Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné. tankönyv. Hetedik, javított kiadás

Ms-2306_Matek6_7-kiadas-2013.qxd

2013.04.02.

15:43

Page 3

Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné

tankönyv

6

Hetedik, javított kiadás Mozaik Kiadó – Szeged, 2013

Ms-2306_Matek6_tk-beadas-2012.qxd

2012.06.19.

8:26

Page 6

Tartalomjegyzék Oszthatóság 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

A természetes számok többszörösei és osztói (ismétlés) .......... Vizsgáljuk a maradékot! ..................................................................................... Az összeg, a különbség és a szorzat oszthatósága ....................... Oszthatósági szabályok ...................................................................................... Oszthatóság a szám számjegyeinek összege alapján .................. További oszthatósági szabályok ................................................................... Prímszámok, összetett számok ..................................................................... Összetett számok felírása prímszámok szorzataként ..................... Közös osztók, legnagyobb közös osztó .................................................. Közös többszörösök, legkisebb közös többszörös ......................... Vegyes feladatok ......................................................................................................

10 15 19 27 34 38 42 46 50 55 59

Hogyan oldjunk meg feladatokat? 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Mi a kérdés? ................................................................................................................ Vizsgáljuk meg az adatokat! ............................................................................ Következtessünk visszafelé! ............................................................................ Készítsünk ábrát! ..................................................................................................... Tartsunk egyensúlyt! ............................................................................................. Ellenõrizzük a megoldást! ................................................................................. Válaszoljunk a kérdésre! .................................................................................... A feladatmegoldás lépései ................................................................................ Vegyes feladatok ......................................................................................................

62 66 70 74 79 82 86 89 94

A racionális számok I. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 6

Az egész számok (ismétlés) ............................................................................ Az egész számok összeadása, kivonása (ismétlés) ....................... Az összevonás ........................................................................................................... Az egész számok szorzása .............................................................................. Az egész számok osztása ................................................................................. A tizedes törtek összevonása ......................................................................... A tizedes törtek szorzása ................................................................................... Osztás a tizedes törtek körében .................................................................... Vegyes feladatok ......................................................................................................

98 101 106 109 114 118 122 126 130


2012.06.19.

8:26

Page 7

Tengelyes szimmetria 1. A tengelyes szimmetria a környezetünkben

......................................... 134

2. A tengelyesen szimmetrikus háromszögek

........................................... 138

3. A tengelyesen szimmetrikus sokszögek és a kör 4. A körzõ és a vonalzó használata

............................. 143

.................................................................. 151

5. Merõleges egyenesek szerkesztése

.......................................................... 156

6. Párhuzamos egyenesek szerkesztése

..................................................... 161

7. Szögfelezés, szögmásolás, szögszerkesztés

...................................... 165

8. Alakzatok tengelyes tükörképének szerkesztése

.............................. 171

9. Tengelyesen szimmetrikus sokszögek szerkesztése 10. Vegyes feladatok

...................... 177

...................................................................................................... 183

A racionális számok II. 1. A törtekrõl tanultak ismétlése

.......................................................................... 186

2. Mûveletek törtekkel (ismétlés)

........................................................................ 191

3. A negatív törtek

......................................................................................................... 198

4. Tört szorzása törtszámmal 5. A számok reciproka 6. Osztás törttel

................................................................................ 203

............................................................................................... 207

............................................................................................................... 210

7. Mûveleti sorrend

....................................................................................................... 214

8. A racionális számok 9. Vegyes feladatok

............................................................................................... 218

...................................................................................................... 222

Arányosság 1. Az egyenes arányosság

...................................................................................... 226

2. Egyenes arányossággal megoldható feladatok 3. A fordított arányosság

.......................................................................................... 233

4. Fordított arányossággal megoldható feladatok 5. Az arány

................................. 230

.................................. 238

......................................................................................................................... 241

6. Arányos osztás

.......................................................................................................... 245

7. Vegyes feladatok

...................................................................................................... 248

7


2012.06.19.

8:26

Page 8

Százalékszámítás 1. A törtrész kiszámítása

........................................................................................... 252

2. Az egész rész kiszámítása 3. A százalék fogalma

................................................................................ 256

................................................................................................ 260

4. A százalékérték kiszámítása

............................................................................ 263

5. A százalékalap kiszámítása

.............................................................................. 267

6. A százalékláb kiszámítása 7. Vegyes feladatok

................................................................................. 270

...................................................................................................... 274

Valószínûség, statisztika 1. 2. 3. 4. 5.

Biztos esemény, lehetetlen esemény ........................................................ Diagramok .................................................................................................................... Grafikonok .................................................................................................................... Átlagszámítás ............................................................................................................. Vegyes feladatok ......................................................................................................

278 283 288 291 295

Kiegészítõ anyagrészek 1. Nyitott mondatok ..................................................................................................... 296 2. Szimmetria a térben ............................................................................................. 298 3. Sorozatok ...................................................................................................................... 301 Az új szakszavak jegyzéke

........................................................................................ 304

Elõszó és útmutató a tankönyv használatához Gondolkodni jó! De ne higgyétek, hogy ezt csak azok érezhetik, akiknek jó jegyük van matekból! Mindenki, aki örült már annak, hogy következetes és logikus gondolkodással meg tudott birkózni egy megoldhatatlannak tûnõ problémával, átélhette a siker élményét. Ebben az évben nagyon sok gyakorlati feladattal találkozhattok. Megérthetitek majd például, mit jelent a hirdetésekben naponta látott-hallott százalék fogalma; megtanultok egyszerû diagramokat készíteni; körzõvel és vonalzóval alakzatokat szerkeszteni. És legfõképpen a sok-sok feladat megoldása során fejleszthetitek a gondolkodásotokat. A leckék legtöbbször kidolgozott példákkal kezdõdnek. Ezeket érdemes elemezni és megérteni, mert mintát nyújtanak a további feladatok megoldásához is. A megtanulandó legfontosabb szabályokat és meghatározásokat a könyv zöld aláfestéssel és vastag betûs kiemeléssel jelzi. A *-gal jelölt gyakorló feladatok megoldásához ügyes ötletek szükségesek. A lapszélen olvasható apró betûs információk a mindennapi élettel, a matematika alkalmazásával kapcsolatos érdekességek, magyarázatok, kiegészítõ ismeretek vagy kérdések.

8


2012.06.19.

8:26

Page 27

4. Oszthatósági szabályok

Az oszthatóság megállapítása az utolsó számjegy alapján

El tudják-e egyenlõen osztani a gyerekek az ajándékkosár árát?

A 30; 140 és 4070 számok utolsó számjegye 0. Ezek a számok felírhatók 30 = 3 · 10; 140 = 14 · 10; 4070 = 407 · 10 alakban, ezért oszthatók 10-zel. Ha egy természetes szám utolsó számjegye 0, akkor osztható 10-zel.

Ha egy természetes szám osztható 10-zel, akkor felírható egy természetes szám tízszereseként. Például 5 · 10 = 50; 96 · 10 = 960; 230 · 10 = 2300. Minden természetes szám tízszeresének utolsó számjegye 0. Ha egy természetes szám osztható 10-zel, akkor az utolsó számjegye 0.

A két elõbbi szabály együtt megfogalmazva: Egy természetes szám pontosan akkor osztható 10-zel, ha az utolsó számjegye 0.

1. példa Jóska sétálni indul. Melyik lábbal teszi meg a 21., az 58. és a 387. lépést, ha az elsõ lépést jobb lábbal teszi meg? Megoldás Jobb lábbal teszi meg az 1., 3., 5., 7., 9., ... lépést. Bal lábbal teszi meg a 2., 4., 6., 8., 10., ... lépést, köztük a 10 valamennyi többszörösét is. Minden további lépésszámot felbonthatunk olyan kéttagú összegre, melynek az elsõ tagja 10 valamely többszöröse, a második tagja pedig egyjegyû szám. 21 = 20 + 1 bal

jobb

58 = 50 + 8 bal

bal

2-vel nem osztható számok: 1; 3; 5; 7; 9; ... 2-vel osztható számok: 0; 2; 4; 6; 8; 10; ...

387 = 380 + 7 bal

jobb

Jóska a 21. és a 387. lépést jobb, az 58. lépést bal lábbal teszi meg. 27


2012.06.19.

8:26

Page 28

O S Z T H AT Ó S Á G

Ha egy természetes szám utolsó számjegye 0; 2; 4; 6 vagy 8, akkor osztható 2-vel. Ha egy természetes szám osztható 2-vel, akkor az utolsó számjegye 0; 2; 4; 6 vagy 8.

A két elõbbi szabály együtt megfogalmazva: Egy természetes szám pontosan akkor osztható 2-vel, ha az utolsó számjegye 0; 2; 4; 6 vagy 8.

2. példa Gyöngyi egy könyvet olvasott, és észrevette, hogy minden olyan oldalon (és csak azokon) van kép, amelyek oldalszáma 5-tel osztható. Soroljuk fel, hányadik oldalakon talált képet Gyöngyi, ha a könyv 84 oldalas! Mit veszünk észre? Megoldás A képet tartalmazó oldalszámok: 05; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50; 55; 60; 65; 70; 75; 80.

35 = 3 ¡ (2 ¡ 5) + 5

Észrevehetõ, hogy azokon az oldalakon van kép, amelyek sorszáma 0-ra vagy 5-re végzõdik. Magyarázzuk meg a példában szereplõ észrevételt!

10 _________

A 0-ra végzõdõ számok (10; 20; 30; 40; 50; 60; ...) tízzel oszthatók, ezért a 10 osztójával, az 5-tel is oszthatók.

01 · 10 02 · 50

Az 5-re végzõdõ számokat felírhatjuk kéttagú összeg alakban: A 10-nek osztója az 5.

Pl.: 15 = 10 + 5;

25 = 20 + 5;

35 = 30 + 5;

...

75 = 70 + 5.

Az összeg mindkét tagja osztható 5-tel, ezért az összeg is osztható 5-tel. A 0-ra és az 5-re végzõdõ számok oszthatók 5-tel. Ha a szám 1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9-re végzõdik, akkor nem osztható 5-tel. ötös osztási maradék

Például: 31 32 33 34

31 = 3 ¡ (2 ¡ 5) + 1 Egy természetes szám 5-ös maradéka megegyezik utolsó jegyének ötös maradékával.

= = = =

3 · 10 3 · 10 3 · 10 3 · 10

+ + + +

1 2 3 4

osztható 5-tel

nem osztható 5-tel

²

1 2 3 4

ötös osztási maradék

36 37 38 39

= = = =

3 · 10 3 · 10 3 · 10 3 · 10

+ + + +

6 7 8 9

osztható 5-tel

nem osztható 5-tel

1 2 3 4

²

Egy természetes szám pontosan akkor osztható 5-tel, ha az utolsó számjegye 0 vagy 5. 28


2012.06.19.

8:26

Page 29

Az oszthatóság megállapítása az utolsó két számjegy alapján Egy természetes szám pontosan akkor osztható 100-zal, ha az utolsó két számjegye nulla.

Például: 00000400 = 004 · 100 00007000 = 070 · 100

403 · 100 = 40 300 800 · 100 = 80 000

²

az utolsó két számjegy 0

100 _________ 01 · 100 02 · 500 04 · 250 05 · 200 10 · 100

²

osztható 100-zal

osztható 100-zal

az utolsó két számjegy 0

Ha egy szorzat egyik tényezõje 100, akkor a szorzat osztható 100-zal és a 100 valamennyi osztójával, így a 4-gyel, 25-tel, 20-szal és 50-nel is.

3. példa Állapítsuk meg az osztás elvégzése nélkül, hogy a 728, az 5812 és az 5821 osztható-e 4-gyel! Megoldás A számokat felírhatjuk kéttagú összeg alakban a következõképpen: 123

0728 = 07 ¡ 100 + 28 5812 = 58 ¡ 100 + 12 5821 = 58 ¡ 100 + 21 15253

Az utolsó két számjegybõl álló számot kell vizsgálni!

Ha egy természetes szám utolsó két számjegyébõl álló kétjegyû szám osztható 4-gyel, akkor a szám osztható 4-gyel.

28-nak osztója a 4; 12-nek osztója a 4; 21-nek nem osztója a 4.

A szorzat osztható 100-zal, ezért a 100 osztójával, a 4-gyel is.

A 728 és az 5812 osztható 4-gyel, az 5821 nem osztható 4-gyel.

Ha egy természetes szám osztható 4-gyel, akkor az utolsó két számjegyébõl álló kétjegyû szám osztható 4-gyel.

Egy természetes szám pontosan akkor osztható 4-gyel, ha az utolsó két számjegyébõl álló kétjegyû szám osztható 4-gyel.

Hasonlóan belátható, hogy egy természetes szám 20-szal, 25-tel és 50-nel való oszthatóságának vizsgálatakor elég az utolsó két számjegyébõl álló kétjegyû számot vizsgálnunk. Például a 3475 osztható 25-tel, mert: 3475 = 34 ¡ 100 15253

+

A szorzat osztható 100-zal, ezért a 100 osztójával, a 25-tel is.

75 Az utolsó két számjegybõl álló szám osztható 25-tel.

Egy természetes szám pontosan akkor osztható 25-tel, ha az utolsó két számjegyébõl álló kétjegyû szám osztható 25-tel. 29


2012.06.19.

8:26

Page 30


Egy természetes szám 4-gyel osztva ugyanannyit ad maradékul, mint amennyit az utolsó két számjegyébõl álló szám. Pl.: 25 472 = 25 400 + 72 és 72 = 18 ¡ 4 + 0, tehát a 25 472 négyes maradéka 0; 25 469 = 25 400 + 69 és 69 = 17 ¡ 4 + 1, tehát a 25 469 négyes maradéka 1. Hasonlóan megmutatható, hogy egy természetes szám 20-szal, 25-tel, 50-nel és 100-zal osztva ugyanannyit ad maradékul, mint amennyit az utolsó két számjegyébõl álló szám.

Az oszthatóság megállapítása az utolsó három számjegy alapján Egy természetes szám pontosan akkor osztható 1000-rel, ha az utolsó három számjegye 0.

Például:

2000 = 0002 · 1000 4 500 000 = 4500 · 1000

0090 · 1000 = 00 90 000 1803 · 1000 = 1 803 000

²

az utolsó 3 számjegy 0

²

osztható 1000-rel

osztható 1000-rel

az utolsó 3 számjegy 0

Ha egy szorzat egyik tényezõje 1000, akkor a szorzat osztható 1000-rel és az 1000 valamennyi osztójával, így a 8-cal, a 125-tel, a 250-nel és az 500-zal is.

1000 _________ 01 · 1000 02 · 5000 04 · 2500 05 · 2000 08 · 1250 10 · 1000 20 · 5000 25 · 4000

4. példa Állapítsuk meg az osztás elvégzése nélkül, hogy az 5432, a 17 128 és a 7324 osztható-e 8-cal! Megoldás Írjuk fel a számokat kéttagú összeg alakban a következõ módon: 123

05432 = 05 ¡ 1000 + 432 17128 = 17 ¡ 1000 + 128 07324 = 07 ¡ 1000 + 324 15253 Az 1000-nek osztója a 8.

Az utolsó három számjegybõl álló számot kell vizsgálni.

A szorzat osztható 1000-rel, ezért az 1000 osztójával, a 8-cal is.

¯ 432-nek osztója a 8; 432 = 54 ¡ 8 ¯ 128-nak osztója a 8; 128 = 16 ¡ 8 324 = 40 ¡ 8 + 4 ¯ 324-nek nem osztója a 8. Az 5432 és a 17 128 osztható 8-cal, a 7324 nem osztható 8-cal.

Egy természetes szám pontosan akkor osztható 8-cal, ha az utolsó három számjegyébõl álló háromjegyû szám osztható 8-cal. 30


2012.06.19.

8:26

Page 31

Hasonlóan belátható, hogy egy természetes szám 125-tel, 200-zal, 250-nel és 500-zal való oszthatóságának vizsgálatakor elég az utolsó három számjegyébõl álló háromjegyû számot vizsgálnunk. Például a 76 250 osztható 125-tel, mert: 76 250 = 76 ¡ 1000 15253

+

250

A szorzat osztható 1000-rel, Az utolsó három számjegybõl álló szám ezért az 1000 osztójával, osztható 125-tel. a 125-tel is.

Az 1000-nek osztója a 125.

Egy természetes szám pontosan akkor osztható 125-tel, ha az utolsó három számjegyébõl álló háromjegyû szám osztható 125-tel. Egy természetes szám 8-cal osztva ugyanannyit ad maradékul, mint amennyit az utolsó három számjegyébõl álló szám. Pl.: 25 472 = 25 000 + 472 és 472 = 59 ¡ 8 + 0, tehát a 25 472 8-as maradéka 0, 25 469 = 25 000 + 469 és 469 = 58 ¡ 8 + 5, tehát a 25 469 8-as maradéka 5. Hasonlóan megmutatható, hogy egy természetes szám 40-nel, 125-tel, 200-zal, 250-nel, 500-zal és 1000-rel osztva ugyanannyit ad maradékul, mint amennyit az utolsó három számjegyébõl álló szám. Mennyi maradékot ad a 276 és az 1276, a) 125-tel;

b) 200-zal;

c) 500-zal osztva?

a) 276 = 2 ¡ 125 + 026

1276 = 1000 + 276 = 8 ¡ 125 + 2 ¡ 125 + 26

b) 276 = 1 ¡ 200 + 076

1276 = 1000 + 276 = 5 ¡ 200 + 1 ¡ 200 + 76

c) 276 = 0 ¡ 500 + 276

1276 = 1000 + 276 = 2 ¡ 500 + 276

A maradékokat szemléltethetjük számegyenesen: 1276

276

a) 0

125

250

375

500

625

750

875

1000

1125

0

200

400

600

800

1000

0

1500

1625

1200

1400

1600

1276

276

c)

1375

1276

276

b)

1250

500

1000

1500

10-zel osztható számok

Feladatok 1. a) Hová kerülne a halmazábrán a 10 000-rel osztható számok halmaza? b) Írjunk igaz, illetve hamis állításokat a halmazábra alapján!

70

100-zal oszthatók

3400 600

11 230

1000-rel oszthatók

900 000 7000 82 000 1 000 000

31


2012.06.19.

8:26

Page 32


2. a) Soroljuk fel azokat a kétjegyû számokat, amelyek a 4-gyel osztható számok végzõdései lehetnek! b) Mely számokkal oszthatók azok a számok, melyek a következõ háromjegyû számokra végzõdnek: 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875? 3. Soroljuk fel azokat a 125-tel osztható számokat, amelyek nem kisebbek, mint 14 500, és nem nagyobbak, mint 16 000! Hány ilyen szám van? 4. Soroljuk fel azokat a 25-tel osztható számokat, amelyek nem kisebbek 570-nél, de nem nagyobbak 850-nél! 5. Állapítsuk meg a 783; 3689; 4592; 7840; 11 999 számok a) 2-es;

b) 4-es;

c) 5-ös;

d) 8-as;

e) 25-ös;

f) 125-ös maradékát!

e) 125-ös;

f) 8-as maradéka?

6. Mennyi a 2787 + 3058 + 12 429 összeg a) 2-es;

b) 4-es;

c) 5-ös;

d) 25-ös;

7. Készítsünk a füzetbe az itt láthatóhoz hasonló halmazábrát, és írjuk bele a következõ számokat! 0; 17; 45; 72; 30; 85; 160; 449; 328; 135; 794; 225; 900. Fogalmazzuk meg, milyen tulajdonságú számok kerültek a két halmaz közös részébe! 8. Készítsünk a füzetbe az itt láthatóhoz hasonló halmazábrát, és írjuk bele a következõ számokat! 7356; 8300; 94 050; 3024; 875; 4445; 1932; 15 000; 18; 74; 125; 70 900; 94. Fogalmazzuk meg, milyen tulajdonságú számok kerültek a két halmaz közös részébe! 9. Készítsünk a füzetbe az itt láthatóhoz hasonló halmazábrát, és írjuk bele a következõ számokat! 4728; 152; 64; 1250; 6112; 415; 0; 94 375; 17 000; 500; 63 056; 16 875; 230000. Fogalmazzuk meg, milyen tulajdonságú számok kerültek a két halmaz közös részébe!

Az adott számok halmaza 2-vel oszthatók

5-tel oszthatók

Az adott számok halmaza 4-gyel oszthatók

25-tel oszthatók

Az adott számok halmaza 8-cal oszthatók

125-tel oszthatók

10. Jelöljük halmazábrán a 4-gyel és 8-cal osztható számok halmazát, majd írjuk be a következõ számokat! Mit vehetünk észre? 56; 20; 100; 172; 256; 7344; 9040; 13 912; 25 000; 528; 403 000; 1; 680 516; 0. 32


2012.06.19.

8:26

Page 33

11. Állapítsuk meg a következõ számok hiányzó számjegyeit úgy, hogy 4-gyel és 5-tel is oszthatók legyenek! Mit állapíthatunk meg a 4-gyel és 5-tel osztható számokról? a) 3Â Ò0 0

Â= Ò

3

4

b) 7À Ð85

À= Ð

5

12. A számkártyákból képezzük az összes lehetséges háromjegyû számot! Készítsünk halmazábrát, jelöljük a 2-vel és az 5-tel osztható számok halmazát, és írjuk be a számokat! 13. A

0

1

2

5

számkártyákból alkossunk

a) 4-gyel osztható háromjegyû számokat! Ezek közül melyek oszthatók 5-tel is? Mit mondhatunk a 4-gyel is és 5-tel is osztható számokról? b) 5-tel, 25-tel és 50-nel osztható háromjegyû számokat, és írjuk ezeket halmazábrába! Mondjunk igaz állításokat a halmazábra alapján! 14. Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis! a) Ha egy szám utolsó két számjegyébõl álló szám osztható 4-gyel, akkor maga a szám is osztható 4-gyel. b) Egy szám akkor osztható 4-gyel, ha utolsó két számjegye osztható 4-gyel. c) Ha egy szám 4-gyel és 5-tel is osztható, akkor 20-szal is osztható. d) Ha egy szám 4-gyel és 2-vel is osztható, akkor 8-cal is osztható. 15. Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis! a) Ha egy szám osztható 50-nel, akkor 5-tel is osztható. b) Minden 25-tel osztható szám 50-nel is osztható. c) Ha egy szám többszöröse 25-nek, akkor 5-nek is többszöröse. d) Van olyan 25-tel osztható szám, amelynek minden számjegye páratlan. 16. Egy országos matematikaverseny szervezõi tréfás kiszámolóba rejtve közölték a résztvevõkkel, hogy mi a fõdíj. „Számoljatok balról jobbra és jobbról balra egyesével 1-tõl kezdve a következõ módon: 1. A, 2. B, 3. C, 4. D, 5. E, 6. D, 7. C, 8. B, 9. A, 10. B, 11. C ... ! Ha így haladtok tovább, akkor 1000-hez érve éppen a fõdíjra mutattok.” Mi a verseny fõdíja? E) B) D) A)

C)

Rejtvény

Egy vastag könyvbõl kiesett néhány egymás után következõ lap. A legelsõ a 143. oldal volt, a legutolsó kiesett oldalon pedig ugyanezek a számjegyek szerepeltek, csak más sorrendben. Hány lap esett ki a könyvbõl? 33


2012.06.19.

8:28

Page 70

H O G YA N O L D J U N K M E G F E L A D A T O K A T ?

3. Következtessünk visszafelé!

Géza a térképvázlat alapján haladt, és minden útelágazásnál eldöntötte, hogy milyen irányban menjen tovább. Melyik pontból indult, ha az útelágazásoknál az alább jelölt irányokba fordulva ért a sajthoz?

Több probléma megoldásakor segítséget jelenthet, ha a végsõ helyzetbõl kiindulva visszafelé következtetünk.

1. példa Gondoltam egy számra, elosztottam 5-tel, hozzáadtam 6-ot, ezt megszoroztam 8-cal, és így 80-at kaptam. Melyik számra gondoltam?

Játsszátok el a feladatot, majd találjatok ki hasonlókat!

Megoldás Kövessük nyomon az eredeti szám változását! a gondolt szám

¢5

+6

1. szám

5 ¡ 4 = 20

2. szám ¡5

10 µ 6 = 4

¡8

3. szám µ6

80 ¢ 8 = 10

a kapott szám 4. szám

¢8

80

Az eredeti szám a 20. Ellenõrzés: 20 ¢ 5 = 4; 4 + 6 = 10; 10 ¡ 8 = 80, ami a feladat szövegének megfelel. Válasz: 70

Tehát a 20-ra gondoltam.


2012.06.19.

8:28

Page 71

2. példa A házunk elõtt három fa áll, egy barack-, egy dió- és egy meggyfa. Reggel 48 veréb repült a házunkhoz, és leszállt a három fára. Késõbb 8 veréb a barackfáról átszállt a diófára, majd 6 veréb átszállt a diófáról a meggyfára. Ekkor mindegyik fán ugyanannyi veréb ült. Hány veréb telepedett le eredetileg a barackfán, a diófán és a meggyfán? Megoldás A röpködések után a 48 veréb úgy helyezkedett el a három fán, hogy mindegyiken ugyanannyi veréb ült, vagyis mindhárom fán 48 ¢ 3 = 16 veréb volt. Foglaljuk táblázatba a verebek számát a fákon! barackfa 16

Végsõ állapot Közbülsõ állapot Eredeti helyzet

diófa

µ8

16 16 + 8 = 24

µ6 +8 µ8

meggyfa

16 16 + 6 = 22 22 µ 8 = 14

Ellenõrzés: A barackfán 24 µ 8 = 16 A diófán 14 + 8 µ 6 = 16 A meggyfán 10 + 6 = 16

+6 µ6 +8

16 16 µ 6 = 10

+6

10

veréb maradt. veréb maradt. veréb lett.

Válasz: A táblázatból leolvasható a megoldás: eredetileg a barackfára 24 veréb szállt le, a diófára 14, a meggyfára pedig 10.

3. példa Egy tál teli volt gombóccal. Elõször Bence ért haza, és megette a gombócok felét és még egy fél gombócot. Majd megjött Ákos, és megette a maradék gombócok felét. Ezután 5 gombóc maradt. Hány gombóc volt eredetileg a tálban? Megoldás Jelöljük egy szakasszal az összes gombócot!

Hogyan ehette meg Bence a gombócok felét és még egy fél gombócot úgy, hogy egy gombócot sem kellett kettévágnia?

1

az összes gombóc fele

65555555555755555555558 2 15555555555255555555553 Bence ennyi gombócot evett

a maradék fele

ez is a maradék fele

65555755558 65555755558 155525553155525553

Ákos ennyi gombócot evett

5

Ákos a Bence által meghagyott gombócok felét ette meg. A másik fele a maradék 5 gombóc, azaz Ákos is 5 gombócot evett meg. Így Bence 2 ¡ 5 = 10 gombócot hagyott. Ha Bence nem ette volna meg a fél gom1 bócot, akkor épp az összes gombóc felét ette volna meg, ami 10 . 2 1 Tehát a tálon eredetileg 10 ¡ 2 = 21 gombóc volt. 2 71


2012.06.19.

8:28

Page 72

H O G YA N O L D J U N K M E G F E L A D A T O K A T ?

Ellenõrzés: 1 1 1 A tálon 21 gombóc volt. Bence megevett 21 ¢ 2 + = 10 + = 11 2 2 2 gombócot. Maradt 10 gombóc. Ákos megevett 10 ¢ 2 = 5 gombócot. Valóban 5 gombóc maradt. Válasz: Eredetileg 21 gombóc volt a tálban.

Feladatok 1. Gondoltam egy számot, elvettem belõle 29-et, megszoroztam 17-tel, elosztottam 221gyel, és 4-et kaptam. Melyik számra gondoltam? 2. Gondoltam egy számot, hozzáadtam 38-at, elosztottam 10-zel, a kapott számot megszoroztam 9-cel, majd hozzáadtam 19-et, és 100-at kaptam. Melyik számra gondoltam? 3. Melyik az a szám, amelyiknek a felénél 5-tel kisebb szám a 25? 4. Peti egy mûveletsor végén 520-at kapott. Késõbb rájött, hogy az utolsó mûveletet eltévesztette, és ahelyett, hogy 89-et kivont volna, 89-et hozzáadott. Mennyi a helyes végeredmény? 5. Pali egy mûveletsor végén 480-at kapott. Késõbb rájött, hogy az utolsó mûveletet eltévesztette, és ahelyett, hogy 4-gyel osztott volna, 4-gyel szorzott. Mennyi a helyes végeredmény? 6. András, Béla és Csaba társasjátékot játszottak. A játékszabály szerint aki egy fordulót megnyert, az a vesztesektõl kapott 5-5 zsetont. A 6. kör végén egyformán osztoztak a 60 zsetonon. A 6. kört Béla nyerte, az 5. kört Csaba, a 4. kört András. Kinek hány zsetonja volt a 3. kör végén? 7. Egy méhraj repült az udvarunkba. A méhek fele a barackfára szállt, a maradék fele az aranyvesszõre, a többi 18 méh pedig a tulipánokra. Hány méh röpült az udvarunkba? 8. A párizsi kiránduláson Réka és Árpi sokat fotózott. Szerdán a képek felét az Eiffeltoronynál, a maradék kétharmad részét a Notre Dame-nál, a maradék 8 képet pedig a Diadalívnél készítették. Összesen hány képet készítettek szerdán?

72


2012.06.19.

8:28

Page 73

9. Egy vég szövetbõl az üzletben elõször 5 m-t, aztán 3 m-t, majd 4,5 m-t adtak el. Utána egy varrónõ megvette a maradék szövet felét, majd egy másik is elvitt 10 m-t, így az utolsó vevõnek 2 m maradt. Hány méter szövet volt a végben? 10. Ha egy téglalap egyik szemközti oldalpárját kétszeresére, másik szemközti oldalpárját pedig háromszorosára növeljük, akkor egy olyan négyzetet kapunk, amelynek a kerülete 48 cm. Mekkorák az eredeti téglalap oldalai? 11. A 6. C osztályban a tanulók harmada lány. A fiúk negyede kosárlabdázik. Ha 12 olyan fiú van, aki nem kosárlabdázik, akkor hány tanuló jár az osztályba? *12. Egy használtautó-kereskedõ egy hétig nem vett autót, csak eladott. Hétfõn eladta az autók felét meg még egy fél autót, kedden a maradék felét meg még egy fél autót, szerdán a maradék felét meg még egy felet, így egy autója maradt, amivel elment nyaralni. Hány autót adott el hétfõn? *13. Egy gazdag ember a vagyona felét és még 1000 aranyat a feleségére hagyott. A maradék felét és még 1000 aranyat a leányára, a maradék felét és még 1000 aranyat az inasára, a maradék felét és még 1000 aranyat a kutyájára, a megmaradt 10 000 aranyat pedig jótékonysági célra hagyományozta. Hány arany volt a gazdag ember vagyona?

Játék Ezt a játékot ketten játsszátok egy bábuval! A bábu a START-ról indul, és felváltva léphettek vele egyszerre legalább 1-et, de legfeljebb 5-öt. Az gyõz, aki be tud lépni a CÉL-ba. Tud-e a kezdõ játékos úgy játszani, hogy biztosan gyõzzön?

Rejtvény

Egy hordóban 30 liter drága olaj van. Hogyan lehet ebbõl egy 4 literes és egy 9 literes edény segítségével pontosan 6 litert kimérni, ha nincs más edényünk, és egyetlen cseppje sem veszhet kárba? 73


2012.06.19.

8:28

Page 122

A RACIONÁLIS SZÁMOK I.

7. A tizedes törtek szorzása

Beszélgessetek a fotókon látható mérõeszközökrõl! Fogalmazzatok meg szorzásokat!

Tizedes tört szorzása egész számmal 1. példa Egy lépcsõs piramis alsó három lépcsõfokát betemette a sivatag homokja. A piramis egy lépcsõfoka 7,18 m magas. a) Milyen magasan van a piramis csúcsa a homokfelszín felett, ha a piramis összesen 7 lépcsõbõl áll? b) Hol kezdõdik a piramis elsõ lépcsõje a homokfelszínhez képest?

Megoldás a) A piramis 7 lépcsõbõl áll, ezért 4 lépcsõ van a homokfelszín felett. 7,18 + 7,18 + 7,18 + 7,18 = = 4 ¡ 7,18 = 28,72.

7,1 8 ¡ 4 2 8,7 2

A piramis csúcsa 28,72 m magasan van a sivatag homokfelszíne felett. b) A homokfelszín alatti elsõ lépcsõ µ7,18 méteren van. (µ7,18) + (µ7,18) + (µ7,18) = 3 ¡ (µ7,18) = µ21,54. 7,1 8 ¡ 3 2 1,5 4

A piramis alja a homokfelszínhez képest µ21,54 méteren van.

Ha tizedes törtet egész számmal szorzunk, a szorzatban annyi tizedesjegyet jelölünk, amennyi a tizedes törtben van. A szorzat elõjelét ugyanúgy állapítjuk meg, mint az egész számok szorzásakor. 122


2012.06.19.

8:28

Page 123

Tizedes tört szorzása tizedes törttel 2. példa Egy téglalap alakú terasz méretei láthatóak az ábrán. Hány négyzetméter területû ez a terasz? 5,6 m

Megoldás a = 5,6 m b = 3,2 m

3,2 m

T=? T=a¡b

b

Becslés: T » 6 ¡ 3 m2 = 18 m2

A mértékegységek közti összefüggések alapján a terület:

a

2

T = 56 ¡ 32 dm2

T = 5,6 ¡ 3,2 m

T = 1792 dm

Induljunk ki az egész számok szorzásából, és figyeljük meg a szorzat változásait! 56 ¡ 32 = 1792 ¢ 10

¢ 10

5,6 ¡ 32 = 179,2 ¢ 10

¢ 100

¢ 10

056 ¡ 32 168 112 1792

Tizedes törttel számolva: 2

T = 5,6 ¡ 3,2 m

5,6 ¡ 3,2 = 17,92

T = 17,92 m2

2

T = 17,92 m2

5,6 ¡ 3,2 1 6 8 1 1 2 1 7,9 2

2 A terasz területe 17,92 m .

3. példa A 2. példában szereplõ teraszt a kert felõli szélén zöld, a többi részen drapp színû járólappal akarjuk lefedni. Hány négyzetméter lesz a zöld színû téglalap, ha a hossza 5,6 m, a szélessége 32 cm? Megoldás A zöld színû téglalap egyik oldala 5,6 m, a másik 32 cm hosszú. a = 5,6 m c = 32 cm = 0,32 m T=? T=a¡c

5,6 m

32 cm

Becslés: T » 6 ¡ 0,3 m2 = 1,8 m2

A mértékegységek közti összefüggések alapján a terület:

b

3,2 m

c

a

T = 560 ¡ 32 cm2 T = 17920 cm2 T = 1,792 m2

T = 5,6 ¡ 0,32 m2 A szorzat változásai alapján:

Tizedes törttel számolva:

56 ¡ 32 = 1792 ¢ 10

¢ 100

¢ 1000

5,6 ¡ 0,32 = 1,792

2

T = 5,6 ¡ 0,32 m T = 1,792 m2

5,6 ¡ 0,3 2 1 6 8 1 1 2 1,7 9 2

A zöld színû rész területe 1,792 m2. 123


2012.06.19.

8:28

Page 124

A RACIONÁLIS SZÁMOK I.

Tizedes törtek szorzásakor a szorzatban annyi tizedesjegyet jelölünk, amennyi a tényezõkben összesen van.

Például: 3,7 4 2 ¡ 1 2 7 4 8 4 4 4,9 0 4

6 1,0 8 ¡ 3,1 1 8 3 2 4 1 8 9,3 4 8

1 6,5 ¡ 1 0,4 2 6 6 0 3 3 0 1 7 1,9 3 0

A többtényezõs szorzatokat lépésenként számoljuk. (µ0,7) ¡ 5,12 ¡ (µ4,1) = (µ3,584) ¡ (µ4,1) = 14,6944

µ3,584 +14,6944

Feladatok 1. Hány tizedesjegy szerepel a következõ szorzatokban, ha a szorzatot nem egyszerûsítjük vagy nem bõvítjük? Becsüljük meg a szorzatot! Végezzük el a szorzást! a) d) g) j)

3,72 ¡ 4; 31,31 ¡ 0; 0,62 ¡ 1,5; 4,04 ¡ 100;

b) e) h) k)

0,107 ¡ 106; 3,6 ¡ 3,14; 10,25 ¡ 10; 1,5 ¡ 1,2 ¡ 1,8;

c) f) i) l)

5,4 ¡ (µ2); 2,8 ¡ 2,5; 4,04 ¡ 4,04; 1,3 ¡ 0,1416.

2. Számítsuk ki a szorzatokat! Mit veszünk észre? a) 168 ¡ 24;

b) 16,8 ¡ 24;

c) 16,8 ¡ 2,4;

d) 16,8 ¡ 7;

e) 1,68 ¡ 7;

16,8 ¡ 24;

1,68 ¡ 24;

1,68 ¡ 2,4;

1,68 ¡ 0,7;

1,68 ¡ 0,07;

1,68 ¡ 24;

0,168 ¡ 24;

0,168 ¡ 2,4;

0,168 ¡ 0,07;

1,68 ¡ 0,007.

3. Végezzük el a szorzást! Elõtte becsüljük meg a szorzatot! a) (+7,25) ¡ (+0,8) ¡ (µ2);

b) (µ1,25) ¡ (+12) ¡ (µ0,08) ¡ (µ1000).

4. Végezzük el a 3,45 ¡ 2,4 szorzást! Változtassuk úgy valamelyik tényezõt, hogy a szorzat a) kétszeresére;

b) négyszeresére;

c) tízszeresére változzon!

5. Rendezzük a szorzatokat csökkenõ sorrendbe! Hányszorosa a legnagyobb a legkisebbnek? (Próbáljunk a szorzatok kiszámítása nélkül válaszolni!) a) A) 3,72 ¡ 1,8 ; B) 37,2 ¡ 1,8 ; C) µ3,72 ¡ 1,8 ; D) 0,372 ¡ 1,8 ; b) A) 0,25 ¡ 4 ¡ 3,2 ; B) µ0,25 ¡ 3,2 ; C) 0,25 ¡ 4 ¡ 0,32 ; D) 0,25 ¡ 0,32 ¡ 0 ; c) A) µ5,6 ¡ 8 ¡ 12,5 ; B) µ5,6 ¡ (µ0,8) ¡ 12,5 ; C) µ5,6 ¡ (µ0,8) ¡ (µ12,5) . 124

Ms-2306T_Matek6_tk-beadas utani jav-2012.qxd

2012.11.13.

9:27

Page 125

6. Döntsük el, hogy melyik szorzat, illetve összeg a nagyobb! Számolással ellenõrizzük a döntésünk helyességét! a) 4,5 ¡ 12 vagy 4,05 ¡ 120; c) 26,8 ¡ 1,1 vagy 2,68 ¡ 11;

b) 6,2 ¡ 0,54 vagy 0,62 ¡ 5,4; d) µ3,4 + 1,5 ¡ 2,4 vagy (µ3,4 + 1,5) ¡ 2,4.

7. A gyógyszerészek a gyógyszerek elõállításánál nagyon kis tömegekkel dolgoznak. Az egyik gyógyszer 1 tablettájában 0,25 mg hatóanyag és 47,715 mg tejcukor van. Hány grammot fogyaszt egy évben a hatóanyagból és a tejcukorból az a beteg, aki minden nap 2 tablettát szed be ebbõl a gyógyszerbõl? 8. Péter és apukája az országúton egyszerre indulnak el kerékpárral a faluból a városba. Péter 18,4 km-t, az apukája 16,8 km-t tesz meg óránként. Péter 1,5 óra múlva beér a városba. Mennyi utat kell még megtennie az apukájának, hogy õ is a városba érjen? 9. Egy villanyszerelõ-mûhelyben elosztókat állítanak össze. Egy elosztó vezetéke 3,2 m hosszú, és a szereléshez még 8 cm vezeték kell. Egy mûszak alatt 78 elosztó készül el. Hány méter vezetéket használnak fel? Számoljunk többféleképpen! 10. Egy méteráruboltban függönyöket veszünk. Sötétítõ függönynek 5,7 m-t vásárolunk, 2,75 m-rel kevesebbet, mint csipkefüggönynek. A sötétítõ függöny méterének ára 3560 Ft, a csipkefüggönyé 4756 Ft. Mennyit fizetünk? 11. Egy négyzet alakú asztalterítõ oldalai 1,6 m hosszúak. A terítõre csipkeszegélyt varrunk. Hány méter csipkét vegyünk, ha a terítõ sarkainál 2-2 cm a ráhagyás?

a = 12,4 m

15253

12. A házunk olyan téglalap alakú telekre épül, amelynek egyik oldala 12,4 m, a másik ennek a 2,5-szerese. Hány méteren kell kerítést készíteni, ha a ház a telekhatárból 25,6 m-t, a kapu 2 pedig 4,5 m-t foglal el? Hány m a telek területe?

Kapu

Ház

13. Számítsuk ki a téglalapok területét négyzetméterben, ha oldalaik hossza: 1. a = 6 m 5 dm; b = 10 m 3 dm;

2. a = 19 dm; b = 37,2 dm;

3. a = 520 cm; b = 3,8 m!

14. Hány négyzetcentiméter a felszíne és hány köbcentiméter a térfogata egy olyan fakockának, amelynek egy éle 1,5 cm? Ezekbõl a fakockákból egy olyan nagyobb kockát építünk, amelyik 27 kis kockából áll. Mekkora a nagyobb kocka felszíne és térfogata? 15. Egy akvárium hossza 8,2 dm; szélessége 35 cm; magassága pedig 474 mm. Hány négyzetdeciméter területû üveglapot használtak fel a készítésekor, ha az akváriumnak nincs teteje? Hány literes az akvárium? (Az üveg vastagságától eltekinthetünk.) Rejtvény

Melyik kétjegyû számra igaz, hogy az 1,2-szerese ugyanazokból a számjegyekbõl áll, mint maga a szám? 125


2012.06.19.

9:10

Page 210

A RACIONÁLIS SZÁMOK II.

6. Osztás törttel

3¢6 = 3¢

1. példa Hány embert tudunk megkínálni 3 pizzából, ha mindenkinek 1 1 a) 1; b) ; c) pizzát adunk? 2 5 1. megoldás A fenti ábráról leolvashatjuk a keletkezett szeletek számát. Ugyanezt osztással is megkaphatjuk: 1 1 a) 3 ¢ 1 = 3; b) 3 ¢ = 6; c) 3 ¢ = 15. 2 5 2. megoldás A hányados tulajdonságai alapján tudjuk, hogy ha az osztandó változatlan és az osztó felére, ötödére csökken, akkor a hányados kétszeresére, ötszörösére nõ.

1 2

1 = 60 2

3 ¢ 15 =

1 5

b) 3 ¢ 1 = 3

1 3 ¢ = 15 5

²

3¢

¢2

²

c) 3 ¢ 1 = 3 ¡2

1 =3¡2 2

²

3¢

¢5

²

¡5

1 = 3 ¡ 5. 5

Az egész pizzákkal 3, a fél pizzákkal 6, az egyötöd pizzákkal 15 embert tudunk megkínálni.

1 reciproka 2 2

1 1 -del való osztás 2-vel való szorzást, az -del való osztás 5-tel való 2 5 szorzást jelent. Az

2. példa Négy liter õszibaracklevet áttöltünk 1 2 a) 1 literes üvegekbe; b) literes poharakba; c) literes korsókba. 3 3 Hány üveg, hány pohár és hány korsó telik meg? 210


2012.06.19.

9:10

Page 211

Megoldás üvegek poharak korsók

Az ábra alapján:

¢

A hányados változása alapján:

b) a poharak száma: 4 ¢

c) a korsók száma:

4¢

4

4¢ 1=4

a) az üvegek száma: 4 ¢ 1 = 4.

A

egész számot osztunk

²

1 = 4 ¡ 3 = 12. 3

4¢

4¢

²

¡2

²

12

¡3

¡3

1 =4¡3 3 ²

2 = 6. 3

¢3

1 3

¢2

¢

2 3

¡

3 2

4

2 3 =4¡ . 3 2

6

2 3 3 2 -dal való osztás -del való szorzást jelent. A a reciproka. 3 2 2 3

3. példa Végezzük el a következõ osztásokat! 1 4 a) 3 ¢ ; b) 3 ¢ ; 5 5 Megoldás

c)

3 4 ¢ . 7 5

egész számot osztunk

1 = 3 ¡ 5 = 15. 5 b) A hányados változásai alapján számolunk. 1 3¢ =3¡5 5 a) Az elsõ példában láttuk, hogy 3 ¢

az osztó 4-szeresére nõ

¡4

¢4

¢

3

a hányados 4-ed részére csökken

¢

¢7

5 ¡ 4

4 5 =3¡ 5 4

¢7

4 5

3

c) A hányados változásai alapján számolunk. A b) esetbõl indulunk ki. 5 4 3 ¢ = 3 ¡ 5 4 az osztandó 7-ed részére csökken

15

¡5

² ² 3¡5 4 15 5 3 ¢ = (3 ¡ 5) ¢ 4 = = = 3¡ 5 4 4 4 3¢

1 5

15 4

törtet osztunk

a hányados 7-ed részére csökken

² ² 3 4 3 5 15 ¢ = ¡ = 7 5 7 4 28

3 7

3 4 3 5 ¢ = ¡ 7 5 7 4 Törttel úgy osztunk, hogy az osztandót az osztó reciprokával szorozzuk. 211

¢

4 5

¡

5 4

15 28


2012.06.19.

9:10

Page 212

A RACIONÁLIS SZÁMOK II.

Törttel való osztáskor az egyszerûsítést akkor végezhetjük el, ha az osztást átírtuk reciprokkal való szorzásra. 4

12 15 12 4 12 4 16 ¢ = ¡ = ¡ = 5 4 5 15 5 25 15 5

Ha az osztásban vegyes szám szerepel, akkor a vegyes számot elõször törtté alakítjuk. 1 3 9 8 9 5 45 13 2 ¢1 = ¢ = ¡ = =1 4 5 4 5 4 8 32 32 Ha elõjeles számokat osztunk, a hányados elõjelét az egész számoknál tanult módon állapítjuk meg. Ê 2 ˆ 4 Ê 2ˆ 4 Ê 3ˆ 4 3˜ 6 1 Á ¢ Áµ ˜ = ¡ Áµ ˜ = µ ¡ = µ = µ1 Á5 ˜ 5 Ë 3¯ 5 Ë 2¯ 5 5 2 Ë 1¯ 1

7 4 7 1 Ê 7ˆ Ê 4ˆ Ê 7ˆ Ê 3ˆ ¡ = =1 ÁËµ ˜¯ ¢ ÁËµ ˜¯ = ÁËµ ˜¯ ¡ ÁËµ ˜¯ = 8 4 8 3 3 6 6 8 2

Feladatok 1. Végezzük el a kijelölt osztásokat, majd ellenõrizzük számításunk helyességét! a) 14 ¢

7 ; 12

e) (µ5) ¢

3 ; 4

b) 14 ¢

12 ; 7

Ê 2ˆ f) 7 ¢ Ëµ ¯ ; 5

5 c) 14 ¢ 1 ; 7

d)

28 7 ¢ ; 2 12

g) Êµ 5 ˆ ¢ Êµ 5 ˆ ; Ë 7¯ Ë 7¯

h)

5 13 ¢ . 13 5

2. Mennyi a hányados? Ellenõrizzük! a)

5 2 ¢1 ; 7 3

e) 4

1 1 ¢8 ; 4 2

b)

6 2 ¢4 ; 11 7

c)

30 2 ¢4 ; 49 7

1 1 4 3 f) Êµ 9 ˆ ¢ Êµ2 ˆ ; g) Êµ7 ˆ ¢ 1 ; Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯ 2 9 5 10

3. Mekkora számot visznek a teljes szerelvényen? 2 2 ¢ 5 3

4 ¢4 9

3 1 ¢ 2 6

3 3 ¢ 2 11

5 2

1 5 ¢ 2 3

2 23 ¢ 50 25

5 3 ¢ 46 23

2¢

212

7 4 d) Êµ ˆ ¢ 2 ; Ë 10 ¯ 5

h) 5

1 Ê 1ˆ . ¢ µ8 Ë 8 5¯


2012.06.19.

9:10

Page 213

4. Milyen számot írhatunk a jelek helyére, hogy az egyenlõség igaz legyen? a)

2 4 ¢Ò = ; 3 3

4 5 d) Êµ1 ˆ ¢ Ò = ; Ë 5¯ 6

3 9 b) Êµ ˆ ¢ Ò = ; Ë 5¯ 10

c)

5 3 ; ¢Ò = 8 14

3 1 ¢Ò = 2 ; 4 2

f)

21 9 ¢Ò = 2 . 25 20

e)

1ˆ 1 Ê 5. a) Mennyi a hányados, ha a µ6 -et 4 -dal osztjuk? Ë 4¯ 6 1ˆ 1 Ê b) Hányszorosa a µ6 a 4 -nak? Ë 4¯ 6 c) Hányszorosa a 4

1 1ˆ Ê a µ6 -nek? Ë 6 4¯

d) Mennyivel kell szorozni a 4

1 1ˆ Ê -ot, hogy µ6 -et kapjunk? Ë 6 4¯

6. Végezzük el az osztásokat! Állapítsuk meg, hogy az osztandó vagy a hányados a nagyobb! a)

2 4 ¢ ; 3 5

7 1 ¢ ; 8 2

2 2 ¢ . 9 3

7. Egy téglalap területe 25

b)

2 3 1 4 ¢ ; 1 ¢ ; 3 2 3 3

9 5 ¢ . 4 4

1 1 2 m . Mennyi a téglalap kerülete, ha az egyik oldala 8 m? 2 2

8. Írjunk fel minél több osztást, ha a tényezõket és a hányadost is az alábbi számok közül választhatjuk! 9 ; 8

µ4;

5 ; 2

4;

6 ; 5

5 µ ; 8

3 . 2

9. Vince és Csabi már másfél órája bicikliznek, amikor a tú3 rájuk részénél tartanak. Hányad részét tették meg az 4 útjuknak 1 óra alatt? Mennyi idõ telik el a túra befejezéséig, ha az eddigi tempóban haladnak tovább?

Rejtvény

3 3 -del, utána elosztottuk -del. Az alábbiak közül melyik mûvelettel 4 5 helyettesíthetõ ez a két mûvelet?

Egy számot megszoroztunk

A) osztás

4 9 9 5 5 -dal; B) osztás -dal; C) szorzás -dal; D) szorzás -del; E) osztás -del. 3 20 20 4 4

213


2012.06.19.

9:10

Page 256

SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS

2. Az egész rész kiszámítása

1. példa 3 Egy alpinista már 180 m magasra mászott, amikor a szikla részéig 4 jutott. Hány méter magas a szikla? Megoldás 180 m

¢3

1 egész =

4¡

1 rész 4 4 rész 4

4 rész 4

¢3

?m 180 m

180 m ¢ 3 = 60 m 4¡

4 ¡ 60 m = 240 m

65555755558 15555255553

3 rész 4

3 rész 4

Az alpinista 240 m magas sziklára mászik fel.

Mennyi a 240-nek a

240

3 ¡ 4

3 része? 4

Mennyi a 180 és a

3 hányadosa? 4 60

¢

3 4

180

180 ¢

3 4 = ¡ 180 = 240 4 3 1

3 része a 180? 4 3 Ha a 180 az egésznek a része, akkor az egész részt úgy is kiszámít4 3 hatjuk, hogy a 180-at elosztjuk -del. 4 Melyik szám

256


2012.06.19.

9:12

Page 257

2. példa 2 Ádám a hónap elején megkapta a havi zsebpénzének részét, azaz 3 800 Ft-ot. Hány forint Ádám havi zsebpénze?

1. megoldás (következtetéssel) 2 A zsebpénz része 3 ¢2

1 egész =

3¡

1 rész 3 3 rész 3

2. megoldás (osztással) 2 Ha rész 3 3 a rész 3

800 Ft 3 rész 3

¢2

? Ft

3 ¡ ( 800 ¢ 2 ) = =3¡

800 Ft ¢ 2 = 400 Ft 3¡

3 ¡ 400 Ft = 1200 Ft

¯ 800 Ft; 400

¯

800 Ft ¢

2 3 = 800 Ft ¡ = 1200 Ft . 3 2

Mindkét esetben ugyanazt az eredményt kaptuk. Ádám havi zsebpénze 1200 Ft.

1

2 Egy szám részébõl úgy számítjuk ki az egész részét, hogy a számot el3 2 osztjuk -dal. 3

3. példa 2 Egy kerékpártúra elsõ napján az egész út , a második napon pedig 7 2 a részét tettük meg. Hány kilométer van még hátra, ha az elsõ nap 5 30 km-t haladtunk?

Megoldás Az elsõ nap megtett út az egész út

¢2

7¡

2 rész 7 7 rész 7 1 rész 7 7 rész 7

2 része, azaz 30 km. 7 30 km ¢2

? Ft 30 km ¢ 2 = 15 km

7¡

7 ¡ 15 km = 105 km

Az egész út 105 km. 257

800 3 ¡ 800 = = 2 2 3 = ¡ 800 2


2012.06.19.

9:12

Page 258

SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS

A második napon az egész út 1 egész =

2 részét tettük meg. 5

5 rész 5

105 km

¢5

2 rész 5

¢5

2¡

1 rész 5 2 rész 5

2¡

? km 105 km ¢ 5 = 21 km 2 ¡ 21 km = 42 km

A második napon 42 km-t tettünk meg. A hátralévõ út: 105 km µ 30 km µ 42 km = 33 km. 33 kilométer van még hátra a kerékpártúrából.

Feladatok 1. Melyik számnak a a) 24;

3 része a 4

b) 150;

2. Melyik mennyiségnek a a) 6 kg;

a) 15 km;

d) 32,4;

e) 100?

c) 40 perc;

2 d) 184 cm ;

e) 23,5 km?

c) 1 óra;

d) 0,2 kg;

e)

2 része a 3

b) 45 m;

3. Melyik mennyiségnek a

c) 540;

8 része a 5

b) 150 m;

2 2 m ? 3

3 része 900 Ft. Mennyi pénzem van? 4 7 5. Felástam a kertünk részét. Hány négyzetméteres a kertünk, ha még 55 m2-es terü12 letet kell felásnom, hogy az egész kert felásásával végezzek? 4. A pénzem

3 részét tették meg. Hány 5 kilométert tettek meg délelõtt, ha délután még 5,6 km-t kellett gyalogolni?

6. Az osztálykiránduláson a hatodikosok délelõtt a tervezett út

5 7. Hunor elolvasta Fekete István Bogáncs címû könyvének részét, így még 147 oldal 8 van hátra. Hány oldalas a könyv? 2 9 része, Szilvi pénzének része. 5 4 Hány forintja van Zolinak és Szilvinek? Kinek a legtöbb a pénze?

8. Petrának 720 Ft-ja van. Ez a pénz Zoli pénzének

258


2012.07.20.

10:42

Page 259

3 9. Az iskolai menzára már befizetett a tanulók része. Hányan ebédelnek az iskolában, 10 ha még 168-an nem fizettek? 4 3 hl víz volt. A hordó az oldalán kilyukadt, és kifolyt a benne lévõ víz 5 4 1 része. A benne maradt víz a hordó ûrtartalmának az -a. Hány literes a hordó? 6

10. Egy hordóban

2 3 részét, majd a maradék ré5 4 szét. Ezek után a tálcán 6 sütemény maradt. Hány sütemény volt eredetileg a tálcán?

11. Egy tálcán lévõ süteményeknek elõször megettük a

12. Egy iskola hatodik osztálya diákönkormányzati képviselõt választott. Az osztály tanu4 3 lóinak része szavazott. A szavazatok részét Karcsi kapta. Hatan voltak, akik nem 5 4 Karcsira szavaztak. Mennyi ennek a hatodik osztálynak a létszáma? 2 3 része ugyanannyi, mint Erzsi pénzének -e. 3 4 Meg tudják-e venni együtt a 4999 Ft-ba kerülõ DVD-t a nõvérüknek a születésnapjára?

13. Erzsinek 2400 Ft-ja van. Laci pénzének

9 14. Cézár az elsõ héten megette a két hétre szánt kutyaeledel részét, 14 4,5 kg-ot. Hány kilogramm volt a két hétre szánt kutyaeledel? Melyik mûveletsor fejezi ki a feladat megoldását? A) 4,5 ¡

9 ; 14

D) (4,5 ¡ 14) ¢ 9;

B) (4,5 ¢ 9) ¡ 14; E) 4,5 ¡

14 ; 9

C) 4,5 ¢

9 ; 14

F) 4,5 ¢

14 . 9

15. Írjunk olyan szöveges feladatokat, amelyek megoldását a következõ kifejezések írják le! 2 3 A) ⎛⎜ 14 ¡ ⎞⎟ ¢ ; 3⎠ 4 ⎝ 2 D) 14 ¡ µ 9 ; 3

B) (14 µ 9 ) ¡ E) 14 ¡

2 ; 3

2 3 µ8¡ ; 3 4

C) 14 µ 9 ¡

2 ; 3

F) 14 µ 14 ¡

1 . 3

*16. Ali Babától 40 rabló drágakövekkel teli ládikát zsákmányolt. A rablók közül néhányan elvettek fejenként 1 drágakövet, és ellovagoltak. Az ott maradt rablók fele fejenként 2 drágakövet vett el, a másik felének nem jutott a drágakövekbõl. Hány drágakõ volt Ali Baba ládikájában? Rejtvény

7 1 része sportvetélkedõn, az része szavalóversenyen vett részt. Mennyi 8 2 az osztálylétszám, ha minden tanuló részt vett valamelyik versenyen, és 9 olyan tanuló volt, aki Az osztály tanulóinak a

mindkét helyszínen ott volt? 259

Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné. tankönyv. Hetedik, javított kiadás

Recommend Documents