DEFINICE A ODVOZENÍ KOEFICIENTŮ INBRÍDINGU A PŘÍBUZNOSTI VČEL Květoslav Čermák Udržování čistých linií včel se realizuje příbuzenskou plermenitbou (inbrídingem), jež je doprovázena nárůstem homozygotnosti a inbrední depresí. Proto je potřebné umět velikost inbrídingu vypočítat a také předvídat pro možné kombinace připáření. Častější využití metody inbrídingu v plemenných chovech včel souvisí s rozvojem instrumentální inseminace matek. Mírou příbuzenské plemenitby je koeficient inbrídingu. Koeficient inbrídingu (F) podle více autorů (např. LAIDLAW a PAGE, 1986) vyjadřuje pravděpodobnost, že dvě alely na libovolném lokusu jsou identické původem od předka společného oběma rodičům; přitom pro jedince A je hodnota FA součtem příspěvků všech možných genetických spojení společných předků v rodokmenech obou rodičů. Koeficient inbrídingu může být definován také jako korelace mezi dvěma gametami od rodičů daného jedince (KNÍŽE, ŠILER a kol., 1978). Toto vyjádření umožňuje použít Wrightovu metodu úsekových koeficientů pro odvozování vzorců na výpočet koeficientů inbrídingu. Pokud místo jednoho lokusu je uvažován celý genom jedince A, je FA mírou jeho očekávané homozygotnosti. Koeficient příbuznosti (R) je podobným parametrem jako koeficient inbrídingu, na rozdíl od něho ale vyjadřuje podobnost (korelaci) mezi dvěma zvířaty. Jeho užití je při výpočtu dalších genetických parametrů a plemenných hodnot. Oba koeficienty, F a R, patří k základním genetickým parametrům. Většina druhů hospodářských zvířat patří k diploidním organismům a příbuzenské vztahy jsou u nich snadno definovatelné. Naproti tomu včela medonosná je druhem s haplo-diploidním systémem se složitějšími příbuzenskými vztahy mezi jedinci. CROW a ROBERTS (1950) odvodili hodnoty F pro sedm pravidelných systémů inbrídingu u včel, uvažovali však osemenění matky jen jedním trubcem. LAIDLAW a PAGE (1986) odvodili vztahy pro výpočet F pro další pravidelné systémy inbrídingu, ovšem také pro případy osemenění matky jen jedním trubcem. Většina vlastností, které jsou předmětem zájmu šlechtitelů, je vyjádřena u včel – dělnic jako výsledek jejich spolupůsobení uvnitř včelstva. V důsledku polyandrie však příbuzenské vztahy ve včelstvu nejsou homogenní, proto se vyjadřuje průměrná míra příbuznosti mezi dvěma libovolnými včelami uvnitř včelstva a označuje se jako pravděpodobná příbuznost (R). Také při výpočtech koeficientů F se používá tato transformace. Koeficienty inbrídingu lze tedy vyjádřit pro jednotlivé včely anebo analogicky pro celé včelstvo jako průměr F všech včel a koeficienty příbuznosti mezi dvěmi včelami zase pro vztah dvou (příp. více) včelstev, jako průměrnou příbuznost mezi jejich včelami.
Matematické postupy pro výpočet koeficientů F a R ve včelstvech odvodili OLDROYD a MORAN (1983). Obecnější vzorce popsal BIENEFELD (1986, 1988). Neřeší však situace, kdy jsou společní předkové v různých pozicích v rodokmenu obou rodičů jedince. Cílem této práce bylo odvodit obecnou metodu na výpočet koeficientů inbrídingu F a koeficientů příbuznosti R z rodokmenu, použitelnou v běžné plemenářské praxi. Přehled možných pozic společných předků v rodokmenech a některé výpočetní vzorce jsme řešili v našich předchozích pracech (ČERMÁK, 1991; 1993).
VÝPOČET KOEFICIENTŮ INBRÍDINGU A PŘÍBUZNOSTI VČEL Z RODOKMENU Při výpočtech koeficientů inbrídingu a koeficientů příbuznosti včel je nutno brát v úvahu tato specifika druhu: • Vícenásobné páření matky (polyandrie) a z toho vyplývající příbuzenské vztahy mezi včelami resp. včelstvy. Matka se obvykle páří s 8 až 12 trubci, při umělé inseminaci matky se používá sperma od asi 10 trubců. • Haploidita trubců. Trubec nemá otce, proto všechny spermie od jednoho trubce jsou geneticky identické. • Včelí matka se páří jen jedenkrát za život, vytváří si zásobu spermií v semenném váčku, proto veškeré její samičí potomstvo 1. filiální generace, jemuž je mámou, má společného otce resp. společný soubor otců. • Za otce se považuje včelí matka, od které se použijí trubci na osemenění jiné matky. Tatáž včelí matka tedy může vystupovat v rodokmenech v pozicích mámy i otce, matka je tedy geneticky hermafrodit. • Trubci se považují za gamety (spermie), které jsou ovšem pomnožené. • Užitkové vlastnosti včel jsou vyjádřeny u celého včelstva. To je složené z jedné (včelí) matky, několika set trubců a 10 až 50 tisíc včel-dělnic. Z toho hlediska se včelstvo považuje za jeden organismus, s určitou vnitřní genetickou strukturou. Z genetické struktury včelstva lze odvodit strukturu rodiny včelstev o generaci později. Rodokmen včely resp. včelstva lze schematicky nakreslit pomocí úsekových koeficientů, jako je na obr. č. 1. Stínovaně je znázorněna příslušnost obou koeficientů. Analýzou rodokmenů matek, resp. jejich včelstev v databázi plemenných matek jsme zjistili, že se v nich obvykle vyskytuje pět rozdílných situací společného předka.
Grafické znázornění rodokmenu pomocí úsekových koeficientů a příslušnost koeficientu příbuznosti (R) a koeficientu inbrídingu (F): Obr. 1 P
FP
RAB A
M
B
O
M
O
Legenda: A, B jedinci, pro něž je vyjádřena příbuznost, P jedinec, pro něhož je vyjádřen inbríding M společný předek jedinců A, B, resp. P v pozici mámy O společný předek jedinců A, B, resp. P v pozici otce RAB hodnota koeficientu příbuznosti mezi A a B, FP hodnota koeficientu inbrídingu jedince P, potomka A a B spojení mezi jedincem a jeho mámou spojení mezi jedincem a jeho otcem
Význam symbolů použitých v následujících vzorcích: f
počet jedinců na spojovací cestě mezi společných předkem v rodokmenu mámy jedince P a společným předkem v rodokmenu jeho otce; např. v obr. 1 pro společného předka M je f = 3 (jedinci A, P, B)
r
počet jedinců na spojovací cestě mezi společných předkem v rodokmenu jednoho jedince a společným předkem v rodokmenu druhého jednice; např. v obr. 1 pro společného předka M je r = 2 (jedinci A, B)
FM, FC, FO
koeficient příbuznosti společného předka
FA, FB
koeficient příbuznosti příbuzných (pro RAB), resp. rodičů (pro FP) A a B
Poznámka: Příspěvkem k (celkové) hodnotě FP nebo RAB se rozumí vypočtená hodnota koeficientu pro dané jedno spojení společného předka. V případě více existujících spojení je výsledná hodnota FP nebo RAB součtem jednotlivých dílčích hodnot koeficientů – příspěvků v rodokmenu.
Situace č. 1 Vyjádření FP: Společný předek je v rodokmenu matky i otce v pozici mámy, v obr. 2 je to jedinec M. Jeho příspěvek k hodnotě FP je obecně:
F = 0,5 f × (1 + FM ) Vyjádření RAB: Společný předek je v rodokmenu obou jedinců (A, B) v pozici mámy, v obr. 2 je to jedinec M. Jeho příspěvek k hodnotě RAB je:
R = 0,5 r × (1 + FM ) a pokud jsou rodiče A, B inbrední, platí obecně:
R=
0,5 r × (1 + FM )
(1 + FA )× (1 + FB )
Obr. 2 P
FP
RAB A
M
B
M
Situace č. 2 Vyjádření FP: Společný předek je v rodokmenu jednoho rodiče v pozici mámy, v rodokmenu druhého rodiče v pozici otce, v obr. 3 je to jedinec C. Jeho příspěvek k hodnotě FP je obecně:
F = 0,5 f × (1 + FC ) Vyjádření RAB: Společný předek je v rodokmenu jednoho jedince v pozici mámy, v rodokmenu druhého jedince v pozici otce, v obr. 3 je to jedinec C. Jeho příspěvek k hodnotě RAB je:
R = 0,5 r × (1 + FC ) a pokud jsou rodiče A, B inbrední, platí obecně:
R=
0,5 r × (1 + FC )
(1 + FA )× (1 + FB )
Obr. 3 P
FP
RAB A
C
B
C
Situace č. 3 Vyjádření FP: Společný předek je v rodokmenech obou rodičů v pozici otce partnerem jiné matky a je reprezentován trubci od jedné matky, v obr. 4 je to jedinec O. Jeho příspěvek k hodnotě FP je obecně:
F = 0,5 f × (1 + FO ) Vyjádření RAB: Společný předek je v rodokmenech obou jedinců v pozici otce partnerem jiné matky a je reprezentován trubci od jedné matky, v obr. 4 je to jedinec O. Jeho příspěvek k hodnotě RAB je:
R = 0,5 r × (1 + FO ) a pokud jsou rodiče A, B inbrední, platí obecně:
R=
0,5 r × (1 + FO )
(1 + FA )× (1 + FB )
Obr. 4 P
FP
RAB A
M
B
O
N
O
Pro 1., 2. a 3. situaci jsou výpočetní vzorce shodné. Z metodických důvodů je výhodné tyto tři situace rozlišovat.
Situace č. 4 Vyjádření FP: Společný předek je v rodokmenech obou rodičů v pozici otce partnerem stejné matky a je přitom zastoupen trubci od jedné matky, v obr. 5 je to jedinec O. Jeho příspěvek k hodnotě FP je obecně:
F = 0,5 f × [(d − 1)× (1 + FO ) + 2] d Vyjádření RAB: Společný předek je v rodokmenech obou jedinců v pozici otce partnerem stejné matky a je přitom zastoupen trubci od jedné matky, v obr. 5 je to jedinec O. Jeho příspěvek k hodnotě RAB je:
R = 0,5 r × [(d − 1)× (1 + FO ) + 2] d a pokud jsou rodiče A, B inbrední, platí obecně:
R=
0,5 r × [(d − 1)× (1 + FO ) + 2] d
(1 + FA )× (1 + FB )
kde d je počet trubců, reprezentujících společného předka (matku trubců), zde O.
Obr. 5 P
FP
RA B A
M
B
O
M
O
Odvození vzorců: Pro jednotlivou včelu, je-li FO = 0 a pozice otce dle obr. 5, může být příspěvek otce O k hodnotě RAB buď 0,5 anebo 0,25. Výpočetní vzorce však vyjadřují průměrnou hodnotu koeficientů v závislosti na počtu připářených trubců d, přičemž obě zastoupené možnosti se započítávají jejich vahou, 1/d a (1-1/d) (viz BIENEFELD, 1998). Podrobněji byly vzorce odvozeny v jiné naší práci (ČERMÁK, 1997). Zde je uvádíme zobecněné pro různou vzdálenost společného předka v rodokmenu a jen pro otce (pro oba rodiče viz níže: stejnorodé osemenění). Tím se výpočetní vzorce stávají univerzálními. Přitom z nich lze snadno odvodit hodnoty R pro případ osemenění matky jedním trubcem (d = 1): R = 2×0,5r a FO se neuplatní ( (d-1)×(1+FO) = 0) anebo pro případ osemenění matky směsí spermatu od velkého počtu trubců (d → ∞): R → 0,5r×(1+FO). Analogicky lze vyjádřit hodnoty F.
Situace č. 5 Vyjádření FP: Společný předek je v rodokmenech obou rodičů v pozici otce partnerem stejné matky a je přitom zastoupen skupinou navzájem nepříbuzných trubců, v obr. 6 je to jedinec XM. Jeho příspěvek k hodnotě FP je obecně:
F = 0,5 f × 2 d Vyjádření RAB: Společný předek je v rodokmenech obou jedinců v pozici otce partnerem stejné matky a je přitom zastoupen skupinou navzájem nepříbuzných trubců, v obr. 6 je to jedinec XM. Jeho příspěvek k hodnotě RAB je:
R = 0,5 r × 2 d a pokud jsou rodiče A, B inbrední, platí obecně:
R=
0,5 r × 2 d
(1 + FA )× (1 + FB )
kde d je počet trubců, reprezentujících společného předka, zde XM. Je to situace trubců náhodně připářených k matce při volném páření, kde společný předek je reprezentován spermatem v její spermatéce. Může se vyskytnout i situace, že alespoň dva trubci připáření k matce jsou navzájem blízce příbuzní. Reálně se však vyskytuje velmi zřídka.
Obr. 6 P
FP
RAB A
M
B
XM
M
XM
Odvození vzorců: Pro jednotlivou včelu, je-li pozice otce dle obr. 6, může být příspěvek otce XM k hodnotě RAB buď 0,5 anebo 0. Míra FX společného předka se neuplatňuje, protože trubci jsou mezi sebou nepříbuzní. Podobně jako v situaci č. 4 se obě zastoupené možnosti započítávají jejich vahou, 1/d a (1-1/d). Z toho je odvozen výpočetní vzorec pro situaci č. 5.
Při výpočtu koeficientů F i R z rodokmenu je nezbytné dodržet následující pravidla: Pravidlo č. 1: Pokud se na spojovací cestě mezi společným předkem v rodokmenech rodičů (při výpočtu F) resp. obou jedinců (při výpočtu R) některý jedinec opakuje, toto spojení se ignoruje, jeho příspěvek k celkovému F resp. R se nemůže počítat. Zabrání se tím opakovanému počítání hodnot F resp. R pro daného jedince. Pravidlo č. 2: Pokud se tentýž společný předek v rodokmenu vyskytne vícekrát, musí se prověřit všechny možné spojovací cesty přes daného jedince mezi otcovskou a mateřskou polovinou rodokmenu (při výpočtu F), resp. mezi rodokmeny obou jedinců (při výpočtu R). O jejich platnosti pro výpočet současně rozhoduje pravidlo č. 1. Příklad k oběma pravidlům je ve schematu na obr. č. 7.
Obr. 7 RAB A
B
C
G
I
D
H
I
E
J
J
J
F
L
G
I
H
J
Existující spojovací cesty pro výpočet RAB: pro společného předka I = GCABFG – opakuje se G, cesta neplatná, pro společného předka I = DABFG – platná cesta, r=5, pro společného předka J = GCABE – platná cesta, r=5, pro společného předka J = GCABFG – opakuje se G, cesta neplatná, pro společného předka J = DABE – platná cesta, r=4, pro společného předka J = DABFG – platná cesta, r=5. Při výpočtu F je postup obdobný.
STEJNORODÉ A RŮZNORODÉ OSEMENĚNÍ MATKY V důsledku toho, že po osemenění matky spermatem a rozkladení se znovu matka nepáří a obvykle ani uměle neinseminuje, je soubor spermií v její spermatéce stejný po zbytek jejího života. Proto pro matku v pozici mámy (nikoliv matky trubců) lze odvodit vzorec pro výpočet F nebo R pro dvojici rodičů. Výpočetní vzorce jsou definovány v pracech OLDROYDA a MORANA (1983) i BIENEFELDA (1986), avšak jen pro situaci, kdy společní předkové jsou bezprostředními rodiči jedinců A a B (jako v obr. 8). Odvodili jsme obecné vzorce pro různou vzdálenost dvojic společných předků v rodokmenu. Možné jsou dvě situace: (A) Matka je osemeněna trubci od jedné matky trubců. Jde o spojení situací č. 1 a 4. Pro tuto kombinaci je použit termín stejnorodé osemenění. Je to situace matek uměle osemeněných spermatem trubců od jedné matky. Znázorněna je na obr. 8.
F = 0,5 f × (1 + FM ) + 0,5 f × [(d − 1)× (1 + FO ) + 2] d P
R
kde:
AB
=
0,5 r × (1 + FM ) + 0,5 r × [(d − 1)× (1 + FO ) + 2] d
(1 + FA )× (1 + FB )
FM = koeficient inbrídingu společného předka v pozici mámy M, FO = koeficient inbrídingu společného předka v pozici otce O.
Obr. 8 P
FP
RAB A
M
B
O
M
O
(B) Matka je osemeněna trubci navzájem nepříbuznými - každý má jinou mámu. Jde o spojení situací č. 1 a 5. Pro tuto kombinaci je použit termín různorodé osemenění. Je to situace volně spářených matek. Znázorněna je na obr. 9.
F = 0,5 f × (1 + FM ) + 0,5 f × 2 d P
R
AB
=
0,5 r × (1 + FM ) + 0,5 r × 2 d
(1 + FA )× (1 + FB )
Obr. 9 P
FP
RAB A
M
B
XM
M
XM
VZTAH MEZI HODNOTAMI F a R:
Pro dva jedince, např. A a B v obr. 8, je možno vypočítat koeficient příbuznosti R mezi nimi a také koeficient inbrídingu F jejich společného potomka P. Mezi oběma koeficienty platí vztahy:
R
AB
=
2 × FP
(1 + FA )× (1 + FB )
opačně platí:
F = P
přičemž:
1 R AB × 2
(1+ FA )× (1+ FB )
FA = koeficient inbrídingu jedince A FB = koeficient inbrídingu jedince B
PŘÍKLAD VÝPOČTU KOEFICIENTŮ INBRÍDINGU A PŘÍBUZNOSTI
Obr. 10
Rodokmen inbrední včela/včelstvo
B C
D
E
J
S
K
P
L
G
V N H
O
T
X
M
N
H
R
X
I
K
L
T
Výpočet koeficientu FB jednice B v rodokmenu na obr. 10: Je-li: d=10; FK= 0,2; FH = 0,1; FN = 0,4; FT = 0; FL = 0,2. Společný předek K H N T L X
Situace č. 1 1 2 3 4 5
f 6 7 6 6 6 7
Příspěvek k FB podle vzorce F = 0,56 (1+0.2) F = 0,57 (1+0.1) F = 0,56 (1+0.4) F = 0,56 (1+0) F = 0,56[(10-1)(1+0.2)+2]/10 F = 0,57 (2/10) FB = ΣF =
výsledek 0,018750 0,008594 0,021875 0,015625 0,020000 0,001563 0,086407
Výsledná hodnota FB ≅ 8,6 %. V případě výpočtu R mezi rodiči C a D budou hodnoty r pro jednotlivé spojovací cesty rovny f-1, FC=0, FD=0 a výsledná hodnota RCD = 0,1728125 ≅ 17,3 %.
LITERATURA
BIENEFELD K (1986): Genetik der Honigbiene unter besonderer Berücksichtigung der Leistungseigenschaften. Allgem. Dtsch. Bienenzeitung 20, 6, s.169-177. BIENEFELD K (1988): Vererbung von Leistungseigenschaften bei der Honigbiene. Dissertation. Univ. München. 159 s. CROW JF, ROBERTS WC (1950): Inbreeding and homozygosis in bees. Genetics 35, s. 612-621. ČERMÁK K (1991): Měření inbrídingu včel a hodnocení odolnosti proti chorobám plodu. Výzkumná zpráva, Výzkumný ústav včelařský Liptovský Hrádok, 21 s. + 13 příl. ČERMÁK K (1993): Stanovení míry inbrídingu včel z rodokmenu a možnosti selekce na odolnost včel proti chorobám plodu. Výzkumná zpráva, Ústav včelárstva Liptovský Hrádok, 19 s. + příl. ČERMÁK K (1997): Zdokonalení metod selekce užitkových vlastností včel. Výzkumná zpráva, Ústav včelárstva Liptovský Hrádok, 20 s. + příl. KNĺŽE B, ŠILLER R a kol (1978): Genetika zvířat. SZN Praha, 437s. LAIDLAW HH, PAGE RE (1986): Mating Designes. In: Bee Genetics and Breeding, Academic Press Inc., ed. T. E. Rinderer, s. 323-344. OLDROYD B, MORAN C (1983): Heritability of Worker Characters in the Honeybee (Apis mellifera). Aust. J. Biol. Sci. 36, 323-332.
