4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A
DISKRÉTNÍ ŘÍZENÍ
u t o m a t i z a c e
- diskrétní veličiny
Diskrétní regulační obvod Definice: Diskrétní regulační obvod je obvod, ve kterém alespoň jeden člen pracuje diskrétně, tzn. informaci přijímá nebo vydává (příp. obojí) v diskrétních časových okamžicích, které jsou většinou rovnoměrné (ekvidistantní). Definice: V diskrétním regulačním obvodu alespoň jedna veličina je k dispozici pouze ve tvaru posloupnosti diskrétních hodnot.
4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A u t o m a t i z
Diskrétní funkce Definice: Diskrétní funkce je tvořena posloupností hodnot f(0T), f(1T), f(2T),…, které jsou definovány v časově ekvidistantních vzorkovacích okamžicích t=kT. Diskrétní čas
f(2T)
f(kT) f(1T)
t = kT , kde k = 0,1, 2, ...
f(3T)
f(4T)
a c e
Vzorkovací perioda, vzorkovací frekvence
2π T [s ] , ωV = T
f(0T) 0T
1T
2T
3T
4T
kT
1
4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A u
Použití diskrétního regulačního obvodu
t o m
Regulační obvod s diskrétním charakterem použitých technických zařízení
a t i z
Regulační obvod se spojitými veličinami, které nelze měřit spojitě
a c
Počítač ve funkci regulátoru
e
4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A
Blokové schéma diskrétního regulačního obvodu
u t
v(t)
o m a
w(kT)
e(kT) Počítač u(kT) ve funkci regulátoru
t
D-A (tvarovač)
uT(t) Regulovaná y(t) soustava (spojitá)
i z a c e
y(kT) A-D (vzorkovač)
2
4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A
Vzorkovač
u t o
- spojitá veličina → diskrétní veličina
y(t)
T
y(t)
y(kT)
m a t i z a c e
Vstup do vzorkovače - spojitý signál y (t )
t y(kT)
Výstup ze vzorkovače - vzorkovaný signál
y (kT ), k = 0,1, 2,... 0T
1T
2T
3T
4T
kT
4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A u t o m
Volba vzorkovací periody - dynamika regulované soustavy
T ≅ 0,5τ min
a t i
1 1 T ≅ ÷ ∑τ i 4 2
1 1 T ≅ ÷ TD 8 4
z a
- Shannonova podmínka vzorkování
c e
T≤
π ωm
3
4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A u
Tvarovač - diskrétní veličina → spojitá veličina
t o m
u(kT) GT(s)
uT(t)
u(kT)
a t i z a
Vstup do tvarovače - vzorkovaný signál
u (kT ), k = 0,1, 2,...
0T
1T
2T
3T
4T
kT
0T
1T
2T
3T
4T
t
uT(t)
c e
Výstup z tvarovače - tvarovaný signál uT (t )
4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A u t o m
Přenos tvarovače 0-tého řádu
1 − e −Ts GT (s ) = s
a t i
Úkol signálu z tvarovače - předání informace
z a
- předání potřebné energie
c e
4
4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A u t o
Z-transformace - obdoba Laplaceovy transformace - popis Z-přenosy
m a
přímá Z-transformace
t
Z{ { }
i
obraz F(z)
originál f(t)
z a
Z-1 { }
c
zpětná Z-transformace
e
časová oblast
oblast z
4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A
Přímá Z-transformace
u t o m
Odvození definičního vztahu ∞
L{ f (t )} = ∫ f (t ) e
i z a c e
dt
0
a t
− st
∞
L{ f (kT )} = ∑ f (kT ) e − skT k =0
z = e sT Definiční vztah ∞
F ( z ) = Z { f (kT )} = ∑ f (kT ) z −k = f (0 ) + f (T )z −1 + f (2T )z −2 + ... k =0
5
4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A
Slovník Z-transformace
f (t )
F (z )
1
δ (t )
1
2
η (t )
3
t
u t o
f (t ) 4
e −at
5
1 (1 − e−at ) a
6
t e −at
m a t i z a
z z −1 Tz ( z − 1)2
F (z ) z z − e −aT 1 (1 − e −aT )z a ( z − 1)(z − e −aT ) Tze −aT
(z − e )
− aT 2
c e
Řešení přímé Z-transformace - užitím definičního vztahu - užitím slovníku Z-transformace
4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A
Zpětná Z-transformace
u t o m
Definiční vztah
f (kT ) =
1 F ( z ) z k −1 dz ∫ 2πj c
a t i z a c e
Řešení zpětné Z-transformace - užitím definičního vztahu - užitím slovníku Z-transformace - dělením polynomů
F ( z ) = f 0 + f 1 z −1 + f 2 z −2 + ... F ( z ) = f (0 ) + f (T )z −1 + f (2T )z −2 + ...
f (0) = f 0 , f (T ) = f1 , f (2T ) = f 2 , ...
6
4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A
Věty Z-transformace
u t o m
• věta o linearitě
Z {af1 (k ) + bf 2 (k )} = aF1 ( z ) + bF2 ( z )
a t i z
• věta o počáteční hodnotě
f (0 ) =lim f (k ) = lim F ( z ) k →0
a c e
z →∞
• věta o konečné hodnotě
f (∞ ) = lim f (k ) = lim k →∞
z →1
z −1 F (z ) z
4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A
Popis diskrétních členů
u t o m a
u(kT) diskrétní vstupní veličina
Diskrétní regulační systém
y(kT) diskrétní výstupní veličina
t i
Diferenční rovnice v diferenčním tvaru
z a c e
Diference funkce - dopředná diference
∆f (k ) = f (k + 1) − f (k ) ∆2 f (k ) = ∆f (k + 1) − ∆f (k ) = f (k + 2 ) − 2 f (k + 1) + f (k )
7
4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A u t o
- zpětná diference
∇f (k ) = f (k ) − f (k − 1) ∇ 2 f (k ) = ∇f (k ) − ∇f (k − 1) = f (k ) − 2 f (k − 1) + f (k − 2)
m a t i z
Diferenční rovnice s dopřednými diferencemi
α n ∆n y(k ) + α n−1∆n−1 y (k ) + ... + α1∆y (k ) + α 0 y (k ) =
= β m ∆mu (k ) + β m −1∆m −1u (k ) + ... + β1∆u (k ) + β 0u (k )
a c e
Diferenční rovnice se zpětnými diferencemi
α n∇ n y (k ) + α n−1∇ n−1 y (k ) + ... + α1∇y (k ) + α 0 y (k ) =
= β m∇ mu (k ) + β m−1∇ m−1u (k ) + ... + β1∇u (k ) + β 0u (k )
4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A u t o m a t i z a c e
Diferenční rovnice v rekurentním tvaru Diferenční rovnice s kladným posunutím
an y (k + n ) + ... + a1 y (k + 1) + a0 y (k ) =
= bmu (k + m ) + ... + b1u (k + 1) + b0u (k )
- podmínka fyzikální realizovatelnosti
n≥m - počáteční podmínky
y(0), y(1),..., y(n − 1)
8
4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A u t o m a t i z a c e
Diferenční rovnice se záporným posunutím
a0 y (k ) + a1 y (k − 1) + ... + an y (k − n ) =
= b0u (k ) + b1u (k − 1) + ... + bmu (k − m )
- v regulační technice
a0 = 1 - podmínka fyzikální realizovatelnosti
je − li b0 ≠ 0 musí a0 ≠ 0 totéž platí i pro první nenulové odpovídající si koeficienty bi a ai
4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A u t
- počáteční podmínky
y(− 1), y(− 2),..., y(− n )
o m a t i z a c
Řešení diferenčních rovnic - klasickým způsobem - Z-transformací - numerickým (rekurentním) způsobem
e
9
