Datum sestavení dokumentu: 9. srpna Lineární algebra 1

Datum sestaven´ı dokumentu: 9. srpna 2012

Line´ arn´ı algebra 1 L’ubom´ıra Balková e-mail: [email protected] Slovo na u ´ vod: Abstraktnost, logická v´ ystavba a univerzálnost lineárn´ı algebry jsou v´ yhodami této teorie. Zaˇc´ ateˇcn´ık je zˇrejmˇe neocen´ı ihned, ale aˇz postupem ˇcasu, kdy se v nejr˚ uznˇejˇs´ıch pˇredmˇetech budou pojmy z line´ arn´ı algebry objevovat. Mnohokrát se po vás bude cht´ıt ˇreˇsit soustavu line´ arn´ıch algebraick´ ych rovnic, mnohokrát budete zkoumat vlastn´ı ˇc´ısla a vektory matic, které budou odpov´ıdat r˚ uzn´ ym fyzik´ aln´ım vlastnostem. Budete ˇreˇsit lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice, coˇz budou rovnice pro jakési line´ arn´ı zobrazen´ı apod. Abyste se abstraktnosti line´ arn´ı algebry pˇr´ıliˇs nezalekli, je pˇripojena na konci tˇechto skript kapitola o historii vektorového prostoru, ve které vám má b´ yt u ´tˇechou, ˇze lineárn´ı algebra se uˇc´ı proti toku ˇcasu“ a ˇze tedy vrcholem veˇskeré abstrakce je pojem vektorového prostoru, se kter´ ym ” my v´ yuku line´ arn´ı algebry zahajujeme. Tedy hlavu vzh˚ uru, po prokousán´ı se prvn´ı kapitolou vˇezte, ˇze uˇz to bude jenom jednoduˇsˇs´ı a jednoduˇsˇs´ı...

Obsah 1 Vektorov´ y prostor 1.1 Pˇr´ıklady vektorov´ ych prostor˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 5

2 Z´ akladn´ı informace o ˇ reˇ sen´ı soustav line´ arn´ıch algebraick´ ych rovnic

8

3 Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost, b´ aze 3.1 Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost . . . 3.2 B´ aze a dimenze . . . . . . . . . . . . 3.3 Souˇradnice . . . . . . . . . . . . . .

a . . .

dimenze, souˇ radnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 14 16 23

4 Podprostory 4.1 1. vˇeta o dimenzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Doplnˇek podprostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25 28 30

5 Line´ arn´ı zobrazen´ı 5.1 Hodnost, j´ adro, defekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 2. vˇeta o dimenzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32 37 41

6 Matice a line´ arn´ı zobrazen´ı

43

7 Pro zaj´ımavost: Historie vektorov´ eho prostoru

48

8 Dodatek: Polynomy

52

Reference

55

1

1

Vektorov´ y prostor

Uved’me nejprve dva pojmy, které budeme v definici vektorového prostoru vyuˇz´ıvat. Definice 1. Kart´ ezsk´ ym souˇ cinem mnoˇzin A a B nazveme mnoˇzinu uspoˇr´ adaných dvojic (a, b), kde a ∈ A, b ∈ B, tj. A × B = {(a, b) a ∈ A, b ∈ B}. Zobrazen´ı f : A → B je takov´ a podmnoˇzina A × B, pro niˇz plat´ı: (a, b) ∈ f ∧ (a, c) ∈ f ⇒ b = c. ˇ ık´ Pozn´ amka 1. M´ısto (a, b) ∈ f obvykle p´ıˇseme f (a) = b. R´ ame, ˇze a je vzorem b a b je obrazem a pˇri zobrazen´ı f . Pozn´ amka 2. M˚ uˇzete si i nad´ ale pˇredstavovat, ˇze f je pˇredpis, který kaˇzdému prvku z A pˇriˇrad´ı nejvýˇse jeden prvek z B. ˇ ıseln´ Definice 2. C´ ym tˇ elesem nazveme kaˇzdou podmnoˇzinu T ⊂ C, kter´ a m´ a alespoˇ n dva prvky a splˇ nuje: 1. pro kaˇzdé α, β ∈ T plat´ı α + β ∈ T (hovoˇr´ıme o uzavˇ renosti T na sˇ c´ıt´ an´ı), 2. pro kaˇzdé α, β ∈ T plat´ı α · β ∈ T (hovoˇr´ıme o uzavˇ renosti T na n´ asoben´ı), 3. pro kaˇzdé α ∈ T plat´ı −α ∈ T (hovoˇr´ıme o uzavˇ renosti T v˚ uˇ ci opaˇ cn´ emu prvku), 4. pro kaˇzdé α ∈ T, α 6= 0, plat´ı hodnotˇ e).

1 α

∈ T (hovoˇr´ıme o uzavˇ renosti T v˚ uˇ ci pˇ revr´ acen´ e

Pozn´ amka 3. Zamysleme se nad t´ım, které mnoˇziny (ne)tvoˇr´ı tˇeleso. 1. Mnoˇzina pˇrirozených ˇc´ısel N netvoˇr´ı tˇeleso, napˇr. 3 ∈ N, ale −3 6∈ N. 2. Mnoˇzina celých ˇc´ısel Z netvoˇr´ı tˇeleso, napˇr. 2 ∈ Z, ale

1 2

6∈ Z.

3. Mnoˇzina racion´ aln´ıch ˇc´ısel Q tvoˇr´ı tˇeleso. Je to nejmenˇs´ı tˇeleso ve smyslu inkluze, tj. Q je podmnoˇzinou kaˇzdého tˇelesa. 4. My budeme témˇeˇr výluˇcnˇe pracovat s tˇelesy re´ alných ˇc´ısel R a komplexn´ıch ˇc´ısel C. Mˇejme ale st´ ale na pamˇeti, ˇze tvrzen´ı, kter´ a budeme uv´ adˇet, plat´ı pro libovolné ˇc´ıselné tˇeleso, nen´ı-li uvedeno jinak. Pozn´ amka 4. Kaˇzdé tˇeleso obsahuje ˇc´ısla 0 a 1. Obsahuje totiˇz podle definice nˇejaký prvek α, pak také −α ∈ T a d´ ale také α + (−α) = 0 ∈ T . Jelikoˇz T obsahuje alespoˇ n dva prvky, urˇcitˇe obsahuje nˇejaké α 6= 0, pak také α1 ∈ T a d´ ale také α1 · α = 1 ∈ T . Definice 3. Necht’ jsou d´ any: 1. ˇc´ıselné tˇeleso T (prvky nazýv´ ame ˇ c´ısla), 2. nepr´ azdn´ a mnoˇzina V (prvky nazýv´ ame vektory), 3. zobrazen´ı ⊕ : V × V → V (nazýv´ ame je sˇ c´ıt´ an´ı vektor˚ u), 4. zobrazen´ı : T × V → V (nazýv´ ame je n´ asoben´ı vektoru ˇ c´ıslem z tˇ elesa). ˇ Rekneme, ˇze V je vektorov´ y prostor nad tˇ elesem T s operacemi ⊕ a , pokud je splnˇeno 8 podm´ınek (nazýv´ ame je axiomy vektorov´ eho prostoru): 1. pro kaˇzdé ~a, ~b ∈ V plat´ı ~a ⊕ ~b = ~b ⊕ ~a (komutativn´ı z´ akon pro ⊕),

2

2. pro kaˇzdé ~a, ~b, ~c ∈ V plat´ı ~a ⊕ (~b ⊕ ~c) = (~a ⊕ ~b) ⊕ ~c (asociativn´ı z´ akon pro ⊕), 3. existuje ~b ∈ V takové, ˇze pro kaˇzdé ~a ∈ V plat´ı ~a ⊕~b = ~a (vektor ~b s touto vlastnost´ı nazýv´ ame nulov´ y a znaˇc´ıme ~0), 4. pro kaˇzdé ~a ∈ V existuje ~b ∈ V takové, ˇze ~a ⊕ ~b = ~0 (vektor ~b s touto vlastnost´ı nazýv´ ame opaˇ cn´ y k vektoru ~a a znaˇc´ıme −~a), 5. pro kaˇzdé α, β ∈ T a kaˇzdé ~a ∈ V plat´ı (α · β) ~a = α (β ~a) (asociativn´ı z´ akon pro ), 6. pro kaˇzdé ~a ∈ V plat´ı 1 ~a = ~a, 7. pro kaˇzdé α, β ∈ T a kaˇzdé ~a ∈ V plat´ı (α + β) ~a = (α ~a) ⊕ (β ~a) (distributivita vzhledem ke sˇc´ıt´ an´ı ˇc´ısel), 8. pro kaˇzdé α ∈ T a kaˇzdé ~a, ~b ∈ V plat´ı α (~a ⊕ ~b) = (α ~a) ⊕ (α ~b) (distributivita vzhledem ke sˇc´ıt´ an´ı vektor˚ u). Pozn´ amka 5. Znovu zd˚ uraznˇeme, ˇze vektorový prostor je ˇr´ adnˇe definov´ an, jsou-li d´ any 4 vˇeci: 1. nepr´ azdn´ a mnoˇzina vektor˚ u V, 2. tˇeleso T , 3. operace ⊕, 4. operace . A z´ aroveˇ n jsou splnˇeny vˇsechny axiomy. Nˇekdy vektorový prostor znaˇc´ıme podrobnˇeji (V, T, ⊕, ). Pozn´ amka 6. Pro T = R hovoˇr´ıme o re´ aln´ em vektorov´ em prostoru a pro T = C o komplexn´ım vektorov´ em prostoru. Pozn´ amka 7. V definici jsme poctivˇe rozliˇsovali operace ⊕ pro sˇc´ıt´ an´ı vektor˚ u, + pro sˇc´ıt´ an´ı ˇc´ısel, pro n´ asoben´ı vektoru ˇc´ıslem, · pro n´ asoben´ı ˇc´ısel. V dalˇs´ım textu uˇz nebudeme pouˇz´ıvat symboly ⊕ a , z kontextu bude totiˇz vˇzdy jasné, zda jde o sˇc´ıt´ an´ı ve V nebo v T . Nav´ıc budeme vynech´ avat symbol pro n´ asoben´ı, a to v obou pˇr´ıpadech, tedy je-li α, β ∈ T a ~a ∈ V , pak p´ıˇseme αβ m´ısto α · β a α~a m´ısto α · ~a = α ~a. Pozn´ amka 8. Prvky tˇelesa budeme znaˇcit obvykle ˇreckými p´ısmeny α, β, γ, . . . a vektory obvykle ˇ p´ısmeny ze zaˇc´ atku a konce abecedy ~a, ~b, ~x, ~y , ~z, . . . . Sipku nad vektory vynech´ ame jen výjimeˇcnˇe, napˇr´ıklad v pˇr´ıpadech vektor˚ u z prostoru polynom˚ u, matic ˇci line´ arn´ıch zobrazen´ı, kde se ust´ alilo jiné znaˇcen´ı. Vˇ eta 1 (Vlastnosti vektorového prostoru). Necht’ V je vektorový prostor nad tˇelesem T . Potom plat´ı: 1. Ve V existuje pr´ avˇe jeden nulový vektor ~0. 2. Ke kaˇzdému vektoru z V existuje pr´ avˇe jeden opaˇcný vektor. 3. Pro kaˇzdé ~a, ~b ∈ V existuje pr´ avˇe jedno ˇreˇsen´ı rovnice ~a + ~x = ~b, a to ~x = −~a + ~b. 4. Pro kaˇzdé α ∈ T a kaˇzdé ~a ∈ V plat´ı α~0 = ~0 = 0~a. 5. Pro kaˇzdé α ∈ T a kaˇzdé ~a ∈ V plat´ı implikace α~a = ~0 ⇒ (~a = ~0 ∨ α = 0). 6. Pro kaˇzdé α ∈ T a kaˇzdé ~a ∈ V plat´ı −(α~a) = (−α)~a = α(−~a). 3

D˚ ukaz. 1. Podle 3. axiomu obsahuje V nulov´ y vektor ~0. Pokud ~z ∈ V také splˇ nuje vlastnosti nulového vektoru, pak ~z = ~z + ~0 = ~0 + ~z = ~0, kde jsme vyuˇzili vlastnosti nulového vektoru a komutativn´ı zákon. 2. Necht’ ~a je libovoln´ y vektor z V . Podle 4. axiomu k nˇemu existuje opaˇcn´ y vektor −~a. Pokud ~b ∈ V splˇ nuje také vlastnosti opaˇcného vektoru k ~a, pak ~b = ~b + ~0 = ~b + (~a + (−~a)) = (~b + ~a) + (−~a) = (~a + ~b) + (−~a) = ~0 + (−~a) = (−~a) + ~0 = −~a, kde jsme vyuˇzili komutativitu, asociativitu, vlastnosti nulového a opaˇcného vektoru. 3. Nejprve se pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze −~a+~b je ˇreˇsen´ım, tj. ~a+(−~a+~b) = (~a+(−~a))+~b = ~0+~b = ~b+~0 = ~b. Necht’ ~y ∈ V je také ˇreˇsen´ım, pak ~x = −~a + ~b = −~a + (~a + ~y ) = (−~a + ~a) + ~y = (~a + (−~a)) + ~y = ~0 + ~y = ~y + ~0 = ~y , kde jsme vyuˇzili komutativitu, asociativitu, vlastnosti nulového a opaˇcného vektoru. 4. Z pˇredchoz´ıho bodu v´ıme, ˇze pro kaˇzdé α ∈ T a kaˇzdé ~a ∈ V má rovnice α~a + ~x = α~a jediné ˇreˇsen´ı, a to ~x = ~0. Ovˇeˇrme, ˇze také α~0 a 0~a jsou ˇreˇsen´ım, pak je jasné, ˇze jsou rovny ~0. α~a + α~0 = α(~a + ~0) = α~a. α~a + 0~a = (α + 0)~a = α~a. Vyuˇzili jsme distributivity v˚ uˇci sˇc´ıtán´ı vektor˚ u a v˚ uˇci sˇc´ıtán´ı ˇc´ısel. 5. Jde o d˚ ukaz v´ yroku (∀α ∈ T )(∀~a ∈ V )(α~a = ~0 ⇒ (~a = ~0 ∨ α = 0)).

(1)

Dok´ aˇzeme v´ yrok sporem, pˇredpokládejme tedy platnost negace (∃α ∈ T )(∃~a ∈ V )e(α~a = ~0 ⇒ (~a = ~0 ∨ α = 0)). Z tohotu pˇredpokladu odvod´ıme spor - platnost nepravdivého tvrzen´ı, coˇz znamená, ˇze platil p˚ uvodn´ı v´ yrok (1). V´ıme, ˇze A∧eB je ekvivalentn´ı s negac´ı implikace A ⇒ B. M˚ uˇzeme tedy pˇredpoklad pˇrepsat jako (∃α ∈ T )(∃~a ∈ V )(α~a = ~0 ∧ ~a 6= ~0 ∧ α 6= 0). Pak plat´ı ~a = 1~a = ( α1 α)~a =

1 a) α (α~

= α1 ~0 = ~0,

a to je spor s pˇredpokladem, ˇze ~a 6= ~0. 6. Z 3. bodu plyne, ˇze rovnice α~a + ~x = ~0 má jediné ˇreˇsen´ı, a to ~x = −(α~a). Ovˇeˇrme, ˇze také (−α)~a a α(−~a) jsou ˇreˇsen´ım, pak je jasné, ˇze jsou rovny −(α~a). α~a + (−α)~a = (α + (−α))~a = 0~a = ~0. α~a + α(−~a) = α(~a + (−~a)) = α~0 = ~0. Vyuˇzili jsme distributivity v˚ uˇci sˇc´ıtán´ı vektor˚ u a v˚ uˇci sˇc´ıtán´ı ˇc´ısel a 4. bod Vˇety 1. D˚ ukaz Vˇety 1 se v´ am asi v prvn´ı chv´ıli zdá obt´ıˇzn´ y, ale nelekejte se. Postupnˇe si zvyknete a na konci semestru zjist´ıte, ˇze d˚ ukazy v lineárn´ı algebˇre jsou bez trik˚ u, pˇr´ımoˇcaré, a tedy velmi jednoduché. 4

Pozn´ amka 9. D˚ ukaz Vˇety 1 nen´ı jediný moˇzný. Zkuste dok´ azat nˇekteré jej´ı body jiným zp˚ usobem. Pozn´ amka 10. Rozmysleme si ot´ azku, kolik vektor˚ u m˚ uˇze obsahovat vektorový prostor. Jistˇe obsahuje alespoˇ n jeden vektor ~x, protoˇze pˇredpokl´ ad´ ame nepr´ azdnost V . M˚ uˇze obsahovat pouze jeden vektor? Ano. Definujeme-li operace ~x + ~x = ~x a pro kaˇzdé α ∈ T α~x = ~x, pak V = {~x} tvoˇr´ı vektorový prostor nad tˇelesem T . Vektor ~x ve V hraje u ´lohu nulového vektoru, proto m˚ uˇzeme ps´ at V = {~0} a tento prostor nazýv´ ame nulov´ y vektorov´ y prostor. M˚ uˇze m´ıt nenulový vektorový prostor koneˇcný poˇcet vektor˚ u? Nem˚ uˇze. Existuje-li ve V ~x 6= ~0, pak také 2~x, 3~x, 4~x, . . . patˇr´ı do V . Tyto vektory jsou vz´ ajemnˇe r˚ uzné, protoˇze pro m 6= n plat´ı podle Vˇety 1 m~x − n~x = (m − n)~x 6= ~0.

1.1

Pˇ r´ıklady vektorov´ ych prostor˚ u

Pˇ r´ıklad 1. Necht’ n ∈ N. 1. Necht’ T je tˇeleso. n n 2. Poloˇzme  V = T , kde adan´ ych n-tic ˇc´ısel z tˇelesa zapsaných do sloupc˚ u,  T je mnoˇzina uspoˇr´ α1   α2 ˇ ıslo αi nazýv´ tj. T n = ~a =  ..  αi ∈ T pro kaˇzdé i ∈ n ˆ , kde n ˆ = {1, 2, . . . , n}. C´ ame   . αn

i-tou sloˇ zkou vektoru ~a. 3. Operaci sˇc´ıt´ an´ıdefinujeme po sloˇz k´ ach“:  ” β1  α1 α2

 α1 +β1 

β2

Pro kaˇzdé ~a =  ..  ∈ T n a ~b =  ..  ∈ T n definujeme ~a + ~b =  . . α βn

n

α2 +β2

.. .

.

αn +βn

4. Operaci n´ asoben´ı vektoru ˇc´ıslem po sloˇzk´ ach“:   αdefinujeme   ” αα1 1 α2

αα2

αn

ααn

Pro kaˇzdé α ∈ T a kaˇzdé ~a =  ..  ∈ T n definujeme α~a =  .. . . . 0!

´ Ulohu nulového vektoru hraje vektor  α1  α2

0

.. .

0

.  −α  1

−α2

Opaˇcným vektorem k ~a =  ..  je vektor  ..  . . . α n

−αn

Sami ovˇeˇrte, ˇze tato ˇctveˇrice (T n , T, +, ·) spln´ı vˇsechny axiomy, tedy T n nad T s operacemi definovanými po sloˇzk´ ach je vektorový prostor. Pozn´ amka 11. Znaˇcen´ı T n pouˇz´ıv´ ame jak pro mnoˇzinu uspoˇr´ adaných n-tic ˇc´ısel z tˇelesa, tak pro vektorový prostor T n , tedy ˇctveˇrici (T n , T, +, ·). Je tˇreba podle kontextu odliˇsit, o který pˇr´ıpad jde. Pozn´ amka 12. Lze ztotoˇznit prostor T 1 a tˇeleso T . Pˇ r´ıklad 2. Necht’ m, n ∈ N. 1. Necht’ T je tˇeleso. 2. Poloˇzme V = T m,n , kde T m,n je mnoˇzina uspoˇr´ adaných mn-tic ˇc´ısel z T zapsaných do tabulky o m ˇra ´dc´ıch a n sloupc´ıch a nazývaných matice typu m × n, tj.    a11 a12 ... a1n    a21 a22 ... a2n T m,n = A =  .. .. . . ..  aij ∈ T pro kaˇzdé i ∈ m, ˆ j∈n ˆ . . .   . . am1 am2 ... amn

5

aij nazýv´ ame ij-tý prvek matice A (znaˇc´ıme také [A] r´ adkem A nazveme  Aij ), i-tým ˇ  aij1jnebo a2j

ˇ ıslu i ˇr´ık´ ame ˇrádkov´ y a ˇc´ıslu j n-tici (ai1 ai2 . . . ain ) a j-tým sloupcem A m-tici  .. . C´ . amj

sloupcov´ y index prvku aij . 3. Operaci sˇc´ıt´ an´ı definujeme po prvc´ıch“: ” Pro kaˇzdé A, B ∈ T m,n a pro kaˇzdé i ∈ m, ˆ j∈n ˆ definujeme [A + B]ij = [A]ij + [B]ij . 4. Operaci n´ asoben´ı vektoru ˇc´ıslem definujeme po prvc´ıch“: ” Pro kaˇzdé α ∈ T a A ∈ T m,n a pro kaˇzdé i ∈ m, ˆ j∈n ˆ definujeme [αA]ij = α[A]ij . ´ Ulohu nulového vektoru hraje nulov´ a matice O = 

a11 a12 ... a21 a22 ...

Opaˇcným vektorem k A =  .. .

a1n a2n

0 0 ... 0 ! 0 0 ... 0

.

.. .. . . .. .. ..

0 0 ...  0−a −a ... 11 12 −a21 −a22 ...



.. . . ..  je −A =  . . .

am1 am2 ... amn

.. .

.. .

..

.

−a1n −a2n



.. .

.

−am1 −am2 ... −amn

Sami ovˇeˇrte, ˇze ˇctveˇrice (T m,n , T, +, ·) spln´ı vˇsechny axiomy, tedy T m,n nad T s operacemi definovanými po prvc´ıch je vektorový prostor, nazýv´ ame jej prostorem matic (o m ˇr´ adc´ıch a n sloupc´ıch). Pozn´ amka 13. Znaˇcen´ı T m,n pouˇz´ıv´ ame pro mnoˇzinu matic o m ˇr´ adc´ıch a n sloupc´ıch s prvky z tˇelesa a pro vektorový prostor T m,n , tedy ˇctveˇrici (T m,n , T, +, ·). Je tˇreba podle kontextu odliˇsit, o který pˇr´ıpad jde. Pozn´ amka 14. Rozmyslete si, ˇze prostory T n a T n,1 lze ztotoˇznit. Pozn´ amka 15. Pojem matice je v line´ arn´ı algebˇre velmi d˚ uleˇzitý. Podstatnou ˇc´ ast line´ arn´ı algebry bude tvoˇrit maticový poˇcet. Prozat´ım vystaˇc´ıme s matic´ı jakoˇzto vektorem z T m,n , v´ıce se dozv´ıme v budoucnu. Pˇ r´ıklad 3. K pochopen´ı tohoto pˇr´ıkladu je vhodné si pˇreˇc´ıst Dodatek: Polynomy. 1. Necht’ T = C. 2. Necht’ V = P, coˇz je mnoˇzina vˇsech polynom˚ u. 3. Operaci sˇc´ıt´ an´ı vektor˚ u definujeme bodovˇe“: ” Pro kaˇzdé p, q ∈ P definujeme (p + q)(t) = p(t) + q(t) pro kaˇzdé t ∈ C. 4. Operaci n´ asoben´ı vektoru komplexn´ım ˇc´ıslem definujeme bodovˇe“: ” Pro kaˇzdé α ∈ C a p ∈ P definujeme (αp)(t) = αp(t) pro kaˇzdé t ∈ C. ´ Ulohu nulového vektoru hraje nulový polynom O definovaný O(t) = 0 pro kaˇzdé t ∈ C. Opaˇcným vektorem k p ∈ P je opaˇcný polynom definovaný (−p)(t) = −p(t) pro kaˇzdé t ∈ C. Sami ovˇeˇrte, ˇze ˇctveˇrice (P, C, +, ·) spln´ı vˇsechny axiomy, tedy P nad C s operacemi definovanými bodovˇe je vektorový prostor, nazýv´ ame jej prostorem polynom˚ u. Pˇ r´ıklad 4. Ponechme vˇse definované stejnˇe jako v prostoru polynom˚ u, pouze zmˇen´ıme mnoˇzinu V . Necht’ n ∈ N. Poloˇzme V = Pn , coˇz je mnoˇzina polynom˚ u stupnˇe maxim´ alnˇe n − 1 s pˇrid´ an´ım nulového polynomu (který nem´ a stupeˇ n definovaný). Opˇet sami ovˇeˇrte, ˇze (Pn , C, +, ·) tvoˇr´ı vektorový prostor nad C.

6

Pozn´ amka 16. Snadno si rozmysl´ıme, ˇze bez pˇrid´ an´ı nulového polynomu nen´ı Pn definovaný výˇse vektorovým prostorem. Pˇ r´ıklad 5. Pro modelov´ an´ı prostor˚ u R2 a R3 budeme pouˇz´ıvat orientované ˇsipky. Vysvˇetleme 2 3 vizualizaci R . V R postupujeme analogicky. 1. Tˇelesem jsou re´ aln´ a ˇc´ısla. 1 1 2. Vektoru ( α ıd´ a ˇsipka zaˇc´ınaj´ıc´ı v poˇc´ atku ( 00 ) a konˇc´ıc´ı v bodˇe ( α e ˇsipce se α2 ) odpov´ α2 ), takov´ α1 nˇekdy ˇr´ık´ a pr˚ uvodiˇc bodu ( α2 ).

3. Souˇcet ~a + ~b se z´ısk´ a, kdyˇz do koncového bodu ˇsipky odpov´ıdaj´ıc´ı ~a um´ıst´ıme poˇc´ atek ˇsipky rovnobˇeˇzné a stejnˇe velké jako ˇsipka odpov´ıdaj´ıc´ı ~b. Snadno si rozmysl´ıme, ˇze takové sˇc´ıt´ an´ı odpov´ıd´ a sˇc´ıt´ an´ı vektor˚ u po sloˇzk´ ach, jak jsme je zavedli ve vektorovém prostoru R2 . T´ım z´ısk´ ame koncový bod ˇsipky odpov´ıdaj´ıc´ı ~a + ~b. 4. α~a z´ısk´ ame tak, ˇze velikost ˇsipky odpov´ıdaj´ıc´ı ~a vyn´ asob´ıme |α|. Poté ji um´ıst´ıme do poˇc´ atku a orientaci nezmˇen´ıme, pokud α ≥ 0, nebo zmˇen´ıme na opaˇcnou, pokud α < 0. Snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze plat´ı axiomy. Komutativn´ı z´ akon ilustruje 1. a 2. bod obr´ azku 1.

Obr´ azek 1: 1. Souˇcet vektor˚ u ~a + ~b, kde ~a reprezentuje ˇcervená, ~b modrá ˇsipka a ~a + ~b ˇcerná ˇsipka. ~ 2. Souˇcet vektor˚ u b + ~a, kde ~a reprezentuje ˇcervená, ~b modrá ˇsipka a ~b + ~a ˇcerná ˇsipka. 3. 2~a, kde ~a reprezentuje ˇcerven´ a a 2~a modr´ a ˇsipka. 4. − 21 ~a, kde ~a reprezentuje ˇcervená a − 21 ~a modrá ˇsipka.

Pozn´ amka 17. Rozmyslete si, ˇze plat´ı tvrzen´ı: Necht’ V je vektorový prostor nad T a necht’ T1 je tˇeleso splˇ nuj´ıc´ı T1 ⊂ T . Pak V je pˇri zachov´ an´ı stejných operac´ı také vektorovým prostorem nad T1 . Napˇr´ıklad Cn tvoˇr´ı vektorový prostor nad R, pokud jsou operace definov´ any po sloˇzk´ ach. Pozor! Jde o jiný vektorový prostor neˇz Cn nad C. n Pozor!! Naopak to neplat´ı, napˇr´ıklad R pˇri operac´ıch definovaných po sloˇzk´ ach netvoˇr´ı vektorový prostor nad C.

7

2

Z´ akladn´ı informace o ˇ reˇ sen´ı soustav line´ arn´ıch algebraick´ ych rovnic

Soustavou m line´ arn´ıch algebraick´ ych rovnic (LAR) pro n neznám´ ych nazveme kaˇzdou soustavu tvaru a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 , .. .. .. . .. . . . . = .. am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm kde ˇc´ısla aij a bi pro i ∈ m b aj∈n b jsou obecnˇe komplexn´ı. N´ azvoslov´ı: • Matice



a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n

A =  .. .



.. . . ..  . . .

am1 am2 ... amn

se naz´ yv´ a matic´ı soustavy. • Matice



a11 a12 ... a1n b1 a21 a22 ... a2n b2

(A|~b) =  .. .

.. . . .. . . .

 

am1 am2 ... amn bm

se naz´ yv´ a rozˇ s´ıˇ renou matic´ı soustavy.  b1  b2

• Vektor ~b =  ..  ∈ Cm se naz´ yvá sloupec prav´ ych stran. . bm

 x1  x2

• Vektor ~x =  ..  ∈ Cn , pro nˇejˇz je soustava splnˇena, se naz´ yvá ˇ reˇ sen´ım soustavy. . xn

ˇ ık´ • R´ ame, ˇze soustava je homogenn´ı nebo bez prav´ e strany, pokud ~b = ~0. • V opaˇcném pˇr´ıpadˇe jde o soustavu s pravou stranou. Pozn´ amka 18. D˚ uleˇzité je si uvˇedomit, ˇze existuj´ı soustavy, jeˇz ˇreˇsen´ı nemaj´ı. Napˇr´ıklad 3x1 3x1

+ 2x2 + 2x2

= 5 = 7

.

A naopak existuj´ı soustavy, které maj´ı ˇreˇsen´ı v´ıce. Napˇr´ıklad 3x1 6x1 m´ a ˇreˇsen´ı

1 1

a také

−1 4

+ 2x2 + 4x2

= =

5 10

. Dokonce m´ a nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı. 

  Pozn´ amka 19. Homogenn´ı soustava m´ a vˇzdy alespoˇ n jedno ˇreˇsen´ı, a to ˇreˇsen´ı ~0 =  

0 0 .. . 0

ˇreˇsen´ı nazýv´ ame trivi´ aln´ım.

8

   . Toto 

V této kapitole se nebudeme uˇcit hledat vˇsechna ˇreˇsen´ı, ale budeme se zab´ yvat dvˇema trochu lehˇc´ımi ot´ azkami: 1. Jak zjistit, zda je dan´ a soustava ˇ reˇ siteln´ a? 2. Jak naj´ıt alespoˇ n jedno ˇ reˇ sen´ı? (Samozˇrejmˇe za pˇredpokladu, ˇze soustava je ˇreˇsitelná.) Budeme pˇrev´ adˇet soustavu do tak jednoduchého tvaru, ˇze z nˇej bude odpovˇed’ na tyto dvˇe otázky zˇrejm´ a. D˚ uleˇzité je, ˇze u ´pravy budeme provádˇet tak, ˇze nezmˇen´ıme mnoˇzinu ˇreˇsen´ı. Takov´ ym u ´prav´ am se ˇr´ık´ a ekvivalentn´ı a budeme pouˇz´ıvat tˇri takové u ´pravy: 1. z´ amˇena dvou rovnic, 2. pˇriˇcten´ı n´ asobku jiné rovnice k vybrané rovnici, 3. n´ asoben´ı rovnice ˇc´ıslem α 6= 0. Rozmyslete si, ˇze takov´ ymi u ´pravami se skuteˇcnˇe mnoˇzina ˇreˇsen´ı soustavy nemˇen´ı. Dále si uvˇedomte, ˇze m´ısto abychom tyto u ´pravy prov´ adˇeli s rovnicemi, m˚ uˇzeme je provádˇet pˇr´ımo v rozˇs´ıˇrené matici soustavy. Jde pak o u ´pravy: 1. z´ amˇena dvou ˇr´ adk˚ u, 2. pˇriˇcten´ı n´ asobku jiného ˇr´ adku k vybranému ˇrádku, 3. n´ asoben´ı ˇr´ adku ˇc´ıslem α 6= 0. Tyto u ´pravy budeme prov´ adˇet s c´ılem dostat rozˇs´ıˇrenou matici soustavy do tzv. horn´ıho stupˇ novitého tvaru. Definice 4. Matice A o m ˇra ´dc´ıch a n + 1 sloupc´ıch s prvky aij , i ∈ m, b j ∈ n[ + 1, je v horn´ım [ stupˇ novit´ em tvaru, pokud existuje ` ∈ n + 1 a indexy k1 , k2 , . . . , k` takové, ˇze 1 ≤ k1 < k2 < · · · < k` ≤ n + 1 a plat´ı pro kaˇzdé i ∈ `b 1. aiki 6= 0, 2. aij = 0 pro j < ki , 3. aij = 0 pro i > `, j ∈ n[ + 1. Matice v horn´ım stupˇ novitém tvaru má tedy tyto vlastnosti: V prvn´ım ˇrádku je prvn´ı nenulov´ y prvek ve sloupci k1 , ve druhém ˇr´ adku ve sloupci k2 , aˇz v `-tém ˇrádku ve sloupci k` . Od (` + 1)-n´ıho ˇr´ adku poˇc´ınaje jsou vˇsechny ˇr´ adky nulové. Soustava s rozˇs´ıˇrenou matic´ı v horn´ım stupˇ novitém tvaru má tedy tvar: a1k1 xk1

+

...

+ a1k2 xk2 a2k2 xk2

+ ... + ... .. .

+ a1k` xk` + a2k` xk` .. .

+ +

a`k` xk`

+

... ... .. .

+ a1n xn + a1n xn .. .

= =

...

+

=

a`n xn

a1(n+1) a2(n+1) .. .

.

a`(n+1)

Sloupce rozˇs´ıˇrené matice soustavy s indexy k1 , k2 , . . . , k` naz´ yváme hlavn´ı sloupce, ostatn´ı sloupce naz´ yv´ ame vedlejˇ s´ı. Z posledn´ı soustavy snadno vyˇcteme odpovˇed’ na ˇreˇsené problémy. 1. Soustava je ˇ reˇ siteln´ a, pr´ avˇ e kdyˇ z sloupec prav´ ych stran je vedlejˇ s´ı. Je zˇrejmé, ˇze kdyˇz je sloupec prav´ ych stran hlavn´ı, tj. kl = n + 1, má posledn´ı rovnice tvar 0 = al(n+1) , tedy nula m´ a b´ yt rovna nenulovému ˇc´ıslu, coˇz nen´ı moˇzné. To, ˇze soustava ˇreˇsiteln´ a je, kdyˇz je sloupec prav´ ych stran vedlejˇs´ı, vyplyne z následuj´ıc´ıho tvrzen´ı.

9

2. Je-li sloupec prav´ ych stran vedlejˇs´ı, ˇ reˇ sen´ı soustavy nalezneme tak, ˇ ze nezn´ am´ e odpov´ıdaj´ıc´ı vedlejˇ s´ım sloupc˚ um zvol´ıme libovolnˇ e a zbyl´ e nezn´ am´ e jednoznaˇ cnˇ e dopoˇ c´ıt´ ame. Je jasnˇe vidˇet, ˇze pokud jsou neznámé odpov´ıdaj´ıc´ı vedlejˇs´ım sloupc˚ um zvoleny, dopoˇc´ıtáme z posledn´ı rovnice xk` , po dosazen´ı do pˇredposledn´ı rovnice dopoˇc´ıtáme xk`−1 atd. Pozn´ amka 20. Nen´ı tˇeˇzké ovˇeˇrit, ˇze plat´ı n´ asleduj´ıc´ı tvrzen´ı. Soustava m´ a jedin´ e ˇ reˇ sen´ı, pr´ avˇ e kdyˇ z m´ a matice soustavy jen sam´ e hlavn´ı sloupce a sloupec prav´ ych stran je vedlejˇ s´ı. Kdyˇz totiˇz neexistuj´ı vedlejˇs´ı sloupce, nelze ˇz´ adné nezn´ amé volit. D˚ usledkem pak je, ˇze homogenn´ı soustava m´ a jen trivi´ aln´ı ˇreˇsen´ı, pr´ avˇe kdyˇz m´ a matice soustavy jen hlavn´ı sloupce. Pokud m´ a matice homogenn´ı soustavy i vedlejˇs´ı sloupce, pak pˇri hled´ an´ı netrivi´ aln´ıho ˇreˇsen´ı je tˇreba zvolit alespoˇ n jednu nezn´ amou odpov´ıdaj´ıc´ı vedlejˇs´ımu sloupci nenulovou. Zb´ yv´ a zodpovˇedˇet ot´ azku: Lze kaˇ zdou rozˇ s´ıˇ renou matici soustavy pˇ rev´ est ekvivalentn´ımi ˇ r´ adkov´ ymi u ´ pravami do horn´ıho stupˇ novit´ eho tvaru? Ano! Dokonce staˇc´ı 1. a 2. ekvivalentn´ı ˇr´ adkov´ au ´prava. Napˇr´ıklad následuj´ıc´ım algoritmem: • Prohled´ ame prvn´ı sloupec matice a nalezneme nenulov´ y prvek. Odpov´ıdaj´ıc´ı ˇrádek zamˇen´ıme s prvn´ım ˇr´ adkem. Nen´ı-li v prvn´ım sloupci nenulov´ y prvek, postupujeme stejnˇe s druh´ ym sloupcem. Oznaˇc´ıme k1 index prvn´ıho sloupce, ve kterém najdeme nenulové ˇc´ıslo. Od 2. ˇr´ adku poˇc´ınaje odeˇcteme takové násobky prvn´ıho ˇrádku, abychom ve sloupci s indexem k1 dostali nuly. • Prohled´ av´ ame dalˇs´ı sloupce, které jsou na ˇradˇe, vˇzdy od druhého ˇrádku poˇc´ınaje. Index prvn´ıho sloupce, v nˇemˇz najdeme nenulov´ y prvek, oznaˇc´ıme k2 . Odpov´ıdaj´ıc´ı ˇrádek zamˇen´ıme s druh´ ym ˇr´ adkem. Od tˇret´ıho a dalˇs´ıch ˇrádk˚ u odeˇc´ıtáme takové násobky druhého ˇrádku, abychom vyrobili od tˇret´ıho ˇr´ adku poˇc´ınaje ve sloupci s indexem k2 samé nuly. • Takto postupujeme tak dlouho, dokud jsou v prohledávan´ ych sloupc´ıch na potˇrebn´ ych m´ıstech nenulové prvky. Pˇ r´ıklad 6. Zjistˇete, zda je n´ asleduj´ıc´ı soustava ˇreˇsiteln´ a. Pokud ano, najdˇete jedno ˇreˇsen´ı. x1 −4x1 x1 ˇ sen´ı: Odpov´ıdaj´ıc´ı rozˇs´ıˇrenou Reˇ  1 3  −4 −2 1 3

+ 3x2 − 2x2 + 3x2

+

5x3

− − +

2x4 9x4 x4

matici soustavy uprav´ıme   0 −2 1 1 3 5 −9 0  ∼  0 10 0 1 0 0 0

= 1 = 0 . = 0

do horn´ıho stupˇ novitého tvaru:  0 −2 1 5 −17 4 . 0 3 −1

ˇ sen´ı najdeme volbou nezn´ Soustava je ˇreˇsiteln´ a, protoˇze sloupec pravých stran je vedlejˇs´ı. Reˇ amé v jediném vedlejˇs´ım sloupci, kterým je tˇret´ı sloupec. Zvol´ıme tˇreba x3 = 0. Zbylé nezn´ amé dopoˇc´ıt´ ame ze soustavy odpov´ıdaj´ıc´ı matici v horn´ım stupˇ novitém tvaru x1

+

3x2 10x2

+

5x3

− 2x4 − 17x4 3x4

= 1 = 4 . = −1 

 5   ˇ sen´ım je tedy napˇr. ~x = 1  −1 . Dost´ av´ ame x4 = −1/3, x2 = −1/6, x1 = 5/6. Reˇ 6  0  −2

10

3

Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost, b´ aze a dimenze, souˇ radnice

Definice 5. Necht’ V je vektorový prostor nad tˇelesem T . Necht’ n ∈ N a ~x1 , ~x2 , . . . , ~xn jsou vektory z V . Uspoˇr´ adanou n-tici cet souboru Pn (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) nazveme n-ˇclenným souborem. Souˇ (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) znaˇc´ıme i=1 ~xi a definujeme n X

~xi =

((~x1 + ~x2 ) + ~x3 ) + ~x4 + · · · + ~xn .

i=1

Pozn´ amka 21. Ujasnˇete si ˇr´ adnˇe rozd´ıl mezi pojmy soubor vektor˚ u (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ), coˇz je uspoˇr´ adan´ a n-tice vektor˚ u (ˇcleny souboru se mohou opakovat a z´ aleˇz´ı na jejich poˇrad´ı), a mnoˇzina vektor˚ u {~x1 , ~x2 , . . . , ~xn }, kde se prvky neopakuj´ı a nez´ aleˇz´ı na jejich poˇrad´ı. Pˇ r´ıklad 7. Uvaˇzujme prostor R2 , pak 1 1 1 1 1 1 1 1. ( , , ) 6= ( , )= 6 ( , ). −1 −1 1 −1 1 1 −1 1 1 1 1 1 1 1 2. , , = , = , . −1 −1 1 −1 1 1 −1 ’ Pozn´ amka u Pn22. Necht V je vektorový prostor nad tˇelesem T a (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je soubor vektor˚ z V . Pak i=1 ~xi je opˇet vektorem z V . To plyne z faktu, ˇze s vektory provedeme koneˇcný poˇcet sˇc´ıt´ an´ı, pˇriˇcemˇz kaˇzdý mezisouˇcet je z V , tedy i výsledek je z V . Vˇ eta 2 (Vlastnosti souˇctu souboru). Necht’ n ∈ N, n ≥ 2 a (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) a (~y1 , ~y2 , . . . , ~yn ) jsou soubory vektor˚ u z vektorového prostoru V nad tˇelesem T . Pak Pn Pk Pn 1. pro kaˇzdé k ∈ n[ − 1 plat´ı i=1 ~xi = i=1 ~xi + i=k+1 ~xi (zobecnˇ en´ y asociativn´ı z´ akon pro ⊕), Slovy: v souˇctu souboru nez´ aleˇz´ı na uz´ avorkov´ an´ı“. ” Pn Pn 2. pro kaˇzdou permutaci (k1 , k2 , . . . , kn ) mnoˇziny n ˆ plat´ı xi = xki (zobecnˇ en´ y i=1 ~ i=1 ~ komutativn´ı z´ akon pro ⊕), Slovy: v souˇctu souboru nez´ aleˇz´ı na poˇrad´ı vektor˚ u“. ” Pn Pn 3. pro kaˇzdé α ∈ T plat´ı α i=1 ~xi = i=1 α~xi (zobecnˇ en´ y distributivn´ı z´ akon pro vzhledem ke sˇ c´ıt´ an´ı vektor˚ u), Pn Pn Pn 4. xi + i=1 ~yi = i=1 (~xi + ~yi ). i=1 ~ D˚ ukaz. Lze provést matematickou indukc´ı. Nen´ı tˇeˇzk´ y, ale technick´ y. Proto jej vynecháváme. Zkuste sami, zda byste umˇeli d˚ ukaz provést. Definice 6. Necht’ V je vektorový prostor nad tˇelesem T a (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je soubor vektor˚ u z V. ˇ ık´ R´ ame, ˇze vektor ~x je line´ arn´ı kombinac´ı (LK) souboru (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ), pokud existuj´ı ˇc´ısla α1 , α2 , . . . , αn ∈ T takov´ a, ˇze n X ~x = αi ~xi . i=1

ˇ ısla αi , i ∈ n C´ ˆ , nazýv´ ame koeficienty LK. 1. Jestliˇze αi = 0 pro vˇsechna i ∈ n ˆ , nazýv´ ame takovou LK trivi´ aln´ı. 2. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe (tj. kdyˇz existuje index i0 ∈ n ˆ tak, ˇze αi0 6= 0) jde o netrivi´ aln´ı LK.

11

Pozn´ amka 23. Necht’ V je vektorový prostor nad tˇelesem T a (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je soubor vektor˚ u z V . Pak libovoln´ a LK (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je opˇet vektorem z V (definice LK m´ a tedy dobrý smysl). To plyne z faktu, ˇze kaˇzdý sˇc´ıtanec αi ~xi je souˇcinem ˇc´ısla a vektoru, tedy vektorem z V , a souˇcet souboru je z V podle Pozn´ amky 22. Pozn´ amka 24. Nˇekdy uˇzijeme slovn´ıho spojen´ı vektor ~x je LK vektor˚ u ~x1 , ~x2 , . . . , ~xn“ m´ısto ” vektor ~x je LK souboru (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn )“. Obˇe vyj´ adˇren´ı maj´ı stejný význam. ” Pozn´ amka 25. Rozmyslete si, ˇze výsledkem trivi´ aln´ı LK je nulový vektor. Definice 7. Necht’ V je vektorový prostor nad tˇelesem T a (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je soubor vektor˚ u z V . Mnoˇzinu vˇsech LK souboru (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) nazveme line´ arn´ım obalem (LO) souboru (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) a znaˇc´ıme ji [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ , tj. ) ( n X ˆ je αi ∈ T . αi ~xi pro kaˇzdé i ∈ n [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ = i=1

Vektory ~x1 , ~x2 , . . . , ~xn nazýv´ ame gener´ atory LO. Vˇ eta 3 (Vlastnosti LO). Necht’ V je vektorový prostor nad tˇelesem T a ~x1 , ~x2 , . . . , ~xn , ~xn+1 jsou vektory z V . Pak plat´ı: 1. ~0 ∈ [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ . 2. Jestliˇze (k1 , k2 , . . . , kn ) je permutace mnoˇziny n ˆ , pak plat´ı [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ = [~xk1 , ~xk2 , . . . , ~xkn ]λ . Slovy: LO nez´ avis´ı na poˇrad´ı gener´ ator˚ u“. ” 3. Pokud ~xn+1 ∈ [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ , pak plat´ı [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ = [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn , ~xn+1 ]λ . Slovy: gener´ ator, který je LK ostatn´ıch gener´ ator˚ u, lze z LO vyhodit a také do LO pˇrihodit, ” aniˇz by se LO zmˇenil“. 4. Je-li ~x, ~y ∈ [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ , potom ~x + ~y ∈ [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ . Slovy: LO je uzavˇrený na sˇc´ıt´ an´ı vektor˚ u“. ” 5. Je-li α ∈ T a ~x ∈ [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ , potom α~x ∈ [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ . Slovy: LO je uzavˇrený na n´ asoben´ı vektoru ˇc´ıslem z T“. ” 6. [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ tvoˇr´ı vektorový prostor nad tˇelesem T pˇri zachov´ an´ı operac´ı z V . Pn D˚ ukaz. 1. Vypl´ yv´ a z rovnosti ~0 = i=1 0~xi . 2. Tvrzen´ı plyne z rovnosti n X

αi ~xi =

i=1

n X

αki ~xki ,

i=1

kter´ a je d˚ usledkem zobecnˇeného komutativn´ıho zákona. 3. Rovnost dvou mnoˇzin se v matematice obvykle dokazuje tak, ˇze se dokáˇz´ı dvˇe inkluze. Budeme postupovat také tak. (a) Dok´ aˇzeme nejprve, ˇze [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ ⊂ [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn , ~xn+1 ]λ , tj. pro libovoln´ y vektor ~x ∈ [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ uk´ aˇzeme, ˇze ~x ∈ [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn , ~xn+1 ]λ . Necht’ ~x ∈ [~ x , ~ x , . . . , ~xn ]λ , 1 2 Pn pak podle definice LO existuj´ ı ˇ c ´ ısla α , . . . , α ∈ T takov´ a , ˇ z e ~ x = α ~ x . Potom 1 n i i i=1 Pn ale také plat´ı, ˇze ~x = xi + 0~xn+1 , a to opˇet podle definice LO znamená, ˇze i=1 αi ~ ~x ∈ [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn , ~xn+1 ]λ .

12

(b) Zb´ yv´ a dok´ azat, ˇze [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn , ~xn+1 ]λ ⊂ [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ , tj. pro libovoln´ y vektor ~x ∈ [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn , ~xn+1 ]λ uk´ aˇzeme, ˇze ~x ∈ [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ . Necht’ ~x ∈ [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn+1 ]λ , Pn+1 pak podle definice LO existuj´ı ˇc´ısla α1 , . . . , αn+1 ∈ T taková, ˇze ~x = xi . i=1 αi ~ Upravme rovnost n´ asledovnˇe ~x =

n X

αi ~xi + αn+1 ~xn+1 .

(2)

i=1

Teprve nyn´ı vyuˇzijeme pˇredpoklad, ˇze ~xn+1 ∈ [~x1 , ~x2 , . . . , P ~xn ]λ . To podle definice LO n znamen´ a, ˇze existuj´ı ˇc´ısla β1 , . . . , βn ∈ T taková, ˇze ~xn+1 = i=1 βi ~xi . Odtud uprav´ıme rovnost (2) n´ asledovnˇe ~x =

n X

αi ~xi + αn+1

i=1

n X

βi ~xi =

i=1

n X (αi + αn+1 βi )~xi . i=1

V posledn´ı u ´pravˇe jsme vyuˇzili Vˇetu 2 o vlastnostech souˇctu souboru a axiomy vektorového prostoru. Podle definice LO vid´ıme, ˇze ~x ∈ [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ . (c) Je-li ~x, ~y ∈ [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ , pak existuj´ı ˇc´ısla α1 , . . . , αn ∈ T a β1 , . . . , βn ∈ T taková, ˇze n n X X βi ~xi . αi ~xi a ~y = ~x = i=1

i=1

Odtud dost´ av´ ame d´ıky Vˇetˇe 2 o vlastnostech souˇctu souboru a axiom˚ um vektorového prostoru, ˇze n X (αi + βi )~xi , ~x + ~y = i=1

coˇz podle definice LO znamená, ˇze ~x + ~y ∈ [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ . (d) Je-li α ∈ T a ~x ∈ [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ , pak existuj´ı ˇc´ısla α1 , . . . , αn ∈ T taková, ˇze ~x =

n X

αi ~xi .

i=1

Pak plat´ı d´ıky Vˇetˇe 2 o vlastnostech souˇctu souboru a axiom˚ um vektorového prostoru, ˇze n X α~x = (ααi )~xi , i=1

coˇz podle definice LO znamená, ˇze α~x ∈ [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ . (e) Z pˇredchoz´ıch dvou bod˚ u v´ıme, ˇze LO je uzavˇren´ y na sˇc´ıtán´ı vektor˚ u a násoben´ı vektoru ˇc´ıslem z T pˇri zachov´ an´ı operac´ı z V . Zb´ yvá ovˇeˇrit platnost 8 axiom˚ u vektorového prostoru. • Jelikoˇz V je vektorov´ y prostor, je jasné, ˇze ~0 ∈ V splˇ nuje pro kaˇzd´ y ~x ∈ [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ ⊂ V rovnost ~x + ~0 = ~x. A jelikoˇz podle 1. vlastnosti LO patˇr´ı ~0 do [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ , dokázali jsme t´ım platnost 3. axiomu o existenci nulového vektoru v [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ . • Jelikoˇz V je vektorov´ y prostor, je jasné, ˇze pro kaˇzd´ y ~x ∈ [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ ⊂ V leˇz´ı ve V i −~x splˇ nuj´ıc´ı rovnost ~x + (−~x) = ~0. A jelikoˇz podle Vˇety 1 plat´ı, ˇze −~x = (−1)~x, a podle 5. vlastnosti LO (uzavˇrenost LO na n´ asoben´ı ˇc´ıslem z T ) patˇr´ı (−1)~x do [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ , dokázali jsme t´ım platnost 4. axiomu o existenci opaˇcného vektoru ke kaˇzdému vektoru z [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ . 13

• Vˇsechny ostatn´ı axiomy jsou splnˇeny pro vˇsechny vektory z V , t´ım sp´ıˇse jsou splnˇeny pro vˇsechny vektory z [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ ⊂ V . Pˇ r´ıklad 8. Rozmyslete si, jak vypadaj´ı LO v R2 . 1. [( 00 )]λ je jediný bod ( 00 ). 2. [~x]λ , kde ~x 6= ~0, je pˇr´ımka. Obsahuje totiˇz pr´ avˇe vˇsechny moˇzné re´ alné n´ asobky vektoru ~x. 3. [~x, ~y ]λ , kde ~x a ~y neleˇz´ı v jedné pˇr´ımce, je cel´ a rovina R2 . K d˚ ukazu, ˇze kaˇzdý vektor z R2 2 lze ps´ at jako LK (~x, ~y ), pouˇzijte vizualizaci R pomoc´ı ˇsipek.

Obr´ azek 2: Uk´ azka, jak r˚ uzné vektory z R2 (vyznaˇceny modˇre) z´ıskáváme jako LK (~x, ~y ) (vyznaˇceny ˇcervenˇe).

3.1

Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost

Definice 8. Necht’ (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je soubor vektor˚ u z vektorového prostoru V nad tˇelesem T . ˇ Rekneme, ˇze soubor je 1. line´ arnˇ e nez´ avisl´ y (LN), pokud (∀α1 , . . . , αn ∈ T ) (

!

n X

αi ~xi = ~0) ⇒ (∀i ∈ n ˆ )(αi = 0) ,

i=1

slovy: jedinˇe trivi´ aln´ı LK kombinace souboru d´ av´ a nulový vektor“, ” 2. line´ arnˇ e z´ avisl´ y (LZ) v opaˇcném pˇr´ıpadˇe, tj. pokud plat´ı negace pˇredchoz´ıho výroku ! n X ~ (∃α1 , . . . , αn ∈ T ) ( αi ~xi = 0) ∧ (∃i ∈ n ˆ )(αi 6= 0) , i=1

slovy: existuje netrivi´ aln´ı LK souboru rovn´ a nulovému vektoru“. ” Vˇ eta 4 (Vlastnosti LN a LZ soubor˚ u). Necht’ V je vektorový prostor nad tˇelesem T a ~x1 , ~x2 , . . . , ~xn jsou vektory z V . Pak plat´ı: 1. (~x1 ) je LZ ⇔ ~x1 = ~0. 2. Pokud soubor (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) obsahuje ~0, pak je LZ. 3. (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je LZ ⇔ (~xk1 , ~xk2 , . . . , ~xkn ) je LZ, kde (k1 , . . . , kn ) je libovoln´ a permutace n ˆ. Slovy: LZ souboru nez´ avis´ı na poˇrad´ı vektor˚ u v souboru“. ” 4. Pokud (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je LN, pak pro kaˇzdé k ∈ n ˆ plat´ı (~x1 , ~x2 , . . . , ~xk ) je LN. Slovy: vyhod´ıme-li z LN souboru vektory, z˚ ustane LN“. ” 14

5. Je-li (~x1 , ~x2 , . . . , ~xk ) LZ pro nˇejaké k ∈ n ˆ , pak (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je LZ. Slovy: pˇrid´ ame-li do LZ souboru vektory, z˚ ustane LZ“. ” 6. Alternativn´ı definice LZ“ ” Necht’ n ≥ 2. (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je LZ ⇔ (∃i0 ∈ n ˆ )(~xi0 ∈ [~x1 , . . . , ~xi0 −1 , ~xi0 +1 . . . , ~xn ]λ ). Slovy: v alespoˇ n 2-prvkovém LZ souboru existuje vektor, který je LK ostatn´ıch“. ” 7. Alternativn´ı definice LZ“ ” (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je LZ ⇔ ~x1 = ~0 nebo (∃i0 ∈ {2, . . . , n})(~xi0 ∈ [~x1 , . . . , ~xi0 −1 ]λ ). Slovy: v LZ souboru je prvn´ı vektor nulový nebo existuje vektor, který je LK pˇredchoz´ıch“. ” D˚ ukaz. 1. Ukazujeme ekvivalenci, tedy dvˇe implikace. (⇒) : Pˇredpokl´ ad´ ame, ˇze (~x1 ) je LZ. Podle definice existuje α ∈ T, α 6= 0, takové, ˇze α~x1 = ~0. Podle Vˇety 1 pak m´ ame ~x1 = ~0. (⇐) : Pˇredpokl´ ad´ ame, ˇze ~x1 = ~0. Potom 1~x1 = ~0, coˇz je netriviáln´ı LK (~x1 ) rovná ~0, proto podle definice je (~x1 ) LZ. 2. Necht’ ~xi = ~0 pro nˇejaké i ∈ n ˆ , pak tvrzen´ı plyne z rovnosti ~0 = 0~x1 + · · · + 1~xi + · · · + 0~xn , tedy z faktu, ˇze ~0 dostaneme jako netriviáln´ı LK souboru (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ), kde v LK jsou vˇsechny koeficienty kromˇe i-tého rovny 0 a i-t´ y klademe roven 1, a tedy soubor je LZ. 3. Tvrzen´ı plyne z rovnosti n X

αi ~xi =

i=1

n X

αki ~xki ,

i=1

kter´ a je d˚ usledkem zobecnˇeného komutativn´ıho zákona. Jakmile je na jedné stranˇe netriviáln´ı LK d´ avaj´ıc´ı ~0, pak i na druhé stranˇe je netriviáln´ı LK dávaj´ıc´ı ~0. 4. Dokaˇzme tvrzen´ı sporem. Necht’ (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je LN a zároveˇ n (~x1 , ~x2 , . . . , ~xk ) je LZ pro nˇ e jak´ e k ∈ n ˆ . Pak existuj´ ı ˇ c ´ ısla α , . . . , α ∈ T alespoˇ n jedno nenulové taková, ˇze ~0 = 1 k Pk P Pn k ~ α ~ x . Pak ale tak´ e plat´ ı 0 = α ~ x + 0~ x , coˇ z je netriviáln´ı LK souboru i i=1 i i i=1 i i i=k+1 ~ (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) d´ avaj´ıc´ı 0, a tedy máme spor s LN (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ). 5. Toto tvrzen´ı plyne z pˇredchoz´ıho uˇzit´ım faktu, ˇze kdyˇz plat´ı implikace A ⇒ B, tak plat´ı také implikace eB ⇒eA. 6. Dokazujeme ekvivalenci, tedy dvˇe implikace. (⇒) : Pˇredpokl´ ad´ ame, ˇze (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je LZ, tedy podle definice existuj´ Pn ı ˇc´ısla α1 , . . . , αn ∈ T takov´ a, ˇze alespoˇ n jedno z nich je nenulov´ e (oznaˇ c me je α ) a xi = ~0. Odtud i 0 i=1 αi ~ Pn dostaneme αi0 ~xi0 = − i=1,i6=i0 αi ~xi . A na závˇer máme ~xi0 =

n X

(−αi /αi0 )~xi .

i=1,i6=i0

Tedy podle definice LO dost´ av´ ame ~xi0 ∈ [~x1 , . . . , ~xi0 −1 , ~xi0 +1 , . . . , ~xn ]λ . (⇐) : Pˇredpokl´ adejme, ˇze ~xi0 ∈ [~x1 , . . . , ~xi0 −1 , ~xi0 +1 , . . . , ~xn ]λ . Podle definice LO existuj´ı ˇc´ısla α1 , . . . , αi0 −1 , αi0 +1 , . . . , αn ∈ T taková, ˇze n X

~xi0 =

αi ~xi .

i=1,i6=i0

Pn Odtud dost´ av´ ame i=1,i6=i0 (−αi )~xi + 1~xi0 = ~0, coˇz je netriviáln´ı LK (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) rovná ~0, proto (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je LZ. 15

7. Opˇet dokazujeme dvˇe implikace. (⇒) : Necht’ (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je LZ, pak samozˇrejmˇe ~x1 m˚ uˇze b´ yt nulov´ y. Oˇsetˇreme jeˇstˇe ~ pˇ r ´ ıpad, kdy ~ x = 6 0. Pak z definice LZ plyne, ˇ z e existuj´ ı ˇ c ´ ısla α , . . . , α a, ˇze 1 1 n ∈ T takov´ Pn ~ α ~ x = 0 a alespoˇ n jedno z ˇ c ´ ısel je nenulov´ e . Oznaˇ c me i = max{i ∈ n ˆ α = 6 0}. 0 i i=1 i i Mnoˇzina vpravo je nepr´ azdn´ a, protoˇze aspoˇ n jedno z ˇc´ısel αi je nenulové. Nav´ıc i0 ≥ 2. ~ Kdyby totiˇz i0 = 1, pak by α1 ~xP z je spor z ~x1 6= ~0, ˇze 1 = 0, coˇ Pi0 s Vˇetou 1, podle které plyneP i0 −1 n αi ~xi . Dále máme αi0 ~xi0 = i=1 αi ~xi a α1 = 0. Odtud dost´ av´ ame ~0 = i=1 αi ~xi = i=1 Pi0 −1 na z´ avˇer ~xi0 = i=1 (−αi /αi0 )~xi . Coˇz podle definice LO znamená, ˇze ~xi0 ∈ [~x1 , . . . , ~xi0 −1 ]λ . (⇐) : Necht’ ~x1 = ~0, pak podle 2. vlastnosti této vˇety je soubor (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) LZ. Druhá Pi0 −1 Pi0 −1 moˇznost je,Pˇze ~x1 6= ~0 a ~xi0 = i=1 αi ~xi pro nˇejaké i0 ≥ 2. Pak plat´ı ~0 = i=1 αi ~xi + n (−1)~xi0 + i=i0 +1 0~xi , coˇz je netriviáln´ı LK souboru (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ), kter´ y je tedy LZ. Pˇ r´ıklad 9. Rozmyslete si, ˇze soubor dvou vektor˚ u (~x, ~y ) je LZ ⇔ (∃α ∈ T )(~x = α~y ∨ ~y = α~x).

3.2

B´ aze a dimenze

Definice 9. Necht’ ~x1 , ~x2 , . . . , ~xn jsou vektory z vektorového prostoru V nad tˇelesem T . Necht’ V = [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ . Pak ˇr´ık´ ame, ˇze (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je soubor gener´ ator˚ u (generuj´ıc´ı soubor) V . ˇ ık´ R´ ame, ˇze (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) generuje V . Pozn´ amka 26. V pˇr´ıpadˇe LO uˇz jsme gener´ atory zav´ adˇeli, nazývali jsme tak pro LO [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ vektory ~x1 , ~x2 , . . . , ~xn . Nyn´ı vid´ıme, ˇze ch´ apeme-li LO jako vektorový prostor, pak jsme v souladu s novou definic´ı. Definice 10. Necht’ n ∈ N. Necht’ V je vektorový prostor nad tˇelesem T a (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) splˇ nuje 2 podm´ınky 1. (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je LN, 2. (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) generuje V . Pak (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) nazveme b´ az´ı V . Pozn´ amka 27. V = {~0} b´ azi nem´ a, protoˇze v nˇem neexistuje LN soubor. Pˇ r´ıklad 10. Rozhodnˇete o LN ˇci LZ souboru (~x1 , ~x2 , ~x3 , ~x4 ) z R4 . 1.



  1 0  1   0   ~x1 =   0  , ~x2 =  1 0 1





  0 1   1   0  , ~x3 =   , ~x4 =    0   1 1 1

  . 

ˇ sen´ı: Zjiˇst’ujeme, zda rovnice α1 ~x1 + α2 ~x2 + α3 ~x3 + α4 ~x4 = ~0 m´ Reˇ a jen trivi´ aln´ı ˇreˇsen´ı α1 = α2 = α3 = α4 = 0 (pak je soubor podle definice LN) nebo zda existuje netrivi´ aln´ı ˇreˇsen´ı, tedy alespoˇ n jedno z α1 , α2 , α3 , α4 6= 0 (pak je soubor podle definice LZ). Dost´ av´ ame soustavu 1α1 + 0α2 + 0α3 + 1α4 = 0 1α1 + 0α2 + 1α3 + 0α4 = 0 . 0α1 + 1α2 + 0α3 + 1α4 = 0 0α1 + 1α2 + 1α3 + 1α4 = 0 V maticovém z´ apisu m´ ame homogenn´ı soustavu  1 0 0  1 0 1   0 1 0 0 1 1 16

s matic´ı  1 0  . 1  1

Uprav´ıme  1 0  0 0   0 1 0 1

ji ekvivalentn´ımi ˇr´ adkovými u ´pravami do     1 1 0 0 1 0 1   1  1 −1  ∼ 0 ∼ 0 1 0 1   0 0 1   0 1 1 0 0 0 1 −1 1 1

horn´ıho stupˇ novitého tvaru   1 0 0 0 0 1  1 0 1  ∼ 0 1 0 0 1 0   0 0 1 0 0 0 0 1 −1

 1 1  . 0  −1

Vid´ıme, ˇze matice v horn´ım stupˇ novitém tvaru m´ a samé hlavn´ı sloupce. Z kapitoly Z´ akladn´ı informace o ˇreˇsen´ı soustav line´ arn´ıch algebraických rovnic pak v´ıme, ˇze v takovém pˇr´ıpadˇe existuje jen trivi´ aln´ı ˇreˇsen´ı α1 = α2 = α3 = α4 = 0. To jest, dok´ azali jsme, ˇze soubor (~x1 , ~x2 , ~x3 , ~x4 ) je LN. 2.

  0 1  0  1    ~x1 =   0  , ~x2 =  1 1 0 

  0 1  2  −1      , ~x3 =   1  , ~x4 =  0  1 0 



  . 

ˇ sen´ı: Zjiˇst’ujeme, zda rovnice α1 ~x1 + α2 ~x2 + α3 ~x3 + α4 ~x4 = ~0 m´ Reˇ a jen trivi´ aln´ı ˇreˇsen´ı α1 = α2 = α3 = α4 = 0 (pak je soubor podle definice LN) nebo zda existuje netrivi´ aln´ı ˇreˇsen´ı, tedy alespoˇ n jedno z α1 , α2 , α3 , α4 6= 0 (pak je soubor podle definice LZ). Dost´ av´ ame soustavu 1α1 + 0α2 + 1α3 + 0α4 = 0 1α1 + 0α2 − 1α3 + 2α4 = 0 . 0α1 + 1α2 + 1α3 + 0α4 = 0 0α1 + 1α2 + 0α3 + 1α4 = 0 V maticovém z´ apisu m´ ame homogenn´ı soustavu s  1 0 1  1 0 −1   0 1 1 0 1 0 Uprav´ıme ji ekvivalentn´ımi ˇr´ adkovými    1 0 1 0 1 0 1  0 0 −2 2   0 1 1  ∼  0 1 1 0   0 1 0 0 1 0 1 0 0 −2

matic´ı  0 2  . 0  1

u ´pravami do   0 1  0 0  ∼ 1   0 2 0

horn´ıho stupˇ novitého tvaru   0 1 0 1 0 1 0  0 1 1 1 0  1 0 ∼ 0 −1 1   0 0 −1 1 0 −2 2 0 0 0 0

  . 

Vid´ıme, ˇze matice v horn´ım stupˇ novitém tvaru m´ a posledn´ı sloupec vedlejˇs´ı. Z kapitoly Z´ akladn´ı informace o ˇreˇsen´ı soustav line´ arn´ıch algebraických rovnic pak v´ıme, ˇze netrivi´ aln´ı ˇreˇsen´ı z´ısk´ ame, kdyˇz za nezn´ amou odpov´ıdaj´ıc´ı vedlejˇs´ımu sloupci zvol´ıme nenulové ˇc´ıslo, napˇr´ıklad α4 = 1, a ostatn´ı nezn´ amé dopoˇc´ıt´ ame. Dost´ av´ ame α3 = 1, α2 = −1, α1 = −1. To jest, zjistili jsme, ˇze (−1)~x1 + (−1)~x2 + ~x3 + ~x4 = ~0. Tedy m´ ame netrivi´ aln´ı LK souboru (~x1 , ~x2 , ~x3 , ~x4 ) rovnou ~0, coˇz znamen´ a, ˇze soubor je LZ. Ze vztahu (−1)~x1 +(−1)~x2 +~x3 +~x4 = ~0 d´ ale vid´ıme, ˇze ~x4 = ~x1 + ~x2 − ~x3 , tedy podle 3. vlastnosti LO m´ ame [~x1 , ~x2 , ~x3 , ~x4 ]λ = [~x1 , ~x2 , ~x3 ]λ . Oznaˇcme V = [~x1 , ~x2 , ~x3 , ~x4 ]λ (z teorie v´ıme, ˇze jde o vektorový prostor). Jelikoˇz z matice soustavy výˇse uvedené, vyˇskrtneme-li posledn´ı sloupec, vid´ıme, ˇze po ekvivalentn´ıch ˇr´ adkových u ´prav´ ach z˚ ustanou v matici v horn´ım stupˇ novitém tvaru pouze hlavn´ı sloupce, zjiˇst’ujeme, ˇze (~x1 , ~x2 , ~x3 ) je LN generuj´ıc´ı soubor V , je to tedy b´ aze. Dalˇs´ım d˚ uleˇzit´ ym pojmem je dimenze, která (jak uvid´ıme zanedlouho) s báz´ı u ´zce souvis´ı. Definice 11. Necht’ V 6= {~0} je vektorový prostor nad tˇelesem T . Necht’ existuje n ∈ N takové, ˇze jsou splnˇeny 2 podm´ınky 17

1. ve V existuje n-ˇclenný LN soubor, 2. kaˇzdý (n + 1)-ˇclenný soubor z V je LZ, pak ˇr´ık´ ame, ˇze dimenze V je koneˇcn´ a a rovna n a p´ıˇseme dim V = n. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe ˇr´ık´ ame, ˇze dimenze V je nekoneˇcn´ a a p´ıˇseme dim V = +∞. Pro nulový vektorový prostor klademe dim V = 0. Pozn´ amka 28. Rozeberme si, kdy je dim V = +∞, tj. kdy V nem´ a koneˇcnou dimenzi. Opaˇcný pˇr´ıpad ve výˇse uvedené definici znamen´ a negaci výroku, tedy: Pro kaˇzdé n ∈ N je bud’ kaˇzdý nˇclenný soubor ve V LZ, nebo existuje (n + 1)-ˇclenný LN soubor. Jelikoˇz V 6= {~0}, je jasné, ˇze ne kaˇzdý 1-ˇclenný soubor je LZ, potom ale, m´ a-li negace výroku platit, dost´ av´ ame, ˇze existuje 2-ˇclenný LN soubor ve V . Poté protoˇze ne kaˇzdý 2-ˇclenný soubor je LZ, dost´ av´ ame, ˇze existuje 3-ˇclenný LN soubor atd. Neboli nekoneˇcn´ a dimenze znamen´ a, ˇze ve V existuje pro kaˇzdé n ∈ N n-ˇclenný LN soubor.       0 0 1       1 0     0  am Pˇ r´ıklad 11. Uvaˇzujme prostor R4 . Necht’ V = [  0  ,  0  ,  1 ]λ . V je LO, tedy je s´ 0 0  0    0 0 1  0   1   0       az´ı, o sobˇe vektorovým prostorem. Snadno nahlédneme, ˇze (  0  ,  0  ,  1 ) je jeho b´ 0 0 0 protoˇze jde o LN a generuj´ıc´ı soubor. Ve V tedy existuje 3-ˇclenný LN soubor, zat´ım tedy v´ıme, ˇze dim V ≥ 3. Abychom dok´ azali, ˇze dim V = 4, museli bychom ovˇeˇrit, ˇze kaˇzdý 4-ˇclenný soubor z V uˇz je LZ. N´ asleduj´ıc´ı vˇeta n´ am tuto pr´ aci uˇsetˇr´ı. Vˇ eta 5 (Steinitzova vˇeta o v´ ymˇenˇe, 1913). Necht’ (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je LN soubor vektor˚ u z vektorového prostoru V nad tˇelesem T . Necht’ d´ ale soubor (~y1 , ~y2 , . . . , ~ym ) vektor˚ u z V splˇ nuje, ˇze pro kaˇzdé i ∈ n ˆ ~xi ∈ [~y1 , ~y2 , . . . , ~ym ]λ . Pak plat´ı: 1. m ≥ n, 2. existuj´ı vz´ ajemnˇe r˚ uzné indexy i1 , i2 , . . . , in ∈ m ˆ takové, ˇze [~y1 , ~y2 , . . . , ~ym ]λ = [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn , (~yi i ∈ m ˆ − {i1 , i2 , . . . , in })]λ . Pozn´ amka 29. Z 1. bodu Steinitzovy vˇety plyne, ˇze poˇcet ˇclen˚ u LN souboru ve vektorovém prostoru nepˇrekroˇc´ı poˇcet gener´ ator˚ u tohoto prostoru. 2. bod vˇety ˇr´ık´ a, ˇze v LO existuj´ı gener´ atory, které lze nahradit LN vektory (z´ apis na pravé stranˇe tedy znamen´ a, ˇze z LO obalu byly vyhozeny gener´ atory ~yi1 , ~yi2 , . . . , ~yin ), proto vˇeta o výmˇenˇe. Vˇeta ale neˇr´ık´ a, které z gener´ ator˚ u m´ ame vyhodit. D˚ ukaz. Nejprve dok´ aˇzeme 2. bod Steinitzovy vˇety. Dokonce dokáˇzeme jeˇstˇe silnˇejˇs´ı tvrzen´ı: Pro kaˇzdé k ∈ n ˆ existuj´ı vz´ ajemnˇe r˚ uzné indexy i1 , i2 , . . . , ik ∈ m ˆ takové, ˇze [~y1 , ~y2 , . . . , ~ym ]λ = [~x1 , ~x2 , . . . , ~xk , (~yi i ∈ m ˆ − {i1 , i2 , . . . , ik })]λ . Pokud tvrzen´ı dok´ aˇzeme, pak pro volbu k = n jde o 2. bod vˇety. D˚ ukaz provedeme indukc´ı podle k. • Pro k = 1 chceme dok´ azat, ˇze existuje index i1 ∈ m ˆ takov´ y, ˇze [~y1 , ~y2 , . . . , ~ym ]λ = [~x1 , (~yi i∈m ˆ − {i1 })]λ . Z faktu, ˇze ~x1 ∈ [~y1 , ~y2 , . . . , ~ym ]λ plyne 18

1. uˇzit´ım Vˇety 3 o vlastnostech LO, ˇze [~y1 , ~y2 , . . . , ~ym ]λ = [~x1 , ~y1 , ~y2 , . . . , ~ym ]λ ,

(3)

2. uˇzit´ım Vˇety 4 o vlastnostech LN a LZ soubor˚ u, ˇze (~x1 , ~y1 , ~y2 , . . . , ~ym ) je LZ soubor. D´ ale uˇzit´ım Alternativn´ı definice LZ (7. bod Vˇety 4 o vlastnostech LN a LZ soubor˚ u) dostaneme, ˇze nˇekter´ y z y-ov´ ych vektor˚ u je LK pˇredchoz´ıch (vyuˇzili jsme faktu, ˇze ~x1 6= ~0, protoˇze n´ aleˇz´ı LN souboru), tj. existuje index i1 ∈ m ˆ takov´ y, ˇze ~yi1 ∈ [~x1 , ~y1 , . . . , ~yi1 −1 ]λ . Odtud z Vˇety 3 o vlastnostech LO plyne, ˇze ~yi1 lze z [~x1 , ~y1 , ~y2 , . . . , ~ym ]λ vyhodit, aniˇz by se LO zmˇenil, tedy [~x1 , ~y1 , ~y2 , . . . , ~ym ]λ = [~x1 , (~yi i ∈ m ˆ − {i1 })]λ . A na závˇer podle (3) máme [~y1 , ~y2 , . . . , ~ym ]λ = [~x1 , (~yi i ∈ m ˆ − {i1 })]λ . • Necht’ pro 1 ≤ k < n existuj´ı vz´ ajemnˇe r˚ uzné indexy i1 , i2 , . . . , ik ∈ m ˆ takové, ˇze [~y1 , ~y2 , . . . , ~ym ]λ = [~x1 , ~x2 , . . . , ~xk , (~yi i ∈ m ˆ − {i1 , i2 , . . . , ik })]λ . Dok´ aˇzeme, ˇze pak existuje index ik+1 ∈ m ˆ r˚ uzn´ y od pˇredchoz´ıch i1 , . . . , ik takov´ y, ˇze [~y1 , ~y2 , . . . , ~ym ]λ = [~x1 , ~x2 , . . . , ~xk+1 , (~yi i ∈ m ˆ − {i1 , i2 , . . . , ik , ik+1 })]λ . Z faktu, ˇze ~xk+1 ∈ [~y1 , ~y2 , . . . , ~ym ]λ = [~x1 , ~x2 , . . . , ~xk , (~yi i ∈ m ˆ − {i1 , i2 , . . . , ik })]λ plyne 1. uˇzit´ım Vˇety 3 o vlastnostech LO, ˇze [~y1 , ~y2 , . . . , ~ym ]λ = [~x1 , ~x2 , . . . , ~xk , ~xk+1 , (~yi i ∈ m ˆ − {i1 , i2 , . . . , ik })]λ ,

(4)

2. uˇzit´ım Vˇety 4 o vlastnostech LN a LZ soubor˚ u, ˇze (~x1 , ~x2 , . . . , ~xk , ~xk+1 , (~yi i ∈ m ˆ − {i1 , i2 , . . . , ik })) je LZ soubor. D´ ale uˇzit´ım Alternativn´ı definice LZ (7. bod Vˇety 4 o vlastnostech LN a LZ soubor˚ u) dostaneme, ˇze nˇekter´ y z y-ov´ ych vektor˚ u (jeho index oznaˇc´ıme ik+1 ) je LK pˇredchoz´ıch vektor˚ u v souboru (vyuˇzili jsme faktu, ˇze soubor (~x1 , . . . , ~xk+1 ) je LN, a tedy ~x1 6= ~0 a také ˇzádn´ y z vektor˚ u ~xi nen´ı LK pˇredchoz´ıch vektor˚ u ~x 1 , . . . , ~xi−1 ), tj. z Vˇety 3 o vlastnostech LO plyne, ˇze ~yik+1 lze z [~x1 , ~x2 , . . . , ~xk , ~xk+1 , (~yi i ∈ m ˆ − {i1 , i2 , . . . , ik })]λ vyhodit, aniˇ z by se LO zmˇenil. A na z´ avˇer podle (4) máme [~y1 , ~y2 , . . . , ~ym ]λ = [~x1 , . . . , ~xk , ~xk+1 , (~yi i ∈ m ˆ − {i1 , i2 , . . . , ik , ik+1 })]λ . Nyn´ı zb´ yv´ a dok´ azat 1. bod Steinitzovy vˇety, pˇriˇcemˇz 2. bod je jiˇz dokázan´ y, tedy jej m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt. Budeme postupovat sporem. Pˇredpokládejme, ˇze n > m. Pak ale existuj´ı vzájemnˇe r˚ uzné indexy i1 , i2 , . . . , im ∈ m ˆ (coˇz jsou ale tedy nutnˇe vˇsechna ˇc´ısla z mnoˇziny m) ˆ takové, ˇze [~y1 , . . . , ~ym ]λ = [~x1 , . . . , ~xm , (~yi i ∈ m ˆ − {i1 , i2 , . . . , im })]λ = [~x1 , . . . , ~xm ]λ , kde posledn´ı rovnost plyne z faktu, ˇze m ˆ − {i1 , i2 , . . . , im } = ∅. Jelikoˇz je n > m, plyne z pˇredpoklad˚ u vˇety, ˇze ~xm+1 ∈ [~y1 , . . . , ~ym ]λ = [~x1 , . . . , ~xm ]λ , t´ım jsme ale dostali spor s LN souboru (~x1 , . . . , ~xm , ~xm+1 ) podle Alternativn´ı definice LZ (7. bod Vˇety 4 o vlastnostech LN a LZ soubor˚ u).       1 0 0  0   1   0       Pˇ r´ıklad 12. N´ avrat k pˇr´ıkladu v R4 , kde vyˇsetˇrujeme dimenzi V = [  0  ,  0  ,  1 ]λ . 0 0 0 Jiˇz v´ıme, ˇze dim V ≥ 3. Jelikoˇz V m´ a 3-ˇclenný generuj´ıc´ı soubor, Steinitzova vˇeta tvrd´ı, ˇze LN soubory ve V maj´ı maxim´ alnˇe 3 ˇcleny, a tedy kaˇzdý 4-ˇclenný soubor je LZ. To uˇz podle definice dimenze znamen´ a, ˇze dim V = 3. Steinitzova vˇeta umoˇzn ˇuje zavést alternativn´ı definici dimenze, která dává do souvislosti pojem dimenze a b´ aze.

19

Vˇ eta 6 (Alternativn´ı definice dimenze). Necht’ n ∈ N a necht’ V je vektorový prostor nad tˇelesem T . Pak dim V = n tehdy a jen tehdy, kdyˇz ve V existuje n-ˇclenn´ a b´ aze. D˚ ukaz. Dokazujeme ekvivalenci, tedy dvˇe implikace. (⇒) : Necht’ dim V = n, pak ve V existuje podle definice dimenze n-ˇclenn´ y LN soubor, oznaˇcme jej (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ). Uk´ aˇzeme, ˇze tento soubor je báz´ı, tedy ˇze V = [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ . Kdyby soubor negeneroval V , tedy V % [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ , pak by ve V existoval vektor ~xn+1 6∈ [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ . Potom by ale soubor (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn , ~xn+1 ) byl LN, coˇz je spor s dim V = n. ˇ by soubor (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn , ~xn+1 ) byl LN, lze ukázat uˇzit´ım Alternativn´ı definice LZ (7. bod Ze Vˇety 4 o vlastnostech LN a LZ soubor˚ u): jelikoˇz je soubor (~x1 , . . . , ~xn ) LN, plat´ı ~x1 6= ~0 a pro kaˇzdé i ∈ n ˆ plat´ı, ˇze ~xi nen´ı LK pˇredchoz´ıch vektor˚ u ze souboru, a zároveˇ n ani ~xn+1 nen´ı LK souboru (~x1 , . . . , ~xn ). (⇐) : Necht’ (~x1 , . . . , ~xn ) je b´ aze V , pak ve V existuje n-ˇclenn´ y LN soubor (jelikoˇz (~x1 , . . . , ~xn ) je LN). Protoˇze (~x1 , . . . , ~xn ) je také generuj´ıc´ı soubor, plyne z 1. bodu Steinitzovy vˇety, ˇze kaˇzd´ y LN soubor m´ a maxim´ alnˇe n ˇclen˚ u, a tedy kaˇzd´ y (n + 1)-ˇclenn´ y soubor je LZ. T´ım je podle definice dok´ az´ ano, ˇze dim V = n. D˚ usledek 1 (D˚ usledky Steinitzovy vˇety). Necht’ n ∈ N a V je vektorový prostor nad tˇelesem T a dim V = n. Pak plat´ı: 1. Kaˇzd´ a b´ aze V je n-ˇclenn´ a. 2. Kaˇzdý n-ˇclenný LN soubor ve V uˇz generuje V , a je tedy b´ az´ı V . 3. Kaˇzdý n-ˇclenný soubor gener´ ator˚ u V uˇz je LN, a je tedy b´ az´ı V . D˚ ukaz. 1. V´ıme, ˇze ve V existuje n-ˇclenná báze. Oznaˇcme ji (~x1 , . . . , ~xn ). Necht’ (~y1 , . . . , ~ym ) je jin´ a b´ aze V . Jelikoˇz (~x1 , . . . , ~xn ) je soubor generátor˚ u V a (~y1 , . . . , ~ym ) je LN soubor ve V , je podle 1. bodu Steinitzovy vˇety n ≥ m. Obdobnˇe, protoˇze (~y1 , . . . , ~ym ) je soubor generátor˚ u V a (~x1 , . . . , ~xn ) je LN soubor ve V , plat´ı opˇet podle 1. bodu Steinitzovy vˇety, ˇze také m ≥ n. 2. Viz d˚ ukaz 1. implikace ve Vˇetˇe 6 o alternativn´ı definici dimenze. 3. Kdyby n-ˇclenn´ y soubor gener´ ator˚ u nebyl LN, ˇslo by z jeho obalu vyhodit nˇekter´ y z vektor˚ u, aniˇz by se obal zmˇenil. Pak by ale V byl generován n − 1 vektory, coˇz by podle Steinitzovy vˇety znamenalo, ˇze LN soubory ve V maj´ı maximálnˇe n − 1 ˇclen˚ u, a tedy vˇsechny n-ˇclenné jsou LZ. A to je spor s dim V = n. Pozn´ amka 30. Moˇzn´ a se div´ıte, proˇc jsme pro definici dimenze nepouˇzili hned na zaˇc´ atku definici alternativn´ı (tedy pomoc´ı b´ aze). Takov´ a definice by ale potˇrebovala ovˇeˇrit korektnost - tedy fakt, ˇze kdyˇz ve V nˇekdo najde b´ azi o 10 ˇclenech a prohl´ as´ı, ˇze dimenze je 10, nestane se, ˇze by nˇekdo jiný naˇsel b´ azi o jiném poˇctu ˇclen˚ u. Fakt, ˇze vˇsechny b´ aze v prostoru dimenze n jsou n-ˇclenné se snadno ovˇeˇr´ı pomoc´ı Steinitzovy vˇety. Zkuste sami rozmyslet, jak byste jej ovˇeˇrili bez pouˇzit´ı Steinitzovy vˇety. P˚ uvodn´ı definice dimenze je tedy sice techniˇctˇejˇs´ı, ale nevyˇzaduje dodateˇcné ovˇeˇren´ı korektnosti. Pˇ r´ıklad 13. Uved’me, jak vypadaj´ı b´ aze a dimenze nejzn´ amˇejˇs´ıch vektorových prostor˚ u. 1. V T n nazýv´ ame standardn´ı b´ az´ı soubor E = (~e1 , ~e2 , . . . , ~en ), kde 1 0 0 0 0

1 0

0 0

0

0

1

~e1 =  .  , ~e2 =  .  , . . . , ~en =  .  . .. .. .. Snadno ale E generuje V , protoˇze kaˇzdý vektor ~x =   nahlédneme, ˇze soubor E je LN. D´ α1 α2

 .  ∈ T n lze ps´ at jako ~x = α1~e1 + α2~e2 + · · · + αn~en . Proto dim T n = n. .. αn

20

2. V prostoru matic T m,n (o m ˇra ´dc´ıch a n sloupc´ıch) nazýv´ ame standardn´ı báz´ı soubor (E1,1 , E1,2 , . . . , Em,n ), kde pro kaˇzdé i ∈ m ˆ a kaˇzdé j ∈ n ˆ je Ei,j matice, kter´ a m´ a m ˇra ´dk˚ u, n sloupc˚ u, prvek v i-tém ˇr´ adku a j-tém!sloupci je roven jedné a vˇsechny ostatn´ı prvky jsou 0 0 ... 1 0 ... 0 0 ...

. Podobnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe nahlédneme, .. .. . . .. . ˇze jde o LN soubor gener´ ator˚ u, tentokr´ at o mn ˇclenech, proto dim T m,n = mn. nulové. Tedy napˇr´ıklad E2,1 =

3. V prostoru Pn polynom˚ u stupnˇe maxim´ alnˇe n − 1 s pˇrid´ an´ım nulového polynomu nazýv´ ame standardn´ı b´ az´ı soubor (e1 , e2 , . . . , en ), kde pro kaˇzdé t ∈ C jsou polynomy e1 , e2 , . . . , en definov´ any e1 (t) = 1, e2 (t) = t, e3 (t) = t2 , . . . , en (t) = tn−1 . Vysvˇetleme, ˇze takový soubor je generuj´ıc´ı. Bereme-li libovolný polynom p ∈ Pn , pak existuj´ı komplexn´ı ˇc´ısla α0 , α1 , . . . , αn−1 ∈ C takov´ a, ˇze pro kaˇzdé t ∈ C p(t) = α0 + α1 t + α2 t2 + · · · + αn−1 tn−1 = α0 e1 (t) + α1 e2 (t) + α2 e3 (t) · · · + αn−1 en (t), tj. p = α0 e1 + α1 e2 + α2 e3 + · · · + αn−1 en , neboli p ∈ [e1 , e2 , . . . , en ]λ . LN souboru ovˇeˇr´ıme z definice LN. Pˇredpokl´ ad´ ame-li, ˇze β1 e1 + β2 e2 + · · · + βn en = O(nulový polynom), znamen´ a to, ˇze polynom vlevo m´ a pro vˇsechna t ∈ C tvar β1 + β2 t + · · · + βn tn−1 . Jelikoˇz jde o nulový polynom, vˇsechny koeficienty β1 , β2 , . . . , βn jsou nutnˇe nulové, a t´ım je dok´ az´ ana LN. Jelikoˇz m´ a Pn n-ˇclennou b´ azi, je dim Pn = n (tedy znaˇcen´ı Pn je voleno pr´ avˇe tak, aby n odpov´ıdalo dimenzi). 4. V prostoru P vˇsech polynom˚ u je pro kaˇzdé n soubor (e1 , e2 , . . . , en ) definovaný stejnˇe jako v pˇredchoz´ım bodˇe LN, proto dim P = +∞. Steinitzova vˇeta m´ a jeˇstˇe dalˇs´ı dva d˚ uleˇzité d˚ usledky. Zformulujeme je ve tvaru vˇet. Vˇ eta 7 (O v´ ybˇeru b´ aze ze souboru generátor˚ u). Necht’ n ∈ N a necht’ V je vektorový prostor nad tˇelesem T a dim V = n. Necht’ [~y1 , ~y2 , . . . , ~ym ]λ = V . Pak existuj´ı indexy i1 , i2 , . . . , in ∈ m ˆ takové, ˇze (~yi1 , ~yi2 , . . . , ~yin ) tvoˇr´ı b´ azi V . D˚ ukaz.

• Pˇr´ıpad m < n podle Steinitzovy vˇety nenastává.

• Je-li m = n, pak podle 3. d˚ usledku Steinitzovy vˇety je (~y1 , . . . , ~ym ) báz´ı V . • Je-li m > n, pak je soubor (~y1 , . . . , ~ym ) LZ a podle Alternativn´ı definice LZ (6. bod Vˇety 4 o vlastnostech LN a LZ soubor˚ u) lze z [~y1 , ~y2 , . . . , ~ym ]λ vyhodit jeden z generátor˚ u, aniˇz by se obal zmˇenil. • Je-li m − 1 = n, pak je soubor z´ıskan´ y z p˚ uvodn´ıho vyhozen´ım jednoho vektoru hledanou b´ az´ı. • Je-li m − 1 > n, pak pokraˇcujeme analogicky. Pˇ r´ıklad 14. Uvaˇzujme R4 . Necht’ P = [~x1 , ~x2 , ~x3 , ~x4 ]λ , kde      −3 −1 1  3   1   −1     ~x1 =   0  , ~x2 =  3  , ~x3 =  6 5 1 −3





 2     , ~x4 =  −2  .   3  −4

Vyberte ze souboru gener´ ator˚ u (~x1 , ~x2 , ~x3 , ~x4 ) b´ azi P . ˇ sen´ı: Postupujeme jako pˇri vyˇsetˇrov´ Reˇ an´ı LN a LZ, tedy vytvoˇr´ıme matici, jej´ımiˇz sloupci jsou

21

gener´ atory P . V LO nez´ aleˇz´ı na poˇrad´ı vektor˚ u, d´ ame je tedy do matice tak, aby se n´ am co nejsn´ aze pˇrev´ adˇela na horn´ı stupˇ novitý tvar.       −1 1 −3 2 −1 1 −3 2 −1 1 −3 2     1 −1 0 0 0  3 −2   ∼  0 1 −1 1  . ∼ 0 (~x2 ~x3 ~x1 ~x4 ) ∼   3 0 0  9 −9 9   0 0 6 0 3   0 0 0 0 0 0 −2 2 −2 1 −3 5 −4 Vid´ıme, ˇze 3. a 4. sloupec jsou vedlejˇs´ı, tedy jim odpov´ıdaj´ıc´ı vektory jsou LK pˇredchoz´ıch. Konkrétnˇe ~x1 = 2~x2 − ~x3 a ~x4 = −~x2 + ~x3 . Proto lze vektory ~x1 a ~x4 z LO vyhodit, aniˇz by se zmˇenil, tj. P = [~x2 , ~x3 ]λ . Z matice také vid´ıme, ˇze vektor˚ um ~x2 a ~x3 odpov´ıdaj´ı hlavn´ı sloupce, jsou tedy LN a tvoˇr´ı hledanou b´ azi. Vˇ eta 8 (O doplnˇen´ı LN souboru na b´ azi). Necht’ n ∈ N a necht’ V je vektorový prostor nad tˇelesem T a dim V = n. Necht’ k ∈ n ˆ a (~x1 , . . . , ~xk ) je LN soubor ve V . Pak existuj´ı vektory ~xk+1 , . . . , ~xn takové, ˇze (~x1 , . . . , ~xk , ~xk+1 , . . . , ~xn ) je b´ az´ı V . D˚ ukaz. Podle Vˇety 6 (Alternativn´ı definice dimenze) existuje ve V n-ˇclenná báze (~y1 , . . . , ~yn ). Uˇzit´ım Steinitzovy vˇety (jen pozor na to, ˇze m ze Steinitzovy vˇety je nyn´ı n a n ze Steinitzovy vˇety je nyn´ı k) v´ıme, ˇze existuj´ı indexy i1 , . . . , ik ∈ n ˆ takov´ e, ˇze [~y1 , . . . , ~yn ]λ = [~x1 , . . . , ~xk , (~yi i∈n ˆ − {i1 , . . . , ik })]λ . Jelikoˇz je soubor (~x1 , . . . , ~xk , (~yi i ∈ n ˆ − {i1 , . . . , ik })) n-ˇclenn´ y generuj´ıc´ı soubor V , jde podle 3. d˚ usledku Steinitzovy vˇety o bázi. Pˇ r´ıklad 15. Doplˇ nte (~x1 , ~x2 ) na b´ azi R4 , je-li    0 2  2  −1    ~x1 =   0  , ~x2 =  −1 0 0

  . 

ˇ sen´ı: Uvaˇzujme standardn´ı b´ Reˇ azi R4 a v n´ı dva vektory nahrad´ıme vektory ~x1 a ~x2 (to jistˇe p˚ ujde, nebot’ ~x1 a ~x2 nejsou jeden n´ asobkem druhého, a tedy jsou LN). Jistˇe plat´ı             0 0 0 1 0 2  −1   2   0   1   0   0  4 ] .            , , , , , R = [ 0   −1   0   0   1   0  λ 1 0 0 0 0 0 Vyhod´ıme z LO nadbyteˇcné vektory a z˚ ustane n´ am hledan´ a b´ aze. Uˇz dopˇredu v´ıme, ˇze bude 4ˇclenn´ a, protoˇze dim R4 = 4. Pˇrevedli jsme tedy u ´lohu na problém vybrat b´ azi ze souboru gener´ ator˚ u, viz Pˇr´ıklad 14. Vytvoˇr´ıme tedy matici, jej´ımiˇz sloupci jsou vektory ~x1 , ~x2 , ~e1 , ~e2 , ~e3 , ~e4 . Z matice v horn´ım stupˇ novitém tvaru pak vyˇcteme, které vektory jsou LK pˇredchoz´ıch a lze je z LO vyhodit.       2 0 1 0 0 0 −1 2 0 1 0 0 −1 2 0 1 0 0  −1    2 0 1 0 0  4 1 2 0 0     0   0 −1 0 0 1 0  .  0 −1 0 0 1 0  ∼  0 −1 0 0 1 0  ∼  0 0 1 2 4 0  0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 Z matice v horn´ım stupˇ novitém tvaru vid´ıme, ˇze ~e2 a ~e3 odpov´ıdaj´ı vedlejˇs´ım sloupc˚ um, a jsou proto LK pˇredchoz´ıch a lze je tedy z LO vyhodit, aniˇz by se zmˇenil. Konkrétnˇe ~e2 = −~x1 + 2~e1 a ~e3 = −2~x1 − ~x2 + 4~e1 . Proto R4 = [~x1 , ~x2 , ~e1 , ~e4 ]λ . Podle 3. d˚ usledku Steinitzovy vˇety je 4-ˇclenný soubor gener´ ator˚ u (~x1 , ~x2 , ~e1 , ~e4 ) LN, a tedy jde o hledanou b´ azi. Rozmyslete si, ˇze je d˚ uleˇzité napsat si v matici dopˇredu ty vektory, které m´ a hledan´ a b´ aze obsahovat!

22

3.3

Souˇ radnice

Vˇ eta 9 (Jednoznaˇcnost vyj´ adˇren´ı vektoru pomoc´ı LK báze). Necht’ (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je b´ aze vektorového prostoru V nad tˇ e lesem T . Pak pro kaˇ z d´ y vektor ~ x ∈ V existuje pr´ a vˇ e jedna uspoˇ r´ adan´ a   α1 α2

a, ˇze ~x = n-tice  ..  ∈ T n takov´ .

Pn

i=1

αi ~xi .

αn

 α1  α2

D˚ ukaz.

• Existence takového vektoru  ..  plyne z faktu, ˇze V = [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ . . αn

 α1  α2

 β1  β2

uzné n-tice splˇ nuj´ıc´ı ~x = • Jednoznaˇcnost dok´ aˇzeme sporem. Necht’  ..  a  ..  jsou dvˇe r˚ . . αn βn Pn Pn Pn ~0 a pˇritom jde o netriviáln´ı LK, protoˇze α ~ x = β ~ x . Pak ale (α − β )~ x = i i i i i i i i=1 i=1 i=1 jistˇe pro nˇekter´ y index i0 ∈ n ˆ je αi0 − βi0 6= 0. To je spor s LN souboru (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ). Definice 12. Necht’ X = (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je b´ aze vektorového prostoru V nad tˇelesem T . Pn 1. Necht’ ~x = i=1 αi ~xi . Pak αi nazveme i-t´ a souˇ radnice vektoru ~x v b´ azi X . 2. Necht’ i ∈ n ˆ . Zobrazen´ı ~x# : V → T , které vektoru pˇriˇrad´ı jeho i-tou souˇradnici v b´ azi X , i P n # tj. ~xi (~x) = αi , pokud ~x = i=1 αi ~xi , nazveme i-t´ ym souˇ radnicov´ ym funkcion´ alem v b´ azi X . n 3. Zobrazen´ e vektoru pˇriˇrad´ı vektor vˇsech jeho souˇradnic v b´ azi X , tj. X : V → T , kter´ ı α(.)  1 α2 Pn (~x)X =  .. , pokud ~x = i=1 αi ~xi , nazveme souˇ radnicov´ ym izomorfismem v b´ azi X . . αn

((~x)X ˇcteme ~x v b´ azi X“ nebo souˇradnice vektoru ~x v b´ azi X“). ” ” Pozn´ amka 31. D´ıky Vˇetˇe 9 o jednoznaˇcnosti vyj´ adˇren´ı vektoru pomoc´ı LK b´ aze v´ıme, ˇze souˇradnicový funkcion´ al a souˇradnicový izomorfismus jsou skuteˇcnˇe zobrazen´ı, tedy nestane se, ˇze by ~x# riˇradil i pˇ stejnému vektoru ~x v´ıce r˚ uzných ˇc´ısel nebo (.)X pˇriˇradil stejnému vektoru ~x v´ıce r˚ uzných n-tic ˇc´ısel. Vˇ eta 10 (Vlastnosti souˇradnicového funkcionálu). Necht’ X = (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je b´ aze vektorového prostoru V nad tˇelesem T . Pak plat´ı pro kaˇzdé i ∈ n ˆ: 1. Pro kaˇzdé dva vektory ~x, ~y ∈ V je ~x# x + ~y ) = ~x# x) + ~x# y ) (ˇr´ık´ ame, ˇze ~x# ı). i (~ i (~ i (~ i je aditivn´ 2. Pro kaˇzdé α ∈ T a ~x ∈ V je ~x# x) = α~x# x) (ˇr´ık´ ame, ˇze ~x# ı). i (α~ i (~ i je homogenn´ 3. ~x# xj ) = δij (Kroneckerovo delta), tj. ~x# xj ) = 0 pro kaˇzdé j ∈ n ˆ , j 6= i a ~x# xi ) = 1. i (~ i (~ i (~ Pn Pn Pn D˚ ukaz. 1. Necht’ ~x = i=1 αi ~xi a ~y = i=1 βi ~xi . Pak ~x + ~y = i=1 (αi + βi )~xi . Podle definice souˇradnicového funcion´ alu pak plat´ı ~x# x) = αi , ~x# y ) = βi a ~x# x + ~y ) = αi + βi , a tedy i (~ i (~ i (~ # # # plat´ı ~xi (~x + ~y ) = ~xi (~x) + ~xi (~y ). Pn Pn 2. Necht’ ~x = i=1 αi ~xi . Pak α~x = i=1 (ααi )~xi . Podle definice je ~x# x) = αi a ~x# x) = ααi , i (~ i (α~ # # a tedy plat´ı ~xi (α~x) = α~xi (~x). 3. Jelikoˇz ~xj = 0~x1 + · · · + 0~xj−1 + 1~xj + 0~xj+1 + · · · + 0~xn , podle definice máme ~x# xj ) = δij . i (~ D˚ usledek 2 (D˚ usledek Vˇety 10 o vlastnostech souˇradnicového funkcionálu). Necht’ X = (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je b´ aze vektorového prostoru V nad tˇelesem T . Pak plat´ı: 23

1. Pro kaˇzdé ~x, ~y ∈ V je (~x + ~y )X = (~x)X + (~y )X (ˇr´ık´ ame, ˇze souˇradnicový izomorfismus je aditivn´ı). 2. Pro kaˇzdé α ∈ T a ~x ∈ V je (α~x)X = α(~x)X (ˇr´ık´ ame, ˇze souˇradnicový izomorfismus je homogenn´ı). 3. (~xj )X = ~ej pro kaˇzdé j ∈ n ˆ (~ej je j-tý vektor standardn´ı b´ aze T n ). ˇ adnˇe si rozmyslete rozd´ıl mezi objekty oznaˇcenými ~xi a ~x# . Zat´ımco ~xi je vektor Pozn´ amka 32. R´ i zobrazen´ ı, kter´ e kaˇ z d´ e mu vektoru z V pˇ r iˇ r azuje ˇ c ´ ıslo z T . z V , je ~x# i       1 0 0 Pˇ r´ıklad 16. Uvaˇzujme prostor R3 a v nˇem standardn´ı b´ azi E = ( 0  ,  1  ,  0 ) a b´ azi 0 0 1         1 1 1 3 X = ( 1  ,  1  ,  0 ). Najdˇete (~x)E a (~x)X , je-li ~x =  5 . 1 0 0 3 ˇ sen´ı: Reˇ           3 0 0 1 3 av´ ame, ˇze (~x)E =  5  = ~x. 1. Jelikoˇz  5  = 3  0  + 5  1  + 3  0 , dost´ 3 1 0 0 3 Rozmyslete si, ˇ ze pro libovoln´ y vektor ~x ∈ T n plat´ı (~x)E = ~x.           1 1 3 1 α1 ame 2. Oznaˇcme (~x)X =  α2 , pak α1  1  + α2  1  + α3  0  = ~x =  5 . M´ α3 0 0 3 1 tedy soustavu LAR s rozˇs´ıˇrenou matic´ı soustavy       1 0 0 3 1 0 0 3 1 1 1 3  1 1 0 5 ∼ 0 1 1 0 ∼ 0 1 0 2 . 0 0 1 −2 0 1 0 2 1 0 0 3 

Z matice v horn´ım stupˇ novitém tvaru vyˇcteme α3 = −2, α2 = 2, α1 = 3, tj. (~x)X

24

 3 =  2 . −2

4

Podprostory

Definice 13. Necht’ V je vektorový prostor nad tˇelesem T . Pak P nazveme podprostorem V a znaˇc´ıme P ⊂⊂ V , pokud 1. P ⊂ V , 2. P 6= ∅, 3. pro kaˇzdé dva vektory ~x, ~y ∈ P plat´ı ~x + ~y ∈ P (ˇr´ık´ ame, ˇze mnoˇzina P je uzavˇ ren´ a na sˇ c´ıt´ an´ı), 4. pro kaˇzdé α ∈ T a kaˇzdý vektor ~x ∈ V plat´ı α~x ∈ P (ˇr´ık´ ame, ˇze mnoˇzina P je uzavˇ ren´ a na n´ asoben´ı ˇ c´ıslem z tˇ elesa). Pˇ r´ıklad 17. Necht’ (~x1 , . . . , ~xn ) je soubor vektor˚ u z vektorového prostoru V nad tˇelesem T . Pak [~x1 , . . . , ~xn ]λ ⊂⊂ V . Splnˇen´ı vlastnost´ı 1. aˇz 4. z definice podprostoru pro LO plyne z Vˇety 3 o vlastnostech LO. Pˇ r´ıklad 18. V R2 m´ ame n´ asleduj´ıc´ı typy podprostor˚ u: 1. [( 00 )]λ = {~0}, 2. [~x]λ , kde ~x 6= ~0 (v´ıme, ˇze jde o pˇr´ımku jdouc´ı bodem ( 00 ) a obsahuj´ıc´ı vektor ~x), 3. [~x, ~y ]λ , kde (~x, ~y ) je LN soubor (v´ıme, ˇze jde o celé R2 , protoˇze (~x, ~y ) je 2-ˇclenný LN soubor, a tedy tvoˇr´ı b´ azi R2 ). Za chv´ıli se dozv´ıme, ˇze ˇz´ adné jiné podprostory uˇz R2 nem´ a. Pˇ r´ıklad 19. V R3 m´ ame n´ asleduj´ıc´ı typy podprostor˚ u: 0 1. [ 0 ]λ = {~0}, 0

2. [~x]λ , kde ~x 6= ~0 (v´ıme, ˇze jde o pˇr´ımku jdouc´ı bodem

0 0 0

a obsahuj´ıc´ı vektor ~x),

3. [~x, ~y ]λ , kde (~x, ~y ) je LN soubor (snadno si rozmysl´ıte, ˇze jde o rovinu proch´ azej´ıc´ı bodem

0 0 0

a obsahuj´ıc´ı vektory ~x a ~y ), 4. [~x, ~y , ~z]λ , kde (~x, ~y , ~z) je LN soubor (v´ıme, ˇze jde o celé R3 , protoˇze (~x, ~y , ~z) je 3-ˇclenný LN soubor, a tedy tvoˇr´ı b´ azi R3 ). Za chv´ıli se dozv´ıme, ˇze ˇz´ adné jiné podprostory uˇz R3 nem´ a. Vˇ eta 11 (Vlastnosti podprostor˚ u). Necht’ V je vektorový prostor nad tˇelesem T a necht’ P ⊂⊂ V . Pak plat´ı: 1. ~0 ∈ P . 2. {~0} ⊂⊂ V a V ⊂⊂ V . 3. P je vektorový prostor nad tˇelesem T (pˇri zachov´ an´ı operac´ı z V ). 4. Necht’ Q ⊂⊂ P a P ⊂⊂ V , pak Q ⊂⊂ V (tranzitivita vlastnosti býti podprostorem). 5. dim P ≤ dim V . 6. Necht’ dim V < +∞. Pokud dim P = dim V , pak P = V . D˚ ukaz. 1. P 6= ∅, proto existuje ~x ∈ V takov´ y, ˇze ~x ∈ P , a jelikoˇz je P mnoˇzina uzavˇrená na n´ asoben´ı ˇc´ıslem, je také 0~x = ~0 ∈ P . 25

2. Splnˇen´ı vlastnost´ı 1. aˇz 4. z definice podprostoru je zˇrejmé. 3. Mus´ıme ovˇeˇrit, ˇze P 6= ∅ a ˇze P je mnoˇzina uzavˇrená na sˇc´ıtán´ı vektor˚ u a násoben´ı vektoru ˇc´ıslem a ˇze plat´ı axiomy. Nepr´ azdnost a uzavˇrenost na operace plyne z faktu, ˇze P ⊂⊂ V . Zb´ yv´ a ovˇeˇrit axiomy. • V P existuje nulov´ y vektor, jde o nulov´ y vektor z V . (Patˇr´ı do P podle 1. bodu.) • Ke kaˇzdému vektoru ~x ∈ P , existuje ve V opaˇcn´ y vektor −~x. Podle Vˇety 1 je −~x = (−1)~x, a tedy d´ıky uzavˇrenosti P na násoben´ı patˇr´ı −~x do P . • Vˇsechny ostatn´ı axiomy plat´ı pro vˇsechny vektory z V , t´ım sp´ıˇse plat´ı i pro vˇsechny vektory z P ⊂ V . 4. Ovˇeˇr´ıme vlastnosti z definice podprostoru: (a) Q ⊂ V , protoˇze Q ⊂ P ⊂ V , (b) Q 6= ∅, protoˇze Q ⊂⊂ P , (c) Q je mnoˇzina uzavˇren´ a na sˇc´ıtán´ı vektor˚ u, protoˇze Q ⊂⊂ P , (d) Q je mnoˇzina uzavˇren´ a na násoben´ı vektoru ˇc´ıslem, protoˇze Q ⊂⊂ P . 5. Je-li dim V = +∞, pak je tvrzen´ı zˇrejmé. Je-li V = {~0}, pak P = {~0}, tvrzen´ı tedy opˇet plat´ı. Z dim V = n plyne, ˇze kaˇzd´ y LN soubor ve V je maximálnˇe n-ˇclenn´ y, tedy i báze P je maxim´ alnˇe n-ˇclenn´ a, proto dim P ≤ n. 6. Pro V = {~0} je tvrzen´ı zˇrejmé. Pro V 6= {~0} oznaˇcme dim P = dim V = n ∈ N. Jelikoˇz dim P = n, existuje v P n-ˇclenná báze (~x1 , . . . , ~xn ), tj. [~x1 , . . . , ~xn ]λ = P . Prostor V má dimenzi rovnu n, a tak kaˇzd´ y n-ˇclenn´ y LN soubor ve V je báz´ı V . Protoˇze P ⊂ V , je (~x1 , . . . , ~xn ) b´ az´ı V , a tedy V = [~x1 , . . . , ~xn ]λ = P . Definice 14. Necht’ V je vektorový prostor nad tˇelesem T . Trivi´ aln´ımi podprostory nazveme {~0} a V . Pokud P ⊂⊂ V a P = 6 V , pak P nazveme vlastn´ı podprostor. D˚ usledek 3 (D˚ usledek Vˇety 11 o vlastnostech podprostor˚ u). Necht’ V je vektorový prostor nad tˇelesem T . Necht’ dim V < +∞ a necht’ P ⊂⊂ V . Pokud P je vlastn´ı podprostor V , pak dim P < dim V . D˚ ukaz. Z v´ yrokové logiky v´ıme, ˇze pro libovolné v´ yroky A, B plat´ı (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A). Z 6. bodu Vˇety 11 o vlastnostech podprostor˚ u dostaneme: P 6= V ⇒ dim P 6= dim V . Jelikoˇz P ⊂⊂ V a jelikoˇz podle 5. bodu pˇredchoz´ı vˇety plat´ı dim P ≤ dim V , m˚ uˇzeme pˇrepsat pˇredchoz´ı implikaci do tvaru: P je vlastn´ı podprostor V ⇒ dim P < dim V . Pˇ r´ıklad 20. Vrat’me se k podprostor˚ um v R2 a R3 . Z Vˇety 11 o vlastnostech podprostor˚ u jsme se dozvˇedˇeli, ˇze kaˇzdý podprostor je z´ aroveˇ n vektorový prostor, m´ a tedy dimenzi, a ˇze pro dimenzi plat´ı, ˇze je ≤ 2 (jde-li o podprostor R2 ) nebo ≤ 3 (jde-li o podprostor v R3 ). Bud’ jsou tedy podprostory nulové, nebo maj´ı b´ azi maxim´ alnˇe 2, respektive 3-ˇclennou, jej´ımiˇz jsou LO. Odtud tedy plyne, ˇze ˇz´ adné jiné podprostory neˇz ty, které jsme popsali výˇse, v R2 a R3 neexistuj´ı. Definice 15. Necht’ A, B jsou podmnoˇziny vektorového prostoru V nad tˇelesem T (ne nutnˇe podprostory!). Souˇctem A a B nazveme mnoˇzinu A + B = {~a + ~b ~a ∈ A, ~b ∈ B}. ˇ Rekneme, ˇze souˇcet A + B je direktn´ı, p´ıˇseme A ⊕ B, pokud pro kaˇzdý vektor ~x ∈ A + B existuje pr´ avˇe jeden vektor ~a ∈ A a pr´ avˇe jeden vektor ~b ∈ B takové, ˇze ~x = ~a + ~b.

26

Pozn´ amka 33. Pˇripomeˇ nme pro jistotu i definici sjednocen´ı a pr˚ uniku mnoˇzin. Necht’ A, B jsou podmnoˇziny vektorového prostoru V nad tˇelesem T (ne nutnˇe podprostory!). A ∪ B = {~a ~a ∈ A ∨ ~a ∈ B}, A ∩ B = {~a ~a ∈ A ∧ ~a ∈ B}. Pˇ r´ıklad 21. Necht’ V = R2 , A = {( 01 ) , ( 00 )} a B = {( 11 ) , ( 10 )}. Pak A + B = {( 12 ) , ( 11 ) , ( 10 )}. Souˇcet A + B nen´ı direktn´ı, protoˇze ( 11 ) = ( 00 ) + ( 11 ) = ( 01 ) + ( 10 ). Pˇ r´ıklad 22. Necht’ V = R2 , A = {( 01 ) , ( 10 )} a B = {( 11 ) , ( 00 )}. Pak A+B = {( 12 ) , ( 21 ) , ( 01 ) , ( 10 )}. Tentokr´ at je A + B direktn´ı. Vˇ eta 12 (Vlastnosti souˇctu a pr˚ uniku podprostor˚ u). Necht’ P, Q ⊂⊂ V , kde V je vektorový prostor nad tˇelesem T . Pak plat´ı: 1. P + Q ⊂⊂ V . 2. P + Q je direktn´ı ⇔ P ∩ Q = {~0}. 3. P ∩ Q ⊂⊂ V . 4. Necht’ ~x1 , . . . , ~xn ∈ V , pak [~x1 , . . . , ~xn ]λ je nejmenˇs´ı podprostor V , který obsahuje vektory ~x1 , . . . , ~xn , tj. \ [~x1 , . . . , ~xn ]λ = {Q ⊂⊂ V ~xi ∈ Q pro kaˇzdé i ∈ n ˆ }. D˚ ukaz.

1. Ovˇeˇr´ıme vlastnosti z definice podprostoru:

(a) P + Q ⊂ V , protoˇze P ⊂ V a Q ⊂ V a V je uzavˇrená na sˇc´ıtán´ı, (b) P + Q 6= ∅, protoˇze ~0 ∈ P , ~0 ∈ Q a ~0 + ~0 = ~0 ∈ P + Q, (c) P + Q je uzavˇren´ y na sˇc´ıt´ an´ı vektor˚ u, protoˇze pro libovolné ~x1 , ~x2 ∈ P + Q existuj´ı p~1 , p~2 ∈ P a ~q1 , ~q2 ∈ Q takové, ˇze ~x1 = p~1 + ~q1 a ~x2 = p~2 + ~q2 , proto ~x1 + ~x2 = p~1 + ~q1 + p~2 + ~q2 = p~1 + p~2 + ~q1 + ~q2 , a jelikoˇz P a Q jsou podprostory, plat´ı p~1 + p~2 ∈ P a ~q1 + ~q2 ∈ Q, z ˇcehoˇz plyne, ˇze ~x1 + ~x2 ∈ P + Q, (d) P + Q je uzavˇren´ y na n´ asoben´ı vektoru ˇc´ıslem, protoˇze pro libovolné ~x ∈ P + Q a libovolné α ∈ T existuje p~ ∈ P a ~q ∈ Q takové, ˇze ~x = p~ + ~q, proto α~x = α(~ p + ~q) = α~ p + α~q, a jelikoˇz P a Q jsou podprostory, plat´ı α~ p ∈ P a α~q ∈ Q, z ˇcehoˇz plyne, ˇze α~x ∈ P + Q. 2. Dokazujeme ekvivalenci, tedy dvˇe implikace. (⇒): Dokaˇzme implikaci sporem. Pˇredpokládáme, ˇze P + Q je direktn´ı a P ∩ Q 6= {~0}. Tedy existuje ~x ∈ P ∩ Q, ~x 6= ~0. Potom ale ~x = ~0 + ~x = ~x + ~0, coˇz jsou dva r˚ uzné zápisy ~x jakoˇzto souˇctu vektor˚ u z P + Q, coˇz je spor s direktnost´ı. (⇐): Dokaˇzme i druhou implikaci sporem. Pˇredpokládáme, ˇze P ∩ Q = {~0}, ale P + Q nen´ı direktn´ı. Pak existuje vektor ~x ∈ P + Q, pro kter´ y lze naj´ıt p~1 , p~2 ∈ P , p~1 6= p~2 , a ~q1 , ~q2 ∈ Q takové, ˇze ~x = p~1 + ~q1 = p~2 + ~q2 . Pak ale p~1 − p~2 = ~q2 − ~q1 je nenulov´ y vektor, kter´ y patˇr´ı do P i do Q, je to tedy nenulov´ y vektor z P ∩ Q, coˇz je spor s pˇredpokladem, ˇze P ∩ Q = {~0}. 3. Ovˇeˇr´ıme vlastnosti z definice podprostoru: (a) P ∩ Q ⊂ V , protoˇze P ⊂ V a Q ⊂ V , (b) P ∩ Q 6= ∅, protoˇze ~0 ∈ P , ~0 ∈ Q, a tedy ~0 ∈ P ∩ Q, (c) P ∩ Q je uzavˇren´ y na sˇc´ıt´ an´ı vektor˚ u, protoˇze pro libovolné ~x1 , ~x2 ∈ P ∩ Q plat´ı, ˇze ~x1 , ~x2 patˇr´ı jak do P , tak i do Q, jelikoˇz P a Q jsou podprostory, patˇr´ı ~x1 + ~x2 do P i do Q a odtud uˇz plyne, ˇze ~x1 + ~x2 ∈ P ∩ Q, (d) P ∩ Q je uzavˇren´ y na n´ asoben´ı vektoru ˇc´ıslem, protoˇze pro libovoln´ y vektor ~x ∈ P ∩ Q patˇr´ı ~x do P i do Q, coˇz jsou podprostory V , a tedy pro libovolné α ∈ T , je α~x z P i z Q a odtud uˇz plyne, ˇze α~x ∈ P ∩ Q. 27

4. Uˇz v´ıme z prvn´ıho pˇr´ıkladu za definic´ı podprostoru, ˇze [~x1 , . . . , ~xn ]λ ⊂⊂ V . Abychom dok´ azali, ˇze jde o nejmenˇs´ı podprostor V , kter´ y obsahuje vektory ~x1 , . . . , ~xn , staˇc´ı vysvˇetlit, ˇze kaˇzd´ y podprostor obsahuj´ıc´ı vektory ~x1 , . . . , ~xn obsahuje i jejich libovolnou LK. To je ale jasné z faktu, ˇze podprostor je zároveˇ n vektorov´ y prostorem a o vektorov´ ych prostorech v´ıme, ˇze tuto vlastnost maj´ı. Pozn´ amka 34. Rozmyslete si sami, ˇze dokonce pr˚ unik libovolného poˇctu podprostor˚ u a souˇcet koneˇcného poˇctu podprostor˚ u vektorového prostoru V nad tˇelesem T tvoˇr´ı podprostor. Pozn´ amka 35. Necht’ P, Q ⊂⊂ V , kde V je vektorový prostor nad tˇelesem T . Moˇzn´ a by v´ as napadlo, ˇze zaj´ım´ ame-li se o P ∩ Q, bylo by logické zkoumat také P ∪ Q, ovˇsem P ∪ Q nemus´ı tvoˇrit podprostor. Napˇr´ıklad pro V = R2 a P = [( 10 )]λ a Q = [( 01 )]λ jsou jistˇe P, Q ⊂⊂ V , ale vektor ( 10 ) + ( 01 ) = ( 11 ) 6∈ P ∪ Q, pˇrestoˇze jde o souˇcet dvou vektor˚ u z P ∪ Q. Pozn´ amka 36. Necht’ P, Q ⊂⊂ V , kde V je vektorový prostor nad tˇelesem T . M´ısto sjednocen´ı tedy zkoum´ ame P + Q. Ukaˇzme, ˇze jde o nejmenˇs´ı podprostor, který obsahuje P ∪ Q. Skuteˇcnˇe kaˇzdý vektor z p~ ∈ P je roven p~ + ~0, a tedy patˇr´ı do P + Q. Podobnˇe kaˇzdý vektor ~q ∈ Q je roven ~0 + ~q, a tedy je z P + Q. To znamen´ a, ˇze P ∪ Q ⊂ P + Q. A ˇze je P + Q nejmenˇs´ı takový podprostor plyne z faktu, ˇze kaˇzdý podprostor obsahuj´ıc´ı vˇsechny vektory z P i vˇsechny vektory z Q obsahuje také vˇsechny jejich souˇcty, tedy obsahuje P + Q. Pozn´ amka 37. Ujasnˇeme, jak vypad´ a P + Q, pokud jsou P i Q zad´ any jako LO. Necht’ V je vektorový prostor nad tˇelesem T , necht’ (~x1 , . . . , ~xn ) a (~y1 , . . . , ~ym ) jsou soubory z V . Je-li P = [~x1 , . . . , ~xn ]λ a Q = [~y1 , . . . , ~ym ]λ , pak P + Q = [~x1 , . . . , ~xn , ~y1 , . . . , ~ym ]λ . • Ukaˇzme nejprve, ˇze P + Q ⊂ [~x1 , . . . , ~xn , ~y1 , . . . , ~ym ]λ . Necht’ ~x ∈ P + Q, pak existuj´ı p~ ∈ P a ~q ∈ Q takové, ˇze ~x = pP ~ + ~q. Jelikoˇz p~ ∈ P , je p~ LK n gener´ ator˚ u P , tj. existuj´ı ˇc´ısla α1 , . . .P , αn ∈ T takov´ a, ˇze p~ =P i=1 αi ~xi , aPpodobnˇe existuj´ı m n m ˇc´ısla β1 , . . . , βm ∈ T takov´ a, ˇze ~q = i=1 βi ~yi . Odtud ~x = i=1 αi ~xi + i=1 βi ~yi , a tedy ~x ∈ [~x1 , . . . , ~xn , ~y1 , . . . , ~ym ]λ . • Analogicky uk´ aˇzeme, ˇze [~x1 , . . . , ~xn , ~y1 , . . . , ~ym ]λ ⊂ P + Q. ’ ~x ∈ [~x1 , . . . , ~xn , ~y1 , . . . , ~ym ]λ . Pak existuj´ı ˇc´ısla α1 , . . . , αn , β1 , . . . , βm ∈ T takov´ Necht a, ˇze Pn Pm Pn Pm ~x = i=1 αi ~xi + i=1 βi ~yi . Jelikoˇz i=1 αi ~xi ∈ P a i=1 βi ~yi ∈ Q, vid´ıme, ˇze ~x ∈ P + Q.

4.1

1. vˇ eta o dimenzi

Vˇ eta 13 (1. vˇeta o dimenzi). Necht’ V je vektorový prostor nad tˇelesem T a P, Q ⊂⊂ V . Necht’ dim P < +∞ a dim Q < +∞. Pak plat´ı: dim (P + Q) + dim (P ∩ Q) = dim P + dim Q.

(5)

D˚ ukaz. Rozdˇel´ıme d˚ ukaz na nˇekolik pˇr´ıpad˚ u: 1. Je-li P = {~0}, pak P + Q = Q a P ∩ Q = P a platnost rovnosti (5) je zˇrejmá. 2. Je-li Q = {~0}, je stejnˇe jako v pˇredchoz´ım rovnost (5) zˇrejmá. 3. Je-li P 6= {~0} a Q 6= {~0}, oznaˇcme n = dim P a m = dim Q, plat´ı tedy n, m ∈ N. Rozliˇs´ıme dva pˇr´ıpady: (a) Necht’ P ∩ Q = {~0}. Oznaˇcme (~x1 , . . . , ~xn ) libovolnou bázi P a (~y1 , . . . , ~ym ) libovolnou b´ azi Q. Dok´ aˇzeme-li, ˇze pak (~x1 , . . . , ~xn , ~y1 , . . . , ~ym ) je báze P + Q, bude rovnost (5) dok´ az´ ana, protoˇze pak bude jasné, ˇze dim (P + Q) + dim (P ∩ Q) = (n + m) + 0 = dim P + dim Q. Dokaˇzme tedy, ˇze (~x1 , . . . , ~xn , ~y1 , . . . , ~ym ) je báze P + Q.

28

• Mus´ıme uk´ azat, ˇze (~x1 , . . . , ~xn , ~y1 , . . . , ~ym ) generuje P + Q. Pro kaˇzdé ~x ∈ P + Q existuje p~ ∈ P a ~q ∈ Q takové, ˇze ~x = p~ + ~q. Jelikoˇz p~ ∈ P , lze p~ psáP t jako LK n bazick´ ych vektor˚ u P , tj. existuj´ı ˇc´ısla α1 , . . . , αn ∈ T takov´ a , ˇ z e p ~ = xi , i=1 αi ~ Pm a podobnˇ e existuj´ ı ˇ c ´ ısla β , . . . , β ∈ T takov´ a , ˇ z e ~ q = β ~ y . Odtud ~ x = 1 m i=1 i i Pn Pm α ~ x + β ~ y , a tedy ~ x ∈ [~ x , . . . , ~ x , ~ y , . . . , ~ y ] . 1 n 1 m λ i=1 i i i=1 i i Pn Pm • (~x1 , . . . , ~xn , ~y1 , . . . , ~ym ) je LN, protoˇze libovoln´ a LK αi ~xi + i=1 βi ~yi = ~0 je i=1P Pn m trivi´ aln´ı. To plyne z n´ asleduj´ıc´ıch u ´prav: i=1 αi ~xi = − i=1 βi ~yi , coˇz je vektor patˇ r´ıc´ı do P i do P Q, tedy leˇz´ı v P ∩ Q. Takov´ y vektor je pak ale nutnˇe nulov´ y, P n m tj. i=1 αi ~xi = − i=1 βi ~yi = ~0. Z LN souboru (~x1 , . . . , ~xn ) plyne, ˇze α1 = · · · = αn = 0, a z LN souboru (~y1 , . . . , ~ym ) plyne β1 = · · · = βm = 0, coˇz znamená, ˇze LK je trivi´ aln´ı. (b) Necht’ P ∩ Q 6= {~0}. Oznaˇcme (~z1 , . . . , ~zs ) libovolnou bázi P ∩ Q. Protoˇze P ∩ Q ⊂ P , lze (~z1 , . . . , ~zs ) doplnit na b´ azi P , oznaˇcme ji (~z1 , . . . , ~zs , ~x1 , . . . , ~xn−s ). Protoˇze P ∩ Q ⊂ Q, lze (~z1 , . . . , ~zs ) doplnit na bázi Q, oznaˇcme ji (~z1 , . . . , ~zs , ~y1 , . . . , ~ym−s ). Dokáˇzeme-li, ˇze pak X = (~z1 , . . . , ~zs , ~x1 , . . . , ~xn−s , ~y1 , . . . , ~ym−s ) je báze P + Q, bude rovnost (5) dok´ az´ ana, protoˇze pak bude jasné, ˇze dim (P + Q) + dim (P ∩ Q) = (n + m − s) + s = dim P + dim Q, protoˇze n + m − s je poˇcet vektor˚ u v souboru X . Dokaˇzme tedy, ˇze (~z1 , . . . , ~zs , ~x1 , . . . , ~xn−s , ~y1 , . . . , ~ym−s ) je báze P + Q. • Mus´ıme uk´ azat, ˇze (~z1 , . . . , ~zs , ~x1 , . . . , ~xn−s , ~y1 , . . . , ~ym−s ) generuje P +Q. Pro kaˇzdé ~x ∈ P + Q existuje p~ ∈ P a ~q ∈ Q takové, ˇze ~x = p~ + ~q. Jelikoˇz p~ ∈ P , lze p~ psát jako LK ych vektor˚ Pbazick´ Pn−s u P , tj. existuj´ı ˇc´ısla α1 , . . . , αs , γ1 , . . . , γn−s ∈ T taková, s ˇze p~ = i=1 αi ~zi + i=1 γi ~xi , a podobnˇe existuj´ı ˇc´ısla β1 , . . . , βs , δ1 , . . . , δm−s ∈ T Ps Pm−s Ps Pn−s takov´ a, ˇze ~q = i=1 βi ~zi + i=1 δi ~yi . Odtud ~x = i=1 (αi + βi )~zi + i=1 γi ~xi + Pm−s yi , a tedy ~x ∈ [~z1 , . . . , ~zs , ~x1 , . . . , ~xn−s , ~y1 , . . . , ~ym−s ]λ . i=1 δi ~ Ps • (~z1 , . . . , ~zs , ~x1 , . . . , ~xn−s , ~y1 , . . . , ~ym−s ) je LN, protoˇze libovolná LK αi ~zi + Pn−s Pm−s Pi=1 s ~ β ~ x + γ ~ y = 0 je trivi´ a ln´ ı. To plyne z n´ a sleduj´ ıc´ ıch u ´ prav: zi + i i i i i=1 i=1 αi ~ Pi=1 Pm−s n−s xi = − i=1 γi ~yi , coˇz je vektor patˇr´ıc´ı do P (jak je vidˇet z levé strany i=1 βi ~ rovnosti) i do Q (jak je vidˇet z pravé strany rovnosti), ∩ Q. TaPstedy leˇz´ı vPPn−s kov´ y vektor je pak LK bazick´ ych vektor˚ u P ∩ Q, tj. αi ~zi + i=1 βi ~xi = i=1 Pm−s Ps Ps Pm−s − i=1 γi ~yi = zi . Pak ale i=1 δi ~zi + i=1 γi ~yi = ~0 a z LN i=1 δi ~ Ps souboru (~z1 , . . . , ~zs , ~y1 , . . . , ~ym−s ) plyne, ˇze γ1 = · · · = γm−s = 0. Poté z rovnosti i=1 αi ~zi + Pn−s Pm−s xi = − i=1 γi ~yi = ~0 a z LN souboru (~z1 , . . . , ~zs , ~x1 , . . . , ~xn−s ) plyne, ˇze i=1 βi ~ α1 = · · · = αs = 0 a β1 = · · · = βn−s , coˇz znamená, ˇze LK je triviáln´ı.

Pozn´ amka 38. Vˇsimnˇeme si, ˇze 1. vˇeta o dimenzi by platila i pro prostory P, Q, kde jeden nebo i oba by mˇely dimenzi nekoneˇcnou. Radˇeji jsme ale do pˇredpoklad˚ u pˇridali koneˇcné dimenze, protoˇze napˇr´ıklad v rovnosti dim (P + Q) = dim P + dim Q − dim (P ∩ Q) uˇz je tˇreba koneˇcnost hl´ıdat, abychom neodeˇc´ıtali ∞ − ∞.         1 0 0 1 Pˇ r´ıklad 23. Necht’ P, Q ⊂⊂ R3 . Necht’ P = [ 0  ,  1 ]λ a Q = [ 1  ,  2 ]λ . 0 1 −1 0 Najdˇete dimenzi a b´ azi P + Q a P ∩ Q.         1 0 0 1 ˇ sen´ı: Z pozn´ Reˇ amky o souˇctu LO v´ıme, ˇze P + Q = [ 0  ,  1  ,  1  ,  2 ]λ . Naj´ıt 0 1 −1 0 b´ azi P + Q tedy znamen´ a vybrat b´ azi ze souboru gener´ ator˚ u.     1 0 0 1 1 0 0 1  0 1 1 2 ∼ 0 1 1 2 . 0 1 −1 0 0 0 −2 −2

29

Zmatice v horn´ novit´ aze P + Q je napˇr´ıklad   ımstupˇ  em tvaru vid´ıme, ˇze dim (P + Q) = 3 a b´ 1 0 0 ( 0  ,  1  ,  1 ) (matice m´ a tˇri hlavn´ı sloupce a b´ azi tvoˇr´ı vektory odpov´ıdaj´ıc´ı hlavn´ım 0 1 −1 sloupc˚ um). Pokud bychom chtˇeli jednoduˇsˇs´ı b´ azi P + Q, staˇc´ı si uvˇedomit, ˇze P + Q ⊂⊂ R3 3 a dim (P +Q) = dim R = 3. Z Vˇety 11 o  vlastnostech av´ ame, ˇze P +Q = R3 ,   podprostor˚   u pak dost´ 1 0 0 takˇze jinou b´ az´ı P + Q je napˇr´ıklad E = ( 0  ,  1  ,  0 ). 0 0 1 Z 1. vˇety o dimenzizjist´ıme, ˇ z e dim (P ∩ Q) = 2 + 2 − 3 = 1. Jak´ ykoliv nenulový vektor z P ∩ Q je        1 0 0 1 tedy b´ az´ı. Jelikoˇz ( 0  ,  1  ,  1  ,  2 ) je LZ soubor, jistˇe najdeme α, β, γ, δ ∈ R 0 1 −1 0 takov´ a, ˇze alespoˇ n jedno z nich je nenulové a ˇze           1 0 0 1 0 α 0  + β  1  + γ  1  + δ 2  =  0 . 0 1 −1 0 0 Potom

       0 0 1 1 α  0  + β  1  = −γ  1  − δ  2  ∈ P ∩ Q. 1 −1 0 0  

   0 1 Jde o hledaný nenulový vektor. Kdyby byl totiˇz nulový, plynulo by z LN ( 0  ,  1 ), ˇze 1 0     1 0 n jedno α = β = 0 a z LN ( 1  ,  2 ), ˇze γ = δ = 0, coˇz je spor s pˇredpokladem, ˇze alespoˇ 0 −1 z ˇc´ısel α, β, γ, δ je nenulové. Nezn´ amé najdeme ze stejné matice jako pˇri vyˇsetˇrov´ an´ı b´ aze P + Q:     1 0 0 1 1 0 0 1  0 1 1 2 . 1 2 ∼ 0 1 0 0 −2 −2 0 1 −1 0 Pˇri volbˇe δ = −1, dopoˇcteme uˇz jednoznaˇcnˇe nezn´ amé odpov´ıdaj´ıc´ı hlavn´ım sloupc˚ um γ = 1, β = 1 a α = 1. Odtud           1 0 0 1 1  0  +  1  = −  1  +  2  =  1  ∈ P ∩ Q. 0 1 −1 0 1 Tedy (

1 1 ) je b´ aze P ∩ Q.

4.2

Doplnˇ ek podprostoru

1

Definice 16. Necht’ V je vektorový prostor koneˇcné dimenze nad tˇelesem T a necht’ P, Q ⊂⊂ V . Pokud podprostory splˇ nuj´ı P ⊕ Q = V , pak Q nazveme doplnˇ ek P do V a jeho dimenzi dim Q znaˇc´ıme codim P a nazýv´ ame kodimenze P . Pozn´ amka 39. Vˇsimnˇeme si, ˇze podle 1. vˇety o dimenzi je kodimenze P dobˇre definov´ ana. I kdyby doplˇ nk˚ u existovalo v´ıce, pro kodimenzi P plat´ı: dim P + codim P = dim V + dim (P ∩ Q) a P ∩ Q = {~0}, coˇz plyne z direktnosti souˇctu P ⊕ Q = V . Proto codim P = dim V − dim P , a nez´ avis´ı tedy na volbˇe doplˇ nku P do V .

30

Vˇ eta 14 (Existence doplˇ nku). Necht’ V je vektorový prostor koneˇcné dimenze nad tˇelesem T a necht’ P ⊂⊂ V . Pak doplnˇek P do V existuje. D˚ ukaz.

• Necht’ P = {~0}, pak Q = V splˇ nuje evidentnˇe vlastnosti doplˇ nku.

• Necht’ P = V , pak Q = {~0} splˇ nuje evidentnˇe vlastnosti doplˇ nku. • Necht’ P je vlastn´ı a nenulov´ y podprostor V a oznaˇcme k = dim P . Pak existuje (~x1 , ~x2 , . . . , ~xk ) b´ aze P . Doplˇ nme ji vektory ~xk+1 , . . . , ~xn na bázi (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) V . Pak Q = [~xk+1 , . . . , ~xn ]λ je hledan´ y doplnˇek. Uk´ aˇzeme: 1. P +Q = V , tj. uk´ aˇzeme, ˇze pro kaˇzdé ~x ∈ V existuje e, ˇze ~x = p~ +~q. Pn p~ ∈ P aP~qk∈ Q takov´ P n Jistˇe existuj´ı α1 , α2 , . . . , αn ∈ T tak, ˇze ~x = i=1 αi ~xi = i=1 αi ~xi + i=k+1 αi ~xi a Pk Pn hledan´ ymi vektory jsou p~ = i=1 αi ~xi a ~q = i=k+1 αi ~xi . 2. P ⊕ Q = V , tj. staˇc´ı uk´ azat, ˇze P ∩ Q = {~0}. Je-li ~x ∈ P ∩ Q, pak patˇr´ı do P , proto Pk existuj´ı ˇc´ısla α1 , . . . , αk ∈ T tak, ˇze ~x = i=1 αi ~xi , a také patˇr´ı do Q, tedy existuj´ı ˇc´ısla Pn Pk Pn αk+1 , . . . , αn ∈ T tak, ˇze ~x = i=k+1 αi ~xi . Odtud máme i=1 αi ~xi = i=k+1 αi ~xi , Pk Pn Pk Pn proto ~0 = xi − i=k+1 αi ~xi = xi + i=k+1 (−αi )~xi . Z LN souboru i=1 αi ~ i=1 αi ~ (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) plyne, ˇze αi = 0 pro kaˇzdé i ∈ n ˆ . Tedy ~x = ~0. Pozn´ amka 40. Doplnˇek obvykle nen´ı jediný! Napˇr´ıklad pro V = R2 a P = [( 10 )]λ je doplˇ nkem Q1 = [( 01 )]λ , ale také tˇreba Q2 = [( 11 )]λ . Pˇredstav´ıme-li si situaci geometricky, pak P je pˇr´ımka proch´ azej´ıc´ı poˇc´ atkem ( 00 ) a bodem ( 10 ) a doplˇ nkem P je libovoln´ a pˇr´ımka jdouc´ı poˇc´ atkem, kter´ a je r˚ uzn´ a od P .

31

5

Line´ arn´ı zobrazen´ı

Vˇsude v této kapitole budeme uvaˇzovat vektorové prostory koneˇcné dimenze. Takˇze i kdyˇz to v pˇredpokladech vˇet nebudeme uv´ adˇet, automaticky to pˇredpokládáme. Definice 17. Necht’ P, Q jsou vektorové prostory nad stejným tˇelesem T . Zobrazen´ı A : P → Q nazveme line´ arn´ım (homomorfn´ım), pokud 1. pro kaˇzdé dva vektory ~x, ~y ∈ P plat´ı A(~x +~y ) = A(~x)+A(~y ) (hovoˇr´ıme o aditivitˇ e zobrazen´ı A), 2. pro kaˇzdé α ∈ T a kaˇzdý vektor ~x ∈ P plat´ı A(α~x) = αA(~x) (hovoˇr´ıme o homogenitˇ e zobrazen´ı A). Pozn´ amka 41. M´ısto A(~x) budeme ˇcastˇeji ps´ at A~x. Pozn´ amka 42. Line´ arn´ı zobrazen´ı m´ a smysl zav´ adˇet jen pro vektorové prostory P, Q nad stejným tˇelesem. V podm´ınce 2. (homogenita) se totiˇz ˇc´ısly z tˇelesa n´ asob´ı jak vektory ~x z P , tak i vektory A~x z Q. Pozn´ amka 43. Pro kaˇzdé line´ arn´ı zobrazen´ı A : P → Q plat´ı, ˇze A~0P = ~0Q , pˇriˇcemˇz ~0P je ~ nulový vektor z P a 0Q je nulový vektor z Q. Vysvˇetlen´ı: A~0P = A(0 · ~0P ) = 0 · A~0P = ~0Q , kde v prvn´ı a posledn´ı rovnosti je vyuˇzit fakt z Vˇety 1, ˇze 0~a = ~0 pro kaˇzdý vektor ~a a ve druhé rovnosti je vyuˇzita homogenita A. Pˇ r´ıklad 24. Uved’me nejzn´ amˇejˇs´ı pˇr´ıklady line´ arn´ıch zobrazen´ı A : R2 → R2 .

ˇ Obr´ azek 3: Cervenˇ e vyznaˇceny vektory a modˇre jejich obrazy.

1. zrcadlen´ı podle osy jdouc´ı poˇc´ atkem ( 00 ), 2. rotace o u ´hel α po smˇeru hodinových ruˇciˇcek (samozˇrejmˇe, ˇze také rotace o u ´hel α proti smˇeru hodinových ruˇciˇcek je line´ arn´ı zobrazen´ı, je to vlastnˇe rotace o u ´hel 2π − α po smˇeru hodinových ruˇciˇcek), 32

3. stˇredov´ a soumˇernost, 4. prodlouˇzen´ı (zkr´ acen´ı) ve smˇeru x (zobrazen´ı pˇriˇrad´ı vektoru ( xy ) vektor ( αx y ), kde pro α > 1 jde o prodlouˇzen´ı a pro 0 < α < 1 o zkr´ acen´ı ve smˇeru x) nebo ve smˇeru y. U vˇsech zobrazen´ı sami ovˇeˇrte, ˇze jsou line´ arn´ı. Definice 18. Necht’ P, Q jsou vektorové prostory nad stejným tˇelesem T . Mnoˇzinu line´ arn´ıch zobrazen´ı P → Q znaˇc´ıme L(P, Q). Necht’ A, B ∈ L(P, Q) a α ∈ T , pak operace 1. souˇ cet zobrazen´ı A + B pro kaˇzdý vektor ~x ∈ P definujeme (A + B)~x = A~x + B~x, 2. n´ asoben´ı zobrazen´ı A ˇ c´ıslem α z T αA pro kaˇzdý vektor ~x ∈ P definujeme (αA)~x = αA~x. Vˇ eta 15. Necht’ P, Q jsou vektorové prostory nad stejným tˇelesem T . Pak mnoˇzina L(P, Q) s operacemi sˇc´ıt´ an´ı zobrazen´ı a n´ asoben´ı zobrazen´ı ˇc´ıslem z tˇelesa definovanými výˇse tvoˇr´ı vektorový prostor nad T . D˚ ukaz. Je tˇreba ovˇeˇrit: 1. Nepr´ azdnost L(P, Q): L(P, Q) obsahuje nulové zobrazen´ı O, které kaˇzdému vektoru z P pˇriˇrazuje nulov´ y vektor z Q. O je line´ arn´ı, protoˇze (a) pro kaˇzdé ~x, ~y ∈ P plat´ı O(~x + ~y ) = ~0Q = ~0Q + ~0Q = O~x + O~y , (b) pro kaˇzdé α ∈ T a kaˇzdé ~x ∈ P plat´ı O(α~x) = ~0Q = α~0Q = αO~x. 2. Uzavˇrenost na sˇc´ıt´ an´ı vektor˚ u: Pro kaˇzdé A, B ∈ L(P, Q) ovˇeˇr´ıme, ˇze A + B je lineárn´ı zobrazen´ı. (a) Pro kaˇzdé ~x, ~y ∈ P plat´ı (A+B)(~x+~y ) = A(~x+~y )+B(~x+~y ) = (A~x+A~y )+(B~x+B~y ) = (A~x+B~x)+(A~y +B~y ) = (A+B)~x+(A+B)~y , kde v prvn´ı a posledn´ı rovnosti byla vyuˇzita definice souˇctu zobrazen´ı A + B a ve druhé rovnosti aditivita zobrazen´ı A a B a ve tˇret´ı rovnosti vlastnosti vektorového prostoru Q. (b) Pro kaˇzdé β ∈ T a ~x ∈ P plat´ı (A + B)(β~x) = A(β~x) + B(β~x) = βA~x + βB~x = β(A~x + B~x) = β(A + B)~x, kde v prvn´ı a posledn´ı rovnosti byla vyuˇzita definice souˇctu zobrazen´ı A + B a ve druhé rovnosti homogenita zobrazen´ı A a B a ve tˇret´ı rovnosti vlastnosti vektorového prostoru Q. 3. Uzavˇrenost na n´ asoben´ı vektor˚ u ˇc´ıslem: Pro kaˇzdé α ∈ T a A ∈ L(P, Q) ovˇeˇr´ıme, ˇze αA je lineárn´ı zobrazen´ı. (a) Pro kaˇzdé ~x, ~y ∈ P plat´ı (αA)(~x + ~y ) = αA(~x + ~y ) = α(A~x + A~y ) = αA~x + αA~y = (αA)~x + (αA)~y , kde v prvn´ı a posledn´ı rovnosti byla vyuˇzita definice násobku zobrazen´ı αA a ve druhé rovnosti aditivita zobrazen´ı A a ve tˇret´ı rovnosti vlastnosti vektorového prostoru Q. (b) Pro kaˇzdé β ∈ T a ~x ∈ P plat´ı (αA)(β~x) = αA(β~x) = α(βA~x) = (αβ)A~x = (βα)A~x = β(αA~x) = β(αA)~x, kde v prvn´ı a posledn´ı rovnosti byla vyuˇzita definice násobku zobrazen´ı αA, ve druhé rovnosti homogenita zobrazen´ı A, ve tˇret´ı a páté rovnosti vlastnosti vektorového prostoru Q a ve ˇctvrté rovnosti vlastnosti tˇelesa T . 33

4. Platnost osmi axiom˚ u vektorového prostoru: (a) Pro kaˇzdé A, B ∈ L(P, Q) plat´ı A + B = B + A, protoˇze pro kaˇzdé ~x ∈ P máme (A + B)~x = A~x + B~x = B~x + A~x = (B + A)~x, vyuˇzili jsme tedy komutativn´ıho zákona pro sˇc´ıt´ an´ı vektor˚ u v prostoru Q. (b) Pro kaˇzdé A, B, C ∈ L(P, Q) plat´ı A + (B + C) = (A + B) + C, protoˇze pro kaˇzdé ~x ∈ P m´ ame (A + (B + C))~x = A~x + (B + C)~x = A~x + (B~x + C~x) = (A~x + B~x) + C~x = (A + B)~x + C~x = ((A + B) + C)~x, vyuˇzili jsme tedy asociativn´ıho zákona pro sˇc´ıtán´ı vektor˚ u v prostoru Q. (c) Existuje zobrazen´ı B ∈ L(P, Q) tak, ˇze pro kaˇzdé A ∈ L(P, Q) plat´ı A + B = A, staˇc´ı poloˇzit B := O (nulové zobrazen´ı), o kterém uˇz v´ıme, ˇze je lineárn´ı, a snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze roli nulového vektoru hraje, protoˇze pro kaˇzdé ~x ∈ P plat´ı (A + O)~x = A~x + O~x = A~x + ~0Q = A~x. (d) Pro kaˇzdé A ∈ L(P, Q) existuje B ∈ L(P, Q) tak, ˇze A + B = O, staˇc´ı poloˇzit B = (−1)A, o kterém z uzavˇrenosti na násoben´ı ˇc´ıslem v´ıme, ˇze je lineárn´ı, a snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze hraje roli opaˇcného vektoru k A, protoˇze pro kaˇzdé ~x ∈ P plat´ı (A + ((−1)A))~x = A~x + ((−1)A)~x = A~x + (−1)A~x = A~x − A~x = ~0Q . (e) Pro kaˇzdé α, β ∈ T a pro kaˇzdé A ∈ L(P, Q) plat´ı α(βA) = (αβ)A, protoˇze pro kaˇzd´ y vektor ~x ∈ P m´ ame (α(βA))~x = α(βA)~x = α(βA~x) = (αβ)A~x = ((αβ)A)~x, kde jsme vyuˇzili asociativn´ıho z´ akona vzhledem k operaci násoben´ı ˇc´ıslem v Q. (f) Pro kaˇzdé A ∈ L(P, Q) plat´ı 1A = A, to plyne pˇr´ımo z definice násobku zobrazen´ı ˇc´ıslem. (g) Pro kaˇzdé α, β ∈ T a pro kaˇzdé A ∈ L(P, Q) plat´ı (α+β)A = αA+βA, protoˇze pro kaˇzdé ~x ∈ P m´ ame ((α + β)A)~x = (α + β)A~x = αA~x + βA~x = (αA)~x + (βA)~x = (αA + βA)~x, kde jsme vyuˇzili distributivity operace násoben´ı ˇc´ıslem vzhledem ke sˇc´ıtán´ı ˇc´ısel v Q. (h) Pro kaˇzdé α ∈ T a pro kaˇzdé A, B ∈ L(P, Q) plat´ı α(A + B) = αA + αB, protoˇze pro kaˇzdé ~x ∈ P m´ ame (α(A + B))~x = α(A + B)~x = α(A~x + B~x) = αA~x + αB~x = (αA)~x + (αB)~x = (αA + αB)~x, kde jsme vyuˇzili distributivitu operace násoben´ı ˇc´ıslem vzhledem ke sˇc´ıt´ an´ı vektor˚ u v Q.

Definice 19. Necht’ V je vektorový prostor nad tˇelesem T . • Je-li A ∈ L(V, V ), nazýv´ ame A line´ arn´ı oper´ ator a p´ıˇseme L(V ) m´ısto L(V, V ). • Je-li ϕ ∈ L(V, T ), nazýv´ ame ϕ line´ arn´ı funkcion´ al a p´ıˇseme V # m´ısto L(V, T ) a V # nazýv´ ame du´ aln´ı prostor k V . Pˇ r´ıklad 25. Necht’ V je vektorový prostor nad tˇelesem T . • Pˇr´ıkladem line´ arn´ıho oper´ atoru je identický oper´ ator I, který kaˇzdému ~x ∈ V pˇriˇrad´ı I~x = ~x. • Necht’ X = (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je b´ aze V . Pak pro kaˇzdé i ∈ n ˆ je i-tý souˇradnicový funkcion´ al # ~x# v b´ a zi X pˇ r ´ ıkladem line´ a rn´ ıho funkcion´ a lu, pˇ r iˇ c emˇ z aditivita a homogenita ~ x plyne z i i Vˇety 10 o vlastnostech souˇradnicového funkcion´ alu. Definice 20. Necht’ P, Q jsou vektorové prostory nad stejným tˇelesem T . Necht’ A ∈ L(P, Q). • Je-li A prosté, ˇrekneme, ˇze A je monomorfn´ı. • Je-li A na“ Q, ˇrekneme, ˇze A je epimorfn´ı. ” • Je-li A prosté a na“ Q, ˇrekneme, ˇze A je izomorfn´ı. ” • Je-li A izomorfn´ı a P = Q, ˇrekneme, ˇze A je regul´ arn´ı oper´ ator. 34

Pozn´ amka 44. Definice prostého zobrazen´ı a zobrazen´ı na“ (surjektivn´ıho) zn´ ate z matematické ” analýzy. Pˇresto je pˇripomeneme. Necht’ A : P → Q. • A je prosté, pokud (∀~x, ~y ∈ P )((A~x = A~y ) ⇒ (~x = ~y )). • A je na“ Q, pokud (∀~y ∈ Q)(∃~x ∈ P )(A~x = ~y ). ” Pˇ r´ıklad 26. Necht’ X = (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je b´ aze vektorového prostoru V nad tˇelesem T . Ukaˇzme, ˇze souˇradnicový izomorfismus (.)X v b´ azi X je skuteˇcnˇe izomorfismus. ˇ sen´ı: Pˇripomeˇ Reˇ me, ˇze pro kaˇzdý vektor ~x ∈ V je souˇradnicový izomorfismus definov´ an vzta n α1 α2

hem (~x)X

=  ..  , pokud ~x = .

Pn

i=1

αi ~xi . Z D˚ usledku Vˇety 10 o vlastnostech souˇradnicového

αn

funkcion´ alu plyne linearita souˇradnicového izomorfismu. Zbýv´ a tedy dok´ azat, ˇze (.)X : V → T n je prosté a na“. ” • Prostota:  α1  α2

Pro kaˇzdé ~x, ~y ∈ V plat´ı, ˇze je-li (~x)X = (~y )X a oznaˇc´ıme-li (~x)X =  .. , pak z definice . αn Pn souˇradnicového izomorfismu m´ ame ~x = i=1 αi ~xi = ~y . •

”

n na“ T :  α1 α2

Necht’  ..  ∈ T n , pak pro ~x = . αn

 α1  Pn

i=1

α2

αi ~xi ∈ V plat´ı (~x)X =  ..  . . αn

Vˇ eta 16 (Linearita inverzn´ıho zobrazen´ı). Necht’ A ∈ L(P, Q) je izomorfn´ı, pak A−1 existuje a je také izomorfn´ı. D˚ ukaz. Jelikoˇz A je prosté zobrazen´ı s definiˇcn´ım oborem P a oborem hodnot Q, v´ıme z matematické anal´ yzy, ˇze A−1 existuje, má definiˇcn´ı obor Q a obor hodnot P . Zb´ yvá ovˇeˇrit, ˇze −1 A ∈ L(Q, P ). • Aditivita A−1 : Pro kaˇzdé ~y1 , ~y2 ∈ Q ovˇeˇr´ıme, ˇze A−1 (~y1 + ~y2 ) = A−1 ~y1 + A−1 ~y2 . Oznaˇcme ~x1 = A−1 ~y1 a ~x2 = A−1 ~y1 . Pak z definice inverzn´ıho zobrazen´ı v´ıme, ˇze ~y1 = A~x1 a ~y2 = A~x2 . Z aditivity A m´ ame ~y1 + ~y2 = A~x1 + A~x2 = A(~x1 + ~x2 ). Opˇet z definice inverzn´ıho zobrazen´ı dostáváme A−1 (~y1 + ~y2 ) = ~x1 + ~x2 = A−1 ~y1 + A−1 ~y2 . • Homogenita A−1 : Pro kaˇzdé α ∈ T a kaˇzdé ~y ∈ Q ovˇeˇr´ıme, ˇze A−1 (α~y ) = αA−1 ~y . Oznaˇcme ~x = A−1 ~y , pak z definice inverzn´ıho zobrazen´ı v´ıme, ˇze ~y = A~x. Z homogenity A máme α~y = αA~x = A(α~x). Opˇet z definice inverzn´ıho zobrazen´ı dostáváme A−1 (α~y ) = α~x = αA−1 ~y .

Vˇ eta 17 (Linearita sloˇzeného zobrazen´ı). Necht’ P, Q, V jsou vektorové prostory nad stejným tˇelesem T . Necht’ B ∈ L(P, Q) a A ∈ L(Q, V ). Pak AB ∈ L(P, V ). D˚ ukaz. Sloˇzené zobrazen´ı je pro kaˇzdé ~x ∈ P definováno (AB)~x = A(B~x). Jde tedy o korektnˇe definované zobrazen´ı P do V (A p˚ usob´ı na vektor B~x, kter´ y je z Q). Zb´ yvá ovˇeˇrit linearitu. • Aditivita: Pro kaˇzdé ~x, ~y ∈ P plat´ı (AB)(~x + ~y ) = A(B(~x + ~y )) = A(B~x + B~y ) = A(B~x) + A(B~y ) = (AB)~x + (AB)~y , kde v prvn´ı a posledn´ı rovnosti je vyuˇzita definice sloˇzeného zobrazen´ı, v druhé rovnosti aditivita B a ve tˇret´ı rovnosti aditivita A.

35

• Homogenita: Pro kaˇzdé α ∈ T a kaˇzdé ~x ∈ P plat´ı (AB)(α~x) = A(B(α~x)) = A(αB~x) = αA(B~x) = α(AB)~x, kde v prvn´ı a posledn´ı rovnosti je vyuˇzita definice sloˇzeného zobrazen´ı, v druhé rovnosti homogenita B a ve tˇret´ı rovnosti homogenita A.

Pˇ r´ıklad 27. Necht’ zobrazen´ı A : R3 → R2 a B : R → R3 jsou definov´ ana α1 α1 2 2 2 , • pro kaˇzdé α ∈ R3 je A α = α1α+α 3 α α 3

3

• pro kaˇzdé α1 ∈ R je B(α1 ) =

α1 −α1 α1

.

Ovˇeˇrme, ˇze A ∈ L(R3 , R2 ). ˇ sen´ı: Reˇ • Aditivita: β1 α1 +β1 α1 (α1 +β1 )+(α2 +β2 ) (α1 +α2 )+(β1 +β2 ) 3 β2 α2 +β2 2 ∈ R plat´ ı A = = = , Pro kaˇzdé α α3 +β3 α3 +β3 α3 β3 α3 +β3 α1 β1 β1 +β2 α1 +α2 β2 2 + A , kde jsme vyuˇzili vlastnosti sˇc´ıt´ an´ı ˇc´ısel v R a de=A α + α3 β3 α 3

β3

finici sˇc´ıt´ an´ı vektor˚ u v R2 . • Homogenita: αα1 α1 3 1 +αα2 1 +α2 ) αα2 2 = α(ααα = = αααα ∈ R plat´ ı A Pro kaˇzdé α ∈ R a kaˇzdé α 3 3 αα α 3 3 α1 α1 +α2 2 , kde jsme vyuˇzili vlastnosti sˇc´ıt´ an´ı a n´ asoben´ı ˇc´ısel v R a definici = αA α α α3 α 3

n´ asoben´ı vektoru ˇc´ıslem v R2 . Sami ovˇeˇrte, ˇze B ∈ L(R, R3 ). Z Vˇety 17 o skl´ ad´ an´ı line´ arn´ıch zobrazen´ı v´ıme, ˇze AB ∈ L(R, R2 ). Najdˇeme pˇredpis pro AB. ˇ sen´ı: Pro kaˇzdé α1 ∈ R Reˇ α1 1 = α01 . (AB)(α1 ) = A(B(α1 )) = A −α α 1

Definice 21. Necht’ P, Q jsou vektorové prostory nad tˇelesem T . Necht’ A ∈ L(P, Q). Necht’ M ⊂ P a N ⊂ Q. Pak (stejnˇe jako v matematické analýze) • obrazem M pˇri zobrazen´ı A nazveme mnoˇzinu A(M ) = {A~x ~x ∈ M }, • vzorem N pˇri zobrazen´ı A nazveme mnoˇzinu A−1 (N ) = {~x ∈ P A~x ∈ N }. Pozn´ amka 45. M´ısto A−1 ({~x}) budeme ps´ at A−1 (~x). Pˇ r´ıklad 28. Necht’ A, B definov´ any stejnˇe jako v Pˇr´ıkladˇe 27. 1 2 3 • Necht’ M = {1, 2, 3}, pak B(M ) = { −1 , −2 , −3 }. 1

2

3

1 1 1 • Necht’ N1 = { −2 , −1 } a N2 = { −2 }, pak B −1 (N1 ) = {1} a B −1 (N2 ) = ∅. 1

1

1

α • Necht’ N = {( 01 )}, pak A−1 (N ) = { −α α ∈ R}. 1

Pozn´ amka 46. Neplet’te si vzor mnoˇziny A−1 (N ) (jde o mnoˇzinu) s inverzn´ım zobrazen´ım A−1 (jde o zobrazen´ı). I pro zobrazen´ı, kter´ a nejsou prost´ a, m´ a smysl hovoˇrit o vzorech mnoˇ zin, viz pˇredchoz´ı pˇr´ıklad, kde A−1 (( 01 )) existuje a A nen´ı prosté, protoˇze napˇr´ıklad A

36

0 0 1

=A

1 1 1

.

Vˇ eta 18 (Obraz a vzor podprostoru). Necht’ P, Q jsou vektorové prostory nad tˇelesem T . Necht’ A ∈ L(P, Q). Necht’ M ⊂⊂ P a N ⊂⊂ Q. Pak • A(M ) ⊂⊂ Q, • A−1 (N ) ⊂⊂ P . Speci´ alnˇe A(P ) ⊂⊂ Q. D˚ ukaz. • Dokaˇzme nejprve A(M ) ⊂⊂ Q. (Vˇsimnˇete si, kde v bodech 2., 3. i 4. vyuˇz´ıváme, ˇze M je podprostor.) 1. A(M ) ⊂ Q pˇr´ımo z definice. 2. A(M ) 6= ∅, protoˇze napˇr´ıklad ~0Q = A(~0P ) a ~0P ∈ M , proto ~0Q ∈ A(M ). 3. A(M ) je uzavˇren´ a na sˇc´ıt´ an´ı, protoˇze pro kaˇzdé ~y1 , ~y2 ∈ A(M ) existuj´ı ~x1 , ~x2 ∈ M tak, ˇze ~y1 = A~x1 a ~y2 = A~x2 , odtud dostáváme ~y1 + ~y2 = A~x1 + A~x2 = A(~x1 + ~x2 ) ∈ A(M ), vyuˇzili jsme aditivity A a uzavˇrenosti M na sˇc´ıtán´ı vektor˚ u. 4. A(M ) je uzavˇren´ a na n´ asoben´ı vektoru ˇc´ıslem, protoˇze pro kaˇzdé ~y ∈ A(M ) existuje ~x ∈ M tak, ˇze ~y = A~x. Odtud dostáváme pro kaˇzdé α ∈ T , ˇze α~y = αA~x = A(α~x) ∈ A(M ), vyuˇzili jsme homogenity A a uzavˇrenosti M na násoben´ı vektoru ˇc´ıslem. • Dokaˇzme A−1 (N ) ⊂⊂ P . 1. A−1 (N ) ⊂ P pˇr´ımo z definice. 2. A−1 (N ) 6= ∅, protoˇze napˇr´ıklad ~0Q = A(~0P ) a ~0Q ∈ N , proto ~0P ∈ A−1 (N ). 3. A−1 (N ) je uzavˇren´ a na sˇc´ıtán´ı, protoˇze pro kaˇzdé ~x1 , ~x2 ∈ A−1 (N ) plat´ı A~x1 ∈ N, A~x2 ∈ N a z aditivity A dále dostaneme A(~x1 + ~x2 ) = A~x1 + A~x2 ∈ N , proto ~x1 + ~x2 ∈ A−1 (N ), vyuˇzili jsme uzavˇrenosti N na sˇc´ıtán´ı vektor˚ u. 4. A−1 (N ) je uzavˇren´ a na n´ asoben´ı vektoru ˇc´ıslem, protoˇze pro kaˇzdé ~x ∈ A−1 (N ) plat´ı A~x ∈ N a pro kaˇzdé α ∈ T pak z homogenity A dostaneme A(α~x) = αA~x ∈ N , proto α~x ∈ A−1 (N ), vyuˇzili jsme uzavˇrenosti N na násoben´ı vektoru ˇc´ıslem.

5.1

Hodnost, j´ adro, defekt

Definice 22. Necht’ P, Q jsou vektorové prostory nad tˇelesem T . Necht’ A ∈ L(P, Q). • Hodnost´ı A nazveme dim A(P ) a znaˇc´ıme h(A). • J´ adrem A nazveme A−1 (~0Q ) = {~x ∈ P A~x = ~0Q } a znaˇc´ıme kerA. • Defektem A nazveme dim kerA a znaˇc´ıme d(A). Pozn´ amka 47. M´ a smysl uvaˇzovat dimenzi oboru hodnot A(P ) a j´ adra kerA, protoˇze z Vˇety 18 o obrazech a vzorech podprostor˚ u plyne, ˇze jde o podprostory. Pˇ r´ıklad 29. Pro zobrazen´ı A, B z Pˇr´ıkladu 27 urˇceme hodnost, j´ adro a defekt. ˇ sen´ı: Reˇ α1 α 1 3 α1 +α2 0 )} = { −α α ∈ R} = [ −1 2 • kerA = { α ∈ R = ( ]λ . Proto d(A) = 1. α 0 3 α3 0 0 1 0 A(R3 ) ⊂⊂ R2 , proto h(A) ≤ 2. Z´ aroveˇ n A 0 = ( 10 ) a A 0 = ( 01 ) ∈ A(R3 ), proto 0

1

h(A) ≥ 2. Suma sum´ arum je h(A) = 2 a z Vˇety 11 o vlastnostech podporstor˚ u plyne, ˇze A(R3 ) = R2 . α1 0 1 • kerB = {(α1 ) ∈ R −α = 0 } = {0}. Proto d(B) = 0. α1 0 1 B(R) = [ −1 ]λ . Tedy h(B) = 1. 1

37

Vˇ eta 19 (Obraz line´ arn´ıho obalu). Necht’ P, Q jsou vektorové prostory nad tˇelesem T . Necht’ A ∈ L(P, Q). Necht’ (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je soubor z P . Pak A([~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ ) = [A~x1 , A~x2 , . . . , A~xn ]λ . D˚ ukaz. Dokazujeme rovnost mnoˇzin, tedy dvˇe inkluze. • A([~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ ) ⊂ [A~x1 , A~x2 , . . . , A~xn ]λ : Necht’ ~y ∈ A([~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ ), pak existuje y, ˇze ~y = A~x. Tedy Pn ~x ∈ [~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ takov´ existuj´ı αP ∈ T tak, ˇze ~x = i=1 αi ~xi , odtud d´ıky linearitˇe A dostáváme ~y = 1 , α2 , . . . , αn P n n A~x = A( i=1 αi ~xi ) = i=1 αi A~xi ∈ [A~x1 , A~x2 , . . . , A~xn ]λ . • [A~x1 , A~x2 , . . . , A~xn ]λ ⊂ A([~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ ): Pn ’ Necht Pn ~y ∈ [A~x1 , A~x2 , . . . , A~xn ]λ , pak existuj´ı α1 , α2 , . . . , αn ∈ T taková, ˇze ~y = i=1 αi A~xi = A( i=1 αi ~xi ) ∈ A([~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ ), v posledn´ı rovnosti jsme vyuˇzili linearitu A.

Pˇ r´ıklad 30. Vˇeta 19 o obrazu line´ arn´ıho obalu umoˇzn ˇuje vypoˇc´ıtat snadno hodnost zobrazen´ı. Necht’ A jako v Pˇr´ıkladˇe 27.Najdˇ e te h(A). ˇ sen´ı: Pak A(R3 ) = A([ 10 , 01 , 00 ]λ ) = [A 10 , A 01 , A 00 ]λ = [( 1 ) , ( 1 ) , ( 0 )]λ = Reˇ 0 0 1 0

0

1

0

0

1

R2 , proto h(A) = 2. Vˇ eta 20 (Prostota a j´ adro line´ arn´ıho zobrazen´ı). Necht’ P, Q jsou vektorové prostory nad tˇelesem ’ T . Necht A ∈ L(P, Q). A je prosté, pr´ avˇe kdyˇz kerA = {~0P }. D˚ ukaz. Dokazujeme ekvivalenci, tedy dvˇe implikace. (⇒): Dok´ aˇzeme implikaci sporem. Pˇredpokládáme tedy, ˇze A je prosté a kerA 6= {~0P }. Pak existuje v kerA vektor ~x 6= ~0P , tedy A~x = ~0Q = A~0P , to je ale spor s prostotou A. (⇐): Postupujeme opˇet sporem. Pˇredpokládáme, ˇze kerA = {~0P } a zároveˇ n A nen´ı prosté, tj. existuj´ı ~x, ~y ∈ P takové, ˇze A~x = A~y a pˇritom ~x 6= ~y . Odtud máme d´ıky linearitˇe A rovnost A(~x − ~y ) = ~0Q , coˇz ale znamen´ a, ˇze ~x − ~y ∈ kerA, a to je spor s kerA = {~0P }. Pˇ r´ıklad 31. Uk´ aˇzeme, ˇze obdobné tvrzen´ı pro zobrazen´ı, které nen´ı line´ arn´ı, neplat´ı. Necht’ ϕ : 2 2 2 1 1 R2 → R je funkcion´ al definovaný n´ asledovnˇe. Pro kaˇzdé ( α ϕ(α α2 ) ∈ R definujeme α2 ) = α1 + α2 . α1 α1 2 1 0 0 Pak ϕ nen´ı prostý - napˇr´ıklad ϕ ( 0 ) = ϕ ( 1 ) a z´ aroveˇ n {( α2 ) ∈ R ϕ ( α2 ) = 0} = {( 0 )}. Podle vˇety o prostotˇe a j´ adru line´ arn´ıho zobrazen´ı je jasné, ˇze ϕ nen´ı line´ arn´ı. Jinými slovy: pˇredpoklad linearity zobrazen´ı A v pˇredchoz´ı vˇetˇe je nezbytný! Vˇ eta 21 (Nerovnosti pro hodnost). Necht’ P, Q jsou vektorové prostory nad tˇelesem T a necht’ A ∈ L(P, Q). Pak h(A) ≤ dim Q a h(A) ≤ dim P . D˚ ukaz.

• Jelikoˇz A(P ) ⊂⊂ Q, je jasné, ˇze h(A) = dim A(P ) ≤ dim Q.

• Pro P = {~0}, je h(A) = dim A(P ) = 0, a tedy h(A) ≤ dim P . Pro P 6= {~0} oznaˇcme (~x1 , . . . , ~xn ) b´ azi P , tedy dim P = n ∈ N. Pak A(P ) = A([~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ ) = [A~x1 , A~x2 , . . . , A~xn ]λ , odkud plyne, ˇze h(A) = dim A(P ) ≤ n = dim P . Vˇ eta 22 (Hodnost sloˇzeného zobrazen´ı). Necht’ P, Q, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem T a necht’ B ∈ L(P, Q) a A ∈ L(Q, V ). Pak • h(AB) ≤ h(A), a je-li B izomorfn´ı, pak plat´ı h(AB) = h(A), • h(AB) ≤ h(B), a je-li A izomorfn´ı, pak plat´ı h(AB) = h(B).

38

D˚ ukaz. • h(AB) = dim A(B(P )), protoˇze B(P ) ⊂⊂ Q, plat´ı, ˇze A(B(P )) ⊂⊂ A(Q). Proto h(AB) ≤ dim A(Q) = h(A). Vˇsimnˇeme si, ˇze je-li B na“ Q, tj. B(P ) = Q, pak plat´ı ” rovnost. Tedy ve vˇetˇe staˇcilo dokonce pˇredpokládat B epimorfn´ı. • Je-li h(B) = 0, pak h(AB) = 0 a nerovnost plat´ı. Pokud h(B) = n, oznaˇcme (~x1 , . . . , ~xn ) b´ azi B(P ), pak h(AB) = dim A([~x1 , . . . , ~xn ]λ ) = [A~x1 , . . . , A~xn ]λ ≤ n = h(B). Je-li A prosté, staˇc´ı dok´ azat, ˇze (A~x1 , . . . , A~xn ) je LN, a tud´ıˇz h(AB) = h(B). Tedy ve vˇetˇe staˇcilo dokonce pˇredpokl´ adat A monomorfn´ı. Pn Dokaˇzme tedy line´ arn´ı nez´ avislost (A~x1 , . . . , A~xn ). Uvaˇzujme libovolnou LK i=1 αi A~xi = P ~0Q , pak d´ıky linearitˇe A plat´ı A( n αi ~xi ) = ~0Q . Jelikoˇz je A prosté, plat´ı kerA = {~0P }, i=1 Pn proto i=1 αi ~xi = ~0P . Z LN souboru (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) pak plyne, ˇze αi = 0 pro kaˇzdé i ∈ n ˆ. Tedy soubor (A~x1 , A~x2 , . . . , A~xn ) je LN. Pozn´ amka 48. Vˇsimnˇeme si, ˇze v druhé ˇc´ asti d˚ ukazu pˇredchoz´ı vˇety jsme se dozvˇedˇeli, ˇze plat´ı n´ asleduj´ıc´ı implikace: Je-li A ∈ L(P, Q) a A prosté, pak (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je LN soubor v P ⇒ (A~x1 , A~x2 , . . . , A~xn ) je LN soubor v Q. Sami si rozmyslete, ˇze opaˇcný smˇer plat´ı pro libovolné line´ arn´ı zobrazen´ı: Je-li A ∈ L(P, Q), pak (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je LN soubor v P ⇐ (A~x1 , A~x2 , . . . , A~xn ) je LN soubor v Q. Vˇ eta 23 (Zad´ an´ı line´ arn´ıho zobrazen´ı pomoc´ı obraz˚ u bazick´ ych vektor˚ u). Necht’ P, Q jsou vek’ torové prostory nad tˇelesem T . Necht X = (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je b´ aze P a (~y1 , ~y2 , . . . , ~yn ) je libovolný soubor z Q. Pak existuje pr´ avˇe jedno A ∈ L(P, Q) splˇ nuj´ıc´ı pro kaˇzdé i ∈ n ˆ A~xi = ~yi . Slovy: Line´ arn´ı zobrazen´ı je jednoznaˇcnˇe urˇceno, jsou-li d´ any obrazy bazických vektor˚ u.“ ” D˚ ukaz. • Existence:   α1 α2

Pro kaˇzdé ~x ∈ P , oznaˇcme (~x)X

=  ..  a definujme . αn

A~x =

n X

αi ~yi .

i=1

Pak A : P → Q a evidentnˇe splˇ nuje A~xi = ~yi pro kaˇzdé i ∈ n ˆ . Zb´ yvá ukázat, ˇze A je lineárn´ı. – Aditivita:

 β1 

 α1  α2

β2

Pro kaˇzdé ~x, ~y ∈ P , oznaˇcme (~x)X =  ..  a (~y )X =  .. , pak z aditivity . . αn βn  α1 +β1  α2 +β2

souˇradnicového izomorfismu v´ıme, ˇze (~x + ~y )X = 

.. .

, odkud dostaneme

αn +βn

A(~x + ~y ) =

n X

(αi + βi )~xi =

i=1

n X i=1

39

αi ~xi +

n X i=1

βi ~xi = A~x + A~y .

– Homogenita:  α1  α2

Pro kaˇzdé α ∈ T a kaˇzdé ~x ∈ P , oznaˇcme (~x)X =  .. , pak z homogenity souˇradnicového . αn  αα1  αα2

izomorfismu v´ıme, ˇze (α~x)X =  .. , odkud dostaneme . ααn

A(α~x) =

n X

(ααi )~xi = α

i=1

n X

αi ~xi = αA~x.

i=1

• Jednoznaˇcnost: Necht’ B∈ L(P, nuje B~xi = ~yi pro kaˇzdé i ∈ n ˆ . Pak pro kaˇzdé ~x ∈ P , pro které  Q) splˇ α1 α2

(~x)X =  .. , plat´ı d´ıky linearitˇe B . αn

B~x = B(

n X

αi ~xi ) =

n X

αi B~xi =

αi ~yi = A~x.

i=1

i=1

i=1

n X

Proto B = A. ˇ sen´ı rovnice A~x = ~b). Necht’ P, Q jsou vektorové prostory nad tˇelesem T . Necht’ Vˇ eta 24 (Reˇ A ∈ L(P, Q) a ~b ∈ A(P ). Pak mnoˇzina vˇsech ˇreˇsen´ı A~x = ~b, tedy A−1 (~b), m´ a tvar {~x ∈ P A~x = ~b} = ~a + kerA, kde ~a ∈ P splˇ nuje A~a = ~b (~a nazýv´ ame partikul´ arn´ım ˇ reˇ sen´ım). Pozn´ amka 49. Vˇsimnˇeme si, ˇze z pˇredpokladu ~b ∈ A(P ) existence partikul´ arn´ıho ˇreˇsen´ı ~a plyne. D˚ ukaz. Dokazujeme rovnost dvou mnoˇzin, tedy dvˇe inkluze. • {~x ∈ P A~x = ~b} ⊂ ~a + kerA: Necht’ A~x = ~b a ~a je partikul´ arn´ı ˇreˇsen´ı, pak A(~x − ~a) = A~x − A~a = ~b − ~b = ~0Q , proto ~x − ~a ∈ kerA, tedy ~x ∈ ~a + kerA. • ~a + kerA ⊂ {~x ∈ P A~x = ~b}: Necht’ ~x ∈ ~a +kerA, pak existuje ~z ∈ kerA tak, ˇze ~x = ~a +~z. Pak A~x = A(~a +~z) = A~a +A~z = ~b + ~0Q = ~b. Proto ~x ∈ {~x ∈ P A~x = ~b}.

Pˇ r´ıklad 32. Necht’ A : R3 → R2 je definované pro kaˇzdé 1 Uˇz jsme v Pˇr´ıkladu 29 vyˇsetˇrili, ˇze kerA = [ −1 ]λ a ˇze

α1 α2 α3

∈ R3 jako A

α1 α2 α3

=

α1 +α2 α3

.

0

0 1 α A−1 (( 01 )) = { −α α ∈ R} = 0 + [ −1 ]λ .

1

1

0

Tedy vid´ıme, ˇze mnoˇzinu ˇreˇsen´ı rovnice A~x = ( 01 ) z´ısk´ ame sˇc´ıt´ an´ım partikul´ arn´ıho ˇreˇsen´ı se vˇsemi moˇznými vektory z j´ adra.

40

5.2

2. vˇ eta o dimenzi

Vˇ eta 25 (2. vˇeta o dimenzi). Necht’ P, Q jsou vektorové prostory nad tˇelesem T a necht’ A ∈ L(P, Q). Pak h(A) + d(A) = dim P. D˚ ukaz.

1. Je-li h(A) = 0, pak kerA = P a tvrzen´ı vˇety evidentnˇe plat´ı.

2. Je-li h(A) = k ∈ N, pak existuje (~y1 , . . . , ~yk ) báze A(P ). Z definice A(P ) v´ıme, ˇze pak existuj´ı vektory ~x1 , . . . , ~xk , pro které ~yi = A~xi . Podle Poznámky 48 plat´ı, ˇze (~x1 , . . . , ~xk ) je LN soubor. Oznaˇcme P˜ = [~x1 , . . . , ~xk ]λ a ukaˇzme, ˇze kerA je doplnˇek P˜ do P , tj. P = P˜ ⊕ kerA. Pak bude jasné, ˇze dim P = k + d(A) = h(A) + d(A). Tedy ukáˇzeme: (a) P˜ + kerA = P , tj. pro kaˇzdé ~x ∈ P existuje p~ ∈ P˜ a ~q ∈ kerA tak, ˇze ~x = p~ + ~q. Jelikoˇz A~x ∈ A(P ) a (~y1 , . . . , ~yk ) je báze A(P ), existuj´ı koeficienty α1 , . . . , αk ∈ T takové, ˇze Pk Pk Pk A~x = i=1 αi ~yi = i=1 αi A~xi , pak poloˇz´ıme p~ = i=1 αi ~xi a ~q = ~x − p~ a ovˇeˇr´ıme, Pk Pk ˇze ~q ∈ kerA. A~q = A~x − A( i=1 αi ~xi ) = A~x − i=1 αi A~xi = A~x − A~x = ~0Q , proto skuteˇcnˇe ~q ∈ kerA. (b) P˜ ⊕ kerA = P , tj. staˇc´ı ovˇeˇrit P˜ ∩ kerA = {~0P }. Je-li ~x ∈ P˜ , pak existuj´ı α1 , . . . , αk ∈ Pk Pk T takov´ a, ˇze ~x = xi , a je-li ~x zároveˇ n z kerA, pak A~x = A( i+1 αi ~xi ) = i=1 αi ~ Pk ˆ tedy vektor xi = ~0Q a z LN (A~x1 , . . . , A~xk ) plyne, ˇze αi = 0 pro kaˇzdé i ∈ k, i=1 αi A~ ~x z pr˚ uniku je nulov´ y.

Pˇ r´ıklad 33. Nebudeme dˇelat nový pˇr´ıklad, ale nab´ ad´ ame ˇcten´ aˇre, aby se vr´ atil k Pˇr´ıkladu 29, kde jsme vyˇsetˇrili j´ adro a hodnost zobrazen´ı A a B, a zkontroloval, ˇze rovnost z 2. vˇety o dimenzi pro nˇe plat´ı. Pozn´ amka 50. Necht’ P, Q jsou vektorové prostory nad tˇelesem T a necht’ A ∈ L(P, Q) je izomorfn´ı, pak z 2. vˇety o dimenzi plyne, ˇze h(A) = dim P . A samozˇrejmˇe, protoˇze A(P ) = Q, plat´ı také, ˇze h(A) = dim Q. ˇ Definice 23. Necht’ P, Q jsou vektorové prostory nad tˇelesem T . Rekneme, ˇze P a Q jsou izo∼ morfn´ı, p´ıˇseme P = Q, pokud existuje izomorfismus A ∈ L(P, Q). Pˇ r´ıklad 34. Necht’ Vn je vektorový prostor dimenze n ∈ N nad tˇelesem T . Pak Vn ∼ = T n , protoˇze n souˇradnicový izomorfismus napˇr´ıklad ve standardn´ı b´ azi zobrazuje Vn na T . Tento pojem se zav´ ad´ı i pro prostory s nekoneˇcnou dimenz´ı. U prostor˚ u s koneˇcnou dimenz´ı, coˇz je n´ aˇs pˇr´ıpad, je lehké rozhodnout, zda jsou izomorfn´ı. Vˇ eta 26 (Izomorfismus prostor˚ u koneˇcné dimenze). Necht’ P, Q jsou vektorové prostory nad ∼ tˇelesem T . Pak P = Q pr´ avˇe tehdy, kdyˇz dim P = dim Q. D˚ ukaz. Dokazujeme ekvivalenci, tedy dvˇe implikace. (⇒): Necht’ P ∼ = Q, pak existuje izomorfismus A ∈ L(P, Q). Z Poznámky 50 plyne, ˇze pak dim P = h(A) = dim Q. (⇐): 1. Pokud dim P = dim Q = 0, pak je zˇrejmé, ˇze P ∼ = Q. 2. Necht’ dim P = dim Q = n ∈ N, pak existuj´ı (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) báze P a (~y1 , ~y2 , . . . , ~yn ) báze Q. Z Vˇety 23 o zad´ an´ı line´ arn´ıho zobrazen´ı pomoc´ı obraz˚ u bazick´ ych vektor˚ u v´ıme, ˇze pak existuje pr´ avˇe jedno line´ arn´ı A ∈ L(P, Q) splˇ nuj´ıc´ı A~xi = ~yi pro kaˇzdé i ∈ n ˆ . Ukaˇzme, ˇze toto zobrazen´ı je izomorfn´ı, tj. zb´ yvá dokázat, ˇze je prosté a na“ Q. ” Pn • A je prosté, protoˇze pro libovoln´ y vektor ~x ∈ kerA, kde ~x = i=1 αi ~xi , plat´ı A~x = Pn Pn A( i=1 αi ~xi ) = i=1 αi ~yi = ~0Q . Z LN souboru (~y1 , ~y2 , . . . , ~yn ) plyne, ˇze αi = 0 pro kaˇzdé i ∈ n ˆ , tedy kerA = {~0P }. 41

• A je na“ Q, protoˇze ” A(P ) = A([~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ]λ ) = [A~x1 , A~x2 , . . . , A~xn ]λ = [~y1 , ~y2 , . . . , ~yn ]λ = Q.

Vˇ eta 27 (Jednoduˇsˇs´ı ovˇeˇren´ı izomorfnosti zobrazen´ı). Necht’ P, Q jsou vektorové prostory nad tˇelesem T a dim P = dim Q a necht’ A ∈ L(P, Q). Pak A je izomorfn´ı, pr´ avˇe kdyˇz A je monomorfn´ı nebo A je epimorfn´ı. D˚ ukaz. Implikace (⇒) je zˇrejm´ a. Ovˇeˇrujeme tedy pouze (⇐): • Je-li A monomorfn´ı, pak d(A) = 0 a z 2. vˇety o dimenzi plyne, ˇze h(A) = dim P . Protoˇze dim P = dim Q, m´ ame h(A) = dim A(P ) = dim Q a zároveˇ n A(P ) ⊂⊂ Q. Podle Vˇety 11 o vlastnostech podprostor˚ u plat´ı A(P ) = Q, coˇz znamená, ˇze A je na“ Q. ” • Je-li A epimorfn´ı, pak A(P ) = Q, tedy h(A) = dim Q. Protoˇze dim Q = dim P , dostáváme z 2. vˇety o dimenzi, ˇze d(A) = 0, tedy kerA = {~0P } a A je prosté.

Pozn´ amka 51. Speci´ alnˇe pro line´ arn´ı oper´ atory A ∈ L(P ) pˇredchoz´ı vˇeta ˇr´ık´ a, ˇze jsou-li prosté, pak uˇz jsou automaticky na“ P , a jsou-li na“ P , pak jsou automaticky prosté. ” ”

42

6

Matice a line´ arn´ı zobrazen´ı

Jiˇz zn´ ame T m,n vektorov´ y prostor matic s prvky z tˇelesa T o m ˇrádc´ıch a n sloupc´ıch. V´ıme, ˇze sˇc´ıt´ an´ı matic a n´ asoben´ı matice ˇc´ıslem z T je definováno po prvc´ıch. Nyn´ı zavedeme dalˇs´ı operaci - n´ asoben´ı matic. Definice 24. Necht’ A je matice typu m × n a B typu n × p s prvky z T . Pak souˇ cinem A a B nazveme matici typu m × p, znaˇc´ıme ji AB, definovanou [AB]ij =

n X

pro kaˇzdé i ∈ m, ˆ j ∈ pˆ.

Aik Bkj

k=1

Pˇ r´ıklad 35. Necht’ A =

3 2

1 3

 2 0 a B = 3 4 0

 0 9 4. Pak AB = 13 1



6 4 a BA = 17 16 2

2 15 3

 0 16. 4

Vˇ eta 28 (Vlastnosti n´ asoben´ı matic). N´ asoben´ı matic 1. je asociativn´ı, tj. necht’ A je matice typu m × n, B typu n × p a C typu p × s s prvky z T , pak (AB)C = A(BC), 2. je distributivn´ı, tj. necht’ A je matice typu m × n, B a C typu n × p s prvky z T , pak A(B + C) = AB + AC, 3. nen´ı obecnˇe komutativn´ı, ani kdyˇz n´ asob´ıme ˇctvercové matice, tj. existuj´ı ˇctvercové matice A a B s prvky z T takové, ˇze AB 6= BA. D˚ ukaz. 1. Zkontrolujme nejprve podle definice násoben´ı matic rozmˇery matic. Matice AB je typu m × p. Proto matice (AB)C je typu m × s. Jelikoˇz BC je typu n × s, je A(BC) typu m × s. Nyn´ı staˇc´ı uk´ azat, ˇze pro kaˇzdé i ∈ m ˆ a j ∈ sˆ plat´ı [(AB)C]ij = [A(BC)]ij . Podle definice n´ asoben´ı matic a prac´ı se sumami dostaneme následuj´ıc´ı rovnosti: ! ! p p p n n X X X X X [(AB)C]ij = [AB]ik [C]kj = [A]i` [B]`k [C]kj = [A]i` [B]`k [C]kj = k=1

=

p n X X `=1

k=1

k=1

`=1

p n n X X X [A]i` [B]`k [C]kj = [A]i` [BC]`j = [A(BC)]ij .

! [A]i` [B]`k [C]kj

`=1

=

k=1

`=1

k=1

`=1

Ve tˇret´ı rovnosti jsme rozn´ asobili vnitˇrn´ı sumu, ve ˇctvrté rovnosti jsme zamˇenili sumy a v p´ até rovnosti jsme vyt´ ykali z vnitˇrn´ı sumy. 2. Zkontrolujme nejprve podle definice násoben´ı matic rozmˇery matic. Matice B + C je typu n × p, proto A(B + C) je typu m × p. Matice AB i AC jsou typu m × p, proto jejich souˇcet AB + AC je také typu m × p. Nyn´ı staˇc´ı ovˇeˇrit, ˇze pro kaˇzdé i ∈ m ˆ a j ∈ pˆ plat´ı [A(B + C)]ij = [AB + AC]ij . Podle definice n´ asoben´ı a sˇc´ıt´ an´ı matic dostaneme následuj´ıc´ı rovnosti: [A(B + C)]ij =

n X

[A]ik [B + C]kj =

k=1

=

n X

[A]ik [B]kj +

k=1

n X

n X

[A]ik ([B]kj + [C]kj ) =

k=1

[A]ik [C]kj = [AB]ij + [AC]ij = [AB + AC]ij .

k=1

43

3. Je-li A typu m × n a B typu n × p, pak AB je typu m × p. Aby BA existovala, mus´ı b´ yt m = p, rozmˇer BA je pak n × n. Aby AB a BA mˇely stejn´ y rozmˇer, mus´ı b´ yt tedy m = p = n, neboli A a B mus´ı b´ yt ˇctvercové matice stejného typu. Ani tehdy ale nemus´ı rovnost platit. Napˇr´ıklad pro A = ( 11 10 ) a B = ( 01 10 ) je AB = ( 10 11 ) a BA = ( 11 01 ). Pozn´ amka 52. Pˇri znalosti n´ asoben´ı matic lze soustavu m line´ arn´ıch algebraických rovnic pro n nezn´ amých x1 , x2 , . . . , xn a11 x1 a21 x1 .. .

+ +

a12 x2 a22 x2 .. .

+ ... + ... .. .

+ +

a1n xn a2n xn .. .

= =

b1 b2 .. .

am1 x1

+

am2 x2

+ ...

+

amn xn

= bm

~ zapsat ym (vektorov´ ym)z´ apisem  maticov´    bjako  A~x = b, kde a11 a12 ... a1n x1 1 a21 a22 ...

A =  .. .

am1

a2n

x2

b2

mn

n

bm

.. . . ..  , ~x =  ..  , ~b =  . . .. . . . . a ... a x m2

Definice 25. Necht’ Pn , Qm jsou vektorové prostory nad tˇelesem T (indexy znaˇc´ı dimenzi). Necht’ A ∈ L(Pn , Qm ) a necht’ X = (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je b´ aze Pn a Y je b´ aze Qm . Pak matici XAY typu X Y m × n, jej´ıˇz j-tý sloupec je definov´ an jako [ A ]•j = (A~xj )Y , nazýv´ ame matice zobrazen´ı A v b´ az´ıch X a Y. Pozn´ amka 53. Oznaˇcme (~y1 , ~y2 , . . . , ~ym ) b´ azi Y, pak lze popsat prvky matice pomoc´ı souˇradnicových funkcion´ al˚ u v b´ azi Y. Pro kaˇzdé i ∈ m ˆ aj∈n ˆ plat´ı [XAY ]ij = ~yi# (A~xj ). Pozn´ amka 54. Chceme-li zapsat XAY nar´ az jako matici, m˚ uˇzeme ps´ at XAY = ((A~x1 )Y , (A~x2 )Y , . . . , (A~xn )Y ), kde ˇc´ arkami oddˇelujeme jednotlivé sloupce matice. Vˇ eta 29 (Vlastnosti matice zobrazen´ı v báz´ıch). Necht’ Pn , Qm jsou vektorové prostory nad tˇelesem T . Necht’ A, B ∈ L(Pn , Qm ) a necht’ X = (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) je b´ aze Pn a Y je b´ aze Qm . Necht’ α ∈ T . Pak plat´ı: 1. X(A + B)Y =X AY +X B Y , 2. X(αA)Y = αXAY . D˚ ukaz.

1. Porovn´ ame j-té sloupce matic pro kaˇzdé j ∈ n ˆ.

[X(A+B)Y ]•j = ((A + B)~xj )Y = (A~xj + B~xj )Y = (A~xj )Y +(B~xj )Y = [XAY ]•j +[XB Y ]•j = [XAY +XB Y ]•j . Ve druhé rovnosti jsme uˇzili definici souˇctu zobrazen´ı, ve tˇret´ı aditivity souˇradnicového izormorfismu v b´ azi Y, v posledn´ı definici sˇc´ıtán´ı matic a v prvn´ı a pˇredposledn´ı rovnosti definici matice zobrazen´ı. 2. Porovn´ ame j-té sloupce matic pro kaˇzdé j ∈ n ˆ. [X(αA)Y ]•j = ((αA)~xj )Y = (α(A~xj ))Y = α(A~xj )Y = α[XAY ]•j = [αXAY ]•j . Ve druhé rovnosti jsme uˇzili definici násoben´ı zobrazen´ı ˇc´ıslem, ve tˇret´ı homogenity souˇradnicového izormorfismu v b´ azi Y, v posledn´ı definici násoben´ı matice ˇc´ıslem a v prvn´ı a pˇredposledn´ı rovnosti definici matice zobrazen´ı.

44

Vˇ eta 30 (V´ ypoˇcet obrazu vektoru pomoc´ı matice v báz´ıch). Necht’ Pn , Qm jsou vektorové prostory nad tˇelesem T . Necht’ A ∈ L(Pn , Qm ) a necht’ X je b´ aze Pn a Y je b´ aze Qm . Necht’ ~x ∈ Pn . Pak plat´ı (A~x)Y =X AY (~x)X . D˚ ukaz. (A~x)Y je vektor z T m a XAY (~x)X je souˇcin matic typu m × n a n × 1, jde tedy o matici z m,1 T = T m . Rozmˇery jsou tedy shodné.  α1  α2

Oznaˇcme (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) b´ azi X a (~x)X =  .. . Pak . αn

(A~x)Y = (A(α1 ~x1 +α2 ~x2 +· · ·+αn ~xn ))Y = (α1 A~x1 +α2 A~x2 +· · ·+αn A~xn )Y = α1 (A~x1 )Y +α2 (A~x2 )Y +· · ·+αn (A~xn )Y . Ve druhé rovnosti jsme vyuˇzili linearity A a ve tˇret´ı rovnosti linearity souˇradnicového izomorfismu v b´ azi Y. Nyn´ı uˇz staˇc´ı si rozmyslet podle definice násoben´ı matic, ˇze  α1  α2

α1 (A~x1 )Y + α2 (A~x2 )Y + · · · + αn (A~xn )Y = ((A~x1 )Y , (A~x2 )Y , . . . , (A~xn )Y )  ..  =X AY (~x)X . . αn

Pozn´ amka 55. Vˇeta 30 o výpoˇctu obrazu vektoru pomoc´ı matice v b´ az´ıch umoˇzn ˇuje pˇreformulovat u ´lohu ˇreˇsit rovnici A~x = ~b na ˇreˇsen´ı soustavy LAR. Necht’ Pn , Qm jsou vektorové prostory nad tˇelesem T . Necht’ A ∈ L(Pn , Qm ) a necht’ X je b´ aze X Y ~ ’ ’ Pn a Y je b´ aze Qm . D´ ale necht b ∈ A(Pn ) a necht je zad´ ana matice zobrazen´ı A . Z Vˇety 24 o ˇreˇsen´ı rovnice A~x = ~b v´ıme, ˇze ˇreˇsen´ı A~x = ~b m´ a tvar ~a + kerA, kde ~a je partikul´ arn´ı ˇreˇsen´ı. 1. kerA: Z hodnosti h(A), kterou um´ıme z matice XAY urˇcit, spoˇc´ıt´ ame defekt d(A) a poté najdeme b´ azi j´ adra n´ asleduj´ıc´ım zp˚ usobem: A~x = ~0 ⇔ (A~x)Y = (~0)Y , jelikoˇz (A~x)Y =X AY (~x)X , staˇc´ı naj´ıt d(A) LN ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy s matic´ı XAY . T´ım z´ısk´ ame souˇradnice bazických vektor˚ u z j´ adra v b´ azi X . 2. Partikul´ arn´ı ˇreˇsen´ı ~a: A~a = ~b ⇔ (A~a)Y = (~b)Y , jelikoˇz (A~a)Y =X AY (~a)X , najdeme (~a)X tak, ˇze urˇc´ıme jedno ˇreˇsen´ı soustavy LAR s matic´ı X Y A a pravou stranou (~b)Y .       1 −1 1 Pˇ r´ıklad 36. Necht’ X = ( 1  ,  0  ,  −1 ) je b´ aze R3 a A ∈ L(R3 ) m´ a matici v b´ azi 1 1 0     1 1 −1 1 1 1  . Najdˇete vˇsechna ˇreˇsen´ı A~x =  2 . X rovnu XA =  0 1 −1 −3 3 1. kerA: Z matice XA vid´ıme, ˇze             1 1 −1 1 1 −1 (A  1 )X =  0  , (A  0 )X =  1  , (A  −1 )X =  1  , 1 1 1 −1 0 −3 proto 

           1 2 −1 −1 1 −5 A  1  =  0  , A  0  =  2  , A  −1  =  2  . 1 1 1 2 0 0 45



           1 −1 1 1 −1 1 h(A) = dim A(R3 ) = dim A([ 1  ,  0  ,  −1 ]λ ) = dim [A  1  , A  0  , A  −1 ]λ = 1 1 0 1 1 0       2 −1 −5 dim [ 0  ,  2  ,  2 ]λ = 2, proto d(A) = 1. 1 2 0   0 A~x = ~0 ⇔ (A~x)X = (~0)X =  0  , 0   1 1 −1 1 1 . jelikoˇz (A~x)X =X A(~x)X , staˇc´ı naj´ıt 1 LN ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy s matic´ı XA =  0 1 −1 −3     2 4 ame kerA = [ 1 ]λ . Takovým ˇreˇsen´ım je napˇr. (~x)X =  −1 . Odtud m´ 1 1 2. Partikul´ arn´ı ˇreˇsen´ı ~a:

   1 1 A~a =  2  ⇔ (A~a)X = ( 2 )X , 3 3 

jelikoˇz (A~a)X =X A(~a) (~ a)X tak, X , najdeme    ˇze urˇc´ıme jedno ˇreˇsen´ı soustavy LAR  smatic´ı 2 1 1 X A a pravou stranou ( 2 )X =  1 . Takovým ˇreˇsen´ım je napˇr. (~a)X =  1 , tedy 0 0 3   0 ~a =  1 . 2       1 0 4 Z´ avˇer: A−1 ( 2 ) =  1  + [ 1 ]λ . 3 2 1 Vˇ eta 31 (Matice sloˇzeného zobrazen´ı). Necht’ Pn , Qm , Vs jsou vektorové prostory na tˇelesem T . Necht’ A ∈ L(Qm , Vs ) a B ∈ L(Pn , Qm ). Necht’ X je b´ aze Pn , Y je b´ aze Qm a Z je b´ aze Vs . Pak X

(AB)Z =Y AZ XB Y .

D˚ ukaz. Zkontrolujme nejprve rozmˇery matic. X(AB)Z je typu s × n. YAZ je typu s × m a XB Y je typu m × n, proto jejich souˇcin je typu s × n. Ovˇeˇrme rovnost j-t´ ych sloupc˚ u pro kaˇzdé j ∈ n ˆ. [X(AB)Z ]•j = ((AB)~xj )Z = (A(B~xj ))Z =Y AZ (B~xj )Y = [YAZ XB Y ]•j . Pˇredposledn´ı rovnost plyne z Vˇety 30 o v´ ypoˇctu obrazu vektoru pomoc´ı matice v báz´ıch, a uvˇedom´ıme-li si, ˇze (B~xj )Y je j-t´ y sloupec matice XB Y , plyne posledn´ı rovnost z definice násoben´ı matic (j-t´ y sloupec souˇcinu dvou matic se totiˇz z´ıská jako souˇcin prvn´ı matice s j-t´ ym sloupcem druhé matice). Pozn´ amka 56. Vˇeta 31 o matici sloˇzeného zobrazen´ı umoˇzn ˇuje pomoc´ı “vn´ aˇsen´ı identity” mechanické pˇrevody matice zobrazen´ı v nˇejakých b´ az´ıch na matici zobrazen´ı v jiných b´ az´ıch.             1 −1 0 0 2 −1 Pˇ r´ıklad 37. Necht’ X = ( −1  ,  2  ,  1 ), Y = ( 1  ,  −1  ,  2 ) 2 −2 −1 −1  4 −3  6 −3 0 jsou b´ aze R3 a B ∈ L(R3 ) m´ a matici v b´ azi X rovnu XB =  4 −2 0  . Najdˇete 2 −1 0 46

1. XB Y , 2. YB. Pouˇzijeme metodu “vn´ aˇsen´ı identity”, kde vyuˇz´ıv´ ame Vˇetu 31 o matici sloˇzeného zobrazen´ı. I znaˇc´ı identický oper´ ator na R3 . Jistˇe tedy plat´ı B = IB = BI. X Y 1. XBY =X  (IB)Y =X I Y XB X ,jelikoˇzXB zn´ ame, a urˇcit  I  zbýv´ 1 −1 0 1 −3 1 1 0 . (( −1 )Y , ( 2 )Y , ( 1 )Y ) =  0 2 −2 −1 −1 3 0     1 −3 1 6 −3 0 −4 2 1 0   4 −2 0  =  4 −2 Z´ avˇer: XB Y =  0 −1 3 0 2 −1 0 6 −3

= ((~x1 )Y , (~x2 )Y , (~x3 )Y ) =

 0 0 . 0

X X Y X X 2. YB =Y (IB)Y =X I Y YB X =X I Y Y (BI)X  =X I Y  B I , jelikoˇ a XI Y zn´ ame, zbýv´ a urˇc it z B  0 2 −1 0 3 −1 Y X 0 . I = ((~y1 )X , (~y2 )X , (~y3 )X ) = (( 1 )X , ( −1 )X , ( 2 )X ) =  0 1 −1 4 −3 1 0 1        1 −3 1 6 −3 0 0 3 −1 −4 2 0 0 3 −1 1 0   4 −2 0   0 1 0  =  4 −2 0   0 1 0 = Z´ avˇer: YB =  0 −1 3 0 2 −1 0 1 0 1 6 −3 0 1 0 1   0 −10 4  0 10 −4 . 0 15 −6

´ Ulohu lze ˇreˇsit i bez vyuˇzit´ı Vˇety 31. Zkuste sami vymyslet takový postup.

47

7

Pro zaj´ımavost: Historie vektorov´ eho prostoru

Line´ arn´ı algebra se na vysok´ ych ˇskol´ ach uˇc´ı proti toku ˇcasu“. Celou histori´ı lineárn´ı algebry se ” t´ ahly soustavy line´ arn´ıch algebraick´ ych rovnic (k jejich kompletn´ımu ˇreˇsen´ı se ale dospˇelo aˇz roku 1905), determinanty se objevily sto let pˇred maticemi (v polovinˇe 18. stolet´ı nalezly determinanty svou oblibu d´ıky Cramerovu pravidlu, zat´ımco matice byly poprvé poˇrádnˇe zpracované aˇz v d´ıle Caleyho roku 1858). Vrcholem veˇskeré abstrakce je pak pojem vektorového prostoru, jehoˇz náznak se objevuje v d´ıle Grassmanna v roce 1844 a poté Peana roku 1888. Pojd’me se na historii vektorového prostoru pod´ıvat bl´ıˇze a sezn´ amit se právˇe s Grassmannem a Peanem, kteˇr´ı jsou povaˇzováni za otce line´ arn´ı algebry. Pojem vektoru poch´ az´ı z fyziky, je to veliˇcina maj´ıc´ı smˇer a velikost (s´ıla, rychlost). Matematika zav´ ad´ı vektory v souvislosti s komplexn´ımi ˇc´ısly - Gauss roku 1831 zaˇc´ıná pracovat s komplexn´ımi ˇc´ısly jako s vektory v komplexn´ı rovinˇe. Jeˇstˇe pˇredt´ım Bolzano definuje operace s body, pˇr´ımkami, rovinami. Roku 1832 Bellavitis pˇredstavuje ekvipolentn´ı poˇcet s u ´seˇckami. Term´ın vektor i skalár najdeme roku 1843 poprvé u Hamiltona v práci o kvaternionech, vektory ve v´ıcedimenzionáln´ıch prostorech se objevuj´ı u Caleyho, Hamiltona a Grassmanna. Ve vˇsech tˇechto prac´ıch jde o konkrétn´ı pˇr´ıklady vektorov´ ych prostor˚ u, kde se s vektory poˇc´ıtá podobnˇe jako s ˇc´ısly (sˇc´ıtaj´ı se, násob´ı ˇc´ıslem), ale neexistuje ˇz´ adn´ a obecn´ a definice vektorového prostoru, která by vˇsechny tyto konkrétn´ı pˇr´ıklady zahrnovala. Podobnˇe se také pojmy line´ arn´ı (ne)závislost, dimenze a báze objevuj´ı v r˚ uzn´ ych kontextech: v algebraické teorii ˇc´ısel (Dedekind definuje tˇeleso stejnˇe jako my), v lineárn´ıch diferenciáln´ıch rovnic´ıch (Dˇemidov), v ˇreˇsen´ı homogenn´ıch soustav lineárn´ıch algebraick´ ych rovnic (Euler si vˇs´ımá, ˇze line´ arn´ı kombinace ˇreˇsen´ı je opˇet ˇreˇsen´ım, kompletn´ı popis ˇreˇsen´ı poskytuje aˇz Frobenius v roce 1905), v euklidovské geometrii (kartézské souˇradnice zavád´ı Descartes v 17. stolet´ı, Euler zkoumá prostor R3 , Monge pak na poˇc´ atku 19. stolet´ı prostor Rn ), v prostoru matic (operace s maticemi popisuje Caley v roce 1858). V 19. stolet´ı se rod´ı axiomatick´ y pˇr´ıstup k matematice - snaha o práci s objekty jako s ˇc´ısly: koneˇcné grupy a tˇelesa definuje Weber v roce 1893, kvaterniony zavád´ı Hamilton v roce 1843, Caley a Graves studuj´ı oktoniony, Peirce definuje pojem algebra v roce 1870, Peano zavád´ı axiomaticky pˇrirozen´ a ˇc´ısla roku 1889.

Prvn´ı, kdo pˇrich´ az´ı s ideou vektorového prostoru a studiem jeho vlastnost´ı je Hermann G¨ unter Grassmann, kter´ y za svého ˇzivota dos´ ahl uznán´ı na poli lingvistiky, nikoliv vˇsak matematiky. Jeho pˇr´ıpad n´ am uk´ aˇze, jak je d˚ uleˇzité nauˇcit se dobˇre jazyk matematiky a umˇet jeho prostˇrednictv´ım jasnˇe formulovat myˇslenky. ˇ et´ın, Prusko – 1877, Stˇ ˇ et´ın, Nˇemecko) Hermann G¨ unter Grassmann (1809, Stˇ

48

Hermann˚ uv otec Justus byl profesorem matematiky a fyziky na gymnáziu a syn ˇsel v jeho ˇslépˇej´ıch. Zpoˇc´ atku to vˇsak ovˇsem na kariéru profesora nevypadalo, nebot’ Hermann byl jen pr˚ umˇern´ ym studentem. V posledn´ım roˇcn´ıku se ale vzchopil a odmaturoval na pozici 2. nejlepˇs´ıho studenta gymn´ azia. V roce 1827 nastoupil na univerzitu v Berl´ınˇe, kde studoval teologii, literaturu, filozofii a klasické jazyky, ale ˇz´ adnou matematiku ani fyziku! Stal se profesorem niˇzˇs´ıho stupnˇe gymn´ azia. V roce 1840 sloˇzil zkouˇsku, která mu umoˇznila vyuˇcovat matematiku, fyziku, chemii a ´ mineralogii na vyˇsˇs´ım stupni gymn´ azia. Uroveˇ n gymnázi´ı v 19. stolet´ı byla velmi vysoká a taková zkouˇska vyˇzadovala nejen v´ yborné znalosti uˇciva, ale dokonce vypracován´ı p˚ uvodn´ı vˇedecké práce. Grassmannova pr´ ace nesla n´ azev Theorie der Ebbe und Flut (teorie odlivu a pˇr´ılivu) a ˇslo o aplikaci vektorov´ ych metod, které rozv´ıjel uˇz od roku 1832. Z´ aroveˇ n se Grassmann vˇenuje jazyk˚ um. V roce 1842 vydává uˇcebnice mluvené nˇemˇciny a latiny. Roku 1844 pˇrich´ az´ı pro dneˇsn´ı lineárn´ı algebru zlomové d´ılo Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik (teorie lineárn´ıch extenz´ı, nové odvˇetv´ı matematiky). Objevuje se tu idea algebry, kde jsou definov´ any operace se symboly reprezentuj´ıc´ımi geometrické objekty (body, u ´seˇcky, rovnobˇeˇzn´ıky, rovnobˇeˇznostˇeny). V Ausdehnungslehre Grassmann pˇredbˇehl dobu, jak uvid´ıme, jeho myˇslenky naˇsly pochopen´ı aˇz ve 20. stolet´ı. Ovˇsem jeho d´ılo nebylo pˇrijato matematiky jeˇstˇe z dalˇs´ıch dvou d˚ uvod˚ u. Grassmann matematiku nikdy nestudoval, a tak celé d´ılo bylo seps´ ano filozoficky, obzvl´ aˇst’ u ´vod byl pro matematiky neˇciteln´ y. A jako matematikamatér byl pˇrehl´ıˇzen matematiky-profesionály. Grassmann se ovˇsem nevzdal a studiu vektorov´ ych prostor˚ u se d´ ale vˇenoval. Zejména se snaˇzil ukázat moˇzné aplikace, napˇr. v roce 1845 v d´ıle Theorie der Elektrodynamik. Roku 1846 z´ısk´ av´ a za d´ılo Die geometrische Analyse gekn¨ upft und die von Leibniz Charakteristik (ucelen´ a geometrick´ a anal´ yza a von Leibnizova charakteristika) cenu od C´ısaˇrské Jablonowské spoleˇcnosti. Grassmann douf´ a, ˇze cena mu pom˚ uˇze z´ıskat post na univerzitˇe, touˇz´ı se totiˇz vˇenovat naplno vˇedˇe. Jeho ˇz´ adost je ovˇsem zam´ıtnuta na základˇe Kummerov´ ych slov: “doporuˇcen´ı hodný materi´ al, ale vyj´ adˇrený v tˇeˇzko srozumitelné formˇe”. Grassmann tedy opˇet narazil na problém filozofického nejasného vyjadˇrov´ an´ı myˇslenek. Uved’me i p´ ar detail˚ u z jeho osobn´ıho ˇzivota. Roku 1849 si bere Therese Knappe, s n´ıˇz má 11 dˇet´ı, ovˇsem jen 7 z nich dos´ ahlo dospˇelého vˇeku. Jeden ze syn˚ u se stal matematikem, název jeho dizertace znˇel Anwendung der Ausdehnungslehre auf die allgemeine Theorie der Raumkurven und Krummen Fl¨ achen (pouˇzit´ı Ausdehnungslehre ve vˇseobecné teorii prostorov´ ych kˇrivek a zakˇriven´ ych ploch), tedy jablko skuteˇcnˇe nepadlo daleko od stromu. Nedostatek uzn´ an´ı v matematice pˇrimˇel Grassmanna, aby se obrátil ke své druhé zálibˇe lingvistice. Studium sanskrtu a g´ otˇstiny mu pˇrineslo u ´spˇech, porovnán´ım fonetiky zpochybnil pozici sanskrtu jakoˇzto nejstarˇs´ıho indoevropského jazyka. Ausdehnungslehre byla ale jeho nejcennˇejˇs´ım d´ılem a rozhodl se, ˇze ji jeˇstˇe jednou pˇrep´ıˇse, aby matematick´ y svˇet koneˇcnˇe docenil jej´ı v´ yznam. V roce 1862 publikuje Die Ausdehnungslehre: Vollst¨ andig und in strenger Form bearbeitet, ale d´ılo má jeˇstˇe menˇs´ı u ´spˇech neˇz Ausdehnungslehre z roku 1844. D´ a se tedy ˇr´ıci, ˇze bˇehem ˇzivota se Grassmann doˇckal vˇetˇs´ıho uznán´ı v oblasti lingvistiky neˇz v matematice. Pod´ıvejme se nyn´ı bl´ıˇze na Ausdehnungslehre. Název teorie extenz´ı pocház´ı z faktu, ˇze Grassmann definuje i souˇcin a napˇr´ıklad souˇcinem bod˚ u je u ´seˇcka, souˇcinem u ´seˇcek rovnobˇeˇzn´ık, souˇcinem rovnobˇeˇzn´ık˚ u rovnobˇeˇznostˇen, tedy vˇzdy objekt v prostoru vyˇsˇs´ı dimenze. Nás ale zaj´ımá souvislost Ausdehnungslehre s line´ arn´ı algebrou. Grassmann zaˇc´ıná se souborem “jednotek” e1 , e2 , e3 , . . . (coˇz jsou v dneˇsn´ım smyslu line´ arnˇe nezávislé vektory) a uvaˇzuje jejich formáln´ı lineárn´ı kombinace a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 + . . . , kde ai ∈ R. Takové kombinace tvoˇr´ı mnoˇzinu, kterou Grassmann d´ ale zkoum´ a. Definuje nulovost a rovnost lineárn´ıch kombinac´ı, jejich souˇcet a násoben´ı skalárem. Zav´ ad´ı axiomy line´ arn´ıho prostoru pro tyto operace. Pˇredstavuje pojmy lineárn´ı nezávislost, line´ arn´ı obal, dimenze, b´ aze, line´ arn´ı podprostor a jeho doplnˇek. Dokazuje nezávislost dimenze na volbˇe b´ aze, Steinitzovu vˇetu o v´ ymˇenˇe (Steinitz ji pak znovu dokáˇze roku 1913, jelikoˇz Grassmannovy v´ ysledky nejsou zn´ amé), 1. vˇetu o dimenzi. Dokazuje, ˇze kaˇzd´ y lineárnˇe nezávisl´ y soubor lze doplnit na b´ azi a z kaˇzdého souboru generátor˚ u lze vybrat bázi. Odvozuje vzorec pro zmˇenu souˇradnic pˇri pˇrechodu k jiné b´ azi. Vid´ıme tedy, ˇze velká ˇcást teorie lineárn´ı algebry, kterou jsme v prvn´ım semestru probrali, poch´ az´ı právˇe od Grassmanna. 49

Tv˚ urcem prvn´ı axiomatické definice vektorového prostoru je Giuseppe Peano. Narozd´ıl od Grassmanna byl Peano mezi matematiky obdivován pro svou schopnost preciznˇe formulovat myˇslenky. Také dok´ azal hbitˇe nach´ azet protipˇr´ıklady k chybn´ ym tvrzen´ım a nalézat chyby ve standardn´ıch v´ ysledc´ıch. Jak uvid´ıme, byl opakem Grassmanna i v tom, ˇze sklidil u ´spˇech na poli matematiky, nikoliv vˇsak ve sv´ ych lingvistick´ ych a encyklopedick´ ych projektech. Giuseppe Peano (1858, Cuneo, Itálie – 1932, Tur´ın, Itálie)

Roku 1880 promoval na univerzitˇe v Tur´ınˇe a z´ıskal post asistenta. V roce 1884 podle pˇrednáˇsek svého ˇskolitele Genocchiho sepsal Calcolo Differenziale e Principii di Calcolo Integrale, podepsal se jen jako spoluautor, ale Genocchi p´ıˇse v pˇredmluvˇe: “...to vˇse je z´ asluhou tohoto výjimeˇcného mladého muˇze Dr. Giuseppa Peana.” D´ılo pˇrispˇelo k jeho jmenován´ı profesorem téhoˇz roku, z´ıskal tedy tento titul velmi mlad´ y. Nesmrtelnost Peanovi pˇrinesly zejména tˇri v´ ysledky: 1. 1889 - Peanovy axiomy pˇrirozen´ ych ˇc´ısel v d´ıle Arithmetices principia, nova methodo exposita, 2. 1890 - Peanova kˇrivka, coˇz je spojitá surjektivn´ı kˇrivka z [0, 1], která vypln´ı jednotkov´ y ˇctverec, 3. poloˇzen´ı z´ aklad˚ u matematické logiky a teorie mnoˇzin. Roku 1887 publikuje Applicazioni Geometriche del Calcolo Infinitesimale, kde prokazuje dobrou znalost a schopnost d´ avat do zaj´ımav´ ych souvislost´ı v´ ysledky Möbia, Hamiltona, Bellavitise a GRASSMANNA. V roce 1888 pˇrich´ az´ı Peanovo stˇeˇzejn´ı d´ılo pro lineárn´ı algebru Calcolo geometrico secundo l’Ausdehnungslehre di H. Grassmann, precedutto dalle operazioni della logica deduttiva, které konˇc´ı prvn´ı axiomatickou definic´ı vektorov´ eho prostoru. Modern´ım jazykem zde pˇrehlednˇe a srozumitelnˇe zpracov´ av´ a hlavn´ı Grassmannovy myˇslenky. Uvád´ı pˇr´ıklady vektorov´ ych prostor˚ u: R, C, R2 , R3 , prostor line´ arn´ıch zobrazen´ı, prostor polynom˚ u. V´ yznamn´ ym poˇcinem je zaloˇzen´ı ˇcasopisu vˇenovaného logice a teorii mnoˇzin Rivista di matematica v roce 1891. Kvalitu ˇcasopisu zaruˇcoval fakt, ˇze Peano jako recenzent snadno nacházel ve v´ ysledc´ıch chyby a k nim protipˇr´ıklady a garantoval tak publikaci pouze korektn´ıch v´ ysledk˚ u. Koncem 19. stolet´ı nast´ av´ a zlom v Peanovˇe kariéˇre: vˇenuje ˇcas ambiciózn´ım projekt˚ um s mal´ ym ohlasem. V letech 1892 aˇz 1908 pracuje na projektu Formulario mathematico, kter´ y má za c´ıl shrnout veˇskeré matematické v´ ysledky do jediné knihy, nav´ıc pomoc´ı nové logické symboliky. Peano pouˇz´ıv´ a projekt i k v´ yuce, jeden ze student˚ u vzpom´ıná: “Nut´ı n´ as tr´ avit spoustu ˇcasu uˇcen´ım se symboliky, kterou uˇz nikdy jindy v ˇzivotˇe nevyuˇzijeme.” Naopak ochotu nauˇcit se Peanovo znaˇcen´ı projevil roku 1900 Bertrand Russel: “Znal jsem jeho pr´ ace, ale jeho znaˇcen´ı jsem neovl´ adal. Fakt, ˇze se na Kongresu vyjadˇroval pˇresnˇeji neˇz vˇsichni ostatn´ı a ˇze vˇzdy nach´ azel ty nejlepˇs´ı argumenty, mˇe pˇrimˇel k rozhodnut´ı, ˇze si jeho znaˇcen´ı osvoj´ım.” V roce 1903 odstartoval dalˇs´ı ambiciózn´ı projekt Latino sine flexione, coˇz mˇel b´ yt univerzáln´ı mezinárodn´ı jazyk bez gramatiky, kombinuj´ıc´ı 50

slova z latiny, angliˇctiny, nˇemˇciny a francouzˇstiny. A zavrˇsen´ım vˇseho bylo sepsán´ı fináln´ı verze Formulario mathematico v tomto univerzáln´ım jazyce Latino sine flexione! Pro zaj´ımavost uved’me Peanovu axiomatickou definici vektorového prostoru (naz´ yvá jej lineárn´ı systém), abychom vidˇeli, jak moc se podobá definici dneˇsn´ı. Definice 26. Necht’ V je mnoˇzina, na které jsou definov´ any: 1. Rovnost ~a = ~b jako symetrick´ a a tranzitivn´ı relace. 2. Sˇc´ıt´ an´ı jako zobrazen´ı: V × V → V splˇ nuj´ıc´ı 1) ~a = ~b ⇒ ~a + ~c = ~b + ~c, 2) ~a + ~b = ~b + ~a, 3) ~a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c. 3. Pro ~a ∈ V a m ∈ N znamen´ a m~a souˇcet m prvk˚ u rovných ~a. Snadno nahlédneme, ˇze plat´ı 4) ~a = ~b ⇒ m~a = m~b, 5) m(~ ~ a + ~b) = m~a + m~b, 6) (m + n)~a = m~a + n~a, 7) m(n~a) = (mn)~a, 8) 1~a = ~a. 4. N´ asoben´ı re´ alným ˇc´ıslem jako zobrazen´ı R × V → V , které zobecˇ nuje vlastnosti pro n´ asoben´ı pˇrirozeným ˇc´ıslem. 5. Existuje prvek ~0, který splˇ nuje pro kaˇzdé ~a ∈ V 0~a = ~0. Pokud ~a −~b ch´ apeme jako ~a + (−1)~b, pak je snadné nahlédnout, ˇze 9) ~a − ~a = ~0, 10) ~a + ~0 = ~a. Pak V nazveme line´ arn´ı syst´ em. Axiomy t´ ykaj´ıc´ı se rovnosti v dneˇsn´ı definici neuvád´ıme, automaticky pˇredpokládáme, ˇze mnoˇzina, kterou uvaˇzujeme, je relac´ı rovnosti vybavena. Bod 3. t´ ykaj´ıc´ı se násoben´ı pˇrirozen´ ym ˇc´ıslem je nadbyteˇcn´ y. Peano jej uv´ ad´ı, aby ˇctenáˇr lépe porozumˇel, odkud se berou axiomy vyˇzadované po n´ asoben´ı re´ aln´ ym ˇc´ıslem.

Na pˇrijet´ı konceptu vektorového prostoru si ale matematika jeˇstˇe poˇckala aˇz do 20. stolet´ı. V roce 1920 Banach ve své dizertaˇcn´ı práci zavád´ı u ´plné normované vektorové prostory, kter´ ym se dnes ˇr´ık´ a Banachovy, a pˇri té pˇr´ıleˇzitosti definuje vektorov´ y prostor pˇresnˇe tak jako my dnes. Prvn´ı uˇcebnice, v n´ıˇz se objevuje pojem vektorov´ y prostor, je Modern Algebra z roku 1930 od van der Waerdena.

51

8

Dodatek: Polynomy

Definice 27. Komplexn´ı funkci komplexn´ı promˇenné p : C → C nazveme polynomem, pokud existuje n ∈ N0 = N∪{0} a existuj´ı ˇc´ısla α0 , α1 , . . . , αn ∈ C (nazýv´ ame je koeficienty polynomu) takov´ a, ˇze p(t) = α0 + α1 t + · · · + αn tn pro kaˇzdé t ∈ C. N´ azvoslov´ı: • stupeˇ n polynomu st p = max{i ∈ {0, 1, . . . , n} αi 6= 0} (vyjadˇruje, jakou maximáln´ı mocninu t polynom obsahuje) • nulov´ y polynom O(t) = 0 pro kaˇzdé t ∈ C, stupeˇ n nen´ı definován (nemá stupeˇ n jako jedin´ y z polynom˚ u) POZOR! polynom nultého stupnˇe je nenulová konstanta • dle stupnˇe n rozliˇsujeme: – line´ arn´ı polynom (n = 1), napˇr. p(t) = t + 3, – kvadratick´ y polynom (n = 2), napˇr. p(t) = −t2 + 21 t +

√

3,

3

– kubick´ y polynom (n = 3), napˇr. p(t) = −it , – bikvadratick´ y polynom (n = 4), napˇr. p(t) = −t4 − 104 t3 , • koˇ ren (nulov´ y bod) polynomu p je kaˇzdé ˇc´ıslo t0 ∈ C splˇ nuj´ıc´ı p(t0 ) = 0 • re´ aln´ ym polynomem nazveme polynom s reáln´ ymi koeficienty Vˇ eta 32 (Z´ akladn´ı vˇeta algebry). Kaˇzdý polynom stupnˇe alespoˇ n prvn´ıho m´ a v C alespoˇ n jeden koˇren. Ponech´ ame bez d˚ ukazu. Vˇ eta 33 (Bézoutova vˇeta). Necht’ p je polynom n-tého stupnˇe pro n ∈ N, necht’ t0 ∈ C. Potom existuje polynom q stupnˇe n − 1 takový, ˇze plat´ı p(t) = p(t0 ) + (t − t0 )q(t) pro kaˇzdé t ∈ C. Pn D˚ ukaz. Oznaˇcme p(t) = j=0 αj tj , αn 6= 0. Pak Pn Pn Pn j j j j p(t) − p(t0 ) = = j=0 αj t − j=0 αj t0 j=0 αj (t − t0 ) Pn P Pj−1 i j−1−i n j j = = j=1 αj (t − t0 ) j=1 αj (t − t0 ) i=0 t t0 Pj−1 i j−1−i Pn = (t − t0 )q(t). = (t − t0 ) j=1 αj i=0 t t0

= =

Pn Pj−1 Snadno nahlédneme, ˇze q(t) = j=1 αj i=0 ti t0j−1−i je polynom a má stupeˇ n n − 1, protoˇze pro j = n a i = n − 1 dostaneme maxim´ aln´ı mocninu tn−1 , kterou q(t) obsahuje. Pj−1 V d˚ ukazu jsme vyuˇzili vzorec aj − bj = (a − b) i=0 ai bj−1−i , kter´ y plat´ı pro kaˇzdé a, b ∈ C a j ∈ N. (Dokaˇzte jej sami matematickou indukc´ı.) D˚ usledek 4. Kaˇzdý polynom n-tého stupnˇe, kde n ∈ N0 , m´ a nejvýˇse n koˇren˚ u. D˚ ukaz. Matematickou indukc´ı podle stupnˇe polynomu n. • Pro n = 0 je tvrzen´ı jasné. • Pˇredpokl´ adejme pro nˇejaké n ≥ 0, ˇze kaˇzd´ y polynom stupnˇe n má nejv´ yˇse n koˇren˚ u. Necht’ p je polynom stupnˇe n + 1 a necht’ t0 je jeho koˇren (podle Základn´ı vˇety algebry v´ıme, ˇze takové t0 ∈ C existuje). Podle Bézoutovy vˇety existuje polynom q stupnˇe n takov´ y, ˇze p(t) = (t − t0 )q(t). Jelikoˇz m´ a q podle indukˇcn´ıho pˇredpokladu nejv´ yˇse n koˇren˚ u, má p nejv´ yˇse n + 1 koˇren˚ u. 52

D˚ usledek 5. Jedinˇe nulový polynom m´ a nekoneˇcnˇe mnoho koˇren˚ u. Pn Pozn´ amka 57. Pokud tedy u nˇejakého polynomu tvaru p(t) = j=0 αj tj zjist´ıme, ˇze m´ a v´ıce neˇz n koˇren˚ u, pak uˇz jde nutnˇe o nulový polynom, tedy αj = 0 pro kaˇzdé j ∈ {0, 1, . . . , n}. D˚ usledek 6. Koeficienty polynomu a tedy i jeho stupeˇ n jsou urˇceny jednoznaˇcnˇe. D˚ ukaz. Tvrzen´ı dok´ aˇzeme sporem. Pˇredpokládejme, ˇze existuje polynom p, pro kter´ y plat´ı p(t) =

n X j=0

αj tj =

n X

βj tj

pro kaˇzdé t ∈ C (nepˇredpokládáme, ˇze αn 6= 0 ani βn 6= 0)

j=0

Pn a existuje index j0 ∈ {0, 1, . . . , n} takov´ y, ˇze αj0 6= βj0 . Pak ale j=0 (αj −βj )tj = 0 a tedy jde o nulov´ y polynom, coˇz je ale spor s t´ım, ˇze koeficient αj0 − βj0 6= 0.

pro kaˇzdé t ∈ C,

Pozn´ amka 58. Aˇz nyn´ı jsme se dozvˇedˇeli, ˇze definice stupnˇe polynomu je korektn´ı, tedy ˇze kaˇzdý polynom m´ a stupeˇ n jednoznaˇcnˇe urˇcený. Pn Vˇ eta 34 (Rozklad polynom˚ u na koˇrenové ˇcinitele). Necht’ p(t) = j=0 αj tj je polynom stupnˇe n ∈ N. Necht’ t1 , t2 , . . . , tk jsouPjeho navz´ ajem r˚ uzné koˇreny. Pak existuj´ı jednoznaˇcnˇe urˇcen´ a ˇc´ısla k n1 , n2 , . . . , nk ∈ N takov´ a, ˇze j=1 nj = n a pro kaˇzdé t ∈ C plat´ı p(t) = αn (t − t1 )n1 (t − t2 )n2 · · · · · (t − tk )nk . ˇ ık´ R´ ame, ˇze nj je n´ asobnost koˇrene tj a t − tj je koˇ renov´ yˇ cinitel pˇr´ısluˇsej´ıc´ı tj . D˚ ukaz. Matematickou indukc´ı podle stupnˇe polynomu n. • Pro n = 1 je pro p(t) = α0 + α1 t jednoznaˇcn´ ym rozkladem na koˇrenové ˇcinitele p(t) = 0 ). α1 (t + α α1 • Pˇredpokl´ adejme pro nˇejaké n ≥ 1, ˇze kaˇzd´ y polynom stupnˇe n má jednoznaˇcn´ y rozklad na koˇrenové ˇcinitele. Necht’ p je polynom stupnˇe n + 1 a necht’ t0 je jeho koˇren (podle Základn´ı vˇety algebry v´ıme, ˇze takové t0 ∈ C existuje). Podle Bézoutovy vˇety existuje polynom q stupnˇe n takov´ y, ˇze p(t) = (t − t0 )q(t). Pn Podle indukˇcn´ıho pˇredpokladu má q(t) = j=0 βj tj jednoznaˇcn´ y rozklad na koˇrenové ˇcinitele, Pk tj. existuj´ı jednoznaˇcnˇe urˇcen´ a ˇc´ısla n1 , n2 , . . . , nk ∈ N taková, ˇze j=1 nj = n a pro kaˇzdé t ∈ C plat´ı q(t) = βn (t − t1 )n1 (t − t2 )n2 · · · · · (t − tk )nk . Odtud m´ ame jednoznaˇcn´ y rozklad p na koˇrenové ˇcinitele p(t) = βn (t − t0 )(t − t1 )n1 (t − t2 )n2 · · · · · (t − tk )nk , ˆ jako kter´ y lze jeˇstˇe upravit, pokud t0 = tj pro nˇejaké j ∈ k, p(t) = βn (t − t1 )n1 (t − t2 )n2 · · · · · (t − tj )nj +1 · · · · · (t − tk )nk , ˆ jako nebo pro t0 6= tj pro kaˇzdé j ∈ k, p(t) = βn (t − t1 )n1 (t − t2 )n2 · · · · · (t − tk )nk (t − tk+1 )nk+1 , kde tk+1 = t0 a nk+1 = 1. Snadno zkontrolujeme, ˇze souˇcet násobnost´ı je n + 1 a ˇze βn odpov´ıd´ a koeficientu p(t) u nejvyˇsˇs´ı mocniny tn+1 .

53

Pozn´ amka 59. N´ asobnost koˇrene polynomu lze ekvivalentnˇe definovat n´ asleduj´ıc´ım zp˚ usobem: t0 je k-n´ asobný koˇren polynomu p, pokud existuje polynom q takový, ˇze p(t) = (t − t0 )k q(t) pro kaˇzdé t ∈ C a q(t0 ) 6= 0. Vˇ eta 35 (O koˇrenech re´ aln´ ych polynom˚ u). Necht’ p je re´ alný polynom a necht’ t0 je jeho k-n´ asobný koˇren. Pak t0 (ˇc´ıslo komplexnˇe sdruˇzené k t0 ) je také jeho k-n´ asobný koˇren. Pn D˚ ukaz. Ukaˇzme nejprve, ˇze t0 je také koˇren. Necht’ p(t) = j=0 αj tj , kde αj ∈ R a αn 6= 0. p(t0 ) =

n X

j

αj t0 =

j=0

n X

αj tj0 = p(t0 ) = 0.

j=0

Nyn´ı dok´ aˇzeme, ˇze t0 je k-n´ asobn´ y koˇren. Z Bézoutovy vˇety v´ıme, ˇze p(t) = (t − t0 )k q(t) a q(t0 ) 6= 0. Pro kaˇzdé t ∈ C plat´ı d´ıky reálnosti p a d´ıky vlastnostem komplexn´ıch ˇc´ısel p(t) = p(t) = (t − t0 )k q(t) = (t − t0 )k q(t). Jelikoˇz q t0 = q(t0 ) 6= 0, je dok´ az´ ano, ˇze t0 je k-násobn´ y koˇren p. D˚ usledek 7. M´ a-li re´ alný polynom lichý stupeˇ n, pak m´ a re´ alný koˇren. Pozn´ amka 60. Rozklad re´ alného polynomu na koˇrenové ˇcinitele v re´ alném oboru: Je-li t0 ∈ C \ R asobným koˇrenem p a v rozkladu na k-n´ asobný koˇren re´ alného polynomu p, pak t0 je také k-n´ koˇrenové ˇcinitele m˚ uˇzeme slouˇcit (t − t0 )k (t − t0 )k = (t − t0 )(t − t0 )k = (t2 − (t0 + t0 )t + t0 t0 )k , kde, jak v´ıme, t0 + t0 i t0 t0 jsou re´ aln´ a ˇc´ısla. Pˇ r´ıklad 38. Re´ alný polynom p(t) = t4 − 1 m´ a rozklad v komplexn´ım oboru roven t4 − 1 = (t − 1)(t + 1)(t − i)(t + i) a v re´ alném oboru roven t4 − 1 = (t − 1)(t + 1)(t2 + 1).

54

Reference [1] Emil Humhal, Algebra 1, http://tjn.fjfi.cvut.cz/∼humhal/ ˇ [2] Jiˇr´ı Pytl´ıˇcek, Line´ arn´ı algebra a geometrie, vydavatelstv´ı CVUT, Praha, 2005 [3] Jean-Luc Dorier , Contribution a l’étude de l’enseignement ` a l’université des premiers concepts d’algèbre linéaire. Approches historique et didactique, thèse, 1990 [4] Eva Ulrychov´ a, Zrod vektorového poˇctu a vektorových prostor˚ u, sborn´ık 29. mezinárodn´ı konference HISTORIE MATEMATIKY, Velké Meziˇr´ıˇc´ı, 22.8.-26.8.2008, matfyzpress, editoˇri J. a M. Beˇcv´ aˇrovi, 179-184 [5] BibM@th http://www.bibmath.net/ [6] Wikipedia, the Free Encyclopedia [7] The MacTutor History of Mathematics archive http://www.gap-system.org/ history

55

Datum sestavení dokumentu: 9. srpna Lineární algebra 1

Recommend Documents