Kapitola 7: Integrál.
1/17
Neurˇcitý integrál - Motivaˇcní pˇríklad Pˇríklad: Necht’ se bod pohybuje po pˇrímce rychlostí ˇ a) v (t) = 3 [m/s] (rovnomerný pˇrímoˇcarý pohyb), ˇ eˇ zrychlený pohyb), b) v (t) = 2t [m/s] (rovnomern c) v (t) = 3t 2 [m/s]. Jakou dráhu urazí za 10s? ˇ Rešení: a) + b) známe ze SŠ z fyziky a) s(t) = vt = 3t = 30[m] b) s(t) = 21 at 2 = 12 · 2 · 100 = 100[m] c) víme že s0 (t) = v (t) a lze uhodnout s(t), aby s0 (t) = 3t 2 . Zˇrejmeˇ s(t) = t 3 = 1000[m] Pozn. i v pˇríkladech a) + b) lze využít s0 (t) = v (t) a dostaneme totéž (d.ú.) ˇ fce v (t) neumíme zpameti ˇ uhodnout s(t), Pozn. Pro složitejší aby s0 (t) = v (t). Tento postup (opaˇcný k derivování) bude hlavním tématem následující kapitoly.
2/17
Neurˇcitý integrál Definice: Necht’ f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F 0 (x) = f (x) ∀ x ∈ I nazýváme primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, nebo také neurˇcitým integrálem funkce f a oznaˇcujeme ji Z F (x) = f (x) dx. . Poznámka: Je-li F primitivní funkce k funkci f na intervalu I a G(x) = F (x) + c pro x ∈ I, kde c je konstanta, je G také primitivní funkce k funkci f na intervalu I.
3/17
Existence primitivní funkce. ˇ Veta: O existenci primitivní funkce Necht’ funkce f je spojitá na intervalu I, potom f má na intervalu I primitivní funkci. ˇ mají Poznámka: Existují funkce, které podle pˇredchozí vety primitivní funkci, my ji ale neumíme nalézt pomoci známých funkcí. Mužeme ˚ ji tedy definovat pomoci integrálu. Napˇr.: Z Z sin x −x 2 dx, dx, . . . e x
ˇ ˇ Umíme již pocítat nekteré primitivní funkce? ANO! Staˇcí otoˇcit vzorce pro derivování!
4/17
Tabulka primitivních funkcích. x n+1 n+1
R
x n dx =
R
1 x
R
sin x dx = − cos x
R
cos x dx = sin x
R
ax dx =
R
dx 1+x 2
R
√ dx
dx = ln |x|
R ∗
R
∗
R
ax ln a
= arcsin x
dx = tg x cos2 x dx = −cotg x sin2 x √ dx = ln |x + x 2 +a f 0 (x) f (x)
a > 0, a 6= 1
= arctg x
1−x 2
R
n ∈ R, n 6= −1
√
x 2 + a| a 6= 0
= ln |f (x)|
5/17
Vlastnosti integrálu˚
ˇ Z Platí Veta:
f 0 (x) dx = f (x). Z 0 (ii) f (x) dx = f (x). Z Z (iii) k f (x) dx = k f (x) dx, kde k je konstanta. Z Z Z (iv) (f (x) ± g(x)) dx = f (x) dx ± g(x) dx. (i)
Dk: Z definice prim. fce a vlastností derivací.
6/17
Metody výpoˇctu˚ neurˇcitých integrálu. ˚ Metoda per partes. ˇ Veta: Necht’ funkce u a v mají v intervalu I spojité derivace. Potom v intervalu I platí Z Z u(x) v 0 (x) dx = u(x) v (x) − u 0 (x) v (x) dx . ˇ Zkrácene:
Z
0
u·v =u·v −
Z
u0 · v
Dk: Plyne z derivace souˇcinu.
7/17
Kdy se hodí per partes? 1
2
3
souˇcin polynomu a goniometrické nebo exponenciální fce napˇr. Z Z Z 3 2x x · sin x dx, x · e dx, (x + 3) · 2x dx (pozn. polynom derivujeme) souˇcin polynomu a cyklometrické nebo logaritmické fce napˇr. Z Z Z 2 arcsin x dx, x · ln x dx, x · log x dx (pozn. polynom integrujeme) souˇcin goinometrické a exponenciální fce nebo dvou goniometrických fcí napˇr. Z Z Z 2x x e · sin x dx, 2 · cos x dx, sin2 x dx (vede na rovnici)
8/17
Metoda substituˇcní ˇ Veta: Necht’ funkce f (t) je spojitá na intervalu (a, b) a necht’ funkce t = ϕ(x) má spojitou první derivaci v intervalu (α, β) a zobrazuje interval (α, β) na interval (a, b). Pak Z
Z
0
f (ϕ(x))ϕ (x) dx =
f (t) dt = F (t) = F (ϕ(x)),
kde F je primitivní funkce k f na (a, b). Pozn. t = ϕ(x) je použitá substituce. Dk: Plyne z derivace složené funkce. Pˇríklady: Z
sin x dx, cos2 x
Z
2x−5
e
Z dx,
√
x x2
+1
dx
9/17
Integrace racionálních lomených funkcí
ˇ delení polynomu˚ rozklad polynomu na souˇcin koˇrenových cˇ initelu˚ rozklad ryze lomených racionálních funkcí na souˇcet parciálních zlomku˚ integrace parciálních zlomku˚
10/17
Rozklad polynomu na koˇrenové cˇ initele Definice: Polynom n-tého stupneˇ . . . Pn (x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0 a0 , a1 , . . . , an ∈ R jsou koeficienty a an 6= 0 Koˇren polynomu Pn (x) je cˇ íslo α ∈ C t.ž. Pn (α) = 0.
ˇ Náš cíl = rozklad na lineární, resp. kvadratické cinitele P(x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0 = =an (x −α1 )(x −α2 ) · · · (x −αk )·(x 2 +p1 x +q1 ) · · · (x 2 +p` x +q` ) αi jsou práveˇ všechny reálné koˇreny P(x) (x 2 + pj x + qj ) nemají reálné koˇreny, tj. Dj < 0. (x 2 + pj x + qj ) = (x − α1 )(x − α2 ), kde α1,2 jsou komplexní koˇreny x 2 + pj x + qj . 11/17
Rozklad polynomu na koˇrenové cˇ initele (2) ˇ Veta: Je-li cˇ íslo α koˇrenem polynomu Pn (x), potom Pn (x) = (x − α)Q(x) , ˇ kde Q(x) je polynom (n − 1)-ního stupne. Definice: α je k -násobným koˇrenem P(x), jestliže P(x) = (x − α)k Q(x), Q(x) je polynom, Q(α) 6= 0. Poznámka: α je k -násobným koˇrenem polynomu P(x) ⇔ P(α) = 0, P 0 (α) = 0, . . . , P k −1 (α) = 0 a P k (α) 6= 0. Známe ze SŠ: ax 2 + bx + c = a · (x − α1 ) · (x − α2 ), kde α1,2 jsou koˇreny ax 2 + bx + c. 12/17
Rozklad polynomu na koˇrenové cˇ initele (3)
ˇ Veta: Má-li polynom Pn (x) dva komplexneˇ sdružené koˇreny a ± ib, potom Pn (x) = (x 2 + p x + q)Q(x) , kde Q(x) je polynom (n − 2)-hého stupneˇ a koˇreny a ± ib jsou koˇreny polynomu x 2 + p x + q. ˇ ˇ Veta (Základní veta algebry): Každý polynom n-tého stupneˇ má práveˇ n koˇrenu, ˚ pˇritom každý koˇren poˇcítáme s ˇ jeho násobností (nekteré koˇreny mohou být komplexní).
13/17
Racionálneˇ lomené funkce. P(x) , kde P(x), Q(x) jsou polyQ(x) nomy, nazýváme racionální lomenou funkcí. Je-li stupenˇ P(x) menší než stupenˇ Q(x) nazýváme funkci ryze lomenou racionální funkcí. ˇ Je-li stupenˇ P(x) vetší než stupenˇ Q(x) nazýváme funkci neryze lomenou racionální funkcí. Definice: Funkce tvaru
ˇ Veta: Každá racionální lomená funkce je souˇctem polynomu a ryze lomené racionální funkce. Poznámka: Polynom umíme integrovat. Musíme se nauˇcit integrovat ryze lomenou racionální funkci. Ryze lomenou racionální funkci musíme rozložit na parciální zlomky. 14/17
Rozklad ryze lomené fce na parciální zlomky. 1
Jmenovatel rozložíme na koˇrenové cˇ initele.
2
Je-li v rozkladu jmenovatele výraz (a x + b), odpovídá v rozkladu racionální lomené funkce tomuto cˇ initeli zlomek A , (a x + b) ˇ kde A je nejaká vhodná reálná konstanta.
3
Je-li v rozkladu jmenovatele výraz (a x + b)k , k = 2, 3, . . . , odpovídají v rozkladu racionální lomené funkce tomuto cˇ initeli zlomky A1 A2 Ak , ,..., , 2 (a x + b) (a x + b) (a x + b)k ˇ kde A1 , A2 , . . . , Ak jsou nejaké vhodné reálné konstanty. 15/17
Rozklad ryze lomené fce na parciální zlomky. 4
Je-li v rozkladu jmenovatele výraz (a x 2 + b x + c), odpovídá v rozkladu racionální lomené funkce tomuto cˇ initeli zlomek Ax + B , 2 (a x + b x + c) ˇ kde A, B jsou nejaké vhodné reálné konstanty.
5
Je-li v rozkladu jmenovatele výraz (a x 2 + b x + c)k , k = 2, 3, . . . , odpovídají v rozkladu racionální lomené funkce tomuto cˇ initeli zlomky A1 x + B1 A2 x + B2 Ak x + Bk , ,..., , 2 2 2 (a x + b x + c) (a x + b x + c) (a x 2 + b x + c)k ˇ kde A1 , B1 , , . . . , Ak , Bk jsou nejaké vhodné reálné konstanty. 16/17
Integrace parciálních zlomku˚
1
R
A a x+b
2
R
A (a x+b)k
3
R
A x+B dx (a x 2 +b x+c)
dx =
A a
ln |a x + b|
dx = − a(kA−1) =
R
1 (a x+b)k −1
A1 (2a x+b) dx (a x 2 +b x+c)
(substitucí t = a x + b ) (substitucí t = a x + b ) +
R
B1 dx (a x 2 +b x+c)
ad (3) A1 , B1 jsou nové konstanty. První integrál spoˇcteme ˇ si, že dt = (2a x + b)dx. substitucí t = a x 2 + b x + c, všimnete Druhý integrál vede na arctg .
17/17
