mikuláš Kusánský ve svých filosoficko-teologických dílech používal matematické pĜedstavy jako prostĜedek vyššího poznání. Intelektuální imaginace a meditace o promČnČ geometrických objektĤ v nekoneþnu umožĖují podle Kusána pĜekonávat omezení svČta vnímaného smysly. S tím je spojena pĜedstava splývání protikladĤ (coincidentia oppositorum), pĜeklenování rozdílu mezi jevy, jež jsou na materiální úrovni nesluþitelné. Typickým pĜíkladem je meditace o promČnČ oblouku kružnice v pĜímku (tedy minimalizace kĜivosti) pĜi neomezeném zvČtšování polomČru, popisovaná v prvním KusánovČ významném filosofickém spise De docta ignorantia z roku 1440. Kusánus je rovnČž autorem nČkolika þistČ matematických spisĤ, vČnovaných pĜevážnČ pokusĤm o vyĜešení kvadratury kruhu aplikováním výše uvedených myšlenek.1 Tyto spisy byly napsány v období 1445–1459. NČkteré z nich se dostaly do rukou Georga von Peuerbacha (1423–1461), významného vídeĖského matematika a astronoma, od nČhož pĜešly do vlastnictví jeho žáka Regiomontana. Ten, patrnČ na Peuerbachovu žádost, pozdČji vČnoval znaþné úsilí ovČĜení platnosti Kusánových závČrĤ [6, str. 76]. V relativnČ krátkém období na pĜelomu þervna a þervence 1464 je podrobil dĤkladnému rozboru, jehož závČry pak byly spolu s Kusánovými texty pĜipojeny k Schönerovu vydání Regiomontanova stČžejního díla De triangulis omnimodis.

1

NČmecký pĜeklad Kusánových matematických spisĤ s komentáĜem J. E. Hofmanna vyšel roku 1952 (viz [4]). V þeské literatuĜe vČnoval Kusánovu matematickému dílu pozornost JiĜí Fiala, který se v þlánku [3] zabýval Kusánovým pĜístupem k Ĝešení kvadratury kruhu v širším kontextu.

151


1.7.2015 11:39:31

PĜíloha obsahuje následující Kusánovy texty: Quadratura circuli (str. 5–9, napsaná patrnČ v období 1451–52), Dialogus de circuli quadratura (str. 10–12, z roku 1457, má formu dialogu mezi Mikulášem Kusánským a Paolem Toscanellim), k nČmu je pĜiložena Toscanelliho odpovČć Magister Paulus ad Nicolaum Cusanum Cardinalem (str. 13–14), po níž následuje Kusánova reakce Declaratio rectilineationis curvae (str. 14–15) a nakonec nedatované De una recti curvique mensura (str. 16–21, napsané zĜejmČ 1457).

2 Kusánovy pokusy o provedení kvadratury kruhu 2.1

Arkufikace úseþky v Quadratura circuli

Již od starovČku bylo známo, že sestrojit þtverec, který má stejný obsah jako daný kruh (tedy provést kvadraturu kruhu), znamená totéž jako sestrojit úseþku, která má stejnou délku jako daná kružnice (tedy kružnici rektifikovat). V prvním z uvedených spisĤ popisuje Kusánus úlohu, která je v jistém smyslu obrácená k problému rektifikace: jde o nalezení kružnice, jež má stejnou délku jako daná úseþka (Cantor [1, str. 192] nazývá takovou úlohu arkufikací úseþky).

Obr. 1. Konstrukce kružnice stejné délky, jako má daná úseþka AB Základní myšlenka spoþívá v tom, že kruh a trojúhelník tvoĜí v jistém smyslu extrémy. Uvažujeme-li posloupnost pravidelných n-úhelníkĤ se stejným obvodem, stojí trojúhelník na jejím poþátku (n = 3), zatímco kruh chápaný jako mnohoúhelník s nekoneþným poþtem vrcholĤ na jejím konci. Rozdíl polomČrĤ opsané a vepsané kružnice je v pĜípadČ trojúhelníku nejvČtší a souþet nejmenší; v pĜípadČ kruhu obČ kružnice splývají a rozdíl jejich polomČrĤ je roven nule, zatímco jejich souþet je nejvČtší. V KusánovČ pojetí se limitní pĜechod od pravidelného n-úhelníka k izoperimetrickému kruhu realizuje jednoduchou geometrickou konstrukcí. Sestrojíme rovnostranný trojúhelník CDE, jehož obvod bude rovný délce dané úseþky AB (obr. 1).2 Na úseþce CD vyznaþíme body I a K tak, aby |IK| = (1/4) |AB| a aby úseþky

2 Používám vČtšinou stejné znaþení bodĤ, jaké je v pĤvodním textu, pouze malá písmena nahrazuji v souladu se souþasnými konvencemi velkými. K odlišnému znaþení se uchyluji tehdy, když jsou v pĤvodním textu duplicitní symboly nebo jsou body oznaþovány dvojicemi písmen.

152


1.7.2015 11:39:32

CD a IK mČly spoleþný stĜed. Úseþka IK nechĢ je stranou þtverce IKML. Kružnice opsaná tomuto þtverci bude mít polomČr NO a kružnice vepsaná polomČr NG. Kružnice vepsaná trojúhelníku CDE bude mít polomČr FG a kružnice opsaná polomČr FH, pĜiþemž bod G bude stĜedem úseþky FH. Body F, G, H, které jsou zopakovány na obr. 1 vpravo, vedeme kolmice na úseþku FH. Sestrojíme úseþku TV a na ní body P a U tak, aby úseþky TV a FH byly rovnobČžné, aby body T, V ležely na sestrojených kolmicích a aby délka VP byla rovna polomČru kružnice vepsané þtverci (þi jinému pravidelnému n-úhelníku) a délka VU polomČru kružnice opsané. Z bodu G vedeme (polo)pĜímku procházející bodem P a z bodu H (polo)pĜímku procházející bodem U; jejich prĤseþík oznaþíme Q. Bodem Q vedeme rovnobČžnČ s FH úseþku SR, jejíž stĜed je Z, pĜiþemž S leží na HT a R na FV. Kružnice se stĜedem R procházející bodem Q pak bude mít podle Kusána délku rovnou délce dané úseþky AB. Oznaþíme-li polomČr kružnice vepsané a kružnice opsané pravidelnému n-úhelníku symboly rn , resp. Rn , a polomČr hledaného izoperimetrického kruhu r, spoþívá hlavní nesnáz Kusánova postupu v pĜedpokladu, že r  rn r r  n 3 . R3  r R3  rn Pro n = 4, což odpovídá výše uvedené konstrukci, vychází hodnota   3,15149 ; s rostoucím n by se výsledek více blížil skuteþné hodnotČ. 2.2

Rektifikace kružnice v Dialogus de circuli quadratura

V textu Dialogus de circuli quadratura je výklad metody kvadratury kruhu prezentován ve formČ dialogu mezi kardinálem sv. Petra Mikulášem [Kusánským], biskupem brixenským, a Paolem [Toscanellim], lékaĜem florentským. V textu je rozvedena metoda popsaná ve starším KusánovČ spise De mathematicis complementis; na Paolovu žádost o bližší vysvČtlení kvadratury kruhu pĜináší Mikuláš následující konstrukci.

Obr. 2. Rektifikace kružnice BCDE Kolem bodu A opíšeme kružnici procházející body B, C, D, E, pĜiþemž úseþky BD a CE jsou navzájem kolmé. Sestrojíme dále tČtivu BC a kolem bodu A opíšeme další

153


1.7.2015 11:39:33

kružnici, jejíž prĤmČr je roven souþtu polomČru první kružnice a délky tČtivy BC, tedy |FG| = |AB| + |BC|. Druhé kružnici vepíšeme rovnostranný trojúhelník IKL. Mikuláš tvrdí, že obvod trojúhelníka IKL je roven délce kružnice BCDE. Podle Hofmanna [4, str. 240] není dialog úplnou fikcí, ale reflektuje skuteþné námitky, které proti uvedenému Ĝešení vznesl Toscanelli. V textu Mikuláš zĜejmČ naznaþuje dĤkaz pomocí reductio ad absurdum, když tvrdí, že nahradíme-li bod C bodem N ležícím pod ním (obr. 2 vpravo), dostaneme hodnotu menší než hledaný prĤmČr, zatímco bod M ležící nad bodem C vede na hodnotu vČtší, takže abychom dostali prĤmČr vČtší kružnice, musíme k AB pĜipojit skuteþnČ tČtivu BC, což však, jak dokázal pozdČji Regiomontanus, neodpovídá skuteþnosti.

3 Regiomontanova kritika Regiomontanova reakce na Kusánovy postupy má þásteþnČ rovnČž formu dialogu, který se odehrává mezi Aristofilem, žákem a stoupencem Kusánovým, a Kritiem, jeho uþitelem. Aristofilos v úvodu dialogu pĜináší nadšenČ zprávu o vyĜešení prastarého problému kvadratury kruhu. Chvíli nechává Kritia hádat, komu se podaĜilo úlohu vyĜešit. Posléze Aristofilos prozrazuje, že jde o Mikuláše Kusánského, a popisuje výše uvedenou Kusánovu metodu (viz obr. 2). Kritias si nejprve vyjasĖuje provedení celé konstrukce. Je-li dán kruh BCDE a jeho 2 2 polomČr AB, pak je známa i tČtiva BC,3 neboĢ BC  2 AB (podle Pythagorovy vČty; Kritias/Regiomontanus odkazuje na její znČní v tvrzení 47 první knihy Eukleidových ZákladĤ). Tím je urþen i prĤmČr vČtší kružnice FJGL, která je opsána trojúhelníku IKL. RovnČž 2 2 jeho strana IL je tím pádem známa, neboĢ JL  (4 / 3) IL . (Kritias na tomto místČ demonstruje svou poþetní zbČhlost: Vezmeme-li tČtivu IJ, která je stranou pravidelného šestiúhelníka vepsaného vČtší kružnici, je podle tvrzení 15 þtvrté knihy ZákladĤ zĜejmČ 2

2

2

2

2

2 IJ  JL a odtud JL  4 IJ . Úhel  LIJ je pravý, takže IJ  IL  JL . Je tedy 2

2

2

2

2

2

IL  3 IJ a IJ  IL  JL  (4 / 3) IL .) Vezmeme-li pak úseþku, jejíž délka je rovna trojnásobku délky úseþky IL, budeme mít, platí-li KusánĤv závČr, úseþku rovnou délce kružnice BCDE. Známe-li délku obvodu kruhu, je snadné pĜejít ke þtverci stejného obsahu: nejprve na základČ tvrzení I Archimédovy knihy MČĜení kruhu sestrojíme pravoúhlý trojúhelník s jednou odvČsnou rovnou obvodu kruhu a druhou rovnou jeho polomČru. Pomocí tvrzení 14 druhé knihy ZákladĤ pak snadno pĜemČníme tento trojúhelník na þtverec a kvadratura kruhu bude dokonþena.

Pak však dialog dospČje k zásadní otázce, zda Kusánovo tvrzení je pravdivé. Kritias se nejprve zdráhá dát jasnou odpovČć, uznává výjimeþnost Kusánovy osobnosti a jeho hluboké znalosti filosofie. Aristofilos pĜipouští, že ani on sám neví, jak uvedené tvrzení dokázat. Kritias poté pĜistupuje k vysvČtlení, jak je možné pĜi ovČĜování platnosti postupovat nejen v tomto, ale i v dalších podobných pĜípadech. Jeho postup je založen na numerickém ovČĜení a opírá se o tvrzení III spisu MČĜení kruhu, které stanovuje meze pro 3 RegiomontanĤv dialog je doplnČn novým obrázkem s odlišným znaþením. Zde zachovávám znaþení z obr. 2, neboĢ popsaná metoda je stejná jako v KusánovČ textu.

154


1.7.2015 11:39:35

pomČr obvodu kruhu a jeho prĤmČru na 3

10 71

1

a 3 . Stejné meze platí pro pomČr poloviny 7

obvodu a polomČru. Zvolíme-li |AB| = 497 (jednotek délky), bude délka pĤlkružnice vČtší než 1561 a celá kružnice bude mít délku vČtší než 3122. 2

2

Nyní je AB  247 009 a BC  494 018 . Toto þíslo není druhou mocninou žádného pĜirozeného þísla, spokojíme se proto s tím, že |BC| < 703. Pak je |AB| + |BC| < 1200, 2 a tedy JL  1 440 000 . Odebereme-li z této hodnoty její jednu þtvrtinu, dostaneme odhad 2

druhé mocniny strany IL, tj. IL  1 080 000 a |IL| < 1040. Obvod uvažovaného rovnostranného trojúhelníka tedy nemĤže být vČtší než 3 x 1040 = 3120. Avšak kružnice BCDE, jak bylo Ĝeþeno, je delší než 3122, a není tedy rovna obvodu trojúhelníku IKL. Aristofilos jen váhavČ pĜipouští platnost Kritiovy argumentace, nechce vČĜit, že by se osobnost Kusánova formátu mohla mýlit. Aristofilos: Troufáš si tedy popírat tento [KusánĤv] závČr? Kritias: VpravdČ netroufám, spíše cítím povinnost. Na tomto místČ Kritias svĤj vlastní podíl snižuje a do popĜedí staví autoritu starých. Kritias: ... žádní staĜí geometĜi a aritmetikové, jejichž jsem já novodobým mluvþím, nevyslovují takový druh závČrĤ. A tedy ne mnČ, ale jim pĜisuć to, co nazveš tĜeba nelítostnou debatou nad cizí myšlenkou, anebo tĜeba sladkým pátráním po jakékoli pravdČ. [5, str. 27] Po dialogu následuje text, který tvoĜí teoretický základ Regiomontanova postupu. Jde o tĜináct úvodních tvrzení (preambulae), které mají samostatný význam. Jedenáct z nich se týká vlastností veliþin urþených pomocí mezí (pĜíkladem jsou Archimédovy meze pro pomČr obvodu kruhu a jeho prĤmČru). Dvanáctá preambula uvádí zásadní koncepþní východisko: PĜicházejíce blíže k prvotnímu pĜedmČtu našeho zkoumání, tvrdíme jistČ, že kružnice je stejného druhu jako každá jiná linie, a mezi žádnými liniemi, aĢ pĜímými þi rĤznČ zakĜivenými, není specifického rozdílu. [5, str. 37] Regiomontanus opírá své pĜesvČdþení o kinematické pojetí. Linie je generována pohybem bodu, jehož dráha mĤže být pĜímá nebo zakĜivená. StejnČ tak plocha je generována pohybem linie a tČleso pohybem plochy. V komentáĜi k možnosti porovnávat délky se Regiomontanus dovolává jednak Archiméda, který na rĤzných místech svého díla porovnává délky úseþek a obloukĤ, a jednak Ptolemaia (s odkazem na Almagest VI, 7). Má-li se vĤbec hovoĜit o pomČru dvou veliþin (jako je obvod a prĤmČr kruhu), musí jít o veliþiny stejného druhu. Jako pĤvodce pĜevládajícího pĜesvČdþení o nemožnosti porovnávat rovné a kĜivé linie uvádí Regiomontanus Aristotela (s odkazem na Kategorie4) a jeho skepsi k možnosti provést kvadraturu kruhu. Avšak tato nemožnost podle Regiomontana nikterak nevyplývá z toho, že by rovné a kĜivé þáry byly rĤzného druhu. 4

O kvadratuĜe kruhu pojednává þást VII, 7b.

155


1.7.2015 11:39:35

Poslední (tĜinácté) tvrzení této þásti textu opakuje meze pomČru obvodu kruhu k jeho prĤmČru stanovené Archimédem. RegiomontanĤv komentáĜ obsahuje obhajobu numerické metody a oprávnČnosti porovnávat délky úseþek pomocí þíselných pomČrĤ. Z toho, že pomČr ani jeho povahu (soumČĜitelnost þi nesoumČĜitelnost délek) neznáme, nemĤžeme vyvozovat, že pomČr vĤbec neexistuje. K jeho vyjádĜení mĤžeme používat dvojice mezí, což lze aplikovat obecnČ. Regiomontanus zde pĜedjímá budoucí pĜístup k Ĝešení problému rektifikace i dalších problémĤ i analytické zkoumání geometrických úloh. Zbývající þást textu je pak vČnována dĤkladnému numerickému ovČĜování dalších Kusánových výsledkĤ, vycházejícímu z výše uvedených principĤ.

4 ZávČr PĜesvČdþení o nemožnosti porovnávat délky rovných a zakĜivených linií, jehož koĜeny nacházel Regiomontanus u Aristotela, pĜetrvávalo v matematice do jisté míry až do 17. století, kdy byly provedeny první úspČšné rektifikace. Historie kvadratury kruhu v období, které následovalo, je pĜedevším historií postupného zpĜesĖování numerických aproximací þísla  , pĜi nČmž dĤležitou roli hrálo užití konvergentních þíselných Ĝad. KusánĤv imaginativní pĜístup k Ĝešení geometrických úloh obsahuje prvky, které jsou matematice cizí. Regiomontanus usiluje o oþištČní matematiky, o návrat k jasnosti starovČké geometrie, a je v tomto smyslu skuteþným dČdicem antické matematiky. De Bernart [2, str. 66] v této souvislosti vyzdvihuje RegiomontanĤv rigorózní pĜístup a jeho pevné me-todologické ukotvení. Literatura [1] Cantor M.: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Zweiter Band, 2. Auflage, B. G. Teubner, Leipzig, 1900. [2] De Bernart L.: Numerus quodammodo infinitus: per un approccio storico-teorico al dilemma matematico nella filosofia di Giordano Bruno, Ed. di Storia e Letter., 2002. [3] Fiala J.: Kusánovy krásné kvadratury, Akta Fakulty filozofické Západoþeské univerzity v Plzni, 2007, þ. 3, str. 31–46. [4] Kues Nikolaus von: Die mathematischen Schriften. Übersetzt von Josepha Hofmann mit einer Einführung und Anmerkungen versehen von Joseph Ehrenfried Hofmann, Felix Meiner Verlag, 1952. [5] Regiomontanus: Johannis de Regio Monte de triangulis omnimodis libri quinque ... acceserunt huc in calce pleraque D. Nicolai Cusani de quadratura circuli ... itemque J. de Monteregio eadem de re eleuktika hactenus a nomine publicata, Petreius, Norimbergae, 1533. [6] Zinner E.: Regiomontanus: His Life and Work, Elsevier, 1990.

Adresa Mgr. Libor Koudela, Ph.D. Ústav matematiky a kvantitativních metod Fakulta ekonomicko-správní, Univerzita Pardubice Studentská 84 532 10 Pardubice e-mail: [email protected]

156


1.7.2015 11:39:35

BENOIT MANDELBROT A JEHO FRAKTÁLNA GEOMETRIA KATARÍNA MÉSZÁROSOVÁ Abstract: In the 70's of the 20th century Benoit Mandelbrot presented his new view on the world. Mandelbrot's unusual ability of geometrical imagination has allowed him to solve mathematical problems with a non-traditional geometric approach. He has formulated the basics of the fractal geometry. The fast development of the computer industry has immediately allowed the dynamic breakthrough in the fractal geometry, especially its large applications in the different areas of science, technology and arts.

1 Úvod Z þoho pramenila úžasná Mandelbrotova schopnosĢ vidieĢ v rôznorodých oblastiach spoloþné rysy a zákonitosti, ktoré nikto iný nevidel a þakali na svoje znovuzrodenie takmer celé storoþie? V tomto þlánku zameriame našu pozornosĢ na korene, z ktorých vyrastala osobnosĢ Benoita Mandelbrota. Spomenieme najdôležitejšie osobnosti a okolnosti, ktoré formovali jeho nezvyþajnú tvorivosĢ, z ktorej þerpal v celom svojom plodnom vedeckom živote. Hlavným zdrojom informácií bude Mandelbrotova autobiografia Fraktalista. Rebelem ve vČde [1] (The Fractalist. Memoir of a Scientific Maverick). Benoit Mandelbrot zomrel v roku 2010 tesne pred poslednou revíziou autobiografie. Knihu vydala jeho manželka Aliette Mandelbrotová v roku 2012.

2

Benoit B. Mandelbrot: Fraktalista. Rebelem ve vČde

Oznaþenie rebel nosím s hrdosĢou. Žil som ako individualista a ako individualista zamýšĐam aj zomrieĢ. Rebelantom som zaþal byĢ vo chvíli, keć som sa stal dospelým. Na osamelú dráhu ma nasmerovalo moje rozhodnutie v mladosti. ([1], str. 93) Môže geometria splniĢ to, þo sĐubuje grécky koreĖ tohto slova – pravdivo meraĢ celú Zem so všetkou jej nespútanou prírodou? ([1], str. 9) Táto otázka bola mottom Mandelbrotovej mnohoroþnej práce na prvej teórii drsnosti, ktorá sa neskôr stala jednou zo zložiek krásy. ([1], str. 9) Dnes môžeme povedaĢ, že odpoveć je áno a je skrytá v Mandelbrotovom celoživotnom diele, ktoré nazval fraktálna geometria. 2.1

Detstvo v PoĐsku

Benoit B. Mandelbrot sa narodil 20. 11. 1924 vo Varšave. V jeho rodine, ktorá pochádzala z Litvy, sa miešali židovské a ruské tradície. Väþšina dediþného majetku mojich predkov pozostávala zo zbierky veĐmi ohmataných kníh. Našou rodinnou tradíciou bolo nedbaĢ na hmotný majetok a uctievaĢ namiesto toho diela mysli. ([1], str. 19) Benoit Mandelbrot vyrastal v prostredí, ktoré sa dalo oznaþiĢ za príbytok matematiky. Na rodinnej veþeri vo Varšave v roku 1930 boli aj významní matematici: Arnaud Denjoy a Paul Montel. ýestným hosĢom na rodinnej veþeri bol Jacques Hadamard, pravdepodobne najväþší francúzsky matematik tej doby. ([1], str. 23) Benoit ho považoval za svojho duchovného praotca. Benoitov otec bol od svojho brata Szolema o 16 rokov starší. Aby pomohol svojim súrodencom, musel opustiĢ štúdiá a ísĢ do uþenia. Obetavo živil rodinu rôznym obchodovaním, ale jeho nenaplnenou túžbou bolo staĢ sa vynálezcom, no získal len jeden patent. Benoitova matka bola zubárka, spomína na Ėu: V dobe keć sa ešte anestézia bežne nepoužívala, bola zubárova povesĢ najviac závislá na rýchlosti trhania 157


1.7.2015 11:39:35

zubov a ja sa dobre pamätám na matkinu silnú pravaþku a vypracovaný biceps. ([1], str. 28) Strýc Loterman vyuþoval Benoita Mandelbrota doma, až kým nenastúpil do 3. roþníka v škole. Benoit spomína: MaĢ láskavého uþiteĐa bolo bájeþné, ale strýkova neskúsenosĢ spolu s absenciou akejkoĐvek organizácie a vyuþovacích metód ma poznamenali na celý život. PohĚdal mechanickým uþením, dokonca aj abecedou a násobilkou, oboje mi do dnes robia problémy. Rozprával mi príbehy z antiky a cviþil môj mozog k nezávislosti a tvorivosti. Neustále sme hrali šach. Jeho domácnosĢ, rovnako ako otcova, bola plná máp, ja som ich študoval a zapamätával som si ich. Kto vie, možno mi šach a mapy vypestovali intuíciu, ktorá sa neskôr, keć už som bol vedcom, stala mojím najdôležitejším nástrojom. Strýcove vyuþovanie bolo prvou fázou môjho zvláštneho vzdelávania, ktoré katastrofy 20. storoþia postrkovali sem a tam a vyvolávali striedanie krátkych normálnych období s obdobiami chaosu. ... Medzery v mojom vzdelávaní našĢastie neboli nakoniec také osudné, ako by sa dalo oþakávaĢ. ([1], str. 39) Vo svojich spomienkach Mandelbrot þasto podrobne opisuje aj politickú a hospodársku atmosféru, spomína: Moji racionálni a rázni rodiþia pozorne sledovali udalosti v Nemecku a v Rusku a dospeli k názoru, že naše vyhliadky v PoĐsku sú chmúrne. PoĐsko nebola zem, ktorú moji rodiþia chceli pre svojich synov. ([1], str. 46 a 48) Benoit mal o rok mladšieho brata Leóna. Benoitov strýko Szolem bol uznávaným matematikom vo Francúzsku. V roku 1931 nasledoval Benoitov otec Szolema do Paríža a o 5 rokov za ním prišla aj jeho rodina. Nikto neovplyvnil životnú a vedeckú dráhu Benoita Mandelbrota tak významne ako jeho strýko Szolem. Po emigrácii Mandelbrotovcov do Francúzska sa Benoitova matka musela vzdaĢ svojej zubárskej praxe. 2.2

MladosĢ vo Francúzsku

Po príchode do Francúzska nastúpili Benoit aj León do miestnej základnej chlapþenskej školy. Neskôr študoval Benoit na parížskom lýceu a v þase vojny na lýceu v Tulle, kde sa Mandelbrotovci skrývali kvôli bezpeþnosti. Mandelbrot na toto obdobie spomína: Dôležitejšia ako škola bola pre mĖa knižnica. Ako neformálna knižnica slúžilo tiež katolícke kníhkupectvo. ... Do ruky sa mi dostalo aj niekoĐko zastaraných kníh o matematike. V každej z nich žiarilo množstvo ilustrácií rôznych geometrických tvarov, þo neskoršie uþebnice z princípu vynechávali. Z týchto starých kníh som si v hlave zostavil celú plejádu tvarov, þo mi potom nesmierne pomohlo v zime roku 1944, keć som sa pripravoval na veĐmi Ģažké skúšky z matematiky na Lyceé du Parc v Lyone. ([1], str. 70) Vyššia stredná škola college (študenti medzi 12 a 18 rokom) konþila bakalárskou skúškou, ktorá bola formálne prijímacou skúškou do univerzitného systému. Benoit Mandelbrot ju absolvoval ako prvý v histórii školy s vyznamenaním – summa cum laude. Jeden z dôsledkov mojej brilantne zloženej skúšky prišiel okamžite a jednoznaþne: zvýšila sa naša šanca na prežitie. Bolo to nové eso v ruke a záležalo len na tom, ako nám pomôže v zapadnutom Tulle. ([1], str. 71) Poþas okupácie v rokoch 1940–42 bol život Mandelbrotovcov stále nebezpeþnejší. Väþšina židovských rodín v Tulle sa držala pospolu, ale Mandelbrotovci, verní inštinktu konaĢ ináþ ako ostatní, sa rozhodli, že bude najlepšie sa rozdeliĢ: synovia pôjdu spolu a rodiþia inam. V tom þase sa objavil þlovek „Anjel“, pravdepodobne rabín, ktorého Benoitov otec presvedþoval, aby pomohol jeho staršiemu synovi, lebo je veĐmi nadaný. Benoit a León sa ukrývali ako uþni u nástrojára v Périgueux v blízkosti Tulle. Neskôr našli útoþisko v Lyceé du Parc v Lyone. Tam vyuþoval profesor matematiky pán Coisard. Benoit spomína: Na tabuĐu vždy napísal veĐmi dlhú úlohu, formulovanú jazykom algebry alebo analytickej geometrie, zostavenú tak, aby na jej riešenie boli potrebné absurdne zložité výpoþty. Môj vnútorný hlas tú úlohu preformuloval do jazyka geometrie. Opieral

158


1.7.2015 11:39:35

som sa o zastarané uþebnice v ktorých bolo vždy oveĐa viac obrázkov ako v knihách súþasných. V nich som sa zoznámil s rozsiahlym súborom veĐmi špecializovaných geometrických útvarov všetkého druhu. Dokázal som ich okamžite rozpoznaĢ, aj vtedy keć sa obliekali do analytického hávu, ktorý bol cudzí tak mne ako aj, myslím, ich vlastnej podstate. Zaþal som vždy rýchlym náþrtkom. ... Požadovaná algebra sa dala vždy doplniĢ neskôr. Beznádejne Ģažké problémy integrálneho poþtu sa tak dali redukovaĢ na známe tvary, vćaka ktorým bolo riešenie jednoduché. ([1], str. 82) Bolo to v zime roku 1944 keć Benoit Mandelbrot stretáva lásku svojho rozumu – geometriu. Zistil, že jeho talent myslieĢ prostredníctvom geometrických tvarov je prenikavý a spoĐahlivý. V roku 1973 sa Mandelbrot stretol so svojím bývalým profesorom Coisardom a on mu prezradil, ako sa márne snažil po veþeroch a víkendoch vyhĐadaĢ takú úlohu, ktorá sa nedá na poþkanie „geometrizovaĢ“. Nepodarilo sa mu to. OdkiaĐ sa vo mne také nadanie vzalo? Nedajú sa oddeliĢ gény od výchovy, ale urþité náznaky existujú. Szolem žil dvojaký život – matematika vo všedný deĖ a maliara v nedeĐu. Ja miešam matematiku a výtvarné umenie každý deĖ. Môj talent pre tvary dozrel vćaka všetkým komplikáciám, ktoré poznamenali moje detstvo a mladosĢ, a keby som sa vtedy nauþil rutinne zaobchádzaĢ so vzorcami, mohlo by to môj dar poškodiĢ. … Doba strávená na lýceu v Lyone mala na môj život mimoriadne hlboký a trvalý vplyv. ([1], str. 8384) Na jeseĖ roku 1944 prestúpil Mandelbrot na Lyceé Luis-le-Grand v Paríži, aby sa pripravil na prijímacie skúšky na École Normale Supérieure a na École Polytechnique. Obidve prijímacie skúšky boli úmyselne veĐmi Ģažké, aby priemer nad 16 bodov z 20 obvykle zvládol len ten najlepší. Vtedy sa hovorilo, že rekord ustanovil okolo roku 1885 Jacques Hadamard, dedkov najváženejší hosĢ na pamätnej rodinnej veþeri vo Varšave a môj duchovný vzor. ([1], str. 97) Mandelbrot dosiahol na prijímacích skúškach na École Polytechnique 19,75 bodu. UþiteĐ matematiky z lýcea sa ho pýtal, ako sa mu podarilo tak rýchlo vypoþítaĢ trojný integrál. Mandelbtot odpovedal: Videl som, že je to objem gule. Najprv sa ale musia zmeniĢ dané súradnice na iné, ako to podĐa mĖa naznaþovala vnútorná geometria úlohy. ([1], str. 97) Benoit Mandelbrot prospel na obidvoch školách a musel sa rozhodnúĢ. Vybral si École Polytechnique, kde bol dlho jedným z mála zahraniþných študentov. ByĢ zahraniþným študentom, ktorý sa nemusel bifĐovaĢ, mi ohromne vyhovovalo. Vćaka tomu som získal skvelé vzdelanie v rámci širšieho uþebného programu matematických vied, rozhodne to bolo viac ako som potreboval v ćalšej fáze môjho života, v postavení postgraduálneho študenta na kalifornskom Caltechu. ([1], str. 118) Medzi uþiteĐmi matematiky na École Polytechnique boli aj Gaston Julia a Paul Lévy. Obaja Mandelbrota silne ovplyvnili. Keć som zavádzal pojmy Juliova množina a Lévyho proces vyvolávalo to len prázdne pohĐady, dnes sa však pri štúdiu fraktálov používajú dennodenne. ([1], str. 119) V roku 1917 Gaston Julia vydal prácu Mémoire sur líteration des fonctions rationnelles. Bourbakiho škola považovala knihu za príliš konkrétnu a kvôli tomu bolo jeho dielo tridsaĢ rokov prehliadané. Súbežne s Gastonom Juliom skúmal iterácie racionálnych funkcií aj Pierre Fatou. Vtedy by som si nedokázal predstaviĢ, že o 30 rokov neskôr práve tento odbor vzkriesim novými otázkami, ktoré v Ėom prebudia iskru a zaistia mu zaslúženú slávu. ([1], str. 120) Mandelbrot ich nie len vzkriesil, ale geniálne odhalil ich krásu. 2.3

Štúdium v USA

V roku 1947 profesor aplikovanej matematiky Roger Brard navrhol Mandelbrotovi, aby sa zaoberal mechanikou tekutín a aby išiel na Caltech v Pasadene (predmestí Los Angeles) študovaĢ k Theodorovi von Kármánovi. Kármán bol kúzelník, ktorý presne

159


1.7.2015 11:39:36

vedel, ako nájsĢ takú matematiku, ktorá by zvládla vysokú mieru zložitosti. ([1], str. 122) Keć prišiel Mandelbrot na Caltech, þakalo ho sklamanie, Kármán externe pôsobil v Paríži. Problematika turbulentného prúdenia zaþínala odhaĐovaĢ svoju komplikovanosĢ. K výskumu dynamiky tekutín neskôr prispela teória chaosu, vćaka nej sa Mandelbrot k tomuto odboru neskôr vrátil, aby mu pomohol vyvinúĢ koncept takzvaných multifraktálov. Prednášky zo štatistickej fyziky a termodynamiky viedol Richard Chase Tolman. Mandelbrot o Ėom píše: MožnosĢ získaĢ vedomosti od skúseného majstra ovplyvnila moju prácu po väþšinu ćalšieho života a obohatila moju diplomovú prácu. ([1], str. 127) Téma diplomovej práce sa týkala teórie vrtule, zadával ju Frank E. Marble. Na Caltechu chcel Mandelbrot robiĢ aj doktorát u Paca Axela Lagerstroma, ale po návšteve Kármána sa ich vzĢah natoĐko zhoršil, že Caltech opustil bez doktorátu. 2.4

SpäĢ vo Francúzsku. Dizertaþná práca.

V roku 1950 ako mladý študent matematiky hĐadal Benoit Mandelbrot vhodnú tému pre doktorskú dizertáciu na Parížskej univerzite (Sorbonne). Szolem navrhol Benoitovi, aby si ako tému dizertaþnej práce zobral Juliovu a Fatouovu teóriu, ktorej sa dnes hovorí kvadratická dynamika. Snažil som sa zo všetkých síl, ale rýchlo som to vzdal. VyrovnaĢ sa s kvadratickou dynamikou sa mi podarilo až po tridsiatich rokoch rozvažovania, a objavil som v nej najznámejší symbol – Mandelbrotovu množinu. ([1], str. 149) Dizertaþná práca Mandelbrota mala nakoniec dve þasti. Prvá sa týkala všeobecného zákona frekvencie výskytu slov, ktorý objavil lingvista G. K. Zipf. Druhá þasĢ sa týkala štatistickej termodynamiky. Mandelbrot spomína: V roku 1952 sa na takúto kombináciu pozeralo ako na nieþo neuvážene výstredné, navyše prvá þasĢ pojednávala o predmete, ktorý ešte neexistoval a pritom mojím hlavným cieĐom bolo vysvetliĢ Zipfov zákon. ([1], str. 150) V tom þase boli štipendiá pre postgraduálnych študentov skromné, a tak zaþal Benoit Mandelbrot pracovaĢ pre Philips Elektronics. Poradil mu to otec, ktorý þoskoro na to (v roku 1951) zomrel na rakovinu. 2.5

Postdoktorandské turné

Postdoktoradské turné zaþínal Mandelbrot na MIT v Cambridgi. Potom pokraþoval u Johna von Neumanna na IAS v Princetone (1953–1954). Nie je možné vymenovaĢ všetky veĐké osobnosti, ktoré Mandelbrota ovplyvnili. V jeho autobiografii, ktorá má 319 strán, je približne 112 mien osobností, vedcov, politikov, kolegov. O mnohých Mandelbrot hovorí s veĐkou úctou, vćakou alebo láskou. V roku 1954 sa vracia do Paríža a tam spoznáva svoju manželku Aliette. Nasledovalo veĐké ženevské turné a v roku 1957 nespokojný a netrpezlivý rebelant zaþína „skutoþný“ pracovný život vysokoškolského uþiteĐa v Lille a Paríži. Ten však trval len do roku 1958, keć prijal miesto u IBM Reasech v USA. V tomto období zaþína plodná fáza Mandelbrotovho života, v ktorej ho þakali najväþšie zázraky objavovania fraktálov. Benoit Mandelbrot pracoval v IBM 35 rokov a zároveĖ pôsobil na Yale a Harvarde.

3 Mandelbrotova fraktálna geometria Už v 19. storoþí sa matematici zaþali zaoberaĢ veĐmi þlenitými útvarmi. Vznikali konštrukcie „podivných“ útvarov, ako napríklad v roku 1883 Cantorovo diskontinum, 1890 Peanova krivka, 1904 Kochova krivka, 1918 Juliove množiny. Tieto konštrukcie boli niektorými matematikmi prijímané s odporom, boli považované za patologické a nazývané matematické „monštrá“. Ale Mandelbrot odhalil ich tajomstvo a ukázal, že logika viedla matematikov bližšie ku skutoþnosti, než sami tušili. Matematické „monštrá“ sú vlastne limity

160


1.7.2015 11:39:36

postupností množín, ktoré sa vyznaþujú opakovaním toho istého vzoru v stále menšom merítku (v kontraktívnom zobrazení). Táto vlastnosĢ nazývaná samopodobnosĢ (selfsimilarity) je jedným z ústredných pojmov fraktálnej geometrie. Neskôr za pomoci poþítaþovej grafiky Mandelbrot ukázal, že práce starších matematikov sú zdrojom nových revoluþných prístupov a najkrajších fraktálov, aké dnes poznáme. Ich krása je synergiou krásy, ktorú môžeme vidieĢ, a krásy, ktorú pocítime pri pochopení podstaty nekoneþného iteraþného procesu ich generovania. Najdôležitejšou charakteristikou fraktálov je ich fraktálna dimenzia. Fraktál je množina, ktorej Hausdorffova dimenzia je ostro väþšia ako jej dimenzia topologická. [5] (Felix Hausdorff, 1868–1942). Pojem fractal vytvoril Mandelbrot z latinského slova fractus. Preto je þasto nie celkom správne zamieĖaný za pojem „zlomkový“. Fraktálna dimenzia nemusí byĢ neceloþíselná. Medzi fraktálmi sú aj množiny s celoþíselnou dimenziou. A práve tie sú najzaujímavejšie. Napríklad rovinné krivky ako Peanova krivka, alebo Mandelbrotova množina majú fraktálnu dimenziu 2. Problematika dimenzie v praxi skrýva ešte jednu zaujímavosĢ. Body, priamky, roviny, úseþky, krivky, rovinné útvary (napr. štvorec, trojuholník) a priestorové objekty, telesá (napr. kocka, guĐa) používame len ako geometrické modely, aproximujúce skutoþné objekty s väþšou alebo menšou presnosĢou. Mandelbrot vo svojej knihe Fraktály: Tvar, náhoda a dimenze [2] hovorí o fyzikálnej dimenzii, ktorá má pragmatický a teda subjektívny základ. Je vecou stupĖa rozlíšenia. Ako príklad Mandelbrot uvádza klbko nití o priemere 10 cm. NiĢ má priemer 1 mm. Pri stupni rozlíšenia 10 m je klbko bod dimenzie nula. Pri stupni rozlíšenia 10 cm je to guĐa s dimenziou 3. Pri stupni rozlíšenia 10 mm je to množina nití, teda jednorozmerný útvar. Pri stupni rozlíšenia 0,1 mm sa každá niĢ stáva valcom, takže zaþne byĢ opäĢ trojrozmerná. Pri rozlíšení 0,01 mm sa každý valec rozpadne na vlákna a všetko sa stane zase jednorozmerným. A na veĐmi nízkej úrovni sa klbko stane súborom bodových atómov a všetko sa stane opäĢ nularozmerným. A tak ćalej, hodnota dimenzie neprestane skákaĢ. Jej þíselná hodnota závisí na vzĢahu medzi objektom a jeho pozorovateĐom. ([2], str. 18) Mandelbrot skompletizoval svoje dovtedajšie vedecké výsledky pomerne v pokroþilom veku. Až v roku 1975 vydal knihu Les Objects fractals: Forme, hasard et dimension. Mandelbrotovu množinu objavil až vo svojich 55 rokoch. V roku 1982 vydal svoju najslávnejšiu knihu The Fractal Geometry of Nature. 3.1

Fraktálna dimenzia krajinných prvkov

Môj otec bol blázon do máp. Nauþil som sa od neho þítaĢ v mapách skôr ako som vedel þítaĢ a písaĢ. Jedným z najúžasnejších rysov fraktálov je, že nám umožĖujú napodobĖovaĢ prírodu. ([1], str. 220) Mandelbrot si všimol, že aj v prírode sú mnohé tvary viac menej invariantné voþi zmene merítka. Krajina chápaná ako komplexný systém je predmetom záujmu rôznych vedeckých oblastí a záujmových skupín. Terminologická jasnosĢ a presnosĢ je nevyhnutnou podmienkou interdisciplinárnej spolupráce. Charakter reliéfu je rozhodujúci pri typizácii krajiny, vytvára základnú tvárnosĢ krajiny, na ktorú sa viažu ostatné prvky a javy. ([3], str. 113) Fraktálna dimenzia umožĖuje kvantifikovaĢ a porovnávaĢ þlenitosĢ rôznych kriviek þi drsnosĢ rôznych plôch. V prípade presne samopodobných (strictly self-similar) množín môžeme fraktálnu dimenziu vypoþítaĢ pomocou vzorca, ale krajinné prvky vyskytujúce sa v prírode bývajú iba štatisticky samopodobné (aj to väþšinou len v troch úrovniach rôznych kontrakcií). Ako urþiĢ fraktálnu dimenziu pre štruktúru, ktorá nie je ani samopodobná a nie je ani „slušnou“ krivkou, naopak je „divoká”? V praxi je veĐmi þasto používaná v takýchto prípadoch mriežková (box-counting) metóda. [5] Skúmaný útvar pokrývame vhodným pokrytím, v závislosti od jeho topologickej dimenzie. Tvar boxov býva najþastejšie štvorec alebo kocka. Následne

161


1.7.2015 11:39:36

sþítame poþet boxov potrebných na pokrytie skúmaného útvaru. V druhom kroku postup zopakujeme, priþom zmenšíme veĐkosĢ boxov. Urþenie fraktálnej dimenzie terénu je vhodným doplnkom (kvantifikáciou) zaužívanej typologickej klasifikácie krajiny. ([3], str. 121, obr. þ. 1.)

Obrázok þ. 1: Typológia krajiny doplnená o fraktálnu dimenziu D = 2,37. [4]

4 Záver Keby sme do mapy zakreslili životnú púĢ Benoita Mandelbrota a zohĐadnili by sme všetky oblasti vedy, techniky a umenia, do ktorých zasiahla fraktálna geometria, výsledná krivka by mala vysokú fraktálnu dimenziu. Literatúra [1] Mandelbrot B.: Fraktalista. Rebelem ve vČdČ, Vydavatelství DokoĜán, Praha, 2014. [2] Mandelbrot B.: Fraktály: Tvar, náhoda a dimenze, Mladá fronta, Praha, 2003. [3] Mészárosová K.: Fraktály v krajinnej štruktúre, Slovenská technická univerzita v Bratislave, Bratislava, 2011. [4] Minarechová Z., Mészárosová K.: Terrain Typology and Fractal Dimension, In 28. konference o geometrii a grafice, Lednice, 2008, JýMF, Praha, 2008. [5] Peitgen H. O., Jürgens H., Saupe D.: Chaos and Fractals, Springer – Verlag, 1988. Adresa RNDr. Katarína Mészárosová, PhD. Katedra matematiky a deskriptívnej geometrie Stavebná fakulta Slovenská technická univerzita v Bratislave Radlinského 11 810 05 Bratislava e-mail: [email protected]

162


1.7.2015 11:39:36

ZOBECNĚNÉ LIMITY Ivan Netuka Abstract: This note deals with generalizations of the classical notion of a limit to (some) divergent sequences of real numbers. The method of arithmetic means provides an example of such an extension of the traditional definition. More generally, for an infinite matrix A, the so-called A-limitable sequences are introduced, and the Toeplitz-Silverman theorem is recalled as a sample result concerning matrix transformations of sequences. Another type of generalized limit is the Banach limit, which arises from the Hahn-Banach theorem. Sequences on which all Banach limits coincide are called almost convergent sequences. This notion, introduced by G. G. Lorentz, continues to be a subject of active investigation today. The relationship between almost convergent sequences and special matrix transformations is also discussed. The exposition is accompanied by comments on the historical development of the subject, basic references to the results discussed, and key sources for the extensive mathematical field of summability theory. Finally, the unusual life story of G. G. Lorentz is briefly summarized.

1. Konvergentní posloupnosti Nejprve připomeňme jednu z prvních definic ze základů matematické analýzy. Říkáme, že posloupnost {xn } reálných čísel je konvergentní, jestliže existuje číslo s s touto vlastností: pro každé ε > 0 existuje k ∈ N takové, že pro každé n ∈ N, n ≥ k, platí |xn − s| ≤ ε. Číslo s je určeno jednoznačně. Nazývá se limita posloupnosti {xn } a užívá se pro ni označení s = limn→∞ xn . Posloupnost, která není konvergentní, se nazývá divergentní. Každá konvergentní posloupnost je zřejmě omezená a limita posloupnosti s nezápornými členy je nezáporná. Jestliže všechny členy posloupnosti {xn } jsou rovny 1, potom limn→∞ xn = 1. Limita je invariantní vůči posuvu. Podrobněji: jestliže pro posloupnost x = {xn } definujeme S : {x1 , x2 , . . . } → {x2 , x3 , . . . } := Sx, potom se limity posloupností Sx a x rovnají. Tedy limita posloupnosti nezávisí na konečně mnoha členech. Snadno se dokáže, že limita součtu dvou konvergentních posloupností je rovna součtu limit a limita násobku konvergentní posloupnosti je rovna násobku limity. Označme m lineární prostor všech omezených posloupností reálných čísel a c lineární podprostor všech konvergentních posloupností. Potom má zobrazení l : x → lim xn , x = {xn } ∈ c, n→∞

163


1.7.2015 11:39:37

tyto vlastnosti: • l je lineární funkcionál, tj. l(ax + by) = al(x) + bl(y), x, y ∈ c, a, b ∈ R, • l je nezáporný funkcionál, tj. l(x) ≥ 0 pro každé x = {xn } ∈ c takové, že xn ≥ 0, n ∈ N, • l(Sx) = l(x) pro každé x ∈ c, • l(x) = 1 pro x = {1, 1, . . . }. Zřejmě c = m, např. posloupnost {1, 0, 1, 0, . . . } ∈ / c.

2. Metoda aritmetických průměrů Pro posloupnost {xn } reálných čísel definujeme posloupnost aritmetických průměrů rovností n 1 yn := xj , n ∈ N. n j=1 Není těžké dokázat toto tvrzení:1 Je-li {xn } konvergentní posloupnost, potom je {yn } konvergentní posloupnost a limn→∞ yn = limn→∞ xn . Pokud je posloupnost {yn } konvergentní, pak se posloupnost {xn } nazývá (C, 1)-limitovatelná 2 a číslo limn→∞ yn , označované jako (C, 1)-limn→∞ xn , se nazývá (C, 1)-limita posloupnosti {xn }. 1 Tvrzení je spojováno se jménem A.-L. Cauchyho (1821); viz [79], str. 72. Regularizující vlastnost aritmetických průměrů se uplatnila při vyšetřování speciálních řad u G. Leibnize (1713), D. Bernoulliho (1777), J. I. Raabeho (1836) a G. Frobenia (1880). Metoda aritmetických průměrů umožňuje přiřadit „limitu i některým divergentním posloupnostem nebo, pokud pracujeme s částečnými součty, „součet některým divergentním řadám. Teorie limitovacích metod (u řad: sčítacích metod) má dlouhou historii; viz např. [21], [27], [32], [36], [62], [79], [80], [86]. V monografii [86] zaujímá seznam literatury (sázený hustě petitem) 106 stran. V MathSciNet je pod heslem divergent series uvedeno 9132 položek, heslo Banach limit poskytuje 218 položek a almost convergence 286 položek (viz odst. 4 a 6). 2 Označení (C, 1) souvisí se jménem E. Ces` ara. V roce 1890 publikoval práci o součinu řad a zobecněnou limitu založenou na aritmetických průměrech definoval explicitně. (Uvažoval i iterované aritmetické průměry, pak se mluví o metodě (C, α).) Ces` arovy limitovací metody jsou studovány zevrubně např. v [6], [14], [27], [45], [83], [86]. V základech matematické analýzy se metodaces` arovských průměrů vyskytuje alespoň ve dvou souvislostech. Dokazuje se tato věta: ∞ ∞ Nechť n=1 an je konvergentní řada se součtem a, n=1 bn je konvergetní řada se součtem b ∞ c je Cauchyův součin těchto řad. Potom posloupnost {sn } částečných součtů řady a nechť n n=1 ∞ n=1 cn je (C, 1)-limitovatelná a platí (C, 1)-limn→∞ sn = ab; viz [80], str. 496. Prominentní postavení (C, 1)-metody mezi limitovacími metodami souvisí s Fourierovými řadami. V roce 1876 sestrojil P. Du Bois-Reymond spojitou 2π-periodickou funkci, jejíž Fourierova řada diverguje alespoň v jednom bodě. V roce 1904 dokázal L. Fejér, že pro každou spojitou 2π-periodickou funkci f a každý bod x ∈ R je posloupnost {sn (x)} částečných součtů Fourierovy řady funkce f v bodě x (C, 1)-limitovatelná a (C, 1)-limn→∞ sn (x) = f (x). Odtud plyne: pokud Fourierova řada funkce f v bodě x konverguje, pak má „správný součet f (x).

164


1.7.2015 11:39:37

n Jestliže x = {1, 0, 1, 0, . . . }, pak y2n = 12 , y2n−1 = 2n−1 , n ∈ N, tedy platí 1 (C, 1)-limn→∞ xn = limn→∞ yn = 2 , přitom posloupnost {xn } je divergentní.

Na množině Ω posloupností sestávajících z 0 a 1 lze přirozeným způsobem definovat pravděpodobnost a na základě zákona velkých čísel odvodit,3 že skoro všechny posloupnosti z Ω (tj. všechny až na množinu pravděpodobnosti 0) jsou (C, 1)-limitovatelné k (C, 1)-limitě 21 . Přechod od {xn } k {yn } si lze představit jako maticovou transformaci: ⎛

⎞ ⎛ y1 1, ⎜ y2 ⎟ ⎜ 1 , ⎜ ⎟ ⎜ 21 ⎜ y3 ⎟ = ⎜ , ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎝ y4 ⎠ ⎝ 1 , 4 .. ... .

0, 1 2, 1 3, 1 4,

0, 0, 1 3, 1 4,

... 0, 0, 1 4,

⎞ x1 ⎜ x2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x3 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎝ x4 ⎠ .. .

⎞ ⎛ ... 0, 0,

... 0,

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ... ⎠

(1)

3. Maticové limitovací metody Nechť A = (ajk )∞ j,k=1 je nekonečná matice reálných čísel a nechť x = {xn } je posloupnost reálných čísel. Definujeme Aj (x) :=

∞

ajk xk ,

(2)

k=1

pokud řada konverguje. Říkáme, že posloupnost x = {xn } je A-konvergentní, jestliže řada v (2) konverguje pro každé j ∈ N a posloupnost {Aj (x)} je konvergentní (někdy se říká, že posloupnost x je A-limitovatelná ).4 Číslo limj→∞ Aj (x) se nazývá A-limita posloupnosti x a značí A-limn→∞ xn . Matice A = (ajk )∞ j,k=1 se nazývá regulární matice, jestliže zachovává konvergenci a zachovává limitu, tedy jestliže každá konvergentní posloupnost {xn } je A-konvergentní a A-limn→∞ xn = limn→∞ xn . Věta. Matice A je regulární matice, právě když 5 3

Výsledek je dokázán v [12]. Ces` arova metoda je prototypem maticových limitovacích metod. Často se mluvívá o sčítacích metodách (summability methods), neboť historicky vzato sloužily většinou jako nástroj k přiřazování „součtu divergentním řadám. Sčítací metodou se tak samozřejmě rozumí limitovací metoda aplikovaná na částečné součty řady. Označme cA množinu všech A-limitovatelných posloupností (obor konvergence matice A). A. Wilansky v [83] na str. 3 uvádí: By a historical accident sequences in cA are called A-summable instead of more reasonable A-limitable. V literatuře je vyšetřováno velké množství různých limitovacích metod (maticových i jiného typu); viz např. [6], [7], [8], [14], [24], [27], [45], [54], [57], [58], [60], [75], [86]. Např. v monografii [86] lze nalézt na str. 307–308 seznam 98 metod. 5 Věta pochází od L. L. Silvermana a O. Toeplitze z roku 1911. Je považována za počátek obecné teorie A-limitovacích metod. Do té doby se matematici soustřeďovali na konkrétní, speciální matice 4

165


1.7.2015 11:39:37

∞ • sup { k=1 |ajk | : j ∈ N} < ∞, • pro každé k ∈ N platí limj→∞ ajk = 0, ∞ • limj→∞ k=1 ajk = 1. S příkladem regulární matice jsme se již setkali u metody aritmetických průměrů. Pro regulární matici A tedy A-limita představuje zobecněnou limitu, která může existovat pro určité divergentní posloupnosti. Nabízí se přirozená otázka: jsou všechny omezené posloupnosti A-limitovatelné pro vhodnou regulární matici A? Odpověď je negativní:6 je-li A regulární matice, potom existuje posloupnost x se členy 0 nebo 1 taková, že x není A-konvergentní. V tomto smyslu je regulární maticová limitovací metoda vhodná pro některé, ale ne všechny, omezené posloupnosti.

4. Banachova limita Na první pohled se může zdát pozoruhodné, že existuje zobecnění klasické limity známé pro prostor c konvergentních posloupností přiřazující „limitu každé posloupnosti z prostoru m omezených posloupností s reálnými členy. Nechť L : m → R je zobrazení s těmito vlastnostmi: • • • •

L je lineární funkcionál, L je nezáporný funkcionál, L je invariantní vůči posuvu, tj. L(Sx) = L(x) pro každé x ∈ m, L(x) = 1 pro x = {1, 1, 1, . . . }.

Funkcionál L se nazývá Banachova limita.7 Uvedené podmínky představují přirozené požadavky, které by pojem zobecněné limity měl splňovat. Přitom podmínka A = (ajk )∞ j,k=1 . Původní důkaz užívá prostředky elementární analýzy (někdy se mluví o metodách „hard analysis) a není snadný. Za určitý senzační průlom se považuje elegantní důkaz, který S. Banach zařadil do monografie [3], str. 90. Je založen na metodách funkcionální analýzy (někdy se mluví o metodách „soft analysis); důkaz lze nalézt např. v [49], str. 96. Banachův přístup odstartoval široce rozvinutý program užití metod funkcionální analýzy v problematice limitovacích metod; viz např. [5], [6], [24], [34], [41], [42], [45], [65], [81], [82], [83]. 6 Výsledek pochází od H. Steinhause z roku 1909. Steinhausův důkaz je uveden v [14]. Elegantní důkaz založený na vlastnostech spojitosti funkcí 1. Baireovy třídy lze nalézt v [11]; viz [49], str. 96. V [55] je dokázáno, že pro každou regulární matici A existuje posloupnost sestávající z 0 a 1 neobsahující žádnou trojici za sebou jdoucích 0 nebo za sebou jdoucích 1, která není A-limitovatelná. 7 Abstraktní analýze se dostalo širokého uznání mj. díky řešení řady problémů, které pocházejí z klasické matematické analýzy. V monografii [3], str. 29–34, aplikoval S. Banach HahnovuBanachovu větu na důkaz existence zobecnění integrálu definovaného pro všechny omezené reálné funkce, konečně aditivní míry definované na všech podmnožinách R a limity v ∞ pro všechny omezené funkce definované na [0, ∞). Jako důsledek dokázal existenci zobecněné limity pro všechny omezené posloupnosti reálných čísel, později nazývané Banachova limita. Nerovnosti (3) byly již dříve dokázány S. Mazurem; viz [3], str. 34. Poznamenejme, že požadavek invariance vůči posuvu nabízí zobecnění pro jiné druhy transformací na posloupnostech; viz např. [16], [19], [52], [63], [69],

166


1.7.2015 11:39:37

L(Sx) = L(x), x ∈ m, (invariance vůči posuvu) ukazuje, že na hodnotu L(x) nemá vliv konečný počet členů. Připomeňme nejprve definici lim inf a lim sup: lim inf xn := lim inf {xn : n ≥ k}, n→∞

k→∞

lim sup xn := lim sup {xn : n ≥ k}. k→∞

n→∞

Všimněme si, že posloupnost {xn } reálných čísel je konvergentní, právě když lim inf n→∞ xn = lim supn→∞ xn a tato společná hodnota je konečná. Pro posloupnost {xn } se pak tato společná hodnota rovná limn→∞ xn . Nechť L je Banachova limita. Dokážeme, že lim inf xn ≤ L(x) ≤ lim sup xn , x = {xn } ∈ m . n→∞

n→∞

(3)

Odtud dostaneme, že L(x) = limn→∞ xn pro každou posloupnost x = {xn } ∈ c, takže Banachova limita je skutečně zobecněním klasického pojmu limity. Dokážeme první nerovnost v (3). Nejprve dokážeme nerovnost inf {xn : n ∈ N} ≤ L(x), x = {xn } ∈ m.

(4)

Pro ε > 0 zvolíme j ∈ N takové, že inf {xn : n ∈ N} ≤ xj ≤ inf {xn : n ∈ N} + ε . Potom xn + ε − xj ≥ 0 pro všechna n ∈ N, tudíž L(x) + ε ≥ xj ≥ inf {xn : n ∈ N} . Odtud plyne (4). Protože L je invariantní vůči posuvu, platí pro každé k ∈ N inf {xn : n ≥ k} ≤ L(x) , takže lim inf xn ≤ L(x) . n→∞

Podobně se dokáže druhá nerovnost z (3). Vidíme, že každá Banachova limita je nezáporné lineární rozšíření funkcionálu l : x → limn→∞ xn z podprostoru c na prostor m, které je invariantní vůči posuvu. Stojíme před dvěma důležitými otázkami: • existuje Banachova limita? • je Banachova limita určena jednoznačně? [70], [76]. Banachova limita je intenzivně studovaným tématem až do dnešních dnů; namátkou uveďme [1], [22], [26], [33], [53], [71], [76], [77], [84], [85]. Četné výsledky z pohledu geometrie Banachových prostorů (zejména týkající se extremálních bodů konvexní množiny všech Banachových limit) lze nalézt např. v [2], [56], [71], [72], [76], [78]. Matematiky dlouhodobě zajímá, jak souvisí Banachova limita s maticovými limitovacími metodami. Viz např. [15], [20], [22], [45], [54], [68], [73], [84].

167


1.7.2015 11:39:38

Určitě se všechny Banachovy limity shodují na posloupnosti x = {1, 0, 1, . . . }. Platí totiž 1 = L(x + Sx) = L(x) + L(Sx) = 2L(x), tudíž L(x) = 12 pro každou Banachovu limitu L. Obecněji, jak ukážeme v odst. 6, pro každou (C, 1)-konvergentní posloupnost x = {xn } a každou Banachovu limitu L platí L(x) = (C, 1)-limn→∞ xn . Patrně stojí za zmínku, proč jsme v odst. 1 nezdůraznili, že pro konvergentní posloupnosti je limita součinu rovna součinu limit. Analogie totiž neplatí pro žádnou Banachovu limitu L. Je-li např. x = {1, 0, 1, 0, . . . } a y = {0, 1, 0, 1, . . . }, pak platí 1 1 2 = L(x) = L(Sx) = L(y), tudíž L(x) · L(y) = 4 a L(x · y) = L(0) = 0. Požadovat na přirozeném zobecnění limity multiplikativitu možné není.

5. Existence Banachovy limity Problém existence Banachovy limity spočívá v důkazu existence rozšíření lineárního funkcionálu l : x → lim xn , x = {xn } ∈ c n→∞

na lineární funkcionál L definovaný na celém prostoru m, přičemž rozšíření má být nezáporné a invariantní vůči posuvu. Klíčem8 k takovému rozšíření je Hahnova-Banachova věta.9 Nechť X je lineární prostor nad R a p : X → R je funkcionál splňující p(x + y) ≤ p(x) + p(y), p(ax) = ap(x), x, y ∈ X, a ≥ 0.

(5)

Nechť Y je lineární podprostor prostoru X a f : Y → R je lineární funkcionál, pro nějž f ≤ p na Y . Potom existuje lineární funkcionál F : X → R takový, že F|Y = f a F ≤ p na X. Platí −p(−x) ≤ F (x) ≤ p(x), x ∈ X. Pro další úvahy se nám bude hodit tento 8 Tradičně se existence Banachovy limity dokazuje pomocí Hahnovy-Banachovy věty. Existují však i jiné přístupy, založené např. na Tichonovově větě o kompaktnosti topologického součinu či na pojmu slabé∗ kompaktnosti; různé důkazy lze nalézt v [1], [5], [16], [43], [77]. Metody nestandardní analýzy byly při zkoumání existence zobecněné limity uplatněny v [64]. Měli bychom poznamenat, že důkazy existence se v té či jiné formě opírají o axiom výběru a v tomto smyslu je Banachova limita zcela vzdálena jakémukoli „konstruktivnímu přístupu. 9 Hahnova-Banachova věta je pilířem lineární funkcionální analýzy. Historicky je cesta k této větě složitá a je zejména spojena se jmény F. Riesze, E. Hellyho, H. Hahna a S. Banacha. Dokonale ilustruje, jak abstraktní matematické výsledky vyrůstají z podhoubí studia konkrétních problémů. Zde se omezíme pouze na odkazy na základní práce, které se historii i různým aspektům HahnovyBanachovy věty věnují; viz [9], [10], [17], [23], [28], [29], [31], [32], str. 403, [36], str. 1090, [44], [46], [47], [48], [50], [61], [67], [74]. V monografii [61], str. 40, A. Pietsch napsal k opomíjené roli E. Hellyho na cestě za větou v literatuře spojovanou jen se jmény Hahna a Banacha toto: In recognition of Helly’s merits it would be fair to speak of the Helly-Hahn-Banach theorem. But, I am afraid that this proposal comes too late. As an ersatz, let us pause for standing ovation.

168


1.7.2015 11:39:38

Dodatek.10 Nechť x0 ∈ X \ Y . Definujme α := sup {f (y) − p(y − x0 ) : y ∈ Y } , β := inf {p(y + x0 ) − f (y) : y ∈ Y } . Potom α ≤ β a pro každé γ ∈ [α, β] existuje lineární funkcionál F : X → R takový, že F|Y = f , F ≤ p na X a F (x0 ) = γ. Pro důkaz existence Banachovy limity budeme Hahnovu-Banachovu větu aplikovat v situaci X = m, Y = c, f = l (limita) a 1 (6) p : x → lim sup x1 + · · · + xn , x = {xn } ∈ m. n→∞ n Jestliže x = {xn } ∈ c, je l(x) = lim xn = lim n→∞

n→∞

1 x1 + · · · + xn = p(x) . n

Z vlastností lim sup plyne, že p splňuje (5). Nechť L : m → R je lineární funkcionál takový, že L|c = l a L ≤ p na m. Potom −p(−x) ≤ L(x) ≤ p(x), x ∈ m . Je-li x = {xn } ∈ m, xn ≥ 0 pro všechna n ∈ N, pak 1 x1 + · · · + xn ≥ 0 , −p(−x) = lim inf n→∞ n tudíž L(x) ≥ 0. Pro každé x ∈ m je 1 L(x) − L(Sx) = L(x − Sx) ≤ p(x − Sx) = lim sup x1 − xn+1 = 0 , n→∞ n neboli L(x) ≤ L(Sx). Protože −L(x) = L(−x) ≤ L(S(−x)) = −L(Sx) , platí L(x) ≥ L(Sx), tudíž L(Sx) = L(x). Zároveň jsme ukázali, že existuje Banachova limita L taková, že L(x) = (C, 1) - lim xn n→∞

(7)

pro každou (C, 1)-konvergentní posloupnost. Zatím však není zřejmé, zda rovnost (7) platí pro všechny Banachovy limity. Dostáváme se tak k zásadní otázce: na kterých posloupnostech hodnoty všech Banachových limit splývají? Ještě jedna poznámka. S ohledem na nerovnosti (3) by se zdálo, že by stačilo zvolit jako „kontrolní funkcionál p : x → lim supn→∞ xn , x = {xn } ∈ m. Takový funkcionál splňuje podmínky (5) a tedy Hahnovu-Banachovu větu lze aplikovat. Selhal by však důkaz invariance vůči posuvu.

10

Podstatná část důkazu věty i dodatku je uvedena v odst. 8.

169


1.7.2015 11:39:38

6. Skoro konvergentní posloupnosti Volba „kontrolního funkcionálu p z (6) dává existenci Banachovy limity, ale neříká nic o všech Banachových limitách. Budeme proto uvažovat jiný „kontrolní funkcionál.11 Pro x = {xn } ∈ m definujeme k $ # 1 xrj +n , q(x) := inf lim sup n→∞ k j=1

kde infimum se bere přes všechna k ∈ N a r1 , . . . , rk ∈ N. Potom12 q(x) ≤ lim sup xn , n→∞

q(x + y) ≤ q(x) + q(y), q(ax) = aq(x), x, y ∈ m, a ≥ 0 . Pomocí dodatku k Hahnově-Banachově větě se dokáže, že pro každou Banachovu % platí −q(−x) ≤ L(x) % limitu L ≤ q(x), x ∈ m. Nyní se Hahnova-Banachova věta aplikuje na X = m, Y = c, f = l (limita) a p = q a dokáže se, že každé rozšíření funkcionálu l s „kontrolou q splňuje požadavky z definice Banachovy limity. Vyjádření „kontroly q lze zjednodušit,13 platí totiž k+n $ # 1 xj : k ∈ N . sup n→∞ n

q(x) = lim

j=k+1

Odtud plyne následující výsledek. Věta.14 Nechť x = {xn } ∈ m, s ∈ R. Potom hodnoty všech Banachových limit na x splývají a rovnají se s, právě když lim

n→∞

1 xk+1 + · · · + xk+n = s n

(8)

stejnoměrně vzhledem ke k ∈ N. Podrobněji: ke každému ε > 0 existuje r ∈ N takové, že pro všechna n ≥ r a všechna k ∈ N platí 1 xk+1 + · · · + xk+n − s ≤ ε . n 11

Funkcionál tohoto typu pochází od S. Banacha; viz [3], str. 30. Podrobnosti k důkazu vlastností funkcionálu q lze nalézt např. v [24], str. 64–68. V literatuře se pro důkaz existence Banachovy limity užívají i jiné funkcionály; viz např. [45], str. 39, [73], [77], [86], str. 12. 13 Toto přehlednější vyjádření funkcionálu q je odvozeno v [76]. 14 Výsledek pochází od G. G. Lorentze ještě z doby jeho pobytu v Leningradu; viz [37]. Zásadní význam pro studium skoro konvergentních posloupností má Lorentzova práce [38]. Podrobné hodnocení Lorentzova přínosu k limitovacím metodám lze nalézt v příspěvku „G. G. Lorentz and the theory of summability uveřejněném v [40], str. 41–57. Další informace lze nalézt v příspěvku „My autobiography (G. G. Lorentz) zahrnutém do [40], str. xvii–xxv. Viz také [39], [51]. 12

170


1.7.2015 11:39:38

Omezené posloupnosti, na nichž hodnoty všech Banachových limit splývají, se nazývají skoro konvergentní posloupnosti.15 Lineární prostor všech skoro konvergentních posloupností se značí " c. Z (8) je ihned vidět, že např. posloupnost {1, 00, 111, 0000, 11111, . . . } není skoro konvergentní. Máme tedy c ⊂ " c ⊂ m a c = " c = m. Je známo, že " c je neseparabilní uzavřený podprostor prostoru m, který je invariantní vůči posuvu, tj. pro x ∈ " c je Sx ∈ " c. Všimněme si, že každá skoro konvergentní posloupnost je (C, 1)-limitovatelná. Z pohledu teorie pravděpodobnosti (viz závěr odst. 2) skoro žádná posloupnost sestávající z 0 a 1 není skoro konvergentní.16 Z tohoto hlediska není, narozdíl od (C, 1)-limitovací metody, pojem zobecněné limity založený na „skoro konvergenci efektivní.

7. Banachova limita a maticové limitovací metody Na skoro konvergentních posloupnostech se (podle definice) hodnoty všech Bac definujeme f -limn→∞ xn jako L(x) pro nachových limit rovnají. Pro x = {xn } ∈ " libovolnou Banachovu limitu L. Nyní nás zajímá souvislost pojmu skoro konvergentní posloupnosti s maticovými limitovacími metodami. Pro matici A označme cA množinu všech omezených posloupností, které jsou A-limitovatelné (cA se nazývá obor A-konvergence). Můžeme se ptát, zda existuje regulární matice A taková, že " c = cA a zda f -limn→∞ xn = A-limn→∞ xn . Odpoc není průnikem oborů konvergence žádného věď je negativní. Dokonce se ví,17 že " spočetného systému regulárních matic. V této souvislosti je zajímavá tato otázka: jak vypadají matice A, pro něž je každá skoro konvergentní posloupnost A-limitovatelná? 18 Budeme říkat, že matice A = (ajk )∞ jestliže platí " c ⊂ cA . j,k=1 je silně regulární, 15 Lorentzův původní termín byl „absolutně konvergentní posloupnost; viz [37]. Termín „skoro konvergentní (almost convergent) pochází z Lorentzovy průkopnické práce [38]. Podrobný výklad o " c je obsažen v [45], str. 42–46. Skoro konvergentním posloupnostem se dostalo pozornosti ze strany řady matematiků. Viz např. [35], [45], [84], [85], kde lze nalézt další odkazy. 16 Výsledek je dokázán v [12]. 17 Toto jsou výsledky z [38]. Tamtéž jsou vyšetřovány vztahy maticových limitovacích metod a skoro konvergentních posloupností. Je mj. dokázána inkluze " c ⊂ cA pro všechny konkrétní „rozumné maticové metody (např. (C, α), Eulerova metoda). 18 Tento pojem zavedl G. G. Lorentz v [38]. Studium skoro konvergentních posloupností a silně regulárních matice je předmětem matematického bádání do současnosti; viz např. [5], [25], [45], str. 50–54, [84], [85].

171


1.7.2015 11:39:38

Věta.19 Regulární matice A = (ajk )∞ j,k=1 je silně regulární, právě když lim

j→∞

∞

|ajk − aj,k+1 | = 0 .

(9)

k=1

Pokud platí rovnost (9), je f -limn→∞ xn = A-limn→∞ xn pro každou posloupnost x = {xn } ∈ " c. Např. matice z (1) pro (C, 1)-limitovatelné posloupnosti je silně regulární matice, neboť ∞ 1 |ajk − aj,k+1 | = , j ∈ N , j k=1

tudíž platí (9). Poznamenejme, že existují20 regulární matice A, pro něž cA ⊂ " c, tedy všechny skoro konvergentní posloupnosti nejsou A-limitovatelné. Pro charakterizaci " c pomocí maticových limitovacích metod je důležité následující tvrzení21 (pozitivní matice znamená, že její prvky jsou nezáporné). Lemma. Nechť x = {xn } ∈ m. Potom existují pozitivní silně regulární matice A1 , A2 takové, že sup {L(x) : L Banachova limita} = A1 - lim xn , n→∞

inf {L(x) : L Banachova limita} = A2 - lim xn . n→∞

Na základě tohoto lemmatu lze dokázat následující výsledek. Věta.22 Nechť x = {xn } ∈ m a s ∈ R. Potom f -limn→∞ xn = s, právě když A-limn→∞ xn = s pro každou pozitivní silně regulární matici. Jinak řečeno, " c=

&

{cA : A pozitivní silně regulární matice} .

19

Věta představuje jeden ze stěžejních výsledků práce [38]. Lorentz v [38] mluví o metodě F a o F -limitě (v textu užíváme dnes běžnější označení f -lim, které pochází od P. Durana z roku 1972). Z [38] citujeme: In spite of the fact that the method F contains certain regular matrix method . . . it is fairly weak. We shall show that it is contained in every „reasonable matrix method. Almost convergence is a generalization of ordinary convergence. From this point of view the method F seems to be rather akin to the ordinary convergence than to commonly used matrix methods. We shall therefore designate methods which sum all almost convergent sequences as strongly regular. 21 Výsledek pochází z práce [18]. 22 Charakteristika je dokázána v [18], kde lze nalézt další příbuzné výsledky. 20

172


1.7.2015 11:39:39

8. K důkazu Hahnovy-Banachovy věty Budeme užívat značení z odst. 5. První krok v důkazu Hahnovy-Banachovy věty / Y ) v rozšíření lineárního funkcionálu f z Y na lineární obal spočívá (pro x0 ∈ Y% := Lin(Y ∪ {x0 }). Každý prvek z Y% lze jednoznačně vyjádřit v tvaru y + ax0 , kde y ∈ Y a a ∈ R. Pro každé dva body y1 , y2 ∈ Y platí podle (5) f (y1 ) + f (y2 ) = f (y1 + y2 ) ≤ p(y1 + y2 ) ≤ p(y1 − x0 ) + p(x0 + y2 ) , neboli f (y1 ) − p(y1 − x0 ) ≤ p(y2 + x0 ) − f (y2 ), y1 , y2 ∈ Y . Položíme-li α := sup {f (y) − p(y − x0 ) : y ∈ Y } , β := inf {p(y + x0 ) − f (y) : y ∈ Y } , platí α ≤ β. Zvolme γ ∈ [α, β]. Potom

Definujme

f (y) − γ ≤ f (y) − α ≤ p(y − x0 ), y ∈ Y ,

(10)

f (y) + γ ≤ f (y) + β ≤ p(y + x0 ), y ∈ Y .

(11)

f%(y + ax0 ) = f (y) + aγ, y ∈ Y, a ∈ R.

Potom f% = f na Y , f%(x0 ) = γ a zřejmě f% je lineární funkcionál na Y% . Je-li % a > 0, pak z (10) dostáváme (dosadíme y/% a za y) (1/% a)f (y) − γ ≤ p(y/% a − x0 ) a z (11) dostáváme (dosadíme y/% a za y) (1/% a)f (y) + γ ≤ p(y/% a + x0 ) . Vidíme, že pro každé % a > 0 a každé y ∈ Y je f (y) − % aγ ≤ p(y − % ax0 ) , f (y) + % aγ ≤ p(y + % ax0 ) . Odtud plyne pro každé y ∈ Y a každé a ∈ R f%(y + ax0 ) = f (y) + aγ ≤ p(y + ax0 ) . (pro a > 0 jsme uvažovali % a = a, pro a < 0, jsme uvažovali % a = −a).

173


1.7.2015 11:39:39

Je-li Y% = X, je f% kýžené rozšíření. Pokud Y% = X, můžeme uvedeným postupem zkonstruovat další rozšíření a mohlo by se zdát, že výsledný funkcionál F lze získat matematickou indukcí. Pro obecně „velký prostor X to možné není a je třeba užít některý z mocných množinově-teoretických nástrojů,23 jako jsou (podle osobní preference) např. transfinitní indukce, Zornovo lemma či Hausdorffův princip maximality. Poznamenejme, že pokud X je normovaný lineární prostor na R a f : Y → R je spojitý lineární funkcionál, potom existuje spojitý lineární funkcionál F : X → R takový, že F|Y = f a ||F || = ||f ||.24 To plyne z naší algebraické verze HahnovyBanachovy věty, pokud se definuje p(x) := ||f || · ||x||, x ∈ X .

9. G. G. Lorentz (1910–2006) G. G. Lorentz sehrál důležitou roli v rozvoji matematické analýzy 20. století. Zasáhl takřka do všech jejích oblastí. Jmenujme např. prostory funkcí, reálnou, funkcionální a numerickou analýzu, teorii aproximace, interpolační metody, sčítatelnost. Jeho životní dráha25 odráží hořká období dějin 20. století. Je svědectvím o nezdolnosti lidského ducha, o vnitřní síle, odvaze i charakterové integritě. Georg (Jurij) Rudolfovič Lorenc se narodil v Sankt Petěrburgu v roce 1910. Jeho otec26 měl německé kořeny, matka pocházela z rozvětvené ruské rodiny šlechtického původu. V roce 1913 se rodina přestěhovala do Armaviru na Severním Kavkazu. Revoluční doba a občanská válka zřetelně poznamenaly tamější život. V letech 1919 až 1922 se rodina uchýlila na statek poblíž Soči, později se přestěhovala do Tbilisi. Tam Georg nejprve navštěvoval ruskou školu, v letech 1924 až 1926 studoval na německé střední škole, kde si osvojil vynikající znalost němčiny (doma se mluvilo rusky). V roce 1926 se stal posluchačem tbiliské techniky, po dvou letech přešel na Mechanicko-matematickou fakultu Leningradské univerzity.27 Tam působili matematici zvučných jmén a navzdory mocenským zásahům matematická úroveň byla 23 Viz např. [3], str. 29, [13], str. 82, [30], str. 212, [66], str. 56. Ekvivalence axiomu výběru, Hausdorffova principu maximality, Zornova lemmatu a věty o dobrém uspořádání je dokázana v [30], str. 14. V [3] se uvažují výhradně lineární prostory nad tělesem reálných čísel. Zobecnění Hahnovy-Banachovy věty pro případ lineárních prostorů nad tělesem komplexních čísel se obvykle připisuje H. F. Bohenblustovi, A. Sobczykovi a G. S. Sukhomlinovi; viz [66], str. 375. Priorita pražského matematika H. Lowiga je široce opomíjena; viz [4]. 24 Připomeňme definici normy funkcionálu: ||f || := sup {|f (x)| : x ∈ X, ||x|| ≤ 1}. 25 Zde se soustředíme jen na životní osudy. Informace jsme čerpali zejména z [40], [51], [59]. Hodnocení matematického díla je zachyceno např. v [39], [40], [51] a [59]. 26 Otec pracoval pro státní železnice. V roce 1906 odmítl účast na potlačení stávky železničářů nedaleko Sankt Petěrburgu, kde pracoval, z veřejných služeb musel odejít a působil v kavkazské oblasti, kde většina železnic byla v soukromých rukou. 27 Podrobná zpráva o situaci fakulty je v příspěvku G. G. Lorentz: A Report on the University of Leningrad; viz [40], str. 3–16.

174


1.7.2015 11:39:39

velice dobrá. Direktivní řízení však nepřálo čisté matematice, patrný byl povinný důraz na aplikace. Například teorie reálných funkcí byla považována za reakcionářskou disciplínu, komplexní funkce za progresivní. Když G. R. Lorenc28 v roce 1931 ukončil studium, z 26 absolventů bylo jen 6 matematiků, ostatní studovali praktičtěji orientovanou mechaniku. V letech 1930 až 1933 nastaly zlé časy. Matematické společnosti v Leningradě i Moskvě byly rozpuštěny, vynikající osobnosti byly nahrazeny politicky oddanými osobami. Lorenc se nemohl stát aspirantem,29 získal místo asistenta na univerzitě a později také na pedagogickém institutu. Úvazek 20 hodin týdně neposkytoval příliš času na vědeckou činnost. Lorenc neměl školitele, do sepisování kandidátské práce30 se vrhl bez vedení. V roce 1936 získal vědeckou hodnost kandidáta věd31 na základě práce o Bernsteinových polynomech. V témže roce byl jmenován docentem a na obou leningradských školách působil do roku 1942. V seminářích se vzdělával v topologii a funkcionální analýze, publikoval několik prací z klasické analýzy věnovaných speciálním polynomům a sčítatelnosti. Na konci třicátých let začal pracovat na učebnici funkcionální analýzy, kterou však v důsledku tíživých událostí nikdy nedokončil. V roce 1937 byl Lorencův otec v Tbilisi zatčen na základě falešného obvinění a odsouzen k osmi letům vězení. O rok později zahynul v gulagu. Mimořádně kruté časy pro Lorence nastaly v letech 1941 až 1942 v době blokády Leningradu. Uniknout z Němci obleženého města bylo krajně nesnadné, životní podmínky ve městě byly kritické. Lorenc a jeho žena se nakonec s několika kolegy vydali v dubnu 1942 přes stále ještě zamrzlé Ladožské jezero a po týdny trvající anabázi se dostali do Kislovodsku na Severním Kavkazu. V srpnu 1942 sovětská armáda bez boje opustila Kislovodsk. Němečtí okupanti zaregistrovali Lorence a jeho ženu jako etnické Němce. Obrat ve válečné situaci po bitvě u Stalingradu znamenal ústup německých vojsk a Lorencovi opustili v početné skupině uprchlíků v lednu 1943 Kislovodsk. Po strastiplné cestě se dostali do uprchlického tábora v polské Toruni. Lorenc kontaktoval profesora K. Knoppa z univerzity v Tübingenu a zaslal mu do časopisu Mathematische Zeitschrift dva články. Profesoři K. Knopp a W. Süss měli zásluhu na tom, že se Lorenc, jeho žena a syn dostali v roce 1944 do Tübingenu, naštěstí do oblasti vzdálené sovětskému dosahu a vlivu. V Tübingenu získal doktorát z matematiky a habilitoval se, spolupracoval s německým matematikem E. Kamkem. Po válce však francouzské okupační autority, kterým připadla správa zóny, do níž patřil i Tübingen, pohlížely na Lorence jako na nežádoucího cizince, pravděpodobně sovětského občana a tudíž mu hrozilo, že bude deportován zpět do rodné vlasti. Proto se v roce 1946, zatím bez rodiny,32 přemístil do americké okupační zóny. V Heidelbergu mu americký důstojník z úřadu pro 28 V obavě z možného prozrazení jeho leningradské identity se od roku 1946 psal jako Georg Gunter Lorentz (později užíval G. G. Lorentz). 29 Dnes bychom řekli, že nebyl přijat na Ph.D. studium. 30 Zhruba odpovídá Ph.D. disertaci. 31 Přibližně lze srovnat s akademickým titulem Ph.D. 32 Zatímco syn Rudolf se narodil „na cestě z Ruska do Německa, jeho čtyři sestry (Mary, Irene, Olga a Katherine) se narodily v Tübingenu.

175


1.7.2015 11:39:39

uprchlíky vydal dokument jako občanovi bez státní příslušnosti.33 G. G. Lorentz působil jako docent tři semestry ve Frankfurtu, často se však vracel do Tübingenu. Do roku 1948 publikoval dvacítku prací. Blízkost sovětské okupační zóny a situace poválečného Německa přiměly Lorentzovu rodinu k úvahám o emigraci. Roku 1949 G. G. Lorentz přijal stipendium od Lady Davis Foundation a přesídlil s rodinou do kanadského Toronta. Na tamější univerzitě začínal sice jako asistent (instructor), mohl se však věnovat matematice, i když za cenu velmi skromných podmínek pro celou rodinu. V roce 1953 získal místo profesora na Wayne State University v Detroitu v USA. V letech 1958 až 1968 působil na Syracuse University. Poslední akademický post přijal na University of Texas v Austinu, kde setrval až do svého penzionování v roce 1980. Matematiku ani pak neopustil. V letech 1980 až 1993 publikoval třicítku prací.34 G. G. Lorentz je autorem či spoluautorem šesti monografií a 130 vědeckých článků. Byl vědcem vynikajících kvalit, řada z jeho sedmnácti Ph.D. studentů získala mezinárodní reputaci. Ovlivnil výrazně vývoj a směřování matematiky v minulém století. Jeho „tři životy (Rusko/Sovětský svaz, Německo, Kanada/USA) poskytují nevšední příběh. Smutný příběh, naštěstí s dobrým koncem.

Literatura [1]

Appell J., De Pascale E., Zabrejko P. P., Some remarks on Banach limits, Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena 42 (1992), 273–278.

[2]

Baker J. W., Petersen G. M., Extremal points in summability theory, Compositio Math. 17 (1965), 190–206.

[3]

Banach S., Théorie des opérations linéaires, Monografje Matematyczne, vol. 1, Warszawa, 1932.

[4]

Bečvářová M. a kol., Zapomenutý matematik Henry Lowig (1904–1995), edice Dějiny matematiky, sv. 50, Matfyzpress, Praha, 2012.

[5]

Bennett G., Kalton N. J., Consistency theorems for almost convergence, Transactions of the American Mathematical Society 198 (1974), 23–43.

[6]

Boos J., Classical and modern methods in summability, Oxford Mathematical Monographs, Oxford Science Publications, Oxford University Press, Oxford, 2000.

[7]

Broudno A. L., Sommation des suites bornées par les méthodes linéaires réguli` eres, C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N. S.) 43 (1944), 183–185.

[8]

Brudno A., Summation of bounded sequences by matrices, Rec. Math. (Math. Sbornik) N. S. 16(58) (1945), 191–247.

[9]

Butzer P. L., Gieseler S., Kaufmann F., Nessel R. J., Stark E. L., Eduard Helly (1884–1943). Eine nachträgliche Würdigung, Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 82 (1980), 128–151.

[10]

Butzer P. L., Nessel R. J., Stark E. L., Eduard Helly (1884–1943), in memoriam, Results Math. 7 (1984), 145–153.

33 34

S tímto dokumentem žil až do roku 1959, kdy celá rodina získala americké občanství. Viz seznam publikací v [40], str. xxviii–xxxiv, nebo v [51].

176


1.7.2015 11:39:40

[11]

Connor J., A short proof of Steinhaus’ theorem on summability, Amer. Math. Monthly, 92 (1985), 420–421.

[12]

Connor J., Almost none of the sequences of 0’s and 1’s are almost convergent, Internat. J. Math. Math. Sci. 13 (1990), 755–777.

[13]

Conway J. B., A course in functional analysis, Second edition, Graduate Texts in Mathematics, vol. 96, Springer Verlag, New York, 1990.

[14]

Cooke R. G., Infinite matrices and sequence spaces, Dover Publications, Inc., New York, 1965.

[15]

Das G., Banach and other limits, J. London Math. Soc. (2) 7 (1974), 501–507.

[16]

Day M. M., Normed linear spaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 21, Springer Verlag, New York, Heidelberg, 1973.

[17]

Dieudonné J., History of functional analysis, North-Holland Mathematics Studies, vol. 49, Notas de Matemática (77), North-Holland Publishing Co., Amsterdam, New York, 1981.

[18]

Duran J. P., Strongly regular matrices, almost-convergence, and Banach limits, Duke Math. J. 39 (1972), 497–502.

[19]

Eberlein W. F., Banach-Hausdorff limits, Proc. Amer. Math. Soc. 1 (1950), 662–665.

[20]

Eizen C., Laush G., Infinite matrices and almost convergence, Math. Japon. 14 (1969), 137–143.

[21]

Ferraro G., The first modern definition of the sum of a divergent series: an aspect of the rise of 20th century mathematics, Arch. Hist. Exact Sci. 54 (1999), 101–135.

[22]

Freedman A. R., Generalized limits and sequence spaces, Bull. London Math. Soc. 13 (1981), 224–228.

[23]

Fuchssteiner B., Horváth J., Die Bedeutung der Schnitteigenschaften beim Hahn-Banachschen Satz, Jahrbuch Überblicke Mathematik, Bibliographisches Inst., Mannheim, 1979, 107–121.

[24]

Goffman C., Pedrick G., First course in functional analysis, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1965.

[25]

Hajduković D., F -conservative matrices, Math. Balkanica 5 (1975), 138–142.

[26]

Hajduković D., The functionals of the kind of Banach limits, Publ. Inst. Math. Beograd (N.S.) 19 (33) (1975), 73–76.

[27]

Hardy G. H., Divergent series, Clarendon Press, Oxford, 1949.

[28]

Heuser H., Zur Ideengeschichte der Funktionalanalysis, Math. Semesterber. 35 (1988), 38– 63.

[29]

Heuser H., Hahns Weg zum Satz von Hahn-Banach, Internat. Math. Nachrichten 183 (2000), 1–20.

[30]

Hewitt E., Stromberg K., Real and abstract analysis. A modern treatment of the theory of functions of a real variable, Second printing corrected, Springer Verlag, New York, Berlin, 1969.

[31]

Hochstadt H., Eduard Helly, father of the Hahn-Banach theorem, Math. Intelligencer 2 (1979/80), 123–125.

[32]

Jahnke H. N. (ed.), A history of analysis, History of Mathematics, vol. 24, American Mathematical Society, Providence, RI, London Mathematical Society, London, 2003.

[33]

Jerison M., The set of all generalized limits of bounded sequences, Canad. J. Math. 9 (1957), 79–89.

177


1.7.2015 11:39:40

[34]

Kamthan P. K., Gupta M., Sequence spaces and series, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, vol. 65, Marcel Dekker, Inc., New York, 1981.

[35]

King J. P., Almost summable sequences, Proc. Amer. Math. Soc. 17 (1966), 1219–1225.

[36]

Kline M., Mathematical thought from ancient to modern times, Oxford University Press, New York, 1972.

[37]

Lorentz G. G., Absolute Konvergenz, Leningrad State Univ. Annals (Uchenye Zapiski, Math. Ser. (12)) 83 (1941), 30–41.

[38]

Lorentz G. G., A contribution to the theory of divergent sequences, Acta Math. 80 (1948), 167–190.

[39]

Lorentz G. G., The work of G. G. Lorentz, J. Approximation Theory 13 (1975), 12–16.

[40]

Lorentz G. G., Mathematics from Leningrad to Austin, Vol. 1, Birkhäuser, Boston, Inc., Boston, MA, 1997.

[41]

Maddox I. J., Elements of functional analysis, Cambridge University Press, London, New York, 1970.

[42]

Maddox I. J., Elements of functional analysis, Second edition, Cambridge University Press, Cambridge, 1988.

[43]

Mazur S., On the generalized limit of bounded sequences, Colloquium Math. 2 (1951), 173–175.

[44]

Monna A. F., Letter: „Eduard Helly, father of the Hahn-Banach theorem by Hochstadt, Math. Intelligencer 2 (1979/80), 158.

[45]

Nanda S., Matrix transformations and sequence spaces, Two applications of functional analysis, Queen’s Papers in Pure and Appl. Math., 74, Queen’s Univ., Kingston, ON, 1986, I1–I79.

[46]

Narici L., On the Hahn-Banach theorem, Advanced courses of mathematical analysis II, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2007, 87–122.

[47]

Narici L., Beckenstein E., The Hahn-Banach theorem: the life and times, Topology Appl. 77 (1997), 193–211.

[48]

Narici L., Beckenstein E., The Hahn-Banach theorem and the sad life of E. Helly, Advanced courses of mathematical analysis III, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2008, 97–110.

[49]

Netuka I., Základy moderní analýzy, Matfyzpress, Praha, 2014.

[50]

Netuka I., Veselý J., Eduard Helly, konvexita a funkcionální analýza, Pokroky matematiky, fyziky a astronomie 29 (1984), 301–312.

[51]

Nevai P. et al., In Memoriam George G. Lorentz (1910–2006), J. Approximation Theory 162 (1997), 465–491.

[52]

Nillsen R., Nets of extreme Banach limits, Proc. Amer. Math. Soc. 55 (1976), 347–352.

[53]

Peres Y., Application of Banach limits to the study of sets of integers, Israel J. Math., 62 (1988), 17–31.

[54]

Petersen G. M., Summability methods and bounded sequences, J. London Math. Soc. 31 (1956), 324–326.

[55]

Petersen G. M., Sequences of 0’s and 1’s and Toeplitz methods of summability, Amer. Math. Monthly 63 (1956), 174–175.

[56]

Petersen G. M., Extreme points for regular summability matrices, Tˆ ohoku Math. J. (2) 18 (1966), 255–258.

178


1.7.2015 11:39:40

[57]

Petersen G. M., Regular matrix transformations, McGraw-Hill Publishing Co., Ltd., London, New York, Toronto, Ont., 1966.

[58]

Petersen G. M., Regular matrices and bounded sequences, Jahresber. Deutsch. Math.Verein. 69 (1967), Heft 3, Abt. 1, 107–151.

[59]

Petersen G. M., A tribute to G. G. Lorentz, J. Approximation Theory 13 (1975), 4–5.

[60]

Peyerimhoff A., Lectures on summability, Springer Verlag, Berlin, New York, 1969.

[61]

Pietsch A., History of Banach spaces and linear operators, Birkhäuser, Boston, Inc., Boston, MA, 2007.

[62]

Pringsheim A., Divergente Reihen, Encycl. math. Wiss., I A.3, 1898, 105–111.

[63]

Raimi R. A., Invariant means and invariant matrix methods of summability, Duke Math. J. 30 (1963), 81–94.

[64]

Robinson A., On generalized limits and linear functionals, Pacific J. Math. 14 (1964), 269–283.

[65]

Ruckle W. H., Sequence spaces, Research Notes in Mathematics, vol. 49, Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, Mass. – London, 1981.

[66]

Rudin W., Functional analysis, McGraw-Hill Series in Higher Mathematics, McGraw-Hill Book Co., New York, Düsseldorf, Johannesburg, 1973.

[67]

Saccoman J. J., Extension theorems by Helly and Riesz revisited, Riv. Mat. Univ. Parma (4) 16 (1990), 223–230.

[68]

Schaefer P., Matrix transformations of almost convergent sequences, Math. Z. 112 (1969), 321–325.

[69]

Schaefer P., Infinite matrices and invariant means, Proc. Amer. Math. Soc. 36 (1972), 104–110.

[70]

Schatte P., On uniform limitability and Banach limits, Z. Anal. Anwendungen 9 (1990), 319–326.

[71]

Semenov E. M., Sukochev F. A., Extreme points of the set of Banach limits, Positivity, 17 (2013), 163–170.

[72]

Semenov E. M., Sukochev F. A., Usachev A. S., Geometric properties of the set of Banach limits, Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat. 78 (2014), 177–204 (rusky, překlad v Izv. Math. 78 (2014), 596–620).

[73]

Simons S., Banach limits, infinite matrices and sublinear functionals, J. Math. Anal. Appl. 26 (1969), 640–655.

[74]

Smithies F., The shaping of functional analysis, Bull. London Math. Soc. 29 (1997), 129– 138.

[75]

Stieglitz M., Tietz H., Matrixtransformationen von Folgenräumen. Eine Ergebnisübersicht, Math. Z. 154 (1977), 1–16.

[76]

Sucheston L., On existence of finite invariant measures, Math. Z. 86 (1964), 327–336.

[77]

Sucheston L., Banach limits, Amer. Math. Monthly 74 (1967), 308–311.

[78]

Talagrand M., Moyennes de Banach etrémales, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. A–B 282 (1976), Aii, A1359–A1362.

[79]

Veselý J., Základy matematické analýzy, první díl, Matfyzpress, Praha, 2004.

[80]

Veselý J., Základy matematické analýzy, druhý díl, Matfyzpress, Praha, 2009.

[81]

Wilansky A., Functional analysis, Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co., New York, Toronto, London, 1964.

179


1.7.2015 11:39:40

[82]

Wilansky A., Modern methods in topological vector spaces, McGraw-Hill International Book Co., New York, 1978.

[83]

Wilansky A., Summability through functional analysis, North-Holland Mathematics Studies, vol. 85, Notas de Matemática (91), North-Holland Publishing Co., Amsterdam, New York, 1984.

[84]

You Chao, Simplified and equivalent characterizations of Banach limit functional and strong almost convergence, arXiv:0906.4010v1 [math. FA], 22 Jun 2009.

[85]

You Chao, Advances in almost convergence, Ann. Funct. Anal. 3 (2012), 49–66.

[86]

Zeller K., Beekmann W., Theorie der Limitierungsverfahren, Zweite, erweiterte und verbesserte Auflage, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 15, Springer Verlag, Berlin – New York, 1970.

Poděkování: Děkuji Martině Bečvářové za pomoc a spolupráci při technickém zpracování textu.

Adresa Prof. RNDr. Ivan Netuka, DrSc. Matematický ústav Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze Sokolovská 83 186 75 Praha 8 – Karlín e-mail: [email protected]ff.cuni.cz

180


1.7.2015 11:39:40

S. Banach: Théorie des opérations linéaires, [3], str. 34

181


1.7.2015 11:39:40

G. G. Lorentz: A contribution to the theory of divergent sequences, [38], str. 167

182


1.7.2015 11:39:42

PODIVNÁ TVÁě GEOMETRIE U JANA CARAMUELA Z LOBKOVIC MIROSLAVA OTAVOVÁ Abstract: Juan Caramuel Lobkowitz (1606–1682) contributed to development of mathematics especially by formal construction of combinatorics and numeration systems. In his work Mathesis biceps (1667) Caramuel solves philosophical issues of nature of mathematical disciplines as well and tries to establish their axiomatic foundations. He brings simultaneously the wide scale of surprising practical applications.

1

ZmČna paradigmatu v 17. století

Evropa 17. století nebyla prostorem idylickým. VnitĜní rozpory kĜesĢanské civilizace a krize spoleþenských institucí neschopných Ĝešit nahromadČné problémy vyústily do vleklých bojĤ tĜicetileté války. VČdomí nutnosti zvládnout situaci spojovalo všechny velké osobnosti té doby (viz [7]) a projevovalo se nejen v oblasti politické, ale i filosofické. PĜedpoklad provázanosti svČta vyžadoval celostní pĜístup, a tedy nalezení universálního nástroje uchopení skuteþnosti, který by byl zpĤsobilý ji objektivnČ popsat, racionálním zpĤsobem formulovat a Ĝešit vzniklé otázky. Je zĜejmé, že této ambici mohly dostát jen formální disciplíny, a proto bylo tĜeba oprostit vČdecké poznání od dosavadních metafyzických principĤ ve prospČch matematiky a vytvoĜit nový adekvátní jazyk vČdy. Zkoumání jazyka mČlo v evropském prostoru již dlouhou tradici, pČstovalo se na universitách v podobČ spekulativní gramatiky již od 13. století. Vkladem barokního období pak byla inspirace stĜedovČkou hebrejskou kabalou (viz [5]), jež ve své podstatČ nese myšlenku paralelismu jazyka a stvoĜeného universa a otevĜela tehdy cestu k tvorbČ umČlého jazyka. Matematika se stává oním hledaným svorníkem, zárukou universality a pravdivosti poznání a pĜebírá vlastnČ roli, kterou v pĜedchozím období hrála teologie. Její novČ konstituované odvČtví, kombinatorika, pak koresponduje s principem kompozicionality, z nČhož novovČká vČda vychází. Všechny zmínČné aspekty lze ilustrovat na díle Jana Caramuela z Lobkovic a naopak, Caramuelovu nezvykle širokému pojetí matematiky nelze porozumČt mimo kontext doby.

2

Matematika a jazyk u Jana Caramuela z Lobkovic

Jan Caramuel z Lobkovic byl typickým kosmopolitním intelektuálem barokní doby. Narodil se v Madridu roku 1606 do rodiny s þeskými koĜeny (po matce byl Lobkovic), studoval filosofii a teologii na slavných španČlských universitách v Alcale a Salamance, doktorát teologie získal v nizozemské Lovani. Již jako student vstoupil do cisterciáckého Ĝádu, své nadání a vČdeckou erudici proto uplatĖoval i v církevní sféĜe. Upozornil na sebe výjimeþnou schopností logické argumentace také v politicky choulostivých otázkách a stal se opatem v nČmeckém Disibodenbergu. Brzy následovalo pozvání císaĜe Ferdinanda III., který využil Caramuelova diplomatického umu pĜi dojednání mírové smlouvy na Vestfálském kongresu. V Praze pak strávil Caramuel celou dekádu jako generální vi-

183


1.7.2015 11:39:43

káĜ pražského arcibiskupa kardinála Harracha. V roce 1657 byl papežem ustanoven jako biskup Satrijsko-Campagneské diecéze v jižní Itálii. CaramuelĤv hrob dodnes najdeme v katedrále v jeho posledním pĤsobišti ve Vigevanu.

Obr. 1: Kombinatorická analýza vztahĤ mezi úhly trojúhelníka Caramuel však nebyl jen církevním hodnostáĜem. Matematické nadání se u nČj projevovalo již v dČtském vČku a podporoval je jeho otec, který pĜed odchodem do ŠpanČlska byl na pražském dvoĜe Rudolfa II. císaĜským matematikem. Zájem o matematiku u Caramuela provázela fascinace židovskou kabalou, jež byla tolerována a do jisté míry pČstována v Alcale. Kabalistický pohled na svČt formoval jeho vlastní myšlení a umožĖoval mu nacházet nové souvislosti a analogie i v dalších odlišných kontextech. K tomu pĜistupovalo vynikající Caramuelovo jazykové vybavení. KromČ obvyklých národních jazykĤ zemí, kde žil, a latiny s Ĝeþtinou, bČžných u vzdČlancĤ té doby, znal hebrejštinu, arabštinu a þínštinu (viz [6]). To mu poskytovalo dostatek srovnávacího materiálu, aby mohl studovat jazyk jako abstraktní strukturu prostĜedky matematiky.

184


1.7.2015 11:39:44

Prvním Caramuelovým pĜíspČvkem k problematice umČlých jazykĤ byla ještČ v dobČ studií v Lovani komentovaná edice renesanþního textu Steganographiae [1] z indexu zakázaných knih, kterou tím rehabilitoval v oþích souþasníkĤ a interpretoval jako teorii šifrování. V prĤbČhu pražského pĤsobení vydal rozsáhlý spis Theologia rationalis [2], v nČmž v kapitole Grammatica audax (Odvážná mluvnice) pĜedstavuje svĤj metafyzický dialekt, umČlý jazyk obohacený novými slovy, která generuje postupným vkládáním rĤzných samohlásek do stejného základu, a formální definicí jim pak pĜiĜazuje významy. Kombinatorické metody Caramuela provázejí po celou dobu jeho intelektuální práce. Rozvíjí je postupnČ podle potĜeb zvoleného tématu, pĜesvČdþení o jejich relevanci a obecnosti je pro nČj evidentním základem poznatelnosti svČta.

3

Speculatio a Praxis

Systematický výklad kombinatoriky (viz [7]) je obsažen až v CaramuelovČ souborném matematickém spisu Mathesis biceps vetus et nova [3] a Mathesis nova [4], jejž vydal jako biskup ve své vlastní tiskárnČ v Campanii v roce 1667, resp. 1669. Jde o encyklopedické dílo, úhrnem více než 1700 stran foliového formátu. Klíþem k pochopení autorova zámČru je název – Nauka stará a nová o dvou hlavách. Vágní slovo nauka naznaþuje velmi široké pojetí matematiky. Každý pojem je prezentován v historických souvislostech, autor propojuje staré a nové, uvádí citace literatury k tématu. Adjektivum biceps je alegorickým vyjádĜením nároku, kterému má matematika dostát – být universálním nástrojem poznání jakéhokoli jevu ve svČtČ. OdpovČć v podobČ krásné rytiny nabízí titulní list. OnČmi dvČma hlavami matematiky jsou Speculatio a Praxis, v dnešním jazyce Teorie a Aplikace. Oba aspekty se skuteþnČ vzájemnČ doplĖují v celém textu.

Obr. 2: Kombinatorický dĤkaz správnosti aristotelské nauky o živlech Kapitola vČnovaná geometrii napĜ. zaþíná filosofickými otázkami o povaze základních pojmĤ jako jsou bod, kĜivka, plocha, tČleso. Caramuel zná názory presokratikĤ, referuje o aporiích Zénóna Elejského tak, jak jsou zachovány v citaci Aristotela ve Fyzice, a pak sám pĜedkládá své argumenty a definice. Je pĜíznaþné, že se tak dČje v odstavci nazvaném De notitiis Speculativis, quae requiruntur ante praxim. Aby se vyhnul paradoxĤm kontinua a mohl budovat konsistentní teorii (dnešní terminologií Ĝeþeno, oþekává splnČní axiomu aditivity míry), bod (punctum geometricum) definuje jako initium quantitatis, které je indivisibile, tj. nemá þásti, a nemá délku (longitudo). KĜivka (linea) se proto neskládá z jednotlivých bodĤ, ale je fluxus puncti, plynutím bodu a má délku. Odlišný statut však mají bod (punctum practicum), kĜivka atd. v geodézii, která je protČjškem teoretické geometrie na úrovni Praxis.

185


1.7.2015 11:39:44

Ve druhém svazku Mathesis nova získává Caramuel po vybudování kombinatorických pojmĤ nové prostĜedky pro studium geometrie. Uvećme tabulku (viz obr. 1), která pĜehlednČ zachycuje zkoumání vztahĤ mezi vnitĜními úhly trojúhelníka. Rozlišíme-li tĜi základní možnosti – úhel ostrý, pravý a tupý, tabulka obsahuje 27 variací 3. tĜídy s opakováním. Ve 2., resp. 3. sloupci najdeme vyhodnocení logického soudu, kdy ze znalosti úhlu A þiníme závČr o B, resp. ze znalosti A, B usuzujeme na C. Stejný pĜístup volí Caramuel i v situaci, kdy postuluje, že matematickými argumenty dokáže správnost Aristotelovy nauky o þtyĜech elementech neboli živlech. PĜipomene nejdĜíve živlovou nauku presokratika Empedoklea z 5. století pĜ. Kr. o 4 koĜenech, pak srovnává Aristotelovu reduktivní koncepci 4 prvkĤ látkové povahy (vzduch, oheĖ, voda, zemČ) s pozdČjším uþením o kvintesenci (aithér). Rozhodnutí o správném poþtu prvkĤ opČt pĜinese princip kompozicionality a kombinatorika. Prvky vznikají jako kombinace (tj. dvojice) 4 primárních kvalit (teplé, studené, vlhké, suché). Poþet kombinací 2. tĜídy ze 4 prvkĤ je 6 (viz obr. 2), tj. tyto kombinace jsou myslitelné (intelligibile). První a poslední jsou však nemožné in re. Na této aplikaci kombinatoriky ve filosofii je však nejvíc pĜekvapivé její zaĜazení do kapitoly Geometria specialis. Literatura [1] Caramuel z Lobkovic J.: Steganographiae facilis dilucidatio, declaratio etc, Coloniae Aggripinae, 1635. [2] Caramuel z Lobkovic J.: Theologia rationalis sive in auream angelici doctoris summam meditationes, notae et observationes etc, Francofurti, 1654. [3] Caramuel z Lobkovic J.: Mathesis biceps vetus et nova, Campaniae, 1667. [4] Caramuel z Lobkovic J.: Mathesis nova, Campaniae, 1669. [5] Otavová M.: Caramuel z Lobkovic – matematická teorie jazyka v 17. století, In: BeþváĜ J., BeþváĜová M. (ed.): 29. mezinárodní konference Historie matematiky, Matfyzpress, Praha, 2008, str. 147–148. [6] Otavová M.: Jan Caramuel z Lobkovic a jeho Mathesis biceps, In: BeþváĜ J., BeþváĜová M. (ed.): 33. mezinárodní konference Historie matematiky, Matfyzpress, Praha, 2012, str. 233–236. [7] Otavová M.: Zrození kombinatoriky v díle Jana Caramuela z Lobkovic, In: BeþváĜ J., BeþváĜová M. (ed.): 35. mezinárodní konference Historie matematiky, Matfyzpress, Praha, 2014, str. 207–210. PodČkování Za laskavé poĜízení fotokopií z díla Jana Caramuela z Lobkovic v majetku Královské kanonie premonstrátĤ na StrahovČ dČkuji pracovnici oddČlení starých tiskĤ klášterní knihovny Mgr. Hedvice KuchaĜové, Ph.D. Adresa Miroslava Otavová, prom. mat. Katedra matematiky Vysoká škola ekonomická Ekonomická 957 148 00 Praha 4 e-mail: [email protected] 186


1.7.2015 11:39:44

TIBOR NEUBRUNN A SLOVENSKÁ ŠKOLA TEÓRIE MIERY Beloslav Riečan Abstract: This paper contains core ideas of Tibor Neubrunn’s works on measure theory. These publications and his extensive pedagogical and reviewal work became one of pillars of Slovak school of measure theory. In the end we present one of remarkable results of this school – Šipoš integral.

Úvod Práce z teórie miery a integrálu patria medzi prvé vedecké články Tibora Neubrunna. Je to dosť pochopiteľné, keď vezmeme do úvahy, že v r. 1950 vyšla prelomová monografia Paula R. Halmosa, Measure theory. Ale už v r. 1952 vyšiel jej ruský preklad, ktorý nám bol všeobecne dostupný. Stal sa okrem iného základom prednášky Ladislava Mišíka pre tretiakov na vtedajšej Prírodovedeckej fakulte UK v školskom roku 1955/56. Prof. Mišík prednášal na Univerzite Komenského ako externista, keď kmeňovo pôsobil na Strojníckej fakulte Slovenskej vysokej školy technickej (SVŠT). Keď si Univerzita Komenského zrušila externistov, premiestnili sme sa na čele s Tiborom na SVŠT na v tom čase vzniknuvší Mišíkov seminár z teórie miery. Tento sa pravidelne konal v knižnici Štefana Schwarza. Zúčastňovali sa ho popri Tiborovi a šiestich vysokoškolákoch z PF UK aj pracovníci SVŠT na čele s legendárnou trojicou Ladislav Mišík, Igor Kluvánek, Marko Švec.

1. Konštrukcia miery Konštrukcia miery z objemu je veľmi populárna, pravdepodobne po Halmosovej expozícii v spomínanej monografii. Objem je tam definovaný ako nezáporná funkcia na systéme všetkých kompaktných množín. Druhou motiváciou je systém kompaktných intervalov na reálnej osi. To je problematika zaujímavá tak z hľadiska vedeckého (napr. teória pravdepodobnosti) ako aj z hľadiska didaktického. Tibor Neubrunn vo svojej práci [4] zaujal stanovisko abstraktné. Jeho objem je definovaný na danom systéme podmnožín abstraktného priestoru. Svoje výsledky prezentoval potom v trochu rozšírenej forme v monografiách [12], [13] a [14]. Daná je teda množina X. Objemom budeme rozumieť nezápornú funkciu λ : E → [0, ∞), kde E je systém podmnožín množiny X uzavretý k zjednoteniam, t.j. A, B ∈ E

=⇒

A ∪ B ∈ E,

a obsahujúci prázdnu množinu ∅. Pritom predpokladáme, že 187


1.7.2015 11:39:44

E⊂F

=⇒

λ(E) ≤ λ(F ),

λ(E ∪ F ) ≤ λ(E) + λ(F ), E∩F =∅

λ(E ∪ F ) = λ(E) + λ(F ).

=⇒

V Neubrunnovej teórii je daná dvojica systémov (A, V) podmnožín množiny X spĺňajúca nasledujúce podmienky: (i) ∅ ∈ A ∩ V, (ii) A1 , A2 ∈ A

A1 ∪ A2 ∈ A, '∞ Vn ∈ V (n = 1, 2, . . . ) =⇒ n=1 Vn ∈ V, =⇒

(iii) A ∈ A, V1 , V2 ∈ V, A ⊂ V1 ∪ V2 , =⇒ existujú A1 , A2 ∈ A, A1 ⊂ V1 , A2 ⊂ V2 , A = A1 ∪ A2 , '∞ (iv) A ∈ A, A ⊂ i=1 Vi , Vi ∈ V (i = 1, 2, . . . ) 'n =⇒ A ⊂ i=1 Vi pre nejaké n,

(v) A ∈ A, V ∈ V

=⇒

V ∩ A ∈ V,

(vi) A ∈ A, V ∈ V

=⇒

V ∩ A ∈ A.

Príkladom takej dvojice je systém A všetkých kompaktných, resp. systém V všetkých otvorených podmnožín daného Hausdorffovho topologického priestoru X. Hlavný výsledok článku je nasledujúca veta. Veta 1.1. Existuje miera μ ¯ na σ(A ∪ V), ktoré je rozšírením objemu λ : A → R. Pritom μ ¯(F ) = sup{μ(E ∩ F ); E ∈ σ(A)}, μ je zúžením na σ(A) vonkajšej miery μ , μ (E) = inf{λ (V ); E ⊂ V ∈ V}, λ (V ) = sup{λ(A); V ⊃ A ∈ A}. Dôsledok 1.2. Nech X je Hausdorffov topologický priestor, A je systém všetkých kompaktných množín, λ je objem na A. Potom μ : σ(A) → R je regulárna Borelova miera. Pritom regulárnosť znamená μ(A) = inf{μ(U ); U ∈ V} = sup{μ(C); C ∈ A}. Regulárnosťou

sa zaoberá aj práca [2]. Tu sa uvažuje miera μ : (X, S) → [0, ∞) f dμ, kde f ≥ 0 a X je topologický priestor. a miera ν(f ) = E

188


1.7.2015 11:39:45

Veta 1.3. Ak μ(E) = sup{μ(C); E ⊃ C, C kompaktná}, tak aj ν(E) = sup{ν(C); E ⊃ C, C kompaktná}. Podmienka ν(E) = E f dμ súvisí s pojmom absolútnej spojitosti miery ν vzhľadom na mieru μ (označenie ν << μ), t.j. s implikáciou μ(E) = 0 =⇒ ν(E) = 0). V článku [11] sa využíva pojem (CCC) (countable chain condition). Definícia 1.4. Funkcia ν : S → [0, ∞] spĺňa podmienku (CCC), ak neexistuje nespočítateľný systém E ⊂ S navzájom disjunktných množín taký, že ν(E) > 0, E ∈ E. Veta 1.5. Nech (X, S, μ) je priestor so σ- konečnou mierou μ spĺňajúcou podmienku (CCC). Potom miera ν : S → [0, ∞] je absolútne spojitá vzhľadom na μ vtedy a len vtedy, keď existuje taká merateľná funkcia f , že

ν(E) = f dμ E

pre všetky E ∈ S. Veta 1.6. Nech (X, S, μ) je priestor so σ-konečnou mierou. Nech ν : S → [0, ∞] spĺňa podmienku (CCC). Potom ν << μ vtedy a len vtedy, keď existuje taká merateľná funkcia f na X, že

ν(E) = f dμ E

pre všetky E ∈ S.

2. Ideály Slovo ideál má svoju symboliku. Ale v našej teórii má aj matematický význam. Mimochodom T. Neubrunn ho pôvodne nepoužíval (pozri [7]), hovoril o systéme nulových množín. Definícia 2.1. Nech (X, S) je merateľný priestor, N ⊂ S. Systém N nazveme ideálom, ak (i) E, F ∈ N

=⇒

E ∪ F ∈ N,

(ii) E ∈ N , F ∈ S, F ⊂ E

=⇒

F ∈ N.

189


1.7.2015 11:39:45

Ideál N sa nazýva σ-ideálom, ak platí (iii) En ∈ N (n = 1, 2, . . . )

=⇒

'∞

n=1

En ∈ N .

Aj v tomto všeobecnejšom tvare sa uplatňuje vlastnosť (CCC). V [7] je dokázané o.i. nasledujúce tvrdenie. Veta 2.2. Nech (X, S) je merateľný priestor, M ⊂ S je σ-ideál a systém S \ M neobsahuje nespočítateľne veľa navzájom disjunktných množín, M ⊂ S je σ-ideál, ktorý nie je súčasťou systému M. Potom existuje taká množina A ∈ S \ M, že A ∈ M a E ⊂ X \ A, E ∈ M =⇒ E ∈ M. Pravdaže, tvrdenia uvedeného typu sa dajú bezprostredne aplikovať na tvrdenia z teórie miery. Veta 2.3. Nech (X, S, m) je priestor s úplnou mierou (t.j. E ∈ S, m(E) = 0, F ⊂ E =⇒ F ∈ S). Nech m je miera na S, ktorá nie je absolútne spojitá podľa m. Potom existuje A ∈ S, m (A) = 0, m(A) > 0 a E ⊂ X \ A, m (E) = 0

=⇒

m(E) = 0.

Je pozoruhodné, že niektoré tvrdenia z [7] sa dajú použiť v teórii P. R. Halmosa a L. J. Savagea aplikujúcej Radonovu-Nikodymovu vetu v teórii postačujúcich štatistík. Ďalšie výsledky transformujúce tvrdenia teórie miery do teórie množín sú v monografiách [12], [13] a [14]. Pre jednoduchosť predpokladajme, že X ∈ S. Vezmime napr. Lebesgueovu vetu, ktorá pracuje s dvoma mierami μ, ν : S → [0, ∞], z ktorých jedna je konečná. Potom existujú také miery ν1 , ν2 : S → [0, ∞], že ν = ν1 + ν 2 , pričom ν1 << μ a ν2 ⊥ μ, (t.j. existujú také A, B ∈ S, že X = A ∪ B, A ∩ B = ∅ a μ(E ∩ A) = ν2 (E ∩ B) pre všetky E ∈ S). Definícia 2.4. Nech M, N ⊂ S sú σ-ideály. Hovoríme, že M, N sú singulárne (píšeme M ⊥ N ), ak existujú také A, B, že X = A ∪ B, A ∩ B = ∅ a E ∩ A ∈ M,

E∩B ∈N

190


1.7.2015 11:39:45

pre všetky E ∈ S. Absolútnu spojitosť mier možno sformulovať inklúziou σ-ideálov N ⊂ M. Ak totiž μ, ν sú miery, N = {A ∈ S; μ(A) = 0}, M = {A ∈ S; ν(A) = 0}, potom ν << μ práve vtedy, keď N ⊂ M. Veta 2.5. Nech (X, S) je merateľný priestor, M, N ⊂ S sú σ-ideály, pričom M \ N spĺňa (CCC), t.j. neobsahuje nespočítateľne veľa navzájom disjunktných prvkov. Potom existuje taká množina F ∈ M, že pre σ-ideály N1 = {E ∈ S; E ∩ F ∈ M},

N2 = {E ∈ S; E \ F ∈ M}

platí N1 ⊂ M,

N2 ⊥ M.

Klasickú Lebesgueovu vetu dostaneme pomocou vyššie uvedených volieb σ-ideálov N , M a definícií ν1 (E) = ν(E ∩ F ), ν2 (E) = ν(E \ F ).

3. Malé množiny Myšlienka nahradiť množiny nulovej miery daným σ-ideálom sa ukázala byť užitočnou, a preto aj populárnou. Ale nezahŕňa onú „ε-ovú vojnu . Vieme, že v konvergenčných otázkach potrebujeme vedieť, kedy má nejaká množina „malú mieru, teda kedy je malá. Definícia 3.1. Nech (X, S) je merateľný priestor a (Nn )∞ n=1 je postupnosť systémov množín Nn ⊂ S (n = 1, 2, ...). Budeme hovoriť, že (Nn )∞ n=1 je systém malých množín na S (stručne malý systém), ak sú splnené nasledujúce podmienky: (i) ∅ ∈ Nn pre n = 1, 2, ..., (ii) pre každé n existuje taká postupnosť (ki ) prirodzených čísel, že ∞ ( Ei ∈ Nn , ak Ei ∈ Nki pre i = 1, 2, ..., i=1

(iii) ak E ∈ Nn , F ⊂ E, F ∈ S, tak F ∈ Nn ,

191


1.7.2015 11:39:45

(iv) Nn ⊃ Nn+1 pre n = 1, 2, ..., )∞ (v) ak E ∈ Nn , F ∈ m=1 Nm , tak E ∪ F ∈ Nn . Príklad 3.2. Nech m : S → [0, ∞) je miera, Nn = {E ∈ S; m(E) < (Nn )∞ n=1 je systém malých množín.

1 n }.

Potom

Je príznačné, že Tibor Neubrunn sa zasadil za teóriu systémov malých množín hneď po jej vzniku. Jeho obľúbenou témou bola absolútna spojitosť. Ak μ, ν sú miery na S, tak ν << μ, ak ∀ε > 0 ∃ δ > 0 : E ∈ S, μ(E) < δ =⇒ ν(E) < ε. Tento pojem možno transformovať do malých systémov. ∞ Definícia 3.3. Nech (Nn )∞ n=1 , (Mn )n=1 sú malé systémy. Píšeme ∞ (Nn )∞ n=1 <<ε (Mn )n=1 ,

ak ∀n ∃ m : Mm ⊂ Nn .

Príklad 3.4. Nech μ, ν : S → [0, ∞) sú miery, + + * * 1 1 , Nn = E ∈ S; ν(E) < . Mn = E ∈ S; μ(E) < n n ∞ Potom (Nn )∞ n=1 <<ε (Mn )n=1 znamená, že

∀n ∃ m : μ(E) <

1 1 =⇒ ν(E) < . m n

Inak formulované ∀ε > 0 ∃ δ > 0 : μ(E) < δ =⇒ ν(E) < ε. ∞ Veta 3.5. Nech (Nn )∞ n=1 , (Mn )n=1 sú malé systémy. Potom

(Nn )∞ n=1

<<

(Mn )∞ n=1

=⇒

∞ &

Nn ⊃

n=1

∞ &

Mn .

n=1

Opačná implikácia platí pre tzv. spojitý systém (Nn )∞ n=1 . Definícia 3.6. Malý systém (Nn )∞ n=1 je polospojitý zhora, ak (Bi ∈ S, Bi B, ∃ io , Bi ∈ / Nio )

=⇒

B∈ /

∞ &

Nn .

n=1

192


1.7.2015 11:39:45

Pojem spojitého malého systému odpovedá pojmu funkcie polospojitej zhora: Bi B

=⇒

μ(Bi ) 0.

A skutočne platí (pozri [10]): ∞ ∞ Veta 3.7. Nech (Nn )∞ n=1 , (Mn )n=1 sú malé systémy na S, pričom (Nn )n=1 je polospojitý zhora. Potom

∞ (Nn )∞ n=1 << (Mn )n=1

⇐⇒

∞ & n=1

Nn ⊃

∞ &

Mn .

n=1

Videli sme, že zatiaľ čo nulové množiny môžu byť definované jednoznačne, pojem množiny „malej miery má fuzzy charakter. Je zaujímavé, že pojem fuzzy množiny a pojem množiny malej miery (opísaný matematicky tzv. malými systémami) boli zavedené nezávisle na sebe a temer súčasne. Hoci axiomatické systémy sú v oboch teóriach dosť rôzne, pojem malého systému môže byť skúmaný z hľadiska fuzzy množín.

4. Submiery Submiery sa k nám dostali najprv prostredníctvom prác I. Dobrakova (pozri [1]). Aj keď teóriu submier možno budovať na všeobecnejších štruktúrach, ostaneme v klasickom ponímaní. Definícia 4.1. Nech S je σ-algebra podmnožín množiny X. Funkcia m : S → R je submiera, ak spĺňa nasledujúce podmienky: 1. m(∅) = 0, 'n 2. ak A ⊂ i=1 Ai , tak m(A) ≤ Σni=1 m(Ai ), 3. ak Ai ∅, tak limi→∞ m(Ai ) = 0. Definícia 4.2. Postupnosť (Nn )∞ n=1 a submiera m : S → R sú ekvivalentné, ak platí (i) ∀ε > 0 ∃ n ∈ N : A ∈ Nn =⇒ m(A) < ε, (ii) ∀n ∈ N ∃ ε > 0 : m(A) < ε =⇒ A ∈ Nn . V [14] je dokázané nasledujúce tvrdenie. Veta 4.3. K ľubovoľnej submiere m : S → R existuje malý systém (Nn )∞ n=1 ekvivalentný s tou submierou. A naopak, k ľubovoľnému malému systému (Nn )∞ n=1 existuje submiera m : S → R s ním ekvivalentná.

193


1.7.2015 11:39:45

Logickým vyústením slovenskej školy teórie integrálu je Šipošov integrál ([15], [16], [17]), ktorý skonštruoval Neubrunnov žiak Ján Šipoš. Tento integrál bol použitý v Kahnemannovej a Tverského ekonomickej koncepcii, za ktorú bol Kahnemann odmenený Nobelovou cenou. Pritom Šipošov integrál je určitou alternatívou Choquetovho integrálu. Pravdaže, vznikli nezávisle na sebe a Šipošov integrál má svoje symetrické osobitosti. Odteraz budeme predpokladať, že je daný priestor (X, S), kde S je σ-algebra. Definícia 4.4. Funkcia μ : S → R je kapacita, ak (i) μ(∅) = 0, (ii) A ⊂ B =⇒ μ(A) ≤ μ(B). Definícia 4.5. Nezáporná funkcia f : X → [0, ∞) je integrovateľná v zmysle Choqueta, ak existuje

(C)

∞

f dμ =

μ(f −1 [0, t))dt.

0

A teraz uvedieme Šipošovu konštrukciu. Nech F je konečná množina reálnych čísel, F = {bk , bk−1 , ..., b1 , b0 , a0 , a1 , ..., an }, pričom bk < bk−1 < · · · < b1 < b0 = 0 = a0 < a1 < · · · < an , a nech f : X → R je merateľná funkcia. Nech F je systém všetkých takých množín F . Položme SF (f ) = Σni=1 (ai − ai−1 )μ(Ai ) + Σni=1 (bi − bi−1 )μ(Bi ), kde Ai = {x ∈ X; f (x) ≥ ai },

i = 0, 1, ..., n,

Bj = {x ∈ X; f (x) ≤ bj },

j = 0, 1, ..., k.

Definícia 4.6. Funkcia f : X → R je integrovateľná v zmysle Šipoša, ak existuje

(S) f dμ = lim SF (f ). F ∈F

Pravdaže, ak je funkcia f nezáporná, tak je integrovateľná v zmysle Šipoša vtedy a len vtedy, keď je integrovateľná v zmysle Choqueta.

194


1.7.2015 11:39:45

Záver Prof. RNDr. Tibor Neubrunn, DrSc. (2. 8. 1929 až 21. 11. 1990), pôsobil na Univerzite Komenského 37 rokov (1953–1990) s jednoročnými prerušeniami na Univerzite v Bagdade 1967/68 a na Univerzite v St. Salvadore v Brazílii 1972/73. Hoci vynikal jemnou povahou, a to tak ako učiteľ, ako aj ako vedecký pracovník, ostala po ňom výrazná vedecká stopa. Stalo sa to v troch smeroch: prvým bola teória miery, druhým teória reálnych funkcií, tretím teória kvantových štruktúr. Predložená práce je prvým pokusom o zhodnotenie vedeckého prínosu Tibora Neubrunna v oblasti teórii miery a jej aplikácií. Ale je tu aj pedagogický odkaz, ktorého pozoruhodným výsledkom je Šipošov integrál.

Literatúra [1] Dobrakov I., On submeasures I, Dissert. Math. 112, 1973. [2] Neubrunn T., O jednej podmienke pre vn´ utorn´ u regularitu niektorých mier, Acta fac. rer. nat. Univ. Comen., Mathem. 4, 1959, 283–286. [3] Neubrunn T., A note on measurable transformations, Acta fac. rer. nat. Univ. Comen., Mathem. 4, 1959, 286–289. [4] Neubrunn T., O konˇstrukcii miery z objemu, Acta fac. rer. nat. Univ. Comen., Mathem. 6, 1961, 51–60. [5] Neubrunn T., Merateľnosť niektorých funkcií na kartézskych súčinoch, Mat.-fyz. čas. SAV 10, 1960, 216–231. [6] Neubrunn T., O metrických priestoroch patriacich priestorom s mierou, Acta fac. rer. nat. Univ. Comen., Mathem. 7, 1963, 663–673. [7] Neubrunn T., Zamečanije ob absoľutnoj nepreryvnosti mier, Mat.-fyz. čas. SAV 16, 1966, 21–30. [8] Neubrunn T., On the absolue continuity of product measures, Acta fac. rer. nat. Univ. Comen., Mathem. 21, 1968, 378–386. [9] Neubrunn T., A remark on the product of measures, Acta fac. rer. nat. Univ. Comen., Mathem. 22, 1969, 31–37. [10] Neubrunn T., On abstract formultion of absolute continuity and dominancy, Mat. čas. SAV 19, 1969, 202–216. [11] Neubrunn T., On some conditions of abolute continuity of measures, Acta fac. rer. nat. Univ. Comen., Mathem. 39, 1980, 89–95. [12] Neubrunn T., Riečan B., Miera a integrál, VEDA, Bratislava, 1981. [13] Riečan B., Neubrunn T., Teória miery, VEDA, Bratislava, 1991.

195


1.7.2015 11:39:45

[14] Riečan B., Neubrunn T., Integral, Measure, and ordering, Elsevier, Dortmund, 1997. [15] Šipoš J., Integral with respect to a pre-measure, Math. Slovaca 29, 1979, 257– 270. [16] Šipoš J., Non linear integrals, Math. Slovaca 29, 1979, 333–346. [17] Šipoš J., Integral representation of nonlinear functionals, Math. Slovaca 31, 1981, 39–51.

Adresa prof. RNDr. Beloslav Riečan, DrSc. Fakulta prírodných vied Univerzity Mateja Bela Katedra matematiky Tajovského 40 974 01 Banská Bystrica e-mail: [email protected]

196


1.7.2015 11:39:46

HANS SCHNEIDER (1927–2014) MARTINA ŠTċPÁNOVÁ Abstract: Hans Schneider, leading linear algebraist of the 20th century, who was one of the founders of the International Linear Algebra Society and the editor-in-chief of the prestigious journal Linear Algebra and Its Applications, died in 2014.

1 Životní osudy 1.1

Z Rakouska pĜes ýeskoslovensko a Polsko do Nizozemí1

Hans Schneider se narodil 24. ledna 1927 ve Vídni jako jediné dítČ dvou zubaĜĤ. Zatímco jeho matka Isabella Schneider (1897–1967), rozená Saphir, pocházela rovnČž z VídnČ, otec Hugo Schneider (1897–1967) se narodil v slezském pohraniþním mČstČ Karviná a do VídnČ odešel za gymnaziálním studiem. Rodiþe se vzali v roce 1922, kdy oba ukonþili svá studia zubního lékaĜství. Otec si poté ve Vídni otevĜel úspČšnou soukromou stomatologickou praxi, matka pracovala pro mČstské dentální centrum ošetĜující školní dČti. Rodiþe Hanse Schneidera se nehlásili k žádnému náboženství, podle nacistických rasových zákonĤ však byli považováni za Židy. Z tohoto dĤvodu byl poklidný život rodiny nenávratnČ pĜetržen v bĜeznu 1938 anšlusem Rakouska nacistickým NČmeckem. Tou dobou zbývaly rodinČ poslední tĜi mČsíce spoleþného pobytu ve Vídni. V prvních týdnech od anexe se zdálo, že bČžné denní þinnosti tehdy jedenáctiletého Hanse se pĜechodem pod nacistickou nadvládu pĜíliš nezmČní. Otec Hugo se zpoþátku neobával ani o svou profesní dráhu. VČdČl sice, že ztratí nČkteré své nežidovské pacienty, ale souþasnČ vČĜil, že do svého registru získá nČkteré pacienty židovské, kteĜí dosud navštČvovali zubaĜe nežidovského, a bude tak i nadále provozovat svou praxi. V následujících tĜech mČsících však pochopil, jak moc se mýlil. Jednoho dne mu totiž mladý muž v uniformČ SA sdČlil, že je také zubaĜ a že od té chvíle patĜí jedna ze dvou Schneiderových ordinací jemu. Hugo Schneider si velmi rychle uvČdomil, že pro Židy již není v Rakousku bezpeþno, a pĜestože byl, dle pozdČjších vzpomínek syna Hanse, velmi opatrným þlovČkem, rozhodl se pro riskantní útČk rodiny ze zemČ. Problém nebyl s opuštČním Rakouska, obtížné bylo nalézt zemi, která by je pĜijala. V þervnu 1938 rodina odjela vlakem do ýeskoslovenska, kam vstoupila ilegálnČ po podplacení þeského pohraniþníka, a pobývala u jednoho z otcových bratrĤ v Karviné, otcovČ rodišti. Ze tĜí pĤvodnČ hmotnČ i spoleþensky dobĜe postavených lidí se tak velmi rychle stali uprchlíci, lidé bez jakýchkoliv nadČjí do budoucnosti a bez spoleþenského uznání. Na konci záĜí 1938 byla podepsána Mnichovská dohoda, na jejímž základČ bylo mČsto Karviná pĜipojeno k Polsku. Trojice se tak ocitla ilegálnČ v další zemi. JeštČ pĜedtím se rodiþe rozhodli, s vČdomím, že své jediné dítČ již možná nikdy neuvidí, zajistit pro Hanse místo na kvakerské internátní škole založené pro dČti nČmeckých a rakouských uprchlíkĤ 1

Informace z paragrafĤ 1.1 a 1.2 byly pĜevážnČ pĜevzaty z publikovaných vzpomínek Hanse Schneidera, které byly nazvány March 1938–August 1940: A Personal History of My Family During 30 Turbulent Months [2] a sepsány kolem roku 2000.

197


1.7.2015 11:39:46

v nizozemském Eerde. S cílem získat pro Hanse povolení ke vstupu do Nizozemí a k docházce na zmínČnou školu, psala jeho matka prosebné dopisy adresované do rukou Jacoba Costera-Lucase, þlena nizozemského výboru pro pomoc zahraniþním dČtem. Hans Schneider o tČchto dopisech takĜka celý život nevČdČl, nČkteré z nich se k nČmu dostaly, až když mu bylo témČĜ osmdesát let. Citujme útržky z tČchto dopisĤ (Hans Schneider je pĜeložil z nČmþiny do angliþtiny, viz [2]). Dear Mrs. Coster, please don’t be angry I ask you to speed up the matter. Our situation here is so uncertain that I hardly know whether an acceptance that occurs only after a few weeks would still find us here. We are here completely depend on our relatives who themselves do not know how their situation will develop in the next few weeks. That is why we would be so glad to know that our child has reached safety. Should this matter be delayed for some time despite our kind efforts then it would help us greatly if you knew of a Dutch family in Poland (in Warsaw or elsewhere) who would be ready to keep Hansl until his departure. [24. Ĝíjna 1938, Karviná, Polsko] We received an order to leave this country within 48 hours. This order was then changed; we may stay until November 9. It would be our great good fortune if the matter of Hansl were settled by then. ... We are infinitely grateful to you for your efforts and I wish I could prove this to you some day. [29. Ĝíjna 1938] First of all my heartfelt thanks. I can hardly express in words how happy and grateful we are that Hansl has been granted an entry permit … Hansl was intensely looking forward to his getting out of here and it must have been a big disappointment to him … [9. listopadu 1938] Hans Schneider musel odjet kvĤli získání víza do Varšavy a poté se mČl pĜesunout do Holandska, aniž by vstoupil na území NČmecka. Znamenalo to odletČt nejdĜíve z Varšavy do Prahy a odtud pĜímým letem do Amsterdamu. Letadlo do Prahy však kvĤli nepĜízni poþasí nevzlétlo a odlet dalším spojem by znamenal desetidenní þekání na následující let do Amsterdamu, což však nebylo možné, protože žádný hotel by neubytoval osobu bez dokladĤ. Bylo tedy nutné nalézt zpĤsob, jak poseþkat ve VaršavČ. Hugo Schneider, jenž svého syna ve VaršavČ doprovázel, proto oslovil prvního serióznČ vypadajícího muže, kterého potkal na ulici, a poprosil ho o pomoc. Ten je poslal na nČmecké velvyslanectví, kde mohl Hans doþasnČ pobývat s jednou nČmeckou rodinou. PozdČji se ukázalo, že muž, který je na ambasádu odkázal, byl polský policista pracující pro resort povČĜený deportací ilegálních cizincĤ. Hans Schneider s odstupem nČkolika desetiletí vyjádĜil názor, že obČ instituce byly ve skuteþnosti protinacisticky zamČĜeny. 1.2

Shledání v Británii

Z Varšavy do Amsterdamu odletČl Hans pravdČpodobnČ 17. listopadu 1938. Rodiþe žijící v Karviné byli v té dobČ udáni úĜadĤm a mČli být dle pĜedpisĤ posláni do NČmecka. NaštČstí se již ponČkolikáté ocitli v blízkosti lidí nejednajících dle oficiálních regulí. Místní policie jim umožnila bČhem následujících þtyĜiadvaceti hodin uprchnout do polského vnitrozemí, kde žili se vzdálenými pĜíbuznými a þekali na jakákoliv víza – aĢ britská nebo americká. V dubnu roku 1939 byl Hugo Schneider zaĜazen mezi þtyĜicet rakouských zubaĜĤ, kterým byl umožnČn vstup do Británie. Z Polska odjeli na lodi

198


1.7.2015 11:39:46

a prvních nČkolik mČsícĤ žili v LondýnČ. Vzhledem k tlaku uprchlických organizací na rozptýlení uteþencĤ do ostatních þástí zemČ se Schneiderovi odstČhovali do Edinburghu. Mezitím Hans opustil Nizozemí a 11. srpna 1939 rovnČž vstoupil na britské území. Pouhé tĜi týdny pĜed vypuknutím druhé svČtové války, po takĜka roce osamČní, se setkal s rodiþi právČ v Edinburghu. PĜežití všech þlenĤ rodiny a jejich opČtovné shledání ve Skotsku považoval Hans Schneider s odstupem let za šĢastnou souhru nČkolika náhod a také odvahy jeho otce podstoupit nejistý útČk z Rakouska. Jak uvedl, v kritickém období let 1938 a 1939 si jako dítČ nepĜipouštČl, že by se s rodiþi již nikdy nevidČl. Na druhé stranČ si dodateþnČ uvČdomil, že jeho rodiþe jistČ museli být takovou myšlenkou neustále pronásledováni. O událostech pĜed rokem 1939 se v rodinČ již nikdy nemluvilo. Kolem roku 2000 Hans Schneider napsal (viz [2]): I used to remark “I was born in Edinburgh at the age of 12”, a joke with serious content. Until I reached my late sixties, I claimed that I had no recollection whatsoever of the first eleven years of my life – and believed it; my prenatal existence was hard to admit and remains shadowy in spite of a conscious effort to recapture it. PodotknČme ještČ, že rodina, u níž pobýval Hans s rodiþi v Karviné, takové štČstí nemČla. Bratr Huga Schneidera se spolu s manželkou a malým synem stali obČtmi holokaustu. Bohužel ani štastné shledání v Edinburghu nebylo definitivní šĢastnou teþkou za mČsíci plnými strachu, nebylo zaþátkem nového spoleþného života. Hugo Schneider, jenž musel složit nové zkoušky ze stomatologie, aby mohl opČt vykonávat svou profesi, byl oznaþen britským soudem za pĜíslušníka nepĜátelského státu (“friendly enemy alien”), stejnČ jako všichni ostatní nČmeþtí a rakouští muži-uprchlíci žijící v Edinburghu. ÚspČchy postupujícího NČmecka byly totiž þasto pĜipisovány nČmeckým vyzvČdaþĤm, údajnČ pĜestrojeným za uprchlíky. V roce 1940 byl Hugo Schneider internován na Isle of Man. Isabella Schneider, která se již nesnažila vrátit ke kariéĜe zubní lékaĜky, musela opustit Edinburgh a spolu s tĜemi þi þtyĜmi dalšími ženami obdobného osudu bydlela v jediném pokoji ve mČstČ Glasgow. Tehdy tĜináctiletý Hans mohl vzhledem ke svému vČku (pod šestnáct let) zĤstat v Edinburghu. Pobýval pĜitom u jedné svobodné ženy, která pĜijala do domácnosti nČkolik rakouských a maćarských dČtí, které pĜijely na britské ostrovy bez rodiþĤ. Hans navštČvoval, aniž by zpoþátku umČl jediné slovo anglicky,2 George Watson’s Boy’s College, jednu z nejlepších edinburských škol, a studium se stalo hlavní náplní jeho života. BČhem krátké doby se stal nejlepším studentem matematiky ve tĜídČ a do konce života byl vdČþný za kvalitní vzdČlání, které se mu tehdy dostalo. Z internace byl Hugo Schneider propuštČn díky své prospČšné profesi mezi prvními, a to v srpnu 1940. NáslednČ si v Edinburghu vybudoval ordinaci, a tak koneþnČ zaþal spoleþný život rodiny SchneiderĤ v Británii. Edinburgh se pozdČji stal pro oba Hansovy rodiþe místem jejich skonu. Tak jako se oba narodili ve stejném roce (1897), tak také téhož roku (1967) zemĜeli. I na sklonku života Hans Schneider stále pociĢoval vdČk Británii za její odhodlání bojovat proti Hitlerovi. Ve svých vzpomínkách o prožité válce napsal (viz [2]): 2

Poznamenejme, že Hans Schneider nikdy neumČl þesky.

199


1.7.2015 11:39:46

For a teenager, this was an exciting time; though I was an avid leader of newspapers, I did not realize the full horror of it until the war was over. 1.3

Pováleþná léta v EvropČ

Po absolvování stĜední školy se Hans Schneider pĜihlásil k vysokoškolskému studiu na University of Edinburgh, které ukonþil s vyznamenáním roku 1948. JeštČ pĜed absolutoriem se 6. ledna 1948, ve svých dvaceti letech, oženil s Miriam Wieck (nar. 1925) a v témže roce se jim narodilo první dítČ, dcera Barbara Anne (více informací o ženČ Miriam, o slavné hudební rodinČ, z níž pochází, a o dČtech manželĤ Schneiderových viz samostatná pasáž níže). Hans Schneider zaþal nejprve pracovat pro edinburskou Royal Observatory, odkud byl však v roce 1950, tj. bČhem prvních dvou let, propuštČn poté, co rozbil nový, špiþkový pĜístroj. Po této zkušenosti se navrátil ke studiu matematiky na University of Edinburgh, kde mu byl školitelem bČhem doktorského studia Alexander Craig Aitken (1895– 1967), spoluautor jedné z prvních monografií o teorii matic.3 Aitkenovo vedení disertaþní práce však bylo víceménČ formální, protože se dvojice témČĜ nestýkala. Hans Schneider pĜi rĤzných pĜíležitostech rád opakoval, že dostal od svého školitele v podstatČ jen jednu radu, a to v podobČ struþné odpovČdi na vznesený odborný dotaz: “Read Frobenius!” Byla to pouhá dvČ slova, která však velkou mČrou ovlivnila odborné smČrování Hanse Schneidera v jeho celém profesním životČ, který byl zasvČcen lineární algebĜe (více viz dále). Vedle Aitkena byl Schneider, dle svých slov, v poþátcích své kariéry nejvíce ovlivnČn Helmutem Wielandtem (1910–1986), Aleksandrem Markoviþem Ostrovskim (1893–1986), Alstonem Scottem Householderem (1904–1993) a nejvíce ze všech Olgou Taussky-Todd (1904–1993), rodaþkou z Olomouce. Hans Schneider byl bČhem doktorského studia pod þasovým tlakem, který vyplýval z oþekávaného narození dalšího potomka. Disertaþní práci Matrices with non-negative elements tak napsal za pouhých osmnáct mČsícĤ. Po její obhajobČ v roce 1952 získal místo na Queen’s University of Belfast v Severním Irsku. S výjimkou roþního pĤsobení na Washington State University zde zĤstal až do roku 1959, kdy se rodina, tehdy již s tĜemi dČtmi ve vČku jedenáct, devČt a sedm let, pĜestČhovala do zámoĜí. 1.4

University of Wisconsin v Madisonu

Po jedenácti letech (1927–1938) prožitých v poklidu v Rakousku, po nČkolika bouĜlivých mČsících strávených postupnČ v ýeskoslovensku, Polsku a Nizozemí útČkem pĜed Hitlerem a po dvaceti letech (1939–1959) sbírání životních zkušeností ve Spojeném království, se novým domovem Hanse Schneidera staly Spojené státy americké, konkrétnČ mČsto Madison ve státČ Wisconsin.4 Prozraćme již nyní, že nové akademické pĤsobištČ na University of Wisconsin bylo souþasnČ Schneiderovým trvalým pracovištČm posledním. Na univerzitČ postupnČ pĤsobil v roli odborného asistenta (1959–1961), docenta (1961–1965) a profesora (1965–1988).5 NáslednČ byl titulován James Joseph Sylvester Professor (1988–1993) a po oficiálním „odchodu do dĤchodu“6 v roce 1993 James Joseph Sylvester Emeritus Professor. 3 Turnbull H. W, Aitken A. C.: An Introduction to the Theory of Canonical Matrices, Blackie&Son, Ltd., London, Glasgow, Bombay, 1932; další vydání: 1945, 1948, 1950, 1952; reprint: Dover, New York, 1961, 2005. 4 Jako svou státní pĜíslušnost uvádČl Hans Schneider USA a UK. 5 V druhé polovinČ šedesátých let zastával dva roky pozici vedoucího katedry matematiky. 6 Na univerzitČ v Madisonu vyuþoval ještČ na podzim roku 1998, se školou zĤstal pevnČ spjat až do smrti.

200


1.7.2015 11:39:46

Hans chose the name of Sylvester for his named professorship, because of Sylvester’s immense contributions to matrix theory, invariant theory, and algebra in general. As you know Sylvester is one of the principal originators, possibly the principal originator, of linear algebra and it was he who introduced the word “matrix” in the mathematical literature and it is the word “matrix” that is on Hans’ Wisconsin license plate. (viz [4], str. 3–16) Na pĜelomu jara a léta roku 2014, s vČdomím blížící se smrti, Hans Schneider napsal a na své webové stránce vystavil svĤj vlastní nekrolog nazvaný Last Words of Hans Schneider [3]. V nČm správnČ odhadl pĜibližnou dobu svého skonu, v místČ neznámého pĜesného data úmrtí ponechal tĜi teþky: This obituary was written by Hans, who is terminally ill but still alive, as of May 31, 2014. Hans Schneider, a research mathematician who devoted much of his academic life to the revival of the classical field of linear algebra (aka matrix theory), died on ... aged 87. Hans Schneider zemĜel na následky rakoviny jícnu dne 28. Ĝíjna 2014, tĜi mČsíce pĜed svými osmaosmdesátými narozeninami.7

2 Rodinné zázemí, zájmy 2.1

Manželka Miriam

Manželka Miriam se narodila roku 1925 v nČmeckém Königsbergu do slavné hudební rodiny. Její rodiþe, Hedwig (rozená Hulisch) a Kurt Wieck, byli zakladatelé populárního hudebního tČlesa Königsberger Streichquartett. Protože Hedwig Wieck byla Židovka, postihl Miriam podobný osud jako jejího budoucího manžela. V roce 1939 byla jedním z pĜibližnČ tisíce dČtí, které byly zachránČny díky humanitární pomoci zvané Kindertransport. Wieckovi získali volné místo na tČchto transportech dČtí ve vlacích þi na lodích do Británie pouze pro jediné dítČ. Ze svých dvou dČtí vybrali radČji starší Miriam než mladšího Michaela, neboĢ vČdČli, že „adoptivní“ rodiny z finanþních dĤvodĤ (nižší výdaje na vzdČlání) radČji pĜijmou dČvþátko než chlapce. Miriam odjela v létČ roku 1939. Ve Skotsku se poznala s Hansem Schneiderem. Pracovala jako houslistka, hrála v Hallé Orchestra pod slavným dirigentem Johnem Barbirollim (1899–1970). Ve své hudební kariéĜe pokraþovala i po odchodu do zámoĜí, stala se þlenkou Madison Symphony Orchestra a vČnovala se rovnČž výuce hry na housle. Její bratr Michael (nar. 1928) pĜežil pobyt v koncentraþním táboĜe. Stal se známým nČmeckým houslistou (koncertní mistr v Stuttgarter Kammerorchester). V roce 1989 publikoval vzpomínkovou knihu Zeugnis vom Untergang Königsbergs, která byla pĜeložena do ruštiny a angliþtiny (A Childhood under Hitler and Stalin: Memoirs of a “Certified Jew”) a stala se bestsellerem. 2.2

DČti Barbara Anne, Peter John, Michael Hugo

Ve své matematicko-hudebnČ založené rodinČ vychovali Miriam a Hans Schneiderovi tĜi dČti. Nejstarší Barbara Anne (nar. 1948) šla ve své profesi nejdĜíve ve šlépČjích matky, profesionálnČ hrála na housle v Calgary Philharmonic Orchestra, pozdČji se vydala na

7 K „mrazivému“ odhadu vlastní smrti ještČ dodejme jednu citaci z nekrologu [3]: The 19th meeting of the Society will take place [was held] in Korea in August 2014.

201


1.7.2015 11:39:46

dráhu vČdeckou, pracovala na Faculty of Communication and Culture na University of Calgary (studium mezilidské komunikace, schizofrenie apod.). Zajímavé je, že rovnČž její manžel Daryl Caswell zvládl propojit dvČ profese. Vystudoval inženýrství a hudbu, což ho pĜirozenČ nasmČrovalo k problematice akustiky. PĤsobil na Faculty of Engineering na University of Calgary a zároveĖ hrál v Calgary Philharmonic Orchestra þi Red Deer Symphony Orchestra (hra na roh). Jejich dČtmi jsou David a Daniel. Peter John (nar. 1950), druhé dítČ Schneiderových, se stal filmovým a divadelním producentem. Byl vedoucím poĜadatelem Olympic Arts Festival konaného pĜi olympijských hrách v Los Angeles (1984). Znám je pĜedevším jako první prezident spoleþnosti Walt Disney Feature Animation, pod jeho vedením vznikla Ĝada celoveþerních animovaných filmĤ ovČnþených cenami (Oscar, Zlatý glóbus). S jeho jménem jsou spjaty napĜíklad filmy Malá moĜská víla, Kráska a zvíĜe, Aladin þi Lví král. PozdČji založil vlastní produkþní spoleþnost a podílel se napĜíklad na realizaci filmu Sestra v akci s Whoopi Goldberg v hlavní roli. S manželkou Hope vychoval Peter dČti Hannah a Rebeccu. Nejmladší Michael Hugo (nar. 1952) se stal matematikem, nČkolik þlánkĤ sepsal i se svým otcem. S ženou Laurie mají dvČ hudebnČ nadané dČti, Carson Rose a Kurta. 2.3

Zájmy

Vedle matematiky uvedl Hans Schneider mezi svými zájmy pĜedevším hudbu (operu), cestování a také procházky pĜi úplĖku naboso po Lanikai Beach.

3 Akademická dráha 3.1

Cesta k lineární algebĜe

Jak již bylo Ĝeþeno, odborné zamČĜení Hanse Schneidera bylo ovlivnČno jeho školitelem Aitkenem a „rozkazem“ þíst práce Georga Ferdinanda Frobenia (1849–1917). Podstatnou roli pro rozhodnutí vČnovat se naplno lineární algebĜe sehrála pĜíhoda z doby, kdy se Hans Schneider ucházel o místo na univerzitČ ve Wisconsinu. Tou dobou místní univerzitu navštívil jeden slavný ruský algebraik, který, jak se Hans Schneider dozvČdČl, Ĝekl jednomu z þlenĤ pĜijímací komise, že znalost lineární algebry je oþekávána od každého matematika, ale není to disciplína k výzkumu. Hans Schneider byl pĜesto na místo vČdeckého pracovníka pĜijat a tato historka ho ovlivnila natolik, že se odhodlal vČnovat své úsilí „obhajobČ“ v té dobČ nepĜíliš velebené lineární algebry. Jeho neúnavná þinnost v oboru mu vynesla dokonce pĜezdívku Mr. Linear Algebra. JeštČ dodejme, že University of Wisconsin byla (a i ve tĜetím tisíciletí stále je) školou s významnou tradicí v lineární algebĜe. Mezi dĤležité osobnosti oboru pĤsobící na univerzitČ patĜil napĜíklad Cyrus Colton MacDuffee (1895–1961). 3.2

Celoživotní oddanost lineární algebĜe

Hans Schneider napsal okolo sto sedmdesáti odborných prací, a to s pĜibližnČ osmdesáti spoluautory.8 Poslední þlánek publikoval pouze nČkolik mČsícĤ pĜed smrtí. Jméno Hanse Schneidera je neodmyslitelnČ spjato pĜedevším s Perronovou-Frobeniovou teorií pro nezáporné matice. Schneiderovy teoretické znalosti v tomto oboru poskytly základy 8 Seznam vČtšiny prací vþetnČ jejich skenĤ (þi skenĤ úvodních stránek) je dostupný z [1]. Poznamenejme ještČ, že mezi Schneiderovými spoluautory figuruje þeský matematik Miroslav Fiedler.

202


1.7.2015 11:39:47

pro vybudování systému vyhledávání internetových stránek pomocí celosvČtovČ známého Googlu. O svém vztahu k uvedené teorii proslovil roku 1997 pĜednášku Why I love Perron-Frobenius, jejíž jednotlivé þásti se nazývají napĜíklad Why I fell in love, Why will P-F live 200 years? þi Why I stayed married to Perron-Frobenius.9 Jeho další odborné zamČĜení vystihl kolega Richard A. Brualdi tČmito slovy (viz [4], str. 4): The different areas of linear algebra to which he has made fundamental contributions are almost too numerous to mention: nonnegative matrices, M-matrices, norms, numerical ranges, combinatorial and graph-theoretic matrix theory,10 Jordan and spectral theory, inertia and stability theory, matrix scalings, cone preserving maps, matrix polytopes, etc. This is phenomenal record. At times, Hans strayed and thought he was a ring theorist or a semi-group theorist, but he got back on track before long. CelosvČtovČ známá je Schneiderova editorská þinnost. V roce 1972 pĜevzal od Alana Hoffmana (nar. 1924) pozici hlavního editora þasopisu Linear Algebra and Its Applications. V uvedeném roce vycházel þasopis po þtyĜi roky a skomíral. Když Hans Schneider po dlouhých þtyĜiceti letech (roku 2012) z funkce odcházel, jednalo se již o celosvČtovČ uznávané, impaktované periodikum nejvyšší kvality, které každoroþnČ pĜijímalo okolo 1200 pĜíspČvkĤ a publikovalo pĜibližnČ 5000 stran. Hans Schneider byl rovnČž editorem þasopisĤ Linear and Multilinear Algebra, The Electronic Journal of Linear Algebra, SIAM Journal Algebraic and Discrete Methods a sebraných prací Helmuta Wielandta. V roce 1987 založil spolu s nČkolika kolegy mezinárodní spoleþnost Matrix Group, ze které se o tĜi roky pozdČji etablovala známá International Linear Algebra Society (ILAS). Dnes má spoleþenství pĜibližnČ þtyĜi sta þlenĤ ve více než dvaceti zemích svČta a publikuje dva þasopisy. Pospolitost lineárních algebraikĤ po celém svČtČ podporoval Hans Schneider i svými þastými cestami mimo území USA. Jeho profese jej zavedla napĜíklad do Atén, Bad Kissingenu, Dunedinu, Haify, Chemnitzu, Lisabonu, Moskvy, Oxfordu, Rotterdamu, Šanghaje, Toronta, Valencie þi rodné VídnČ. KromČ výše uvedeného pobytu na Washington State University byl na dlouhodobých stážích na mnoha dalších univerzitách po celém svČtČ, jmenujme alespoĖ Israel Institute of Technology ve mČstČ Haifa, Universität Würzburg a University of Toronto. Jak sám pĜiznal, výuka základních kurzĤ pro vysokoškolské studenty ho pĜíliš nenaplĖovala. O to více se vČnoval svým doktorandĤm, kterých odvedl (všechny na University of Wisconsin) v letech 1963 až 2000 celkem sedmnáct.11 Od roku 1993 je nepravidelnČ (pĜibližnČ jednou za tĜi roky) udČlováno ocenČní Hans Schneider Prize za mimoĜádné výsledky v lineární algebĜe, resp. za celoživotní pĜínos této disciplínČ. Jedním ze tĜí laureátĤ ceny z roku 1993 byl þeský matematik Miroslav Fiedler (nar. 1926).

9

Více viz http://www.math.wisc.edu/hans/talks.html. Hans Schneider se (pĜedevším s Danielem Hershkowitzem) v rámci této problematiky vČnoval studiu souvislostí mezi urþitými posloupnostmi zavedenými v teorii grafĤ a tzv. Weyrovou charakteristikou definovanou Ĝeþí teorie matic v osmdesátých letech 19. století þeským matematikem Eduardem Weyrem (1852–1903). 11 Seznam jejich jmen a názvĤ disertaþních prací viz http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=8295. 10

203


1.7.2015 11:39:47

4 Ohlédnutí za vlastním životem Místo závČru citujme slova, která Hans Schneider dopsal ke svým vzpomínkám [2] v þervnu 2014: I am writing this coda as I am sitting on the porch of our beautiful home as my life is ending for I have terminal cancer. I’ve had a good life with a loving wife of 66 years and three children we can be proud of. Thinking of the turbulent years described above, I strongly reject the term “holocaust survivor” as applied to me. It’s an insult to those millions who were murdered and to the millions who died fighting Hitler’s tyranny. It is a word properly applied to a person who suffered deportation and the horrors of the camps and yet survived. Call me a person who escaped the holocaust if you wish. The same applies to my wife Miriam who was born in Koenigsberg and left Germany on a Kinderstransport in July 1939. Finally, my deepest regret is that I failed to tell my parents how much I owe them. Literatura [1] Hans Schneider’s Home Page [online]. Poslední revize 30. bĜezna 2012 [cit. 20. dubna 2015]. http://www.math.wisc.edu/hans/ [2] Schneider H.: March 1938–August 1940: A Personal History of My Family During 30 Turbulent Months, Voices of the Kinder, 2000, 2001, dodatek 2006 (dostupné online na http://www.kindertransport.org/voices/schneider_personalhistory.htm). Další dodatek 2014 – viz A Personal History (online, dostupné z [1]). [3] Schneider H.: Last Words of Hans Schneider, 2014 (online, dostupné z [1]). [4] Brualdi R. A.: A tribute to Hans Schneider, Linear Algebra and Its Applications 302303(1999), str. 3–16.

PodČkování DČkuji Hansi Schneiderovi za jeho pomoc a podporu pĜi psaní mé dizertace a poté i monografie o poþátcích teorie matic v þeských zemích.

Adresa RNDr. Martina ŠtČpánová, Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova Sokolovská 83 186 75 Praha 8 e-mail: [email protected]

204


1.7.2015 11:39:47

BOLZANOVA MATEMATICKÁ VYLEPŠENÍ JAN ZEMAN Abstract: In this text we mention some of the improvements of Euclid's Elements, that Bernard Bolzano proposed in his book On the mathematical method. We introduce briefly his personality and connect his vision of geometry without figures to the mathematics at the end of the 19th century.

1 Úvod Bolzanova staĢ O matematické metodČ [1] byla vydána v þeském pĜekladu Marty Vlasákové v roce 2012. PĜeklad vycházel z nČmeckého vydání Jana Berga Von der mathematischen Lehrart. Souþástí svazku je studie pĜekladatelky, týkající se hlavnČ zasazení Bolzanova díla do dČjin logiky, díky které kniha dobĜe rozšiĜuje také souþasnou þeskou literaturu, vČnující se Bolzanovskému výzkumu. Bolzano zaþal psát tento svĤj text kolem roku 1833 jako úvod k zamýšlenému rozsáhlému spisu O veliþinách (Grössenlehre), který ale nikdy nedokonþil. Nejprve v tomto úvodu shrnul svĤj logický systém, známý z jeho VČdosloví, poté ho použil k prokázání možných zlepšení metody, která je užita v Eukleidových Základech [2]. V této práci bychom nČkterá jeho vylepšení chtČli pĜedstavit a nahlédnout tendence, které Bolzano v matematice odhalil a které propukly naplno na konci 19. století.

2 Kontext Nejprve struþnČ pĜedstavme osobnost Bernarda Bolzana (1781–1848), významného pražského matematika, filosofa a teologa (podrobnČji viz [3, str. 11nn]). Narodil se do rodiny Bernarda Pompeia Bolzana, pĤvodem z Itálie, a Marie Cecilie, rozené Maurerové, z pražské nČmecké rodiny; nČmþina byla také jeho mateĜským jazykem. Od mládí byl chatrného zdraví, což výraznČ ovlivnilo jeho životní osudy. V roce 1796 Bernard Bolzano nastoupil na pražskou univerzitu. Nejprve absolvoval povinné tĜíleté studium filosofie, bČhem nČhož se již projevilo jeho matematické nadání, vČnoval se i fyzice þi astronomii. V souvislosti s výchovou své mladší sestry, která mu však brzy zemĜela, se též zajímal o pedagogiku. PĜed definitivním rozhodnutím pro studium teologie vČnoval ještČ jeden akademický rok dalšímu vzdČlávání ve vyšší matematice, ale také ve filosofii, fyzice a chemii. Poté nastoupil na teologii, kterou dokonþil v roce 1804. Ve stejném roce získal na univerzitČ místo uþitele náboženství, k nČmuž se pojila povinnost promlouvat každý týden k akademické mládeži. Tyto jeho tzv. exhorty (z nichž þást vyšla tiskem) se staly hojnČ navštČvovanými a univerzitní prostory nestaþily pro posluchaþe. Jeho vČhlas jako duchovního kazatele dosáhl i daleko za hranice Prahy na þeský venkov. Jelikož Bolzano neuþil podle pĜedepsané uþebnice, byl z místa propuštČn a nemohl publikovat ani se úþastnit univerzitního života. V té dobČ mu též zemĜel bratr Petr Eduard a z pĤvodnČ dvanáctiþlenné rodiny zbyl jen on a bratr Jan. Bernard Bolzano se pĜesunul z Prahy do TČchobuzi, kde napsal svá nejvČtší díla, VČdosloví, Paradoxy nekoneþna a Athanasii, a kde také zaþal psát svĤj spis O veliþinách vþetnČ jeho úvodu O matematické metodČ. Své poslední dny pak prožil v domČ svého bratra v Celetné ulici, kde má dnes pamČtní desku.

205


1.7.2015 11:39:47

3 O matematické metodČ 3.1

Logický systém

Uvećme nyní struþnČ pĜehled nČkolika základních termínĤ, které nám budou sloužit k naznaþení použité metody výstavby logiky. VČtou o sobČ (objektivní vČtou) Bolzano rozumí nikoli vČtu gramatickou, ale její smysl, který musí být buć pravdivý nebo nepravdivý. Pravda o sobČ je pravdivá vČta o sobČ. Myšlená vČta (subjektivní vČta) je pak uchopením vČty o sobČ v rozumu myslící bytosti. PĜedstava o sobČ je þást vČty o sobČ, která sama není vČtou o sobČ, tj. která nemá pravdivostní hodnotu. PĜedstava mĤže být buć jednoduchá, nebo mĤže být složená z dalších pĜedstav, které tvoĜí obsah pĤvodní pĜedstavy. NapĜ. pĜedstava rovnostranný trojúhelník (viz [1, str. 25]) obsahuje mj. tyto pĜedstavy: rovnost, strana, tĜi, úhel. NeménČ podstatné je, v jakém vzájemném vztahu tyto podĜazené pĜedstavy jsou. PĜíkladem mĤže být pĜedstava þtyĜúhelníku se shodnými stranami a rĤznými úhly oproti pĜedstavČ þtyĜúhelníku se shodnými úhly a rĤznými stranami, kde obČ pĜedstavy mají sice tentýž obsah, ale jiný význam. PĜedmČtem pĜedstavy je to, co je pĜedstavou pĜedstavováno, co pod ni spadá. NapĜ. pĜedstava (reálný) koĜen rovnice x3  1  0 má za pĜedmČt þíslo 1, pĜedstava planety sluneþní soustavy má za pĜedmČty Merkura, Venuši, Zemi, Mars, Jupitera, Saturna, Urana a Neptuna, které tvoĜí rozsah pĜedstavy. PĜedstava však mĤže být dle definice i neexistující (bezpĜedmČtná), napĜ. pojem kulatý þtyĜúhelník nebo racionální koĜen rovnice x 2  2  1 (viz [1, str. 27]). Názor je taková pĜedstava, která je jednoduchá a má jediný pĜedmČt. Pojem je potom taková pĜedstava, která není názorem. ýistá pojmová vČta je taková vČta, která obsahuje pouze pojmy. Z výše uvedeného je tedy zĜejmé, že Bolzano sám používá pĤvodnČ matematické metody i pro výstavbu logiky. V knize O matematické metodČ je v této vČci uvedeno jen to nejzákladnČjší. PodrobnČji je logický systém vybudován v díle VČdosloví. 3.2

Metodologická vylepšení ZákladĤ

Bernard Bolzano již v úvodní poznámce potvrzuje kvality ZákladĤ a pĜiznává hodnotu systému dĤkazĤ. Ty jsou pro konkrétní vČtu provedeny vždy pomocí vČt, které jsou dokázány dĜíve. PozitivnČ hodnotí, že dĤkaz je uveden dĤslednČ po každém tvrzení a že tyto dĤkazy nejsou neúplné, ale opravdu rigorózní, prostĜednictvím pĜivedení tvrzení k evidenci – obstarání názoru. V pĜípadČ geometrie to znamená vČtšinou doplnit obrazec do nČjakého rozsáhlejšího obrazce, ze kterého bude tvrzení patrné. První jeho námitkou je, že se Eukleides nezabývá dostateþnČ dĤslednČ samotnými základy geometrie. PrávČ u základních pojmĤ vČdy navrhuje Bolzano nespoléhat se jen na intuici, ale provádČt dĤsledný pojmový rozbor, což oddČlí výklad pĜísnČ vČdecký od výkladu pouze populárního. V pĜípadČ geometrie jde o pojmy jako bod, prostor, veliþina, které mČly v uþebnicích jen vágní definici (viz [1, str. 43]). PĜitom ihned pĜichází s nabízející se výtkou, proþ by vlastnČ mČl þlovČk objasĖovat, co je všem beztak jasné, a odpovídá, že kromČ jasnosti se musí matematika snažit i o zĜetelnost, tedy prokázání toho, z kterých dílþích pojmĤ si nový pojem nevČdomky skládáme. NapĜíklad pĜi výkladu þtverce se matematik nesmí spokojit jen s konstatováním, že nakreslený obraz je þtverec, ale vždy musí pĜivést pojem ke zĜetelnosti definicí, že þtverec je þtyĜúhelník, který má všechny strany stejnČ dlouhé a všechny úhly shodné. Pokud toto není možné, je nutné se spokojit s objasnČním pojmu. Nabízejícím se prostĜedkem k tomu je sepsání vČt, ve kterých se daný pojem vyskytuje, pod sebe, þímž bude jeho význam patrný tak, že na jeho místČ nemĤže být myšlen žádný jiný pojem.

206


1.7.2015 11:39:47

KromČ povinnosti objasnit každý nový pojem Bolzano požaduje, aby byl objasnČn i každý nový matematický znak, který pro jejich oznaþení používáme. Jako pĜíklad uvádí m

mocniny a ptá se, co nás opravĖuje používat znaky a 0 , a  n , a n (viz [1, str. 41]). Mocnina þísla má pĜece úplnČ jiný význam. Ani ze symbolu +, který odpovídá slovu plus, nekonstruuje matematik pojem sþítání. Od pojmĤ pĜechází Bolzano k analýze dĤkazĤ, které musí vycházet z þistých pojmových pravd. V tomto však doporuþuje, aby se matematikové vČnovali spíše objevování, pokud k dĤsledné analýze objektivních souvislostí nejsou pĜirozenČ talentovaní. V pĜípadČ Eukleida by to znamenalo prĤzkum možnosti, že také napĜ. postuláty možná stojí na dalších tvrzeních, která je tĜeba dokázat a kterých mohou být možná i stovky (viz [1, str. 61]). I postuláty mají být dokazovány (tedy má být dokázáno, že ostatní vČty dané teorie bez nich nelze vyvodit). DĤkaz by mČl v pĜísnČ vČdeckém výkladu vycházet z þistých pojmových pravd. Tématem, které následuje, je správné poĜadí pravd. To by mČlo splĖovat dvČ pravidla (viz [1, str. 60]): 1. Jednodušší pravda pĜedchází složitČjší. 2. PĜi stejném stupni složitosti objektivnČjší pĜedchází konkrétnČjší. Složitost je zde mínČna v tom kvantitativním smyslu, z kolika dalších pĜedstav se pravda skládá. Jako pĜíklad Bolzano uvádí vČtu o obsazích podobných mnohoúhelníkĤ (mají se k sobČ jako druhé mocniny jejich stran), která by mČla být uvedena pĜed toutéž vČtou pouze pro trojúhelníky. Dalším pĜíkladem je binomická vČta (viz [1, str. 60])

1  x n

 1  nx 

nn  1 2 nn  1n  2  3 x  x  , 2 6

na níž chce Bolzano demonstrovat pĜípad, kdy vČta sice platí pro n reálné i celé, ale vČta pro n celé je jednodušší (v tom smyslu, že je složena z ménČ dalších vČt a pojmĤ) než tatáž vČta pro n reálné, a proto by mČla tato vČta pro n celé být uvedena pĜed vČtou pro n reálné. TĜetím pĜíkladem v této vČci je konstrukce rovnostranného trojúhelníka. To, že existuje bod C nad úseþkou AB, který má od obou bodĤ A a B stejnou vzdálenost AB (viz [1, str. 51] a [2, str. 47]), je pĜedpokladem pro to, že se dvČ kružnice se stĜedy v bodech A a B a polomČrem AB v tomto bodČ C protnou. Nikoliv naopak, jak by se zdálo, že bod C existuje, protože se kružnice protly. Vlastnosti prostoru (existence tohoto bodu C) tak musejí ve výkladu pĜedcházet konstrukci. Bolzano tvrdí, že ve správném poĜadí se objektivní souvislost mezi pravdami ukáže þtenáĜi naprosto pĜirozenČ. Jako pĜíklad, kdy je objektivní souvislost mezi pravdami v rozporu s poĜadím, v jakém pravdy poznáváme, uvádí gravitaþní zákon. To je þistá pojmová pravda, o které se každý rozumný þlovČk zákonitČ dozví na základČ zkušenosti, totiž poznáním zemské tíže (viz [1, str. 35]). PĜi výkladu vČdy, pokud se má usilovat o objektivitu, je nutné, aby pravda právČ vyslovovaná vyplývala z pravd dĜíve zmínČných, nebo aby obsahovala pouze pojmy dĜíve definované. V nČkterých pĜípadech je toto správné uspoĜádání v Základech porušeno. Bolzano následnČ formuluje hypotézu, že názor možná není v geometrii vĤbec nutný a že celou geometrii lze vyvodit z axiomĤ pouze pomocí urþité množiny odvozovacích pravidel (viz [1, str. 56]). Názor totiž selhává v kontaktu s nekoneþnem, což dokládá jím definovaná funkce, která je na celém intervalu spojitá, ale pĜesto nemá v žádném bodČ derivaci. To bylo v matematice jeho doby nepĜedstavitelné. DĤkazy pomocí evidence

207


1.7.2015 11:39:47

a názoru, které jsou u Eukleida pro geometrii klíþové, by tak plnily jen pomocnou funkci. Všechny vČty urþité teorie by mohly být odvoditelné z urþité množiny postulátĤ pomocí nČkolika odvozovacích pravidel, logických operací. Toto by navíc mohlo být aplikováno na jakoukoli jinou vČdu (viz [1, str. 48]). Na konci 19. století se požadavek nové axiomatizace geometrie (a v souvislosti s paradoxy teorie množin i celé matematiky) jevil již jako nutnost. Geometrie má být vytvoĜena pouze na základČ logiky, názor témČĜ nebude potĜeba, to, co uvidíme na papíĜe, nebude geometrický objekt, ale pouze demonstrace jeho vlastností (viz [4, str. 55]). Tento pĜístup umožní obejít spory a dokázat vzájemnou nezávislost, úplnost a bezespornost systému axiomĤ. Po Davidu Hilbertovi (1862–1943), který takto axiomatizoval pĜedevším aritmetiku a geometrii, aplikovali ve dvacátém století jiní vČdci stejný mechanismus i na biologii a genetiku. Bez pĜímé návaznosti se tak uplatĖují zde zmínČná Bolzanova vylepšení Eukleidovy axiomaticko-deduktivní metody.

4 ZávČr Geometrie bez názoru, navržená Bolzanem, bude aktuální na konci 19. století. Má však za následek to, pĜed þím varoval Henri Poincaré (viz [5, str. 31]), že dokonalé þistoty dosáhne matematika jen za cenu vzdálení se od skuteþnosti. Dle Petra VopČnky jsme i Bolzana navykli nahlížet z hlediska vítČzství matematického formalismu. Byla však možná i jiná východiska (viz [6, str. 60]). V dlouhodobČjší perspektivČ budeme hledat spojení matematického formalismu konce 19. století s myšlenkami Bernarda Bolzana. Další možností je prozkoumání dĤvodĤ, které k zájmu o Bolzanovu osobnost vedly Martina Jaška, objevitele zmínČné nederivovatelné spojité funkce v BolzanovČ pozĤstalosti. Literatura [1] Bolzano B.: O matematické metodČ (pĜeklad M. Vlasáková), Filosofia, Praha, 2012. [2] Eukleides: Základy, knihy I–IV (komentované P. VopČnkou), Západoþeská univerzita v Plzni, PlzeĖ, 2010. [3] Vlasáková M.: ŽivotabČh B. Bolzana, in Trlifajová K. (ed.): OsamČlý myslitel Bernard Bolzano, Filosofia, Praha, 2006. [4] Šebestík J.: La dispute de Bolzano avec Kant: fragment d'un dialogue sur la connaissance mathématique, Philosophiques 30/1 (2003), str. 47–66. http://id.erudit.org/iderudit/007731ar [5] Poincaré H.: ýíslo – prostor – þas (pĜeklad JiĜí Fiala), OPS, Kanina, 2010. [6] VopČnka P.: Návrat k Bolzanovi, in Trlifajová K. (ed.): OsamČlý myslitel Bernard Bolzano, Filosofia, Praha, 2006.

Adresa Ing. Jan Zeman Katedra filozofie, Filozofická fakulta Západoþeská univerzita v Plzni Sedláþkova ulice 19 306 14 PlzeĖ e-mail: [email protected] 208


1.7.2015 11:39:48

OBSAH

Úvodní slovo Seznam úþastníkĤ Seznam pĜednášek Odborný program konference

3 4 5 6

I. Vyzvané pĜednášky ýižmár J.: Výchova uþitel’ov matematiky na Slovensku v období 1945–2010 Domoradzki S.: Kamienie milowe w nauczaniu matematyki dzieci w Polsce od ostatnich dekad XIX stulecia do ostatnich dekad XX w. Slavík A.: O nČkterých klasických nerovnostech

2

II. Konferenþní vystoupení Bálint V.: Bola raz jedna konferencia ... Bálintová A.: Príbeh arabských mozaík BeþváĜ J.: Gramovy matice a determinanty BeþváĜová M.: „Akreditace“ matematiky pĜed 77 lety Boháþ P.: Kruhová inverze v NewtonovČ Optice Ciesielska D., Pogoda Z.: Metoda współrzĊdnych w geometrii rzutowej Durnová H.: Teorie pravdČpodobnosti a mravní záležitosti dle Jakuba Bernoulliho Kalousová A.: Fermatova metoda maxim a minim Koudela L.: Mikuláš Kusánský a kvadratura kruhu Mészárosová K.: Benoit Mandelbrot a jeho fraktálna geometria Netuka I.: ZobecnČné limity Otavová M.: Podivná tváĜ geometrie u Jana Caramuela z Lobkovic Rieþan B.: Tibor Neubrunn a slovenská škola teórie miery ŠtČpánová M.: Hans Schneider (1927–2014) Zeman J.: Bolzanova matematická vylepšení

11 12 12 1 14 1 15 16 18 18 19 20

209


1.7.2015 11:39:48

210


1.7.2015 11:39:48

PĜehled dosud vyšlých konferenþních sborníkĤ



M. BeþváĜová (editorka): 27. mezinárodní konference Historie matematiky, Velké MeziĜíþí, 25. 8. – 29. 8. 2006. Sborník sylabĤ, Praha, 2006, 74 stran.



M. BeþváĜová (editorka): 28. mezinárodní konference Historie matematiky, Jevíþko, 24. 8. – 28. 8. 2007. Sborník sylabĤ, Katedra didaktiky matematiky MFF UK, Matfyzpress, Praha, 2007, 120 stran, ISBN 978-80-7378-016-6.



J. BeþváĜ, M. BeþváĜová (editoĜi): 29. mezinárodní konference Historie matematiky, Velké MeziĜíþí, 22. 8. – 26. 8. 2008. Katedra didaktiky matematiky MFF UK, Matfyzpress, Praha, 2008, 191 stran, ISBN 978-80-7378-048-7.



J. BeþváĜ, M. BeþváĜová (editoĜi): 30. mezinárodní konference Historie matematiky, Jevíþko, 21. 8. – 25. 8. 2009. Katedra didaktiky matematiky MFF UK, Matfyzpress, Praha, 2009, 242 stran, ISBN 978-80-7378-092-0.



J. BeþváĜ, M. BeþváĜová (editoĜi): 31. mezinárodní konference Historie matematiky, Velké MeziĜíþí, 18. až 22. 8. 2010. Katedra didaktiky matematiky MFF UK, Matfyzpress, Praha, 2010, 291 stran, ISBN 978-80-7378-128-6.



J. BeþváĜ, M. BeþváĜová (editoĜi): 32. mezinárodní konference Historie matematiky, Jevíþko, 26. až 30. 8. 2011. Katedra didaktiky matematiky MFF UK, Matfyzpress, Praha, 2011, 301 stran, ISBN 978-80-7378-172-9.



J. BeþváĜ, M. BeþváĜová (editoĜi): 33. mezinárodní konference Historie matematiky, Velké MeziĜíþí, 24. 8. až 28. 8. 2012. Katedra didaktiky matematiky MFF UK, Matfyzpress, Praha, 2012, 303 stran, ISBN 978-80-7378-208-5.



J. BeþváĜ, M. BeþváĜová (editoĜi): 34. mezinárodní konference Historie matematiky, PodČbrady, 23. až 27. 8. 2013. Katedra didaktiky matematiky MFF UK, Matfyzpress, Praha, 2013, 201 stran, ISBN 978-80-7378-234-4.



J. BeþváĜ, M. BeþváĜová (editoĜi): 35. mezinárodní konference Historie matematiky, Velké MeziĜíþí, 22. až 26. 8. 2014. Katedra didaktiky matematiky MFF UK, Matfyzpress, Praha, 2014, 273 stran, ISBN 978-80-7378-265-8.

Elektronické verze výše uvedených sborníkĤ a další informace o mezinárodních konferencích Historie matematiky jsou dostupné na adrese http://www.fd.cvut.cz/personal/becvamar/konference/hlavnindex.html. 211


1.7.2015 11:39:48

Jindřich Bečvář, Martina Bečvářová (ed.) 36. mezinárodní konference

HISTORIE MATEMATIKY Poděbrady, 21. až 25. 8. 2015

Katedra didaktiky matematiky MFF UK

Vydal MATFYZPRESS vydavatelství Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy v Praze Sokolovská 83, 186 75 Praha 8 jako svou 491. publikaci Z připravených předloh vytisklo Reprostředisko UK MFF Sokolovská 83, 186 75 Praha 8 První vydání Praha 2015

ISBN 978-80-7378-297-9

212


1.7.2015 11:39:48

36. MEZINÁRODNÍ KONFERENCE HISTORIE MATEMATIKY

Recommend Documents