Design and Analysis of Algorithms CNH2G3- Week 4 Kompleksitas waktu algoritma rekursif part 1 Dr. Putu Harry Gunawan (PHN)
Quiz I 1. Tentukan operasi dasar, cop dan C(n) untung masing-masing algoritma berikut. Serta tambahkan analisis untuk Tmax (n), Tmin (n) dan Tavg (n): (a) l <-- 1 for j=0 to l++ for l=1 to 3 a=sqrt(5/4) end end
(b)
j=1; while j
(c)
L=2n; do k=L+3; L=L/2; while(L<0);
1
2. Berikan definisi masing-masing Big oh, Big Omega dan Big Theta beserta ilustrasinya! Big-Oh ∃ ···
Big-Omega ∃ ···
Big-Theta ∃ ···
T (n) ∈ O(g(n))
T (n) ∈ Ω(g(n))
T (n) ∈ Θ(g(n))
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
ilustrasi
ilustrasi
ilustrasi
3. Buktikan pernyataan berikut ini: (a) T (n) = 12 (n − 2)(n − 3) ∈ Θ(n2 ) P 2 (b) T (n) = n−3 i=2 5i ∈ Θ(n ) 2 2 (c) T (n) = n + 10n log(n ) ∈ O(n2 ) Jawab
Review
1
1. Buatlah algoritma rekursif untuk menghitung faktorial! Contoh 10! = 10 × 9 × · · · × 2 × 1
(0.1)
2. Buatlah algoritma rekursif untuk menentukan nilai baris fibonanci ke-n Contoh: Baris fibonanci ke 6 1, 1, 2, 3, 5, 8
(0.2)
Pendahuluan
Pada bab ini, akan dibahas mengenai menghitung waktu asismtotik untuk algoritma rekursif. Kita mulai dengan definisi-definisi algoritma rekursif:
2
1.1
Dikatkan bentuk rekursif:
1. suatu subrutin atau fungsi/ prosedur yang memanggil dirinya sendiri. 2. bentuk dimana pemanggilan subrutin terdapat di dalam body subrutin 3. dengan rekursi, program akan lebih mudah dilihat.
1.2
Tujuan dibuat rekursif:
1. menyederhanakan penulisan program 2. menggantikan bentuk iterasi
1.3
Syarat bentuk rekursif:
1. ada kondisi terminal 2. ada subroutine call yang melibatkan parameter yang nilainya menuju kondisi terminal Sehingga untuk menghitung kompleksitas bentuk rekursif, maka digunakan teknik perhitungan kompleksitas dengan relasi rekurens.
2
Relasi Rekurens Faktorial
Perhatikan algoritma berikut: Function Factorial(input n: integer) -> integer Algoritma if n=0 then return 1 else return (n * Factorial(n-1)) endif Kompleksitas waktu: • untuk kasus basis, tidak ada operasi perkalian → 0 • untuk kasus rekurens, kompleksitas waktu diukur dari jumlah perkalian (1) ditambah kompleksitas wasktu untuk faktorial (n-1). Sehingga relasi rekursinya dapat dibentuk menjadi: ( 0, T (n) = T (n − 1) + 1,
3
n = 0, n > 0.
(2.1)
Jadi menghitung waktunya adalah T (n) = 1 + T (n − 1) = 1 + 1 + T (n − 2) = 2 + T (n − 2) = 2 + 1 + T (n − 3) = 3 + T (n − 3) = ··· = n + T (0) =n+0 Jadi T (n) = n → O(n). Secara umum, untuk menganalisis waktu efisiensi dari algoritma rekursif: 1. Putuskan dalam parameter, yang mengindikasikan ukuran inputan. 2. Identifikasi operasi dasar algoritma 3. Cek apakah jumlah operasi dasar akan berbeda jika ukuran masukan berbeda?, kalau iya maka dapat dihitung, waktu terbaik, terburuk, dan rata-rata secara terpisah. 4. Buat relasi rekursi dengan kondisi awal yang sesuai, untuk jumlah operasi dasar yang dijalankan. 5. Selesaikan relasi rekursi, atau paling tidak tentukan orde kenaikannya.
3
Relasi Rekurens Hanoi Tower
Selanjutnya adalah contoh masalah yang dikenal sebagai the Tower of Hanoi puzzle. Dalam permainan ini, pemain diberikan tiga buah batu yang memiliki ukuran berbeda. Batubatu tersebut selanjutnya disusun berdasarakan ukuran, yakni ukuran terbesar berada paling bawah. Tujuan dari permainan ini adalah, memindahkan tumpukan batu di tiang A ke B tanpa mengubah posisi batu besar paling bawah. Disediakan tiang C sebagai perantara. Procedure Hanoi (input n, A, B, C:integer) Algoritma If n=1 then Write (Pindahkan piringan dari,A,ke,B) Else Hanoi(n-1,A,C,B) Writeln(Pindahkan piringan dari,A,ke,B) Hanoi(n-1,C,B,A) Endif Operasi dasar dari algoritma Hanoi adalah ’Writeln()’, sehingga dengan jelas bahwa pergerakan T (n) bergantung pada n yang relasi rekursinya berupa: T (n) = T (n − 1) + 1 + T (n − 1)
4
∀n > 1
(3.1)
Figure 1: Solusi rekursif untuk masalah Menara Hanoi. Dengan kondisi awal T (1) = 1, maka relasi rekursinya ditulis ulang dalam bentuk: ( 1, n=1 T (n) = (3.2) 2T (n − 1) + 1, n > 1 Maka kompleksitas waktunya dapat dihitung sebagai berikut: T (n) = 2T (n − 1) + 1 = 2(2T (n − 2) + 1) + 1 = 22 T (n − 2) + 2 + 1 = 22 (2T (n − 3) + 1) + 2 + 1 = 23 T (n − 3) + 22 + 2 + 1 = ··· = 2n−2 (2T (n − (n − 1)) + 1) + 2n−3 + · · · + 22 + 2 + 1 = 2n−2 · 2T (1) + 2n−2 + 2n−3 + · · · + 22 + 2 + 1 = 2n−1 + 2n−2 + 2n−3 + · · · + 22 + 2 + 1 = 2n − 1 Sehingga T (n) = 2n − 1 → O(2n ).
4
Relasi Rekursi Min Max
Perhatikan algoritma mencari data maksimum dan minimum dari suatu tabel berikut procedure MinMaks2(input A : TabelInt, i, j : integer, output min, maks : integer) { Mencari nilai maksimum dan minimum di dalam tabel A yang berukuran n elemen secara Divide and Conquer. Masukan: tabel A yang sudah terdefinisi elemen- elemennya Keluaran: nilai maksimum dan nilai minimum tabel } Deklarasi 5
min1, min2, maks1, maks2 : integer if i=j then {Jika satu elemen} min <-- A[i] maks <-- A[i] else if (i = j-1) then {Jika dua elemen} if A[i] < A[j] then maks <-- A[j] min <-- A[i] else maks <-- A[i] min <-- A[j] endif else k=(i+j) div 2 { bagidua tabel pada posisi k } MinMaks2(A, i, k, min1, maks1) MinMaks2(A, k+1, j, min2, maks2) if min1 < min2 then min <-- min1 else min <-- min2 endif if maks1<maks2 then maks <-- maks2 else maks <-- maks2 endif endif endif Dari algoritma tersebut dapat dibuat relasi rekursi 0, T (n) = 1, 2T (n/2) + 2, Sehingga waktu asismtotiknya bisa dicari yaitu:
6
sebagai berikut: n=1 n=2 n>2
(4.1)
Misal n = 2k , sehingga T (n) = 2T (n/2) + 2 = 2(2T (n/4) + 2) + 2 = 4T (n/4) + 4 + 2 = 4(2T (n/8) + 2) + 4 + 2 = 8T (n/8) + 8 + 4 + 2 = 23 T (2k /23 ) + 8 + 4 + 2 = 23 T (2k−3 ) + 23 + 22 + 21 ,
n = 2k
= ··· = 2k−1 T (2) + 2k−1 + · · · + 22 + 21 = 2k−1 + k−1
=2
k−1 X
2i
i=1 k
+2 −2
Selanjutnya bawa ke bentuk n atau k =2 log n, T (n) = 2k−1 + 2k − 2 2
2
= 2 log n−1 + 2 log n − 2 n = +n−2 2 3n = − 2 ∈ O(n) 2
5
Tambahan
Untuk mengetahui kompleksitas bentuk rekursif, maka T (n) harus diubah dalam bentuk yang bukan rekursif. Bagaimana mengubah bentuk rekursif ke non rekursif ? Ada dua macam cara untuk menyelesaikan masalah ini, yaitu cara coba-coba dan dengan persamaan karakteristik : 1. Cara coba-coba (deret). 2. Metode dengan persamaan karakteristik
5.1
Cara coba-coba
Cara ini dilakukan dengan menentukan pola deret yang terbentuk (cara deret). Contoh untuk cara ini telah ditunjukkan dalam mencari kompleksitas waktu untuk beberapa bentuk rekursif sebelumnya. Cara ini agak sulit dan perlu pengalaman. Example 5.1 Tentukan waktu rekursi berikut: ( a, n = 1, 2 T (n) = T (n − 1) + T (n − 2) + b,
7
n≥3
(5.1)
Solusi dari contoh diatas dengan cara coba coba adalah sebagi berikut: T (1) = T (2) = a T (3) = T (2) + T (1) + b = a + a + b = 2a + b T (4) = T (3) + T (2) + b = (2a + b) + a + b = 3a + 2b T (5) = T (4) + T (3) + b = (3a + 2b) + (2a + b) + b = 5a + 4b T (6) = T (5) + T (4) + b = (5a + 4b) + (3a + 2b) + b = 8a + 7b ··· Sangat sulit untuk bisa diformulasikan. Sehingga harus mencari cara lain utntuk menghitung waktu algoritma. Salah satu caranya adalah dengan menggunakan metode karakteristik. Metode ini akan dijelaskan pada peretemuan selanutnya.
References 1. Anany, L. (2003). Introduction to the design and analysis of algorithms. Villanova University. 2. http://www.annedawson.net/BigOh.htm
6
Exercise 1. Selesaikan relasi rekurensi berikut: (a) ( T (n) =
0, T (n − 1) + 5,
n=1 n≥2
(6.1)
n=1 n≥2
(6.2)
(b) ( T (n) =
4, 3T (n − 1),
(c) ( T (n) =
0, T (n − 1) + n,
n=0 n>0
(6.3)
1, T (n/2) + n,
n=1 n>1
(6.4)
1, T (n/3) + 1,
n=1 n>1
(6.5)
(d) ( T (n) = (e) ( T (n) =
2. Diberikan algoritma untuk menghitung jumlah pangkat 3 dari deret, S(n) = n3 + (n − 1)3 + · · · + 23 + 13 .
8
ALGORITHM S(n) //Input: A positive integer n //Output: The sum of the first n cubes if n = 1 return 1 else return S(n - 1) + n * n * n
(a) Tentukan relasi rekursi dari algoritma di atas dan selesaikan. (b) Bandingkan dengan algoritma yang tidak ditulis dengan rekursif.
9
