Handleiding derde middag Concrete Meetkunde een practicum tussen vlak en ruimte Vooraf Het gaat bij dit onderwerp om meerdere dingen: a. Oefenen met je handen en hersenen aan concrete (ruimte)meetkunde. Daarvoor zijn heel wat problemen opgenomen, veel te veel om allemaal te doen. We maken een selectie. b. Het werken met afbeeldingen van 3D-situaties op papier in diverse manieren: – uitslagen en bouwplaten – afbeeldinging in twee loodrechte projecties: Beschrijvende Meetkunde – afbeeldingen in parallelprojecties – afbeelden in perspectief – via wat theorie over projecteren en vanuit meer praktische overwegingen. c. Redeneren en bewijzen naar aanleiding van wat je vouwend, knippend en tekenend oproept. d. Inspirerende aanleidingen zien voor verder actie in de Concrete Meetkunde. Een groot deel van deze handout bevat hand- en hersensuggesties. Achterin staan diverse appendices met wat meer theorie en extra tekeningen.
Deel Een: Vouwen en bouwen 1 Een knoop in een strook Leg een enkele knoop in een smalle strook papier (3 cm breed, een A4-vel lang en trek voorzichtig strak aan. Uiteindelijk zit de strook als een knoop in elkaar maar is wel weer plat, met drie rechte vouwen. Houd het resultaat tegen het licht. Je ziet een vijfhoek met vier diagonalen! a. Waarom is deze vijfhoek regelmatig? (Zijden en hoeken moeten allemaal gelijk zijn ...) b. Weer met een smallere strook en een knoop. Zie de tekening van de zevenhoek en hoe de strook begint. Bedenk en vouw de rest zelf! De opgave is nu .... Deze opgave nam je bij het leggen van de knoop mee de ruimte in, maar uiteindelijk was het probleem vlak meetkundig. Het vinden van een degelijke redenering is niet zo makkelijk!
1
Verder op in dit practicum komen veel kubussen voor. Een uitslag van de kubus ken je vast wel, een rijtje van 4 vierkantjes hoog en twee vierkantjes aan twee kanten.
2 Opvouwbare kubus Jammer dat zo’n kubus vaak kapot gaat in je tas als je hem gemaakt hebt. Er is een oplossing: zie Appendix A:, blz. 21. a. Bestudeer! Maak een tekening van uit- en inwendige van deze kubus in opgevouwen toestand. 3 Uitslagen tekenen Hiernaast de beroemd platonische lichamen. Url: Google met regular polyhedra. a. Teken uitslagen voor het regelmatig 4-vlak, 8-vlak en 20-vlak op grofmazig isometrisch papier. Appendix B:, blz. 23 b. Hoeveel hoekpunten/vlakkeen hebben het 12vlak/20vlak. c. Zorg dat de posities van de plakrandjes aangegeven zijn. 4
2
Albrecht Dürer (1525) a. In welk type TV-programma’s zie je dit ding (in elkaar gezet)?
b. Oefen je voorstellingsvermogen. Als je een hoek van het twintigvlak netjes plat afvijlt, krijg je een regelmatig vijfhoekje te zien. Doe dit (in gedachten) met alle hoeken tegelijk en even snel.Vijl door tot de driehoeken allemaal regelmatige zeshoeken zijn geworden. c. Geef nu een redenering om aan te tonen: de Buckyball bevat – 20 zeshoeken – 12 vijfhoeken – 60 hoekpunten – 90 ribben – In de uitslag die Dürer tekende kun je niet van vlakje naar vlakje lopen en uiteindelijk via een gesloten pad terugkeren. Er zijn geen cykels. d. Je kunt je de uitslag denken als resultaat van knipwerk aan de Buckyball zelf. Hoeveel ribben knip je dan niet en hoeveel wel open? OF: e. Je kunt je de uitslag denken als resultaat ontstaan uit stuk voor stuk toevoegen van vlakjes. Hoeveel verbindende ribben zijn er in de uitslag? f. De buitenrand van de uitslag is een gesloten polygoon. Een hoeveel-goon? g. Er zijn meer mogelijke uitslagen. Zie hieronder. Zelfde aantallen verbindende en losgeknipte ribben?
3
5 De pakrandstelling Langs de buitenrand van de uitslag horen plakrandjes. Bij de helft van de ribben. Maar welke? Er is een eenvoudige regel voor dit soort bouwplaten die steevast tot kloppend resultaat leidt: loop langs de hele buitenrand van de uitslag en kies afwisselend wel en geen plakrandje. a. Test de regel op de kubusbouwplaat hiernaast en op je eigen uitslagen van 4, 8, en 20 vlak. b. Geef een redenering die aantoont dat de regel inderdaad werkt, ook bij uitslagen van andere polyeders. (Noot: het veelvlak moet een geheel zijn en mag geen tunnels of gaten hebben. )
6
Defecten! a. Herr Dürer, is dit wel een goede bouwplaat? Wat had u willen maken?
Bij een kubus komen in elk hoekpunt drie hoeken van 90 graden bij elkaar. Dat is samen 270 graden. Ten opzichte van 360 graden scheelt dat 90. Die 90 moet er ook niet zijn, anders zou er een ‘vlakke punt’ zitten. Dat is precies wat Dürer even vergat. De 90 graden die ontbreekt heet het defect van het hoekpunt. De kubus heeft 8 hoekpunten; het totale defect is daarom 720 graden. b. Bij een viervlak heeft elk hoekpunt een defect van 180 graden. Hoe groter het defect, hoe scherper de punt. Klopt. En hoe scherper de punt, hoe minder hoeken er zijn.
4
c. Wat is het totale defect van het regelmatige viervlak? d. Een van het 8- en van het 20 vlak? e. Bij de voetbal kun je ook het totale defect uitrekenen. Doen! f. Durf je een vermoeden op te stellen over het totale defect van een veelvlak dat zich houdt aan de noot van zoeven? Je kunt haast niet om het juiste vermoeden heen. Descartes bewees dit vermoeden al. Voor dit practicum gaat het net iets te ver. Wie weet, een andere keer.
Gebogen vouwen Dat kan niet? Het kan wél! Alleen kun je ze niet vouwen door dubbel slaan en platdrukken. Door met je nagel of botte schaarpunt over een kromme lijn te gaan (rillen van de vouw, zie van Dale!) maak je de kromme lijn geschikt voor een vouw. Delicaat werk, maar het resultaat kan wonderschoon zijn. 7
Dubbele cirkelwal a. Dubbele cirkelwal. Appendix C:, blz. 25 Uitknippen, rillen. Met de insnede kun je overlap maken. Eventueel vast plakken kan. b. De hoek van de overlap bepalt de hoogte. De cirkels liggen 24 mm uit elkaar. Geef een formule die de hoogte van de wal uitdrukt in de hoek van de overlap. c. Hoe kun je zorgen dat de wal een tophoek van 60 graden heeft?
8 Sikkelduinen. Gebruik Appendix D:, blz. 27. a. Maken! Het effect is het mooist als je de gedrukte lijnen niet zichtbaar laat zijn. b. Ook hier kan het object verschillende hoogtes krijgen. Bij de dubbele cirkelwal is een tophoek van de wal in theorie bereikbaar. Hoe zit dat bij het sikkelduin?
Gebogen vlakken 9
Cilinder Een cilinder maken van een vel A4.Alleen een plakstrook toevoegen. Dat kan in de lengte en in de breedte. a. Welke van de twee heeft de grootste inhoud? De grootste oppervlakte? Kies nu de lage variant voor de volgende actie. b. Trek een diagonaal over het A4 vel. De lijn wordt na buigen een schroeflijn. c. Geef een parametervoorstelling voor deze schroeflijn. d. Wat is de lengte van de schroeflijn op deze cilinder die 3 toeren rond maat voor hij boven is?
5
10
Schuin doorsneden cilinder.
P
X
Y O
r co
sφ
φ
P’ r si n
φ
Q T
M β N TX = PP’ kan in NT uit gedrukt worden. Hun verhouding hangt alleen af van β. Met behulp van deze tekening kun je zien hoe PP’ verandert als φ loopt, en wat de samenhang met boog P’Q is. Veronderstel dat de cilinderwand van een vel A4 gemaakt is. Neem OM = halve breedte A4. teken nauwkeurig de snijkromme van het schuine vlak met de cilinder op zo’n vel A4 voor een paar waarden van de hellingshoek β.
6
Meesterproef bouwplaten maken Deze opgaven horen bij de BOUWPLAAT VIERKANTE TOREN MET SCHUIN DAK in Appendix E:, blz. 29. (Er zit nóg een kopie achter) De driehoek FHM zit inwendig in de toren; voor het in elkaar zetten is die niet nodig, maar in de opgaven wordt ernaar verwezen. De maten: AB = BC = 4 meter, AE = 2 meter, BF = 6 meter, CG = 10 meter. Zet de toren in elkaar van een 11
Bewijs dat het vlak van FHM loodrecht op het vlak van het dak staat. Dat kan op allerlei manieren. Gebruik van de stelling van Pythagoras in driehoek GNM is een mogelijkheid.
12
Maak een tekening van de toren in isometrische parallelprojectie. (In die projectie wordt een kubus afgebeeld als zeshoek; drie vierkante vlakjes van zo’n kubus vormen ruiten, die met de 12O-graden hoeken bij elkaar komen. Gebruik fijnmazig isometrisch papier: Appendix G:, blz. 33 of de bladzijde erachter)
13 Kies de richting zo, dat vlak ABFE, BCGF en EFGH te zien zijn. Zorg ook dat de projectierichting een hoek van minstens 30 graden met het grondvlak maakt. Het ontwerp van de toren wordt wat saai gevonden. Kan het dak niet door een gewelfde vorm vervangen worden? Besloten wordt het dak de vorm van een stuk van een cilinder te geven. De punten F en H moeten op dezelfde hoogte blijven, maar door de uitbolling komen E en G F H hoger te liggen. De as van de cilinder gaat door punt M N en loopt evenwijdig aan de oorspronkelijke lijn EG. De inwendige driehoek wordt nu een cirkelsector. We gaan een bouwplaat voor de gewijzigde toren maϕ ken. Je zou uit kunnen gaan van de oorspronkelijke bouwplaat, maar misschien is het mooier als je schaal 1:50 werkt. (Dus twee keer zo groot). M opgave 1
Bereken de hoek die de cilinderas met de zijvlakken maakt en bereken de straal van de cilinder.
opgave 2
De bovenlijnen van de zijkanten worden nu krommen: stukken van een ellips. Bepaal in een hulptekening in elk zijvlak de maten en de ligging van die vier ellipsen. Bepaal enkele punten door de ellips op te vatten als opgerekte cirkel. Teken de dakrand in de zijvlakken zo nauwkeurig mogelijk.
opgave 3
De uitslag van het dak wordt een kunstwerk op zich. De vier grenslijnen zijn stukken sinusoïde, dat weet je. Maar hoe liggen die precies? Tip: Kies een coordinatenstelsel in vlak HMF met M als oorsprong en N op de y-as. Gebruik de variabele ϕ zoals die hierboven is aangegeven.
opgave 4
Maak van de nieuwe toren ook een tekening in orthogonale parallelprojectie. Doe dat met behulp van de eerste tekening.
7
8
Twee: projecteren en tekenen Beschrijvende Meetkunde 14
Startprobleem: Kubushuizen
In Rotterdam staan een aantal huizen die eigenlijk de vorm van een kubus hebben, maar dan niet op een zijvlak opgesteld maar balancerend op een hoekpunt. Het is regenachtig, windstil weer. Onder zo’n kubushuis kun je schuilen. a. Schets het gebied waar je niet nat wordt bij een loodrecht vallende bui Gebruik een modelkubus om de zaak wat te verkennen. b. Na regen komt zonneschijn. Het toeval wil dat naast een vrijstaand kubushuis een saaie gladde muur van een flat staat. Als de zon ondergaat valt de schaduw van het kubushuis op die muur. Schets een mogelijke schaduw op de muur. Bij deze opgave heb je een bepaalde vrijheid. Welke? Maak een keus! Wat je gemaakt heb, zijn twee loodrechte parallelprojecties. De combinaties van twee projecties van één punt, een in vertikale richting op een grondvlak, een in horizontale richting op een verticaal vlak, bevat alle informatie over de ligging van een punt. Zelfs is één coordinaat dubbel vertegenwoordigd. Bestudeer de derde figuur rechts. De punten van een lijn zijn op de twee vlakken VV en HV de gezamenlijke coordinaat ‘loopt gelijk op.
9
De techniek staat bekend als ‘Beschrijvende Meetkunde’ Het echte werk is het maken van technische ontwerpen op deze manier, waarbij het voorwerp punt voor punt wordt geprojecteerd. Afhankelijk van het voor werp wordt gewerkt met series doorsnijdingen. Demonstratie 1: Doorsnijdingen van de torus op de computer Demonstratie 2: Een blik in wat oude boeken uit het begin van de vorige eeuw. 15
16
Practicumopdracht. a. Teken op Appendix I: bladzijde 39 de doorbangspunten van lijn m met de vlakken H en V. Practicumopdracht. Aanwezig is een map werkstukken van een cursus BM (voor de acte N1) uit 1938. a. Kies er een uit en onderzoek wat er ‘gebeurt’ in dit werkstuk. b. Vertel er over
Klassiek perspectief Stel je voor: je kijkt met één oog naar een voorwerp achter een glasplaat. Je houd je oog exact op de zelfde plek, maar volgt met een stift op de glasplaat de contouren van het voorwerp. Als het klaar is, kun je het voorwerp weghalen. De lijnen op het glas geven aan je oog exact het zelfde beeld! Dit is in principe het basis idee van het klassiek perspectief. Kern: een perspectivische afbeelding is een centrale projectie van een object op een vlak, het zogenaamde tafereel. 17
Durer doet het anders: a. Bedenk wat de werkwijze van dit tweetal is. b. In de figuur kun je ook wel controleren waar enkele punten van de luit op het tafereel moeten komen. Doe dat en verbaas je over Durer
costruzione legittima De klassieke constructie (costruzione legittima, Alberti, 1436) baseert de persepctieftekening op twee aanzichten, die van de BM! Het standaardvoorbeeld was de marmeren tegelvloer. Zie: elk Renaissanceschilderij. 18
10
Hier achter staan kopieen van een meetkunde boek uit 1978, voor VO klas 2. De methode is heel instructief. Beleef het!
11
a.
12
b.
13
Tekenen en projecteren Vlakke tekeningen van ruimtelijke voorwerpen zijn vaak gemaakt door projecteren. Bij fotografie en bij ‘traditioneel’ tekenen en schildeorig ren wordt centraal geprojecteerd. Denk aan projecterende stralen die inee l van een punt uit gaan. Bij centrale projectie is het beeld van het midden niet eens meer het midden van het beeld. Zie de figuur hiernaast. Dat is een verhaal apart: het boeiende onderwerp ‘perspectief’. beeld verhoudingstrouw Bij technisch tekenen, zoals toegepast bij bijvoorbeeld bouwtekeningen, is dat niet zo handig. Daar wil je graag verhoudingstrouw op elke lijn. Parallelprojecties doen dat.
orthogonale parallelprojectie Hier projecteer je niet centraal, maar parallel en wel loodrecht op het tafereel. Bij de BM gebruikt je er al twee. In de Meesterproef was het er ook opgenomen: in opgave 12, bladzijde 7. scheve parallelprojectie Niet-orthogonaal parallelprojecteren kan ook, dat heet scheve parallelprojectie. Als de zon niet recht boven je hoofd staat, en je hebt een draadkubus vast, dan is de schaduw op de grond een scheve parallelprojectie van een kubus. Bij parallelprojectie: – blijven evenwijdige lijnen evenwijdig (dit is een korte formulering van: als twee lijnen evenwijdig zijn, dan zijn de beelden van deze lijnen onder een parallelprojectie evenwijdig)
– blijven verhoudingen op een lijn intact. Dat maakt dat parallelprojecteren een geschikte manier van tekenen is in veel situaties. Naar gelang de toepassing kiezen we verschillende vormen ervan. 19
Schaduwoefening scheve parallelprojectie. Maak van deze opgaven een duidelijk verslag op papier met wat schetsen. Met de kubus, een leeg vel wit papier en de zon (of een niet al te dicht bijstaande straatlantaarn) maak je gemakkelijk vierkante schaduwen van de kubus op het lege vel. In eerste instantie gebruik je orthogonale projectie: de lichtrichting is loodrecht op het papier. Zonder moeite maak je vierkante schaduwen die even groot zijn als een zijvlak van de kubus. Als je de stand van het lege vel ook mag variëren, ontstaan parallelprojecties. Laat zien (door ook de kubus van stand te veranderen) dat je het zó kunt doen, dat er tóch een vierkante schaduw ontstaat. De uitdaging is deze: vind een situatie waarin de oppervlakte van het schaduwvierkant twee keer zo groot is als die van een zijvlak. Beschrijf nauwkeurig de onderlinge stand van lichtstralen, kubus en schaduwvlak.
14
20
Welke van deze kubustekeningen kunnen geen een kubus zijn?
ORTHOGONALE
parallelprojectie van
21
Speciale parallelprojecties: Cavalière en militair De figuur linksboven ben je gewend. Het is een echte schoolboekprojectie. Hij heet Cavalière-projectie. De kubus heeft één vlak evenwijdig aan het projectievlak. Bij deze projectie is één van de ribben verkort weergegeven. Bij de zg. militaire projectie worden alle ribben van de kubus onverkort weergegeven. Weer is een vlak van de kubus evenwijdig aan het projectievlak. Deze wordt veel bij architectuur toegepast. a. Bedenk een paar voor- en nadelen van deze tekenmethoden. b. De illustratie hier is militair. Wat is de hoek tussen de projecterende bundel en het projectievlak bij militair perspectief (zo heet het ook wel)?
15
Orthogonale parallelprojecties Orthogonale parallelprojectie ligt dichter bij ‘zoals je de dingen ziet’. Er is feitelijk maar één orthogonale parallelprojectie, maar je kunt de stand van een te projecteren kubus natuurlijk nog varieren. De kubus, die verbeeldt natuurlijk een coördinatenstelsel dat handig gekozen is bij het object dat je wilt tekenen. Als je dan één kubus hebt getekend, kun je vele anderen ook. Per toepassingsgebied zijn verschillende standen gebruikelijk en je moet als concreet meetkundige hier iets meer over weten. We karakteriseren de verschillende methodes voornamelijk door: kenmerken in de projectie want we zijn in de tekening geïnteresseerd. Maar bij de berekeningen van zo dadelijk gebruiken we ook richting van de projecterende lijnen ten opzichte van de kubus. Verkortingen en wijkhoeken Ga nu een s uit van een kubus met ribbe 1. De tekening van de geprojecteerde kubus is: De v’s zijn de verkortingsfactoren van de assen, de φ’s de zg. wijkhoeken. Ze bepalen alles. opgave 5
P2
φ3
v2
v1
P1
O
φ1
φ2
Bepaal de waarden van de v’s en ϕ’s bij de kubus in de regen van opgave 1. v3
samenhang van verkortingen en wijkhoeken In ieder geval zijn de v’s kleiner of gelijk 1, maar er is meer aan de hand. Slechts 2 van de 6 grootheden blijken vrij kiesbaar. Bij opgave 5 speelde dat al een rol. Er geldt het volgende: Samenhang tussen de v’s: 2
2
P3
3
v1 + v2 + v3 = 2 Van de v’s naar de ϕ’s en terug; neem i, j en k verschillend)
2
2
1 – vj ⋅ 1 – vk cos ( φ i ) = – ---------------------------------------------vj ⋅ vk
vi =
– cos ( φ i ) ------------------------------------------sin ( φ j ) ⋅ sin ( φ k )
De afleiding hiervan vindt je hieronder. Die is schetsmatig. Een groot deel ervan kan in opgaven uitgewerkt worden.
16
Afleiding v - ϕ relaties orthogonale projectie. Bij de volgende afleiding van de relaties tussen de v’s en de φ’s kiezen we een hoekpunt van de kubus in de O van een R3 en drie andere hoekpunten zijn voorgesteld door de basisvectoren e1, e2 en e3. Denk eraan dat die onderling loodrecht zijn. De projectie richting is bepaald door de vector a. Voor het gemak normeren we: a = 1 . Als je dat niet doet, bijvoorbeeld voor a de vector (10, 34, 12) neemt, moet je delen door ||a||. Neem het projectievlak door O: T, daarin O en de P’s. T = { x | <x,a> = 0 }. (T heet: heet Tafereel).
a
e2
In T liggen de projecties van de punten van de kubus; de projectie van O is O, de projectie van ei is Pi.
P2
O
e1
LEGENDA projectierichting ribbe van de kubus
P1
Nu is er voor elke i (1,2,3) een λi met OPi = ei -λi a, met < a, OPi > = 0. We hebben natuurlijk vi = OP i 22
Druk a in de ei en λi uit en λi in a in ei. 2
2
3
Concludeer λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 .
23
2
Laat zien: v i = 1 – λ i
2
Concludeer: 2
2
3
v1 + v2 + v3 = 2 24
P3
e3
Stel je de projectierichting samen met het tafereel voor als een geheel, dat is als het ware de projectiemachine. De röntgenbundel plus fotovlak.
Druk < OP1, OP2 > in de λ’s (of v’s) uit. Concludeer: 2
2
1 – vj ⋅ 1 – vk cos ( φ i ) = – ---------------------------------------------vj ⋅ vk (i, j en k verschillend).
17
geprojecteerde ribbe
25
Natuurlijk kan ook de andere kant uit worden gerekend. Pure rekenvlijt kan leiden tot: vi =
26
– cos ( φ i ) ------------------------------------------sin ( φ j ) ⋅ sin ( φ k )
Voor de volledigheid ook maar het verband tussen a en de vi’s. Stel a = ( a1, a2, a3 ). λi = < a, ei > = ai Dus: 2
vi = 1 – ai
2
Tekeningen ter discussie De bol in projectie 27
Ter discussie: Wat vind je van deze tekeningen van de aardbol.?
28 De maan zo? Een tekening van de maan, tussen nieuwe maan en eerste kwartier. Wat is je mening?
18
Deel DRIE Uitdagende kubuskwesties Bij de aanpak van de kwesties in deze paragraaf is het handig schetsen te kunnen maken. Gebruik naar genoegen de kubussen in Appendix J: bladzijde 41.
Uitdaging EEN: Grote kubus door kleine kubus. Hier is een kubus geprojecteerd zoals in opgave 1: in de richting van de diagonaal. Op dezelfde schaal is een vierkant ter grootte van een zijvlak getekend. Je kunt dat vierkant ook opvatten als een vierkante tunnel die door de kubus heen geboord is. Blijkbaar kun je een precies even grote kubus door die tunnel schuiven! Het kan zelfs iets groter. Je zou de bovengrens kunnen uitrekenen. Je vindt dan 2 ( 3 – 1 ) = 1,0352 keer de oorspronkelijke ribbe. Toch is dit niet het best haalbare! Stel je dit voor: een kubus met ribbe 1 en een vierkant met ribbe 1. Het vierkant past in een diagonaalvlak van de kubus, want dat is een rechthoek van 1 bij 2 . Dit vierkant kun je over de aangegeven as een ietsje H achterover kantelen en dan hangt het vrij in de kubus. G Dus kan het wat opzwellen! P E Het maximaal haalbare is bereikt als het gedraaide en F as gezwollen vierkant de ribben raakt, bijvoorbeeld op ribbe EH in het punt P. opgave 6
Het boren van de tunnel richten we nu op dit vierkant. Hoe groot is dat vierkant?
C A
B
Uitdaging TWEE: Minimaal spinneweb. In een kubus met ribbe 1 meter spant een spin een speciaal web. Via het web zijn alle hoekpunten verbonden. Het web is geen gewoon web, maar een vertakt dradenpatroon. De spin wil natuurlijk wel zo weinig mogelijk rag gebruiken. 29
Ontwerp een web voor die spin. Maak duidelijke tekeningen in verschillende projecties. Op de volgende bladzijde wordt het spinvraagstuk opgelost voor een driehoek. Dat helpt vast
19
Spinrag in de driehoek We lossen het spinragvraagstuk eerst op voor een driehoek, waarvan alle hoeken kleiner dan 120 graden zijn en gebruiken een rotatie. Kies een punt X in de driehoek en trek AX, BX en CX. We willen AX + BX + CX minimaal maken. Een fraaie list: roteer CXB om C over 60 graden. B’ hangt niet van de keuze van X af.
B’
B’
C
C X’
X
A
T B
A
B
De rechter figuur geeft het best haalbare aan: T ligt op AB’. Hoek CTA is 120 graden! T heet het punt van Torricelli van de driehoek. De sleutel voor de spin in de kubus is dus: zorg bij alle knooppunten van drie ragdraden voor hoeken van 120 graden.
20
BOUWPLAAT OPVOUWBARE KUBUS
knippen
vouwlijn, rillen
plakrand
Appendix A:
21
22
Appendix B:
ISOMETRISCH PAPIER, Grofmazig
23
24
Dubbele cirkelwal
k to nip in m t id de n
Appendix C:
bergvouw
knippen
25
dalvouw
26
Appendix D:
Sikkelduinen
27
28
Appendix E:
BOUWPLAAT VIERKANTE TOREN MET SCHUIN DAK G
H
F
ZIJKANTEN
E
E
A
C
B
A
D H DAK
M LIGT 4 CM BOVEN
D
A
C
GRONDVLAK G
E F F
INWENDIGE DRIEHOEK
M
29
N IS HET
N
PUNT
H
MIDDEN
C
VAN HET DAK
B
30
BOUWPLAAT VIERKANTE TOREN MET SCHUIN DAK
Appendix F:
G
H
F
ZIJKANTEN
E
E
A
C
B
A
D H DAK
M LIGT 4 CM BOVEN
D
A
C
GRONDVLAK G
E F F
INWENDIGE DRIEHOEK
M
31
N IS HET
N
PUNT
H
MIDDEN
C
VAN HET DAK
B
32
Appendix G:
ISOMETRISCH PAPIER, fijnmazig/donker
33
34
Appendix H:
ISOMETRISCH PAPIER, fijnmazig/licht
35
36
APPENDIX D: ISOMETRISCH PAPIER
37
38
: Doorgangspunten vinden.
H
V
m
m
Appendix I:
39
40
Appendix J:
: KLADKUBUSSEN.
H
H
G
E
G
E
F
F
D
D
C
C
A
A B
B
H
H
G
E
G
E
F
F
D
D
C
C
A
A B
B H G
E F
D C A B
41
42
