Diagnosztika Rezgéstani alapok. A szinusz függvény. 3π 2

Diagnosztika 03 --- 1

Rezgéstani alapok

A szinusz függvény

π ≈ 3,14

π ≈ 1,57 2

3π ≈ 4,71 2

2π ≈ 6,28 periódus : 2π ≈ 6,28


A szinusz függvény periódusának változása 2π sin 2 t

sin t π

2π sin 3t

sin t

2π 3


A szinusz függvény periódusának megváltozása 2π  2π  sin  ⋅ t   T 

sin t

T

2π

π  sin ⋅ t  4 

sin t 8


A szinusz függvény amplitúdójának változása

3⋅ sin t

sin t

sin t

0,6 ⋅ sin t


A szinusz függvény „vízszintes”eltolódása π/ 2 sin t

 π sin t +   2

π/ 2 sin t

 π sin t −   2

π sin x

sin (t − π)

 π sin t +  = cos t  2


Az „általános” szinusz függvény  2π  t → A ⋅ sin ⋅ t + ϕ0  T  T

A

ϕ0


Harmonikus rezgőmozgás  2π  x ( t ) = A ⋅ sin(ω ⋅ t + ϕ0 ) = A ⋅ sin(2π ⋅ f ⋅ t + ϕ0 ) = A ⋅ sin ⋅ t + ϕ0  T  x

x: kitérés [m] t

A: amplitúdó [m]  rad  ω: körfrekvencia    s 

ϕ0: fázisszög [rad]

1  f: frekvencia   = [Hz] s 

T: periódusidő [s]

t: idő [s]

ω f= 2π

1 2π T= = f ω


A rezgések csoportosítása Harmonikus Periodikus Nem harmonikus Determinisztikus Nem periodikus

Stacionárius Sztochasztikus Nem stacionárius


Az A amplitúdójú, ω körfrekvenciájú, ϕ0 fázisszögű harmonikus rezgőmozgás előáll egy A sugarú körpályán való ω szögsebességű ϕ0 szögtől induló egyenletes körmozgás vetületeként. x

A ω

x0 ϕ0

0

t


x A

m[kg]

x0 0

t

N c  m

Harmonikus rezgőmozgás jön létre, ha egy m tömegű testet egy c rugómerevségű ideális rugóhoz rögzítünk, majd kilendítjük az egyensúlyi helyzetéből, ha csillapítással (súrlódás, közegellenállás, stb.) nem számolunk. c A rezgés körfrekvenciája: ω=

m

x kitérés esetén a rugó által kifejtett erő -c·x, így Newton II. törvénye (a mozgás differenciálegyenlete):

− c ⋅ x ( t ) = m ⋅ &x&( t )

 c   ⋅ t + ϕ0  x ( t ) = A ⋅ sin(ω ⋅ t + ϕ0 ) = A ⋅ sin  m 


Harmonikus rezgőmozgás sebessége és gyorsulása x max = A

x ( t ) = A ⋅ sin(ω ⋅ t + ϕ0 )

x 0 = A ⋅ sin ϕ0

v( t ) = x& ( t ) = A ⋅ ω ⋅ cos(ω ⋅ t + ϕ0 )

a ( t ) = v& ( t ) = &x&( t ) = −A ⋅ ω2 ⋅ sin(ω ⋅ t + ϕ0 ) 2 v A 2 = x 02 + 02 ω

v max = A ⋅ ω v 0 = A ⋅ ω ⋅ cos ϕ0 a max = A ⋅ ω2 a 0 = −A ⋅ ω2 ⋅ sin ϕ0


ϕ0 = 0 esetén speciálisan:

x ( t ) = A ⋅ sin(ω ⋅ t ) v( t ) = x& ( t ) = A ⋅ ω ⋅ cos(ω ⋅ t )

a ( t ) = v& ( t ) = &x&( t ) = −A ⋅ ω2 ⋅ sin(ω ⋅ t ) x[m ]

m v  s m a 2  s 

t[s]

t[s]

t[s]


Példa Egy vízszintes helyzetű, egyik végénél rögzített csavarrugó szabad végéhez m=2[kg] tömegű, pontszerű testet erősítünk. A test a rugóerő hatása alatt, a tökéletesen sima síkon ellenállásmentesen elmozdulhat. A mozgás az x0=0,1[m] koordinátájú pontból, v0=-10[m/s] kezdeti pályasebességgel indul, a rugó terheletlen hosszához tartozó pont irányába, ami egyben az x tengely origója. A rugó merevsége c=20.000[N/m]. a, Írjuk fel a test mozgásának differenciálegyenletét! b, Számítsuk ki a létrejövő harmonikus lengés körfrekvenciájának és frekvenciájának értékét! c, Határozzuk meg az amplitúdó és a kezdőfázis értékét! d, Írjuk fel a mozgás x(t) kitérés-idő függvényét és határozzuk meg a kitérés értékét a t=5[s] időpillanatban!

v0

0

m

x0

x


A mozgás differenciálegyenlete (Newton II):

v0

F = m⋅a − c ⋅ x ( t ) = m ⋅ &x&( t )

0

m

x

x0

A harmonikus lengés körfrekvenciájának és frekvenciájának kiszámítása:

N c = 20.000  m m = 2[kg]

c  rad  ω= = 100  m  s 

Az amplitúdó értékének meghatározása:

x 0 = 0,1[m] m v 0 = −10  s 2 v A 2 = x 02 + 02 ω

v 02 A = x + 2 = 0,141[m] ω 2 0

ω 1  f= = 15,92  2π s 


v0 A kezdőfázis értékének meghatározása:

x 0 = 0,1[m] x 0 = A ⋅ sin ϕ0

0

x0 0,1 ϕ0 = arcsin = arcsin A 0,141

π ϕ0 = [rad] 4 A kitérés az idő függvényében:

  rad  π x ( t ) = 0,141[m]⋅ sin100  ⋅ t +  4   s  π  x ( t ) = 0,141⋅ sin100 ⋅ t +  4 

ϕ0 = 45°

m

x0

x


Rezgések összegződése (szuperpozíció) Ha egy anyagi pontot több hatás egyidőben kényszerít rezgésre, akkor a szuperpozíció elve szerint az egyes rezgések kitérései vektorként összeadódnak. Itt csak azokkal az esetekkel foglalkozunk részletesen, amikor az összegződő rezgések párhuzamosak vagy merőlegesek.

Párhuzamos rezgések összegződése


Különböző frekvenciájú harmonikus rezgések összegződésével (a rezgések számának és frekvenciaviszonyának függvényében) általában bonyolult rezgéskép alakul ki.

sin t 1 ⋅ sin 2t 2 1 ⋅ sin 3t 3 1 ⋅ sin 4 t 4 1 ⋅ sin 5t 5 1 ⋅ sin 6 t 6 1 ⋅ sin 7 t 7

Párhuzamos rezgések összegződése


Azonos frekvenciájú, azonos, vagy „ellentétes” fázisú harmonikus rezgések összegződése:

erősítés

gyengítés

kioltás

A kialakuló rezgés amplitúdója:

A = A12 + A 22 + 2A1A 2 ⋅ cos(ϕ1 − ϕ2 )


Egymáshoz közeli frekvenciájú rezgések összegződésekor ún. lebegés alakul ki:

Merőleges rezgések összegződése


Egyező frekvenciájú, egymásra merőleges harmonikus rezgések összegződésekor a tömegpont ellipszis pályát ír le. Ha az összetevők y

x ( t ) = A1 ⋅ sin(ω ⋅ t + ϕ1 ) és

y( t ) = A 2 ⋅ sin(ω ⋅ t + ϕ2 )

x

akkor a tömegpont az

x 2 y2 2xy 2 + − ⋅ cos( ϕ − ϕ ) = sin (ϕ1 − ϕ2 ) 1 2 2 2 A1 A 2 A1A 2 egyenletű ellipszis pályán halad. Az ellipszis lapultsága és a tengelyek állása az amplitúdók a fázisszögek viszonyától függ.


Példa

π  y( t ) = A 2 ⋅ sin ω ⋅ t +  4 

x ( t ) = A1 ⋅ sin(ω ⋅ t )



Merőleges rezgések összegződése Különböző frekvenciájú, egymásra merőleges harmonikus rezgések összegződésekor a tömegpont bonyolultabb pályát ír le. A pálya alakja az amplitúdók, a frekvenciák és a fázisszögek viszonyától függ. Ha a frekvenciák aránya racionális szám, akkor jellegzetes rezgéskép alakul ki. Ezeket a görbéket Lissajous görbéknek hívjuk.



A rezgések jellemzői A: amplitúdó T: periódusidő f: frekvencia Effektív érték (négyzetes közép, RMS= Root Mean Square):

T

x RMS = x effektív

1 = ⋅ ∫ f 2 ( t )dt T 0

T

x átlag

Átlagos (abszolút) érték:

A max

1 = ⋅ ∫ f ( t ) dt T 0

x x effektív x átlag

t

APTP

A min

T


Álaktényező:

x effektív x RMS = x átlag x átlag

Sisaktényező (csúcstényező):

x max A = x effektív x effektív


Rezgések gerjesztése és csillapítása, frekvenciafüggvény A csillapító hatások csoportosítása: • Coulomb súrlódás (száraz súrlódás): szilárd testek érintkező felületeinek relatív elmozdulásából származó erőhatás eredménye. Kis sebesség esetén feltételezhetjük, az erő értéke csak a felületeket összenyomó erő és a felületek minőségének függvénye, és nem függ a sebességtől (a csillapító erő állandó nagyságú, a mozgással ellentétes irányú). • Newtoni súrlódás (viszkózus súrlódás): az erő a sebességgel arányos (például folyadékban kis sebességgel haladó szilárd test esetén). • A sebesség más hatványával, pl. négyzetével arányos sebesség (például folyadékban vagy gázban nagy sebességgel haladó szilárd test esetén, turbulens áramlásos rendszerekben).

v F

v

F


Harmonikusan gerjesztett, lineárisan csillapított rendszer differenciálegyenlete:

d 2 x(t) dx ( t ) m⋅ +k⋅ + c ⋅ x ( t ) = F ⋅ sin(ω ⋅ t ) 2 dt dt

a sebességgel arányos csillapító erő

harmonikus gerjesztés

a kitéréssel arányos visszatérítő erő (rugóerő)

Igazolható, hogy egy harmonikusan gerjesztett, lineárisan csillapított rendszer „válasza” (a tranziens rezgések lecsengése után) ugyanolyan frekvenciájú harmonikus rezgés lesz, de – a frekvencia függvényében – más amplitúdóval és fázisszöggel. Ha a t→F·sin(ω·t) gerjesztésre adott válasz t→A·sin(ω·t+ϕ), akkor az A/F arány (nagyítási tényező) és a ϕ fáziseltolódási szög az ω függvénye:

A = a (ω) F

ϕ = ϕ(ω)

Az ún. Bode diagram ennek a két függvénynek a képét tartalmazza.


A rendszer viselkedését jellemző nagyítási függvény mente a DL Lehr féle (vagy abszolút) csillapítástól függ:

k DL = 2mω0 ahol ω0 a rendszer saját frekvenciája.


Egy tipikus Bode diagram:

decibel skála


Több műszaki területen (pl. elektronika, optika, akusztika) előfordul, hogy egy mennyiség értéke sok (10-12) nagyságrendet magában foglaló intervallumban változhat: „nagyon kicsi” és „nagyon nagy” értékek egyaránt érdekesek. A fülünk és szemünk is képes ilyen tág határok között érzékelni a hangot illetve a fényt. Sok nagyságrenddel eltérő értékek ábrázolása, illetve leírása a tízes számrendszerben rendkívül körülményes. Ilyen esetekben jó megoldás lehet, hogy az eredeti érték logaritmusával dolgozunk. Ügyelni kell azonban két dologra: • csak pozitív számnak van logaritmusa; • ha az érték (pozitív irányból) a 0-hoz tart, akkor a logaritmusa -∞-hez tart, illetve a 0-nak nincs logaritmusa. A probléma kezelésére létrehozott rendszerben egy mennyiséget úgy írnak le, hogy a mennyiség és egy jól definiált alapérték arányát (dimenzió nélküli számérték) adják meg. Például a hangerősség megadásakor a referenciaérték 10−12W/m2, az emberi hallásküszöb értéke (dBSIL, Sound Intensity Level); a hangteljesítmény megadásakor a referenciaérték 10−12W (dBSPL, Sound Power Level). A decibel skála lényege, hogy az arányszám helyett annak transzformált értékét adják meg az alábbiak szerint:


Ha az arányszám értéke X, akkor ez decibelben kifejezve 20·lgX:

X egység = 20 ⋅ lgX dB Például az 1000 egységnek a dB skálán a 20·lg1000 dB = 60 dB érték felel meg. Fordítva nézve:

N dB = 10 Például

60 dB = 10 További példák:

60 20

N 20

egység

= 103 = 1000 egység

egység

dB

1

0

1,122

1

10

20

1.000.000

120

0,001

-60


Néhány hangforrás hozzávetőleges hangteljesítménye: dB(SPL)

Forrás (távolság)

194

Elméleti határ, hanghullám esetén, 1 atmoszféra környezeti nyomásnál

180

A Krakatau vulkán robbanása 100 mérföldről (160 km) a levegőben

168

géppuska lövése 1 méterről

150

repülőgép sugárhajtóműve 30 méterről

140

pisztolylövés 1 méterről

120

fájdalomküszöb; vonat kürt 10 méterről

110

gyorsító motorkerékpár 5 méterről; láncfűrész 1 méterről

100

légkalapács 2 méterről; diszkó belül

90

üzemi zaj, kamion 1 méterről

80

porszívó 1 méterről, zaj forgalmas utca járdáján

70

erős forgalom 5 méterről

60

iroda vagy vendéglő belül

50

csendes vendéglő belül

40

lakóterület éjjel

30

színházi csend

10

emberi lélegzet 3 méterről

0

emberi hallásküszöb (egészséges fül esetén); egy szúnyog repülésének hangja 3 méterről


A 10-3W/m2 hangerősség decibelben kifejezett értéke (a referenciaérték 10−12W/m2):

W 10 m 2 = 109 (egység) = 20 ⋅ lg109 dB = 180 dB −12 W 10 m2 −3

Diagnosztika Rezgéstani alapok. A szinusz függvény. 3π 2

Recommend Documents