PSA – cvičení 3: Náhodná veličina a její popis Téma: Náhodná veličina, distribuční funkce a její graf, pravděpodobnostní funkce a její graf, funkce hustoty pravděpodobnosti a její graf, výpočet střední hodnoty a rozptylu náhodné veličiny.
1 Náhodná veličina Náhodná veličina je proměnná, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu. Náhodná veličina přiřazuje výsledkům náhodného pokusu (náhodným jevům) reálné číslo. Náhodnou veličinu budeme označovat nebo . Realizaci náhodné veličiny (ta je známa až po provedení náhodného pokusu) budeme označovat nebo .
Příklad (rozdíl mezi náhodnou veličinou a náhodným jevem): Provedeme náhodný pokus hod dvěma mincemi. Množina všech možných výsledků náhodného pokusu je skládá se tedy ze čtyř elementárních náhodných jevů. Náhodná veličina je definována jako: , a . Realizace náhodné veličiny jsou , ty označujeme a .
2 Distribuční funkce a její graf Jedním z prostředků pro popis náhodné veličiny je distribuční funkce, která každému reálnému číslu přiřazuje pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty menší nebo rovné než toto číslo. Distribuční funkci náhodné veličiny je . Každá distribuční funkce má tyto vlastnosti: Hodnoty distribuční funkce leží mezi 0 a 1, tj. . Distribuční funkce je funkcí neklesající, tj. pro všechna
platí:
. Pro každou distribuční funkci je:
Je zprava spojitá (lze se setkat i s definicí, která pracuje s funkcí zleva spojitou, my ale budeme vždy používat funkci zprava spojitou) Patrice MAREK
Stránka 1 z 6
PSA – cvičení 3: Náhodná veličina a její popis Má nejvýše spočetně mnoho bodů nespojitosti Distribuční funkce náhodné veličiny spojitého typu je spojitá a distribuční funkce náhodné veličiny diskrétního typu je nespojitá.
2.1
Diskrétní náhodná veličina
Je to taková veličina, která může nabývat spočetně (konečně nebo nekonečně) mnoha hodnot. Např.: Počet narozených chlapců mezi 100 novorozenci je diskrétní náhodná veličina, která může nabývat hodnot 0, 1, 2, …, 99, 100. Pravděpodobnost, že náhodná veličina budeme zapisovat:
bude mít hodnotu
s pravděpodobností
Musí platit:
Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny je po částech konstantní:
Pro diskrétní náhodnou veličinu definujeme pravděpodobnostní funkci :
Pravděpodobnostní funkce
Patrice MAREK
Distribuční funkce
Stránka 2 z 6
PSA – cvičení 3: Náhodná veličina a její popis Př. 1: Nakreslete pravděpodobnostní a distribuční funkci pro hod kostkou.
Př. 2: Nakreslete pravděpodobnostní a distribuční funkci pro součet bodů při hodu dvěma kostkami.
2.2
Spojitá náhodná veličina
Je to taková veličina, jejímiž hodnotami jsou všechna čísla z konečného nebo nekonečného intervalu. Např.: Měříme-li délku výrobku s přesností ± 0.5 mm, potom chyba, které se při měření dopustíme, je spojitá náhodná veličina, která může nabývat jakékoliv hodnoty z intervalu . Distribuční funkce spojité náhodné veličiny je definována jako:
kde funkce
je funkcí hustoty (obdoba pravděpodobnostní funkce).
Každá funkce
s následujícími vlastnostmi je hustotou nějaké náhodné veličiny
Pro funkci hustoty platí
skoro všude.
Ukázka (Exponenciální rozdělení s parametrem
Funkce hustoty
Patrice MAREK
)
Distribuční funkce
Stránka 3 z 6
PSA – cvičení 3: Náhodná veličina a její popis Př. 3: Je dána funkce . Určete hodnotu konstanty , tak aby tato funkce byla hustotou pravděpodobnosti nějaké náhodné veličiny. Př. 4: Je dána funkce
Určete hodnotu konstanty náhodné veličiny.
2.3
, tak aby tato funkce byla pravděpodobnostní funkcí nějaké
Vztahy, které platí pro distribuční funkci
Pro diskrétní náhodnou veličinu platí:
Pro spojitou náhodnou veličinu platí:
3 Střední hodnota Střední hodnota náhodné veličiny Střední hodnota vypočte:
je jednou z charakteristik polohy náhodné veličiny
Pro diskrétní náhodnou veličinu Pro spojitou náhodnou veličinu Patrice MAREK
Stránka 4 z 6
.
PSA – cvičení 3: Náhodná veličina a její popis Pro náhodné veličiny
a
Pro nezávislé
(
,
a konstanty
platí
navíc platí
Př. 5: V dílně pracují dva stroje (nezávisle na sobě). Pravděpodobnost, že se porouchá 1. stroj je 0.2. Pravděpodobnost, že se porouchá 2. stroj je 0.3. Náhodná veličina bude označovat počet porouchaných strojů. a) Určete pravděpodobnostní funkci a distribuční funkci této náhodné veličiny. b) Vypočtěte střední hodnotu této náhodné veličiny.
4 Rozptyl Rozptyl náhodné veličiny (další označení
je jednou z charakteristik variability náhodné veličiny . Rozptyl nebo ) je definován jako: .
Pro výpočet se používá výpočetní tvar rozptylu
.
Pro diskrétní náhodnou veličinu: Výpočet jsme již definovali, vypočteme:
je pouze druhá mocnina této hodnoty.
Poté již jen dosadíme do výpočetního tvaru rozptylu.
Pro spojitou náhodnou veličinu: Výpočet jsme již definovali, druhá mocnina této hodnoty. vypočteme:
je pouze
Poté již jen dosadíme do výpočetního tvaru rozptylu.
Patrice MAREK
Stránka 5 z 6
PSA – cvičení 3: Náhodná veličina a její popis Pro náhodné veličiny
a
(
,
a konstanty
platí
Př. 6: Pro předchozí příklad dopočtěte rozptyl náhodné veličiny .
Př. 7: V osudí je 5 míčků – 2 bílé a 3 černé. Postupně jsou vytahovány míčky (bez vracení zpět) dokud není vytáhnut černý míček. a) Vypočtěte pravděpodobnostní funkci a distribuční funkci a nakreslete. b) Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl počtu tahů potřebných pro vytažení černého míčku. c) Určete pravděpodobnost, že bude na vztažení černého míčku potřeba méně než 3 tahů, tj. Př. 8: Pro funkci
a) Dopočtěte hodnotu konstanty tak, aby se jednalo o hustotu pravděpodobnosti. b) Vypočtěte . c) Určete pravděpodobnost, že náhodná veličina bude mezi 1.5 a 2, tj.
(*) Př. 9: Pro náhodnou veličinu
je funkce hustoty definována takto:
a) Nakreslete graf funkce hustoty. b) Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl c) Dopočtěte distribuční funkci . d) Určete pravděpodobnosti
Patrice MAREK
náhodné veličiny. .
Stránka 6 z 6
