DIAGRAM KONTROL MULTIVARIAT IMPLEMENTASI DAN ARAH PENGEMBANGANNYA (*) Oleh: Muhammad Mashuri Dosen Jurusan Statistika FMIPA ITS
Ringkasan Makalah ini membahas tentang perkembangan diagram kontrol multivariat, baik untuk target maupun variabilitas proses, baik untuk pengamatan subgrup maupun individual. Berdasarkan penelusuran literatur, dapat diketahui bahwa pada dekade terakhir, perkembangan diagram kontrol multivariat menuju kearah pengembangan diagram yang berbasis pada pengamatan individual dan pengembangan diagram kontrol tipe EWMA. Area yang masih terbuka untuk penelitian lebih lanjut adalah pengembangan diagram kontrol berbasis statistik tegar, diagram kontrol multivariat untuk pengamatan yang berpola dan untuk karakteristik-karakteristik kualitas yang bersifat atribut. Pada bagian akhir dari paper ini diberikan ilustrasi implementasi diagram kontrol variabilitas multivariat untuk pengamatan subgrup dan individual. Kata Kunci: Diagram control, target, variabilitas, subgroup dan individual
(*) Makalah Utama di sampaikan pada Seminar Nasional Statistika IX Jurusan Statistika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya
1
Pendahuluan Sejak Shewhart di tahun 1924 mengemukakan metodologi statistika dalam pengontrolan kualitas proses, maka sejak itu masalah kualitas proses dan kualitas produk menjadi sangat kuantitatif. Terlebih lagi sejak Hotelling pada tahun 1947 mengembangkan statistik T 2 (Jackson, 1991), maka kualitas dipandang sebagai entitas multidimensi. Sejalan dengan itu tuntutan masyarakat pun berkembang sehingga kualitas proses harus memenuhi kriteria Three-Sigma (3σ). Tuntutan ini secara umum berlangsung selama kurang lebih 50 tahun hingga 31 Desember 1999. Sejak 1 Januari 2000 pasar global sudah mendorong industri (baik jasa maupun manufaktur) yang hendak memasarkan produknya ke pasar global, untuk memenuhi kriteria Six-Sigma (6σ). Kualitas proses yang telah mencapai tingkat 3σ mempunyai makna bahwa proses tersebut mampu menghasilkan tidak lebih dari 2700 produk cacat di antara 1 juta produk yang dihasilkan (2700 ppm atau part per million). Sedangkan tingkat kualitas 6σ menunjukkan bahwa proses tersebut mampu mencapai 3,4 ppm. Peningkatan kriteria dari 3σ menuju 6σ akan dapat dicapai apabila variabilitas suatu proses dapat dikontrol, sehingga dapat diturunkan seminimal mungkin. Dalam 25 tahun terakhir dunia menyaksikan bagaimana teknologi pengontrolan kualitas berkembang ke arah pengontrolan proses multivariat. Artinya kualitas produk yang dihasilkan diukur berdasarkan beberapa karakteristik kualitas sekaligus. Pada awalnya teknologi pengontrolan kualitas proses multivariat tersebut dikembangkan untuk target (mean) proses. Namun pada dekade terakhir dunia menyaksikan pula bagaimana teknologi tersebut mulai merambah pada teknologi pengontrolan variabilitas (dispersi) proses. Pengembangan teknologi ini antara lain dipicu oleh adanya kriteria 6σ, sebagaimana yang telah dikemukakan. Begitu fundamentalnya masalah variabilitas ini, sehingga banyak literatur-literatur mutakhir membahasnya. Secara garis besar, teknologi pengontrolaan kualitas multivariat dapat dikelompokkan ke dalam dua bagian, yaitu diagram yang dikembangkan untuk mengontrol mean dan diagram yang dikembangkan untuk mengontrol variabilitas. Studi orisinal pertama tentang pengontrolan kualitas multivariat dilakukan oleh Hotelling pada tahun 1947. Dalam perkembangan berikutnya berbagai penelitian tentang pengontrolan kualitas multivariat banyak sekali dilakukan.
2
Dalam paper ini akan dibahas perkembangan diagram kontrol multivariat hingga saat ini. Pada bagian akhir paper ini akan dikemukakan contoh pengembangan diagram kontrol multivariat untuk variabilitas yang telah dikembangkan oleh penulis. Perkembangan Diagram Kontrol Multivariat Sebagaimana telah dikemukakan, studi orisinal pertama tentang pengontrolan kualitas multivariat dilakukan oleh Hotelling pada tahun 1947. Hotelling menerapkan metode yang dikembangkan pada data bombsight selama Perang Dunia II (Jackson,1991). Metode tersebut didasarkan pada paper Hotelling berjudul The Generalization of Student’s Ratio yang ditulis pada tahun 1931 (Hotelling, 1931). Dalam perkembangan berikutnya berbagai penelitian tentang pengontrolan kualitas multivariat banyak sekali ditulis, baik yang berkaitan dengan pengontrolan target maupun variabilitas, baik untuk pengamatan subgrup maupun individual. Penelitian tentang pengontrolan target dengan pengamatan subgrup antara lain dilakukan oleh: Jackson (1959), Montgomery dan Wadsworth (1972), Woodall dan Ncube (1985), Kotz dan Johnson (1985), Healy (1987), Alth dan Smith (1988), Lowry dan Woodall (1992), Sparks (1992), Chua dan Montgomery
(1992), Hawkins (1993), Liu (1995),
Nomikos dan MacGregor (1995), Timm (1996), Prabu dan Runger (1997), Sauers (1997), Spiring dan Cheng (1998), Neduraman dan Pignatiello (1999 dan 2000), Mason dan Young (1999), Mason et al. (2001), Linna et al. (2001), Javaheri dan Houshmand (2001), Ngai dan Zhang (2001), Montgomery (2001), Castilo dan Rajagopal (2002), Tsung dan Apley (2002), Stoumbos dan Sullivan (2002), Mason et al. (2003), Yoon et al. (2003), Maravelakis (2003), Kourti dan MacGregor (1996), Pan dan Jarrett (2004), Kalgonda dan Kulkarni (2004),
dan Jiang (2004). Sedangkan untuk pengontrolan target multivariat
pengamatan individual, antara lain oleh: Tracy et al. (1992), Holmes dan Mergen (1993), Scholz dan Tosch (1994), Mason et al. (1996), Sullivan dan Woodall (1996 dan 2000), Prins dan Mader (1997), Quesenberry (2001), Chou et al. (2001), Sullivan dan Jones (2002), dan Vargas (2003). Penelitian tentang pengontrolan variabilitas proses multivariat dengan pengamatan subgrup, antara lain oleh: Montgomery dan Wadsworth (1972), Kotz dan Johnson (1985), Alth dan Smith (1988), Tang dan Barnett (1996a,b), Montgomery (2001), Levinson et al. (2002), Aparisi dan Bartolucci (2003), Surtihadi et al. (2004), Khoo dan Quah (2004), Djauhari (2005a,b), dan Mashuri (2006). Sedangkan untuk pengamatan individual, antara
3
lain dilakukan oleh: Sullivan dan Woodall (2000), Khoo dan Quah (2003), Yeh et al. (2004), dan Mashuri (2006). Secara garis besar penelitian tentang pengontrolan target proses multivariat untuk pengamatan subgrup dapat dibedakan menjadi empat bagian. Pertama, penggunaan metode komponen utama dengan berbagai variannya, antara lain dikemukakan oleh: Jackson (1959), Sparks (1992), MacGregor dan Nomikos (1995), Yoon et al. (2003), dan Kourti dan MacGregor (2004). Kedua, berbasis pada statistik Hotelling T 2 dengan berbagai modifikasinya. Modifikasi itu dilakukan dengan tujuan agar lebih efektif atau karena tuntutan aplikasi. Penelitian yang termasuk kelompok kedua antara lain oleh: Montgomery dan Wadsworth (1972), Kotz dan Johnson (1985), Alt dan Smith (1988), Timm (1996), Sauers (1997), Spiring dan Cheng (1998), Neduraman dan Pignatiello (1999 dan 2000), Mason dan Young (1999), Mason et al. (2001), Montgomery (2001), Tsung dan Apley (2002) dan Mason et al. (2003). Ketiga, generalisasi metode cumulative sum (CUSUM), yaitu konsep univariat CUSUM dikembangkan untuk kasus multivariat. Penelitian tentang CUSUM multivariat (MCUSUM), antara lain oleh: Woodal dan Ncube (1985), Healy (1987), Ngai dan Zhang (2001), Keempat, generalisasi metode expected weighted moving average (EWMA), sehingga diperoleh EWMA multivariat (MEWMA). Penelitian tentang MEWMA antara lain dilakukan oleh: Lowry dan Woodall (1992), Chua dan Montgomery (1992), Prabu dan Runger (1997), Castilo dan Rajagopal (2002), Stoumbos dan Sullivan (2002). Disamping itu, akhir-akhir ini juga dikembangkan teknologi pengontrolan target proses multivariat untuk pengamatan yang memiliki autokorelasi, sebagaimana yang dilakukan oleh: Pan dan Jarrett (2004), Kalgonda dan Kulkarni (2004), dan Jiang (2004). Penelitian tentang pengontrolan target proses multivariat pengamatan individual, pertama kali dilakukan oleh Tracy et al. (1992). Tracy et al. mengemukakan statistik Q yang didasarkan pada statistik Hotelling. Mean dan matriks kovariansi ditaksir berdasarkan pengamatan historis. Selanjutnya diturunkan distribusi eksak dan hampiran untuk statistik tersebut. Diagram kontrol yang dikemukakan diterapkan untuk mengendalikan proses industri kimia. Pada tahun 1993, Holmes dan Mergen memperbaiki kinerja statistik Q dengan mengemukakan matriks MSSD sebagai penaksir matriks kovariansi proses. Melalui sebuah contoh kasus ditunjukkan bahwa diagram kontrol yang menggunakan matriks MSSD lebih efektif dari pada matriks kovariansi sampel. Melanjutkan penelitian Holmes dan Mergen, Scholz dan Tosch (1994) menurunkan distribusi eksak dan hampiran dari statistik yang dikemukakan Holmes dan Mergen. Selain Holmes dan Mergen, Mason
4
et al. (1996) juga mengembangkan hasil penelitian Tracy et al. sehingga diperoleh metodologi untuk memonitor step process. Berbeda dengan peneliti lainnya, Sullivan dan Woodall (1996) melakukan studi perbandingan diagram kontrol multivariat untuk target dengan pengamatan individual. Lima diagram kontrol yang dibandingkan semuanya berdasarkan statistik yang dikemukakan Tracy et al. (1992), tetapi penaksir matriks kovariansinya dibuat berbeda. Melalui studi simulasi ditunjukkan bahwa matriks MSSD merupakan penaksir yang lebih tegar dibanding penaksir lainnya. Sementara itu, Prins dan Mader (1997) membahas statistik Hotelling T 2 dengan berbagai penaksir mean. Mean ditaksir berdasarkan tiga cara, yaitu: target (ditentukan), data historis, data saat ini. Dengan memanfaatkan matriks MSSD sebagai penaksir matriks kovariansi proses, hasil modifikasi yang dilakukan diterapkan pada kasus pengamatan individual. Pada bagian lain, Quesenberry (2001) mengemukakan generalisasi statistik Q univariat yang dikemukakan tahun 1991, yang dinotasikan Qr . iid
Quesenberry dan David (1961) telah menunjukkan bahwa Qr
N ( 0, 1) . Diagram kontrol
yang dihasilkan dapat digunakan tanpa memerlukan data pendahuluan. Jika peneliti-peneliti lain selalu mendasarkan pada asumsi normalitas, Chou et al. (2001) justru mengemukakan diagram kontrol untuk pengamatan individual yang berasal dari distribusi tak normal. Chou et al. menggunakan teknik kernel smoothing untuk menaksir distribusi T 2 tatkala proses berdistribusi tak normal. Melalui simulasi dapat diketahui ukuran sampel yang diperlukan dan ARL0 diagram kontrol yang dihasilkan. Sementara itu, Sullivan dan Jones (2002) mengemukakan diagram kontrol multivariat pengamatan individuial untuk self-starting berdasarkan konsep MEWMA. Untuk variabel sebanyak p, diagram kontrol yang dikemukakan sudah dapat digunakan sejak pengamatan ke p + 2 . Sullivan dan Jones menunjukkan bahwa metode yang dikemukakan memiliki kinerja yang lebih baik dibanding T 2 konvensional. Vargas (2003) meneliti tentang penaksir tegar untuk matriks kovariansi pada diagram kontrol multivariat pengamatan individual. Vargas membandingkan enam penaksir dan menyimpulkan bahwa MVE memiliki kepekaan yang lebih baik jika terjadi banyak outlier, sedangkan matriks MSSD sebagai penaksir matriks kovarioansi cukup baik digunakan untuk mendeteksi terjadinya perubahan vektor mean. Penelitian tentang pengontrolan variabilitas dengan pengamatan subgrup pertama kali dilakukan oleh Montgomery dan Wadsworth (1972), menggunakan ukuran variabilitas
5
generalized variance (GV), dinotasikan S . Montgomery dan Wadsworth mengemukakan statistik Y, yang didefinisikan sebagai Y j = ln S j . Batas kontrol diagram yang dikemukakan didasarkan pada asumsi Y j → N ( μ , σ 2 ) , di mana μˆ = Y dan σˆ = SY . Berbasis pada GV sebagai ukuran variabilitas, Kotz dan Johnson (1985), Alth dan Smith (1988), Montgomery (2001), dan Djauhari (2004) membahas berbagai statistik yang dapat digunakan untuk membuat diagram kontrol. Berbagai statistik tersebut antara lain: likelihood ratio (W), S , dan ln S . Pembahasan juga dilakukan atas distribusi dari masing-masing statistik untuk berbagai nilai p (banyaknmya variabel) dan penaksiran parameter. Dalam konteks penaksiran parameter, ternyata penaksir parameter diagram S dikemukakan Montgomery (2001) bias, oleh karena itu Djauhari (2005) memperbaiki dengan mengemukakan penaksir tak bias. Berbeda dengan peneliti lainnya, Tang dan Barnett (1996a ) mengemukakan diagram kontrol berdasarkan dekomposisi matriks kovariansi. Prinsip utama dari metode yang dikemukakan adalah upaya untuk mempartisi matriks kovariansi menjadi suku-suku yang independen dan memiliki distribusi serta interpretasi yang jelas. Kelebihan metode yang dikemukakan, disamping lebih power (Tang dan Barnett, 1996b), juga dapat digunakan untuk intepretasi sinyal out-of control. Sementara itu, Levinson et al. (2002), mengemukakan diagram variabilitas untuk melengkapi diagram T 2 . Tatkala terjadi sinyal out-of control pada diagram T 2 , diagram yang dikemukakan dapat digunakan untuk menetapkan apakah itu disebabkan oleh perubahan vektor mean atau matriks kovariansi atau keduanya. Aparisi dan Bartolucci (2003) mengemukakan diagram yang dapat digunakan untuk mendeteksi terjadinya perubahan matriks kovariansi dengan melakukan pengujian serentak atas vektor mean dan matriks kovariansi. Sayangnya metode yang dikemukakan baru dibuktikan lebih power kalau dibandingkan dengan p buah diagram univariat. Surtihadi (2004) mengemukakan diagram tipe Shewhart dan tipe CUSUM untuk berbagai perubahan matriks kovariansi. Khoo dan Quah (2004) mengemukakan alternatif diagram kontrol variabilitas multivariat. Metode yang dikemukakan didasarkan atas runs rules. Lima skema yang dikemukakan memiliki ARL yang lebih baik dari pada metode standar ( S ). Sebagaimana dikemukakan, untuk pengamatan individual, baru dijumpai empat paper, yaitu yang ditulis oleh: Sullivan dan Woodall (2000), Khoo dan Quah (2003), Yeh et al.
6
(2004), dan Mashuri (2006). Sullivan dan Woodall (2000) mengemukakan diagram kontrol multivariat pengamatan individual yang dapat digunakan untuk mendeteksi perubahan vektor mean atau matriks kovariansi. Statistik yang dikembangkan berdasarkan likelihood
ratio. Kelebihan dari metode ini adalah, tatkala terjadi sinyal out-of control dapat dilakukan analisis lanjutan untuk mendeteksi apakah disebabkan oleh perubahan mean, perubahan matriks kovariansi atau keduanya. Statistik yang dikemukakan Sullivan dan Woodall (2000) memilki kelemahan dalam hal komputasi dan penaksiran parameter. Kho dan Quah (2003) mengemukakan statistik yang didasarkan pada successive
differences.
Statistik
yang
dikemukakan
tipe Hotelling,
di
mana jarak
yang
dipertimbangkan adalah jarak antara vektor pengamatan, sedangkan matriks kovariansi proses ditaksir berdasarkan data historis. Oleh karena menggunakan jarak antar vektor pengamatan, maka dapat digunakan untuk pengamatan individual. Meskipun demikian, statistik yang dikemukakan juga memiliki masalah komputasi dan penaksiran parameter. Jika Sullivan dan Woodall menggunakan statistik tipe likelihood ratio, dan Kho dan Quah menggunakan statistik tipe Hotelling, maka Yeh et al. (2004) menggunakan konsep EWMA. Metode yang dikemukakan didasarkan pada EWMA dari perkalian vektor pengamatan dengan tranfosnya. Yeh et al. mengemukakan statistik yang merupakan jarak kuadrat antara penaksir dengan nilai parameter, sehingga dapat digunakan untuk mendeteksi perubahan variansi atau kovariansi. Simulasi yang dilakukan menghasilkan kesimpulan bahwa metode yang dikemukakan lebih baik dari pada EWMA dan CUSUM yang didasarkan regression adjusted. Meskipun demikian metode ini relatif rumit dan memiliki masalah penaksiran parameter.
( )
Perhitungan determinan matriks kovariansi membutuhkan waktu berorde O 2 p
dengan
metode Cholesky, di mana p adalah banyaknya variabel. Sedangkan perhitungan trace
( )
matriks hanya memerlukan waktu berorde O p 2
(Dyah et al. 2005). Berdasarkan
pemikiran tersebut, Mashuri (2006) mengembangkan diagram kontrol variabilitas multivariat berdasarkan trace matriks. Diagram yang dikembangkan berdasarkan trace dari kuadrat matriks kovariansi dan trace dari kuadrat matriks successive difference. Diagram kontrol yang berbasis trace dari matriks kovariansi dapat digunakan untuk mengontrol variabilitas multivariat untuk pengamatan subgrup, sedangkan yang berbasis trace matriks
successive difference dikembangkan untuk pengamatan individual. Statistik yang dikemukakan tidak melibatkan perhitungan invers matriks, tetapi trace matriks, sehingga
7
memiliki waktu perhitungan yang lebih efisien. Apalagi berbagai literatur (lihat: Holmes dan Mergen, 1993; Scholz dan Tosch, 1994; Sullivan dan Woodall, 1996b; dan Vargas, 2003) telah menjelaskan bahwa matriks MSSD cukup efektif untuk menaksir matriks kovariansi proses. Dengan demikian, diagram yang berbasis trace tersebut di samping memiliki waktu komputasi yang relatif cepat karena terhindar dari perhitungan invers matriks, juga cukup efektif karena menggunakan matris MSSD sebagai penaksir matriks kovariansi proses. Perkembangan terakhir menunjukkan bahwa, berbagai penelitian signifikan dilakukan untuk untuk mengembangkan diagram control multivariate. Antara lain: Williams et al (2006), Reynold and Cho (2006), Hawkins et al (2007), Huwang et al (2007), Chiu et al (2007), dan Hawkins et al (2008). Williams et al (2006a,b) meneliti tentang distribusi statistik Hotelling T2 yang basis penaksir successive difference. Williams et al. menunjukkan bahwa statistik Hotelling T2 akan berdistribusi Beta, jika matriks kovariansi ditaksir dengan successive difference covariance matrix (SDCM). Diagram yang dikembangkan berdasarkan statistik tersebut memiliki batas kontrol yang lebih akurat dan bisa digunakan untuk pengamatan yang bersifat individual. Reynold and Cho (2006), mengembangkan diagram kontrol Multivariate Exponentially
Weighted Moving Average (MEWMA) berbasis pada kombinasi sample means dan sum square deviation from target. Diagram kontrol yang dihasilkan memiliki kinerja yang lebih baik dibandingkan dengan diagram MEWMA konvensional dan diagram Hotelling T2. Pada awalnya diagram control MEWMA dikembangkan untuk mengontrol target, kemudian Hawkins et al (2007) mengembangkan diagram MEWMA untuk mengontrol variabilitas, yang dinamakan diagram Multivariate Exponentially Weighted Moving
Covariance Matrix (MEWMC). Diagram ini dapat mengontrol variabilitas proses multivariat baik untuk pengamatan subgrup maupun individual. Huwang et al (2007), mengembangan diagram kontrol variabilitas multivariate berdasarkan statistik trace dari matriks kovariansi yang diperoleh dari pengamatan individual. Berdasarkan studi yang dilakukan, pada kasus p = 1, diketahui bahwa diagram ini memiliki kinerja yang lebih baik dibandingkan diagram Exponentially Weighted Mean Square
Deviation atau Exponentially Weighted Moving Variance.
8
Chiu et al (2007), mengembangkan diagram control multivariat yang dapat digunakan untuk mengontrol mean dan variability secara bersama-sama. Hasil studi yang dilakukan menunjukkan bahwa diagram yang diperoleh memiliki kinerja yang lebih baik dibandingkan dengan diagram Hotelling T2 dan diagram kontrol |S|. Berdasarkan kajian atas berbagai penelitian tentang diagram kontrol multivariate tersebut, dapat diketahui bahwa arah penelitian saat ini menuju pada diagram yang berbasis pengamatan individual, penaksiran matriks kovariansi dengan successive difference
covariance matrix, dan peningkatan kinerja diagram type MEWMA. Sedangkan area yang masih terbuka untuk penelitian lebih lanjut adalah diagram control yang berbasis statistik tegar, diagram multivariate untuk pengamatan berpola dan diagram kontrol multivariat untuk karakteristik-karakteristik kualitas yang bersifat atribut.
Diagram Kontrol VSD r r r r Misalkan X1 , X 2 , … , X n sampel random berukuran n dari distribusi N p ( μ , Σ ) . Vektor mean S=
sampel
dan
r 1 n r X − X ∑ i n − 1 i =1
(
)(
matriks
r t r Xi − X .
)
kovariansi Dengan
sampel
r 1 n r X = ∑ X i dan n i =1
adalah
menggunakan
ukuran
variabilitas,
VSD= Tr ( S 2 ) kita dapat membangun diagram untuk mengontrol variabilitas multivariat.
r Misalkan pengamatan subgrup ke-k dinyatakan oleh sampel random berukuran n, X k 1 , r r r X k 2 , … , X kn dari N p ( μ , Σ ) ; k = 1, 2, … , m. Matriks kovariansi sampel pada subgrup ke-k adalah S k =
r 1 n r X ki − X k ∑ n − 1 i =1
(
)( X
r
r − X ki k
)
t
r 1 n r dengan X k = ∑ X ki . n i =1
Dengan demikian, VSD pada pengamatan ke-k adalah, VSD k = variansi dari VSD adalah μVSD =
Tr ( S 2k ) . Mean dan
2n Tr ( Σ 4 ) n +1 2 2 Tr ( Σ ) dan σ VSD = 2 n −1 ( n − 1) Tr ( Σ2 )
(lihat, Mashuri (2006) halaman 26) Akibatnya, jika Σ diketahui, diagram kontrol VSD memiliki batas kontrol bawah (BKB) dan batas kontrol atas (BKA), BKB = max {0, μVSD − Kσ VSD } dan
9
BKA = μVSD + Kσ VSD
(1)
dengan K ditentukan berdasarkan probabilitas terjadinya suatu false alarm (α ) yang ⎛ α⎞ diinginkan. Jadi, K = Z α yakni kuantil ke ⎜1 − ⎟100% dari distribusi N ( 0, 1) . 2⎠ ⎝ 2
Selanjutnya proses pengontrolan dilakukan dengan memplot VSD k pada diagram tersebut; k = 1, 2, … , m. 2 harus ditaksir terlebih dahulu untuk kemudian Apabila Σ tidak diketahui, μVSD dan σ VSD
digunakan menaksir batas-batas kontrol. Mashuri (2006) mengemukakan taksiran untuk
μVSD adalah
μˆVSD =
m ( n + 1) Tr ( S 2 ) m ( n − 1) + 2
2 ( m ( n − 1) + 2 ) mn ( n − 1)
2 2 dan taksiran untuk σ VSD adalah σˆVSD =
Tr ( S 4 )
2
( n + 1) ( m2 n ( n − 2 ) + m2 + 12m ( n − 1) + 12 ) Tr ( S 2 )
.
2 2 μˆVSD dan σˆVSD masing-masing bukan merupakan penaksir tak bias bagi μVSD dan σ VSD
sebab
limit m →∞
E ( μˆ VSD ) ≠ μVSD m ( n + 1) = m ( n − 1) + 2
2 2 E (σˆ VSD . Meskipun demikian, oleh karena ) ≠ σ VSD
dan
( n + 1) ( n − 1)
dan limit n →∞
( n + 1) = 1, maka untuk ( n − 1)
m → ∞ dan n → ∞ ,
μˆVSD konvergen ke μVSD . Di samping itu, oleh karena limit m →∞
limit n →∞
2 ( m ( n − 1) + 2 ) mn ( n − 1)
2
( n + 1) ( m2 n ( n − 2 ) + m2 + 12m ( n − 1) + 12 )
=
2n(n − 1) 2 n − 2(n − 1) 2 n(n − 2)n + n(n − 2) + n + 1
dan
2n(n − 1) 2 n − 2(n − 1) 2 2 = 0 , maka untuk m → ∞ dan n → ∞ , σˆVSD konvergen ke n(n − 2)n + n(n − 2) + n + 1
2 2 0. Jadi μˆVSD dan σˆVSD masing-masing merupakan penaksir asimtotis bagi μVSD dan σ VSD .
Berdasarkan penaksir-penaksir tersebut, apabila Σ tidak diketahui, maka diagram kontrol VSD memiliki batas-batas kontrol, BKB = max {0, μˆVSD − KσˆVSD } dan BKA = μˆVSD + KσˆVSD dengan K sama seperti pada kasus dimana Σ diketahui.
10
(2)
Diagram Kontrol VSD r r r Misal, X 1 , X 2 , L , X m barisan vektor random saling bebas yang diambil dari distribusi
r N p ( μ , Σ ) . Successive difference covariance matrix (SDCM) pada saat ke-k didefinisikan oleh,
Vk =
r 1 r X k +1 − X k 2
(
r
)( X
k +1
r t − X k . Selanjutnya didefinisikan ukuran variabilitas
)
multivariat SDCM pada saat ke-k yaitu: VSD k = Tr ( Vk2 ) . Dengan menggunakan VSD k kita dapat membangun suatu diagram kontrol untuk mengontrol variabilitas multivariat individual yang penulis namakan diagram kontrol
VSD . Mashuri (2006) mengemukakan bahwa VSD k memiliki distribusi yang dapat didekati dengan cukup baik oleh k0 χ r2 , dengan k0 = 2 {Tr ( Σ )}
Tr ( Σ 2 ) Tr ( Σ )
dan r adalah bilangan bulat
2
terdekat ke
Tr ( Σ 2 )
. Oleh karena itu, jika Σ diketahui dan α ditetapkan, maka
diagram kontrol VSD memiliki batas kontrol atas, BKA = k0 χ r2 (α )
(3)
dengan χ r2 (α ) menyatakan kuantil ke 100 (1 − α ) % dari distribusi Chi-kuadrat dengan derajat kebebasan r. Apabila Σ tidak diketahui, maka k0 dan r harus ditaksir terlebih dahulu untuk kemudian digunakan menaksir batas kontrol. Mashuri (2006) membuktikan bahwa
dan
k0
r,
{ ( )}
% ⎛ 2n ⎞ Tr S n rˆ = ⎜ ⎟ ⎝ n + 3 ⎠ Tr S% n2
( )
masing-masing dapat ditaksir oleh
( ) ( )
%2 ⎛ n ⎞ Tr S n ˆ k0 = ⎜ dan ⎟ ⎝ n + 3 ⎠ Tr S% n
2
. Pada dasarnya kˆ0 dan rˆ masing-masing bukan merupakan penaksir
tak bias bagi k0 dan r . Meskipun demikian kedua penaksir menuju tak bias bila n → ∞ , sebab limit n →∞
n = 1 . Dengan kata lain untuk n → ∞ , n+3
kˆ0 konvergen ke k0 dan rˆ
( )
konvergen ke r , sehingga untuk n → ∞ , E kˆ0 = k0 dan E ( rˆ ) = r . Jadi,
kˆ0 dan rˆ
masing-masing merupakan penaksir tak bias secara asimtotis bagi k0 dan r . Berdasarkan kedua taksiran tersebut, bila Σ tidak diketahui, maka batas kontrol diagram
VSD k adalah:
11
BKA = kˆ0 χ rˆ2 (α )
(4)
Penerapan Diagram Kontrol VSD Contoh ini merupakan studi kasus di mana diagram kontrol VSD diterapkan untuk mengontrol proses produksi pupuk ZA pada tahap Carbonasi di Sebuah Pabrik Kimia. Ada 5 karakteristik kualitas yang dikontrol, yaitu: CO2 (gr/lt), NH3 (gr/lt), Ratio CO2/NH3, Berat Jenis (kg/lt), dan Suhu (0C). Data yang digunakan merupakan data yang dikumpulkan selama bulan Juli dan Agustus tahun 2003. Selama dua bulan tersebut dikumpulkan data 44 hari kerja. Data tiap hari kerja dibagi dalam 2 subgrup masing-masing berukuran 6. Data bulan Juli 22 hari (44 subgrup) digunakan untuk tahap start-up, sedangkan data bulan Agustus 22 hari (44 subgrup) digunakan untuk tahap pengontrolan proses. ¾ Iterasi pertama 2 Berdasarkan data 44 subgrup pada bulan Juli, diperoleh μˆVSD = 189,1739 dan σˆVSD =
5610,6. Dengan demikian, BKB = 0 dan BKA = 413,8865. Adapun diagram kontrol VSD disajikan pada Gambar 1. 1600 1400 1200 1000 800 600
BKA = 413,8865 400 200 0
5
10
15
20
25
30
35
40
Gambar 1. Diagram kontrol VSD pada tahap start-up iterasi pertama
12
Pada Gambar 1 dapat dilihat bahwa subgrup ke 3, 4, 15, 30, 31 dan 32 out-of control. Dengan asumsi penyebabnya adalah assignable causes, selanjutnya ke enam subgrup tersebut dihilangkan dan tahap start-up dilanjutkan dengan iterasi kedua. ¾ Iterasi kedua
Berdasarkan data 38 subgrup dibuat diagram kontrol VSD sebagaimana yang disajikan 2 pada Gambar 2 dengan μˆVSD = 116,8588, σˆVSD
= 2711,6, BKB = 0 dan BKA =
273,0766. Pada Gambar 2 dapat dilihat bahwa dari 38 subgrup, subgrup ke 17, dan 26 out-of control. Dengan asumsi yang sama, yakni penyebabnya adalah assignable causes, selanjutnya ke dua subgrup tersebut dihilangkan dan tahap start-up diteruskan dengan iterasi ketiga. 1600 1400 1200 1000 800 600 400
BKA = 273,0766 200 0
5
10
15
20
25
30
35
Gambar 2. Diagram kontrol VSD pada tahap start up iterasi kedua ¾ Iterasi ketiga
Berdasarkan data 36 subgrup dibuat diagram kontrol VSD sebagaimana yang disajikan 2 pada Gambar 3, dengan μˆVSD = 104,2118, σˆVSD = 2121,3, BKB = 0 dan BKA = 242,3857.
Pada Gambar 3 dapat dilihat bahwa dari 36 subgrup, subgrup ke 8 out-of control. Dengan asumsi yang sama, yakni penyebabnya adalah assignable causes, selanjutnya subgrup tersebut dihilangkan dan proses dilanjutkan dengan iterasi keempat. 13
1600 1400
1200 1000 800 600 400 BKA = 242,3857
200 0
5
10
15
20
25
30
35
Gambar 3. Diagram kontrol VSD pada tahap start-up iterasi ketiga 1600 1400 1200 1000 800 600 400
BKA = 228,3208 200 0
5
10
15
20
25
30
35
Gambar 4. Diagram kontrol VSD pada tahap start up iterasi keempat
14
¾ Iterasi keempat
Berdasarkan data 35 subgrup dibuat diagram kontrol VSD sebagaimana yang disajikan 2 = 1655,5, BKB = 0 dan BKA = 228,3208. pada Gambar 4, dengan μˆVSD = 99,0942, σˆVSD
Pada Gambar 4 dapat dilihat bahwa dari 35 subgrup, subgrup ke 14 out-of control. Dengan asumsi penyebabnya adalah assignable causes, selanjutnya subgrup tersebut dihilangkan dan proses dilanjutkan dengan iterasi berikutnya. ¾ Iterasi kelima
Berdasarkan data 34 subgrup dibuat diagram kontrol VSD sebagaimana yang disajikan 2 = 1618,3, BKB = 0 dan BKA = 215,0877. pada Gambar 5, dengan μˆVSD = 94,4016, σˆVSD
Pada Gambar 5 dapat dilihat bahwa dari 34 subgrup, seluruhnya in-control. Oleh karena itu ke 34 subgrup tersebut akan digunakan untuk menaksir matriks kovariansi Σ pada tahap pengontrolan proses. 1600 1400 1200 1000 800 600 400
BKA = 215,0877 200 0
5
10
15
20
25
30
Gambar 5. Diagram kontrol VSD pada tahap start up iterasi kelima
15
1200
1000
800
600
400
BKA = 214,6616 200
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Gambar 6. Diagram kontrol VSD pada tahap pengontrolan proses Pada tahap pengontrolan proses digunakan data bulan Agustus, sebanyak 44 subgrup, masing-masing berukuran enam pengamatan. Diagram kontrol VSD pada tahap pengontrolan proses disajikan pada Gambar 6. Batas-batas kontrolnya adalah BKB = 0 dan BKA = 214,6616. Pada Diagram kontrol VSD sebagaimana yang disajikan dalam Gambar 6 dapat dilihat bahwa 18 dari 44 subgrup out-of control. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa berdasarkan diagram kontrol VSD, proses produksi pupuk ZA pada tahap Carbonasi belum stabil dalam variabilitas. Ketidakstabilan ini cukup masuk akal, mengingat karakteristik kualitas proses pada tahap Carbonasi bukan merupakan karakteristik penting yang harus dikontrol.
Penerapan Diagram VSD
Pada contoh ini diagram kontrol VSD diterapkan untuk mengontrol ukuran partikel berdasarkan data yang bersumber dari Mergen dan Holmes (1993) yang juga digunakan oleh Montgomery (2001, dan 2005). Dalam Mergen dan Holmes (1993) dan Montgomery (2001), data ukuran partikel digunakan sebagai contoh penerapan diagram kontrol multivariat untuk target (vektor mean). Dalam data tersebut ada tiga kategori ukuran 16
partikel, yaitu: besar (L), sedang (M) dan kecil (S). Oleh karena total persentase ketiga ukuran 100%, maka dalam analisis hanya dipertimbangkan dua kategori ukuran, yaitu: besar (L) dan sedang (M). Hasil pengontrolan variabilitas dengan diagram VSD akan digunakan untuk menyempurnakan pengontrolan target sebagaimana dikemukakan Montgomery (2001). Data yang terkontrol variabilitasnya digunakan untuk menaksir matriks kovariansi tatkala mengontrol target. Hasilnya dibandingkan dengan hasil pengontrolan yang dilakukan oleh Montgomery (2001). ¾ Iterasi pertama
Dengan menggunakan Persamaan 4, diperoleh BKB = 0 dan BKA = 61,3625. Hasil perhitungannya memberikan diagram VSD yang disajikan pada Gambar 7. Pada Gambar 7 dapat dilihat bahwa pengamatan ke 53 out-of-control. Dengan asumsi bahwa terjadinya out-of control akibat assignable causes, pengamatan tersebut dapat dihilangkan dan proses seperti di atas dilanjutkan dengan iterasi kedua, tanpa pengamatan ke-53. 53
90 80 70
BKA = 61,3625 60 50 40 30 20 10 0
0
10
20
30
40
Gambar 7. Diagram VSD pada iterasi pertama
17
50
¾ Iterasi kedua
Dengan hanya melibatkan 55 data (tanpa data ke-53), diperoleh diagram VSD yang disajikan pada Gambar 8. Pada Gambar 8 juga terjadi sinyal out-of control yaitu pengamatan ke 54. Dengan asumsi yang sama dengan kejadian out-of control sebelumnya, dilanjutkan pada iterasi ketiga tanpa pengamatan ke 54. 54 70
BKA = 59,4431 60
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
Gambar 8. Diagram VSD pada iterasi kedua
3. Iterasi ketiga
Berdasarkan 54 pengamatan (tanpa pengamatan ke 53 dan 54), diperoleh diagram kontrol yang disajikan pada 9. Pada Gambar 9 dapat dilihat bahwa pada iterasi ketiga, yaitu tanpa pengamatan ke 53 dan 54 tercapai kondisi in-control (stabil). Dengan demikian dapat dinyatakan bahwa proses stabil dalam variabilitas setelah pengamatan ke 53 dan 54 dihilangkan. Selanjutnya data tanpa pengamatan ke 53 dan 54 tersebut digunakan untuk menaksir matriks kovariansi pada diagram T 2 individual. Berdasarkan 54 pengamatan tersebut diperoleh hasil matriks MSDCM sebagai penaksir matriks kovariansi Σ berikut:
18
⎛1,6299 S% n = ⎜ ⎝ -1,8902
-1,8902 ⎞ ⎟ 5,5408 ⎠
55
BKA = 51,6145
50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Gambar 9. Diagram VSD pada iterasi ketiga
18
27
46
16 14
52
BKA = 11,3500
12 10 8 6
50
4
55 2
56 0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Gambar 10. Diagram kontrol T 2 individual menggunakan S% n 19
55
S% n memberikan hasil yang berbeda dengan S 2 yang disajikan dalam Montgomery (2001). Perbedaan itu cukup masuk akal mengingat S 2 diperoleh berdasarkan keseluruhan data, sedangkan S% n menggunakan data yang sudah terkontrol variabilitasnya. Selanjutnya jika
S% n digunakan untuk menaksir matriks kovariansi Σ tatkala membuat diagram T 2 , maka diperoleh diagram kontrol T 2 sebagaimana yang disajikan pada Gambar 10. Pada Gambar 10 dapat dilihat bahwa pengamatan 27, 46 dan 52 out-of control. Hasil ini berbeda dengan hasil Montgomery (2001) pada Gambar 10-9 (b). Pada diagram T 2 berdasarkan MSDCM, S% n , tiga pengamatan (27, 46 dan 52) out-of control, sedangkan pada diagram T 2 yang dibuat Montgomery (2001) hanya dua pengamatan (pengamatan ke 27 dan 46). Dengan demikian pada kasus ukuran partikel, diagram VSD memberikan informasi yang dapat melengkapi diagram T 2 , sehingga menjadi lebih cermat (teliti). Penutup
Berdasarkan studi literatur dapat diketahui bahwa penelitian tentang diagram kontrol multivariat sudah berkembang demikian pesatnya, khususnya dalam hal perbaikan kinerja dari suatu diagram. Di samping itu, penelitian dekade terakhir menujunjukkan pengembangan diagram kontrol ke arah yang lebih efisien, yaitu diagram yang dapat digunakan untuk pengamatan individual. Area yang masih terbuka untuk penelitian selanjutnya adalah pengembangan diagram berbasis statistik tegar, diagram untuk pengamatan yang berpola dan diagram kontrol multivariat untuk karakteristik-karakteristik yang bersifat atribut.
20
DAFTAR PUSTAKA
Alt, F.B. dan Smith, N.D. (1988), Multivariate Process Control, dalam Handbook of Statistics 7, Krishnaiah, P.R., Rao, C.R., Editor, Elsevier Science Publishers B.V., 333-351. Aparisi, F. dan Bartolucci, F. (2003), Power Properties of the ST2 Statistic, Application to Monitor Shifts in the Covariance Matrix, 27 Congreso Nacional de Esdatistica e Investigacion Operativa, Lleida, 1-12. Castillo, E.D. dan Rajagopal R. (2002), A Multivariate Double EWMA Process Adjustment Scheme for Drifting Processes, IIE transactions, 34, 1055-1068. Chiu, J.E., Juang, T.Y., Kuo, T.I. and Koo, T.Y. (2007), Monitoring the Average and Variability in Multivariate Process, Journal of the Chinese Institute of Industrial Engineering, 24(3), 252-258 Chou, Y.M., Mason, R.L. dan Young, J.C. (2001), The Control Charts for Individual Observations from A Multivariate Non-Normal Distribution, Communication in Statistics, Theory and Methods, 30(8&9), 1937-1949. Chua, M.K. dan Montgomery, D.C. (1992), Investigation and Characterization of A Control Scheme for Multivariate Quality Control, Quality and Relaibility Engineering International, 8, 37-44 Djauhari, M.A. (2005a). Improved Monitoring of Multivariate Process Variability, Journal of Quality Technology, 37 (1), 32-39. Djauhari, M.A. (2005b), Outlier Detection: Some Challenging Problem for Future Research, Proceedings of the Second International Conference on Research and Education of Mathematics, Universiti Putra Malaysia, KL, May 2005. Hawkins, D.M. (1993), Regression Adjustment for Variables in Multivariate Quality Control, Journal of Quality Technology, 25(3), 170-182. Hawkins, D.M. and Tchao, M.E. (2008), Multivariate Exponentially Weighted Moving Covariance Matrix, Technometrics, 50(2), 155-166. Healy, J.D. (1987), A Note on Multivariate CUSUM Procedures, Technometrics, 29(4), 409-412. Holmes, D.S. dan Mergen, A.E. (1993), Improving the Performance of the T2 Control Chart. Quality Engineering, 5(4), 619-625 Hotelling, H. (1931), Generalization of Student’s Ratio, The Annals of Mathematical Statistics, 2(3), 360-378 Huang. L., Ye, A.B., and Wu, C.W. (2007), Monitoring Multivariate Process Variability for Individual Observations, Journal of Quality Technology, 39(3), 258-278 Jackson, J.E. (1959), Quality Control Methods for Several Related Variables, Technometrics, 1(4), 359-377 Jackson J.E. (1991), Quality quality control 40 years later, dalam Statistical Process Control in Manufacturing, Bab 8, Keats, J.B. and Montgomery, D.C., Editor, New York, 123-138.
21
Javaheri, A. dan Housmand, A.A. (2001), Average Run Length Comparison of Multivariate Control Charts, Journal Statistics, Computation and Simulation, 69, 125-140. Jiang, W. (2004), Multivariate Control Charts for Monitoring Auto-Correlated Processes, Journal of Quality Technology, 36(4), 367-379. Kalgonda, A.A. dan Kulkarni, S.R. (2004), Multivariate Quality Control Chart for Autocorrelated Processes, Journal of Applied Statistics, 31(3), 317-327. Khoo, M.B.C. dan Quah, S.H. (2003), Multivariate Control Chart for Process Dispersion Based on Individual Observations, Quality Engineering, 15(4), 639-642. Khoo, M.B.C. dan Quah, S.H. (2004), Alternatives to the Multivariate Control Chart for Process Dispersion, Quality Engineering, 16(3), 423-435. Kotz, S. dan Johnson, N.L. (1985). Encyclopedia of Statistical Sciences, 6 (110-122), John Wiley, New York, 110-122 Kourti, T. dan MacGregor, J.F. (1996), Multivariate SPC Methods for Process And Product Monitoring, Journal of Quality Technology, 28(4), 409-428. Levinson, W.A., Holmes D.S dan Mergen A.E. (2002), Variation Charts for Multivariate Processes, Quality Engineering, 14(4), 539-545. Linna, K.W., Woodall, W.H. dan Busby, K.L. (2001), The Performance of Multivariate Control Chats in Presence of Measuring Error, Journal of Quality Technology, 33(3), 349-355. Liu, R.Y. (1995), Control Charts for Multivariate Processes, Journal of the American Statistical Association, 90(432), 1380-1387. Lowry, C.A., Woodall, W.H., Champ, C.W. dan Rigdon, S.E. (1992), A Multivariate Exponentially Weighted Moving Average Control Chart, Technometrics, 34(1), 4653 Maravelakis, P.E. (2003), An Investigation of Some Characteristics of Univariate and Multivariate Control Charts, Ph.D. Thesis, Athens University of Economic and Business, Athens, 109-146. Mashuri, M. (2006), Suatu Kontribusi pada Pengontrolan Variabilitas Proses Multivariat, Disertasi Program Doktor Matematika ITB, Bandung. Mason, R.L., Tracy, N.D. dan Young, J.C. (1995), Decomposition of T2 for Multivariate Control Chart Interpretation, Journal of Quality Technology, 27(2), 99-108. Mason, R.L., Tracy, N.D. dan Young, J.C. (1996), Monitoring a Multivariate Step Process, Journal of Quality Technology, 28(1), 39-50. Mason, R.L. dan Young, J.C. (1999), Improving the Sensitivity of the T2 Statistics in Multivariate Process Control, Journal of Quality Technology, 31(2), 155-165. Mason, R.L., Chou, Y.M. dan Young, J.C. (2001) Applying Hotelling’s T2 Statistics to Batch Processes, Journal of Quality Technology, 33(4), 466-479. Mason, R.L., Chou, Y.M., Sullivan, J.H., Stoumbos , Z.G. dan Young, J.C. (2003), Systematic Patterns in T2 Charts, Journal of Quality Technology, 35(1), 47-58 Montgomery, D.C. (2001), Intoduction to Statistical Quality Control, 4thed., John Wiley, New York, 507-545
22
Montgomery, D.C. dan Wadsworth, H.M. (1972), Some Techniques for Multivariate Quality Control Applications, Technical Conference Transactions, 426-435. Nedumaran, G. dan Pignatiello, J.J. (1999), On Constructing T2 Control Chart for On-Line Process Monitoring, IIE Transactions, 31, 529-536. Nedumaran, G. dan Pignatiello, J.J. (2000), On constructing T2 control chart for Retrospective Examination, http://www.eng.fsu.edu/~pigna/pdf/multret_ w971 2000-01-20.pdf., 1-14. Ngai, H.M. dan Zhang, J. (2001), Multivariate Cumulative Sum Control Charts Based on Projection Pursuit, Statistica Sinica, 11, 747-766. Nomikos, P. dan MacGregor, J.F. (1995), Multivariate SPC Charts for Monitoring Batch Processes, Technometrics, 37(1), 41-59. Pan, X. dan Jarret, J. (2004), Applying State Space to SPC: Monitoring Multivariate Time Series, Journal of Applied Statistics, 31(4), 397-418. Prabu, S.S. dan Runger, G.C. (1997), Designing a Multivariate EWMA Control Chart, Journal of Quality Technology, 29(1), 8-15. Prins, J. dan Mader, D. (1997). Multivariate Control Charts for Grouped and Individual Observations, Quality Engineering, 10(1), 45-57. Quesenberry, C.P. (2001), The Multivariate Short-run Snapshot Q Chart, Quality Engineering, 13(4), 679-683. Reynold, M.R. and Cho, G.H. (2006), Multivariate Control Charts for Monitoring the Mean Vector and Covariance Matrix, Journal of Quality Technology, 38(3), 230252 Sauers, D.G. (1997), Hotelling’s T2 Statistic for Multivariate Statistical Process Control: A Nonrigorous Approach, Quality Engineering, 9(4), 627-634. Scholz, F.W. dan Tosch, T.J. (1994). Small Sample Uni- and Multivariate Control Charts for Mean. Boeing Computer Services, Seattle, WA 98124-0346. Spark, R.S. (1992), Quality Control with Multivariate Data, Australian Journal of Statistics, 34(3), 375-390. Spiring, F.A. dan Cheng, S.W. (1998), An Alternative Variables Control Chart: the Univariate and Multivariate Cases, Statistica Sinica, 8, 273-287. Stoumbus, Z.G. dan Sullivan, J.H. (2002), Robustness to Non-Normality of the Multivariate EWMA Control Charts, Journal of Quality Technology, 34(3), 260276. Sullivan, J.H. dan Jones, L.A. (2002), A Self-Starting Control Chart for Multivariate Individual Observations, Technometrics, 44(1), 24-33. Sullivan, J.H. dan Woodall, W.H. (1996), A Comparison of Multivariate Control Charts for Individual Observation, Journal of Quality Technology, 28(4), 398-408. Sullivan, J.H. dan Woodall, W.H. (2000), Change-Point Detection of Mean Vector or Covariance Matrix Shift Using Multivariate Individual Observation, IIE Transactions, 32, 537-549.
23
Surtihadi, J., Raghavachari, M. dan Runger G. (2004), Multivariate Control Charts for Process Dispersion, International Journal of Production Research, 42(15), 29933009. Tang, P.F. dan Barnett, N.S. (1996a), Dispersion Control for Multivariate Processes, Australian Journal of Statistics, 38(3), 235-251. Tang, P.F. dan Barnett, N.S. (1996b), Dispersion Control for Multivariate Processes - Some Comparisons, Australian Journal of Statistics, 38(3), 253-273. Timm, N.H. (1996), Multivariate Quality Control Using Finite Intersection Tests, Journal of Quality Technology, 28(2), 233-243 Tracy, N.D., Young, J.C. dan Mason, R.L. (1992), Multivariate Control Chart for Individual Observations, Journal of Quality Technology, 24(2), 88-95. Tsung, F. dan Appley , D.A. (2002), The Dynamic T2 Chart for Monitoring FeedbackControlled Processes, IIE Transactions, 34, 1043-1053. Vargas, J.A. (2003), Robust Estimation in Multivariate Control Charts for Individual Observations, Journal of Quality Technology, 35(4), 367-376 Williams, J.D., Woodall, W.H., Birch, B.C. and Sullivan, J.H., (2006), Distribution of Hotelling T2 Statistic Based on the Successive Difference Estimator, Journal of Quality Technology, 38(3), 217-229 Woodall, W.H. dan Ncube, M.M. (1985), Multivariate CUSUM Quality-Control Procedures, Technometrics, 27(3), 285-291. Yeh, A.B., Huwang, L., dan Wu, C.W. (2005). A Multivariate EWMA Control Chart for Monitoring Process Variability with Individual Observations, IIE Transactions, 37, 1023-1035. Yoon, S., Kettaneh, N., Wold, S., Landry, J. dan Pepe, W. (2003), Multivariate Process Monitoring and Early Fault Detection (MSPC) using PCA and PLS, Plant Automation and Decision Support Conference, National Petrochemical & Refiners association, San Antonio, Texas, 1-17.
24
