Distribusi Tekanan pada Fluida

Distribusi Tekanan pada Fluida Ref: White, Frank M., 2011, Fluid Mechanics, 7th edition, Chapter 2, The McGraw-Hill Book Co., New York

2/21/17!

1

Fisika untuk Teknik Sipil!

Tekanan pada Fluida •  Tekanan fluida (fluid pressure): tegangan normal (gaya normal per satuan luas) yang bekerja pada suatu elemen fluida. •  Gradien tekanan spasial (bukan tekanan) dapat menimbulkan gaya pada permukaan elemen fluida •  Resultan gaya permukaan yang bekerja pada elemen fluida diam (fluid at rest) hanya dipengaruhi oleh gradien tekanan karena tidak ada tegangan geser yang bekerja. 2/21/17!

2


Tekanan pada Fluida Diam z

sin θ = δz/δs pn δs

px

Pada arah x

0 pz

pxδ yδ z − pnδ yδ ssin θ = 0

θ

δW = ρg(½ δx δz δy) δx

Σ Fx = 0

θ

x

Tebal elemen = δy

•  Tidak ada perubahan tekanan pada arah horizontal

px = pn 2/21/17!

δz

cos θ = δx/δs

3


Tekanan pada Fluida Diam z

sin θ = δz/δs pn δs

Pada arah z Σ Fz = 0

px

δz

θ

δW = ρg(½ δx δz δy) δx

0

cos θ = δx/δs

θ

x Tebal elemen = δy

1 pz pzδ yδ x − pnδ yδ scosθ − ρ gδ yδ xδ z = 0 2 1 pz = pn + ρ gδ z •  Perubahan tekanan arah vertikal dipengaruhi rapat massa, gravitasi, perubahan z 2 2/21/17!

4


Tekanan pada Fluida Diam •  Untuk elemen yang sangat kecil, sehingga menjadi sebuah titik (δx, δy, δz ≈ 0) maka:

px = pz = pn = p •  Kesimpulan: Tekanan (magnitude) pada suatu titik dalam fluida diam adalah sama ke segala arah

2/21/17!

5


Gradien Tekanan pada Fluida z

•  Diambil sembarang elemen fluida yang sangat kecil

p = p(x, y, z,t)

δz # ∂p δ y & %p− ( δx δz ∂y 2 $ '

" ∂p δ y % $p+ ' δx δz ∂y 2 # &

y δx x

δy

•  Pada arah y # # ∂p δ y & ∂p δ y & ∂p δ Fy = % p − ( δx δz −% p + (δ x δ z = − δ x δ y δ z ∂y 2 ' ∂y 2 ' ∂y $ $ 2/21/17!

6


Gradien Tekanan pada Fluida •  Dengan cara yang sama, gaya pada arah x dan z adalah: # # ∂p δ x & ∂p δ x & ∂p δ Fx = % p − δ y δ z − p + δ y δ z = − δx δ y δz ( % ( ∂x 2 ' ∂x 2 ' ∂x $ $ # # ∂p δ z & ∂p δ z & ∂p δ Fz = % p − δ y δ x − p + δ y δ x = − δx δ y δz ( % ( ∂z 2 ' ∂z 2 ' ∂z $ $

2/21/17!

7


Gradien Tekanan pada Fluida •  Gaya yang bekerja pada elemen fluida akibat tekanan adalah:

! # ∂p ! ∂p ! ∂p ! & δ F = %− i − j − k (δ x δ y δ z ∂y ∂z ' $ ∂x •  Jika f adalah gaya per satuan volume, maka: ! ∇ = gradient operator

! ! f p = −∇p

2/21/17!

! # ∂ ! ∂ ! ∂ !& ∇=% i + j + k( ∂y ∂z ' $ ∂x 8


Keseimbangan Elemen Fluida •  Gaya-gaya yang bekerja pada fluida (per satuan volume)

! ! ! ! ! ! ! ! f = f p + f g + f visc = −∇p + ρ g + f visc = ρ a ! ! δ Fg = mg = ρ g δ x δ y δ z ! ! fg = ρg

! ! δ F = ma = ρ a δ x δ y δ z ! ! f = ρa 2/21/17!

9


Distribusi Tekanan Hidrostatis •  Pada fluida statis, percepatan dan tegangan geser sama dengan nol (a = 0, fvisc = 0), sehingga:

! ! ∇p = ρ g

•  Arah gradien tekanan akan selalu tegak lurus permukaan bertekanan konstan. •  Arah gradien tekanan adalah searah gravitasi lokal

! ! g = −gk

2/21/17!

10


Distribusi Tekanan Hidrostatis •  Komponen gradien tekanan :

∂p =0 ∂x

∂p =0 ∂y

∂p = −ρ g = −γ ∂z Permukaan fluida (tekanan = p0)

•  Gradien tekanan tidak terpengaruh x dan y, sehingga:

p2

dp = −γ dz

z z2

p1 z1

z2

p2 − p1 = − ∫ z −γ dz 1 2/21/17!

h = z2 – z1

y

x 11


Fluida dalam Gerak Benda Tegar Ref: White, Frank M., 2011, Fluid Mechanics, 7th edition, Chapter 2, The McGraw-Hill Book Co., New York

2/21/17!

12


Benda Tegar •  Benda tegar (rigid body): suatu sistem partikel yang tidak mengalami deformasi, sehingga jarak antar partikel tidak berubah meskipun mendapat gaya luar (external force) •  Gerak benda tegar (rigid body motion) •  Gerak translasi •  Gerak rotasi •  Kombinasi translasi dan rotasi

2/21/17!

13


Fluida dalam Gerak Benda Tegar •  Fluida dalam gerak benda tegar: seluruh partikel fluida bergerak bersama-sama (percepatan sama) sehingga tidak ada gerakan relatif antar partikel. •  Fluida dalam keadaan ini dapat dianggap sebagai fluida statis (tidak mengalami tegangan dan regangan geser). •  Contoh: •  Zat cair yang diangkut kapal/truk tangki •  Zat cair dalam kontainer yang berputar cukup lama 2/21/17!

14


Fluida dalam Translasi Benda Tegar •  Keseimbangan gaya pada elemen fluida dalam gerak benda tegar (a ≠ 0, fvisc = 0)

! z, k

! a

ax

az

! −a ! ! g −a 2/21/17!

! ! ! ∇p = ρ ( g − a)

! θ g ax

az

Muka zat cair saat diam

θ

! x, i

p = p1 p2

s

p3 15


Fluida dalam Translasi Benda Tegar ! ! •  Gradien tekanan bekerja pada arah g − a ! ! ! ∇p = ρ ( g − a) dp = ρG ds

2

(

G = ax + g+az

)

2

•  Garis tekanan-konstan (serta permukaan zat cair, jika ada) adalah tegak lurus arah gradien tekanan dengan kemiringan:

ax θ = tan g + az −1

2/21/17!

16


a p0 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8

a

a=0 p0 ∆p

Isobar

pB > pA

p0 ∆p

p1 p2 p3 p4

Isobar

pA

p1 p2

Isobar

∆p

pC < pA

p3

p5 p6

p4

Ke mana arah percepatan tangki kiri dan kanan? 2/21/17!

17


a

a

a=0 p0

p0

p1

Isobar

p0

p1

p2

p2

p3

p5 p6

p2

Isobar

p3

p4

p1

∆p

p3 Isobar p4

p4

p5

p5

p6

p6

Ke mana arah percepatan tangki kiri dan kanan? 2/21/17!

18


Contoh Soal dan Penyelesaian Kaleng cat diletakkan pada nampan dan diseret dengan percepatan 7 m/s2. Tinggi kaleng 10 cm, diameter 6 cm dan berisi cat sedalam 7 cm pada kondisi diam. Dengan asumsi bahwa cat dalam gerak benda tegar, (a) tentukan apakah cat akan tumpah, (b) hitung tekanan pada titik A jika rapat massa cat 1010 kg/m3. 2/21/17!

19

z 3 cm ∆z

θ 7 cm

s

x

ax = 7 m/s2

A 3 cm

3 cm Fisika untuk Teknik Sipil!

Contoh Soal dan Penyelesaian •  Penyelesaian (a): ditentukan kemiringan berdasarkan besar percepatan yang telah diketahui, lalu ditentukan tinggi kenaikan permukaan cat di tepi kaleng. 2 a 7.0 m/s θ = tan −1 x = tan −1 = 35.5° 2 g + az 9.81 m/s + 0

∆ z = (3 cm)(tan 35.5°) = 2.14 cm < 3 cm •  Cat tidak tumpah dari kaleng. (Solusi ini mengabaikan goncangan pada saat awal bergerak) 2/21/17!

20


Contoh Soal dan Penyelesaian •  Penyelesaian (b) Tekanan pada A saat diam: pA (diam) = ρ ghrest = (1010 kg/m 3 )(9.81 m/s 2 )(0.07 m) = 694 Pa

Tekanan pada A saat bergerak pA = ρG ∆ s = (1010 kg/m 3 )( (9.81) 2 + (7.0) 2 m/s 2 )((0.07 + 0.0214)cos35.5°m) = 906 Pa

atau pA = ρG(zsurf − z A ) = (1010 kg/m 3 )(9.81 m/s 2 )((0.0214 + 0.07) m) = 906 Pa 2/21/17!

21


Fluida dalam Rotasi Benda Tegar Ref: White, Frank M., 2011, Fluid Mechanics, 7th edition, Chapter 2, The McGraw-Hill Book Co., New York

2/21/17!

22


Ingat kembali… •  Percepatan sentripetal (ac) Vi m m

V = |Vi| = |Vf|

Vi

Vf

r θ

Segitiga sebangun

Vf

∆V

V δ t δV ≈ r V

δV V 2 a= = = ac δt r 2/21/17!

23


Ingat kembali… •  Gaya sentripetal (Fc )

V = Ωr

V

Fc = mac

Ω

Fc

2

V =m r 2 = mΩ r

Fc r

m V 2/21/17!

24


Fluida dalam rotasi benda tegar Apa yang terjadi jika:

Air

1.  Piringan diputar 2.  Kecepatan putar ditambah

Piringan

https://www.youtube.com/ watch?v=RdRnB3jz1Yw&t=9s 2/21/17!

25


Gaya-gaya yang bekerja ! z, iz

Fg = Fnz = mg

Bagaimana gaya-gayanya?

2

Fnx = mΩ r Fnz

Ω

2

Fn Fnx

1

! r, ir

Fg 2/21/17!

26


Distribusi Tekanan ! Apa yang terjadi jika plat berisi fluida digeser, z, iz tetapi masih pada diameter piringan? muka air saat diam

p = p0

Ω

! −a

! ! 2 a = −rΩ ir

p = p1 sumbu rotasi 2/21/17!

p2 p3

! g

! r, ir

! ! g −a

! ! ! ∇p = ρ ( g − a) 27


Distribusi Tekanan •  Vektor posisi, kecepatan sudut dan percepatan:

" ! r0 = r ir

! ! ! ! ! ! 2 Ω = Ω iz Ω × (Ω × r0 ) = −rΩ ir ! ! •  Keseimbangan gaya: ∇p = ρ ( g! − a) ! ! ∂p ! ∂p ! 2 iz + ir = ρ (−giz + rΩ ir ) ∂z ∂r ∂p ∂p 2 •  Maka: dan = −ρ g = ρ rΩ ∂z ∂r 2/21/17!

28


Distribusi Tekanan •  p diintegralkan terhadap r dengan menganggap z konstan

1 2 2 p = ρ r Ω + f (z) 2 •  Dengan menganggap r konstan:

∂p = 0 + f '(z) = −ρ g ∂z •  Sehingga

2/21/17!

f (z) = −ρ gz + C

1 2 2 p = ρ r Ω − ρ gz + C 2 29


Distribusi Tekanan •  Jika p = p0 pada (r, z) = (0, 0) maka C = p0, sehingga:

1 2 2 p = p0 − ρ gz + ρ r Ω 2 •  Untuk menggambar garis tekanan-konstan: 2

2

p0 − p1 r Ω 2 z= + = a + br ρg 2g 2/21/17!

30


Distribusi Tekanan muka air saat diam

h 2 h 2

Volume =

h Ω R = 2 4g 2/21/17!

R

2

31

h

Ω

•  Pada silinder yang diputar pada sumbunya berlaku: 2

π 2 Rh 2

R


Contoh soal Kaleng dengan tinggi 10 cm dan diameter 6 cm berisi cat (ρ= 1010 kg/m3) dengan kedalaman 7 cm pada keadaan diam. Kaleng kemudian diputar pada sumbunya hingga tercapai kondisi benda tegar. Tentukan: (a)  kecepatan sudut yang akan menyebabkan cat mencapai bibir kaleng (b)  tekanan di titik A yang terletak di sudut bawah kaleng

2/21/17!

32


Penyelesaian (a)

z

h Ω2 R 2 = = 0.03 m 2 4g

3 cm

Ω2 = 1308 Ω = 36.2 rad/s = 345 rpm (b) A(r, z) = (3 cm,−4 cm) 1 pA = p0 − ρ gz + ρΩ2 r 2 2 = 0 + 396 N/m 2 + 594 N/m 2

= 990 Pa 2/21/17!

33

0

7 cm

r

Ω

A 3 cm

3 cm


2/21/17!

34


Distribusi Tekanan pada Fluida

Recommend Documents