Budapesti M˝ uszaki ´ es Gazdas´ agtudom´ anyi Egyetem Villamosm´ern¨oki ´es Informatikai Kar
Wavefield szint´ ezis Diplomaterv
K´esz´ıtette Firtha Gergely
Konzulens Guly´as Kriszti´an Fiala P´eter
Hirad´astechnikai Tansz´ek
2011. december 8.
´ NYILATKOZAT HALLGATOI Alul´ırott Firtha Gergely, szigorl´ o hallgat´o kijelentem, hogy ezt a diplomatervet meg nem engedett seg´ıts´eg n´elk¨ ul, saj´ at magam k´esz´ıtettem, csak a megadott forr´asokat (szakirodalom, eszk¨oz¨ok stb.) haszn´ altam fel. Minden olyan r´eszt, melyet sz´o szerint, vagy azonos ´ertelemben, de ´atfogalmazva m´ as forr´ asb´ ol ´ atvettem, egy´ertelm˝ uen, a forr´as megad´as´aval megjel¨oltem. Hozz´ aj´ arulok, hogy a jelen munk´ am alapadatait (szerz˝o(k), c´ım, angol ´es magyar nyelv˝ u tartalmi kivonat, k´esz´ıt´es ´eve, konzulens(ek) neve) a BME VIK nyilv´anosan hozz´af´erhet˝o elektronikus form´ aban, a munka teljes sz¨ oveg´et pedig az egyetem bels˝o h´al´ozat´an kereszt¨ ul (vagy autentik´alt felhaszn´ al´ ok sz´ am´ ara) k¨ ozz´etegye. Kijelentem, hogy a beny´ ujtott munka ´es annak elektronikus verzi´ oja megegyezik. D´ek´ ani enged´ellyel titkos´ıtott diplomatervek eset´en a dolgozat sz¨ovege csak 3 ´ev eltelte ut´ an v´ alik hozz´ af´erhet˝ ov´e.
Budapest, 2011. december 8.
Firtha Gergely hallgat´o
Kivonat A hangsz´ or´ ok sz´ am´ anak folyamatos n¨oveked´es´evel a leg´ ujabb Surround hangrendszerekkel egyre ´eleth˝ ubb t´erhangz´ as ´erhet˝ o el. Mindegyikre igaz azonban, hogy a t´er´erzetet puszt´an a csatorn´ ak k¨ oz¨ otti intenzit´ as- ´es f´ azisk¨ ul¨ onbs´eg alkalmaz´as´aval ´erik el. Alapvet˝oen elt´er ezekt˝ol a m´odszerekt˝ ol a jelenleg is folyamatos kutat´ as-fejleszt´es alatt ´all´o hangt´erszint´ezis nev˝ u technika, amely az eredeti hangt´er fizikai reprodukci´ oj´ an alapul sok hangsz´or´o seg´ıts´eg´evel. A Huygens-elv alapj´an egy falon elhelyezett folytonos hangforr´aseloszl´as seg´ıts´eg´evel tetsz˝oleges hull´amt´er ´all´ıthat´o el˝o a fal el˝ ott. Ez a hangt´er a teljes fal helyett egy vonal ment´en elhelyezett hangsz´or´osokas´aggal egy s´ıkban k¨ ozel´ıthet˝ o: ez a hangt´erszint´ezis alap¨otlete. Dolgozatomban ezt az u ´j technik´ at mutatom be: A dolgozat els˝o fel´eben a hangt´erszint´ezis elm´eleti alapjait ismertetem. Megmutatom, milyen matematikai appar´atusok sz¨ uks´egesek az egyes hangsz´ or´ ok vez´erl˝ ojel´enek sz´ am´ıt´ as´ ahoz a k´ıv´ant hull´amt´er el˝o´all´ıt´as´ahoz. Bemutatom a technika korl´ atait is, amelyek a szint´ezis nem ide´alis volt´ab´ol sz´armaznak. Ezek k¨oz¨ ul a szint´ezis sor´an fell´ep˝ o diffrakci´ os hull´ amok megsz¨ untet´es´ere elj´ar´ast dolgoztam ki, amely elj´ar´ast ´es eredm´enyeit a dolgozatban bemutatok. A hangt´erszint´ezisre igaz egyenletek klasszikus levezet´ese a v´egtelen f´elt´erbe val´o sug´arz´ast veszik kiindul´ asi felt´etel¨ ul. Ez term´eszetesen csak egy teljesen elnyel˝o fal´ u szob´aban lenne igaz. A gyakorlatban z´ art terekben a hull´ amok a falakr´ol visszaver˝odnek, az eredeti hull´amfronttal interfer´ alnak, amely a szintetiz´ alt hull´ amfrontot jelent˝osen torz´ıtja, a t´erhat´ast rombolja. Dolgozatomban az ´ altalam kidolgozott m´ odszert ismertetem ennek elker¨ ul´es´ere: bemutatom, hogyan lehet a visszaver˝ od´eseket el˝ ore sz´ am´ıtani, majd a hangt´erszint´ezis alkalmaz´asa seg´ıts´eg´evel ezeket a visszaver˝od˝o hull´ amokat kioltani, ´ıgy a reflexi´ okat kompenz´alni. A kidolgozott m´ odszerek vizsg´ alat´ ahoz ¨osszetett szimul´aci´os k¨ornyezet l´etrehoz´as´ara volt sz¨ uks´egem. A z´ art t´erben ´ alland´ osult ´ allapot szimul´aci´oj´ahoz egy spektr´alis v´egeselem m´odszer alap´ u f¨ uggv´enygy˝ ujtem´enyt alkalmaztam. A hull´amterjed´es id˝otartom´anybeli szimul´aci´oj´ahoz digit´alis hull´ amvezet˝ o h´ al´ ot programoztam fel MATLAB k¨ornyezetben. Ennek m˝ uk¨od´esi elv´et a dolgozatban r´eszletesebben ismertetem. V´eg¨ ul az elm´eleti fejleszt´esek ut´ an a c´elom egy gyakorlatban is haszn´alhat´o hangt´erszint´ezis rendszer fel´ep´ıt´ese volt. A dolgozat utols´o fejezet´eben a rendszer megval´os´ıt´as´ahoz sz¨ uks´eges feladatokat ´es azok megold´ as´ at ismertetem, valamint bemutatom a rendszer a dolgozat ´ır´as´aig elk´esz¨ ult r´eszeit.
iii
iv
Abstract With the increasing number of loudspeakers in the latest surround sound-systems the more realistic sound reproduction is possible. For all of them it’s true, that the correct localization of the virtual sources is ensured by the intensity and phase difference between the reproduction channels. Wave field synthesis is a new method of sound reproduction, that fundamentally differs from the traditional surround systems. This method attempts to physically re-create the original sound field with numerous loudspeakers, based on the Huygens-principle. According to the Huygens–Fresnelprinciple with a continuous distribution of sound sources on a wall, an arbitrary wave field can be produced. This wave field can be approximated in a plane with a line distribution of sound sources, that lie in the intersection of the original wall and the investigated plane. This is the basic idea of wave field synthesis. In this thesis I present this new technique. In the first part of the thesis I present the theory of wave field synthesis, including the mathematical apparatus, that is needed to deduce the driving functions of the sources to reproduce the required wave field. I also show the limitations of the technique, that originate from the non-ideality of synthesis. One of these limitations are diffraction waves. To supress these waves I developed a method, that I present in this thesis, including its results. The initial condition for equations ruling the wave field synthesis is radiation to infinite halfspace. This is only true for a perfectly anechoic room. In practice in enclosures the waves reflect from the boundaries, interfering with the original waves. This naturally distortes the wave field and destructs localization. In the second half of the thesis I present a method I developed for avoiding this effect: I show, how to calculate, and with the application of wave field synthesis, how to cancel the reflected wave fields. To investigate the wave field synthesis and the processes I developed, I needed a complex simulation environment. To examine the permanent state in a closed room I employed a simulation software, based on spectral finite element method. To simulate the time varying wave field I created a digital waveguide mesh in MATLAB environment. In my thesis I give a detailed examination of its theoretical basis. Finally, after the theoretical developments, my aim was to build a wave field synthesis system. In the last chapter of this thesis I present the tasks and their solutions to complete such a system, and I also show the completed parts of the system.
v
vi
Tartalomjegyz´ ek 1. Bevezet´ es
1
2. A hangt´ erszint´ ezis elm´ eleti alapjai 2.1. Bevezet´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. A hangt´er le´ır´ asa . . . . . . . . . . . . . . 2.3. A Kirchhoff integr´ alegyenlet . . . . . . . . 2.3.1. A Green-t´etel ´es Green-f¨ uggv´eny . 2.3.2. A Rayleigh integr´ alegyenletek . . . 2.4. A vez´erl˝ ooper´ atorok sz´ am´ıt´ asa . . . . . . 2.4.1. A k´etdimenzi´ os hangt´erszint´ezis . . 2.4.2. A h´ aromdimenzi´ os hangt´erszint´ezis 2.4.3. A 2 12 -dimenzi´ os hangt´erszint´ezis . 2.5. A f´ okusz´ al´ o oper´ ator . . . . . . . . . . . . ¨ 2.6. Osszegz´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
3 3 3 4 5 9 11 11 12 14 20 22
3. A szint´ ezis j´ arul´ ekos hat´ asai 3.1. Bevezet´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. A v´eges apert´ uram´eret hat´ asa . . . . . . . . . . . 3.3. A diszkr´et forr´ asok hat´ asa . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. A s´ıkhull´ am dekompoz´ıci´o . . . . . . . . . 3.3.2. A t´erbeli mintav´etelez´es . . . . . . . . . . 3.3.3. T´erbeli alul´ atereszt˝ o sz˝ ur´es megval´os´ıt´asa ¨ 3.4. Osszegz´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
23 23 23 24 24 27 29 34
4. Szimul´ aci´ os k¨ ornyezet l´ etrehoz´ asa a hangt´ erszint´ ezis vizsg´ alat´ ara 4.1. Bevezet´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 4.2. Alland´ osult ´ allapot szimul´ aci´ oja ny´ılt t´erben . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Szimul´ aci´ o´ alland´ osult ´ allapotban z´art t´erben . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. A spektr´ alis v´egeselem m´odszer . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Z´ art terem m´ odusai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Tranziensek szimul´ aci´ oja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Az egydimenzi´ os digit´ alis hull´amvezet˝o . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. A k´etdimenzi´ os hull´ amvezet˝o h´al´o . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3. A h´ aromdimenzi´ os hull´amvezet˝o h´al´o . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4. K¨ ozeghat´ arok modellez´ese a hull´amvezet˝o h´al´oban . . . . . . 4.4.5. A hull´ amvezet˝ o h´ al´ o korl´atjai ´es m´odszerek ezek ´atl´ep´es´ere . ¨ 4.5. Osszegz´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
35 35 35 36 36 38 39 40 40 43 43 44 46
5. M´ odszer a diffrakci´ os hat´ asok megszu es´ ere ¨ ntet´ 5.1. A probl´ema megold´ asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. A kidolgozott megold´ as eredm´enyei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47 48 49
vii
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
6. Hangt´ erszint´ ezis z´ art t´ erben 6.1. A zeng˝ o terem le´ır´ asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. A visszaver˝ od´esek le´ır´ asa . . . . . . . . . . . . 6.1.2. A t¨ uk¨ orforr´ asok m´ odszere . . . . . . . . . . . . 6.2. Reflexi´ okompenz´ aci´ o hangt´erszint´ezissel . . . . . . . . 6.2.1. Bels˝ o forr´ as visszhangkiolt´asa . . . . . . . . . . 6.2.2. Hangt´erszint´ezis visszhangkiolt´assal . . . . . . 6.3. A reflexi´ okompenz´ aci´ o hat´ as´ anak vizsg´alata . . . . . . 6.3.1. Bels˝ o forr´ as reflexi´ okiolt´as´anak vizsg´alata . . . 6.3.2. Hangt´erszint´ezis szimul´aci´oja reflexi´okiolt´assal
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
53 53 54 55 57 57 58 61 61 65
7. Hangt´ erszint´ ezis rendszer megval´ os´ıt´ asa 7.1. Bevezet´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. A m´ asodlagos forr´ asok vez´erl˝ ojel´enek el˝o´all´ıt´asa . . . . 7.2.1. A vez´erl˝ ojelek el˝ o´ all´ıt´ asa FPGA-val . . . . . . . 7.2.2. A bemen˝ o jel ´ atvitele . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3. A kimen˝ o jel ¨ ossze´ all´ıt´asa PWM-mel . . . . . . 7.2.4. A kimen˝ o jelek D/A konverzi´oja . . . . . . . . 7.3. A vez´erl˝ ojelek teljes´ıtm´eny er˝ os´ıt´ese . . . . . . . . . . 7.4. A m´ asodlagos forr´ asok realiz´ aci´oja . . . . . . . . . . . 7.4.1. A m´ asodlagos forr´ asv´ alaszt´as´anak szempontjai 7.4.2. A hangl´ ada tervez´ese . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.3. A m´ asodlagos forr´ aseloszl´as vizsg´alata . . . . . ¨ 7.5. Osszegz´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
69 69 70 70 73 74 75 77 78 78 79 81 82
¨ 8. Osszefoglal´ as
83
Fu ek ¨ ggel´ F.1. A Green-t´etel levezet´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F.2. Kapcsol´ asi rajzok ´es paneltervek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F.2.1. Az alkalmazott A/D panel kapcsol´asi rajza ´es panelterve . . . . . F.2.2. Az alkalmazott D/A-csatol´o panel kapcsol´asi rajza ´es panelterve F.2.3. A teljes´ıtm´enyer˝ os´ıt˝ ok kapcsol´asi rajza ´es panelterve . . . . . . .
viii
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
89 89 90 90 91 92
´ Abrajegyz´ ek 1.1. IOSONO rendszerrel felszerelt kever˝oszoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8.
2
A Huygens-elv ´es a hangt´er szint´ezis alap¨otlet´enek szeml´eltet´ese . . . . . . . . . . A belt´eri lesug´ arz´ asi probl´ema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az eredeti hangt´er le´ır´ asa fel¨ uleti mono- ´es dip´olusokkal a Kirchhoff-integr´al alapj´an Elrendez´es a Kirchhoff-integr´ al egyszer˝ us´ıt´es´ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Rayleigh I. ´es II. integr´ al szeml´eltet´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A vizsg´ alt elrendez´es a vez´erl˝ ooper´ator sz´am´ıt´as´ahoz . . . . . . . . . . . . . . . . . A ki´ert´ekelend˝ o vonalintegr´ al szeml´eltet´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egy els˝ odleges forr´ as hangter´enek szint´ezise vonalment´en elhelyezked˝o els˝odleges monop´ olusokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Egy els˝ odleges forr´ as hangter´enek szint´ezise vonalment´en elhelyezked˝o els˝odleges dip´ olusokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10. Monop´ olus els˝ odleges forr´ as eredeti ´es szintetiz´alt nyom´astere (a) ´es a hangterek keresztmetszete x = 0,5 m vonal ment´en (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11. Monop´ olus forr´ as hangtere k¨oralak´ u m´asodlagos forr´aseloszl´as seg´ıts´eg´evel . . . . . 2.12. Elrendez´es a f´ okusz´ al´ o oper´ ator sz´armaztat´as´ahoz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13. A f´ okusz´ al´ o oper´ atorral vez´erelt m´asodlagos forr´aseloszl´as hangtere . . . . . . . . .
5 6 8 9 10 13 15
3.1. A besug´ arozhat´ o ter¨ ulet pontforr´as ´es s´ıkhull´am eset´en . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Diffrakci´ os jelens´eg s´ıkhull´ am szintetiz´al´asa sor´an ´es ennek cs¨okkent´ese t´erbeli ablakf¨ uggv´ennyel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Monokromatikus s´ıkhull´ am reprezent´aci´oja az xz ´es xt s´ıkon . . . . . . . . . . . . . 3.4. S´ık- ´es g¨ ombhull´ am reprezent´aci´oja az xz, xt ´es kx k s´ıkon . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Az id˝ otartom´ anybeli mintav´etel ´es vissza´all´ıt´as folyamat´abr´aja . . . . . . . . . . . 3.6. A t´erbeli mintav´etelez´es hat´ asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. S´ıkhull´ am szint´ezise diszkr´et forr´aselosl´assal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. K¨ oralak´ u membr´ an er˝ oeloszl´ asf¨ uggv´enye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. K¨ oralak´ u membr´ an ir´ any´ıtotts´agi f¨ ugg´evnye, azaz kx tartom´anybeli ´atvitele ´es ir´anykarakterisztik´ aja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10. Rombusz membr´ an ir´ any´ıtotts´agi f¨ uggv´enye, azaz kx tartom´anybeli ´atvitele ´es ir´anykarakterisztik´ aja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11. Membr´ an ir´ anykarakterisztik´ aj´anak m´odos´ıt´asa a szomsz´edos membr´anok seg´ıts´eg´evel 3.12. A t´erbeli konvol´ uci´ o hat´ asa az ir´anykarakterisztik´ara . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.1. Az akusztikai t´ersz´ am´ıt´ asi feladat a spektr´alis v´egeselem m´odszerhez [30] . . . . 4.2. A (a) (0, 1, 1) ´es az (b) (1, 2, 1) m´odusalakok k´epe Lx = 5 m, Ly = 4 m, Lz = 3 dimenzi´ oj´ u t´eglalap alap´ u szob´aban [30]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. H´ ur fizikai modelleje digit´ alis hull´amvezet˝ovel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. N´egyzetr´ acsos hull´ amvezet˝ o h´al´o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Visszaver˝ od´esek modellez´ese dummy-csom´opontokkal . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Diszperzi´ o ´es ´ atlapol´ od´ as hat´ asa a hull´amvezet˝o h´al´oban . . . . . . . . . . . . . 4.7. A hull´ am terjed´esi sebess´ege a frekvencia f¨ uggv´eny´eben [12] . . . . . . . . . . . ix
. . m . . . . . . . . . . . .
16 17 18 19 20 21
24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 36 38 40 41 43 44 45
4.8. A digit´ alis hull´ amvezet˝ o h´ al´ o m˝ uk¨od´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
5.1. A k´et falr´ ol besug´ arozhat´ o ter¨ ulet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Elrendez´es az elhagyott m´ asodlagos forr´asok ter´enek szomsz´ed falr´ol t¨ort´en˝o szintetiz´ al´ ahoz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Elrendez´es a vez´erl˝ ooper´ atorok m´odos´ıt´as´anak hat´as´anak vizsg´alat´ahoz . . . . . . . 5.4. A klasszikus ´es a m´ odos´ıtott vez´erl˝ooper´atorok abszol´ ut´ert´ek´enek ¨osszehasonl´ıt´asa 5.5. Az eredeti hangt´er ´es a szintetiz´alt hangt´er k¨ ul¨onbs´ege a klasszikus oper´atorok (a) ´es a m´ odos´ıtott oper´ atorok (b) alkalmaz´as´aval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. A szint´ezis hib´ aj´ anak cs´ ucs´ert´eke a klasszikus oper´atorok (a) ´es a m´odos´ıtott oper´ atorok (b) alkalmaz´ asa mellett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. A szint´ezis amplit´ ud´ o hib´ aja a korrekci´os tag figyelembev´etele n´elk¨ ul a klasszikus oper´ atorok (a) ´es a m´ odos´ıtott oper´atorok (b) alkalmaz´asa eset´en . . . . . . . . . .
47
6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7.
48 50 50 52 52 52
Visszaver˝ od´esek z´ art t´erben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zeng˝ o terem impulzusv´ alasza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Visszaver˝ od´es k¨ ozeghat´ aron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Visszaver˝ od´esek geometriai szerkeszt´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T¨ uk¨ orforr´ asok szerkeszt´ese n´egysz¨ogalap´ u szob´aban . . . . . . . . . . . . . . . . . . T¨ uk¨ orforr´ asok ter´enek kiolt´ asa hangt´erszint´ezissel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M´ asodlagos forr´ asok – mint t¨ uk¨orforr´asok – hangter´enek szintetiz´al´asa a t¨obbi m´asodlagos forr´ as seg´ıts´eg´evel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8. Zeng˝ o terem ´ alland´ osult ´ allapotban, α = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9. A reflexi´ okompenz´ aci´ o eredm´enye a 6.8 ´abr´an l´athat´o szob´ara, a n´egy hat´arol´ofalon elhelyezett m´ asodlagos forr´ aseloszl´assal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10. Falon elhelyezett monop´ olus nyom´astere zeng˝o teremben reflexi´okomp´anz´aci´o n´elk¨ ul (a) ´es reflexi´ okompenz´ aci´ oval (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11. 3 × 3 m-es szoba nyom´ asv´ alasza impulzus gerjeszt´esre (a) 3 ms (b) 5 ms (c) 9 ms id˝ opillanatban bal oldalon zeng˝o teremben, jobb oldalon akt´ıv visszhangkiolt´assal . 6.12. Zeng˝ o terem x = 1,1 m z = 2,2 m pontban m´ert impulzusv´alasza visszhangkiolt´assal ´es visszhangkiolt´ as n´elk¨ ul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.13. Elrendez´es a reflexi´ okompenz´ aci´ot alkalmaz´o hangt´erszint´ezis vizsg´alat´ahoz . . . . 6.14. Monop´ olus ter´enek szint´ezise zeng˝o teremben 1 kHz-en . . . . . . . . . . . . . . . . 6.15. Monop´ olus ter´enek szint´ezise zeng˝o teremben reflexi´o kompenz´aci´oval 1 kHz-en . . 6.16. Monop´ olus ter´enek szint´ezise egy falr´ol visszhangkiolt´as n´elk¨ ul (bal oldal) ´es visszhangkiolt´ assal (jobb oldal), (a) 300 Hz-en ´es (b) 700 Hz-en . . . . . . . . . . . . . . 6.17. K¨ ozel s´ıkhull´ am szint´ezise visszhangkiolt´as n´elk¨ ul ´es visszhangkiolt´assal . . . . . .
53 54 55 55 56 57
7.1. A megval´ os´ıtand´ o hangt´erszint´ezis rendszer magas szint˝ u rendszerterve . . . . . . . 7.2. A megval´ os´ıtand´ o hangt´erszint´ezis rendszer FPGA-val . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Az alkalmazott Digilab 2E FPGA fejleszt˝o k´artya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. A megval´ os´ıtott A/D konverter panel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Szinusz jel PWM modul´ aci´ oja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6. A csatol´ opanel egy csatorn´ aja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7. A megval´ os´ıtott D/A konverter panel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8. A k´etcsatorn´ as TDA2205 alap´ u er˝os´ıt˝o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9. A TDA2005 alap´ u kapcsol´ as a´tvitel´enek amplit´ ud´o- ´es f´aziskarakterisztik´aja . . . . 7.10. Az 5-csatorn´ as dinamikus hangsz´or´ohalmazok egy elem´enek terve . . . . . . . . . . 7.11. A m´ asodlagos forr´ aseloszl´ as egy megval´os´ıtott eleme . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.12. A hangdoboboz szimul´ alt ´es m´ert ´atviteli f¨ uggv´enyek . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.13. A hangdoboz (a) ir´ anykarakterisztik´aja ´es (b) kx ´atvitele . . . . . . . . . . . . . . . 7.14. A tervezett m´ asodlagos forr´ aseloszl´as seg´ıts´eg´evel szintetiz´alt monop´olus spektruma
69 71 72 73 74 76 76 77 78 80 81 81 82 82
F.1. A tervezett AD panel kapcsol´asi rajza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
x
59 61 62 63 64 65 65 66 66 67 68
F.2. A megval´ os´ıtott ADC0804 alap´ u A/D ´aramk¨or nyomtatott ´aramk¨ori terve kicsiny´ıtve (M = 0,85 : 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F.3. A tervezett DA ´ atalak´ıt´ o panel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F.4. A megval´ os´ıtott vonalmeghajt´o ´es PWM demodul´ator panel nyomtatott ´aramk¨ori terve kicsiny´ıtve (M = 0,85 : 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F.5. A TDA2005 m˝ uveleti er˝ os´ıt˝ op´ar h´ıdkapcsol´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F.6. A megval´ os´ıtott TDA2005 teljes´ım´enyer˝os´ıt˝ok nyomtatott ´aramk¨ori terve (M = 1 : 1)
xi
90 91 91 92 92
xii
1. fejezet
Bevezet´ es A hangr¨ ogz´ıt´es ´es hangreprodukci´ o megjelen´ese ´ota folyamatos a fejl˝od´es a hangreprodukci´os min˝ os´eg ´es a min´el jobb t´erhangz´ as l´etrehoz´asa ter´en. A legmodernebb Dolby TrueHD h´azimozi rendszerek m´ ar 7+1 csatorn´ an kereszt¨ ul ´erik el a lehet˝o leg´eleth˝ ubb t´erhat´ast. Minden eddigi Surround rendszerre igaz azonban, hogy a t´er´erzetet puszt´an a csatorn´ak k¨oz¨otti intenzit´as- ´es f´ azisk¨ ul¨ onbs´eg alkalmaz´ as´ aval ´erik el, ´ıgy a t¨ok´eletes t´erhat´as csak egy pontban, az u ´n. sweet ” spot”-ban biztos´ıtott. Alapvet˝ oen elt´er ezekt˝ol a m´odszerekt˝ol a jelenleg is folyamatos kutat´asfejleszt´es alatt ´ all´ o hangt´erszint´ezis, angolul wave field synthesis” nev˝ u technika, amelynek c´elja ” az eredeti hangt´er fizikai reprodukci´ oja. A Huygens-elv kimondja, hogy egy hull´amfront minden pontja elemi g¨ ombhull´ amok forr´ asa, ´es az eredeti hull´amfront egy k´es˝obbi id˝opillanatban ezen elemi g¨ ombhull´ amok ¨ osszegek´ent ´ all el˝o. Ez alapj´an egy falon elhelyezett folytonos hangforr´aseloszl´ as seg´ıts´eg´evel tetsz˝ oleges hull´ amt´er ´all´ıthat´o el˝o a fal el˝ott. Ez a hangt´er a teljes fal helyett egy vonal ment´en elhelyezett hangsz´ or´osokas´aggal egy s´ıkban k¨ozel´ıthet˝o. Ez a hangt´erszint´ezis alap¨ otlete. Ha teh´ at egy szob´ aban egy vonal ment´en elegend˝oen s˝ ur˝ un helyez¨ unk el hangsz´or´okat, azok megfelel˝ o vez´erl´es´evel egy virtu´ alis forr´as hangtere a hangsz´or´ok s´ıkj´aban u ´jraszintetiz´alhat´ o. Ha az eredeti hangteret teljes eg´esz´eben vissza tudjuk ´all´ıtani, azzal ´epp a sztereofon alap´ u Dolby rendszerek legnagyobb korl´ atj´ at l´epj¨ uk t´ ul, ´ıgy a t´erhat´as nemcsak egy pontban, hanem egy nagyobb ter¨ uleten biztos´ıthat´ o. A t´ema mindenk´epp u ´jszer˝ u, hiszen b´ar a m´odszer alapelveit Berkhout m´ar a 90-es ´evekben le´ırta, a gyakorlati megval´ os´ıt´ as ma is folyamatos kutat´as-fejleszt´es alatt ´all. Eddig egyetlen kereskedelemben is kaphat´ o hangt´erszint´ezis rendszer l´etezik, a Fraunhofer c´eg ´altal forgalmazott IOSONO nev˝ u rendszer, amely els˝ o gyakorlati megval´os´ıt´asa egy ilmenau-i moziban k´esz¨ ult el. A 89 f´er˝ ohelyes terem falaira a Fraunhofer Int´ezet munkat´arsai 24 panelt szereltek ¨osszesen 192 hangsz´ or´ oval. Az IOSONO-nak egyel˝ ore egyeduralma van a hangt´erszintetiz´al´o rendszerek piac´ an. Csak 2011 szeptember´eben k´et rendszert is telep´ıtettek, ´ıgy Berlinbe m´ar a harmadik moziba ker¨ ult ilyen hangrendszer. Az 1.1 ´ abr´ an a 2010-ben, a Todd-AO c´eg ´altal m˝ uk¨odtetett ut´ofeldolgoz´ o kever˝ oszob´ aban telep´ıtett 4 renderel˝o PC ´altal m˝ uk¨odtetett 224 csatorn´as, ¨osszesen 44,8 kW osszteljes´ıtm´eny˝ u rendszer l´ athat´ o. M´eg ugyanebben az ´evben telep´ıtett´ek 376 csatorn´as, 99,2 kW ¨ osszteljes´ıtm´eny˝ u rendszer¨ uket a hollywoodi Chinese Theatre filmsz´ınh´azba. ¨ Dolgozatomban ezt az u ´j technik´ at mutatom be: A bevezet´est k¨ovet˝o fejezetben a hangt´erszint´ezis elm´eleti alapjait ismertetem. Megmutatom, milyen matematikai appar´atus sz¨ uks´eges az egyes hangsz´ or´ ok vez´erl˝ ojel´enek sz´ am´ıt´as´ahoz a k´ıv´ant hull´amt´er el˝o´all´ıt´as´anak ´erdek´eben. A gyakorlatban alkalmazhat´ o hangt´erszint´ezis az ide´alis esett˝ol jelent˝osen elt´er, hiszen sem a folytonos, sem a v´egtelen hossz´ u forr´ aseloszl´ as nem megval´os´ıthat´o. Szimul´aci´ok seg´ıts´eg´evel bemutatom az ebb˝ ol ered˝ o j´ arul´ekos hat´ asokat ´es a technika korl´atait is. A technikai u ´jszer˝ us´eg´et mutatja, hogy vonatkoz´ o magyar kutat´ asok, ´ıgy magyar szakirodalom egyel˝ore nincsenek, ´epp ez´ert dolgozatomban a szakkifejez´esek jelent˝ os r´esze saj´at ford´ıt´as. Hogy alapot teremtsek munk´am esetleges folytat´ as´ anak az elm´eleti alapokat r´eszletesen mutatom be, legt¨obb esetben r¨ovidebb levezet´eseket is mell´ekelve. Ezek alapj´ an rem´enyeim szerint a hangt´erszint´ezis m˝ uk¨od´ese az olvas´o sz´am´ara t¨ ok´eletesen meg´erthet˝ o k¨ ulf¨ oldi irodalom sz¨ uks´egess´ege n´elk¨ ul. 1
1.1. ´ abra. IOSONO rendszerrel felszerelt kever˝oszoba Ahhoz, hogy a hangt´erszint´ezist behat´oan tudjam vizsg´alni az egyes sug´arz´asi probl´em´ak vizsg´ alat´ ahoz szimul´ aci´ os k¨ ornyezet l´etrehoz´as´ara volt sz¨ uks´egem. Ezek lehetnek ny´ılt, vagy z´art t´erbe val´ o sug´ arz´ asi probl´em´ ak id˝ otartom´ anyban, vagy ´alland´osult ´allapotban vizsg´alva. Mindegyik eshet˝ os´egre k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o szimul´ aci´ os k¨ ornyezetre volt sz¨ uks´eg. Z´art t´erben val´o ´alland´osult ´allapot vizsg´ alat´ ahoz rendelkez´esemre ´ allt k´esz f¨ uggv´enygy˝ ujtem´eny, amelyet csak c´eljaimhoz kellett alak´ıtanom. Az id˝ otartom´ anybeli vizsg´ alathoz azonban saj´at szimul´aci´os k¨ornyezetet hoztam l´etre, ´ıgy ennek elm´eleti alapjait a vonatkoz´ o fejezetben r´eszletesebben ismertetem. A szint´ezis j´ arul´ekos hat´ asai k¨ oz´e tartoznak a v´eges forr´aseloszl´asb´ol sz´armaz´o diffrakci´os hat´asok. A forr´ aseloszl´ as hossza n¨ ovelhet˝ o a szint´ezisbe val´o t¨obb fal bevon´as´aval, azonban a vonatkoz´o irodalomban az ekkor alkalmazott vez´erl˝of¨ uggv´enyek matematikai szempontb´ol nem teljesen korrektek. Munk´ am sor´ an megold´ ast dolgoztam ki ennek jav´ıt´as´ara, ´ıgy m´odszeremmel a diffrakci´os hat´ asok szinte t¨ ok´eletesen kik¨ usz¨ ob¨ olhet˝oek. A vonatkoz´o fejezetben m´odszerem m˝ uk¨od´esi elv´et ´es eredm´enyeit mutatom be. A hangt´erszint´ezist le´ır´ o egyenletek klasszikus levezet´ese a v´egtelen f´elt´erbe val´o sug´arz´ast veszik kiindul´ asi felt´etel¨ ul. Ez term´eszetesen csak egy teljesen elnyel˝o fal´ u szob´aban lenne igaz. A gyakorlatban z´ art terekben a hull´ amok a falakr´ol visszaver˝odnek, az eredeti hull´amfronttal interfer´ alnak, amely a szintetiz´ alt hull´ amfrontot jelent˝osen torz´ıtja, a t´erhat´ast rombolja. Dolgozatomban az ´ altalam kidolgozott m´ odszert ismertetem ennek elker¨ ul´es´ere: bemutatom, hogyan lehet a visszaver˝ od´eseket – a legegyszer˝ ubb esetben t´eglatest alak´ u u ´n. cip˝osdoboz alak´ u szob´aban – t¨ uk¨ orforr´ asok seg´ıts´eg´evel el˝ ore sz´ am´ıtani. A hangt´erszint´ezis alkalmaz´as´aval ´alland´osult ´allapotban ezen visszaver˝ od˝ o hull´ amokat kiolt´asa, ´ıgy a reflexi´ok kompenz´al´asa lehets´eges. Bemutatom m´ odszerem eddigi eredm´enyeit, valamint korl´atait is. R´amutatok a m´odszeremben rejl˝o tov´abbi lehet˝ os´egekre, tov´ abbfejleszt´esi lehet˝ os´egeire is. A technika elm´eleti ismertet´ese ´es fejleszt´ese ut´an k´ezenfekv˝o volt, hogy a technika gyakorlatba u asaimat. Az utols´o fejezetben a tervezett hangt´erszint´ezis rendszert ¨ltet´ese fel´e folytassam kutat´ mutatom be, bemutatva milyen feladatok megold´asa sz¨ uks´eges a rendszer fel´ep´ıt´es´ehez. A teljes rendszer a dolgozat befejez´es´eig nem k´esz¨ ulhetett el, de az egyes ´ep´ıt˝oelemei m˝ uk¨od˝ok´epesek voltak: v´eg¨ ul ezeket mutatom be. Ugyan a dolgozat gondolatmenete f˝ok´ent a diplomaterv ki´ır´ast k¨oveti, a munk´am sor´an a t´ema egy TDK dolgozat form´ aj´ aban is feldolgoz´asra ker¨ ult. A diffrakci´os hat´asok megsz¨ untet´ese ´es reflexi´ ok kiolt´ asa a TDK dolgozat ´ır´ asa alatt elv´egzett munka eredm´enyei, amelyek eredm´enyeket teh´ at ebben a dolgozatomban is bemutatok.
2
2. fejezet
A hangt´ erszint´ ezis elm´ eleti alapjai 2.1.
Bevezet´ es
A hangt´erszint´ezis sor´ an tetsz˝ oleges hangt´er kialak´ıt´asa a c´elunk egy z´art t´erfogatban. Ez a tetsz˝ oleges hangt´er ´ertelemszer˝ uen egy virtu´alis hangforr´as hangter´et jelenti. C´elunk ezt a hangteret a vizsg´ alt t´err´eszben reproduk´ alni a hat´arol´o t´erfogat ment´en elhelyezett hangforr´asok – a m´asodlagos forr´ aseloszl´ as – seg´ıts´eg´evel. Ehhez a m´asodlagos forr´asok vez´erl˝of¨ uggv´enyeinek sz´am´ıt´asa sz¨ uks´eges. A fejezet ezek sz´ armaztat´ as´at mutatja be. A Huygens–Fresnel-elv alapj´ an a hangt´erszint´ezis a hull´amfront minden pontj´an elhelyezett pontforr´ as-sokas´ aggal lehets´eges. Az elv azonban puszt´an geometriai alap´ u, a gyakorlatba u ¨ltet´es´ehez matematikai form´ aba kell ¨ onteni. Ehhez c´elszer˝ u a hangt´ert le´ır´o alapegyenletekb˝ol kiindulni.
2.2.
A hangt´ er le´ır´ asa
A hanghull´ am egy rugalmas k¨ ozegben terjed˝o mechanikai hull´am, amely egy hangforr´as mechanikai rezg´es´eb˝ ol sz´ armazik. A t´ernek azon r´esz´et, amelyben a hanghull´amok terjednek hangt´ernek nevezz¨ uk. A hangteret hangt´erjellemz˝ o mennyis´egekkel ´ırjuk le, melyek k¨oz¨ ul a k´et legfontosabb a hangnyom´ as P0 = 103 kPa statikus l´egk¨ori nyom´as k¨or¨ uli ingadoz´asa, valamint a r´eszecskesebess´eg. A hangteret adott t id˝ opillanatban teljesen ismertnek tekintj¨ uk, ha minden r pontj´aban ismert a hangnyom´ as p(r, t) ´ert´eke, valamint a v(r, t) r´eszecskesebess´eg ir´anya ´es nagys´aga. Egyens´ ulyi ´ allapotban a r´eszecskesebess´eg minden pontban z´erus, a hangnyom´as ´ert´eke pedig konstans P0 . Ha hangforr´ ast helyez¨ unk a t´erbe annak id˝obeli lefut´asa mechanikai hull´amk´ent a k¨ ozegre jellemz˝ o terjed´esi sebess´eggel terjed tova, amely sebess´eget a k¨ozeg s˝ ur˝ us´ege ´es ¨osszenyomhat´ os´ aga hat´ aroz meg. Ez az akusztikai hull´am az u ´n. hull´amegyenlettel ´ırhat´o le, amelyet a hangt´er k´et alapegyenlet´eb˝ ol kaphatunk meg [28, 31]. A hangt´er els˝ o alapegyenlet´et a Newton-t¨orv´eny egys´egnyi t´erfogatelemre val´o fel´ır´as´aval kaphatjuk meg. Az egyenlet a skal´ ar ´ert´ek˝ u p(r, t) hangnyom´as ´es a v(r, t) r´eszecskesebess´egvektor k¨ oz¨ ott teremt o sszef¨ u gg´ e st: szeml´ e letesen, a nyom´as´ert´ek helyf¨ ugg˝o v´altoz´asa okozza a r´eszecske¨ sebess´eg id˝ o szerinti megv´ altoz´ as´ at, azaz a nyom´ast´er gradiense minden a t´er minden pontj´aban ar´ anyos a r´eszecskesebess´eg id˝ o szerinti deriv´altj´aval: ∇p(r, t) = −ρ0
∂ v(r, t), ∂t
(2.1)
∂ ∂ ∂ ahol ∇ = ∂x ex + ∂y ey + ∂y ez a gradiens k´epz´es oper´atora, ρ0 = 1,225 kg/m3 a k¨ozeg s˝ ur˝ us´ege. Mivel az id˝ o szerinti deriv´ al´ as a frekvenciatartom´anyban jω-val val´o szorz´asnak felel meg, az egyenlet frekvenciatartom´ anybeli alakja:
∇P (r, ω) = −jωρ0 V(r, ω). 3
(2.2)
Az egyenletben P (r, ω) = pˆ(r)ejϕ(r) a komplex nyom´as-fazor, hasonl´oan V(r, ω) a komplex r´eszecskesebess´eg-fazor. A l´egnyom´ as ´es a leveg˝ odarab t´erfogata k¨oz¨otti kapcsolatot az adiabatikus folyamatokra jellemz˝ o´ allapotv´ altoz´ ast le´ır´ o alapegyenlete adja meg, hiszen a hallhat´o frekvenciatartom´anyban a leveg˝ o´ allapotv´ altoz´ asa j´ o k¨ ozel´ıt´essel h˝ocserementes: P V −κ = ´alland´o,
(2.3)
ahol κ = 1,4 a leveg˝ o fajh˝ o´ alland´ oja. A g´azt¨orv´eny P0 k¨or¨ uli lineariz´al´as´aval ´es mindk´et oldalt id˝o szerint deriv´ al´ as´ aval a hangt´er m´ asodik alapegyenlet´ehez jutunk: ∂ p(r, t) = −κP0 ∇ · v(r, t), ∂t
(2.4)
∂ ∂ ∂ + ∂y + ∂z a vektort´er divergenci´aja. ahol ∇· = ∂x A m´ asodik alapegyenlet id˝ o szerinti deriv´altj´ab´ol ´es az els˝o alapegyenlet divergenci´aj´ab´ol a homog´en k¨ ozegben terjed˝ o hull´ amra fel´ırt line´ aris hull´ amegyenlet ad´odik. A hull´amegyenletet a hang∂2 ∂2 ∂2 nyom´ asra fel´ırva, ahol ∆ = ∇ · ∇ = ∂x ator: 2 + ∂y 2 + ∂z 2 a Laplace oper´
∆p(r, t) =
1 ∂2 p(r, t). c2 ∂t2
(2.5)
Az egyenlet Fourier-transzform´ altja rendez´es ut´an a forr´asmentes hangt´er frekvenciatartom´anybeli hull´ amegyenlete, a Helmholtz-egyenlet: (∇2 + k 2 )P (r, ω) = 0,
(2.6) p ahol k = ω/c a hull´ amsz´ am, c = κP0 /ρ0 pedig a hull´am k¨ozegbeli terjed´esi sebess´ege. A fenti egyenletek puszt´ an a hull´ amterjed´es m´odj´at ´ırj´ak le, csak forr´asmentes hangt´erre igazak. Megmutathat´ o [7], hogy ha a t´er rA = (xA , yA , zA ) pontj´aban egy sA (t) id˝of¨ uggv´eny˝ u monop´olus forr´ as tal´ alhat´ o (amely minden ir´ anyban egyenl˝o amplit´ ud´oval sug´aroz), akkor a hull´amegyenletet a k¨ ovetkez˝ o m´ odon ki kell eg´esz´ıteni egy t´erbeli Dirac-delt´aval. Az rA pontba helyezett monop´olus hull´ amter´et id˝ otartom´ anyban a ∆p(r, t) −
1 ∂2 p(r, t) = −4πsA (t)δ(r − rA ) c2 ∂t2
(2.7)
egyenlet ´ırja le. Hasonl´ oan, a forr´ asos t´er Helmholtz-egyenlete a k¨ovetkez˝o alak´ u: (∇2 + k 2 )P (r, ω) = −4πSA (ω)δ(r − rA ).
(2.8)
Ha a t´erben t¨ obb forr´ as tal´ alhat´ o, a fenti egyenletet kell az ¨osszes forr´asra ¨osszegezni: (∇2 + k 2 )P (r, ω) = −4π
X
Si (ω)δ(r − ri ).
(2.9)
i
Hasonl´ oan, ha kiterjedt forr´ as van a t´erben ez az ¨osszegz´es a forr´as t´erfogata feletti integr´all´a fajul.
2.3.
A Kirchhoff integr´ alegyenlet
Az 1678-ban megfogalmazott Huygens-elv kimondja, hogy egy hull´amfel¨ ulet minden pontj´ab´ ol elemi g¨ ombhull´ amok indulnak ki ´es egy k´es˝obbi id˝opontban a hull´amfel¨ ulet ezeknek az elemi hull´ amoknak a burkol´ ofel¨ ulete. Az elv szeml´eltet´ese a 2.1 ´abr´an l´athat´o. Az elv alapj´an a hull´amterjed´esn´el fell´ep˝ o jelens´egek nagy r´esze ´ertelmezhet˝o. Fresnel ezt 1819-ben az elhajl´asi jelens´egek ´ertelmez´es´ehez azzal pontos´ıtotta, hogy – a burkol´ofel¨ uletet elhagyva – a hull´am el˝o´all´ıthat´o a kor´ abbi hull´ amfront minden pontj´ aban elhelyezett monop´olusok interferenciak´epek´ent. Ez lehet˝ os´eget ad arra, hogy egy virtu´ alis hull´am hull´amfrontj´an g¨ombhull´amokat kelt˝o monop´olusokat 4
k
k
2.1. ´ abra. A Huygens-elv ´es a hangt´er szint´ezis alap¨otlet´enek szeml´eltet´ese elhelyezve a hull´ am a Huygens–Fresnel-elv alapj´an el˝o´all´ıthat´o legyen. Ez a hangt´erszint´ezis alapja. A hangt´erszint´ezis sor´ an a falon elhelyezett hangsz´or´osokas´ag megfelel˝o vez´erl´es´evel tetsz˝oleges hangt´er kialak´ıt´ asa a c´elunk. A hangsz´or´okkal ´ıgy gyakorlatilag peremfelt´eteleket realiz´alhatunk. Peremfelt´etelek lehetnek, ha a sug´ arz´ o fel¨ ulet minden pontj´an ismert a p(r) hangnyom´as (Dirichletperemfelt´etel ), annak ∂p(r)/∂n norm´ alis ir´any´ u deriv´altja (Neumann-peremfelt´etel ), vagy a kett˝o h´ anyadosa (Robin-peremfelt´etel ). Sz¨ uks´eg¨ unk van teh´ at egy olyan ¨ osszef¨ ugg´esre, amely megadja, hogy milyen hangt´er alakul ki el˝ o´ırt peremfelt´etelek mellett, azaz hogyan f¨ uggenek a hangt´erjellemz˝o mennyis´egek a peremfelt´etelekt˝ ol. Ez egy belt´eri lesug´ arz´ asi probl´ema, amelyhez a vizsg´alt elrendez´es a 2.2 ´abr´an l´athat´o. Adott egy S fel¨ ulettel hat´ arolt V t´erfogatr´esz ´es a t´erfogaton k´ıv¨ ul elhelyezked˝o els˝odleges forr´ aseloszl´ as, amely a fel¨ uleten a hangt´erjellemz˝o mennyis´egeket el˝o´all´ıtja. Ismert a hat´arol´o fel¨ ulet minden pontj´ an az els˝ odleges forr´ asok ´altal l´etrehozott p(r) hangnyom´as ´ert´ek ´es vn (r) norm´alis ir´ any´ u r´eszecskesebess´eg. Keress¨ uk adott peremfelt´etelek mellett a t´erfogat tetsz˝oleges rA pontj´ aban a kialakul´ o p(rA ) hangnyom´ ast, u ´gy, hogy a t´erfogat forr´asmentes, ´ıgy k¨oveti a homog´en Helmholtz-egyenletet: (∇2 + k 2 )P (r, ω) = 0. (2.10) A feladat a vektoranal´ızis gyakori feladata, megold´as´ara a frekvenciatartom´anyban a Green-t´etel alkalmazhat´ o.
2.3.1.
A Green-t´ etel ´ es Green-fu eny ¨ ggv´
A Green-t´etel a Gauss-Osztrogradszkij t´etel egyenes k¨ovetkezm´enye, levezet´ese a f¨ uggel´ekben megtal´ alhat´ o. A t´etel alapj´ an tetsz˝ oleges u(r) ´es v(r) a V t´erfogaton nemszingul´aris skal´arf¨ uggv´enyre fenn´ all a k¨ ovetkez˝ o¨ osszef¨ ugg´es [6, 29]: Z Z 2 2 {u(r)∇ w(r) − ∇ v(r)w(r)}dV = {w(r)∇v(r) − ∇w(r)v(r)}nb dS, (2.11) V
S
ahol nb a fel¨ uletelem befel´e mutat´ o norm´alisa A hangt´eregyenletek megold´as´ahoz k´et megfelel˝o skal´ arf¨ uggv´enyt kell v´ alasztanunk a Green-t´etelbe val´o helyettes´ıt´eshez. K´ezenfekv˝o, hogy az egyik a keresett v(r) = P (r, ω) legyen, m´ıg w(r) = G(r|rA , ω) a Green-f¨ uggv´eny. 5
S
elsődleges forráseloszlás
V n
p(rA) = ?
vn(r) p(r)
2.2. ´ abra. A belt´eri lesug´arz´asi probl´ema A Green-f¨ uggv´enyt inhomog´en differenci´alegyeneletek adott peremfelt´etelek melletti megold´ as´ ara haszn´ alj´ ak ´ altal´ anosan. Defin´ıci´o szerint tetsz˝oleges L line´aris differenci´aloper´ator Greenf¨ uggv´enye G(r|rA , ω), ha kiel´eg´ıti az LG(r|rA , ω) = −4πδ(r − rA )
(2.12)
egyenletet [3, 8], azaz az L oper´ atorhoz tartoz´o Green-f¨ uggv´enyen az L oper´atort v´egrehajtva egy t´erbeli Dirac-delt´ at kapunk. Az egyes oper´ atorok Green-f¨ uggv´eny´et az oper´ator saj´at´ert´ekeib˝ol ´es saj´atvektoraib´ol lehet konstru´ alni. Nek¨ unk most a Helmholtz-egyenlet Green-f¨ uggv´enye kell, azaz az a G(r|rA , ω) f¨ uggv´eny, amely kiel´eg´ıti az (∇2 + k 2 )G(r|rA , ω) = −4πδ(r − rA ) (2.13) egyenletet. Az el˝ oz˝ o fejezetb˝ ol l´ athattuk, hogy, az egyenlet az rA pontba helyezett monop´olus ter´et ´ırja le. A megold´ as term´eszetesen dimenzi´of¨ ugg˝o, h´aromdimenzi´oban ´epp egy rA pontba helyezett l´elegz˝ o g¨ omb ter´et ´ırja le: e−jk|r−rA | . (2.14) G(r|rA , ω)3D = |r − rA | Mivel m´ as dimenzi´ osz´ amban a Laplace-oper´ator alakja is v´altozik, ´ıgy a Green-f¨ uggv´eny alakja is m´ as. Egydimenzi´ oban egy s´ıkhull´ amot kelt˝o forr´as (amely h´aromdimenzi´oban egy ´alland´o k¨orfrekvenci´ aval mozg´ o v´egtelen kiterjed´es˝ u merev fal), m´ıg k´etdimenzi´oban egy v´egtelen vonalforr´as ter´et ´ırja le [2, 4]: j G(x|y, ω)1D = − e−jkr , (2.15) 2k j (2) G(r|rA , ω)2D = − H0 (kr), (2.16) 2 (2)
ahol H0 a nulladrend˝ u, m´ asodfaj´ u Hankel-f¨ uggv´eny. A legnagyobb k¨ ul¨onbs´eg a k¨ ul¨onb¨oz˝o dimenzi´ oj´ u Green-f¨ uggv´enyek k¨ oz¨ ott a hull´am nyomvonalcsillap´ ıt´ a sa: egydimenzi´ o ban a s´ıkhull´am √ csillap´ıt´ as n´elk¨ ul terjed, m´ıg k´etdimenzi´oban 1/ r, h´aromdimenzi´oban 1/r szerint csillapodik. A Green f¨ uggv´eny defin´ıci´ o szerint felfoghat´o, mint a vizsg´alt hangt´er v´alasza egy t´erbeli ´es id˝obeli Dirac-delt´ ara, azaz a t´er impulzusv´ alaszak´ent. Helyettes´ıts¨ uk G(r|rA , ω) skal´ arf¨ uggv´enyt P (r, ω) hangnyom´asf¨ uggv´ennyel egy¨ utt a Greent´etelbe. Mivel a levezet´es ´ alland´ o ω k¨ orfrekvenci´an t¨ort´enik, a jobb ´attekinthet˝os´eg kedv´e´ert ω-t´ol val´ o f¨ ugg´est innent˝ ol elhagyom: Z P (r)∇2 G(r|rA ) − ∇2 P (r)G(r|rA ) dV = V Z G(r|rA )∇P (r) − ∇G(r|rA )P (r) nb dS. (2.17) S
6
Tudjuk, hogy a hangt´er (2.6) Helmholtz-egyenlet alapj´an ∇2 P (r) = −k 2 P (r)
(2.18)
´es a Green-f¨ uggv´eny (2.13) defin´ıci´ oja alapj´an ∇2 G(r|rA ) = −4πδ(r − rA ) − k 2 G(r|rA ). Ezeket az el˝ oz˝ o egyenletbe helyettes´ıtve: Z P (r)(−4πδ(r − rA ) − k 2 G(r|rA )) + k 2 P (r)G(r|rA ) dV = V Z G(r|rA )∇P (r) − ∇G(r|rA )P (r) nb dS.
(2.19)
(2.20)
S
L´ athat´ o, hogy a bal oldalon a k 2 P (r)G(r|rA ) tagok kiejtik egym´ast. Egyszer˝ us´ıt´es ´es (−1)-gyel val´ o szorz´ as ut´ an: Z Z 4π {δ(r − rA )P (r)}dV = {∇G(r|rA )P (r) − G(r|rA )∇P (r)}nb dS. (2.21) V
S
A bal oldalra alkalmazzuk az y pontbeli Dirac-delta defin´ıci´o szerinti tulajdons´agait: • csak y pontban nem nulla ´ert´ek˝ u • az eg´esz t´erfogatra integr´ alva az eredm´eny egys´egnyi:
R V
δ(x − y)dV = 1.
Ezalapj´ an az egyenlet bal oldala az al´ abbi ´ert´ekeket veheti fel: Z ha rA ∈ V P (rA ) 1 P (r ) ha rA ∈ S {δ(r − rA )P (r)}dV = A 2 V 0 ha rA ∈ / V. Ez szeml´eletesen azt jelenti, hogy ha rA ´epp a fel¨ uleten van, akkor a Dirac-delta fele tal´alhat´o a t´erfogaton bel¨ ul, a m´ asik fele a t´erfogaton k´ıv¨ ul van. Sz´amunkra most az az eset fontos, amikor rA a t´erfogaton bel¨ ul van. Ilyenkor az egyenlet bal oldala ´eppen a vizsg´alt rA pontban kialakul´ o P (rA ) hangnyom´ as. Az egyenlet jobb oldal´an ∇G(r|rA )nb tag a Green-f¨ uggv´eny G0n (r|rA ) norm´ alis ir´ any´ u deriv´ altja, m´ıg a hangt´er (2.2) alapegyenlete alapj´an ∇P (r) = −jωρ0 V(r). A r´eszecskesebess´eg ´es a fel¨ uletnorm´ alis skal´aris szorzata a norm´alis ir´any´ u r´eszecskesebess´eg, ´ıgy az egyenlet v´eg¨ ul a k¨ ovetkez˝ ok´epp m´ odosul: Z 1 P (rA ) = {P (r)G0n (r|rA ) + jωρ0 Vn (r)G(r|rA )}dS. (2.22) 4π S Az egyenlet neve Kirchhoff–Helmholtz-integr´ al, a Helmholtz-egyenlettel teljesen ekvivalens, azaz adott peremfelt´etelek melletti megold´ asa megegyezik a differenci´alegyenlet azonos peremfelt´etelek melletti megold´ as´ aval. A Green-f¨ uggv´eny alkalmaz´ as´ at a k¨ovetkez˝ok´epp tehetj¨ uk szeml´eletess´e: a Green-f¨ uggv´eny seg´ıts´eg´evel gyakorlatilag a vizsg´ alt fel¨ uletelem ´es a bels˝o t´erfogatelem k¨oz¨otti terjed´esi u ´t jellemz˝oit hat´ arozzuk meg, azaz a Green-f¨ uggv´eny a k´et pont k¨oz¨otti ´atvitelt hat´arozza meg. Ez a szeml´elet a Green-f¨ ugg´eny reciprocit´ as´ ab´ ol sz´ armazik (az ´atvitel csak a k´et pont t´avols´ag´at´ol f¨ ugg). Ez az elv az u ´n. forr´ as-nyel˝ o reciprocit´ as, vagy forr´ as-nyel˝ o felcser´elhet˝ os´eg [13], amely az adott k¨or¨ ulm´enyek k¨ oz¨ ott ´erv´enyes, de nem ´ all fenn pl. mozg´o k¨ozegben terjed˝o hull´amok le´ır´asa sor´an, ahol a Green-f¨ uggv´eny nem reciprok´ alis. Az ut´obbi id˝okben t¨obb cikk is sz¨ uletett a Green-f¨ uggv´eny sz´ am´ıt´ as´ ara ezekre az esetekre is, ´eppen forr´asok ´es megfigyel´esi pontok k¨oz¨otti kereszt-korrel´aci´os f¨ uggv´eny sz´ am´ıt´ as alapj´ an [51, 52, 53]. Az egyenlet h´ aromdimenzi´ os fel´ır´ as´ahoz a Green-f¨ uggv´eny ir´anymenti deriv´altj´anak meghat´ aroz´ asa a feladatunk. Ehhez el˝ osz¨ or a f¨ uggv´eny gradiens´et kell meghat´arozni. Vezess¨ uk be az 7
másodlagos forráseloszlás
- + - + + +
elsődleges forráseloszlás
+
++ + V
-+ + + - + + - +
- S + + + +
+ +-
p(rA)
+ + -
+ + -
+-
+
2.3. ´ abra. Az eredeti hangt´er le´ır´ asa fel¨ uleti mono- ´es dip´olusokkal a Kirchhoff-integr´al alapj´an r = |r − rA | jel¨ ol´est, ´ıgy r az aktu´ alis fel¨ uletelemb˝ol az rA pontba mutat´o vektor hossza. A Greenf¨ uggv´eny gradiense a l´ ancszab´ aly szerint sz´am´ıthat´o: ∇G(r|rA ) = e−jkr
1 + jkr r − rA . r2 r
(2.23)
A f¨ uggv´eny norm´ alis ir´ any´ u komponense (r − rA )-nak nb -vel vett skal´arszorzata: 1 + jkr 1 + jkr |r − rA | |nb | cos ϕ = e−jkr cos ϕ. (2.24) 3 r r2 Az ir´ anymenti deriv´ altat ´es a Green-f¨ uggv´eny analitikus alakj´at az el˝oz˝o egyenletbe ´ırva a kapott v´egeredm´eny: Z 1 1 + jkr e−jkr −jkr P (rA , ω) = {P (r, ω) cos ϕe + jωρ V (r, ω) }dS. (2.25) 0 n 4π S r2 r G0n (r|rA ) = e−jkr
Az egyenlet nagy jelent˝ os´eggel b´ır, neve: Kirchhoff-integr´ alegyenlet (vagy m´ask´eppen: Kirchhoff– Fresnel-integr´ al). L´ athat´ o, hogy k¨ ozvetlen kapcsolatot ´ır le a t´erfogat tetsz˝oleges pontj´aban kialakul´o hangnyom´ as ´es a hat´ arol´ o fel¨ uleten l´etrej¨ ov˝ o hangnyom´as ´es r´eszecskesebess´eg k¨oz¨ott, hiszen azt ´all´ıtja, hogyha egy V t´erfogatot hat´ arol´ o S fel¨ ulet minden pontj´aban ismert a P (r, ω) hangnyom´as ´es a Vn (r, ω) norm´ alis ir´ any´ u r´eszecskesebess´eg, akkor a teljes fel¨ uleten v´egrehajtott fel¨ uleti integr´ al ki´ert´ekel´es´evel adott frekvenci´ an meghat´arozhat´o a t´erfogat belsej´eben tetsz˝oleges A pontban kialakul´ o hangnyom´ as´ert´ek. Ismert, hogy a Q forr´ aser˝ oss´eg˝ u akusztikai monop´olus, amely egy infitezim´alisan kicsi sugar´o l´elegz˝ o g¨ omb, ω k¨ orfrekvenci´ an, a forr´ ast´ol r t´avols´agra jωρ0 e−jkr (2.26) 4π r hangnyom´ ast hoz l´etre, m´ıg egy µ nyomat´ek´ u dip´olus, amely k´et v´egtelen¨ ul k¨ozel helyezett ellenf´ azis´ u monop´ olus nyom´ astere: Pm (r, ω) = Q
Pd (r, ω) =
µjωρ0 1 + jkr e−jkr cos ϕ . 4π r r
(2.27)
Megfigyelhet˝ o, hogy a Kirchhoff-integr´al integrandus´anak bal oldala egy P (r, ω)/jωρ0 nyomat´ek´ u dip´ oluseloszl´ ast, m´ıg jobb oldala egy Vn (r, ω) forr´aser˝oss´eg˝ u monop´oluseloszl´ast reprezent´al a fel¨ uleten. Ezek a mono- ´es dip´ olusok egy¨ uttesen alkotj´ak a m´ asodlagos forr´ aseloszl´ ast, amelyek l´etrehozz´ ak az els˝ odleges forr´ aseloszl´ as hangter´et. A Kirchhoff-integr´al ´ıgy szeml´eletesen ´at´ırhat´o a k¨ ovetkez˝ o form´ aba: Z Z P (r, ω) Pd (r, ω)dS + Vn (r, ω)Pm (r, ω)dS. (2.28) P (rA , ω) = S S jωρ0 8
x S2
n φ
elsődleges forráseloszlás r’A
rA
A’
R A
S1 V z 2.4. ´ abra. Elrendez´es a Kirchhoff-integr´al egyszer˝ us´ıt´es´ere A levezet´esben l´ attuk, hogy ha rA pont a t´erfogaton k´ıv¨ ul van, a Dirac-delta tulajdons´agaib´ol ered˝ oen a (2.28) egyenlet bal oldala azonosan z´erus, azaz a t´erfogaton k´ıv¨ ul a t´er nyugalmi ´allapotban van. Ez u ´gy is felfoghat´ o, hogy a 2.3 a´br´an l´athat´o m´odon, a fel¨ uleten elhelyezked˝o monop´olusok ´es dip´ olusok a t´erfogaton bel¨ ul konstrukt´ıvan interfer´alnak, m´ıg a dip´olusok a t´erfogaton k´ıv¨ ul ellent´etes f´ azisban vannak a monop´ olusokkal, ´ıgy a t´erfogaton k´ıv¨ ul kioltj´ak egym´as hangter´et. Annak az ´ ar´ an, hogy a t´erfogaton k´ıv¨ ul l´etrej¨ov˝o hangt´er nem z´erus ´ert´ek˝ u, bizonyos elrendez´es eset´en lehet˝ os´eg¨ unk ad´ odik vagy a monop´olusok, vagy a dip´olusok elhagy´as´ara u ´gy, hogy a lesug´ arzott t´er nem v´ altozik. Ez azt jelenti, hogy a lesug´arzott hangt´er puszt´an mono-, vagy dip´ olusokkal el˝ o´ all´ıthat´ o. Ezeket az integr´alegyenleteket Rayleigh I. ´es II. integr´alegyenleteknek nevezz¨ uk.
2.3.2.
A Rayleigh integr´ alegyenletek
Vizsg´ aljuk egy v´egtelen kiterjed´es˝ u v´egtelen merev fal ´altal lesug´arzott hangteret. Ebben az esetben a t´er olyan szimmetria tulajdons´agokkal b´ır, hogy a Kirchhoff-integr´alban egyszer˝ us´ıt´eseket v´egezhet¨ unk el. A vizsg´ alt elrendez´es a 2.4 ´abr´an l´athat´o. Ez az egyszer˝ u belt´eri lesug´ arz´ asi probl´ema egy speci´alis v´altozata. Tegy¨ uk fel, hogy a szintetiz´ aland´ o hangter˝ u els˝ odleges forr´ asok a z < 0 f´elt´erben helyezkednek el. A megfigyelt V t´erfogat´ u hangt´er az ´ abr´ an l´ athat´ o m´ odon a z > 0 f´elt´erben helyezkedik el, amelyet az S1 s´ık fel¨ ulet ´es az S2 csonka g¨ ombfel¨ ulet hat´ arol. A g¨ omb R sugar´at minden hat´aron t´ ul n¨ovelve ´elhet¨ unk a Sommerfeldf´ele sug´ arz´ asi felt´etellel, azaz a g¨ ombfel¨ uleten l´etrej¨ov˝o hangnyom´as ´es r´eszecskesebess´eg R → ∞ eset´en z´erushoz tart. Ez azt jelenti, hogy ezekr˝ol a falakr´ol visszaver˝od´es nem t¨ort´enik: az ´alland´osult hangt´er egyenl˝ o a merev fal ´ altal lesug´arzott hangt´errel. Matematikailag ez azt jelenti, hogy a Kirchhoff-integr´ alegyenlethez egyed¨ ul az S1 s´ıkfel¨ ulet j´arul hozz´a, teh´at az integr´al´ast elegend˝o az S1 fel¨ uletre, a z = 0 s´ıkban elv´egezni. Az egyszer˝ us´ıt´esek elv´egz´es´ehez ´ırjuk fel a Kirchhoff-integr´alt k´et pontban vizsg´alt hangnyom´ as ¨ osszegek´ent. Ha a k´et pont k¨ oz¨ ul az egyik (´abr´an A0 pont) a vizsg´alt t´erfogaton k´ıv¨ ul, z < 0 f´elt´erben helyezkedik el, akkor ebben a pontban az el˝oz˝o bekezd´esben l´athat´o okokb´ol a nyom´as´ert´ek z´erus, a Kirchhoff-integr´ alegyenlet bal oldala v´altozatlan marad. Mivel mind az integr´al´as, mind a differenci´ al´ as line´ aris oper´ atorok, az egyenlet jobb oldal´an k´et integr´al fel´ır´asa helyett a Green-f¨ uggv´enyt a k´et pontra vett Green-f¨ uggv´enyek ¨osszeg´evel helyettes´ıthetj¨ uk. Az egyenletben 9
x S1 + + + + + + + + + + + + + + +
x S1 -
V
A
+ + + + + + + + + + + +
V
A
z
z
2.5. ´ abra. A Rayleigh I. ´es II. integr´al szeml´eltet´ese ´ıgy F f¨ uggv´eny a t´erfogaton k´ıv¨ uli rA0 pont Green-f¨ uggv´enye Z e−jkr ∂ e−jkr P (r, ω) P (rA , ω) = + F − jωρ0 Vn (r, ω) + F dS. ∂n r r S1
(2.29)
Az egyenletben r = |rA |. Ahhoz, hogy a hangt´er a vizsg´alt t´err´eszen bel¨ ul puszt´an monop´olusokkal el˝ o´ all´ıthat´ o legyen, a Green-f¨ uggv´eny F tagj´at, ´ıgy A0 monop´olust u ´gy kell megv´alasztani, hogy az integrandus bal oldala kinull´ az´ odjon, ´ıgy a Kirchhoff-integr´alban a dip´olusok hat´as´at megsz¨ untethetj¨ uk. Ez k¨ ovetkez˝ ok´epp ´ırhat´ o fel. F =−
∂ e−jkr { }. ∂n r
(2.30)
Ez a felt´etel teljes¨ ul, ha F f¨ uggv´eny az A pont S1 s´ıkra vett A0 t¨ uk¨ork´ep´enek a ter´et ´ırja le: 0
e−jkr F = , r0
(2.31)
ahol r0 = |rA0 |. K¨ onnyen bel´ athat´ o, hogy az ´ıgy megv´alasztott elrendez´esre teljes¨ ul, hogy r0 = r, ´ıgy 0 e−jkr e−jkr e−jkr + = 2 , (2.32) r0 r r mik¨ ozben a deriv´ altak ellenkez˝ o el˝ ojele miatt fenn´all, hogy 0
∂ e−jkr ∂ e−jkr + = 0. ∂n r ∂n r0
(2.33)
Ezeket a Kirchhoff-integr´ alba helyettes´ıtve integrandus bal oldala elt˝ unik, m´ıg jobb oldala k´etszeres s´ ullyal jelenik meg. Az ´ıgy kapott egyenletet nevezz¨ uk a Rayleigh I. integr´alegyenletnek [6]: Z 1 e−jkr P (rA , ω) = jωρ0 Vn (r, ω) dS. (2.34) 2π S1 r Az egyenlet a k¨ ovetkez˝ ot ´ all´ıtja: puszt´ an az S1 s´ık ment´en elhelyezett monop´ oluseloszl´ as hangter´enek ¨ osszegek´ent a z < 0 f´elt´erben elhelyezked˝o els˝odleges forr´as hangtere a z > 0 f´elt´erben el˝o´all, ha monop´ olusokat az els˝ odleges forr´ as ´altal a hat´arol´os´ıkon l´etrehozott norm´alis ir´any´ u r´eszecskesebess´eg k´etszeres´evel vez´erelj¨ uk. Term´eszetesen szem el˝ott kell tartani, hogy a teljes Kirchhoffintegr´ alegyenlettel ellent´etben a Rayleigh I. integr´al nem garant´alja, hogy a z > 0 f´elt´eren k´ıv¨ ul a 10
hangt´er jellemz˝ ok azonosan z´erus ´ert´ek˝ uek, hiszen az S1 ment´en elhelyezett monop´olusok a bels˝o hangt´er t¨ uk¨ ork´ep´et sug´ arozz´ ak a z < 0 ir´anyba. Form´ alisan teljesen hasonl´ o m´ odon kell elj´arni a monop´olusok hat´as´anak megsz¨ untet´es´ehez. Ekkor a Green-f¨ uggv´eny F tagj´ anak ir´anymenti deriv´altj´anak egyenl˝onek kell lennie e−jkr /r nor´ m´ alisir´ any´ u deriv´ altj´ aval, m´ıg abszol´ ut´ert´ek´enek annak (−1)-szeres´enek kell lennie. Ertelemszer˝ uen ez teljes¨ ul az A0 -ba helyezett, ellenf´ azisban vez´erelt monop´olusra, amelynek hangtere: 0
e−jkr (2.35) F =− 0 . r A f¨ uggv´enyt a Kirchhoff-integr´ alba helyettes´ıtve ez´ uttal az integrandus jobb oldala t˝ unik el, bal oldala k´etszeresen jelenik meg: Z 1 1 + jkr P (rA , ω) = cos ϕe−jkr dS. (2.36) P (r, ω) 2π S1 r2 Ez az egyenlet a Rayleigh II. integr´ alegyenlet. Az egyenlet ez´ uttal azt ´all´ıtja, hogy a t´erfogaton bel¨ uli hangt´er el˝ o´ all´ıthat´ o a fel¨ uleten elhelyezett dip´oluseloszl´assal, amelyeket a fel¨ uleten l´etrej¨ov˝o hangnyom´ as k´etszeres´evel kell vez´erelni. Term´eszetesen a dip´oluseloszl´as z < 0 ir´anyba a hangt´er ellenf´ azis´ u t¨ uk¨ ork´ep´et fogja sug´ arozni, l´ev´en nincs, ami ebben az ir´anyba azt kioltan´a. Az rA pontban kialakul´ o hangteret ´ırja le a Rayleigh III. ´es Rayleigh IV. integr´alegyenlet is: A Rayleigh III. egyenlet az rA pontban kialakul´o r´eszecskesebess´eget fejezi ki a hat´arol´o fel¨ uleten l´etrej¨ ov˝ o hangnyom´ as seg´ıts´eg´evel, m´ıg a Rayleigh IV. integr´al az rA pontban l´etrej¨ov˝o r´eszecskesebess´eg ´es a fel¨ uleten l´etrej¨ ov˝ o norm´alis ir´any´ u r´eszecskesebess´eg k¨oz¨ott teremt ¨osszef¨ ugg´est [50].
2.4.
A vez´ erl˝ ooper´ atorok sz´ am´ıt´ asa
Az Rayleigh I. integr´ al le´ırja, hogyan ´all´ıthat´o el˝o egy els˝odleges forr´as hangtere a v´egtelen f´elt´erben egy fel¨ uletmenti monop´ oluseloszl´as seg´ıts´eg´evel. Ez m´ar a hangt´er szint´ezisre alkalmas osszef¨ ugg´es lenne, ha a teljes falon tudunk forr´asokat elhelyezni. Ekkor egyszer˝ uen, a virtu´alis ¨ forr´ as ´ altal a falon l´etrehozott norm´ alis r´eszecskesebess´eg k´etszeres´evel vez´erelve a fal menti monop´ olusokat a virtu´ alis forr´ as tere vissza´all´ıthat´o. A gyakorlatban azonban nem egy teljes fal ment´en, hanem egy vonal ment´en helyez¨ unk el hangforr´asokat. Ez egy ´atmeneti eset a k´et- ´es h´ aromdimenzi´ os szint´ezis k¨ oz¨ ott. C´elszer˝ u teh´at megvizsg´alni a puszt´an k´etdimnezi´os esetet is.
2.4.1.
A k´ etdimenzi´ os hangt´ erszint´ ezis
K´etdimenzi´ os hull´ amterjed´esre j´ o p´elda, ha a v´ızbe tartott ujjunkat oda-vissza mozgatjuk: a kialakul´ o hull´ amt´er a forr´ asra – jelen esetben a v´ızfelsz´ınre mer˝oleges ujjunkra – hengerszimmetrikus, csak k´et koordin´ ata f¨ uggv´enye, a kialakul´o hull´amt´er ide´alis esetben minden a forr´asra mer˝oleges s´ıkban azonos. Ez m´ ar el˝ ore vet´ıti, hogy a k´etdimenzi´os monop´olus h´aromdimenzi´oban v´egtelen hossz´ u vonalforr´ ass´ a fajul. K´etdimenzi´ os hull´ amterjed´esi probl´ema eset´en a k´etdimenzi´os Rayleigh-integr´alok ´ırhat´oak fel, amelyek a (2.22) Kirchhoff–Helmholtz-integr´alb´ol a k´etdimenzi´os Green-f¨ uggv´enyek alkalmaz´as´aval a h´ aromdimenzi´ os esettel anal´ og m´odon sz´am´ıthat´oak. A k´etdimenzi´os Helmholtz-egyenlet szabadt´eri Green-f¨ uggv´enye a k¨ ovetkez˝o alak´ u: (2)
G2D (r|rA ) = −jπH0 (k |r − rA |), (2) H0
(2.37)
ahol a m´ ar ismert nulladrend˝ u m´asodfaj´ u Hankel-f¨ uggv´eny. Ez az egyenlet a k´etdimenzi´os monop´ olus ter´et ´ırja le, amely h´ aromdimenzi´os t´erben v´egtelen hossz´ u vonalforr´as. A Kichhoff integr´ al a vizsg´ alt elrendez´esben egy z´art g¨orbe menti vonalintegr´all´a fajul, amelyben a Greenf¨ uggv´eny az el˝ obb bevezetett Hankel-f¨ uggv´eny [42]: Z 1 (2) (2) P (rA , ω) = jωVn (r, ω) − jπH0 (kr) + P (r, ω) − jkπ cos ϕH1 (kr) dL. (2.38) 4π L 11
Az integrandus jobboldali tagja a Hankel-f¨ uggv´eny norm´alis ir´any´ u deriv´altja, a h´aromdimenzi´os esettel anal´ og m´ odon egy v´egtelen dip´ olus vonalforr´as ter´et ´ırja le. A Hankel-f¨ uggv´eny a t´avolt´erben k¨ ozel´ıthet˝ o aszimptotikus sorfejt´es´evel [1, 16]: r 2π e−jkr (2) √ , (2.39) −jπH0 (kr) ≈ jk r valamint (2)
−jπH1 (kr) ≈
p
e−jkr 2πjk cos ϕ √ . r
(2.40)
A sorfejt´es eredm´enye azt mutatja, hogy a k´etdimenzi´os forr´as amplit´ ud´oja lassabban cseng le, mint h´ aromdimenzi´ oban. Ez v´ arhat´ o, hiszen k´etdimenzi´oban az egyes r´eszecsk´eknek eggyel kevesebb a mozg´ asi szabads´ agi foka, a kinetikus energi´ajuk kevesebb szomsz´edjuk k¨oz¨ott sz´or´odik. A k¨ ozel´ıt´eseket alkalmazva az el˝ oz˝ o szakaszban l´athat´o m´odon a Kirchhoff-integr´al egyszer˝ us´ıthet˝ o. ´Igy a Rayleigh I integr´ al k´etdimenzi´os alakja r Z ∞ Z ∞ 1 2π e−jkr 1 (2) √ dx, jωVn (r, ω) − jπH0 (kr) dx ≈ jωVn (r, ω) P (rA , ω) = (2.41) 2π −∞ 2π −∞ jk r m´ıg a Rayleigh II integr´ al k´etdimenzi´ oban Z ∞ Z ∞ p e−jkr 1 1 (2) P (r, ω) − jkπ cos ϕH1 (kr) dx ≈ P (r, ω) 2πjk cos ϕ √ dx. P (rA , ω) = 2π −∞ 2π −∞ r (2.42) A Rayleigh-integr´ alok jelent´ese ebben az esetben: egy k¨ uls˝o monop´olus forr´as ´altal egy s´ıkban el˝o´all´ıtott hangnyom´ as szintetiz´ alhat´ o egy vonal ment´en elhelyezked˝o a s´ıkra mer˝oleges v´egtelen hossz´ u vonalforr´ asok, vagy dip´ ol vonalforr´ asok seg´ıts´eg´evel. Ehhez a monop´olusokat az els˝odleges forr´as altal l´etrehozott norm´ ´ alis ir´ any´ u r´eszecskesebess´eggel, a dip´olusokat a l´etrehozott hangnyom´assal kell vez´erelni. Monop´ olusokra teh´ at a norm´alis ir´any´ u r´eszecskesebess´egek sz´am´ıt´asa sz¨ uks´eges. Ennek alakja [42]: π (2) Vn (∆r, ω) = − cos ϕH1 (k∆r). (2.43) ρ0 c Ez alapj´ an (2.41) egyenletbe ezt visszahelyettes´ıtve az egyes monop´olusok Q2D (r, ω) vez´erl˝ooper´ atora: r jk e−jk∆r jk (2) cos ϕ √ . (2.44) Q2D (r, ω) = − cos ϕH1 (k∆r) ≈ 2 2π ∆r A m´ asodlagos monop´ olusokra teh´ at ezt ki´ert´ekelve a forr´asok m¨og¨ott k´etdimenzi´os monop´olus tere szintetiz´ alhat´ o.
2.4.2.
A h´ aromdimenzi´ os hangt´ erszint´ ezis
L´ athattuk, hogy k´etdimenzi´ oban egy s´ıkban egyenes vonal ment´en elhelyezett monop´olusok (vagy dip´ olusok) seg´ıts´eg´evel egy virtu´alis forr´as tere el˝o´all´ıthat´o. H´aromdimenzi´oban ugyanehhez v´egtelen hossz´ u vonalforr´ asokra lenne sz¨ uks´eg, ami term´eszetesen nem megval´os´ıthat´o. A gyakorlatban egy v´ızszintes vonal ment´en elhelyezett h´aromdimenzi´os monop´olusokkal – amelyek kisfrekvenci´ an dinamikus hangsz´ or´ okkal j´ol k¨ozel´ıthet˝ok – pr´ob´aljuk az eredeti forr´as hangter´et vissza´ all´ıtani. Ez term´eszetesen csak a forr´asok s´ıkj´aban lehets´eges: ´ıgy vissza´ert¨ unk a k´etdimenzi´ os hangt´erszint´ezishez, amelyhez azonban k´etdimenzi´os vonalforr´asokra lenne sz¨ uks´eg. Mint a k¨ ovetkez˝ oekben l´ athat´ o lesz emiatt a m´asodlagos forr´aselt´er´es miatt a s´ıkban a h´aromdimenzi´ os monop´ olusokkal a virtu´ alis forr´ as ter´et csak k¨ozel´ıt˝oleg ´all´ıthatjuk vissza. Ahhoz, hogy ezt megtehess¨ uk a h´ aromdimenzi´ os forr´ asokat az u ´n. 2 21 -dimenzi´os vez´erl˝of¨ uggv´enyeit sz´am´ıtjuk. Az elnevez´es onnan sz´ armazik, hogy k´etdimenzi´os hangt´erszint´ezist pr´ob´alunk megval´os´ıtani h´aromdimenzi´ os m´ asodlagos forr´ aseloszl´ assal. Az ´ altal´ anos vez´erl˝ ooper´ atorok sz´ armaztat´as´ahoz az alapfeladatot a k¨ovetkez˝ok´epp fogalmazhatjuk meg, el˝ osz¨ or h´ aromdimenzi´ oban, a 2.6 ´abr´an l´athat´o jel¨ol´esekkel: tudjuk, hogy a szint´ezis 12
2.6. ´ abra. A vizsg´ alt elrendez´es a vez´erl˝ooper´ator sz´am´ıt´as´ahoz ´ s´ıkj´ aban fekszik S poz´ıci´ oban az els˝ odleges forr´as ´es az R megfigyel˝o poz´ıci´o is. Altal´ anosan az els˝ odleges S forr´ as ´ altal l´etrehozott hangteret a k¨ovetkez˝o egyenlet ´ırja le: P (r, ω)prim = S(ω)G(ϕ, ϑ, ω)
e−jkr , r
(2.45)
ahol S(ω) a forr´ as jel´enek Fourier-transzform´altja, G(ϕ, ϑ, ω) a forr´as ir´anykarakterisztik´aj´at ´ırja le g¨ ombi koordin´ atarendszerben. C´elunk, hogy tetsz˝oleges R-ben ez a hangnyom´as megegyezzen az z = 0 s´ık ment´en elhelyezked˝ o m´ asodlagos forr´aseloszl´as ´altal l´etrehozott hangnyom´assal, amelyet a Rayleigh I. integr´ al ad meg z = 0 fel¨ uletre fel´ırva: Z 1 e−jk∆r P (r, ω)sec = jωρ0 Vn (r, ω) dxdy, (2.46) 2π xy ∆r ahol Vn (r, ω) az els˝ odleges forr´ as ´ altal l´etrehozott norm´alis ir´any´ u r´eszecskesebess´eg a z = 0 s´ıkon. ´Igy az els˝ odleges hangforr´ as tere a m´asodlagos forr´asok ter´enek ¨osszegek´ent szintetiz´alhat´o. Els˝ ok´ent teh´ at a Vn (r, ω) norm´ alis r´eszecskesebess´eg meghat´aroz´asa a c´elunk. A hangt´er (2.2) alapegyenlete alapj´ an ismert, hogy ∂ e−jkr ∂ G(ϕ, ϑ, ω) . (2.47) jωρ0 Vn (r, ω) = − p(r, ω)prim = −S(ω) ∂n ∂z r A z ir´ anymenti deriv´ altak ki´ert´ekel´es´ehez g¨ombi koordin´atarendszerb˝ol vissza kell v´altani Descarteskoordin´ atarendszerbe, ahol ϕ = arctan xz ´es ϑ =arctan √x2y+z2 . Az ir´anymenti deriv´alt ekkor a k¨ ovetkez˝ o alak´ u: e−jkr sin ϕ ∂G cos ϕ sin ϑ ∂G 1 + jkr jωρ0 Vn (r, ω) = S(ω) + + G cos ϕ cos ϑ . (2.48) r r cos ϑ ∂ϕ r ∂ϑ r A fenti egyenlet le´ırja a z = 0 s´ıkon l´etrej¨ov˝o r´eszecskesebess´eget. Ha az alkalmazott m´asodlagos forr´ asok egy v´egtelen fal ment´en helyezkedn´enek el, akkor az ´ıgy vez´erelt monop´olusokkal az els˝ odleges forr´ as tere t¨ ok´eletesen reproduk´alhat´o lenne. Az eredm´enyt behelyettes´ıthetj¨ uk a (2.46) egyenletbe, ami ´ıgy fel´ırhat´ o a k¨ ovetkez˝o alakban: Z e−jk∆r dxdy, (2.49) P (r, ω) = Q3D (r, ω) ∆r xy 13
ahol Q3D (r, ω) =
1 e−jkr S(ω) 2π r
sin ϕ ∂G cos ϕ sin ϑ ∂G 1 + jkr + + G cos ϕ cos ϑ r cos ϑ ∂ϕ r ∂ϑ r
(2.50)
a monop´ olusok h´ aromdimenzi´ os vez´erl˝ooper´atora: a z = 0 fal ment´en elhelyezett monop´olusokat ´ıgy vez´erelve azok ter´enek ¨ osszegek´ent a fal m¨og¨otti G ir´anykarakterisztik´aj´ u forr´as hangtere a fal el˝ ott t¨ ok´eletesen vissza´ all´ıthat´ o.
2.4.3.
os hangt´ erszint´ ezis A 2 21 -dimenzi´
A gyakorlatban a szint´ezishez a teljes fal ment´en forr´asokat elhelyezni t´ ul k¨olts´eges lenne. Ehelyett a m´ asodlagos forr´ asok csak egy vonal ment´en, a virtu´alis forr´as ´es a hallgat´o k¨oz¨os y = 0 s´ıkj´ anak ´es a z = 0 s´ıknak metsz´esvonal´an helyezkednek el. Mivel ezut´an a virtu´alis forr´as, a hallgat´ o ´es az ¨ osszes m´ asodlagos forr´ as is az y = 0 s´ıkban helyezkednek el, ´ıgy ezt a s´ıkot, amelyben az eredeti hangteret reproduk´ alni akarjuk a szint´ezis s´ıkj´ anak nevezz¨ uk. Ez a k¨ ozel´ıt´es a forr´ asok jelent˝ os r´esz´enek elhagy´as´at jelenti. Ahhoz, hogy a reproduk´alt hangt´er k¨ ozel´ıt˝ oen megegyezzen a virtu´ alis forr´as ter´evel, az ¨osszes elhagyott m´asodlagos forr´as hat´as´at bele kell csomagolni” a v´ızszintes, y = z = 0 ment´en elhelyezked˝o vonalforr´as egyes pontjaiba. ´Igy ” os vez´erl˝ ooper´atorokhoz. Az approxim´aci´o l´enyege az, hogy a vonalforr´as jutunk az u ´n. 2 21 -dimenzi´ minden pontja k¨ ozel´ıt˝ oen tartalmazza az ¨osszes alatta ´es f¨ol¨otte elhelyezked˝o eredeti m´asodlagos forr´ asok hat´ as´ at, ´ıgy a fel¨ uleti forr´ aseloszl´ast oszloponk´ent az oszlop k¨oz´eppontj´aba reduk´aljuk. Ezt u ´gy val´ os´ıthatjuk meg, hogy a Rayleigh I. integr´alt el˝osz¨or az y ir´any´ u, a 2.6 ´abr´an mmel jel¨ olt vonal ment´en ´ert´ekelj¨ uk ki, ´ıgy a marad´ek tag egy x-ir´any´ u vonalintegr´al, amely m´ar explicite tartalmazza a forr´ asok x-t˝ ol f¨ ugg˝o vez´erl˝of¨ uggv´enyeit: A (2.49) integr´ al l´ athat´ o, hogy fel´ırhat´o a k¨ovetkez˝o ´altal´anos alakban: Z P (r, ω) = S(ω) F (r, ϕ, ϑ)e−jk(r+∆r) dxdy. (2.51) xy
p p Az egyenletben r = x2 + y 2 + z02 , hasonl´oan ∆r = ∆x2 + ∆y 2 + ∆z02 . Ez r¨ogz´ıtett x0 -ra csak y-koordin´ ata f¨ uggv´enye ´es ´ıgy egy oszcill´al´o f¨ uggv´eny ±∞ k¨oz¨otti vonalintegr´alj´at ´ırja le. A vizsg´ alt elrendez´es ´es a kiintegr´ aland´ o f¨ uggv´eny jellege a 2.7 ´abr´an l´athat´o monop´olus els˝odleges forr´ as eset´ere. Az ilyen alak´ u integr´ alokra ad k¨ozel´ıt˝o anal´ıtikus megold´ast az stacion´ arius f´ azis m´ odszer. A stacion´ arius f´ azis m´ odszer. A stacion´arius f´azis m´odszer [17, 27, 55] az aszimptotikus anal´ızis egy alapvet˝ o¨ osszef¨ ugg´ese, a k¨ ovetkez˝o alak´ u f¨ uggv´enyek integr´alj´ara ad k¨ozel´ıt˝o megold´ast: Z ∞ I= F (y)e−jφ(y) dy, (2.52) −∞
ahol F (y) ´es φ(y) val´ os ´ert´ek˝ u, folytonos f¨ uggv´enyek, valamint F (y) lassabban v´altoz´o f¨ uggv´eny, mint φ(y). Az approxim´ aci´ o l´enyege az, hogy a ejφ(y) alak´ u oszcill´atorok integr´alja ¨onmag´aban z´erus. Ha teljes¨ ul, hogy φ(y) gyorsabban v´altoz´o f¨ uggv´enye y-nak, mint F (y), akkor az integr´al´asi u ´t nagy r´esz´en az integrandus z´erus, hiszen az oszcill´aci´o ´atlag´ert´eke nulla. A legink´abb sz´amottev˝o hozz´ aj´ arul´ asa az integr´ alhoz azoknak a r´eszeknek van, ahol a f´azis ´alland´o, azaz ∂φ(y) ∂y = 0. Ezek a stacion´ arius f´ azis´ u pontok, innent˝ ol ys . A stacion´arius f´azis´ u pontokra teh´at igaz, hogy φ0 (ys ) = 0.
(2.53)
Mivel az alapfelt´etele az elj´ ar´ asnak, hogy F (y) lassan v´altoz´o f¨ uggv´enye y-nak, ez´ert xs k¨ornyezet´eben a f¨ uggv´eny konstansnak tekinthet˝o, amelynek ´ert´eke F (ys ). Emiatt F (ys ) az integr´al´as el´e kiemelhet˝ o. Az integr´ al ki´ert´ekel´es´ehez a φ(y) f¨ uggv´enyt a m´asodfok´ u ys k¨or¨ uli Taylor-sor´aval k¨ ozel´ıtj¨ uk: 1 φ(y) ≈ φ(ys ) + φ0 (ys )(y − ys ) + φ00 (ys )(y − ys )2 . (2.54) 2 14
y y
integrálási út
m r
S
z0 r0
z x0
x
stacionárius fázisú pont 2.7. ´ abra. A ki´ert´ekelend˝o vonalintegr´al szeml´eltet´ese A stacion´ arius pont defin´ıci´ oj´ ab´ ol ered˝oen φ0 (ys ) = 0, azaz a Taylor-sornak csak a konstans ´es m´ asodfok´ u tagja marad meg: 1 φ(y) ≈ φ(ys ) + φ00 (ys )(y − ys )2 . 2 Ezt visszahelyettes´ıtve az integr´ alba az a k¨ovetkez˝ok´epp alakul: Z ∞ 00 2 I ≈ F (ys )e−jφ(ys ) e−jφ (ys )(y−ys ) /2 dy.
(2.55)
(2.56)
−∞
Ez az integr´ al m´ ar analitikusan sz´ am´ıthat´o, az integr´al k¨ozel´ıt˝o ´ert´eke s Z ∞ 2π −jφ(y) I= F (y)e dy ≈ F (ys )e−jφ(ys ) . 00 (y ) jφ s −∞
(2.57)
A 2 21 dimenzi´ os vez´ erl˝ ooper´ ator. A stacion´arius f´azis m´odszert a (2.49) egyenletre kell alkalmazni. Az adott szereposzt´ asban a f¨ uggv´enyek: 1 S(ω) sin ϕ ∂G cos ϕ sin ϑ ∂G 1 + jkr F (y) = + + G cos ϕ cos ϑ (2.58) 2π r∆r r cos ϑ ∂ϕ r ∂ϑ r ´es φ(y) = k(r + ∆r),
(2.59)
ahol r, ∆r, ϕ, ϑ implicit f¨ ugg y-t´ ol. A stacion´ arius f´ azis´ u pont megtal´ al´as´ahoz a f´azisf¨ uggv´eny deriv´altj´anak z´erushely´et keress¨ uk: ∂ y y k(r + ∆r) = k + = 0. (2.60) ∂y r ∆r Ennek j´ ol l´ athat´ oan ys = 0 a legegyszer˝ ubb megold´asa, ´ıgy ezt v´alasztjuk a stacion´arius pontnak. Ez l´ athat´ o a 2.7 ´ abr´ an is. A φ(y) f¨ uggv´eny m´asodik deriv´altja a k¨ovetkez˝o alak´ u: ∂2 y2 y2 1 1 k(r + ∆r) = k − √ − √ + + . (2.61) 2 3 3 ∂y r ∆r r ∆r 15
A stacion´ arius pont k¨ ornyezet´eben alkalmazhatjuk a stacion´arius f´azis´ u k¨ozel´ıt´est, azaz (2.49) integr´ al a k¨ ovetkez˝ ok´epp k¨ ozel´ıthet˝ o: s 2πj I ≈ F (y0 )ejφ(y0 ) . (2.62) 00 φ (y0 ) Mivel y0 = 0 ez´ert ϑ = 0. Az egyes f¨ uggv´enyek ekkor a 2.6 ´es 2.8 ´abr´akon l´athat´o jel¨ol´esekkel, ahol r0 ´es ∆r0 az r ´es ∆r y = 0 s´ıkba es˝ o komponensei: φ(y0 ) = −k(r0 + ∆r0 ),
(2.63)
r0 + ∆r0 , r0 ∆r0
(2.64)
φ00 (y0 ) = −k 1 S(ω) f (y0 ) = 2π r0 ∆r0
sin ϕ ∂G(ϕ, 0, ω) 1 + jkr0 + G(ϕ, 0, ω) cos ϕ . r0 ∂ϕ r0
(2.65)
T´ avolt´erben, azaz kr0 1 eset´en f (y0 ) jobb oldala domin´al, ´ıgy (2.62)-be ezeket behelyettes´ıtve az y-ment´en sz´ am´ıtott integr´ al a k¨ ovetkez˝ok´epp k¨ozel´ıthet˝o: s 2πjr0 ∆r0 S(ω) 1 + jkr0 −jkr0 −jk∆r0 . (2.66) G(ϕ, 0, ω) cos ϕe e I≈ 2πr0 ∆r0 r0 −k(r0 + ∆r0 ) Az els˝ odleges forr´ as hangter´enek k¨ ozel´ıt´es´ehez ezt kell m´ar csak az x-tengely ment´en integr´alni. Az ´ıgy szintetiz´ alt hangt´er rendez´es ut´an a k¨ovetkez˝ok´epp alakul: r r Z jk ∞ ∆r0 e−jkr0 e−jk∆r0 Pszint = S(ω) G(ϕ, 0, ω) cos ϕ √ dx. (2.67) 2π −∞ r0 + ∆r0 r0 ∆r0 Az egyenlet azt ´ all´ıtja, hogy az x-tengely ment´en elhelyezked˝o megfelel˝oen vez´erelt monop´olus sug´ arz´ okkal az els˝ odleges forr´ as hangtere k¨ozel´ıthet˝o ´es az ´ıgy el˝o´all´ıtott hangt´er anal´ıtikusan: Z ∞ e−jk∆r dx. (2.68) Pszint = Qm (x, ω) ∆r −∞ Az egyenletben Qm (x, ω) az adott k¨ orfrekvenci´an a m´asodlagos forr´asok keresett vez´erl˝ooper´atora: r r jk ∆r e−jkr Qm (x, ω) = S(ω) G(ϕ, 0, ω) cos ϕ √ . (2.69) 2π r + ∆r r Vegy¨ uk ´eszre azonban, hogy a szint´ezisoper´ator ∆r0 f¨ uggv´enye, amely az adott m´asodlagos forr´ asb´ ol a vizsg´ alt R pontba mutat´ o vektor hossza. Ez azt jelenti, hogy az amplit´ ud´o-helyes szint´ezishez minden R poz´ıci´ ohoz k¨ ul¨ onb¨ oz˝o er˝os´ıt´es˝ u szint´ezisoper´ator tartozna. Ez term´eszetesen nem megval´ os´ıthat´ o, ´ıgy a gyakorlatban kiv´alasztunk egy R pontot a vizsg´alt t´err´eszben ´es a
2.8. ´ abra. Egy els˝ odleges forr´ as hangter´enek szint´ezise vonalment´en elhelyezked˝o els˝odleges monop´ olusokkal 16
2.9. ´ abra. Egy els˝ odleges forr´ as hangter´enek szint´ezise vonalment´en elhelyezked˝o els˝odleges dip´olusokkal m´ asodlagos forr´ asok vez´erl˝ of¨ uggv´enyeit erre a pontra vonatkoz´oan ´ırjuk fel. Ezt a pontot referenciapontnak nevezz¨ uk. Mivel a referenciapont helye csak a forr´asok er˝os´ıt´es´et befoly´asolja, ez´ert a szintetiz´ alt hangt´er csak a referenciapontban lesz teljesen a szintetiz´aland´o hangt´errel megegyez˝o, a ponton k´ıv¨ ul amplit´ ud´ ohib´ ak l´epnek fel. Ahhoz, hogy a szintetiz´ alt hangt´er ne csak egyetlen pontban legyen teljesen az eredetivel azonos, Start a stacion´ arius f´ azis´ u k¨ ozel´ıt´es ism´etelt alkalmaz´as´aval kiterjesztette a vez´erl˝ooper´atort u ´gy, hogy az amplit´ ud´ ohelyes szint´ezist biztos´ıt minden, a z = ∆z0 vonal ment´en elhelyezked˝o R megfigyel´esi poz´ıci´ ora [42]. Ezt a vonalat a szint´ezis referenciavonal´ anak nevezz¨ uk. Az ´ıgy kapott szint´ezisoper´ ator a 2.8 ´ abr´ an l´ athat´ o jel¨ol´esekkel: r r jk ∆z0 e−jkr G(ϕ, 0, ω) cos ϕ √ . (2.70) Qm (x, ω) = S(ω) 2π z0 + ∆z0 r A vez´erl˝ ooper´ atort a k´etdimenzi´ os vez´erl˝ooper´atorral ¨osszehasonl´ıtva szembet˝ unik, hogy a k´et vez´erl˝ ooper´ ator az amplit´ ud´ o-korrekci´ os tagot lesz´am´ıtva teljesen megegyez˝o alak´ u. Ez azt jelenti, hogy h´ aromdimenzi´ os monop´ olusokkal h´aromdimenzi´os monop´olus ter´et korrig´alt k´etdimenzi´os vez´erl˝ ooper´ atorokkal ´ all´ıthatjuk el˝ o a szint´ezis s´ıkj´aban. Ez a hasonl´os´ag a forr´as-nyel˝o felcser´elhet˝ os´egre vezethet˝ o vissza. A vez´erl˝ ooper´ atorok anal´ og m´ odon sz´am´ıthat´ok a Rayleigh II. integr´al alapj´an dip´olus m´asodlagos forr´ aseloszl´ asra [42]. A vez´erelhet˝o dip´olus eloszl´as ´altal szintetiz´alt hangt´er ekkor Z
∞
Pszint =
Qd (x, ω)jk cos Φ −∞
e−jk∆r dx, ∆r
(2.71)
ahol Φ a fel¨ uletelemb˝ ol a vizsg´ alt pontba mutat´o vektor ´es a fel¨ uletelem norm´alisa ´altal bez´art sz¨ og, m´ıg Qd (x, ω) a dip´ olusok vez´erl˝ ooper´atora: r r 1 ∆z0 e−jkr Qd (x, ω) = S(ω) G(ϕ, 0, ω) cos ϕ √ . (2.72) 2πjk z0 + ∆z0 r A vez´erl˝ ooper´ atorokat vizsg´ alva l´ athat´o, hogy a stacion´arius f´azis´ u k¨ozel´ıt´es a monop´olusok eset´eben egy +3 dB/okt´ avos sz˝ ur´est ´es egy ´alland´o +45 ◦ -os k´esleltet´est, dip´olusok eset´eben −3 dB/okt´ avos sz˝ ur´est ´es −45 ◦ -os k´esleltet´est ´es egy t´avols´ag gy¨ok´evel val´o korrekci´ot okozott ahhoz, hogy legal´ abb a referenciavonalon amplit´ ud´ohelyes legyen a szint´ezis. V´eg¨ ul az egyes m´asodlagos forr´ asok id˝ otartom´ anybeli vez´erl˝ ojel´et annyival kell k´esleltetni, amennyi id˝o ahhoz kell, hogy a virtu´ alis forr´ asb´ ol indul´ o hull´ am az adott m´asodlagos forr´ashoz ´erjen, valamint √ az amplit´ ud´oj´at ezzel ar´ anyosan kell cs¨ okkenteni. Ezt a k´esleltet´est-csillap´ıt´ast ´all´ıtja be az e−jkr / r tag. A vez´erl˝ ooper´ atorok m˝ uk¨ od´es´enek vizsg´alat´ahoz az ´alland´osult ´allapot sz´am´ıt´asa a feladatunk ny´ılt t´erbe val´ o sug´ arz´ askor. Az erre alkalmazott m´odszert a l´etrehozott szimul´aci´os k¨ornyezetr˝ ol sz´ ol´ o fejezet vonatkoz´ o bekezd´ese mutatja be. A k¨ovetkez˝o szimul´aci´os eredm´enyek mind ´ıgy k´esz¨ ultek 17
Monopólus forrás nyomástere
(a)
A szintetizált hangtér
1
x [m]
Referenciavonal
0
1
0,5 z [m]
(b)
0
0,5 z [m]
1
15 Eredeti hangér Szintetizált hangtér
Nyomás [Pa]
10
5
0
-5 Referenciavonal - 10 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
z [m]
2.10. ´ abra. Monop´ olus els˝ odleges forr´ as eredeti ´es szintetiz´alt nyom´astere (a) ´es a hangterek keresztmetszete x = 0,5 m vonal ment´en (b)
A vez´erl˝ ooper´ atorok m˝ uk¨ od´ese a 2.10 ´abr´akon l´athat´o, amely egy 2,6 kHz-es z = −0,2 m, x = 0,5 m pontban elhelyezked˝ o monop´ olus hangter´et mutatja egy 1x1 m´eteres szob´aban. A szint´ezis sor´ an a m´ asodlagos forr´ aseloszl´ as (piros vonal) az x tengely ment´en, z = 0 vonalon helyezkedik el, m´ıg a referenciavonal: ∆z0 = 0,25 m. A 2.10 ´abra (a) r´esz´en l´athat´o, hogy a szintetiz´alt hangt´er hull´ amfrontja a teljes s´ıkban azonos az eredetivel, teh´at a szint´ezis f´azishelyesen m˝ uk¨odik. A 2.10 abra (b) r´esz´en l´ ´ athat´ o, hogy a szint´ezis val´oban csak a ∆z0 referenciavonalon lesz amplit´ ud´ohelyes. A m´ asodlagos forr´ aseloszl´ as k¨ ozel´eben az amplit´ ud´o korrekci´os t´enyez˝o alapj´an a v´artnak megfelel˝ oen [42] a szintetiz´ alt hangt´er amplit´ ud´oja j´oval nagyobb az eredetin´el, de a referenciavonal ut´ an az elt´er´es m´ ar minim´ alis. Ebb˝ol kifoly´olag a referenciavonal optim´alis megv´alaszt´as´aval az amplit´ ud´ ohelyes szint´ezis ar´ anylag j´ol megval´os´ıthat´o a hallgat´ot´er nagy r´esz´en. Az eddig le´ırt vez´erl˝ ooper´ atorok egyenes vonal ment´en elhelyezked˝o m´asodlagos forr´aseloszl´asokra vonatkoztak. Spors ´ altal´ anos´ıtotta a vez´erl˝ooper´atort tetsz˝oleges alak´ u m´asodlagos forr´asel18
y [m]
1
A szintetizált hangtér
0,5
0
0,5 z [m]
1
2.11. ´ abra. Monop´ olus forr´ as hangtere k¨oralak´ u m´asodlagos forr´aseloszl´as seg´ıts´eg´evel oszl´ asra [32, 33, 40]. Az ´ altala levezetett oper´ator az r helyvektor´ u forr´aselemre: p p 1 r−jkr Qm (r, ω) = −2a(r) cos ϕ 2π |rref − r| √ + jk S(ω) √ . r jkr
(2.73)
Az egyenlet jel¨ ol´esei a k¨ ovetkez˝ ok: rref a referenciapont helyvektora, r = |r − rS |, a virtu´alis forr´as T S ) n(r) , ´es aktu´ alis m´ asodlagos forr´ as t´ avols´ aga, ahol rS a virtu´alis forr´as helyvektora, ϕ = (r−r |r−rS | azaz a virtu´ alis forr´ asb´ ol a vizsg´ alt m´ asodlagos forr´asba mutat´o vektor ´es a m´asodlagos forr´aselem norm´ alisa ´ altal bez´ art sz¨ og, m´ıg 1 ha ϕ < π/2 a(r) = 0 ha ϕ > π/2 olyan ablakf¨ uggv´eny, amely biztos´ıtja, hogy a szint´ezis sor´an csak azok a m´asodlagos forr´asok legyenek akt´ıvak, amelyek a virtu´ alis forr´as el˝ott helyezkednek el. A Spors ´altal sz´am´ıtott vez´erl˝ ooper´ ator seg´ıts´eg´evel szintetiz´ alt hangt´er a 2.11 ´abr´an l´athat´o. Ebben az esetben az els˝odleges virtu´ alis forr´ as a vizsg´ alt t´err´eszen k´ıv¨ ul helyezkedik el, z = −2 m, x = 0,5 m pontban, m´ıg a szint´ezis k¨ oralakban elhelyezett monop´olus m´asodlagos forr´asokkal t¨ort´enik az ´abr´an az akt´ıv forr´ asokat piros sz´ınnel jel¨ olve. L´ athat´o, hogy a szint´ezis f´elk¨or alakban elhelyezett m´asodlagos forr´ aseloszl´ as seg´ıts´eg´evel is f´ azishelyesen v´egrehajthat´o. Megmutathat´ o, hogy a vez´erl˝ ooper´ ator kr 1 eset´en, azaz t´avoli virtu´alis forr´as eset´en ´atmegy a klasszikus, (2.69) oper´ atorba.
19
2.5.
A f´ okusz´ al´ o oper´ ator
L´ athat´ o volt, hogy a forr´ as ´es hallgat´o k¨oz¨otti transzmisszi´os utak ir´anya felcser´elhet˝o. Ezalapj´ an lehet˝ os´eg van a hull´ amok f´ okusz´al´as´ara, azaz a m´asodlagos forr´asok el˝ott elhelyezked˝o els˝ odleges forr´ asok hangter´enek szintetiz´al´as´ara. Ehhez az u ´n. f´ okusz´ al´ o oper´ ator sz´armaztat´asa sz¨ uks´eges, ´ıgy az eddig bevezetett vez´erl˝ooper´atorokat pedig nem-f´ okusz´ al´ o vez´erl˝ ooper´ atoroknak nevezz¨ uk. A vizsg´ alt elrendez´es a 2.12 ´ abr´ an l´ athat´o. Egy´ertelm˝ u, hogy a m´asodlagos forr´asok ´es az els˝odleges forr´ as k¨ oz¨ otti 0 < z < z0 ter¨ uleten az els˝odleges forr´as ´es a m´asodlagos forr´asok ´altal keltett hull´ amok ellent´etes terjed´esi ir´ any´ uak. Ezen a ter¨ uleten az ir´anyhelyes szint´ezis nem lehets´eges, b´ ar mint k´es˝ obb l´ athat´ o lesz a k´ıv´ ant hull´amfront el˝o´all´ıthat´o itt is f´azishelyesen, puszt´an a hull´am halad´ asi ir´ anya t´er el az eredetit˝ ol. A z > z0 ter¨ uleten m´ar az els˝odleges ´es m´asodlagos forr´asokb´ol ´erkez˝ o hull´ amok azonos ir´ anyults´ ag´ uak, ezen a ter¨ uleten a hangt´er szintetiz´al´asa lehets´eges. A f´ okusz´ al´ o vez´erl˝ ooper´ ator sz´ armaztat´asa az el˝oz˝oekhez hasonl´o m´odon t¨ort´enik, az ´alland´o f´ azis´ u k¨ ozel´ıt´est alkalmazva [9, 15, 20, 48]. A monop´olus m´asodlagos forr´asokkal l´etrehozott hangt´er: Z ∞ e−jk∆r dx, (2.74) Pszint = Qfoc (x, ω) m ∆r −∞ olusok f´ okusz´ al´ o oper´atora levezet´es n´elk¨ ul: ahol Qfoc m a monop´ s r k ∆z0 e+jkr foc Qm (x, ω) = S(ω) cos ϕ √ . 2πj ∆z0 − z0 r
(2.75)
Az ellent´etes ir´ any´ u terjed´esi ir´ anyt a e+jkr tag pozit´ıv kitev˝oje mutatja. A dip´olus forr´asok ´altal l´etrehozott hangt´er: Z ∞ e−jk∆r Pszint = Qfoc (x, ω)jk cos ϕ dx, (2.76) d ∆r −∞ ahol Qfoc olusok f´ okusz´ al´ o vez´erl˝ of¨ uggv´enye: d a dip´ r Qfoc d (x, ω)
= −S(ω)
j 2πk
r
∆z0 e+jkr cos ϕ √ . ∆z0 − z0 r
(2.77)
A f´ okusz´ al´ o oper´ atorok ´ altal szintetiz´alt hangt´er a 2.13 ´abr´an l´athat´o. A m´asodlagos forr´aseloszl´ as az ´ abr´ an piros sz´ınnel jel¨ olt. Itt kell megjegyezni, hogy az ´abra a v´egtelen hossz´ u m´asodlagos vonalforr´ as ´ altal szintetiz´ alt hangteret mutatja. A vizsg´alt elrendez´esben a monop´olus els˝odleges forr´ as a m´ asodlagos forr´ aseloszl´ asok el˝ott, x = 0,5, z = 0,2 pontban helyezkedik el. L´athat´o, hogy a kialakul´ o hull´ amfront a z < 0,2 tartom´anyon is helyes alak´ u, de ezen a tartom´anyon a hull´am a
2.12. ´ abra. Elrendez´es a f´okusz´al´o oper´ator sz´armaztat´as´ahoz 20
A szintetizált hangtér
x [m]
1
0,5
0.5 z [m]
0
1
2.13. ´ abra. A f´ okusz´ al´ o oper´ atorral vez´erelt m´asodlagos forr´aseloszl´as hangtere f´ okuszpont fel´e halad, teh´ at ´epp az eredetivel ellent´etes ir´any´ u. Az ´abr´an l´athat´o, hogy a hull´am a f´ okuszponton val´ o´ athalad´ as sor´ an +90 ◦ -os f´azistol´ast szenved. ´ Erdemes megvizsg´ alni az ´ athalad´ as el˝ott a szintetiz´alt hull´amalakot. Az els˝odleges ´es m´asodlagos forr´ asok k¨ oz¨ otti ter¨ uleten, teh´ at 0 < z < z0 tartom´anyon kialakul´o hangt´er vizsg´alat´ahoz vegy¨ unk fel egy ˆr(ˆ x, 0, zˆ) pontot u ´gy, hogy 0 < zˆ < z0 . Ekkor az ebben a pontban kialakul´o hangnyom´ as a m´ asodlagos forr´ asok ter´enek ¨osszegek´ent ´ırhat´o fel: s r Z ∞ k ∆z0 cos ϕ e−jk(ˆr−r) √ P (ˆr, ω) = S(ω) dx. (2.78) 2πj ∆z0 − z0 −∞ rˆ r Az integr´ al ism´et a stacion´ arius f´ azis´ u pont k¨or¨ ul k¨ozel´ıthet˝o, ´ıgy a k¨ovetkez˝o alakra egyszer˝ us¨odik: s ∆z0 (z0 − zˆ) e+jkρ dx, (2.79) P (ˆr, ω) = −jS(ω) zˆ(∆z0 − z0 ) ρ p ahol ρ = x2A + (∆z0 − z0 )2 . L´ athat´ o, hogy a szintetiz´alt hangt´er val´oban, a ρ = 0 pont fel´e halad´o konk´ av hull´ amfront konstans −j k´esleltet´essel. Megfigyelhet˝o, hogy miut´an a hull´am ´athaladt a f´ okuszponton az amplit´ ud´ o-korrekci´ os t´enyez˝o negat´ıvv´a v´alik, a −j tag elt˝ unik, ´ıgy l´etrej¨on a szimul´ aci´ on is l´ athat´ o f´ azisv´ altoz´ as. Mivel a f´ okusz´ al´ o ´es nem f´ okusz´ al´ o oper´atorok formailag hasonl´oak, lehet˝os´eg van a vez´erl˝ooper´ atort ´ altal´ anosabb form´ ara hozni (ha a forr´as ir´anykarakterisztik´aja G(ϕ) = 1), amely mind f´ okusz´ al´ o, mind nem f´ okusz´ al´ o esetben haszn´alhat´o. Ez monop´olus m´asodlagos forr´asokra a k¨ovetkez˝ o alak´ u: s s sign(ξ)k ξ esign(ξ)jkr alt cos ϕ √ , (2.80) Qm (x, ω) = S(ω) 2πj ξ−1 r ahol ξ = zR /zS , azaz a referenciavonal ´es az els˝odleges forr´as z koordin´at´aj´anak el˝ojeles h´anyadosa, amely pozit´ıv ´ert´ek˝ u f´ okusz´ al´ o, negat´ıv ´ert´ek˝ u nem f´okusz´al´o esetben. Hasonl´oan, az ´altal´anos´ıtott oper´ ator dip´ olus m´ asodlagos forr´ asokra: s s S(ω) sign(ξ) ξ esign(ξ)jkr √ Qalt . (2.81) d (x, ω) = j 2πjk ξ−1 r
21
2.6.
¨ Osszegz´ es
A fejezetben l´ athattuk, hogy a Huygens-elv alapj´an tetsz˝oleges hangt´er el˝o´all´ıthat´o a hat´arol´o fel¨ uleten elhelyezett hangforr´ asok seg´ıts´eg´evel. A megval´os´ıthat´os´ag ´erdek´eben ezt gyakorlatban egy s´ıkban, a szint´ezis s´ıkj´ aban szok´ as megval´os´ıtani, amelyhez a s´ık hat´arol´o vonal´an elhelyezett m´ asodlagos forr´ aseloszl´ ast alkalmazunk. A k´et- ´es h´aromdimenzi´os Green-f¨ uggv´enyek k¨ ul¨onb¨oz˝os´ege miatt az el˝ o´ all´ıtott hangt´er csak a monop´olust´ol bizonyos t´avols´agra, a referenciavonalon lesz teljesen amplit´ ud´ ohelyes. Ezek ut´ an a vez´erl˝ooper´atorokat u ´gy sz´am´ıtjuk, hogy az eredeti ´es a szintetiz´ alt hangt´er k¨ ozel´ıt˝ oleg azonos legyen. L´athattuk, hogy ez minden forr´asra egy k´esleltet´esb˝ ol ´es egy er˝ os´ıt´esb˝ ol ´ all. Az ´ıgy sz´ am´ıtott vez´erl˝ooper´atorokkal ak´ar a t´erben bel¨ ul elhelyezett virtu´ alis forr´ as tere is el˝ o´ all´ıthat´ o, ´ıgy a hanghull´amok f´okusz´alhat´ok.
22
3. fejezet
A szint´ ezis j´ arul´ ekos hat´ asai 3.1.
Bevezet´ es
A fejezet a hangt´erszint´ezis j´ arul´ekos hat´asait mutatja be, amelyek a szint´ezis nem ide´alis volt´ ab´ ol erednek. Ezek r´eszben a m´ asodlagos forr´aseloszl´as diszkr´et volt´ab´ol, r´eszben az ide´alisan v´egtelen hossz´ u forr´ aseloszl´ as v´eges hossz´ u eloszl´assal val´o helyettes´ıt´es´eb˝ol sz´armaznak. Ezek k¨ oz¨ ul az els˝ o a vissza´ all´ıthat´ o hull´ am ir´any´ara ´es frekvenci´aj´ara ad korl´atot, m´ıg a m´asodik a besug´ arozhat´ o ter¨ uletet korl´ atozza. A vonatkoz´o irodalomban bemutatott jav´ıt´asi lehet˝os´egeket r¨ oviden bemutatom.
3.2.
A v´ eges apert´ uram´ eret hat´ asa
L´ athattuk, hogy a stacion´ arius f´ azis m´odszerrel m´ar jelent˝os k¨ozel´ıt´essel ´elt¨ unk a szint´ezis sor´ an. A vonalon k´ıv¨ uli forr´ asok elhagy´as´aval egy s´ıkra korl´atoztuk a szint´ezist. A s´ıkon k´ıv¨ ul a szintetiz´ alt hangt´er a m´ asodlagos forr´ aseloszl´as, mint tengely k¨or¨ ul elforgatva jelenik meg a t´erben. Mivel azonban a m´ asodlagos forr´ aseloszl´as a v´ızszintes ir´anyban sem v´egtelen, ez´ert a Rayleighintegr´ alt v´ızszintes ir´ anyban is csak k¨ ozel´ıteni tudjuk. A m´asodlagos vonalmenti forr´aseloszl´as vagy apert´ ura teh´ at v´eges, ez pedig a szint´ezis s´ıkj´aban meghat´arozza azt a ter¨ uletet, amelyet az adott forr´ aseloszl´ assal besug´ arozhatunk, vagyis amelyen a hangt´er rekonstru´alhat´o [48]. A szintetiz´alhat´ o ter¨ uletet azok a pontok hat´ arozz´ ak meg amelyekbe a virtu´alis forr´asb´ol h´ uzott egyenes metszi a m´ asodlagos forr´ aseloszl´ ast, vagyis azok a pontok, amelyre a virtu´alis forr´asb´ol a m´asodlagos forr´ ason kereszt¨ ul r´ al´ atni”. Ez abb´ ol ered, hogy ezek azok a pontok, amelyekre tal´alhat´o stacion´arius ” f´ azis´ u pont a m´ asodlagos forr´ aseloszl´ ason. Az elv szeml´eltet´ese a 3.1 ´abr´an l´athat´o. Azon a ter¨ uleten, amely az adott m´asodlagos forr´aseloszl´assal nem besug´arozhat´o diffrakci´os jelens´egek l´epnek fel, ahogy a 3.2 ´ abr´ an l´athat´o. A diffrakci´os hat´asok olyan g¨ombhull´amokk´ent jelentkeznek, amelyek l´ atsz´ olag a m´ asodlagos forr´aseloszl´as legsz´els˝o elem´eb˝ol sz´armaznak. A diff-
virtuális forrás síkhullám másodlagos forráseloszlás k
hallgatói terület
hallgatói terület
3.1. ´ abra. A besug´ arozhat´o ter¨ ulet pontforr´as ´es s´ıkhull´am eset´en 23
x x [m]
A forráseloszlás erősítése 1
z [m]
0
z [m]
3.2. ´ abra. Diffrakci´ os jelens´eg s´ıkhull´ am szintetiz´al´asa sor´an ´es ennek cs¨okkent´ese t´erbeli ablakf¨ uggv´ennyel rakci´ os hull´ amok intenzit´ asa ak´ ar 15 dB-lel is cs¨okkenthet˝o a m´asodlagos forr´aseloszl´as megfelel˝o t´erbeli ablakoz´ as´ aval [50], azaz a sz´elek fel´e k¨ozeledve a m´asodlagos forr´asok amplit´ ud´oj´at folyamatosan cs¨ okkentve. Ezzel azonban a besug´arozhat´o ter¨ uletet is jelent˝osen cs¨okkentj¨ uk, ´ıgy a megold´ as nem t¨ ok´eletes. A diffrakci´ os hat´ asok a hallgat´ oi ter¨ uleten cs¨okkenthet˝ok az apert´ ura sz´els˝o elemeinek megfelel˝o vez´erl´es´evel is u ´gy, hogy azokat a diffrakci´ot okoz´o l´atsz´olagos monop´olussal ´epp ellent´etes f´azisban vez´erlj¨ uk [10]. Ezek a vez´erl˝ of¨ uggv´enyek a szok´asos jel¨ol´esekkel: r r 1 ∆z0 cos ϕedge e−jkredge Qm (redge , ω) = S(ω) , (3.1) √ 2πjk z0 + ∆z0 sin ϕedge − sin β0 redge ahol β0 egy ´ altalunk megv´ alasztott, a m´asodlagos forr´aseloszl´as norm´alis´aval vett sz¨og, amely azt az ir´ anyt jel¨ oli ki, amely ir´ anyban a diffrakci´o kompenz´aci´o optim´alis. A m´odszer probl´em´aja, hogy hat´ as´ ara a diffrakci´ os hat´ asok a hallgat´oi ter¨ uleten k´ıv¨ ul er˝os¨odnek. Diffrakci´ os hat´ as l´ep fel sarkos m´ asodlagos forr´aseloszl´as eset´en, azaz amikor pl. egy szoba k´et szomsz´edos fal´ an helyezkednek el a m´asodlagos forr´asok. Ekkor azonban a diffrakci´os hull´amok j´ oval kisebb amplit´ ud´ oj´ uak, mint az el˝obb l´atott esetben. L´ athat´ o, hogy az eddigi m´ odszerek a diffrakci´o cs¨okkent´es´ere nem t¨ok´eletesek, csak k¨ozel´ıt˝o ´ ez´ert, saj´ megold´ asok. Epp at megold´ ast dolgoztam ki a probl´em´ara, amelyet az elm´eleti ¨osszefoglal´o ut´ an, a k¨ ul¨ on fejezetben ismertetek.
3.3.
A diszkr´ et forr´ asok hat´ asa
Szint´en jelent˝ os k¨ ozel´ıt´es a folyamatos forr´aseloszl´as felt´etelez´ese. A gyakorlatban a m´asodlagos forr´ asok hangsz´ or´ ok, amelyek kis frekvenci´an a hangsz´or´o membr´anj´anak k¨oz´eppontj´aban elhelyezked˝ o monop´ olusk´ent kezelhet˝ oek. A legkisebb el´erhet˝o t´avols´ag ´ıgy a m´asodlagos forr´asok k¨ oz¨ ott ´ atm´er˝ onyi. A m´ asodlagos forr´ aseloszl´as teh´at diszkr´et, a szintetiz´alt hangt´er is az egyes forr´ asok ter´enek integr´ alj´ ab´ ol ¨ osszegz´esbe megy ´at. A forr´asok diszkretiz´al´asa egy t´erbeli mintav´etelez´esk´ent foghat´ o fel, hat´ as´ at az ismert id˝obeli mintav´etelez´essel anal´og m´odon vizsg´alhatjuk, amelyre a legmegfelel˝ obb appar´ atus a s´ıkhull´ am dekompoz´ıci´ o.
3.3.1.
A s´ıkhull´ am dekompoz´ıci´ o
Tegy¨ uk fel, hogy z0 egyenesen, azzal α0 sz¨oget bez´arva ω k¨orfrekvenci´aj´ u s´ıkhull´am halad ´at, amelynek hull´ amsz´ ama k = ω/c nagys´ ag´ u ´es a terjed´es ir´any´aba mutat. A hull´amr´ol t0 id˝opontban 24
k´esz´ıtett pillanatk´ep l´ athat´ o a 3.3 ´ abra bal oldal´an. Ez a s´ıkhull´am reprezent´aci´oja az xz s´ıkon. A hull´ am ekkor a k¨ ovetkez˝ o egyenlettel ´ırhat´o le: x z p(x, z, t) = s t − − , (3.2) c sin α0 c cos α0 ahol s(t) a forr´ as vez´erl˝ ojele, jelen esetben szinuszos jel. T´etelezz¨ uk fel, hogy z = z0 egyenes ment´en elhelyezett folytonos mikrofonhalmazzal r¨ogz´ıtj¨ uk az ezen az egyenesen ´ athalad´ o hull´ am id˝of¨ uggv´eny´et. Ekkor a hull´am xt reprezent´aci´oj´at kapjuk, amely az el˝ oz˝ o hull´ amra a 3.3 (b) ´ abr´ an l´athat´o. A f¨ ugg˝oleges tengely minden x poz´ıci´oban az eredeti hull´ am id˝ of¨ uggv´eny´et ´ırja le, amely v´ızszintes ir´anyban f´azisban v´altozik a be´erkez´esi sz¨og ´es a hull´ am terjed´esi sebess´eg´enek f¨ uggv´eny´eben. Ha teh´at a f¨ ugg˝oleges tengelyen T hull´amhossz´ u hull´ amot m´er¨ unk, akkor a v´ızszintes tengelyre egy T cx = T c sin α0 hull´amhossz´ u hull´am ker¨ ul. Ebb˝ol sz´ am´ıthat´ o, hogy hull´ amsz´ amban m´erve az xt reprezent´aci´o f¨ ugg˝oleges ir´anyban k hull´amsz´am´ u, v´ızszintes ir´ anyban kx = k sin α0 hull´ amsz´am´ u szinuszos jelekb˝ol ´all. Defini´ alhatjuk az xt k´etdimenzi´ os f¨ uggv´eny Fourier-transzform´altj´at: ZZ P (kx , ω) = p(x, t)e−jωt ejkx x dxdt. (3.3) A Fourier-transzform´ aci´ o eredm´enye a hangt´er kx k reprezent´aci´oja, azaz s´ıkhull´am dekompoz´ıci´oja, amelynek szeml´eletes jelent´ese a k¨ ovetkez˝o: L´ athat´ o, hogy a f¨ ugg˝ oleges ir´ any´ u transzform´aci´o az eredeti szinuszos jel ω k¨orfrekvenci´aj´at detekt´ alja, amely helyett bevezethetj¨ uk k = ω/c hull´amsz´amot. A v´ızszintes ir´any´ u transzform´aci´o ahogy az el˝ obb l´ athattuk minden sorban egy kx frekvenci´aj´ u szinuszhull´amot detekt´al. Az xt reprezent´ aci´ o Fourier-transzform´ altja ´ıgy a k¨ovetkez˝ok´epp ´ertelmezhet˝o: a kx k tartom´anyban minden pont egy k = ω/c hull´ amsz´ am´ u, x-tengelyre α0 sz¨ogben ´erkez˝o s´ıkhull´amot reprezent´al, amely hull´ am hull´ amsz´ ama – ´es ´ıgy frekvenci´aja – k¨ozvetlen¨ ul a k-tengelyr˝ol leolvashat´o, m´ıg α0 sz¨og a k¨ ovetkez˝ ok´epp hat´ arozhat´ o meg a 3.4 ´abr´an l´athat´o jel¨ol´esekkel: β0 = arctan kx /k
(3.4)
´es mivel kx = k sin α0 , ´ıgy kx = tan β0 . (3.5) k Ezek alapj´ an a Fourier-transzform´ aci´o sor´an az xt-n ´ertelmezett hull´amalakot monokromatikus s´ıkhull´ amokra bontjuk fel, a b´ azisf¨ uggv´enyek k¨ ul¨onb¨oz˝o ir´any´ u ´es frekvenci´aj´ u s´ıkhull´amok. sin α0 =
3.3. ´ abra. Monokromatikus s´ıkhull´am reprezent´aci´oja az xz ´es xt s´ıkon 25
3.4. ´ abra. S´ık- ´es g¨ ombhull´am reprezent´aci´oja az xz, xt ´es kx k s´ıkon
26
A 3.4 (a) ´ abr´ an egy Gauss-impulzus gerjeszt´es˝ u s´ıkhull´am xz, xt ´es kx k repzrezent´aci´oja l´athat´ o. Mivel a Gauss-impulzus spektruma sz´eless´av´ u, valamint minden komponens azonos ir´anyults´ ag´ u, csak frekvenci´ aban t´er el egym´ ast´ol, ez´ert a kx k s´ıkon egy vonalon jelenik meg a kiterjedt spektrum (amely a Gauss-impulzus spektruma). A vonal ir´any´ab´ol az eredeti hull´am bees´esi sz¨oge (3.5) ¨ osszef¨ ugg´essel meghat´ arozhat´ o. Nem s´ıkhull´ am eset´en a spektrum nem egy vonalon helyezkedik el, ekkor a spektrum arr´ol ad inform´ aci´ ot, hogy mi a legjellemz˝ obb ir´anyults´aga a hull´amnak. A 3.4 (b) ´abr´an egy monop´olus sug´ arz´ o tere l´ athat´ o, melynek gerjeszt˝ojele Gauss-impulzus. Mivel a monop´olus az orig´oban helyezkedik el, ez´ert a kialakul´ o hull´ amalak a t´err´eszben szimmetrikus. A hull´am xt reprezent´acioja ekkor hiperbolikus. A hull´ ´ am kx k transzform´altja term´eszetesen szint´en szimmetrikus, hiszen minden ir´ anyban azonosan tartalmaz komponenseket. A spektrum csak −45◦ < β0 < 45◦ k¨oz¨ ott tartalmazhat nem nulla komponenseket, hiszen ekkor kx = k ´es kx = −k. Hat´aresetben, Dirac-impulzus gerjeszt˝ ojelre a spektrum az elfoglalt ter¨ uleten egys´egnyi lenne.
3.3.2.
A t´ erbeli mintav´ etelez´ es
A s´ıkhull´ am dekompoz´ıci´ o seg´ıts´eg´evel szeml´eletes k´epet kaphatunk a t´erbeli mintav´etelez´es hat´ as´ ar´ ol. A t´erbeli mintav´etelez´es m˝ uk¨ od´ese legjobban az id˝otartom´anybeli mintav´etelez´essel anal´og m´ odon mutathat´ o be. Ennek folyamata l´athat´o a 3.5 ´abr´an. Az id˝ otartom´ any mintav´etelez´es a folytonos jel egy impulzussorozattal vett szorzat´anak felel meg. A mintavett jel csak a mintav´eteli id˝o eg´eszsz´am´ u t¨obbsz¨or¨osein nem nulla ´ert´ek˝ u. Mivel a Ts peri´ odusidej˝ u mintav´etelez˝ o impulzussorozat Fourier-transzform´altja szint´en egy impulzussorozat, amely impulzusok egym´ ast´ ol fs = 1/Ts mintav´eteli frekvenci´anyi t´avols´agra vannak, valamint az id˝ otartom´ anybeli szorz´ as a frekvenciatartom´anyban konvol´ uci´onak felel meg, ez´ert a mintavett jel spektrum´ aban az eredeti jel spektruma fs -enk´ent ism´etl˝odik. Ha az eredeti jel f > fs /2 frekvenciakon is tartalmaz komponenseket, akkor az egym´ashoz k´epest fs -el eltolt spektrumok egym´asba ´ ” l´ ognak”, az f > fs /2 komponensek ´ atlapol´odnak az f < fs /2 tartom´anyba, a jel irreverzibilisen torzul. Ennek elker¨ ul´ese v´egett a jelet mintav´etel el˝ott s´avkorl´atozni kell fNyquist = f2s Nyquistfrekvenci´ ara. Mintav´etel ut´ an az eredeti jel ugyanezzel a sz˝ ur˝ovel val´o sz˝ ur´essel ´all´ıthat´o vissza, amely csak az alaps´ avi komponenseket tartja meg a jelben. Ez az id˝otartom´anyban egy sin t/t alak´ u f¨ uggv´ennyel val´ o interpol´ aci´ onak felel meg. A t´erbeli mintav´etelez´es hat´ asa ezzel anal´og m´odon a k¨ovetkez˝ok´epp m´odon szeml´eltethet˝o: a hull´ am folytonos az xt tartom´ anyban, ha a folytonos id˝oben m´er˝o mikrofonhalmaz a t´erben is folytonos. Ez term´eszetesen nem megval´ os´ıthat´o. T´etelezz¨ uk fel, hogy az x tengely ment´en a forr´asok egym´ ast´ ol ∆x t´ avols´ agra helyezkednek el. ´Igy m´ıg az id˝otartom´anyon a jel folytonos marad, addig
f(t)
f(t)
f(t)
t A(f)
F
fs/2
A(f)
t
t
F
A(f)
fs
f
f
F
fs/2
3.5. ´ abra. Az id˝ otartom´ anybeli mintav´etel ´es vissza´all´ıt´as folyamat´abr´aja 27
f
x tengely ir´ any´ aban mintav´etelez´es t¨ort´enik. Ennek hat´as´ara a k´etdimenzi´os kx k spektrum a kx tengely ir´ any´ aban kx,Nyq = π/∆x mintav´eteli hull´amsz´am eg´esz sz´am´ u t¨obbsz¨or¨osein ism´etl˝odik. Ez l´ athat´ o a 3.6 ´ abr´ an. L´ athat´ o, hogy ha a spektrum sz´eless´av´ u, akkor nagy ∆x eset´en a spektrumok egym´ asba ´ernek: ´ atlapol´ odnak. Mivel az ´atlapol´od´as kx -ben t¨ort´enik, ez szeml´eletesen azt jelenti, hogy olyan ir´ any´ u hull´ amok jelennek meg a spektrumban, amelyek az eredeti hull´amt´erben nem szerepelnek. Ez a jelens´eg j´ ol megfigyelhet˝o a 3.7 ´abr´an. Term´eszetesen ez a szint´ezis sor´an jelent˝ os gondokat okoz, hiszen ´epp a virtu´alis forr´as lokaliz´aci´oj´at lehetetlen´ıti el. Meghat´arozhat´o teh´ at egy fels˝ o kx,Nyq hat´ arhull´ amsz´ am amely m´eg ´atlapol´od´as n´elk¨ ul szintetiz´alhat´o: kx,Nyq =
π . ∆x
(3.6)
Ugyanez frekvenci´ aban kifejezve egy fels˝o hat´arfrekvenci´at jelent, amelyen adott ir´anyba a´tlapol´ od´ as n´elk¨ ul m´eg sug´ arozhatunk: c . (3.7) fNyq = 2∆x sin α0 L´ athat´ o, hogy a forr´ asok vonal´ ara mer˝oleges ir´anyban szintetiz´alhat´o a legmagasabb frekvenci´ aj´ u komponens. A 3.7 (a) ´ abr´ an a hat´arfrekvencia alatti s´ıkhull´am szint´ezise l´athat´o. A (b) abr´ ´ an a bees´esi sz¨ oget n¨ ovelve l´ athat´ o az ´atlapol´od´as hat´asa: megjelenik egy az eredetit˝ol elt´er˝o orient´ aci´ oj´ u s´ıkhull´ amkomponens is. Az ´abra (c) r´esz´en ugyanebben a sz¨ogben ´erkezik az imm´ar alacsonyabb frekvenci´ aj´ u hull´ am. L´ athat´o, hogy ekkor a szint´ezis ism´et helyesen m˝ uk¨odik. Ha a szintetiz´ aland´ o hull´ amfront a hat´arhull´amsz´amn´al nagyobb kx ´ert´ek˝ u komponenst is tartalmaz, akkor ahhoz hogy a hull´ am helyesen szintetiz´alhat´o legyen, azon el˝osz¨or egy kx tartom´ anybeli alul´ atereszt˝ o sz˝ ur´est kell v´egrehajtani. Ez azt jelenti, hogy a m´asodlagos forr´aselemek nagy frekvenci´ akon, nagy sz¨ ogekbe kev´esb´e sug´arozzanak: teh´at min´el ir´any´ıtottabbak legyenek. Az ir´ anykarakterisztika ´es a kx tartom´anybeli ´atvitel k¨oz¨otti ¨osszef¨ ugg´est a k¨ovetkez˝o fejezet ´ırja le r´eszletesebben.
t [s]
A mintavett hullám xt-diagrammja
x [m]
k [m−1]
A mintavett hullám spektruma kx,Nyq -kx,Nyq 0
kx [m−1] 3.6. ´ abra. A t´erbeli mintav´etelez´es hat´asa 28
(a)
x [m]
x [m]
(b)
z [m]
x [m]
z [m] (c)
z [m] 3.7. ´ abra. S´ıkhull´am szint´ezise diszkr´et forr´aselosl´assal
3.3.3.
T´ erbeli alul´ atereszt˝ o sz˝ ur´ es megval´ os´ıt´ asa
L´ athattuk, hogy a kx tartom´ anyban val´o sz˝ ur´es a m´asodlagos forr´asok ir´anykarakterisztik´aj´aval van o ugg´esben, amelynek ´ıgy nagy jelent˝oss´ege van a hangt´erszint´ezis gyakorlatba u ¨sszef¨ ¨ltet´ese sor´ an. A frekvenciaf¨ ugg˝ o ir´ any´ıtotts´ ag oka a hull´amok interferenci´aja. Kis frekvenci´akon, amikor a hangforr´ as m´erete kicsi a hull´ amhosszhoz k´epest nincsenek interferenciajelens´egek, a forr´as monop´ olusk´ent (dinamikus hangsz´ or´ o dobozban) vagy dip´olusk´ent (elektrosztatikus hangsz´or´o) viselkedik. Nagyobb frekvenci´ akon, ha a hull´amhossz ´es a forr´as m´erete ¨osszehasonl´ıthat´o egym´assal, akadnak olyan hallgat´ oi poz´ıci´ ok, amelyekbe a forr´as k¨ ul¨onb¨oz˝o pontjair´ol ´erkez˝o hull´amok ellenf´ azisban ´erkeznek, a hull´ am kiolt´ odik. ´Igy a forr´as alakj´at´ol ´es az azon val´o er˝oeloszl´ast´ol f¨ ugg˝oen k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o ir´ anykarakterisztik´ ak alakulnak ki. Legegyszer˝ ubb k¨ ozel´ıt´esben azt felt´etelezz¨ uk, hogy a hangforr´as felsz´ın´en az er˝oeloszl´as, ´ıgy a kialakul´ o hangnyom´ as ´ alland´ o. Ekkor a lesug´arzott t´avolt´er a Rayleigh-integr´alokkal ´ırhat´o le. Dinamikus hangsz´ or´ o eset´en a Vn sebess´eggel mozg´o membr´an fel¨ ulet´ere fel´ırt Rayleigh I. integr´al adja a hangsug´ arz´ o ter´et, mint a membr´an ¨osszes pontj´anak ter´enek ¨osszege: Z 1 e−jkr PA, (r, ω) = jωρ0 Vn dS. (3.8) 2π S r K¨ oralak´ u membr´ an eset´en az integr´ al anal´ıtikusan ki´ert´ekelhet˝o: PA (r, ω) =
jωρ0 Vn (ω) 2J1 (kr sin ϕ) e−jkr , 2π kr sin ϕ r
(3.9)
ahol J1 (kr sin ϕ) az els˝ orend˝ u, els˝ ofaj´ u Bessel-f¨ uggv´eny. Az ¨osszef¨ ugg´es egy merev falba ´agyazott dugatty´ u ter´et ´ırja le. A dugatty´ u ezalapj´an a t´avolt´erben ir´any´ıtott monop´olusk´ent kezelhet˝o, amelynek ir´ any´ıtotts´ ag´ at az els˝ o k´et tag ´ırja le. A (3.8) egyenletet vizsg´ alva l´ athat´ o, hogy kifejez´es felfoghat´o a jωρ0 Vn /2πr f¨ uggv´eny k szerinti t´erbeli Fourier-transzform´ altjak´ent, hiszen az integr´al ´eppen a r tartom´anyb´ol k-ba val´o Fouriertranszform´ aci´ onak def´ınici´ oja. Hasonl´ oan teh´at, mint kx ´es x, k ´es r is Fourier-transzform´alt p´arok. Ez azt jelenti, hogy az ir´ anykarakterisztika a forr´as alakf¨ uggv´eny´enek Fourier transzform´altja. 29
y membrán
ly(y)
lx(x)
x 3.8. ´ abra. K¨ oralak´ u membr´an er˝oeloszl´asf¨ uggv´enye Ugyanezt dip´ olusokra a Rayleigh II. integr´al alapj´an adhat´o meg: Z 1 1 + jkr e−jkr PA,dipole (r, ω) = P (ω) cos ϕ dS. 2π S r r
(3.10)
Ezut´ obbi egyenlet a gyakorlati alkalmaz´as szempontj´ab´ol fontosabb lehet, hiszen az elektrosztatikus hangsz´ or´ o dip´ olusk´ent viselkedik ´es ennek membr´anja tetsz˝oleges alak´ u lehet, ´ıgy tetsz˝oleges ir´ anykarakterisztika el˝ o´ all´ıthat´ o. Az ¨ osszef¨ ugg´es kx ´es ky szerint faktoriz´alhat´o a Fraunhofer-t´erben [48], ekkor az egyenlet a k¨ ovetkez˝ o alakra hozhat´ o: Z Z e−jkr0 PA (r0 , ω) = jk cos ϕ0 F (ω) lx (x)ejkx x dx ly (y)ejky y dy, (3.11) 4πr0 ahol r0 a membr´ an k¨ oz´eppontj´ ab´ ol a vizsg´alt pontba mutat´o vektor hossza, ϕ0 az ehhez tartoz´o t´ersz¨ og, m´ıg F (ω) = 2AP (ω) az er˝ o amivel a membr´an az el˝otte lev˝o leveg˝ore hat. Az egyenletben lx (x) ´es ly (y) az x ´es y ir´ any´ u er˝ oeloszl´asf¨ uggv´enyek, amelynek jelent´ese a 3.8 ´abr´an l´athat´o: az lx (x) er˝ oeloszl´ asf¨ uggv´eny megmutatja, hogy milyen er˝oss´eg˝ u pontforr´as helyezkedik el az x tengely ment´en, amely az ¨ osszes alatta ´es felette l´ev˝o forr´aspontok hat´as´at mag´aba foglalja. Ha felt´etelezz¨ uk, hogy az er˝ oeloszl´ as egyenletes a membr´an fel¨ ulet´en, akkor az er˝oeloszl´as f¨ uggv´eny adott x pontban az ebben a pontban elv´egzett y ir´any´ u vonalintegr´al ´ert´eke. A 3.8 ´abr´an a k¨oralak´ u membr´ an er˝ oeloszl´ asa ´ıgy egy f´el elipszis lesz, amelynek hosszir´any´ u sugara a membr´an sugar´anak k´etszerese. A (3.11) egyenlet azt ´ all´ıtja, hogy a membr´an ir´anykarakterisztik´aj´at a v´ızszintes s´ıkban lx (x) er˝ oeloszl´ asf¨ uggv´eny Fourier-transzform´altja, a f¨ ugg˝oleges s´ıkban ly (y) Fourier transzform´altja hat´ arozza meg, a teljes ir´ anykarakterisztika pedig a kett˝o szorzata a hull´amsz´am s´ıkban: PA (r, ω) = Lx (kx )Ly (ky )
F (ω) e−jkr jk cos ϕ . 4π r
(3.12)
Lx (kx ) f¨ uggv´enyt ir´ any´ıtotts´ agi f¨ uggv´enynek nevezz¨ uk, ahol teh´at kx = k sin α. Mivel a f¨ ugg˝oleges ir´ anykarakterisztik´ ara nincsenek kik¨ot´esek a szint´ezist illet˝oen, ez´ert ´ıgy a membr´an alakj´at u ´gy v´ altoztatva, hogy megfelel˝ o lx (x) er˝oeloszl´asf¨ uggv´enyt kapjunk tetsz˝oleges v´ızszintesir´any´ u ir´ anykarakterisztika ´ all´ıthat´ o el˝ o. A lx (x) er˝oeloszl´as megv´alaszt´as´aval teh´at k¨ozvetlen¨ ul tudjuk a kx -beli ´ atvitelt meghat´ arozni. Ennek ismeret´eben k´et lehet˝ os´eg is k´ın´alkozik a kx -beli ´atvitel be´all´ıt´as´ara: a kx ´atvitel be´all´ıt´ asa puszt´ an a membr´ an alakj´ anak megv´alaszt´as´aval, vagy a szomsz´edos forr´asok bevon´asa. T´ erbeli sz˝ ur´ es a membr´ an alakj´ anak form´ al´ as´ aval L´ athattuk, hogy a membr´ an x-ir´ any´ u er˝oeloszl´asf¨ uggv´enye k¨ozvetlen¨ ul meghat´arozza a v´ızszintes s´ıkban az ir´ anykarakterisztik´ at, azaz a kx ´atvitelt. Az el˝obb p´eldak´ent hozott k¨oralak´ u 30
membr´ an ir´ any´ıtotts´ agi f¨ uggv´enye ´ıgy Lx (kx ) = 2J1 (kx R)/kx R, amely teh´at a kx -beli ´atvitel egyben. A membr´ an kx tartom´ anybeli ´atvitele l´athat´o dB sk´al´an a 3.9 ´abr´an. L´athat´o, hogy a k¨ oralak´ u membr´ an ¨ onmag´ aban is alul´atereszt˝o sz˝ ur˝ok´ent viselkedik kx -ben, az ´atviteli s´avban ar´ anylag egyenletes ´ atvitellel, hab´ ar a z´ar´otartom´anyban kicsi elnyom´assal. A 3.9 ´abra als´o r´esz´en a k¨ oralak´ u membr´ an ir´ anykarakterisztik´aja l´athat´o kR = 1, ´es kR = 5 ´ert´ekek mellett. Elektrosztatikus hangsz´ or´ o alkalmaz´asa eset´en a membr´an alakja tetsz˝oleges lehet, ´ıgy az ir´anykarakterisztika tetsz˝ olegesen ´ all´ıthat´ o: 2a hossz´ u t´eglalap alak´ u membr´an eset´en, mivel a n´egysz¨ogablak Fourier-transzform´ altja sinc alak´ u, ´ıgy a kx transzform´alt a k¨ovetkez˝o lesz: Lx (kx ) =
sin kx a . kx a
(3.13)
A membr´ an sz´eless´eg´evel teh´ at a kx sz˝ ur˝o els˝o lesz´ıv´asi helye tetsz˝olegesen be´all´ıthat´o. A szorosan egym´ as mell´e rakott membr´ anok eset´en azonban a Nyquist-hull´amsz´amon a csillap´ıt´as puszt´an −3,9 dB [48]. Ez az elnyom´ as kev´es az ´atlapol´od´as elker¨ ul´es´ehez. A sz˝ ur˝o Nyquist-hull´amsz´amon val´ o elnyom´ as´ at n¨ ovelhetj¨ uk rombusz alak´ u hangsz´or´okat alkalmazva. Ekkor a hangsz´or´ok elhelyezhet˝ ok egym´ assal ´ atfed´esben, ahogyan az a 3.10 ´abr´an l´athat´o. A rombusz lx (x) er˝oeloszl´asf¨ uggv´enye szimmetrikus trap´ez, amely el˝ o´ all´ıthat´o k´et n´egysz¨ogablak konvol´ uci´ojak´ent x tartom´anyban [48]. Ez azt jelenti, hogy kx tartom´ anyban a rombusz alak´ u membr´an ´atvitele k´et sinc f¨ uggv´eny szorzatak´ent ´ all el˝ o, ahol 2a1 ´es 2a2 a n´egysz¨og ablakok sz´eless´ege: sin kx a1 sin kx a2 . kx a1 kx a2
Lromb (kx ) =
(3.14)
Erősítés [dB]
0 - 10 - 20 - 30 - 40 101
100
kx [m- 1]
kR=5 90° 0
kR=1 90° 0
- 10
- 10 - 20 180°
- 30 - 40
102
0° 180°
270°
- 20 - 30 - 40
0°
270°
3.9. ´ abra. K¨ oralak´ u membr´ an ir´ any´ıtotts´agi f¨ ugg´evnye, azaz kx tartom´anybeli ´atvitele ´es ir´anykarakterisztik´ aja 31
Ezut´ an a feladat a1 /a2 ar´ anyt u ´gy optimaliz´alni, hogy a Nyquist-hull´amsz´amon ´es ann´al nagyobb kx ´ert´ekeken min´el nagyobb elnyom´ as legyen, m´ıg az ´atviteli s´avban ar´anylag egyenletes ´atvitel el´er´ese a c´el. Egy ilyen rombuszalak´ u hangsz´ or´ o kx ´atvitele l´athat´o a 3.10 ´abr´an, a1 /a2 = 1,43 mellett, amely egy optimaliz´ alt ´ert´ek. L´ athat´ o, hogy a ´atviteli s´av l´enyegesen kisebb, mint az ugyanilyen sz´eless´eg˝ u k¨ oralak´ u membr´ an eset´en. Emellett a mell´eknyal´abok elnyom´asa, azaz az ´atviteli s´avon k´ıv¨ uli csillap´ıt´ as jelent˝ osen nagyobb. Ugyanez l´athat´o az ´atvitelikarakterisztika pol´ar-diagrammj´an: a sug´ arz´ o m´ ar kR = 1 ´ert´ek mellett is jelent˝osen ir´any´ıtott, amelyn´el a k¨oralak´ u membr´an m´eg j´o k¨ ozel´ıt´essel monop´ olusnak tekinthet˝ o. A szint´ezis szempontj´ ab´ ol ´ıgy az elektrosztatkius hangsz´or´o alkalmaz´asa el˝ony¨os lenne az ´atlapol´ od´ as elker¨ ul´ese ´erdek´eben. Sajnos azonban az elektrosztatikus hangsz´or´ok j´oval dr´ag´abbak a dinamikus hangsz´ or´ okn´ al ´es a reproduk´alt hangmin˝os´eg ter´en is elmaradnak ezekt˝ol, ´ıgy gyakorlati
membránok lx(x) trapéz alakú erőeloszlás-függvény x
F
Erősítés [dB]
0 - 10 - 20 - 30 - 40
100
101
kx[m- 1]
kR=5
kR=1 90° 0
90° 0
- 10
180°
102
- 10
- 20
- 20
- 30 - 40
- 30 0°
180°
- 40
0°
270°
270°
3.10. ´ abra. Rombusz membr´ an ir´ any´ıtotts´agi f¨ uggv´enye, azaz kx tartom´anybeli ´atvitele ´es ir´anykarakterisztik´ aja 32
alkalmaz´ as sor´ an c´elszer˝ ubb dinamikus hangsz´or´okat alkalmazni. ´ Atvitel form´ al´ as t´ erbeli konvol´ uci´ oval Ide´ alis esetben a kx tartom´ anybeli ´atvitel n´egysz¨ogablak lenne, azaz az ´atviteli s´avban az ´tvitel egys´egnyi, m´ıg azon k´ıv¨ a ul azonosan nulla. Ez sinc alak´ u er˝oeloszl´asf¨ uggv´enyt jelentene az x-tartom´ anyban. Term´eszetesen egy membr´an seg´ıts´eg´evel ez nem megval´os´ıthat´o, hiszen sokkisebb mell´ekmembr´ an alkalmaz´ as´ at jelenten´e. A szomsz´edos membr´anok bevon´as´aval azonban a k¨ oz´eps˝ o hangsz´ or´ o t´ avolt´erben l´ atsz´ o ir´anykarakterisztik´aja befoly´asolhat´o. Tegy¨ uk fel, hogy 2N +1 sz´ am´ u hangsz´or´ot azonos jellel vez´erl¨ unk, de k¨ ul¨onb¨oz˝o er˝os´ıt´esekkel. A hangsz´ or´ ok er˝ oeloszl´ as f¨ uggv´enyei azonosan l(x). Az egyes elemek er˝os´ıt´es´et hat´arozza meg cN (x) f¨ uggv´eny a 3.11 ´ abr´ an l´ athat´ o m´ odon: cN (x) diszkr´et jel, csak a membr´anok k¨oz´eppontj´aban tal´ alhat´ o benne nem z´erus ´ert´ek˝ u elem, ezekben a pontokban meghat´arozza az aktu´alis membr´an er˝ os´ıt´es´et. Ekkor bizony´ıthat´ o, hogy az ¨osszes bevont membr´an egy¨ uttes er˝oeloszl´asf¨ uggv´enye: lN (x) = cN (x) ∗ l(x).
(3.15)
Ennek Fourier-transzform´ altja, azaz a kx ´atvitel a k´et f¨ uggv´eny szorzata: LN (kx ) = CN (kx )L(x).
(3.16)
Ez l´ athat´ o a 3.11 ´ abr´ an k¨ oralak´ u membr´anra levezetve, amelynek er˝oeloszl´as f¨ uggv´enye egy f´elellipszis, ennek Fourier-transzform´ altja pedig a Bessel-f¨ uggv´eny. Ekkor az egy¨ uttes er˝oeloszl´asf¨ uggv´eny az impulzussorozat elliptikus f¨ uggv´ennyel vett interpol´aci´oja, spektruma pedig a k´et f¨ uggv´eny spektrum´ anak szorzata. A t¨ obb membr´anb´ol ´all´o hangforr´as ir´anykarakterisztik´aja ´ıgy egy szorzatk´ent ´ all el˝ o, amelyben CN (kx ) spektrum szabadon m´odos´ıthat´o. Ezek ut´an ism´et egy optimaliz´aci´os feladat, hogy a cN egy¨ utthat´ o ´ert´ekeket u ´gy v´alasszuk meg, hogy a Nyquist-hull´amsz´amn´al nagyobb hull´ amsz´ amokon az elnyom´ as maxim´alis legyen, m´ıg az ´atviteli s´avban az egyenletes ´atvitel a c´el.
cN(x)
CN(kx)
c0 c-1 c-2
c1 c2 x L(kx)
l(x)
kx
F x cN(x)*l(x)
kx
CN(kx)L(kx)
x
kx
3.11. ´ abra. Membr´ an ir´ anykarakterisztik´aj´anak m´odos´ıt´asa a szomsz´edos membr´anok seg´ıts´eg´evel 33
Erősítés [dB]
0
Konvolvált átvitel Eredeti átvitel
- 10
- 20
- 30
20
40
60
80
100 kx [m- 1]
120
140
160
180
3.12. ´ abra. A t´erbeli konvol´ uci´o hat´asa az ir´anykarakterisztik´ara A 3.12 ´ abr´ an a k¨ oralak´ u membr´ anok konvol´ uci´oj´anak eredm´enye l´athat´o az egy¨ utthat´okat optimaliz´ alva. A Nyquist-hull´ amsz´ am eredetileg az ´atviteli s´av fel´en helyezkedett el (kx = 30 m−1 ). L´ athat´ o, hogy ezen a hull´ amsz´ amon a m´odszerrel −13 dB elnyom´as el´erhet˝o, m´ıg kisebb hull´amsz´ amokon az ´ atvitel ar´ anylag egyenletes. Term´eszetesen a t´erbeli konvol´ uci´ oba kis sz´am´ u – legfeljebb 5 – membr´an vonhat´o be, hiszen az ir´ anykarakterisztika csak a t´ avolt´erben (kR 1, ahol R a membr´an sugara) lesz a k´ıv´ant.
3.4.
¨ Osszegz´ es
A fejezetben l´ athat´ o volt, hogy a gyakorlatban megval´os´ıthat´o hangt´erszint´ezis sor´an jelent˝os j´ arul´ekos hat´ asok l´ephetnek fel. Ezek egyr´eszt diffrakci´ os jelens´egek, amely a m´asodlagos forr´aseloszl´as v´eges hossz´ab´ol eredek. Ennek hat´ asa cs¨ okkenthet˝ o a forr´ aseloszl´as t´erbeli ablakoz´as´aval, azaz a sz´elek fel´e az er˝os´ıt´es folyamatos cs¨ okkent´es´evel. A megold´ asok azonban nem t¨ok´eletesek, ´ıgy saj´at m´odszert fejlesztettem ki ezen hat´ asok megsz¨ untet´es´ere, amelyet a k¨ovetkez˝oekben ismertetek. Jelent˝ osen korl´ atozza a szint´ezist a m´asodlagos forr´aseloszl´as diszkr´et volta. Ez egy t´erbeli atlapol´ ´ od´ ast okozhat a szint´ezis sor´ an. Ezt elker¨ ulend˝o egy t´erbeli alul´atereszt˝o sz˝ ur´es sz¨ uks´eges, amely megval´ os´ıt´ as´ ara a fejezetben k´et m´odszer is l´athat´o volt.
34
4. fejezet
Szimul´ aci´ os k¨ ornyezet l´ etrehoz´ asa a hangt´ erszint´ ezis vizsg´ alat´ ara 4.1.
Bevezet´ es
A hangt´erszint´ezis m˝ uk¨ od´es´enek vizsg´alat´ahoz, tov´abbfejleszt´es´ehez megfelel˝o szimul´aci´os k¨ornyezetre volt sz¨ uks´egem. Munk´ am r´esze volt teh´at egy teljesk¨or˝ u szimul´aci´os k¨ornyezet l´etrehoz´ asa. A fejezet ezt a szimul´ aci´ os k¨ ornyezetet mutatja be. A vizsg´alat sor´an sz¨ uks´eg¨ unk lehet az alland´ ´ osult hangt´er megjelen´ıt´es´ere szabadt´erben val´o sug´arz´as ´es z´art t´erben val´o sug´arz´as eset´en, ´ alland´ o frekvenci´ aj´ u harmonikus gerjeszt´es mellett, valamint a hull´amok kezdeti, id˝obeli lefoly´ as´ anak szimul´ aci´ oj´ ara is, tetsz˝ oleges id˝of¨ ugg´es˝ u forr´asjel mellett. Ez h´arom k¨ ul¨onb¨oz˝o feladat, megval´ os´ıt´ as´ ahoz k¨ ul¨ onf´ele numerikus m´odszerek sz¨ uks´egesek. A szimul´aci´okhoz a legmegfelel˝obbnek a MATLAB fejleszt˝ oi k¨ ornyezet bizonyult, hiszen ebben a hangt´erszint´ezis vez´erl˝of¨ uggv´enyek ´es k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o numerikus m´ odszerek is hat´ekonyan felprogramozhat´oak ´es az eredm´eny k¨onnyen megjelen´ıthet˝ o.
4.2.
´ Alland´ osult ´ allapot szimul´ aci´ oja ny´ılt t´ erben
Legegyszer˝ ubb esetben a v´egtelen f´elt´erbe val´o sug´arz´as szimul´aci´oja a feladat, a hangt´erszint´ezis le´ır´ o egyenleteit erre a speci´ alis esetre vezett¨ uk le. Ez az eset felel meg az α = 1 elnyel´esi t´enyez˝ oj˝ u falakkal hat´ arolt z´ art t´erben val´o sug´arz´as eset´en. A falakr´ol, illetve a v´egtelen t´erb˝ol ebben az esetben nem t¨ ort´ennek visszaver˝od´esek, a hangt´er kialak´ıt´as´ahoz kiz´ar´olag a m´asodlagos forr´ asok j´ arulnak hozz´ a. Term´eszetesen a gyakorlatban ez megval´os´ıthatatlan felt´etel, azonban elvi jelent˝ oss´eggel b´ır, mivel a vez´erl˝ ooper´ atorok sz´armaztat´as´an´al ezekkel a felt´etelez´esekkel ´elt¨ unk. L´ athattuk, hogy a kialakul´ o forr´ asos esetben kialakul´o hangt´er az inhomog´en Helmhzotzegyenletet k¨ oveti, azaz a t´erben jelenlev˝o Si (ω) vez´erl˝ojel˝ u monop´olusok hangter´enek ¨osszegek´ent all´ıthat´ ´ o el˝ o: X P (r, ω) = Si (ω)G(r|ri , ω). (4.1) i
A Green-f¨ uggv´eny alakja a vizsg´ alt hull´amterjed´esi probl´ema dimenzi´osz´am´at´ol f¨ ugg, ahogy l´athattuk az el˝ oz˝ o fejezetekben: j G(x|y, ω)1D = − e−jkr , (4.2) 2k j (2) G(r|rA , ω)2D = − H0 (kr), 2 G(r|rA , ω)2D = 35
e−jkr . r
(4.3) (4.4)
4.1. ´ abra. Az akusztikai t´ersz´ am´ıt´asi feladat a spektr´alis v´egeselem m´odszerhez [30] Ezalapj´ an tetsz˝ oleges sz´ am´ u pontra (4.1) ki´ert´ekelhet˝o, a kialakul´o hangnyom´as – vagy ak´ar gradiens-sz´ am´ıt´ as seg´ıts´eg´evel a hangt´er els˝o alapegyenlete alapj´an a r´eszecskesebess´eg – sz´am´ıthat´ o ´es megjelen´ıthet˝ o. A m´ odszer sz´ am´ıt´ asig´enyes, azonban a visszaver˝od´esek elhagy´asa mellett teljesen pontos k´epet kaphatunk egy forr´ aseloszl´ as ´ altal lesugr´azott hangt´err˝ol. Az ezzel a m´odszerrel k´esz¨ ult szimul´aci´os eredm´enyek az el˝ oz˝ o fejezetekben l´ athat´oak, az ¨osszes eddig bemutatott szimul´aci´os eredm´eny ´ıgy k´esz¨ ult.
4.3.
Szimul´ aci´ o´ alland´ osult ´ allapotban z´ art t´ erben
Zeng˝ o terem vizsg´ alat´ ahoz olyan szimul´aci´os k¨ornyezet alkalmaz´asa sz¨ uks´eges, amely egy terem ´ alland´ osult ´ allapot´ at k´epes adott gerjeszt´esre megjelen´ıteni a reflexi´ok figyelembev´etel´evel. Az alland´ ´ osult ´ allapot sz´ am´ıt´ asa ¨ osszetett feladat, a hull´amegyenlet frekvenciatartom´anybeli alakj´anak, azaz a Helmhotz-egyenlet numerikus megold´asa sz¨ uks´eges hozz´a z´art t´erben. T¨obb numerikus megold´ as is l´etezik, ilyenek a v´eges differencia m´ odszer (FDM), v´eges elem m´ odszer (FEM) ´es peremelem m´ odszer (BEM). V´ alaszt´ asom v´eg¨ ul a spektr´ alis v´egeselem m´ odszerre esett, amelynek alapja a szob´ aban kialakul´ o hangt´er a szoba m´odusf¨ uggv´enyeinek megfelel˝o s´ ulyoz´assal t¨ort´en˝o el˝ o´ all´ıt´ asa: ´ıgy egyszer˝ us´ıtett sz´ am´ıt´ asokkal hat´arozhatjuk meg tetsz˝oleges merev fal´ u teremben az alland´ ´ osult ´ allapotban kialakul´ o nyom´asteret, amely sor´an teh´at az ¨osszes reflexi´o hat´as´at figyelembe vessz¨ uk.
4.3.1.
A spektr´ alis v´ egeselem m´ odszer
A vizsg´ alt probl´ema a 4.1 ´ abr´ an l´ athat´o: adott egy Γa fel¨ ulettel hat´arolt Ωa t´erfogat. A rendszer gerjeszt´ese a hat´ arol´ o fel¨ ulet rezg´ese, Vb (r, ω). A feladat a t´erfogat tetsz˝oleges bels˝o pontj´aban kialakul´ o P (r, ω) meghat´ aroz´ asa, u ´gy, hogy az megold´asa a Helmholtz-egyenletnek: (∇2 + k 2 )P (r, ω) = 0.
(4.5)
A peremfelt´etelek a fal rezg´esei ´es a vizsg´alt t´er hangt´erjellemz˝oi k¨oz¨ott adj´ak meg a kapcsolatot a frekvenciatartom´ anyban: ha a hat´ arol´ofel¨ ulet akusztikai impedanci´aja Za (amelyr˝ol b˝ovebben a k¨ ovetkez˝ o fejezetekben ´ırok), admittanci´aja ennek a reciproka Ha , akkor a peremfelt´eteleket az al´ abbi m´ odon fogalmazhatjuk meg: P (r, ω) = Za (r, ω)[Vb (r, ω) − Va (r, ω)]n(r), r ∈ Γa ,
(4.6)
P (r, ω)Ha (r, ω) = [Vb (r, ω) − Va (r, ω)]n(r), r ∈ Γa .
(4.7)
A spektr´ alis v´egeselem m´ odszer alapja az, hogy egy t´erben kialakul´o hangt´er sorbafejthet˝o a szob´ aban kialakul´ o m´ odusalakok szerint. A m´odusf¨ uggv´enyek azok az adott frekvenci´aj´ u ´all´ohull´ am alakok, amelyek adott geometri´ aj´ u szob´aban kialakulhatnak. A m´odusok frekvenci´ai a szoba saj´ atfrekvenci´ ai. Ezek a f¨ uggv´enyek az adott szob´aban fel´ırt Helmholtz-egyenlet saj´atf¨ uggv´enyei, 36
amelyek ´ıgy a szob´ aban kialakul´ o hangt´er teljes b´azis´at adj´ak: b´armely, a szob´aban kialakul´o hangt´er fel´ırhat´ o a szoba m´ odusainak szuperpoz´ıci´ojak´ent. A m´odusalakok el˝ozetes ismerete a hangt´er gyors sz´ am´ıt´ as´ ara ad lehet˝ os´eget. A m´ odusok azonban csak ritk´an hat´arozhat´oak meg egyszer˝ uen. Egy ΓA fel¨ ulet ´ altal hat´ arolt ΩA t´erfogat´ u szob´aban kialakul´o nyom´ast´er teh´at fel´ırhat´o a m´ odusf¨ uggv´enyek line´ aris kombin´ aci´ ojak´ent: Pˆ (r, ω) =
X
ˆ n (ω), Ψn (r)Q
(4.8)
n
ˆ n (ω) az adott Ψn (r) m´ ahol Q odus hozz´aj´arul´asa a kialakul´o hangt´erhez, vagy m´ask´epp a mod´ alis koordin´ ata. A m´ odusok eleget tesznek k´et ortogonalit´asi felt´etelnek: Z Ψn (r)Ψm (r)dΩ = δnm , (4.9) ΩA
valamint a t´erbeli deriv´ altjaikra: Z ∇Ψn (r)∇Ψm (r)dΩ = δnm kn km ,
(4.10)
ΩA
ahol δnm a Kronecker-delta. A feladat a mod´alis koordin´at´ak meghat´aroz´asa adott gerjeszt´es mellett, hiszen ezek ismeret´eben a teremben kialakul´o hangt´er (4.8) szerint el˝o´all´ıthat´o. Ehhez a kiindul´ asi egyenlet a Ψn (r)∇P vektort´erre alkalmazott Gauss-t´etel, a ΓA fel¨ ulet ´altal hat´ arolt ΩA t´erfogaton: Z Z ∇(Ψn (r)∇P (r, ω))dΩ = − Ψn (r)∇P (r, ω)n(r)dΓ. (4.11) ΩA
ΓA
A megfelel˝ o matematikai ´ atalak´ıt´ asokat elv´egezve az egyenlet a k¨ovetkez˝o alakra hozhat´o [30]: Z X 2 ˆ 2ˆ ˆ kn Qn (ω) + jk Dnm Qm (ω) − k Qn (ω) = jkZ0 Ψn (r)Vb (r, ω)n(r)dΓ, (4.12) ΓA
m
vagy m´ atrixos form´ aban: (Λ + jkD − k 2 I)Q = F,
(4.13)
ahol Q a keresett mod´ alis koordin´ at´ ak m´atrixsza, Λ = diag (kn2 ) a mod´alis hull´amsz´amok diagon´ alis m´ atrixsza, I az egys´eg-m´ atrix, m´ıg D az ´altal´anos´ıtott csillap´ıt´asi m´atrix, amelynek elemei: Z Ψn (r)Ψm (r) dΓ (4.14) Dnm (ω) = Z a (r, ω) Γa ´es Z a (r, ω) =
Za (r, ω) ρ0 c
(4.15)
a falak normaliz´ alt akusztikus impedanci´aja. V´eg¨ ul F az ´altal´anos´ıtott akusztikus terhel´es vektor, amivel a gerjeszt´es vektor adhat´ o meg, n-edik eleme: Z Fn (ω) = jkz0 Ψn (r)Vb (r, ω)n(r)dΓ. (4.16) ΓA
A gerjeszt´es vektor ´es a falak impedanci´aj´ara fel´ırt Robin-peremfelt´etelek ismeret´eben (4.13) egyenlet alapj´ an Qn mod´ alis koordin´ at´ ak sz´am´ıthat´ok. Ha a szoba Ψn (r) m´odusalakjai el˝ore ismertek, akkor (4.8) egyenlet alapj´ an a szob´ aban kialakul´o nyom´as sz´am´ıthat´o a t´er tetsz˝oleges pontj´aban. 37
3
3
z
z
0 4
0 4
5 x
y 0
0
0
(a)
5 x
y 0
(b)
4.2. ´ abra. A (a) (0, 1, 1) ´es az (b) (1, 2, 1) m´odusalakok k´epe Lx = 5 m, Ly = 4 m, Lz = 3 m dimenzi´ oj´ u t´eglalap alap´ u szob´ aban [30].
4.3.2.
Z´ art terem m´ odusai
T´eglatest alak´ u teremben a Helmholtz-egyenlet szepar´alhat´o, ´ıgy a szob´aban kialakul´o m´odusok k¨ onnyen meghat´ arozhat´ oak. Ha a merev fal´ u (vn = 0) szoba m´eretei Lx × Ly × Lz πlxn x πlyn y πlzn z Ψn (r) = Ψn (x, y, z) = Bn cos cos cos . (4.17) Lx Ly Lz Az egyenlet Bn amplit´ ud´ oj´ u´ all´ ohull´ amokat ´ır le a szob´aban. A m´odusokat az (lxn , lyn , lzn ) sz´amh´ armassal ´ırjuk le, amely az egyes ir´ anyokban kialakul´o f´el-hull´amsz´amot jel¨oli. Az egyes m´odusok frekvenci´ ai a terem saj´ atfrekvenci´ ai, amelyek a k¨ovetkez˝ok´epp sz´am´ıthat´ok: s 2 2 lny πy 2 lnx πx lnz πz c + + . (4.18) flnx ,lny ,lnz = 2π Lx Ly Lz Ezeken a frekvenci´ akon az adott m´ odusalak gerjeszt´es n´elk¨ ul kialakulhat ´es fennmaradhat. A szoba saj´ atfrekvenci´ ain a teremnek mint rendszernek az ´atvitel´eben kiemel´esek vannak. A m´ odusok Bn egy¨ utthat´ oi a m´ odusok (4.9) ortogonalit´asi felt´etel´eb˝ol sz´am´ıthat´oak: r 2s Bn = , (4.19) V ahol V a szoba t´erfogata, s az (lxn , lyn , lzn ) sz´amh´armas nem-nulla elemeinek sz´ama. A frekvencia n¨ ovekedt´evel a m´ odusok egyre s˝ ur˝ ubbek, egy hat´aron t´ ul az egyes m´odusok m´ar nem k¨ ul¨on´ all´ o vonalk´ent jelentkeznek az ´atvitelben, hanem egybemos´odnak. Ennek szab hat´art az u ´n. Schr¨ oder-frekvencia, ef¨ ol¨ ott a terem hangter´enek mod´alis vizsg´alata nem hat´ekony. A m´ odusok teh´ at egyszer˝ u, t´eglalap alap´ u szob´aban k¨onnyen meghat´arozhat´oak ´es ´ıgy a spektr´ alis v´egeselem m´ odszer seg´ıts´eg´evel a szoba nyom´astere sz´am´ıthat´o. A hangt´eregyenletek ilyen m´ od´ u megold´ as´ ara PUTA1 nev˝ u k´esz f¨ uggv´enygy˝ ujtem´eny ´allt rendelkez´esemre, amelyet a saj´at felhaszn´ al´ asi c´elomhoz igaz´ıtottam, ´ıgy m´ar megfelel˝o szimul´aci´os k¨ornyezettel rendelkeztem a z´art hangterek vizsg´ alat´ ahoz.
1 Peter’s
Universal Toolbox for Acoustics
38
4.4.
Tranziensek szimul´ aci´ oja
A harmonikus gerjeszt´es eset´en kialakul´o ´alland´osult hangt´er mellett fontos tetsz˝oleges id˝obeli lefoly´ as´ u gerjeszt˝ ojel eset´en a hull´ amt´er tranziens folyamatainak vizsg´alata is. A hangt´erszint´ezis szempontj´ ab´ ol ez a vizsg´ alat m´eg fontosabb is, hiszen a gyakorlatban a hangt´erszint´ezis seg´ıts´eg´evel tetsz˝ oleges hull´ amfrontok szintetiz´al´asa a c´elunk, nem ´alland´osult t´er l´etrehoz´asa. Az id˝ otartom´ anybeli hull´ amterjed´es szimul´aci´oj´ahoz az id˝otartom´anybeli hull´amegyenlet megold´asa a feladatunk, amelyre csak az ut´ obbi id˝oben jelentek meg numerikus m´odszerek. Az ´alland´osult allapot szimul´ ´ aci´ oj´ ahoz k´esz f¨ uggv´enygy˝ ujtem´eny ´allt rendelkez´esemre, amelyet c´eljaimhoz alak´ıtottam. Ebben az esetben azonban a szimul´aci´os k¨ornyezet l´etrehoz´asa az ´en feladatom volt, ´ıgy teljesebb elm´eleti ¨ osszefoglal´ ot mutatok be. A m´odszer m˝ uk¨od´es´et k´etdimenzi´os esetben mutatom be, amely mint az k´es˝ obb l´ athat´ o igen egyszer˝ uen kiterjeszthet˝o h´aromdimenzi´ora is. A hull´ amterjed´es id˝ obeli lefoly´ as´ anak szimul´aci´oj´ahoz egy jelenleg is kutat´as alatt ´all´o technik´at alkalmaztam, a digit´ alis hull´ amvezet˝ o h´ al´ ot (angolul: digital waveguide mesh, r¨oviden DWM). A technika kifejleszt´ese f˝ ok´ent Julius O. Smith III nev´ehez f˝ uz˝odik. Eredetileg mesters´eges zenget´esre [11], majd fizikai modellez´esre [12] alkalmazt´ak az 1990-es ´evek elej´en. A hull´ amvezet˝ o h´ al´ o – mint azt k´es˝obb l´athatjuk – gyakorlatilag az id˝otartom´anybeli v´egesdifferencia m´ odszerrel (FDTD) evivalens technika, amely a legmodernebb, jelenleg is kutat´asfejleszt´es alatt ´ all´ o f˝ ok´ent elektrom´ agneses hull´amok terjed´es´enek modellez´es´ere haszn´alt numerikus m´ odszer [23]. A m´ odszer l´enyege az, hogy a differenci´al-oper´atorokat a hull´amegyenletben v´eges differenci´ akkal helyettes´ıtj¨ uk, azaz a differenci´al´as defin´ıci´oj´aban a v´egtelen kicsi t´avols´agokat v´eges t´ avols´ aggal helyettes´ıtj¨ uk a k¨ ovetkez˝o m´odon [25]: az id˝oszerinti els˝o ´es m´asodik deriv´altak a k¨ ovetkez˝ o h´ anyadosokkal k¨ ozel´ıth˝ oek: p(x, t) − p(x, t − T ) ∂p(x, t) ≈ ∂t T
(4.20)
´es
∂ 2 p(x, t) p(x, t + T ) − 2p(x, t) + p(x, t − T ) ≈ , (4.21) 2 ∂t T2 ahol T a mintav´eteli id˝ o. A hely szerinti deriv´altak ugyan´ıgy ´ırhat´oak fel, ezekben X a mintav´eteli t´ avols´ ag. Term´eszetesen T → 0 ´es X → 0 eset´en a differenci´al´as defin´ıci´oj´ahoz jutunk. Az egydimenzi´ os hull´ amegyenlet folytonos alakja ismert m´odon: 2 ∂ 2 p(t, x) 2 ∂ p(t, x) = c . ∂t2 ∂x2
(4.22)
Az el˝ oz˝ o k¨ ozel´ıt´esek alkalmaz´ as´ aval a hull´amegyenlet a k¨ovetkez˝o alak´ u: p(x, t + T ) − 2p(x, t) + p(x, t − T ) p(x + X, t) − 2p(x, t) + p(x − X, t) = c2 . 2 T X2
(4.23)
Ha a mintav´eteli id˝ o ´es t´ avols´ ag kapcsolata X = cT , valamint t = nT ´es x = mX, akkor az egyenlet alakja: p(m + 1, n) − 2p(m, n) + p(m − 1, n) = p(m, n + 1) − 2p(m, n) + p(m, n − 1),
(4.24)
vagy n − 1-el eltolva az egyenlet egyszer˝ ubb alakja: p(m, n) = p(m + 1, n − 1) + p(m − 1, n − 1) − p(m, n − 2).
(4.25)
Ez a differenci´ al s´ema az u ´n. Kirchhoff-reprezent´aci´o [21], az ilyen egyenlettel le´ırhat´o modellt K-modellnek nevezz¨ uk. A modell m´ ar lehet˝ os´eget adna a hull´amterjed´es numerikus sz´am´ıt´as´ara. A m´odszert˝ol azonban elveiben elt´er a digit´ alis hull´ amvezet˝ o, amely a digit´alis jelfeldolgoz´asban egyszer˝ uen implement´ alhat´ o k´eslelet´esek ´es ¨ osszead´ asok seg´ıts´eg´evel oldja meg ugyanezt a probl´em´at. 39
4.4.1.
Az egydimenzi´ os digit´ alis hull´ amvezet˝ o
Az egydimenzi´ os hull´ amegyenlet d’Alembert f´ele ´altal´anos megold´asak´ent a hull´am egy el˝ore ´es h´ atrafel´e halad´ o tetsz˝ oleges id˝ of¨ uggv´eny˝ u hull´am szuperpoz´ıci´ojak´ent ´all el˝o: p(t, x) = p+ (x − ct) + p− (x + ct).
(4.26)
A hull´ amot id˝ oben T peri´ odusid˝ ovel ´es t´erben X mintav´eteli t´avols´aggal mintav´etelezve, u ´gy, hogy X = cT , akkor az n-edik pillanatban m helyre az el˝oz˝o megold´as diszkretiz´alt alakja: p(m, n) = p+ (n − m) + p− (n + m).
(4.27)
A digit´ alis hull´ amvezet˝ o technik´ aval ez k´et ellent´etes ir´any´ u k´esleltet˝o vonallal val´os´ıthat´o meg, amely k´esleltet˝ o vonalak v´egein a reflexi´ok k¨onnyen modellezhet˝ok: a halad´o hull´am valah´anyad r´esze ´ atl´ep az egyik k´esleltet˝ o vonalb´ ol a m´asikba. A teljes hull´am minden id˝opillanatban a k´et k´esleltet˝ o vonal azonos poz´ıci´ oj´ u elemeinek ¨osszege. Az ilyen m´od´ u modellez´es eset´en felt´etelezt¨ uk hogy a modellezett rendszer line´ aris ´es kommutat´ıv, amely lehet˝ov´e teszi, hogy a hull´amterjed´es sor´ an fell´ep˝ o energiacs¨ okken´es a hull´ amvezet˝o legv´eg´en fell´ep˝o egyetlen nagyobb energiacs¨okken´esk´ent legyen kezelhet˝ o [14]. Az ´ıgy le´ırt m´odon k¨onnyen val´os´ıthat´o meg pengetett h´ ur, furulya, vagy a vok´ alis traktus fizikai modellje [25, 26, 18]. A 4.3 ´ abra egy ´ıgy megval´ os´ıtott egyszer˝ u ide´alis h´ urmodellt mutat, amely v(t, x) transzverz´ alis sebess´eg´ere ide´ alis esetben fel´ırhat´o a (4.22) hull´amegyenlet [31], amely sebess´eget az azonos ir´ anyba mutat´ o er˝ o hoz l´etre. A kett˝ o k¨oz¨ott a h´ ur anyagf¨ ugg˝o R = (Tε)0.5 impedanci´aja teremt osszef¨ ugg´est: f = Rv. L´ athat´ o, hogy a kimenet tetsz˝oleges pontban a k´et k´esleltet˝ovonal adott ¨ pontj´ anak ¨ osszege. Hasonl´ o m´ odon gerjeszthet˝o a rendszer: a k´esleltet˝ovonalak adott pontjaira kell az adott gerjeszt˝ omennyis´egeket egyenl˝o ar´anyban hozz´aadni, amely mennyis´eg jelen esetben c´elszer˝ uen a h´ urra kifejtett k¨ uls˝ o f er˝ ohat´as. A h´ ur egyes pontjait sz´ or´ od´ asi pontoknak nevezz¨ uk, amely sz´or´od´asi pontok impedanci´aja meghat´ arozza a rajta ´ athalad´ o hull´ am viselked´es´et. A sz´or´od´asi pontokat egys´egnyi k´esleltet˝ok k¨otik ossze. Ha a hull´ am azonos impedanci´ aj´ u sz´or´od´asi pontokon halad ´at, akkor visszaver˝od´es nem ¨ t¨ ort´enik, anal´ og m´ odon a Kirchhoff-t¨orv´enyekkel: ha egy hull´am egy adott hull´amimpedanci´aj´ u k¨ ozegben terjed (pl. t´ avvezet´ek) visszaver˝od´es csak akkor t¨ort´enik, ha egy elt´er˝o impedanci´aj´ u k¨ ozeg hat´ ar´ ara ´erkezik. Ekkor a visszaver˝od´es le´ırhat´o a k¨ozegek impedanci´aj´aval. Mivel a hull´am ide´ alis esetben vesztes´egmentesen terjed tov´abb, a h´ ur bels˝o pontjait vesztes´egmentes sz´ or´ od´ asi pontoknak, vagy csom´ opontoknak, (angolul: scattering junction”, ´ıgy als´o-indexben J) nevezz¨ uk. ” A technika kiterjeszthet˝ o egydimenzi´ob´ol k´et-, vagy ak´ar h´aromdimenzi´oba is, ´ıgy nem k´esleltet˝ o vonalakat, hanem k´esleltet˝ o h´ al´ ozatot alkalmazva, amely m´ar lehet˝ov´e teszi leveg˝oben terjed˝o hanghull´ amok vizsg´ alat´ at, pl. szob´ ak akusztikai vizsg´alat´at is.
4.4.2.
A k´ etdimenzi´ os hull´ amvezet˝ o h´ al´ o
Az el˝ oz˝ o h´ ur p´eld´ aban minden sz´ or´od´asi csom´opont k´et szomsz´edj´aval volt ¨osszek¨ottet´esben, ´ıgy a hull´ amot vonal ment´en vezette egydimenzi´oban. A sz´or´od´asi pontok elhelyezkedhetnek egy s´ıkban is, ´ıgy hull´ amvezet˝ o h´ al´ ot alkotva. Az el˝oz˝o p´elda ´ıgy kiterjeszthet˝o egy membr´an f¨ ugg˝oleges sebess´eg´enek hull´ amterjed´es´enek vizsg´ alat´ara. Azonos egyenletek ´ırj´ak le a p hangnyom´as – amely
...
késleltető vonal
0,5 -1
+
bemenet ...
kimenet
késleltető vonal
4.3. ´ abra. H´ ur fizikai modelleje digit´alis hull´amvezet˝ovel 40
-1
3 z-1 z-1 p-J,i
-1
2
z z-1
J
p+J,i
-1
z z-1
p+i,J p-i,J
i
z-1 z-1
1 4.4. ´ abra. N´egyzetr´acsos hull´amvezet˝o h´al´o az el˝ oz˝ o p´eld´ aban a sebess´egnek felelt meg – ´es v r´eszecskesebess´eg – amely az el˝oz˝o er˝ohat´assal anal´ og mennyis´eg – hull´ amterjed´es´et is, ´ıgy a hanghull´amok is modellezhet˝ok sz´or´od´asi pontokon athalad´ ´ o nyom´ as ´es sebess´eg ´ert´ekekkel. Legegyszer˝ ubb esetben egym´asra mer˝oleges k´esleltet˝ovonalak sokas´ ag´ ab´ ol k´etdimenzi´ os h´ al´ ozat hozhat´o l´etre a 4.4 ´abr´an l´athat´o m´odon. Ekkor a s´ıkban a sz´ or´ od´ asi csom´ opontokat k´etir´ any´ u k´esleltet˝o vonalak k¨otik ¨ossze – legegyszer˝ ubb esetben – a legk¨ ozelebbi szomsz´edaikkal a sz´ or´ od´ asi pontok kapuin kereszt¨ ul. Az ´abr´an l´athat´o n´egyzetr´acsos elrendez´esben egy csom´ opont n´egy kapuval rendelkezik. Vesztes´egmentes esetben a sz´ or´ od´ asi pontok N kapuj´ara k´et felt´etelnek kell teljes¨ ulnie a hangnyom´ asra ´es a r´eszecskesebes´egre: • Mivel a csom´ opontok egy hangnyom´as ´ert´ekkel jellemezhet˝oek, (ugyan´ ugy ahogy a membr´an eset´eben egy pontot egy kit´er´es jellemez) a csom´opont minden kapuj´an azonos hangnyom´as´ert´ek m´erhet˝ o, amely ´ert´eke pJ : p1 = p2 = ... = pN = pJ .
(4.28)
• A befoly´ o ´es kifoly´ o r´eszecskesebess´eg ¨osszege z´erus, forr´asmentes csom´opontot felt´etelezve: v1 + v2 + ... + vN = 0.
(4.29)
A sz´ or´ od´ asi csom´ opontok a hull´ amvezet˝o h´al´o ´ep´ıt˝oelemei. A h´al´oban ezeket k´etir´any´ u k´esleltet˝ o vonalak k¨ otik ¨ ossze. A teljes hull´ amvezet˝oben terjed˝o nyom´asra ´es r´eszecskesebess´egre teljes¨ ul az egydimenzi´ os esetben l´ atott egyenl˝ os´eg, azaz minden pontban a kialakul´o nyom´as´ert´ek az el˝ore ´es h´ atra halad´ o hull´ amok ¨ osszege. ´Igy a csom´opont J kapuj´an kialakul´o nyom´as sz´am´ıthat´o azt egy szomsz´edj´ aval ¨ osszek¨ ot˝ o hull´ amvezet˝on kialakul´o nyom´asb´ol: − pJ = p+ J,i + pJ,i .
(4.30)
A csom´ opontok ¨ osszek¨ ottet´esei az elemi k´esleltet˝ovonallal modellezett hull´amvezet˝o darabok, ame+ − − lyek Zi akusztikus impedanci´ ajukkal jellemezhet˝oek: Zi = p+ i /vi = pi /vi . Ezek alapj´ an n´eh´ any ´ atalak´ıt´ as elv´egz´ese ut´an tetsz˝oleges sz´am´ u kapuval rendelkez˝o csom´opontban a kialakul´ o hangnyom´ ast a k¨ ovetkez˝o egyenlet ´ırja le, amelyet az N-kapus sz´ or´ od´ asi egyenletnek nevezz¨ uk : PN p+ 2 i=1 Zii pJ = . (4.31) 1 Zi
41
Izotr´ op anyagban (Z1 = Z2 = ... = ZN ) az ¨osszef¨ ugg´es a k¨ovetkez˝o alakra egyszer˝ us¨odik: PJ =
N 2 X + p . N i=1 J,i
(4.32)
Az egyenletek azt ´ all´ıtj´ ak, hogy ahogy a halad´o hull´am a k¨ovetkez˝o csom´opontba ´erkezik, egy r´esze a hull´ amnak a csom´ opont relat´ıv impedanci´aj´at´ol f¨ ugg˝oen visszaver˝odik, m´asik r´esze bel´ep a csom´ opontba ´es megoszlik a csom´opont t¨obbi kapuja k¨oz¨ott. N´egyzetr´acsos elrendez´esben (csom´ opontokk´ent 4 kapu) izotr´ op anyagban, folytonos impedancia mellett a (4.32) egyenlet a k¨ ovetkez˝ ok´epp egyszer˝ us¨ odik: + + p+ + p+ 2 + p3 + p4 . (4.33) pJ = 1 2 A megadott egyeneletek alapj´ an a digit´alis hull´amvezet˝o h´al´on a hull´amterjed´es a k¨ovetkez˝o iter´ aci´ oval sz´ am´ıthat´ o az id˝ otartom´ anyban l, m poz´ıci´oj´ u csom´opontra n id˝opillanatban izotr´op membr´ an eset´en [12, 26]: • A csom´ opontokba a szomsz´edok fel˝ol ´erkez˝o ¨osszetev˝okb˝ol (4.34) alapj´an sz´am´ıthat´o a csom´ opontban kialakul´ o hangnyom´ as: pJ,l,m (n) =
+ + + p+ 1,l,m (n) + p2,l,m (n) + p3,l,m (n) + p4,l,m (n)
2
,
(4.34)
ahol pJ,l,m (n) a csom´ opontban kialakul´o nyom´as, p+ es p− opontba ´erkez˝o, i,l,m (n) ´ i,l,m (n) a csom´ illetve az azt elhagy´ o nyom´ as´ert´ekek. • Ezekb˝ ol (4.35) alapj´ an a csom´ opontb´ol t´avoz´o hull´am sz´am´ıthat´o: + p− i,l,m (n) = pJ,l,m (n) − pi,l,m (n).
(4.35)
• V´eg¨ ul a k´esleltet˝ o vonalakban a hull´amjellemz˝o ´ert´ekeket l´eptetni kell: mivel az egyes csom´opontokat egys´egnyi k´esleltet˝ ok k¨otik ¨ossze, ez´ert a J csom´opont i szomsz´edja fel˝oli kapuj´ara n pillanatban bees˝ o p+ as´ert´ek megegyezik i csom´opont J fel˝oli kapuj´at n − 1 J,i (n) hangnyom´ pillanatban elhagy´ o p− (n − 1) elhagy´ o nyom´as´ert´ekkel. A z-tartom´anyban, ahol a T mini,J tav´eteli id˝ ovel val´ o k´esleltet´es z −1 -el val´o szorz´at jelent, ez a k¨ovetkez˝o alakban ´ırhat´o fel: −1 − p+ Pi,J . J,i (n) = z
(4.36)
A h´ al´ oban forr´ as ´es nyel˝ o mentes esetben igaz, hogy a csom´opontba befoly´o r´eszecskesebess´eg osszege egyenl˝ o az abb´ ol t´ avoz´ o hull´ amok ¨osszeg´evel: ¨ X X + − vi,l,m (n) = vi,l,m (n). (4.37) i
i
N´eh´ any a´talak´ıt´ as ut´ an fel´ırhat´ o a hull´amvezet˝o h´al´o egyetlen nagy le´ır´oegyenlete az n. id˝opillanatra: pJ,l,m (n) = 0,5(pJ,l,m+1 (n − 1) + pJ,l,m−1 (n − 1) + pJ,l−1,m (n − 1) + pJ,l+1,m (n − 1)) − pJ,l,m (n − 2), (4.38) vagy ´ altal´ anosan (ezzel ekvivalensen, a z tartom´anyban): PN −1 2 i=1 piZz i pJ = PN − pJ z −2 . (4.39) 1/Z i i=1 Az ´ıgy sz´ am´ıtott hull´ amvezet˝ o h´ al´ ot K-modellnek, vagy K-DWM -nek nevezz¨ uk, m´ıg a (4.34)(4.35)-(4.36) egyenletekkel sz´ am´ıtott h´al´ot W-DWM -nek nevezz¨ uk. Egy h´al´on bel¨ ul alkalmazhatunk egyar´ ant K ´es W csom´ opontokat, ilyenkor kevert h´al´okr´ol besz´el¨ unk. A csom´opontok megfelel˝ o kever´es´evel jelent˝ os cs¨ okken´est ´erhet¨ unk el a h´al´o sz´am´ıt´asig´eny´eben [26]. 42
A (4.38) ¨ osszef¨ ugg´es kib˝ ov´ıthet˝ o a k¨ovetkez˝o form´ara is: pJ,l,m (n) − 2pJ,l,m (n − 1) + pJ,l,m (n − 2) = = 0,5[pJ,l,m+1 (n − 1) − 2pJ,l,m (n − 1) + pJ,l,m−1 (n − 1)] + + 0,5[pJ,l−1,m (n − 1) − 2pJ,l,m (n − 1) + pJ,l+1,m (n − 1)].
(4.40)
Ez a kifejez´es felismerhet˝ o, hogy az Descartes-f´ele koordin´ata-rendszerben fel´ırt id˝otartom´anybeli hull´ amegyenlet v´eges differencia s´em´ aja, ahol a hull´am terjed´esi sebess´ege c = 2−0,5 ≈ 0,7. Ez teh´ at azt jelenti, hogy a K-DWM modell matematikailag az FDTD m´odszerrel teljesen ekvivalens, a hull´ amegyenletnek megfelel˝ o eredm´enyt ad. Vegy¨ uk ´eszre azonban, hogy egy adott pillanatban a vizsg´ alt pontban kialakul´ o hangnyom´ as kisz´am´ıt´as´ahoz 7 ¨osszead´as ´es egy shiftel´es sz¨ uks´eges (2´ vel val´ o oszt´ as) implement´ aci´ o sor´ an [12], m´ıg szorz´asra egy´altal´an nincs sz¨ uks´eg. Epp ez a t´eny, amely miatt a digit´ alis hull´ amvezet˝ o h´al´o a jelenleg leg´ıg´eretesebb hull´amszimul´aci´os m´odszer.
4.4.3.
A h´ aromdimenzi´ os hull´ amvezet˝ o h´ al´ o
H´ aromdimenzi´ ora a m´ odszer ezek ut´an k¨onnyen kiterjeszthet˝o: n´egyzetr´acsos elrendez´esben ezesetben az egyes csom´ opontok 6 legk¨ozelebbi szomsz´edj´aval van ¨osszek¨ottet´esben, azaz h´arom egym´ asra mer˝ oleges k´esleltet˝ ovonl metsz´espontjai a sz´or´od´asi pontok. A h´ al´ o csom´ opontjaiban kialakul´ o nyom´as ebben az esetben a k¨ovetkez˝o egyenlettel ´ırhat´o le a K-DWM modellben [34, 35]: pJ,k,l,m (n) = 1 = [pJ,k+1,l,m (n − 1) + pJ,k−1,l,m (n − 1) + pJ,k,l+1,m (n − 1) + 3 + pJ,k,l−1,m (n − 1) + pJ,k,l,m+1 (n − 1) + pJ,k,l,m−1 (n − 1)] − pJ,k,l,m (n − 2).
(4.41)
L´ athat´ o, hogy az el˝ oz˝ oekben l´ atottakhoz hasonl´oan, a h´al´ot le´ır´o egyenlet a h´aromdimenzi´os hull´ amegyenlet diszkr´et alakj´ aval ekvivalens. A le´ırt m´ odszerek MATLAB k¨ ornyezetben k¨onnyen implement´alhat´oak. A m´odszer el˝onye, hogy minden id˝ opillanatban hozz´ af´er´es¨ unk van a hangt´erjellemz˝o f¨ uggv´enyekhez. A hangt´erszint´ezis vizsg´ alat´ ahoz egyszerre sz´ amos forr´as jel´et kell a rendszer gerjeszt´esek´ent a hangt´erhez hozz´ aadni, ez a bemutatott m´ odszerrel ´ıgy k¨onnyen lehets´eges.
4.4.4.
K¨ ozeghat´ arok modellez´ ese a hull´ amvezet˝ o h´ al´ oban
A k¨ ozeghat´ arok a n´egyzetr´ acsos DWM-ben legegyszer˝ ubben olyan csom´opontokk´ent val´os´ıthat´ oak meg, amelyek egyetlen csom´ oponttal vannak ¨osszek¨ottet´esben, a DWM sz´els˝o csom´opontjaival. Ezeket dummy csom´ opontokk´ent kezelj¨ uk, amelyek impedanci´aja el˝o´ırhat´o. A k¨ozeghat´arokat teh´ at a h´ al´ o tetsz˝ oleges impedanci´ aj´ u lez´ar´as´aval val´os´ıtjuk meg, amely lez´ar´asr´ol az impedanci´at´ol f¨ ugg˝ oen a hull´ am valah´ anyad r´esze visszaver˝odik.
pB p+B,1
J
z-1 z-1
z-1 z-1
z-1 z-1 z-1 z-1
p1
z-1 z-1
J
4.5. ´ abra. Visszaver˝ od´esek modellez´ese dummy-csom´opontokkal 43
4.6. ´ abra. Diszperzi´ o ´es ´atlapol´od´as hat´asa a hull´amvezet˝o h´al´oban Legegyszer˝ ubb esetben ´ıgy a falelemen kialakul´o pB nyom´as W-DWM eset´en az r visszaver˝ od´esi t´enyez˝ ovel a legk¨ ozelebbi p1 csom´opontb´ol adott u asb´ol ¨temben a falhoz ´erkez˝o p+ B,1 nyom´ sz´ am´ıthat´ o: pB = (1 + r)p+ (4.42) B,1 , 0 −Zb al´ o bels˝ o csom´opontjainak impedanci´aja, Zb a falelemek impedanci´aja. ahol r = Z Z0 +Zb , ha Z0 a h´ Ekkor az el˝ o´ırt visszaver˝ od´es a h´ al´ oban teljes¨ ul. Ekvivalens m´odon ´ırhat´o fel a visszaver˝od´est biztos´ıt´ o falon kialakul´ o hangnyom´ as a K-modellben:
pB = (1 + r)p1 z −1 − rpB z −2 .
4.4.5.
(4.43)
A hull´ amvezet˝ o h´ al´ o korl´ atjai ´ es m´ odszerek ezek ´ atl´ ep´ es´ ere
Mintav´ eteli frekvencia. A hull´ amvezet˝o h´al´oval val´o modellez´es eset´en t´erbeli- ´es id˝otartom´ anybeli mintav´etelez´es t¨ ort´enik. Ebben az esetben is ez meghat´aroz egy ir´anyf¨ ugg˝o maxim´alis frekvenci´ aj´ u hull´ amot, amely a h´ al´ oval szimul´alhat´o. Az effekt´ıv hull´amterjed´esi sebess´eget az ´atl´os ir´ any´ u√ terjed´esi sebess´eg hat´ arozza meg. Egy N -dimenzi´os rendszerben a hull´am ´atl´os halad´asa eset´en N t´ avols´ ag megtet´etel´ehez N id˝o sz¨ uks´eges. Ez alapj´an a h´al´o friss´ıt´esi frekvenci´ aja: √ c N fs = , (4.44) dx ahol c a hull´ am terjed´esi sebess´ege, dx a mintav´eteli t´avols´ag. Ebb˝ol az ´atlapol´od´as n´elk¨ ul szimul´ alhat´ o fels˝ o hat´ arfrekvencia ´ert´eke fNyq = fs /4 [35]. Az ´atlapol´od´as ´ertelemszer˝ uen a gerjeszt˝ojel fNyq -ra val´ o s´ avkorl´ atoz´ as´ aval ker¨ ulhet˝o el. Diszperzi´ o. A hull´ amvezet˝ o h´ al´ o legf˝obb probl´em´aja, hogy a hull´am terjed´esi sebess´ege f¨ ugg a frekvenci´ at´ ol ´es a terjed´esi ir´ anyt´ ol. Ez a h´al´oban diszperzi´ot jelent: hat´as´ara a hull´amforma terjed´es sor´ an torzul. Ez a hat´ as megfigyelhet˝o a 4.6 ´abr´an, ahol a diszperzi´o hat´asa az ´atl´os ir´ any´ u hull´ amfront cs´ ucsosod´ as´ an”, m´ıg az ´atlapol´od´as a hull´amfront ´altal k¨ozrez´art ter¨ uleten ” figyelhet˝ o meg. A diszperzi´ o az alkalmazott differencia s´ema Von Neumann-anal´ızis´evel vizsg´alhat´o, amelynek alapja a t´erbeli Fourier-transzform´ aci´ o. A t´erbeli Fourier-transzform´aci´o hat´as´ara xy-s´ıkb´ol ξ1 ξ2 altal kifesz´ıtett s´ıkba jutunk. A s´ık minden pontja a s´ıkhull´am dekompoz´ıci´ohoz hasonl´ ´ po m´odon meghat´ aroz egy adott ir´ any´ u, adott frekvenci´aj´ u s´ıkhull´amot: a hull´am frekvenci´aja ξ = ξ12 + ξ22 , azaz az orig´ ot´ ol val´ o t´ avols´ ag, m´ıg bees´esi sz¨oge α = arctan ξ2 /ξ1 . A 4.7 ´abr´an √a relat´ıv terjed´esi sebess´eg l´ athat´ o ξ1 , ξ2 f¨ uggv´eny´eben [12]. L´athat´o, hogy a relat´ıv sebess´eg 1/ 2 ´es 1 k¨oz¨ott v´altozik: ´ atl´ os ir´ anyban val´ o halad´ as eset´en ´ert´eke 1. Megfigyelhet˝o az is, hogy val´oban, a terjed´esi sebess´eg a halad´ asi ir´ any ´es a frekvencia f¨ uggv´enye is: ha csak frekvenciaf¨ ugg˝o lenne, akkor csak az orig´ ot´ ol val´ o t´ avols´ agt´ ol f¨ uggene, azaz az ´abra pontszimmetrikus lenne az orig´ora. 44
4.7. ´ abra. A hull´ am terjed´esi sebess´ege a frekvencia f¨ uggv´eny´eben [12] A hull´ am ir´ anyf¨ ugg˝ o terjed´esi sebess´ege a csom´opontok elrendez´es´enek, azaz a v´alasztott topol´ ogia f¨ uggv´enye. H´ aromsz¨ og alak´ u topol´ogi´aval majdnem minden ir´anyban egyenl˝o terjed´esi sebess´eg ´erhet˝ o el. N´egyzetr´ acsos elrendez´est alkalmazva is lehet˝os´eg van a diszperzi´os hat´asok cs¨ okkent´es´ere interpol´ aci´ oval [34, 35, 36, 37]: K´etdimenzi´ oban, a K-DWM-et le´ır´o (4.38) egyenlet fel´ırhat´o r¨ovidebb form´aban is: 4
pc (n) =
1X pk (n − 1) − pc (n − 2), 2
(4.45)
k=1
ahol pc (n) a sz´ am´ıtand´ o csom´ opontban a hangnyom´as, pc (n − 2) ugyanebben a csom´opontban a k´et u abbi nyom´ as´ert´ek, m´ıg pk (n − 1) a n´egy legk¨ozelebbi szomsz´edban el˝oz˝o u ¨temmel kor´ ¨temben m´ert nyom´ as´ert´ek. Az egyenlet els˝ o fele fel´ırhat´o m´atrixos form´aban is, amelyben a s´ ulyoz´o m´atrix megmutatja, hogy az aktu´ alis csom´ opont k¨ozvetlen k¨ornyezet´eben melyik csom´opont mekkora r´esszel szerepel az ¨ osszegz´esben. Ebben az esetben ez a s´ ulyoz´om´atrix: 0 1 0 1 horig = 1 0 1 . 2 0 1 0 A m´ atrix azonban megv´ altoztathat´ o, ekkor gyakorlatilag a differencia s´em´at m´odos´ıtjuk, a csom´opontban kialakul´ o nyom´ as sz´ am´ıt´ as´ aba mind a 8 szomsz´edja k¨ozrej´atszik. Az interpol´aci´os m´atrix k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o megv´ alaszt´ asaival (billine´ aris interpol´aci´o, kvadratikus interpol´aci´o) a vonatkoz´o irodalom behat´ oan foglalkozik [36]. A m´ atrix elemei optimaliz´alhat´oak k¨olts´egf¨ uggv´eny minimaliz´al´assal is. Az ´ıgy kapott optim´ alis interpol´ aci´ os m´atrix a vonatkoz´o irodalom alapj´an [36]: 0,09398 0,3120 0,09398 hopt = 0,3120 0,3759 0,3120 . 0,09398 0,3120 0,09398 Az interpol´ aci´ o term´eszetesen anal´ og m´odon h´aromdimenzi´oban is elv´egezhet˝o. H´aromdimenzioban a k¨ ´ oz´eps˝ o csom´ opontnak 26 szomsz´edja van, teh´at ¨osszesen 27 csom´opont vonhat´o be az interpol´ aci´ oba. Ezt egy 3 × 3 × 3-as m´atrix seg´ıts´eg´evel ´ırhatjuk le. Az optimaliz´alt interpol´al´o m´ atrix [35] alapj´ an: 0,01460 0,03860 0,01460 0,03860 0,12052 0,03860 0,01460 0,03860 0,01460 hopt = 0,03860 0,12052 0,03860 , 0,12052 0,69686 0,12052 , 0,03860 0,12052 0,03860 . 0,01460
0,03860
0,01460
0,03860 45
0,12052
0,03860
0,01460
0,03860
0,01460
4.8. ´ abra. A digit´alis hull´amvezet˝o h´al´o m˝ uk¨od´ese ahol a k¨ oz´eps˝ o m´ atrix a sz´ am´ıtand´ o csom´opont s´ıkj´anak interpol´al´o m´atrixsza. Az interpol´ al´ o m´ atrix alkalmaz´ as´ anak hat´as´ara a hull´am terjed´esi sebess´ege szinte teljesen ir´ anyf¨ uggetlenn´e tehet˝ o, egyed¨ ul a frekvenciaf¨ ugg´ese marad meg. Ez lehet˝ov´e teszi a h´al´o impulzusv´ alasz´ aban a hiba tov´ abbi cs¨ okkent´es´et, amelyet megfelel˝oen megv´alasztott FIR-sz˝ ur˝ovel val´o sz˝ ur´essel tehet¨ unk meg [34, 35, 36, 37].
4.5.
¨ Osszegz´ es
A fejezetben bemutattam egy ¨ osszetett szimul´aci´os k¨ornyezet l´etrehoz´as´at. A legegyszer˝ ubb esetben a hangteret monop´ olusok ter´enek numerikus ¨osszegz´es´evel sz´am´ıtottam, m´ıg az ´alland´osult allapot sz´ ´ am´ıt´ as´ ahoz spektr´ alis v´egeselem alap´ u m´odszert haszn´altam. A tranziensek szimul´ aci´ oj´ ahoz l´etrehoztam egy W-modell ´es egy K-modell hull´amvezet˝o h´al´ot is. Mivel a hangnyom´ as ´ert´ek´ehez minden id˝opillanatban hozz´af´er¨ unk, ez´ert a rendszer k¨onnyen gerjeszthet˝ o, a hangt´erszint´ezis k¨ onnyen vizsg´alhat´o. A h´al´ot mind k´et-, mind h´aromdimenzi´oban megval´ os´ıtottam: a sz´ am´ıt´ asok k´etdimenzi´oban jelent˝osen gyorsabbak, jellegre a t´er gyorsabban vizsg´ alhat´ o. Term´eszetesen ekkor a k´etdimenzi´os hull´amterjed´est ´es k´etdimenzi´os hangt´erszint´ezist le´ır´ o egyenletek ´erv´enyesek, ´ıgy a monop´olus ter´et az ismert Hankel-f¨ uggv´eny ´ırja le, de a hangt´erszint´ezis az eg´esz s´ıkon amplit´ ud´ohelyesen biztos´ıthat´o. A 4.8 ´ abr´ an a h´ al´ o m˝ uk¨ od´es´et demonstr´aland´o, egy Gauss-ablak vez´erl˝ojel˝ u forr´as hull´amtere l´ athat´ o egy n´egysz¨ og alak´ u membr´ anon, amelyen t¨obb akad´alyt helyeztem el. Ezeknek a hely´et kont´ urg¨ orbe jelzi az ´ abr´ an. L´ athat´ o, hogy a hull´amvezet˝o h´al´o tetsz˝oleges geometri´ara hat´ekonyan alkalmazhat´ o, ellent´etben a spektr´ alis v´egeselem m´odszerrel, amely hat´ekonyan csak cip˝osdobozszob´ ara alkalmazhat´ o.
46
5. fejezet
M´ odszer a diffrakci´ os hat´ asok megszu es´ ere ¨ ntet´ Az el˝ oz˝ o fejezetben l´ athattuk, az alkalmazott m´asodlagos forr´asok hangsz´or´ok, amelyeket egy fal ment´en helyez¨ unk el. T´eglalap alap´ u szob´aban ekkor a m´asodlagos forr´aseloszl´as hossza maxim´ alisan a fal hossz´ aval egyenl˝ o. L´ athat´ o volt, hogyan hat´ arozhat´ o meg a m´asodlagos forr´aseloszl´asb´ol a besug´arozhat´o ter¨ ulet a szob´ aban. Ez a ter¨ ulet t¨ obb fal bevon´as´aval, azaz tov´abbi m´asodlagos forr´asok elhelyez´es´evel a szomsz´edos falakon n¨ ovelhet˝ o. Az 5.1 ´abr´an l´athat´o, hogy tetsz˝oleges ir´any´ u s´ıkhull´am eset´en a k´et szomsz´edos fal ´ altal besug´ arozhat´o ter¨ uletek kieg´esz´ıtik egym´ast: a tere¨ uletek k¨oz¨ott nincs atfed´es ´es ´ıgy elm´eletileg a k´et fallal a z´art t´err´esz teljes eg´esz´eben besug´arozhat´o. ´ A vonatkoz´ o irodalom alapj´ an [33, 48] a m´asodik fal bevon´asa a szint´ezisbe az el˝oz˝oekben sz´ am´ıtott vez´erl˝ ooper´ atorok mindk´et falra val´o fel´ır´as´aval oldhat´o meg, azaz ugyanazt a f¨ uggv´enyt ki´ert´ekelve az ¨ osszes – k´et falnyi – m´ asodlagos forr´asra. Ezzel a megold´assal k´et probl´ema van: • L´ athat´ o volt, hogy egy falr´ ol val´o sug´arz´as eset´en a besug´arozhat´o ter¨ ulet sz´elein g¨ombhull´ amok form´ aj´ aban diffrakci´ os jelens´eg l´ep fel. Nincs ez m´ask´ent k´et falr´ol val´o sug´arz´as eset´eben sem: mindk´et fal lesug´ arzott hangter´eben jelen vannak a diffrakci´os hull´amok, amelyek a t´erhez hozz´ aad´ odnak, hiszen a szob´aban kialakul´o hangt´er – visszaver˝od´es n´elk¨ uli esetben – egyszer˝ uen a k´et sug´ arz´o falr´esz hangtereinek o¨sszegek´ent ´all´ıthat´o el˝o. • A vez´erl˝ ooper´ atorok sz´ armaztat´ asa sor´an felt´etelezt¨ uk, hogy a m´asodlagos forr´asok a v´ızszintes ir´ anyban v´egtelen hossz´ u vonal ment´en helyezkednek el. Ugyanezt t¨obb falra sz´am´ıtva semmi sem garant´ alja hogy a t¨ obb falr´ol lesug´arzott t´er egyenl˝o az eredetileg egy, v´egtelen hossz´ u falr´ ol sug´ arzott t´errel.
síkhullám másodlagos forráseloszlás
k
1. forráseloszlás besugározható területe 2. forráseloszlás besugározható területe 5.1. ´ abra. A k´et falr´ol besug´arozhat´o ter¨ ulet 47
5.1.
A probl´ ema megold´ asa
A probl´ema megold´ as´ ahoz abb´ ol indultam ki, hogy a szint´ezis t¨ok´eletes lenne v´egtelen hossz´ u m´ asodlagos forr´ aseloszl´ as eset´en: a diffrakci´os hat´asok is amiatt j¨onnek l´etre, hogy a m´asodlagos forr´ asok sz´els˝ o elemeinek nincs szomsz´edja, amely ezeket a hat´asokat kioltan´a, teh´at a diffrakci´o is a v´ızszintes ir´ anyban elhagyott m´ asodlagos forr´asok hi´any´ab´ol sz´armazik. A megold´ asom alap¨ otlete a k¨ ovetkez˝o: a m´ asodlagos vonalforr´ as csonkol´ as´ anak hat´ asa kik¨ usz¨ ob¨ olhet˝ o, ha a szomsz´edos falakr´ ol a hi´ anyz´ o r´eszek hangter´et ´ all´ıtjuk el˝ o. M´ ask´epp megfogalmazva: a szomsz´edos falak bevon´ asa sor´ an az u ´jonnan bevont falakr´ ol nem az eredeti virtu´ alis forr´ as hangter´et pr´ ob´ aljuk szintetiz´ alni, hanem azt a hangteret, amelyet az el˝ oz˝ o fal k´et oldal´ ar´ ol elhagyott m´ asodlagos forr´ asok hozn´ anak l´etre ezeken az oldalfalakon. Az ¨ otlet megval´ os´ıt´ as´ anak bemutat´as´ahoz a vizsg´alt elrendez´es az 5.2 ´abr´an l´athat´o. T´etelezz¨ uk fel, hogy egy szob´ aban az ´abr´an l´athat´o m´odon egy k¨ uls˝o virtu´alis forr´as hangter´et akarjuk szintetiz´ alni a z = 0 vonal – amelybe az 1. fal is beletartozik – ment´en elhelyezked˝o folytonos m´ asodlagos forr´ aseloszl´ assal. Ekkor a m´ar ismert m´odon erre a v´egtelen hossz´ u forr´asra a Qm (x, ω) szint´ezisoper´ atorok sz´ am´ıthat´ok: r r jk ∆z0 e−jkr G(ϕ, 0, ω) cos ϕ √ . (5.1) Qm,1.fal (x, ω) = S(ω) 2π z0 + ∆z0 r Ebb˝ ol a forr´ aseloszl´ asb´ ol csak a pirossal jel¨olt r´esz, azaz 0 < x < L realiz´alhat´o a szob´aban a fal ment´en elhelyezett forr´ asokkal. Az ´ abr´an szaggatott vonallal jel¨olt r´eszeket ´ıgy teh´at elhagyjuk, amely a t´erben a hangt´er torzul´ as´ at, diffrakci´ot okoz. A m´ asodlagos forr´ aseloszl´ as x > L elhagyott elemei a 2-es fal m¨og¨ott virtu´alis forr´asokk´ent is felfoghat´ oak, ugyan´ıgy a x < 0 m´ asodlagos forr´asok a 4-es fal m¨og¨otti virtu´alis forr´asok. Legegyszer˝ ubb esetben a z = 0 vonal ment´en elhelyezked˝o Qm (x, ω) vez´erl˝ojel˝ u monop´olusokk´ent kezelhet˝ oek, amelyekr˝ ol ´ıgy elegend˝ o ismerettel rendelkez¨ unk ahhoz, hogy a 2-es, illetve a 4-es falr´ ol ter¨ uk a szoba belsej´eben szintetiz´alhat´o legyen. Egy x > L virtu´ alis m´ asodlagos forr´as ter´enek szint´ezis´ehez a 2. falra kell a m´ar ismert vez´erl˝ ooper´ atort fel´ırni: r r 0 jk ∆x0 e−jkr 0 Qm (z, ω) = Qm (x, ω) cos β √ . (5.2) 2π x0 + ∆x0 r0
5.2. ´ abra. Elrendez´es az elhagyott m´ asodlagos forr´asok ter´enek szomsz´ed falr´ol t¨ort´en˝o szintetiz´al´ ahoz 48
Az egyenletben x0 a virtu´ alis m´ asodlagos forr´as 2. falt´ol vett t´avols´aga, ∆x0 a 2. falr´ol val´o szint´ezis referenciavonala. Ahhoz, hogy az ¨ osszes elhagyott forr´as ter´et vissza´all´ıtsuk, ezt a vez´erl˝ooper´atort kell az ¨osszes elhagyott forr´ asra kisz´ amolni, majd ¨osszegezni ˝oket. Ez a 2. fal m¨og¨otti virtu´alis m´asodlagos forr´ asok ter´enek integr´ alja, ´ıgy a 2. fal vez´erl˝of¨ uggv´enyeit a k¨ovetkez˝ok´epp ´ırhatjuk fel: r r Z ∞ 0 jk ∆x0 e−jkr (5.3) cos β √ .dx Qm,2.fal (z, ω) = Qm,1.fal (x, ω) 2π x0 + ∆x0 r0 L Hasonl´ oan a 4. fal egyes pontjainak vez´erl˝of¨ uggv´eny´et u ´gy kell fel´ırni, hogy azok a x < 0 elhagyott virtu´ alis forr´ asok ter´et ´ all´ıts´ ak el˝ o: r r Z 0 0 jk ∆x0 e−jkr Qm,1.fal (x, ω) Qm,4.fal (z, ω) = (5.4) cos β √ dx. 2π x0 + ∆x0 r0 −∞ Term´eszetesen ez m´eg mindig k¨ ozel´ıt´es, hiszen a szint´ezis hib´aja ugyanaz, mint az el˝oz˝o esetben: a kialakul´ o hangt´er akkor lenne t¨ ok´eletes, ha mind a 2. fal ment´en, mind a 4. fal ment´en v´egtelen lenne a szint´ezishez haszn´ alt forr´ aseloszl´as hossza. Az eredm´eny azonban az im´ent alkalmazott megold´ as ism´eti alkalmaz´ as´ aval tov´ abb finom´ıthat´o: a 2. ´es 4. falr´ol elhagyott forr´asok hat´asa az 1. ´es 3. falr´ ol k¨ ozel´ıt˝ oleg lesug´ arozhat´o, u ´gy, hogy a vez´erl˝ooper´atorokat az im´ent mutatott m´ odszerrel sz´ am´ıtjuk. Ez az elj´ ar´ as tov´abb folytathat´o, a kialakul´o hangt´er az iter´aci´o v´egtelen sz´ am´ u ism´etl´es´evel az eredeti, v´egtelen hossz´ u vonalforr´asr´ol lesug´arzott hangt´erbe tart. A m´ odszer l´enyege ¨ osszefoglalva: az els˝o falt´ol kiindulva, a falak sz´el´er˝ol elhagyott m´asodlagos forr´ asok hat´ as´ at a fal k´et szomsz´edj´ ara hajtjuk r´a”, ezekkel k¨ozel´ıtj¨ uk azok hangter´et. V´egtelen ” sz´ am´ u ilyen hajtogat´ as ut´ an a n´egy fal lesug´arzott hangter´enek ¨osszege elm´eletileg az eredeti, v´egtelen hossz´ u vonalforr´ as ter´et adja vissza. L´ athat´ o, hogy anal´ıtikusan fel´ırva az egyes falak szint´ezisoper´atorait t¨obbsz¨or¨os integr´alegyen´ lethez vezetne: az integr´ al´ asok sz´ ama egyenl˝o az iter´aci´ok (azaz a hajtogat´asok”) sz´am´aval. Er” dekes k´erd´es az ilyen m´ odon v´egtelenben vett sor¨osszeg z´art alakban val´o meghat´aroz´asa, amely ´ıgy a t¨ ok´eletes szint´ezist eredm´enyezn´e n´egy falr´ol. Munk´am sor´an erre nem t´ertem ki, a m´odszer m˝ uk¨ od´es´enek vizsg´ alata sor´ an bizonyos sz´am´ u iter´aci´ot v´egeztem el, a v´egtelenben vett integr´alokat pedig kell˝ oen nagy sz´ amig t¨ ort´en˝o numerikus ¨osszegz´essel k¨ozel´ıtettem. Ez term´eszetesen jelent˝ osen megn¨ ovelte a szint´ezisoper´ atorok meghat´aroz´as´anak sz´am´ıt´asig´eny´et: egy iter´aci´o elv´egz´ese a klasszikus vez´erl˝ ooper´ atorok sz´am´ıt´asidej´enek t¨obb, mint 50-szeres´et vette ig´enybe, m´ıg k´et iter´ aci´ ohoz ez 160-szoros´ ara n˝ ott. Ez a nagy sz´am´ıt´asig´eny is kik¨ usz¨ob¨olhet˝o lenne a z´art alak megtal´ al´ as´ aval.
5.2.
A kidolgozott megold´ as eredm´ enyei
A m´ odos´ıtott vez´erl˝ ooper´ atorok m˝ uk¨od´es´enek vizsg´alat´ahoz a szimul´aci´ok sor´an alkalmazott elrendez´es az 5.3 ´ abr´ an l´ athat´ o: C´elunk egy a z < 0 f´els´ıkon elhelyezked˝o monop´olus ter´enek reprodukci´ oja a Lx × Lz szob´ aban, u ´gy, hogy a szint´en monop´olus m´asodlagos forr´aseloszl´as a n´egy fal ment´en helyezkedik el. A konkr´et p´eld´aban a virtu´alis forr´as a [−1, 1] pontban helyezkedik el, a szoba dimenzi´ oi Lx = Lz = 2 m, m´ıg a referenciavonal: ∆z0 = 0,75 m A forr´as egys´egnyi amplit´ ud´ oval sug´ aroz, teh´ at a forr´ as a´ltal a t´er tetsz˝oleges r0 pontj´aban a kialakul´o hangnyom´as 0 −jkr 0 0 P (r ) = e /r . A klasszikus vez´erl˝ ooper´ atorok sz´ am´ıt´asa eset´en a n´egy fal k¨oz¨ ul a szint´ezisben csak a z = 0 fal m´ asodlagos forr´ asai akt´ıvak, a szint´ezisben csak ezek vesznek r´eszt. Ezekre a klasszikus vez´erl˝ ooper´ ator r r jk ∆z0 e−jkr Qm (x, ω) = S(ω) cos ϕ √ . (5.5) 2π z0 + ∆z0 r Ennek az oper´ atornak m˝ uk¨ od´es´et hasonl´ıtottam az el˝oz˝oekben bemutatott m´odon sz´am´ıthat´o saj´ at oper´ atorokhoz amelyeket k´et iter´ aci´oig sz´am´ıtottam: a z = 0 fal mell˝ol elhagyott m´asodlagos 49
x másodlagos forráseloszlás Lx virtuális forrás
r
referencia vonal
Lx/2 z0
? z0
Lz
z
5.3. ´ abra. Elrendez´es a vez´erl˝ ooper´atorok m´odos´ıt´as´anak hat´as´anak vizsg´alat´ahoz forr´ asok hat´ as´ at sz´ am´ıtottam k´et szomsz´edj´ara, x = Lx ´es x = 0 falakra, majd ezen falak mell˝ ol elhagyott forr´ asok hat´ as´ at tov´ abb sz´am´ıtottam szomsz´edaikra, z = 0 ´es z = Lz falakra. ´Igy a hangt´er kialak´ıt´ as´ aban egy fal helyett mind a n´egy fal szerepet vesz. A szimul´aci´ok sor´an a virtu´ alis forr´ as vez´erl˝ ojele f = 1260 Hz-es szinuszjel volt. A v´egtelenben vett integr´alokat 8 m´eternyi elhagyott m´ asodlagos forr´ as ter´enek sz´am´ıt´as´aval helyettes´ıtettem. A tapasztalat azt mutatta, hogy ezen t´ ul az elhagyott m´ asodlagos forr´asok hat´asa elhanyagolhat´o a gyors oszcill´aci´o ´es a nagy t´ avols´ ag miatt. Az 5.4 ´ abr´ an a klasszikus vez´erl˝ ooper´atorok abszol´ ut´ert´eke k´ek sz´ınnel, a m´odos´ıtott vez´erl˝ooper´ atorok abszol´ ut´ert´eke piros sz´ınnel l´athat´ok. L´athat´o, hogy val´oban, a klasszikus vez´erl˝of¨ uggv´enyek csak azon a falon tartalmaz nemnulla ¨osszetev˝oket, amely m¨og¨ott a virtu´alis forr´as van, m´ıg a m´ odos´ıtott oper´ atorokat alkalmazva mind a n´egy fal sug´aroz. A legnagyobb hozz´aj´arul´asa a szint´ezishez a z = 0 falnak van, m´ıg a z = Lz hat´asa elhanyagolhat´o. Az x = 0 ´es x = Lx falaknak azonban sz´ amottev˝ o hozz´ aj´ arul´ asa van a szint´ezishez. Ezek elhanyagol´asa a klasszikus szint´ezisoper´ atorok eset´en term´eszetesen hat´ assal lesz a kialakul´o hangt´erre, ter¨ uk hi´anya diffrakci´ok´ent
Amplitúdó
0,025
Klasszikus vezérlőoperátorok Saját vezérlőoperátorok
0,015
0,005 0
x=0 fal
x=Lx fal
z=0 fal
z=Lz fal
Pozíció 5.4. ´ abra. A klasszikus ´es a m´ odos´ıtott vez´erl˝ooper´atorok abszol´ ut´ert´ek´enek ¨osszehasonl´ıt´asa 50
jelentkezik. Az 5.5 ´ abr´ ak a szintetiz´ alt hangterek ´es az eredeti, virtu´alis forr´as ´altal l´etrehozott hangterek (nyom´ asterek) k¨ ul¨ onbs´eg´et jelen´ıtik meg. A szimul´aci´ok a reflexi´ok figyelembev´etele n´elk¨ ul, alland´ ´ osult ´ allapotban k´esz¨ ultek. Az ´ abr´akon tetsz˝oleges r pontban az ´abr´azolt ´ert´ek P5.5 (r) = ∆P (r) = Peredeti (r) − Pszint (r).
(5.6)
Az adott elrendez´esben a virtu´ alis forr´as eredeti nyom´astere a szob´aban 1-re norm´alt, azaz a legnagyobb amplit´ ud´ oj´ u pont cs´ ucs´ert´eke egys´egnyi. Az ´ıgy megv´alasztott param´eterekkel a hibajelens´egek amplit´ ud´ oi k¨ onnyebben vizsg´alhat´ok. L´athat´o, hogy a klasszikus esetben a k¨ ul¨onbs´egi hangt´erben k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o interferenciajelens´egek vannak, azaz az eredetit˝ol elt´er˝o ir´anyults´ag´ u hull´ amok is jelen vannak a t´erben. Ezek a diffrakci´os hull´amok, amely a v´eges apert´ ura m´eretb˝ol sz´ armaznak. A m´ odos´ıtott szint´ezis oper´atorokkal szintetiz´alt t´errel vett k¨ ul¨onbs´egi jelben ezzel szemben a komponensek az eredeti t´errel azonos ir´anyults´ag´ uak. Ez azt jelenti hogy a szintetiz´alt hangt´er az eredetit˝ ol csak amplit´ ud´ oban t´er el, amely hiba azonban a stacion´arius f´azis k¨ozel´ıt´es sor´ an l´ep fel, ´ıgy vonal eloszl´ as´ u m´ asodlagos forr´asok alkalmaz´asa mellett ez a hibajelens´eg nem kik¨ usz¨ ob¨ olhet˝ o. Az 5.6 ´ abr´ akon a terjed´esi u ´tb´ ol sz´armaz´o csillap´ıt´as figyelmen k´ıv¨ ul hagy´as´aval, puszt´an a hull´ am cs´ ucs´ert´eke l´ athat´ o. Ha a vizsg´ alt r pont ´es a virtu´alis forr´as t´avols´aga r, akkor az ´abr´akon b´ armely pontban az ´ abr´ azolt ´ert´ek P5.6 (r) = rejkr ∆P (r).
(5.7)
Ism´et, a klasszikus oper´ atorok eset´en a k¨ ul¨onbs´egi t´er amplit´ ud´oj´aban a diffrakci´os hull´amok amplit´ ud´ oja is megjelenik. L´ athat´ o, hogy jelent˝os hiba van az x = 0 ´es x = Lx falak k¨ozel´eben, amely falakr´ ol val´ o sug´ arz´ as hi´ anya legjobban megjelenik. A m´odos´ıtott oper´atorokat alkalmaz´o hangt´er szintezis sor´ an azonban a hiba szinte csak a z koordin´ata monoton cs¨okken˝o f¨ uggv´enye, amely azt jelenti, hogy a hiba a Rayleigh-integr´ al vonalintegr´alba val´o transzform´al´asa miatt j¨on l´etre. Mivel ez az amplit´ ud´ ohiba nem kik¨ usz¨ob¨olhet˝o, ´erdemesebb a hibajelet a nem megsz¨ untethet˝o hiba elhagy´ as´ aval vizsg´ alni. Ez l´ athat´ o az 5.7 ´abr´an, amelyen ´ıgy r pontban az ´abr´azolt ´ert´ek P5.7 (r) = rejkr ∆P (r) − Akorr , (5.8) ahol Akorr a szint´ezis korrekci´ os t´enyez˝oj´eb˝ol sz´am´ıthat´o hiba. L´athat´o, hogy val´oban, a klasszikus vez´erl˝ ooper´ atorok alkalmaz´ asa sor´ an a marad´ek hiba m´eg mindig jelent˝os, ami m´ar kiz´ar´olag a v´eges apert´ uram´eret hat´ asak´ent keletkezik, m´ıg a m´odos´ıtott vez´erl˝ooper´atorokkal a hiba m´ar a s´ık szinte teljes r´esz´en elhanyagolhat´ o. Az 5.7 ´ abr´ an is vizsg´ alt marad´ek hibat´er lehet˝ov´e teszi a hiba sz´amszer˝ us´ıt´es´et, amely nem f¨ ugg a vizsg´ al´ ojel frekvenci´ aj´ at´ ol ´es a referenciavonal hely´et˝ol, puszt´an a diffrakci´os hat´asokat sz´ amszer˝ us´ıti: a P5.7 (r) nyom´ ast´er E effekt´ıv ´ert´eke j´ol jellemzi ezt a hibam´ert´eket, amely az effekt´ıv ´ert´ek defin´ıci´ oja szerint dB-ben (Pref = 1 Pa referenci´aval) s Z Lz Z Lx 2 1 rejkr ∆p(r) dxdz . (5.9) E = 20lg Lx Lz 0 0 Ezt a hibajellemz˝ ot ki´ert´ekelve a klasszikus vez´erl˝ooper´ator ´altal gener´alt hiba: Eklasszikus = 11,8 dB, m´ıg a m´ odos´ıtott oper´ atorok eset´en ez a mennyis´eg Emod = −12,4 dB. A hiba effekt´ıv ´ert´ek´et m´ as virtu´ alis forr´ aspoz´ıci´ okra is kisz´am´ıtva a m´odszerem jellemz˝oen 18-20 dB-lel jav´ıtja a szint´ezist. L´ athat´ o, hogy a vez´erl˝ ooper´atorok m´odos´ıt´asa jelent˝osen cs¨okkentette a diffrakci´os hat´ asokat, ´ıgy a szintetiz´ alt hangt´er az ´altalam fel´ırt oper´atorokkal sokkal jobban megk¨ozel´ıti az eredeti teret, mint a klasszikus eset. A hiba elvileg m´eg tov´abb cs¨okkenthet˝o az el˝oz˝o bekezd´esben le´ırt m´ odon: a Rayleigh-integr´ al tov´abbi pontos´ıt´as´aval, ami az ´altalam megadott m´odszerrel lehets´eges.
51
0,3 0,2 x [m]
x [m]
0,1 0 -0,1 -0,2 z [m]
(a)
z [m]
(b)
5.5. ´ abra. Az eredeti hangt´er ´es a szintetiz´alt hangt´er k¨ ul¨onbs´ege a klasszikus oper´atorok (a) ´es a m´ odos´ıtott oper´ atorok (b) alkalmaz´ as´ aval
0,6 0,4 x [m]
x [m]
0,2 0 -0,2 -0,4
z [m]
(a)
z [m]
(b)
5.6. ´ abra. A szint´ezis hib´ aj´ anak cs´ ucs´ert´eke a klasszikus oper´atorok (a) ´es a m´odos´ıtott oper´atorok (b) alkalmaz´ asa mellett
0,3 0,2
x [m]
x [m]
0,1 0 -0,1 -0,2
(a)
z [m]
z [m]
(b)
5.7. ´ abra. A szint´ezis amplit´ ud´ o hib´ aja a korrekci´os tag figyelembev´etele n´elk¨ ul a klasszikus oper´ atorok (a) ´es a m´ odos´ıtott oper´ atorok (b) alkalmaz´asa eset´en 52
6. fejezet
Hangt´ erszint´ ezis z´ art t´ erben A hangt´erszint´ezis matematikai alapjait bemutat´o fejezetben l´athat´o volt, hogy a hangsz´or´ok vez´erl˝ ojel´enek sz´ armaztat´ as´ anak alapja a Rayleigh-integr´alegyenlet volt. Ez azonban a Kirchhoff– Helmholtz-integr´ al – amely a hangt´er ´altal´anos le´ır´as´at adja – egy speci´alis esetben lehets´eges egyszer˝ us´ıt´ese: az egyszer˝ us´ıt´eshez a felt´etel a Sommerfeld-f´ele sug´arz´asi felt´etel teljes¨ ul´ese, azaz a v´egtelen f´elt´erbe val´ o sug´ arz´ as. Ez azt jelenti, hogy a sug´arz´o falr´ol indul´o hull´amok a v´egtelenben elnyel˝ odnek, nem t¨ ort´enik visszaver˝ od´es. A gyakorlatban a hangt´erszint´ezis z´art t´erben t¨ort´enik, amelyben – hacsak a falak nem t¨ ok´eletesen elnyel˝ok – a hull´amok a falakr´ol visszaver˝odnek, a terem visszhangzik. Ez term´eszetesen a t´er´erzetet rombolja. A fejezetben el˝ osz¨ or a visszhangz´ o terem le´ır´as´at mutatom be. Ez alapj´an m´odszert dolgoztam ki a teremben elhelyezked˝ o forr´ as visszhangjainak kiolt´as´ara a hangt´erszint´ezis seg´ıts´eg´evel. A m´ odszer alkalmazhat´ ou ´gy is, hogy a kioltand´o visszhang´ u bels˝o forr´as ´epp a hangt´erszint´ezisre alkalmazott m´ asodlagos forr´ aseloszl´ as, ´ıgy ezek refelxi´oinak kiolt´as´aval lehet˝ov´e v´alik a hangt´erszint´ezis z´ art t´erben is. A fejezet m´ asodik fel´eben ezt a m´odszert ismertetem.
6.1.
A zeng˝ o terem le´ır´ asa
Egy terem zeng´ese a hull´ amok falakr´ol t¨ort´en˝o sorozatos visszaver˝od´eseib˝ol ´all. Egy teremben a forr´ asb´ ol sz´ armaz´ o hanghull´ am a megfigyel´esi pontot legel˝osz¨or a kett˝o k¨oz¨otti direkt u ´ton ´eri el. Az id˝ o ami alatt a hull´ am el´eri a megfigyel˝ot, term´eszetesen a forr´as-megfigyel˝o t´avols´ag ´es a hangsebess´eg h´ anyadosa. A direkt u ´tvonalon k´ıv¨ ul azonban a hanghull´am a falakr´ol visszaver˝odve is el´eri a megfigyel˝ ot, ahogyan az a 6.1 ´abr´an l´atszik A hang t¨ obbsz¨ or¨ osen visszaver˝ odik a falakr´ol, ´ıgy egyre t¨obb visszhang ´eri el a megfigyel˝ot. Ha a teret impulzussal gerjesztj¨ uk (pl. lufipukkant´as, pisztolyl¨ov´es), adott megfigyel˝o poz´ıci´oban m´erhetj¨ uk a terem impulzusv´ alasz´ at. Egy tipikus impulzusv´alasz l´athat´o a 6.2 ´abr´an. A k¨ozvetlen hang ut´ an be´erkez˝ o els˝ o n´eh´ any visszaver˝od´es j´ol elk¨ ul¨on¨ ul egym´ast´ol, ezek be´erkez´esi ideje ´es amplit´ ud´ oja j´ ol sz´ am´ıthat´ o. Ez a determinisztikus szakasz az u ´n. korai visszaver˝ od´esek szakasza.
forrás
hallgató
6.1. ´ abra. Visszaver˝od´esek z´art t´erben 53
h(t)
korai visszaverődések diffúz szakasz közvetlen hang
t 6.2. ´ abra. Zeng˝o terem impulzusv´alasza Ezut´ an a visszaver˝ od´esek egyre gyakoribbak, v´eg¨ ul az impulzusok szinte m´ar nem k¨ ul¨on¨ ulnek el egym´ ast´ ol. Ez a sztochasztikus folyamatk´ent modellezhet˝o lecseng´es adja a szoba zeng´es´et, neve: diff´ uz szakasz. Teremakusztika ter¨ ulet´en a szoba egyik legfontosabb jellemz˝oje a diff´ uz szakasz hossza ´es meredeks´ege, pontosabban az az id˝o, amely alatt a forr´as kikapcsol´asa ut´an a teremben l´ev˝ o energiaszint 60 dB-lel cs¨ okken. Ez az u ´n. ut´ ozeng´esi id˝ o, jel¨ol´ese T60 [5].
6.1.1.
A visszaver˝ od´ esek le´ır´ asa
Mivel a terem zeng´es´enek diff´ uz szakasza sztochasztikus folyamat, ez´ert ennek kiolt´asa legfeljebb statisztikus m´ odszerekkel, k¨ olts´egf¨ uggv´eny minimaliz´al´assal, adapt´ıv sz˝ ur´essel lehets´eges [39, 47]. A saj´ at m´ odszerem kidolgoz´ asa sor´an a korai visszaver˝od´esek elnyom´as´at t˝ uztem ki c´elul. Ehhez sz¨ uks´eg van ezen korai reflexi´ ok fizikai le´ır´as´anak meg´ert´es´ere [5, 28]. Ha egy hull´ am k¨ ozeghat´ arra ´erkezik, ´ıgy pl. a leveg˝oben terjed˝o hull´am el´eri egy szoba fal´at, a hull´ am egy r´esze elnyel˝ odik, azaz a´tl´ep a m´asik k¨ozegbe ´es tov´abbhalad, m´asik r´esze pedig visszaver˝ odik. A visszaver˝ od´es sz´ amunkra legfontosabb jellemz˝oje a visszaver˝ od´esi t´enyez˝ o, amely defin´ıci´ oszer˝ uen a visszaver˝ od¨ ott hull´ am ´es a bees˝o hull´am komplex cs´ ucs´ert´ek´enek ar´anya. Mivel a visszaver˝ od˝ o hull´ am f´ azisv´ altoz´ ast is elszenvedhet, ez´ert a reflexi´os t´enyez˝o komplex ´ert´ek˝ u: R = |R| ejφ =
Arefl . Abe
(6.1)
A visszaver˝ od´esi t´enyez˝ o abszol´ ut ´ert´eke ´es f´azisa is f¨ ugg a bees˝o hull´am frekvenci´aj´at´ol ´es bees´esi sz¨ og´et˝ ol. A reflexi´ o jellemezhet˝ o a hull´ am eneregiacs¨okken´es´evel is: a hull´am intenzit´asa az amplit´ ud´oja n´egyzet´evel ar´ anyos. A m´er˝ osz´ am, amely megmutatja, mekkora r´esze nyel˝odik el a be´erkez˝o hull´am energi´ aj´ anak, az akusztika ter¨ ulet´en gyakran haszn´alt k¨ozegjellemz˝o, az elnyel´esi t´enyez˝ o: 2
α = 1 − |R| .
(6.2)
Szint´en gyakran haszn´ alt akuszikai jellemz˝o a specifikus, vagy m´as n´even akusztikus impedancia, amely defin´ıci´ oszer˝ uen a k¨ ozegben terjed˝o p hangnyom´as valamint a v r´eszecskesebess´eg h´anyadosa. S´ıkhull´ am eset´en a leveg˝ o specifikus impedanci´ aja (hull´amimpedanci´aja): Z0 =
p = ρ0 c. v
(6.3)
A fal akusztikus impedanci´ aja a k¨ ozvetlen¨ ul a fal el˝ott m´erhet˝o hangnyom´as ´es az ´altala l´etrehozott norm´ alis r´eszecskesebess´eg h´ anyadosak´ent defini´alhat´o, amely r´eszecskesebess´eg megegyezik a fal rezg´es´enek norm´ alis sebess´eg´evel: p = Zrel Z0 . (6.4) Zfal = vn A falr´ ol t¨ ort´en˝ o visszaver˝ od´eseket jellemz˝o elnyel´esi t´enyez˝ot ´es reflexi´os t´enyez˝ot leggyakrabban a k¨ ozegek akusztikus impedanci´ aival ´ırjuk le: a falra mer˝olegesen be´erkez˝o s´ıkhull´amok eset´en a 54
6.3. ´ abra. Visszaver˝od´es k¨ozeghat´aron reflexi´ os t´enyez˝ o egyszer˝ uen kifejezhet˝o a leveg˝o ´es a fal impedanci´aj´aval, a t´avvezet´ek modellel anal´ og m´ odon: Zfal − Z0 Zrel − 1. R= = (6.5) Zfal + Z0 Zrel + 1 ´ Altal´ anos esetben a vizsg´ alt elrendez´es a 6.3 ´abr´an l´athat´o. A legfontosabb visszaver˝od´esi szab´ aly, amelyet a k¨ ovetkez˝ oekben ki is haszn´alunk a geometriai optika egyik alapt¨orv´enye: a ´ hull´ am visszaver˝ od´esi sz¨ oge egyenl˝ o a bees´esi sz¨oggel, azaz Θi = Θr . Altal´ anos esetben az el˝oz˝o osszef¨ ugg´esek Θ bees´esi sz¨ og mellett a k¨ovetkez˝o alak´ uak [22]: ¨ A fal akusztikus impedanci´ aja: ρ0 c 1 + R , (6.6) Z= cos Θ 1 − R a visszaver˝ od´esi t´enyez˝ o: Zfal cos Θ − ρ0 c Zrel cos Θ − 1 R= = , (6.7) Zfal cos Θ + ρ0 c Zrel cos Θ + 1 v´eg¨ ul az elnyel´esi t´enyez˝ o: α=
6.1.2.
4 Re(Zrel ) cos Θ 2
|Zrel | cos2 Θ + 2 Re(Zrel ) cos Θ + 1
.
(6.8)
A tu orforr´ asok m´ odszere ¨ k¨
A t´eny, hogy a hull´ am visszaver˝ od´ese sor´an a hull´am bees´esi sz¨oge ´es a reflekt´alt hull´am a norm´ alissal bez´ art sz¨ oge megegyezik, lehet˝os´eget ad a szob´aban a visszaver˝od´esek geometriai szerkeszt´es´ere. Egy forr´ asb´ ol sz´ armaz´ o b´ armely ir´any´ u hull´am visszaver˝od´ese kiszerkeszthet˝o, ha az eredeti forr´ ast t¨ ukr¨ ozz¨ uk a visszaver˝ o fel¨ uletre, majd a visszaver˝od˝o hull´amokat ebb˝ol a t¨ uk¨orforr´ asb´ ol sz´ armaz´ o hull´ amnak tekintj¨ uk. Ez l´athat´o a 6.4 ´abr´an. Term´eszetesen a szerkeszt´es sor´an felt´etelezz¨ uk, hogy a t¨ uk¨ orforr´ as ir´ anykarakterisztik´aja az eredeti forr´as ir´anykarakterisztik´aj´anak t¨ uk¨ ork´epe.
6.4. ´ abra. Visszaver˝od´esek geometriai szerkeszt´ese 55
6.5. ´ abra. T¨ uk¨ orforr´ asok szerkeszt´ese n´egysz¨ogalap´ u szob´aban
Ahogy l´ athattuk, a be´erkez˝ o hull´ am egy r´esze elnyel˝odik, energi´aj´anak csak az (1 − α)-szorosa ver˝ odik vissza a fel¨ uletr˝ ol. Az elnyel´esi t´enyez˝o ir´any- ´es frekvenciaf¨ ugg˝o, ´ıgy a visszaver˝od¨ott hull´ amnak az intenzit´ asa ´es spektruma is v´altozik. Egyszer˝ u esetben ez a t´enyez˝o figyelembe vehet˝o, ha a t¨ uk¨ orforr´ as spektrum´ at ´es intenzit´as´at eszerint m´odos´ıtjuk. Vizsg´ aljuk most a 6.5. ´ abr´ at. Tegy¨ uk fel, hogy a vizsg´alt szob´aban a plafonr´ol ´es a padl´or´ol nem t¨ ort´ennek visszaver˝ od´esek. Ekkor a szoba tetsz˝oleges pontj´aban m´ert impulzusv´alasz´aban a direkt hang megjelen´ese ut´ an az els˝ o n´egy visszaver˝od´es a szoba n´egy fal´ar´ol egy visszaver˝od´es ut´ an ´erkezik a hallgat´ o poz´ıci´ oj´ aba. Ezeket els˝ orend˝ u visszaver˝ od´eseknek nevezz¨ uk, amelyekhez a hull´ am u ´tja megszerkeszthet˝ o a hangforr´as n´egy hat´arol´ofalra val´o t¨ ukr¨oz´es´evel. Az eredeti hull´am t¨ obbsz¨ or¨ os visszaver˝ od´es ut´ an is ´erkezhet a megfigyel´esi poz´ıci´oba, ennek rendje a hallgat´ohoz ´erkez´es el˝ otti visszaver˝ od´esek sz´ ama. A hull´amok u ´tja szint´en szerkeszthet˝o, a forr´as a falakra val´ o t¨ obbsz¨ ori t¨ ukr¨ oz´es´evel. A 6.5 ´ abr´ an k´ek sz´ınnel egy els˝odleges visszaver˝od´es, piros sz´ınnel egy m´ asodlagos visszaver˝ od´es szerkeszt´ese l´athat´o. Ha a hat´arol´o falak sz´ama N , akkor az els˝o i0 -ad rend˝ u visszaver˝ od´es kisz´ am´ıt´ as´ ahoz sz¨ uks´eges t¨ uk¨orforr´asok sz´ama:
N (i0 ) = N
(N − 1)i0 − 1 . N −2
(6.9)
Legegyszer˝ ubb esetben a reflexi´ os t´enyez˝ot ir´any- ´es frekvenciaf¨ uggetlennek tekintj¨ uk, ´ert´eke R. Ebben az esetben a t¨ uk¨ orforr´ asok seg´ıts´eg´evel a reflekt´alt hull´am amplit´ ud´oj´at is meghat´arozhatjuk: i0 visszaver˝ od´es ut´ an a hull´am amplit´ ud´oja puszt´an a visszaver˝od´esek miatt Ri0 -ad´ara cs¨ okken, az adott megfigyel˝ opontba val´o meg´erkez´esig val´o k´esleltet´es ´es nyomvonalcsillap´ıt´as az i0 -ad rend˝ u t¨ uk¨ orforr´ as megszerkeszt´es´evel meghat´arozhat´o. Szigor´ uan v´eve a t¨ uk¨ orforr´ asok m´ odszere csak abban az esetben ´ırja le t¨ok´eletesen a visszaver˝od´eseket, ha a falak specifikus impedanci´aja +1, vagy −1. M´as esetben az eredm´enyek nem teljesen korrektek, hiszen a reflexi´ os t´enyez˝ ot ´es abszorpci´os t´enyez˝ot is s´ıkhull´amok visszaver˝od´ese eset´en sz´ am´ıtottuk, m´ıg jelen esetben a pontforr´asokb´ol g¨ombhull´amok indulnak ki. A t¨ uk¨orforr´asok m´ odszer´evel teh´ at akkor k¨ ozel´ıthetj¨ uk j´ol a visszaver˝od´eseket, ha teljes¨ ul a kr 1 felt´etel, azaz a forr´ as a falt´ ol olyan messze van, hogy a hull´am g¨orb¨ ulete elhanyagolhat´o. Emellett a val´os´agban a reflexi´ os t´enyez˝ o ir´ any- ´es frekvenciaf¨ ugg˝o: a falak ´altal´aban alul´atereszt˝o sz˝ ur˝ok´ent viselkednek. 56
6.2.
Reflexi´ okompenz´ aci´ o hangt´ erszint´ ezissel
A k¨ ovetkez˝ oekben az a ´ltalam kidolgozott m´odszert mutatom be, amely a reflexi´ok kiolt´as´ara alkalmas a t¨ uk¨ orforr´ asok m´ odszere alapj´an.
6.2.1.
Bels˝ o forr´ as visszhangkiolt´ asa
T´etelezz¨ uk fel, hogy egy szob´ aban a hallgat´o magass´ag´aban egy monop´olus karakterisztik´aj´ u hangforr´ as helyezkedik el, amely adott frekvenci´an ´alland´o amplit´ ud´oval sug´aroz. A termet ´alland´ osult ´ allapotban, azaz a visszhangok okozta tranziens szakaszt k¨ovet˝oen vizsg´aljuk. Ez azt jelenti, hogy a szoba egyes pontjaiban a m´erhet˝o id˝of¨ uggv´eny az adott pontra vonatkoz´o impulzusv´alasz ´es a forr´ as id˝ of¨ uggv´eny´enek – amely most tiszt´an szinuszos – konvol´ uci´oja. Az egyszer˝ ubb vizsg´ alat kedv´e´ert tegy¨ uk fel, hogy a szob´aban a plafon ´es a padl´o elnyel´esi t´enyez˝ oje 1, teh´ at teljesen elnyel˝ o. Ekkor a szoba b´armely pontj´aban sz´am´ıthat´o a visszaver˝od´esek hat´ asa a t¨ uk¨ orforr´ asok m´ odszer´evel. Csak az els˝ orend˝ u visszaver˝ od´esek figyelembev´etel´ehez a bels˝o forr´ast a szoba n´egy oldalfal´ara t¨ ukr¨ ozz¨ uk. Ekkor a szoba tetsz˝ oleges rA pontj´aban kialakul´o hangt´er az eredeti forr´as hangter´enek ´es a n´egy t¨ uk¨ orforr´ as hangter´enek ¨ osszegek´ent ´all el˝o, amelyek a visszaver˝od´es sor´an R reflexi´os t´enyez˝ o szerinti amplit´ ud´ ocs¨ okken´est szenvednek: P (rA , ω)
4 X
−jk|rA −rS |
= S(ω) i0 =1
(1) −jk rA −rS
N e e . + S(ω)R (1) |rA − rS | rA − rSN n=1
(6.10)
(1)
Az egyenletben S(ω) a forr´ as vez´erl˝ ojele, rS a forr´as helyvektora, rSN a forr´as els˝orend˝ u visszaver˝ od´es´et le´ır´ o N . t¨ uk¨ ork´ep´enek helyvektora. Az ´alland´osult ´allapot sz´am´ıt´as´ahoz term´eszetesen az ¨ osszes visszaver˝ od´es hat´ as´ at figyelembe kell venni, amely v´egtelen sz´am´ u t¨ uk¨orforr´as ter´enek osszegek´ent ´ırhat´ o fel: ¨ ∞
(i ) −jk r −r 0
A SN e e−jk|rA −rS | X , P (rA , ω) = S(ω) + S(ω)Ri0 (i ) |rA − rS | rA − rSN0 n=1
(6.11)
ahol i0 a visszaver˝ od´es foka, ´ıgy az aktu´alis t¨ uk¨orforr´as t¨ ukr¨oz´esi sz´ama. Az ´ alland´ osult hangt´er ´ıgy fel´ırhat´ o az eredeti forr´as tere ´es a falak m¨og¨ott elhelyezked˝o t¨ uk¨orforr´ asok, mint virtu´ alis forr´ asok hangter´enek ¨osszegek´ent. A hangt´erszint´ezis vez´erl˝o oper´atorok ´eppen egy szob´ aban, egy fal m¨ og¨ ott elhelyezked˝o virtu´alis forr´as ter´enek szint´ezis´ere lettek sz´armaztatva. Ha teh´ at a vizsg´ alt szob´ aban a bels˝ o forr´ ason k´ıv¨ ul a falak ment´en a bels˝ o forr´ as magass´ ag´ aban folyamatos forr´ aseloszl´ ast helyez¨ unk el, a hangt´erszint´ezis seg´ıts´eg´evel a t¨ uk¨ orforr´ asok ter´enek (−1)-szerese l´etrehozhat´ o a szint´ezis s´ıkj´ aban. Mivel a t¨ uk¨ orforr´ asok tere ´es a szintetiz´ alt hangt´er a teremben ¨ osszead´ odik, ez´ert a t¨ uk¨ orforr´ asok tere ´es ´ıgy a reflexi´ ok hat´ asa kiolthat´ o.
másodlagos forráseloszlás
6.6. ´ abra. T¨ uk¨ orforr´asok ter´enek kiolt´asa hangt´erszint´ezissel 57
Vegy¨ uk ´eszre azonban, hogy ha a bels˝o forr´ast t¨ ukr¨ozz¨ uk egy hat´arol´o falra ´es a t¨ uk¨ork´ep ter´et, mint virtu´ alis forr´ as ter´et (−1)-szeresen szintetiz´aljuk, akkor az adott falr´ol t¨ort´en˝o ¨osszes reflexi´ ot kioltjuk, ´ıgy err˝ ol a falr´ ol m´ ar nem sz´armazhat magasabb rend˝ u visszaver˝od´es. Ez azt jelenti, hogy puszt´ an az els˝ odleges visszaver˝od´esekhez tartoz´o t¨ uk¨orforr´asok hely´enek sz´am´ıt´as´aval ´es hangter´enek ellenf´ azis´ u lesug´ arz´ as´ aval a szob´aban az ¨osszes v´ızszintes ir´any´ u reflexi´o kiolthat´o. A megold´ as szeml´eltet´ese a 6.6 ´ abr´ an l´athat´o. Term´eszetesen a falakr´ ol t¨ ort´ent˝ o visszhangkiolt´as akkor lenne t¨ok´eletes, ha a falak teljes eg´esz´en tudn´ ank m´ asodlagos forr´ asokat elhelyezni. Ekkor az rS bels˝o pontba helyezett S(ω) vez´erl˝ojel˝ u monop´ olus teljes visszaver˝ od˝ o tere kiolthat´o, ha az N . falon r pontban elhelyezett monop´olus vez´erl˝ ooper´ atora: 0 1 + jk |r − r0S | e−jk|r−rS | , (6.12) QN (r, ω) = 2RS(ω) m,3D |r − r0S | |r − r0S | ahol r0S a virtu´ alis forr´ as, azaz az eredeti bels˝o forr´as aktu´alis, N . falra vett t¨ uk¨ork´ep´enek helyvektora, valamint |r − r0S | a virtu´ alis forr´as ´es a m´asodlagos forr´as t´avols´aga. Ez term´eszetesen a gyakorlatban t´ ul sok hangsz´or´ot ig´enyelne, ´ıgy alkalmazhatjuk ism´et a stacion´ arius f´ azis´ u k¨ ozel´ıt´est. Ennek eredm´enyek´epp elegend˝o a bels˝o forr´as magass´ag´aban elhelyezni a fal ment´en a m´ asodlagos forr´ asokat, ebben a s´ıkban a visszhangok k¨ozel´ıt˝oen kiolthat´oak. Ekkor az N . falon elhelyezett vonalforr´ as r poz´ıci´oban elhelyezked˝o elem´enek vez´erl˝ooper´atora a m´ar ismertetett k¨ ozel´ıt´esek miatt a k¨ ovetkez˝ok´epp alakul: r r 0 jk ∆z0 e−jk|r−rS | N . (6.13) cos ϕ p Qm,2,5D (r, ω) = RS(ω) 2π z0 + ∆z0 |r − r0S | Az egyenletben a ∆z0 a referenciavonal ´es a m´asodlagos forr´aseloszl´as t´avols´aga, m´ıg z0 a virtu´alis forr´ as ´es a m´ asodlagos forr´ as k¨ oz¨ otti legkisebb t´avols´ag.
6.2.2.
Hangt´ erszint´ ezis visszhangkiolt´ assal
A n´egy fal ment´en elhelyezett forr´ aseloszl´assal a bemutatott m´odszerrel egy bels˝o forr´as reflekt´ alt hangtere kiolthat´ o, a visszaver˝ od´esek hat´asa elm´eletileg megsz¨ untethet˝o. Hat´arhelyzetben ez a bels˝ o forr´ as a falon helyezkedik el, a hangt´erszint´ezis seg´ıts´eg´evel a visszaver˝od˝o t´er ilyenkor is kiolthat´ o. Ekkor azonban ezt kezelhetj¨ uk u ´gy is, hogy a kioltand´o ter˝ u forr´as ´epp a m´asodlagos forr´ aseloszl´ as egyik tagja. Ez az alap¨ otlete a visszhangkompenz´aci´ot is alkalmaz´o hangt´erszint´ezisnek: a m´ asodlagos forr´ asokkal r´eszben a reproduk´aland´o hangteret szintetiz´aljuk, r´eszben a m´asodlagos forr´ asok visszhangjait oltjuk ki. Ha a hangt´erszint´ezissel a klasszikus m´odon a szob´an kiv¨ uli tetsz˝oleges helyen l´ev˝o virtu´alis forr´ as hangter´et szintetiz´ aljuk, akkor a zeng˝o teremben a m´asodlagos forr´asokb´ol indul´o hull´amok a falakr´ ol visszaver˝ odnek, a t´erben nemcsak a virtu´alis forr´as tere alakul ki, hanem ehhez hozz´aad´ odnak a m´ asodlagos forr´ asok visszhangjai. Term´eszetesen ez egy kis elnyel´esi t´enyez˝oj˝ u szob´aban teljesen lerombolja a kialakul´ o hangk´epet, az eredeti, szintetiz´aland´o t´er szinte felismerhetetlen, ahogy a k¨ ovetkez˝ o bekezd´esben a szimul´aci´ok eredm´eny´en l´athatjuk. Az im´ent bemutatott m´odszer seg´ıts´eg´evel azonban a m´ asodlagos forr´asok visszhangjai a t¨obbi forr´as seg´ıts´eg´evel kiolthat´o. Ezt a kiolt´ ast az ¨ osszes akt´ıv m´ asodlagos forr´asra elv´egezve elm´eletileg a teremben az ¨osszes zavar´o visszhang megsz¨ untethet˝ o ´es a marad´ek hangt´er a virtu´alis forr´as szintetiz´alt hangtere. A visszhangkompenzi´ aci´ ot is alkalmaz´o hangt´erszint´ezis teh´at a k¨ovetkez˝ok´epp val´os´ıthat´o meg, a 6.7 ´ abr´ an l´ athat´ o jel¨ ol´esekkel: • Els˝ o l´ep´esk´ent a virtu´ alis forr´ as ter´enek szint´ezis´ere szolg´al´o klasszikus vez´erl˝ooper´atorok sz´ am´ıt´ asa a feladat: r r jk ∆x0 e−jkr Qm (z, ω) = S(ω) cos ϕ √ , z ∈ [0, Lz ]. (6.14) 2π ∆x0 + x0 r x=0
Ekkor a m´ asodlagos forr´ aseloszl´ as tagjai Qm (x, ω) vez´erl˝of¨ uggv´eny˝ u monop´olusok, amelyek a teremben visszhangzanak. A vizsg´alt esetben a nem-nulla vez´erl˝ojel˝ u forr´asok folytonos piros vonallal vannak jel¨ olve. 58
6.7. ´ abra. M´ asodlagos forr´ asok – mint t¨ uk¨orforr´asok – hangter´enek szintetiz´al´asa a t¨obbi m´asodlagos forr´ as seg´ıts´eg´evel • A visszhangok meghat´ aroz´ as´ ara a m´asodlagos forr´aseloszl´as ¨osszes tagj´at t¨ ukr¨ozz¨ uk a terem n´egy fal´ ara. Az ´ıgy kapott t¨ uk¨ ork´epek hely´et az ´abr´an szaggatott piros vonal jelzi. Ezek a t´erben RQm (x, ω) monop´ olusokk´ent l´atszanak, ahol R a reflexi´os t´enyez˝o. A teljes visszhangos t´er ´ alland´ osult ´ allapotban ism´et, a m´asodlagos forr´aseloszl´as v´egtelen sz´am´ u t¨ ukr¨oz´es´evel ´es ter¨ uk ¨ osszegz´es´evel lenne meghat´arozhat´o. • A visszhangok kiolt´ as´ ahoz a n´egy falr´ol a m´asodlagos forr´aseloszl´as t¨ uk¨ork´epeinek hangter´enek (-1)-szeres´et kell szintetiz´ alni. Legegyszer˝ ubb esetben adott t¨ uk¨ork´ep ter´et azzal a fallal ´erdemes szintetiz´ alni, amelyikre a t¨ ukr¨oz´est v´egrehajtottuk, hiszen a m´asodlagos forr´aseloszl´ as am¨ og¨ ott a fal m¨ og¨ ott helyezkedik el. Ezt a k¨ovetkez˝o egyenlettel fogalmazhatjuk meg, a 6.7 ´ abr´ an l´ athat´ o z = 0, x ∈ [0, Lx ] falr´ol val´o szint´ezis eset´en, tetsz˝oleges bels˝o pontra: Z Lx Z 0 0 e−jk∆r e−jk∆r 0 Qm (x, ω) dx = − RQm (z, ω) dz. (6.15) ∆r ∆r0 0 −Lz • Ez alapj´ an az ´ abr´ an l´ athat´ o jel¨ ol´esekkel a z = 0, x ∈ [0, Lx ] fal, valamint a z = Lz , x ∈ [0, Lx ] fal vez´erl˝ of¨ uggv´enye: r s Z 0 0 jk ∆z00 e−jkr 0 √ Qm (x, ω) =− RQm (z, ω) cos ϕ dz, x ∈ [0, Lx ] (6.16) 2π ∆z00 + z00 r0 −Lz z=0 x=0 r s Z 2Lz 0 jk ∆z00 e−jkr 0 √ Qm (x, ω) =− RQm (z, ω) cos ϕ dz, x ∈ [0, Lx ], (6.17) 2π ∆z00 + z00 r0 Lz z=Lz x=0 m´ıg a x = 0, 0 ∈ [0, Lz ], valamint a z = Lx , z ∈ [0, Lz ] falakon elhelyezett m´asodlagos forr´asok vez´erl˝ of¨ uggv´enye: r s Z Lz 0 jk ∆x00 e−jkr √ Q0m (z, ω) =− RQm (z, ω) cos ϕ dz, z ∈ [0, Lz ] (6.18) 2π ∆x00 + x00 r0 0 x=0 x=0 59
Q0m (z, ω)
Z =− x=Lx
0
Lz
RQm (z, ω)
r x=0
jk 2π
s
0
∆x00 e−jkr cos ϕ √ dz, z ∈ [0, Lz ]. (6.19) 0 0 ∆x0 + x0 r0
• A v´egleges vez´erl˝ of¨ uggv´enyek v´eg¨ ul minden falra Q ´es Q0 f¨ uggv´enyek ¨osszegek´ent ´all el˝o, hiszen a hangterek egyszer˝ uen ¨ osszegezhet˝oek: Qm (x, z, ω) = Qm (x, z, ω) + Q0m (x, z, ω).
(6.20)
A vizsg´ alt esetben csak az x = 0, z ∈ [0, Lz ] falnak van nem 0 ´ert´ek˝ u Q oper´atora, ez´ert az osszegz´est elegend˝ o erre a falra elv´egezni. ¨ Term´eszetesen alkalmazhatjuk az el˝oz˝o feladatban bemutatott ´altalam tov´abbfejlesztett szint´ezisoper´ atorokat is. Ekkor a 6.7 ´ abr´ an l´athat´o monop´olus ter´enek szint´ezis´ehez nem csak egy fal j´ arul hozz´ a, hanem annak k´et szomsz´edja is. Ekkor term´eszetesen a t¨ ukr¨oz¨ott forr´asok ter´enek kiolt´ as´ ahoz is t¨ obb falat kell a szint´ezisbe bevonnunk, amely a vez´erl˝ooper´atorok sz´am´ıt´as´at bonyolultabb´ a teszi ´es a sz´ am´ıt´ asig´enyt is jelent˝osen megn¨oveli. A hangt´erszint´ezis ilyen alkalmaz´ as´aval teh´at a szint´ezis kiterjeszthet˝o z´art terekre is. Term´eszetesen a megold´ as csak a n´egy hat´ arol´ofalr´ol t¨ort´en˝o refllexi´ok kiolt´as´ara alkalmas a szint´ezis s´ıkj´ aban. A plafonr´ ol ´es padl´ or´ ol t¨ ort´en˝o visszaver˝od´esek ilyen m´od´ u kiolt´as´ara nincs lehet˝os´eg, hiszen ehhez ezeken a falakon is forr´ asokat k´ene elhelyezni. Ezeknek a kiolt´as´ara m´as m´odszer sz¨ uks´eges, ilyen lehet esetleg az adapt´ıv sz˝ ur´esen alapul´o reflexi´o kompenz´aci´o [39].
60
6.3.
A reflexi´ okompenz´ aci´ o hat´ as´ anak vizsg´ alata
6.3.1.
Bels˝ o forr´ as reflexi´ okiolt´ as´ anak vizsg´ alata
A spektr´ alis v´egeselem m´ odszeren alapul´o szimul´aci´os k¨ornyezetben az el˝oz˝o fejezetben bemutatott reflexi´ ok kiolt´ as´ ara kidolgozott m´odszer m˝ uk¨od´ese ´alland´osult ´allapotban j´ol vizsg´alhat´o. A vizsg´ alatot egy terem belsej´eben elhelyezett monop´olus ´alland´osult ter´enek szimul´aci´oj´aval kezdtem. A k¨ ovetkez˝ o szimul´ aci´ okat 1 kHz frekvenci´an v´egeztem, mivel ezen a frekvenci´an a hangt´erszint´ezis kb. 10 cm ´ atm´er˝ oj˝ u hangsz´or´okkal megval´os´ıthat´o, r´aad´asul az emberi ir´anyhall´asban is kit¨ untetett szerepet j´ atszik ez a 1-1,5 kHz k¨or¨ uli frekvencias´av [42, 50]. A szimul´ aci´ os k¨ ornyezet, mint az el˝oz˝o bekezd´esben l´athat´o volt a hat´arol´o falak impedanciaj´ ´ anak, ´ıgy k¨ ozvetetten a α abszorpci´ os t´enyez˝o megad´as´at teszi lehet˝ov´e. A megadott 1 kHz-en a megfelele˝ on megv´ alaszott drap´eri´ aval ak´ar α = 0,75, u ¨veggyapot burkolattal ak´ar α = 0,99 elnyel´esi t´enyez˝ o el´erhet˝ o [46]. Elm´eletileg teh´at a burkolat megfelel˝o megv´alaszt´as´aval elhanyagolhat´ ov´ a tehet˝ oek a plafonr´ ol ´es padl´ or´ol t¨ort´en˝o visszaver˝od´esek. Ha a bels˝o forr´as ´es a hallgat´o a szint´ezis s´ıkj´ aban helyezkedik el, akkor a hallgat´ohoz a s´ıkon k´ıv¨ uli visszaver˝od´esek m´ar csak mint a plafonr´ ol, vagy plafonr´ ol ´erkez˝o m´asodlagos visszaver˝od´esek ´erkezhetnek, amelyek teh´at ´ a vizsg´ alt esetben elnyel˝ odnek. Epp ez´ert a szimul´aci´okat a szint´ezis s´ıkj´aban k´esz´ıtettem, a plafonra ´es padl´ ora α = 1 elnyel´esi t´enyez˝ot el˝o´ırva. Ez z = ρ0 c akusztikus impedanci´at jelent, amely s´ıkhull´ amra n´ezve ´epp a hull´ amimpedancia, ´ıgy illesztett lez´ar´ast jelent. A 6.8 ´ abr´ an a zeng˝ o teremben kialakul´o ´alland´osult nyom´ast´er l´athat´o. A bels˝o forr´as, amely teh´ at most ´ alland´ o, 1 kHz-es szinuszjelet sug´aroz, az x = 3,22 m, z = 1,48 m√ poz´ıci´oban helyezkedik el. Az 5×4 m-es terem oldalfalainak elnyel´esi t´enyez˝oje α = 0,1, amely R = 1 − α ≈ 0,95 reflexi´os t´enyez˝ onek felel meg. A szimul´ aci´ o sor´an teh´at a falak er˝osen visszaver˝oek, a gyakorlatban ez az elnyel´esi t´enyez˝ o merev faburkolatokra, r´etegelt lemezekre jellemz˝o. Az ´ abr´ an l´ athat´ o, hogy a visszaver˝ od´esek hat´as´ara a t´erben kialakul´o hangt´er jelent˝osen torzul, az eredetileg azonos f´ azis´ u pontok a hull´amfronton a forr´ast´ol t´avolabb m´ar alig megk¨ ul¨onb¨oztethet˝ oek az interferencia hat´ asokt´ ol. A visszhangok kiolt´ as´ ahoz ezut´ an a bels˝o forr´ason k´ıv¨ ul a bels˝o forr´as magass´ag´aban l´ev˝o falelemeket vez´ereltem az el˝ oz˝ o fejezetben l´atott m´odon: minden fal az eredeti forr´as arra a falra vett t¨ uk¨ork´ep´enek ter´et sug´ arozza (−R)-szeres er˝os´ıt´essel. A m´asodlagos forr´asok egym´ast´ol 5 mmre helyezkednek el, ami el´eg kicsi t´ avols´ag ahhoz, hogy a m´asodlagos forr´aseloszl´as folytonosnak tekinthet˝ o legyen. A szint´ezis referenciavonala mind a n´egy fal eset´en ∆z0 = 0,35 m. Az N . fal
4
z [m]
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
x [m] 6.8. ´ abra. Zeng˝ o terem ´alland´osult ´allapotban, α = 0.1 61
4
z [m]
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
x [m] 6.9. ´ abra. A reflexi´ okompenz´ aci´ o eredm´enye a 6.8 ´abr´an l´athat´o szob´ara, a n´egy hat´arol´ofalon elhelyezett m´ asodlagos forr´ aseloszl´ assal vez´erl˝ of¨ uggv´enye ´ıgy adott r pontban: r QN m,2,5D (r, ω)
= −RS(ω)
jk 2π
r
0 e−jk|r−rS | ∆z0 cos ϕ p , z0 + ∆z0 |r − r0S |
(6.21)
o forr´ as adott falra vett t¨ uk¨ork´ep´enek helyvektora. Az ´ıgy sz´am´ıtott vez´erl˝of¨ uggv´eahol r0S a bels˝ nyek gyakorlatilag a szint´ezis s´ıkj´ aban el˝o´ırt peremfelt´etelekk´ent val´os´ıthat´oak meg. A kialakul´ o hangt´er a 6.9 ´ abr´ an l´ athat´o. Az ´abr´an szaggatott vonallal a jel¨oltem a referenciavonalakat. L´ athat´ o, hogy a hangt´er szint´ezis seg´ıts´eg´evel ´alland´osult ´allapotban a reflexi´ok hozz´aj´arul´ asa az ´ alland´ osult hangt´erhez j´ o k¨ ozel´ıt´essel kik¨ usz¨ob¨olhet˝o: az eredeti monop´olus hull´amfrontja jellegre szinte az eg´esz teremben – a referenciavonalak ´altal hat´arolt ter¨ uleten – pontosan visszaall´ıthat´ ´ o´ alland´ osult ´ allapotban is. Term´eszetesen az interferenciajelens´egek nyoma felfedezhet˝o a hull´ amfrontokon, amely r´eszben a szint´ezis nem ide´alis volt´ab´ol ered. Emellett szint´en probl´em´ at okoz az is, hogy a vizsg´alt ´alland´osult hangt´erben ugyan a c´elunk a bels˝ o forr´ as reflexi´ oinak kiolt´ asa, azonban ennek el´er´es´ehez u ´jabb forr´asokat helyezt¨ unk a t´erbe (illetve annak perem´ere). Ezekb˝ ol a m´ asodlagos forr´asokb´ol sz´armaz´o reflexi´ok hat´asa a kialakul´o alland´ ´ osult ´ allapotban megjelenik, ha a padl´ot ´es plafont nem tudjuk t¨ok´eletesen elnyel˝ov´e tenni. A helyzet bonyolults´ aga miatt a m´ odszer eredm´enye nehezen sz´amszer˝ us´ıthet˝o reprezentat´ıvan, azonban elmondhat´ o, hogy a m´ odszerrel ´alland´osult ´allapotban jellegre helyesen vissza´all´ıthat´o a vizsg´ alati s´ık nagy r´esz´eben az eredeti, bels˝o forr´as hangtere. A bels˝ o forr´ as, amelynek visszhangter´enek kiolt´as´ara t¨orekedhet¨ unk hat´aresetben a falon helyezkedhet el. Ekkor a forr´ as a m´ asodlagos forr´aseloszl´as egy tagj´anak is tekinthet˝o, ´ıgy a teljes t´er gerjeszt´ese a peremfelt´etelekkel le´ırhat´o. Ennek az esetnek szimul´aci´oja l´athat´o a 6.10 ´abr´an. L´ athat´ o, hogy a reflexi´ ok ebben az esetben is j´ol kiolthat´ok, a forr´as eredeti tere vissza´all´ıthat´o. Ez m´ ar el˝ ore mutat a reflexi´ okompenz´aci´os hangt´erszint´ezisre, amelyet a k¨ovetkez˝o bekezd´esben vizsg´ alok. A reflexi´ okompenz´ aci´ o hat´ as´ at az id˝otartom´anyban is vizsg´altam, ehhez a digit´alis hull´amvezet˝ o h´ al´ ot alkalmaztam. A szint´ezis oper´atorok a spektrumform´al´ast lesz´am´ıtva egy amplitud´ot be´ all´ıt´ o tagb´ ol ´es egy k´esleltet´esb˝ ol ´ allnak. Tetsz˝oleges id˝obeli lefoly´as´ u jelet a szint´ezis oper´atorok inverz Fourier-transzform´ altj´ aval konvolv´alva ´es az ´ıgy kapott id˝otartom´anybeli vez´erl˝ojellel a m´ asodlagos forr´ aseloszl´ ast vez´erelve a visszhangkiolt´as az id˝otartom´anyban is v´egrehajthat´o. Az el˝ obb sz´ am´ıtott Qm (r, ω) vez´erl˝ ooper´atorokkal, ha a bels˝o forr´as id˝of¨ uggv´enye s(t), akkor a 62
x [m]
x [m] (a)
z [m]
z [m]
(b)
6.10. ´ abra. Falon elhelyezett monop´ olus nyom´astere zeng˝o teremben reflexi´okomp´anz´aci´o n´elk¨ ul (a) ´es reflexi´ okompenz´ aci´ oval (b) m´ asodlagos forr´ asok id˝ of¨ uggv´enye: q(r, t) = IFFT{Qm (r, ω)} ? s(t).
(6.22)
Gauss-ablak alak´ u id˝ obeli lefoly´ as´ u forr´asf¨ uggv´enyre l´athat´o a kialakul´o nyom´ast´er a 6.11 ´abr´an 3 k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o id˝ opillanatban, visszhangkiolt´as n´elk¨ ul ´es visszhangkiolt´assal a n´egy fal ment´en elhelyezett m´ asodlagos forr´ aseloszl´ as seg´ıts´eg´evel. L´athattuk, hogy az id˝otartom´anybeli szimul´aci´okhoz haszn´ alt szimul´ aci´ os k¨ ornyezet a norm´ alis ir´any´ u hull´amok visszaver˝od´esi t´enyez˝oj´enek megad´as´at teszi lehet˝ ov´e az alkalmazott n´egyzetr´ acsos h´al´otopol´ogi´aban. A bemutatott p´eld´aban R = 1, azaz teljes visszaver˝ od´es t¨ ort´enik, a hull´ am csillap´ıt´asa puszt´an a nyomvonal csillap´ıt´as. Lathat´ o, hogy a visszhangkiolt´ as az id˝otartom´anyban is megfelel˝oen m˝ uk¨odik ´es val´oban elegend˝ o az els˝ orend˝ u reflexi´ okat kioltani a teljes fal ment´en, ´ıgy magasabb rend˝ u visszaver˝od´es m´ar nem j¨ ohet l´etre. Az id˝ otartom´ anybeli szimul´ aci´ o lehet˝os´eget ad a terem impulzusv´alasz´anak m´er´es´ere: a 6.12 abr´ ´ an az el˝ obb vizsg´ alt terem impulzusv´alasza l´athat´o visszhangkiolt´as n´elk¨ ul ´es visszhangkiolt´assal megfelel˝ oen hossz´ u id˝ ore v´egezve a szimul´aci´ot. L´athat´o, hogy a direkt hang azonos hanger˝ovel ´er a vizsg´ alt pontba mindk´et esetben, m´ıg a visszaver˝od´esek amplit´ ud´oja jelent˝osen cs¨okkent a kompenz´ aci´ o miatt. A terem impulzusv´ alasza lehet˝ ov´e teszi a visszahang kiolt´as hat´ekonys´ag´anak sz´amszer˝ us´ıt´es´et: j´ ol jellemzi a m´ odszer m˝ uk¨ od´es´et a visszaver˝od¨ott hull´amok energi´aja kiolt´as melletti ´es kiolt´as n´elk¨ uli esetben, amely az o ¨sszes visszaver˝od´es m´ert effekt´ıv ´ert´ekek´evel ar´anyos: sZ ∞
h(t)2 ,
Pvisszhang = 20lg
(6.23)
t1
ahol h(t) a m´ert impulzusv´ alasz, t1 az els˝o visszaver˝od´es be´erkez´esi ideje. Ezt a m´ert impulzusv´ alaszokra kisz´ amolva a zeng˝ o szoba visszhangjainak effekt´ıv ´ert´eke Pvisszhang = 72 dB, m´ıg visszhangkiolt´ as ut´ an ez az ´ert´ek Pvisszhang = 2,34 dB. Az elt´er´es jelent˝os: a hangt´erszint´ezissel teh´ at a terem visszhangja j´ o k¨ ozel´ıt´essel t¨ok´eletesen kiolthat´o az id˝otartom´anyban. Megjegyezhet˝ o, hogy a hull´ amvezet˝o h´al´oban v´egzett szimul´aci´ok sor´an a gyorsabb szimul´aci´o ´erdek´eben puszt´ an s´ıkbeli hull´ amterjed´esi probl´em´at vizsg´altam.
63
t=3 ms 3
2
2 x [m]
x [m]
t=3 ms 3
1
1
0
0 0
1
2
0
3
3
2
2
1
3
2
3
1
0
0 0
2
1
0
3
1 z [m]
z [m]
(b)
t=9 ms
t=9 ms
3
3
2
2 x [m]
x [m]
2
t=5 ms
3
x [m]
x [m]
t=5 ms
1
1
0
0 0 (c)
3
z [m]
z [m]
(a)
2
1
1
2
3
0
1 z [m]
z [m]
6.11. ´ abra. 3 × 3 m-es szoba nyom´ asv´alasza impulzus gerjeszt´esre (a) 3 ms (b) 5 ms (c) 9 ms id˝ opillanatban bal oldalon zeng˝ o teremben, jobb oldalon akt´ıv visszhangkiolt´assal 64
Terem impulzusválasza 0,03 Eredeti impulzusválasz Visszhangkompenzált impulzusválasz Amplitúdó [Pa]
0,02
0,01
0
-0,01 0
10
20
30
40
50 60 t [ms]
70
80
90
100
6.12. ´ abra. Zeng˝ o terem x = 1,1 m z = 2,2 m pontban m´ert impulzusv´alasza visszhangkiolt´assal ´es visszhangkiolt´ as n´elk¨ ul
6.3.2.
Hangt´ erszint´ ezis szimul´ aci´ oja reflexi´ okiolt´ assal
L´ athattuk, hogy szimul´ aci´ ok is bizony´ıtott´ak: egy bels˝o forr´as visszhangkiolt´asa a teljes, n´egy falon elhelyezked˝ o forr´ aseloszl´ as seg´ıts´eg´evel lehets´eges. L´athattuk azt is, hogy sz´els˝o esetben a kioltand´ o visszhang´ u forr´ as ´epp az egyik m´asodlagos forr´aselem. Ha teh´at a visszhangkiolt´ast minden m´ asodlagos forr´ asra elv´egezz¨ uk a hangt´erszint´ezis megval´os´ıthat´o z´art t´erben is, a m´asodlagos forr´ asok visszhangja megsz¨ untethet˝ o. A hangt´erszint´ezis ilyen m´od´ u kiterjeszt´es´et a spektr´alis v´egeselem m´ odszer seg´ıts´eg´evel ´ alland´ osult ´allapotban vizsg´altam: A vizsg´ alatot ism´et 1 kHz-en v´egeztem, 4 × 4 m´eteres szob´aban, amelynek falainak elnyel´esi t´enyez˝ oje ism´et α = 0,1, m´ıg a plafon ´es a padl´o teljesen elnyel˝o. A 6.13 ´ abr´ an a szimul´ alt elrendez´es l´athat´o: a virtu´alis forr´as a z = 4 m fal m¨og¨ott helyezkedik el z = 4,5 m, x = 2 m pontban, a szint´ezis referenciavonala ∆z0 = 0,25 m. Ekkor a forr´as hangter´enek szint´ezis´ehez haszn´ alt akt´ıv m´asodlagos forr´asok a z = 4 m fal menti forr´asok, az
x [m] 4 3 virtuális forrás
2
1
0
1
2
3
4
4,5
z [m]
6.13. ´ abra. Elrendez´es a reflexi´ okompenz´aci´ot alkalmaz´o hangt´erszint´ezis vizsg´alat´ahoz 65
4
x [m]
3 2 1 0
0
1
2 z [m]
3
4
6.14. ´ abra. Monop´ olus ter´enek szint´ezise zeng˝o teremben 1 kHz-en abr´ ´ an folyamatos piros vonallal jel¨ olve. Ezek vez´erl˝ooper´atorai a klasszikus szint´ezisoper´atorok. Az ´br´ a an felt¨ untetem a szint´ezis ide´ alis eredm´eny´et is. Term´eszetesen ezt az eredm´enyt csak v´egtelen t´erbe t¨ ort´en˝ o sug´ arz´ as eset´en kapn´ ank. A val´ os´ agban a terem zeng, az akt´ıv m´asodlagos forr´asok reflexi´oi a kialakul´o hangt´erhez hozz´ aad´ odnak. A hangt´erszint´ezis eredm´enye a val´os´agos, visszhangos teremben a 6.14 ´abr´an l´athat´o alland´ ´ osult ´ allapotban. L´ athat´ o, hogy a kialakul´ o hangt´er az ide´alist´ol jelent˝osen elt´er, az interferencia jelens´egek az ´ eg´esz t´erben jelen vannak, m´eg a m´ asodlagos forr´aseloszl´as k¨ozel´eben is. Alland´ osult ´allapotban teh´ at az ir´ anyhelyes szint´ezis szinte lehetetlen, a hangt´er teljesen eltorzul. Az el˝ oz˝ o fejezetben bemutatott reflexi´okompenz´aci´os Q0m (r, ω) vez´erl˝ooper´atorok sz´am´ıthat´oak a n´egy fal ment´en elhelyezked˝ o forr´ asokra, amelyek teh´at a z = 4 m fal reflexi´oit oltj´ak ki. A 6.13 abr´ ´ an folyamatos piros vonallal azok a forr´asok l´athat´ok, amelynek vez´erl˝ojele az eredeti hangt´er szintetiz´ al´ o oper´ atorok ´es a reflexi´ okompenz´aci´os oper´atorok o¨sszegek´ent ´all el˝o, m´ıg a szaggatott piros vonal a csak reflexi´ okiolt´ asra alkalmazott m´asodlagos forr´asokat jelzi. A 6.15 ´ abr´ an az ´ıgy vez´erelt m´ asodlagos forr´asok ´altal kialakul´o hangt´er l´athat´o ´alland´osult allapotban. Megfigyelhet˝ ´ o, hogy a 6.14 ´abr´an is l´athat´o, a reflexi´ok miatt a l´etrej¨ov˝o ´eles 90 ◦ -os f´ azisv´ altoz´ as hat´ asa a m´ odszerrel nem sz¨ untethet˝o meg, a f´azisv´altoz´as megfigyelhet˝o a visszhangkompenz´ alt teremben is ´es hat´ as´ ara a s´ık egy r´esz´eben a nyom´ast´er minim´alis intenzit´as´ u. Ez az interferencia k´ep egy a m´ asodlagos vonalforr´as ir´anykarakterisztik´ajak´ent is felfoghat´o u ´gy, hogy a
4
x [m]
3 2 1 0
0
1
2 z [m]
3
4
6.15. ´ abra. Monop´ olus ter´enek szint´ezise zeng˝o teremben reflexi´o kompenz´aci´oval 1 kHz-en 66
hangt´er k¨ ozepe az ir´ anykarakterisztika f˝onyal´abja. Ezt lesz´am´ıtva azonban l´athat´o, hogy a reflexi´okompenz´ aci´ o a szoba belsej´enek nagyr´esz´eben – a f˝onyal´ab ´altal lefedett ter¨ uleten – sikeres, a 6.15 abr´ ´ an j´ ol l´ athat´ oak a virtu´ alis forr´ as hull´amfrontjai. Ez azt jelenti, hogy a bemutatott m´odszer alkalmaz´ as´ aval a hallgat´ oi ter¨ ulet nagyr´esz´en a hangt´erszint´ezis lehets´eges: a m´odszer bizonyos hat´ arok k¨ oz¨ ott m˝ uk¨ od˝ ok´epes. A helyesen vissza´ all´ıtott hallgat´ oi ter¨ ulet kisebb frekvenci´akon egyre nagyobb, kisfrekvenci´an a t´er szinte eg´esz´en biztos´ıthat´ o az eredeti hull´amfront helyre´all´ıt´asa: anal´og m´odon egy vonalforr´as ir´ anykarakterisztik´ aj´ aban a f˝ onyal´ ab a frekvencia cs¨okken´es´evel sz´elesedik. Erre l´athat´o n´eh´any p´elda a 6.16 ´ abr´ akon reflexi´ okompenz´aci´o alkalmaz´asa n´elk¨ ul ´es alkalmaz´as´aval: a 6.16 ´abr´akon az el˝ oz˝ o p´eld´ aban is alkalmazott elrendez´es l´athat´o (a) 300 Hz-es ´es (b) 700 Hz-es gerjeszt˝ojel mellett. L´ athat´ o, hogy egyszer˝ u hangt´erszint´ezis eset´en, visszhangkompenz´aci´o n´elk¨ ul a teremben kialakul´ o nyom´ ast´er torz, az ide´ alist´ ol jelent˝osen elt´er. Reflexi´okompenz´aci´ot alkalmazva l´athat´o, hogy a frekvencia cs¨ okken´es´evel a korrekt m´odon szintetiz´alhat´o ter¨ ulet val´oban n˝o: 300 Hz-en m´ar a s´ık eg´esz´en biztos´ıthat´ o az eredeti hull´amfront f´azishelyes szint´ezise, a visszhangok kiolt´as´aval. V´egezet¨ ul egy olyan elrendez´est vizsg´altam, amely esetben a virtu´alis forr´as a teremt˝ol j´oval t´ avolabb van az el˝ oz˝ o esethez k´epest, valamint a szint´ezishez nem csak egy fal j´arul hozz´a. A 6.17 abra bal oldal´ ´ an az α = 0,1 elnyel´esi t´enyez˝oj˝ u oldalfalakkal hat´arolt teremben kialakul´o nyom´ast´er
f=300 Hz
4
4
3
3 x [m]
x [m]
f=300 Hz
2
2
1
1
0
0 0
1
(a)
2 z [m]
3
0
4
1
4 3
3
2
4
3
4
2
1
1
0
0 0 (b)
3
f=700 Hz 4
x [m]
x [m]
f=700 Hz
2 z [m]
1
2 z [m]
3
0
4
1
2 z [m]
6.16. ´ abra. Monop´ olus ter´enek szint´ezise egy falr´ol visszhangkiolt´as n´elk¨ ul (bal oldal) ´es visszhangkiolt´ assal (jobb oldal), (a) 300 Hz-en ´es (b) 700 Hz-en 67
6.17. ´ abra. K¨ ozel s´ıkhull´ am szint´ezise visszhangkiolt´as n´elk¨ ul ´es visszhangkiolt´assal l´ athat´ o, ha a virtu´ alis forr´ as poz´ıci´ oja z = 7 m, x = 6,5 m. Ekkor a forr´as ter´enek szintetiz´al´as´aban a z = 4 m ´es az x = 4 m falak egyar´ ant vesznek r´eszt, a visszhangkiolt´ashoz az o¨sszes m´asodlagos forr´ aselemmel ezeknek a t¨ uk¨ ork´epeinek ellenf´azis´ u ter´et kell a m´ar ismeretett m´odon szintetiz´alni. A visszhangkiolt´ as eredm´enye a 6.17 a´bra jobb oldal´an l´athat´o. L´athat´o, az adott elrendez´esben m´ ar a hallgat´ oi ter¨ ulet csaknem eg´esz´en vissza´all´ıthat´o a k¨ozel s´ıkhull´am´ u hull´amt´er.
68
7. fejezet
Hangt´ erszint´ ezis rendszer megval´ os´ıt´ asa 7.1.
Bevezet´ es
sokcsatornás erősítő
...
A hangt´er szint´ezis elm´eleti fejleszt´ese ut´an az elm´elet gyakorlatba u ¨ltet´ese volt c´elom. Ehhez egy laborat´ oriumi szint´ezis rendszer megval´os´ıt´as´ara volt sz¨ uks´eg. Ez ¨osszetett feladat, mind hardveres, mind szoftveres fejletszt´esi munk´alatokat ig´enyelt. A fejezetben bemutatom, hogy a rendszer meg´ep´ıt´es´ehez milyen feladatok megold´asa sz¨ uks´eges, illetve bemutatom az ezekre alkalmazott megold´ asaimat. Bemutatom az egyes fejleszt´esi szakaszokat, a meg´ep´ıtett funkcion´alis blokkokat ´es az ezeken v´egzett m´er´esek eredm´enyeit. A 7.1 ´ abr´ an a megval´ os´ıtand´ o rendszer l´athat´o: egyszer˝ u esetben egy tetsz˝oleges vez´erl˝ojel˝ u virtu´ alis forr´ as hangter´et k´ıv´ anjuk szintetiz´alni. Ehhez az els˝o fejezetben sz´armaztatott vez´erl˝ooper´ atorokat kell sz´ am´ıtani, amelyekkel a m´asodlagos forr´aseloszl´ast vez´erelj¨ uk. Ez a m´asodlagos forr´ asok sz´ am´ at´ ol f¨ ugg˝ o k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o p´ arhuzamos vez´erl˝ojelet jelent. Ezek el˝o´all´ıt´as´ara k¨ uls˝o eszk¨oz sz¨ uks´eges, hiszen a mai sz´ am´ıt´ og´epekkel nem lehets´eges ennyi k¨ ul¨onb¨oz˝o kimenet el˝o´all´ıt´asa. Az el˝ o´ all´ıtott digit´ alis vez´erl˝ ojelek ezut´an – D/A konverzi´o ut´an – az anal´og teljes´ıtm´enyer˝os´ıt˝ ore ker¨ ulnek, amely kimen˝ o teljes´ıtm´enye elegend˝o a hangforr´asok meghajt´as´ahoz. Ehhez sok csatorna k¨ ul¨ on-k¨ ul¨ on er˝ os´ıt´ese sz¨ uks´eges, amely ugyanennyi k¨ ul¨on ´aramk¨orrel val´os´ıthat´o csak ´ meg. Epp ez´ert az alakh˝ u jel´ atvitel mellett a min´el olcs´obban, min´el kisebb helyen c´el´aramk¨or megval´ os´ıt´ asa a c´el. V´egezet¨ ul a jelek a m´ asodlagos forr´ aseloszl´asra ker¨ ulnek, amelyek dobozolt hangsz´or´ok. Mind a
... vezérlő operátorok
süketszoba
7.1. ´ abra. A megval´ os´ıtand´ o hangt´erszint´ezis rendszer magas szint˝ u rendszerterve 69
hangsug´ arz´ ok megv´ alaszt´ asa, mind a hangdoboz megfelel˝o m´eretez´ese fontos tervez´esi szempont, hiszen a rendszer frekvencia´ atvitele ´es az ir´anykarakterisztika ezek f¨ uggv´enye, amely ut´obbi a helyes szint´ezis fontos param´etere.
7.2.
A m´ asodlagos forr´ asok vez´ erl˝ ojel´ enek el˝ o´ all´ıt´ asa
7.2.1.
A vez´ erl˝ ojelek el˝ o´ all´ıt´ asa FPGA-val
A hangt´erszint´ezis gyakorlatba u ¨ltet´ese sor´an egy m´asodlagos forr´aseloszl´ast – amely nagysz´ am´ u megfelel˝ oen megv´ alasztott hangsug´arz´ot jelent – kell vez´erelni k¨ ul¨onb¨oz˝o vez´erl˝of¨ uggv´enyekkel. A megval´ os´ıt´ as alapja a klasszikus vez´erl˝ooper´atorok id˝otartom´anybeli alakj´an alapul. Mint azt l´ athattuk, a monop´ olus vez´erl˝ooper´atorok alakja S(ω) vez´erl˝ojel˝ u virtu´alis forr´asra r r jk ∆z0 e−jkr cos ϕ √ . (7.1) Qm (x, ω) = S(ω) 2π z0 + ∆z0 r A forr´ asok id˝ otartom´ anybeli vez´erl˝ of¨ uggve ennek inverz Fourier-transzform´altja: qm (t, x) = IFFT Qm (x, ω) = s(t) ? hIIR (t) ? yn (t, x),
(7.2)
ahol r
jk , 2π
(7.3)
e−jkr ∆z0 cos ϕ √ . z0 + ∆z0 r
(7.4)
hIIR (t) = IFFT
valamint r yn (t, x) = IFFT
A vez´erl˝ of¨ uggv´enyek k¨ ul¨ onv´ alaszt´ as´ anak oka egyszer˝ u: hIIR (t) spektrumform´al´o sz˝ ur˝o minden m´asodlagos forr´ asra azonos, ´ıgy ak´ ar el˝ ozetesen, a sz´am´ıt´og´ep oldalon megval´os´ıthat´o. Ennek ekzakt form´ aja azonban anal´ıtikusan nem sz´ am´ıthat´o. A sz˝ ur˝o, mint azt az elm´eleti o¨sszefoglal´oban l´athattuk egy +3 dB/okt´ av meredeks´eg˝ u, +45 ◦ -os ´alland´o f´azistol´as´ u sz˝ ur˝ot ´ır le nem f´okusz´alt monop´ olus szint´ezis eset´eben. Ezt a sz˝ ur˝ot legfeljebb k¨ozel´ıteni tudjuk: a szakirodalom aj´anl´asa az amplit´ ud´ o´ atvitel IIR sz˝ ur˝ ovel val´ o k¨ozel´ıt´ese, majd a f´azistol´as FIR sz˝ ur˝ovel val´o be´all´ıt´asa [48]. A minden m´ asodlagos forr´ asra ki´ert´ekelend˝o yn (t, x) tag azonban anal´ıtikusan is sz´am´ıthat´o, alakja: r ∆z0 cos ϕn yn (t, x) = δ(t − rn /c) = An δ(t − dn ) (7.5) √ z0 + ∆z0 rn Ez a kifejez´es teh´ at a m´ asodlagos forr´as poz´ıci´oj´at´ol f¨ ugg˝o er˝os´ıt´est ´es k´esleltet´est jelent az eredeti jelhez k´epest. Ez az id˝ otartom´ anyban k¨onnyen megval´os´ıthat´o feladat, ´ıgy ez a gyakorlati megval´ os´ıt´ as alapja. A tervezett rendszer teljes rendszerterve a 7.2 ´abr´an l´athat´o. A feladat teh´at az eredeti virtu´alis forr´ as jel´enek csatorn´ ank´ent k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o er˝os´ıt´ese ´es k´esleltet´ese. Ez egy egyszer˝ u FIR sz˝ ur´esk´ent is felfoghat´ o. A hangt´erszint´ezis megjelen´esekor a technikai korl´atok nehezen voltak t´ ull´ephet˝oek, a korai rendszerek magja DSP processzorok voltak, egy laborat´oriumi rendszer fel´ep´ıt´es´ehez egyszerre 8 DSP alkalmaz´ asa volt sz¨ uks´eges [48]. Az ut´obbi ´evekben jelent˝os fejl˝od´esen mentek kereszt¨ ul mind a programozhat´ o logikai blokkokb´ ol ´ all´o FPGA-k, mind a sz´am´ıt´og´epek grafikus megjelen´ıt˝o eszk¨ ozeinek magja, a GPU-k is. A hangt´erszint´ezis szempontj´ab´ol az´ert fontos mindk´et technol´ogia, mivel az FPGA ´ aramk¨ or¨ okben k¨ onnyed´en val´os´ıthat´o meg a FIR sz˝ ur´es, m´ıg a GPU-k ´eppen p´ arhuzamos feladatv´egrehajt´ asra lettek kifejlesztve. Az ut´obbi id˝oben t¨obb cikk jelent meg a k´et technol´ ogia hangt´erszint´ezisre val´ o alkalmaz´as´anak ¨osszehasonl´ıt´as´ara [44, 45]. Mivel a fejleszt´es sor´ an rendelkez´esemre ´ allt egy alapszint˝ u FPGA fejleszt˝oi k´artya, ez´ert v´alaszt´asom erre a megold´ asra esett. 70
hangjel
... késleltető vonal
...
dn PC ...
An
+
+
PWM PWM
FPGA
+ PWM
PWM demodulátor + teljesítmény erősítő
7.2. ´ abra. A megval´ os´ıtand´o hangt´erszint´ezis rendszer FPGA-val Az alkalmazott FPGA k´ artya. A rendszer fejleszt´ese sor´an a Digilent ´altal f˝ok´ent laborat´oriumi c´elokra fejlesztett Digilab 2E ´ allt rendelkez´esemre. A k´artya a 7.3 ´abr´an l´athat´o. A k´artya f˝ obb jellemz˝ oi: • A k´ artya alapja egy Xilinx Spartan IIE XCS200E FPGA chip, amely a Xilinx bel´ep˝o szint˝ u FPGA-i k¨ oz´e tartozott. Az ´ aramk¨or ak´ar 200 MHz ´orajellel m˝ uk¨odtethet˝o ´es 200000 logikai kapu val´ os´ıthat´ o meg seg´ıts´eg´evel [54]. • A JTAG konfigur´ aci´ os ´ aramk¨ orrel programozhat´o szabv´anyos p´arhuzamos LPT porton kereszt¨ ul. Az FPGA-PC I/O kommunik´aci´o ugyanezen az LPT porton, illetve szabv´anyos soros porton t¨ ort´enik. • A k´ artya egy 2,5 VDA-ra ´es egy 3,3 VDC-ra be´all´ıtott 1,5 A-ig terhelhet˝o LM317 fesz¨ ults´eg stabiliz´ atorral dolgozik, a kimenetek logikai 1-es szintje ´ıgy 3,3 V, ugyanez a fesz¨ ults´egszint adhat´ o bemenet´ere logikai magas szintk´ent. • A k´ artya egy 50 MHz-es DIP oszcill´atort tartalmaz, ez teh´at az FPGA alkalmazott ´orajele. • A k´ arty´ an 6 darab 40 pin-es standart 2,54 mm-es pin t´avols´ag´ u t¨ uskesor tal´alhat´o, amellyel a perif´eri´ akkal val´ o kapcsolat oldhat´o meg az FPGA I/O l´abain kereszt¨ ul. A feladatot teh´ at a megadott specifik´ aci´ok ´altal szabott lehet˝os´egeken bel¨ ul kellett megoldanom. Az alacsonyabb szint˝ u rendszerterv a 7.2 ´abr´an l´athat´o. A rendszer megval´os´ıt´asa Verilog le´ır´o nyelven t¨ ort´ent, Xilinx ISE fejleszt˝ oi k¨ornyezetben. A k¨ovetkez˝oekben fejleszt´es sor´an felmer¨ ul˝o megfontol´ asokat, feladatok ´es probl´em´ak megold´as´at mutatom be. A FIR sz˝ ur´ es megval´ os´ıt´ asa. L´athat´o, hogy a tervezett rendszerben a k¨ ul¨onb¨oz˝o csatorn´ak k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o k´esleltet´es´et fix hossz´ us´ ag´ u k´esleltet˝o vonallal oldottam meg: a bemen˝o hangjel minden fs ´ orajel ciklusban bel´ep a k´esleltet˝ o vonalba, az egyes csatorn´ak k´esleletet´es´et az hat´arozza meg, hogy a k´esleltet˝ o vonal mely poz´ıci´ oj´ ab´ol olvassuk ki az adatot. Ez az adat a vez´erl˝ojel alapj´an meghat´ arozott er˝ os´ıt´essel a kimenetre ker¨ ul, amelynek ¨ossze´all´ıt´as´at a k´es˝obbiekben mutatom be. L´ athat´ o, hogy minden m´ asodlagos forr´ aselemhez, azaz hangsz´or´ohoz az FPGA k¨ ul¨onb¨oz˝o I/O l´aba tartozik. Mivel az adott Spartan II FPGA-nak 205 I/O l´aba van, ´ıgy a feladat megold´as´ara teljesen alkalmas. 71
7.3. ´ abra. Az alkalmazott Digilab 2E FPGA fejleszt˝o k´artya A k´esleltet´esek ´es az er˝ os´ıt´esek ´ert´ek´et a host sz´am´ıt´og´ep sz´am´ıtja, ´es k¨ uldi le az FPGA k´arty´anak, c´elszer˝ uen csak akkor, ha azok v´ altoznak, azaz a virtu´alis forr´as helye v´altozik. Ezut´an minden fs ´ orajelben a k´esleltet˝ o vonal elemeit l´eptetj¨ uk. A le´ırt m´odon a FIR sz˝ ur´es, teh´at az eredeti c´el megval´ os´ıthat´ o. A 7.2 ´ abra egy virtu´alis forr´as eset´et mutatja. Term´eszetesen t¨obb virtu´alis forr´ as eset´en minden virtu´ alis forr´ ashoz k¨ ul¨on k´esleletet˝o vonalat rendel¨ unk, amelyekb˝ol kiolvasott adatokat er˝ os´ıt´es ut´ an a kimeneten ¨ osszegezz¨ uk. Ahhoz, hogy a FIR sz˝ ur˝ o megcsapol´asi pontjai dinamikusan v´altoztathat´oak legyenek arra kellett megold´ ast tal´ alnom, hogy a megcsapol´asi pontok hely´et regiszterekben t´arolhassam: a regiszterek ´ert´eke k¨ onnyen m´ odos´ıthat´ o ciklusonk´ent, ak´ar egy bemeneti ´ert´ek alapj´an. A regiszter ´ert´eke ezut´ an gyakorlatilag egy demultiplexer vez´erl˝oszavak´ent funkcion´al: a demultiplexer bemenete maga a k´esleltet˝ o vonal, kimenetei pedig a m´asodlagos forr´asokat vez´erl˝o kimenetek. Az, hogy az aktu´ alis kimenetre melyik 8 bit ad´ odik, a vez´erl˝osz´o d¨onti el, amely megmutatja, hogy a k´esleltet˝ o vonal h´ anyadik 8 bites mint´ aj´ at kell kiolvasni. A demultiplexert Verilog-ban case ciklusokkal val´ os´ıtottam meg. A kiolvasott mint´ akat ezut´ an a vez´erl˝ooper´atorok alapj´an meghat´arozott ´ert´ekkel er˝os´ıteni kell: ezeket az er˝ os´ıt´eseket regiszterekben t´ arolhatjuk, ´ıgy az ´ert´ekeket dinamikusan v´altoztathatjuk, ´es a demultiplexer adott kimenet´evel egyszer˝ uen szorozhatjuk. Az ´ orajel megv´ alaszt´ asa. Az fs ´orajel meghat´aroz´asa fontos l´ep´es, hiszen ennek u ¨tem´eben v´ altoznak a k´esleltet˝ o vonal elemei, ´ıgy ez hat´arozza meg az effekt´ıv mintav´eteli frekvenci´ at. Mivel a k´ artya ´ orajele 50 MHz, ez´ert fs egyszer˝ u esetben csak ennek eg´esz sz´ammal vett h´ anyadosa lehet. K´ezenfekv˝ o megold´ as oszt´onak 210 -t v´alasztani, ´ıgy az effekt´ıv ´orajel ´ert´eke fS = 50 × 106 /210 = 48,83 kHz. A mintav´eteli t´etel alapj´an ismert, hogy ´ıgy ´atlapol´od´as n´elk¨ ul ak´ ar 24,4 kHz hangjel feldolgozhat´o, amely m´ar az emberi hall´ask¨ usz¨ob f¨ol¨ott van. Emellett az ´ orajel egyszer˝ uen implement´ alhat´ o, hiszen egy 10-bites sz´aml´al´o – amelyet a rendszer ´orajel´evel l´eptet¨ unk – legmagasabb helyi´ert´ek˝ u bitje a k´ıv´ant ´orajelet el˝o´all´ıtja. A k´ esleltet˝ o vonal hossza. Az alkalmazott k´esleltet˝o vonal hossza ism´et fontos k´erd´es, hiszen fontos, hogy belef´erj¨ unk a rendelkez´esre ´all´o bels˝o mem´ori´aba, a feleslegesen hossz´ u k´esleltet˝o vonal alkalmaz´ asa viszont er˝ oforr´ as pocs´ekol´as. Az alkalmazott FPGA chip adatlapja alapj´an 56K blokk RAM-ot tartalmaz. A k´esleltet˝ o vonal hossz´ at az hat´ arozza meg, mekkora maxim´alis k´esleltet´es k¨ ul¨onbs´eg l´ephet fel a m´ asodlagos forr´ aseloszl´ as egyes elemei k¨oz¨ott: ha pl. az ¨osszes m´asodlagos forr´asra a k´esleltet´es ´ert´eke 10-13 ms k¨ oz¨ ott mozog, elegend˝o 3 ms hossz´ u k´esleltet˝o vonalat alkalmazni, a marad´ek 72
10 ms k´esleltet´est pedig m´eg PC oldalon, a lek¨ uld´es el˝ott v´egrehajtani. Mivel a tervezett rendszer a BME Akusztikai laborj´ ara lett m´eretezve, ez´ert a s¨ uketszoba m´eretei alapj´an az itt elhelyezett m´ asodlagos forr´ aseloszl´ as elemei k¨ oz¨ ott a maxim´alis t´avols´agot smax = 3,5 m-re becs¨ ultem. Ez 3,5 ≈ 10 ms k´esleltet´esnek felel meg. Az el˝obb c = 343 m/s hangsebess´eggel sz´ am´ıtva ∆tmax = 343 sz´ am´ıtott effekt´ıv mintav´eteli frekvenci´aval sz´am´ıtva ez a k´esleltet´es nmax = ∆tmax fS ≈ 500 mint´ anak felel meg. A megszok´ as alapj´ an kis fel¨ ulbecsl´essel a k´esleltet˝ovonal hossz´anak ´ıgy 512 mint´at ¨ v´ alasztottam. Ez q = 8 bit sz´ am´ abr´ azol´as mellett 4096 bit teljes hossznak felel meg. Osszess´ eg´eben teh´ at minden fS ´ orajel ciklusban a 4096 bit hossz´ u k´esleltet˝ovonal minden elem´et 8 bit-el jobbra shiftelj¨ uk, majd az els˝ o 8 bit hely´ere az aktu´alis bemen˝o jel ´ert´ek´et m´asoljuk.
7.2.2.
A bemen˝ o jel ´ atvitele
A bemutatott rendszerterven l´ athat´o, hogy a bemen˝o jel optim´alis esetben a host sz´am´ıt´og´ep fel˝ ol ´erkezik digit´ alisan a m´ asodlagos forr´asok er˝os´ıt´es´evel ´es k´esleltet´es´evel egy¨ utt. Sajnos azonban, ahogy a specifik´ aci´ ok alapj´ an is l´ athat´o a rendelkez´esemre ´all´o FPGA k´artya a host PC-vel csak LPT, vagy soros porton kereszt¨ ul tud kommunik´alni. Ezek k¨oz¨ ul egyik sem biztos´ıt elegend˝oen gyors ´ atvitelt, ´ıgy a fejleszt´es sor´ an m´ as megold´ast alkalmaztam. Az FPGA fejleszt˝ oi k´ arty´ ara k´ıv¨ ulr˝ol az LPT porton k´ıv¨ ul csak a kivezetett I/O l´abakon kereszt¨ ul k¨ uldhet˝ o adat. Ehhez v´eg¨ ul egy anal´og-digit´alis konverter ´aramk¨ort alkalmaztam, amely bemen˝ o jelk´ent tetsz˝ oleges anal´ og hangjelet kap, kimenete pedig az FPGA k´arty´ahoz csatlakoztathat´ o, erre ker¨ ul ki bizonyos id˝ opillanatokban az anal´og jel 8-biten ´abr´azolva. Ezut´an az FPGA k´ arty´ an m´ ar csak ezt a 8 bites sz´ amot kell minden ´orajel ciklusban beolvasni. Mivel rendelkez´esemre ´ allt egy ADC0804 t´ıpus´ u anal´ og-digit´alis konverter ´aramk¨or [38], ez´ert v´eg¨ ul ezen a chipen alapul´ o c´el´ aramk¨ ort terveztem a k´ arty´ara val´o adatk¨ uld´eshez. Az ´aramk¨or kapcsol´asi rajza ´es a nyomtatott ´ aramk¨ or terve a f¨ uggel´ekben tal´alhat´o. A meg´ep´ıtett ´aramk¨or a 7.4 ´abr´an l´athat´o. Az alkamazott ADC0804 ´ aramk¨ or egy 8-bites szukcessz´ıv approxim´aci´o alap´ u A/D ´atalak´ıt´o. T´ apfesz¨ ults´ege 5 VDC. Az ´ aramk¨ or m˝ uk¨odtethet˝o k¨ uls˝o ´orajellel, de k´epes egy k¨ uls˝o RC taggal be´ all´ıtott saj´ at ´ orajel Schmitt-triggeres el˝o´all´ıt´as´ara is, amelynek frekvenci´aja [38] alapj´an: fA/D = 1 atalak´ıt´ ashoz legal´abb 8 ´orajel sz¨ uks´eges, ez´ert az ´orajelnek legal´abb 1,1RC . Mivel egy 8-bites ´ az FPGA-n alkalmazott effekt´ıv ´ orajel 8-szoros´anak kell lennie. Az ´aramk¨ort az adatlapon is bemutatott szabadon fut´ o kapcsol´ asban alkalmaztam, ´ıgy kimenet´ere minden A/D ´atalak´ıt´as ut´an kiker¨ ulnek az aktu´ alis ´ert´ekek, az FPGA oldal´ar´ol semilyen egy´eb vez´erl˝ojel nem sz¨ uks´eges. Az egyetlen k¨ uls˝ o beavatkoz´ as az ´ atalak´ıt´ as ind´ıt´asa: ez egy nyom´ogomb seg´ıts´eg´evel tehet˝o meg. Az ´ aramk¨ or referenciafesz¨ ults´ege a t´apfesz¨ ults´eg (5 V) fele, amelyet a stabilit´as ´erdek´eben egy LM336 stabiliz´ atorral ´ all´ıtottam el˝ o. A k¨ uls˝ o jelforr´ as az ´ aramk¨ orh¨ oz standart stereo 1/4”-es Jack csatlakoz´on kereszt¨ ul csatlakoz-
(a)
(b) 7.4. ´ abra. A megval´os´ıtott A/D konverter panel 73
tathat´ o. Az ´ atalak´ıt´ o´ aramk¨ or anal´ og bemenet´ere a jelet egy egyszer˝ u LM358 m˝ uveleti er˝os´ıt˝ovel illesztettem: a bemeneti ´ aramk¨ ort u ´gy m´ereteztem, hogy a vonalszint˝ u jel 2,5 VDC egyenfesz¨ ults´egre u anyra er˝ os´ıtve ker¨ ul az ´atalak´ıt´o bemenet´ere. ¨ltetve, a 0-5 V tartom´ Fontos l´ep´es a t´ apfesz¨ ults´egek illeszt´ese: az ´atalak´ıt´o t´apfesz¨ ults´ege 5 VDC, m´ıg az FPGA k´ artya bemenet´ere 0-3,3 VDC adhat´ o. A t´apfesz¨ ults´eg konverzi´o egy SN74LVC541 8-bites vonalmeghajt´ o´ aramk¨ orrel oldhat´ o meg: ennek t´apfesz¨ ults´ege 3,3 VDC, ´ıgy a kimenet´en ez a magas szint, azonban bemenete ak´ ar 5,5 VDC-vel is vez´erelhet˝o [19]. A sz¨ uks´eges t´apfesz¨ ults´egeket LM317 fesz¨ ults´egstabiliz´ atorok megfelel˝ o be´ all´ıt´as´aval ´all´ıtottam el˝o. A bemen˝ o jel teh´ at ezzel a megold´assal az FPGA er˝oforr´asainak ig´enybev´etele n´elk¨ ul rendelkez´es¨ unkre ´ all minden ´ orajel ciklusban: egyed¨ ul a k´esleltet˝o vonalba val´o bel´eptet´es a feladatunk. Ezut´ an a j´ arul´ekos adatok, azaz az er˝os´ıt´esek ´es k´esleltet´esek m´ar az LPT porton ´atk¨ uldhet˝oek, ezeknek ´ atvitel´ere elegend˝ o az LPT ´ atvitel gyorsas´aga. Sajnos az erre szolg´al´o protokoll meg´ır´as´aa a dolgozat befejez´es´eig nem jutott id˝ o. A bemen˝o jel ´atvitele ´es a statikus, el˝ore be´all´ıtott k´esleltet´esekkel ´es er˝ os´ıt´esekkel a rendszer m˝ uk¨od˝ok´epes, a kimeneteken a v´art jelek voltak m´erhet˝oek.
7.2.3.
A kimen˝ o jel ¨ ossze´ all´ıt´ asa PWM-mel
Az FPGA k´ artya kimenetein a forr´ asok vez´erl˝ojelei p´arhuzamosan ´all´ıthat´ok el˝o. Mivel a teljes´ıtm´eny er˝ os´ıt˝ ok az anal´ og jelet er˝ os´ıtik, ez´ert azok bemenet´ere ker¨ ul´es el˝ott a jelet D/A konvert´alni kell. Ehhez azonban annyi D/A ´ atalak´ıt´o c´el´aramk¨orre lenne sz¨ uks´eg, ah´any m´asodlagos forr´as van. Ez nem k¨ olts´eghat´ekony megold´ as, ennek elker¨ ul´es´ere u ´gynevezett 1-bites D/A konverzi´ot alkalmaztam, amelynek alapja a PWM modul´aci´o. A klasszikus PWM, vagyis impulzus sz´eless´eg modul´aci´o eset´en a modul´al´o jel aktu´alis ´ert´eke
7.5. ´ abra. Szinusz jel PWM modul´aci´oja 74
egy periodikus impulzussorozat sz´eless´eg´evel, azaz a periodikus jel kit¨olt´esi t´enyez˝oj´evel ar´anyos. Hagyom´ anyos m´ odon a PWM jel az eredeti jel egy periodikus h´aromsz¨ogjellel val´o kompar´al´as´anak eredm´enyek´ent ´ all´ıthat´ o el˝ o a 7.5 ´ abr´ an l´athat´o m´odon [43]. Az eredeti jel jelszintj´et teh´ at a konstans amplit´ ud´oj´ u impulzus sz´eless´ege, ´ıgy az impulzus alatti ter¨ ulet k´ odolja: az eredeti jel a PWM jel adott peri´odusid˝ore vett integr´alj´aval ar´anyos. A PWM demodul´ aci´ o ez alapj´ an egy egyszer˝ u integr´al´assal v´egrehajthat´o. Ide´alis esetben az anal´og integr´ ator m˝ uveleti er˝ os´ıt˝ ovel val´ os´ıthat´o meg [24]. Egyszer˝ ubb esetben a feladat els˝ofok´ u alul´ atereszt˝ o sz˝ ur´essel, azaz egyetlen RC taggal megval´os´ıthat´o. Ahogy a k¨ovetkez˝oekben l´athat´o a rendszer fejleszt´ese sor´ an ezt a megold´ast v´alasztottam. Verilog le´ır´ onyelven a m´ odos´ıtott PWM modul´aci´o k¨onnyen ´es hat´ekonyan val´os´ıthat´o meg: egy akkumul´ ator tartalm´ ahoz minden PWM ´orajelben hozz´aadjuk a kimeneti jelet, u ´gy, hogy kimenet¨ unk az ¨ osszead´ as t´ ulcsordul´ ast jelz˝o bitje. K¨onnyen bel´athat´o, hogy min´el nagyobb az akkumul´ atorhoz hozz´ aadand´ o sz´ am, ann´al gyorsabban csordul t´ ul az akkumul´ator tartalma. A bemen˝ o jelszintet teh´ at ebben az esetben nem a PWM impulzus sz´eless´ege k´odolja, hanem a periodusid˝ ´ oben az ¨ osszes impulzus sz´ ama, amely – mivel a t´ ulcsordul´asokat jelzi – ar´anyos a bemen˝o jelszinttel. Az ´ıgy megval´ os´ıtott PWM eset´en a kimenet kit¨olt´esi t´enyez˝oje azonos a klasszikus PWM kit¨ olt´esi t´enyez˝ oj´evel: ennek integr´alja term´eszetesen azonos a klasszikus PWM jel integr´alj´ aval. Az itt le´ırt m´ odszer Verilog nyelven igen k¨onnyen implement´alhat´o. Az ´ıgy l´etrehozott PWM jel spektr´ alis le´ır´asa bonyolultabb, mint klasszikus esetben. Klasszikus esetben a PWM jel spektruma az eredeti, modul´alt jel spektruma az alaps´avon k´ıv¨ ul a modul´aci´os ´ frekvenci´ anak eg´esz sz´ am´ u t¨ obbsz¨ or¨ oseire eltolva is megjelenik. Altal´ anosan elmondhat´o, hogy a megfelel˝ o vissza´ all´ıthat´ os´ ag ´erdek´eben a PWM ´orajel legal´abb 10-szerese a maxim´alis modul´al´o frekvenci´ anak, amely ezesetben a m´ ar bemutatott effekt´ıv fS ≈ 48 kHz. Az FPGA saj´at ´orajele 50 MHz, ez b˝ oven elegend˝ o a PWM modul´aci´o elv´egz´es´ehez. Az FPGA kimenetein teh´ at el˝ o´ all´ıthat´o az egyes m´asodlagos forr´asok jele u ´gy, hogy azt egyszer˝ u RC sz˝ ur´essel anal´ og form´ aba ´ all´ıthatjuk vissza, ´ıgy a csatorn´ank´enti D/A konverzi´o v´egrehajthat´o. A kimen˝ o jel term´eszetesen maxim´ alisan az FPGA t´apfesz¨ ults´ege, azaz 3,3 VDC lehet.
7.2.4.
A kimen˝ o jelek D/A konverzi´ oja
Az FPGA k´ artya teh´ at PWM modul´alva teszi egyes kimeneteire a k¨ ul¨onb¨oz˝o csatorn´ak vez´erl˝ ojel´et. Az FPGA ´es a teljes´ıtm´enyer˝ os´ıt˝ok k¨oz´e egy ´atalak´ıt´o panelt terveztem, amelynek t¨obb funkci´ oja van: • az FPGA kimen˝ ojel´et az A/D panelon is alkalmazott VLC541 vonal meghajt´o fogadja. Ez biztos´ıtja, hogy az FPGA m´eg az er˝os´ıt˝ok meghib´asod´asa – esetleges r¨ovidz´ara – eset´en is magas impedanci´ ara dolgozhasson, ´ıgy ne melegedhessen t´ ul. • A digit´ alis jel tov´ abb´ıt´ asa sor´ an az FPGA fel˝ol a jel a tov´abb´ıt´as sor´an torzulhat. Ha ezt a fokozatot a teljes´ıtm´enyer˝ os´ıt˝ okbe integr´aljuk, a vonalmeghajt´o gyakorlatilag vissza´all´ıtja torzulatlann´ a a PWM jelet: a magas szint ism´et fix 3,3 VDC, m´ıg az alacsony szint 0 VDC lesz. • A vonalmeghajt´ o kimenete m´eg digit´alis, m´ıg az er˝os´ıt˝ok m´ar anal´og jelet v´arnak. L´athat´o volt, hogy a PWM demodul´ aci´ o egy egyszer˝ u alul´atereszt˝o sz˝ ur´essel megval´os´ıthat´o. Ugyan az alkalmazott dinamikus hangsz´or´ok eleve nem viszik ´at a 20 kHz f¨ol¨otti frekvenci´akat, ´ıgy a demodul´ aci´ o mindenk´epp megt¨ort´enne, az indukci´os zavarok ´es a magas frekvenci´ak okozta er˝ os´ıt˝ o t´ ulmeleged´eseket elker¨ ulend˝o egy el˝ozetes alul´atereszt˝o sz˝ ur´est iktattam az er˝ os´ıt˝ ofokozatok k¨ oz´e. Az ´ abr´ an is l´athat´o els˝ofok´ u alul´atereszt˝o sz˝ ur˝o t¨or´esponti frekvenciaj´ ´ at j´ ocsk´ an az ´ atviteli s´ av f¨ ol´e m´ereteztem, hogy a magas hangok ´atvitel´et ne rontsam. • az RC tag soros ellen´ all´ as tagja az ´atviteli tartom´anyban az er˝os´ıt˝o Rbe bemeneti impedanciaj´ ´ aval egyszer˝ u fesz¨ ults´egoszt´ ot alkot. Egyszer˝ u k¨ozel´ıt´esben az ´atviteli s´avban a kapcsol´asb´ol a kondenz´ ator elhagyhat´ o. El˝ orevet´ıtve: az er˝os´ıt˝ok er˝os´ıt´ese az alkalmazott alapkapcsol´asban nem cs¨ okkenthet˝ ok minden hat´aron t´ ul, a kapcsol´as instabill´a v´alhat. Ennek elker¨ ul´es´ere 75
FPGA
R
LVC541
analóg kimenet C
7.6. ´ abra. A csatol´opanel egy csatorn´aja teh´ at a minim´ alis er˝ os´ıt´es ´ert´ek´et be kell tartani, amely m´eg mindig t´ ul nagy, az er˝os´ıt˝o t´ ulvez´erl˝ odne. Az RC taggal teh´ at be´all´ıthatunk egy el˝ozetes fesz¨ ults´egoszt´ast: Abe =
Rbe . Rbe + R
(7.6)
Ekkor ha a maxim´ alis bemen˝ o jelszint Ube , amely jelen esetben a PWM magas szintj´enek fele, azaz 1,65 V, a teljes´ıt´eny er˝ os´ıt˝o er˝os´ıt´ese Ae , ´es t´apfesz¨ ults´ege VCC , akkor ahhoz, hogy maxim´ alis bemen˝ o jel eset´en se vez´erl˝odj¨on t´ ul az er˝os´ıt˝o a k¨ovetkez˝o egyenl˝otlens´egnek kell teljes¨ ulnie: Abe Ae Ube ≤ VCC /2
(7.7)
´Igy a megfelel˝ o m´eretez´essel a k´es˝obbiekben a t´ ulvez´erl´es elker¨ ulhet˝o. A 8 csatorn´ at demodul´ al´ o, k¨ ozvetlen¨ ul az FPGA k´arty´ahoz csatlakoztathat´o panel a 7.7 ´abr´an l´ athat´ o. Az itt bemutatott m´ odszerekkel teh´at el˝o´all´ıtottam a bemen˝o jel tetsz˝olegesen eltolt ´es er˝ os´ıtett v´ altozat´ at. A m´ odszer m˝ uk¨ odik, oszcilloszk´oppal a 7.7 panel kimeneteit vizsg´alva szinuszos gerjeszt˝ ojel eset´en a kimeneteken torzulatlan szinusz jelet m´erhettem, illetve t¨obbcsatorn´as m´er´es eset´en a csatorn´ akat ¨ osszehasonl´ıtva a csatorn´ak k¨oz¨ott a k´esleltet´esk¨ ul¨onbs´eget ´es er˝os´ıt´esk¨ ul¨ onbs´eget vizsg´ alhattam. A v´ artnak megfelel˝oen a le´ırt m´odszerrel az egyes csatorn´ak er˝os´ıt´ese ´es k´esleltet´ese regiszterek ´ert´ek´evel be´ all´ıthat´o. A m´ odszert kevert zenei jelre is vizsg´altam: az anal´og bemenet jelforr´as´aul PC hangk´arty´aj´anak anal´ og kimenete szolg´ alt. Ezt a meg´ep´ıtett A/D ´aramk¨orrel digitaliz´altam, a digit´alis jel az FGPA k´ artya bemen˝ o jel´eu alt, majd be´all´ıtott er˝os´ıt´essel ´es k´esleltet´essel PWM modul´alva ker¨ ult ¨l szolg´ a kimenetekre. Ez a jel a szint´en saj´ at ´ep´ıt´es˝ u D/A k´arty´ara ker¨ ult, amelynek kimenet´en a jel m´ ar anal´ og form´ aban volt m´erhet˝ o. Ezt a jelet Hi-Fi er˝os´ıt˝ovel kier˝os´ıtve hallgattam: elmondhat´o, hogy a m´ odszer megfelel˝ oen m˝ uk¨ odik: nagy hanger˝okn´el a jel torzul´as n´elk¨ ul eredeti min˝os´eg´eben volt hallhat´ o. Kis hanger˝ okn´el lehetett enyhe kvant´al´asi zajt hallani a kimeneten, ami a 8-bites fixpontos sz´ am´ abr´ azol´ asb´ ol eredhetett.
(a)
(b) 7.7. ´ abra. A megval´os´ıtott D/A konverter panel 76
7.3.
A vez´ erl˝ ojelek teljes´ıtm´ eny er˝ os´ıt´ ese
A bemutatott eszk¨ oz¨ okkel el˝ o´ all´ıtottam p´arhuzamosan az ¨osszes m´asodlagos forr´as vonalszint˝ u vez´erl˝ ojel´et. Term´eszetesen a dinamikus hangsz´or´okb´ol fel´ep´ıtett m´asodlagos forr´aseloszl´as meghajt´ as´ ahoz ezeket teljes´ıtm´enyben er˝ os´ıteni kell. Ehhez terveztem teh´at er˝os´ıt˝okapcsol´ast. Mivel minden csatorna k¨ ul¨ on er˝ os´ıt´ese sz¨ uks´eges, ez annyi er˝os´ıt˝o´aramk¨ort jelent, ah´any m´asodlagos forr´ aselemmel dolgozunk. Emiatt a tervez´es sor´an a c´elom min´el olcs´obb ´es min´el kisebb er˝os´ıt˝ok megval´ os´ıt´ asa volt alakh˝ u jel´ atvitel mellett. T¨obb ´aramk¨or (TDA2003, TDA2030) kipr´ob´al´asa ut´an v´ alaszt´ asom v´eg¨ ul a TDA2005 nev˝ u 20 W teljes´ıtm´eny˝ u m˝ uveleti er˝os´ıt˝o aj´anlott alapkapcsol´as´ara esett. Az ´ aramk¨ or egy tokban k´et, audio c´elokra kifejlesztett, egyenk´ent 10 W teljes´ıtm´eny˝ u m˝ uveleti er˝ os´ıt˝ ot tartalmaz. Az IC seg´ıts´eg´evel minim´alis k¨ uls˝o alkatr´esz alkalmaz´as´aval megfelel˝o teljes´ıtm´eny˝ u er˝ os´ıt˝ okapcsol´ as val´ os´ıthat´o meg alacsony ´aron. A tervez´es sor´ an gondot jelentett a megfelel˝o teljes´ıtm´eny˝ u fesz¨ ults´egforr´as biztos´ıt´asa. Mivel csatorn´ ank´ent 20 W teljes´ıtm´enyt v´ arunk, ´ıgy 50 csatorn´ara sz´am´ıtva ez 1 kW ¨osszteljes´ıtm´enyt jelent. Az ´ aramk¨ ort aut´ or´ adi´ ok er˝ os´ıt˝ oj´enek tervezt´ek, ez´ert t´apfesz¨ ults´ege ide´alisan 12 V (amit az aut´ o akkumul´ atorok biztos´ıtanak), valamint a t´apfesz¨ ults´egben fell´ep˝o zavarokra kev´esb´e ´erz´ekeny. Az ´ altal´ anosan haszn´ alt ATX sz´ am´ıt´ og´ep t´ap nagy teljes´ıtm´enyen tud biztos´ıtani 12 V ´alland´o t´ apfesz¨ ults´eget, ez´ert az er˝ os´ıt˝ ok t´ apfesz¨ ults´eg´enek biztos´ıt´asa ATX t´apegys´egekkel lehets´eges. Az ´ aramk¨ ort az adatlapj´ an megtal´alhat´o h´ıdkapcsol´asban ´ep´ıtettem meg [41]. A kapcsol´asi rajz a f¨ uggel´ekben megtal´ alhat´ o. A kapcsol´as el˝onye, hogy aszimmetrikus t´apfesz¨ ults´egr˝ol m˝ uk¨odtethet˝ o, szemben a legt¨ obb audio c´elokra alkalmazott er˝os´ıt˝okapocsol´asokkal, amelyek t´apfesz¨ ults´egk´ent ±12 V-ot v´ arnak. Az ´ aramk¨or er˝os´ıt´ese az adatlapon megadott m´odon az ellen´all´asok ´ert´ekeinek megfelel˝ o megv´ alaszt´ as´ aval be´all´ıthat´o. Szemel˝ott tartand´o azonban, hogy az adatlap alapj´ an a teljes, visszacsatolt ´ aramk¨ or er˝os´ıt´es´enek 32 dB f¨ol¨ott kell maradnia az er˝os´ıt˝o stabilit´ asa ´erdek´eben. Az el˝ oz˝ o bekezd´esben l´ athat´o fesz¨ ults´egoszt´as n´elk¨ ul teh´at az er˝os´ıt˝o t´ ulvez´erl˝odne. Az adatlap alapj´ an az er˝ os´ıt˝ o bemeneti impedanci´aja Rbe = 70 Ω a s´avk¨oz´epi 1 kHz-en. Ennek ismeret´eben a teljes er˝ os´ıt´es m´eretezhet˝o. A kapcsol´ asb´ ol k´esz´ıtett nyomtatott ´aramk¨ori rajz tervez´ese sor´an f˝o szempont volt a kapcsol´as ´ ez´ert, ahogy az el˝oz˝o panelok sor´an is, a kapcsomin´el kisebb ter¨ uleten t¨ ort´en˝ o megval´ os´ıt´asa. Epp l´ as megval´ os´ıt´ as´ ahoz SMD 1206 tokoz´ as´ u alkatr´eszeket alkalmaztam. A meg´ep´ıtett k´et csatorn´as
(a)
(b) 7.8. ´ abra. A k´etcsatorn´as TDA2205 alap´ u er˝os´ıt˝o 77
Erősítés [V/V]
34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14
Fázis [rad]
3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
102
103 Frekvencia [Hz]
104
7.9. ´ abra. A TDA2005 alap´ u kapcsol´as ´atvitel´enek amplit´ ud´o- ´es f´aziskarakterisztik´aja er˝ os´ıt˝ okapcsol´ as a 7.8 ´ abr´ an l´ athat´ o. L´athat´o, hogy a kapcsol´ast siker¨ ult alig 3 × 2 cm-es ter¨ uleten megval´ os´ıtanom. Term´eszetesen nem szabad elfeledkezni a er˝os´ıt˝ok megfelel˝o h˝ ut´es´er˝ol: az aramk¨ ´ or¨ ok tesztel´ese sor´ an jelent˝ osen t´ ulm´eretezett h˝ ut˝obord´akat alkalmaztam, de helytakar´ekoss´ agb´ ol a k´es˝ obbiekben kisz´ am´ıthat´ o, mekkora minim´alis fel¨ ulet˝ u h˝ ut˝oborda alkamaz´asa sz¨ uks´eges a t´ ulmeleged´es elker¨ ul´ese ´erdek´eben. A meg´ep´ıtett er˝ os´ıt˝ okapcsol´ as indukt´ıv terhel´es alatt m´ert frekvencia´atvitele a 7.9 ´abr´an l´athat´ o. Elmondhat´ o, hogy az er˝ os´ıt˝ o megfelel˝oen lapos, egyenletes frekvencia´atvitelt biztos´ıt az ´atviteli s´ avban, elegend˝ o teljes´ıtm´enyer˝ os´ıt´es mellett. A meghallgat´o tesztek ugyanezt bizony´ıtott´ak: megfelel˝ o hangsz´ or´ ora k¨ otve az er˝ os´ıt˝ ok megfelel˝o hangmin˝os´eget reproduk´altak, messze jobbat a t¨ obbi kipr´ ob´ alt ´ aramk¨ orn´el. Fontos megjegyezni, hogy az egyes csatorn´ak ´atvitel´enek szigor´ uan egyform´ aknak kell lennie, hiszen a hangt´erszint´ezis szempontj´ab´ol ´epp a csatorn´ak k¨oz¨otti amp´ lit´ ud´ o ´es f´ azisk¨ ul¨ onbs´eg pontos be´ all´ıt´asa a c´el. Epp ez´ert a meg´ep´ıtett k´et csatorna ´atvitel´et osszehasonl´ıtottam. Elmondhat´ o, hogy a k´et csatorna t¨ok´eletesen azonos ´atvitelt biztos´ıt. ¨ Az er˝ os´ıt˝ okapcsol´ ast minden m´ asodlagos forr´ashoz k¨ ul¨on meg´ep´ıtve m´ar rendelkez´es¨ unkre ´allnak a forr´ asok vez´erl˝ ojelei teljes´ıtm´enyben is er˝os´ıtve. A kit˝ uz¨ott c´elom eredetileg rack szekr´enyhez dobozolt 15 csatorn´ as er˝ os´ıt˝ oblokkok megval´os´ıt´asa volt, blokkonk´ent egy ATX t´apegys´eggel. Ezek megval´ os´ıt´ as´ ara a dolgozat lead´ as´ aig sajnos m´ar nem maradt id˝om.
7.4.
A m´ asodlagos forr´ asok realiz´ aci´ oja
7.4.1.
A m´ asodlagos forr´ asv´ alaszt´ as´ anak szempontjai
A hangt´erszint´ezis megval´ os´ıt´ asa szempontj´ab´ol az egyik legfontosabb szerepe a m´asodlagos forr´ aselolszl´ asnak van. L´ athattuk, hogy a m´asodlagos forr´aseloszl´as tagjainak ir´anykarakterisztik´aja k¨ ozvetlen kapcsolatban van a forr´ as kx tartom´anybeli ´atvitel´evel, amely megfelel˝o megv´alaszt´as´aval az ´ atlapol´ od´ asmentes – ´ıgy ir´ anyhelyes – szint´ezis megval´os´ıthat´o. L´ athat´ o volt, hogy az elektrosztatikus hangsz´or´ok membr´anj´anak alakja tetsz˝olegesen megv´alaszthat´ o, ´ıgy ez lehet˝ os´eget ad az ir´ anykarakterisztika tervez´es´ere [48]. Sajnos ezek a hangsz´or´ok jelenleg dr´ ag´ ak ´es hangmin˝ os´egben sem ´erik utol az egyszer˝ u, dinamikus hangsz´or´okat. T¨ort´entek pr´ ob´ alkoz´ as´ ara a leg´ ujabb, u ´n. elosztott-m´od´ u hangsz´or´ok (DML: Distributed Mode Loudspeaker) hangt´erszint´ezisre val´ o alkalmaz´ as´ ara. Ezek teljesen s´ık hangsz´or´ok, amelyek fel¨ ulet´en hajl´ıt´ohul78
l´ amok j¨ onnek l´etre a s´ık m´ odusainak megfelel˝oen, a vez´erl˝o Lorentz–er˝o hat´as´ara [47]. A sug´arz´ok lapos s´ıkok, ´ıgy ak´ ar a fal elemei is lehetnek, amely igen kedvez˝o tulajdons´ag a hangt´erszint´ezis szempontj´ ab´ ol. Sajnos azonban a technol´ogia igen dr´aga, ´ıgy nem ´allt m´odomban munk´am sor´an ezekkel dolgozni. V´eg¨ ul k´ezenfekv˝ o m´ odon a m´asodlagos forr´aseloszl´as tagjainak dinamikus hangsz´ or´ okat v´ alasztottam. V´ alaszt´ as sor´ an szempont volt a hangsz´or´o ´ara, teljes´ıtm´enye, min´el jobb frekvencia´ atvitele ´es m´erete is. Ez ut´ obbi k´et szempont sajnos egym´asnak ellentmond´o felt´etelek: a vonatkoz´o irodalom alapj´ an [42, 50] az emberi ir´ anyhall´ ast legink´abb a f¨ ulh¨oz ´erkez˝o, kb. 20-1500 Hz frekvenci´aj´ u hull´amok helyes lokaliz´ aci´ oja hat´ arozza meg. Ahhoz, hogy eddig a frekvenci´aig legal´abb az α = 90◦ ir´anyb´ ol ´erkez˝ o hull´ amokat ´ atlapol´ od´ as n´elk¨ ul szintetiz´alhassuk a forr´asok k¨oz¨otti t´avols´ag legfeljebb ∆x = c/2f ≈ 12 cm lehet. Ez term´eszetesen azt jelenti, hogy ez az alkalmazott hangsz´or´o maxim´ alis ´ atm´er˝ oje is. A szint´ezis term´eszetesen folytonos forr´aseloszl´as seg´ıts´eg´evel lenne t¨ok´eletes. Az ´ atlapol´ od´ as elker¨ ul´ese ´erdek´eben teh´at a min´el kisebb, min´el k¨ozelebb elhelyezett hangsz´or´ok lenn´enek az optim´ alisak. A hangsz´ or´ o´ atm´er˝ oje azonban meghat´arozza, hogy mekkora a legkisebb lesug´arozhat´o frekvencia: min´el kisebb a membr´ an hat´ asos fel¨ ulete, ann´al kev´esb´e tudja a hangsz´or´o a m´ely hangokat lesug´ arozni. Emellett ismert, hogy min´el nagyobb a membr´an, ann´al ir´any´ıtottabban sug´aroz. L´ athattuk, hogy a megfelel˝ o kx tartom´anybeli sz˝ ur´es el´er´es´ehez nagy frekvenci´an min´el ir´any´ıtottabb forr´ as sz¨ uks´eges. Ez azt jelenti teh´at, hogy ezen szempontok alapj´an min´el nagyobb fel¨ ulet˝ u membr´ annal ell´ atott forr´ asra lenne sz¨ uks´eg¨ unk. A megfelel˝ o eredm´eny ´erdek´eben kompromisszumot kell k¨otn¨ unk, hogy r´eszben mindk´et felt´etelnek eleget tegy¨ unk. V´ alaszt´ asom v´eg¨ ul a Visaton FR10HM t´ıpus´ u dinamikus hangsz´or´ora esett. A hangsz´ or´ o egy 10 cm-es membr´ an´ atm´er˝oj˝ u duplapill´es sz´eless´av´ u hangsz´or´o. M´erete alapj´an teh´ at a hangsz´ or´ o ´epp megfelel˝ o a kit˝ uz¨ ott c´elra. A hangsz´or´o n´evleges teljes´ıtm´enye 30 Watt, zenei teljes´ıtm´enye 20 Watt, ´ıgy a tervezett er˝os´ıt˝o´aramk¨orh¨oz ´epp optim´alis. A hangsz´or´o 4 ´es 8 Ωos v´ altozatban is kaphat´ o. Mivel a TDA2005 alap´ u teljes´ıtm´enyer˝os´ıt˝o illesztetten 4 Ω terhel´esre dolgozik, ez´ert ezt az impedanci´ aj´ u v´ altozatot alkalmaztam. A hangsz´ or´ o ´ atviteli s´ avja az adatlap alapj´an 95-22000 Hz, ´erz´ekenys´ege 1 Watt-on, 1 m-re 85 dB [49]. Ez azt jelenti, hogy a m´elyhangok j´o reprodukci´oj´ara a hangsz´or´oval nincs lehet˝os´eg¨ unk, de ez minden hasonl´ o m´eret˝ u hangsz´or´or´ol elmondhat´o. Sz¨ uks´eg eset´en az er˝os´ıt˝o blokkokon egy vonalszint˝ u m´elysz˝ urt kimenet beiktathat´o, amely az er˝os´ıtett csatorn´ak k¨oz´eps˝o jel´et adja ki kimenet´et 0-100 Hz-re s´ avkorl´ atozva: a mintav´eteli t´etel ´ertelm´eben a m´elyhangok helyes reprodukci´ oja sokkal kevesebb csatorn´ aval megval´os´ıthat´o. Emellett m´ely hangokon a pontos szint´ezis am´ ugy sem lehets´eges, mivel ebben a tartom´anyban m´ar a szoba kor´abban bemutatott mod´alis viselked´ese a meghat´ aroz´ o [48]. A kieg´esz´ıt˝o m´ely csatorna akt´ıv m´elysug´arz´okkal er˝os´ıthet˝o. A tervezett rendszerben minden er˝ os´ıt˝ oblokk egy m´elysz˝ urt kimenetettel rendelkezik.
7.4.2.
A hangl´ ada tervez´ ese
A hangsz´ or´ ot term´eszetesen dobozolni kellett, hiszen en´elk¨ ul a membr´an k¨or¨ ul kisfrekvenci´an akusztikai r¨ ovidz´ ar alakul ki: a nyom´ask¨ ul¨onbs´eg egyszer˝ uen kiegyenl´ıt˝odik a membr´an k¨or¨ ul, (gyakorlatilag ha a hull´ amhosszhoz k´epest a membr´an kis m´eret˝ u, a membr´an a hull´am sz´am´ara l´ athatatlan”, ´ıgy az ellenf´ azisban interfer´al´od´o hull´amok ered˝oje z´erus) ´ıgy a hangsz´or´o kisfrek” venci´ an alig sug´ aroz. Fontos l´ep´es a tervez´es sor´an a hangl´ada m´eretez´ese. A l´ ada t´ erfogat´ anak meghat´ aroz´ asa. A hangsz´or´o, mint mechanikai rendszer kisfrekvenci´an egyszer˝ u m´ asodfok´ u rezg˝ ok¨ ork´ent modellezhet˝o, amely tagjai • a membr´ an ´es a leng˝ ocs´eve egy¨ uttes t¨omege, mint MAD tehetetlens´egi tag, • a felf¨ uggeszt´es, vagyis rim CAS kapacit´ıv akusztikai enged´ekenys´ege ´es • a rimen fell´ep˝ o s´ url´ od´ ast modellez˝o RAS vesztes´egi ellen´all´as 79
sorosan kapcsolva egym´ ashoz. A membr´an az azt lez´ar´o ZAR mechanikai impedanci´ara dolgozik, amely ´ert´ek´et f˝ oleg a membr´ an el˝ ott elhelyezked˝o l´egt¨omeg hat´arozza meg: ZAR ≈ jωMAR . Ez ´es MAD tehetlens´eg soros kapcsolata az ered˝o MA t¨omeg. A rezg˝orendszer jellemezhet˝o a rezonanciafrekvenci´ aj´ aval ´es j´ os´ agi t´enyez˝ oj´evel r 1 MA 1 √ , Q0 = . (7.8) f0 = RA CA 2π MA CA A sug´ arz´ onak ezen az frekvenci´ an er˝ os kiemel´ese van, a kiemel´es nagys´ag´at jellemzi a j´os´agi t´enyez˝o. A hangsz´ or´ o adatlapja alapj´ an az alkalmazott hangsz´or´o rezonancia-frekvenci´aja f0 = 120 Hz, j´ os´ agi t´enyez˝ oje Q0 = 1,44 radm/Ω. Ha a hangsz´ or´ ot dobozoljuk a doboz m´erete, illetve a bez´art leveg˝o t´erfogata a membr´an m¨og¨ott fell´ep˝ o terhel˝ o ZAB = RAB +jωMAB + jωC1AB impedanciak´ent modellezhet˝o, amely ism´et akusztikai elemek soros kapcsolatak´ent hat a membr´anra. A bez´art leveg˝o enged´ekenys´ege [5] alapj´an: CAB =
VB , κp0
(7.9)
ahol κ = 1,4 a leveg˝ o adiabatikus ´ alland´oja, p0 = 102 N/m2 . Mivel ez a rim enged´ekenys´eg´evel soros kapcsol´ asban ´ all, ´ıgy a doboz´ al´ as hat´ as´ara CA ered˝o akusztikai enged´ekenys´eg cs¨okken. Emiatt a dobozolt hangsz´ or´ o eset´en a rezonancia-frekvencia n˝o: min´el nagyobb a doboz t´erfogata, ann´al kisebb a rezonancia-frekvencia ´es a j´ os´agi t´enyez˝o ´ert´eke, ´ıgy ann´al kisebb a kiemel´es. Az er˝os kiemel´es dobozhangot” eredm´enyez, ´ıgy ebb˝ol a szempontb´ol el˝ony¨osebb min´el nagyobb doboz ” v´ alaszt´ asa. Term´eszetesen mivel igen nagysz´am´ u doboz meg´ep´ıt´es´ere lesz sz¨ uks´eg, ´ıgy a doboz m´erete ´esszer˝ u keretek k¨ oz¨ ott tartand´ o, a m´eret megv´alaszt´as´an´al kompromisszum sz¨ uks´eges. Az hangsz´ or´ o Thiele-Small param´eterei a hangsz´or´o adatlapj´an megtal´alhat´oak. Ezalapj´an l´etrehoztam WinISD nev˝ u hangl´ ada m´eretez˝o szoftverben a hangsz´or´o kisjel˝ u modellj´et, amelyben a hangl´ ada t´erfogat´ anak v´ altoztat´ as´ anak hat´asa j´ol megfigyelhet˝o a frekvencia´atvitelen. A 7.12 abr´ ´ an z¨ old sz´ınnel a 2 liter, piros sz´ınnel a 3 liter t´erfogat´ u dobozba dobozolt hangforr´as ´altal l´etrehozott hangnyom´ asszint l´ athat´ o a forr´ast´ol 1 m t´avols´agra, 1 Watt kimen˝o teljes´ıtm´eny mellett. L´ athat´ o, hogy a k´et g¨ orbe k¨ oz¨ ott jelent˝os k¨ ul¨onbs´eg van, ´ıgy ezalapj´an a 3 literes hangl´ada tervez´ese mellett d¨ ont¨ ottem. A 3 liter dobozt´erfogatot term´eszetesen v´egtelen sz´am´ u oldalhossz vari´aci´oval ´erhetj¨ uk el. A l´ ada oldalhosszainak megv´ alaszt´ as´ an´ al k¨ ul¨onb¨oz˝o, f˝ok´ent gyakorlati szab´alyok vannak, ilyen pl. a h´ arom oldal hossz´ anak aranymetsz´es szerinti megv´alaszt´asa. A gyakorlatban ink´abb fontosabb, hogy ne v´ alasszunk k´et oldalt egyenl˝o hossz´ unak, mivel ilyenkor a mod´alis kiemel´es az ehhez tartoz´ o hull´ amhosszon t´ uls´ agosan befoly´asoln´a az ´atvitelt. A v´egleges doboztervek a 7.10 ´abr´an l´ athat´ oak. A megval´ os´ıt´ ashoz 9 mm vastags´ag´ u r´etegelt lemezt alkalmaztam. Praktikuss´agi okokb´ol a m´ asodlagos forr´ aseloszl´ as tagjait az ´ abr´an l´athat´o m´odon 5-¨os´evel terveztem dobozolni, ´ıgy egy 15 csatorn´ as er˝ os´ıt˝ oblokk 3 ilyen hangsz´ or´o halmazt hajt meg. A forr´asok k¨oz¨ott v´alaszfal beiktat´asa sz¨ uks´eges az akusztikai csatol´ as elker¨ ul´es´ere.
7.10. ´ abra. Az 5-csatorn´ as dinamikus hangsz´or´ohalmazok egy elem´enek terve 80
7.11. ´ abra. A m´ asodlagos forr´aseloszl´as egy megval´os´ıtott eleme
7.4.3.
A m´ asodlagos forr´ aseloszl´ as vizsg´ alata
A tervezett forr´ aseloszl´ asnak egy megval´os´ıtott tagja a 7.11 ´abr´an l´athat´o. A l´ada s´ url´od´asb´ ol ered˝ o RAB vesztes´egi ellen´ all´ as´ anak ´ert´eke n¨ovelhet˝o a dobozban elhelyezett vatt´aval, illetve a dobozon f´ urt apr´ o lyukkal, amelyben a leveg˝o t¨omege elhanyagolhat´o. A vesztes´egi ellen´all´as ´ n¨ ovel´es´evel a j´ os´ agi t´enyez˝ o ´es ´ıgy a rezonancia-frekvenci´an a kiemel´es cs¨okkenthet˝o. Epp ez´ert, a dobozban akusztikai vatt´ at helyeztem el. Az ´ıgy kialakul´o, v´egleges m´ert frekvencia´atvitel a 7.12 abr´ ´ an l´ athat´ o k´ek sz´ınnel. A m´er´es alapj´an siker¨ ult a rezonancia cs´ ucsot elegend˝oen csillap´ıtani, a rezonancia-frekvenci´ an a kiemel´es minim´alis. L´ athattuk, hogy a hangforr´ asok k¨oz¨otti t´avols´ag fontos t´enyez˝oje a szint´ezisnek, hiszen k¨ozvetlen¨ ul meghat´ arozza a kx,s mintav´eteli hull´amsz´amot, amelynek fele kx,Nyq = π/∆x. A v´egleges tervekben teh´ at a hangsz´ or´ o t´ avols´ ag ∆x = 0,12 m, amely alapj´an a mintav´etelezett hull´am spektruma kx,s = 52,36 m−1 -enk´ent ism´etl˝ odik. Ezalapj´an kx,Nyq = 26,18 m−1 . A dobozolt hangsz´ or´ o akusztikai laborban m´ert ir´anykarakterisztik´aja kR = 0,1, 1 ´es 5 ´ert´ekeken a 7.13 ´ abr´ an l´ athat´ o. Ebb˝ ol a kx tartom´anybeli ´atvitel k¨ozvetlen¨ ul felrajzolhat´o a maxim´alis m´ert hull´ amsz´ amig. A kR = 5 m´er´esb˝ ol sz´am´ıtott ´atvitel l´athat´o a 7.13 (b) ´abr´an. L´athat´o, hogy a Nyquist-hull´ amsz´ amon a forr´ as ´ atvitele −1,5 dB. Ez az ´atlapol´od´as elker¨ ul´es´ehez a v´artnak megfelel˝ oen nem elegend˝ o csillap´ıt´ as, ´ıgy a nagy sz¨ogekb˝ol ´erkez˝o nagyfrekvenci´as hull´amok szint´ezise sor´ an ´ atlapol´ od´ asra sz´ am´ıthatunk. Ezt a jelens´eget mutatja be a 7.14 ´abra. Az ´abr´an az itt bemutatott m´ asodlagos forr´ aseloszl´ as seg´ıts´eg´evel v´egrehajtott szint´ezist mutatja be kx k tartom´ anyban. Az ´ abra kx,Nyq -ra s´ avkorl´ atozott monop´olus ter´enek szint´ezis´et mutatja. L´athat´o, hogy
120 SPL [dB]
110 100 90 80 70
Mért hangnyomásszint Szimulált hangnyomásszint (3 l) Szimulált hangnyomásszint (2 l)
60 50 102
103 Frekvencia [Hz]
104
7.12. ´ abra. A hangdoboboz szimul´alt ´es m´ert ´atviteli f¨ uggv´enyek 81
90° 0 -10 -20 -30
180°
0°
Erősítés [dB]
kR=0,1 kR=1 kR=5
0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
kx,Nyq 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
270°
(a)
kx [m-1]
(b)
7.13. ´ abra. A hangdoboz (a) ir´anykarakterisztik´aja ´es (b) kx ´atvitele az ide´ alist´ ol elt´er˝ oen a szintetiz´ alt hull´ amt´er spektruma nem csak ±kx,Nyq tartom´anyon tartalmaz komponenseket, ennek pedig hallhat´ o k¨ovetkezm´enyei lesznek. Az ´ atlapol´ od´ as hat´ asa a bemutatott t´erbeli konvol´ uci´os m´odszer seg´ıts´eg´evel esetlegesen cs¨okkenthet˝ o, de az alkalmazott hangsz´ or´ ok seg´ıts´eg´evel teljesen nem megsz¨ untethet˝o. Az ´atlapol´od´as teljes elker¨ ul´es´ehez a vonatkoz´ o fejezetben bemutatott lehet˝os´egek k´ın´alkoznak.
k [m-1]
-kx,s
kx,Nyq
kx,Nyq
kx,s
26
52
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -78
-52
-26
0 kx [m-1]
78
7.14. ´ abra. A tervezett m´ asodlagos forr´aseloszl´as seg´ıts´eg´evel szintetiz´alt monop´olus spektruma
7.5.
¨ Osszegz´ es
A fejezetben bemutattam az ´ altalam tervezett hangt´erszint´ezis rendszert. L´athattuk, hogy a rendszer fel´ep´ıt´es´ehez h´ arom nagyobb feladat megval´os´ıt´asa sz¨ uks´eges: a hangsz´or´ok vez´erl˝ojel´enek el˝ o´ all´ıt´ asa vonalszinten, ezek teljes´ıtm´enyer˝os´ıt´ese, v´eg¨ ul a szint´ezishez megfelel˝o m´asodlagos forr´ aseloszl´ as kialak´ıt´ asa. Az ´ altalam alkalmazott megold´asok m˝ uk¨od˝ok´epesek, a rendszer ´ep´ıt˝oelemeit meg´ep´ıtettem ´es m˝ uk¨ od´es´et teszteltem. Sajnos a dolgozat ´ır´as´aig a sz¨ uks´eges eszk¨oz¨ok t¨ omeggy´ art´ as´ ara nem jutott ´ıd˝ o, ´ıgy a teljes rendszer nem k´esz¨ ulhetett el.
82
8. fejezet
¨ Osszefoglal´ as Dolgozatomban egy state-of-the-art” hangreprodukci´os technik´at mutattam be. Az elm´eleti ” alapok ismertet´ese ut´ an bemutattam a technika jelenlegi korl´atait, vizsg´alati m´odszereit is. L´athattuk, hogy a technik´ aval tetsz˝ oleges hull´amfront f´azisban pontosan vissza´all´ıthat´o lenne egy s´ıkban, a s´ıkot hat´ arol´ o v´egtelen hossz´ u vonalforr´as pontjainak megfelel˝o vez´erl´es´evel. Emellett az amplit´ ud´ ohelyes szint´ezis is biztos´ıthat´o lenne az eg´esz f´elt´erben, a f´elteret hat´arol´o v´egtelen fal ment´en elhelyezett forr´ aseloszl´ as seg´ıts´eg´evel. A gyakorlatban azonban egy szoba falai ment´en bizonyos magass´ agban egym´ ashoz k¨ ozel helyezett hangforr´asokkal tudjuk a hangteret reproduk´alni. Ekkor sem a v´egtelen f´elt´erbe val´ o sug´arz´as, sem a v´egtelen vonalforr´as felt´etelez´ese nem teljes¨ ul. Emiatt reflexi´ ok ´es diffrakci´ os hat´ asok l´epnek fel a vizsg´alt teremben. Dolgozatomban erre a k´et probl´em´ara dolgoztam ki megold´ast, amelyek hat´ekonys´ag´at mind alland´ ´ osult ´ allapotban, mind id˝ otartom´anyban szimul´aci´ok seg´ıts´eg´evel vizsg´altam. A v´egtelen vonalforr´ asb´ ol elhagyott elemek hat´as´at a szomsz´edos falakon elhelyezett vonalforr´ asokkal p´ otoltam. A szint´ezisbe val´ o t¨obb fal bevon´as´at a klasszikus hangt´erszint´ezisben is alkalmazz´ ak, azonban alapjaiban elt´er˝ o m´odon az ´altalam bemutatott m´odszert˝ol. Emiatt m´ıg a klasszikus m´ odon t¨ obb fal seg´ıts´eg´evel csak a besug´arozhat´o ter¨ ulet n¨ovelhet˝o, addig az itt bemutatott m´ odszerrel a besug´ arozhat´ o ter¨ ulet n¨ovel´ese mellett a diffrakci´os hat´asok hat´aresetben ak´ar teljesen megsz¨ untethet˝ ok. Az ide´ alishoz val´o k¨ozel´ıt´est egyed¨ ul a szint´ezis vez´erl˝of¨ uggv´enyeinek sz´ am´ıt´ asig´enye korl´ atozza. Nagyobb probl´em´ at okoznak a szint´ezis sor´an a falakr´ol t¨ort´en˝o reflexi´ok, hiszen m´ıg az el˝oz˝o diffrakci´ os hat´ asok a szintetiz´ alt hull´ amfrontn´al l´enyegeseb kisebb amplit´ ud´oval jelentkeznek, addig a visszaver˝ od´esek a szint´ezist ´ alland´osult ´allapotban teljesen ellehetetlen´ıtik. Erre a probl´em´ara a t¨ uk¨ orforr´ asok m´ odszere alapj´ an dolgoztam ki megold´ast: egy teremben egy bels˝o forr´as visszaver˝ od˝ o ter´et el˝ ore sz´ am´ıtottam ´es ezt a teret a hangt´erszint´ezis seg´ıts´eg´evel k¨ozel´ıt˝oleg kioltottam. Ugyanez a m´ odszer alkalmazhat´ o a m´ asodlagos forr´asok visszhangz´o ter´ere, ´ıgy a hangt´erszint´ezis z´ art t´erben, ´ alland´ osult ´ allapotban is lehets´egess´e v´alik. M´odszeremmel a reflexi´ok hat´asa szemmel l´ athat´ oan jelent˝ osen cs¨ okkenthet˝ o, azonban nem t˝ untethet˝o el teljesen. Ahhoz azonban elegend˝o a javul´ as, hogy a hull´ amfrontot jellegre helyesen szintetiz´alhassuk z´art t´erben is, ´ıgy a k´ıv´ant ir´ any´erz´ekel´es a teremben biztos´ıthat´ o, ellent´etben a kompenz´aci´omentes esettel. A m´ odszerek vizsg´ alat´ ahoz ¨ osszetett szimul´aci´os k¨ornyezetre volt sz¨ uks´egem: sz¨ uks´eg volt a ny´ılt t´erben kialakul´ o´ alland´ osult ´ allapot, a z´art t´erben val´o ´alland´osult ´allapot vizsg´alat´ara is, valamint a hull´ amterjed´es id˝ otartom´ anybeli modellez´es´ere. Ezut´obbihoz saj´at szimul´aci´osk¨ornyezetet hoztam l´etre, ez´ert a megold´ as alapj´ at, a digit´alis hull´amvezet˝o h´al´ot dolgozatomban r´eszeltesen bemutattam. A dolgozatomban bemutatott m´ odszerek t¨obb tov´abbfejleszt´esi lehet˝os´eget is rejtenek magukban. Mindk´et m´ odszer le´ır´ o egyenletei integr´alegyenletek. A m´odszerek vizsg´alata sor´an ezeket az integr´ alokat numerikusan ´ert´ekeltem ki, a v´egtelen integr´al´asi hat´arokat kell˝oen nagy sz´amokig ´ val´ o sz´ am´ıt´ assal k¨ ozel´ıtve. Erdekes k´erd´es lehet a f¨ uggv´enyek anal´ıtikus ki´ert´ekel´ese, amely – mivel anal´ıtikusan nem integr´ alhat´ o f¨ uggv´enyekr˝ol van sz´o – valamilyen k¨ozel´ıt˝o formul´aval t¨ort´enhet. Ha ez siker¨ ul a vez´erl˝ of¨ uggv´enyek sz´ am´ıt´asa jelent˝osen gyors´ıthat´o – ak´ar val´os idej˝ uv´e is tehet˝o 83
– ´es a diffrakci´ os hat´ asok teljesen megsz¨ untethet˝oek lenn´enek. A dolgozatban l´ athat´ o volt, hogy a reflexi´o kompenz´aci´os hangt´erszint´ezis m´eg nem t¨ok´eletes. Ennek egyik oka, hogy a m´ odszerben alkalmazott reflexi´os t´enyez˝o t¨ok´eletesen csak s´ıkhull´amok ´ visszaver˝ od´es´et ´ırja le. Altal´ anosan a reflexi´os t´enyez˝o ir´any- ´es frekvenciaf¨ ugg˝o. A reflexi´okompenz´ aci´ o elm´eletileg ennek figyelembev´etel´evel pontos´ıthat´o. Probl´em´ at jelent az is, hogy m´ıg dolgozatomban a teremben a padl´ot ´es plafont t¨ok´eletesen elnyel˝ onek tekintettem, amely jelent˝ os egyszer˝ us´ıt´esekre adott lehet˝os´eget, addig a gyakorlatban az ezekr˝ ol t¨ort´en˝ o visszaver˝ od´esek nem sz¨ untethet˝oek meg teljesen ak´ar vastag hangelnyel˝o anyagokkal sem. A vertik´ alis ir´ any´ u reflexi´ ok az itt bemutatott m´odszerrel egy´altal´an nem sz¨ untethet˝ok meg. A vonatkoz´ o szakirodalom alapj´an lehets´eges a reflexi´ok hat´as´anak adapt´ıv sz˝ ur´essel val´o akt´ıv cs¨okkent´ese [39]. A visszhangkiolt´as esetlegesen t¨ok´eletes´ıthet˝o lenne a k´et m´odszer egy¨ uttes alkalmaz´ as´ aval: a horizont´ alis reflexi´ok ´altalam bemutatott direkt kiolt´as´aval ´es a marad´ek visszaver˝ od´esek adapt´ıv cs¨ okkent´es´evel. Dolgozatom utols´ o fejezet´eben a tervezett hangt´erszint´ezis rendszert mutattam be. L´athattuk, hogy a sz´ am´ıt´ og´epen elv´egezhet˝ o spektrumform´al´as mellett minden csatorn´an k¨ ul¨onb¨oz˝o er˝os´ıt´es ´es k´esleltet´es be´ all´ıt´ asa sz¨ uks´eges. Ezeket FPGA seg´ıts´eg´evel val´os´ıtottam meg, amely a vez´erl˝ojeleket csatorn´ ank´ent el˝ o´ all´ıtotta. Ezeket teljes´ıtm´enyer˝os´ıt´es ut´an megfelel˝oen megv´alasztott dinamikus hangsz´ or´ okkal sug´ aroztam le a hangt´erbe. A rendszer egyes elemei k¨ ul¨on-k¨ ul¨on m˝ uk¨od˝ok´epesek voltak, azonban a teljes rendszer fel´ep´ıt´es´ere a dolgozat ´ır´as´aig nem maradt id˝o. Terveim k¨oz¨ott szerepel a rendszer befejez´ese. A tervezett rendszer hat´ekonys´ag´at nagyban korl´atozta az, hogy a rendelkez´esre ´ all´ o FPGA k´ arty´ aval a kommunik´aci´o csak LPT porton kereszt¨ ul volt megoldhat´o, amely csek´ely ´ atviteli sebess´eget biztos´ıt. A fejleszt´es sor´an kider¨ ult azonban, hogy a jelek sz´etoszt´ as´ ara ´es PWM modul´ aci´ oj´ ara m´ ar egy egyszer˝ ubb FPGA is kiv´al´oan alkalmas. Gyors adat´atvitel eset´en (pl. USB 2.0 PC-FPGA kapcsolat) eleg´ansabb megold´as a dolgozatban bemutatottn´al az egyes csatorn´ ak vez´erl˝ ojel´et PC oldalon sz´am´ıtani, majd a vez´erl˝ojeleket sorosan az FPGA k´arty´ anak k¨ uldeni. ´Igy a k¨ uls˝ o eszk¨ oz csak a jelek sz´etoszt´as´at ´es PWM modul´aci´oj´at biztos´ıtan´a. Ez a megold´ as j´ oval rugalmasabb PC oldali fejleszt´est is lehet˝ov´e tenne, ´ıgy a j¨ov˝obeli fejleszt´eseimet ebbe az ir´ anyba k´ıv´ anom elvinni.
84
Irodalomjegyz´ ek [1] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables. United States Department of Commerce, 1972. [2] Hafiz M. Atassi. The green’s function. Note, 2007. [3] M Baker and Sutlief. Greens functions in physics. Technical report, 2003. [4] Alex Barnett. Greens function for wave equation. Lecture note, December 2006. [5] Leo Beranek. Acoustics. McGraw-Hill, 1954. [6] A.J. Berkhout. Seismic Migration: Imaging of acoustic energy by wave field extrapolation. Elsevier, 1982. [7] A.J. Berkhout. Applied Seismic Wave Theroy. Elsevier, 1987. [8] Walton C.Gibson. The Method of Moments in Electromagnetics. Chapman & Hall, 2008. [9] A.J. Berkhout Diemer de Vries. Wave theoretical approach to acoustical focusing. Journal of the Acoustical Society of America, 70(3):740–748., September 1981. [10] Evert Walter Start Diemer de Vries. The wave field synthesis concept applied to sound reinforcement: restrictions and solutions. In 96th AES Convention, February 1994. [11] Scott A Van Duyne and Julius O Smith III. A new approach to digital reverberation using closed waveguide networks. In International Computer Music Conference, pages 47–53, Vancouver, Canada, 1985. [12] Scott A Van Duyne and Julius O Smith III. Physical modeling with the 2-d digital waveguide mesh. In International Computer Music Conference, pages 40–47, Japan, 1993. [13] Leo Eisner and Robert W Clayton. A reciprocity method for multiple-source simulation. Bulletin of the Seismological Society of America, 91(3):553–560, June 2001. [14] Stefan Enroth. Spatial impulse response rendering of digital waveguide mesh room acoustic simulations. Technical report, University of York, Department of Electronics, 2007. [15] Matthias Geier, Hagen Wierstorf, Jens Ahrens, Ina Wechsung, Alexander Raake, and Sascha Spors. Perceptual evaluation of focused sources in wave field synthesis. In 128th AES Convention, May 2010. [16] I.S. Gradshteyn and I.M. Ryzhik. Table of Integrals, Series, and Products. Elsevier, 2007. [17] John K. Hunter. Asymptotic Analysis and Singular Perturbation Theory. Department of Mathematics, University of California at Davis, 2004. [18] Julius O Smith III. Physical modeling using digital waveguides. Computer Music Journal, 16(4):74–91, Winter 1992. Special issue on Physical Modeling of Musical Instruments, Part I. 85
[19] Texas Instruments. SN55LVC541A, SN74LVC541A Octal Buffers/Drivers with 3-states Outputs, July 2003. [20] G. Jansen. Focused wavefields and moving virtual sources by wave field synthesis. Master’s thesis, Delft University of Technology, 1997. [21] Matti Karjalainen and Cumhur Erkut. Digital waveguides versus finite difference structures: equivalence and mixed modeling. EURASIP Journal on Applied Signal Processing, 2004. [22] Heinrich Kuttruff. Room Acoustics. Spon Press, fifth edition edition, 2009. [23] Nagy Lajos. Determinisztikus belt´eri hull´amterjed´esi modellek. Hirad´ astechnika, LXII.:2–12, 2007. [24] Dr. Pap L´ aszl´ o. Elektronika. Budapesti M˝ uszaki ´es Gazdas´agtudom´anyi Egyetem, 2007. Egyetemi jegyzet. [25] Jack Mullen. Physical Modelling of the Vocal Tract with the 2D Digital Waveguide Mesh. PhD thesis, The University of York, Department of Electronics, 2006. [26] Damian Murphy, Antti Kelloniemi, Jack Mullen, and Simon Shelley. Acoustic modeling using the digital waveguide mesh. In IEEE Signal Processing Letters. In Press, 2007. [27] Richard A. Handelsman Norman Bleinstein. Asymptotic Expansions of Integrals. Holt, Rinehart and Winston, 1975. [28] Allan D. Pierce. Acoustics: an introduction to its physical principles and applications. Acoustical Society of America, 1989. [29] Fiala P´eter. Az akusztikai peremelem m´odszer. Jegyzet, Budapesti M˝ uszaki ´es Gazdas´agtudom´ anyi Egyetem, H´ırad´ astechnikai Tansz´ek, 2007. [30] Fiala P´eter. Puta toolbox for matlab. Jegyzet, Budapesti M˝ uszaki ´es Gazdas´agtudom´anyi Egyetem, H´ırad´ astechnikai Tansz´ek, 2007. [31] Fiala P´eter. Hangszerek fizik´ aja. Jegyzet, Budapesti M˝ uszaki ´es Gazdas´agtudom´anyi Egyetem, H´ırad´ astechnikai Tansz´ek, 2010. [32] Sacha Spors Rudolf Rabenstein. Springer Handbook on Speech Processing, chapter 53. Springer, 2007. [33] Jens Ahrens Sacha Spors, Rudolf Rabenstein. The theory of wave field synthesis revisited. In Audio Engineering Society Convention Paper, May 2008. AES 124th Convention, Amsterdam, The Netherlands. [34] Lauri Savioja. Interpolated rectangular 3-d digital waveguide mesh algorithms with frequency warping. IEEE TRANSACTIONS ON SPEECH AND AUDIO PROCESSING, 11(6):783– 791, November 2003. [35] Lauri Savioja, Tapio Lokki, and Vesa V¨alim¨aki. The interpolated 3-d digital waveguide mesh method for room acoustic simulation and auralization. Technical report, Laboratory of Telecommunications Software and Multimedia, Helsinki University of Technology, 2002. [36] Lauri Savioja and Vesa V¨ alim¨ aki. Interpolated and warped 2-d digital waveguide mesh algorithms. In Proceedings of the COST G-6 Conference on Digital Audio Effects, Verona, Italy, 2000. [37] Lauri Savioja and Vesa V¨ alim¨ aki. Reduction of the dispersion error in the interpolated digital waveguide mesh using frequency warping. Technical report, Laboratory of Acoustics and Audio Signal Processing, Helsinki University of Technology, 2000. 86
[38] National Semiconductors. ADC0801/ADC0802/ADC0803/ADC0804/ADC0805 8-Bit uP Compatible A/D Converters, July 2003. [39] Sacha Spors. Active Listening Room Compensation for Spatial Sound Reproduction Systems. PhD thesis, Friedrich-Alexander-Universit¨at Erlangen-N¨ urnberg, 2005. [40] Sacha Spors. Extension of an analytic secondary source selection criterion for wave field synthesis. In 123th AES Convention, October 2007. [41] ST. TDA2005, 20W Bridge Amplifier for Car Radio, October 1998. [42] Evert Walter Start. Direct sound enhancement by wave field synthesis. PhD thesis, Delft University of Technology, 1997. [43] S. Y. Suh. Pulse width modulation for analog fiber-optic communication. Journal of Lightwave Technology, LT-5(1):102–112, January 1987. [44] Dimitris Theodoropoulos. Multi-core platforms for beamforming and wave field synthesis. IEEE TRANSACTIONS ON MULTIMEDIA, 13:235–245, April 2011. [45] Dimitris Theodoropoulos, Catalin Bogdan Ciobanu, and Georgi Kuzmanov. Wave field synthesis for 3d audio: Architectural prospectives. Technical report, Computer Engineering Laboratory, Delft University of Technology, 2009. [46] Peter D’Antonio Trevor J. Cox. Acoustic Absorbers and Diffusers. Taylor & Francis, 2009. [47] Rik van Zon. Room compensation for wave field synthesis using map loudspeakers. Master’s thesis, Delft University of Technology, 2003. [48] Edwin Verheijen. Sound Reproduction by Wave Field Synthesis. PhD thesis, Delft University of Technology, 1997. [49] Visaton. Main Catalogue, 2009/2010, October 2009. [50] Peter Vogel. Application of Wave Field Synthesis in Room Acoustics. PhD thesis, Delft University of Technology, 1993. [51] Kees Wapenaar. Nonreciprocal green’s function retrieval by cross correlation. Journal of the Acoustical Society of America, (120):7–13, July 2006. [52] Kees Wapenaar, Jacob Fokkema, and Roel Snieder. Retrieving the green’s function in an open system by cross-correlation: A comparison of approaches. Technical report, Department of Geotechnology, Delft University of Technology, 2006. [53] Kees Wapenaar, Evert Slob, and Roel Snieder. Unified green’s function retrieval by crosscorrelation. Technical report, Department of Geotechnology, Delft University of Technology, 2006. [54] Xilinx. Spartan-IIE 1.8V FPGA Family Complete Data Sheet, July 2003. [55] Prof. Robert A. York. Stationary phase method. Class handout, January 2003.
87
88
Fu ek ¨ ggel´ F.1.
A Green-t´ etel levezet´ ese
A vektoranal´ızis Gauss-t´etele alapj´ an ha u(r) vektor-vektor f¨ uggv´eny ´altal meghat´arozott vektort´er a V t´erfogaton differenci´ alhat´ o ´es nemszingul´aris, fenn´all, hogy Z Z ∇ · u(r)dV = u(r)nk dS. (F.1) V
S
Itt ∇· a skal´ arszorz´ assal val´ o gradiensk´epz´es. Szeml´eletesen a vektort´er teljes divergenci´aja (forr´asoss´ aga) egyenl˝ o a t´er ´ altal a fel¨ uleten l´etrehozott norm´alis ir´any´ u fluxussal. Mivel a gradiensk´epz´es skal´ aris f¨ uggv´enyt vektor f¨ uggv´enybe k´epez le, u(r) el˝o´all´ıthat´o v(r) ´es w(r) szabadon v´alaszthat´o skal´ ar-vektor f¨ uggv´enyek kombin´ aci´ ojak´ent: u(r) = v(r)∇w(r) − ∇v(r)w(r).
(F.2)
A l´ ancszab´ aly alapj´ an a skal´ arf¨ uggv´enyek szorzat´anak divergenci´aja ∇ · (v(r)∇w(r)) = ∇u(r) · ∇w(r) + u(r)∇2 w(r)
(F.3)
∇ · (∇v(r)w(r)) = ∇v(r) · ∇w(r) + ∇2 v(r)w(r),
(F.4)
´es ugyan´ıgy ez´ert
Z
{u(r)∇2 w(r) − ∇2 v(r)w(r)}dV =
V
Z {v(r)∇w(r) − ∇v(x)w(r)}nk dS,
(F.5)
S
ahol nk az S hat´ arol´ o fel¨ ulet kifel´e mutat´o norm´alisa. A vonatkoz´o fejezetben vizsg´alt geometri´ab´ol k¨ ovetkezik, hogy c´elszer˝ ubb a befel´e mutat´o norm´alissal dolgozni, amely nb = −nk , ´ıgy az egyenlet a k¨ ovetkez˝ o alakot ¨ olti: Z Z {u(r)∇2 w(r) − ∇2 v(r)w(r)}dV = {w(r)∇v(r) − ∇w(r)v(r)}nb dS. (F.6) V
S
Ez pedig ´eppen a vektoranal´ızis Green-t´etele.
89
F.2.
Kapcsol´ asi rajzok ´ es paneltervek
F.2.1.
Az alkalmazott A/D panel kapcsol´ asi rajza ´ es panelterve
F.1. ´ abra. A tervezett AD panel kapcsol´asi rajza
(a)
(b)
F.2. ´ abra. A megval´ os´ıtott ADC0804 alap´ u A/D ´aramk¨or nyomtatott ´aramk¨ori terve kicsiny´ıtve (M = 0,85 : 1)
90
F.2.2.
Az alkalmazott D/A-csatol´ o panel kapcsol´ asi rajza ´ es panelterve
F.3. ´ abra. A tervezett DA ´atalak´ıt´o panel
(a)
(b)
F.4. ´ abra. A megval´ os´ıtott vonalmeghajt´o ´es PWM demodul´ator panel nyomtatott ´aramk¨ori terve kicsiny´ıtve (M = 0,85 : 1)
91
F.2.3.
A teljes´ıtm´ enyer˝ os´ıt˝ ok kapcsol´ asi rajza ´ es panelterve
F.5. ´ abra. A TDA2005 m˝ uveleti er˝os´ıt˝op´ar h´ıdkapcsol´asa
(a)
(b) F.6. ´ abra. A megval´ os´ıtott TDA2005 teljes´ım´enyer˝os´ıt˝ok nyomtatott ´aramk¨ori terve (M = 1 : 1) 92
