2015.02.08 – 02.27. Csapat neve: __________________________________
Iskola neve: __________________________________
Elérhető pontszám: 80 pont
Elért pontszám:
Beküldési határidő:
2015.02.27.
Eredmények közzététele: 2015.03.16.
Beküldési cím: Abacusan Stúdió, 1193 Budapest Klapka u. 47. Kérjük, a feladatlapokat ne tértivevényesen adják postára. A borítékra írják rá: „Sir Ranter”!
Az Eindhoveni Egyetem építészhallgatói és vezetőjük Arno Pronk Guinnessvilágcsúcskísérletre készülnek. A céljuk megépíteni a világ legnagyobb jégkunyhóját. A korábbi hivatalos világrekord egy 10 méter átmérőjű jégkupola volt, de nem hivatalos hírek szóltak arról, hogy egy csapatnak sikerült egy 25 méter átmérőjű jégkupolát létrehoznia – kísérleti körülmények között, a jégkupola biztonságát nem ellenőrizve… Pronk és csapata ezért még egy annál is hatalmasabb, 30 méter átmérőjű és teljesen biztonságos jégkupola megépítését tűzte ki célul. Képzeljétek el ezeket az óriási méreteket: a jégkupola alapjának sugara 30 méter, ami körülbelül megegyezik egy 10 emeletes panelház magasságával!
A tervezés során Pronk és csapata azonban több váratlan akadályba ütközött! a) A jégkunyhó 0 Celsius fok feletti hőmérsékleten már olvadásnak indul, ezért az építmény létrehozatalához olyan európai helyszínre van szükség, ami nem esik túl messze a hollandiai Eindhoven-től, azonban a tél folyamán tartósan, akár több hónapig is 0 Celsius fok alatti a hőmérséklet. Hol rendezzék meg a rekordkísérletet? b) Az óriási jégkupolák tervezésénél a fő akadályt az jelenti, hogy a jég nem elég erős anyag ahhoz, hogy egy bizonyos méret felett, akár a saját súlyát képes legyen megtartani. Valahogy biztosítani kell, hogy a hatalmas jégkunyhó össze ne omoljon! Milyen megoldást lehetne kitalálni arra, hogy a 30 méteres jégkupola össze ne dőljön a saját súlya alatt?
Pronk és csapata az első kihívást (a) sikeresen megoldotta, megtalálták a megfelelő helyszínt! A finnországi Juuka városkája az Európai Unió leghidegebb területén található, ahol a téli hőmérséklet átlagosan -15 és -30 Celsius között van… A decemberi hőmérséklet -10 Celsius fok körüli: Juuka városa tehát ideális helyszín a munkálatok megkezdéséhez!
A jég saját súlyából eredő szerkezeti problémákkal (b) azonban sehogy sem boldogultak… Hogy fogja az óriási kupola, ez a 30 méter átmérőjű súlyos jégmonstrum a saját súlyát megtartani? Nem maradt más hátra, mint Sir Ranter Gofferson, a világhírű építészmérnök bevonása, aki némi gondolkodás után, szokása szerint egy zseniális ötlettel állt elő! A Habakuk Projekt! Gofferson még világháborús vadászpilóta korából emlékezett barátja, a tehetséges, ám kissé megszállott Geoffrey Pyke szigorúan titkos kutatására, amely a Habakuk Projekt néven vonult be a hajmeresztő tudományos vállalkozások és felfedezések történetébe (http://index.hu/tudomany/tortenelem/2014/12/08/a_szovetsegesek_jegbol_akartak_anyahajokat_epite ni/): „A cél jég-monstrumok, nevezetesen óriási jégből készült repülőgéphordozó anyahajók építése volt…” - magyarázta telefonon Gofferson Pronknak – „…annak idején Pyke is szembetalálta magát a jégből való tervezés szerkezeti korlátaival. A jég egy új, egy sokkal erősebb változatának a kikísérletezésére volt szükség. Pyke ötlete pofonegyszerű: lefagyasztás előtt keverjünk fűrészport a vízhez! A kísérletek ők igazolták. A jégbe fagyott fűrészpor háromszor olyan erős szerkezetet eredményezett mint a sima jég. Az új anyagot, a jégbe kevert fűrészport pykritnek nevezte el. A Habakuk
projekt mégis megbukott, és nem csak azért, mert bolond lettem volna egy jégpályán landolni a vadászgépemmel! Mindenesetre, kedves Pronk, a jégkupola építéséhez a jégnél háromszor erősebb pykrit kiváló alapanyag lesz! Azt javaslom, használjátok Ti is jég és fűrészpor keverékét, azaz pykritet az építéshez.” A telefonvonal azonban itt megszakadt és Pronk a későbbiekben hiába próbálta Gofferson-t ismét elérni... Goffersont, akkor már nyilván egy másik probléma megoldásán dolgozott, nem érdekelte többé a jégkupola problémája… Pronk azonban megkapta a szükséges választ, megvolt a helyszín, Juuka városa és zseniális ötlet is a kupola alapanyagára vonatkozóan is. Azonban a megvalósítás részletei továbbra sem voltak világosak! Nem volt más hátra, mint Gofferson segédjének, Adalbertnek a sürgős bevonása a vállalkozásba. Adalbert ugyanis híres volt arról, hogy amit Gofferson megsejtett, kitalált, azt általában ő ültette át a gyakorlatba. „Azonnal hívjuk ide Juukába Adalbertet!” – utasította titkárát Pronk – „Az idő szalad, hamarosan vége a télnek, minket pedig köt a juukai embereknek és a polgármesternek tett ígéretünk. A világrekordot fel kell állítanunk, az óriási jégkunyhót meg kell építenünk!”
Eufrozi álmatlanul forgolódott ágyában. Már megint nem tudott aludni. Úgy gondolta, Apu és Anyu megint segíteni fog neki, ezért felkelt, hogy átmenjen hozzájuk. Szülei szobájának ajtaja résnyire nyitva volt, amelyen át tompa fény szűrődött ki. Eufrozi hallotta, ahogy édesanyja fojtott hangon édesapját korholja: “ De értsd meg, Adalbert, elég volt egyszer kitenni a gyermekeket és magunkat is a veszélynek a Szaharában, s utána emlékezz rá, az Amazonas partján!” Eurfozi ekkor benyitott, és édesapja megkezdett mondatát – “De drága Wilhelmi…” – édesanyja izgatottan szakította félbe: “Eufrozi, úgy gondolom, ismét utazunk!“ „Nem kertelek tovább – szólt Adalbert – Valóban útra kelünk. Finnországban kell egy különleges rekordkisérletben részt vennem. Egy hét múlva indulunk!”
1. feladat
___/10 pont
„Hogyan csomagoljunk?” töprengett Wilhelmina. „Adalbert! Milyen időjárás van Juukában?” „Tessék Drágám! Itt vannak az időjárási kimutatások.” „Nem hazudtolod meg önmagad…” dohogott Wilhelmina, és a papírokba mélyedt. Segítsetek neki értelmezni az adatokat! Az alábbi diagramon Juuka éves hőmérséklet adatainak ábrázolását láthatjátok. Mit ábrázol a három görbe? Mit jelentenek a pirossal jelölt görbeszakaszok? A diagram alapján állapítsátok meg, mikor kell a családnak Juukában tartózkodni, ha az építkezéshez megfelelő, folyamatosan 0°C alatti hőmérsékletre van szükség?
A következő diagramon az átlagos havi csapadékos napok számát ábrázolták. Mi a gyakorisága azoknak a hónapoknak, amelyekben legalább a hónap napjainak 1/3 részében van csapadék? Mennyi éves szinten a csapadékos napok átlagos száma? Mennyi a csapadékos napok számának módusza?
A kis család tehát útra kelt. Repülővel utaztak Helsinkiig, és ott töltöttek néhány napot, hogy megcsodálják a helyi nevezetességeket, köztök Suomenlinnát, a híres 18. századi erődszigetet. Egy nap a reggelinél üzenet várta Adalbertet. Amikor elolvasta, elfehéredett, és remegő szájjal ezt mondta: „Azonnal indulunk! Hat nap múlva a helyszínen kell lennünk!” „Hol?” kérdezte egyszerre Wilhelmina és Eufrozi. „Ezt sajnos egyelőre nem tudom. Van egy térképünk, és útközben kapjuk meg az útbaigazításokat.”
2. feladat ___/2 pont Jussatok el Lahtiba! A város bejáratánál lévő benzinkutasnál találjátok a következő utasítást. 9 óra volt, amikor autójukkal nekiindultak a 105 kmes távolságnak. 80 km/órás sebességgel haladtak. 9 óra 40 perckor szembe találkoztak egy motorossal, aki ezt kiabálta feléjük: „Ön Adalbert? A benzinkutas 25 perc múlva elmegy! Siessenek!” Adalbert ezek után beletaposott a gázba, és pont időben odaértek. Mennyivel tette meg a hátralévő utat?
3. feladat
___/7 pont
A benzinkutastól egy különös rejtvényt kaptak. „Ha a rejtvényt megfejtitek, megtudjátok, mikorra kell megérkeznetek Kuopio-ba, a Finn Tóvidékre” „Ezek milyen furcsa jelek?”- kérdezte Eufrozi. „Skandináv rúnák, azaz északi rovásírás jelek” „Hú….”
2
22
10 17
15
A rúnák számértéke:
14
24
5
18
7
20
12
8
21 Időpont: hónap:
13
23
9
19
nap:
óra:
perc:
4. feladat
___/6 pont
A tóvidékre érve hatalmas akadályba ütköztek. Az esőzések miatt megemelkedett víz elöntötte az utat, a víz még nem fagyott be. „Autóval, szánnal nem mehetünk tovább… De ne csüggedjetek!” szólt Adalbert. „Hát hogyne! Kifejezetten boldogok és nyugodtak vagyunk!” zsémbelt Wilhelmina. De Eufrozi nem figyelt rájuk. A vizet nézte megbabonázva. „Apu, Anyu! Nézzétek! 10 halacska van a vízben!” Adalbert odanézett, majd így szólt: „Eufrozi! Számold meg újra! 12 halacska van a vízben!” Wilhelmina elnevette magát: „Nahát! Egyikőtök se tud 9 halat megszámolni!” Hol állhattak a család tagjai, hogy mind máshogy látták a halakat? Rajzoljátok be az alábbi képbe a család tagjait!
5. 6. 7. 8. 9. 10.
5. feladat
___/6+10 pont
„Hogy megyünk tovább?” kérdezte kórusban Eufrozi és Wilhelmina. „Hajót bérelünk, átevezünk a tavon, aztán kutyaszánnal megyünk tovább.” Mindenkire másképpen hatott az események alakulása. Ki önfeledten bámészkodva, ki a messzeségben sejlő, addig arrafelé nem látottra megoldást keresve, ki egy kicsit ábrándozva, s ki egy kicsit feszültebben, az elmúlt években átélt, tapasztalt váratlan eseményeket felidézve várta a megígért hajót. Hajó?! Nos, e kijelentés Wilhelmina számára azonmód túlzásnak tűnt, amint észrevette a 4500 m hosszú tavon feléjük közeledő vízi alkalmatosságot. Igaz nem is egyet, hanem mindjárt hármat. 3 túrakenut. Mindegyikben egy-egy, szemlátomást víg kedélyű kormányossal, akik a hajójuk hátsó ülésén ülve eveztek a parton kicsit nyugtalanul toporgó család, és a hajósok szemében fölöslegesen rengeteg csomagja felé. A kenuk kb. 6,50 m hosszúak, 90 cm szélesek és 45 cm magasak lehettek. A kormányosok ahányan voltak, mindnek más volt a magassága. Volt köztük langaléta – Eufrozi szerint kissé pimaszul: ”Égimeszelővala” – volt többé-kevésbé átlagos és egy alacsony, kissé pocakos, ám mindegyiküknél vidámabb, olykor saját viccein harsányan nevető. Ezzel együtt egyikük testsúlya sem volt több 85kgnál.
-
Ezekkel a ”micsodákkal”kell továbbjutnunk? – sikoltott fel Wilhelmina, amint ráébredt a valóságra. És nekünk is kell majd evezni? – a tavalyi Amazonason menekülés emlékétől megborzongva fordult esdeklőn, majd követelőzőn férje, Adalbert felé.
A hajók terhelhetősége: maximum 350 kg. A hajótest keresztmetszetének íveltsége nem tette lehetővé, hogy a bőröndöket betehessék a kenukba. A bőröndök tartalmát át kellett pakolnia a családnak a kenukban hozott hengeres 40 cm átmérőjű, 60 cm magas, szivárgásmentesen záródó, fedeles műanyag hordókba. Mindegyik kenuban 5 hordó volt. Adalbert is és Wilhelmina is 2-2 nagy bőröndbe (1 db mérete: 54*77*32 cm) és 1-1 kabin bőröndbe (1 db mérete: 37,5*55*20 cm). Eufrozina 1 db nagybőröndöt és 1 görgős utazótáskát (53,5*33*36 cm) tömött meg degeszre ruhadarabjaival, és egyéb, otthon hagyhatatlan eszközével. a.) Át tudták-e pakolni poggyászuk tartalmát a hordókba Adalberték? Elegendő hordó állt-e rendelkezésükre? A válaszodat magyarázd, igazold!
b.) A tavat hosszában kellett átevezni. A táv első 2/9 részét 5 perc alatt tették meg. A fennmaradó rész 3/7 részét 8 perc alatt gyűrték volna le szélcsendben, azonban szembe irányú, enyhe szellő (v=100 m/min.), ébredt a haladás irány tengelyével 60 fokos szöget bezárva - haladási iránnyal szemben, jobbról. Milyen irányú, és mekkora sebességgel eveztek, hogy változatlanul 8 perc alatt teljesítsék a távot? Majd elállt a szél és így a további 1100 métert 6 perc alatt küzdöttek le. A maradék távot 5 perc alatt evezték volna le szélcsendben, azonban most „segítő szél” ébredt, a haladási iránnyal 135 fokos szöget bezárva. Hány méter hosszú a 4. szakasz hossza? Mennyi ideig és mekkora sebességgel haladtak a kenuk, ha most csupán az irány tartására ügyelve, változatlan sebességgel eveztek? Jelöld koordináta rendszerben a haladás „nevezetes” pontjait. Vízszintes tengelyen az időt, függőleges tengelyen a távot jelöld!
6. feladat
___/8 pont
Lappföldön a rénszarvasokat szánhúzásra is használják. Hogy el ne csatangoljanak, kerítéssel veszik körül a legelőt. Építsetek kerítést, hogy a rénszarvasok ne szökhessenek el. Vigyázzatok azonban: harcias kedvükben vannak, nem lehet 2 rénszarvast közös rekeszbe zárni! Építsétek meg az elválasztó kerítést 4 egyenes kerítésből úgy, hogy minden rénszarvas külön rekeszbe kerüljön! Ne pazaroljatok! Fölösleges, üres rekeszt ne építsetek!
Kalandos útja végén a kis család szerencsésen megérkezett Juukába, ahol a rekordkisérlet résztvevői már türelmetlenül várták Adalbertet.
7. feladat PYKRIT-KUPOLA: AZ ÓRIÁSI JÉGKUNYHÓ MODELLEZÉSE
Pronk és csapata a pykrit-kupolát építi a finnországi Juukában. Bosszús hetek következtek Adalbert számára. Gofferson szokása szerint előállt a zseniális tervvel, azonban a részletek kidolgozása ismét Adalbertre maradt… Álmatlan éjszakák, tervezés, kísérletezés és modellezés után Adalbert végül az alábbi instrukciókat adta Pronknak és csapatának és azt javasolta, hogy az építés előtt először építsék meg a kupola kicsinyített modelljét:
Pykrit-kupola építésének folyamata 1. El kell készíteni vastag sodronykötélből a kupola vázát. 2. A sodronykötél vázon belül, akár egy óriási léggömböt, fel kell fújni levegővel egy hatalmas műanyag-tömlőt. Így egy levegővel felpumpált műanyagkupolát kapunk. 3. Az így elkészült kupola felületére havat kell tapasztani. 4. Majd ezt a felületet kell bepermetezni a pykrit alapanyaggal, azaz 14 százalék fűrészpor és 86 százalék víz keverékével, ami a nulla fok alatti megfelelő hőmérsékletnél azonnal ráfagy a felpumpált műanyagkupolára. 5. Elegendő mennyiségű pykrit permetezése után a levegő befúvását abba lehet hagyni. A pykrit ráfagy a felületre és a megfelelő méretű jégkupola eléggé szilárd lesz ahhoz, hogy ne omoljon be, képes legyen saját súlyát megtartani.
Adalbert számítógépes ábrákat készített a pykrit-kupola kicsinyített modelljének megépítéséhez (lásd: 1. és 2. ábra).
1. ábra: A pykrit-kupola modelljének oldalnézeti számítógépes képe.
2. ábra: A pykrit-kupola modelljének számítógépes felülnézeti képe.
Az Adalbert által javasolt kicsinyített modell vázszerkezetének adatai: 35 darab 65 cm hosszú (a fenti képen a kék színnel jelölt) és 30 darab 58 cm hosszú (a fenti képen piros színnel jelölt) sodronykötél rész. Adalbert modelljének elkészítéséhez Pronknak és csapatának az alábbi kérdéseket kellett megválaszolniuk: 1. A jégkunyhó (az eredeti és a modell egyaránt) egy szabályos tízszöggel támaszkodik a talajra (lásd: 3. ábra). A modell esetében tudjuk, hogy a szabályos tízszög minden oldala 65 cm. A tízszög leghosszabb átlója a modellt alkotó jégkupola átmérője. Számítsuk ki a modellt alkotó jégkupola átmérőjét! ___/4 pont
3. ábra: A pykrit-kupola alapját adó tízszög.
2. A Pronk és csapata által megépíteni kívánt rekordnagyságú jégkupola átmérője 30 méter lesz. Adjuk meg a hasonlóság arányát a modell átmérője és a Pronk és csapata által megépíteni kívánt rekordnagyságú jégkupola átmérője között! ___/2 pont
3. Az előző feladatban kiszámolt arányt felhasználva számítsuk ki a Pronk és csapata által megépíteni kívánt rekordnagyságú jégkupola felszínét! ___/10 pont
4. Szeretnénk az 1. és 2. ábrán látható modellt kiszínezni úgy, hogy az egy csúcsban találkozó élek különböző színűek legyenek. Legkevesebb hány különböző színre van szükség? ___/6 pont
8. feladat MEKKORA EGY HÓPEHELY?
Adalbert és családja vonattal tartott Juukából Helsinki felé. Fejükben még a világ legnagyobb jégkunyhójának felavatására rendezett színes téli karnevál képei kavarogtak, közben a vonat ablakából nézték, ahogy odakint óriási pelyhekben hullik a hó. Eufrozina álmodozva bámulta az égből hulló hatalmas hópamacsokat. „Szeretnéd tudni, hogy mekkora egy hópehely?” – kérdezte talányosan merengve Adalbert… Eufrozina máris tudta, hogy apja egy matematikai feladvány közös megoldásával szeretné múlatni az időt... Nem csalódott! Az addig révedező Adalbert megköszörülte torkát és tanáros előadásba kezdett: „A hókristályok szimmetrikusak, gyakran hatszög alakúak. A hatszögletű jégkristályok minden egyes ága külön-külön fejlődik ki. Helge von Koch svéd matematikus 1904-ben kitalált egy hópehelyhez hasonlító alakzatot. Ezt a következőképpen szerkesztette meg:” – mondta Adalbert és hegyes ceruzája máris sercegett a papíron, vonalzót vett, méricskélt, szerkesztett, néhány perc sem telt belé és az alábbi ábrák jelentek meg heves mozdulatai nyomán az Eufrozina elé tett papíron:
4. ábra: Von Koch-féle „hókristályok” 1. lépés: szerkesszünk egy szabályos háromszöget. 2. lépés: a háromszög minden oldalát három egyenlő részre osztjuk és minden oldalon a középső szakasz fölé is szerkesszünk egy szabályos háromszöget. Így egy csillagszerű alakzatot kapott, amit 12 szakasz határol. 3. lépés: A 12 szakaszt 3 egyenlő részre osztjuk, és a középső szakasz fölé újra szabályos háromszögeket rajzolunk. Az eljárás bármeddig folytatható, az alábbi ábrán az első négy így kapott alakzatot látjuk. Látod kedves Eufrozinám? A negyedik ábra már nagyon szép, hópehelyszerű!
Adalbert ekkor homlokát összeráncolta és az alábbi kérdést tette fel Eufrozinának: - Ha a kezdő háromszög oldala 9 cm, számítsuk ki a kezdő háromszög majd az ábrán látható további hópelyhek kerületét és területét, keressünk szabályt az egymás után következő alakzatok kerülete és területe közötti összefüggésre, majd fogalmazzuk meg szavakban, esetleg képletben a talált szabályszerűséget. ___/ 9 pont