CCR-314 #2 Pengantar Linear Programming DEFINISI LP

CCR-314 #2 Pengantar Linear Programming

PENGANTAR LINEAR PROGRAMMING

DEFINISI LP • Linear Programming/LP (Program Linear) merupakan salah satu teknik dalam Riset Operasional (Operation Research) yang paling luas digunakan dan dikenal dengan baik. • LP merupakan metode matematika untuk mengalokasikan sumber daya untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya. 6623 - Taufiqurrahman

6623 - Taufiqurrahman

2

1


MODEL LINEAR PROGRAMMING Adalah sebuah model matematis yang bersifat umum yang digunakan untuk mengalokasikan faktor produksi atau sumber daya yang jumlahnya terbatas secara optimal, sehingga dapat menghasilkan laba maksimal atau biaya minimal


3

FUNGSI-FUNGSI DALAM LP 1. Variabel Keputusan

Variabel persoalan yang akan mempengaruhi nilai tujuan yang hendak dicapai. 2. Fungsi Tujuan (objective function)

Di mana tujuan yang hendak dicapai harus diwujudkan ke dalam sebuah fungsi matematika linear, yang kemudian fungsi itu dimaksimumkan atau diminimumkan terhadap kendala-kendala yang ada. 6623 - Taufiqurrahman


4

2


FUNGSI-FUNGSI DALAM LP 3. Fungsi Kendala (contrains or subject to)

Kendala dalam hal ini dapat diumpamakan sebagai suatu pembatas terhadap kumpulan keputusan yang mungkin dibuat dan harus dituangkan ke dalam fungsi matematika linear yang dihadapi oleh manajemen. 4. Fungsi Status (status function) Fungsi yang menyatakan bahwa setiap variabel yang terdapat di dalam model programasi linear tidak boleh negatif. 6623 - Taufiqurrahman

5

ASUMSI DASAR 1. Certainty Angka yang diasumsikan dalam f.tujuan dan f.kendala secara pasti diketahui dan tidak berubah selama waktu dipelajari. 2. Proporsionality Alokasi sumber daya dengan goal yang ingin dicapai harus proporsional. 3. Additivity Total dari semua aktivitas adalah sama dengan jumlah dari aktivitas individual 6623 - Taufiqurrahman


6

3


ASUMSI DASAR 4. Divisibility Jumlah produk yang akhirnya direkomendasikan dalam kondisi optimum, dapat berupa pecahan bukan bilangan bulat. 5. Non-negatif variable Semua variabel bukan negatif, bisa nol atau positif (negatif dalam kuantitas fisik a/d mustahil) 6623 - Taufiqurrahman

7

FORMULASI MODEL • Permasalahan: mencari nilai-nilai optimal (maksimum atau minimum) dari fungsi linear dengan kendala-kendala tertentu • Fungsi Tujuan: Fungsi linear yang dioptimumkan • Fungsi Kendala: Fungsi-fungsi linear (lebih dari satu) yang harus dipenuhi dalam optimalisasi fungsi tujuan. • Bentuk fungsi pertidaksamaan 6623 - Taufiqurrahman


tujuan:

persamaan

atau

8

4


FORMULASI MODEL Formulasi model matematika, yang meliputi 3 tahap: 1. Tentukan variable keputusan dan nyatakan dalam simbol matematika 2. Membentuk suatu fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu hubungan linear dari variable keputusan. 3. Menentukan semua kendala masalah dan mengekspresikan dalam persamaan atau pertidaksamaan yang juga merupakan suatu hubungan linear dari variable keputusan. 6623 - Taufiqurrahman

9

FUNGSI MATEMATIKA LP 1. Fungsi Tujuan Max/Min Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn 2. Fungsi Kendala a11x1 + a12x2 + … + a1nxn a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ... ... ... ... ... ... ... ... am1x1 + am2x2 + … + amnxn 3. Fungsi Status x1 ; x2 ……………….. Xn > 0 6623 - Taufiqurrahman


< <

b1 b2

<

bn

10

5


METODE-METODE DALAM LP Metode Linear Programming

Metode Aljabar

Metode Grafik

Simpleks Primal

Simpleks M-Besar

Simpleks Dual

Simpleks Dua Fase


11

PERBEDAAN METODE SOLUSI Karakteristik Formulasi Masalah

Grafis

Simpleks

Simpleks Big – M

Jumlah Variabel

2

>2

>2

Jenis fungsi tujuan

maksimisasi & minimisasi



Jenis fungsi kendala

semua bentuk

Pertidaksamaan bertanda “<“

Pertidaksamaan bertanda “>“ atau persamaan “=“



12

6


CONTOH #1 Sebuah perusahaan memperkerjakan pengrajin untuk memproduksi mangkok dan cangkir. Sumber daya utama yang digunakan perusahaan adalah tanah liat dan tenaga kerja. Tersedia 40 jam tenaga kerja dan 120 kg tanah liat setiap hari untuk produksi. Dengan keterbatasan sumber daya, perusahaan ingin mengetahui berapa banyak mangkok dan cangkir yang akan diproduksi tiap hari dalam rangka memaksimalkan laba. Parameter kedua produk adalah sebagai berikut: Kebutuhan Sumber Daya Produk

Tenaga Kerja (jam/unit)

Tanah Liat (kg/unit)

Laba ($/unit)

Mangkok

1

4

40

Cangkir

2

3

50


13

MODEL CONTOH #1 Variabel Keputusan Fungsi Tujuan

Fungsi Kendala 6623 - Taufiqurrahman


• X1 = jumlah mangkok yang diproduksi • X2 = jumlah cangkir yang diproduksi

• Maksimalkan Z = 40X1 + 50X2 • Z = total laba per hari • 40X1 = laba dari mangkok • 50X2 = laba dari cangkir

• 1X1 + 2X2 ≤ 40 • 4X1 + 3X2 ≤ 120 • X1 ≥ 0 ; X2 ≥ 0

(kendala tenaga kerja) (kendala tanah liat) (kendala non negatif) 14

7


CONTOH #2 Seorang petani menyiapkan lahan untuk menanam dan membutuhkan pemupukan. Terdapat dua merek pupuk, Super-grow dan Crop-quick. Setiap merek menghasilkan jumlah nitrogen dan fosfat tertentu, sebagai berikut: Kontribusi Kimia Merek

Nitorgen (kg/kantong)

Fosfat (kg/kantong)

Super-grow

2

4

Crop-quick

4

3

Lahan petani memerlukan paling sedikit 16 kg nitrogen dan 24 kg fosfat. Harga Super-grow $6 per kantong, dan Crop-quick berharga $3. Petani tersebut ingin mengetahui berapa banyak kantong dari setiap merek yang akan dibeli dalam rangka meminimalkan total biaya pemupukan. 6623 - Taufiqurrahman

15


Fungsi Kendala 6623 - Taufiqurrahman


• X1 = jumlah pupuk SG yang dibeli • X2 = jumlah pupuk CQ yang dibeli

• Minimalkan Z = 6X1 + 3X2 • Z = total biaya pemupukan • 6X1 = harga/biaya dari SG • 3X2 = harga/biaya dari CQ

• 2X1 + 4X2 ≥ 16 • 4X1 + 3X2 ≥ 24 • X1 ; X2 ≥ 0

(kendala nitrogen) (kendala fosfat) (kendala non-negatif) 16

8


Contoh #3 Perusahaan sepatu membuat 2 macam sepatu. Yang pertama merek I1, dgn sol karet, dan merek I2 dgn sol kulit. Diperlukan 3 macam mesin. Mesin 1 membuat sol karet, mesin 2 membuat sol kulit, dan mesin 3 membuat bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas dengan sol. Setiap lusin sepatu merek I1 mula-mula dikerjakan di mesin 1 selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di mesin 3 selama 6 jam. Sedang untuk sepatu merek I2 tidak diproses di mesin 1, tetapi pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari mesin 1 adalah 8 jam, mesin 2 adalah 15 jam, dan mesin 3 adalah 30 jam. Sumbangan terhadap laba setiap lusin sepatu merek I1=Rp.30.000 sedang merek I2=Rp.50.000. Masalahnya adalah menentukan berapa lusin sebaiknya sepatu merek I1 dan merek I2 yang dibuat agar bisa memaksimumkan laba. 6623 - Taufiqurrahman

17

Contoh #3 (Uraian Bentuk Tabel) I1 (x1)

I2 (x2)

Kapasitas Maksimum

1

2?

0?

8?

2

0?

3?

15 ?

3

6?

5?

? 30

3?

5?

Merek Mesin

Sumbangan laba 6623 - Taufiqurrahman


18

9



Fungsi Kendala

• X1 = jumlah merek sepatu I1 yang dibuat (lusin) • X2 = jumlah merek sepatu I2 yang dibuat (lusin) • Maksimamlkan Z = 3X1 + 5X2 • Z = total laba yang diperoleh • 3X1 = laba setiap lusin sepatu merek I1 • 5X2 = laba setiap lusin sepatu merek I2 • 2X1 ≤ 16 • 3X2 ≤ 24 • 6X1 + 5X2 ≤ 30 • X1 ; X2 ≥ 0

(kendala mesin 1) (kendala mesin 2) (kendala mesin 3) (kendala non-negatif)


19

CONTOH #4 Produk yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan adalah meja dan kursi. Dengan Bahan mentah dalam satu minggu yang tersedia adalah sebanyak 10 gelondong kayu dan jumlah jam kerja buruh yang tersedia adalah 36 jam kerja. Informasi mengenai penggunaan sumber daya dan hara jual per unit, dijelaskan dalam table dibawah ini : Jenis Produk Meja Kursi

Kebutuhan sumber daya Buruh(jam/unit)

Bahan(kg/unit)

Harga ($/unit)

6 6

1 2

4 5

Dengan melihat kepada informasi diatas, berapakah jumlah Meja dan Kursi yang harus dihasilkan agar keuntungan yang didapat perusahaan maksimum?



20

10


MODEL CONTOH #4 Variabel Keputusan

• X1 = jumlah meja yang dihasilkan • X2 = jumlah kursi yang dihasilkan

Fungsi Tujuan

• Maksimamlkan Z = 4X1 + 5X2 • Z = total laba yang diperoleh • 4X1 = harga meja • 5X2 = harga kursi

Fungsi Kendala


• 6X1 + 6X2 ≤ 36 • X1 + 2X2 ≤ 10 • X1 ; X2 ≥ 0

(kendala buruh) (kendala bahan) (kendala non-negatif)


21


22

11

CCR-314 #2 Pengantar Linear Programming DEFINISI LP

Recommend Documents