Budování schématu síť krychle

Kapitola 4 Budování schématu síť krychle Darina Jirotková 4.1

Úvod

Oblast geometrie nabízí pestrou škálu témat, která mohou být budována jako rozsáhlejší, ale relativně uzavřená schémata vhodná pro následnou strukturaci, jak uvádí M. Hejný v kapitole 3. V této kapitole volíme jedno zdánlivě úzké geometrické téma – Sítě krychle. Pojem síť krychle je úzce vázán na pojem krychle. S oběma těmito pojmy se žáci seznamují na prvním stupni základní školy pouze intuitivně. Poznávají různé modely krychle i modely těles, které se od krychle jen málo liší a které mohou být dětmi za krychle považovány. Učitelé často využívají soubor krychlí nejen v geometrických, ale i v aritmetických kontextech, například pro modelování přirozených čísel a vztahů mezi nimi, popřípadě i k modelování zlomků. Se sítěmi krychle se žáci setkávají okrajově a bez vazby na jiné oblasti matematiky. Síť krychle a hranolu se použije pouze pro vyvození vzorce pro povrch těchto těles. Na druhém stupni základní školy ani na středoškolské úrovni není podle žádné ze současných učebnic pojem síť krychle dále rozvíjen směrem ke strukturaci. V této kapitole ukážeme na pojmu síť krychle, který zasahuje jak do 2D (dvojrozměrné), tak do 3D (trojrozměrné) geometrie, jeden možný způsob rozvoje kultury myšlení žáků tím (viz kapitola ????? vůbec nechápu, na co se tady chceš odkazovat). Navrhujeme takové didaktické zpracování poznávacího procesu pojmu síť krychle, při kterém si žák ve svém vědomí buduje schéma tohoto pojmu. Tomu je věnován druhý a třetí odstavec kapitoly. Nejdříve mapujeme současný stav daného tematického celku v českých učebnicích a pak prezentujeme náš návrh edukační strategie schématu síť krychle. Nakonec je rozpracována navrhovaná strategie do etap, a to nejdříve na úrovni jazyka a pak na úrovni porozumění. Žákovo porozumění lze dále prohlubovat až k vytvoření struktury pojmu. To však podle M. Hejného (kap. 3) předpokládá schéma postupně strukturovat, zavést 113

114

KAPITOLA 4. BUDOVÁNÍ SCHÉMATU SÍŤ KRYCHLE

formalizovaný jazyk a pracovat v něm. Zpracování problematiky sítě krychle formalizovaným matematickým jazykem jsme v nám známé literatuře dosud nenašli, proto jej nemůžeme odnikud převzít. V odstavci 4.4.2 jsme navrhli jednu možnou konstrukci matematického formalizovaného jazyka vhodného pro popis sítí krychle, který umožní dokončit proces strukturace schématu síť krychle. Z toho je zřejmé, že odstavec 4.4.2 je zaměřen více matematicky; je v něm uvedena řada definic a tvrzení a jen málo didaktických poznámek. Jsme si vědomi toho, že proces strukturace se odehrává na úrovni střední a vysoké školy, a tedy učitel základní školy, kterému především je tato kapitola určena, může odstavec 4.4.2 považovat pouze za ukázku, jak lze to, co on vybuduje na základní škole, dále rozvíjet až k vytvoření struktury. Středoškolský učitel v ní může najít inspiraci pro motivaci svých studentů, kteří mají zájem o spekulativní úlohy. V závěrečném, pátém odstavci této kapitoly je uvedeno několik shrnujících poznámek a je nastíněna nejbližší budoucnost probíhajícího výzkumu v oblasti tvorby geometrických schémat. Experimentální materiál, který byl při této studii využit, pochází především z našich1 klinických experimentů realizovaných v rámci několika výzkumných projektů2 , ale i z našeho vlastního experimentálního vyučování na prvním stupni základní školy v průběhu několika posledních let a částečně i z pravidelné vysokoškolské výuky v rámci matematické přípravy budoucích učitelů prvního stupně základních škol.

4.2

Schéma pojmu síť krychle z hlediska didaktiky

V odstavci 4.2.1 komentujeme některé klíčové jevy ovlivňující utváření žákovských představ o pojmu síť krychle, které jsme sledovali v několika vybraných učebnicích. V dalším odstavci 4.2.2 představíme rámcově náš návrh kurikulární strategie. Tu pak rozpracujeme do etap ve dvou rovinách – v rovině jazyka používaného při utváření představ o poměrně složitém pojmu síť krychle, který bude obohacen o metaforickou úroveň (odstavec 4.2.3), a v rovině porozumění tomuto pojmu (odstavec 4.3). V celé kapitole budeme používat názorné představy odpovídající úrovni dětí prvního stupně základní školy. 1

Používání množného čísla v celém textu poukazuje na týmovou spolupráci vedenou M. Hejným, v rámci které tento text vzniknul. 2 GA ČR, VZ, FRVŠ

4.2. SCHÉMA POJMU SÍŤ KRYCHLE Z HLEDISKA DIDAKTIKY

4.2.1

115

Komentáře k tématu sítě krychle v několika vybraných učebnicích

Ve snaze najít účinnou edukační strategii budování schématu „síť krychleÿ jako součásti rozsáhlého schématu „krychleÿ, který lze považovat za základní sloup pro rozvoj prostorové inteligence ve smyslu Gardnera (1999), jsme ve stávající edukační strategii hledali ty jevy, ve kterých jsme viděli možnost změny. Stávající edukační strategie je prezentována současnými RVP a sadami učebnic matematiky pro první stupeň základní školy schválenými MŠMT. Současné Rámcové vzdělávací programy tuto problematiku ani obecněji problematiku rozvíjení prostorové představivosti neřeší. V textu dokumentu se uvádí pro 1. období pouze toto: „Žák rozezná, pojmenuje, vymodeluje a popíše základní rovinné útvary a jednoduchá tělesa; nachází v realitě jejich reprezentaci. . . . . Základní útvary v prostoru – kvádr, krychle, jehlan, koule, kužel, válec, . . . ÿ [5]. To je z RVP vše, co je relevantní 3D geometrii pro první stupeň základní školy. Tedy východiskem pro nás byly učebnice. Vybrali jsme sady učebnic [1], [2], [3] a [4], neboť jsou podle statistických šetření ve školách nejpoužívanější nebo podle jejich autorů bylo možné očekávat silnější zaměření na 3D geometrii. Problematiku sítí krychle jsme nalezli vesměs v učebnicích pro 4. a 5. ročník a v jednom případě [2] i v učebnici pro 3. ročník základní školy. Učebnice zde nebudeme podrobně analyzovat a uvedeme pouze shrnující komentáře k několika klíčovým jevům: věk žáků, geometrický jazyk, způsob zavedení a rozsah učiva. První důležitá otázka, kterou je nutno řešit, se týká věku vhodného pro zahájení budování schématu „krychleÿ ve škole. Vycházíme z Vygotského teorie ZPD3 [6] a konstatujeme známý fakt, že již v předškolním věku mají děti, zejména chlapci, mnohé zkušenosti se stavebnicemi, v nichž krychle hraje hlavní roli. Jsou to spontánní senzomotorické zkušenosti, které zakládají tvorbu intuitivních představ. Tyto zkušenosti jsou dostatečně bohaté na to, aby byly postupně zvědomovány a organizovány do klastrů (viz 3). Jestliže se téma sítě krychle objeví až ve 4. ročníku základní školy, je již ZPD promeškáno, a to nejen z hlediska kognitivního, ale zejména z hlediska motivačního. Jistou překážkou pro důslednější práci s geometrickými objekty, jako například s krychlí nebo dokonce se sítí krychle, již v prvním ročníku základní školy je geometrický jazyk. Pojmy jako vrchol, hrana, stěna jsou svojí abstraktností nepřiměřené věku žáka a navíc význam uvedených termínů neodpovídá každodenní zkušenosti dítěte. Tedy nutným předpokladem pro umožnění práce s krychlí již v prvním ročníku je nalézt vhodný jazyk. Další jev edukační strategie aplikované v současných učebnicích, na který zaměříme pozornost, je způsob zavedení pojmu síť krychle. Téma sítě krychle je ve všech 3

ZPD – zone of proximal development, tj. zóna bezprostředního vývoje

116


zmíněných učebnicích otevřeno instrukcemi například: „Rozstřihni krabičku (podél svislých hran) a vytvoř síť krychle (hranolu) podle obrázku.ÿ „Vystřihni (danou síť krychle) a vytvoř krabičku.ÿ „Sestav ze šesti kartiček pexesa síť krychle (podle obrázku).ÿ apod. Domníváme se, že není dán dostatečný prostor konstruktivistickému přístupu v tom smyslu, že hlavní objekt poznávání, síť krychle, je žákům předložen jako hotový produkt a není žáky hledán a konstruován. Činnost žáků je více zaměřena na řemeslnou práci rukou než na spekulaci a objevování. Avšak skutečnost, že žák získává manipulativní zkušenosti, je nutno hodnotit pozitivně. Celkově je v existujících učebnicích tématu síť krychle věnováno velice málo místa. Není nijak využito potenciálu, který toto obsáhlé schéma nabízí: podrobnější poznání struktury jevu krychle, tedy toho, co můžeme nazvat „anatomií krychleÿ, neboli v terminologii P. Vopěnky (1989) souborem průvodních jevů krychle. Vazba mezi sítí krychle (2D objekt) a povrchem krychle (3D objekt) nabízí bohatou paletu úloh a problémů, z nichž některé překračují oblast geometrie a mohou zajímavým způsobem propojit geometrii s kombinatorikou, teorií pravděpodobnosti, teorií grafů i jinými částmi matematiky. Didaktickým smyslem takových úloh není ani tak získávání nových geometrických poznatků, jako zejména rozvíjení kognitivních a meta-kognitivních schopností, jako je například analyzování situace, abstrakce, zobecňování, tvorba vhodného formalizovaného jazyka apod. Uvedené kritické hodnocení je východiskem pro hledání naší koncepce, kterou prezentujeme v této kapitole a kterou využíváme při tvorbě učebnic pro první stupeň. ???[12]

4.2.2

Návrh kurikulární strategie

Poznámka: V celém následujícím textu při diskusích o žákovských řešeních předpokládáme, že potíže, které má žák s řešením předkládaných úloh, leží v oblasti kognice a metakognice. Žáci, jejichž problémy leží v oblasti sociální, komunikační, v oblasti disfunkcí či sebedůvěry, nejsou v této studii uvažováni. Pojem síť krychle patří k poměrně náročným a komplexním pojmům geometrie. Zahrnuje totiž tři dílčí pojmy, z nichž každý je sám o sobě bohatý. Jsou to 1. krychle (jako 3D objekt), 2. síť krychle (jako 2D objekt) a 3. korespondence mezi sítí krychle a krychlí (tj. 2D–3D korespondence). Budovat porozumění pojmu síť krychle, na který jsme v této kapitole zaměřeni, tedy znamená budovat současně porozumění třem pojmům. Přitom je třeba porozumění každému pojmu budovat v následující posloupnosti: informace – schéma – strukturace – struktura. (*) Tímto jsou vymezeny čtyři fáze budování pojmů ve vědomí žáka či studenta. Pro pojem síť krychle první fáze zhruba odpovídá předškolnímu věku a prvnímu ročníku,


117

druhá fáze prvnímu stupni základní školy, třetí fáze druhému stupni základní školy a čtvrtá vyššímu gymnáziu. Proces budování pojmu krychle není závislý na pojmu síť krychle, ale naopak pojem síť krychle i pojem korespondence 2D–3D jsou na pojmu krychle závislé. V tradičním vyučování se pojem síť krychle objevuje většinou ve 4. ročníku (zřídka i ve 3. ročníku) a na prvním stupni se buduje pouze na úrovni izolovaných modelů [10], které vytvářejí klastr. Ten se však na druhém stupni dále nerozvíjí a schéma pojmu síť krychle se ve vědomí žáka nebuduje. Pojem síť krychle zůstává na okraji geometrického poznání a do pozornosti žáka vstoupí spíše v souvislosti s vyvozením či zdůvodněním vzorce pro povrch krychle. Vývoj představ žáka je provázen vývojem jazyka jako organické součásti globálního vývoje žáka. Pro výzkumníka je zkoumání jazyka mnohdy dostupnější než zkoumání představ, proto dříve, než zaměříme naši pozornost na představy, pokusíme se popsat vývoj jazyka pomocí 8 etap.

4.2.3

Etapizace jazyka

V kapitole 3 je v příběhu z ilustrace 3.9 (s. 93) poukázáno na význam slovního doprovodu manipulativní činnosti dítěte. Soňa skládá ubrousky napodobováním matčiny činnosti. Její práce není doprovázena žádnými slovy. Slova pak přicházejí u podobných činností ve škole. Význam slovního doprovodu manipulativních činností dětí je ukotven v tezi MT2. Přitom slovní doprovod manipulativní činnosti může mít k činnosti samotné dvě různé vazby. Může být – řídící – práce dítěte je slovy učitele řízena, nebo – průvodní – práce dítěte je komentována, provázena slovy. Běžně se v naší výuce nebo v experimentech oba typy slovního doprovodu prolínají. Inspirováni příběhem Soni se pokusíme rozložit do etap slovní doprovod, jehož charakter je převážně průvodní. Opíráme se při tom o naše mnohé experimenty a o pozorování výuky v různých třídách prvního stupně základní školy. Slovní doprovod geometrické činnosti rozdělíme do sedmi etap, přičemž hranice mezi etapami jsou velice neostré. Vstupní etapu beze slov do seznamu sedmi etap nepočítáme. 0. Etapa beze slov Žák pracuje samostatně bez jakéhokoliv slovního doprovodu. Jediné, co mu v souvislosti s jeho prací je řečeno, je výzva například „Z těchto dílů pomocí přelepek udělej šaty na krychli.ÿ Děti, které pracují soustředěně bez slovního komentáře, získávají informace, které nazýváme poznání v činnosti (Begle, 1982). Když dítě potřebuje své poznání v činnosti verbalizovat, používá slov běžné mluvy každodenního života, do kterých se promítají jeho vlastní zkušenosti. To ilustruje následující

118


příběh Tomáše, který je podrobně popsán v (Jirotková, 2001) v kontextu analýz žákovských slovních popisů geometrických vlastností těles, se kterými realizovali různé aktivity – hra SOVA.4 Ilustrace 4.1: Tomáš a Bára, žáci 4. ročníku jedné pražské základní školy, hráli v rámci našich experimentů hru SOVA s geometrickými tělesy vybranými z dostupné školní sady těles. Ve hře zůstala poslední dvě tělesa – komolý rotační kužel a rotační válec. Tomáš se zeptal Báry: „Když to pošlu, zatočí to?ÿ Bára otázce nerozuměla a na radu experimentátora situaci modelovala. Byla velice překvapena, že komolý kužel se kutálel do kolečka na rozdíl od válce, který se odkutálel rovně. Tomáš s nadšením vzal do ruky ještě kužel a ukázal jí, jak se „dokonce točí kolem jednoho místaÿ. Jeho poznání kinestetických vlastností rotačních těles bylo dosud jeho poznáním v činnosti a až v komunikaci s Bárou vyvstala potřeba popsat daný jev slovy.

1. Etapa slovesného slovního doprovodu Práce žáka je provázena slovy, v nichž podstatná jména jsou převážně nahrazena ukazovacími zájmeny a hlavní informační zdroj přináší slovesa, případně i přídavná jména. Například „Toto přilep sem. Tady mi to podrž. Přelož ten horní sem. . . . ÿ Je to jazyk, jímž mluví děti při spolupráci nebo i učitel při popisu nové činnosti a který dítěti v jistých situacích pomáhá. Uvedeným slovům však lze rozumět pouze v případě, že celou situaci vidíme a známe kontext. 2. Etapa metaforického jazyka Ve slovním doprovodu se objevují metaforické popisy, které provazují činnost žáka s jeho předchozí životní zkušeností. Typickým rysem a také pozitivem metaforického jazyka je jeho obecná srozumitelnost – nic není zapotřebí zvláště osvětlovat. Dalším pozitivem používání metafor (samozřejmě přiměřených životním zkušenostem dítěte) je, že se tím samotná schopnost tvorby metafor rozvíjí, a tím se rozvíjí schopnost nacházet souvislosti (Gardner, 1999, s. 305). Negativem tohoto jazyka je jeho jistá vágnost, nepřesnost a vázanost na kontext, což může být příčinou komunikačního nedorozumění. Ukázkou takového komunikačního nedorozumění je v kapitole 3 příběh v ilustraci 3.9, s. 93. Nezřídka dochází k situaci, kdy komunikace mezi žáky je bezproblémová, ale učitel či experimentátor jejich jazyku nerozumí. To je ukázáno v následujícím příběhu. Ilustrace 4.2: V jiném experimentu ve stejném ročníku a stejné škole hrály hru SOVA dvě dívky, Klára a Hanka. Klára položila otázku: „Bydleli v tom lidé?ÿ Hanka k našemu překvapení na tuto otázku reagovala 4 Hra SOVA je didaktická hra pro dva hráče A, B. Mohou to být jak jednotlivci, tak i skupiny. Hra je určena souborem objektů či jevů, např. v našem případě souborem geometrických těles. Hráč A, moudrá sova, si jeden objekt v mysli vybere. Hráč B má za úkol myšlený objekt uhodnout pomocí zjišťovacích otázek, na které lze odpovědět pouze slovy ano nebo ne popřípadě slovy ano, nebo ne, nebo někdy, výběr tělesa, třídění poslepu apod.


119

bez váhání. Ona tomuto popisu tělesa dobře rozuměla a na náš dotaz, o jaké se jedná těleso, ukázala, že Klára myslí pravidelný čtyřboký jehlan. Klára to potvrdila, měla s modelem jehlanu spojenu představu pyramidy.

3. Etapa upřesňování metaforického jazyka Konflikt, který může vyvolat nejednoznačná interpretace metaforického jazyka, vede k potřebě upřesňování tohoto jazyka. Proces upřesňování jazyka je simultánně provázen procesem upřesňování představ, tj. procesem precizace rodících se termínů. Bylo to ukázáno například na termínech „slepitÿ a „přelepitÿ v komentáři k úloze 7 v kapitole 3, s. 97. Do této etapy patří také zavádění metaforické terminologie jako například pojmy zip a šev (jejich vymezení je uvedeno dále v odstavci 4.3.2, nebo ustálená jména pro jisté tvary sítě krychle jako „křížÿ, „téčkoÿ, „zetkoÿ, nebo vlastní jména Alexandr, Alexandra (obr. ?? a ilustrace 4.8 v odstavci 4.3.3, nebo adjektiva „vykousnutýÿ pro nekonvexní, nebo slovesa označující jisté činnosti jako obléci krychli (vymezení je též uvedeno v odstavci 4.3.2 apod. Ilustrace 4.3: Při hře SOVA hráči často používají dvě různá slova pro tentýž objekt a také jedno slovo pro dva různé objekty. Adam a Bořek, dva žáci 4. ročníku základní školy, opět v rámci našich experimentů hráli hru SOVA. Každý měl před sebou svou sadu těles. Obě sady byly shodné. Adam použil slovo střecha pro označení trojbokého hranolu, který ležel na stole na své největší obdélníkové stěně. Jenže před Bořkem bylo toto těleso umístěno tak, že hranol „stálÿ na své trojúhelníkové stěně, a tedy střechu nepřipomínal. Slovo střecha přiřadil čtyřbokému jehlanu, který stál na své podstavě. Nastala situace z hlediska didaktiky vítaná – došlo k nedorozumění a kolapsu hry. To zcela spontánně vyvolalo nutnost použité pojmy upřesnit.

4. Etapa nástupu matematického jazyka Přechod od metaforického jazyka k jazyku matematickému se odehrává v jistém časovém intervalu. Učitel může sledovat, jak někteří žáci velice rychle a vstřícně akceptují matematické termíny, zatímco jiní stále ještě setrvávají v jazyce metaforickém, v němž cítí větší jistotu. Jazyk učitele by pak měl být individualizován, protože příliš rychlý přechod k matematické terminologii by mohl žákům, kteří ještě nejsou připraveni na její přijetí, ztížit nebo dokonce znemožnit jejich další rozvoj poznávání příslušného pojmu. 5. Etapa nástupu znakového systému Dosti často je s nástupem matematického jazyka spojena formalizace jazyka pomocí některých prvků znakového systému. Didakticky snadné je zavedení ikonických znaků, jako jsou například: trojúhelník (4), čtverec (2), relace kolmost (⊥) a

120


rovnoběžnost (k). Někdy si děti v této etapě samy zavádějí vlastní znaky pro jisté geometrické objekty (například písmena I, L, T pro čtvercová tetramina ve tvaru těchto písmen) nebo dokonce pro vztahy mezi těmito objekty. 6. Etapa matematické terminologie a znakového systému Metaforický jazyk ustupuje a používá se výjimečně. Důraz je kladen na jednoznačnou interpretaci každého matematického termínu. Hojně se zavádí jazyk znaků, který ekonomizuje zejména písemnou komunikaci5 . Na rozdíl od aritmetiky a algebry znakový systém geometrie nevytváří kalkul. Dřívější benevolence při zaměňování termínů například kruh a kružnice je již v této etapě nepřípustná. Je ale paradoxní, že snaha o maximální přesnost přináší i další nejasnosti a potíže při porozumění pojmům. Například slovo výška trojúhelníka se v jednoduchých geometrických tvrzeních vyskytuje ve třech různých významech: 1) přímka („Výšky trojúhelníka se protínají v jednom bodě.ÿ); 2) úsečka („Sestroj výšku trojúhelníka.ÿ); 3) číslo – míra úsečky („Strana trojúhelníka krát výška děleno dvěma je obsah trojúhelníka.ÿ). Precizace jazyka však bývá zaplacena menší srozumitelností, těžkopádností, a tudíž větší mentální zátěží. Nelze již říci, že „výšky trojúhelníka se protnou v jednom boděÿ, ale „přímky výšek . . . ÿ. Obsah trojúhelníka již nelze popsat jako „strana krát výška . . . .ÿ, ale jako „velikost strany krát velikost výšky na danou stranu . . . ÿ. I používání znakového jazyka může přinést nekonzistentnosti. Například platí: Pro každé tři přímky a, b, c prostoru platí: Je-li akb a zároveň bkc, je pak také akc. Jinými slovy: rovnoběžnost na množině všech přímek prostoru je relace tranzitivní. Avšak pro každé dvě přímky a, c a rovinu β prostoru, pro něž akβ a zároveň βkc, již nemusí platit, že akc. Relace rovnoběžnost na množině všech přímek a rovin prostoru tranzitivní není. Další nedůslednost je například v terminologii rozlišující kruh a kružnici. U tak frekventovaných objektů, jako jsou čtverec nebo krychle, toto terminologické rozlišení chybí. Dále například pokud slova hrana, strana, úsečka označují týž objekt, poukazují na dimenzi prostoru, v němž se vedou o daném objektu úvahy. Slovo vrchol tuto vlastnost nemá. Přitom si žáci podle našich zkušeností z experimentální výuky toto „vylepšeníÿ terminologie mnohdy sami zavedou. Například v jedné třídě navrhli používat pro vrchol tělesa termín roh, zatímco pro vrchol mnohoúhelníka přijali termín vrchol. Některé objekty, které jsou na základní škole frekventované, nejsme vůbec schopni na úrovni střední školy přesně popsat, například pojem mnohostěn. Dále žádné ze sloves, jimiž mnohé matematické objekty osvětlujeme, neumíme na úrovni střední školy popsat přesně. Proto posunutí nebo otočení je popsáno v jazyce konceptů 5 Jazyk znaků by bylo možné dále klasifikovat z hlediska několika parametrů, například kdo jazyk zavádí, původ jazyka, potřeba jeho zavedení, . . .

4.3. BUDOVÁNÍ POROZUMĚNÍ POJMU SÍŤ KRYCHLE

121

vzor-obraz, nikoliv v jazyce procesu. K tomu by bylo nutné použít jazyk homotopií.6 Při pozorování vlastního řešení některých složitějších úloh, které jsou uvedeny v odstavci 4.4.2, při nichž jsme používali vykonstruovaný formalizovaný jazyk, jsme zaznamenali pravidelně se opakující jev: S nárůstem myšlenkové obtížnosti úlohy obvykle dochází k návratu k jazyku metaforickému a preciznost matematického jazyka klesá. Je to v důsledku toho, že pokud není precizní jazyk plně interiorizován, jeho používání spotřebovává energii . Tedy uvedená negativa přesné matematické terminologie vystupují výrazněji u žáků, jejichž myšlení ještě nemá požadovaný stupeň přesnosti. Naopak u žáků, kteří již takového stupně dosáhli, přináší snaha o precizaci terminologie přinejmenším dvě pozitiva: (a) urychluje kultivaci jejich abstraktního myšlení a (b) iniciuje proces strukturace, který pomocí vhodných úloh vzájemně provazuje schémata dříve oddělená. Například v kapitole 3 v komentáři k úloze 8 (s. 3.10) je ukázáno, jak precizace pojmu mnohoúhelník vedla žáky se spekulativním myšlením k zavedení pojmu děravý mnohoúhelník, tj. k rozšíření schématu mnohoúhelník. Formule, kterou Zdeněk pro počet úhlů děravého mnohoúhelníka objevil a dokázal, je rovinnou simplifikací Euler-Poincarého formule pro mnohostěny.7 7. Etapa axiomatizace V této etapě se vybuduje jazyk, kterým je daná struktura popsána důsledně axiomaticky. Tato etapa se netýká ani studentů střední školy, a tím méně žáků základní školy. Je běžná pro vysokoškolskou matematiku na matematicko-fyzikální fakultě. Student této fakulty, který měl již na střední škole možnost o podobné problematice uvažovat, je samozřejmě na vysokoškolské studium připraven lépe než student, který tu možnost neměl.

4.3

Budování porozumění pojmu síť krychle

Cílem první fáze posloupnosti (*) (s. 116) budování porozumění pojmu síť krychle je získat první zkušenosti s daným objektem, získat první informace. Cílem druhé fáze je vybudovat co nejbohatší schéma daného pojmu. Cílem třetí fáze je postupně toto schéma strukturovat a cílem čtvrté fáze je ukončit strukturaci a rozvinout schopnost 6

Vysvětlení pojmu lze nalézt na http://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy. Euler-Poincarého věta je zobecněním Eulerovy věty pro konvexní mnohostěny a vyjadřuje vztah mezi různými charakteristikami mnohostěnů. Podrobně viz například http://www.cs.mtu.edu/˜shene/COURSES/cs3621/NOTES/model/euler.html. 7

122


využít danou strukturu k řešení úloh. V tomto textu se budeme podrobněji zabývat pouze první a druhou fází. První fáze procesu porozumění pojmu síť krychle se odehrává převážně v předškolním věku, a to v činnostech jako oblékání panenky, balení krabice, rozklad papírové krabice a manipulace s kostkami, hra se stavebnicí. Většinou se jedná o poznání v činnosti bez jeho slovního uchopení. Nicméně již zde vznikají klastry, z nichž některé mohou být izolovanými modely pojmu síť krychle. Druhou fázi rozložíme do tří etap. Zde je stručně charakterizujeme a podrobněji se o nich rozepíšeme v odstavcích 4.3.2, 4.3.3 a 4.3.4. V první etapě se vytváří izolované modely pojmu síť krychle pomocí manipulativní činnosti s fyzikálními objekty, která je provázena metaforickým jazykem. Ten slouží jako most mezi životními zkušenostmi dětí a světem geometrie. Izolované modely sítí ještě nejsou vzájemně provázány, ale již tvoří klastr informací, jež je zárodkem budoucího schématu. Buduje se povědomost o společenství sítí. Ve druhé etapě postupně ubývá předmětnosti, snižuje se přítomnost fyzikálních objektů a podíl manipulativní činnosti, zvyšuje se imaginace a přítomnost mentálních činností. Metaforický jazyk se postupně mění na geometrický. Současně s tím se zvyšuje počet izolovaných modelů sítě, vyvstává jejich vzájemná provázanost, která vede ke vzniku generických modelů, a to jak statických, tak dynamických. Ty jsou první částí tvořícího se schématu. Tvořící se schéma síť krychle je propojeno na schéma čtvercové polymino. Ve třetí etapě dochází k systematickému budování schématu síť krychle. Spolu s ním se dále rozvíjí kombinatorické schéma krychle (soubor vrcholů, hran, stěn a jejich vazby). Tato dvě schémata se propojují korespondencí 2D–3D, která vytváří své vlastní schéma. Jazyk metaforický ustupuje jazyku geometrickému.

4.3.1

Východiska naší koncepce budování pojmu síť krychle

Naše koncepce vychází z kritického posouzení tradičního způsobu zavádění pojmu síť krychle, v němž je hotová síť krychle žákovi nabídnuta a jeho úkolem je pouze síť na krychli položit (viz odstavec 4.2.1). Takový žák má menší možnost rozvíjet ty oblasti matematiky, které nejsou bezprostředně s pojmem síť krychle spojeny. Žák, který síť krychle tvoří sám, musí překonávat různé překážky (i řemeslné, např. čtverce tvořené sítě se mu rozpadají), což mu přináší informace a zkušenosti přesahující oblast sítí krychle. Je pochopitelné, že tato práce vyžaduje více času i energie a z hlediska úzkého zaměření se na výukový cíl „naučit žáky poznat síť krychleÿ je neefektivní. Z hlediska globálního výchovně-vzdělávacího cíle „rozvíjet žákův intelekt i jeho osobnostÿ je ale tato cesta výrazně efektivnější. Například žák se naučí pracovat s chybou, držet ve svém vědomí jak hladinu intelektuální, tak hladinu manipulativní, synchronizovat intelektuální a manipulativní činnost, experimen-


123

tálně hledat různé strategie řešení problému, . . . . Ve smyslu teze MT5 z předchozí kapitoly 3 se zkušenosti s takovouto činností žáka ukládají do různých myšlenkových schémat a budou zužitkovány v míře připravenosti žáka v jistém poznávacím procesu, k němuž dojde v budoucnu. Klíčovým okamžikem pro celý proces budování schématu síť krychle je, podle našich zkušeností, první setkání žáka s tímto objektem, protože zde může jít o imprintingovou informaci8 . Zvažme tyto čtyři alternativní možnosti tvorby prvního izolovaného modelu sítě krychle: 1. Žák dostává síť krychle a úlohou je síť vystřihnout a položit ji na krychli, nebo slepit ze sítě krychli (viz úloha v učebnici [3], 4. roč. s. 15). 2. Je dán papírový model krychle, žák jej rozřeže předepsaným způsobem a získá síť krychle (viz učebnice [2], 3. roč. zadní obal – „udělej si z krabiček síť kvádru a síť krychleÿ). 3. Žák dostane k dispozici soubor šesti čtverců. Na podnět učitele je klade na krychli a přelepkami slepuje, aby vytvořil „oblekÿ. Některé přelepky pak opět odebere, aby z „oblekuÿ vytvořil „střih na oblekÿ. 4. Žák dostane k dispozici soubor šesti čtverců a výzvu, aby z nich vytvořil „střih na oblekÿ pro krychli. Komentář. Přístupy (1) a (2) lze ještě variovat tím, že manipulativní činnost realizuje učitel a žáci pouze jeho postup sledují. V takovém případě je informace žáka o pojmu síť krychle ochuzena o přímou manipulativní zkušenost. V těchto případech lze kvalitu získané zkušenosti testovat výzvou, aby žák sám rekapituloval celý proces nebo jej dokonce modifikoval, tj. aby došel k jiné síti, než byla ta z první informace. Žák, který si z této aktivity odnese představu, že existuje jediná síť krychle, vytvořil si izolovaný model sítě, ale ten ještě není součástí klastru. Žák, který si uvědomuje, že obdobných sítí může být více, má již porozumění síti krychle na úrovni klastru. Naší koncepci vyhovují přístupy (3) a (4). Ty jsou však energeticky i časově daleko náročnější, než jsou přístupy (1) a (2). Navíc musí být realizovány samotnými žáky, jinak jsou didakticky neúčinné. Jejich pozitivum je v tom, že síť krychle je vytvořena žákem, i když u některých žáků s pomocí učitele nebo spolužáka. Dalším pozitivem je realizovatelnost postupu již ve 2. ročníku základní školy. Třetím pozitivem je skutečnost, že se ve třídě vždy objeví několik různých sítí, které ve vědomí žáků vytváří dobrý klastr budoucího schématu. Hlavní součástí rodícího se 8 „imprinting – percepční vtištění, hluboká a trvalá senzibilizace jedince na soubor podnětů, znaků.ÿ „imprinting – je jakoby forma okamžitého učení . . . .ÿ Norbert Sillamy, Larousse, Psychologický slovník, překlad Universita Palackého v Olomouci, Olomouc, 2001

124


schématu je konstrukce, tj. proces, který je tvořen dvěma složkami: oblékání (šití obleku) a rozepínání tj. tvorba sítě (střihu). Rozepínání je ta nejsložitější činnost přístupu (3). Vzhledem k věku žáků hraje důležitou roli metaforická prezentace celé situace. Přístup (4) je vhodný pro žáky, kteří již mají jisté zkušenosti s tvorbou nějakých sítí, například již někdy vytvořili krabičku nebo aspoň balili nebo rozložili krabici blízkou svým tvarem krychli. Žáci slepením několika čtverců přímo v rovině vytvoří aspoň část obleku, ten na krychli položí a zbylé čtverce k obleku postupně přilepí, aby vznikla požadovaná síť krychle. V porovnání s přístupem (4) je přístup c) náročnější na čas. Na druhé straně právě tento přístup umožní dítěti získat ty zkušenosti, které žák postupující přístupem (4) již má. Kladení jednotlivých čtverců na stěny krychle a slepování čtverců na dvou sousedních stěnách dává dítěti zkušenosti, z nichž se vyvinou informace o pojmech stěna, hrana, vrchol a dokonce i informace o vzájemné poloze stěn a hran, tedy o relaci kolmosti a rovnoběžnosti (všechny tyto informace u žáka postupujícího cestou (4) již předpokládáme).

4.3.2

Tvorba izolovaného modelu sítě krychle

První etapa budování schématu síť krychle začíná podle naší koncepce již ve 2. ročníku základní školy. Očekáváme, že děti vstupující do první etapy mají jisté haptické i vizuální zkušenosti s krychlí a že mají vytvořen pojem krychle na úrovni generického modelu. To znamená, že žák už ví, že tvar krychle nezávisí ani na barvě stěn, ani na velikosti tělesa, ani na jeho poloze, a ví, že kvádr (například krabice mléka) není krychlí. Žák také ví, že krychle je pravidelná (má mnoho rovin i os souměrnosti), má vrcholy, hrany a stěny, které jsou všechny čtvercové. Dokáže krychli vymodelovat, aniž by ji viděl nebo vnímal hmatem. Tyto poznatky možná ještě nejsou provázeny terminologií, ale jsou už pevně uloženy ve zkušenostech. Úlohy o krychlových stavbách, kterých je v naší koncepci učebnic matematiky pro první stupeň základních škol v prvním ročníku bohatě (viz Hejný, Jirotková & Slezáková, 2007), vybavily zkušenostmi s krychlemi i ty děti, které v předškolním věku zkušenosti s krychlí či krychlovými stavbami příliš neměly. Diagnostikovat úroveň poznání pojmu krychle lze například úlohou: „Z daného souboru různých šestistěnů (hranoly, kvádry, komolé jehlany, krychle) vyber všechny krychle.ÿ Soubor těles je přitom dán buď přímo fyzikálními modely, nebo jejich obrazy (portrét, foto). V prvním případě lze i vyloučit vizuální percepci a připustit pouze percepci haptickou. Dodejme, že navrhovaný přístup budování schématu síť krychle je možné zahájit i později, ve třetím, čtvrtém i pátém ročníku základní školy. Dynamismus výuky pak ale musí být upraven tak, aby odpovídal potřebám a možnostem žáků. Potom


125

je vhodné použít alternativu (4). V dalším textu se zaměříme na proces budování schématu sítě krychle ve 2. ročníku na základě alternativy (3). Učitel uvede metaforickou situaci: „My všichni jsme zaměstnanci módního salonu, který se specializuje na šití obleků pro obyvatele Krychlova.9 Dnes nás navštívil pan Krychle a my mu chceme nabídnout různé střihy na jeho oblek.ÿ Každý žák dostane model krychle a šest shodných čtverců, které jsou shodné se stěnou krychle, dále pak přelepky (kousky izolepy), pomocí kterých jednotlivé čtverce slepí a vytvoří síť krychle. Řečeno metaforickým jazykem: je potřeba šest čtvercových dílů obleku sešít a pak vhodně sešité z krychle sundat, aby vznikl střih na šaty pro krychli. Jestliže žák takto formulovanou úlohu neuchopí, nerozumí jí, učitel sám ukáže se dvěma čtverci, jak se pokládají na krychli a jak se přelepkou spojují. V této činnosti simultánně participují dvě složky – intelektuální a manuální. Má-li žák problém se manuální stránkou, učitel by měl žákovi tuto práci usnadnit. Pro práci s dětmi jsme vytvořili následující metaforickou terminologii , která se ve všech našich experimentech i při výuce pro studenty učitelství pro 1. stupeň základních škol výborně osvědčila. Bylo nutné zavést jedno slovo pro síť krychle – rovinný útvar a jiné slovo pro síť, která je položena na krychli. Dále bylo nutné zavést jedno slovo pro pevné spojení čtverců sítě a jiné pro spojení čtverců sítě až při tvoření krychle. Střih je 2D útvar – čtvercové hexamino, z něhož lze složit krychli, neboli síť krychle. Oblek je 3D útvar, je to to, do čeho je krychle již oblečena, neboli hranice krychle. Oblékání je změna: střih (2D) → oblek (3D); ze střihu získáme oblek tak, že krychli do střihu oblečeme a zapneme (zazipujeme) všechny dosud nesešité strany čtverců – to budou zipy. Zip (rozepnutý) je dvojice stran sítě, které se při oblečení krychle identifikují s jednou hranou do zipu (zapnutého). Tedy termín zip používáme ve dvou významech a upřesňující adjektiva zapnutý/rozepnutý použijeme, pouze tenkrát, když hrozí komunikační nedorozumění. Každá strana čtverce, která je hranicí sítě, je polovinou zipu (žáci v jednom našem experimentu použili termín „půlzipÿ, „půlhranaÿ10 .) Svlékání je změna: oblek (3D) → střih (2D); z obleku získáme střih tak, že zazipované zipy (příslušné hrany) rozepneme a oblek rozložíme do roviny. Šev je spojení dvou stran čtverců v síti. Tedy hrana krychle, bude mít v této terminologii dvě jména: šev a zazipovaný 9

Nápad představit krychle jako obyvatele planety Krychlov pochází od kolegyně J. Michnové. Obdobně žáci zavedli termín „třetinkovýÿ bod pro ten vrchol čtverce, který při oblékání krychle splyul s dalšími dvěma a vytvořil vrchol krychle. 10

126


zip. Metaforická slova používáme v dalším (a někdy i v předchozím) textu jako termíny. Žák postupně krychli obleče. Učitel jej požádá, aby oblek na některých místech rozlepil a celý pak v jednom kuse rozložil na stůl. Důsledně je používán metaforický jazyk. Proces rozlepování je náročnější, než byl proces slepování, protože je nutné stále hledat, které spoje je možné a rozumné zrušit. Pomoc učitele je i zde mnohdy potřebná. Nakonec každý žák svůj střih překreslí na papír. Důležité je, aby celá akce byla provázena slovy, nikoliv terminologií geometrickou, ale metaforicky. Tím se znalost v činnostech dostává do znalosti ve slovech. Vytvořená síť je prvním izolovaným modelem budoucího schématu, první informací klastru. Žáci vidí i střihy svých spolužáků. Pro některé to může být překvapení, že úloha vytvořit střih má více řešení. Pro jiné je právě toto poznání zrodem klastru, kterým začíná budování schématu. Nakonec učitel vyzve žáky, aby svoji krychli do připraveného obleku zase oblékli. Ti žáci, kteří u oblékání zjistí, že jejich řešení nebylo dobré, mohou svůj střih opravit přelepením některého dílu. Ti žáci, kteří žádný dobrý střih nevytvořili, mají obvykle potřebu dalšího pokusu. Učitel jim pomůže dojít k úspěchu a získat první zkušenost s pojmem střih. I když žák ve druhém pokusu pouze kopíruje počínání učitele, připraví se tím na opětovnou konstrukci, kterou udělá již samostatně, bez intervence učitele. Zde dochází k interiorizaci předchozího imitativního postupu. Jestliže žák ani této činnosti není schopen, bude potřebovat podpůrné úlohy. Například síť, kterou vytvořil imitací, vystřihne z papíru a do tohoto střihu krychli obleče. U této činnosti je velice důležitá závěrečná fáze oblékání, tj. okamžik, kdy se různé strany čtverců sítě identifikují s jednou hranou. Tento pohyb doporučujeme žákovi dělat opakovaně, aby uviděl, které přelepky na obleku krychle bude nutno odlepit. Totéž je vhodné udělat i s jiným střihem, který udělal kamarád. Dále uvedeme jeden experiment, v němž byl tento postup testován. Ilustrace 4.4: Experiment byl uskutečněn na základní škole v Neratovicích, v březnu 2004. Učitelky Irena Kročáková a Jitka Michnová detailně rozpracovaly scénář podle návrhu M. Hejného a D. Jirotkové. Experiment vedla učitelka Irena odpoledne po výuce v družině. Byla to pro ni první zkušenost tohoto typu. K experimentu se po výzvě přihlásily dvě kamarádky, Kamila a Kristýna z 2. ročníku. Učitelka uvedla dívky nejdříve do situace: „Rády oblékáte panenky? Vaše panenka má několik šatů a všechny jsou různé. My budeme oblékat Krychli parádnici.ÿ Dala každé dívce dřevěnou krychli, 6 plastových čtverců shodných se stěnami krychle, přelepky (nastříhané kousky izolepy), velký arch papíru a pastelky. Pak dívkám ukázala na dvou plastových čtvercích, jak je mají slepovat, naznačila, jak udělat střih na šaty pro krychli a jak zkontrolovat přiložením střihu na krychli, zda je střih dobrý. Dívky pracovaly individuálně, ale vzájemně na svoji práci viděly. Když byl střih na šaty hotov, překreslily jej na čistý papír a pak prověřily, zda tento střih krychli padne. Když střih dobře padnul, zařadily jej do katalogu střihů. Dívky pracovaly se zaujetím. Zpočátku jim učitelka pomáhala s technickými problémy – slepováním čtverců, ale do hledání střihů jim nezasahovala. Náhodou se stalo, že první návrh obou dívek byl chybný. Učitelka je povzbudila. Řekla, že i dobrý krejčí dělá chyby. Dívky neúspěch neodradil a pokračovaly v práci.


127

Nakonec obě dívky našly dohromady pět různých střihů. Kamilka našla tři správné a Kristýnka našla čtyři správné (obr. 4.1,??). Nesprávné střihy byly škrtnuty zajímavým způsobem – třemi rovnoběžnými čárami všech tří barev, které měly dívky k dispozici. Hotové střihy pak dívky vymalovaly a určily účel šatů: „župan, noční košile, na nákupy, na uklízení, pižamoÿ (obr. 4.1).

Obr. 4.1: Hledání střihu krychle Stojí za zmínku, že dívky věnovaly stejnou péči dekoraci šatů, s jakou střihy hledaly. Dekorace se skládala ze dvou činností: rozhodnout, k jakému účelu budou šaty používány, a pak je vymalovat. Tato činnost se může jevit jako ztráta času. Na druhé straně právě tato činnost ukazuje, jak metaforickou situací módního salónu dívky úzce propojily svoji životní zkušenost s oblékáním panenek a budování matematického schématu. Úspěšná práce dívek působí jako trvalejší motivace pro případné další aktivity se střihy na oblek pro Krychli. Bezprostředně po experimentu jsme si byli vědomi, že experiment, byť uskutečněn jen jednou a jen se dvěma děvčaty, jasně ukázal, že 1. metaforická situace „střih na šatyÿ je pro dívky silně motivační (dívky zaujatě pracovaly po celých 50 minut), 2. použité pomůcky navržené učitelkami jsou dobře dostupné, finančně nenáročné a didakticky vhodné, 3. dívky z 2. ročníku dokáží vytvořit pomyslné střihy a manipulativně prověřit jejich správnost, 4. metodou pokusu a omylu žáci nabývají značné zkušenosti o pojmu síť krychle. Nebylo ale jasné, zda i hoši, pro něž metaforická situace nemusí být tak motivující, budou stejně úspěšní jako dívky. Učitelka tedy zkusila hru na oblékání pana Krychle a paní Krychle v celé třídě (v květnu 2004). Všichni žáci, tedy nejen dívky,

128


ale i hoši, pracovali se zápalem a společně odhalili během jedné vyučovací hodiny všech 11 sítí. Později byl podobný scénář realizován v rámci EU projektu11 i v dalších druhých, třetích i čtvrtých ročnících nejen v ČR, ale i v Anglii , Německu, Řecku a na Slovensku a pokaždé velice úspěšně. Ilustrace 4.5: Na jednom videozáznamu z experimentu kolegy B. Wollringa (Univerzita v Kasselu, 2005) je epizoda, jak dívka ze třetí třídy opakovaně obléká krychli do jedné sítě, kterou vytvořila. Důsledně se snaží o to, aby oblek přiléhal na krychli zcela přesně. Po několika pokusech, se kterými není spokojena, identifikuje spodní stěnu krychle s jiným čtvercem sítě a znovu zkouší krychli obléci, což se jí nakonec podaří.

Komentář. Dívka si vytváří sérii izolovaných modelů procesu oblékání krychle, tj. korespondence 2D–3D, které se vztahují pouze k dané síti. Pravděpodobně u jiných sítí bude také dobudovávat izolované modely. Tím, že po položení krychle k jinému čtverci sítě krychli úspěšně oblékla, získává dívka zkušenost s tím, že proces pokládání sítě na krychli neboli oblékání závisí na první identifikaci stěny krychle se čtvercem sítě. Klastr, který se nyní vytvořil, je tvořen z deformované informace. Příčinou této deformace byl důraz na řemeslnou stránku celého procesu. Později pravděpodobně dojde ke korekci tohoto klastru, a to jak v důsledku vlastní manipulativní zkušenosti, tak zejména v důsledku komunikace se spolužáky. Ilustrace 4.6: Chlapec (videozáznam experimentu, B. Wollring, Univerzita v Kasselu, 2005) při kontrole, zda vystřižené hexamino je sítí krychle, udělal jen jeden rychlý pokus, který ukončil rázným prohlášením „fertigÿ (hotovo). Jeho proces je již generickým modelem korespondence 2D–3D činnosti oblékání krychle.

Cílem činností oblékání střihu a svlékání obleku krychle je doplnit scházející zkušenosti o korespondenci 2D–3D. Ti žáci, kteří střih našli a jimž i kontrola střihu jeho následným oblečením na krychli dopadla dobře, mají již ve svém vědomí první izolovaný model budoucího schématu síť krychle. Tento autentický poznatek je obohacen o vědomí dalších možných řešení úlohy. Pro některé žáky může být toto vědomí výzvou k hledání dalších sítí. Vyskytují se ojediněle i žáci, kteří si již při tvorbě prvního střihu byli vědomi alternativní možnosti a konkrétní vytvořený střih je v jejich vědomí provázen jednou nebo více alternacemi. Takový model je již více než izolovaný model střihu. Reprezentuje skupinu sítí krychle, které na sebe poukazují tím, že je možné je vytvořit přilepením jednoho čtverce k několika různým stranám již vytvořené částečné sítě z pěti čtverců. Je to již generický model v činnosti. To znamená, že řešitel vidí, že proces tvorby střihu má parametrický charakter. 11 IIATM – Implementation of Innovative Approaches to Teaching Mathematics, projekt v rámci programu SocratesComenius 2.1 řešený v letech 2003–2006 a koordinovaný KMDM, PedF UK


4.3.3

129

Tvorba schémat síť krychle a korespondence 2D–3D; posílení abstrakce

Přechod do druhé etapy, jejíž jádro spočívá ve 3. ročníku, je realizován výzvou na vytvoření dalších sítí. Například se vrátíme k původní síti vytvořené ze čtverců. Z ní žák odlepí jeden čtverec a učitel se zeptá žáka, kam jinam je možno čtverec přilepit, abychom opět dostali střih na oblek pro krychli. Žák objevuje tři další možnosti pro dolepení šesté stěny (obr. 4.3). Později, když žák uvidí všechny čtyři různé způsoby dolepení poslední stěny ve 2D prostředí sítí (obr. ??) začíná si vytvářet zkušenosti, z nich se později vyvinou pravidla pro přemísťování jednotlivých dílů sítě. Těmto operacím říkáme chirurgie sítě.

Obr. 4.2: Dolepení šesté stěny v 3D

Obr. 4.3: Dolepení šesté stěny v 2D Porozumění korespondence 2D–3D situací je jen velice zřídka rychlou záležitostí. Většina žáků si tuto představu buduje celou sérií úspěšných i neúspěšných pokusů, u nichž si třeba tužkou naznačí místa, kde je možno šestou stěnu k danému pentaminu dolepit. Opakováním popsaného procesu při hledání dalších a dalších sítí se práce žáka ekonomizuje. Ubývá manipulativních činností, zvyšuje se podíl imaginativní činnosti. Poměr těchto dvou typů činností diagnostikuje, jak rychle žák buduje schéma síť krychle.12 Dodejme, že popsané budování schématu sítě krychle je provázeno budováním dynamické složky schématu tvorby sítě krychle. 12

V aritmetice tomu odpovídá například přechod od řešení 3 + 2 = 5 pomocí prstů k řešení v představě.

130


Schéma síť krychle i schéma korespondence 2D–3D se rozvíjí sérií různorodých úloh, v nichž je kladen důraz na nenásilné utlumení využití fyzického modelu a posílení řešení úloh v imaginaci. Postupně imaginace převezme rozhodující část řešení a žák využívá fyzický model krychle stále méně. Někteří žáci ale ani ve třetím ročníku ještě nejsou schopni korespondenci 2D–3D realizovat bez modelu. Těm žákům je samozřejmě nutno model ponechat bez tlaku na přechod k imaginaci. Takové počínání učitele by vedlo ke zbrždění nebo úplnému zastavení budování schématu síť krychle a k demotivaci žáka. Úlohy zaměřené na budování schématu síť krychle simultánně připravují informace pro budování schématu kombinatorická struktura krychle. Klíčovými pojmy této struktury jsou objekty vrchol, hrana, stěna a série vztahů typu sousední vrcholy, dipodální vrcholy, kolmé a rovnoběžné hrany, rovnoběžné stěny, incidenční vazby, . . . . Úlohový materiál k tomuto tématu je didakticky podrobně zpracován v (Hejný & Jirotková, 2007). Schéma korespondence 2D–3D obsahuje sérii dynamických představ a poznání: • pokládání sítě na krychli, • nezávislost této činnosti na vstupní identifikaci čtverec – stěna, • poznání, že není-li možné do daného hexamina obléci krychli při jedné identifikaci čtverec-stěna, nebude to možné ani při žádné další identifikaci a že takové hexamino není sítí, • chirurgie na sítích, • grupování sítí. Utlumování využití fyzického modelu a posilování imaginativní složky běžně probíhá takto: Při tvorbě sítě z volných čtverců žák část sítě slepí v rovině a až poslední čtverec dolepuje s využitím modelu krychle. Například žák vytvoří obdélník 4 × 1 a ten položí na krychli jako „plášťÿ. Po shlédnutí prostorové situace a uvědomění si vztahů ve 3D jej pak opět položí do roviny a k němu pak přiloží obě další stěny. Vytvořený střih pak kontroluje opět ve 3D jeho položením na krychli. Model krychle je zde jen pomocný a mnohé činnosti probíhají v imaginaci. Hotová síť krychle je na krychli položena jen pro kontrolu. Alternací postupu tvoření sítě z volných čtverců je tvorba sítě z jiných „dílůÿ než čtvercových – z bimin, trimin, tetramin a pentamin. Ilustrace 4.7: V experimentu J. Michnové, který se uskutečnil v dubnu 2005, byla žákům 4. ročníku předložena sada tetramin, trimin a bimino a v metaforické situaci (planeta Krychlov) řešili úlohu: „Vyberte si dva vhodné díly a z nich složte střih na oblek pro Krychli. Střih nakreslete na čtverečkovaný papír, pak Krychli do obleku oblečte a ověřte, zda jste našli dobrý střih. Hledejte co nejvíce různých střihů, které můžete vytvořit z daných dílů.ÿ


131

Petr vytvořil z tetramina 4B (obr. 4.12, s. 141) a bimina obdélník 2×3, nakreslil jej na čtverečkovaný papír. Pak na vytvořené hexamino přiložil krychli a pokusil se krychli do něj obléci. Pokládal krychli na různá místa, na různé čtverce a po celou jednu minutu to opakovaně zkoušel. Zjistil, že to nelze. Nakonec nakreslený obdélník přeškrtnul a napsal na něj NE (obr. 4.7).

Obr. 4.4: ??? tento obrázek je použit dvakrát Uvedené poznání se opět vztahuje pouze na jeden konkrétní případ hexamina, které není sítí. Chlapec však na základě této zkušenosti mění strategii řešení úlohy. Oddělil tetramino od bimina a nejdříve na krychli položil tetramino. Pak na dvě zatím nepokryté stěny krychle položil i bimino. Opatrně to pak rozložil do roviny a získal střih, který překreslil na čtverečkovaný papír. Tato změna strategie má pravděpodobně již generický charakter, protože je posílena změnou neúspěchu na úspěch. Jeho neúspěch byl zvědoměn tím, že hexamino 2 × 3 na čtverečkovaném papíru škrtnul a slovo NE napsal dvakrát, na něj i nad něj. Poznámka. Uvědomění si vlastní chyby (Hejný & Michalcová, 2001, s. 56), urychluje proces poznávání (Kulič, 1991). Učitel, který žáky vede k takovému uvědomování si chyb, silně napomáhá i k jeho osobnostnímu rozvoji. V této etapě učitel upozorní na společenství všech sítí. Může to udělat například tak, že zřídí zvláštní výstavu, kam se doplňují všechny nově objevené exempláře. Jednotlivé exponáty této výstavy jsou nejdříve uspořádány v tom pořadí, jak se objevovaly. Výstava sítí vyvolá ve třídě diskusi o stejnosti resp. různosti některých sítí. Učitel požádá žáky, aby výstavu nějak přeorganizovali. První hledisko organizace leží na povrchu: shodné sítě dát k sobě. Žáci pochopí, že stejnou síť není nutno uvádět opakovaně, že stačí jeden její reprezentant. Zajímavý problém může vzniknout se sítěmi nepřímo shodnými, které, jsou-li nakresleny na papíře a nejsou-li vystřiženy, mohou být považovány za různé. Jsou-li ale vystřiženy, mohou být položením na sebe identifikovány jako shodné. Učiteli lze doporučit, aby výstavu dělal z vystřižených sítí a vyhnul se tak problému s nepřímo shodnými sítěmi. Tento problém je významný, ale k jeho otevření je dosti času ve 4. nebo v 5. ročníku.

132


Předpokládáme tedy, že na nástěnce zůstalo ne více než 11 neshodných sítí. Příkladem organizace, která vychází ze zkušeností, a to manipulativních (ve 3D), může být například soubor 4 sítí na obrázku 4.5, které vznikly dolepením šestého čtverce k pětidílnému obleku, jak je výše uvedeno. Společenství těchto čtyř sítí, které jsou na obr. 4.10, s. 139, označeny jako 6G, 6H, 6K, 6J, je vázáno jedním společným pentaminem (na obr. 4.12, s. 141 je označeno jako 5D). Tato organizace je podložena osobní zkušeností, a je tedy silně individuální. Pravděpodobně k ní nedojde při skupinové práci. Učitel může k organizaci tohoto typu žáky přímo vyzvat: „Zvolte jedno takové pentamino, ze kterého lze složit krabičku bez víka. Z něj dolepením jednoho čtverce vytvořte všechny možné sítě.ÿ Příkladem organizace sítí nahlížených jako 2D objekty je soubor tří sítí na obrázku 4.6a. Do této skupiny vybral žák všechny dosud objevené sítě, které obsahují obdélník 4 × 1. Všechny tři sítě na sebe vzájemně poukazují a vedou k objevení generického modelu: „K obdélníku 4 × 1 (např. ve svislé poloze) přileObr. 4.5: Soubor čtyř sítí pím jeden čtverec zleva a jeden zprava – tím vznikne síť.ÿ V tomto případě je nové poznání nejenom skupinou k sobě patřících izolovaných modelů, ale je to model generický. Umožní totiž najít další prvky souboru (obr. 4.6b) a navíc umožní nahlédnout, že jiné sítě tohoto typu krychle nemá.

(a)

(b) Obr. 4.6: ??? nazvat i další

Druhé hledisko organizace může vycházet buď ze zkušeností, které žák získal při hledání sítí, nebo ze souboru sítí jako 2D objektů umístěných na jedné nástěnce. Ilustrace 4.8: Úlohu nalézt všechny možné sítě krychle a roztřídit je řešili v rámci již zmíněného mezinárodního projektu i studenti primární pedagogiky na univerzitě v Kasselu. Rozhodli se považovat dvě navzájem osově souměrné sítě za různé. Pozorovali, že tyto dvě sítě spolu souvisí, a pro vyjádření vztahu mezi nimi použili objevnou myšlenku: dali jim taková vlastní jména, která se odlišovala pouze tím, že jedno bylo ženské a druhé mužské (např. Mario, Maria). Existují přesně dvě sítě – 6A a 6F (obr. 4.10, s. 139), které jsou samy o sobě symetrické, a tudíž 6A = 6A’, 6F = 6F’. Pro tyto sítě studenti z Kasselu použili jména Otto a Anna (obr. ??).13 Malým 13

Čtenář si jistě všimnul, že i vysokoškolští studenti, budoucí učitelé, tvoří chybné „sítěÿ krychle.


133

Obr. 4.7: ??? nazvat stínem na tomto metaforickém pojmenovávání je fakt, že pro vyjádření myšlenky symetrie jsou použity dvě odlišné zásady: pro symetrický pár – mužské-ženské jméno, pro symetrické individuum – palindromické jméno.

Žák pracuje již se všemi jedenácti sítěmi (obr. 4.10, s. 139) a řeší problémy: například hledá osy a středy souměrnosti, hraje hru SOVA, řeší úlohy. Tři typy takových úloh jsou uvedeny v odstavci 4.3.4.14 Hlubšími strukturačními poznatky jsou pravidla, například pravidlo jak sestrojit všechny sítě, které obsahují obdélník 4 × 1. V žákově vědomí se na základě jeho předchozích zkušeností utvoří jedna nebo více skupin sítí, jejichž vnitřní provázanost lze označit termínem generický model. Soubor jedenácti sítí je tak různorodý, že nepřipouští žádný konkrétné generický model. Připouští generický proces tvorby sítě (postupné přilepování jednotlivých čtverců), ale statický generický model zde nenajdeme. Přesto obdélník 4 × 1 se dvěma „pohyblivýmiÿ čtverci po jednom na každé straně je generickým modelem aspoň části souboru sítí. Nebo také pentamino 5D se čtyřmi zdůrazněnými úsečkami na hranici sítě, k nimž lze přilepit poslední čtverec (obr. 4.5, s. 132), je dalším generickým modelem. Konečně poznání: Jestliže některé heaxamino není sítí při jedné identifikaci čtverec-stěna, pak není při žádné, a to znamená, že není sítí krychle. Z uvedené různorodosti souboru sítí vyplývá, že i další úlohy, které se k síti krychle vztahují (např. barvení hran, vrcholů, stěn, popisování vrcholů, . . . ), nebudou mít algoritmické řešení vhodné pro všechny sítě. Hledání obecných řešitelských strategií těchto úloh vede k hledání lokálních zákonitostí platných pro všechny sítě. Takové zákonitosti samozřejmě existují, například každá síť má 5 švů a 7 dvojic zipů. Schéma pojmu síť krychle je na jedné straně rozsahem malé (pouze 11 jedinců), na druhé straně je svou podstatou tak různorodé, že vytváří didakticky ideální prostředí pro rozvoj (nejen) geometrické tvořivosti žáka. 14

Bohatý úlohový materiál je uveden v Hejný & Jirotková, 2007.

134

4.3.4


Prvky strukturace v budování schématu sítě krychle

Tato třetí etapa procesu budování schématu síť krychle podle naší koncepce probíhá ve 4. a 5. ročníku základní školy. Když hlavním představitelem schématu sítě krychle je představa generického modelu sítě (v činnosti), resp. více nebo všech jedenácti sítí a proces oblékání je pouze pod povrchem, dochází ve vědomí žáka k novému propojení jednotlivých poznatků, které se vztahují k jednomu schématu, k jejich novému uspořádání, k reschematizaci. Mnohé úlohy formulované ve 3D vztahující se k vrcholům, hranám a stěnám krychle, nejsou řešeny v kontextu 3D, ale v kontextu 2D. Vrcholy, hrany a stěny jsou projektovány do sítě krychle jako vrcholy, strany (zipy a švy) a čtverce sítě krychle. Rozpracováním schématu 2D–3D korespondence je možné žáky již na základní škole pozvolna vést ke strukturálnímu porozumění pojmu síť krychle. To znamená, že žák dokáže řešit i náročnější úlohy, například ty, které jsou uvedeny v (Hejný & Jirotková, 2007). Někteří žáci zvládají tyto úlohy bez použití modelu krychle, to znamená, že kromě dobrého geometrického myšlení mají i rozvinutou geometrickou představivost. V závěru popisu etapizace uvedeme ilustrativně tři různé typy úloh, které byly používány v našem výzkumu a které jsme shledali jako didakticky vhodné. Dodejme, že u každého typu je možné tvořit úlohy na nejrůznějších úrovních náročnosti. Úloha 1. Najdi všechny sítě krychle, které je možné vytvořit slepením (a) monomina + pentamina 5D, (b) bimina + tetramina 4B (obr. 4.12, s. 141). Komentář. Úlohy tohoto typu vedou někdy k dalším zajímavým vhledům do sítí krychle a dokonce i do společenství polymin. Ilustrací může být následující úloha, které věnujeme více pozornosti. Úloha 2. Najdi všechna pentamina, která mohou být vytvořena slepením jednoho monomina a jednoho tetramina. Komentář. Tato úloha nerozvíjí korespondenci 2D–3D, ale rozvíjí důležitou dovednost organizovat nepřehledný soubor objektů do dobře uspořádaného přehledu. Když žák třetího ročníku základní školy vytváří pentamino náhodně, je pro něj obtížné nakreslit všechna pentamina jako výsledek. Obvykle uvede více pentamin, z nichž se některá opakují, nebo v náročnějších případech nějaké řešení zapomínají. Pro úspěšnost řešení hraje důležitou roli organizace žákových pokusů. Strategii „ jdi dokolaÿ považujeme za nejefektivnější řešitelskou strategii . Ilustrujeme ji na následujícím případu. Hledáme všechna pentamina, která lze vytvořit přilepením monomina k tetraminu 4C. Tento postup má čtyři kroky (obr. ??). 1. Tetramino 4C je umístěno do čtvercové mříže.


135

2. Jdeme okolo hranice tetramina 4C a očíslujeme všech osm čtverců mříže sousedících s nějakým čtvercem tetramina. 3. Každému očíslovanému čtverci odpovídá jedno pentamino (obr. 4.12, s. 141): 1 – 5C, 2 – 5I, 3 – 5E, 4 – 5I, 5 – 5C, 6 – 5F, 7 – 5K, 8 – 5F. 4. Tímto způsobem obdržíme úplný seznam všech pentamin, které lze vytvořit slepením monomina a tetramina 4C. Jsou to pentamina: 5C, 5E, 5F, 5I a 5K (obr. 4.12, s. 141). Ze zkušenosti víme, že žák 3. ročníku základní školy je schopen sám objevit strategii „ jdi okoloÿ, jestliže mu necháme dostatek času. V našem experimentálním vyučování tuto strategii našli žáci zcela samostatně, když organizovali sadu všech pentamin typu 1A+4B (monomino + tetramino 4B, obr. 4.12, s. 141). Měli uspořádat soubor takovým způsobem, aby jej bylo možné popsat slovy. Krátce na to dokázali, že existuje právě 11 sítí krychle. Úloha 3. Je dán model krychle a šest čtverců. Každá z dvanácti hran krychle je obarvena jednou ze tří barev označených a, b, c, například jako na obrázku 4.9. Všech 24 stran daných šesti čtverců je také obarveno. Obarvení stran jednotlivých čtverců lze popsat pomocí čtveřice písmen v závorce jako je na obrázku 4.9. Úkolem je z daných čtverců sestrojit síť krychle tak, aby po sestrojení krychle z této sítě byly její hrany obarveny stejně jako u dané krychle na obrázku 4.9.

Obr. 4.9: ??? nazvat Komentář. Existují dvě systematické strategie řešení této úlohy. 1. 3D → 2D. Jednotlivé čtverce se přiloží k příslušným stěnám a vytvoří se oblek. Z něj se potom svlékáním vytvoří síť. K identifikaci hran krychle je použita barva. Při této činnosti se rozvíjí schopnost přiřazovat dvě množiny na základě kritéria, které je dáno více informacemi. 2. 2D → 3D. Nejdříve se sestrojí síť, která se pak ověří oblečením na krychli. Buď začít dvěma čtverci se stranou obarvenou barvou b, nebo začít čtvercem se všemi stranami obarvenými barvou a. Úloha je ale tak lehká, že žák první třídy tyto strategie používá zřídka. Prostě lepí čtverce na stěny tak, „ jak mu padnou do rukyÿ.

136

4.4


Strukturace schématu síť krychle

Až dosud jsme uvažovali o schématu sítě krychle z didaktického hlediska. Nyní zaměříme pozornost na vytvoření struktury pojmu sítě krychle. To znamená, že zavedeme formalizovaný jazyk, pomocí něhož je možné matematicky přesně definovat pojmy, s nimiž jsme dosud pracovali na úrovni schématu. K tomu dojde v odstavci 4.4.2. Připomínáme, co bylo řečeno v úvodu k této kapitole, že tato část je pro učitele, zejména učitele prvního stupně základní školy, nadstavbová. Je zaměřena více matematicky a je uvedena jako ukázka toho, jak lze dále schéma strukturovat.

4.4.1

Význam strukturace schématu v geometrii

Geometrické objekty a situace jsou v našem vědomí uchovávány jako představy, mentální reprezentace vzniklé na základě vizuálních, někdy i taktilních vjemů. Sugestivní síla tohoto poznání mnohdy tlumí potřebu dané poznatky formalizovat. Nedomníváme se, že formalizace geometrických schémat je tak důležitá jako formalizace aritmetických a algebraických schémat. Přesto považujeme za rozumné v této studii jednu z možných formalizací sestrojit. Formalizovaný jazyk, který v tomto odstavci představujeme, lze použít na úrovni základní školy jen ve velice omezeném rozsahu. Ve větší míře jej lze použít až na vyšší úrovni, kdy jsou již studenti připraveni na strukturaci poznatků ve smyslu kapitoly 3. Učitel může pomocí formalizovaného uchopení problematiky získat matematický nadhled nad učivem didakticky zpracovaným. Jeho práce pak bude z hlediska didaktiky účinnější zejména při individualizaci úloh pro nadanější žáky. Ty může motivovat k potřebě upřesňování nebo dokonce strukturování geometrického schématu založeného na intuitivních představách. Matematicky zdatní žáci obvykle vítají podněty k abstrakčně náročnějším úlohám, které otevírají přechod od schématického ke strukturálnímu vnímání situace. Naopak práci, která jim připadá neobjevná, považují často za zbytečnou. V následujících třech ilustracích uvedeme ukázky situací, kde učitel mohl individualizovat zadání úloh pro některé žáky směrem k obohacování schématu síť tělesa o další vazby, a tím přispívat ke strukturalizaci schématu. Ilustrace 4.9: J. Hanušová ve své disertační práci (Hanušová, 2007) popisuje situaci z vlastního vyučování v kvartě osmiletého gymnázia, které vedla v duchu konstruktivismu. Nechala žáky ve skupinách objevovat vzorec pro povrch válce. Jednu skupinu tvořili dva žáci, kteří v matematice byli nejzdatnější ze třídy. Ti vyřešili úlohu velice rychle a vzorec našli vhledem. Učitelka však na nich požadovala, aby síť válce vystřihli, geometrické údaje změřili a povrch vypočetli. Žáci její úkol s nelibostí splnili. V komentáři k této situaci J. Hanušová kriticky hodnotí své počínání, vysvětluje jeho příčinu (nebyla připravena na tak rychlé vyřešení úlohy) a uvádí lepší řešení situace, než jaké realizovala. Uvažuje, že úloha, která by byla intelektuálně náročnější, by žáky motivovala k efektivnější aktivitě. Náročné schéma „výpočet povrchu tělesaÿ by žáci

4.4. STRUKTURACE SCHÉMATU SÍŤ KRYCHLE

137

obohatili o další případy izolovaných modelů takovýchto objektů. J. Hanušová uvádí, že měla žáky vyzvat ke hledání povrchu „příbuznýchÿ těles, například kužele či komolého kužele. Tím by přispěla k rozvoji schématu válec o vazby na další schémata „příbuznýchÿ těles. Ilustrace 4.10: Ve druhém ročníku základní školy pracovali žáci ve skupinách na úkolu najít co nejvíce střihů na oblek pro pana Krychli. Každá skupina pak prezentovala své střihy na tabuli. Dalším úkolem bylo zjistit, kolik různých střihů žáci našli. Dávali shodné střihy na jednu hromádku a při tom vznikla diskuse, zda střihy, které jsou nepřímo shodné, jsou stejné nebo ne. Učitelka byla touto diskusí zaskočena. Problematiku sítí krychle, stejně tak jako problematiku nepřímých shodností neměla dostatečně promyšlenu. Nakonec přijala žákovský argument pro odlišení nepřímo shodných sítí: „Přece záleží na tom, jestli mám levý nebo pravý rukáv dlouhýÿ. Žáky, kteří byli připraveni hlouběji situaci promýšlet, neuměla podnítit otázkou, která by je vedla k úvahám o slově „stejnýÿ s využitím jejich životních zkušeností. Její vedení žáka mohlo mířit na odhalení dvou různých způsobů zavedení pojmu „stejné sítěÿ. Například se mohla zeptat: „Když si svetr s kratším pravým rukávem oblečeš naruby, který rukáv pak budeš mít kratší?ÿ Nebo: „Když máš dvě osově souměrné sítě krychle obarvené červeně na líci a modře na rubu, můžeš kteroukoliv z těchto sítí položit na krychli tak, aby byla modrá?ÿ Obdobnými otázkami by učitelka umožnila žákům své nově získané geometrické poznatky propojovat prostřednictvím svých životních zkušeností. Ilustrace 4.11: Učitelka Carol15 předvedla svým žákům následující argument na podporu tvrzení, že nepřímo shodné sítě krychle, například sítě 6G a 6G’ (obr. 4.10, s. 139), nejsou „stejnéÿ: Označila každý čtverec obou každé sítě čísly 1–6 tak, že čtverce se stejnými čísly si odpovídaly v osové souměrnosti. Položila krychli na síť 6G na stěnu s číslem 1 a začala krychli do sítě „oblékatÿ. Totéž udělala se druhou sítí 6G’. Pak žákům demonstrovala, že se čtverec s číslem 2 na síti 6G se identifikuje s jinou stěnou krychle než čtverec s číslem 2 na síti 6G’.

Tato argumentace nebyla podepřená dobrou znalostí pojmu shodnost rovinných útvarů. Její nejistota vyvolala pravděpodobně strach z další diskuse se žáky, a proto diskusi autoritativně ukončila. Domníváme se, že vhodnější by asi bylo dát výzvu, aby žáci zkusili druhou síť obléci tak, aby se čtverce sítě identifikovaly se stejnými stěnami jako u první sítě a tak prostřednictvím jejich vlastních činností a jejich diskuse rozšířit v mysli žáků schéma síť krychle o vazby přímá a nepřímá shodnost.

4.4.2

Matematické uchopení pojmu síť krychle – formalizace jazyka

V tomto odstavci postupně definujeme pojmy, se kterými jsme dosud pracovali intuitivně. Je to krychle, polymino, síť krychle a další pojmy s těmito související. Uvedeme rovněž několik tvrzení o těchto pojmech. Některá z nich dokážeme, některé důkazy přenecháme čtenáři. Dále zde uvedeme několik úloh na práci se zavedeným formalizovaným jazykem. 15 Ilustrace pochází z experimentu, který byl realizován se žáky 4. ročníku zákadní školy v Anglii v Derby v rámci již zmíněného mezinárodního projektu EU v roce 2005

138


Definice 1. V trojdimenzním Eukleidovském prostoru E 3 je dáno 8 různých bodů A, B, C, D, E, F , G, H tak, že úsečky AB, AD, AE, BC, BF , CD, CG, DH, EF , EH, F G, GH jsou navzájem shodné a každé dvě různé jsou buď navzájem rovnoběžné, nebo kolmé. Konvexní obal těchto osmi bodů A, . . . , H se nazývá krychle. Body A, . . . , H se nazývají vrcholy krychle, dvanáct úseček výše vyjmenovaných se nazývají hrany krychle. Tvrzení 1. Body A, B, C, D leží v rovině a tvoří vrcholy čtverce. Důkaz. Protože úsečky AB a BC musí být kolmé, nebo rovnoběžné a body A, B, C jsou různé, nastávají pouze dvě možnosti: a) bod B je střed úsečky AC, b) body A, B, C tvoří rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník s přeponou AC. Případ a) je nemožný, protože z podmínky, že úsečky DC, DA a AB jsou shodné plyne, že D = B, což je spor s předpokladem, že D 6= B. V případě b) bod D leží v rovině souměrnosti úsečky AC a jeho vzdálenost od bodů A a C je shodná s úsečkou AB. Tedy bod D leží na kružnici se středem v bodě S = A − ◦ − C a poloměrem SB. Úsečka DC tedy nemůže být kolmá na úsečku AB, proto je s ní rovnoběžná, tedy ABCD je čtverec. Stejně se dokáže, že každý ze čtyřúhelníků ABF E, BCGF , CGHD, HGF E, HEAD je čtverec. Definice 2. Každý ze 6 čtverců uvedených v předchozím důkaze se nazývá stěnou krychle. Dvě stěny se nazývají sousední, mají-li společnou hranu. V opačném případě se nazývají protější. Tvrzení 2. Každé dvě sousední stěny jsou na sebe kolmé, každé dvě protější stěny jsou navzájem rovnoběžné. Důkaz přenecháváme čtenáři. Nyní přejdeme do dvojdimenzního Eukleidovského prostoru E 2 a budeme definovat další zde klíčový pojem – síť krychle. K tomu nejdříve zavedeme na množině všech čtverců v E 2 relaci „být sousedníÿ, která umožní definovat pojem čtvercové polymino a pak síť krychle. Definice 3. Dva různé čtverce v E 2 nazveme sousední čtverce, právě když mají společnou jednu stranu. Definice 4. Nechť je dána množina k čtverců P ∗ , kde k ∈ N, k 6= 0. Nechť pro každé dva různé čtverce X, Y ∈ P ∗ existuje v P ∗ posloupnost čtverců X = Z1 , Z2 , . . . , Zn = Y taková, že každé dva sousední prvky této posloupnosti jsou sousedními čtverci. Pak sjednocení všech čtverců z P ∗ nazýváme polyminem, přesněji k-minem a označujeme P (k). Dodatek. Je-li k = 1, 2, . . . 8,. . . , n, mluvíme o monominu, biminu, triminu, . . . , oktaminu, . . . n-minu. V této kapitole budou pro nás zvláště důležitá hexamina. Nyní budeme definovat pojem síť krychle.


139

Definice 5. Hexamino nazveme sítí krychle, jestliže existuje bijekce f mezi čtverci hexamina a stěnami krychle, která sousedním čtvercům přiřadí sousední stěny (nebo-li relace být sousedním čtvercem se při zobrazení f zachová). Bijekci f budeme nazývat oblékání krychle do její sítě. Tvrzení 3. a) Existuje právě 11 různých sítí krychle, jestliže sítě nepřímo shodné považujeme za stejné. (Jedná se o sítě 6A, . . . ., 6K z obrázku 4.10.) b) Existuje právě 20 různých sítí krychle, jestliže sítě nepřímo shodné považujeme za různé. (Jedná se o všechny sítě z obrázku 4.10.) Důkaz tohoto i následujícího tvrzení přenecháváme čtenáři. Na obrázku 4.10 je uveden přehled všech sítí krychle, na něž se v textu odkazujeme. Přehled všech k-min, k = 1, . . . , 5 je uveden v grafu na obrázku 4.12.

Obr. 4.10: ??? Tvrzení 4. Je-li hexamino sítí krychle, pak existuje 24 různých bijekcí zavedených v definici 5. Ukončili jsme formalizovaný popis pojmů: krychle, vrchol, hrana, stěna, sousední stěny, sousední čtverce, polymino, síť krychle a pojem oblékání krychle do sítě. Hlubší pochopení práce s uvedeným formalizovaným jazykem získá čtenář, jestliže si podá formální důkaz každého z následujících 4 tvrzení. Tvrzení 5. Každé dvě sousední hrany krychle jsou na sebe kolmé. Tvrzení 6. Ke každé hraně existují právě tři další hrany s ní rovnoběžné. Tvrzení 7. Jsou dvě hrany krychle mimoběžné, pak jsou na sebe kolmé. Tvrzení 8. Obvod každé sítě je roven 14a, kde a je délka strany čtverce sítě. Úloha 4. Nechť jedna stěna krychle je přiřazena jednomu konkrétnímu čtverci sítě. Určete počet různých výše zmíněných bijekcí. Úloha 5. V popsaném formalizovaném jazyce definujte pojmy zip, šev, sousední, resp. diagonální, resp. dipodální vrcholy krychle.

140


Dále uvedeme několik ukázek, jak je možné rozvíjet problematiku polymin spolu s formalizovaným jazykem, a tím přispívat k tvorbě struktury pojmu síť krychle. Na množině všech k-min definujeme relaci. Definice 6. Nechť P (m) a P (n) jsou dvě polymina taková, že P (m) ⊂ P (n), P (m) 6= P (n). Pak řekneme, že polymino P (n) je potomkem polymina P (m) v (n − m)té generaci a také že polymino P (m) je předkem polymina P (n) v (n − m)té generaci. Je-li n − m = 1, mluvíme o přímém potomku resp. o přímém předku. Poznámka didaktická. Výše uvedená definice je konceptuální, vychází z vazby „předek je podmnožinou svého potomkaÿ. V didaktice matematiky je vhodné pracovat s pojmy procesuálně. To více odpovídá způsobu poznávání pojmů u většiny žáků. Proto uvádíme ještě definici procesuální, která je opřena o pojem slepení k-mina s monominem. Definice 7. Proces, který z k-mina a monomina udělá (k+1)-mino, nazveme slepení. Definice 8. K-mino P (k) je přímý potomek (k − 1)-mina P (k − 1), právě když P (k) vzniklo slepením jednoho 1-mina a jednoho (k − 1)-mina P (k − 1). V takovém případě říkáme, že (k − 1)-mino P (k − 1) je předkem k-mina P (k). Definice 9. Nechť je dáno (m + n)-mino P (m + n). Jestliže m-mino P (m) je vlastní podmnožinou P (m + n) (P (m) ⊂ P (m + n)) a n-mino P (n) je komplementem mmina P (m) vzhledem k P (m + n), pak trojici hP (m + n); P (m); P (n)i nazveme rozkladem (m + n)-mina P (m + n) na polymina P (m) a P (n). Potom polymino P (m + n) nazveme slepením polymin P (m) a P (n). Budeme používat běžnější zápis P (m + n) = P (m) ∪ P (n). Poznámka. V úvahách o rozkladu nebudeme zohledňovat, jakým způsobem jsou polymina P (m) a P (n) vložena do (m + n)-mina P (m + n). Stejně nebudeme rozlišovat mezi polyminem P (m) jako takovým a polyminem P (m), které je již součástí polymina P (m + n). Ilustrace 4.12: Na obrázku 4.11 je vidět, že dané hexamino P (6) vzniklo dvěma různými slepeními tetramina P (4) a bimina P (2).

Obr. 4.11: ??? nazvat


141

Trojicí hP (6); P (4); P (2)i označujeme třídu všech takových rozkladů. V uvedeném případě má tato třída právě dva prvky.

Úloha 6. Vytvořte orientovaný graf, jehož vrcholy jsou všechna k-mina, pro k = 1, 2, . . . , n a jehož orientované hrany jsou všechny uspořádané dvojice [polymino; jeho přímý potomek]. Řešení. Požadovaný graf pro n = 5 je vytvořen na obrázku 4.12.

Obr. 4.12: Graf pro n = 5 Meta-úloha. V prostředí orientovaného grafu vytvořte gradovanou sérii úloh, kterou přivedete žáka k důkazu, že existuje právě 11 různých sítí krychle. Komentář. Při tvorbě grafové struktury a při řešení úloh z tohoto prostředí se schéma pojmu síť krychle rozvíjí v dalším kontextu, v kontextu kombinatoriky a v kontextu grafů. Poznávají se přitom nové vnitřní zákonitosti schématu síť krychle. Obdobně jako v minipříběhu Ú11 (s. 97) v kapitole 3 žáci (2. stupeň) mohou strategií vyčerpání všech možností dokázat, že více než 11 sítí krychle neexistuje. Podle teze MT12 použití zmíněné strategie, která byla použita pro argumentaci, že neexistuje více sítí než jedenáct, představuje vyšší hladinu poznávání schématu síť krychle. Tato myšlenka již částečně náleží do strukturace pojmu síť krychle. Pomůckou pro řešitele meta-úlohy může být zavedení pojmů valence a řád kmina. Definice 10. Valencí k-mina nazveme počet jeho přímých navzájem různých potomků.

142


Například jediné bimino má valenci 2, neboť má právě dva přímé potomky 3A a 3B (obr. 4.12). Trimino 3A má valenci 3 a 3B má valenci 4. Definice 11. Řádem k-mina nazveme počet jeho přímých navzájem různých předků. Například ze dvanácti pentamin má šest pentamin řád roven 1 (na obr. 4.12 v modrém poli – 5A, 5G, 5H, 5J, 5K, 5L), tři pentamina mají řád roven 2 (na obr. 4.12 ve žlutém poli – 5B, 5D, 5E), dvě pentamina mají řád roven 3 (na obr. 4.12 v růžovém poli – 5C, 5F) a jedno pentamino (na obr. 4.12 v šedivém poli – 5I) má řád 4. Tvrzení 9. Pro každé k > 1 platí, že k-min typu 1 × k má řád roven 1 (tj. je to k-mino s jediným předkem). Důkaz přenecháváme čtenáři. Při dalším rozvíjení úloh o grafu na obrázku 4.12 a grafech podobných se mohou vyskytovat i pojmy jako pra-předek jako přímý předek přímého předka, prapotomek jako přímý potomek přímého potomka, nebo i složitější pojmy jako prapra-předek apod. Práce s grafem otevírá nové otázky: Úloha 7. Najděte souvislost mezi valencí polymina a jeho souměrností (středovou i osovou). Předchozí úvahy patřily do oblasti kombinatoriky. Je zřejmé, že odtud je blízko k úvahám v oblasti pravděpodobnosti. Z této oblasti formulujme na ukázku následující úlohy. Úloha 8. Náhodně slepujeme shodné čtverce. Jaká je pravděpodobnost, že slepíme jisté k-mino? Úloha 9. Jaká je pravděpodobnost, že náhodným slepováním šesti shodných čtverců vytvoříme síť krychle? Úloha 10. Jaká síť krychle má největší pravděpodobnost, že ji dostaneme při náhodném slepování šesti shodných čtverců? Komentář. Pravděpodobnost lze počítat dvěma různými způsoby: 1. Každý potomek dostane stejnou pravděpodobnost. Pak například tetramino 4A má pravděpodobnost 16 (bimino má dva potomky, tedy je jejich pravděpodobnost rovna 21 , a trimino 3A má 3 potomky, tedy pravděpodobnost každého z nich je 1 1 1 2 · 3 = 6. 2. Zvažujeme počet všech míst, kam lze každý další čtverec přilepit. Pak můžeme uvažovat takto: Vyjděme například z trimina 3A (obdélník 3 × 1). Čtvrtý čtverec lze přilepit k osmi stranám čtverců trimina. Tetramino 4B vznikne přilepením čtverce ke čtyřem z osmi možných stran, tetramino A i C jen dvěma způsoby z osmi možných. Tedy pravděpodobnost, že náhodným slepováním dostanu z trimina 3A tetramino 4B je 21 , a pravděpodobnost, že dostanu tetramino 4A nebo 4C je 14 .

4.5. ZÁVĚR

143

V následující tabulce je uvedena pravděpodobnost, s jakou náhodným slepováním čtverců dostaneme jisté tetramino: 4A 1 1 3 · 4 =

1 12

4B 4C 4D 1 1 1 1 2 2 2 2 ( 3 · 2 ) + ( 3 · 7 ) = ( 3 · 4 ) + ( 3 · 7 ) = ( 23 · 72 ) = 4 5 1 4 = 16 + 21 = 12 = 14 + 21 = 23 84

4 21

4E 2 1 3 · 7) =

2 21

Poznámka. Je patrné, že geometrické struktury jsou, na rozdíl od aritmetických, velmi bohaté. Rozšíříme-li uvedené grafové schéma ještě o hexamina (obr. 4.13) a budeme-li řešit úlohy, v nichž budou hrát roli sítě krychle, bude zde propojeno několik oblastí matematiky: 3D a 2D geometrie, teorie grafů jako nástroj vizualizace a pravděpodobnost. Je možné, že ta oblast, která bude v zóně nejbližšího vývoje řešitele, otevře přístup i do ostatních z těchto oblastí.

Obr. 4.13: ??? nazvat Výzva. Na obrázky 4.12 a 4.13 můžeme hledět jako na soubor geometrických tvarů i jako na graf, který navíc může být obohacen o pravděpodobnostní informace. Hledejte vazby mezi uvedenými pohledy. Například tvrzení: je-li pravděpodobnost jevu 2 „dané tetramino sestrojíme náhodným slepovánímÿ rovna 21 , pak daným tetraminem je čtverec.

4.5

Závěr

Popsaný postup budování konkrétního geometrického schématu a následně struktury může sloužit jako ilustrace i pro jiná geometrická schémata. V našich výzkumech byla stejná metodologie použita na odhalování tvorby dalších geometrických schémat zejména krychlové těleso (Hejný& Jirotková, 2007), mřížový mnohoúhelník

144


(Hejný & Jirotková, 1999; 2003) a nekonečno v geometrických prostředích (Jirotková, 1998). Mnohé ze zákonitostí, které byly odhaleny při zkoumání schématu síť krychle, lze dobře aplikovat na další geometrická schémata. Ještě důležitější je, že i výzkumné metody použité při zkoumání budování schématu síť krychle16 je možné aplikovat i u jiných geometrických objektů a jevů. Tato možnost nabízí příležitost jak pro učitele, tak pro studenty pokusit se získat vlastní zkušenosti se žákovým pronikáním do různých koutů světa geometrie. Pro případného zájemce si dovolíme v závěru uvést několik námětů na takové zkoumání. 1. „Sirkové úlohyÿ jsou účinný nástroj na budování dvou geometrických schémat. Prvním jsou rovinné útvary, druhým jsou geometrické chirurgie (přestavování, odebírání, přidávání sirek k danému útvaru). Důležitou součástí tohoto druhého schématu je úzké propojení na schéma kombinatoriky. 2. „Origamiÿ je účinný nástroj na budování schématu mnohoúhelníka s vazbami na pojem obsahu (tato cesta dále vede ke schématu zlomek) a geometrických izometrií, které směřují k hodně náročné oblasti skládání izomerií. 3. „Synchronní pohybyÿ po čtvercové (i trojúhelníkové) mříži Skupiny žáků chodí po mřížových bodech podle určitých pravidel. Jejich trajektorie vytváří měnící se geometrické tvary, pohyb i vytvořené trajektorie jsou klíčovými pojmy tohoto prostředí. Schéma, které se u těchto her buduje, má různorodé bohaté kontakty nejen na geometrii a kinematiku, ale i na souřadnicové systémy, budování formálních jazyků, objektové programování, případně i na další oblasti jako zlomek, záporné číslo, desetinné číslo apod. 4. „Rytmické vzoryÿ jsou převzaty z monografie E. Swobody (2006), kde je je mnoho dalších podobných situací zpracováno didakticky na základě bohatého experimentálního materiálu, který je podrobně analyzován. Na toto téma pracovali i C. Marchini a P. Vigi (2007) či F. Kuřina. Další možná témata jsou: tangramy, Blockcad17 , parketáže, . . . . Samostatné bádání přinese učiteli nebo budoucímu učiteli nejen hlubší poznání zkoumaných zákonitostí, ale zejména bezprostřednější vztah k celé této didaktické problematice.

16

Výzkumný materiál (protokoly, videonahrávky, žákovská písemná řešení, záznamy pozorování, . . . ), který byl získán přímo nebo zprostředkovaně, byl zpracováván atomární, fenomenologickou a komparativní analýzou 17 geometrický software simulující Lego

Literatura Ainley, J. & Luntley, M. (2004). What teachers know: the knowledge bases of classroom practice. CERME-4, Sant Feliu de Guíxols, Spain. In Mariotti, M. A. (ed.) Proceedings of CERME 3. [CD/ROM]. Universita di Pisa. Alro, H. & Skovsmose, O. (2004). Dialogue and Learning in Mathematics Education. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Ball, D. L. (2000). Bridging practices. Intertwining content and pedagogy in teaching and learning to teach. Journal of teacher education, 51 (3), 241–247. Bauersfeld, H. (1998). About the notion of culture in mathematics education. In F. Seeger at al. (Eds.), The culture of the mathematics classroom. Cambridge: Cambridge University Press, 375–389. Bauersfeld, H. (1988). Interaction, Construction and Knowledge: Alternative Perspectives for Mathematics Education. In T. Cooney and D. Grouws (Eds.), Effective Mathematics Teaching (27-46). Virginia: Reston. Beck, R. J., King, A., Marshall, S. K. Effects of videocase construction on preservice teachers’ observations of teaching. The Journal of Experimental Education, 2002, 70(4), 345–361. BEGLE, E.G. Název???. Educational Studies in Mathematics, Vol. 13, No. 3 (Aug., 1982), s. 257–267 Bell, A. W. (1993). Some experiments in diagnostic teaching. Educational studies in mathematics, 24(1), 115-137. Boaler, J. (2002). Experiencing school mathematics. London: Lawrence Erlbaum Associates Publishers. Bodin, A. & Capponi, B. (1996). Junior secondary school practices. In A.J. Bishop et al. (Eds.), International handbook of mathematics education (565–614). The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. 145

146

LITERATURA

Bromme, R. (1994). Beyond Subject Matter: A Psychological Topology of Teachers’ Professional Knowledge. In R. Biehler at al. (Eds.), Didactics of Mathematics as a Scientific Discipline. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 73–88. Brousseau, G. (1997). Theory of Didactical Situations in Mathematics. (N. Balacheff, M. Cooper, R. Sutherland, V. Warfield, Eds. & Trans). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Bruner, J. (1996). The culture of education. Cambrigde: Harvard University Press. Burton, L. (2004). Mathematicians as Enquirers. Learning about Learning Mathematics. Boston: Kluwer Academic Publishers. Cachová, J. (2003). Konstruktivní přístupy k vyučování matematice a školní praxe. Praha. Disertační práce. Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta. Clarke, D.J. (2005). Essential complementarities: Arguing for an integrative approach to research in mathematics classrooms. In P. Clarkson, A. Downton, D. Gronn, M. Home, A. McDonough, R. Pierce & A. Roche (Eds.), Building connections: Research, theory and practice. Proceedings of the twenty-eighth annual Conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia (3–17). Sydney: MERGA. Climent, N. & Carrillo, J. (2001). Developing and Researching Professional Knowledge with Primary Teachers. In: J. Novotná (Ed.), CERME 2. European Research in Mathematics Education II, Part 1. Praha: Karlova univerzita, Pedagogická fakulta, 269–280. Cobb, P., Boufi, A., McClain, K. & Whitenack, J. (1997). Reflective discourse and collective reflection. Journal for Research in Mathematics Education, 28 (3), 258–277. Cobb, P. & McClain, K. Supporting teachers’ learning. In Lin, F.-L. & Cooney, T.J. (Eds.), Making Sense of Mathematics Teacher Education, 2001, pp.???. The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. Cooney, T. J. (2001). Conceptualizing teacher development. In Lin, F.-L. & Cooney, T. J. (Eds.), Making sense of mathematics teacher education (9–31). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Czarnocha, B. Dubinsky, Prabhu, V. & Vidakovic D. (1999). One theoretical perspective in undergraduate Mathematics Education Research. In O. Zaslavsky

LITERATURA

147

(Ed.), Proceedings of the 23rd Conference of the international Group for the Psychology of Mathematics Education (I-95). Haifa, Israel. Čáp, J. & Mareš, J. (2001). Psychologie pro učitele. Praha: Portál. Davis, R.B., Maher, C.A. & Noddings, N. (Eds.) (1990). Constructivist views on teaching and learning of mathematics. USA: National Council of Teachers of Mathematics. David, M.M. & Lopes, M.P. (2002). Students-Teacher Interactions and the Development of Students’ Mathematical Thinking. In Goodchild, S. & English, L. (Eds.), Researching mathematics classrooms (11–38). London: Praeger. Doyle, W. (1988). Work in mathematics classes: The context of students’ thinking during instruction. Educational Psychologist, 23(2), 167–180.

Dubinsky, E. & McDonald, M. (1999). APOS: A Constructivist Theory of Learning in Undergraduate Mathematics Education Research, online: http://www.google.com/search?q=cache:15KOEsDDMkwJ:www.math.kent.edu/ edd/ GARDNER, Howard (1999). Dimenze myšlení. Teorie rozmanitých inteligencí. Portál, Praha Gates, P. (ed.) (2002). Issues in mathematics teaching. Routledge. Gavora, P. (2001). Diagnostikovanie a hodnotenie žiaka vo vyučování. In Kolláriková, Z., Pupala, B. (Eds.): Předškolní a primární pedagogika. Praha: Portál. Gerrig, R. J. (1991). Text comprehension. In R. J. Sternberg & E. E. Smith (Eds.), The psychology of human thought (244-245). Cambridge: Cambridge University Press. Goffree, F. & Oonk, W. Digitizing real teaching practice for teacher education programmes: The MILE approach. In Lin, F.-L. & Cooney, T.J. (Eds.), Making Sense of Mathematics Teacher Education, 2001, pp. 111–145. The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. Gray, E. & Tall, D. (1994). Duality, ambiguity and flexibility: A proceptual view of simple arithmetic. Journal for Research in Mathematics Education, 25 (2), 116-141. HANUŠOVÁ, Jana (2007). Cesty učitele ke konstruktivistickým přístupům. Karlova Univerzita v Praze, Pedagogická fakulta, disertační práce

148

LITERATURA

Harel, G. & Kien, H. L. (2004). Mathematics teachers´ knowledge base: preliminary results. In Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education 3, 25–32. Hartl, P. & Hartlová, H. (2000.) Psychologický slovník. Praha: Portál. Hejný, M. (2000). Budování geometrických procent. In M. Ausbergerová & J.Novotná (Eds.), Sborník z konference 7. setkání učitelů matematiky všech stupňů a typů škol (11-17). Mariánské Lázně, JČMF. Hejný, M.(2001). Analiza dydaktyczna pojen´c matematycznych – przyklady geometryczne, In J. Tocki (Ed.), Zeszyty naukowe Uniwersytetu rzeszowskiego 1. Seria Matematyczno Przyrodnicza, Matematyka 1 (19-41). Rzesów. Hejný, M. (2002). Izomorfismus jako strukturotvorný nástroj. . In V. Burjan, M. Hejný & Š. Jány Eds.), Zborník príspevkov z letnej školy teórie vyučovania matematiky PYTAGORAS 2002 (16-32). Bratislava: JSMF, EXAM. Hejný, M. (2004a). Mechanizmus poznávacího procesu. In M. Hejný, J.Novotná & N. Stehlíková (Eds.), Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky 1 (23-42). Praha: PedF UK. Hejný, M. (2004b). Záporná čísla. In M. Hejný, J.Novotná & N. Stehlíková (Eds.), Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky 1 (327-342). Praha: PedF UK. Hejný, M. (2004c). Zlomky. In M. Hejný, J.Novotná & N. Stehlíková (Eds.), Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky 1 (343-356). Praha: PedF UK. Hejný, M. (2004d). Chyba jako prvek edukační strategie učitele. In M. Hejný, J. Novotná & N. Stehlíková (Eds.), Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky (63– 80). Praha: PedF UK. Hejný, M. (2006). Prostředí, která otevírají svět čísel. In M. Lávička, B. Bastl & M. Ausbergerová (Eds.), Sborník z konference 10. setkání učitelů matematiky všech typů a stupňů škol (115-120). Plzeň: Vydavatelský servis. Hejný, M. & Jirotková, D. (2004). Svět aritmetiky a svět geometrie. In M. Hejný, J.Novotná & N. Stehlíková (Eds.), Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky 1 (125-135). Praha: PedF UK. HEJNÝ, Milan & JIROTKOVÁ, Darina (2007). 3D geometrie – tělesa. Pět podnětných prostředí pro učitele matematiky (v tisku) HEJNÝ, Milan & JIROTKOVÁ, Darina (1999). Čtverečkovaný papír jako most mezi geometrií a aritmetikou. PedF UK, Praha

LITERATURA

149

HEJNÝ, Milan & JIROTKOVÁ, Darina (2003). Grid – The bridge between Geometry and Arithemtic, In: M. KUBÍNOVÁ, G. LITTLER, (Eds) Empowering Mathematics Teachers for the Improvement of School Mathematics. Karlova Univerzita v Praze – Pedagogická fakulta HEJNÝ, Milan, JIROTKOVÁ, Darina & SLEZÁKOVÁ, Jana (2007). Matematika pro první ročník základních škol, I. a II. díl, Fraus, Plzeň Hejný, M. & Kuřina, F. (2001). Dítě, škola a matematika: konstruktivistické přístupy k vyučování. Praha: Portál. HEJNÝ, Milan & MICHALCOVÁ, Anna (2001). Skúmanie matematického riešitelského postupu. Metodické centrum v Bratislavě, Bratislava Hejný, M. & Stehlíková, N. (1999). Číselné představy dětí. Praha: PedF UK. Helus, Z. (2001). Čtyři teze k tématu „změna školyÿ. Pedagogika, 51 (1), 25–41. Hiebert, J. et al. (Eds.) (2003). Teaching mathematics in seven countries. Results from the TIMSS 1999 Video Study. National Center for Education Statistics. [Also online: http://nces.ed.gov/pubsearch] Hošpesová, A. & Matějů, B. (2006). Creativity and Classroom Discourse. Department of Mathematics Report Series (2006) 14, 69–72. Hošpesová, A. & Tichá, M. (2003a). Vom Ganzen zum Teile und zurück. In H. W. Henn (Ed.), Beiträge zum Mathematikunterricht: Vorträge auf der 37. Bundestagung für Didaktik der Mathematik vom 3. bis 7. März 2003 in Dortmund. Hildesheim, Berlin: Verlag Franzbecker, 309–312. Hošpesová, A. & Tichá, M. (2003b). Zdokonalování kultury vyučování matematice cestou kolektivní reflexe. In J. Coufalová (ed.) Od činnosti k poznatku. Plzeň: ZČU, 99–106. Hošpesová, A. & Tichá, M. (2004a). Learn to teach via collective reflection. www.icme-10.dk. TSG 23. Hošpesová, A. & Tichá, M. (2004b). Self reflection and improvement of mathematics classroom culture. In Mariotti, M. A. (ed.) Proceedings of CERME 3 [CD/ROM]. Universita di Pisa. Hošpesová, A. & Tichá, M. (2006). Developing mathematics teacher’s competence. In M. Bosch (Ed). European research in Mathematics Education. Proceedings of the Fourth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education. Barcelona: FundEmi IQS, CD ROM, 1483–1493.

150

LITERATURA

Hošpesová, A., Macháčková, J. & Tichá, M. (2006). Joint reflection as a way to cooperation between researchers and teachers. Teachers researching with university academics (Research Forum RF01). In: J. Novotná, H. Moraová, M. Krátká, N. Stehlíková (eds.) Proceedings PME 30, vol. 1. Praha: Univerzita Karlova, PedF, 99–103. Hošpesová, A., Tichá, M.& Macháčková, J. (2005). Developing the competences of primary school teacher’s via collective reflection. In D. L. Ball, R. Even (Eds.) The Fifteenth ICMI Study. The Professional Education and Development of Teachers of Mathematics. Rio Claro (Brasil): IGCE. CD ROM, 5 s. JANČAŘÍK, Antonín (2006). Orientation of the cube sides. In: J. PŘÍVRATSKÁ, J. PŘÍHONSKÁ, Z. ARES, Proceedings of ICPM 06, TU v Liberci, s. 122–132 Janík, T. (2004). Význam Shulmanovy teorie pedagogických znalostí pro oborové didaktiky a pro vzdělávání učitelů. Pedagogika, v. 54, no. 3, 243–250. Janík, T. a kol. (2006). Pedagogical content knowledge nebo didaktická znalost obsahu? Brno: Paido. 123 s. Jaworski, B. (1994). Investigating Mathematics Teaching. A constructivist Enquiry. London, Falmer Press. Jaworski, B. (1998). Mathematics teacher research: process, practice and the development of teaching. Journal of Mathematics Teacher Education, 1, 3–31. Jaworski, B. (1999). Teacher education through teachers’ investigation into their own practice. In: K. Krainer, F. Goffree, P. & Berger (Eds.) European Research in Mathematics Education I. III. Osnabrück: Forschungsinstitut für Mathematikdidaktik, 201–222. Jaworski, B. (2003). Research practice into/influencing mathematics teaching and learning development: Towards a theoretical framework based on co-learning partnerships. Educational studies in mathematics, 54 (2–3), 249–282. Jirotková, D. (1997). Creating the concept of infinity in a geometrical context. In Hejný, M. & Novotná, J. (Eds.), Proceedings ERCME 97 (89-94). Prague: Charles University, Faculty of Education. Jirotková, D. (1998). Pojem nekonečno v geometrických představách studentů primární pedagogiky. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, 43, č. 4, 326-334. JIROTKOVÁ, Darina (2001). Zkoumání žákovských geometrických představ. Disertační práce, Karlova univerzita v Praze – Pedagogická fakulta, Praha

LITERATURA

151

Jirotková, D. (2006). Budování konceptuálních představ čísla u dítěte ve věku 5–8 let. In M. Lávička, B. Bastl & M. Ausbergerová (Eds.), Sborník z konference 10. setkání učitelů matematiky všech typů a stupňů škol (143–150). Plzeň: Vydavatelský servis. Kalhous, Z., Obst, O. a kol. (2002). Školní didaktika. Praha: Portál. Komenský, J. A. (1946). Didaktika analytická. (Část Lingvarum methodus novissima). Praha: Samcovo knihkupectví. Kopáčková, A.(2002). Nejen žákovské představy o funkcích. Pokroky matematiky, fyziky astronomie, 47, č. 2, 149–161. Krainer, K. (1996). Some considerations on problems and perspectives of in service mathematics teacher education. In: C. Alsina et al. (Eds.) 8th International congress on Mathematics Education: Selected Lectures. Seville: SAEM Thales, 303–321. Krainer, K., Goffree, F., Berger, P. (Eds.) (1999). European Research in Mathematics Education I. III. Osnabrück: Forschungsinstitut für Mathematikdidaktik. Krainer, K. (2005). What is “Good” Mathematics Teaching, and How Can Research Inform Practice and Policy? Editorial. Journal of Mathematics Teacher Education, 8, 75–81. Kratochvílová, J. (1997). Thinking Processes Involved in Solving Combinatorial Problems. In Hejný, M. & Novotná, J. (Eds.), Proceedings ERCME 97 (63-66). Prague: Charles University, Faculty of Education. Kratochvílová, J. (1999). The structure of triads and pilot experiments. Psychology of mathematical education journal 12, P. Ernest (Ed.), 12, online: http://www.ex.ac.uk/~PErnest/pome12/. Kratochvílová, J. (2004). Jak Klára měnila své pedagogické přesvědčení. In M. Hejný, J. Novotná, N. Stechlíková (Eds.) Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky. Praha: Univerzita Karlova v Praze – Pedagogická fakulta, 299–310. Kubínová, M. (2002.) Projekty ve vyučování matematice, cesta k tvořivosti a samostatnosti. Praha: PedF UK. KULIČ, Václav (1971). Chyba a učení. SPN, Praha Kuřina, F. (1995). Konstruktive Zutritte zum Mathematikunterricht. In: K. P. Müller (Ed.) Beiträge zum Mathematikunterricht: Vorträge auf der 30. Bundestagung für Didaktik der Mathematik vom 4. bis 8. März 1996 in Regensburg. Hildesheim, Berlin: Verlag Franzbecker, 265–268.

152

LITERATURA

kurb Kuřina, F. (2002a). O matematice a jejím vyučování. Obzory matematiky, fyziky a informatiky, 31, č. 1, 1–8. Kuřina, F. (2002b). Realismus konstruktivních přístupů k vyučování matematice. Disputationes Scientificae Universitatis Catholicae in Ružomberok, roč. 2, č. 1, s. 40–47 Lampert, M. (2001). Teaching problems and the problems of teaching. London: Yale University Press. Leikin, R. & Zazkis, R. (2007). A view on the teachers’ opportunities to learn mathematics through teaching. In Woo, J. H., LEIŠNER, Pavel (2003). Rozvíjení prostorové představivosti žáků středních škol. Univerzita Karlova v Praze, Matematicko-fyzikální fakulta, disertační práce Lew, H. C., Park, K. S. & Seo, D. Y. (Eds.). Proceedings of the 31st Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 1. 2007, Seoul: PME, 121–131. Lin, F. L. & Cooney, T. J. (2001). Making Sense of Mathematics Teacher Education. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Mareš, J. & Křivohlavý, J. (1995). Komunikace ve škole. Brno: Masarykova univerzita. Margolinas, C., Coulange, L. & Bessot, A. What can the teacher learn in the classroom? Educational Studies in Mathematics (2005) 59: 205–234. MARCHINI, Carlo & VIGHI, Paola (2007) Geometrical Shapes as a Revealing Tools – a Phenomenological/quantitative Analysis af Protocols, In: PITTA, D, Proceedings of CERME 2007, Cyprus, v tisku Mason, J. (1998). Enabling Teachers to be Real Teacher: Necessary Levels of Awareness and Structure of Attention. Journal of Mathematics Teacher Education, 1, 243–267. Maxwell, J.A. (1998). Designing a qualitative study. In L. Bickman & D. J. Rog (Eds.) Handbook of Applied Social Research Methods. London: SAGE Publications, 69–100. Mazáčová, N. Činnostní příprava studentů učitelství. Učitelské listy 2005/2006, č. 8, s. 4–5.

LITERATURA

153

Meissner, H. (2002). Procepts in Geometry. In J. Novotná (Ed.), Proceedings CERME 2 (58–69). Prague: Charles University, Faculty of Education. Moeller, B. a kol. Designing digital video case resources for mathematics teacher education. March 2005, online: http://www2.edc.org/cct/ Mok, I. A. C. & Kaur, B. (2006). ’Learning Task’ Lesson Events. D. J. Clarke, J. Emanuelsson, E. Jablonka & I. A. C. Mok (Eds.), Making connections: Comparing mathematics classrooms around the world (147–163). Rotterdam: Sense Publishers. Mostowski, A. (1972): Matematyka a logika. Wiadomo´sci Matematycyne, 15, 79–89. Nezvalová, D. (2003). Akční výzkum ve škole. Pedagogika, 53 (3), 300–308. Učebnice Odvárko pro 8. třídu. O’Keefe, C., Hua Xu, L. & Clarke, D. (2006). Kikan-Shido: Between Desks Instruction. D. J. Clarke, J. Emanuelsson, E. Jablonka & I. A. C. Mok (Eds.), Making connections: Comparing mathematics classrooms around the world (73– 105). Rotterdam: Sense Publishers. Pavelková, I. Polya, G. Mathematics Promotes the Mind. In M. Zweng et al. (Eds.), Proceedings of the 4th International Congress on Mathematical Education. Birkhüser, Boston, 1983. Průcha, J., Walterová, E., Mareš, J. (2003). Pedagogický slovník. Portál, Praha Repáš, V., Černek, P., Pytlová, Z. & Vojtela, I. (1997). Učebnica matematiky pre 5. ročník ZŠ. Bratislava: Orbis Pictus Istropolitana. Richards, 1991. ??? Rittenhouse, P. S. (1998). The teacher’s role in mathematical conversation: Stepping in and stepping out. In M. Lampert & M.L. Blunk (Eds.), Talking mathematics in school (163–189). Cambridge: Cambridge University Press. Seeger, F., Voigt, J., Waschescio, U. (eds.) (1998.) The culture of the mathematics classroom. Cambridge: Cambridge University Press. Semadeni, Z. (2002). Trojaka natura matematyki: idee glebokie, formy powierzchniowe, modele formalne. Dydaktyka matematyki , 24, 41-92.

154

LITERATURA

Scherer, P. & Steinbring, H. (2004). The professionalisation of mathematics teachers’ knowledge – teachers commonly reflect feedbacks to their own instruction activity. In Mariotti, M.A. (ed.) Proceedings of CERME 3 [CD/ROM]. Universita di Pisa. Scherer, P., Söbeke, E. & Steinbring, H. (2004). Praxisleitfaden zur kooperativen Reflexion des eigenen Mathematikunterrichts. Manuscript: Universitäten Bielefeld & Dortmund. Schön, D. A. (1983). The reflective practitioner. London: Teple Smith. Shulman, L. S. (1986). Those who understand: knowledge growth in teaching, Educational Researcher, 15, 4–14. Shulman, L. S. (1987). Knowledge and teaching: foundations of the new reform, Harvard Educational Review, 57 (1), 1–22. Silver, E., Mills, V., Castro, A., Ghousseini, H. & Stylianides, G. (2005). Complementary Approaches to Mathematics Teacher Professional Development: Integrating Case analysis and Lesson Study in the BI:FOCAL Project. In ICMI Study 15: The Professional Education and Development of Teachers of Mathematics http://stwww.weizmann.ac.il/G-math/ICMI/log_in.html. Slavík, J. (2004). Profesionální reflexe a interpretace výuky jako prostředník mezi teorií a praxí. Konference Oborové didaktiky v pregarduálním učitelském studiu. Brno: PdF MUNI. www.ped.muni.cz. Slavík, J. & Janík, T. (2005). Významová struktura faktu v oborových didaktikách. Pedagogika, 55 (4), 336–353. Slavík, J. & Siňor, S. (1993). Kompetence učitele v reflektování výuky. Pedagogika, 43 (2), 155–164. Slezáková, J. (2006) Budování procesuálních představ čísla u dítěte ve věku 5–8 let. In M. Lávička, B. Bastl & M. Ausbergerová (Eds.), Sborník z konference 10. setkání učitelů matematiky všech typů a stupňů škol (253–258). Plzeň: Vydavatelský servis. Spilková, V. (2001). Professional Development of Teachers and Student Teacher Through Reflection of Practice. The New Hampshire Journal of Education, 4, 9–14. Stehlíková, N. (1999) součtové trojúhelníky???

LITERATURA

155

Stehlíková, N. (2004a). Konstruktivistické přístupy k vyučování matematice. In Hejný, M., Novotná, J., Stehlíková, N. (Eds.): Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky. Praha: PedF UK. s. 11–22. Stehlíková, N. (2004b). Structural Understanding in Advanced Mathematical Thinking. Praha: PedF UK. Steinberg, R., Bassan-Cincinatus, R., Klein, R., Sheffet, M. (2003). Using children’s thinking to improve teaching of fractions: Can 3/12 be the same as ?? In J. Novotná (Ed.) Proceedings of SEMT-03. Praha: Charles University, Faculty of Education, 144–148. Steinbring, H. (2002). Zur Professionalisierung des Mathematiklehrerwissens – Lehrerinnen reflektieren gemeinsam Feedbacks zur eigenen Unterrichtstätigkeit. In W. Peschek (Ed.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2002. Vorträge auf der 36. Tagung für Didaktik der Mathematik vom 25. Februar bis 1. März 2002 in Klagenfurt. Hildesheim, Berlin: Verlag Franzbecker, 479–482. Stigler, J. W. & Hiebert, J. (1999). The Teaching Gap: Best Ideas from the World’s Teachers for Improving Education in the Classroom. USA: Free Press. Strauss, A. & Corbinová, J. (1999). Základy kvalitativního výzkumu. Brno: Sdružení Podané ruce. Boskovice: Nakladatelství Albert. Swoboda, E. (2006). Przestrze´ n, regularno´sci geometryczne i ksztalty w uczeniu sie i nauczaniu dzieci. Rzeszów: Wydawnictwo Uczelniane Uniwersytetu Rzeszowskiego. Švec, V. (1996). Sebereflexe studentů v pregraduální didaktické přípravě. Pedagogika, 46 (3), 266–276. Švec, V. (2005). Pedagogické znalosti učitele. Teorie a praxe. Praha: ASPI. Tichá, M. (2003). Following the path discovering fractions. In J. Novotná (Ed.), International Symposium Elementary Math Teaching. Proceedings. Prague: Charles University, Faculty of Education, 17–26. Tichá, M. & Hošpesová, A. (2004). Učíme se z praxe. In M. Uhlířová (ed.) Cesty (k) poznávání v matematice primární školy. Olomouc: UP, Pedagogická fakulta, 23–33. Tichá, M. & Hošpesová, A. (2005a). Collective reflection – a way of improving teachers’ competence. In CIEAEM 57 Proceedings – Oral presentations in Working Groups. Palermo: GRIM, 93– 97.

156

LITERATURA

Tichá, M. & Hošpesová, A. (2005b). Schüler entdecken – und was der Lehrer dazu? In G. Graumann (Ed.) Beiträge zum Mathematikunterricht 2005. Vorträge auf der 39. Tagung für Didaktik der Mathematik vom 28. 2. bis 4. 3. 2005 in Bielefeld. Berlin: Verlag Franzbecker, 577–580. Tichá, M. & Hošpesová, A. Kolektivní reflexe, cesta ke zdokonalování kompetencí učitele. In Zborník príspevkov z letnej školy teórie vyučovania matematiky PYTAGORAS 2005. Bratislava: JSMF, EXAM, 2005. Tichá, M., Hošpesová, A., Macháčková, J. (2005). Mathematics classroom and collective reflection. In: J. Novotná (Ed.) International Symposium Elementary Maths Teaching. Proceedings. Praha: Charles University, Faculty of Education, 307–315. Tichá, M., Hošpesová, A., Macháčková, J. (2006). Joint reflection in teacher training (workshop). In J. Coufalová (Ed.) Proceedings CIEAEM 58. Changes in Society: A challenge for Mathematics Education. Plzeň: University of West Bohemia, Faculty of Education, 293–298. TIMSS 1999 Video Study, Mathematics Public Release Lessons. 4 CD Set (Australia, United States, Hong Kong, Japan, Czech Republic, Netherlands, Switzerland). Lesson Lab. Towers, J. & Davis, B. (2002). Structuring occasions. Educational Studies in Mathematics, 49: 313–340. Tzur, R. (2001). Becoming a mathematics teacher-educator: Conceptualizing the terrain through self-reflective analysis. Journal of Mathematics Teacher Education, 4, 259–283. VOPĚNKA, Petr (1989). Rozpravy s geometrií. Panorama, Praha Vopěnka, P. (2003). Úhelný kámen evropské vzdělanosti a moci. Souborné vydání Rozprav s geometrií. Praha: Práh. VYGOTSKIJ, L.S. (1971). Myšlení a řeč. Praha, SPN Wood, T. (1998). Alternative Patterns of Communication in Mathematics Classes: Funnelling or Focusing? In Steinbring, Hl, Bartolini Bussi, M. G., Sierpinska, A. (eds.), Language and Communication in the Mathematical Classroom. NCTM, Reston, 167–178. Young, R. (1992). Critical Theory and Classroom Talk. Clevedon: Longdun Press Ltd.

LITERATURA

157

Zhouf, J. a kol. (2006.) Matematické příběhy z korespondenčních seminářů. Praha: Prometheus. Sady učebnic Matematika pro 1., 2, . . . , 5. ročník základní školy nakladatelství: [1] MUAV, Praha, [2] Alter, [3] Prodos, [4] Prometheus [5] Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání, http://www.vuppraha.cz

Budování schématu síť krychle

Recommend Documents